Capitulo 9 (1)

Capítulo IX 

Vertederos

CAPITULO

 IX 

VERTEDEROS 

9.1 Obje Objeto to de de los los vert verted eder eros os.. Tipo Tipos s El vertedero ha sido definido por Balloffet como ‘‘una abertura (o mejor, escotadura) de contorno abierto, practicada practicada en la pared de un depósito, o bien en una barrera colocada en un canal o río, y por la cual escurre o rebasa el líquido contenido en el depósito, o que circula por el río o canal’’ . Una escotadura es el entrante que resulta en una cosa cuando está cercenada, o

cuando parece que lo está, como si le faltara allí algo para completar una forma más regular. En la Figura 9.1 se aprecia una escotadura rectangular de longitud  L . En general, un vertedero suele tener una de las dos finalidades siguientes: a) medir caudales y b) permitir el rebose del líquido contenido co ntenido en un reservorio o del que circula ci rcula en un río o canal. Estas funciones no son excluyentes. Los vertederos resultan muy útiles para medir caudales. Los que tienen el objetivo exclusivo de medir, lo hacen por lo general con caudales relativamente pequeños. También puede construirse un vertedero para permitir el rebose del líquido al llegar a un cierto nivel. A esta estructura se le denomina aliviadero. En realidad en un vertedero siempre están presentes ambas funciones. En las obras de ingeniería hidráulica, por ejemplo en una presa, se construyen vertederos para que cumplan la función de aliviaderos. Sin embargo, son a la vez estructuras aforadoras, es decir, que miden caudales. Existen diferentes tipos de vertederos. Pueden clasificarse por el tipo de cresta, por los niveles de aguas abajo, por su forma, por las condiciones laterales, por su inclinación con respecto a la corriente y por otras circunstancias. 455

4    5    6  

2

V 0

α

2g

2

M. R. V.

M. G. V.

hV = α

 A Napa vertiente

 H 

V 0

Escotadura

2g

 H 

V 0

> 3 H 

P

 L

H  i    d  r   á   u  l    i    c  a  d   e  t    u  b   e r   í    a  s   y  c  a  n  a  l    e  s 

> 3 H 

P Paramento

B

 Aguas muertas

 B

4 H 

P : es el umbral : es el coeficiente c oeficiente de Coriolis  H :  H  : es la carga  L : es la longitud del vertedero  B : es el ancho del canal de aproximación V : V 0 : es la velocidad de aproximación α

Figura 9.1 Descarga sobre un vertedero rectangular en pared delgada

A  r   t    u r   o R   o  c  h   a

Capítulo IX 

Vertederos

Para una mejor comprensión de los aspectos teóricos vinculados a la descarga por vertederos es necesario que el lector recuerde y tenga presente algunos conceptos de descarga por  orificios, estudiados en un curso anterior de Hidráulica o de Mecánica de Fluidos. Un vertedero da lugar a un chorro, es decir, a una napa vertiente, tal como se aprecia en la Figura 9.1. Sobre el vertedero y en sus inmediaciones hay un movimien to rápidamente variado (M. R. V.). Es un ‘‘remanso de depresión’’ originado en la transformación de energía potencial en energía cinética. Hacia aguas arriba, en una sección AB, hay un movimiento gradualmente variado (M. G. V.). Se acepta que en la sección AB rige la ley hidrostática. Esta sección se encuentra a una cierta distancia del vertedero. Referencialmente se considera que esta distancia es igual a 4 H  , siendo  H  la carga sobre el vertedero. Obsérvese que inmediatamente aguas arriba del umbral de vertedero hay una zona de estancamiento o de aguas muertas. Se denomina carga sobre el vertedero a la altura  H  con respecto a un plano horizontal que pasa por la cresta, medida en la sección AB. En la Figura 9.1 se muestra también la altura del umbral  P  del vertedero (paramento), que es la distancia entre el fondo y la cresta del vertedero. Existen fundamentalmente dos tipos de napa vertiente en función de la presión que la rodea. En la napa libre la presión que hay en el espacio comprendido entre el paramento del vertedero (umbral), las paredes del canal inmediatamente aguas abajo de él y la parte inferior de la napa vertiente es igual a la atmosférica. En consecuencia, en todo el contorno de la napa la presión es igual a la atmosférica. En estas condiciones se forma el perfil, o trayectoria de la napa, representado en la Figura 9.1. En la Figura 9.2 se observa la red de corriente correspondiente a esas condiciones (chorro libre).

hV 

 H 

 p

γ 

 p  P 

hV 

γ 

 >>> H  ) Figura 9.2 Red de corriente característica de una napa vertiente libre ( P  >>> 457

 Hidrá ulica de tuberías y canales

 Arturo Rocha

En la Tabla 9.1 se aprecia las coordenadas típicas correspondiente a un chorro libre, según Franke, siempre que la altura del umbral sea mucho mayor que la carga sobre el vertedero ( P  >>> H  ). Para conseguir la condición de chorro libre puede ser necesario ventilar debidamente el espacio antes mencionado ubicado debajo del chorro. Para ello, si es necesario, se colocan tomas de aire que garantizan la comunicación con la atmósfera. Cuando el chorro es libre las condiciones de descarga (la napa) se mantienen bastante constantes y el vertedero es así confiable para medir caudales. Esto es deseable en un vertedero.

TABLA 9.1 COORDENADAS CARACTERISTICAS DE UNA NAPA VERTIENTE LIBRE ( P  >>> H  )  z   H 

1,00  x  P > H 

 z   x

458

 z 

PARTE

PARTE

INFERIOR

SUPERIOR

- 3,00 - 2,00

-

1,000 0,985

- 1,00

-

0 0,10

 x

PARTE

PARTE

INFERIOR

SUPERIOR

0,75 0,80

- 0,125 - 0,155

0,540 0,510

0,950

0,90

- 0,210

0,450

- 0,125 - 0,035

0,830 0,805

1,00 1,20

- 0,270 - 0,41

0,380 0,22

0,20 0,30

- 0,005 0

0,775 0,745

1,40 1,54

- 0,59 - 0,74

0,03 - 0,125

0,40

- 0,010

0,705

1,60

- 0,80

- 0,19

0,50

- 0,030

0,665

1,80

- 1,05

- 0,43

0,60

- 0,060

0,620

2,00

- 1,31

- 0,70

0,70

- 0,105

0,570

2,50

- 2,10

- 1,50

0,75

- 0,125

0,540

3,00

- 3,11

- 2,50

 C  a  p  í    t    u  l    o I   X 

La presión en el espacio comprendido entre el

El espacio comprendido debajo de la napa está

Desaparece el aire en el espacio ubicado debajo

paramento del vertedero y l a napa vertiente es

lleno de agua y aire. El aire se ha ido arrastrando.

de la napa y éste queda lleno de ag ua. La lámina

menor que la atmosférica y dicho espacio se

El chorro es inestable.

queda adherida al paramento del vertedero.

encuentra lleno de aire. La napa vertiente (el cho rro) no es estable: es oscilante.

4    5    9  

Figur a 9.3 Se aprecia tres casos de napa deprimida

 V   e r   t    e  d   e r   o  s 

 Hidrá ulica de tuberías y canales

 Arturo Rocha

Cuando el espacio antes descrito, ubicado debajo de la napa vertiente, tiene una presión menor que la atmosférica el chorro no tiene descarga libre y se acerca al paramento del vertedero. Se dice entonces que la napa está deprimida. En estas condiciones el chorro se vuelve inestable y el vertedero no resulta adecuado para medir caudales. Puede darse que el espacio debajo de la napa, en el que se produzca una presión menor que la atmosférica, esté libre de agua, parcialmente con agua o totalmente lleno de agua, tal como se aprecia en la Figura 9.3. Finalmente, la napa pasa de deprimida a adherente y adquiere una trayectoria vertical, pegada (adherida) al paramento. Esto se produce con caudales pequeños. Las condiciones de lámina vertiente adherida o deprimida deben evitarse, pues inducen a error en la medición del caudal. Clasificación de los vertederos por el tipo de cresta

Por el tipo de cresta se distingue dos grandes tipos: vertederos en pared delgada y vertederos en pared gruesa. La diferencia está en el tipo de contacto entre la napa vertiente y el paramento. En los vertederos en pared delgada el contacto entre el agua y la cresta es sólo una línea, es decir, una arista. Para que un vertedero se considere en pared delgada no es indispensable que la cresta sea delgadísima como la de la Figura 9.1. La pared puede tener un cierto espesor. Si éste es menor que 2 H / 3  se considera que el vertedero es en pared delgada, como se deduce de la observación de la Figura 9.4 que corresponde a una napa vertiente en cresta delgada. 0,27 H 

0,15 H 

0,23 H   H 

 p

0,85 H 

0,66 H  0,11  H 

2  H  3  p  P 

 P >> H 

Ventilación Figura 9.4 Detalle de las características geométricas de la napa vertiente en un vertedero en pared delgada, convenientemente aireada. Esta figura es un detalle de la Figura 9.1

460

Capítulo IX 

Vertederos

(a)

(b)

(c)

Figura 9.5 Vertederos en pared gruesa, según dibujo de Balloffet

En cambio, en los vertederos en pared gruesa el contacto es un plano. El flujo se adhiere a la cresta. En la Figura 9.5 se observa tres vertederos en pared gruesa. El vertedero tipo c se considera en pared gruesa propiamente dicha, en tanto que los tipos a y b se llaman de pared intermedia. En la Figura 9.1 se observa las características generales de la descarga sobre un vertedero en pared delgada. Se aprecia como se forma la napa vertiente, cuyas dimensiones relativas aproximadas se dan en la Figura 9.4. La cresta del vertedero es aguda (de umbral achaflanado) y el contacto es sólo una línea. En los vertederos en pared delgada la napa se caracteriza porque en todo su contorno la presión es igual a la atmosférica, lo que es indispensable para la correcta medición de caudales. Velocidad de aproximación

Se denomina velocidad de aproximación (velocidad inicial o de llegada) a la velocidad media que corresponde a la sección AB (Figura 9.1) en la que el escurrimiento se produce en toda la sección. Obsérvese que hacia aguas abajo de la sección AB la sección transversal que participa del escurrimiento es menor. La velocidad de aproximación V 0  es

V 0

=

Q  A

=

Q  B ( P + H )

 

(9-1)

siendo  B  el ancho del canal de aproximación. Si el umbral  P  fuese mucho mayor que  H  entonces V 0  tendería a cero. Esta velocidad inicial da lugar a una energía cinética hV   cuya expresión es

hV  = α

V 02 2 g 

(9-2) 461

 Hidrá ulica de tuberías y canales

 Arturo Rocha

Siendo α  el coeficiente de Coriolis. Clasificación de los vertederos por los niveles de aguas abajo

Este es un criterio de clasificación muy importante. En el vertedero libre el nivel de aguas abajo es inferior al de la cresta. En cambio, el vertedero sumergido o incompleto se caracteriza porque el nivel de aguas abajo es superior al de la cresta, tal como se ve en la Figura 9.19. Esto no significa necesariamente, como ha sido claramente señalado por Domínguez, que ‘‘ dicho nivel tenga influencia en el  escurrimiento sobre el vertedero, porque puede suceder que no lo tenga y en cambio otro, aun inferior a la cota del umbral, la puede tener en otras circunstancias. Un vertedero, pues, definido como incompleto o ahogado por la cota del escurrimiento de aguas abajo, no es sinónimo de vertedero influenciado por dicho nivel’’.

Clasificación por las condiciones laterales de descarga

Los vertederos pueden ser con contracciones laterales o sin ellas. Los vertederos con contracciones laterales son aquellos en los que la longitud  L  del vertedero es menor que el ancho  B  del canal de aproximación. Para que se produzca contracciones laterales completas es necesario que la distancia entre cada extremo del vertedero y la pared del canal sea por lo menos de 3 H  . Es recomendable también que la altura  P  del umbral sea por lo menos igual a 3 H  , tal como se ve en la Figura 9.1. Naturalmente que si  B = L  es un vertedero sin contracciones laterales. Clasificación de los vertederos según su forma

Según la forma hay diferentes tipos de vertederos: rectangulares, triangulares, trapeciales, circulares, parabólicos, poligonales y muchas otras posibilidades geométricas, tal como se observa en la Figura 9.6.

Clasificación de los vertederos por la inclinación del paramento

El paramento de los vertederos suele ser vertical, pero puede estar inclinado hacia aguas arriba o hacia aguas abajo, tal como se ve en la Figura 9.7. El vertedero inclinado hacia aguas abajo disminuye la contracción. En consecuencia, para una misma carga  H   el gasto aumenta con la inclinación hacia aguas abajo. Si la inclinación fuese hacia aguas arriba ocurriría lo contrario. Existe también el llamado vertedero entrante, que aparece en la misma figura.

462

Capítulo IX 

(a) Rectangular

(d) Circular

Vertederos

(b) Triangular

(c) Trapecial

(e) Parabólico

(f) Parábola semicúbica

(g) Mixto

(h) Hiperbólico

(i) Proporcional

Figura 9.6 Diferentes formas de vertederos

463

 Hidrá ulica de tuberías y canales

 Arturo Rocha

 H 

(a)

(c)

(b)

Figura 9.7 Vertedero con paramento inclinado (a y b) y vertedero entrante (c)

Vertederos inclinados con respecto a la dirección de la corriente

Los vertederos suelen estar ubicados normalmente a la corriente. Sin embargo, eventualmente, forman un cierto ángulo con ella, tal como se ve en la Figura 9.8.

 B

 L

θ Figura 9.8 Vertedero que forma un ángulo con la dirección de la corriente

Otros tipos de vertederos

Existen otros tipos de vertederos como -

Desarrollados Abatibles Inflables Laterales De Planta Circular (Morning Glory), etc.

 Algunos de ellos se aprecian en la Figura 9.9.

464

Capítulo IX 

Vertederos

Vertedero de planta circular 

Combinación de orificio y vertedero

Vertedero proporcional El caudal es proporcional a la carga  H 

cámara inflable

Vertedero desarrollado

Vertedero Inflable

Figura 9.9 Otros tipos de vertederos

465

 Hidrá ulica de tuberías y canales

 Arturo Rocha

9.2 Vertederos rectangulares. Fórmula teórica de descarga  A continuación se presenta la deducción de la fórmula general de descarga de un vertedero rectangular. En la Figura 9.10 se muestra parcialmente un estanque en una de cuyas paredes hay un orificio rectangular de ancho  L . Los otros elementos característicos se muestran en la figura. 2

α

V 0

2 g 

 y

h2  L

h1

dy

Figura 9.10 Esquema para la deducción de la fórmula de descarga en un vertedero rectangular 

Para efectos de cálculo consideramos que en el orificio hay una pequeña franja de área elemental, de ancho  L  y espesor dy , a través de la cual pasa el siguiente caudal

dQ = VdA = VLdy siendo V   la velocidad correspondiente. Para el cálculo de esta velocidad se aplica el teorema de Bernoulli y se obtiene

  V 02   V  = 2 g  y + α     2  g      Por lo tanto,

  V 02     dQ = 2 g  y + α   Ldy 2  g      466

Capítulo IX 

Vertederos

Integrando se obtiene el caudal a través del orificio h1 +α

Q

=

∫ 

2 3

2 g  1

   2  y + α V       Ldy 2  g     

2 g 

2 0

h2 +α

Q=

V 02

V 02 2 g 

3 3   2 2 2 2 V      V 0       α − + 2 g   h1 + α 0   h 2     L   2 g   2  g          

Esta fórmula es para un orificio. Para un vertedero debe darse que h2 = 0. Si, además, llamamos  H   a h1 , que es la carga, se tiene

Q=

2 3

3 3   2 2 2   V 0     V 0  2     − α   2 g   H  + α  L      2 g     2 g       

(9-3)

que es la fórmula teórica de descarga de un vertedero. Esta fórmula no toma en cuenta la fricción, ni los efectos debidos a la contracción vertical de la napa. En consecuencia, para obtener el gasto real se debe aplicar un coeficiente c  de descarga. Entonces el gasto real es

Q=

2 3

3 3  2 2 2 2   V      V 0    − α   2 g c  H  + α 0      L   2 g   2  g          

(9-4)

El coeficiente de descarga c  se obtiene experimentalmente. Si tuviésemos un vertedero en el que la velocidad de aproximación fuese tan pequeña que pudiese despreciarse, entonces, para V 0 = 0 se obtiene la descarga teórica

Q =

2 3

3

2 g  LH 2

 (9-5)

La descarga real se obtiene aplicando un coeficiente de descarga c  y se llega a

Q =

2 3

3

2 g cLH 2

 (9-6)

467

 Hidrá ulica de tuberías y canales

 Arturo Rocha

que es la ecuación de descarga característica de los vertederos rectangulares. La posibilidad de despreciar la velocidad de aproximación depende de su valor y de la precisión con la que estemos trabajando. Referencialmente se señala que si la sección transversal del canal de aproximación es mayor que 8 LH   se puede despreciar la velocidad de aproximación. Obsérvese que en un vertedero rectangular el caudal es directamente proporcional a la longitud del vertedero y a la potencia 3/2 de la carga. La determinación del coeficiente de descarga c  ha sido objeto desde el siglo XIX de numerosos estudios experimentales. En general, el coeficiente de descarga c  de un vertedero depende de varios factores: carga  H , naturaleza de los bordes, altura del umbral, propiedades del fluido, etc. Las diversas investigaciones experimentales para determinar el coeficiente de descarga se han desarrollado para diferentes condiciones. Cada investigación tiene, en consecuencia, un campo de aplicación. Si nos salimos de él no hay seguridad en los resultados. La aproximación que da cada fórmula es bastante buena, siempre que se aplique dentro de los límites fijados en los trabajos experimentales. En las Figuras 9.1 y 9.4 se aprecia las características generales de la napa vertiente en un vertedero rectangular. Los estudios experimentales han partido de la fórmula teórica 9-3 y han seguido diversos caminos. En algunas investigaciones simplemente se introduce un coeficiente, en otras se introduce una longitud o una carga ficticia para tomar en cuenta los efectos originados en fenómenos no considerados en la deducción de la fórmula teórica. En lo que respecta a vertederos rectangulares hay dos grandes grupos de ellos: sin contracciones y con contracciones laterales. De las numerosas fórmulas existentes se presenta las siguientes: Francis (1852), Rehbock (1911), Bazin-Hegly (1921), Sociedad Suiza de Ingenieros y Arquitectos (1924) y KindsvaterCarter (1959). Obsérvese que si en la fórmula 9-3 consideramos V 02 2 g = hV   y tomamos factor común  H , entonces se obtiene

Q

=

2 3

3 3   2 2 h h         2 g  LH 2 1 + α V    −  α V        H       H       3

  (9-7)

si comparamos esta fórmula con la 9-6 se obtiene una interpretación de un coeficiente de descarga que toma en cuenta el efecto de la velocidad de llegada y cuyo valor es

468

Capítulo IX 

Vertederos

3

hV   2

3

hV   2

 1 + α      − α      H       H   

  (9-8)

9.3 Fórmula de Francis James B. Francis realizó más de 80 experimentos, entre 1848 y 1852, en vertederos rectangulares en pared delgada con el objetivo de encontrar una expresión para el coeficiente de descarga. Francis realizó sus experiencias en Lowell, Massachusetts, dentro de determinadas condiciones, las que constituyen los límites de aplicación del coeficiente de descarga que obtuvo. La mayor parte de las experiencias las hizo con un vertedero de 10 ft de longitud (3,05 m); sin embargo, experimentó también con otras longitudes. En lo que respecta a la carga, ésta estuvo comprendida entre 0,18 m y 0,50 m, que constituyen los límites de aplicación de la fórmula. Se recomienda también que la altura del umbral  P  esté comprendida entre 0,60 m y 1,50 m. Se recomienda también que la relación  L / H   sea mayor que 3. La fórmula obtenida por Francis considera la velocidad de aproximación V 0  y la posibilidad de contracciones laterales. La fórmula de Francis es

Q=

2 3

3 3   2 2 2 nH     V 0    V 0  2    −    2 g 0,622  L −   H +       10     2 g    2 g       

(9-9)

En el sistema métrico se considera

2 3

2 g 0,622 = 1,836 ≈ 1,84

 (9-10)

Obsérvese que el coeficiente 0,622 es adimensional, en cambio el coeficiente 1,84 es dimensional. En el sistema de unidades inglesas se tendría

469

 Hidrá ulica de tuberías y canales

 Arturo Rocha

2 3

2 g 0,622 = 3,33

 (9-11)

En el sistema métrico la fórmula general de Francis queda así 3 3   2 2 2         nH   V 0 V 0 2    Q = 1,84 L −    H  +   −        10    2 g      2 g     

 (9-12)

en la que el caudal Q  está en m 3/s, la longitud del vertedero  L  en metros, la carga  H  en metros, la velocidad de aproximación V 0   en m/s. Se designa como n   el número de contracciones (0, 1, 2). Se observa que el criterio que usa Francis para considerar el efecto de las contracciones es el de considerar que como consecuencia de ellas se produce una reducción de la longitud del vertedero. Aparece así una longitud efectiva

  L − nH    en función del número      10  

n de

contracciones. Obsérvese que si  L ≤ 0,2 H   aparecería cero o un valor negativo para el caudal. Si se considera que la velocidad de aproximación es muy pequeña y que puede despreciarse, entonces V 0  = 0 y la fórmula de Francis queda así 3 nH    2   Q = 1,84 L −   H    10  

 (9-13)

Si, además, no hubiese contracciones laterales, entonces n = 0  y la fórmula de Francis quedaría reducida a 3

Q = 1,84 LH 2

 (9-14)

Para aplicar la fórmula general de Francis (Fórmula 9-9) es necesario recurrir a un método de tanteos y aproximaciones sucesivas, puesto que para calcular V 0   se requiere conocer la carga  H  . Lo que se recomienda es hacer un cálculo preliminar a partir de la fórmula (9-14), asumiendo que la velocidad V 0  de aproximación fuese cero y que no hubiese contracciones. Con ese valor preliminar obtenido se aplica la ecuación general, se compara los resultados obtenidos y se prosigue hasta lograr la aproximación deseada.

470

Capítulo IX 

Vertederos

Si la fórmula es aplicada correctamente y el vertedero fue bien colocado se puede lograr  aproximaciones de ± 3 %. Si se usase el vertedero para medir caudales que den lugar a cargas muy pequeñas, fuera de los límites de aplicación de la fórmula de Francis, se obtendría resultados menores que los reales.

9.4 Otras fórmulas para vertederos rectangulares a) Fórmula de Bazin, ampliada por Hégly

En 1886 Bazin luego de una larga serie de cuidadosos experimentos, estableció una fórmula para calcular la descarga en vertederos rectangulares sin contracciones. En 1921 Hégly publicó, a partir de las investigaciones de Bazin, una nueva fórmula para el cálculo de la descarga de un vertedero rectangular en pared delgada con contracciones o sin ellas. La llamó ‘’fórmula completa de Bazin’’. También se le conoce con el nombre de fórmula de Bazin-Hégly. La fórmula de Bazin-Hégly se aplica a vertederos cuyas cargas estén comprendidas entre 0,10 m y 0,60 m, cuyas longitudes estén entre 0,50 m y 2,00 m y en los que la altura del umbral se encuentre entre 0,20 m y 2,00 m. La fórmula de Bazin-Hégly parte de la ecuación 9-6, de descarga de un vertedero

Q =

2 3

3

2 g cLH 2

en la que para un vertedero con contracciones laterales el valor de c  es 2 2  B − L 0,00405    L      H        + c = 0,6075 − 0,045    1 + 0,55     B  H       B     H + P   

(9-15)

en la que  B  es el ancho del canal. Si el vertedero fuese sin contracciones, entonces  B = L  y el coeficiente de descarga sería 2   0,00405     H        c =  0,6075 +  1 + 0,55      H         H + P      

(9-16)

471

 Hidrá ulica de tuberías y canales

 Arturo Rocha

b) Fórmula de la Sociedad Suiza de Ingenieros y Arquitectos

Esta fórmula de descarga para vertederos rectangulares en pared delgada fue adoptada en 1924. La fórmula parte de la ecuación 9-6 de descarga de un vertedero

Q =

2 3

3

2 g cLH 2

En esta fórmula también hay dos coeficientes, según que haya contracciones o no. El coeficiente c  para un vertedero con contracciones es 2   L      3,615 − 3    2 2     L 1  L  H   B              1 + c = 0,578 + 0,037   +        B   1000 H  + 1,6   2  B   H + P       

(9-17)

 B  es el ancho del canal. Los límites de aplicación de esta fórmula para el coeficiente de descarga en vertederos rectangulares con contracciones son

0,025  L  B

≤ H  ≤ 0,80  m

 L ≥ 0,30 B  m  P ≥ 0,30 B  H   P 

≤1

El coeficiente de descarga c  para un vertedero sin contracciones es

 1    H   2    1 c = 0,6151 + 1 +      1000 H  + 1,6   2   H + P    La carga  H   está en metros. Los límites de aplicación de este coeficiente son 0,025 m

472

< H  ≤  0,80 m

(9-18)

Capítulo IX 

Vertederos

 P ≥  0,30 m  H   P 

≤  1

c) Fórmula de Kindsvater - Carter 

Es una de las fórmulas de mayor confiabilidad. Se aplica a todos los vertederos rectangulares, con contracciones o sin ellas. Fue establecida por C. E. Kindsvater y R. W. Carter y data de 1959. La fórmula es

Q = ce

2 3

3

2 g ( L + K  L )( H + K  H  )2

(9-19)

Como puede apreciarse, en lugar de la longitud del vertedero se usa la ‘‘longitud efectiva’’, que es la suma de la longitud  L  del vertedero más un valor  K  L  que se encuentra a partir de una expresión obtenida experimentalmente y que aparece en la Figura 9.11.  K  H  es un valor igual a 0,001 m, que se adiciona a la carga para constituir la ‘’carga efectiva’’. ce  es el coeficiente de descarga propio de la fórmula. Tiene origen experimental y aparece en la Figura 9.12. 5 4    ) 3    ) 3   m   m   m   m    (    (

     L      L

22

     K      K 11 00 -1 -1

00

0,2 0,2

0,4 0,4

0,6 0,6

0,8 0,8

11

 L  L  B  B Figura 9.11 Gráfico para la determinación de  K  L

Entre los requerimientos para una correcta aplicación de la fórmula están los siguientes. La carga  H   debe medirse a una distancia igual a 4 ó 5 veces la máxima carga. El vertedero debe ser propiamente en pared delgada. La cresta debe ser de 1 ó 2 mm de espesor.

473

 Hidrá ulica de tuberías y canales

 Arturo Rocha

El nivel de la superficie libre de aguas abajo debe estar por lo menos 6 cm debajo de la cresta del vertedero. La carga debe ser superior a 3 cm. El umbral debe ser por lo menos de 10 cm. La longitud del vertedero y el ancho del canal deben ser superiores a 15 cm. La relación entre la carga  H   y la altura  P  del umbral debe ser menor que 2,5. Si la longitud del vertedero es igual al ancho del canal ( L = B ), entonces no hay contracciones.

0,8

 L =1  B

0,75

0,9

0,7

0,8

   e

   c   a   g   r   a   c   s   e    d   e    d   e    t   n   e    i   c    i    f   e   o    C

0,7 0,65

0,6

0,6

0,4 0

0,55 0

0,5

1

1,5

2

2,5

 H   P  ISO (1980)

LMNO

Figura 9.12 Coeficiente de descarga en un vertedero trapecial

Ejemplo 9.1 En un canal de 6 m de ancho se ha instalado un vertedero rectangular en pared delgada,

de 2 m de longitud. La altura del umbral es 1,50 m. Calcular el caudal para una carga de 0,50 m. Solución. Se observa que se trata de un vertedero con dos contracciones y que la distancia de cada

extremo del vertedero a las paredes del canal es apropiada para asegurar buenas condiciones de contracción. Así mismo, la altura del umbral también garantiza una buena contracción. Dadas las dimensiones del vertedero y la carga que se presenta son varias las fórmulas que podrían usarse. Fórmula de Francis

Para iniciar el cálculo se puede usar la ecuación 9-14 cons iderando como que no hubiese contrac ciones ni velocidad de acercamiento importante

474

Capítulo IX 

Vertederos 3

3

Q = 1,84 LH 2

= 1,84 × 2 × (0,50)2 = 1,301 m3/s

Esta sería la descarga del vertedero para las condiciones señaladas ( n

= 0 ; V 0  = 0 ). A partir del caudal

encontrado se puede calcular la velocidad de aproximación (ec. 9-1)

V 0

=

Q  A

=

Q  B( P + H )

=

1,301 6× 2

= 0,108  m/s

Aplicando la ecuación 9-2, para α = 1 , se obtiene

=

hV

V02 2g

= 0,0006 m

Se trata de un valor bastante pequeño, sin embargo vamos a considerarlo y aplicamos la ecuación 9-12

   

Q = 1,84 L −

   

Q = 1,84 2 −

nH    10

3 3  ( H  + hV  )2 − hV  2    

2 × 0,50  

3 3   (0,50 + 0,0006 ) 2 − (0,0006 )2    

10

Q = 1,238  m3/s Obsérvese que este valor del caudal es casi 5 % menor del que se obtuvo suponiend o que no había contracciones y que la velocidad de aproximación era despreciable. Podría hacerse un nuevo cálculo de la velocidad de aproximación y repetir todo el procedimiento, pero como en este caso es tan  pequeña no vale la pena hacerlo. Se hubiera podido partir de la ecuación 9-13, entonces

   

Q = 1,84 L −

nH    32   H  10  

V 0

=

hV

3

= 1,84 × 1,9 × (0,50 )2 = 1,236  m3/s

1,236 12

=

V02 2g

= 0,103  m/s

= 0,0005 m

Q = 1,84 × 1,9 (0, 50 + 0, 0005 ) 2 3



3 − (0,0005 )2  = 1,238  m3/s 

475

 Hidrá ulica de d e tuberías tube rías y canale ca naless

 Arturo  Artur o Rocha

Por lo tanto, según la fórmula de Francis el caudal es 1 ,238 m3/s. Si quisiéramos calcular el coeficiente de descarga con la ecuación 9-8, se obtendría 3

3

        c = 1 + α   −  α   = 1 +  H       H        hV   2

hV 

2

3

0, 0005  2 0 ,50

3

 0,0005  2   −    0,50     = 1,0015      

que es prácticamente igual a la relación entre 1,238 y 1,236 m3/s .

Fórmula de Bazin

El coeficiente c  de descarga para la fórmula de Bazin está dado por la ecuación 9-15 2 2  B − L 0,00405    L      H        c = 0, 6075 − 0,045 045 + 1 + 0,55        B  H       B     H + P   

reemplazando los valores conocidos se obtiene 2 2     6 − 2 0, 00405   2     0 ,50   + c = 0, 6075 − 0,045 045  1 + 0,55 6    0,50 + 1,50      6 0,50            

c

588 = 0,588

y el gasto es Q=

2 3

3

c 2 g  LH  2

= 1,227 227  m3/s

Fórmula de la Sociedad Suiza

Para un vertedero con contracciones el coeficiente de descarga viene dado por la ecuación 9-17 2   L      3, 615 615 − 3    2 2   L    B     1  L    H          c = 0,578 578 + 0, 037 037    +     1 +    B   1000 H  + 1,6   2  B   H  + P       

Reemplazando los valores conocidos se obtiene 2  2      − 3,615 615 3     2 2  2   6    1 2  0,50             c = 0,578 578 + 0, 037 037    + 1 +  2, 00    6   1000 H + 1, 6   2 6         

476

Capítulo IX 

Vertederos

De donde, c

595 = 0,595

El caudal es Q=

2 3

3 2

=

2

Q = ce

2

2 g cLH 

3

3

2 g × 0 ,595 595 × 2 × (0 ,50 )2

= 1, 242 242

m3/s

Fórmula de Kindsvater

Se aplica la ecuación 9-19

3

3

2 g ( L + K  L )( H  +  K  H )2

 K  H   es 0,001 m. Para el cálculo de  K  L  se usa la Figura 9.11 y a partir de

 L  B

= 0,33  se obtiene

 K  L = 0,025 m. Para el cálculo de c e  se usa la Figura 9.12 y para

 H   P 

= 0,33  se obtiene

c e = 0,59

Por lo tanto, Q = 0,59

2 3

3

2 g (2 + 0,0025 )(0,50 + 0,001 001 ) 2

= 1, 237 237  m3/s

CUADRO COMPARATIVO

INVESTIGADOR

Q  (m 3 /s )

Francis

1,238

+ 0,002

0,16 %

Bazin

1,227

- 0,009

0,73 %

Sociedad Suiza

1,242

+ 0,006

0,48 %

Kindsvater

1,237

- 0,001

0,08 %

Promedio

1,236

0

0

ε 3 /s ) (m

%

Al haber aplicado estas cuatro fórmulas se observa que, independientemente del error que cada una de ellas tiene, los resultados son bastante coincidentes y las diferencias con respecto al promedio son inferiores al 1 %.

477

 Hidrá ulica de d e tuberías tube rías y canale ca naless

 Arturo  Artur o Rocha

d) Fórmula de Rehbock

Rehbock realizó desde 1911 numerosas experiencias en el Laboratorio de Hidráulica de Karlsruhe con vertederos rectangulares. Sus experiencias fueron muy cui dadosamente hechas y trató de disminuir la influencia de las condiciones de aproximación. La fórmula de 1929 para el coeficiente de descarga en vertederos rectangulares en pared delgada sin contracciones es 3

 H  0,00009   0,0011 2  c = 0,6035 + 0,0813 + 1+    P   P   H    

(9-20)

 H  y  P  están en metros. El coeficiente c  se aplica a la ecuación 9-6. Se recomienda usar la fórmula para cargas comprendidas entre 0,025 m y 0,60 m.

9.5

Vert Verted eder eros os tria triang ngul ular ares es

Para deducir la fórmula de descarga en un vertedero triangular se plantea la siguiente figura Consideremos el gasto a través de

b

la pequeña franja elemental dx . La longitud de la franja es

 x

b( H  − x )

dx

 H 

2α

 H  El área de la franja es

b ( H  − x )  H 

dx

Considerando a esta franja como un orificio y despreciando la velocidad de aproximación se obtiene el caudal

dQ =

b  H 

( H  − x ) 2 gxdx =

Integrando entre  x = 0  y  x = H   se obtiene

478

b  H 

  12 12   2 g  Hx − x    dx    

Capítulo IX 

Vertederos

Q =

4 15

3

b 2 g  H 2

Pero, b = 2 H tan α , de donde

QTEORICO

Q REA L

=

=c

5

8 15 8

15

tan α 2 g  H 2

(9-21)

5

tan α 2 g  H 2

(9-22)

La fórmula de descarga para un vertedero triangular de un ángulo dado y para coeficiente c constante puede expresarse así 5

Q = KH 2 siendo,

 K  = c

8 15

tan α 2 g 

La necesidad de este coeficiente de descarga c  se justifica porque en la deducción de la fórmula no se ha tomado en cuenta la contracción de la napa y otros efectos que si están presentes en el flujo real. Otra forma de calcular la descarga a través de un vertedero triangular verticalmente simétrico es considerar que la ecuación de uno de los dos lados del triángulo es

 x =  y tan α

 y

dy  H 

α

de donde, el caudal es

Q = 2 2 g c tan α

 H 

∫  0

1

( H  − y )2 ydy

integrando se obtiene 479

 Hidrá ulica de tuberías y canales

 Arturo Rocha

Q

=

5

8 15

2 g c tanα H 2

que es la ecuación de descarga de un vertedero triangular. De un modo similar se puede obtener la descarga para vertederos de otras formas geométricas. La dificultad está en conocer los correspondientes coeficientes de descarga. Si el vertedero estuviese formado por un triángulo asimétrico en el que los ángulos con respecto a la vertical fuesen α1  y α2  se puede considerar el promedio respectivo. Entre las ventajas de los vertederos triangulares se puede citar las siguientes. Como la descarga depende de la potencia 5/2 de la carga se puede tener mayor precisión en la medición de caudales pequeños. Así mismo, en los vertederos triangulares es muy pequeña la influencia de la altura del umbral y de la velocidad de llegada. Para ello se requiere que el ancho del canal de aproximación sea igual o mayor a 5 veces la carga sobre el vertedero.

 B ≥ 5 H 

(9-23)

 A los vertederos triangulares se les suele conocer por su nombre en ingles: V-notch, que literalmente significa escotadura en V  . Los vertederos triangulares son muy sensibles a la rugosidad de la cara de aguas arriba y a la exactitud en la medición de la carga. Para cargas pequeñas influye la viscosidad y la tensión superficial. El coeficiente c  depende de varios factores; entre ellos están el ángulo del vertedero y la carga. La forma de conocer el coeficiente de descarga es mediante estudios experimentales. En el Laboratorio de Hidráulica de la Universidad de Chile los ingenieros L. Cruz - Coke, C. Moya y otros realizaron entre 1923 y 1924 una amplia investigación experimental del flujo en vertederos de 15º, 30º, 45º, 60º, 90º y 120º. En la Figura 9.13, tomada de la Hidráulica de Domínguez, se aprecia los resultados. Para cada ángulo del vertedero y para cada valor de la carga se obtiene el coeficiente m  que es 8/15 del coeficiente de descarga c . Por lo tanto,

c=

15 8

m

El gasto se calcula con la fórmula 9-22. Se determinó, como parte del estudio, que los errores no son superiores al 5 %.

480

Capítulo IX 

Vertederos

m 0,40

2α 15º

0,35

30º 45º 90º 120º

0,30

60º

CRUZ COKE Y MOYA

120º otros ángulos

MIGUEL Y FIGARI 0,25 0

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

 H 

Figura 9.13 Coeficientes de descarga en vertederos triangulares

Es interesante analizar la Figura 9.13. Se observa claramente que para cada ángulo el coeficiente aumenta al aumentar la carga, mientras éstas sean pequeñas. A partir de un cierto valor de la carga, alrededor de 3 ó 4 cm, el aumento de la carga implica una disminución del coeficiente. Finalmente, para valores mayores de la carga (mayores, mientras más pequeño sea el ángulo) se llega a un valor prácticamente constante. Estos valores prácticamente constantes hacia los que tiende el coeficiente de cada vertedero y las cargas respectivas son para cada ángulo los que aparecen en la Tabla 9.2 TABLA 9.2 COEFICIENTES EN VERTEDEROS TRIANGULARES ANGULO ( 2α )

15º

30º

45º

60º

90º

120º

 H  >

0,25

0,205

0,185

0,17

0,14

0,12

m

0,343

0,33

0,325

0,32

0,313

0,322

c

0,643

0,619

0,609

0,6

0,587

0,604

 K 

0,2

0,392

0,596

0,818

1,386

2,471

481

 Hidrá ulica de tuberías y canales

 Arturo Rocha

 Aplicando la Tabla 9.2 se podría tener una fórmula simple para cada vertedero de un cierto ángulo, la que se podría aplicar para valores de la carga  H   mayores que un cierto valor. Así, se tendría 5

Para 15º

Q = 0,2 H 2

(para  H  ≥ 0,25  m) 5

Para 30º

(para  H  ≥ 0,205  m)

Q = 0,392 H 2 5

Para 45º

(para  H  ≥ 0,185  m)

Q = 0,596 H 2 5

Para 60º

(para  H  ≥ 0,17  m)

Q = 0,818 H 2 5

Para 90º

(para  H  ≥ 0,14  m)

Q = 1,386 H  2 5

Para 120º

(para  H  ≥ 0,12  m)

Q = 2,471 H 2

Para el caso particular de los vertederos triangulares de 90º se tiene que 2α = 90º (α = 45º ) y el gasto teórico es

QT  =

8 15

5

5

2

= 2,3612 H 2

2 g  H 

(9-24)

James Thomson (1861) realizó experiencias con vertederos triangulares. Es muy conocida su fórmula para vertederos triangulares de 2α = 90º . Sus experimentos abarcaron cargas entre 5 y 18 cm. Posteriormente (1908) James Barr demostró experimentalmente que la fórmula de Thomson podía extenderse hasta  H  = 30  cm. La fórmula es

Q = 0,593

8 15

5

2 g  H 2

o bien, 5

Q = 1,4 H 2 que es la conocida fórmula de Thomson para vertederos de 90º.  H    está en metros y el caudal Q  en m3/s.  A partir de las mediciones de Thomson y Barr, M. A Barnes presentó la siguiente fórmula

Q = 1,37 H 2 , 48 que es equivalente a la de Thomson y para la cual su autor señala que el error es inferior a 1/5 de 1 %. Obsérvese que fórmulas como la de Thomson y de Barnes sólo son aplicables a partir de un cierto valor de la carga  H   obtenido experimentalmente. 482

Capítulo IX 

Vertederos

9.6 Vertederos trapeciales. Vertedero tipo Cipolletti Los vertederos trapeciales son muy poco usados para medir caudales. En consecuencia, casi no hay información sobre sus coeficientes de descarga. Para el cálculo de la descarga teórica se suele considerar que la sección está conformada por tres partes: una central, que es rectangular, y dos laterales, que son triangulares. Se obtiene así que la descarga en un vertedero trapecial isósceles es

Q = c1

2 3

3

2 g  LH 2

+ c2

8 15

5

2 g tan α H 2

α

α

 H 

 L

Se tiene muy poca información experimental sobre los valores de los coeficientes de descarga de estos vertederos. Balloffet señala que es frecuente considerar c1 = c2 = 0,6 , a pesar de la falta de justificación teórica o experimental. En 1887 el ingeniero Italiano Cipolletti estudió y propuso un tipo especial de vertedero trapecial, cuyas características se señalan a continuación.

Vertedero de Cipolletti Es un vertedero trapecial de determinadas características geométricas.

22d d 

αα  L L

d  d 

 H   H 

El gasto se considera formado de dos partes - Una parte a través de la abertura rectangular. - Otra parte a través de los triángulos.

483

 Hidrá ulica de tuberías y canales

 Arturo Rocha

Por consideraciones geométricas se cumple que

tan α =

d   H 

Los taludes deben calcularse de modo que el aumento del gasto producido por ellos sea precisamente igual a la disminución del gasto causado por las contracciones en un vertedero rectangular de longitud  L . Consideremos que el gasto teórico a través de los triángulos es

8

Q =

15

3

d  2 g  H 2

La disminución del gasto en un vertedero rectangular con dos contracciones se obtiene a partir de una fórmula tipo Francis

Q =

3

2

2 g (0,2 H ) H 2

3

Igualando

8 15

3 2

d  2 g  H 

=

2

 H 

=

3

3

2 g (0,2 H ) H 2

se obtiene

d 

4 1

Es decir, tan α = 1 4  que es la condición de un vertedero tipo Cipolletti. Esto implica α = 14º 2' . Experimentalmente se ha determinado que el coeficiente de descarga de un vertedero Cipolletti es 0,63. El gasto en el vertedero Cipolletti es el correspondiente a un vertedero rectangular de longitud  L , sin contracciones

Q = 0,63

2 3

3

2 g  LH 2

 L  es la base del trapecio. O bien, en el sistema métrico 3

Q = 1,86 LH 2 Para una correcta operación del vertedero Cipolletti se debe cumplir las siguientes condiciones. La carga debe ser mayor que 6 cm, pero debe ser inferior a  L 3 . La altura  P  del umbral debe ser mayor que el doble de la máxima carga sobre el vertedero. La distancia b , señalada en la

484

Capítulo IX 

Vertederos

Figura 9.14, debe ser mayor que el doble de la máxima carga. El ancho del canal de aproximación debe estar comprendido entre 30 H   y 60 H  . La carga debe medirse a una distancia de 4 H   del vertedero.

b  H 

1 0,25

 L  P 

 B Figura 9.14 Vertedero tipo Cipolletti

La corrección por velocidad de aproximación puede hacerse de un modo similar al que se hizo con la fórmula de Francis. El vertedero Cipolletti se usa en mediciones de campo, en distribución de aguas y otros sistemas compatibles con la aproximación de este vertedero. No se recomienda su uso en laboratorios o en mediciones de precisión. Si se cumplen las condiciones de instalación el error puede ser

± 5 %.

9.7 Condiciones para la instalación y operación de vertederos Los vertederos instalados para medir caudales deben reunir una serie de condiciones indispensables para garantizar su confiabilidad. Entre ellas están las siguientes 1. El primer y más importante punto para una buena y confiable medición de caudales con un vertedero es la apropiada selección del tipo de vertedero. Así por ejemplo, un vertedero triangular es muy indicado para medir caudales pequeños (puesto que en ellos el caudal depende de la potencia 5/2 de la carga). En cambio, para medir  caudales relativamente altos, un vertedero rectangular sin contracciones podría ser  el más indicado. Más adelante se señala los errores que se pueden producir en el cálculo del caudal como consecuencia de un error en la medición de la carga.

485

 Hidrá ulica de tuberías y canales

 Arturo Rocha

2. Luego viene la correcta selección de la fórmula. Para cada tipo de vertederos existen numerosas fórmulas de origen experimental. Cada una de ellas tiene un rango de aplicación. Mientras estemos dentro de esos rangos se puede tener una alta aproximación en la medición de caudales. Si estamos fuera de los rangos de experimentación, la confiabilidad del resultado es dudosa. 3. Para un vertedero rectangular con contracciones existen ciertas recomendaciones de carácter general, además de las que pueden originarse en cada fórmula, las que aparecen en la Figura 9.15, debida a G. E. Russell, y que es producto de la recomendación de varios investigadores.

 H 

>3 H 

 L >3 H 

>3 H 

 P >3 H 

Figura 9.15 Valores orientativos de las mínimas distancias a tenerse en cuenta para instalar un vertedero rectangular con contracciones.

Se observa que la longitud  L  del vertedero, el umbral  P  y la distancia a las paredes del canal debe ser por lo menos igual al triple de la máxima carga sobre el vertedero. En estas condiciones la velocidad de aproximación será despreciable. 4. En los vertederos en pared delgada la cresta debe ser aguda, recta y horizontal. El vertedero debe colocarse normalmente a la dirección de las líneas de corriente. Para efectos de una buena conservación se recomienda que la cresta sea de bronce . El vertedero debe colocarse perfectamente vertical y su cara de aguas arriba debe mantenerse lisa. El vertedero debe instalarse en un tramo recto, que lo sea en una longitud no inferior  a 10 veces la longitud  L  de la cresta del vertedero. 486

Capítulo IX 

Vertederos

5. La altura del umbral  P  no debe ser inferior a 0,30 m ni a 3 veces la máxima carga sobre el vertedero. 6. La velocidad de aproximación debe mantenerse pequeña. La sección transversal del canal de aproximación [ B × ( H  + P )]  debe ser por lo menos igual a 6, o mejor  8 veces, la sección de la napa vertiente  LH  . 7. Debe tomarse las medidas pertinentes para que la napa vertiente quede perfectamente aireada. En todo su contorno la presión debe ser igual a la atmosférica. Si fuese necesario, debe instalarse dispositivos de aireación. 8. Si las condiciones de aproximación del flujo no son tranquilas debe colocarse elementos disipadores de energía, es decir tranquilizadores, como pantallas, ladrillos huecos, mallas, etc. 9. La carga debe medirse cuidadosamente, fuera del agua en movimiento, mediante una toma adecuada (principio de vasos comunicantes), a una distancia de aproximadamente cuatro veces la carga ( 4 H  ) de modo que no haya influencia del movimiento rápidamente variado que se origina sobre la cresta del vertedero. Tampoco se debe medir la carga a mayor distancia del vertedero, porque entonces aparecería la influencia debida a la pendiente de la superficie libre del canal. 10.Las condiciones de aguas abajo (nivel del agua) deben ser tales que no influyan en la napa. 11. Los vertederos de dimensiones especiales, que no cumplen las condiciones antes señaladas, deben ser cuidadosamente calibrados.

9.8 Vertederos en pared gruesa (o de cresta ancha) En la Figura 9.16 aparece un vertedero de cresta ancha en el que la longitud de la cresta, plana y horizontal, es b . El vertedero es de descarga libre, es decir, no influenciado por las condiciones de aguas abajo. Para que el vertedero se comporte como de pared gruesa es necesario que el espesor b  de la cresta sea mayor que los dos terceras partes de la carga

2 b ≥  H  3

(9-25)

puesto que si no se cumple esta condición el vertedero podría ser de pared delgada (ver  Figura 9.4) o de pared intermedia. 487

 Hidrá ulica de tuberías y canales

 Arturo Rocha

2

V 0

2 g 

2

V 

2 g   H 

 y = yc

 P 

b

Figura 9.16 Perfil característico de un vertedero en pared gruesa

Se considera que la longitud máxima de b  debe estar alrededor de 15 H  En el vertedero en pared gruesa mostrado en la Figura 9.16 se aprecia el perfil característico de la superficie libre. La energía específica aguas arriba es  H  + V 02 2 g , la que debe ser  igual a la energía sobre la cresta, suponiendo que no haya fricción ni pérdidas de carga y que el coeficiente α  de Coriolis sea igual a 1. Por lo tanto,

 H  +

V 02 2 g 

=  y +

V 2 2 g 

siendo V   la velocidad media del flujo sobre la cresta. De la última ecuación se obtiene que la velocidad media sobre la cresta es

  V 02   V  = 2 g  H + − y     2  g       Aguas arriba del vertedero se ha considerado que el flujo es subcrítico ( F  < 1 ). En la sección correspondiente a la caída, al final de la cresta, se produce un flujo supercrítico  F  > 1 . En algún lugar intermedio, como el mostrado se produce un flujo crítico.

488

Capítulo IX 

Vertederos

El flujo sobre el vertedero es crítico ( y =  yc ) . Es decir, que el flujo resuelve el cruce del vertedero haciéndolo con el mínimo contenido de energía. Si se tratase de una sección rectangular de ancho  L , entonces

  2    H  + V 0   3   2 g     2

 y =  y c

=

 (9-26)

Por lo tanto, el gasto teórico sobre el vertedero es

  V0 2   V0      H + Q = Lyc V = L  H + 2g  3   2g       2g 2

2



  − yc      

De donde, 3

3

2 c

= 3,13 L yc2

Q =  g  L y

 (9-27)

Esta fórmula se suele expresar en función de la energía de aguas arriba 3

Q

2  2 =       3  

  V + 2g  

2 0

g L H

3

 2      

Si la velocidad de aproximación es muy pequeña y/o su efecto se considera indirectamente, entonces el gasto teórico es 3

 2  2 Q =     3  

3

 g  LH  2

 (9-28)

En el sistema métrico el gasto teórico sobre un vertedero rectangular en pared gruesa es 3

Q = 1,7 LH 2

 (9-29)

En el sistema inglés sería

489

 Hidrá ulica de tuberías y canales

 Arturo Rocha 3

 (9-30)

Q = 3,09 LH 2

Para obtener el gasto real deberá introducirse en la ecuación 9-29 un coeficiente de descarga

c . Su valor se obtiene experimentalmente y depende de varios factores 3

 (9-31)

Q = c1,7 LH 2

George E. Russell, presenta algunos valores del coeficiente, provenientes de tres investigadores, para diversos valores de longitud  L  del vertedero, del umbral  P  y de las condiciones del borde de aguas arriba del vertedero. Los resultados aparecen en la Tabla 9.3. Si el nivel del flujo aguas abajo del vertedero fuese mayor que el de la cresta de éste, las condiciones de cálculo serían diferentes.

TABLA 9.3 COEFICIENTES EN VERTEDEROS DE CRESTA ANCHA EXPERIMENTADOR

 L

 P 

CARGA

c 1,7

BORDE DE AGUAS ARRIBA REDONDEADO

Bazin

2

0,75

0,09 a 0,50

1,42 a 1,61

U.S. Deep Waterways Board

2

1,40

0,25 a 1,50

1,55

Woodburn

3

0,53

0,15 a 0,45

1,53 a 1,57

Bazin

2

0,75

0,06 a 0,45

1,33 a 1,45

U.S. Deep Waterways Board

2

1,40

0,27 a 1,50

1,31 a 1,38

Woodburn

3

0,53

0,15 a 0,45

1,44 a 1,45

BORDE DE AGUAS ARRIBA AGUDO

(Todas las dimensiones en metros)

9.9 Vertederos laterales Los vertederos laterales son aberturas (escotaduras) que se hacen en una de las paredes (taludes) de un canal. Su función es la de evacuar el exceso de caudal. En consecuencia, son aliviaderos. A continuación se presenta algunas nociones sobre estos vertederos. En la Figura 9.17 se aprecia el esquema característico de un vertedero lateral de longitud  L practicado en un canal con flujo subcrítico ( F  < 1 )

490

Capítulo IX 

Vertederos

Q0

Q1 Q

 L

h

h0  H 0

Q0

 H 

h1 Q

 P 

Q1

 H 1

i

 x Figura 9.17 Vertedero lateral

Se observa las líneas de corriente y su desvío como consecuencia del vertedero lateral, cuyo caudal es conducido fuera del canal. En la Figura 9.17 se observa la longitud  L  del vertedero y el umbral  P . El caudal inicial en el canal es Q0 . El caudal que pasa por el vertedero es Q y el caudal remanente es Q1 . Evidentemente que Q  es el exceso de caudal que se quiere eliminar del canal.

Q = Q0

− Q1

V 0  es la velocidad correspondiente al caudal Q0  y V 1  lo es del caudal Q1 ,  H 0  es la carga en el punto inicial del vertedero y  H 1 , es la carga en el punto final.  H   es la carga (variable) en cualquier punto del vertedero a la distancia  x   del punto inicial. Como se trata de un régimen subcrítico el valor de la carga h  aumenta desde  H 0  hasta  H 1  en el punto final del vertedero, lo que puede comprobarse experimental y teóricamente suponiendo que la energía es constante a lo largo de la cresta, tal como lo señala Balloffet. Se supone en la siguiente deducción que la variación de la carga es lineal a lo largo del vertedero. Por lo tanto, la carga

491

 Hidrá ulica de tuberías y canales

 Arturo Rocha

a la distancia  x  del punto inicial es

 H  = H 0

+

 H 1 − H 0  L

 x

  (9-32)

El gasto es

Q=

 L

2

∫  3 0

   

c 2 g  H 0

+

 H 1 − H 0  L

3

 2  

 x   dx

(9-33)

De donde, 5

4

Q=

15

c 2g L

5

− H 02 H1 − H 0

H12

(9-34)

Como longitud del vertedero puede considerarse la longitud efectiva, la que siguiendo el criterio de Francis es  L −

nH 

. Si el vertedero es muy largo, más de 10 H  , puede despreciarse el 10 efecto de las contracciones. El coeficiente c se obtiene experimentalmente.

9.10 Errores en el cálculo del gasto como consecuencia de un error en la medición de la carga a) Vertedero rectangular 

La ecuación de descarga de un vertedero rectangular es 3

Q = KH 2 La variación del gasto con respecto a la carga se obtiene derivando la ecuación anterior 

dQ dH 

1

= 1,5 KH 2

de donde, 1

dQ

= 1,5 KH 2 dH 

comparando con el gasto se obtiene,

dQ Q

492

= 1,5 dH   H 

(9-35)

Capítulo IX 

Vertederos

Luego, un error, por ejemplo del 1 % en la medición de  H  , produciría un error de 1,5 % en el cálculo de Q . b) Vertedero triangular 

La ecuación de descarga de un vertedero triangular es 5

Q = KH 2 La variación del gasto con respecto a la carga se obtiene derivando la ecuación anterior  3

dQ = 2,5 KH 2 dH  de donde,

dQ Q

= 2,5 dH 

(9-36)

 H 

En consecuencia, un error del 1 % en la medición de  H   representará un error del 2,5 % en el cálculo de Q .

9.11 Vaciamiento de un depósito por un vertedero El vaciamiento de un depósito se puede producir por medio de un vertedero de cualquier forma y características. La condición de vaciamiento implica que el nivel de la superficie libre sea descendente. Se trata entonces de la descarga de un vertedero con carga variable. El caudal va disminuyendo paulatinamente. Este tipo de vertedero puede presentarse como aliviadero de presas.

 H   H  1

 H   H 1

1

1

 H   H 

 H   H  dH  dH   H   H  22

Depósito

Depósito

 H   H 2

2

 L

 L

Figura 9.18 Vaciamiento de un depósito por medio de un vertedero

493

 Hidrá ulica de tuberías y canales

 Arturo Rocha

En la Figura 9.18 se aprecia un vertedero rectangular de longitud  L  que realiza el vaciamiento de un estanque, entre los niveles  H 1  (nivel inicial) y  H 2  (nivel final).  H   es una carga variable comprendida entre  H 1  y  H 2 . Consideremos que durante un intervalo de tiempo infinitamente pequeño dt , la carga  H  se puede asumir, para efectos de aplicación de una de las fórmulas de vertederos, como si fuese constante. El volumen descargado por el vertedero durante el tiempo dt   debe ser 

dV  =

2 3

3

c 2 g  LH 2 dt 

Este volumen descargado debe ser igual al producto del área de la sección transversal  A  del depósito por dH , que es la variación de niveles. Luego,

2 3

3

c 2 g  LH 2 dt  =  AdH 

(9-37)

Se está suponiendo que el área transversal  A  del estanque es constante. Sin embargo, en muchos casos no lo es. El área  A  puede ser una función de la carga. Una posibilidad es que esta función pueda expresarse matemáticamente de un modo simple. Tal sería el caso, por  ejemplo, de paredes inclinadas 45º u otro ángulo. En los embalses naturales no existe esa función matemática. Se recurre entonces a una sumatoria. También se está suponiendo que el coeficiente de descarga es constante. De la expresión 9-37 se obtiene por integración

t 

0

 AdH 

 H 2

∫  ∫  dt  =

 H 1

2 3

3

=

2

c 2 g  LH 

 A 2 3

 H 2

c 2 g  L

∫ 

 H 1

dH  3

 H 2

Por lo tanto, el tiempo requerido para que el nivel de la superficie libre baje de  H 2  a  H 1  es

t  =

2 3

494

  2 g  L 

2 A c

1  H 2

−

   H 1  1

 (9-38)

Capítulo IX 

Vertederos

Obsérvese que si  H 2  tiende a cero, el tiempo requerido tenderá a infinito, lo que no concuerda con la realidad. Esto se debe a que tanto la carga  H   como el área de descarga estarían aproximándose a cero simultáneamente. En todo caso hay que recordar que las fórmulas para el cálculo de la descarga de un vertedero sólo son aplicables a partir de una cierta carga mínima. Cuando por una razón u otra no es posible integrar se debe recurrir a una sumatoria aplicando las fórmulas conocidas en intervalos muy pequeños. Este método se emplea también cuando el depósito tiene además el aporte de un caudal Q   que a su vez puede ser función del tiempo. La magnitud de los intervalos dependerá de la precisión buscada y de las características de la información disponible. Ejemplo 9.2 Un depósito profundo tiene paredes verticales. La sección transversal es de 30 por 50

metros. En una de las paredes se ha instalado un vertedero rectangular de 0,50 m de longitud. La cresta del vertedero es aguda y se encuentra en la cota 122,30 m. Considerar que el coeficiente de descarga es constante e igual a 0,6. Calcular: a) el tiempo necesario para que el nivel de la superficie libre descienda de la cota 122,50 m a la cota 122,35 m, b) el gasto instantáneo al principio y al final del intervalo, c) el caudal medio durante el intervalo. Solución.

a) Aplicando la ecuación 9-38 se obtiene

t  =

  2 g  L 

2 A 2 3

c

1  H 2

−

  2 × 1 500 =   H 1  2 × 0 ,6 × 2 g × 0,5  1

3

1 0 ,05

−

  0, 20  1

t  = 7 576,7 segundos  b) La ecuación de descarga por el vertedero es (considerando V 0  = 0  y sin contracción). Q=

2 3

c 2 g  LH 

3 2

= 0,885 H 

3 2

Para la condición inicial  H   = 0,20 m y Q  = 0,0792 l/s Para la condición final  H  = 0,05 m y Q  = 0,0099 l/s c) El volumen total descargado es  A( H 1 − H 2 ) = 30 × 50 × 0,15 = 225  m3

495

 Hidrá ulica de tuberías y canales

 Arturo Rocha

El caudal medio es Volumen

=

Tiempo

225 7 576 ,7

= 0,0297

 m3/s

Para realizar el cálculo del tiempo de vaciamiento de un estanque mediante una sumatoria se procede a elaborar una tabla como la 9.4 en la que sólo se ha presentado, como ejemplo, las primeras filas del cálculo correspondiente al ejemplo 9.2. Se procede así 1. Se empieza por considerar n  valores de la carga comprendidos entre  H 1  y  H 2 (columna 1). Para el ejemplo 9.2 estos valores podrían ser 0,20 m, 0,19 m, 0,18 m, etc. 2. Luego se calcula los correspondientes valores de ∆ H  , es decir, ( H 2 − H 1 )  para cada dos valores sucesivos de la carga (columna 2). 3. A continuación se calcula la carga media del intervalo, que es (columna 3).

1 2

( H 1 + H 2 )

4. A partir de la carga media obtenida se calcula el correspondiente caudal de descarga, y se considera los coeficientes que resulten más apropiados (columna 4). 5. Ahora se calcula el volumen descargado que es igual al producto del área transversal correspondiente del estanque, la que puede ser variable, por la diferencia de carga (columna 5). 6. Para obtener el intervalo de tiempo correspondiente se encuentra la relación entre el volumen descargado y el correspondiente caudal (columna 6). 7. Finalmente, se acumula los tiempos parciales y se obtiene el tiempo total.

TABLA 9.4 EJEMPLO 9.2

496

1

2

3

 H 

∆ H 

 H 

0,19 0,18

0,01 0,01

0,195 0,185

0,17

0,01

0,175

4

5

6

Volumen

∆t 

0,0762 0,0704

15 15

196,9 213,0

196,9 409,9

0,0648

15

231,5

641,4 etc.

Q

7 t 

Capítulo IX 

Vertederos

9.12 Vertedero sumergido Se dice que un vertedero está sumergido cuando el nivel de aguas abajo es superior al de la cresta del vertedero. La condición de sumergencia no depende del vertedero en sí, sino de las condiciones de flujo. Un mismo vertedero puede estar sumergido o no, según el caudal que se presente. Las condiciones de aguas abajo, por ejemplo un remanso, pueden determinar que un vertedero quede sumergido. El vertedero sumergido puede ser de cualquier tipo o forma. En la Figura 9.19 se observa un vertedero sumergido en el cual  H  es la diferencia de nivel entre la superficie libre de aguas arriba y la cresta del vertedero; h  es la diferencia de nivel entre la superficie libre de aguas abajo y la cresta del vertedero. Se denomina sumergencia a la relación que existe entre h  y  H .

 H  h

Figura 9.19 Esquema típico de un vertedero sumergido

Los vertederos sumergidos se presentan en diversas estructuras hidráulicas. En ellas el vertedero actúa como un aliviadero, más que como un elemento de aforo. Las fórmulas para el cálculo de la descarga de un vertedero sumergido son menos precisas que las correspondientes a un vertedero libre, razón por la cual no se les usa para medir caudales. Si la relación h  H , es decir la sumergencia, está próxima a la unidad o cuando es muy pequeña, suele presentarse aguas abajo un flujo ondulado, como se aprecia en la Figura 9.20. Es por eso que se recomienda hacer el cálculo sólo para

0,2 ≤

h  H 

≤ 0,8

(9-39)

497

 Hidrá ulica de tuberías y canales

 Arturo Rocha

Figura 9.20 Flujo ondulado que puede presentarse aguas abajo de un vertedero sumergido

Uno de los criterios más antiguos para determinar el caudal en un vertedero sumergido es el Du Buat, de 1816. Este método considera que el gasto total está formado por dos gastos parciales. Q1   que es el que escurre a través de un vertedero libre virtual cuya cresta se supone que coincide con el nivel de aguas abajo y Q2  que es el que escurre por un orificio virtual cuya altura es la diferencia de nivel entre el de aguas abajo y la cresta del vertedero. En consecuencia, para un vertedero sumergido rectangular, de cresta aguda el gasto es

2 Q = c1 3

3 3   2 2 2   V 0    V 0  2   − h   −    2 g  L  H  +    + c2   2 g    2  g          

Q1  = vertedero libre

1

 2 V  − h 2 g  Lh  H  + 2  g    2 0

(9-40)

Q2  = orificio

La precisión de esta fórmula dependerá de la precisión con la que se pueda determinar los coeficientes c1  y c2  para este caso particular. Numerosos investigadores trataron de encontrar  dichos coeficientes, pero los resultados no fueron satisfactorios ni coincidentes. Se suele considerar que c1 = c2 = 0,62 , lo que si bien no tiene mayor justificación teórica resulta útil para los cálculos prácticos.  Algunos autores, como Herschel, resuelven el problema de hallar la descarga en un vertedero sumergido a partir de una modificación de la fórmula de Francis 3

Q = 1,84 L( NH )2

498

(9-41)

Capítulo IX 

Vertederos

en donde  H   es la carga del vertedero considerado como si fuese libre y  N   es un coeficiente de reducción de la carga del vertedero supuesto libre, que depende de la sumergencia. Los valores experimentales obtenidos aparecen en la Tabla 9.5.

TABLA 9.5 VALORES DE  N   PARA USARSE EN LA FORMULA 9-41 h  H 

0,00

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

0,08

0,09

0,0 1,000 1,004 1,006 1,006 1,007 1,007 1,007 1,006 1,006 1,005 0,1 1,005 1,003 1,002 1,000 0,998 0,996 0,994 0,992 0,989 0,987 0,2 0,985 0,982 0,980 0,977 0,975 0,972 0,970 0,967 0,964 0,961 0,3 0,959 0,956 0,953 0,950 0,947 0,944 0,941 0,938 0,935 0,932 0,4 0,929 0,926 0,922 0,919 0,915 0,912 0,908 0,904 0,900 0,896 0,5 0,892 0,888 0,884 0,880 0,875 0,871 0,866 0,861 0,856 0,851 0,6 0,846 0,841 0,836 0,830 0,824 0,818 0,813 0,806 0,800 0,794 0,7 0,787 0,780 0,773 3,766 0,758 0,750 0,742 0,732 0,723 0,714 0,8 0,703 0,692 0,681 0,669 0,656 0,644 0,631 0,618 0,604 0,590 0,9 0,574 0,557 0,539 0,520 0,498 0,471 0,441 0,402 0,352 0,275

Villemonte en 1947, en la Universidad de Wisconsin, estableció una fórmula genérica para vertederos sumergidos de diferente forma

   h  n  Q = Q1 1 −        H   

0 , 385

(9-42)

n  depende del tipo de vertedero (3/2 para vertedero rectangular, 5/2 para vertedero triangular,, etc.), Q1  es el caudal que se produciría si el vertedero fuese libre.

499

 Hidrá ulica de tuberías y canales

 Arturo Rocha

Ejemplo 9.3 En un canal de 6,20 m de ancho en el que el tirante normal es de 1,10 m se instala un

vertedero rectangular sin contracciones y con borde agudo de 0,80 m de umbral. La superficie libre se sobreeleva en 1 m. Determinar el caudal. Solución. V 02 2 g 

 H =

2,10 m

1,30 m

1,00 m

0,30 m

h =

0,30 m 1,10 m

0,80 m

Como no se conoce el caudal no se puede calcular V 0 . Supongamos inicialmente que su valor es cero. El gasto se obtiene a partir de la ecuación

Q = 0,62

3

2

2 g  L ( H − h ) 2

3

+ 0,62

1

2 g  Lh ( H  − h ) 2

Reemplazando los valores conocidos se obtiene

Q  = 11,35 (1,30 - 0,30) 3/2 + 5,11 (1,30 - 0,30)1/2 Q  = 16,46 m3/s Ahora se puede introducir el efecto de la velocidad de aproximación

V 0

=

16,46 6,20 × 2,10

= 1,26  m/s

o o o

V 02 2 g 

= 0, 08  m

Q  = 11,35 (1 + 0,08)3/2 + 5,11 (1 + 0,08)1/2 Q  = 18,05 m3/s Si usamos la fórmula de Francis con los coeficientes de Herschel se tiene h  H 

500

=

0, 30 1,30

= 0, 23

o o o

 N  = 0 ,977 (Tabla 9.4)

Capítulo IX 

Vertederos 3

Q = 1,84 L ( NH ) 2

3

= 11,35 (0,977 × 1,38 ) 2 = 17 ,77  m3/s

Si usamos la fórmula de Villemonte

   h  n  Q = Q1 1 −        H    

0 , 385

= Q1 [1 − ( 0, 23) 3/ 2 ] 0,385 = Q1 × 0,956 3

Q1 = 1,84 LH 2

3

= 1,83 × 6,20 × 1,38 2 = 18, 4  m3/s

Q = 18,4 × 0,956 = 17,59  m3/s

CUADRO COMPARATIVO

FORMULA

RESULTADO

Fórmula completa

18,05 m3 /s

Francis – Herschel

17,77 m3 /s

Villemonte

17,59 m3 /s

Promedio

17,8 m3 /s

501

 Hidrá ulica de tuberías y canales

 Arturo Rocha

PROBLEMA S PROPUESTOS

(Capítulo IX) 1.

Se tiene un vertedero en pared delgada con cresta aguda. Deducir una expresión para la velocidad media, en función de la carga, para una sección transversal correspondiente a la zona de máxima contracción.

2.

Setiene unvertedero en pared delgada concresta aguda. Calcular la carga que debetener el vertedero para que la velocidad en el eje de la napa vertiente en la zona de máxima contracción sea de 0,80 m/s.

3.

En un canal de 7,20 m de ancho se ha colocado un vertedero rectangular en pared delgada de 3,20 m de largo. El umbral es de 2,0 m. Si la carga es 0,61 m calcular el caudal usando varias fórmulas; discutir su aplicabilidad, preparar un cuadro comparativo de los resultados considerando el efecto de la contracción. Calcular la longitud adicional que debería tener el vertedero para compensar el efecto de las contracciones.

4.

En un canal de 3,20 mde ancho se ha instalado a todo lo ancho un vertedero rectangular en pared delgada de 2 m de alto. Se ha medido la carga y se obtuvo 0,61 m. Calcular el caudal. Usar varias fórmulas, discutir su aplicabilidad y preparar un cuadro comparativo de los resultados.

5.

Calcular el ancho que debe tener un canal rectangular que tiene un caudal de 12 m3/s, para que al colocar un vertedero cuyo umbral tiene una altura de 1 m , la superficie libre se eleve 0,20 mpor encima de la cresta. Considerar que el vertedero es de cresta aguda y que el flujo de aguas abajo no influye en la descarga sobre el vertedero. ¿Si la sobreelevación fuese de 0,70 m cuál debería ser el ancho? Comentar las diferencias en el cálculo de ambos casos a propósito de la consideración de la velocidad de aproximación.

6.

Un canal rectangular de 2 m de ancho tiene una pendiente de 0,0007 y un coeficiente C  de Chezy de 53 m1/2/s. Si se coloca un vertedero, sin contracciones, de 1,20 m de umbral y cresta aguda, la carga sería de 0,60 m. ¿Cuál debería ser el ancho del canal para que conservando el mismo tirante normal se comporte como de máxima eficiencia hidráulica?

502

Capítulo IX 

7.

Vertederos

En un canal de 1,20 mde ancho que tiene

 H 

un caudal de 500 l/s se va a instalar una placa como la mostrada en la figura, la que 0,75

da lugar a un orificio y a un vertedero. Si la placa tiene 0,75 m de alto, calcular la

a

abertura a  del fondo para que el orificio y el vertedero descarguen el mismo caudal. 8.

En la figura se muestra dos tanques comunicados por un orificio. El sistema es alimentado de modo que ingresan 500 l/s. El tanque A tiene un vertedero rectangular en pared delgada de 0,80 mde longitud, que descarga libremente. El tanque Btiene un vertedero triangular de 60º. Las cotas respectivas se muestran en el dibujo. Se pide: a) ¿cuál es la descarga de cada vertedero, si el diámetro del orificio es de 8’’?; b) ¿cuál debe ser el diámetro del orificio para que ambos vertederos descarguen el mismo caudal?

109,00 108,00

 A

B 100,80 100,00

9.

El agua que pasaa través deun vertederotriangular de 90º esrecogida enun tanquecilíndrico de 0,80 m de diámetro. Se encontró que para una carga de 0,25 msobre el vertedero el nivel del agua en el tanque cilíndrico aumenta 0,352 m en 4 segundos. Hallar el coeficiente de descarga del vertedero.

10. La expresión general del flujo por un vertedero triangular es del tipo

  H   gH      Q = H 2  gH φ    ν ,θ       expresión en la que

 H  : es la carga,

ν : la viscosidad cinemática, θ  : es el ángulo del vertedero.

503

Experimentos llevados a cabo para el agua en un vertedero de 90º dieron la fórmula

Q = 1,386 H 2, 5  Aplicando lasimilitud dinámica demostrar que el porcentajede error que representael uso de la fórmula práctica para medir el gasto, cuando el fluido es un líquido cuya viscosidad cinemática es 12 veces la del agua, será del 5 % por defecto. 11. Un fluido de viscosidad cinemática ν  pasa a través de un vertedero triangular, de un cierto ángulo, con el objeto de calcular la descarga Q  conociendo la altura H  . Demostrar por medio del análisis dimensional que

Q 5 2

1

 H   g 2

3 1    H 2 g 2     = ϕ     ν      

Para un vertedero con un ángulo de 30º la descarga viene dada por la expresión

Q = 0,392 H 2 ,5 Hallar el gasto en un vertedero similar por el que pasa un fluido que tiene una viscosidad cinemática seis veces mayor que la del agua, cuando la carga  H   es de 25 cm. 12. Se tiene un vertedero triangular en el que el caudal viene dado por la expresiónQ = 0,6 H 5 / 2 . Determinar la precisión con la que debe medirse la carga para que el error resultante no repercuta en un error superior al 1 % al calcular el gasto. 13. Determinar la descarga teórica del vertedero mostrado en la figura

0,50 m

0,50 m

45º

45º

0,90 0,90m m

504

60º

60º

14. Calcular la descarga teórica del vertedero mostrado en la figura, para una carga de 0,12 m.

0,12 m 30º 0,25 m

15. Calcular la descarga teórica del vertedero mostrado en la figura, cuyo ancho en la base es 1,23 m.

 y  y

 H  = 1 m 60º 60 º

 H  = 1 m

 y = x 2  y = x

2

 x 1,23 1,23 mm

 x

16. Deducir la ecuación del gasto enfunción dela carga para un vertedero de sección parabólica. 17. La fórmula de descarga teórica de un vertedero es Q = cH 7 2 . Establecer la forma del vertedero y la ecuación respectiva. 18. Un vertedero rectangular y un vertedero triangular de 90º están colocados en serie en un canal. El vertedero rectangular tiene 2,0 m de longitud. Calcular la carga sobre el vertedero triangular, si para un caudal de 50 l/s la carga sobre el vertedero rectangular es de 0,1 m. 19. En un canal de 9 mde ancho hay un caudal de 18 m3/s. Se va a colocar un vertedero a todo lo ancho del canal, de modo de producir una sobreelevación de 0,40 m en el nivel del agua. La velocidad de aproximación al vertedero debe ser de 0,50 m/s. Calcular la altura que debe tener el umbral del vertedero.

505

TABLAS GENERALES TABLA 1 TABLA DE DIMENSIONES SISTEMA

SISTEMA

ABSOLUTO

GRAVITACIONAL

MLT

FLT

LONGITUD

L

L

 AREA

L2

L2

VOLUMEN

L3

L3

TIEMPO

T

T

CANTIDADES

-1

LT -1

VELOCIDAD

LT

VELOCIDAD ANGULAR

T-1

T-1

 ACELERACIÓN LINEAL

LT -2

LT -2

VISCOSIDAD CINEMATICA

L2 T-1

L2 T-1

GASTO

L3 T-1

L3 T-1

M

FT2 L-1

MLT-2

F

MASA FUERZA

FT2 L-4

DENSIDAD PESO ESPECIFICO

ML-2 T-2

FL -3

VISCOSIDAD DINAMICA

ML-1 T-1

FTL -2

TENSION SUPERFICIAL

MT-2

FL -1

MODULO DE ELASTICIDAD

ML-1 T-2

FL -2

PRESION

ML-1 T-2

FL -2

MLT-1

FT

2

CANTIDAD DE MOVIMIENTO

-2

ENERGIA (Y TRABAJO)

ML T

LF

POTENCIA

ML2 T-3

LFT -1

506

TABLA 2 PROPIEDADES MECANICAS DEL AGUA

Temperatura

Densidad

Peso

Viscosidad

Viscosidad

específico

dinámica

cinemática

T 

ρ

γ 

µ

(ºC)

(Kg - s2/m4)

(Kg/m 3)

(Kg - s/m2)

(m2/s)

0,0

101,94

1 000

1,81 x 10 -4

1,78 x 10 -6

5

101,94

1 000

1,55 x 10 -4

1,52 x 10 -6

10

101,94

1 000

1,33 x 10 -4

1,30 x 10 -6

15

101,94

1 000

1,17 x 10 -4

1,15 x 10 -6

20

101,74

998

1,04 x 10 -4

1,02 x 10 -6

25

101,63

997

0,909 x 10-4

0,894 x 10-6

30

101,53

996

0,815 x 10-4

0,803 x 10-6

35

101,33

994

0,732 x 10-4

0,722 x 10-6

40

101,12

992

0,663 x 10-4

0,656 x 10-6

45

100,92

990

0,606 x 10-4

0,600 x 10-6

50

100,71

988

0,552 x 10-4

0,548 x 10-6

55

100,51

986

0,508 x 10-4

0,505 x 10-6

60

100,31

984

0,468 x 10-4

0,467 x 10-6

65

100,00

981

0,439 x 10-4

0,439 x 10 -6

70

99,69

978

0,410 x 10-4

0,411 x 10-6

75

99,39

975

0,381 x 10-4

0,383 x 10-6

80

98,98

971

0,356 x 10-4

0,360 x 10-6

85

98,67

968

0,336 x 10-4

0,341 x 10-6

90

98,37

965

0,317 x 10-4

0,322 x 10-6

95

98,06

962

0,298 x 10-4

0,304 x 10-6

100

97,66

958

0,287 x 10-4

0,294 x 10-6

 ν

507

TABLA 3 PROPIEDADES FISICAS DEL AIRE (a la presión atmosférica)

Temperatura T 

508

Densidad ρ

Viscosidad

Viscosidad

absoluta

cinemática

µ 3

 ν 2

(cm /s)

-4

0,1322

(ºC)

(gr - masa/cm )

0

1,293 x 10

50

1,093

1,951

0,1785

100 150

0,946 0,834

2,175 2,385

0,2299 0,2860

200

0,746

2,582

0,3461

250

0,675

2,770

0,4104

300

0,616

2,946

0,4782

350

0,567

3,113

0,5490

400

0,525

3,277

0,6246

450

0,488

3,433

0,7035

500

0,457

3,583

0,7840

-3

(dina - s/cm )

2

1,709 x 10

BIBLIOGRAFIA

 AGUIRRE PE, Julián Hidráulica de canales CIDIAT, Mérida, Venezuela, 1974. BALLOFFET, A., GOTELLI, L.M., MEOLI, G.A. Hidráulica Biblioteca EDIAR de Ingeniería, Buenos Aires, 1955. BECERRIL Hidromecánica. BRUSCHIN, J Calcul Hydraulique des canalisations dites “a parois lisses” Boletin Nº 22 de la Escuela Politécnica de Lausanne, Suiza, 1970. BRUSCHIN, J Dimensionnement des canalisations Boletin Nº 25 de la Escuela Politécnica de Lausanne, Suiza, 1793. DOMINGUEZ, Francisco Hidráulica Editorial Universitaria, Santiago de Chile, 1974. DOUGLAS, John F. Solution of problems in Fluid Mechanics Pitman, Londres, 1962. FERRER, Patricio y FUENTES, Ramón Determinación del coeficiente de Boussinesq para un canal colector  Memorias del V Congreso Latinoamericano de Hidráulica, Lima,

1972. FRANKE, P. G. Abfluss über Wehre und Überfälle Technische Hochschule München Bauverlag Wiesbaden und Berlin, 1970. FUENTES, Ramón Escurrimientos reales e imaginarios en canales: paradojas y falacias en el cálculo de curvas de remanso  Anales de la Universidad de Chile, Quinta serie N° 8,

agosto 1985. GANDOLFO, J. S. Altura crítica en los escurrimientos superficiales La Plata, 1944. GILES, Ronald V. Theory and problems of Hydraulics and Fluid Mechanics Colección Schaum, New York, 1956. HENDERSON, F. M. Open Channel Flow The Macmillan Company, U. S. A., 1966. HUGUES, W. F. y BRIGHTON, J. A. Theory and problems of Fluid Dynamics   Colección Schaum, New York, 1967.

509

LEVI, Enzo Mecánica de los fluidos Universidad Nacional Autónoma de México, 1965. LOPARDO, R. A. y VERNET, G. F. Ondas aguas abajo de disipadores a resalto VII Congreso Latinoamericano de Hidráulica, Quito, 1978. MOTT ROBERT, L. Mecánica de fluidos aplicada Editorial Prentice-Hall Hispanoamericana, S. A., México, 1996. NEKRASOV, B. Hidráulica Editorial MIR, Moscú, 1968. NEKRASOV, FABRICANT y KOCHERGUIN Problemas de Hidráulica  Editorial MIR 1972. PARADISE, R. S. Problems in Hydraulics Blackie & Son Limited, Londres, 1964. PAPASOV, Radoy y BOTCHEVA, Mario Les coefficients de Coriolis et Boussinesq concernant les rivieres et les processus aux lits fluviaux Proceedings 15 Congreso de

la I. A. H. R. Vol 1, 1973. ROUSE, Hunter, Fluid mechanics for hydraulic engineers Dover Publications, Inc. New York, 1961. ROUSE, Hunter Hidráulica Editorial Dossat, S.A., 1951. ROUSE, Hunter e INCE, Simon History of Hydraulics Dover Publications, Inc. New York. RUBIO SAN JUAN, I Elementos de Hidráulica General y Aplicada Editorial Labor S. A., 1960. RUSSELL, George E. Hydraulics Henry Holt and Company, New York, 1945. SHAPIRO, Ascher H. Shape and Flow Heinemann, 1961. SCHLAG, Alberto Hidráulica Editorial Limusa - Willey, S.A. México, 1966. SOTELO, Gilberto Hidráulica General Volumen 1 Editorial Limusa, S.A. México, 1974. STREETER, Víctor L. Mecánica de Fluidos Mc Graw-Hill, 2000. STRAUSS, V. The kinetic energy correction factor and the momentum factor in open channels Proceeding 12 Congreso de la I. A. H. R., 1967.

510

THIJSSE, Th Lecture Notes Discharge Formulae Delft, Holanda, 1964. TIETJENS, O. G. Applied Hydro - and Aeromechanics Dover Publications Inc. New York, 1934. (basado en las lecciones de Prandtl). VEN TE CHOW Open-channel hydraulics Mc Graw-Hill Book Company, 1959. VENNARD, John K. Elementos de la mecánica de los fluidos Compañía Editorial Continental S.A., México, 1966 VARLET, Henri Usines de Derivation Tome I Ediciones Eyrolles, Paris, 1958. WECHMANN, Artur Hydraulik VEB Verlag für Bauwesen, Berlin, 1966. WEYRAUCH, R. Hydraulisches Rechnen Stuttgart, 1912.

511

ARTURO ROCHA FELICES PUBLICACIONES

LIBROS

- Introducción a la Hidráulica Fluvial , publicado por la Facultad de Ingeniería Civil de la Universidad Nacional de Ingeniería, Lima, 1998. - Agua para Lima en el Siglo XXI , publicado por el Consejo Departamental de Lima del Colegio de Ingenieros del Perú, junio, 1996. - Recursos Hidráulicos, publicado por el Colegio de Ingenieros del Perú, Capítulo de Ingeniería Civil. Colección del Ingeniero Civil (Libro 16), Lima, 1993. - Seminario: Diseño de Presas de Tierra , con otros autores. Capítulo correspondiente a  Sedimentación dentro del Embalse , publicado por el Comité Peruano de Grandes Presas, Lima, 1993. - Transporte de Sedimentos Aplicado al Diseño de Estructuras Hidráulicas , publicado por el Colegio de Ingenieros del Perú, Capítulo de Ingeniería Civil. Colección del Ingeniero Civil (Libro 1), Lima, 1990. - Wasserableitungen aus Flüssen mit Sedimentbewegung , tesis doctoral. Universidad de Hannover. Memorias del Instituto Franzius, Hannover, Volumen 35, 1970. - Transporte de Sedimentos, coautor, publicado por el Departamento de Hidráulica e Hidrología, Universidad Nacional de Ingeniería, Lima, 1969. FOLLETOS

- Curso Corto sobre Sedimentos, publicado con ocasión del curso organizado por el Instituto Interamericano de Ciencias Agrícolas (IICA), Buenos Aires, 1978. - Introducción Teórica al Estudio de Bocatomas . Lima, 1978. - Control de Avenidas, publicado por la Dirección General de Aguas con ocasión del Segundo Curso Nacional sobre Operación, Conservación y Desarrollo de Distritos de Riego, Lima, 1973. - Modelos Fluviales de Lecho Móvil , publicado como Boletín Técnico 4-007 por el Laboratorio Nacional de Hidráulica, Lima, noviembre de 1966. - Selección de Escalas para un Modelo de Lecho Móvil por medio de la Computación Electrónica, ponencia presentada al II Congreso Latinoamericano de Hidráulica (Caracas, 1966) y publicada en las Memorias del Congreso y reproducida como Boletín Técnico 4-006, por el Laboratorio Nacional de Hidráulica, Lima, agosto de 1966.

512

- Sobre la Influencia de la Aceleración Complementaria de Coriolis en los Modelos Hidráulicos, publicado como Boletín Técnico 4-003, por el Laboratorio Nacional de Hidráulica, Lima, febrero de 1966. - Consideraciones Generales sobre los Modelos Hidráulicos , publicado como Boletín Técnico 4-002, por el Laboratorio Nacional de Hidráulica, Lima, diciembre de 1965. - Incorporador de Sedimentos a un Modelo de Lecho Móvil , publicado como Boletín Técnico 4-001, por el Laboratorio Nacional de Hidráulica, Lima, noviembre de 1965. PONENCIAS EN EVENTOS INTERNACIONALES

-  La problemática de la sedimentación de embalses en el aprovechamiento de los ríos peruanos, aplicada al embalse de Poechos.  Primer Congreso Internacional de Hidráulica, Hidrología, Saneamiento y Medio Ambiente, HIDRO 2006. Lima, 2006. - Aspectos sedimentológicos del Manejo de Cuencas en zonas áridas sujetas al Fenómeno de El Niño. II Simposio Latinoamericano de Control de la Erosión. Lima 2004. - Las Grandes Obras de Riego en la Costa Peruana , ponencia presentada al I Encuentro de las Ingenierías Civiles Iberoamericanas, publicada en las Memorias, Cáceres, España, mayo, 1992. - Problemática de la Sedimentación en los Proyectos de Irrigación , ponencia presentada al VII Seminario Latinoamericano de Riego y Drenaje (Santiago de Chile, diciembre 1983), publicada en las Memorias del Seminario y reproducida en la revista El Ingeniero Civil, Nº 46, Ene-Feb. 1987. - Parámetros Descriptivos de la Distribución de Sólidos en una Bifurcación , publicada en las Memorias Post Congreso del V Congreso Latinoamericano de Hidráulica, Lima, 1972. - Discurso Inaugural del V Congreso Latinoamericano de Hidráulica , publicado en las Memorias del Congreso, Lima, 1972. - Distribution de Materiel Solide dans le Bifurcations des lits alluvionnaires , ponencia presentada al XIV Congreso Mundial de la Asociación Internacional de Investigaciones Hidráulicas (I.A.H.R.), publicada en las Memorias del Congreso, París, 1971. - Sobre la Determinación del Coeficiente de Rizos , coautor, ponencia presentada al III Congreso Latinoamericano de Hidráulica (Buenos Aires, 1968), publicada en las Memorias del Congreso y reproducida como Boletín Técnico 4009, por el Laboratorio Nacional de Hidráulica, enero de 1969.

513

PONENCIAS EN EVENTOS NACIONALES - El dinamismo fluvial y la seguridad de las obras viales frente a eventos hidrometeorológicos extremos: Meganiños y sequías. V Congreso «Obras de Infraestructura Vial» I. C. G. Julio, 2006. - La inundación de Zaña de 1720. XI Congreso Nacional de Ingeniería Civil. Iquitos, 2003. - Aspectos sedimentológicos del manejo de cuencas en zonas áridas sujetas al Fenómeno de El Niño. XI Congreso Nacional de Ingeniería Civil. Iquitos, 2003. - Caracterización hidrometeorológica de los Meganiños en la costa norte peruana. XI Congreso Nacional de Ingeniería Civil. Iquitos, 2003 y reproducido en la revista El Ingeniero Civil N° 135 Set.-Oct. 2004. - El Riesgo Sedimentológico (E.R.S.) en los proyectos de embalse. XI Congreso Nacional de Ingeniería Civil. Iquitos, 2003. - Consideraciones de diseño de estructuras hidráulicas sujetas al Fenómeno de El Niño. XI Congreso Nacional de Ingeniería Civil. Iquitos, 2003 y reproducido en la revista COSTOS Año 09 Edición 118 Enero 2004. - Algunas reflexiones sobre la formación del ingeniero civil. XI Congreso Nacional de Ingeniería Civil. Iquitos, 2003. - Interacción del comportamiento fluvial y las obras viales durante el Fenómeno de El Niño. II Congreso Nacional de Obras de Infraestructura Vial. ICG. Lima, 2003.   - Los modelos como herramienta valiosa para el diseño hidráulico. Conferencia dictada en el ciclo organizado por el Laboratorio Nacional de Hidráulica y publicada en las Memorias. Febrero 2003.   - El Impacto del Fenómeno de El Niño en las Estructuras Hidráulicas , conferencia dictada en el I Foro Regional de Ingeniería Civil del Norte Peruano, publicada en El Ingeniero Civil N° 116, mayo-junio del 2000. - Bases para la Formación del Ingeniero Civil del Futuro , ponencia presentada al X Congreso Nacional de Ingeniería Civil, con otros autores, publicada en El Ingeniero Civil, Nº 94, Ene-Feb. 1995. - El Desarrollo de la Región Grau y el Convenio Peruano-Ecuatoriano de Aprovechamiento Hidrográfico Conjunto , ponencia presentada al VIII Congreso Nacional de Ingeniería Civil (setiembre, 1990), publicada en las Memorias del Congreso y reproducida en la revista El Ingeniero Civil, Nº 69, Nov-Dic. 1990. - ¿Qué pasa con los Grandes Proyectos de Irrigación de la Costa Peruana? , ponencia presentada al Fórum Ingeniería Civil para el Desarrollo Nacional. Facultad de Ingeniería Civil, Universidad Nacional de Ingeniería, marzo, 1987 Revista El Civil, N° 3 Agosto, 1988. - Los Recursos Naturales en la Constitución Política del Perú , ponencia presentada al VI Congreso Nacional de Ingeniería Civil (1986) y expuesta en el Fórum Los Recursos Naturales y la Ingeniería en el Desarrollo del País, organizado por el Colegio de Ingenieros del Perú, abril, 1985.

514

- Sedimentación Acelerada de Embalses, ponencia presentada al IV Congreso Nacional de Ingeniería Civil (noviembre 1982), publicada en las Memorias del Congreso y reproducida en la revista El Ingeniero Civil, Nº 25, Jul-Ago. 1983. - Algunos Aspectos de la Erosión, Transporte y Control de Sedimentos en el Río Amarillo (China), Aplicables a la Realidad Peruana , ponencia presentada al II Congreso Nacional de Ingeniería (marzo, 1981), publicada en las Memorias del Congreso y reproducida por la revista Ingeniería, Nº 12, del Colegio de Ingenieros del Perú (mayo, 1982). - El problema de los sedimentos en los ríos peruanos. II Congreso Nacional de Ingeniería Civil, Arequipa 1978. - Aspectos Hidráulicos del Control de Avenidas , Simposium Deslizamientos (Huaicos) e Inundaciones, Colegio de Ingenieros del Perú, Lima, 1972. ARTICULOS EN REVISTAS

- La costa norte peruana y su vulnerabilidad frente al Fenómeno de El Niño. Revista Técnica del Capítulo de Ingeniería Civil del Colegio de Ingenieros del Perú-CDL, Año 8 N° 29, 2006. - Análisis del comportamiento de los sólidos en una bifurcación. Revista Técnica de la Facultad de Ingeniería Civil, UNI, Año 2, N° 3- Noviembre 2005. - La bocatoma, estructura clave en un proyecto de aprovechamiento hidráulico. Revista Técnica de la Facultad de Ingeniería Civil, UNI, Año 01, N° 2, Noviembre 2005.  - La Ingeniería frente al Fenómeno de El Niño, Revista Técnica de la Facultad de Ingeniería Civil, UNI, Año 01, N° 3, 2003. - El Meganiño de 1578 Revista Técnica del Capítulo de Ingeniería Civil del Colegio de Ingenieros del Perú-CDL, Año 6-N° 28, 2002. - El agua, recurso vital propiedad de todos, Revista Técnica del Capítulo de Ingeniería Civil del Colegio de Ingenieros del Perú-CDL, Año 6 N° 27, 2002. - El impacto del Fenómeno de El Niño en las estructuras hidráulicas , I Foro Regional de Ingeniería Civil del Norte Peruano, Colegio de Ingenieros del Perú. Publicado en la revista El Ingeniero Civil, Nº 116, May-Jun. 2000. - Ingeniería y Recursos Hidráulicos, publicado en el Boletín N°1 de la Academia Peruana de Ingeniería, enero del 2000. - Como se aprende en Hidráulica, publicado en la revista Presas y Reservorios, órgano del Comité Peruano de Grandes Presas. Año 3, N° 003, diciembre 1996. - Agua para Lima el año 2025, publicado en la revista El Ingeniero Civil, Nº 103, Jul-Ago. 1996. - La explosión demográfica, publicado en la revista El Ingeniero de Lima, órgano del Consejo Departamental de Lima del Colegio de Ingenieros del Perú, año 3 N° 8, julio 1996. - Regularización y Control de Ríos, publicado en El Ingeniero Civil, Nº 95, Mar Abr. 1995.

515