YGS Matematik Konu Anlatımlı e-kitap

Sertifika No: 16226 YGS KONU ANLATIMLI e-kitap © Copyright YEDİİKLİM EĞİTİM BİLGİSAYAR YAYINCILIK SAN. TİC. LTD. ŞTİ. Bu kitabın bütün hakları YEDİİKLİM EĞİTİM BİLGİSAYAR YAYINCILIK SAN. TİC. LTD. ŞTİ.ne aittir. Yayınevimizin yazılı izni olmaksızın, kitabın tümünün veya bir kısmının elektronik, mekanik ya da fotokopi yoluyla basımı, yayımı, çoğaltılması ve dağıtımı yapılamaz. Bu kitap, Kültür Bakanlığı bandrolü ile satılmaktadır. Yayın Yönetmeni

Yazar

Redaktör

Emel MAHLUT

YEDİİKLİM - POTA YAYIN KURULU

Nurçe ÇOLAK Mehmet TÜRKYILMAZ

Kapak Tasarımı

Sayfa Tasarımı

Yusuf ÖZALP

YEDİİKLİM

• ADIYAMAN • AFYONKARAHİSAR • AĞRI • ANKARA - ETİMESGUT • ANKARA - SİNCAN • ANKARA • ANTALYA • AYDIN • BALIKESİR - BANDIRMA • BALIKESİR • BATMAN • BİLECİK • BOLU • BURSA - FOMARA • BURSA - GÖRÜKLE • ÇORUM • DİYARBAKIR • DÜZCE • EDİRNE • ELÂZIĞ • ESKİŞEHİR • GAZİANTEP • GİRESUN • HATAY - ANTAKYA • ISPARTA • İSTANBUL - AVCILAR • İSTANBUL - BAKIRKÖY • İSTANBUL - ESENLER • İSTANBUL - GAZİOSMANPAŞA • İSTANBUL - KADIKÖY • İSTANBUL - MECİDİYEKÖY • İSTANBUL - PENDİK • İSTANBUL - ÜMRANİYE • İSTANBUL - SİLİVRİ • İSTANBUL - BÜYÜKÇEKMECE • İSTANBUL - MALTEPE • İZMİR - KARŞIYAKA • İZMİR - KONAK-1 • İZMİR - KONAK-2 • İZMİT • KAHRAMANMARAŞ - ELBİSTAN • KAHRAMANMARAŞ • KARABÜK • KAYSERİ - KARTAL • KAYSERİ • KIRIKKALE • KIRKLARELİ - LÜLEBURGAZ • KIRŞEHİR • KONYA-1 • KONYA-2 • KÜTAHYA • MALATYA • MANİSA - AKHİSAR • MANİSA - DEMİRCİ • MANİSA - SALİHLİ • MANİSA - SOMA • MANİSA • MARDİN - KIZILTEPE • NEVŞEHİR • NİĞDE • ORDU - FATSA • ORDU • RİZE - ÇAYELİ • RİZE • SAKARYA - HENDEK • SAKARYA • SAMSUN • SİVAS • ŞANLIURFA • TEKİRDAĞ - ÇORLU • TEKİRDAĞ • TRABZON • VAN • ZONGULDAK

İletişim YEDİİKLİM Eğitim Bilgisayar Yayıncılık San. Tic. Ltd. Şti.

POTA Yayınları

Zübeyde Hanım Mah. Samyeli Sok. No.: 17 İskitler / ANKARA

Kızılay Mah. Fevzi Çakmak-2 Sok. No.: 38 / 17 06420 Çankaya ANKARA Tel: 0 312 231 38 40 Faks: 0 312 231 38 50 www.potayayin.com

Tel: 0 312 384 64 19 - 20 www.yediiklim.net

Faks: 0 312 384 64 23 [email protected]

www.yediiklim.com.tr

ÖN SÖZ

Sevgili Öğrenciler, Yaşam boyu süren eğitim-öğretim olgusunun ülkemizdeki aşamalarından biri olan ve geleceğinizin şekillenmesinde önemli yapı taşlarından biri sayılabilecek YGS ve LYS’ye hazırlık sürecinde sizlere kaynaklık ve amaçlarınıza giden yolda yol arkadaşlığı etmek üzere elinizdeki kitap serisini hazırlamış bulunmaktayız. Bu kitap serisi ortaöğretim derslerinizi kapsayan konu ve içerikleri bulunduracak şekilde ve sınavda karşılaşabileceğiniz konularla ilgili olabilecek alt başlıklar göz ardı edilmeden hazırlanmıştır. Ülkemizin aydınlık ve çağdaş geleceğinin güvencesi olan öğrencilerimizin duyacakları mutluluk ve gurur, YEDİİKLİM ve POTA ailesi olarak bizlerin de mutluluk ve gurur kaynağı olacaktır. Tüm aday öğrencilerimize sağlık ve başarılarla dolu bir hayat dileriz. YEDİİKLİM - POTA YAYIN KURULU

YGS

TEMEL KAVRAMLAR – I

MATEMATİK

1. BÖLÜM

Doğal Sayılar - Tam Sayılar

Aynı biçimde;

RAKAM

{0, 2, 4, …, 2n, …} kümesine çift doğal sayılar kümesi, {1, 3, 5, …, 2n + 1, …} kümesine tek doğal sayılar küme-

Sayıları ifade etmeye yarayan sembollere rakam denir.

si denir.

10 luk sayı sisteminde kullanılan rakamların kümesi:

Açıklama

{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} dur. SAYI KÜMELERİ DOĞAL SAYILAR N = {0, 1, 2, 3, …, n, …} kümesine doğal sayılar kümesi de-

+

Ç

T

Ç

Ç

T

T

T

Ç

Ç

T

Ç

Ç

Ç

T

Ç

T

n ∈ Z+ iken

nir. En küçük doğal sayı 0 dır.

Çn = Ç

Doğal sayılar kümesi üstten sınırsızdır.

(Kuvvetin çiftlik ya da tekliğe etkisi yoktur.)

Tn = T

SAYMA SAYILARI

0! = 1

N = {1, 2, 3, …, n, …} kümesine sayma sayıları kümesi denir.

1! = 1 Tek

Bu kümeye pozitif doğal sayılar kümesi de denir.

n ∈ N+ ve n ≥ 2 için

0 sayısının pozitif olmadığına dikkat ediniz.

n! çift olur.

+

TAM SAYILAR

!

Z = { …, −n, …, −2, −1, 0, 1, 2, …, n, …} kümesine tam sayılar kümesi denir.

Çiftlik teklik problemlerinde kolaylık olması amacıyla çift sayılar yerine 0, tek sayılar yerine 1 kullanılır.

Z+ = { 1, 2, 3, …, n, …} kümesine pozitif tam sayılar kümesi denir.

Örnek

−

Z = { …, −n, …, −3, −2, −1} kümesine negatif tam sayılar

Aşağıdaki sayıların tek ya da çift tam sayı olup olmadık-

kümesi denir.

larını araştırınız.

Bu tanımlara göre, aşağıdaki sonuçlar yazılabilir:

a) 21 413 . 19 507

1. Z = Z− ∪ { 0 } ∪ Z+ +

b) 10441 – 20110

c) 100 + 1010 + 1020

+

2. N = Z

3. 0 tam sayısı negatif ya da pozitif değildir; işaretsizdir.

Çözüm

− 0 = + 0 = 0 dır. Tek Tam sayılar, Çift Tam Sayılar

a) İki tek tam sayının çarpımı tek tam sayı olduğundan, so-

Tam sayılar kümesi; tek tam sayılar kümesi, çift tam sayılar

nuç tek tam sayıdır.

kümesi olarak da gruplandırılır:

b) 104 sayısı çift olduğundan, 10441 çifttir.

{…, −2n, …, −2, 0, 2, …, 2n, …} kümesine çift tam sayılar

201 sayısı tek olduğundan, 20110 tektir.

kümesi denir.

Çift tam sayı ile tek tam sayının farkı tek tam sayıdır.

{…, −2n + 1, …, −1, 1, …, 2n − 1, …} kümesine tek tam sa-

c) 100 = 1 dir. 1010 ve 1020 çift tam sayıdır. Buna göre, sonuç

yılar kümesi denir.

tek tam sayıdır.

1

YGS Matematik


Örnek

Örnek x ve y tam sayıları için x + 2y = 11 olduğuna göre,

a, b ve c tam sayılar için a > b > c > 0 ve c = a – b dir.

I.

x tek sayıdır.

a ve b nin en büyük ortak böleni 4 olduğuna göre, aşağı-

II.

x sayısı y’den büyüktür.

III.

x ve y’nin her ikisi de pozitiftir.

dakilerden hangisi kesinlikle çift sayıdır? A)

a+b 4 D)

ifadelerinden hangisi her zaman doğrudur? A) Yalnız I

B) Yalnız III D) I ve III

B) a–c 4

b+c 4

C) E)

a+b+c 4

a +c 4

C) I ve II (2006 - ÖSS Mat 1)

E) II ve III (2011 - YGS)

Çözüm I.

Çözüm

,

x, y ∈ Z için (2y) sayısı daima çifttir. x sayısının tek sayı

obeb (a, b) = 4 ise a = 4m ve b = 4n olsun. (m, n ∈ Z+)

olması şarttır.

,

c = a – b = 4m – 4n = 4(m – n) olur.

Xx + Z2y = Y11 tek tek

Seçenekler incelendiğinde;

çift

II. y = 5 için x = 1 olduğuna göre, x sayısı y den büyük olmayabilir. III. y = –1 için x = 13 olduğuna göre, x ve y nin her ikisi de pozitif olmak zorunda değildir. Cevap: A

A)

a + b 4m + 4n = m + n sayısı tek veya çift olabilir. = 4 4

B)

b + c 4n + 4m – 4n = = m sayısı tek veya çift olabilir. 4 4

C)

Örnek

4m a +c = + 4m – 4n = 5m – 4n sayısı da tek veya çift 4 4 olabilir.

D)

a – c 4m – 4m + 4n = = n sayısı tek veya çift olabilir. 4 4

A, B ve C doğal sayıları aşağıdaki özellikleri sağlamaktadır. •

A tek sayıysa B ve C nin her ikisi de çift sayıdır.

E)

a + b + c 4m + 4n + 4m – 4n 8m = = 2m = 4 4 4

•

A çift sayıysa B de çift sayıdır.

sayısı kesinlikle çifttir.

•

B ve C den en az biri tek sayıdır.

Cevap: E

Buna göre, bu sayılardan hangileri çifttir? A) Yalnız A D) A ve B

B) Yalnız B

C) Yalnız C E) B ve C (2009 - ÖSS Mat)

Örnek

Çözüm

a, b, c doğal sayılar ve B ve C den en az biri tek sayı olduğuna göre birincil önerme-

ye (B ve C nin her ikisinin de çift olması) göre A nın tek değil

olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi her zaman çift

çift sayı olduğu anlaşılır. İkinci önerme A nın çift olması duru-

sayıdır?

munda B nin de çift sayı olduğunu ifade ediyor. O halde A ve

A) a . b

B sayıları çift sayılardır.

a + 3b = 2c + 4

B) b . c D) a + c

Cevap: D

C) a + b E) b + c (2004 - ÖSS)

2

YGS Matematik


Çözüm

Ardışık iki tam sayı arasındaki fark

4.

Ardışık iki çift tam sayı n, n + 2 ile de gösterilebilir. An-

a + 3b = \ 2c + 4

3.

+1 veya –1 dir.

cak, burada n çift olmalıdır. Aynı biçimde ardışık iki tek tam sayı n, n + 2 ile gösterilebilir. Burada da n tektir.

çift olduğu için (a + 3b) de çifttir.

Buna göre, ardışık üç tek tam sayı, ya da ardışık üç çift

(2c + 4) çift bir sayıdır. Ancak c sayısı tek veya çift olabilir.

tam sayı n – 2, n, n + 2 ile gösterilebilir.

B, D, E seçeneklerini eleyebiliriz. O halde, A seçeneğindeki a.b ile C seçeneğindeki a + b sayıları incelenmelidir.

Örnek

(a + 3b) nin çift olması için a ve b nin ikisinin de çift veya ikisinin de tek olması gerekir. C seçeneğindeki a + b her

2n – 1 ve n + 50 sayıları ardışık iki tam sayı olduğuna

durumda çift olur.

göre, n tam sayısının alabileceği değerlerin toplamı kaç-

Cevap: C

tır? A) 50

Örnek a, b, c birer tam sayı ve

B) 52

C) 75

D) 100

E) 102

Çözüm

a . b = 2c – 1

olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Ardışık iki tam sayı arasındaki fark +1 ya da –1 dir:

A) a ve b tek sayılardır.

B) a ve b çift sayılardır.

⇒ n – 51 = 1

C) a çift, b tek sayıdır.

⇒n = 52

D) a – b tek sayıdır.

E) a + b tek sayıdır. (2002 - ÖSS)

(2n – 1) – (n + 50) = 1 ⇒ 2n – 1 – n – 50 = 1

(2n – 1) – (n + 50) = –1 ⇒ 2n – 1 – n – 50 = –1

⇒ n – 51 = –1

⇒ n = 50

bulunur. O hâlde, n nin alabileceği değerlerin toplamı

Çözüm

50 + 52 = 102 dir. Cevap: E

a . b = 2c – 1 ise

a.b + 1 = 2c dir.

Örnek

çift

a bir tam sayı olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisinin

a . b + 1 bir çift sayı ise a . b bir tek sayıdır. İki sayının çar-

sonucu kesinlikle çift sayıdır?

pımı tek ise sayıların ikisi de tektir. Yani, a ve b sayıları

B) a2 + 1

A) a – 1

tektir.

2

D) a – 2a + 1

Cevap: A

C) a2 + a 3

E) a

(2001 - ÖSS)

Ardışık Tam Sayılar Art arda gelen doğal sayılara ardışık doğal sayılar, art arda

Çözüm

gelen tam sayılara ardışık tam sayılar denir. 1.

n bir tam sayı olmak üzere;

n ve n + 1 tam sayıları ardışık iki tam sayıdır.

a ∈ Z olduğuna göre, a2 + a = a(a + 1) kesinlikle bir çift sayıdır. Çünkü

n, n + 1, n + 2 tam sayıları ardışık üç tam sayıdır.

a tek ise a + 1 çift olur ve

n – 1, n, n + 1 sayıları da ardışık üç tam sayıdır.

a.(a + 1) = (Tek) . (Çift) = Çift

2.

n bir tam sayı olmak üzere;

a çift ise a + 1 tek sayı olur.

2n, 2n + 2 sayıları ardışık iki çift tam sayıdır.

a . (a + 1) = (Çift) . (Tek) = Çift olur.

2n – 1, 2n + 1 sayıları ardışık iki tek tam sayıdır.

Cevap: C

3

YGS Matematik


Çözüm

POZİTİF - NEGATİF TAM SAYILAR x > 0 ise x pozitif

x y = 2 veriliyor. x sıfır olamaz, yoksa eşitlik sağlanmaz. x ve

x < 0 ise x negatif

y aynı işaretli olmalılar. Eşitliğin sağında pozitif bir sayı var.

0 sayısı pozitif ya da negatif değildir.

x=1

(+) . (+) = (+)

(+) + (+) = (+)

(+) . (–) = (–)

(–) + (–) = (–)

(–) . (–) = (+)

(+) + (–) = Büyüğün işareti

1 olduğunda yani, x tam sayı olduğunda y de tam sayı 2

y=

olacak diye bir durum söz konusu değil. Bu durumda I ve II

doğrudur. Cevap: B

Örnek a, b, c reel sayıları için;

a.b2 < 0

c3.b < 0 c a >0

RİTMİK SAYILARIN TOPLAMI (Aritmetik dizi)

olduğuna göre a, b, c sayılarının işaretleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir? A) +, +, –

Örnek B) –, –, +

D) –, –, –

C) +, –, – 1 + 4 + 7 + 10 + … + 97 ifadesinin değeri kaçtır?

E) –, +, –

Çözüm Çözüm Terim sayısı = Bir sayının çift kuvvetleri daima pozitif olduğu için

b2 > 0 ve b2.a < 0 ⇒ a < 0

c a < 0 ve a > 0 ⇒ c < 0

c < 0 ve c3 b < 0 ⇒ b > 0

Toplam =

!

Cevap: E

97– 1 + 1 = 33 3

97 + 1 ·33 = 1617 bulunur. 2

1+2+3+4+…+n=

n ^n + 1 h 2

2 + 4 + 6 + 8 + … + 2n = n(n + 1) 1 + 3 + 5 + 7 + … + (2n – 1) = n2

Örnek x x ve y gerçel sayıları için y = 2 olduğuna göre,

Örnek

I. x sıfır olamaz. a) 5, 10, 15, 20, ... bir aritmetik sayı dizisi olabilir. Çünkü

II. x ve y nin işareti aynıdır.

terimler beşer beşer artmaktadır.

III. x tam sayıysa y de tam sayıdır.

b) 12, 9, 6, 3, ... bir aritmetik sayı dizisi olabilir. Çünkü terim-

ifadelerinden hangileri her zaman doğrudur? A) Yalnız I

B) I ve II D) II ve III

ler üçer üçer azalmaktadır. C) I ve III

c) 4, 6, 9, 13, ... bir aritmetik sayı dizisi değildir. Çünkü ardı-

E) I, II ve III

şık terimler arasındaki fark aynı değildir.

(2009 ÖSS)

4

6 – 4 = 2; 9 – 6 = 3; 13 – 9 = 4, ... gibi.

YGS Matematik


Örnek

Örnek (28, 86) aralığındaki çift tam sayıların toplamı kaçtır?

22 + 25 + 28 + ... + 61 toplamı kaçtır? A) 521

B) 541

C) 559

D) 581

E) 601

Çözüm 30 + 32 + … + 84 işleminin sonucu

Çözüm

c Bu toplamda terimler üçer üçer arttığından bir aritmetik dizi

84 – 30 84 + 30 + 1 mc m = 28.57 = 1596 bulunur. 2 2

toplamıdır. Terim sayısı = Toplamı =

61 – 22 + 1 = 14 3

22 + 61 . 14 = 581 2

Örnek

Cevap: D

A = 6.7 + 7.8 + … + 32.33 toplamı veriliyor. A sayısındaki her terimin 1. çarpanı 1 azaltılırsa A sayısı kaç azalır?

Örnek Çözüm

Ardışık dokuz tam sayının toplamı 351 olduğuna göre, bu sayıların en büyüğü kaçtır? A) 35

B) 36

C) 41

D) 42

E) 43

(6 – 1).7 + (7 – 1).8 + … + (32 – 1).33 = 6.7 – 7 + 7.8 – 8 + … + 32.33 – 33 .74+474.84+2 É4+432 7 + 8 + … + 33) 164 4 4.33 4 3 – 1(4 4 44 2 4 4 44 3 =A – c

Çözüm

= A – 540

Bu sayılar n, (n + 1), (n + 2), ..., (n + 8) olsun.

33 – 7 33 + 7 + 1 mc m 1 2

A sayısı 540 azalır.

n + (n+1) + (n+2) + ... + (n+8) = 351

⇒ 9n + (1 + 2 + ... + 8) = 351

8.9 = 351 ⇒ 9n + 36 = 351 2 ⇒ 9n = 315

⇒ n = 35

⇒ 9n +

Örnek 2011 – 2010 + 2009 – 2008 + … + 3 – 2 + 1

Bu sayıların en küçüğü n = 35 tir.

işleminin sonucu kaçtır?

En büyüğü n + 8 = 35 + 8 = 43 tür.

A) 1004 Cevap: E

B) 1008

C) 1000

D) 1006

E) 1002 (2011 – YGS)

5

YGS Matematik


Çözüm

Örnek

– 2010 – 2008 3 – 2 +1 12011 444 2 444 3 + 12009 444 2 4 44 3 + … + Z

Bir sokakta, yolun üst tarafındaki evler ardışık tek sayılarla,

İki terimde bir +1 olmakta ve 1005.(+1) = 1005 elde edilir.

Numaralar soldan sağa doğru artmaktadır.

+1

+1

+1

alt tarafındakiler ise ardışık çift sayılarla numaralandırılmıştır.

1005 + 1 = 1006 Cevap: D

Örnek A ve B evlerinin numaraları için A – B = 15 olduğuna göre,

n bir doğal sayı olmak üzere, 63 sayısı,

C ve D evlerinin numaraları için C – D farkı kaçtır?

63 = n + (n + 1) + … +(n + k)

A) 9

biçiminde ardışık doğal sayıların toplamı olarak yazıldı-

B) 11

C) 13

D) 15

ğında n aşağıdakilerden hangisi olamaz? A) 3

B) 6

C) 8

D) 23

E) 17 (2010 – YGS)

E) 31

Çözüm

(2005 – ÖSS)

C = A + 2 ve D = B + 6 dır. C – D = A + 2 – (B + 6) =[ A – B – 4 = 15 – 4 = 11 bulunur. 15

Cevap: B

Çözüm Örnek 63 = n + (n + 1) + (n + 2) + … + (n + k)

102 ile 353 arasında bulunan ve 5 ile kalansız bölünebilen

= 1n44 +4 n2 +… +4n3 + (1 + 2 + 3 + É + k) 44

sayıların toplamı kaçtır?

k + 1 tan e

= n. (k + 1) + = (k + 1). c

k. (k + 1) 2

A) 9875

2n + k m 2

D) 11250

C) 10350 E) 11375 (1996 – ÖYS)

ifadesinde n yerine seçeneklerdeki sayıları yazıp deneyince

Çözüm

n = 23 olamayacağı görülür. 63 =

B) 10100

(k + 1). (k + 46) 2

102 ile 353 arasındaki 5 ile bölünebilen sayılar. 105, 110, 115, … 350 dir.

2 . 7 . 9 = (k + 1) . (k + 46) eşitliğini sağlayan k sayısı bulu-

Bu sayıların toplamı;

namaz.

105 + 110 + … + 350 = 5.(21 + 22 + … + 70)

Cevap: D

 70 ⋅ 71 20 ⋅ 21  = 5⋅ −  = 11375 tir.  2 2 

6

Cevap: E

Çözümlü Test

YGS Matematik

1.

II. a2 + 1

I. a + 2

III. a2 + a

IV. a2 – 2a + 1

6.


Üç basamaklı bir sayının iki basamaklı bir sayıyla çarpımı en az kaç basamaklı bir sayı olur?

V. a3 + a

A) 3

a bir tam sayı olduğuna göre, yukarıdakilerden kaç

B) 4

C) 5

D) 6

E) 7

tanesinin sonucu kesinlikle çift sayıdır? A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

7.

pozitif bir çift sayının farkının mutlak değeri en çok

2. x, y, z sıfırdan farklı birer tam sayı ve

İki basamaklı pozitif bir tek sayı ile iki basamaklı kaçtır?

x+y=z

A) 90

olduğuna göre, x + y + z toplamı aşağıdakilerden

B) 89

C) 88

D) 87

E) 86

hangisi olamaz? A) 16

B) 22

a+b+c 2

C) 24

D) 33

b–c 2

E) 36

I.

b.c a.b Ðc V. 4 2 a, b, c çift tam sayılar olduğuna göre, yukarıdakiler

II. a +

III.

8.

a.b.c 2

3.

Ardışık iki pozitif tam sayıdan küçük olanın 3 katı ile büyük olanın 2 katının toplamı 107 dir.

IV. a +

Buna göre, küçük sayı kaçtır? A) 17

B) 18

C) 19

D) 20

E) 21

den kaç tanesi daima çift sayıdır?

A) 1

4.

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

c = a ve a ≠ 0 ol2 duğuna göre, aşağıdakilerden hangisi daima doğrua ve c birer tam sayı olmak üzere

9.

Ardışık 2 pozitif tek sayının kareleri farkı 120 dir.

Bu sayılardan küçük olanı kaçtır? A) 19

dur? A) c bir çift sayıdır.

B) c pozitiftir.

C) a pozitiftir.

D) a bir çift sayıdır.

B) 21

C) 27

D) 29

E) 31

E) a bir tek sayıdır.

10. n bir doğal sayı olmak üzere, 1 den n ye kadar olan sayıların toplamı x, 4 ten n ye kadar olan sayıların toplamı

5.

y ile gösteriliyor.

a pozitif bir sayı olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi negatiftir?

–2

A) a

x + y = 456 3

B) –(–a) –1

D) a

C) –a

–3

E) (–a)2

ise x in değeri kaçtır? A) 206

7

B) 218

C) 227

D) 231

E) 242

Çözümler


1.

III. a2 + a = a . (a + 1) dir. a ile a + 1 sayıları ardışık iki

6.

sayıdır. Bu nedenle mutlaka biri tek, biri çiftir. Bu du-

Üç basamaklı bir sayı ile iki basamaklı bir sayının çarpımı en az 3 + 2 – 1 = 4 basamaklı olabilir.

rumda çarpımları kesinlikle çift sayı olur.

YGS Matematik

3

IV. a ile a nın ikisi de tek sayıdır ya da ikisi de çift sayı-

Bu soru şöyle de çözülebilir:

Üç basamaklı en küçük sayı 100, iki basamaklı en küçük

dır. Bu nedenle, a3 + a daima çift sayıdır.

sayı 10 dur.

I, II ve V teki ifadeler hem tek sayı hem de çift sayı olabilirler.

Bunların çarpımı 100 . 10 = 1000 olur.

Bu sayı 4 basamaklıdır. Cevap: B

Cevap: B

2.

x + y + z = (x + y) + z

7.

=z+z=2.z

99 – 10 = 89 Cevap: B

olduğundan, x + y + z çift sayıdır. O hâlde, 33 olamaz. Cevap: D

3. a = 2.x , b = 2.y , c = 2.z diyelim. I.

a + b + c 2x + 2y + 2z = = x + y + z dir. 2 2 Bu sayı tek olabilir.

8.

Ardışık iki pozitif tam sayı n ve n + 1 olsun.

3n + 2 (n + 1) = 107 ⇒ 3n + 2n + 2 = 107

⇒ 5n + 2 = 107

⇒5n = 105

⇒ n = 21 bulunur.

2y – 2z b–c = 2x + = 2x + y – z dir. II. a + 2 2 Bu sayı tek olabilir. III.

Cevap: E

a.b.c 2x.2y.2z a.b.c = = 4.x.y.z olduğundan, 2 2 2

daima çift sayıdır. 2y.2z b.c IV. a + = 2x + = 2x + yz dir. 4 4

9.

Ardışık iki pozitif tek sayı n ve n + 2 olsun.

(n + 2)2 – n2 = 120 ⇒ n2 + 4n + 4 – n2 = 120

⇒ 4n + 4 = 120

Bu sayı tek olabilir.

⇒ 4n = 116

V.

2x ⋅ 2y a⋅b −c = − 2 z = 2 xy − 2 z 2 2

⇒n = 29 bulunur.

Cevap: D

Bu daima çifttir.

Cevap: B

4.

10. 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n = x

c = a & c = 2.a dır. O hâlde, c daima çift sayıdır. 2 Cevap: A

1 1 = – 3 tür. a3 a a pozitif olduğundan, a3 pozitiftir.

O hâlde, –

5.

–a –3 = –1.a –3 = –1.

1 negatiftir. a3 Cevap: C

⇒ 1 + 2 + 3 + (4 + ... + n) = x

⇒1 + 2 + 3 + y = x

⇒6 + y = x

⇒y=x–6

olur. Bu değer x + y = 456 da yerine yazılırsa,

x + (x – 6) = 456 ⇒ 2x – 6 = 456

⇒ 2x = 462

⇒ x = 231 bulunur. Cevap: D

8

TEMEL KAVRAMLAR – II

YGS

DOĞAL SAYILARDA ÇÖZÜMLEME

2.

(abc) üç basamaklı bir sayı ise a ≠ 0 dır.

a = b = c olabilir. a, b, c birbirine eşit veya farklı olabilir.

Kullandığımız sayı sistemi 10 tabanındadır. Kullandığımız ra-

(ab) + (ba) = 11 . (a + b) dir.

kamlar {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} kümesinin elemanlarıdır. On

(ab) – (ba) = 9.(a – b) dir.

tabanında iki basamaklı doğal sayı (ab) = 10a + b dir. Buna

n basamaklı bir sayı ile m basamaklı bir sayı-

göre on tabanındaki

nın çarpımı en az n + m – 1 basamaklı bir sayı,

n = (ak ... a2a1a0) 1 10

!

a a a

10 a

a a a

2

10

k

a a a a

en çok n + m basamaklı bir sayı olabilir. n basamaklı en küçük sayı; 10n – 1 dir. n basamaklı en büyük sayı; 10n – 1 dir. 10 n – 1 = 1 1000 4 2…403

a a a

n tan e 0

10 n – 1 = \ 999…9 dur.

n = (ak ... a2 a1 a0) sayısının

n tan e 9

= ak.10k + ... + a2.102 + a1.101 + a0 çözümlenmiş biçimidir.

!

2. BÖLÜM

Doğal Sayılarda Çözümleme - Taban Aritmetiği

MATEMATİK

Örnek

(ab) iki basamaklı bir sayı ise a ≠ 0 dır.

(ab) ve (ba) iki basamaklı sayılar ve a > b dir. Buna göre, (ab) – (ba) kaç farklı değer alabilir? A) 6

Örnek

B) 9

C) 15

D) 13

C) 8

D) 9

E) 10

Çözüm

Üç basamaklı bir doğal sayının sağına 3 yazılarak dört basamaklı A sayısı, aynı sayının soluna 2 yazılarak dört basamaklı B sayısı elde edilmiştir. A + B = 9967 olduğuna göre, üç basamaklı sayının rakamlarının toplamı kaçtır? A) 12

B) 7

(ab) – (ba) = 9(a – b) dir. a ≠ 0, b ≠ 0 ve a > b olduğuna göre, a – b farkı; 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 değerlerini alabilir. Buna göre, (ab) – (ba) farkı 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72 olmak üzere, 8

E) 11

farklı değer alabilir.

(2011 – YGS)

Cevap: C

Örnek

Çözüm

(abc) üç basamaklı bir sayıdır. Üç basamaklı sayı abc olsun

(abc) – (acb) = 27 olduğuna göre, b – c farkı kaçtır?

A = (abc3) + B = (2abc)

A) 1

B) 3

C) 4

D) 5

E) 7

Çözüm

A + B = (abc3) + (2abc) 9967 = 10.abc + 3 + 2000 + abc

(abc) – (acb) = 27

9967 = 11.abc + 2003

(100a + 10b + c) – (100a + 10c + b) = 27

7964 = 11.abc

100a + 10b + c – 100a – 10c – b = 27

724 = abc

9b – 9c = 27

a = 7, b = 2 ve c = 4

9(b – c) = 27 b – c = 3 bulunur.

olduğuna göre, a + b + c = 7 + 2 + 4 = 13 bulunur. Cevap: D

Cevap: B

9


YGS Matematik Matematik

Çözüm

Örnek Üç basamaklı (abc), (cba), (5mn) sayıları için

A)

17 ve 71 ise 1.7 = 7 olur.

(abc) – (cba) = (5mn)

B)

19 asal ancak 91 asal olamaz.

olduğuna göre, a – c + m + n kaçtır?

C)

53 asal ancak 35 asal olamaz.

D)

73 asal ve 37 asal olur.

E)

79 asal ve 97 asal olur.

A) 13

B) 15

C) 19

D) 21

E) 23

Cevap: C

Çözüm Örnek

(abc) – (cba) = (5mn) ⇒ (100a + 10b + c) – (100c + 10b + a) = (5mn)

Birbirlerinden farklı, iki basamaklı üç doğal sayının toplamı

⇒100a + 10b + c – 100c – 10b – a = (5mn)

A dır.

⇒ 99a – 99c = (5mn) ⇒99(a – c) = (5mn)

Buna göre, A kaç farklı değer alabilir?

olur. 500 ≤ (5mn) < 600 olduğundan, a – c = 6 olmalıdır. Çünkü; 99 . 5 = 495 ve 99 . 7 = 693 tür.

A) 262

B) 264

C) 266

D) 268

E) 270 (2005 – ÖSS)

Buna göre; 99 . 6 = (5mn) ⇒ 594 = (5mn) ⇒ m = 9 ve n = 4 tür.

Çözüm

a – c + m + n = 6 + 9 + 4 = 19 bulunur. Cevap: C

Birbirinden farklı 2 basamaklı en küçük 3 sayı 10, 11, 12 ve toplamları 33 tür. Birbirinden farklı 2 basamaklı en büyük üç doğal sayı 99, 98, 97 ve toplamları 294 tür.

Örnek Üç basamaklı ABC ve iki basamaklı AB sayılarının toplamı

Diğer 2 basamaklı sayıların 3 er 3 er toplamları 33 ile 294 arasında olacağı için

392’dir. Buna göre, A + B + C toplamı kaçtır? A) 7

B) 9

C) 11

33 ≤ A ≤ 294 olur ve 294 – 33 + 1 = 262 farklı toplam vardır.

D) 15

E) 19

Cevap: A

(2010 – YGS / MAT)

Örnek

Çözüm

A, B, C birer rakam olmak üzere, ABC + AB = 392 ⇒ 10.AB + C + AB = 392 ⇒ 11.AB + C = 392 ⇒ 11.AB + C = 11.35 + 7 olduğu için AB = 35 ve C = 7 dir. A + B + C = 3 + 5 + 7 = 15 bulunur.

C
C) 90

D) 108

E) 120 (2005 – ÖSS)

Çözüm

Cevap: D

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ve 9 rakamlarından herhangi 3 tanesini seçtiğimiz zaman

Örnek

C < B < A olacak şekilde bir üç basamaklı ABC doğal sayısı oluşturabiliriz. Bu yüzden, elde edilebilecek tüm üç basamaklı sayıların sayısı

İki basamaklı bir AB sayısı asal olduğunda BA sayısı da asalsa AB ye simetrik asal denir. Bir AB simetrik asal sayısı için A.B çarpımı aşağıdakilerden hangisi olamaz? A) 7 B) 9

B) 81

C) 15

D) 21

c

E) 63

10 10.9.8 = 120 tanedir. m= 3.2.1 3 Cevap: E

(2010 – YGS)

10

Doğal Çözümleme Doğal Sayılarda Sayılar - Tam Sayılar - Taban Aritmetiği

YGS Matematik

Örnek

TABAN ARİTMETİĞİ

(23)5 sayısının on tabanındaki eşitini bulunuz.

Günümüzde sayılar onluk sistemde yazılmaktadır. Bu sistemde kullanılan rakamlar kümesinin

Çözüm

{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} olduğunu biliyoruz. Her doğal sayı, n ≥ 2 olmak üzere n ta-

(23)5 = 2 . 5 + 3 = 13 tür.

banında bir ve yalnız bir türlü yazılabilir. sayılar n tabanında yazıldığında yazılan sayıların (rakamların) her biri “n” den küçüktür. İkilik sayı sisteminde 0, 1 rakamları kullanılır. Beşlik

Örnek

sayı sisteminde 0, 1, 2, 3, 4 rakamları kullanılır.

(301)4 sayısının on tabanındaki eşitini bulunuz.

Örnek Çözüm

(201)4 sayısı dört tabanında “iki sıfır bir” diye okunur.

(301)4 = 3 . 42 + 0 . 4 + 1

Örnek Üçlük sayı sisteminde üç basamaklı en büyük sayı (222)3, en

= 48 + 0 + 1 = 49 dur.

Örnek

küçük sayı (100)3 tür.

a bir rakam olmak üzere, (1a4)6 sayısının on tabanında alabileceği en büyük değer kaçtır?

Örnek

A) 56

Altılık sayı sisteminde üç basamaklı en büyük sayı, (555)6 ; en

B) 63

C) 65

D) 70

E) 72

Çözüm

küçük sayı (100)6 dır.

Sayının on tabanında en büyük olması için a rakamı en büyük değerini almalıdır. Altı sayı tabanında en büyük rakam 5 tir.

Herhangi Bir Tabanda Verilmiş Sayıyı On Tabanına Göre

Buna göre, a = 5 tir.

Yazmak

(154)6 = 1 . 62 + 5 . 6 + 4

n ≥ 2 olmak üzere, n tabanında verilen herhangi bir sayıyı 10

tabanına çevirmek için sayının basamak çözümü yapılır, iş-

= 36 + 30 + 4 = 70 Cevap: D

lemler 10 tabanında sonuçlandırılır.

(ba)n = b . n + a

(cba)n = c . n2 + b . n + a

3

Örnek (11010)2 sayısını on tabanına çeviriniz.

2

(dcba)n = d . n + c . n + b . n + a

dır. Bu ifadelerde a, b, c, d harfleri n tabanında bir rakamı ifa-

Çözüm

de etmektedir. Her birinin değeri n den küçüktür. Eşitliklerin sağ tarafındaki işlemler 10 tabanında yapılarak,

(11010)2 = 1.24 + 1.23 + 0.22 + 1.21 + 0.1

verilen sayının 10 tabanındaki eşiti bulunur.

11

= 16 + 8 + 2 = 26 dır.



On Tabanında Verilmiş Bir Doğal Sayıyı n Tabanına Göre Yazmak

!

Bir A doğal sayısını n tabanında yazmak için bölme metodu

Herhangi bir tabandaki sayıyı başka bir tabana çevirmek için sayı önce on tabanına çevrilir, sonra istenen tabana geçilir.

uygulanır. Bunun için A doğal sayısı n ye bölünür; bölüm n1, kalan k1 ol-

Örnek

sun. n1 > n ise aynı biçimde n1 sayısı n ye bölünür; bölüm n2, kalan k2 olsun. Bölüm, 0 olana kadar bu işleme devam edilir.

(2031)4 sayısının 7 tabanındaki eşitini bulunuz.

Elde edilen kalanlar birler basamağından itibaren yazılarak A

Çözüm

sayısı (... k2k1)n biçiminde n tabanına çevrilmiş olur.

(2031)4 sayısını önce on tabanında yazalım:

Örnek

11 sayısının üç tabanındaki eşitini bulunuz.

(2031)4 = 2 . 43 + 0.42 + 3.4 + 1

= 141 dir.

Bu sayıyı 7 tabanına çevirmek için bölme yapalım:

Çözüm Buna göre; (2031)4 = (261)7 olur.

Yukarıda açıklandığı gibi bölme işlemlerini yapalım: 11 3

– 9

3

3

– 3

2

3 1

1

3

!

– 1

Kalanları sırasıyla birler basamağından itibaren yazarak

Farklı tabandaki sayılar arasında işlem yapılacaksa, sayılar on tabanına çevrilir. İstenen işlem yapılır; sonuç, istenen tabanda yazılır.

Örnek

11 = (102)3 bulunur.

(231)4 + (102)3 toplamının beş tabanında değeri kaçtır?

Örnek

Çözüm

283 sayısını beşlik sayı sisteminde yazınız.

(231)4 = 2.42 + 3.4 + 1 = 32 + 12 + 1 = 45

(102)3 = 1.32 + 0.3 + 2.1 = 9 + 0 + 2 = 11 (231)4 + (102)3 = 45 + 11 = 56 dır.

Çözüm

Sonuç beş tabanında istendiğinden 56 yı 5 tabanına çevirelim:

Yukarıda açıklanan metodu kullanalım:

56 – 55 1

5 11

11 – 1

5

5 –

1

Kalanlar yazılırsa; 56 = (211)5 olur. Buna göre, (231)4 + (102)3 = (211)5 tir.

Bu bölme işleminde elde edilen kalanlar sondan itibaren yazılarak; 283 = (2113)5 elde edilir.

12

Doğal Çözümleme Doğal Sayılarda Sayılar - Tam Sayılar - Taban Aritmetiği

YGS YGSMatematik Matematik

Çözüm

Örnek (2a1)4 > (10a)6 olduğuna göre, a nın alabileceği değerlerin

Kesri 2 ile genişleterek paydasını 6 nın kuvveti biçimine ge-

toplamı kaçtır?

tirelim:

A) 2

B) 3

C) 4

D) 5

E) 6

59 59.2 118 = = 18 18.2 36 Elde edilen kesrin payını ve paydasını altı tabanına çevirelim ve bölme işlemini yapalım:

Çözüm

118 (314) 6 = = (3, 14) 6 bulunur. 36 (100) 6

(2a1)4 = 2.42 + a.4 + 1 = 33 + 4a (10a)6 = 1.62 + 0.6 + a = 36 + a

Herhangi Bir Tabandaki Sayının Tek ya da Çift Olması

olduğundan, 33 + 4a > 36 + a ⇒ a > 1 dir. Sayı tabanı 4 olduğundan, 0 ≤ a < 4 olmalıdır.

A = (akak–1 ... a1a0)n sayısının tek ya da çift olduğu şöyle be-

Buna göre, a’nın alabileceği değerler toplamı 5’dir.

lirlenir:

Cevap: D

1. n çift olsun. a) a0 çift ise A çift sayıdır.

Aynı tabandaki sayılar arasında dört işlem doğrudan yapılabi-

b) a0 tek ise A tek sayıdır.

lir. Bunun için on tabanında uygulanan kurallar o tabana göre

2. n tek olsun.

uygulanır.

a) ak + ... + a1 + a0 toplamı çift ise A çift sayıdır. b) ak + ... + a1 + a0 toplamı tek ise A tek sayıdır.

Örnek Aşağıdaki işlemleri inceleyiniz.

Örnek

a) (2)5 + (3)5 = (10)5

a) (4023)6 sayısında taban çift ve birler basamağı tek oldu-

b) (4)7 + (3)7 = (10)7

(5)7 + (3)7 = (11)7

(5)7 + (4)7 = (12)7

ğundan sayı tektir. b) (542)8 sayısında taban çift ve birler basamağı çift olduğundan sayı çifttir.

c) (3)8 + (5)8 = (10)8

c) (10456)7 sayısında taban tek ve sayısının rakamları top-

(4)8 + (5)8 = (11)8

lamı 16 olduğundan sayı çifttir.

d) (2)6 . (3)6 = (10)6

d) (40201)5 sayısında taban tek ve sayının rakamları topla-

(4)8 . (2)8 = (10)8

mı 7 olduğundan sayı tektir.

e) (2)5 . (3)5 = (11)5

(3)5 . (10)5 = (30)5

Örnek A = (2131a)5 sayısı tek olduğuna göre, a nın alabileceği

Örnek

kaç farklı değer vardır?

59 sayısını altı tabanında ondalık olarak yazınız. 18

A) 1

13

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5



Çözüm

Çözüm

Taban tek olduğundan, rakamların toplamı tek olmalıdır:

97 = (241)m

2+1+3+1+a=7+a

⇒ 97 = 2.m2 + 4 . m1 + 1 . m0

toplamı tek olmalıdır.

⇒ 97 = 2m2 + 4m + 1

a < 5 olduğuna göre, a nın alabileceği değerler;

⇒ 0 = 2m2 + 4m – 96

0, 2, 4 tür.

⇒ 0 = m2 + 2m – 48

Cevap: C

–6

8

0 = (m – 6) . (m + 8) m = 6 veya m = –8 olur.

Örnek

(Taban –8 olamaz.) Cevap: D

4

8 doğal sayısı 4 tabanına göre yazıldığında, kaç basamaklı bir sayı elde edilir? A) 4

B) 5

C) 6

D) 7

E) 8 (2001 – ÖSS)

Örnek 4, sayı tabanını göstermek üzere, (213)4 x (23)4 çarpma

Çözüm

işleminin sonucu 4 tabanına göre aşağıdakilerden hangisidir?

84 = (4.2)4 = 44 . 24 = 44 . 42 = 46

A) 13231

am sayısı a tabanına göre yazıldığında (m + 1) basamaklı bir

B) 13221

sayı elde edilir.

D) 12321

C) 13213 E) 12231 (1996 – ÖSS)

46 sayısı, 4 tabanına göre yazıldığında 6 + 1 = 7 basamaklı bir sayı elde edilir. Cevap: D

Çözüm (213) 4

Örnek x

1311

10 ve m sayı tabanını göstermek üzere,

B) 8

C) 7

4

1032

(97)10 = (241)m

(12231) 4

olduğuna göre, m kaçtır? A) 9

(23)

D) 6

E) 5

Cevap: E

(1997 – ÖSS)

14

Çözümlü ÇözümlüTest Test– I

YGS Matematik

1.

6.

n tabanına göre, 101 sayısı 10 tabanına göre 50 ye B) 5

C) 6

D) 7

Beşlik sayma düzeninde üç basamaklı en büyük sayının sekizlik sayma düzeninde eşiti kaçtır?

eşit olduğuna göre n aşağıdakilerden hangisidir? A) 4


E) 8

A) (222)8

2.

10 ve m sayı tabanını göstermek üzere,

(49)10 = (121)m

olduğuna göre m kaçtır? A) 9

B) 8

C) 7

D) 6

E) 5

7 tabanındaki (356)7 sayısının bir fazlası aynı tabanA) 357

B) 360

C) 363

D) 365

5, sayı tabanını göstermek üzere,

çarpımı, 5 tabanına göre kaçtır?

8.

(123)5 . (32)5

A) 100321

274 doğal sayısı 9 tabanına göre yazıldığında, kaç A) 4

B) 5

C) 6

D) 7

B) 11

E) 14

eşitsizliğini sağlayan kaç tane x doğal sayısı vardır? B) 99

C) 100

D) 199

E) 999

2 ve 5 sayı tabanını göstermek üzere,

D) 13

(101)5 < x < (1001)5

A) 90

5.

C) 12

5 sayı tabanıdır.

E) 8

D) 141 E) 104

olduğuna göre, m + n nin en küçük değeri kaçtır?

9.

basamaklı bir sayı elde edilir?

C) 10041

(25)m = (31)n

A) 10

4.

B) 100111

m ve n sayı tabanlarıdır.

E) 366

D) (147)8 E) (177)8

da nasıl yazılır?

C) (174)8

7.

3.

B) (202)8

10. 30 • 210 sayısı sekiz sayı tabanında kaçtır?

(2a)5 = (1011)2

olduğuna göre, a kaçtır? A) 0

B) 1

C) 2

D) 3

E) 4

A) (36000)8

15

B) (36300)8

D) (74000)8

C) (30320)8 E) (77000)8


1.

Çözümler – I

(101)n = 50 ⇒ 1 . n2 + 0 . n + 1 = 50

6. Beşlik sayma düzeninde üç basamaklı en büyük sayı

⇒ n2 + 1 = 50

⇒ n2 = 49

⇒ n = 7 dir.

YGS Matematik

(444)5 tir. Cevap: D

(444)5 = 4 . 52 + 4 . 5 + 4 = 4 . 25 + 20 + 4

= 124 124 – 4

2. 49 = (121)m ⇒ 49 = m2 + 2m + 1

8 15

–

15

8 1

–

1

8

1

Buna göre, (444)5 = (174)8 dir. Cevap: C

2

⇒ m + 2m – 48 = 0

⇒ (m + 8)(m – 6 ) = 0

⇒ m = –8 ve m = 6 bulunur.

⇒ m = – 8 olamaz m = 6 dır

(123)5

7.

x

(32)5

(301)5 (424) x 5

Cevap: D

(10041)5

Cevap: C

3. +

(356)7

8. m + n nin en küçük olması için m nin ve n nin en küçük

(1)7

olması gerekir.

(360)7

Cevap: B

(25)m = (31)n ⇒

2.m+5=3.n+1

⇒ 2.m+4=3.n

dir. Bu eşitlikte, m ≥ 6 ve n ≥ 4 tür.

m = 6 için bir n değeri bulunamaz.

m = 7 için n = 6 olur.

O hâlde, m + n = 13 tür. Cevap: D

4. 274 = (33)4 = 312

= (32)6 = 96

= (1 000 000)9

9. (101)5 < x < (1001)5 ⇒ 1 . 52 + 1 < x < 1 . 53 + 1

olduğundan, 7 basamaklı bir sayı elde edilir.

⇒ 26 < x < 126

Cevap: D

dır. 26 ile 126 arasındaki doğal sayıların sayısı;

125 – 27 + 1 = 99 dur. Cevap: B

5. (2a)5 = (1011)2 ⇒ 2 . 5 + a = 1 . 23 + 0 . 22 + 1 . 2 + 1

10. 30 . 210 = 30 . 2 . 29

⇒ 10 + a = 11 ⇒ a = 1 bulunur.

= 60 . 83

= (74)8 . 83

Cevap: B

= (74000)8

(60 = (74)8 dir.) dir. Cevap: D

16

Çözümlü Çözümlü Test Test – II

YGS Matematik

1.

6.

Üç basamaklı 6AB sayısı iki basamaklı AB sayının 26 katıdır.

Üç basamaklı abc sayısının birler basamağı 4 tür. Birler basamağı ile yüzler basamağı yer değiştirdiğinde oluşan yeni sayı, abc sayısından 297 küçüktür.

Buna göre, A + B toplamı kaçtır? A) 2


B) 3

C) 5

D) 6

E) 9

Buna göre abc sayısının yüzler basamağı kaçtır? A) 2

2.

7.

Üç basamaklı 4AB sayısı, iki basamaklı BA sayısının 13

B) 4

C) 5

D) 6

E) 7

Bu koşulları sağlayan kaç tane beş basamaklı ABCDE sayısı vardır?

8.

İki basamaklı bir sayının, rakamlarının yerleri değiştirilir-

4.

C) 3

D) 4

D) 5

E) 4

1, 2, 3, 4, 5, 6 rakamları kullanılarak yazılan, rakamları

Bu koşulları sağlayan en büyük ABCDEF sayısının

den hangisidir? B) 2

C) 6

A + B = C + D = E + F dir.

Bu sayının rakamları arasındaki fark aşağıdakilerA) 1

B) 7

birbirinden farklı, altı basamaklı ABCDEF sayısında

se, sayı 27 büyüyor.

E) 9

1, 3, 6, 7, 9 rakamlarını kullanarak yazılan, rakamları

A) 8

3.

D) 7

A + B = D + E dir.

Buna göre, A + B kaçtır? A) 3

C) 5

birbirinden farklı, beş basamaklı ABCDE sayısında

katından 7 fazladır.

B) 3

birler basamağındaki rakam kaçtır?

E) 5

A) 1

a, b rakamlarından oluşan iki basamaklı ab sayısı, ra-

9.

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

Rakamları sıfırdan farklı, beş basamaklı bir sayının

kamları toplamının x katı, ba sayısı rakamları toplamı-

yüzler ve binler basamağındaki rakamlar yer değiş-

nın y katıdır.

tirdiğinde elde edilen yeni sayı ile eski sayı arasın-

Buna göre, x + y toplamı kaçtır?

daki fark en çok kaç olabilir?

A) 8

B) 9

C) 10

D) 11

E) 12

A) 8000

B) 7800

C) 7500

D) 7200 E) 7000

10. Her biri en az iki basamaklı olan 10 tane sayı vardır.

Bunlardan her birinin birler basamağındaki rakam,

5.

ABCD ve ACBD dört basamaklı birer sayıdır.

Bu iki sayının farkı 540 olduğuna göre, |B – C| farkı

mağındaki rakam 1 büyütülürse bu 10 sayının topla-

kaçtır?

mı ne kadar artar?

A) 3

B) 4

C) 5

D) 6

sayısal değeri bakımından 1 küçültülür, onlar basa-

A) 80

E) 8

17

B) 89

C) 90

D) 99

E) 101

Çözümler – I


YGS Matematik

1. 6AB = 26 . AB ⇒ 600 + AB = 26 . AB

6. c = 4 olduğundan,

⇒ 600 = 25 . AB

(4ba) = (ab4) – 297

⇒ AB = 24

⇒ 400 + 10b + a = 100a + 10b + 4 – 297

⇒ 400 = 99a – 293

⇒ 99a = 693

⇒ a = 7 bulunur.

olur. A + B = 2 + 4 = 6 dır. Cevap: D

Cevap: D

2. 4AB = 13 . BA + 7 ⇒ 400 + 10 . A + B = 13 . (10B + A) +

7. Sadece 1 + 9 = 3 + 7 olduğundan,

7

⇒ 393 + 10A + B = 130B + 13A

⇒ 393 = 129B + 3A

⇒ 393 = 3 (43 . B + A)

⇒ 131 = 43 . B + A

olur. Bu eşitlikte B = 3 alınmalıdır:

131 = 43 . 3 + A ⇒ 131 = 129 + A ⇒A=2

olur. A + B = 2 + 3 = 5 tir.

⇒ 27 = 9(b – a)

⇒ 3 = b – a bulunur.

91637

91673

37619

37691

73619

73691

olmak üzere, istenen şartlarda 8 tane sayı yazılabilir.

8. 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 olduğundan,

(ab) + 27 = (ba) ⇒ 10a + b + 27 = 10b + a ⇒ 27 = 9b – 9a

19673

Cevap: A

3. İki basamaklı sayı (ab) olsun.

19637

Cevap: C

Cevap: C

A+B=7

C+D=7

E+F=7

dir. En büyük ABCDEF sayısı istendiğinden;

A = 6 alınmalıdır; B = 1 olur.

C = 5 alınmalıdır; D = 2 olur.

E = 4 alınmalıdır; F = 3 olur.

O hâlde; sayı, 615243 tür.

4. (ab) = x . (a + b)

(ba) = y . (a + b)

denklemleri taraf tarafa toplanırsa;

(ab) + (ba) = x . (a + b) + y . (a + b)

Cevap: C

⇒ 10a + b + 10b + a = (a + b) . (x + y)

⇒11a + 11b = (a + b) . (x + y)

⇒11 . (a + b) = (a + b) . (x + y)

⇒ x + y = 11 bulunur.

9. Sayı, abcde olsun. Sayının yüzler basamağında c, binler basamağında b vardır.

Cevap: D

acbde – abcde = (a00de) + 1000c + 100b

– [(a00de) + 1000b + 100c]

= 900c – 900b = 900(c – b)

dir. Bu farkın en büyük olması için c = 9, b = 1 alınmalıdır. Bu durumda,

900 . (c – b) = 900 . (9 – 1) = 900 . 8 = 7200 olur.

5. ABCD – ACBD = 540

Cevap: D

⇒ (1000A + 100B + 10C + D)

– (1000A + 100C + 10B + D) = 540

10. Bir sayının birler basamağındaki rakam, sayısal değer

⇒ 1000A + 100B + 10C + D

bakımından 1 küçültülürse sayı da 1 küçülür; onlar ba-

– 1000A – 100C – 10B – D = 540

⇒ 90B – 90C = 540

samağındaki rakam sayısal değer bakımından 1 büyü-

⇒ 90 (B – C) = 540

tülürse sayı 10 büyür. O hâlde, her bir sayı 9 büyür. 10

⇒ B – C = 6 bulunur.

sayı ise, toplam 90 büyür. Cevap: D

Cevap: C

18

TEMEL KAVRAMLAR– III

YGS

3. BÖLÜM

Harfli İşlemler - Bölme İşlemi

MATEMATİK

Çözüm

TAM SAYILARDA BÖLME ve HARFLİ İŞLEMLER

A, B, C, K ∈ N+

ve

abab5 ab – ab 1010 0ab – ab 05

B ≠ 0 olmak üzere, A

B C

– K

1010 + 5 = 1015 bulunur.

bölme işleminde

A ⇒ bölünen

B ⇒ bölen

C ⇒ bölüm

Bölme işleminde bölen bölümden küçük ise yer-

K ⇒ kalan dır.

leri değişebilir. A

!

A = B.C + K ve 0 ≤ K < B dir. K = 0 ise A sayısı B sayısına tam bölünür.

0 =0 343 0 → belirsiz. 0

0 = 0 5 7 → tanımsız 0

!

Bu bölme işleminde bölüm 4 ve kalan 4 ise bölen kaçtır?

Çözüm

Örnek

Bölünen → a

A, B, C birer rakam ve (BC) iki basamaklı bir sayı olmak

bölen → b olsun b

a + b = 144

4

a = 4b + 4 olur.

üzere,

A +

4

A

B ve

BC

a + b = 144 eşitliğinde a = 4b + 4 yazılırsa

+

C 7

ise A kaçtır?

4b + 4 + b = 144

K

Sıfırın, sıfırdan farklı tüm sayılara bölümü sıfırdır.

Bir bölme işleminde, bölünen ile bölenin toplamı 144 tür.

–

C B

–

K

Örnek

A

işleminde B < C ise

C

–

K < C ise B ile C yer değiştirebilir.

a

B

5b = 140

b = 28 bulunur.

Çözüm A + A = BC ⇒ BC = 2.A olur.

Örnek

A bir rakam olduğundan B ancak 1 olabilir.

Beş basamaklı (abab5) doğal sayısının iki basamaklı (ab)

B+C=7⇒1+C=7

doğal sayısına bölümündeki bölüm ile kalanın toplamı

kaçtır?

2.A = 16 ⇒ A = 8 bulunur.

19

C = 6 olur.

YGS Matematik


Çözüm

Örnek (ab) ve (cb) iki basamaklı ve (a2cb) dört basamaklı sayı-

x in 10 bölümünden kalan 2 ise 5 e bölümünden de kalan 2

lar olmak üzere,

olur. y nin 15 e bölümünden kalan 3 ise 5 e bölümünden de ka-

x

+

ab cb

lan 3 olur.

4.b ab

mıdır. Yani

x . y nin 5 e bölümünden kalan ise ayrı ayrı kalanların çarpı2 . 3 = 6 ve 6 ≡ 1 (mod 5) tir.

c2cb

Cevap: B

işlemine göre, a + b + c toplamı kaçtır?

Örnek

Çözüm a = 7 ise b = 6 olmak zorundadır.

–

İşlemi yaparsak, ab x cb

1

9

1

Yukarıdaki bölme işlemine göre, iki basamaklı AB sayısının iki basamaklı BA sayısına bölümünden elde edilen bölüm 1

4. b

x a b c2cb

AB BA

5 veya 6 olmalı a, 7 olmalı

ve kalan 9 dur. Buna göre, A – B farkı kaçtır? A) 0

B) 1

C) 2

D) 3

E) 4 (2008 – ÖSS)

1

O halde, a = 7, b = 6, c = 1 dir. a + b + c = 7 + 6 + 1 = 14 bulunur.

Çözüm

Örnek

–

x ve y doğal sayıları için

AB BA 9

1

⇒ AB = BA.1 + 9 ⇒ 10A + B = 10B + A + 9 ⇒ 10A – A + B – 10B = 9 ⇒ 9A – 9B = 9

olduğuna göre, x.y çarpımının 5’e bölümünden elde edi-

⇒ 9(A – B) = 9

len kalan kaçtır? A) 0

B) 1

C) 2

D) 3

⇒ A – B = 1 olur.

E) 4

Cevap: B

(2010 – YGS)

20 20

Çözümlü Test

YGS Matematik

1.


7.

Beş basamaklı bir sayı, iki basamaklı bir sayıya bölündüğünde, kalan sayı en fazla kaç basamaklı olabilir? A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

Yukarıdaki bölme işlemine göre, L nin K ve M türünden değeri aşağıdakilerden hangisidir?

2.

A)

K–3 M+1

B)

ab5 gibi üç basamaklı bir sayı, ab gibi iki basamaklı bir

K –3 M+ 1

D) K – M + 2

C)

K – (M + 1) 3

E) K + M – 2

sayıya bölünüyor.

Bölüm ile kalanın toplamı kaçtır? A) 16

B) 15

C) 10

D) 6

8.

E) 5

Yukarıdaki bölme işlemlerine göre, C nin A türünden ifadesi aşağıdakilerden hangisidir?

3.

Dört basamaklı ABCD sayısı, üç basamaklı ABC sa-

yısına bölündüğünde bölüm ile kalanın toplamı 18

A)

5A + 6 4

olduğuna göre, D rakamı kaçtır? A) 4

4.

B) 5

C) 6

D) 7

E) 8

5A – 6 4

4A + 6 4

C)

5A – 1 3

E) 5A

9. x, y, z sıfırdan farklı pozitif birer tam sayı ve

Toplamları 621 olan iki pozitif tam sayıdan büyüğü küçüğüne bölündüğünde bölüm 16, kalan ise 9 dur.

D)

B)

Buna göre, büyük sayı kaçtır? A) 570

B) 575

C) 580

D) 585

E) 590

olduğuna göre, x in z türünden değeri aşağıdakiler-

den hangisidir?

5.

A) 12z + 7

Bir bölme işleminde bölünen ve bölenin toplamı 83,

bölüm 9, kalan 3 olduğuna göre, bölen kaçtır? A) 5

B) 6

C) 7

D) 8

B) 11z + 3 D) 4z + 1

C) 6z + 3 E) 3z + 2

E) 9

10.

6.

İki doğal sayıdan biri diğerine bölündüğünde, bölüm 12,

kalan 8 dir.

tif tam sayıyı göstermektedir.

Bölünen, bölen ve bölüm toplamı 189 olduğuna

göre, bölen sayı kaçtır? A) 11

B) 12

C) 13

D) 14

Yukarıdaki bölme işlemlerinde K, L, M harfleri birer pozi-

Buna göre, A) 3

E) 15

21

K + L + M – 20 işleminin sonucu kaçtır? 5M

B) 4

C) 5

D) 6

E) 7


1.

YGS Matematik

6.

Kalan sayı da iki basamaklı olabilir.

Bölüm 12 olduğundan, bölünenle bölenin toplamı: 189 – 12 = 177 dir.

Cevap: B

Bölen sayıya x dersek, bölünen 177 – x olur.

177 – x = 12 . x + 8 ⇒ 177 – 8 = 13x ⇒ x = 13 bulunur.

Cevap: C

2.

Yandaki bölme işlemine göre, bölüm 10, kalan 5 tir.

7.

K = (M + 1) . L + 3 ⇒ K – 3 = (M + 1) . L

⇒L=

K–3 M+1

Cevap: A

Cevap: B

3.

8.

A = 4B + 2

C = 5B + 1

denklemleri yazılabilir. Birinci denklemden B yi çekip ikinci denklemde yerine yazalım:

Yandaki bölme işlemine göre, bölüm 10 kalan D dir. O halde D = 8 dir.

A = 4B + 2 ⇒ A – 2 = 4 . B A–2 ⇒B= 4 A Ð2 +1 C = 5B + 1 ⇒ C = 5. 4

Cevap: E

⇒C=

5A – 10 4 + 4 4

⇒C=

5A – 6 4 Cevap: B

4. Büyük sayıya x dersek küçük sayı 621 – x olur.

9. x = 4y + 3

denklemleri yazılabilir. y = 3z + 1 değeri birinci denklem-

83 – x = 9x + 3 ⇒ 83 – 3 = 10x ⇒10x = 80

⇒x = 8

⇒ x = 12z + 4 + 3

⇒ x = 12z + 7 bulunur.

10. K = 5L + 2

5. Bölene x dersek, bölünen 83 – x olur.

x = 4y + 3 ⇒ x = 4 . (3z + 1) + 3

Cevap: A

Cevap: D

y = 3z + 1

de yerine yazılırsa;

Yukarıdaki bölme işleminin sağlamasından, x = 16 . (621 – x) + 9 ⇒ x = 16 . 621 – 16x + 9 ⇒ 17x = 9936 + 9 ⇒ 17x = 9945 ⇒ x = 585 bulunur.

bulunur. Cevap: D

L = 4M + 3 olduğundan

K + L + M – 20 (5L + 2) + (4M + 3) + M – 20 = 5M 5M 5L + 5M – 15 5 (4M + 3) + 5M – 15 = = 5M 5M 20M + 15 + 5M – 15 = 5M 25M = =5 5M

bulunur. Cevap: C

22

YGS

TEMEL KAVRAMLAR – IV

MATEMATİK

Bölünebilme Kuralları

4. BÖLÜM

Örnek

BÖLÜNEBİLME KURALLARI

405576 sayısı

2, 4, 8 … ile bölünebilme:

576 = 72 olduğundan 8 ile bölünür. 8

2 = 21 son basamağı 2 ile bölünen sayılar 2 ye bölünür. 4 = 22 son iki basamağı 4 ile bölünen sayılar 4 e bölünür.

301032 sayısı

8 = 23 son üç basamağı 8 ile bölünen sayılar 8 e bölünür.

032 = 4 olduğundan 8 ile bölünür. 8

3 ve 9 ile bölünebilme:

Örnek

Rakamları toplamı 3 ün katları olan sayılar 3 ile bölünür. Rakamları toplamı 9 un katları olan sayılar 9 ile bölünür.

Rakamları birbirinden farklı 3 basamaklı (28x) sayısının 2 ile bölünebilmesi için x in alabileceği değerler toplamı kaçtır?

Örnek Çözüm

Dört basamaklı (7a2b) doğal sayısı 3 ile bölünebildiğine göre, a + b toplamı kaç farklı değer alır?

28x = 2k, k ∈ Z+ ↓ x=0

Çözüm

x≠2 x=4 x=6

7 + a + 2 + b = 3k, k ∈ Z+

x≠8

9 + a + b = 3k

Sayının rakamları birbirinden farklı olduğundan 2 ve 8 ola-

a + b toplamı 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18 olur.

maz. 0 + 4 + 6 = 10 bulunur.

7 farklı değer alır.

Örnek Örnek

Dört basamaklı (47a2) sayısının 4 ile bölünebilmesi için a nın alabileceği değerler toplamı kaçtır?

Beş basamaklı (730x4) doğal sayısının 9 ile bölünebilmesi için x kaç olmalıdır?

Çözüm

Çözüm

47a2 sayısının 4 ile bölünebilmesi için (a2) iki basamaklı sayısının 4 ile bölünmesi gerekir.

7 + 3 + 0 + x + 4 = 9k, k ∈ Z+

a; 1, 3, 5, 7, 9 değerlerini alabilir.

14 + x = 9k

1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 bulunur.

x = 4 olmalıdır.

23


YGS Matematik

5 ile bölünebilme:

şeklinde ayrılır.

Birler basamağı 0 veya 5 olan sayılar 5 ile bölünür.

(g + 3f + 2e + a) – (d + 3c + 2b) = 7k olmalıdır.

6 ile bölünebilme: Bir tam sayının 6 ile bölünebilmesi için sayının 2 ve 3 ile bö-


lünebilmesi gerekir.

Bir tam sayının 10 ile bölünebilmesi için birler basamağındaki rakamın 0 olması gerekir.

Bölünebilme sorularında ilk önce birler basamağını

!


ilgilendiren bölme işlemlerinden başlamak gerekir.

Bir tam sayı 11 ile bölünüyorsa rakamları arasında a b c d e f g = 11k ( k ∈ Z) +–+–+–+

Örnek

(g + e + c + a) – (b + d + f) = 11k

7257 sayısının birler basamağı tek sayı olduğundan 6 ile

bağıntısı bulunmalıdır.

bölünmez.

Örnek

Örnek

3 5 7 9 1 3 5 sayısı

Dört basamaklı (537a) sayının 6 ile bölünebilmesi için a

+–+–+–+

nın alabileceği değerleri bulunuz.

(5 + 1 + 7 + 3) – (5 + 9 + 3) = 16 – 17 = –1 ≠ 11k olduğundan sayı 11 ile bölünmez.

Çözüm 537a sayısının 6 ile bölünebilmesi için sayı, 2 ve 3 ile bölün-

Bir doğal sayının

melidir.

12 ile bölünebilmesi için sayı 3 ve 4

Bu durumda a; 0, 2, 4, 6, 8 değerlerinden birini almalı, aynı


zamanda sayının rakamları toplamı 3 ün katı olmalıdır.


!

5 + 3 + 7 + a = 15 + a

↓

24 ile bölünebilmesi için sayı 3 ve 8 36 ile bölünebilmesi için sayı 4 ve 9

0,6

…

a nın alacağı değerler 0 ve 6 bulunur.

ile bölünmelidir.

7 ile bölünebilme: Üç basamaklı bir tam sayının 7 ile bölünebilmesi için rakam-

Burada 12, 15, 18, 24 … gibi sayıların aralarında asal çarpan-

ları arasında

larına ayrıldığına dikkat ediniz.

abc = 7k 2a + 3b + c = 7k (k ∈ Z) bağıntısı olmalıdır. Sayı 3 basamaklıdan daha büyük bir sayı ise

Örnek Beş basamaklı (54a6b) sayısı 45 ile tam bölünebildiğine göre, a nın alabileceği değerler toplamı kaçtır?

24


YGS Matematik

Çözüm

Çözüm

Sayının 45 ile tam bölünebilmesi için 5 ve 9 ile tam bölünebil-

5 ile bölündüğünde 3 kalanını vermesi için y = 3 veya y = 8

mesi gerekir. 5 ile tam bölünebilmesi için b = 0 veya b = 5 olmalıdır.

olmalıdır.

54a60

54a65

5 + 4 + a + 6 = 9.k

5 + 4 + a + 6 + 5 = 9k1

15 + a = 9.k

20 + a = 9k1

↓

↓

3

7

a nın alabileceği değerler toplamı 3 + 7 = 10 bulunur.

276x3

276x8

18 + x = 9k + 3

23 + x = 9k1 + 3

15 + x = 9k

20 + x = 9k1

↓

↓

3

7

x in alabileceği değerler toplamı 3 + 7 = 10 bulunur.

Örnek Dört basamaklı (5a7b) sayısı 36 ile tam bölünebildiğine göre, a + b toplamı en çok kaçtır?

Örnek Beş basamaklı (730x4) doğal sayısının 9 ile bölünebilmesi

Çözüm

için x kaç olmalıdır? Sayının 36 ile tam bölünebilmesi için 4 ve 9 ile tam bölünebilmesi gerekir. 4 ile bölünebilme kuralına göre, b = 2 veya b = 6 dır.

Çözüm

5a72

5a76

14 + a = 9.k

18 + a = 9k1

↓

↓

4

0

9

7 + 3 + 0 + x + 4 = 9k, k ∈ Z+ 14 + x = 9k x = 4 olmalıdır.

a = 9 b = 6 alınırsa a + b = 9 + 6 = 15 bulunur.

Örnek Örnek

Dört basamaklı (7x6y) sayısı 55 ile tam bölündüğüne göre x in alabileceği değerler toplamı kaçtır?

Beş basamaklı (276xy) sayısının 5 ve 9 ile bölümündeki kalanlar 3 ise x in alabileceği değerler toplamı kaçtır?

25


YGS Matematik

Çözüm

Örnek

(7x6y) sayısının 55 ile tam bölünebilmesi için 5 ve 11 ile tam

n bir pozitif tam sayı olmak üzere, n’yi kalansız bölen pozitif

bölünmesi gerekir.

tam sayıların kümesi s(n) ile gösteriliyor.

5 ile bölünebilmesi için

Buna göre, s(60)∩ s(72) kesişim kümesinin eleman sayısı kaçtır?

y = 0 veya y = 5 olur. 7 x 6 0

7x65

–, +, –, +

–, +, –, +

–7 + x – 6 = 11.k

–7 + x – 6 + 5 = 11.k1

x – 13 = 11k

x – 8 = 11.k1

↓

A) 8

C) 6

D) 5

E) 4 (2011 – YGS)

Çözüm

↓

2

B) 9

8

x in alabileceği değerler toplamı 2 + 8 = 10 bulunur.

s(60) ∩ s(72) kümesinin elemanları 60 ve 72 nin en büyük ortak böleninin asal çarpanlara ayrılması ile elde edilir. 60 = 22 . 31 . 51 72 = 23 . 32 Obeb (60, 72) = 22.31 = 12 ve 12 nin pozitif bölenleri de 1, 2, 3, 4, 6, 12 olmak üzere 6 tanedir. Cevap: C

Örnek Dört basamaklı (8x6y) sayısının 30 ile bölümünden kalan 28 ise x + y toplamı en çok kaçtır?

Örnek 7k + 4 biçimindeki bir sayı 3 ile kalansız bölünebildiğine göre, 21 den küçük k pozitif tam sayıları kaç tanedir? A) 8

Çözüm

B) 9

C) 7

D) 6

E) 5 (2011 – YGS)

8x6y = 30.k + 28

↓

↓

10 ile bölümünden kalan 0 + 8 = 8 3 ile bölümünden kalan

0 + 1 = 1 olmalıdır.

Çözüm

10 ile bölümündeki kalan 8 ise y = 8 dir. 8x68

7k + 4 = 3.n, n ∈ N+

8 + x + 6 + 8 = 3k1 + 1

k = 2 için 7.2 + 4 = 18 = 3.n k = 5 için 7.5 + 4 = 39 = 3.n

21 + x = 3k1 ↓

k = 8 için 7.8 + 4 = 60 = 3.n

k = 11 için 7.11 + 4 = 81 = 3.n

0

k = 14 için 7.14 + 4 = 102 = 3n

3

6

k = 17 için 7.17 + 4 = 123 = 3n

9

k = 20 için 7.20 + 4 = 144 = 3n k < 21 için yedi tanedir.

y = 8 x = 9 alınırsa x + y toplamı en çok 8 + 9 = 17 bulunur.

Cevap: C

26


YGS Matematik

Örnek

Örnek

Dört basamaklı 6A2B sayısı 45 sayısının tam katıdır.

Rakamları birbirinden farklı beş basamaklı 28A9B sayısının

Buna göre, A nın alabileceği değerler toplamı kaçtır? A) 3

B) 4

C) 5

D) 6

9 ile bölümünden kalan 7, aynı sayının 5 ile bölümünden ka-

E) 7

lan ise 1 dir.

(2008 – ÖSS)

A ≠ 0 olduğuna göre, A – B farkı kaçtır? A) 6

B) 5

C) 4

D) 3

E) 2 (2001 – ÖSS)

Çözüm 6A2B sayısı 45 in katı ise 45 ile kalansız bölünür. Başka bir deyişle 45 in çarpanları olan 5 ve 9 ile kalansız bölünmesi gerekir. Sayının 5 e bölünebilmesi için B nin 5 veya 0 olması, 9

Çözüm

ile bölünebilmesi için de rakamları toplamının 9 un katı olması gerekir.

28A9B sayısı 5 ile bölümünden kalan 1 ise B = 0 için 6A20 ⇒ 6 + A + 2 + 0 = 9k, k ∈ Z 8 + A = 9k A = 1 olmalı

6A2B

B = 1 veya

B = 6 olur.

B = 1 ; 28A91 sayısının 9 ile bölümünden kalan 7 ise

B = 5 için 6A25 ⇒ 6 + A + 2 + 5 = 9m, m ∈ Z 13 + A = 9m A = 5 olmalıdır.

2 + 8 + A + 9 + 1 = 9.k + 7 A + 20 = 9k + 7 A + 13 = 9k (k ∈ Z)

A nın alabileceği değerler toplamı 1 + 5 = 6 bulunur. Cevap: D

k = 2 ise A=5 A–B=5–1 A–B=4

Örnek

B = 6 ; 28A96 Rakamları birbirinden farklı, 4 e kalansız bölünebilen, altı

2 + 8 + A + 9 + 6 = 9k + 7 (k ∈ Z)

basamaklı en küçük sayının rakamları toplamı kaçtır?

A) 18

B) 19

C) 20

D) 21

E) 22

A + 18 = 9k k = 2 ise A = 0

(2004 – ÖSS)

k = 3 ise A = 9 olur. Rakamlar birbirinden farklı ve A ≠ 0 olacağından dolayı A = 9 ve A = 0 olmaz.

Çözüm

A – B = 4 olur. Cevap: C

ABCDEF 102348 alınırsa 48 : 4 tam bölünür. 1 + 0 + 2 + 3 + 4 + 8 = 18 Cevap: A

27

Çözümlü Test


1.

YGS Matematik

a < b olmak üzere üç basamaklı 2ab sayısı 6 ile tam

6. Rakamları birbirinden farklı beş basamaklı A829B sayı-

bölünebildiğine göre, a yerine yazılabilecek sayıla-

sının 9 ile bölümünden kalan 7, aynı sayının 5 ile bölü-

rın toplamı kaçtır?

münden kalan 1 dir.

A) 10

B) 12

C) 15

D) 18

E) 20

Buna göre, A – B farkı kaçtır? A) 6

2.

D) 3

E) 2

7. İki basamaklı ve 12 ile tam bölünebilen en büyük

tır? A) 10

sayı ile en küçük sayı arasındaki fark kaçtır? B) 12

C) 13

D) 14

E) 16

A) 84

B) 80

C) 76

D) 72

E) 60

8. Beş basamaklı 561ab sayısı 30 ile bölünebildiğine

abc biçiminde yazılmış üç basamaklı bir sayı 9 ile bölü-

göre, a yerine gelebilecek en büyük rakam kaçtır?

nebilmekte ve 10 ile bölümünde 4 kalanını vermektedir.

C) 4

a ≠ b olmak üzere, dört basamaklı a23b sayısı 6 ile tam bölünebildiğine göre, a + b toplamı en çok kaç-

3.

B) 5

A) 9

a + b toplamının, bu koşulları sağlayan kaç farklı de-

B) 8

C) 7

D) 6

E) 5

ğeri vardır? A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

9. 4A6B sayısı 15 ile kalansız bölünebilen dört basamaklı bir sayıdır.

4. Birler basamağı 3 olan ve 9 ile bölünebilen üç basamak

lı sayılar abc biçiminde yazılacaktır.

tır?

a > b > c koşulunu sağlayan kaç farklı sayı yazıla-

A) 20

bilir? A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

C) 4

D) 2

C) 26

D) 33

E) 34

10. Beş basamaklı A911B sayısı 12 ile tam bölünebildiğine göre, A + B toplamının en büyük değeri kaçtır?

nının 9 ile bölümünden kalan kaçtır? B) 5

B) 22

E) 5

5. 25 basamaklı 2222222222222222222222222 sayısıA) 7

Buna göre, A nın alabileceği değerler toplamı kaç-

E) 0

A) 13

28

B) 14

C) 15

D) 16

E) 17

Çözümler

YGS Matematik

1. 2ab sayısı hem 2 ye hem de 3 e bölünebilmelidir. 2 ye


4. c = 3 olduğundan, a > b > 3 ve a + b + 3 toplamı 9 un

bölünebilmesi için b = 0, 2, 4, 6, 8

katı olmalıdır.

olmalıdır.

Buna göre; a + b = 6 veya a + b = 15 olabilir.

3 ile bölünebilmesi için 2 + a + b toplamı 3 ün katı ve ayrıca a b > 3 olduğundan, a + b = 6 olamaz.

Buna göre; b = 0 olamaz.

a + b = 15 ve a > b > 3 olacak biçimde a ve b bulunabilir: b = 6 için a = 9 ve b = 7 için a = 8 olabilir.

b = 2 ise; a herhangi bir değer alamaz.

b = 4 ise; a = 0, a = 3 olabilir.



O hâlde, a yerine yazılabilecek rakamların toplamı;

0 + 3 + 1 + 4 + 2 + 5 = 15 tir.

Cevap: B

Cevap: C

5. Sayının rakamlarının toplamı: 25 . 2 = 50 dir.

50 nın 9 ile bölümünden kalan 5 olduğundan, verilen sayının da 9 ile bölümünden kalan 5 tir. Cevap: B

2. b = 8 için a = 5 olur.

b = 6 için a = 7 olur.

b = 4 için a = 9 olur.

Buna göre, a + b toplamı en çok 13 tür.

6.

Cevap: C

B = 1 veya B = 6 dır. B = 1 olsun: A8291 sayısının 7 eksiği 9 a bölünebilmelidir. A8291 – 7 = A8284 tür. Bu sayının rakamları toplamı; 9 un katı olmalıdır. Buna göre, A = 5 tir. A – B = 4 tür. B = 6 için A = 9 olmaktadır. Halbuki sayının rakamları farklıdır. Cevap: C

3. c = 4 tür. a + b + 4 toplamı 9 un katı olmalıdır. Buna

7. 96 – 12 = 84 tür.

göre; a + b = 5 veya a + b = 14 olabilir.

Cevap: A Cevap: B

29


Çözümler

8. b = 0 dır. 561a0 sayısında rakamların toplamı 3 ün katı

olmalıdır. 5 + 6 + 1 + a + 0 = a + 12 dir. a yerine en büyük 9 yazılabilir. Cevap: A

9. B = 0 veya B = 5 tir.

B = 0 olsun. 4A60 sayısının rakamlarının toplamı 3 ün katı olmalıdır. A = 2, A = 5, A = 8 olabilir. B = 5 olsun. 4A65 sayısının rakamlarının toplamı 3 ün katı olmalıdır. A = 0, A = 3, A = 6 veya A = 9 olmalıdır. Buna göre, A nın alabileceği değerlerin toplamı; 2 + 5 + 8 + 0 + 3 + 6 + 9 = 33 tür. Cevap: D

10. 1B iki basamaklı sayısı 4 ün katı olmalıdır. B = 2 veya

B = 6 olmalıdır. B = 2 olsun. A9112 sayısının rakamlarının toplamı 3 ün katı olmalıdır. Buna göre, A = 2, A = 5 veya A = 8 olmalıdır. Burada A + B toplamının en büyük değeri 8 + 2 = 10 dur. B = 6 olsun. A9116 sayısının rakamlarının toplamı 3 ün katı olmalıdır. Buna göre, A = 1, A = 4 veya A = 7 olmalıdır. Burada A + B toplamının en büyük değeri 7 + 6 = 13 tür. Cevap: A

30

YGS Matematik

TEMEL KAVRAMLAR – V Asal Sayılar - Tam Bölen Sayıları

YGS

5. BÖLÜM

Faktöriyel - Tam Kuvvete Tamamlama

MATEMATİK

Örnek

ASAL SAYILAR

2a – 3b ve a + 2b sayıları aralarında asal sayılardır.

1 den ve kendisinden başka pozitif böleni (çarpanı) olmayan

2a – 3b 63 = olduğuna göre, a kaçtır? a + 2b 81

1 den büyük doğal sayılara asal sayı denir. Asal olmayan 1 den büyük doğal sayılara bileşik sayı denir. İlk 10 asal sayı; 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 dur.

Çözüm

İlk 10 bileşik sayı; 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18 dir.

2a–3b 63 7 (7 ile 9 aralarında asal olduğundan) = = a + 2b 81 9 1.2 den başka çift olan asal sayı yoktur.

2a – 3b = 7

2.Asal sayılar kümesi üstten sınırsızdır.

!

a + 2b = 9 olur.

3 . 1 den büyük her doğal sayının en az bir asal

Buradan da a =

sayı çarpanı (böleni) vardır.

Örnek

41 bulunur. 7

Örnek

Aşağıdakilerden hangisi bir asal sayıdır? a bir pozitif tam sayı ve p = a2 + 5 tir. p bir asal sayı ol-

I. 4251

duğuna göre,

II. 91

I. a çift sayıdır.

III. 210 – 1

II. p nin 4 ile bölümünden kalan 1 dir.

IV. 5! + 0!

III. p – 6 asaldır.

V. 25 – 0!

ifadelerinden hangileri doğrudur? A) I ve III

Çözüm

I. 4251 = 3 . 1417

III. 2

5

D) Yalnız III

C) I ve II E) I, II ve III (2011 – YGS)

asal sayı değildir.

II. 91 = 13 . 7 10

B) Yalnız I


Çözüm

5

– 1 = (2 – 1) (2 + 1) asal sayı değildir.

IV. 5! + 0! = 120 + 1 = 121 5

V. 2 – 0! = 32 – 1 = 31


p = a2 + 5 ifadesinde p bir asal sayı olduğuna göre, a nın çift

asal sayı

olması gerekir. Çünkü eğer a tek olursa a2 de tek sayı olacağından a2 + 5 ifadesi iki tek sayının toplamı olup çift bir sayı

Aralarında Asal Sayılar: 1 den başka ortak pozitif tam sayı

olurdu ve p asal olamazdı. O halde, a sayısı çifttir. Bütün çift

böleni olmayan doğal sayılardır.

sayıların kareleri 4 e tam bölüneceğinden p nin 4 e bölümünden kalanla 5 in 4 e bölümünden kalan aynı olup 1 dir. Yani,

!

1 ile bütün sayılar aralarında asaldır.

I ve II kesin doğrudur.

1 ile 25 aralarında asal

a = 6 için P = 62 + 5 = 41


p – 6 = 41 – 6 = 35 sayısı asal değildir. Yani, III ifadesi yanlıştır.


Cevap: C

31

Asal Sayılar - Tam Bölen Sayıları

YGS Matematik


Örnek

Örnek

A = 2222 + 3332 + 4442

a, b ve p birer pozitif tam sayı ve p asal sayı olmak üzere, a2 – b2 = p

sayısının asal çarpanlarının toplamı kaçtır?

olduğuna göre, a nın p türünden eşiti aşağıdakilerden

Çözüm

hangisidir? A)

p+1 2

B)

p –1 D) 3

p+1 3

C) p–2 E) 3

p –1 2

A = (2.111)2 + (3.111)2 + (4.111)2 = 22.1112 + 32.1112 + 42.1112

(2008 – ÖSS Mat 1)

= 1112(22 + 32 + 42) = (3.37)2. 29 = 32. 372 . 29 A sayısının asal çarpanları 3, 37 ve 29 bulunur. A sayısının

Çözüm

asal çarpanlarının toplamı da 3 + 37 + 29 = 69 bulunur.

a2 – b2 = p ve p asal sayı ise BİR DOĞAL SAYININ TAM BÖLENLERİ

⇒ (a – b)(a + b) = 1.p ⇒ a – b = 1 ve a + b = p olur. ⇒

x, y, z birbirinden farklı asal sayılar, A doğal sayı ve a, b, c say-

a–b=1

ma sayıları olmak üzere, A sayısı A = xa . yb. zc şeklinde asal

a+b=p

+ 2a = p + 1 ⇒a =

çarpanlarına ayrılsın. A sayısının pozitif tam sayı bölenlerinin sayısı (a + 1).(b + 1). (c + 1) dir.

p+1 bulunur. 2

Örnek

Cevap: A

72 sayısının pozitif tam sayı bölenlerinin sayısı kaçtır?

Çözüm ASAL ÇARPANLAR 72 = 23.32 Asal Çarpanlara Ayırma

(3 + 1)(2 + 1) = 12 bulunur.

Aritmetiğin Temel Teoremi: 1 den büyük her tam sayı, ta-

Örnek

banları farklı asal sayılar, üsleri pozitif doğal sayılar olan çarpanlar cinsinden, çarpanların yazılış sırası önemli olmamak üzere tek türlü yazılabilir. Bu yazılıma, o sayının asal çarpan-

15a.6 sayısının pozitif tam sayı bölenlerinin sayısı 60 ise

larına ayrılması denir.

a kaçtır?

Çözüm

Örnek 120 = 23.31.51 dir. Buna göre, 120 sayısının 3 tane asal sayı böleni vardır. Bunlar 2, 3, 5 tir.

120 60 30 15 5 1

15a . 6 = (3.5)a.2.3 = 3a.5a.2.3

2 2 2 3 5

= 21.3a+1.5a (1 + 1)(a + 1 + 1)(a + 1) = 60 (a + 2) (a + 1) = 30 \ \ 6

5

a + 1 = 5 ise a = 4 bulunur.

32


YGS Matematik


Örnek

Örnek

x, y ∈ Z+ olmak üzere,

45 sayısının tam bölenlerinin sayısı kaçtır?

x.y = 8008 ise x kaç farklı değer alır?

Çözüm Çözüm 45 i tam bölen pozitif tam sayıların negatifleri de 45 i tam böx.y = 8008 x=

leceğinden 45 = 32.5

8008 y şeklinde yazılırsa soru 8008 in pozitif bölenlerinin

2 (2 + 1) (1 + 1) = 12 bulunur. 1 4 44 2 4 44 3

sayısı şekline döner.

pozitiflerin sayısı

8008 = 8.1001 = 23.11.13.7 (3 + 1)(1 + 1)(1 + 1) (1 + 1)

1.

4.2.2.2 = 32 bulunur.

Bir A doğal sayısının tam sayı bölenlerinin toplamı sıfırdır.

Örnek

6 = 2.3

6 yı bölen (+) tam sayılar 1, 2, 3

6 yı bölen (–) tam sayılar –1, –2, –3 toplamları 0 dır.

124 sayısının a ile bölümünden kalan 4 ise kaç tane a po-

2.

zitif tam sayısı vardır?

!

Çözüm

sayısı A = xa . yb . zc şeklinde çarpanlarına ayırırsak,

asal sayı bölenlerini bulmuş oluruz. A = 23 . 32 . 74 . 11 sayısının asal sayı bölen-

124 a –

4

Bir A doğal sayısının asal sayı bölenlerinin

leri 2, 3, 7 ve 11 dir. 3.

x

A sayısının asal olmayan tam sayı bölenlerinin sayısı ise;

bölme işleminin sağlaması yapılırsa

Tam sayı bölenlerinin sayısı – asal sayı bölenlerinin sayısıdır.

124 = a.x + 4 120 = a.x 120 a = x şeklinde yazılırsa soru 120 sayısının pozitif bölenle-

Örnek

rinin sayısı şekline döner.

108 sayısının asal olmayan tam sayı bölenlerinin sayısı

120 = 23.3.5

kaçtır?

(3 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 16 olur. Yukarıdaki bölme işlemine göre a > 4 olması gerektiğinden

Çözüm

120 sayısının 4 den büyük pozitif bölenleri alınmalıdır. 120 sayısının bölenlerinden 1, 2, 3 ve 4 alınmazsa

108 sayısını asal çarpanlara ayırırsak

16 – 4 = 12 bulunur.

108 = 33.22 bulunur. Tam sayı bölenlerinin sayısı

!

2(3 + 1)(2 + 1 ) = 24

A sayısının tam sayı bölenlerinin sayısı pozitif tam

asal bölenleri 2 ve 3

sayı bölenlerinin sayısının iki katıdır.

asal olmayan tam sayı bölenlerinin sayısı 24 – 2 = 22 bulunur.

33


YGS Matematik


Çözüm

Örnek

A = 119 . 121 + 1

x ∈ N olmak üzere,

A = (120 – 1)(120 + 1) + 1

x

y = 150.5 sayısının 64 tane tam sayı böleni varsa x kaçtır?

A = 1202 – 1 + 1 A = 1202 A = (23 . 3 . 5)2

Çözüm

A = 26.32.52 bulunur. 64 = 32 2

Pozitif bölen sayısı

Tam sayı bölenlerinin sayısı 2(6 + 1).(2 + 1)(2 + 1) = 126

y = 2.3.5 . 5 = 2 .3 .5

asal bölenleri 2, 3 ve 5 olduğuna göre, asal olmayan tam sayı

(1 + 1)(1 + 1)(x + 2 + 1) = 32

bölenlerinin sayısı 126 – 3 = 123 bulunur.

2

x

1

1

x+2

x = 5 bulunur.

Örnek n

n doğal sayı olmak üzere, 22 + 1 biçiminde yazılabilen asal

BİR DOĞAL SAYININ POZİTİF TAM SAYI BÖLENLERİNİN TOPLAMI

sayılara Fermat asal sayıları denir. Buna göre, aşağıdakilerden hangisi Fermat asal sayısıdır?

x, y, z birbirinden farklı asal sayılar A doğal sayı ve a, b, c say-

A) 7

ma sayıları olmak üzere, A sayısı A = xa.yb.zc şeklinde asal

B) 11

C) 13

çarpanlarına ayrılsın.

b+1

E) 23

(2007 – ÖSS Mat 1)

A sayısının pozitif tam sayı bölenlerinin toplamı a+1

D) 17

c+1

1– y 1–x 1– z . . 1– x 1– y 1– c

Çözüm

veya

2

n yerine 2 yazıldığında, 22 + 1 = 24 + 1 = 16 + 1 = 17 olduğundan 17 bir Fermat asal sayısıdır.

(x0 + x1 + x2 + … +xa).(y0 + y1 + … +yb).(z0 + z1 + …+zc) dir.

Cevap: D

Örnek

Örnek

250 sayısının pozitif tam sayı bölenlerinin toplamı kaçtır?

1 den büyük asal olmayan bir tam sayının rakamlarının toplamı, sayı asal çarpanlarına ayrılarak yazıldığında, bu yazılışta bulunan tüm asal sayıların rakamlarının toplamına eşit olu-

Çözüm

yorsa bu tür sayılara Smith Sayısı adı verilir. Örneğin, 728 sayısı asal çarpanlarına

250 = 2.53 0

1

0

1

2

728 = 2. 2. 2. 7. 13

3

(2 + 2 )(5 + 5 + 5 + 5 ) = 3.156 = 468 bulunur.

biçiminde ayrılır. 7 + 2 + 8 = 2 + 2 + 2 + 7 + 1 + 3 olduğundan 728 bir Smith Sayısı dır. Bu tanıma göre, aşağıdakilerden hangisi bir Smith sayı-

Örnek

sı değildir? A) 4

A = 119.121 + 1 sayısının asal olmayan tam sayı bölenlerinin sayısı kaçtır?

B) 21

C) 22

D) 27

E) 121 (2005 – ÖSS)

34


YGS Matematik


Çözüm

Örnek

A) 4 = 2.2 ⇒ 4 = 2 + 2 ⇒ 4 bir Smith sayısıdır.

a, b ∈ N+ olmak üzere,

B) 21 = 3.7 ⇒ 2 + 1 ≠ 3 + 7 ⇒ 21 bir Smith sayısı değildir.

2160.a = b3 eşitliğini sağlayan en küçük a doğal sayı-

C) 22 = 2.11 ⇒ 2 + 2 = 2 + 1 + 1 ⇒ 22 bir Smith sayısıdır.

sı aşağıdaki sayılardan hangisine kesinlikle tam bölü-

D) 27 = 3 . 3 . 3 ⇒ 2 + 7 = 3 + 3 + 3 ⇒ 27 bir Smith sayısıdır.

nemez? A) 10

E) 121 = 11 . 11 ⇒ 1 + 2 + 1 = 1 + 1 + 1 + 1 ⇒ 121 bir Smith

B) 20

C) 25

D) 40

E) 50

sayısıdır.

Çözüm

Cevap: B

2160 = 24.33.5 2160.a = b3

TAM KUVVETE TAMAMLAMA

24 . 33 . 51.a = b3 x, y ∈ N+ olmak üzere,

üslerinin 3 ve 3 ün katı olması için

54.x = y eşitliğini sağlayan en küçük x sayısını bulmak için

a = 22 . 52 olmalıdır.

sol taraftaki üsler sağ taraftaki üsse tamamlanır.

a = 4.25 = 100 bulunur.

3

3

1

54 = 3 .2 dir.

Öyleyse a sayısı 40 sayısına tam bölünemez.

33. 21. x = y3 olacaksa 2 nin üssünü 3 e tamamlamak için x yerine en az 22 yazıl-

10 un kuvveti biçiminde yazılabilen sayılarda 10n

malıdır.

un kuvveti sayının sondan kaç basamağının sıfır ol-

x = 22 ⇒ 33 . 21 . 22 = y3

!

33 . 23 = y3

duğunu gösterir. A = x.1011 sayısının sondan 11 basamağı sıfırdır.

y = 6 olur.

Örnek Örnek

A, B ∈ Z+ olmak üzere, 112.A = (5 – B)2 eşitliğini sağlayan A ve B sayıları için

A = 256.1013 sayısı kaç basamaklıdır?

A + B toplamının en küçük değeri kaçtır?

Çözüm

Çözüm

A = 256 . 10 13

112 yi asal çarpanlarına ayırırsak 4

2

2

3

X

1

112 = 2 .7 = 2 . 2 . 7

13 a det "0" Y

basamak

22 . 22 . 71. A = (5 – B)2

3 + 13 = 16 basamaklıdır.

A en az 71 olmalıdır. A = 7 yazarsak 22.22.72 = (5 – B)2 ⇒ |5 – B| = 2.2.7

Örnek

|5 – B| = 28

B nin pozitif değeri 33 olur.

x = 4800…0 sayısının 280 tane pozitif tam sayı böleni var-

A + B toplamı en küçük 7 + 33 = 40 bulunur.

sa x sayısının sondan kaç basamağı sıfırdır?

35


YGS Matematik


Çözüm

Örnek

48 1000 4 2…403

6250 + 6! + 7! + 8! + 9! toplamının 10 a bölümünden kalan

n tan e

kaçtır?

n x = 14800 44 2… 4 403 = 48.10 n tan e

4

x = 2 . 3.2n.5n

Çözüm

= 31 . 2n + 4 . 5n (1 + 1)(n + 4 + 1)(n + 1) = 280

10 a bölümünden kalanı bulabilmek için birler basamağındaki

(n + 5) (n + 1) = 140 \ \

rakamı bulmak yeterlidir. 6 sayısının tüm pozitif tam sayı kuv-

14

vetlerinin birler basamağı 6 dır. 5! den itibaren bütün faktöri-

10

yellerinin birler basamağı 0 dır. Dolayısıyla verilen toplamın

n + 1 = 10 ⇒ n = 9 bulunur. Öyleyse x sayısının sondan 9

10 a bölümünden kalan 6 dır.

basamağı sıfırdır.

Örnek

FAKTÖRİYEL

x! = 90 eşitliğinde x + y toplamının alabileceği en büyük y!

1 den n e kadar olan pozitif tam sayıların çarpımına n faktöriyel denir. (n ∈ N)

ve en küçük değerlerin toplamı kaçtır?

1.2.3.4.5 …n = n! 7! = 1.2.3.4.5.6.7 = 5!.6.7

Çözüm

= 6!.7 şeklinde ifade edilebilir.

x! 90! 89!90 = 90 eşitliğinde x = 90, y = 89 olursa, = = 90 y! 89! 89!

n! = (n – 2)!(n – 1).n = (n – 1)!n

O halde x + y toplamının en büyük değeri 90 + 89 = 179 dur.

!

0! = 1

,

x! = 90 = 9.10 şeklinde ardışık çarpanlarına ayrılırsa y!

1! = 1

x = 10 ve y = 8 olur. x! 10! 8!.9.10 = = = 90 y! 8! 8!

Örnek

x + y toplamının en küçük değeri de

8! + 9! işleminin sonucu kaçtır? 7!

10 + 8 = 18 dir. 179 + 18 = 197 bulunur.

Örnek

Çözüm

x, A ∈ N olmak üzere,

8! + 9! 8! + 8!.9 = 7! 7! 8! (1 + 9) 7!.8.10 = 7! 7! = 80 bulunur.

45! = 2x.A eşitliğinde x in alabileceği en büyük değer kaçtır?

36


YGS Matematik


Çözüm

Örnek

2 asal sayı olduğu için 45 sayısı sürekli 2 ye bölünüp, bölüm-

x.(10!) çarpımı bir pozitif tam sayının karesi olduğuna

ler toplandığında,

göre, x in alabileceği en küçük değer kaçtır? A) 21

B) 7

C) 5

D) 10

E) 14 (2011 – YGS)

Çözüm y ∈ Z+ olmak üzere,

22 + 11 + 5 + 2 + 1 = 41 bulunur.

x.(10!) = y2 dir. x.(1.2.3.4.5.6.7.8.9.10) = y2

+

a, b ∈ Z olmak üzere,

x . 28 . 34 .52 . 71 = y2

a

n! = x .b eşitliğinde a sayısının en büyük değerleri

!

eşitliğinin sol tarafını tam kareye tamamlamak için x = 7 ol-

sorulduğunda x asal sayı değilse, x asal çarpanla-

ması yeterlidir.

rına ayrılır, n sayısı asal çarpanlarından büyük ola-

Cevap: B

nına sürekli bölünüp bölümler toplanarak bulunur.

Örnek

Örnek

49! sayısının sondan kaç basamağı sıfırdır?

İki basamaklı a ve b pozitif tam sayıları için a! = 132 b!

Çözüm

olduğuna göre a + b toplamı kaçtır?

49! = 10n.A şeklinde düşündüğümüzde n nin en büyük değeri

A) 22

49! sayısının sonundaki sıfır sayısını verecektir.

B) 23

C) 24

D) 25

E) 26 (2011 – LYS1)

10 = 2 . 5 49

5 9

5 1

Çözüm

n = 9 + 1 = 10 bulunur.

a! = 132 = 11.12 yazılabilir. b! 12! 10!.11.12 = = 11.12 10! 10!

!

A! sayısında ne kadar 5 çarpanı varsa sayının so-

a = 12 ve b = 10 alınırsa

nunda o kadar sıfır olacaktır.

a + b = 12 + 10 = 22 bulunur. Cevap: A

37


YGS Matematik


Örnek

Çözüm

40! ! Z + , a, b ∈ N ise 5 a .9 b

9! + 10! = 9! + 10.9! = 9!(1 + 10) = 11.9!

a.b nin alabileceği en büyük değer kaçtır?

sayısı 13 e bölünemediği için 13 ün katı olan 26 sayısına da bölünemez. Cevap: C

Çözüm Örnek 5 asal sayı olduğu için n pozitif bir tam sayı olmak üzere 180.n çarpımının tam kare olması için n nin alabileceği en küçük değer kaçtır? A) 2

B) 3

C) 4

a nın en büyük değeri

D) 5

E) 6 (1995 – ÖSS)

8 + 1 = 9 bulunur. 9 u asal çarpanlara ayırırsak 9 = 32 40

3 13

3 4

Çözüm

3 1

180 . n bir tam kare ise,

b nin en büyük değeri 13 + 4 + 1 = 2b

180 . n = A2, A ∈ N olmalıdır.

b = 9 bulunur.

180 90 45 15 5

a.b nin en büyük değeri de 9 . 9 = 81 bulunur.

1

180 . n = 22 . 32 . 51 . n = A2 ↓ n = 5 olursa 22 . 32 . 52 = A2 30 = A olur.

Örnek

Cevap: D

9! + 10! sayısı aşağıdakilerden hangisine tam olarak bölenemez? A) 15

B) 24

2 2 3 3 5

C) 26

D) 44

E) 72 (2000 – ÖSS)

38 38

1.


Çözümlü Test

YGS Matematik

6.

1617 sayısının asal çarpanlarına ayrılmış biçimi aşağıdakilerden hangisidir?

A) 32 . 7 . 11

B) 3 . 72 . 11

C) 3 . 7 . 112

D) 32 . 72 . 11

60 . x = y2

eşitliğinde x ve y bir pozitif doğal sayı olduğuna göre, y nin en küçük değeri kaçtır? A) 15

E) 3 . 73 . 11


B) 20

C) 24

D) 30

E) 32

2. 3960 sayısının kaç tane asal sayı böleni vardır? A) 3

B) 4

C) 5

D) 6

E) 7

7.

m . n = 2m + 14

eşitliğinde m ve n birer pozitif tam sayıdır. n en küçük değeri aldığında m + n toplamı kaç olur? A) 9

B) 11

C) 15

D) 17

E) 19

3. n pozitif bir tam sayı ve

120 . n

çarpımı bir tam kare olduğuna göre n nin en küçük değeri aşağıdaki aralıkların hangisindedir?

A) [6, 15]

B) [16, 25] D) [36, 45]

8. 1500...0 sayısının 60 tane doğal sayı böleni olduğu-

C) [26, 35]

na göre, sayıda 15 ten sonra ardışık olarak kaç tane

E) [46, 55]

0 rakamı vardır? A) 3

B) 4

C) 5

D) 6

E) 8

4. n pozitif bir tam sayı olmak üzere

180 . n

çarpımının tam kare olması için n nin alabileceği en küçük değer kaçtır? A) 2

B) 3

C) 4

D) 5

9.

n = 3.11 2 3 4 .5 2

olduğuna göre, n doğal sayısının kaç tane doğal sayı böleni vardır?

E) 6

A) 24

B) 36

C) 48

D) 54

E) 90

5. a ve n pozitif tam sayılar,

10. 6! sayısının doğal sayı bölenlerinin toplamı kaçtır?

5! = 2n . a

olduğuna göre n en çok kaçtır? A) 6

B) 5

C) 4

D) 3

E) 2

A) 1916

39

B) 2014 D) 2606 E) 2814

C) 2418


YGS Matematik


1. 1617

3 539 7 77 7 11 11 1

6. 60 . x = y2 ⇒ 22 . 3 . 5 . x = y2 dir.

1617 = 3 . 72 . 11 dir.

Bu eşitliğin sağ tarafı bir tam kare olduğundan, sol tarafı da tam kare olmalıdır.

Cevap: B

x pozitif tam sayısı en küçük 3 . 5 olarak seçilmelidir.

22 . 3 . 5 . x = y2 ⇒ 22 . 3 . 5 . 3 . 5 = y2

⇒ 22 . 32 . 52 = y2

⇒ (2 . 3 . 5)2 = y2

⇒y=2.3.5

⇒ y = 30 olur. Cevap: D

2. 3960

1980 990 495 165 55 11 1

+ 14 7. m . n = 2m + 14 ⇒ n = 2mm

3960 = 23 . 32 . 5 . 11 olduğundan, 3960 sayısının asal sayı olan bölenleri; 2, 3, 5 ve 11 dir.

2 2 2 3 3 5 11

14 ⇒ n = 2+ m dir. m = 14 seçilirse n en küçük değerini alır ve n = 3

olur. Buna göre, m + n = 14 + 3 = 17 dir. Cevap: D

Cevap: B

8. 15 ten sonra ardışık olarak n tane 0 rakamı olsun.

1500...0 = 15 . 10n = 3 . 5 . (2 . 5)n = 3 . 5 . 2n . 5n = 2n . 3 . 5n + 1

dir. Bu sayının doğal sayı bölenleri sayısı 60 olduğundan, (n + 1) . 2 . (n + 2) = 60 ⇒ (n + 1) . (n + 2) = 30

3. 120 . n = 2 . 3 . 5 . n olduğundan, n = 2 . 3 . 5 seçilirse,

120 . n çarpımı bir tam kare olur. n = 2 . 3 . 5 ⇒ n = 30 sayısı [26, 35] aralığındadır.

⇒ n2 + 3n + 2 = 30

⇒ n2 + 3n – 28 = 0

⇒ (n + 7) . (n – 4) = 0

3

Cevap: C

⇒ n = –7 veya n = 4

bulunur. Cevap: B

4.

9. n = 35 . 52 . 112 dir.

180 . n = 22 . 32 . 5 . n dir. Bu çarpımın tam kare olması için n pozitif tam sayısı en küçük 5 olabilir.

(5 + 1) . (2 + 1) . (2 + 1) = 6 . 3 . 3 = 54 tane Cevap: D

Cevap: D

10. 6! = 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 2 . 3 . 5 . 2.2 . 3 . 2

= 24 . 32 . 5 tir.

5. 5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1

= 5 . 22 . 3 . 2 = 23 . 5 . 3 olduğundan, n en fazla 3 olabilir.

Cevap: D

Doğal sayı bölenlerin toplamı; 2 5 – 1 3 3 – 1 5 2 – 1 31 26 24 · · = · · 2 –1 3 –1 5 –1 1 2 4 = 31.13.6 = 2418 Cevap: C

40

TEMEL KAVRAMLAR – VI Ortak Bölenlerin En Büyüğü (OBEB) Ortak Katların En Küçüğü (OKEK)

YGS

MATEMATİK

6. BÖLÜM

108 = 22 . 33

ORTAK BÖLENLERİN EN BÜYÜĞÜ (OBEB)

168 = 23 . 3 . 7 180 = 22 . 32 . 5

a, b, m tam sayıları için m sayısı a ve b yi böler ise m ye a ile

sayılarının hepsinde ortak olan tabanlar 2 ve 3 tür. Tabanı 2

b nin bir ortak böleni denir. (a, b) ≠ (0, 0) olmak üzere, ortak bölenlerin bir en büyüğü vardır ve buna “ortak bölenlerin

olan çarpanlardan üssü en küçük olan 22, tabanı 3 olan çar-

en büyüğü” denir, OBEB (a, b) ile gösterilir. Bu tanıma göre

panlardan üssü en küçük olanı 3 olduğundan,

en az biri sıfırdan farklı olan tam sayıların OBEB i tanımlıdır.

OBEB (108, 168, 180) = 22 . 3 = 12 dir. Sayılar asal çarpanla-

Üç veya daha fazla tam sayının OBEB i aynı biçimde tanım-

rına aynı anda ayrılarak sonuca daha kolay ulaşılabilir. Bunun

lanır.

için sayıların ortak bölünebildiği asal sayılar aranır:

Örnek 108

180

168

2 (ortak bölen)

a) 24 sayısının pozitif bölenlerini yazınız.

54

90

84

2 (ortak bölen)

b) 30 sayısının pozitif bölenlerini yazınız.

27

45

42

3 (ortak bölen)

9

15

14

c) 24 ile 30 un ortak bölenlerini yazınız. d) OBEB (24, 30) kaçtır?

9, 14, 15 sayılarının bir ortak böleni olmadığından; OBEB (108, 168, 180) = 22 . 3 = 12 dir.

Çözüm a) 24 sayısının pozitif bölenleri; 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 tür.

Örnek

b) 30 sayısının pozitif bölenleri; 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 dur. c) 24 ve 30 sayılarının ortak bölenleri; 1, 2, 3, 6 dır.

x = 123 . 104

d) OBEB (24, 30) = 6 dır. Çünkü, 24 ve 30 sayılarının ortak

y = 182 . 153

bölenleri 1, 2, 3, 6 idi. Bunların en büyüğü 6 dır.

olduğuna göre, OBEB (x, y) kaçtır? İki veya daha fazla doğal sayının OBEB i şöyle bulunur:

!

Çözüm

Sayılar asal çarpanlarına ayrılır. Tabanları aynı olan çarpanların en küçük üslüleri alınarak çarpılır. Elde edilen sayı, OBEB tir.

Önce sayıları asal çarpanlarına ayırmalıyız: x = 123 . 104 = (22 . 3)3 . (2 . 5)4 = 210 . 33 . 54 y = 182 . 153 = (2 . 32)2 . (3 . 5)3 = 22 . 37 . 53 olduğundan

Örnek

OBEB (x, y) = 22 . 33 . 53 = 13 500 bulunur.

OBEB (108, 168, 180) kaçtır? 108 2

168 2

180 2

54 2

84 2

90 2

27 3

42 2

45 3

9

21 3

15 3

3 3

7

5

1

1

3

7

Aralarında Asal Sayılar OBEB i 1 olan sayılara aralarında asal sayılar denir.

Örnek

5 5 ile 7, 9 ile 10, 20 ile 49 aralarında asal sayılardır.

1 41

YGS Matematik

OBEB – OKEK

OBEB ile İlgili Özelikler

Örnek

1. a ile –a nın tam sayı bölenleri aynı olduğundan; 15, 16 ve 20 sayıları aralarında asal üç sayıdır. Çünkü, bu üç

sayının ortak olarak bölünebildiği 1 den başka sayı yoktur.

= OBEB(a, –b)

= OBEB(–a, –b) dir.

1. İki ya da daha fazla sayının aralarında asal ol-

2.

k ∈ Z – {0} için

OBEB(ka, kb) = |k| . OBEB(a, b) dir.

2. 1 ile her sayma sayısı aralarında asaldır.

3.

OBEB(a, b) = d olsun.

3. Ardışık olan n tane sayma sayısı daima arala-

ması için, bu sayıların asal sayı olması gerekmez.

rında asaldır.

!

OBEB(a, b) = OBEB(–a, b)

a=d.x

4. m ile n aralarında asal ise, m + n ile m . n de

b=d.y

aralarında asaldır. Aynı biçimde; m + n ile m . n ara-

olacak biçimde, aralarında asal x ve y tam sayıları vardır.

larında asal ise m ile n de aralarında asaldır.

Örnek

Bu özellik ikiden fazla sayı için geçerli değildir. 5. Ardışık tek sayıların OBEB i 1 dir.

OBEB(–12, 18) = OBEB(12, 18) = 6 dır.

6. Ardışık çift sayıların OBEB i 2 dir.

Örnek Örnek

OBEB (m, n) = 6

OBEB(4, 9) = 1 olduğundan 4 ile 9 aralarında asaldır.

olduğuna göre, m + n toplamının en büyük doğal sayı

4 + 9 = 13 ve 4 . 9 = 36 olduğundan,

değeri kaçtır?

13 ile 36 sayıları da aralarında asaldır.

A) 66

Gerçekten, OBEB(13, 36) = 1 dir.

C) 144

D) 174

E) 192

OBEB (m, n) = 6 olduğuna göre, m ve n sayıları 6 nın katıdır:

2m + 1 ile n + 4 sayıları aralarında asal iki sayıdır.

m=6.x

2m + 1 45 = olduğuna göre, m•n çarpımı kaçtır? n+4 50 B) 28

B) 99

Çözüm

Örnek

A) 24

m . n = 1008

C) 36

D) 40

n=6.y dersek, x ile y aralarında asal olur. Çünkü, m ile n nin 6 dan

E) 52

başka ortak bir böleni yoktur. m . n = 1008 ⇒ 6x . 6y = 1008

Çözüm

pımı 28 ise bu sayılar ya 1 ile 28 dir veya 4 ile 7 dir.

2m + 1 ile n + 4 sayıları aralarında asal olduğundan, bu sayı-

Yani; (x, y) = (1, 28), (x, y) = (28, 1), (x, y) = (4, 7),

ların OBEB i 1 dir. Bu nedenle, 2m + 1 45 9.5 9 = = = n+4 50 10.5 10

⇒ x . y = 28 dir. Aralarında asal iki sayının çar-

(x, y) = (7, 4) olabilir.

Buna göre, m + n = 6x + 6y = 6 . (x + y) olduğundan,

eşitliğinde; 2m + 1 = 9 ve n + 4 = 10 olmalıdır.

m + n = 6 . (1 + 28) = 6 . 29 = 174 veya

Buradan m = 4 ve n = 6 bulunur.

m + n = 6 . (4 + 7) = 6 . 11 = 66 dır. m + n nin alabileceği en

m . n = 24 tür.

büyük değer 174 tür. Cevap: A

Cevap: D

42

YGS Matematik

OBEB – OKEK

Çözüm

Örnek 202, 274 ve 382 sayıları en büyük hangi doğal sayıya bö-

Bütün karesel bölgelerin eş olması ve bahçenin tamamının

lündüğünde hep 4 kalır?

bölünmesi istenmektedir. Bu durumda bahçe hem enine, hem

A) 9

B) 12

C) 16

D) 18

de boyuna aynı karesel bölgelere ayrılabilmelidir. Yani kare-

E) 20

nin kenar uzunluğu hem 231 in hem de 315 in bir böleni olmalıdır. Öte yandan karenin bir kenarının en uzun olması is-

Çözüm

tendiğinden bu sayı, 231 ile 315 in ortak bölenlerinin en büyüğü olmalıdır:

Bu sayıların x e bölümlerinden 4 kaldığını kabul edelim. Bu durumda; 202 = x . a + 4 274 = x . b + 4

231

315

3 (ortak bölen)

77

105

7 (ortak bölen)

11

15

382 = x . c + 4

11 ile 15 aralarında asal olduğundan başka ortak bölen yoktur.

eşitlikleri yazılabilir.

Buna göre, OBEB (231, 315) = 3 . 7 = 21 dir. O hâlde, kare-

Bu eşitliklerde a, b, c birer doğal sayıdır. Bu eşitliklerin her iki

sel bölgenin bir kenarı 21 m olmalıdır. Bu bölme sonunda elde

taraflarına –4 eklenerek;

edilecek karesel bölge sayısı; 11. 15 = 165 tir.

198 = x . a

Cevap: E

270 = x . b 378 = x . c

ORTAK KATLARIN EN KÜÇÜĞÜ (OKEK)

eşitlikleri elde edilir. O hâlde, x sayısı 198, 270, 378 sayılarının bir ortak bölenidir. x in en büyük değeri ise 198, 270, 378

a, b, k sıfırdan farklı tam sayılar olsun. k tam sayısı a ya ve b

sayılarının OBEB idir.

ye ayrı ayrı bölünebiliyorsa, k ya a ile b nin bir ortak katı de-

198

270

378

2 (ortak bölen)

nir. Pozitif ortak katların en küçüğüne ortak katların en kü-

99

135

189

3 (ortak bölen)

33

45

63

3 (ortak bölen)

çüğü denir ve OKEK (a, b) ile gösterilir. İkiden fazla tam sayı-

11

15

21

nın OKEK i aynı biçimde tanımlanır.

11, 15, 21 sayıları aralarında asal olduğundan,

Örnek

OBEB (198, 270, 378) = 2 . 32 = 18 dir. Buna göre;

a) 12 nin pozitif katlarını yazınız.

202, 274 ve 382 sayılarının 18 e bölümlerinden kalan 4 tür.

b) 18 in pozitif katlarını yazınız.

Cevap: D

c) 12 ve 18 in ortak pozitif katlarını yazınız. d) OKEK (12, 18) kaçtır?

Örnek İki veya daha fazla tam sayının OKEK i şöyle bulunur:

Kenar uzunlukları 231 m ve 315 m olan dikdörtgen biçimindeki bir bahçe birbirine eş karesel bölgelere ayrılacaktır.

!

Elde edilecek karesel bölgelerin bir kenarı en çok kaç m olabilir? A) 3

B) 7

C) 14

D) 18

E) 21

43

Sayılar asal çarpanlarına ayrılır. Tabanları ortak olan çarpanların üssü en büyük olanı ile tabanları ortak olmayan çarpanların hepsi alınarak çarpılır. Elde edilen sayı OKEK tir.

YGS Matematik

OBEB – OKEK

Örnek

Örnek Bir hasta üç ilacından birini 6 saatte bir, birini 10 saatte bir, birini 12 saatte bir almaktadır. Bu hasta üç ilacını aynı anda aldıktan kaç saat sonra yine üç ilacı aynı anda alır? A) 30

B) 48

C) 60

D) 72

E) 90

72 = 23 . 32 108 = 22 . 33

Çözüm

120 = 23 . 3 . 5 3

3

olduğundan; OKEK (72, 108, 120) = 2 . 3 . 5 = 1080 dir. 6 3 3 1

Sayıları ayrı ayrı çarpanlarına ayıracak yerde aynı anda ayırarak sonuca daha kolay ulaşılabilir: 72 36 18 9 3 1

108 54 27 27 9 3 1

120 60 30 15 5 5 5 1

2 2 2 3 3 3 5

10 5 5 5 1

12 6 3 1

2 2 3 5

OKEK (6, 10, 12) = 22 . 3 . 5 = 60 olduğundan, hasta, 60 saat sonra üç ilacı yine aynı anda alır. Cevap: C

Örnek

Elde edilen çarpanların hepsi çarpılarak OKEK bulunur. OKEK (72, 108, 120) = 23 . 33 . 5 = 1080 dir.

18 e, 24 e ve 30 a bölündüğünde hep 6 kalanını veren dört basamaklı en küçük sayı kaçtır? A) 1086

Örnek

B) 2006

4

C) 2054

D) 2086 E) 2116

3

x = 10 . 12 . 11 y = 65 . 25

Çözüm

z = 1503 . 7 olduğuna göre, OKEK (x, y, z) kaçtır?

Aranan sayı x olsun. x = 18 . a + 6

Çözüm

x = 24 . b + 6 x = 30 . c + 6

Önce sayıları asal çarpanlarına ayıralım:

yazılabilir. Bu eşitliklerin her tarafından 6 çıkarılırsa;

x = 104 . 123 . 11

x – 6 = 18 . a

= (2 . 5)4 . (22 . 3)3 . 11 = 210 . 33 . 54 . 11

x – 6 = 24 . b

5

y = 6 . 25

x – 6 = 30 . c

= (2 . 3)5 . 52 = 25 . 35 . 52

elde edilir. O hâlde, x – 6 sayısı 18, 24 ve 30 un bir ortak ka-

z = 1503 . 7

tıdır.

= (2 . 3 . 52)3 . 7 = 23 . 33 . 56 . 7

OKEK (18, 24, 30) = 360 olduğundan,

Bu sayıların OKEK ini yazarken tabanları ortak olan çarpan-

x – 6 = 360 . k (k doğal sayı) dır.

ların en büyük üslüleri ile ortak olmayan çarpanların hepsi alı-

x in dört basamaklı en küçük sayı olması istendiğinden,

nıp çarpılacak:

k = 3 seçilirse, x = 1086 bulunur. 10

OKEK (x, y, z) = 2

5

6

. 3 . 5 . 7 . 11 olur.

Cevap: A

44

YGS Matematik

!

OBEB – OKEK

Örnek

Aralarında asal sayıların, ardışık sayıların ve ardışık tek sayıların OKEK i bu sayıların çarpımına eşittir.

15 ile bölünmesinden 12 kalanını, 18 ile bölünmesinden 15 kalanını veren üç basamaklı kaç tane sayı vardır?

OKEK ile İlgili Özelikler

A) 7

1. OKEK(a, b) = OKEK(–a, b) = OKEK(a, –b) = OKEK(–a, –b) dir. 2 k ∈ Z+ – {0} için OKEK(ka, kb) = |k| . OKEK(a, b) dir. 3. OKEK(a, b) = k olsun. k=a.x k=b.y olacak biçimde aralarında asal x ve y tam sayıları vardır. 4. Pozitif iki doğal sayının OKEK i ile OBEB inin çarpımı sayıların çarpımına eşittir. Bu özellik, üç veya daha fazla doğal sayı için geçerli değildir. a.b = OBEB (a, b). OKEK (a,b)

B) 8

C) 9

D) 10

Çözüm Aranan sayılar x olsun. x = 15m + 12 x = 18n + 15 tir. Eşitliklerin her iki tarafına 3 eklersek x + 3 =15 . (m + 1) x + 3 =18 . (n + 1) olur. O hâlde, x + 3 sayısı 15 ve 18 in bir ortak katıdır. 15 15 5 5 1

Örnek m ve n pozitif doğal sayılardır. OKEK(m, n) = 72 m . n = 432 olduğuna göre, m + n toplamı kaç farklı değer alabilir? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

18 9 3 1

2 3 3 5

OKEK(15, 18) = 2 . 32 . 5 = 90 olduğundan, x + 3 = 90.k , k ∈ Z+ x = 90 . k – 3, k ∈ Z+ dir. x üç basamaklı sayı olduğundan, k yerine 2 den 11 e kadar

Çözüm

olan doğal sayılar yazılabilir. O hâlde, 10 tane sayı vardır. Cevap: D

OKEK(m, n) = 72 olduğuna göre, x ile y aralarında asal olmak üzere;

72 = m . x

72 = n . y

E) 11

Rasyonel Sayıların OBEB ve OKEK’İ: OBEB (a, c) a c OBEB a , k = b d OKEK (b, d)

yazılabilir. Bu eşitlikler taraf tarafa çarpılırsa,

OKEK (a, c) a c OKEK a , k = b d OBEB (b, d)

72.72 = m.x . n.y ⇒ 72.72 = 432.x.y ⇒ x.y = 12

Örnek

elde edilir. x ile y aralarında asal olduğundan; (x, y) = (1, 12), (x, y) = (3, 4), (x, y) = (4, 3),

x=

(x, y) = (12, 1) olabilir.

15 10 20 , y= , z= 7 21 49

OKEK (x, y, z) bulalım.

(x, y) = (1, 12) ⇒ m = 72, n = 6 ⇒ m + n = 78 dir. (x, y) = (3, 4) ⇒ m = 24, n = 18 ⇒ m + n = 42 dir.

Çözüm

(x, y) = (12, 1) ⇒ m = 6, n = 72 ⇒ m + n = 78 dir. (x, y) = (4, 3) ⇒ m = 18, n = 24 ⇒ m + n = 42 dir. Buna göre, m + n toplamı 42 ve 78 değerlerini alabilir.

OKEK c

Cevap: B

45

OKEK (15, 10, 20) 60 15 10 20 , , = m= 7 21 49 7 OBEB (7, 21, 49)

YGS Matematik

OBEB – OKEK

Örnek

Örnek

p ve q birbirinden farklı asal sayılar olmak üzere,

Pozitif tam sayılar kümesi üzerinde

a = p4 . q2

yük ortak bölen ve en küçük ortak kat yardımı ile

b = p2 . q3

a

b = EBOB (a, b)

veriliyor.

a

b = EKOK (a, b) olarak tanımlanıyor.

Buna göre, a ve b sayılarının en büyük ortak böleni aşağı-

Buna göre, 18

dakilerden hangisidir? A) p5 . q4

A) 2 B) p4 . q3

(12

B) 3

ve

işlemleri en bü-

4) işleminin sonucu kaçtır? C) 6

D) 8

C) p3 . q4

E) 9 (2010 – YGS)

D) p2 . q2 E) p2 . q3

Çözüm

(2011 – LYS)

Çözüm

12

4 = EKOK (12, 4) = 12 dir.

18

12 = EBOB (18, 12) = 6 olur. Cevap: C

İki sayının Obeb’i bulunurken sayılar asal çarpanlarına ayrılır, tabanları aynı olan sayılardan küçük kuvvetli olan (kuvvetler

Örnek

eşit ise herhangi biri) alınarak çarpılır. a = p4 . q2 ve b = p2 . q3 ifadelerinde p ve q zaten asal ve farklı olduğuna göre, obeb(a, b) = p2 . q2 dir.

m ve n pozitif tam sayılarının ortak bölenlerinin en büyüğü OBEB (m, n) = 6 ve ortak katlarının en küçüğü

Cevap: D

OKEK (m, n) = 60 tır. m + n = 42 olduğuna göre, |m – n| kaçtır? A) 26

B) 24

C) 22

D) 20

(2007 – ÖSS)

Örnek b ve 40 sayılarının en küçük ortak katı 120 dir.

Çözüm

Buna göre, kaç farklı b pozitif tam sayısı vardır? A) 6

B) 8

E) 18

C) 10

D) 12

OBEB(m, n) = 6 ve OKEK(m, n) = 60 ise

E) 14

m . n = OBEB(m, n) . OKEK(m, n) olduğundan

(2010 – LYS1)

m . n = 6 . 60 = 360 tır. m.n = 360 1 ise m.(42 – m) = 360 m + n = 42 42m – m2 = 360

Çözüm 40 = 2 3 .5 4 & b = 3. (É ) 120 = 2 3 .3.5 3

m2 – 42m + 360 = 0 olur.

m

–30

m

–12

b sayısında mutlaka 3 sayısı olmalıdır. 3 ün yanına ise 2 .5

(m – 30) . (m – 12) = 0 ise m = 30 veya m = 12 dir.

sayısının pozitif bölenlerinden herhangi biri getirilebilir.

m + n = 42 olduğuna göre,

3

2 .5 in pozitif bölenleri sayısı

m = 12 ⇒ n = 30 ve

(3 + 1) . (1 + 1) = 4.2 = 8 tanedir.

m = 30 ⇒ n = 12 olduğu için her durumda |m – n| = 18 olur. Cevap: B

Cevap: E

46

YGS Matematik

OBEB – OKEK

Örnek

Çözüm

Eni 81 metre, boyu 270 metre olan dikdörtgen biçimindeki bir

EBOB (a, b) = 1 ise a ve b sayıları aralarında asal olmalıdır.

tarla, hiç alan artmayacak biçimde eş karelere bölünerek kü-

Bilgi: Ortak bölenleri sadece 1 olan sayılara aralarında asal

çük bahçeler yapılıyor.

denir.

Bu şekilde en az kaç tane eş bahçe elde edilir? A) 27

B) 30

C) 33

D) 35

8 ve 9 1 gibi 5 ve 6

E) 40

a . b = 900 ↓ ↓ 1 . 900

(2008 – ÖSS)

Çözüm

4 . 225 9 . 100 25 . 100 a

25 . 36 36 . 25

81 m

100. 9

a a

225.4 a a

900.1

a a

270m

olmak üzere 8 tane (a, b) sıralı ikilisi bulunur. Cevap: A

81 270 a ve a birer tam sayı olacağı için a = EBOB (81, 270) tir. 81 81 27 9 3 1

270 135 45 15 5 5 1

2 3 3 3 3 5

EBOB(81, 270) = 3

Örnek

3

Toplamları 26 olan a ve b pozitif tam sayılarının en küçük or-

⇒ a = 33 ⇒ a = 27 m dir.

tak katı 105 tir. Buna göre, |a – b| kaçtır? A) 12

B) 13

C) 14

D) 15

E) 16 (2000 – ÖSS)

Eş bahçe sayısı 81 . 270 81 270 a a = 27 · 27 = 3.10 = 30 olur.

Çözüm Cevap: B

a + b = 26 OKEK (a, b) = 105

Örnek

105 21 7 1

a ve b pozitif tam sayılarının en büyük ortak böleni

EBOB (a, b) = 1 dir.

a.b = 900 olduğuna göre, kaç farklı (a, b) sıralı ikilisi bulunabilir? A) 8

B) 10

C) 12

D) 14

5 3 7

105 = 3 . 5 . 7 dir. a = 21 b=5

olursa 21 + 5 = 26 sayısı verilenleri sağlar.

|a – b| = |21 – 5| = |16| = 16 olur.

E) 16 (2005 – ÖSS)

Cevap: E

47

Çözümlü Test

OBEB – OKEK

YGS Matematik

1.

108 in x e bölümünden kalan 3,

6. OBEB (48, x) = 16

154 ün x e bölümünden kalan 4,

OKEK (96, x) = 480

226 nın x e bölümünden kalan 1 dir.

olduğuna göre, x in alabileceği en büyük sayı kaç-

Buna göre, en büyük x doğal sayısının rakamları

tır?

toplamı kaçtır?

A) 80

A) 4

B) 5

C) 6

D) 7

doğal sayının rakamları toplamı kaçtır? C) 8

D) 9

E) 480

495 adet gül ile 735 adet karanfil her demette eşit sayıAynı demette hem gül, hem de karanfil bulunmayacak ve hiç çiçek artmayacak biçimde en az sayıda

E) 10

kaç demet yapılabilir? A) 56

3.

D) 160

da gül veya karanfil olacak şekilde satışa sunulacaktır.

2. 18, 24 ve 30 a ayrı ayrı bölünebilen 1000 e en yakın B) 7

C) 108

E) 8

7.

A) 6

B) 96

B) 64

C) 72

D) 78

E) 82

Hem 24 e hem de 32 ye bölünebilen üç basamaklı kaç tane doğal sayı vardır? A) 7

B) 8

8.

C) 9

D) 10

Kenar uzunlukları 186 m ve 210 m olan dikdörtgen biçimindeki parkın kenarına eşit aralıklarla ağaç fidanı diki-

E) 11

lecektir.

Köşelere de birer fidan dikmek şartıyla bu parkın çevresine en az sayıda kaç tane fidan gereklidir? A) 96

B) 98

C) 102

D) 116

E) 132

4. 7 ve 5 ile bölündüğünde, her iki bölümden de 2 kalanını veren iki basamaklı en küçük pozitif sayının rakamları toplamı kaçtır? A) 6

B) 8

C) 9

D) 10

E) 11

9. Boyutları 10 cm, 12 cm ve 15 cm olan dikdörtgenler prizması biçimindeki kutular yan yana ve üst üste konularak küp biçiminde bir kutu elde edilmek isteniyor. x a c c d 1

5.

y b b d d 1

2 2 3 5 7

A) 30

Yukarıdaki tablo x ve y doğal sayılarının OKEK ini he-

B) 224

C) 238

C) 60

D) 90

E) 120

sayılarının en küçük ortak katı 105 tir.

Buna göre, x + y toplamı kaçtır? A) 182

B) 45

10. a > b olmak üzere, toplamları 26 olan a ve b pozitif tam

saplamak için yapılmıştır.

Bunun için en az kaç tane kutu gereklidir?

D) 274

Buna göre, a – b farkı kaçtır? A) 12

E) 350

48

B) 13

C) 14

D) 15

E) 16

Çözümler

YGS Matematik

OBEB – OKEK

1.

108 = x . a + 3

3. OKEK (24, 32) = 96 dır. O hâlde, hem 24 hem de 32 ye

154 = x . b + 4

226 = x . c + 1

bölünebilen sayılar 96 nın katıdırlar: 96 . k ifadesinde; k ya 2 den 10 a kadar değer verildiğinde elde edilen sayı 3 basamaklı olur. Buna göre, 9 tane sayı vardır.

yazılabilir. Bu eşitliklerin sağ taraflarındaki sayıları sol

Cevap: C

tarafa alalım:

105 = x . a

150 = x . b

225 = x . c

olur. O hâlde, x doğal sayısı 105, 150 ve 225 in bir ortak bölenidir. En büyük x doğal sayısı

OBEB (105, 150, 225) tir.

105 150 225 35 7

50 10

3 (ortak bölen) 5 (ortak bölen)

75 15

7, 10 ve 15 sayıları aralarında asal olduğundan

x = OBEB (105, 150, 225) = 3 . 5 ⇒ x = 15 tir.

x in rakamları toplamı 6 dır.

4. 7 ve 5 ile bölündüğünde 2 kalanını veren en küçük pozitif sayı x olsun: Cevap: C

x = 7m + 2

x = 5n + 2

dir. Bu eşitliklerden,

x–2=7.m

x–2=5.n

elde edilir. O hâlde, x – 2 sayısı hem 7 nin hem de 5 in katıdır. En küçük x sayısı istendiğinden,

x – 2 = OKEK (5, 7)

dir. OKEK (5, 7) = 35 olduğundan, x – 2 = 35 ⇒ x = 37

dir. 37 nin rakamları toplamı 10 dur.

2. 18, 24 ve 30 a bölünen sayılar, bu üç sayının ortak ka-

Cevap: D

tıdır. Bu sayıların ortak katlarını bulmak için OKEK lerini bulalım: 18 24 9 12 9 6 9 3 3 1 1

30 15 15 15 5 5 1

2 2 2 3 3 5

OKEK (18, 24, 30) = 23 . 32 . 5 = 360 tir.

5. Tablodaki işlemler takip edilirse;

Bu üç sayının ortak katları 360 . k dır.

k = 3 seçilirse, 1000 e en yakın ortak kat elde edilir:

x = 2 . 2 . 5 . 7 ⇒ x = 140 y = 2 . 3 . 7 ⇒ y = 42 olduğu anlaşılır. Buna göre, x + y = 140 + 42 = 182 dir.

360 . 3 = 1080 dir.

Bu sayının rakamları toplamı 9 dur. Cevap: D

Cevap: A

49

Çözümler

OBEB – OKEK

6. OBEB (48, x) = 16 olduğundan;

YGS Matematik

9. Dikdörtgenler prizması biçimindeki kutular, yan yana ve

48 = 16 . 3

üst üste konularak küp biçiminde bir kutu elde edilirse

x = 16 . m

bu küpün bir kenarının uzunluğu, prizmanın ayrıt uzun-

dir ve m, 3 ün katı değildir.

OKEK (96, x) = 480 olduğundan,

480 = 96 . 5

480 = x . n

dir ve n, 5 in katı değildir. Buna göre,

480 = 16 . m . n ⇒ m . n = 30

OKEK (10, 12, 15) = 60

olduğundan, elde edilecek küpün bir ayrıtının uzunluğu

60 cm dir. 60.60.60 Kutu sayısı= 10.12.15

⇒m.n=2.3.5

luklarının OKEK i olur.

= 120 kutu gerekir. Cevap: E

tir. x in en büyük olması için m nin en büyük olması gerekir.

m = 10, n = 3 seçilirse, x = 16 . 10 = 160 olur. Cevap: D

(ortak bölen) 7. 495 735 3 5 (ortak bölen)

165 245 33 49

33 ile 49 aralarında asal olduğundan,

OBEB (495, 735) = 3 . 5 = 15 tir. O hâlde, her demette

10. 105 = 3 . 5 . 7 dir.

en fazla 15 çiçek olabilir.

Buna göre, 33 demet gül, 49 demet karanfil olmak üzeCevap: E

8. Fidan sayısının en az olması için fidanlar arasındaki uzaklık en fazla olmalıdır. Fidanlar arasındaki uzaklık 186 ile 210 un bir ortak bölenidir. 2 (ortak bölen) 3 (ortak bölen)

186 210 93 105 31 35

31 ile 35 aralarında asal olduğundan, fidanlar arasındaki uzaklık 2 . 3 = 6 m olmalıdır.

O hâlde, parkın çevresine en az,

a = 3 . 7 ve b = 5 seçilirse, a + b = 26 ve

OKEK (a, b) = 105 olur.

Buna göre, a – b = 21 – 5 = 16 dır. Cevap: E

re toplam 82 demet yapılabilir.

2 . (31 + 35) = 2 . 66 = 132

tane fidan gereklidir. Cevap: E

50

YGS

RASYONEL SAYILAR

7. BÖLÜM

MATEMATİK

Örnek

RASYONEL SAYILAR

3 olan bir kesrin payına 6, paydasına 7 sayısı eklen8 3 diğinde değeri oluyor. 7

a ifadesine kesir, a ile b b aralarındaki asal sayılara ise rasyonel sayı denir. Rasyonel

Değeri

sayılar kümesi Q ile gösterilir.

Buna göre, ilk kesrin pay ve paydasının toplamı kaçtır?

a, b ∈ Z ve b ≠ 0 olmak üzere,

Çözüm

30 30 5 a = bir kesirdir. bir rasyonel sayıdır. kes12 12 2 b rinde a ya pay, b ye payda denir.

Örneğin

k ∈ Z olmak üzere, kesri

b bir bütünün kaç eşit parçaya bölündüğü, a ise bu parçalar-

3k şeklinde düşünelim. 8k

3k + 6 3 = den 8k + 7 7

dan kaç tanesinin alındığını gösterir.

21k + 42 = 24k + 21 21 = 3k k = 7 dir. 3.7 21 = olur. 8.7 56 Pay ile paydasının toplamı 21 + 56 = 77 bulunur.

Örneğin 4 eşit parçaya bölünmüş dairesel biçimdeki bir pas-

!

tadaki taralı dilimi kesir ile ifade edersek 4 parçaya bölündüğü

a rasyonel sayısında b = 0 ise bu sayı tanımsızdır. b

için paydaya 4, 1 parçası alındığı için de paya 1 yazılır. Dola1 olur. yısıyla kesrimiz 4 Her tam sayı, paydası 1 olan rasyonel sayılardır.

Örnek

5 2 = 5, = 2, É É 1 1

3x – 5 kesri x in hangi değerleri için tanımsızdır. x+7

Bir rasyonel sayının pay ve paydası sıfırdan farklı bir reel sayı ile çarpılırsa veya bölünürse sayının değeri değişmez.

Çözüm

a ≠ 0 için

3x – 5 kesri x + 7 = 0 için tanımsızdır. x+7

x a.x y = a.y dir.

x = –7 bulunur.

3 3 2 6 = á = 5 5 2 10 a rasyonel sayısının pay ve paydası sıfırdan farklı bir reel b sayı ile çarpıldığında veya bölündüğünde elde edilen kesirle-

Örnek

re denk kesirler denir. 2x + xy = x – 5 + 5y eşitliğinde y yi tanımsız yapan x sa-

2 4 10 = = =… 3 6 15

yısı kaçtır?

51

YGS Matematik

Rasyonel Sayılar

Örnek

Çözüm

7 ifadesi bileşik kesir olduğuna göre, x in alabileceği x+3

2x + xy = x – 5 + 5y

kaç farklı doğal sayı değeri vardır?

xy – 5y = –x – 5 y(x – 5) = –x – 5

Çözüm

–x – 5 y= kesrinin tanımsız olabilmesi için x–5

7 kesri bileşik kesir ise x+3

x – 5 = 0 olmalıdır. x = 5 bulunur.

7 ≥ |x + 3| |x + 3| ≤ 7

Basit Kesir

x ≤ 4 x ∈ N olduğu için,

Payı paydasından mutlak değerce küçük olan kesirlere denir.

0, 1, 2, 3, 4 değerleri alınır. Buna göre,

a a basit kesir ise |a| < |b| ya da –1 < < 1 olur. (a ≠ 0, b ≠ 0) b b

x in alabileceği 5 farklı doğal sayı değeri vardır.

Tam sayılı Kesir

Örnek

c ∈ Z ve 4a – 7 kesri basit kesir ise a doğal sayısı kaç farklı değer 12

şeklinde yazılmasına tam sayılı kesir denir.

alır?

a –

Çözüm

b c

k

a k =c b b

4a – 7 4a – 7 <1 kesri basit kesir ise –1 < 12 12

a k = c+ b b

–12 < 4a – 7 < 12

a c.b + k = b b

–5 < 4a < 19 –

k a k basit kesir olmak üzere, bileşik kesrinin c b b b

5 19
Örnek

a = 0, 1, 2, 3, 4 olmak üzere 5 farklı değer alır.

23 bileşik kesrini tam sayılı kesir olarak yazınız. 5

Bileşik Kesir

Çözüm

Payı paydasından mutlak değerce büyük veya eşit olan kesirlere denir. a bileşik kesir ise |a| ≥ |b| b a a ≥ 1 veya ≤ –1 olur. b b

–

23 20

5 4

3

23 3 =4 bulunur. 5 5

52

YGS Matematik

Rasyonel Sayılar

Rasyonel Sayılarda İşlemler a. Toplama:

k. x – y – z = (x – y) – z I. x : y : z işlemi tanımsızdır. İşlem sırası parantezle belirtil-

a c a.d + b.c + = b d b.d

^d h

melidir:

^b h

(x : y) : z = a c a.d – b.c – = b. Çıkarma: b d b.d ^d h

c. Çarpma:

d. Bölme:

x x 1 x :z= ⋅ = y y z yz

x : ( y : z) = x :

^b h

y x z xz = ⋅ = z 1 y y

a c a.c · = b d b.d

a c a d a.d : = á = b d b c b.c

Örnek Aşağıdaki işlemleri inceleyiniz.

a.

Bu işlemler yapılırken rasyonel sayıları sadeleştirmek ya da uygun biçimde genişletmek, işlemleri kolaylaştırılabilir. Ras-

c

1 5 1 1 5 2 1 – m. c 2 – m = f – p. f – p 3 6 4 3 6 1 4 ^2 h

yonel sayılar arasındaki işlemlerin sırası genellikle parantez-

lerle belirlenmiştir. Parantezle işlem sırası belirlenmeyen ifa-

^1 h

^4 h

^1 h

2–5 8 –1 =c m. c m 6 4 –3 7 · = 6 4 21 7 =– =– 24 8

delerde önce çarpma ve bölme işlemleri sonra da toplama ve çıkarma işlemleri yapılır. Aşağıda parantezsiz olarak verilen işlemlerin işlem sırası sağ taraflarında parantezle belirlenmiştir; inceleyiniz.

b.

a. x . y + z = (x . y) + z

–

3 6 5 3 7 5 : – = c – m. Ð 5 7 3 5 6 3 21 5 =– – 30 3 ^1 h

^10 h

–21 – 50 71 = =– 30 30

b. x . y + z . t = (x . y) + (z . t) c. x + y . z = x + (y . z) x d. x : y + z = y + z

c.

y e. x + y : z = x + z

4 1 1 4 2 1 4.4 + 1 – p: c 5 – 2 – m: c 4 m = f 5 – 2 4 1 2 4 ^2 h

x.y f. x . y : z = z

^10 h

^5 h

8 – 20 – 5 17 : = 10 4 – 17 4 · = 10 17 – 17.4 2 = =– 5 10.17

g. x : y . z işlemi tanımsızdır. İşlem sırası parantezle belirtilmelidir. x x : (y . z) = y.z

d.

x (x : y) . z = y .z x z h. x : y + z : t = y + t i. x . y + z : t = (x . y) +

z t

5 4 – + 5 1 3 +4 ^3 h ^1 h 3 = 4 1 4 3 1– : 9 3 1– c 9 · 1 m –5 + 12 3 = 1 4 – 1 3 –

^3 h

j. x + y + z = (x + y) + z = x + (y + z)

^1 h

7 7 7 3 = 3 = 3 = · c m = –7 3–4 –1 3 –1 3 3

53

YGS Matematik

Rasyonel Sayılar

Çözüm

â + 1 h a+1 a+ â + 1 h a+ h sonsuz devirli kesrinin değeri daima (a + 1) olur. a ∈ N+ olmak üzere, a +

!

â + 1 h –

4– 4–

a

â + 1 h –

sonsuz kesrinin dea a â + 1 h – h

4–

ğeri daima a olur.

2 3+

1+

4

3

= x diyelim.

3

x =x 3 x 4 = x+ 3 4x 4= & x=3 3 4–

Örnek 1+

x

3

bulunur.

işleminin sonucu kaçtır? 2

3+

Örnek

4 h

Rasyonel sayılar kümesinde bildiğimiz toplama ve çarpma işlemleri tanımlanıyor.

Çözüm

Buna göre, aşağıdakilerden hangisinin hem toplama hem de çarpma işlemine göre tersi bir tam sayıdır? A)

2 3

B) –1

C) –

1 2

D) 0

E) 2 (2011 - YGS)

Çözüm 1+

2

=x 4 3+ x 2x 1+ =x 3x + 4 3x + 4 + 2x = 3x2 + 4x → 3x2 – x – 4 = 0

(x + 1)(3x – 4) = 0

x = –1 veya x =

x = –1 olamaz. x =

4 3

4 bulunur. 3

Örnek

4−

4−

4− 3

4− 3

3

 3

Tablodan da anlaşılacağı üzere hem toplama hem de çarpma işlemine göre tersi tam sayı olan sayı –1 dir. kesrinin değeri kaçtır?

Cevap: B

54

YGS Matematik

Rasyonel Sayılar

Örnek

Örnek

3 5c 2 – m 5 işleminin sonucu kaçtır? 5 2c 3 – m 2 A)

5 2

B)

7 2

C) 3

a b sayısı sayısının kaç katıdır? 10 100 A) D) 5

a 10b

B)

10a b

C)

10b a

D)

ab 10

E) 7

E)

10 ab

(2008 - ÖSS)

(2010 - YGS)

Çözüm Çözüm

2 3 5⋅ −   10 − 3    1 5 5⋅  5  1  = 6−5 3 5 2⋅ −  2⋅   2   1 2 2 

a b = k· olsun & k = ? 10 100 a 100 · =k 10 b

7 5⋅ 5 = 7 = 7 olur. = 1 1 2⋅ 2

Cevap: B

10a = k olur. b Cevap: E

Örnek

c

Örnek

1 1 – 1 mc 2 – m 5 5 işleminin sonucu kaçtır? 1 +1 5

A)

–6 5

B)

–5 6

C) –1

D)

6 5

E)

5 6

1–

1 1 1 + – işleminin sonucu kaçtır? 2 4 8

A)

5 8

B)

3 8

C)

1 8

D)

3 4

E)

1 4

(2007 - ÖSS)

(2009 - ÖSS)

Çözüm c

1 1 1 5 10 1 – 1 m. c 2 – m c – m. c – m – 5 5 5 5 5 5 = = 1 5 1 + +1 5 5 5 –36 5 –6 = · = bulunur. 5 25 6

Çözüm

4 9 · 5 5 6 5

1 1 1 1 8 – 4+2 –1 + – – = 2 4 8 8 1

^8 h

^4 h

^2 h

=

Cevap: A

55

5 bulunur. 8

Cevap: A

Çözümlü Test

Rasyonel Sayılar

−4 − ( −3 ) + ( −2 ) 4 ⋅ ( −3 )

1.

işleminin sonucu kaçtır? A) –

2.

1 8

1 B) – 6

C) 1

D)

1 4

E)

1 6

B) 2

C) 3

D) 4

1 1 1 1 1 1 –c – m–c + – m 2 2 3 2 3 6


E) 5

D) 4

E)

2 3

3 oluyor. 11

C) 9

D) 5

E) 1

D) 10

1 oluyor. 3

B) 12

C) 8

D) 4

E) 2

E) 5

sayı olması için a ya verilebilecek değerlerin toplamı kaçtır? C) 8

1 6

Bu kesrin paydası ve payı arasındaki fark kaçtır? A) 16

4. 1 < a < 10 koşulu ile 2aa+ 1 kesrinin 10 katının bir tam

B) 7

B) 10

2 çıkarılırsa kesrin değeri

kaçtır?

A) 6

D)

7. Bir kesrin değeri 37 dir. Bu kesrin pay ve paydasından

C) 3

1 3

Bu kesrin payı kaçtır? A) 12

K 5 +2 = M 2

B) 2

C)

sına 3 eklenirse kesrin değeri

olduğuna göre, K nın alabileceği en küçük değer

A) 1

2 B) – 3

6. Bir kesrin değeri 13 tür. Payından 1 çıkarılır, payda-

3. K ve M pozitif tam sayılar,

5.

1 A) – 3

Sıfırdan farklı bir sayının üç katı alınır ve sonuç, başlangıçta alınan sayıya bölünürse bölüm kaç olur? A) 1

YGS Matematik

8.

1 1 c3 – m + c1 – m 2 2 1 3 c4 – m – c – 1m 4 4

işleminin sonucu kaçtır? A) 2

E) 11

56

B) 1

C)

1 2

D)

1 4

E)

3 4

Çözümlü Test

YGS Matematik

9.

N J 3 – 1O 1 K 3 4 + : K 3 OO 12 K 1– 3 4 P L


10.

x–

B) 13

C) 24

D) 143

E) 144

12 = 6 eşitliğini sağlayan x kaçtır? 12 12 x– 12 x– h

A) 3

B) 4

C) 6

D) 8

E) 12

57


Çözümler


1.

7. Değeri 37 olan kesir 37xx olsun.

−4 − ( −3 ) + ( −2 ) −4 + 3 − 2 −3 1 = = = −12 4 ⋅ ( −3 ) −12 4 Cevap: D

2.

Rasyonel Sayılar YGS Matematik

3x x = 3 tür. Cevap: C

3x – 2 1 = & 3. (3x – 2) = 1. (7x – 2) 7x – 2 3

⇒ 9x – 6 = 7x – 2

⇒ 2x = 4

⇒ x=2

bulunur. 7x – 3x = 4x = 4 . 2 = 8 dir. Cevap: C

3.

K K 5 5 +2= ⇒ = −2 M M 2 2 ⇒

K 1 = M 2

8.

dir. Buna göre, K nın alabileceği en küçük değer, K = 1

dir. Cevap: A

4.

10.

2a + 1 2a 1 a = 10. a a + a k 1 = 10. a 2 + a k 10 = 20 + a

9.

dir. Bu ifadenin bir tam sayı olması için 1 < a < 10 olmak

1 1 1 1 c3 – m + c1 – m 3 – + 1– 2 2 2 2 = 1 3 1 3 c4 – m – c – 1m 4 – 4 – 4 + 1 4 4 2 4– 2 = 4 –1 = 3 = 4 5 –1 4 5– 4

3 1    −  − 1  3 1 3 4 4 = + +  ⋅ 12 :  3  12  1 3   1− 3     4  4  

üzere, a ya 2 ve 5 değerleri verilebilir. 2 + 5 = 7 dir.

1  =  12 −  ⋅ 12  12  = 144 − 1 = 143

Cevap: B

5.

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 –c – m–c + – m= – + – – + 2 2 3 2 2 3 2 3 6 2 3 6 1 1 1 =– + =– 2 6 3

10.

Cevap: A

12 12 x– 12 x– 12 x– 12

x–

6. Değeri 13 olan kesir 3xx olsun.

3 x –1 & 11. (x – 1) = 3. (3x + 3) = 3x + 3 11

⇒ 11x – 11 = 9x + 9

⇒ 2x = 20

⇒ x = 10 bulunur.

Cevap: E

x– x–

Cevap: D

=6 2 olmalı

=2

12 12

2 olmalı

Cevap: B

12 = 2 den 2

x–

x = 8 olur. Cevap: D

58

YGS

ONDALIK SAYILAR

MATEMATİK

8. BÖLÜM

Örnek

ONDALIK SAYILAR a şeklinde yazılabilen rasyo10 n nel sayılara ondalık sayı denir.

a ∈ Z ve n ∈ Z+ olmak üzere

Örnek 2 173 4121 = 0, 2 ; = 1, 73 ; = 4, 121 10 100 1000

sayıları ondalık

Bölme İki tane ondalık sayı bölünürken pay ve payda 10 un kuvvet-

sayılardır.

leri ile çarpılarak virgül ortadan kaldırılıp bölme işlemi yapılır.

Örnek

a rasyonel sayısında payın paydaya bölümünde b elde edilen sayıya ondalık sayı denir. (b ≠ 0)

!

1, 11 1, 11.100 = 3, 7.100 3, 7 111 3 = = = 0, 3 370 10

Örnek 3 = 1, 5 2

Örnek

2 = 0, 4 5

0, 3 0, 009 - 4 + işleminin sonucu kaçtır? Ð 0, 03 0, 16 0, 003 ONDALIK SAYILARDA DÖRT İŞLEM

Çözüm Toplama - Çıkarma

0, 3 0, 009 - 4 + Ð 0, 03 0, 16 0, 003

Virgüller alt alta gelecek şekilde yazılıp toplama veya çıkar-

^100 h

ma işlemi yapılır.

^100 h

^1000 h

30 - 400 9 Ð + 3 16 3 = 10 Ð25 +3 - 12 bulunur. =Ð =

Örnek

1. a, bcd ondalık sayısı 13, 628 +

7,3

20, 928

3, 0

a, bcd =

0, 02

3, 8

! Çarpma

abcd 1000

sayının tamamı

1 in sağına virgülden sonraki basamak sayısı kadar sıfır şeklinde rasyonel sayıya çevrilir.

2. a, bcd ondalık sayısı a, bcd = abcd.10–3 virgülden sonraki basamak sayının sayısının negatifi şeklinde tamamı üslü sayıya çevrilir.

İki tane ondalık sayı çarpılırken virgül yokmuş gibi çarpılıp, çarpanların ikisinde bulunan ondalık basamakların sayısı kadar basamak çarpımın sağından başlanarak virgülle ayrılır.

59

YGS Matematik

Ondalık Sayılar

Örnek

Örnek 0, 2 − 0, 025 işleminin sonucu kaçtır? 0, 5

3175 = 3175.10 –3 1000 235 0, 0235 = = 235.10 –4 10000 3,175 =

A)

3 5

B) 8 25

D)

4 5

C) E)

12 25

7 20

(2010 – YGS)

Devirli Ondalık Sayılar a rasyonel sayısı ondalık sayıya çevrilirken virgülden sonb ra sayılar belli bir rakamdan sonra tekrar ediyorsa bu sayı-

Çözüm

ya devirli ondalık sayı denir, devreden kısım üzerine çizgi çizilerek belli edilir.

0, 2 − 0, 025 = 0, 5 2 25 − 10 1000

Örnek

( 100 )

5 10

0, 3222... = 0, 32

=

200 − 25 1000

7 175 10 35 ⋅ = = 1000 5 100 20

3,193193... = 3,193 2, 6282828... = 2, 628

Cevap: C

Devirli Ondalık Sayıların Rasyonel Sayıya Dönüştürülmesi a, bcd =

=

abcd − ab 990

Örnek

sayının tamamı – devretmeyen kısım virgülden sonraki devreden sayı kadar 9, devretmeyen sayı kadar 0 yazılır.

0,1 0, 02 − işleminin sonucu kaçtır? 0, 01 0, 2 A) 8

B) 8,9

C) 9

623 − 62 90

0, 013 = 3,12 =

E) 10,1 (2009 – ÖSS)

Örnek 6, 23 =

D) 9,9

13 − 1 900

312 − 3 99

0, 397 =

397 − 39 358 = 900 900

13, 57 =

1357 − 13 1344 = 99 99

Çözüm 0,1 0, 02 10 2 1 − = − = 10 − = 9, 9 0, 01 0, 2 1 20 10 Cevap: D

60

YGS Matematik

Ondalık Sayılar

c. Pay ve paydalar arasındaki farklar eşitse kesirler basit kesir ise payı küçük olan daha küçüktür. Kesirler bileşik kesir ise payı büyük olan daha küçüktür.

Örnek 4, 9 0, 1 işleminin sonucu kaçtır? + 0, 49 0, 01 A) 11

B) 20

C) 50

D) 59

11 21 39 < < ve 13 23 41 17 11 7 < < gibi 14 8 4

E) 110 (2008 – ÖSS)

2. Negatif rasyonel sayıların sıralamasında sayılar önce pozitif rasyonel sayılardaki kurallara göre sıralanıp, sıra-

Çözüm

lama ters çevrilir.

490 10 + = 10 + 10 = 20 49 1

Örnek Cevap: B

a=–

5 7 9 , b=– , c=– 11 11 11

sayılarının sıralamasında işareti dikkate almazsak 5 7 9 < < dir. 11 11 11

Örnek

Sayılar negatif olduğundan sıralama ters çevrilirse –

= a 0= , 2 0, 2222...2... devirli ondalık açılımıyla verilen a sayısı için A)

5 2

9 7 5 <– <– yani c < b < a olur. 11 11 11

a aşağıdakilerden hangisidir? B)

3 2

C)

2 2

D)

5 3

E)

2 3

Örnek

(2007 – ÖSS)

a, b, c ∈ R– olmak üzere,

Çözüm a = 0, 2 =

2 rasyonel biçimi 9

a.b = 0,234 a=

a.c = 0,23

2 2 = 9 3

b.c = 0, 2 ise a, b ve c sayılarını küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Cevap: E

RASYONEL SAYILARDA SIRALAMA

Çözüm

1. Pozitif rasyonel sayıların sıralaması

0, 2 < 0,23 < 0,234 ve b.c < a.c < a.b olur.

a. Paydalar eşit ise payı küçük olan kesir daha küçüktür.

3 4 7 9 < < < gibi 11 11 11 11

a, b, c ∈ R– olduğundan b.c < a.c ⇒ b > a

b. Paylar eşit ise paydası büyük olan kesir daha küçüktür.

a.c < a.b ⇒ c > b olur.

5 5 5 5 < < < gibi 29 23 17 11

a < b ve b < c ise a < b < c bulunur.

61

YGS Matematik

Ondalık Sayılar

Örnek a=

45 47 49 , b= , c= 17 18 19

Örnek olduğuna göre,

a = 1, 237 b = 1, 237

a, b, c sayılarını küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

c = 1, 237 ise a, b, c sayılarını küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Çözüm a=

45 11 = 2+ 17 17

b=

11 47 = 2+ 18 18

Çözüm

49 11 c= = 2+ 19 19 şeklinde yazarsak herbirinde 2 ortaktır.

a=

1 , 2

3

7

7

7 7

7 …

b=

1 , 2

3

7

3

7 3

7 …

c=

1 , 2

3

7

2

3 7

2 3 7 …

11 11 11 < < oldu19 18 17

aynı

ğundan c < b < a olur.

2 < 3 < 7 o halde

c < b < a olur.

Örnek Örnek a=

–

5 7
mı kaçtır?

286 370 1043 , b= , c= ise 267 351 1024

A) –2

B) –1

C) 0

a, b, c sayılarını küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

D) 1

E) 2 (2010 – YGS)

Çözüm Çözüm

–

5 7 < x < = –1, … < x < 2, … 4 3

= x ∈ {–1, 0, 1, 2}

Kesirlerin pay ve paydaları arasındaki farklar sabit ve kesirler

–1 + 0 + 1 + 2 = 2 dir.

bileşik kesir olduğundan payı büyük olan kesir daha küçüktür. O halde doğru sıralama c < b < a şeklindedir.

Cevap: E

62

YGS Matematik

Ondalık Sayılar

Örnek

Örnek

c
10 11 100 b= 111 1000 c= 1111

b
olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğ-

eşitsizlikleri veriliyor.

rudur?

Buna göre, bu beş sayının en küçüğü hangisidir?

A) c < b < a

a, b, c, d ve e gerçel sayıları için

a=

a
A) a

B) b

C) c

D) d

B) c < a < b

D) a < c < b

E) e

C) a < b < c E) b < c < a

(2009 – ÖSS)

(1999 ÖSS – İptal)

Çözüm Çözüm b < a ve a < c ise b < a < c ve c < e ise b < a < c < e dir. Aynı

a=

10 1000 = 11 1100

b=

100 1000 = 111 1110

c=

1000 1000 = 1111 1111

zamanda b < d olduğu için en küçük sayı b dir. Cevap: B

c < b < a olur. Cevap: A

Örnek

Örnek

1 11
a < 0 < b olmak üzere, k =

daki farklar eşittir. Buna göre, a + b toplamı kaçtır?

göre, k sayısı aşağıdakilerden hangisi olabilir?

A)

5 4

B)

7 4

C)

11 4

D)

13 4

A)

E) 1

–4 3

B)

–2 3

b–a a gerçel sayısı veriliyor. Buna

C) –1

D)

2 3

E)

4 3

(2003 ÖSS)

(2003 – ÖSS)

Çözüm Çözüm

a < 0 < b ise k=

1 11
b a < 0 olduğundan

daki farklar eşit ise a+b =

b–a b a = a –1 olur.

1 11 + olur. 4 2

b k = a –1 < –1 olur.

13 bulunur. 4

k=–

^2 h

a+b =

Cevap: D

4 olabilir. 3 Cevap: A

63

Çözümlü Test

Ondalık Sayılar

1.

2, 3, 4, 5 rakamlarının ikisinden oluşturulan iki basamaklı bir sayı pay, öteki ikisinden oluşturulan iki basamaklı bir sayı da payda olmak üzere elde edilebilecek kesirlerden en büyüğünün yaklaşık değeri nedir? A) 2,34

B) 2,14

D) 1,72

4.

YGS Matematik

0, 5 16 devirli (periyodik) ondalık sayısı aşağıdakilerden hangisine eşittir?

511 990

516 B) 999 516 511 D) E) 990 999

A)

C)

516 900

C) 1,96

E) 1,48

5. k ve m devirli (periyodik) ondalık sayılar olmak üzere, k = 0, 2 ve m = 0, 5 ise A) 6,6

B) 6,5

1 1 toplamı kaçtır? + k m

C) 6,4

D) 6,3

E) 6,2

2. x, pozitif bir ondalık sayıdır.

x+

1 bir tam sayı olduğuna göre, x in virgülden 40

6. a > b > 2

sonraki kısmı nedir?

A) ...,975

a b a y= 2 2 z= b

olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

x=

B) ...,075

D) ...,250

C) ...,125

E) ...,025

A) z > x > y

B) y > x > z

C) y > z > x

D) x > z > y E) x > y > z

7. 19 < a < b < c < 29 olduğuna göre, a, b, c sayıları sırasıyla aşağıdakilerin hangisindeki sayılar olabilir?

3.

2 1 + 0, 001 0, 002 5 = k olduğuna göre, k kaçtır? 3 3 0, 004 A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

A)

6 11 12 , , 45 45 45

64

D)

B)

4 6 7 , , 27 27 27

C)

5 6 7 , , 36 36 36

2 5 6 7 9 15 , , , , E) 18 18 18 54 54 54

Çözümlü Test

YGS Matematik

8.

x= A)

10 12 16 , y= , z= sayılarının OBEB’i kaçtır? 77 55 35

1 385

9.

10.

B) D)

2 385

C)

1 E) 1 11

2 11

x=

15 9 30 , y= , z= sayılarının OKEK’i kaçtır? 7 7 11

A)

90 7

B)

90 77

C)

90 11

D) 90

E) 1

x = 0, 12 4 y = 0, 1 05 z = 0, 1 20 t = 0, 10 2 sayılarının en büyüğü ile en küçüğünün toplamı kaçtır?

A) 0, 2446

B) 0, 2949

C) 0, 225

D) 0, 22 6 E) 0, 22242

65


Çözümler

YGS Matematik

1.

54 b 2, 34 tür. 23

7.

Cevap: A

1 = x + 0, 025 40

2.

x+

olduğundan, x in ondalık kısmı 975 tir.

YGS Matematik Ondalık Sayılar

1 4 2 8 = = ve olduğundan, 9 36 9 36 4 8
Cevap: A

3.

2 1 2000 1000 + + 0, 001 0, 002 5 2 = 5 .k = .k & 1 3 3000 3 3 4 0, 004 2500 5 = .k & 750 3 10 5 = .k & 3 3 & k = 2 dir.

8.

OBEB c

OBEB ^10, 12, 16 h 10 12 16 , , m= 77 55 35 OKEK ^77, 55, 35 h =

2 tir. 385

Cevap: B

Cevap: B

4.

0, 5 16 =

516–5 511 = 990 990

9. x, y, z sayılarının payları ile paydaları aralarında asaldır.

Cevap: A

5.

2 k = 0, 2 = 9 5 m = 0, 5 = 9

OKEK c

OKEK (15, 9, 30) 15 9 30 , , m= 7 11 7 OBEB ^7, 11, 7h 90 = = 90 1

Cevap: D

olduğundan,

1 1 9 9 45 + 18 63 + = + = = = 6, 3 tŸr. k m 2 5 10 10 Cevap: D

10. x = 0,12444…

6.

a b & y > x çünkü b > 2 dir. a y= 2 a x= b & x > z dir. ‚ ŸnkŸ a > 2 dir. 2 z= b x=

O halde, y > x > z dir.

y = 0,10505…

z = 0,12020…

t = 0,10222…

olduğundan sayıların en büyüğü x, en küçüğü t dir.

x + t = 0,12444… + 0,10222…

= 0,22666…

= 0,22 6 dir. Cevap: D

Cevap: B

66

ÜSLÜ İFADELER

YGS

9. BÖLÜM

MATEMATİK

x ∈ R ve n ∈ N+ olmak üzere, xn ye üslü ifade denir.

Çözüm

n

x = 1x4 .4x.É . x3 tir. 4 24 n tan e x

2

n

x ifadesinde x e üslü ifadenin tabanı, n ye üssü denir.

–2

=

1 1 –2 1 1 = , 3 = 2 = , ^Ð2h2 = 4 olduğundan 2 4 9 2 3

2–2 – 3–2 + (–2)2 = o

1. x ∈ R ve x ≠ 0 için x = 1 dir.

!

1 1 9 – 4 + 144 149 – +4 = = dır. 4 9 36 36

1 2. x ∈ R ve x ≠ 0 için x–1 = x tir. 3. x ∈ R, x ≠ 0 ve n ∈ N+ için x–n =

1 n dir. x

ÜSLÜ İFADELERDE İŞLEMLER

4. 00 = Belirsiz dir.

1. Tabanları aynı olan üslü ifadeleri çarparken ortak taban yazılır, üsler toplanarak üs olarak yazılır:

Örnek a)

34 = 3 . 3 . 3 . 3 = 81 dir.

34 ifadesinde taban 3, üs 4 tür.

b)

90 = 1 dir. 90 ifadesinde taban 9, üs 0 dır.

c)

5–2 =

xn . xm = xn+ m dir.

Örnek

1 1 = tir. 5–2 ifadesinde taban 5, üs –2 dir. 2 25 5

a) x2 . x4 = x2+4 = x6 b) 75 . 7–3 = 75 – 3 = 72 = 49 c) a6 . a–1 . a10 = a6 – 1 + 10 = a15

Örnek 3

4

2. İki veya daha fazla ifadenin çarpımının n. kuvveti, ifadelerin her birinin n. kuvvetinin çarpımına eşittir:

0

(–2) – 2 + 4 işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm

(x . y)n = xn . yn

(x . y . z)n = xn . yn . zn dir.

(–2)3 = –8, 24 = 16, 40 = 1 olduğundan,

Örnek

(–2)3 – 24 + 40 = –8 – 16 + 1 = –23 tür.

a) (x.y)3 = x3 . y3 b) (2x)4 = 24 . x4 = 16x4

Örnek

c) (–a)3 = (–1 . a)3 = (–1)3 . a3= –1.a3 = –a3 d) (–a)4 = (–1 . a)4 = (–1)4 . a4 = 1.a4 = a4

2–2 – 3–2 + (–2)2 işleminin sonucu kaçtır?

67 67

YGS Matematik

Üslü İfadeler

3. İki ifadenin oranının n. kuvveti ifadelerin n. kuvvetlerinin oranına eşittir: n

x n x a k = n y y

Örnek

dir.

a) (x4)3 = x4.3 = x12 b) (x5)–6 = x5.(–6) = x–30

Örnek

c) ((a3)4)2 = a3.4.2= a24

3 –1 3 ^–1 h –1 1 = 3 =– 3 a. a x k = 3 x x x 4

Örnek

4

a 4 a a b. a k = 4 = 16 2 2 3

3

2

2

a) x4 = x(4 ) = x64 4. Tabanları aynı olan üslü ifadeleri bölerken ortak taban yazılır, üsler çıkarılarak üs olarak yazılır:

b) 23 = 2(3 ) = 29 = 512

n

n–m x m =x x

n

x 1 m = m–n x x

Örnek 1

Örnek 11

a.

11–4 7 x =x =x 4 x

b.

5 1 1 1 = 9–7 = 2 = 9 25 5 5 5

c.

4– ^ –6 h 4+6 10 a =a =a =a –6 a

1

4 2 + ^–8 h3 –1

2

–1


7

B) 6

C) –1

D) 0

E) –2 (2011 YGS)

4

5.

Çözüm

Bir sayının üssünün üssü alınırken üsler çarpılarak üs olarak yazılır: 1

(xn)m = (xm)n = xn.m

2

dir. Görüldüğü gibi, (xn)m = (xm)n dir. Üsler, yer değiştirebilmektedir.

1

4 2 + ^–8 h3 –1

=

–1

1 ^2 2 h2

1

3 + ^–2 h3 –1 1 2

1

m

n

!

x

=x

m (n )

2 + ^–2 h –1 1 2 1 = – = –2 1 2 =

dir. Yani, işlem sırası parantezle belir-

lenmemişse üslü işlemler yapılarak işlemler sonuçlandırılır.

Cevap E

68

YGS Matematik

6.

Üslü İfadeler

(–x)n = (–1)n . xn dir.

Örnek

1, n çift tam say› ise (–1)n =

Aşağıdaki ifadeleri hesaplayınız. –1, n tek tam say› ise n,

x n çift tam say› ise

a)

2 3 c– m 3

b)

3 3 ^–2h5 . c m 2

c)

1 2 1 3 c m –c – m 3 2

(–x) n = –x n, n tek tam say› ise

dir. n sayısının tek sayı ya da çift sayı olduğu bilinmiyorsa, (–x)n = (–1)n . xn

yazılır.

Çözüm a)

Örnek

= –8 . x7

b) ((–x)2)3 = (–x)6 = x6 2 3

b)

2 3

c) (–x ) = (–1 . x )

= (–1)3 . (x2)3 6

=

a) (–x)4 . (–2x)3 = x4 . (–2)3 . x3

2 3 2 2 2 c – m = c – m. c – m. c – m (üs tanımından) 3 3 3 3 ( −2 ) ⋅ ( −2 ) ⋅ ( −2 ) (çarpmanın tanımından) 3⋅3⋅3

=–

8 27 3

3 3 3 3 ( −2 )2 ⋅   = ( −2 ) ⋅ ( −2 ) ⋅ ( −2 ) ⋅ ( −2 ) ⋅ ( −2 ) ⋅ ⋅ ⋅ 2 2 2 2

=−

6

= –1 . x . = –x

2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅3⋅3⋅3 2⋅2⋅2

= −108

3

3 2

d) ( (–x) ) . (–x2 ) = (–x)6 . (–x8)

= x6 . (–1) . x8

= –1 . x14 = –x14

c)

1 3 1 1 1 1 2 1 1 c m – c – m = c . m– c – m. c – m. c – m 2 3 3 2 3 2 2

Örnek

a)

3 –1 3 ^–1h –1 1 a k = = 3 =– 3 3 x x x x

b)

a 4 a a a k = 4= 2 16 2

4

4

=

1.1 ^–1h. ^–1h. ^–1h – 3.3 2.2.2

=

1 –1 1 1 – = + 9 8 9 8

=

8+9 72

=

17 72

Örnek Aşağıdaki işlemleri en sade biçimde yazınız. a) 32.210

7.

x –1 y a k = y x

y n y x –n a k =a k = n y x x

b) (3.x8) . (–2.x4)

n

dir.

c) (a5.b4) . (3.a12.b3) . (4.b7)

69

YGS Matematik

Üslü İfadeler

Çözüm

Örnek

a) 32.210 = 25.210 = 25+10 = 215

a)

b) (3.x8) . (–2.x4) = 3.(–2) . x8 . x4

= –6 . x8+4

= –6.x12

15

2 64

b)

= 12.a5+12 . b4+3+7

= 12.a17. b14

a)

7

8

4

x .y

c)

9

9

81.2 .5 6 8 3 .10

15

15

15–6 9 2 2 = 6 =2 = 2 = 512 64 2 5

7

7

5 b) x .y = x . y 8 4 8 4 x .y x y 7– 4 1 1 3 = 8–5 .y = 3 .y x x

Örnek

= 6

5

Çözüm

c) (a5.b4) . (3.a12.b3) . (4.b7) = 3.4.a5.a12. b4. b3. b7

6

x .y

y

3

x

3

6

a) (3 . 4 ) . 5

c) 81.2 9 .5 9 3 4 . ^2.5h9 3 4 10 9 = = 6. 8 6 8 6 8 3 .10 3 .10 3 10

8

2 2y 8 x b) f y p . c x m

=

8

8

1 2 c) c m . c Ð m . ^15h8 5 2

=

a) (36.46) . 56 = (3.4)6 . 56

= (12.5)6 = 606

10 1 .10 = 2 9 3

a) (54)7

8

8

2

8

2x y = f xy p = ^2x h8

a) (54)7 = 54.7 = 528

= 28.x8 = 256.x8

b) (x3)4.(x5)2

Çözüm

8 2 2 f x p . c 2y m = f x . 2y p y x y x

8

c)  1  ⋅  − 2  ⋅ 158 =  1 ⋅   − 2  ⋅ 15  2  5  2   5   8

9– 8

8

= 126 . 56

2

.10

Aşağıdaki işlemleri yapınız.

6– 4

Örnek

Çözüm

b)

1 3

b) (x3)4 . (x5)2 = x3.4 . x5.2 8

= x12 . x10 = x12+10 = x22

8

1 ⋅ ( −2 ) ⋅ 15  = 2⋅5  

8

16

8

2 8 2 c) â .bh = â h .b = a . b 4 4 2 . 4 4 8 4 2 a .b a .b a . ^b h

= ( −3 )8 = 38

=a

70

16Ð4

=a

12

c)

â 2 .bh

4

4 2 a . ^b h

YGS Matematik

Üslü İfadeler

Çözüm

Örnek Aşağıdaki işlemleri yapınız.

2a = 3 ve 3b = 4 ise (2a)b = 4 ⇒ 2ab = 4 olur. 4c = 8 ise (2ab)c = 8 ⇒ 2abc = 8

3

a)

a x –2 .y k .y –1

b) f

2xy a

Cevap C

2 –3

p .f

2

⇒ 2abc = 23 ⇒ abc = 3 olur.

4

a x 3 .y –1 k

y

3

4

3

a .x

p

–1

Örnek Aşağıdaki işlemleri yapınız. 4 1 –3 2 0 a) c – m + ^–3 h3 + c m + 0 2 3

Çözüm

b) (–3)6 + 35 – 2.(–3)7

3

–2

a) a x .y k .y a x 3 .y

–2 3

–1

=

–1 k4

=

=

f

2xy a

2 –3

2

p .f

3 4

^x h . a y

b)

^x h .y 3 .y –1

y 3

y x

–6

2

12

–4

x .y x .y

Çözüm

2– ^ – 4 h

3 4 1 –3 2 0 a) c – m = 1, ^–3h3 = –27, c m = 2 , 0 = 0 olduğundan, 2 3

6

18

3

4

a .x

=

12–^–6 h

y x

–1 k4

–1

3

3

4

2 y p = f a 2 p . f 3 –1 p 2.x.y a .x 4

=f

b) (–3)6 + 35 – 2 .(–3)7 = 36 + 35 – 2 .(–37)

2 y a . 3 –1 p 2 2.x.y a .x 2 3

=f

3

(Üs çift olduğundan, (–3)6 = 36 , üs tek olduğundan,

6

y y p = 3 2a 8.a

(–3)7 = –37 dir. = 36 + 35 + 2 . 37

3b = 4

4c = 8

= 3.35 + 35 + 18.35

= (3+1+18).35

= 22 . 35

Örnek Aşağıdaki işlemleri yapınız. a) (–x)4 . x3

olduğuna göre, a . b. c çarpımı kaçtır? A) 1

a, b, c gerçel sayıları için, 2a = 3

= 3.35 + 35 + 2 .32.35

Örnek

4 3 1 –3 2 0 c – m + ^–3h3 + c m + 0 = 1 + ^–27h + 2 + 0 2 3 = 1 –27 + 8 = –18 olur.

B) 2

C) 3

D) 4

b) (–x)4 . x3 (–x)–6

E) 5

c) (–a5)3 . (–a)5 . (–a4)

(2005 ÖSS)

71

YGS Matematik

Üslü İfadeler

Çözüm

Örnek 1513 + 6.1513 + 8.1513

a) Üs çift olduğundan, (–x)4 = x4 tür. O hâlde,


(–x)4 . x3 = x4 . x3 = x7 dir.

A) 1515

b) –x4 ifadesinde 4, –x in kuvveti değil, sadece x in kuv-

D) 10.1613

vetidir. Yani –x4 = –1.x4 demektir.

B) 1514

C) 14.1513 E) 1613 (2010 YGS )

(–x)–6 yazılımında –6 , –x in kuvvetidir. –6 çift olduğundan, (–x)–6 = x–6 dır.

(–x4) . x3 . (–x)–6 = –1 . x4 . x3 . x–6

= –1 .x4+3–6

= –1 . x = –x

Çözüm

c) (–a5)3 . (–a)5 . (–a4) = [(–1) . a5]3 . [(–1) . a]5 . [(–1) . a4]

= (–1)3 . a15 . (–1)5 . a5 . (–1) . a4

= (–1)3+5+1 . a15+5+4

= (–1)9 . a24

= –1 . a24

= –a24

1513 + 6.1513 + 8.1513 = 1513 (1 + 6 + 8) = 15.1513 = 1514

Cevap B

Örnek Örnek

c1 +

1 2 m 2

1 3 c m 2

10–1 + 10–2 + 10–3

ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?

işleminin sonucu kaçtır? A) 0,011

B) 0,101 D) 0,123

A) 4

C) 0,111

B) 6

C) 9

D) 12

E) 18

E) 0,321 (2010 YGS )

Çözüm

Çözüm 10–1 + 10–2 + 10–3 =

1 1 1 100 + 10 + 1 + + = 100 1000 1000 10

^100 h

c1 +

^ 10 h

=

1 2 m 2

1 3 c m 2

111 = 0, 111 1000 Cevap C

3 2 9 c m 2 9 8 = = 4 = . = 18 1 3 1 4 1 c m 8 2 Cevap E

72

YGS Matematik

Üslü İfadeler

Örnek

Örnek 3m = 2 olduğuna göre,

Aşağıdaki sayıları en sade üslü biçimde yazınız. a) 0,0000002

b) –0,000065

4 0, 0000005

d) 30 000 000

c)

32m + 1

ifadesinin değeri kaçtır? A) 5

B) 9

C) 12

D) 15

E) 18 (2009 ÖSS )

Çözüm a) 0,0000002 = 2 . 10–7 dır. Virgülden sağa doğru 7 basa-

Çözüm

mak ilerleyince 2 nin sağına gelinmektedir. 3m = 2 ise 32m + 1 = 32m . 31

b) –0,000065 = –65.10–6 dır. Virgülün sağında 6 basamak var. Aynı sayıyı –6,5 . 10–5 biçiminde de yazabiliriz. c)

4 4 4.2 = = (Kesri 2 ile genişlettik.) 0, 0000005 5.10 –7 2.5.10 –7

= (3m)2 . 31 = 22.3

= 12 bulunur. Cevap C

6

8 8 10 . 6 (Kesri 106 ile geniş- –7 = –6 10.10 10 10 lettik)

=

=

6

6 8.10 = 8.10 (100 = 1 dir.) 0 10

Örnek

d) 30 000 000 = 3.107 dir. (3 ten sonra 7 tane sıfır vardır.)

(3x – 2)2002 = (x + 6)2002 denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) {–1, 4}

B) {–1} C) {4} D) {1, –4}

ÜSLÜ DENKLEMLER ve EŞİTSİZLİKLER

E) {–4, 4}

1. n ∈ Z+ olmak üzere;

[f(x)]2n–1 = [g(x)]2n–1 ⇒ f(x) = g(x) tir.

n ∈ Z+ olmak üzere; 2n

2n

= [g(x)]

Çözüm

⇒ f(x) = g(x) veya f(x) = – g(x) tir.

2.

[f(x)]

f(x) = g(x) denkleminin çözüm kümesi Ç1,

f(x) = –g(x) denkleminin çözüm kümesi Ç2

ise [ f(x) ]2n = [ g(x) ]2n denkleminin çözüm kümesi

Ç1 ∪ Ç2 dir.

(3x – 2)2002 = (x + 6)2002 ⇒ 3x – 2 = x + 6

veya

⇒x=4

veya

3x – 2 = –(x + 6) x = –1

O hâlde, denklemin çözüm kümesi, Ç = {–1, 4} tür. Cevap A

73

YGS Matematik

Üslü İfadeler

3. a ≠ 0, a ≠ 1, a ≠ –1 olmak üzere,

Çözüm

af(x) = ag(x) ⇒ f(x) = g(x) tir.

9

2n – 3

1 1 – 3n ⇒ (32)2n – 3 = (3–1)1–3n =c m 3

⇒ 32.(2n – 3) = 3–1.(1–3n)

⇒ 34n – 6 = 3–1+3n

Tabanları 3 olan iki üslü ifade birbirine eşitse, üsleri de eşittir. 4n – 6 = –1 + 3n ⇒ n = 5 bulunur.

Örnek

Cevap E

5

7x–1

= 25

x+7

denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden

hangisidir? A) {1}

B) {2}

C) {3}

D) {4}

E) {5}

Örnek (16)3n = 85 olduğuna göre, n kaçtır? A)

3 2

B)

4 3

C)

3 5

D)

5 4

E)

5 6

(2010 YGS)

Çözüm 57x–1 = 25x+7 ⇒ 57x–1 = (52)x+7

⇒ 57x–1 = 52x+14

⇒ 7x – 1 = 2x + 14

⇒ 5x = 15 ⇒ x = 3

Çözüm (16)3n = 85 ise

O hâlde, denklemin çözüm kümesi Ç = {3} tür.

(24)3n = (23)5

Cevap C

212n = 215 ⇒ 12n = 15 ⇒ n =

15 5 = 12 4

olur. Cevap D

Örnek

Örnek

4x+5 – 22x+3 = 127 denkleminin çözüm kümesi aşağıdaki9

2n – 3

A) 1

lerden hangisidir?

1 1 – 3n ise n sayısı kaçtır? =c m 3 B) 2

C) 3

1 B) ' – 1 2

A) Ø D) 4

E) 5

2 D) ' – 1 3

74

E) {–2}

3 C) ' – 1 2

YGS Matematik

Üslü İfadeler

Buna göre, (n – 2)n+5 = 1 eşitliğinde bu üç durumu göz önü-

Çözüm

ne alarak çözümü yapalım:

4x+5 – 22x+3 = 127 ⇒ (22)x+5 – 22x+3 = 127

⇒ 22x+10 – 22x+3 = 127

⇒ 22x+3 (27 – 1) = 127

⇒ 22x+3 . 127 = 127

⇒ 22x+3 = 1 2x + 3

a)

n–2=1⇒ n=3

b)

n+5 = 0 n = –5 1 & 1 & n = –5 olabilir. n Ð2 0 n≠2

c)

n – 2 = –1 n=1 4 & 4 & n = 1 olabilir. n + 5 çift 1 + 5 çift

olabilir.

O hâlde, denklemin çözüm kümesi: Ç = {–5, 1, 3} tür. 0

⇒2

⇒ 2x + 3 = 0

=2

3 O hâlde, denklemin çözüm kümesi, Ç = ' – 1 dir. 2

af(x) < ag(x) ve a > 1 ise f(x) < g(x) tir. af(x) > ag(x) ve a > 1 ise f(x) > g(x) tir.

Cevap C

!

af(x) < ag(x) ve 0 < a < 1 ise f(x) > g(x) tir. af(x) > ag(x) ve 0 < a < 1 ise f(x) < g(x) tir.

4.

[f(x)]g(x) = 1 denkleminin çözümü için;

i. f(x) = 1 ii. g(x) = 0 ve f(x) ≠ 0 iii. f(x) = –1 ve g(x) çift tam sayı

Örnek

denklemleri çözülür. Bulunan köklerden f(x) ve g(x) i tanımsız yapmayanların oluşturduğu küme, [f(x)]g(x) = 1 denklemi-

2

nin çözüm kümesidir.

–3x + 5

1 x+3 ≤c m 2

eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.

Örnek (n – 2)n+5 = 1 denklemini sağlayan bütün n tam sayılarını bulunuz.

Çözüm

2

Çözüm

–3x + 5

1 x+3 ⇒ 2–3x+5 ≤ 2–x–3 ² c m 2

⇒ –3x + 5 ≤ –x – 3

m ∈ Z, n ∈ Z ve mn = 1 eşitliği şu üç durumda mümkün olur:

⇒ –2x ≤ –3 – 5

⇒ –2x ≤ –8

a) m = 1

⇒ x≥4

b) n = 0 ve m ≠ 0

O hâlde, eşitsizliğin çözüm aralığı, Ç = [4, +∞) dur.

c) m = –1 ve n çift tam sayı

75

Çözümlü Test

Üslü İfadeler

1.

6. (–a)7(–a4)(–a)–2

–3 2

>c –1 m H 2

işleminin sonucu kaçtır? A)

2.

–1 32

YGS Matematik

–1 16

B)

C) 16

D) 32

çarpımının sonucu nedir?

A) a13

B) –a13 D) –a9

E) 64

4 1 3 c – m ^–2 h 2 ^–2h2

7.

c

E) a–9

0, 018 a + 1 = ^27 h1–a m 0, 006

olduğuna göre, a kaçtır?

Yukarıdaki işleminin sonucu kaçtır? 1 1 A) – B) – 8 2

3.

–3

0, 9.10 + 0, 03.10 –4 1, 2.10

C) 1

–2

1 D) 8

A) –4

1 E) 2

A) 10–2

B) –3

C)

1 2

D)

1 3

E)

1 4

8. n ve a sıfırdan farklı birer gerçel sayı ve

B) 10–1

C) 1

1 n

n

12 .n = a 2a.n n k


C) a9

olduğuna göre a kaçtır? A) 4

B) 5

C) 6

D) 7

E) 8

D) –1

E) –2

E) 102

D) 10

4. x = (23)4 4)

y = 2(3

9. 3.2x+2 + 4.2x = 8

12 3

z = (2 )

olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi

A) 2

doğrudur?

A) z < x < y

B) z < y < x

D) x < y < z

olduğuna göre x kaçtır? B) 1

C) 0

C) y < x < z E) x < z < y 1

10. 3 4 + 1 = a olduğuna göre

(3

5. 3m = a

1 8

)(

1

)

− 1 38 + 1

(

1 32

)

−1

7m = b

olduğuna göre, (147)m nin a ve b türünden eşiti aşa-

işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?

ğıdakilerden hangisidir? A)

1 2 a b 3

B) ab

C) a2b2

A) a2 D) ab2

E) a2b

76

B) 3a

C) a

1 D) a

E)

1 2 a

Çözümleri

YGS Matematik

–3 2

1.

>c –1 m H = 9^–2 h3C 2

Üslü İfadeler

5. 147 = 3.72 dir.

2

= ^–2h6 = 64 Cevap E

(147)m = (3.72)m

= 3m . (72)m = 3m . (7m)2

= a.b2 Cevap D

2.

4 1 3 1 c – m ^–2 h c – m. ^–16h 2 8 1 1 = = c – m. ^– 4 h = 4 8 2 ^–2h2

Cevap E

6.

= (–1)7 . a7 . (–1) . a4 . (–1)–2 . a–2

= (–1) . (–1) . (–1)–2 . a7 . a4 . a–2 = a9 Cevap C

3.

–3

0, 9.10 + 0, 03.10 –4 1, 2.10 = =

–4

–2

7.

–4

9.10 + 3.10 –1 –4 12.10 .10 –4

12.10 1 = = 10 –1 –4 –1 12.10 .10 10

c

0, 018 a + 1 1–a 18 a + 1 = ^27h1–a & c m = 27 m 0, 006 6

⇒ 3a+1 = 33(1 – a)

⇒ a + 1 = 3 – 3a 1 ⇒ a= 2

Cevap D

Cevap C

4. x = 23.4 = 212

8.

81

y=2

12.3

36

z=2

=2

olduğundan;

x < z < y dir. Cevap E

n

1 n

12 .n = a 2a.n n k

⇒ 12n . n = 2n . an . n1

⇒ 12n = 2n . an

⇒ 12n = (2a)n

⇒ 12 = 2a

⇒ a=6 Cevap C

77

Çözümlü Test


9. 3.2x+2 + 4.2x = 8 ⇒

3.2x . 22 + 4.2x = 8

⇒ 2x (3 . 4 + 4) = 8

⇒ 2x .16 = 8

⇒ 2x =

⇒ 2x = 2–1

⇒ x = –1

1 2

Cevap D

(3 10.

1 8

− 1)(3

1 8

1

+ 1) (3 ) − 1 = 1 8

2

2

1

32 − 1

1

=

32 − 1

34 − 1

(3 ) − 1 1 4

1

=

=

(

34 − 1 1 34

1 a

)(

−1 ⋅

1 34

)

+1

=

1 1 34

+1

Cevap D

78

YGS Matematik

KÖKLÜ İFADELER

YGS

10. BÖLÜM

MATEMATİK

KÖKLÜ İFADELER x=

!

n ≥ 2 ve n ∈ N olmak üzere

n

1

a ve x = a n işlemlerinde x ile a aynı işa-

rettedir.

bn = a eşitliğini sağlayan b sayısına a nın n. dereceden kökü denir ve b = n a şeklinde gösterilir. 2

n=2 ⇒

n

!

a = a olarak gösterilir.

Örnek 4

a ! R olabilmesi için

1.

n tek sayı ise a ∈ R olmalıdır.

2.

n çift sayı ise a ≥ 0 olmalıdır.

4

–2 g R,

3

–2 ! R ve

1

–2 , ^–5h2 ,

6

–1

ifadeleri reel sayılar kümesin-

de tanımsızdır.

2 ! R dir.

Örnek a)

Örnek A = x – 4 + 3 x – 12 + 4 8 – 2x eşitliğinde A ∈ R ise A de-

16 = 4

b)

c)

3

8 = 2

d)

e)

4

81 = 3

f)

36 = 6 3

5

–8 = –2 32 = 2

ğeri kaçtır?

Örnek Çözüm

x ≥ 4 olmalı

3

x – 12 ! R (daima reel sayıdır)

4

x – 2x ! R

Çözüm

⇒ 8 – 2x ≥ 0 olmalı.

8 ≥ 2x

4≥x

x≤4

2x – 12 ≥ 0

x ≥ 6

ve

x = 6 olur. O halde

A = 4 – 4 + 3 4 – 12 + 4 8 – 8 A = 0+

ve

2x ≥ 12

x ≥ 4 ve x ≤ 4 ⇒ x = 4 olur. Yerine yazarsak:

3

eşitliğinde A reel sayı ise A

kaçtır?

x – 4 ! R & x – 4≥0

2x – 12 + 6 – x + 2x x–2

A=

12 – 12 + 6 – 6 + 2.6 6–2 0 + 0 + 12 A= 4 A=

–8 + 0

A = 3 ^–2h3 = –2 bulunur.

A=3

79

bulunur.

6 – x ≥ 0 olmalıdır. 6≥x x ≤ 6 ise

YGS Matematik

Köklü İfadeler

KÖKLÜ İFADELERİN ÖZELLİKLERİ

Çözüm

RASYONEL ÜSLÜ İFADESİ 1.

x ∈ R ; m ∈ Z, n ∈ Z+ ,

^–5h2 – 5 ^–5h5 + ^–8h2 n

x

m

tanımlı ve

m xn

yazılımı-

na rasyonel üslü ifade denir.

m xn

1 m = ax n k

3

2

m

= ^n x h

dir.

= |–5| – (–5) + |–8|

=5+5+8

= 18 bulunur.

2

x = x 3 gibi.

Örnek

Örnek

Aşağıdakilerden hangisi bir rasyonel sayıdır? A)

2 +1

B) 2 2 – 1 D)

2 2 +1

E)

2 2–2 3 2 –3

^–4h2 – 3 ^–3h3 + 25

1 C) 2

işleminin sonucu kaçtır? A) –10

B) –2

C) 10

Çözüm

Çözüm

^–4h2 – 3 ^–3h3 + 25 = 4 – (–3) + 5 = 4 + 3 + 5 = 12 bu-

bir rasyonel sayıdır. Diğer seçe-

lunur.

neklerin hepsi birer irrasyonel sayıdır. Cevap E

2.

n

Cevap D

Z ]] a , n tek ise a =[ ] | a | , n çift ift ise \ n

3

^–2h3 = –2

4

^–2h4 = | –2 | = 2 olur.

3.

^n a hn = a ^3 3 h3 = 3 ^5 –2 h5 = –2 4

4.

Örnek

a 4 ^–2 h2 k = ^–2 h2 = 4

p

n

a = n.m a

3

2 =

p.m


80

2

3.2

2

2.2

=

gibi

m!N

^–5h2 – 5 ^–5h5 + ^–8h2

E) 14 (1999 ÖSS İptal)

(2010 YGS)

2 2 –2 2 ^ 2 – 1h 2 = = 3 2 –3 3 ^ 2 – 1h 3

D) 12

6

2

4

+

YGS Matematik

Köklü İfadeler

Çözüm

Kök içinde negatif bir sayı varsa kök derecesi çift sayı ile genişletildiğinde işaret değişeceğinden

!

3 8 + 2 2 −( 8 + 2)

önce (–) kök dışına alınır. 3

^–5h = – 3 5 = – =–

6

5

2

3.2

5

=6 2 +2 2 −2 2 − 2

1.2

= 5 2 bulunur .

olur.

Cevap E n

5.

b. n a = n b .a

2. 5 8 =

5

2 .2

=

5

2

5

Örnek

3

8

75 – 27 + 3 işleminin sonucunu bulunuz.

Negatif bir sayıyı kök içine almak için (–) kök dışında bırakılır.

!

Çözüm

4

–3. 4 3 = –

4

3 .3

=–

4

3

5

75 – 27 + 3 = 3.25 – 3.9 + 3

olur.

=5 3 –3 3+ 3 =3 3 KÖKLÜ İFADELERDE DÖRT İŞLEM TOPLAMA - ÇIKARMA İŞLEMLERİ

Örnek

a. n x ve b. n x ifadelerinde benzer köklü ifadeler denir. a)

a. n x + b. n x = â + bh. n x

b)

a. n x Ð b. n x = â – bh. n x

4, 9 + 0, 9 işleminin sonucu kaçtır? A) 1

B) 10

C)

10

D) 5 10

E) 10 10 (2001 - ÖSS)

Çözüm

Örnek

4, 9 + 0, 9 =

3 8 + 2 2 – ^ 8 + 2h işleminin sonucu kaçtır? A)

2

B) 2 2 D) 4 2

C) 3 2 E) 5 2 (2008 ÖSS Mat 1)

49 + 10

9 10

=

7 3 10 + = 10 10 10

=

10 = 10 bulunur. 10 Cevap C

81

YGS Matematik

Köklü İfadeler

Örnek

Örnek 72 = 2

10 . ^ 6, 4 + 0, 4 h

72 = 6 bulunur. 2

işleminin sonucunu kaçtır? A)

3, 8

B)

6, 8

C) 6

D) 8

E) 10 (2003 ÖSS)

Çözüm

Örnek

6, 4 + 10

10 . c

5 . 3 5 . 6 5 işleminin sonucunu kaçtır?

4 m 8 2 = 10 . c + m 10 10 10

10 .

10 = 10 10

bulunur.

Cevap E

ÇARPMA İŞLEMİ

Çözüm

Kök dereceleri aynı olan köklü ifadeler, aynı kök içinde çarAynı kök içinde çarpım yapabilmek için kök derecelerinin eşit-

pılabilir. n

lenmesi gerekir.

a . n b = n a.b

3.2

3 2.3

5 .

5 .6 5 =

6

5 .

=

6

5 .5 .5 =

2

3 6 3

2

5 .6 5

2

6

6

5 = 5 bulunur.

Örnek 3

4 . 3 2 = 3 4.2 =3 8 =

3

2

3

= 2 bulunur.

Örnek

BÖLME İŞLEMİ

3

Kök dereceleri aynı olan köklü ifadeler aynı kök içinde bölü-

–1 2 .

A) 3

nebilir.

27

işleminin sonucunu kaçtır? B) 9

C)

3

D) 3 3 E)

3 3

(2007 ÖSS Mat 1) n n

a n a = b b

^b ≠ 0 h

82

YGS Matematik

Köklü İfadeler

Çözüm

3

–

1 2.

3

3 =3 =3

–

Çözüm 1 3 2 .3 2

1 3 – + 2 2

4, 44 + 9, 99 = 111

1

=3 =3

Cevap A

444 999 + 100 100 111

4.111 9.111 2 111 + 3 111 + 10 10 10 = 111 111 1 1 5 5 111 = = = 0, 5 tir. . 10 111 10 =

Cevap C

Örnek ^ 2 – 5 h2 + 2 10 + 3 işleminin sonucu kaçtır? A)

10

B) 2 5

C) 5 2

D) 10

E) 13

Örnek

(2007 ÖSS Mat 1)

a = 12 – 8 b = 27 + 18 olduğuna göre, a . b çarpımı kaçtır? A) 2

Çözüm

B) 3

C) 4

D) 5

E) 6 (2012 YGS)

2

^ 2 – 5 h + 2 10 + 3 = 2 – 2 10 + 5 + 2 10 + 3 = 10 olur. Cevap D

Çözüm a = 12 – 8 = 2 3 – 2 2

Örnek

b = 27 + 18 = 3 3 + 3 2 a.b = ^2 3 – 2 2 h^3 3 + 3 2 h

4, 44 + 9, 99 işleminin sonucu kaçtır? 111

= 18 + 6 6 – 6 6 – 12 A) 0,05

B) 0,1

C) 0,5

D) 1

E) 5

= 6 bulunur.

(2005 ÖSS)

Cevap E

83

Çözümlü Test

Köklü İfadeler

1.

Aşağıdaki irrasyonel sayılardan hangisinin yaklaşık değeri bilinirse,

2

B)

432 sayısının yaklaşık değeri ko-

3

C)

5

D)

7

E)

işleminin sonucu kaçtır? A)

11

x –3 +4 8– x 2 x – 16

2.

A=

eşitliğinde A reel sayı ise x in alabileceği tam sayı

25 1 5 + – 64 9 12

6.

laylıkla bulunabilir? A)

YGS Matematik

5 12

B) 19 • 10–3

D) 162 • 10–3

C) 32 • 10–3

E) 83 • 10–2

2

3

–27 + ^1 – 2 h – 2 4

2

^–9h

işleminin sonucu kaçtır? 4 A) – 3

E) 11

1 B) – 3

C) 1

D)

1 3

E)

4 3

2

4.

a = | a | şeklinde tanımlandığına göre, 2

D) 10

7 24

0, 0009

A) 316 • 10–4

C) 2

E)

işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?

8.

B) 1

1 18

E) 29


D) 25

D)

C) 23

1 12

(0, 04)2 +

9 + ^–4h2 – ^–5h2

3.

B) 19

C)

7.

değerleri toplamı kaçtır? A) 18

5 8

B)

– ^–3h + 9 – ^–9h 2

^–3h


işleminin sonucu kaçtır? A) –9

B) –3

C) –1

A) D) 3

1 –1 m 27

3

ifadesinin değeri kaçtır?

c

A) –3

1 B) – 3

C)

D)

1 9

B)

2 7

C) 1

D)

3

E) 2 3

E) 3

75 – 12 +

A)

1 90 2

84

27 4


1 3

1 7

E) 9

10. 5.

0, 48 – 0, 27 1, 47

9.

2

B) D) 3 2

9 3 2

E) 2 3

C)

1 279 2

Çözümler

YGS Matematik

1.

432 = 144.3 = 12. 3 olduğundan,

Köklü İfadeler

5 2 1 2 5 1 c m + c m – 2. . = 3 8 3 8

6.

3 ün değeri bilinmelidir. Cevap B

=

c

15 – 8 2 m 24

=

c

7 2 m 24

=

7 24

c

5 1 2 – m 8 3

Cevap E

2. x – 3 ≥ 0 ⇒ x ≥ 3

8–x ≥ 0 ⇒ x≤8

x2 – 16 ≠ 0 ⇒ x ≠ ± 4 tür.

3 ≤ x ≤ 8 ve x ≠ ± 4 ise

x in alabileceği tam sayı değerleri 3, 5, 6, 7, 8 olur.

Toplamı da 3 + 5 + 6 + 7 + 8 = 29 bulunur. Cevap E

7. (4.10–2)2 +

3.

9 + 16 – 25 = 3+4–5 = 2

9.10

–4

= 42.10–4 + 3.10–2

= 10–4.(42 + 3.102)

= 10–4.316

Cevap C

4.

Cevap A

– 9 + 9 – 81 9 – 81 –9 = = = –3 3 9 Cevap B

8.

3

2

–27 + ^1 – 2 h – 2 4

5.

3

27 =

3

3

=

2

^–9h

^–3h3 +| 1 – 2 | – 2 4

^–3h4

3

3 =3

=

Cevap E

4 –3 + 2 –1 – 2 =– 3 | –3 |

bulunur. Cevap A

85


48 27 − 100 100 147 100

9.

Çözümler

48 27 − 16, 3 − 9, 3 10 10 = = 49, 3 147 10 =

4 3 −3 3 3 1 = = 7 3 7 3 7 Cevap A

10.

25 ⋅ 3 − 4 ⋅ 3 + =5 3 −2 3 + =

9 3 2

9⋅3 4

3 3 2

Cevap B

86

YGS Matematik

YGS Matematik

Eşlenik İfadeler

Paydanın rasyonel yapılması işlemi: EŞLENİK İFADELER

Paydanın rasyonel yapılması demek paydadaki köklü ifadenin kaldırılması demektir.

Çarpımları rasyonel olan iki irrasyonel ifadeden herbirine diğerinin eşleniği denir.

1.

1. n ≥ 2 olmak üzere,

n

a nın eşleniği

3

2.

a.

3

2

a =

a

n–1

3

a =a

1 pay ve payda 2 1 1 2 . = = 2 2 2

^ a + b h nin eşleniği ^ a – b h dir. ( a + b ) ⋅ ( a − b ) = ( a )2 − ( b )2 = a−b

a 3 a 2 – 3 a.b + 3 b 2 k dir.

^3

a+

a3

bh

2

3

a –

a.b +

2 2 = 2 4

bulunur.

Örnek

3

3

2 ile çarpılırsa,

^3 a + 3 b h nin eşleniği

3

a n–1 ile çarpılması demektir.

Örnek

3

3.

n

dir.

a =a 3

1 şeklinde ifadelerin paydasının rasyonel yapılması a

Pay ve paydanın

2

a. a =

n

n

b

2k

1 pay ve payda 2

3

4 ile çarpılırsa

1 1 3 4 = . 2 3 2 3 4 =

= aa –Ðb =

3

4 8

3 3

4 bulunur. 2

2. Paydasında

Örnek

a !

b veya a ! b

şeklinde bulu-

nan ifadeler

( 5 + 2 )10 ⋅ ( 5 − 2 )10 çarpımının sonucu kaçtır?

Örnek 1 5– 7

Çözüm

paydasını rasyonel yapmak için pay ve payda

5 + 7 ile çarpılır. 10

( 5 + 2)

10

⋅( 5 − 2)

1

10

= ( 5 + 2 ) ⋅ ( 5 − 2 )

5− 7

10

= ( 5 )2 − ( 2 )2 

=

5+ 7 5−7

=

5+ 7 2

= ( 5 − 2 )10 = 310

bulunur.

87

=

1 5− 7

⋅

bulunur.

5+ 7 5+ 7

YGS Matematik

Eşlenik İfadeler

Çözüm

Örnek 1 – 5 –2

2. ^ 3 – 1h 2 6. 3 – = 3 + 1 ^ 3 h2 ^ 3 h2 – 1 2

6 – 3

1 işlemini yapınız. 5 +2

^ 3h

^ 3 – 1h

=

Çözüm

6. 3 2. ^ 3 – 1h – 3 3 –1

= 2 3 – ^ 3 –1h 1 – 5 –2

5 + 2 – ^ 5 – 2h 1 = 5 + 2 ^ 5 – 2 h^ 5 + 2 h

= 3 + 1 bulunur.

4 =4 5–4

Cevap D

Örnek

Örnek 3 2 – 6– 3

= 2 3 – 3 +1

5 +2– 5 +2 ^ 5 h2 – ^2h2

= =

1 – 2 +1 A) –2

4 3 işlemini yapınız. 6– 2

1 2 –1


B) –1

C) 0

D)

2

E) 2 2

(2009 ÖSS Mat - 1 )

Çözüm

Çözüm 1 3 2 – 6– 3

2 +1

4 3 6– 2

−

( 2 −1)

1 2 −1

=

( 2 +1 )

2 − 1 − ( 2 + 1) ( 2 − 1)( 2 + 1) 2 − 1− 2 − 1

=

3 2^ 6 + 3h 4 3^ 6 + 2h – ^ 6 – 3 h^ 6 + 3 h ^ 6 – 2 h^ 6 + 2 h

=

=

3 12 + 3 6 4 18 + 4 6 – 6–3 6–2

= −2 bulunur.

=

2

2

( 2) −1

=

−2 −2 = 2 −1 1

Cevap A

3 ^ 12 + 6 h 4 ^ 18 + 6 h – 3 4

= 12 + 6 – 18 – 6 = 12 – 18

Örnek

=2 3 –3 2

x=3 4 y=4 8 z = 5 16

Örnek 6 – 3 A)

olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğru-

2 işleminin sonucu kaçtır? 3 +1 3

B) 2 3

D)

dur? C)

A) x < y < z

3 –1

3 + 1 E) 2 3 – 1 (2010 YGS /Mat)

B) x < z < y D) z < x < y

C) y < x < z

E) z < y < x (2011 –YGS)

88

YGS Matematik

Eşlenik İfadeler

Çözüm

Örnek

20

x=3 4 =

3.20

4

20

=

60

^2 2 h

y=4 8 =

4.15

8

15

=

60

^2 3 h

16

12

=

60

60

2

z = 5 16 = 2

40

<2

45

5.12

<2

48

ise

15

=

60

2

40

=

60

2

45

=

60

2

12

^2 4 h

40

<

60

2

45

<

x=

1 1 1 , y= 3 , z= 6 sayılarını sıralayınız. 2 3 7

48

60

2

48

Çözüm

Yani x < y < z dir. Cevap A

x=

Örnek

x=

2 3 5 , y= , z= 3 5 8

1 6 1 3 6 1 = c m = 2 2 8

1 = 2

y=

3

z=

6

1 1 6 1 2 6 1 =3 = c m = 3 3 9 3 1 1 =6 7 7

1 1 1 < < olduğundan y < x < z dir. 7 9 8 sayılarını küçükten büyüğe

doğru sıralayınız. İÇ İÇE KÖKLER

1.

m n

Çözüm

x=

2 = 3

4 3

y=

3 = 5

9 5

z=

5 = 8

25 8

x = n.m x

Örnek

4 9 25 , , sayıları arasındaki sıralama ile; x, y, z sayıları 3 5 8

3

27 =

2.

m

3.2

3

3 = 3

n

x n y = m.n x .y

arasındaki sıralama aynıdır. 4 9 25 ≅ 1, 33... = 1, 8 ve ≅ 3,1... olduğundan, 3 5 8

Örnek

4 9 25 < < dir. O halde, x < y < z dir. 3 5 8

4

2. 3 4 =

4.3

3

2 .4

= 12 32

89

YGS Matematik

Eşlenik İfadeler

Örnek

3

Örnek 3

x . x ifadesinin en sade biçimini bulunuz.

x

3

4

x . x ifadesinin en sade biçimini bulunuz.

Çözüm 3

Çözüm 3

=

x . x = 6 x. =

6

x

6

4

x =

x

=

3

3

x

=

2

= =

3

x . x 4

x.

3

x.

3

1

x .x 2 7

4

x2 7 1 . 4

3

x.x 2

3

x

3

=x

3

4

x

1+

7 8

15 8

15 1 . 8 3 5

= x8 =

Örnek

3

8

x

5

2 5 x = 3 2 . 5 3 ise x kaçtır?

A) 33

B) 34

C) 36

D) 27

E) 28

Gizli Tamkare Olan Köklü İfadeler a=c+d

(2000 ÖSS )

b = c.d ve c > d olmak üzere, a!2 b = c ! d

Çözüm

3 5 15

5 5.3

5

3.5

2 .

5

15

5

5

5

3

3

bulunur.

2 .x = 2 .x =

2 .3

2 .x = 2 .3

x=3

3

3

Örnek

3

5+2 6 = 3 + 2 /\ 32 3.2 = 6 c m 3+2 = 5

Cevap A

90

YGS Matematik

Eşlenik İfadeler

10. Periyodik İfadeler (İç - içe sonsuza devirli köklü sayılar)

Örnek

a. a = n. (n + 1) olmak üzere, 4 – 12 =

4 – 4.3

=

a+ a+ a+… = n+1

4 – 2 3 = 3 –1

a–

/\

(n ∈ Z+)

a – a –… = n

13

Örnek

30 –

Örnek 11 – 3 8 =

30 – 30 – … = x ise x kaçtır?

11 – 9.4.2

=

11 – 2 18 = 9 – 2 = 3 – 2

Çözüm

/\

92

30 = 5.6 olduğundan 30 –

30 – 30 – … = 5

x = 5 bulunur. a ! b ifadesi

!

2.a ! 2 b 2

=

1 2

=

2a ! 2 b şeklinde yazılabilir.

Örnek

42 + 42 + … + x –

x – x… = 11

Örnek Çözüm

4– 7

=

8–2 7 2

1 = 2

42 = 6 . 7 ⇒

42 + 42 + … = 7 olur.

8–2 7

/\

71

7 + x − x − ... = 11 ise 4

x = 4.5 olur.

1 ^ = 7 – 1h olur. 2

x = 20 bulunur.

91

YGS Matematik

Eşlenik İfadeler

b.

n

Örnek

a. n a. n a.É = n–1 a 3

Örnek

5

4

4

2

32 : 4 32 : ... − 30 + 30 + ...


16. 5 16. 5 16.É = 4 16 =

25 : 3 25... + 56 − 56 − ...

4

=2

c.

n

a : n a : n a :É = n + 1 a

Örnek 3

81 : 3 81 : ... = 4 81

Çözüm

= 4 34 =3 3

25. 3 25É = 25 = 5 =5

Örnek 3 3 9 3 3 9...

2

56 Ð 56 – … = 7 /\ işleminin sonucu kaçtır?

78 4

32 : 4 32 : ... = 5 32 = 5 25 =2

Çözüm

30 + 30 + ... = 6 /\

3 ⋅ 3 9 ⋅ 3 3 9... = x olsun.

56

x

değerleri yerine yazılır. 2

^ 3. 3 9.x h = ^x h2 3

5 + 7 12 = = –3 bulunur. 2 – 6 –4

3

^3. 9.x h = ^x 2 h 3

27.9x = x6 33 . 32 = x5 35 = x5 ve x = 3 bulunur.

92

Çözümlü Çözümler Test

YGS Matematik

1.

a = 2+ 2

2

6. 2

4

2a . a 2 +3 8

b=

Eşlenik İfadeler

ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi aşağıdakilerden hangisidir?

olduğuna göre, a – b kaçtır?

A)

2

B) 2

D) 2 – 2

1 – 5 –1

2.

C) 2 2

7.

1 D) 2

5 B) 2

30 –

B) –3 + 3x 2

D) 3 1 – x


2

A) –3 1 – x

E) 4

1 5 +1

1 A) 5

2

25 – 25x – 64 – 64x

A) 4

B) 5

C) 6

4



C) 12

D) 16

b a + = ab b a

9.

lerden hangisidir? A)

a a –1

5.

B) D)

4+2 3 –

a –1 a

a 1– a

C) E)

a+1 a –1

A) 2 – 2

B) D) 1

C) 6

D) 7

E) 8

4– 7 + 4+ 7

A)

a a+1

4–2 3

B) 5

ifadesinin değeri kaçtır? 2

B)

7

C)

14

D) 2 7 E)

21

^2x – 5h22 = 9

10.

11

denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?


E) 10

11 – 6 2 . 3 – 2 ^3 + 2 h

A) 3

E) 18

olduğuna göre, b nin a türünden ifadesi aşağıdaki-

D) 8

E) 2

8.

4.

2


1 C) 5

3 3 + 3+2 2 3–2 2

B) 9

E) 3 1 + x

30 – 30 – …

3.

A) 6

C) –3 – 13x

2

C)

3

E) 2

A) {1, 8}

93

B) {–1, 1} D) {1, 4}

C) {–1, 4} E) {8}

Eşlenik İfadeler

1.

2

4

2a . a 2 +3 8

b=

YGS Matematik

& b=

2a . a 2 +2

& b=

2a 2 +2

& b=

2 .a 2 +2

& b=

2 ^2 + 2 h 2 +2

6. =

2

25 - 25x 2 - 64 - 64x 2 _ x 2h – 25. ^1 Ð

2 64. ^1 – x h

_ x – 8. 1 – x = 5. 1 Ð 2

_ 3. 1 Ð _x =Ð

2

2

Cevap A

& b= 2

a – b = ^2 + 2 h – 2 = 2

1 1 − 5 −1 5 +1

2.

=

2

7. Cevap B

⇒ x2 + x – 30 = 0

⇒ (x + 6) . (x – 5) = 0

⇒ x = –6 veya x = 5

5 +1 5 – 1 ^ 5 + 1h – ^ 5 – 1h 1 = = – 5 –1 5 –1 4 2

30 – x = & 30 – x = x

bulunur. Kareköklü bir ifadenin sonucu negatif olamayacağından, verilen ifadenin değeri 5 tir. Cevap B

Cevap D

3.

3 3+2 2 =

+

8.

3 3−2 2

3. ^3 – 2 2 h 2

2

3 – ^2 2 h

+

2

3 – ^2 2 h

_ 2 ^3 + 2 h = 4 ^3 – 2 h . 3 Ð =

3 ^3 – 2 2 h 3 ^3 + 2 2 h = + 9–8 9–8

_ 2 . ^3 + 2 h 3– 2. 3Ð

_2=7 = ^3 – 2 h . ^3 + 2 h = 9 Ð Cevap D

= 9 – 6 2 + 9 + 6 2 = 18 Cevap E

4.

_ 2 ^3 + 2 h 11 – 6 2 . 3 Ð 2

3. ^3 + 2 2 h 2

4

9.

4 – 7 + 4 + 7 = x olsun 2 ^ 4 – 7 + 4 + 7 h = ^x h 2

a b + = ab b a

a+b = ab ab

8–2 7 + 8+2 7 = x 2 7 –1+ 7 +1 = x 2

= a + b = ab

= ab – b = a

= b(a – 1) = a ⇒ b =

2 7 =x 2 & a a –1

2 7 x 2 = & 2 2

14 = x Cevap C

Cevap A

5. 4+2 3 – /\ 3 1

10. (2x – 5)2 = 9 ⇒ 2x – 5 = 3 veya 2x – 5 = –3

4–2 3

/\

3 1

⇒ x = 4 veya x = 1

bulunur. Bu köklerin ikisi de verilen denklemi sağladığından, çözüm kümesi, {1, 4} tür.

= ^ 3 + 1 h – ^ 3 – 1 h = 2

Cevap D

Cevap E

94

YGS Matematik

Doğal Sayılar - Tam Sayılar Çarpanlara Ayırma ve Özdeşlikler

Ortak Çarpan Parantezine Almak ÇARPANLARA AYRILABİLEN POLİNOM

Bir polinomun her teriminde ortak bir çarpan varsa, terimler bu ortak çarpanın parantezine alınabilir.

Sabit olmayan P(x), A(x), B(x) polinomları için

Aşağıdaki örnekleri inceleyiniz.

P(x) = A(x) . B(x)

a) ax + ay = a . (x + y)

ise P(x) polinomuna çarpanlarına ayrılabilen polinom denir.

b) mx – my + 4m = m(x – y + 4)

A(x) ve B(x) polinomlarına P(x) in birer çarpanı denir. Bir po-

c) x2 + 15x = x (x + 15)

linomu birden fazla sabit olmayan polinomun çarpımı olarak

d) x2y – 4xy3 = xy (x – 4y2)

yazmaya bu polinomu çarpanlara ayırma denir.

e) 9a3b – 15a2b2 = 3a2b (3a – 5b)

Örnek

f) (x + y)2 + 8(x + y) = (x + y) . (x + y + 8)

x2 – 16 = (x – 4).(x + 4) olduğundan,

g) (a – b) (x + y) – (a – b) (x + 3y)

x2 – 16 çarpanlara ayrılabilen bir polinomdur.

= (a – b) [(x + y) – (x + 3y)]

x – 4 ve x + 4 polinomları x2 – 16 polinomunun çarpanlarıdır.

= (a – b) . (–2y)

h) (a + b)2 – 4a – 4b = (a + b)2 – 4(a + b) İndirgenemez Polinom, Asal Polinom Sabit olmayan en az iki polinomun çarpımı olarak yazılama-

= (a + b) . [(a + b) – 4]

= (a + b) . (a + b – 4)

yan polinomlara indirgenemez polinom denir. Baş katsayısı 1 olan indirgenemez polinomlara asal polinom

Gruplandırarak Çarpanlarına Ayırma

denir.

En az 4 terimden oluşan ifadelerin terimleri uygun biçimde gruplandırılarak çarpanlarına ayrılabilir.

Örnek

Aşağıdaki örnekleri inceleyiniz. a) ax – bx – ay + by = (ax – bx) – (ay – by)

P(x) = 4x + 5, Q(x) = 9x2 + 10 polinomları birer indirgenemez polinomdur.

= x(a – b) – y(a – b)

= (a – b) . (x – y)

Verilen dört terim önce ikişer ikişer gruplandırıldı. Her bir

Örnek

grupta a – b ortak çarpanı oluştu, sonra tekrar (a – b) ortak çarpanı parantezine alındı. Eğer, gruplandırıldıktan sonra or-

P(x) = x – 8, Q(x) = x2 + 16 polinomları birer asal polinomdur.

tak bir çarpan elde edilemeseydi yeniden gruplandırma yapılacaktı. b) ax – 6b – 3a + 2bx = (ax + 2bx) – (3a + 6b)

ÇARPANLARA AYIRMA METOTLARI Polinomların tümünü çarpanlara ayırmak için genel bir kural

= x(a + 2b) – 3(a + 2b)

= (a + 2b) . (x – 3)

c) x2y2 + y2 + 2x2 + 2 = (x2y2 + y2) + (2x2 + 2)

yoktur. Aşağıdaki metotların biri ya da birkaçı kullanılabilir.

95

YGS Matematik

Doğal Sayılar - Tam Çarpanlara Ayırma ve Sayılar Özdeşlikler

= y2 (x2 + 1) + 2 (x2 + 1)

2

İki Kare Farkı Özdeşliğinden Faydalanarak Çarpanlarına Ayırma

2

= (x + 1) . (y + 2)

d) a2 + ab – ac + ax + bx – cx

= (a2 + ab – ac) + (ax + bx – cx)

= a (a + b – c) + x (a + b – c)

= (a + b – c) . (a + x)

x2 – y2 = (x – y).(x + y)

özdeşliğinden yararlanarak, iki kare farkı biçimde olan polinomlar çarpanlara ayrılabilir. Aşağıdaki örnekleri inceleyiniz. a) x2 – 25 = x2 – 52

e) 2mn2 + m + 2m2n + n = (2mn2 + 2m2n) + (m + n)

= 2mn (n + m) + (m + n)

= (m + n) . (2mn + 1)

= (x – 5) . (x + 5)

b) x2 – 16y2 = x2 – (4y)2 = (x – 4y) . (x + 4y) c) 64a2 – 25b2 = (8a)2 – (5b)2

f) x3 + 4x2 – 5x – 20 = (x3 + 4x2) – (5x + 20)

= x2 (x + 4) – 5 (x + 4)

= (x + 4) . (x2 – 5)

d) (2x – y)2 – (x + 5y)2 = [(2x – y) – (x + 5y)] .[(2x – y) + (x +5y)]

g) a6 – a4 + a2 – 1 = (a6 – a4) + (a2 – 1)

2

= (2x – y – x – 5y) . (2x – y + x + 5y)

= (x – 6y) . (3x + 4y)

e) x4 – 16 = (x2)2 – 42 = (x2 – 4) . (x2 + 4)

= a4 (a2 – 1) + (a2 – 1)

= (8a – 5b) . (8a + 5b)

4

= (a – 1) . (a + 1)

= (a – 1) . (a + 1) . (a4 + 1)

= (x2 – 22) . (x2 + 4)

= (x – 2) . (x + 2) . (x2 + 4)

f) x2 + 4x + 4 – y2 = (x2 + 2 . x . 2 + 22) – y2

= (x + 2)2 – y2

Tam Kare Özdeşliğinden Faydalanarak Çarpanlarına

= (x + 2 – y) . (x + 2 + y)

Ayırma

= (x – y + 2) . (x + y + 2)

(x – y)2 = x2 – 2xy + y2

2

2

g) a2 – x2 + 2xy – y2 = a2 – (x2 – 2xy + y2)

2

(x + y) = x + 2xy + y

özdeşliklerinden yararlanarak, tam kare biçiminde olan polinomlar çarpanlara ayrılabilir. Aşağıdaki örnekleri inceleyiniz.

= a2 – (x – y)2

= [a – (x – y)] . [a + (x – y)]

= (a – x + y) . (a + x – y)

a) x2 + 8x + 16 = x2 + 2 . x . 4 + 42 = (x + 4)2 İki Küp Farkı ve İki Küp Toplamı Özdeşliğinden Faydala-

b) y2 – 12y + 36 = y2 – 2 . y . 6 + 62 = (y – 6)2

narak Çarpanlarına Ayırma

c) x2 + 10xy + 25y2 = x2 + 2 . x . (5y) + (5y)2 = (x + 5y)2 d) 9a2 – 6ab + b2 = (3a)2 – 2 . (3a) . b + b2 = (3a – b)2 4

2

2 2

2

2

2

2

e) x + 18x + 81 = (x ) + 2 . x . 9 + 9 = (x + 9)

x3 – y3 = (x – y).(x2 + xy + y2) = (x – y)3 + 3xy.(x – y)

x3 + y3 = (x + y).(x2 – xy + y2) = (x + y)3 – 3xy(x + y)

özdeşliklerinden yararlanarak, iki küp farkı ya da iki küp topla-

f) m2n2 + 16mn + 64 = (mn)2 + 2.(mn).8 + 82 = (mn + 8)2

mı biçiminde olan polinomlar çarpanlara ayrılabilir.

96

YGS Matematik

DoğalAyırma Sayılarve - Tam Sayılar Çarpanlara Özdeşlikler

Aşağıdaki örnekleri inceleyiniz.

Çözüm

a) x3 + 8 = x3 + 23

= (x + 2) . (x2 – x . 2 + 22)

= (x + 2) . (x2 – 2x + 4)

3

4 3 2 a â – 1 h a 2 + 1 a –a a +1 . = 2 2 . 2 4 2 a + a a – a a â + 1 h a â – 1 h

=

3

3

a a = 3 = 1 olur. 2 a .a a

b) 27a3 – b3 = (3a)3 – b3

= (3a – b) . [(3a)2 + 3a . b + b2]

= (3a – b) . (9a2 + 3ab + b2)

Cevap C

Örnek a+b+c=A a–b–c=B

Örnek

olduğuna göre, A2 – B2 ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?

(a + 1)2 – (a – 1)2 ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşit-

A) 4a(b + c)

tir? A) a

B) 2a

C) 3a

D) 4a

E) 5a

B) 4b(a + c) D) 2a(b – c)

C) 2c(a + b) E) 2b(a – c) (2009 ÖSS)

(2010 YGS)

Çözüm Çözüm A=a+b+c (a + 1)2 – (a – 1)2 = iki kare farkı

B=a–b–c

(a + 1 – a + 1)(a + 1 + a – 1) = 2.2a = 4a bulunur.

A2 – B2 = (A – B)(A + B) = (a + b + c – a + b + c).(a + b + c + a – b – c)

Cevap D

= (2b + 2c)(2a) = 4a(b + c) Cevap A

Örnek 4

3

Örnek

2

a –a a +1 . 2 ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi aşağıda4 2 a +a a –a

2 2 1 1 a + b = 1, a + b = 24 olduğuna göre, a.b çarpımı aşağı-

kilerden hangisidir? A) a – 1

dakilerden hangisi olabilir?

B) a C) 1

D) a + 1

E) a2 + 1

A) 6 (2011 LYS 1)

B) 8

C) 10

D) 12

E) 14 (1997 ÖSS)

97

YGS Matematik


x2 + bx + c Biçimindeki Üç Terimlilerin Çarpanla-

e) Toplamları –8 ve çarpımları +12 olan iki sayı –6 ve –2 dir.

rına Ayrılması

Buna göre, 2

Baş katsayısı 1 olan x + bx + c ifadesinin çarpanlarına ayrı-

x2 – 8x + 12 = (x – 6) . (x – 2) dir.

2

labilmesi için b – 4c ≥ 0 olmalıdır. m + n = b, m . n = c olacak biçimde m ve n sayıları bulunur. f) Toplamları –1 ve çarpımları –12 olan iki sayı –4 ve +3 ol-

Buradan,

duğundan,

x2 + bx + c = (x + m) . (x + n)

x2 – x – 12 = (x – 4) . (x + 3) tür.

biçiminde çarpanlarına ayrılır.

g) Toplamları +2, çarpımları +6 olan iki sayı hemen bulunamıyor. Bu durumda b2 – 4ac nin pozitif mi, negatif mi

Örnek

olduğuna bakalım: b2 – 4c = 22 – 4 . 6 = 4 – 24 = –20 < 0

Aşağıdaki ifadeleri çarpanlarına ayırınız. a) x2 + 5x + 6

b) x2 + 11x + 10

c) x2 – 5x – 6

d) x2 – 5x + 6

e) x2 – 8x + 12

f) x2 – x – 12

g) x2 + 2x + 6

h) x2 – x + 2

olduğundan, x2 + 2x + 6 ifadesi çarpanlarına ayrılamaz.

h) x2 – x + 2 ifadesinde de b2 – 4ac = (–1)2 – 4 . 2

= 1 – 8 = –7 < 0

olduğundan, ifade çarpanlarına ayrılamaz.

Çözüm ax2 + bx + c Biçimindeki İkinci Dereceden Üç Terimlilerin

a) Toplamları +5, çarpımları 6 olan iki sayı +2 ve +3 tür. Buna

Çarpanlarına Ayrılması

göre, x2 + 5x + 6 = (x + 2) . (x + 3) tür.

ax2 + bx + c ifadesini çarpanlarına ayırmak için a ve c nin

b) Toplamları +11, çarpımları +10 olan iki sayı +10 ve +1 dir.

çarpanlarından faydalanılır. Çarpımları a olan iki sayı m ve n,

Buna göre,

çarpımları c olan iki sayı p ve q olsun. x2 + 11x + 10 = (x + 10) . (x + 1) dir.

c) Toplamları –5, çarpımları –6 olan iki sayı –6 ve +1 dir. Buna göre, x2 – 5x – 6 = (x – 6) . (x + 1) dir. Eğer m.q + n.p = b oluyorsa;

d) Toplamları –5 ve çarpımları +6 olan iki sayı –3 ve –2 dir. Buna göre,

ax2 + bx + c = (mx + p).(nx + q) biçiminde çarpanlarına ayx2 – 5x + 6 = (x – 3) . (x – 2) dir.

rılır.

98

YGS Matematik

Çarpanlara Ayırma ve Özdeşlikler

Çözüm

Örnek

1 1 a+b a + b = ab = 1

^b h

25 1 5 + – işleminin sonucu kaçtır? 64 9 12

â h

& a + b = ab olur.

A)

a2 + b2 = 24 ⇒ (a + b)2 – 2ab = 24

5 12

B)

5 8

C)

1 12

D)

1 18

7 24

(1997 ÖSS)

ab – 24 = 0 ⇒ âbh2 – 2 V Y x

E)

x

x2 – 2x – 24 = 0

/ \

Çözüm

/\

x x

–6, + 4

(x – 6)(x + 4) = 0 x = 6,

25 1 5 + – = 64 9 12

x=–4

ab = 6 ve ab = –4 bulunur. Cevap A

5 2 1 2 5 c m +c m – 8 3 12

=

5 1 1 2 5 2 c m – 2. . + c m 8 3 3 8

=

c

5 1 7 5 1 2 – m = – bulunur. = 8 3 24 8 3 Cevap E

Örnek Örnek a – b = b – c = 5 olduğuna göre, a2 + c2 – 2b2 işleminin sonucu kaçtır? A) 50

B) 45

C) 40

D) 35

Bir sayının karesi, aynı sayının iki katı ve 1 sayısı toplanıldığında 196 bulunmaktadır.

E) 30

Bu sayı kaçtır?

(1998 ÖSS)

A) 11

B) 12

C) 13

D) 14

E) 15 (1990 ÖSS)

Çözüm a – b = b – c = 5 ise

Çözüm

a–b=5

+

b – c = 5 dir.

Bir sayı a olsun Sayının karesi: a2

a – c = 10

Sayının iki katı: 2a 2

2

2

2

2

2

2

a + c – 2b = a – b + c – b

a2 + 2a + 1 = 196

(a – b)(a + b) + (c – b) (c + b)

(a + 1)2 = 196 (Her iki tarafın kare kökünü alalım.)

= 5(a + b) + (–5)(c + b)

|a + 1| = 14 ise

= 5a + 5b – 5c – 5b

a + 1 = 14 veya a + 1 = –14 olur.

= 5(a – c) = 5.10 = 50 bulunur.

a = 13 veya a = –15 tir. Cevap A

Cevap C

99

YGS Matematik

Çarpanlara Ayırma ve Özdeşlikler

Terim Ekleyip Çıkarma Metodu ile Çarpanlarına Ayırma

Örnek

Yukarıdaki metotlarla çarpanlarına ayrılamayan polinomlara uygun terimler eklenip çıkarılarak çarpanlara ayrılacak biçime

Aşağıdaki çarpanlarına ayırma işlemlerini inceleyiniz.

getirilebilir. a) 2x2 + 11x + 5 ifadesinde; a = 2, b = 11, c = 5 tir. b2 – 4ac = 112 – 4.2.5 = 121 – 40 = 81 ≥ 0 olduğundan, çarpanlarına ayrılır. Şimdi, 2 ve 5 sayılarının çarpanlarından 11 elde etmeye çalışacağız.

O hâlde, 2x2 + 11x + 5 = (2x + 1).(x + 5) çarpanlarına ayrılır.

b) 6x2 – x – 15 ifadesinde; a = 6, b = –1, c = –15 tir. b2 – 4ac = (–1)2 – 4.6.(–15) = 1 + 360 = 361 ≥ 0 olduğundan, polinom çarpanlarına ayrılır.

Örnek Aşağıdaki polinomları çarpanlarına ayırınız. a) x4 + 4 2

O hâlde, 6x – x – 15 = (3x – 5).(2x + 3) tür. 2

c) 4x – 17xy +15y

2

b) x4 + x2 + 1

ifadesinde;

b2 – 4ac = (–17)2 – 4.4.15 = 49 ≥ 0 dır.

Çözüm a) x4 + 4 = x4 + 4x2 + 4 – 4x2 (4x2 eklenip çıkarıldı)

= (x2 + 2)2 – (2x)2

O hâlde, 4x2 – 17xy + 15y2 = (4x – 5y).(x – 3y) dir.

= (x2 + 2 – 2x).(x2 + 2 + 2x)

d) 12x2 – x – 1 = (3x – 1).(4x +1)

= (x2 – 2x + 2) . (x2 + 2x + 2)

b) x4 + x2 + 1 = x4 + 2x2 + 1 – x2 (x2 eklenip çıkarıldı)

e) 5a2 – 26a + 5 = (5a – 1).(a – 5) f) 6a2 + 17a – 3 = (6a – 1).(a + 3) g) –3x2 – 14x + 5 = (– 3x +1).(x + 5)

100

= (x2 + 1)2 – x2

= (x2 + 1 – x). (x2 + 1 + x)

= (x2 – x + 1) . (x2 + x + 1)

YGS Matematik

DoğalAyırma Sayılarve - Tam Sayılar Çarpanlara Özdeşlikler

xn ± yn Biçimindeki İfadelerin Çarpanlarına Ayrılması n

Örnek

n

x ± y biçimindeki ifadelerin bir kısmı iki kare farkı, iki küp

Aşağıdaki ifadeleri çarpanlarına ayırınız.

farkı, iki küp toplamı biçimine dönüştürülerek çarpanlarına ayrılabilirler. Böyle çarpanlarına ayrılamayan ifadeler için şu özdeşliklerden yararlanılır:

a) x4 – 16

b) x5 – y5

c) x4 + y4

d) x6 – y6

e) x6 + y6

a. Her n doğal sayısı için; xn – yn = (x – y) . (xn–1 + xn–2y + xn–3y2 + ...+yn–1) dir. İkinci çarpanda bütün terimlerin katsayıları 1 dir. x in kuvvetleri azalırken y nin kuvvetleri artar. Her terimin derecesi n – 1 dir.

Çözüm

b. n tek doğal sayısı için; xn + yn = (x + y) . (xn–1 – xn–2y + xn–3y2 – ...+yn–1)

a) x4 – 16 = (x2)2 – 42

dir. İkinci çarpanda terimlerin işaretleri +, –, +, –, ... biçiminde

= (x2 – 4) . (x2 + 4)

c. n = 2 için x2 + y2 ifadesi çarpanlarına ayrılmaz.

= (x – 2) . (x + 2) . (x2 + 4)

d. n doğal sayısı 4 ün katı ise xn + yn ifadesi terim ekleyip

b) x5 – y5 = (x – y) . (x4 + x3y + x2y2 + xy3 + y4)

çıkarılarak çarpanlarına ayrılabilir: n = 4m olsun.

c) x4 + y4 = x4 + 2x2y2 + y4 – 2x2y2

gider.

n

n

4m

x +y =x

4m

+y

4m

=x

= (x2 + y2)2 – ( 2 xy)2

2m 2m

+ 2x y

4m

+y

2m 2m

– 2x y

= (x2m+y2m–

2 xmym).(x2m+y2m +

= (x2 + y2 –

= (x2m + y2m)2 – ( 2 . xmym)2

6

6

3 2

2 xy) . (x2 + y2 +

2 xy)

3 2

d) x – y = (x ) – (y )

2 xm ym)

dir. e. n doğal sayısı 3 ün katı ise xn + yn ifadesi iki küp toplamı

= (x3 – y3) . (x3 + y3)

= (x – y) . (x2 + xy + y2) . (x + y) . (x2 – xy + y2)

veya;

biçiminde yazılarak çarpanlarına ayrılır.

x6 – y6 = (x2)3 – (y2)3

n = 3m olsun.

= (x2 – y2) . (x4 + x2y2 + y4)

xn + yn = x3m + y3m

= (x – y) . (x + y) . (x4 + x2y2 + y4)

= (xm)3 + (ym)3

e) x6 + y6 = (x2)3 + (y2)3

= (xm + ym) . (x2m – xm ym + ym) dir. f. n, 4 ün katı olmayan bir çift sayı ise b şıkkında verildiği gibi çarpanlarına ayrılır. n = 2m ve m tek olsun. xn + yn = x2m + y2m = (x2)m + (y2)m = (x2 + y2).[(x2)m–1 – (x2)m–1.(y2)+...+ (y2)m–1] dir.

101

= (x2 + y2) . [(x2)2 – x2y2 + (y2)2]

= (x2 + y2) . (x4 – x2y2 + y4)

YGS Matematik


Çözüm

Örnek 2

2

x –y

2 4

2

=

2

x + xy

1 2

⇒

2

olduğuna göre, (x + y) ifadesinin değeri kaçtır? A) 2

2

a b – a =b–a b

B) 4

C) 1

1 D) 2

3

3

a –b =b–a ab

⇒ a3 – b3 = (b – a).ab

1 E) 4

⇒ (a – b)(a2 + ab + b2) = –(a – b).ab

(2011 YGS)

⇒ a2 + ab + b2 = –ab ⇒ a2 + 2ab + b2 = 0

Çözüm

2

2

x –y

2

2

x + xy

^2 2 h 2 2

2

x –y

2

2

2x + 2xy

22x

⇒ a+b=0 1 = 2

⇒ a = –b olur. O halde a b –b b + = + = –1–1 = –2 olur. b a b –b

1 = 2

2 + 2xy – x2 + y2

2 + 2xy + y2

2x

⇒ (a + b)2 = 0

Cevap A

=2

= 21 ⇒

(x + y)2 = 1 olur. Cevap C

Örnek

Örnek

Birbirinden farklı a ve b sayıları için 2

2

a – 2a–3 ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi aşağıda1 3 a + 1 ka – 1 k a a

2

a b – a =b–a b olduğuna göre, A) –2

a b + ifadesinin değeri kaçtır? b a

B) –1

C) 0

D) 1

kilerden hangisidir? A) –3a2

E) 4

B) –a2 D) a – 2

(2011 YGS)

C) 2a2 E) a + 1 (2009 ÖSS)

102

YGS Matematik


Çözüm 2

a – 2a – 3 1 3 a + 1 ka – 1 k a a =

â – 3hâ + 1h 1 + a ka 3 – a k a a a

=

â – 3hâ + 1h â + 1h^3 – ah 2

a â – 3hâ + 1h a 2 = . â + 1h^3 – ah 1 = –a

2

Cevap B

bulunur.

Örnek x2 + x + 1

x3 − 1

:

2 x2 + 5 x 2 x2 + 3 x − 5 ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi aşağıdakilerden hangisidir? 1 A) x

B)

1 2–x

D) x

C)

2 1+x

E) x + 1 (2007 ÖSS Mat2)

Çözüm

x2 + x + 1 2

:

x3 − 1 2

2x + 5x 2x + 3x − 5 =

x2 + x + 1 2 x2 + 3 x − 5 ⋅ x( 2 x + 5 ) x3 − 1

=

x 2 + x + 1 ( 2 x + 5 )( x + 1) ⋅ x ( 2 x + 5 ) ( x − 1)( x 2 + x + 1)

=

1 bulunur . x Cevap A

103

Çözümlü Çözümler Test


YGS Matematik

1.

xy + y – x + 2 = 0

6. x2 + 4x + a = (x + b).(cx + 1)

bağıntısının y = f(x) biçiminde ifadesi aşağıdakiler-

olduğuna göre a + b + c kaçtır?

den hangisidir?

x+2 A) y = x –1

D) y =

x+1 2–x

x + y + z = 6

yx + xz = 9

olduğuna göre, x kaçtır? B) 4

E) y =

C) 6

D) 7

E) 8

2–x x

ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden han-

gisidir? C)

2

D)

3

E)

5

A) 2x – 9

3. (a – b)2 (c – a) + (a – c)2 (a – b)

B) x – 9 D) 4x – 3

C) x – 3 E) x – 6

8. x2 + 4y2 – 9 + 4xy

ifadesinin çarpanlara ayrılmış biçimi aşağıdakiler-

B) 4

7. 4x2 + 21x – 18

2.

A) 3

A) 3

–2 xÐ C) y = x + 1

x –1 B) y = x+1

ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden han-

den hangisidir?

gisidir?

A) (a – b) (a + c) (b – c) B) (a – b) (a – c) (c + b)

A) x + 2y + 3

C) (a – b) (c – a) (c – b)

B) x – 2y + 3

D) x + 2y – 1

C) x – 2y – 3

E) x + 2y + 1

D) (a + b) (c – a) (c – b) E) (a + b) (a – c) (b + c)

4. (a + b – c)2 – (a – b + c)2 ifadesinin en sade biçimi aşağıdakilerden hangisi-

dir?

A) 2a(c – a)

B) 4b(c – a)

D) 4a(b – c)

9.

10x – 5 A B = + 2 x – 4x – 5 x – 5 x + 1

olduğuna göre A – B farkı kaçtır? A) 2

C) 4c(a – b)

B) 3

C) 4

D) 5

E) 6

D) 5

E) 6

E) 2c(a – b)

10. x ve y pozitif reel sayılardır. 5. a – b = b – c = 4

4x2 + 5xy = 26

olduğuna göre a2 + c2 – 2b2 işleminin sonucu kaç-

y2 + 1 = xy

tır?

A) 50

B) 45

C) 40

D) 35

E) 32

olduğuna göre 2x + y kaçtır? A) 2

104

B) 3

C) 4

Çözümler

YGS Matematik

1. xy + y – x + 2 = 0 ⇒ xy + y = x – 2 ⇒ y(x + 1) = x – 2

⇒ y=

x–2 x+1 Cevap C

2. yx + xz = 9 ⇒ x(y + z) = 9

⇒ x(6 – x) = 9

⇒ 6x – x2 = 9

⇒ x2 – 6x + 9 = 0

Doğal Sayılar Tam Sayılar Çarpanlara Ayırma- ve Özdeşlikler

c=1

1 + bc = 4

b=a

denklemleri elde edilir. Bu denklemlerin ortak çözümünden; c = 1, b = 3, a = 3 bulunur. a + b + c = 7 dir.

Cevap D

7.

4x2 + 21x – 18 = (4x – 3) . (x + 6) dir.

2

⇒ (x – 3) = 0

⇒ x=3

Cevap D

Cevap A

3. (a – b)2 . (c – a) + (a – c)2 . (a – b)

= (a – b)2 . (c – a) + (c – a)2 . (a – b)

= (a – b) . (c – a) . [(a – b) + (c – a)]

= (a – b) . (c – a) . (c – b)

8.

x2 + 4y2 – 9 + 4xy = (x2 + 4xy+ 4y2) – 9 = (x + 2y)2 – 32

= (x + 2y + 3) . (x + 2y – 3) Cevap A

Hatırlatma: (a – c)2 = (c – a)2 dir.

9.

Cevap C 2

2

4. (a + b – c) – (a – b + c)

= [(a + b – c) + (a – b + c)] . [(a + b – c) – (a – b + c)]

= (a + b – c + a – b + c) . (a + b – c – a + b – c)

= 2a . (2b – 2c) = 4a . (b – c)

10x – 5 A B = + 2 5 x+1 x – 4x – 5 x^x – + 1h ^x – 5 h =

Cevap D

A (x + 1) + B ^x – 5h 10x – 5 = 2 x – 4x – 5 x – 4x – 5 2

= 10x – 5 = (A + B)x + (A – 5B)

olur. Aynı dereceli terimlerin katsayıları eşitlenerek;

A + B = 10

5. a2 + c2 – 2b2 = (a2 – b2) + (c2 – b2)

A – 5B = –5

= (a – b) . (a + b) + (c – b) . (c + b)

denklemleri elde edilir. Bu denklemlerin çözümünden;

= 4 . (a + b) – 4 . (c + b)

= 4 . (a + b – c – b)

= 4 . (a – b + b – c)

= 4 . 8 = 32

A=

15 5 , B= bulunur. 2 2

A – B = 5 bulunur. Cevap D

Cevap E

10. Verilen eşitlikleri taraf tarafa toplarsak: 6.

(x + b) . (cx + 1) = cx2 + x + bcx + b

2

= cx2 + (1 + bc)x + b

dir.

2

x + 4x + a = cx + (1 + bc) x + b

özdeşliğinde aynı dereceli terimlerin katsayıları eşitlenirse;

4x2 + 5xy + y2 + 1 = 26 + xy 4x2 + 4xy + y2 = 25 (2x + y)2 = 25

2x + y = 5 veya 2x + y = –5 olur. x ve y pozitif reel sayılar olduğundan, 2x + y = 5 tir. Cevap D

105

YGS Matematik

Özdeşlikler

g. x2 + y2 = (x – y)2 + 2xy

ÖZDEŞLİKLER

h. x3 + y3 = (x + y)3 – 3xy(x + y) i. x3 + y3 = (x + y) (x2 – xy + y2)

Bağlı oldukları değişkenlerin, tanımlı yapan her değeri için doğru olan matematiksel eşitliklere özdeşlik denir.

j. x3 – y3 = (x – y)3 + 3xy(x – y) k. x3 – y3 = (x – y) . (x2 + xy + y2)

Örnek

l. (x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2.(xy + xz + yz) Aşağıdaki eşitliklerin her biri özdeşliktir:

m. (x + y – z)2 = x2 + y2 + z2 + 2 . (xy – xz – yz)

a) x3 . x2 = x5

n. x + y + z = 0 ise x3 + y3 + z3 = 3xyz dir.

b) x.(x + 1) = x2 + x c) (x + y)2 = x2 + 2xy + y2

Örnek x + y = 6 ve x.y = 3 olduğuna göre, x2 + y2 nin değeri kaç-

Örnek

tır? (3x – 1) . (x + 6) = ax2 + bx + c

A) 24

B) 26

C) 28

D) 30

E) 42

ifadesi x e göre bir özdeşliktir. Buna göre, a – b + c kaçtır? A) –20

B) –18

C) –15

D) –10

E) –5

Çözüm x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy

Çözüm

= 62 – 2.3 = 36 – 6 = 30 bulunur. Cevap D

Verilen eşitlik x e göre bir özdeşlik olduğundan, x in her değeri için sağlanmalıdır.

Örnek

x = –1 için; [3 . (–1) – 1] . [(–1) + 6]

x2 + y2 = 50

= a . (–1)2 + b . (–1) + c

xy = 7

= a – b + c ⇒ a – b + c = –20 bulunur.

olduğuna göre, x – y nin pozitif değeri kaçtır?

Cevap A

A) 3

B) 4

C) 5

D) 6

E) 7

Bazı Önemli Özdeşlikler a. (x + y)2 = x2 + 2xy + y2

Çözüm

b. (x – y)2 = x2 – 2xy + y2 x2 + y2 = (x – y)2 + 2xy

c. (x + y)2 = (x – y)2 + 4xy

50 = (x – y)2 + 2 . 7

d. (x – y)2 = (x + y)2 – 4xy 2

36 = (x – y)2

2

e. x – y = (x – y) . (x + y) 2

2

olduğundan, x – y nin pozitif değeri 6 dır.

2

f. x + y = (x + y) – 2xy

Cevap D

106

YGS Matematik

Özdeşlikler

Pascal Üçgeni

d) (x – 3)4 = 1 . x4 + 4x3(–3) + 6x2(–3)2 + 4x(–3)3 + 1 . (–3)4

n ∈ N olmak üzere, (x + y)n açılımındaki terimlerin katsayıları

= x4 – 12x3 + 54x2 – 108x + 81

Pascal Üçgeni yardımıyla bulunabilir. 1

1 1 1

1 1

1

6 10

6

1 3

4 5

(x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3

2 3

1

1

15

4 10

20

!

1 5

15

= x3 + y3 + 3xy(x + y) (x – y)3 = x3 – 3x2y + 3xy2 – y3

1

= x3 – y3 – 3xy(x – y)

6

1

Bu tabloda her satırda başta ve sonda daima 1 vardır. 1 lerin

Örnek

dışındaki her sayı bir üst satırda, üstündeki iki sayının toplamı ile elde edilir: 1 1

6 7

15 21

20 35

15 35

6 21

3

7

3

a+b = 1 a +b =

1 1

A)

1 32

B)

7 olduğuna göre, a.b kaçtır? 16

3 16

C)

1 8

D) 1

E) 2 (2001 ÖSS)

gibi. Bu sayılar (x + y)n açılımına şöyle uygulanır:

Çözüm

(x + y)0 = 1 a + b = 1 ise

(x + y)1 = 1.x +1.y

7 a3 + b3 = 16

2

2

2

3

3

2

2

4

4

3

2 2

(x + y) = 1.x + 2.xy + 1.y

(x + y) = 1.x + 3.x y + 3.xy +1.y

3

4

(x + y) = 1.x + 4.x y + 6.x y + 4.xy + 1.y

7 16

⇒ (a + b)(a2 – ab + b2) = 3

⇒ (a + b)((a + b)2 – 2ab – ab) =

⇒ (a + b)((a + b)2 – 3ab) =

........

⇒ 1.(12 – 3ab) =

Görüldüğü gibi, açılımlarda x in kuvveti birer azalırken y nin kuvveti birer artmaktadır. (x + y)n açılımında her terimdeki x in

⇒ 3ab = 1 –

ve y nin üslerinin toplamı daima n dir.

7 16

7 16

7 7 ⇒ 1 – 3ab = 16 16

7 9 3 = & ab = olur. 16 16 16 Cevap B

Örnek Örnek Aşağıdaki açılımları inceleyiniz.

6

a) (3x + 2) = 1 . (3x) + 2.(3x).2 + 1 . 2 = 9x + 12x + 4

x –1 ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi aşa2 1 1 a x – kc x + 2 + 1 m x x

b) (x – 4y)2 = 1 . x2 – 2.x(4y) + 1 . (4y)2 = x2 – 8xy + 16y2

ğıdakilerden hangisidir?

2

2

2

2

c) (3x + 2y)3 = (3x)3 + 3(3x)2 (2y) + 3(3x)(2y)2 + (2y)3

A) 1

= 27x3 + 54x2y + 36xy2 + 8y3

B) x

C) x2

D) x3

E) x5 (2004 ÖSS)

107

YGS Matematik

Özdeşlikler

Çözüm

Çözüm

6

x –1

1k 2 1 x .c x + 1 + x 2 m

ax –

=

6

6

3 x –1 x –1 = 6 =x 3 1 x –1 x – 3 3 x x

x

10 = x + x2 + x3 + … + x10

x

Cevap D

Örnek

x

1 1 1 1 10 = x + 2 + 3 + … + 10 ise x x x 10 =

x 10 1 2 1 a + a = 2 3 olduğuna göre, a a – a k nin değeri kaçtır? A) 4

B) 6

C) 8

D) 10

2

3

x

^x 7 h

^x 8 h

2

=

E) 12 (1993 ÖYS)

10

x+x +x +…+x 1 1 1 1 x + x 2 + x 3 + … + x 10 ^ 9h ^1 h

9

x ^1 + x + x + … + x h 9 8 7 x +x +x +…+1 10 x

= x.x10 = x11 bulunur.

Çözüm

Cevap A

2 1 2 1 a + a = 2 3 ise a a + a k = ^2 3 h 2 1 1 a + 2.a. a + 2 = 12 a 2

a +2+

1 = 12 2 a

Örnek

1 a + 2 = 10 olur. a 2

x = 4, y = 2 olduğuna göre,

2 2 1 1 1 1 2 a a Ð k = a – 2.a. + 2 = a + 2 – 2 a a a a

= 10 – 2 = 8

x5 – 5x4y + 10x3y2 – 10x2y3 + 5xy4 – y5 ifadesinin değeri kaçtır?

bulunur.

A) 16

Cevap C

B) 32

C) 64

D) 128

E) 256 (1991 ÖSS)

Örnek n pozitif bir tam sayı olmak üzere, x x

n

= x + x2 + x3 + … + xn

n

1 1 1 1 = x + 2 + 3 +…+ n x x x

biçiminde tanımlanıyor.

Çözüm

10

x bölümü aşağıdakilerden hangisine eşitBuna göre, x 10 tir?

x = 4 ve y = 2 için 11

10

A) x

11

B) x D)

1 11 x

C) x E)

10

x5 – 5x4y + 10x3y2 – 10x2y3 + 5xy4 – y5

–x

1 10 x

= (x – y)5 = (4 – 2)5 = 32 (2005 ÖSS)

Cevap B

108

YGS Matematik

Özdeşlikler

Örnek

Örnek x – 2y = 3 olduğuna göre, 2

x3 + 8y3 = 10

2

x + 4y – 4xy – 2y + x – 3

x + 2y = 4

ifadesinin değeri kaçtır? A) 4

B) 5

C) 8

olduğuna göre, x.y nin değeri kaçtır? D) 9

E) 15

A)

(2011 LYS 1)

1 2

B)

3 4

C)

5 3

D)

5 4

E)

9 4

Çözüm x – 2y = 3 2

2

x + 4y – 4xy – 2y + x – 3 1 444 2 444 3

Çözüm

= (x – 2y)2 + x – 2y – 3 = 32 + 3 – 3 = 9 bulunur.

x3 + 8y3 = 10 ⇒ x3 + (2y)3 = 10

Cevap D

Örnek

3 1 1 x + x = 3 olduğuna göre, x + 3 ifadesinin değeri kaçtır? x

A) 9

B) 15

C) 18

D) 21

1 x + x = 3 eşitliğinin her iki tarafının kübünü alalım. ax +

⇒ (x + 2y)3 – 3 . x . (2y) . (x + 2y) = 10

⇒ 43 – 6 . x . y . 4 = 10

⇒ 64 – 24xy = 10

⇒ 24xy = 54

⇒ xy =

9 4

bulunur. Cevap E

E) 27

Çözüm

3 3 2 1 1 k3 1 2 1 3 x = 3 & x + 3.x . x + 3.x. a x k + a x k = 27 3 3 1 & x + 3x + x + 3 = 27 x 3 1k 1 a & x + 3. x + x + 3 = 27 x 3 1 & x + 3.3 + 3 = 27 x 3 1 & x + 3 = 18 bulunur. x

Cevap C

109

YGS Matematik

Rasyonel İfadeler

Örnek

Çözüm

2

2x – 3x + 1 rasyonel ifadesini sadeleştiriniz. 2 x – 4x + 3

1 x –1 1 + = 2 x+1 1 x ^x + 1 h 2

&

1 x –1 1 + = x + 1 x + 1 x2

&

1 x = x + 1 x2

2

Çözüm

⇒ x4 = x + 1 ifadesinin her iki tarafı x ile bölünürse

Sadeleştirme yapmak için pay ve paydayı çarpanlarına ayırmalıyız.

4

x x+1 ⇒ x = x

2 2x – 3x + 1 ^2x – 1 h^x – 1h 2x – 1 = = 2 x–3 ^x – 3h^x – 1h x – 4x + 3

3

⇒ x =

x+1 eşitliğinin her iki tarafından 1 çıkarılırsa x

⇒ x3 – 1 =

x+1 x+1 x x –1 = x –x

1 = x

bulunur. Cevap B

Rasyonel İfadelerin Toplamı ve Farkı 1.

Rasyonel ifadelerin pay ve paydaları çarpanlarına ayrılır.

2.

Pay ve payda arasında varsa sadeleştirmeler yapılır.

3.

Rasyonel ifadelerin paydalarındaki polinomların EKOK’u bulunur.

4.

Her rasyonel ifade, paydası EKOK olacak biçimde genişletilerek paydalar eşit hale getirilir.

5.

Paydaları eşit olan rasyonel ifadelerin payları toplanıp paya, ortak payda da paydaya yazılır.

Rasyonel ifadelerde çıkarma işleminde de aynı sıra izlenir.

Örnek a x 2 – y 2 ka x 2 + xy + y 2 k a x 3 – y 3 kc 1 + 1 m x y

ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi

aşağıdakilerden hangisidir? A) xy

B) x + y x–y D) x + y

C) x – y x+y E) x – y (2003 ÖSS)

Çözüm Örnek

a x 2 – y 2 ka x 2 + xy + y 2 k a x 3 – y 3 kc 1 + 1 m x y

1 1 + x – 1 = 2 olduğuna göre, x3 – 1 ifadesi aşağıdakix+1 x

2

lerden hangisine eşittir? A)

2 x –1

=

1 B) x D) –x

C) E)

x –1 x

2

^x – yh. ^x + yh. a x + xy + y k 2 2 x+y ^x – y ha x + xy + y kc xy m

x + y x + y xy . = x+y = = xy 1 x+y xy

1 x+1

Cevap A

(2011 YGS)

110

YGS Matematik

Rasyonel İfadeler

Örnek 2

Çözüm

a – 2bc – 2ac – b a+b

2

t3 – 2 = 0 ise t3 = 2 dir.

ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi aşa-

letelim.

ğıdakilerden hangidir? A) a – b – 2c

B) a – b + 2c D) a – b – c

C) a + b + 2c

1 ifadesini (t – 1) ile geniş2 t +t+1

1. ^t – 1h t –1 t –1 t –1 = 3 = = 2 1 ^t – 1 h . ^t + t + 1 h t – 1 2 – 1

E) a + b + c

= t –1

(2002 ÖSS)

Cevap C

Örnek

Çözüm 2

f ^x h =

2

2 2 â – b h – 2bc – 2ac a – 2bc – 2ac – b = a+b a+b

2

1– x – x + x

3

olduğuna göre, f ^ 2 h değe-

ri kaçtır?

â – bhâ + bh – 2c ^b + ah = a+b =

^1 + x + x 2 + x 3 h^1 – x h2

A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

â + bhâ – b – 2ch = a – b – 2c olur. a+b

E) 5 (2010 LYS 1)

Cevap A

Çözüm

f ^x h =

=

Örnek

2

1– x – x + x

3

9^1 + xh + x 2 . ^1 + x hC . ^1 – x h2 2

^1 – x h – x . ^1 – x h 2

t3 – 2 = 0 olduğuna göre,

1 ifadesinin t türünden 2 t +t+1

A) t + 1

B) t – 2 D) t2 + 1

=

^1 + xh. ^1 + x h. ^1 – x h2 2 ^1 – x h . ^1 – x h

=

^1 + xh. ^1 + x h. ^1 – x h2 ^1 – x h . ^1 – x h . ^1 + x h

2

eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

^1 + x + x 2 + x 3 h^1 – xh2

= 1 + x2 olur. O halde,

C) t – 1

2

f(x) = 1 + x2 ise f ^ 2 h = 1 + ^ 2 h = 1 + 2 = 3

E) t2 + 3

Cevap C

111

YGS Matematik

Rasyonel İfadeler

Rasyonel İfadelerin Çarpımı ve Bölümü

RASYONEL İFADELER

A ^x h P ^x h birer rasyonel ifade olmak üzere; ve B ^x h Q ^x h

P (x) P(x) ve Q(x) birer polinom ve Q(x) ≠ 0 olmak üzere, Q (x) ifadesine rasyonel ifade denir. Rasyonel ifadeler çok değişkenli olabilir. değişkenli;

A ^x h P ^x h A ^x h.P ^x h . = B ^x h Q ^x h B ^x h.Q ^x h

P (x, y) ifadesi, iki Q (x, y)

A ^x h P ^x h A ^x h Q ^x h A ^x h.Q ^x h . : = = B ^x h Q ^x h B ^x h P ^x h B ^x h.P ^x h

P (x, y, z) ifadesi üç değişkenli birer rasyonel ifaQ (x, y, z)

dedir.

tir. Rasyonel ifadeleri çarparken veya bölerken aşağıdaki sıra izlenebilir:

Rasyonel ifadelerde toplama, çıkarma, çarpma, bölme, sadeleştirme, genişletme işlemleri, polinomlar kümesi “+” ve “.”

1. Rasyonel ifadelerin pay ve paydaları çarpanlarına ayrı-

işlemlerine göre bir cisim oluşturduğundan, reel sayılardaki

lır.

işlemler gibi yapılır.

2. Pay ve payda arasında varsa, sadeleştimeler yapılır. 3. Çarpma işleminde payların çarpımı pay, paydaların çar-

Örnek

pımı payda olarak yazılır.

x x –1 – 2 işlemini yapınız. 2 x – 1 x – 3x – 4

4. Yapılabilen sadeleştirmeler yapılır. 5.

İki rasyonel ifadeyi bölerken, birinci rasyonel ifade aynen bırakılır, ikinci rasyonel ifade ters çevrilerek birinci rasyonel ifade ile çarpılır.

Çözüm Bunun için paydaların eşitlenmesi gerekmektedir. Paydaları çarpanlarına ayırarak EKOK unu bulalım:

Örnek

2

x – 1 = (x – 1)(x + 1)

2

2

x + 2x + 1 . x – 3x + 2 ifadesini sadeleştiriniz. 2 2 x + 2x – 3 x – x – 2

x2 – 3x – 4 = (x – 4)(x + 1) olduğundan, EKOK (x2 – 1 , x2 – 3x – 4) = (x – 1).(x + 1).(x – 4)

Çözüm

tür. Birinci rasyonel ifadeyi (x – 4) ile, ikinci rasyonel ifadeyi

Bunun için pay ve paydalardaki her polinomu çarpanlarına ayıralım:

(x – 1) ile genişletmeliyiz.

x x –1 x x –1 – – h – ^x – 1 h2= 2 x ^x – 4 2 =x – 1 x – 3x – 4 ^x – 1 h^x + 1h ^x – 4h^x + 1h ^x – 4 h ^x – 1 h ^x – 1h^x + 1h^x – 4h =

x ^x – 4 h – ^x – 1 h2 ^x – 1h^x + 1h^x – 4h 2

=

=

x2 + 2x + 1 = (x + 1)2

x2 – 3x + 2 = (x – 1)(x – 2)

x2 + 2x – 3 = (x + 3)(x – 1)

x2 – x – 2 = (x – 2)(x + 1)

Bu çarpanları yerlerine yazalım:

2

x – 4x – ^x – 2x + 1h ^x – 1h^x + 1h^x – 4h 2

2 2 ^x + 1h2 ^x – 1h^x – 2h x + 2x + 1 . x – 3x + 2 = . 2 2 + – x 3 x 1 ^ h ^ h ^x – 2h^x + 1h x + 2x – 3 x – x – 2

2

x – 4x – x + 2x – 1 ^x – 1h^x + 1h^x – 4h

= =

–2x – 1 bulunur. ^x – 1h^x + 1h^x – 4h 112

^x + 1h2 . ^x – 1h. ^x – 2h x+1 = bulunur. ^x + 3 h . ^x – 1 h . ^x – 2 h . ^x + 1 h x + 3

YGS Matematik

Rasyonel İfadeler

Örnek 3

x –y

3

2

2x – 2y

3

2

:

2

x + x y + xy xy + y

2

ifadesini sadeleştiriniz.

2

b)

3x2 + mx + 2 = (x + 1) . (ax + b) olsun.

Bu eşitlik bir özdeşlik olduğundan, x = –1 için

3 . (–1)2 + m . (–1) + 2 = 0 ⇒ m = 5 bulunur.

O hâlde m nin alabileceği değerlerin kümesi {–7, 5} tir.

Çözüm 3

x –y

3

2

2x – 2y

3

2

:

2

x + x y + xy xy + y

2

2

Örnek

2 2 ^x – yha x + xy + y k y ^x + y h . = 2 2 2 ^x – y h^x + y h xa x + y + y k y bulunur. = 2x

x ve y birer gerçel sayı olmak üzere x3 – 3x2 y = 3 y3 – 3xy2 = 11 eşitlikleri veriliyor. Buna göre, x – y farkı kaçtır?

Örnek

A) 3

B) 2

C) 1

D) –2

E) –3 (2011 – LYS)

2

3x + mx + 2 2 x –x–2

ifadesi sadeleşebilir bir kesir olduğuna

göre, m nin alabileceği değerleri bulunuz.

Çözüm

Çözüm

duğuna göre, kesrin payı olan 3x2 + mx + 2 ifadesinin bir çarpanı

x3 – 3x2y = 3

x2 – x – 2 = (x – 2) (x + 1) dir. Verilen kesir sadeleştirilebilir ol-

+ ya x – 2

ya da

x3 – 3x2y = 3

x + 1 dir.

1/y3 – 3xy2 = 11

+

–y3 + 3xy2 = –11

a)

3x2 + mx + 2 = (x – 2) . (ax + b) olsun.

x3 – 3x2y + 3xy2 – y3 = –8

Bu eşitlik bir özdeşlik olduğundan, x = 2 için

⇒ (x – y)3 = (–2)3

3 . 22 + m . 2 + 2 = 0 ⇒ m = –7 bulunur.

⇒ x – y = –2 olur. Cevap D

113

Çözümlü Test

Rasyonel İfadeler

1.

t2 = t + 1 olduğuna göre t5 sayısının değeri aşağıda-

2

kilerden hangisidir?

A) 3t

B) 3t + 2

D) 3t – 2

YGS Matematik

C) 3t – 3

7.

abx – â + b hx + 1 ax – 1


E) 5t + 3

A) bx – 1

2.

B) abx b D) a 1 – a kx

C) ax + 1

E) (a – b)x

2 a 1 2 a + a = 2 3 olduğuna göre, c – a m nin değeri 2 kaçtır? A) 1

B) 4

C) 8

D) 10

6

2

E) 12

ifadesinin kısaltılmış biçimi aşağıdakilerden hangi-

C) –4

D) –2

3

sidir?

3

ğeri kaçtır? B) –6

3

a b – ab 2 2 3 a b + 2a b + ab

3. x + x + 2 = 0 olduğuna göre, x – 5x ifadesinin deA) –8

3

8.

A)

a–b a+b

E) 0

B) D)

ab a–b

a+b a–b

C)

ab a+b

E) ab(a – b)

4. x3 + 4x2 + ax + b = (x – 2) . (x2 + mx + n)

olduğuna göre, n – a kaçtır? A) 2

B) 4

C) 8

D) 12

E) 16


x y y+x =2

olduğuna göre, x + y nin pozitif değeri kaçtır?

6.

B) 4

C) 4 2

D) 6

2

B) 1 + xy

C) a + b

D) a – b E) –a + b

3

2

10.

3x y – 18x y + 27xy

ifadesinin sadeleşmiş biçimi aşağıdakilerden hangi-

2 2

6x y – 54y

2

sidir?

den hangisine eşittir? A) xy – 1

B) a2 – b2

E) 8

1 1 a= x – y 1 b=x– x 2

A) a2 + b2

a y–b y olduğuna göre, + 1 ifadesi aşağıdakilera–b

3

a +b â – bh2 + ab

5. x2 + y2 = 16

A) 2 2

3

9.

A)

x ^x – 3 h 2y

B)

x ^x – 3 h 2y ^x + 3h

x ^x + 3 h y ^x – 3 h

E)

C)

y ^x + 3 h 2x ^x – 3h

C) 1 – xy

D) xy E) –xy

114

D)

2y ^x + 3 h ^x – 3 h

Çözümler

YGS Matematik

1.

t5 = t2 . t2 . t = (t + 1) . (t + 1) . t

Rasyonel İfadeler

(x – 2) . (x2 + mx + n) = x3 + mx2 + nx – 2x2 – 2mx – 2n

4.

= (t2 + 2t + 1) . t

= x3 + (m – 2)x2 + (n – 2m)x – 2n

= [(t + 1) + 2t + 1] . t

= (3t + 2) t

dir. Verilen eşitlik bir özdeşlik olduğundan, aynı dereceli terimlerin katsayıları birbirine eşit olmalıdır:

= 3t2 + 2t

m–2=4

n – 2m = a

= 3(t + 1) + 2t

eşitliklerinden; m = 6 bulunur.

= 3t + 3 + 2t = 5t + 3

n – 2m = a ⇒ n – a = 2m ⇒ n – a = 12 olur.

Cevap E

–2n = b

Cevap D

2.

2 2 2 2 a + a = 2 3 & a a + a k = ^2 3 h

2

4 = 12 2 a

2

4 = 8 dir. 2 a

& a +4+ & a +

2

2

a 1 2 a 1 –1+ 2 c – am = 2 4 a 2

a 1 –1 + 4 a2 1 2 4 = ca + 2 m – 1 4 a =

=

⇒ xy = 8 dir. 2

2

x + y = 16 ⇒ (x + y)2 – 2xy = 16

⇒ (x + y)2 – 2 . 8 = 16

⇒ (x + y)2 = 32

⇒ x + y = 4 2 veya

x + y = –4 2 dir. Cevap C

1 .8 – 1 = 1 4

Cevap A

6. 3. x + y + z = 0 ⇒ x3 + y3 + z3 = 3xyz özeliğini kullanalım:

2

x +y x y + =2 & xy = 2 5. y x 16 & xy = 2

x2 + x + 2 = 0 ⇒ (x2)3 + x3 + 23 = 3 . x2 . x . 2 6

3

3

⇒ x + x + 8 = 6x

⇒ x6 – 5x3 = –8 bulunur.

2 2 2 2 a y–b y y â – b h +1= +1 a–b a–b = y â + b h + 1

1 1 1 = yc x – y + x – x m + 1 1 = yc – y + x m + 1 = –1 + xy + 1 = xy Cevap D

Cevap A

115

Rasyonel İfadeler

7.

YGS Matematik

10. 3x 3 y – 18x 2 y + 27xy

2

abx – â + bhx + 1 abx 2 – ax – bx + 1 = ax – 1 ax – 1 ax ^bx – 1h – ^bx – 1h = ax – 1

2 2

6x y – 54y

2

2

=

^bx – 1h. âx – 1h = = bx – 1 ax – 1

3xy ^x – 6x + 9h 2 2 6y ^x – 9h

x. ^x – 3h2 = 2y. ^x – 3h^x + 3h

Cevap A

=

x. ^x – 3h 2y. ^x + 3h Cevap B

8.

2 2 3 3 ab â – b h a b – ab = 2 2 2 2 3 ^ a b + 2a b + ab ab a + 2ab + b h 3

=

â – b h . â + b h â + bh2

=

a–b a+b

Cevap A

9.

a3 + b3 2

( a − b ) + ab

=

=

( a + b ) ⋅ ( a2 − ab + b2 ) a2 − 2 ab + b2 + ab ( a + b ) ⋅ ( a2 − ab + b2 ) a2 − ab + 2

=a+b Cevap C

116

ORAN - ORANTI ve ORTALAMALAR

YGS

11. BÖLÜM

MATEMATİK

ORAN

ORANTI a c ve iki oran olmak üzere, a.d = b.c ise bu iki oran eşitb d

Her ikisi de aynı anda sıfır olmayan a ve b reel sayıları için a ifadesine a nın b ye oranı denir. b

tir denir ve

a c = yazılımına ikili orantı ya da kısaca orantı denir. Bu b d orantıda a, b, c, d ye orantının terimleri, a ile d ye orantının

Örnek 5 3 −2 9 0 , , , , 9 5 5 −4 7

ifadelerinden her biri bir orandır.

a c = biçiminde yazılır. b d

0 0

dışları, b ile c ye orantının içleri denir.

ifadesi oran değildir. ORANTININ ÖZELİKLERİ a oranında a ve b birer çokluk ifade ediyorsa, a b a ile b aynı birimden olmalıdırlar. nin birimi yoktur. b

!

Örnek

1.

Orantıda içler çarpımı, dışlar çarpımına eşittir:

a c = & b.c = a.d b d

2.

Orantıda içler yer değiştirebilir:

a c a b = & c = b d d

3.

Orantıda dışlar yer değiştirebilir:

a c d c = & = b d b a

4.

a = c.k a c = & b d b = d.k

5.

a c a+c a c = = = & b d b+d b d

6.

a c a–c a c = & = = b d b–d b d

7.

a c m.a + n.c = = ; ^m, n h b d m.b + n.d

8.

a c e = = üçlü orantısı a : c : e = b : d : f biçiminde de b d f

Bir okuldaki öğrencilerin % 36 sı erkektir. Bu okuldaki erkek öğrencilerin sayısının kız öğrencilerin sayısına oranı kaçtır? A)

2 3

B)

3 5

C)

9 16

D)

11 23

E)

15 19

Çözüm Okuldaki erkek öğrenci sayısı = x, okuldaki kız öğrenci sayısı = y olsun. x 36 x 9 x + y = 100 & x + y = 25

⇒ 25x = 9(x + y)

⇒ 25x = 9x + 9y

⇒ 16x = 9y

Buradan, erkek öğrenci sayısının kız öğrenci sayısına oranı: x 9 y = 16 bulunur.

gösterilebilir.

Cevap C

117 117

^0, 0h

YGS Matematik

Oran - Orantı - Ortalamalar

Örnek

Örnek

2xy x 3 y = 2 ise x 2 + y 2 oranı kaçtır? A)

12 13

B)

2 3

C)

5 6

x–y x + 2y 1 = olduğuna göre, x + y oranı kaçtır? 2x – y 3 D)

7 8

E)

9 11

A)

3 4

5 3

C)

3 5

D)

4 3

E) 1

Çözüm

Çözüm x 3 y=2

B)

x + 2y 1 = & 3x + 6y = 2x – y 2x – y 3

olduğundan; x = 3k, y = 2k diyebiliriz. Bu değerleri

⇒ x = –7y

yerlerine yazarsak;

olur. x in bu değeri yerine yazılırsa, 2xy 2

x +y

2

=

2. ^3k h. ^2k h

x – y –7y – y –8y 4 x + y = –7y + y = –6y = 3 bulunur.

^3kh2 + ^2kh2

Cevap D

2

=

12k 2 2 9k + 4k

=

12k 2 13k

=

12 bulunur. 13

2

Örnek Cevap A

x y z = = 4 5 3 x + 4y – 3z = 75 olduğuna göre, x kaçtır? A) 5

Örnek

B) 10

C) 15

D) 20

E) 25

b+c a d 1 = = olduğuna göre, oranı kaçtır? b c 2 d+a A)

1 2

B) 1

C) 2

D) 3

Çözüm

E) 4 (ÖYS)

x y z = = = k dersek, x = 4k, y = 5k, z = 3k olur. 4 5 3 Bu değerler verilen denklemlerde yerine yazılırsa;

Çözüm a=k a d 1 = = & b c 2 b = 2k

x + 4y – 3z = 75 ⇒ 4k + 20k – 9k = 75 ve

d=t alınırsa c = 2t

b + c 2k + 2t 2 ^k + t h = = ⇒ =2 d+a k+t k+t

⇒ 15k = 75

⇒ k = 5 bulunur.

Buna göre, x = 4k ⇒ x = 4.5 ⇒ x = 20 bulunur. Cevap C

Cevap D

118

YGS Matematik


Çözüm

Örnek x 2 y=7 y 5 z=9

A = B = 2C = 3D = 6E ↓

olduğuna göre, A) 1

6k 6k

3x + 2y y + z oranı kaçtır?

3 B) 2

11 C) 10

↓

↓

↓

↓

3k

2k

k

6k + 6k + 3k + 2k + k = 360°

23 D) 20

50 E) 49

18k = 360 k = 20 c = 3k = 3.20 = 60° olur. Cevap B

Çözüm

x 2 2.5 10 y = 7 = 7.5 = 35 y 5 7.5 35 z = 9 = 7.9 = 63

Örnek

buradan x = 10k

y = 35 k

z = 63 k olur.

a, b, c birer doğal sayı ve 2a = 3b, a + c = 2b olduğuna göre, a+b+c işleminin sonucu kaçtır? c

3.10k + 2.35k 100k 50 = = 35k + 63k 98k 49

A) 2

Cevap E

B) 3

C) 4

D) 5

E) 6 (1997 ÖSS )

Örnek Beş öğrencinin aday olduğu sınıf başkanlığı seçiminde adayların aldıkları oy sayıları olan A, B, C, D, E arasında

Çözüm

A = B = 2C = 3D = 6E a, b, c ∈ N

eşitliği vardır.

2a = 3b ise a = 3k ve b = 2k olur. (k ∈ R)

Seçim sonucu dairesel grafikte gösterildiğinde C tane

a + c = 2b

oy alan adaya ait daire diliminin merkez açısı kaç dere-

3k + c = 2.2k ⇒ c = k bulunur.

ce olur? A) 180

B) 60

C) 45

D) 90

a + b + c 3k + 2k + k 6k = = 6 olur. = c k k

E) 120

Cevap E

(2011 – YGS)

119

YGS Matematik


Çözüm

Örnek a c = = 5, 2a + 4c = 100 olduğuna göre, b d b + 2d işleminin sonucu kaçtır? A) 30

B) 20

C) 15

b D) 10

E) 5 a

(1997 ÖSS)

b 3 a=5 &

b = 3k + olur. (k ! R ) a = 5k

Çevre = 192 cm ⇒ 2(a + b) = 192 ⇒ a + b = 96 ⇒ 5k + 3k = 96 ⇒ k = 12 ve

Çözüm

a = 5k = 5.12 = 60 b = 2k = 3.12 = 36 bulunur.

a c = =5 b d a = 5b ve c = 5d olur.

Alan = 60.36 = 2160 cm2 olur. Cevap B

2a + 4c = 100 ise a + 2c = 50 ve ⇒ 5b + 2.5d = 50 ⇒ 5(b + 2d) = 50 ⇒ b + 2d = 10 bulunur.

DÖRDÜNCÜ ORANTI Cevap D

a c = ise x sayısına sırasıyla a, b, c sayılarının dördüncü b x orantılısı denir.

Örnek –6, 15 ve 22 sayılarının dördüncü orantılısı kaçtır? A) –55

B) –44

C) –33

D) –22

E) –15

Örnek Bir dikdörtgenin kenar uzunlukları oranı

3 tir. 5

Çözüm

Bu dikdörtgenin çevresi 192 cm olduğuna göre, alanı kaç

Dördüncü orantılı sayı x ise;

cm2 dir? A) 2140

B) 2160

D) 2180

–6 22 = x & –6.x = 15.22 15

C) 2170

E) 2190 (1995 ÖSS)

⇒ x=–

15.22 ⇒ x = –55 bulunur. 6 Cevap A

120

YGS Matematik


Çözüm

Örnek a c = = k orantısından, b d

2a + 3 = k oranı elde edildiğine göre, m nin değeri ne2b + md

1 =2 b eşitliklerini taraf tarafa oranlayalım. 1 b+ a = 4

dir?

a+

a, b, c, d ve k birer reel sayıdır.

3 A) c

B) 3c

3 C) d

D) 3a

a+

1 b =2 & 1 4 b+ a

E) 3d

ab + 1 1 b = ab + 1 2 a

(1981 ÖYS)

⇒

ab + 1 a 1 a 1 . & = = b ab + 1 2 b 2

bulunur. Cevap D

Çözüm a c = = k orantısından b d x.a y.c = = k orantısı ve buradan da x.b y.d

Örnek

x.a + y.c = k oranı elde edilir. x.b + y.d

a –1 a+5 = olduğuna göre, a kaçtır? a–3 a–4

a c 2a + 3 = = k ve = k ise, b d 2b + md

A)

2a 3 a 3 = =k & = = k olur. 2b md b md c 3 3 & m.c = 3 & m = c = d md

8 9

B)

13 14

C)

9 4

D)

13 3

E)

11 3

(2012 YGS)

bulunur. Cevap A

Çözüm

Örnek

a –1 a – 5 = a–3 a–4 1 =2 b a olduğuna göre, nin değeri kaçtır? b 1 b+ a = 4

( a – 1)(a – 4) = (a – 3) (a – 5)

a+

A) 4

B) 2

C) 1

D)

1 2

a2 – 5a + 4 = a2 – 8a + 15 E)

3a = 11

1 4

a=

11 bulunur. 3 Cevap E

121

Çözümlü Test


1.

a+b a+b nin değeri kaçtır? a = 4 ise b A)

1 3

B)

2 3

C)

4 3

D)

5 3

E)

7 3

YGS Matematik

6.

1 x– y =6

x–y olduğuna göre, x + y oranı kaçtır?

A)

1 2

1 y– x =4

B)

1 3

C)

2 3

D)

1 5

E)

2 5

7. x > 0, y > 0, z > 0 ve 2.

2xy x y = 3 olduğuna göre, x 2 + y 2 oranı kaçtır? 2 A) 5

3 C) 4

3 B) 5

1 D) 2

xy yz xz = = 4 6 12

olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur?

2 E) 3

A) y < x < z

B) z < y < x

D) x < y < z

C) z < x < y

E) x < z < y

3.

1 1 1 x:y:z= : : 2 3 4

1 1 1 x+y+z =1

8.

a – 3 b+2 c –1 = = 5 4 2

a – b + c = 27

olduğuna göre, b kaçtır? A) 4

olduğuna göre, y kaçtır? A) 1

B) 2

B) 6

C) 8

D) 10

E) 12

C) 3

D) 4

E) 5

9. İki raftaki kitapların sayıları arasındaki fark a, az kitap bulunan raftaki kitap sayısı ise x tir. Buna göre, iki raftaki toplam kitap sayısının, az ki-

4.

a c e = = =2 b d f A) 2

ise

B) 3

tap olan raftaki kitap sayısına oranı aşağıdakilerden

a.c.f kaçtır? b.d.e C) 4

hangisidir?

D) 6

E) 8

A)

2x + 1 a

a C) 2 + x

x B) 2 – a D) 2x – a

E) x + 2

bc 10. a = 1

5.

a + b ac + dk a c = = 2 olduğuna göre, c çarpımım. c b d b nın değeri kaçtır? A)

11 2

B)

9 2

C)

7 2

D)

5 2

E)

3 2

ca =2 b ab c =3

olduğuna göre, a2 + b2 + c2 kaçtır? A) 7

122

B) 8

C) 9

D) 10

E) 11

Çözümler

YGS Matematik

1.

a+b a = 4 ⇒ a + b = 4a

4.


a.c.f a c f 1 = . . = 2.2. = 2 dir. b.d.e b d e 2

⇒ b = 3a

Cevap A

dır. Bu değeri yerine yazarsak,

a + b a + 3a 4a 4 a = 3a = 3a = 3 bulunur. Cevap C

2.

x y = 3 & x = 3y dir. Bu değeri yerine yazarsak,

2xy 2

x +y

2

= =

2. ^3y h.y

^3y h2 + y 6y

2

2

2

9y + y

2

=

6y

2

10y

2

=

3 5

5.

bulunur.

c

a + b ac + dk a b c d = c + m. a c + c k m. c b b b = ^2 + 1 h . c 1 +

Cevap B

1 9 m= 2 2

Cevap B

1 1 1 : : üçlü orantısı, 2 3 4

3.

x: y: z =

y x z = = 1 1 1 2 3 4 dersek, x =

biçiminde de yazılabilir. Orantı sabitine k k , 2

y=

k , 3

z=

k olur. Bu değerleri yerle4

rine yazarsak,

1 1 1 x+y+z =1 &

&

2 3 4 + + =1 k k k

&

9 = 1 & k = 9 olur. k

1 1 1 + + =1 k k k 2 3 4

6.

k 9 & y = & y = 3 bulunur. Buradan, y = 3 3

1 x – y = 6 & xy – 1 = 6y 1 y – x = 4 & xy – 1 = 4x & 6y = 4x x 3k & y= 2k x – y 3k – 2k 1 x + y = 3k + 2k = 5 olur.

Cevap C

123

Cevap D

Çözümler


7.

xy yz xz xyz xyz xyz = = = = & 4 6 12 4z 6x 12y

x > 0, y > 0, z > 0 olduğundan; y < x < z dir.

YGS Matematik

9. Çok kitap olan rafta x + a tane kitap vardır.

⇒ 4z = 6x = 12y ve

^x + ah + x 2x + a = x x 2x a = x +x

Cevap A

a = 2+ x Cevap C

10. bc a =1

bc = a

8.

a – 3 b+2 c –1 = = k dersek = 5 4 2

a = 4k + 3

b = 2k – 2

c = 5k + 1

yazılabilir.

olur. Bu değerleri yerine yazarsak;

Bu üç eşitlik taraf tarafa çarpılırsa,

a – b + c = 27 ⇒ (4k + 3) – (2k – 2) + (5k + 1) = 27

bc . ca . ab = a . 2b . 3c ⇒ a . b . c = 6 bulunur.

a.b.c = 6 2 1 & a =6 b.c = a

⇒ 4k + 3 – 2k + 2 + 5k + 1 = 27

⇒ 7k + 6 = 27

⇒ k = 3 olur.

Buradan, b = 2k – 2 ⇒ b = 2.3 – 2 ⇒ b = 4 bulunur.

ca =2 b ab c =3

& ca = 2b ab = 3c

a.b.c = 6 2 1 & b =3 c.a = 2b

Cevap A

a.b.c = 6 2 1 & c =2 a.b = 3c

olduğundan, a2 + b2 + c2 = 11 dir. Cevap E

124

YGS Matematik

Konu Değerlendirme Testi

125




126

YGS Matematik

YGS Matematik


127




1.E

2.A

3.B

4.B

5.B

21.A

22.A

23.B

24.B

25.B 26.D 27.C 28.E 29.C 30.D 31.D 32.B

6.E

7.D

8.D

9.B

YGS Matematik

10.C 11.E 12.C 13.C 14.D 15.E

128

33.A

16.A

34.B 35.C 36.B

17.A

18.A 19.C 20.B

37.A 38.D 39.B 40.D 41.D

YGS Matematik


Çözüm

DOĞRU ORANTI y x, y ∈ R+ olmak üzere, x ile y arasında x = k (k, pozitif sabit bir sayı) bağıntısı varsa x ile y doğru orantılıdır denir. k pozitif

Aracın duruşu mesafesi, frene basıldığı andaki hızının karesi ile doğru orantılı ise,

reel sayısına doğru orantı sabiti denir.

2

60 90 = x 20

y x = k eşitliğinde k sabit olduğundan; y artıyorsa x de artar, y azalıyorsa x de azalır.

2

&

3600 8100 = x 20

⇒ x = 45 m olur. Cevap B

y

y x

2k

k ⇒ y

k 0

kx Örnek

1

x

2

Etiket numaraları 1, 2, 3, 4 olan dört kutuya, etiket numaralarının kareleriyle orantılı miktarda para konuluyor. Kutulardaki toplam para 30. 000. 000 TL olduğuna göre, 2 numaralı kutuya kaç TL konmuştur.

Örnek 4 işçinin 7 masayı yaptığı sürede 12 işçi kaç masa yapar?

A) 1 000 000

B) 2 000 000

A) 14

C) 3 000 000

D) 4 000 000

B) 17

C) 21

D) 24

E) 28

E) 9 000 000 (1999 ÖSS)

Çözüm İşi sayısı arttıkça yapılan masa sayısı da aynı oranda artar. O hâlde, doğru orantı vardır

Çözüm Cevap C

1, 2, 3, 4 ün karesiyle orantılı miktarda para konacaksa 1. kutuya = 12k = 1k 2. kutuya = 22k = 4k

Örnek

3. kutuya = 32k = 9k

Bir aracın duruş mesafesi, frene basıldığı andaki hızının karesiyle doğru orantılıdır.

4. kutuya = 42k = 16k +

Bu araç saatte 60 km hızla giderken duruş mesafesi 20 m olduğuna göre, saatte 90 km hızla giderken duruş mesafesi kaç m dir? A) 30

B) 45

C) 50

D) 60

30k

30k = 30. 000. 000 k = 1. 000. 000 ve 2 numaralı kutuya 4k

E) 72

4. 1.000.000 = 4.000.000 TL konmuş olur.

(2007 ÖSS Mat 1)

Cevap D

129

YGS Matematik


Çözüm

Örnek 2x + 7 ile 3y + 1 doğru orantılıdır.

(x + 3) ile (2y + 1) ters orantılı olduğundan,

x = 4 iken y = 3 olduğuna göre, x = 1 iken y kaçtır?

(x + 3) . (2y + 1) = k dır. x = 6 iken y = 2 olduğundan, bu de-

A)

1 2

B)

3 2

C)

2 3

D)

5 3

ğerler yerlerine yazılırsa,

E) 2

(6 + 3) . (2 . 2 + 1) = k ⇒ k = 45 bulunur. (x + 3) . (2y + 1) = 45 eşitliğinde x = 12 yazılırsa,

Çözüm

(12 + 3) . (2y + 1) = 45 ⇒ y = 1 bulunur.

2x + 7 ile 3y + 1 doğru orantılı olduğuna göre,

Cevap A

2x + 7 =k 3y + 1

dır. x = 4 iken y = 3 olduğuna göre,

Örnek

2.4 + 7 3 2x + 7 3 = k & k = bulunur. Buna göre, orantı = 3.3 + 1 2 3y + 1 2

6 işçinin 20 günde bitirebileceği bir işi 10 işçi kaç günde bitirebilir?

olur. Bu orantıda x = 1 yazılırsa;

A) 12 2.1 + 7 3 9 3 & = = 3y + 1 2 3y + 1 2 5 &y= bulunur. 3

Cevap D

B) 14

C) 15

D) 16

E) 18

Çözüm İşçi sayısı arttıkça işin bitme süresi azalacaktır. Yani işçi sayı-

Ters Orantı

sı ile işin bitme süresi ters orantılı olarak değişir. Buna göre,

x, y ∈ R+ olmak üzere, x ile y arasında x.y = k (k, pozitif sabit

(işçi sayısı) . (işin bitme süresi) = k dır. Yerlerine yazılırsa

bir sayı) bağıntısı varsa x ile y ters orantılıdır denir. k pozitif reel sayısına ters orantı sabiti denir.

6 . 20 = 10 . x ⇒ x = 12 gün bulunur.

x.y = k eşitliğinde k sabit olduğundan; y artıyorsa x azalır, y

Cevap A

azalıyorsa x artar.

Bileşik Orantı İkiden fazla çokluğun bulunduğu orantılara bileşik orantı denir. a.

x, y, z ∈ R+ olmak üzere, x sayısı y ile doğru, z ile ters orantılı ise

Örnek

b.

x = 6 iken y = 2 olduğuna göre, x = 12 iken y kaçtır? B) 2

Bu eşitliğe göre; z , x ile ters, y ile doğru orantılıdır. y ise hem x ile hem de z ile doğru orantılıdır.

(x + 3) ile (2y + 1) ters orantılıdır.

A) 1

x.z y = k yazılır.

C) 3

D) 4

x, y, z çoklukları sırasıyla a, b, c ile doğru orantılı ise x y z a = b = c = k yazılır.

E) 5

130

YGS Matematik

c.


x, y, z çoklukları sırasıyla a, b, c ile ters orantılı ise

Çözüm

a.x=b.y=c.z=k

y z x = = = k 1 1 1 c a b

a, b, c sayıları 2; –3; 4 ile orantılı ise

yazılır. Bu eşitlik yerine;

a = 2k, b = –3k, c = 4k (k ∈ R) olur. a+b+c=6

eşitliği de yazılabilir.

2k – 3k + 4k = 6 ⇒ 3k = 6 ⇒ k = 2 olur. a = 2 k = 2 .2 = 4   2 2 2 b = −3 k = −3 ⋅ 2 = −6  a + b + c bulunur. 16 + 36 + 64 = 116 c = 4k = 4 ⋅ 2 = 8 

Örnek a sayısı b sayısı ile doğru, c ile ters orantılıdır ve b = 5,

Cevap A

c = 16 ise a = 9 dur. Buna göre, b = 25, c = 144 ise a kaçtır? A) 20

B) 15

C) 12

D) 8

E) 5 ORTALAMALAR

(1993 ÖSS)

x1, x2, ... , xn reel sayılarının;

Çözüm

Aritmetik ortalaması: A =

Geometrik ortalaması: G = n x1 ⋅ x 2 ... xn

a sayısı, b ile doğru, c ile ters orantılı ise b a = k. c

^k ! R h olur.

Harmonik ortalaması: H =

b = 5, c = 16 ve a = 9 ise 9 = k.

x1 + x2 + … + xn n

n 1 1 1 + x1 x2 + … + xn

dir.

5 144 & k= olur. 5 16

b = 25 ve c = 144 iken a sayısı;

1.

b 144 25 a = k. c = . = 5 bulunur. 5 144

x1, x2, ... , xn pozitif reel sayılarının hepsi birbirine eşit ise A = G = H = x1 dir.

!

Cevap E

2. x1, x2, ... , xn pozitif reel sayılarının en az biri diğerlerinden farklı ise H < G < A dır. 3.

x1, x2, ... , xn pozitif reel sayı ise H ≤ G ≤ A dır.

Örnek Sonuç: a ve b reel sayılarının;

a, b, c sayıları sırasıyla 2; –3; 4 ile orantılıdır.

aritmetik ortalaması (ortası) =

a+b+c=6 olduğuna göre, a2 + b2 + c2 toplamı kaçtır? A) 116

B) 96

C) 76

D) 56

geometrik ortalaması (ortası) =

a+b 2 a.b

E) 36 harmonik ortalaması (ortası) =

(1987 ÖSS)

131

2ab olarak ifade ederiz. a+b

YGS Matematik


Orta Orantılı Sayı a x x =b

Çözüm

eşitliğini sağlayan pozitif x reel sayısına a ile b nin

Bu on beş sayıdan n tanesinin ortalaması 10 ise bu n sayısının toplamı 10 . n dir. Geri kalan 15 – n tanesinin ortalaması

orta orantılısı denir. Bu iki sayının geometrik ortası olarak ifa-

20 olduğuna göre, bu sayıların toplamı (15 – n) . 20 dir. de edilir.

15 sayının toplamı 200 olduğuna göre;

a x 2 x = a & x = a.b & x = a.b dir.

10 . n + (15 – n) . 20 = 200 ⇒ 10n + 300 – 20n = 200

⇒ 100 = 10n

⇒ n = 10 bulunur. Cevap D

Örnek Örnek Dört sayının aritmetik ortalaması 21, üç sayının aritmetik or-

15 kız öğrenci ile 10 erkek öğrencinin katıldığı bir sınavda, kız

talaması 14 tür.

öğrencilerin aldığı notların aritmetik ortalaması 36, erkek öğrencilerin aldığı notların aritmetik ortalaması 32 dir.

Bu yedi sayının aritmetik ortalaması kaçtır? A) 15

B) 16

C) 17

D) 18

Bu öğrencilerin bu sınavdaki notlarının aritmetik ortala-

E) 19

ması kaçtır? A) 33

Çözüm

B) 33,6

C) 33,8

D) 24

E) 34,4

Çözüm

a+b+c+d = 21 & a + b + c + d = 84 4 x+y+z = 14 & x + y + z = 42 3 a + b + c + d + x + y + z 84 + 42 = = 18 olur. 7 7

Kız öğrencilerin aldığı notların toplamı: 15 . 36 = 540 dir. Erkek öğrencilerin aldığı notların toplamı: 10 . 32 = 320 dir.

Cevap D

Öğrencilerin not ortalaması =

540 + 320 15 + 10

860 = 34, 4 tür. 25

=

Cevap E

Örnek

Örnek

a ve b sayılarının geometrik ortalaması 3, aritmetik ortalama-

On beş sayının toplamı 200 dür.

sı ise 6 dır.

Bu sayılardan bir kısmının aritmetik ortalaması 10, diğer-

Buna göre, a2 ve b2 sayılarının aritmetik ortalaması kaç-

lerinin aritmetik ortalaması 20 olduğuna göre, kaç tanesi-

tır?

nin aritmetik ortalaması 10 dur?

A) 67

A) 7

B) 8

C) 9

D) 10

E) 11

B) 65

C) 63

D) 61

E) 57 (2011 LYS)

132

YGS Matematik


Çözüm

Örnek

a.b = 3 ⇒ a . b = 9 a+b = 6 ⇒ a + b = 12 dir. 2 2

2

2

2

2

Kızlar

Erkekler

Sayısı :

2x

x

Yaşları toplamı :

K

E

2

(a + b) = 12 ⇒ a + 2ab + b = 144 ⇒ a + b = 126 dır. a2 ve b2 sayılarının aritmetik ortalaması

2

Kızların yaş ortalaması 15 ise

2

a +b 126 = = 63 2 2

K = 15 & K = 30x 2x

Cevap C

Erkeklerin yaş ortalaması 24 ise E x = 24 & E = 24x

Örnek

Grubun yaş ortalaması; Terimleri birbirinden farklı birer doğal sayı ve artan olan bir di-

K + E 30x + 24x = = 18 2x + x 3x

zinin ilk yedi terimi 5, 6, 10, a, 12, b, c dir.

bulunur.

Bu sayıların aritmetik ortalaması 11 olduğuna göre, a + b

Cevap C

toplamının en büyük değeri kaçtır? A) 25

B) 27

C) 28

D) 32

E) 34

(2008 ÖSS Mat 1)

Örnek Çözüm Sayıların aritmetik ortalaması 11 ise 5 + 6 + 10 + a + 12 + b + c = 11 7

Yaş

Kişi sayısı

20

4

21

9

22

16

Yukarıdaki tablo bir işyerinde çalışanların sayısı ile yaşlarını

⇒ 33 + a + b + c = 77 ⇒ a + b + c = 44 bulunur.

göstermektedir.

a ∈ N ve artan dizi olduğu için a = 11 dir.

Bu işyerinde seçilen 16 kişinin yaş ortalaması 21 olduğuna göre, geriye kalanlardan kaçı 22 yaşındadır?

11 + b + c = 44 ⇒ b + c = 33 olur.

A) 12

12 < b < c ve b + c = 33 ise b = 16 ve c = 17 dir.

B) 11

C) 10

D) 9

E) 8 (1988 ÖSS)

Bu durumda, a + b = 11 + 16 = 27 bulunur. Cevap B

Çözüm

Örnek Bir gruptaki kız sporcuların yaş ortalaması 15, erkek sporcu-

Yaş ortalamasının 21 olması için 20 ve 22 yaşındaki kişiler-

ların yaş ortalaması 24 tür.

den eşit sayıda seçilmelidir.

Kızların sayısı erkeklerin sayısının 2 katı olduğuna göre,

20 yaşında 4 kişi olduğuna göre 22 yaşındakilerden 4 kişi se-

bu grubun yaş ortalaması kaçtır?

çilmelidir. Toplam 16 kişi 22 yaşında olduğuna göre, 22 yaşın-

A) 16

B) 17

C) 18

D) 20

E) 22

da olupta seçilmeyen 16 – 4 = 12 kişi olur.

(2003 ÖSS)

Cevap A

133

Çözümlü Test


1.

a sayısı, c ile doğru orantılı, (b – 1)2 ile ters orantılıdır.

a = 3 ve c = 4 için b = 2 olduğuna göre, c = 2 ve b = 4 için a kaçtır? A)

1 6

B)

3 7

C)

7 8

D)

3 5

E)

6.

YGS Matematik

15 tane sayının ortalaması 25 tir. Bu sayılara toplamı 300 olan 10 sayı daha ekleniyor.

5 7

Buna göre, yeni ortalama kaçtır?

A) 22

B) 23

C) 24

D) 25

E) 27

2.

Üç arkadaşın paralarının birbirine oranı bilinmektedir.

Buna ek olarak aşağıdakilerden hangisi verildiğinde, her birinin kaç lirası olduğu hesaplanamaz?

7.

a ile b nin aritmetik ortalaması 15 tir.

A) Herhangi ikisinin paraları farkı

a ile geometrik ortalaması 6 30 , b ile geometrik ortala-

B) Herhangi ikisinin paraları toplamı

C) Paraların karelerinin birbirine oranı

D) İkisinin paraları toplamından üçüncünün farkı

E) Üçünün paraları toplamı

ması 6 10 olan sayı kaçtır?

3. 330 ceviz üç kişi arasında 1, 12 , 13 sayıları ile orantılı ola

A) 27

B) 30

C) 33

D) 36

8.

Geometrik ortalaması 6, harmonik ortalaması 3 olan

cak şekilde paylaştırılıyor.

iki sayının aritmetik ortalaması kaçtır?

Payı en az olan, kaç tane ceviz almıştır?

A) 8

A) 60

B) 55

C) 50

D) 45

B) 9

C) 12

D) 15

E) 48

E) 18

E) 40

4.

Bir miktar parayı K, L, M kişileri sırasıyla 2 ve 4 sayıları ile doğru, 6 ile ters orantılı olarak paylaşıyorlar.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

A) L, K nın iki katı para alır.

B) M, K nın üç katı para alır.

C) K, L nin iki katı para alır.

D) En çok parayı M alır.

E) En az parayı K alır.

5.

2x = 3y = 4z

1 1 1 x+y+z =1

olduğuna göre, y kaçtır?

9. Geometrik ortalaması 3 5 olan iki doğal sayının aritmetik ortalaması en az kaç olabilir? A) 5

B) 7

C) 9

D) 11

E) 23

10. Bir ressam kırmızı (K), yeşil (Y), beyaz (B) boyaları

A) 1

B) 2

K 1 Y 1 = = ve oranında karıştırarak 500 gr lık bir Y 3 B 2 karışım elde etmek istiyor.

C) 3

D) 4

Yeşil boyadan kaç gr alması gerekir? A) 50

E) 5

134

B) 75

C) 100

D) 125

E) 150

Çözümler

YGS Matematik

1.

a ⋅ ( b − 1)2 =k c

3 ( 2 − 1)2 3 =k⇒k = 4 4

a ⋅ ( 4 − 1)2 3 1 = ⇒a= 2 2 6

dır.

bulunur.


5.

2x = 3y & x =

3y 1 2 & x = 3y 2

3y = 4z & z =

3y 1 4 & z = 4 3y

1 1 1 2 1 4 x + y + z = 1 & 3y + y + 3y = 1

Cevap A

⇒

2+3+4 = 1 ⇒ y = 3 tür. 3y Cevap C

2. Paralarının birbirine oranı bilindiğinden, paraların karelerinin birbirine oranı da biliniyor demektir. Bu bilgi, verilenden farklı değildir. O hâlde, paraların karelerinin birbirine oranı verildiğinde, her birinin kaç lirası olduğu hesaplanamaz. Cevap C

6.

15.25 + 300 675 = = 27 olur. 15 + 10 25 Cevap E

3. Kişilerin aldıkları ceviz sayıları; k, 2k , 3k tanedir. k k + = 330 & k = 180 dir. 2 3

k+

En az alan

180 = 60 ceviz almıştır. 3 Cevap A

7. a + b = 30

a.x = 6 30 b.x = 6 10 denklemleri yazılabilir. a.x = 6 30 &

a.x = 36.30 = 1080

b.x = 6 10 &

b.x = 36.10 = 360

4.

K L = = 6M eşitliğine göre, 2 4

L = 2K, K = 12M ve L = 24M dir.

Buna göre, A seçeneğindeki ifade doğrudur.

ax + bx = 1080 + 360 ⇒ x . (a + b) = 1440

⇒ x . 30 = 1440 ⇒ x = 48 Cevap E

Cevap A

135


8.

Çözümler

x.y = 6 2xy x+y = 3

eşitliklerinden, x.y = 36 olduğundan,

2.36 x + y = 3 & x + y = 24

9.

&

x+y = 12 bulunur. 2

Cevap C

x.y = 3 5 & x.y = 45 tir. Çarpımları 45 olan iki doğal sayı 45 ile 1, 15 ile 3 ve 9 ile 5 tir. Buna göre, en küçük aritmetik ortalama,

9+5 =7 2 Cevap B

10.

K 1 Y = & K= tür. 3 Y 3

Y 1 & B = 2Y dir. = B 2 K + B + Y = 500 &

Y + 2Y + Y = 500 3

⇒ Y = 150 gr bulunur. Cevap E

136

YGS Matematik

BİRİNCİ DERECEDEN EŞİTSİZLİKLER

12. BÖLÜM

b. z < 0 olmak üzere;

EŞİTSİZLİKLER VE ÖZELLİKLERİ

x < y ⇔ x.z > y.z <, ≤, >, ≥, ≠ sembolleri ile kurulan açık önermelere eşitsizlik

x > y ⇔ x.z < y.z

denir. Eşitsizliği sağlayan reel sayıların kümesine eşitsizliğin

Yani, bir eşitsizliğin her iki tarafı negatif bir sayı ile çarpılır-

çözüm kümesi denir.

sa veya negatif bir sayı ile bölünürse eşitsizlik yön değiştirir.

Eşitsizlikler birinci dereceden, ikinci dereceden, ...; bir bilin-

>

meyenli, iki bilinmeyenli,... olabilir.

≥

1. Üç Hal Kuralı

<

a, b ∈ R olmak üzere;

≤

a=b, ab

ise ise ise ise

< olur. ≤ olur. > olur. ≥ olur.

önermelerinden yalnız biri doğrudur. 6. a. 2. Eşitsizliğin Geçişme Özeliği

b.

(x < y ve y < z) ⇒ x < z

x.y < 0 ise x ile y ters işaretlidir. x.y > 0 ise x ile y aynı işaretlidir.

Yani, iki sayının çarpımı negatif ise sayılardan biri negatif biri pozitiftir. İki sayının çarpımı pozitif ise sayıların ya ikisi de negatiftir, ya da ikisi de pozitiftir.

3. Eşitsizlikte Toplamanın Sadeleştirme Özeliği x
7. Eşitsizlikte Üs Alma Özeliği

x>y ⇔ x+z>y+z

Bir eşitsizliğin her iki tarafının tek dereceden kuvveti ya da

Yani, bir eşitsizliğin her iki tarafına aynı sayı eklenebilir.

kökü alınabilir; eşitsizlik bozulmaz ve yön değiştirmez: x < y ⇒ x2n – 1 < y2n – 1, n ∈ N+

4. Eşitsizlikte Çıkarmanın Sadeleştirme Özeliği x
⇔ x–z
x>y

⇔

x > y ⇒ x2n – 1 > y2n – 1, n ∈ N+

x–z>y–z

Yani, bir eşitsizliğin her iki tarafından aynı sayı çıkarılabilir.

y , n ∈ N+

x
2n + 1

x <

x>y⇒

2n + 1

x > 2 n + 1 y , n ∈ N+

2n + 1

Bir pozitif eşitsizliğin her iki tarafının çift kuvveti ya da çift de5. Eşitsizlikte Çarpmanın Sadeleştirme Özeliği

receden kökü alınabilir:

a. z > 0 olmak üzere;

0 < x < y ⇒ 0 < x2n < y2n , n ∈ N+

x < y ⇔ x.z < y.z

0 < x < y ⇒ 0 < 2n x < 2n y , n ∈ N+

x > y ⇔ x.z > y.z dir.

Negatif bir eşitsizliğin her iki tarafının çift kuvveti alındığında sıralama değişir:

Yani, bir eşitsizliğin her iki tarafı pozitif bir sayı ile çarpılabi-

x < y < 0 ⇒ 0 < y2n < x2n, n ∈ N+

lir, bölünebilir. Eşitsizlik yönü değişmez, eşitsizlik bozulmaz.

137

YGS Matematik

Birinci Dereceden Eşitsizlikler

8. Eşitsizliklerin Taraf Tarafa Toplanma Özeliği

Örnek

a
+ c
⇔

x < y ve y < z

Z1 1 ]] < , x y 10. x < y & [ ]1 > 1, \x y 11. 0 < x < 1 ⇒

x < 0 < y ise x.y > 0 ise

Çözüm

x > x2 > x3 > ... 3x – 7 ≤ 4(x – 1) ⇒ 3x – 7 ≤ 4x – 4

12. a < x < b

⇒ –7 + 4 ≤ 4x – 3x

c
⇒ –3 ≤ x

olmak üzere, x . y nin alabileceği değer aralığı buluna-

O hâlde, verilen eşitsizliğin çözüm kümesi,

bilir. Bunun için a.c, a.d, b.c, b.d sayıları hesaplanır. Bu

Ç = { x | x ≥ –3, x ∈ R } dir.

sayıların en küçüğüne m, en büyüğüne n dersek,

m < x.y < n olur.

Örnek –4 ≤ 3x + 1 < 13 eşitsizliğinin çözüm aralığını bulunuz.

Örnek –3 < x < 6 –5 < y < 3 olduğuna göre;

Çözüm

a) x + y nin değer aralığını bulunuz.

–4 ≤ 3x + 1 < 13

b) x – y nin değer aralığını bulunuz.

⇒ –4 – 1 ≤ 3x + 1 – 1 < 13 – 1

c) x.y nin değer aralığını bulunuz. d) 2x + 3y nin değer aralığını bulunuz.

⇒ –5 ≤ 3x < 12 ⇒ –

e) 2x – 3y nin değer aralığını bulunuz.

5 ≤x<4 3

f) x2 nin değer aralığını bulunuz.

5 O hâlde, çözüm aralığı Ç = ; – , 4 m tür. 3

g) y2 nin değer aralığını bulunuz. h) x3 ün değer aralığını bulunuz.

138

YGS Matematik


e)

Çözüm

a) Farklı değişkenlere bağlı aynı yönlü eşitsizlikler taraf tafa toplanırsa;

–6 < 2x < 12 4 –9 < –3y < 15 eşitsizlikleri taraf tarafa toplanırsa,

–8 < x + y < 9 bulunur.

–15 < 2x – 3y < 27 bulunur.

&

rafa toplanabilir. Buna göre, verilen eşitsizlikler taraf tara-

–3 < x < 6 –6 < 2x < 12 4 & 4 –5 < y < 3 15 > –3y > –9

b) –5 < y < 3 eşitsizliğinin her tarafını –1 ile çarparsak eşitsizlik yön değiştirir:

f) –3 < x < 6 ⇒ –3 < x < 0 veya 0 ≤ x < 6 dır.

–5 < y < 3 ⇒ 5 > –y > –3

⇒ –3 < –y < 5 olur.

–3 < x < 6

–3 < –y < 5

eşitsizlikleri farklı değişkenlere bağlı olduğundan taraf ta-

⇒ 0 < x2 < 9 veya 0 ≤ x2 < 36

⇒ 0 ≤ x2 < 36 olur.

g) –5 < y < 3 ⇒ –5 < y < 0 veya 0 ≤ y < 3

rafa toplanabilirler:

–6 < x – y < 11 bulunur.

⇒ 0 < y2 < 25 veya 0 ≤ y2 < 9

⇒ 0 ≤ y2 < 25 olur.

c) x . y nin alabileceği değerleri bulmak için x in ve y nin bulunduğu aralıkların en küçük ve en büyük değerlerini birbirleri ile çarparız, elde ettiğimiz sayıların en küçüğü ile

h) –3 < x < 6 ⇒ (–3)3 < x3 < 63

en büyüğünü alırız:

⇒ –27 < x3 < 216 dır.

(–3) . (–5) = 15

(–3) . 3 = –9

6 . (–5) = –30

İRRASYONEL SAYILAR

6 . 3 = 18

Qı = {Rasyonel olmayan sayılar}

dir. Bu sayıların en küçüğü –30, en büyüğü 18 dir. Buna

= { 5,

göre,

3

2,

5

−3 r = 3,14..., e = 2, 71...}

kümesinin sayıları birer irrasyonel sayıdır. Çünkü, ondalık

–30 < x . y < 18

dir. x = 6, y = –5 olamadığından, x . y = –30 olamaz.

açılımları devirsizdir. Bu sayılar gibi, 7, 01001100011100001111…

x = 6, y = 3 olamadığından, x . y = 18 olamaz. Bu nedenle, –30 < x . y < 18 yazılmıştır.

7, 05001100011100001111… sayıları da bir irrasyonel sayıdır. Bu açılımların her biri sonsuza kadar devretmeden devam ederler.

–3 < x < 6 4 d) –5 < y < 3

&

–6 < 2x < 12 4 –15 < 3y < 9

olur. Bu son iki eşitsizlik taraf tarafa toplanırsa,

–21 < 2x + 3y < 21 elde edilir.

! 139

Devirli her ondalık sayı bir rasyonel sayıya eşittir.

YGS Matematik


{x | x ≤ a, x ∈ R} = (–∞, a]

REEL (GERÇEL) SAYILAR

{x | x < a, x ∈ R} = (–∞, a) Rasyonel sayılarla irrasyonel sayıların birleşimine reel (ger-

{x | x ≥ a, x ∈ R} = [a, + ∞)

çek) sayılar denir. Reel sayılar kümesi R ile gösterilir.

{x | x > a, x ∈ R} = (a, + ∞)

Buna göre; R = Q ∪ Q’ dür.

olarak gösterilir. [a, b) aralığının sayı doğrusu üzerinde gösterimi;

O hâlde, N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R dir. Reel sayılar sayı doğrusunu tamamen doldururlar. Yani, her reel sayıya sayı doğrusu üzerinde bir nokta, sayı doğru-

a

su üzerindeki her noktaya da bir reel sayı karşılık gelir. Sayı

b

R

doğrusu üzerindeki A noktasına x reel sayısı karşılık geliyorsa, x sayısına A noktasının koordinatı denir ve A(x) biçiminde gösterilir.

Örnek Örnek

Aşağıdaki aralıkları sayı doğrusu üzerinde gösteriniz.

B

C

A

–6

0

3

A(3),

R

B(–6), C(0) gibi.

a. [–2, 5]

b. (–2, 3]

c. (–∞, 4)

d. [3, +∞)

e. (–∞, –1] ∪ [2, 6)

f. R – [2, 4)

Reel Sayı Aralıkları

Çözüm

Reel sayılarda bazı işlemleri kolay ifade edebilmek için aralık kavramı geliştirilmiştir. a, b ∈ R ve a < b olsun.

{xI a ≤ x ≤ b , x ∈ R}

kümesi a dan b ye kadar olan bütün reel sayıları ifade eder. Bu küme kısaca [a, b] biçiminde gösterilir ve “a, b kapalı aralığı” diye okunur. [a, b] nın sayı doğrusu üzerinde gösterimi;

a

b

R

dir. Benzer bizimde {x | a ≤ x < b, x ∈ R} = [a, b) = [a, b[ {x | a < x ≤ b, x ∈ R} = (a, b] = ]a, b] {x | a < x < b, x ∈ R} = (a, b) = ]a, b[

140

YGS Matematik


a, b ∈ IR ve a ≤ b ise

Çözüm

{x | a ≤ x ≤ b} alt kümesine kapalı aralık denir ve [a, b] şeklinde gösterilir. a ve b ∈ Z ise [a, b] kapalı aralığında b – a +

x, y ve z reel sayıları için

1 tane x tam sayısı vardır.

x – y > z ise x – z > y olur. y > 0 ise x – z > 0

{x | a < x < b} alt kümesine açık aralık denir ve (a, b) şeklinde

x > z olur.

gösterilir. a ve b ∈ Z ise (a, b) açık aralığında b – a – 1 tane

Cevap A

x tam sayı vardır. {x | a ≤ x < b} ve {x | a < x ≤ b} kümelerine yarı açık aralık denir ve sırasıyla [a, b) ve (a, b] şeklinde gösterilir. a ve b tam sayı ise [a, b) ve (a, b] yarı açık aralıklarında b – a tane x tam sayısı bulunur.

Örnek Bir x tam sayısı için

Örnek

x+5 > 10 2

olduğuna göre, x in en küçük değeri kaçtır? A) 10

[–45, 2x – 6) yarı açık aralığında 135 tane tam sayı olduğuna

B) 14

C) 16

D) 17

E) 18 (2008 ÖSS)

göre, x tam sayısı kaçtır?

Çözüm Çözüm x+5 > 10 & x + 5 > 20 2 & x > 15

2x – 6 – (–45) = 135 2x – 6 + 45 = 135 2x = 96 ise

x = 16 bulunur.

x = 48 bulunur.

Cevap C

Örnek x, y ve z gerçel sayılar için y>0

Örnek

x–y>z olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi her zaman doğ-

34–x ≤ 1 ≤ 56–x

rudur? A) x > z

B) x > y

D) x > 0

eşitsizliğini sağlayan x tam sayılarının toplamı kaçtır?

C) z > y

A) 8

E) z > 0 (2010 YGS)

B) 9

C) 10

D) 12

E) 15 (2008 ÖSS)

141

YGS Matematik


Çözüm

Çözüm

34–x ≤ 1 ≤ 56–x ise 4–x≤0 4≤x

ve 0 ≤ 6 – x ve

x≤6

–3 ≤ a ≤ 1 ise

0 ≤ a2 ≤ 9 olur.

–2 ≤ b ≤ 2 ise

–8 ≤ b3 ≤ 8 olur. +

4 + 6 + 5 = 15 bulunur.

–8 ≤ a2 + b3 ≤ 17

Cevap E

[–8, 17] bulunur. Cevap C

Örnek a, b, c gerçel sayıları için

a.c = 0

a3.b2 > 0

a.b < 0

olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur? A) a < c < b

B) b < a < c D) c < a 0 ⇒ a > 0 dır. a . c = 0 ⇒ c = 0 dır. a.b < 0 ⇒ b < 0 dır. O halde b < c < a dır. Cevap C

Örnek

Çözüm

–3 ≤ a ≤ 1

–2 < x < 4 ise

–2 ≤ b ≤ 2 olduğuna göre, a2 + b3 ifadesinin değeri hangi aralıktadır?

2 > – x > –4

A) [–17, 17]

2+1>1–x>1–4

B) [–13, 8] D) [–7, 7]

C) [–8, 17] E) [–7, 1]

3 > 1 – x > – 3 bulunur.

(2008 ÖSS Mat 2)

Cevap D

142

Çözümlü Test

YGS Matematik

1.

x + 3y – 4 = 0 ve 1 < y < 3 olduğuna göre,

6.

x in alabileceği tam sayı değerleri kaç tanedir?

A) 1

B) 2

C) 3

D) 4


–x ≤ x + 10 < 8 – x eşitsizliğinin çözüm aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

E) 5

A) [–1, 5)

2.

a < b ≤ 0 ve c =

2a – b olduğuna göre, c nin alabia

leceği tam sayı değeri kaçtır? A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

B) [–5, +∞)

D) [–5, – 1)

C) [–1, 1)

E) (–∞, –1)

7.

a+b

a.b

olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?

A) a < 0

B) a > 0

D) a < b

C) a < c E) b . c < 0

3.

0≤x≤2

2≤y≤3

olduğuna göre, 3x – 2y ifadesinin en büyük tam sayı

8. Bir köyden kasabaya iki ayrı yoldan gidilebilmektedir.

değeri kaçtır?

A) –6

B) –4

C) 0

D) 1

1. yol 3a km,

E) 2

2. yol (a + 8) km dir.

İkinci yol daha kısa olduğuna göre a için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

A) 1 > a

4.

0 < a ≤ 1 ise,

B) 4 > a > 3 D) 2 > a > 1

C) 3 > a > 2

E) a > 4

ab = 1 ifadesinde a azalan değerler

alırken b nasıl değişir? A) Azalarak 1 olur. B) Sabit kalır.

9. –6 < x < 3 ve 2 < y < 8 olduğuna göre,

C) Artarak 1 olur.

D) Pozitif olarak artar.

x2 + y2 toplamının alabileceği tam sayı değerleri kaç tanedir?

E) 1 den sıfıra doğru azalır.

A) 90

B) 95

C) 98

5.

4x – 9 < 11

–2x + 7 ≤ 9

10. –4 < x < 3 olmak üzere

eşitsizliklerini sağlayan kaç tane tam sayı değeri

vardır? A) 4

D) 101

E) 102

x2 + 2x + 4 ifadesinin alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır?

B) 5

C) 6

D) 7

A) 18

E) 8

143

B) 15

C) 13

D) 10

E) 8

Çözümler


1.

x + 2y – 4 = 0 3y = 4 – x

y=

4–x olur. 3

4–x 4–x <3 1 < y < 3 eşitliğinde y = yazılırsa 1 < 3 3 3<4–x<9

3–4<4–x–4<9–4

–1 / –1 < –x < 5

1 > x > –5 olur.

X in alabileceği tam sayı değerleri –4, –3, –2, –1, 0 ol-

YGS Matematik

5.

4x – 9 < 11 ⇒ 4x < 20 ⇒ x < 5 tir.

–2x + 7 ≤ 9 ⇒ –2x ≤ 2 ⇒ x ≥ –1 dir.

–1 ≤ x < 5 olduğundan; x in alabileceği tam sayı değerleri kümesi, {–1, 0, 1, 2, 3, 4} dir. Cevap C

6.

mak üzere 5 tane bulunur.

–x ≤ x + 10 < 8 – x ⇒ 0 ≤ 2x + 10 < 8

⇒ –10 ≤ 2x < –2

⇒ –5 ≤ x < –1 dir. Cevap D

Cevap E

2a – b ise a

2.

c=

2a b c= a – a

7. a + b < a + c ⇒ b < c dir. Bu eşitsizliğin her iki tarafı a ile çarpılarak a.b < a.c elde edilmiştir. Eşitsizlik yön değiştirmediğinden, a > 0 dır.

b c = 2 – a olur.

Cevap B

1 1 1 1 a a .b ³ a .0

b –1 / 1 > a ≥ 0

b –1<– a ≤0

8. a + 8 < 3a ⇒ 8 < 2a ⇒ 4a < a ⇒ a > 4 tür. Cevap E

b –1 + 2 < 2 – a ≤ 2 [

1 < c ≤ 2 olur. c = 2 bulunur.

0 ≤ x2 < 36

4 < y2 < 64

0 ≤ x ≤ 2 ⇒ 0 . 3 ≤ 3x ≤ 2 . 3 ⇒ 0 ≤ 3x ≤ 6 dır.

...(I)

2 ≤ y ≤ 3 ⇒ 2 . (–2) ≥ y . (–2) ≥ 3 . (–2)

⇒ –4 ≥ –2y ≥ –6 ⇒ –6 ≤ –2y ≤ –4 tür. ... (II)

I ve II eşitsizlikleri farklı değişkenlere bağlı aynı yönde eşitsizliklerdir. Taraf tarafa toplanabilirler:

0 – 6 ≤ 3x – 2y ≤ 6 – 4 ⇒ –6 ≤ 3x – 2y ≤ 2

elde edilir. O hâlde, 3x – 2y nin en büyük değeri 2 dir.

2
ise

Cevap B

3.

9. –6 < x < 3 ise

+

4 < x2 + y2 < 100

x2 + y2 toplamının alabileceği tam sayı değerleri 5, 6, ……,99 olur. Terim sayısı formülü kullanılarak 99 – 5 + 1 = 95 bulunur. 1 Cevap B

10. –4 < x < 3 ⇒ –4 + 1 < x + 1 < 3 + 1 –3 < x + 1 < 4

Cevap E

0 ≤ (x + 1)2 < 16

4.

0 ≤ x2 + 2x + 1< 16

a nın en büyük değeri 1 olduğundan, b nin en küçük değeri, 1 . b = 1 ⇒ b = 1 dir. a = olur. a =

1 1 için .b = 1 & b = 2 2 2

1 1 için .b = 1 & b = 3 olur. Dolayısıyla b 3 3

0 + 3 ≤ x2 + 2x + 1 + 3 < 16 + 3 3 ≤ x2 + 2x + 4 < 19 olur.

x2 + 2x + 4 ifadesinin alabileceği en büyük tam sayı değeri 18 bulunur.

pozitif olarak artar.

Cevap A Cevap D

144

MUTLAK DEĞER

Bir x reel sayısına sayı doğrusu üzerinde karşılık gelen nok-

13. BÖLÜM

Örnek

tanın, sayı doğrusunun başlangıç noktasına olan uzaklığına, x reel sayısının mutlak değeri denir ve |x| ile gösterilir.

Aşağıdaki mutlak değerli ifadelerin sonuçlarını bulunuz.

Tanıma göre, |x| ifadesi bir uzunluk gösterdiğinden, a) | – 14|

|x| ≥ 0 dır.

b) | 3 – 10 |

c) | 7– 3 |

Örnek a.

Çözüm

|+4| = +4 tür. Çünkü, reel sayı doğrusu üzerinde +4 sayısına karşılık gelen noktanın 0 noktasına uzaklığı; 4 birimdir. 0

1

2

3

4

a) –14 < 0 olduğundan; |–14| = – (–14) = 14 tür. b)

R

4 birim

b.

= –3 + 10

=

10 –3

|0| = 0 dır. c)

c.

3 – 10 < 0 olduğundan; | −3 10 | = − ( 3 − 10 )

–

5 5 5 = dir. Çünkü, – 2 2 2

7– 3 > 0 olduğundan; | 7 − 3 | = 7 − 3 tür.

sayısına reel sayı doğrusu

üzerinde karşılık gelen noktanın başlangıç noktasına uzaklığı

ÖZELLİKLERİ

5 birimdir. 2

1.

|a| = |–a|, |a – b| = |b – a|

2.

|a.b| = |a| . |b|

3. Mutlak değer işlemine bu biçimde yaklaşım, bazı mutlak de4.

ğerli denklem ve eşitsizliklerin çözümünde, mutlak değerle

a a = b b

(b ≠ 0)

|a + b| ≤ |a| + |b|

ilgili bazı özelliklerin ispatlanmasında kolaylık sağlar. Bu yaklaşımı sembollerle aşağıdaki biçimde ifade edebiliriz.

0
Z ]]x, x > 0 ise | x | = [0, x = 0 ise ] -x Ðx, x < 0 ise \ Buna göre, bir ifadenin mutlak değeri hakkında karar verebil-

5.

a ≥ 0 olmak üzere,

|f(x)| = a ise f(x) = ± a dır.

6.

|an| = |a|n dir.

mek için o ifadenin negatif, pozitif veya sıfır olup olmadığını bilmemiz yeterlidir.

145

YGS Matematik

Mutlak Değer

Örnek

Örnek

|–1–3| + |–2 + 4|

x < 0 olduğuna göre,


A) 8

B) 10

C) 6

D) 4

|x – 1| + |x| + 3

ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

E) 2

A) x + 2

(2011 YGS)

B) 2x + 2

D) 4 – 2x

C) 2x – 2 E) 4 (ÖSS 2008 Mat 1)

Çözüm Çözüm

|–1 – 3| + |–2 + 4| = |–4| + |2| = 4 + 2 = 6 Cevap C

x < 0 ise x – 1 < 0 olup |x – 1| + |x| + 3 = –x + 1 – x + 3 = 4 – 2x olur.

Örnek

Cevap D

x bir gerçel sayı ve |x| ≤ 4 olmak üzere, 2x + 3y = 1 eşitliğini sağlayan y tam sayı değerlerinin top-

Örnek

lamı kaçtır? A) –1

B) 0

C) 1

D) 2

E) 3

x= 5 –3 y= x–5 z= y–2

(2011 LYS)

olduğuna göre, z kaçtır? A)

Çözüm

5

B) 2 + 5

D) 10 – 5

C) 4 + 5 E) 5 – 5

|x| ≤ 4 ise –4 ≤ x ≤ 4 tür.

(2006 ÖSS Mat 1)

2x + 3y = 1 ⇒ 2x = 1 – 3y

⇒ 2x = –8 ≤ 2x ≤ 8

⇒ –8 ≤ 1 – 3y ≤ 8

⇒ –9 ≤ –3y ≤ 7

⇒3≥y≥ –

Çözüm x =| 5 − 3 | = − 5 + 3 tür . ( 5 < 3 )

7 3

aşağıdaki tam sayılar

y =| x − 5 | =| − 5 + 3 − 5 | =| − 5 − 2 |

3, 2, 1, 0, –1 ve –2 dir.

= − ( − 5 − 2 ) = 5 + 2 olur .

Toplamları 3 tür.

z =| y − 2 | =| 5 + 2 − 2 | =| 5 | = 5 olur . Cevap E

Cevap A

146

YGS Matematik

Mutlak Değer

Çözüm

Örnek

Verilen ifadenin payı sabit bir sayıdır. Bu ifadenin en büyük

y < x < 0 olmak üzere x 2 + 4xy + 4y 2 +| y – x | +

y y

olabilmesi için paydası en küçük olmalıdır.

=8

2

f(x) = |x + 4| + |x – 6| dersek, bu fonksiyonun en küçük değe-

olduğuna göre, y kaçtır? A) –8

B) –7

ri için mutlak değerlerden birisi 0 olmalıdır.

C) –6

D) –5

E) –3

x + 4 = 0 ⇒ x = –4 ⇒ f(–4) = |–4 + 4| + |–4 – 6| = 10

(2002 – ÖSS)

olduğundan, |x + 4| + |x – 6| ≥ 10 dur. O hâlde, 20 20 ² = 2 dir. Buna göre, verilen ifadenin ala| x + 4 | +| x Ð 6 | 10 bileceği en büyük değer, 2 dir. Cevap B

Çözüm y < x < 0 olmak üzere, x 2 + 4 xy + 4 y 2 + | y − x | +

^x + 2y h2 –y + x +

& &

Örnek

y y2 − 8

f(x) = |x + 11| – |x – 4| fonksiyonunun alabileceği en bü-

y =8 |y |

yük değer kaçtır?

y | x + 2y | –y + x + –y = 8

A) 4

B) 6

C) 11

D) 15

E) 18

⇒ –x – 2y – y + x – 1 = 8 ⇒ –3y = 9 ⇒ y =–3 olur. Cevap E

Çözüm 7.

f(x) = |ax + b| + |cx + d| fonksiyonunun en küçük değeri, b d f a – a k ve f a – c k sayılarının küçüğüdür.

x – 4 = 0 ⇒ x = 4 tür. O hâlde, f(x) in en büyük değeri, f(4) = |4 + 11| = 15 tir. Cevap D

8. f(x) = |x + a| – |x + b| fonksiyonunun en büyük değeri f(–b) = |a – b| dir.

MUTLAK DEĞER İÇEREN BAZI BASİT TİP DENKLEMLERİN ÇÖZÜMÜ

Örnek

Genel olarak mutlak değer içeren denklemlerin çözümünü yapabilmek için, mutlak değerlerin içindeki ifadelerin işareti-

20 |x+4|+|x−6|

nin incelenmesi gerekir. İşaret inceleme ile denklem mutlak değerden kurtarılabilir. Aşağıdaki tip denklemlerde işaret in-

ifadesinin alabileceği en büyük değer kaçtır? A) 1

B) 2

C) 4

D) 5

celenmesi yapılmadan sonuca gidilebilir. 1. |f(x)| = 0 ⇒ f(x) = 0 dır.

E) 20

147

YGS Matematik

Mutlak Değer

Örnek

Örnek |x + 5| = x + 5

|2x – 7| = 0 denkleminde x kaçtır?

|x| = –x sistemini sağlayan x tam sayılarının kümesini bulunuz.

Çözüm |2x – 7| = 0 ⇒ 2x – 7 = 0

⇒ 2x = 7

⇒ x=

7 2

Çözüm

dir.

|x + 5| = x + 5 ⇒ x + 5 ≥ 0 ⇒ x ≥ –5 tir.

2. |f(x)| = f(x) ⇒ f(x) ≥ 0 dır. |f(x)| = – f(x) ⇒ f(x) ≤ 0 dır.

|x| = –x ⇒ x ≤ 0 dır. Buna göre, –5 ≤ x ≤ 0 dır. O hâlde, denklem sisteminin tam

Örnek

sayılarda çözüm kümesi Ç = {–5, –4, –3, –2, –1, 0} dır.

|3x – 4| = 3x – 4 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

3. a ∈ R+ olmak üzere;

Çözüm |3x – 4| = 3x – 4 ⇒ 3x – 4 ≥ 0 4 ⇒ x≥ 3

4 olduğundan, denklemin çözüm kümesi Ç = ; , + 3 m dur. 3

|f(x)| = a ⇒ f(x) = a veya f(x) = –a dır.

f(x) = a denkleminin çözüm kümesi Ç1 ,

f(x) = –a denkleminin çözüm kümesi Ç2 ise,

|f(x)| = a denkleminin çözüm kümesi:

Ç = Ç1 ∪ Ç2 dir.

Örnek |1 – 3x| = 3x – 1 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

!

a ∈ R– olmak üzere; |f(x)| = a denkleminin çözüm kümesi; Ç = Ø dir.

Çözüm |1 – 3x| = 3x – 1 ⇒ 1 – 3x ≤ 0

⇒ 1 ≤ 3x

⇒

Örnek

1 ≤x 3

|2x – 1| = 17 denkleminin çözüm kümesini yazınız.

1 olduğundan, denklemin çözüm kümesi Ç = ; , + 3 m dur. 3

148

YGS Matematik

Mutlak Değer

I. denklemde, |3x – 2| – 5 = –9 ⇒ |3x – 2| = –4 elde edilir

Çözüm

ki, bir ifadenin mutlak değeri –4 e eşit olamaz. Buradan elde edilen çözüm kümesi, Ç1 = Ø dir.

|2x – 1| = 17 ⇒ 2x – 1 = –17 veya 2x – 1 = 17

⇒ 2x = –16

veya

2x = 18

⇒ x = –8

veya

x=9

II. denklemde; |3x – 2| – 5 = 9 ⇒ |3x – 2| = 14

Denklemin çözüm kümesi Ç = {–8, 9} dur.

⇒ 3x – 2 = –14 veya 3x – 2 = 14

⇒ x1 = –4 veya

x2 =

16 3

elde edilir. Bu denklemin çözüm kümesi, Ç 2 = ' –4,

Örnek

16 1 tür. Buna göre, verilen denklemin çözüm kü3

mesi, 2

9x – 6x + 1 –25 = 0 denkleminin çözüm kümesini bu-

16 16 1 = ' –4, 1 tür. 3 3

Ç = Ç1 ∪ Ç2 = Ø ∪ ' – 4,

lunuz.

4. |f(x)| = |g(x)| ⇒ f(x) = g(x) V f(x) = –g(x) tir.

Çözüm

f(x) = g(x) denkleminin çözüm kümesi Ç1,

2

9x –6x + 1 –25 = 0 &

!

2

9x – 6x + 1 = 25

|f(x)| = |g(x)| denkleminin çözüm kümesi;

& ^3x – 1 h2

f(x) = –g(x) denkleminin çözüm kümesi Ç2,

Ç = Ç1 ∪ Ç2 dir.

⇒ |3x – 1| = 25

⇒ 3x – 1 = –25 veya 3x – 1 = 25 ⇒ 3x = –24 veya 3x = 26 ⇒ x = –8

Örnek

26 veya x = 3

|9 – x2| = |x – 3|

olduğundan, denklemin çözüm kümesi, Ç = ' –8,

olduğuna göre, x in alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?

26 1 tür. 3

A) –3

B) –2

C) –1

D) 2

E) 4 (2003 ÖSS)

Çözüm

Örnek

|9 – x2| = |x – 3|

||3x – 2| – 5 | = 9 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

⇒ |x2 – 9| = |x – 3| ⇒ |x – 3| . |x + 3| = |x – 3|

Çözüm

⇒ |x + 3| = 1 ise x + 3 = 1 v x + 3 = –1

x = –2 v x = –4

|x – 3| = 0 ise x = 3 olur.

||3x – 2| – 5| = 9 olduğuna göre,

–2 – 4 + 3 = –3 bulunur.

|3x – 2| – 5 = –9 ....(I) veya |3x – 2| – 5 = 9 ... (II) dır.

Cevap A

149

YGS Matematik

Mutlak Değer

Örnek

Örnek

|x – 2| . |x + 5| = x – 2

|x + 2| ≤ 4

eşitliğini sağlayan x değerlerinin çözüm kümesi aşağıda-

eşitsizliğini sağlayan kaç tane tam sayı vardır?

kilerden hangisidir?

A) 13

A) {–4, –2}

B) {–4, 2}

D) {2}

B) 9

C) 8

D) 7

E) 6 (1999 ÖSS)

C) {–2} E) {2, 4} (2002 ÖSS)

Çözüm |x + 2| ≤ 4 ise –4 ≤ x + 2 ≤ 4 ⇒ –4 – 2 ≤ x + 2 – 2 ≤ 4 – 2 ⇒ –6 ≤ x ≤ 2

Çözüm

–6, –5, –4, –3, –2, –1, 0 , 1 ,2 olmak üzere 9 tanedir. Cevap B

|x – 2| . |x + 5| = x – 2 Mutlak değerli ifadelerin kökleri 2 ve –5 tir. x < –5

–5

–5 ≤ x < 2

2

Örnek

x≥2

(–x + 2).(–x – 5) = x – 2 (–x + 2).(x+5) = x – 2

(x – 2).(x+5)=x–2

x2 + 3x – 10 = x–2

x2 + 3x – 10 = x–2 x2 + 2x – 8 = 0

x2 + 2x – 8 = 0 4 x= – 4

–2 x=2

–x2 – 3x + 10 = x–2 –x2 – 4x + 12 = 0 x2 + 4x – 12 = 0 –2 x= –

4 x= – 4

|4 – 3x| ≤ 1 eşitsizliğinin çözüm aralığını bulunuz.

–2 x=2

x=2

Ç.K = {2} bulunur.

Çözüm

Cevap D

|4 – 3x| ≤ 1 ⇒ –1 ≤ 4 – 3x ≤ 1

MUTLAK DEĞER İÇEREN BASİT TİPTE EŞİTSİZLİKLERİN ÇÖZÜMÜ +

1. a ∈ R olmak üzere;

⇒ –5 ≤ –3x ≤ –3

⇒

–5 –3 ≥x≥ –3 –3

⇒

5 ≥ x ≥1 3

5 olduğundan, Ç = ; 1, E tür. 3

|f(x)| ≤ a ⇒ –a ≤ f(x) ≤ a dır.

2. a ∈ R+ olmak üzere; |f(x)| ≥ a ⇒ f(x) ≤ –a V f(x) ≥ a

!

dır. f(x) ≤ –a eşitsizliğinin çözüm kümesi Ç1, f(x) ≥ a eşit-

a ∈ R– olmak üzere; |f(x)| ≤ a eşitsizliğinin çözüm

sizliğinin çözüm kümesi Ç2 ise, |f(x)| ≥ a eşitsizliğinin çözüm

kümesi; Ç = Ø dir.

kümesi; Ç = Ç1 ∪ Ç2 dir.

150

YGS Matematik

Mutlak Değer

a ∈ R– olmak üzere; |f(x)| > a eşitsizliğinin çözüm

!

Örnek

kümesi; f(x) in en geniş tanım kümesidir. 2 ≤ |x + 3| < 7 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.

Çözüm

Örnek

2 ≤ |x + 3| < 7 ⇒ 2 ≤ –x – 3 < 7 veya 2 ≤ x + 3 < 7

|x – 2| ≥ 4 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.

Çözüm

⇒ x ≤ –2

veya

⇒ 5 ≤ –x < 10

veya –1 ≤ x < 4

⇒ –5 ≥ x > –10

veya –1 ≤ x < 4

⇒ –10 < x ≤ –5

veya –1 ≤ x < 4

olduğundan, Ç = (–10, –5] ∪ [–1, 4) tür.

|x – 2| ≥ 4 ⇒ x – 2 ≤ –4 veya x – 2 ≥ 4

x≥6

olduğundan, Ç = (–∞, –2] ∪ [6, +∞) dur.

4. |f(x)| < |g(x)| ⇒ [f(x)]2 < [g(x)]2 dir.

Örnek Örnek

|3 – 2x| > 1 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.

|x – 3| ≤ |x + 1| eşitsizliğinin çözüm aralığını bulunuz.

Çözüm |3 – 2x| > 1 ⇒ 3 – 2x < –1 veya 3 – 2x > 1 ⇒ –2x < –4

veya –2x > –2

⇒x>2

veya

Çözüm

x<1 |x – 3| ≤ | x + 1| ⇒ (x – 3)2 ≤ (x + 1)2

olduğundan, Ç = (–∞, 1) ∪ (2, +∞) = R – [1, 2] olur.

3. a, b ∈ R+ olmak üzere,

a < | f(x) | < b ⇒ a < –f(x) < b

a < –f(x) < b eşitsizliğinin çözüm kümesi

Ç1, a < f(x) < b eşitsizliğinin çözüm kümesi

Ç2 ise, a < |f(x)| < b eşitsizliğinin çözüm kümesi;

Ç = Ç1 ∪ Ç2 dir.

V

a < f(x) 0 b<0

olduğuna göre,

2

2

^b – ah – ^2a – bh

ifadesi aşa-

|y + 1| ≤ 5

olduğuna göre, x . y nin en küçük tam sayı değeri kaçtır?

ğıdakilerden hangisine eşittir?

YGS Matematik

A) 2a + 3b

B) 2b – 3a

A) –36

C) 2b – a

B) –35

C) –34

D) –32

E) –31

D) –2a E) –a

7. |x| ≤ 3 olmak üzere, 2.

x < |x|

–x + y – 3 = 0

x.y

denklemini sağlayan y tam sayılarının toplamı kaç-

I. y < 1

II. y > 1

III. x . y < 0

IV. |x| < |y|

tır? A) 20

B) 21

C) 22

D) 23

E) 24

V. x + y > 0

olduğuna göre, aşağıdaki ifadelerden kaç tanesi kesinlikle doğrudur?

8. A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

|3 – 2x| > 7 eşitsizliğinin çözüm aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

3. |x – y| = y – x x2 < xy

olduğuna göre, yukarıdakilerden hangisi doğrudur? A) x < 0 < y

A) x > –2 veya x < 5

B) x < –2 veya x > 5

C) x < –2 veya x > 4

D) x < –4 veya x > 4

B) x < y < 0

E) x > –4 veya x < 4

C) 0 < x < y

D) x < –y E) 0 < y < x

9.

9 < |2x – 7| < 13 eşitsizliğinin çözüm kümesindeki tam sayıların toplamı kaçtır?

4.

|x – 2| = |2x – 7|

denkleminin köklerinin toplamı kaçtır? A) –4

5.

B) –2

A) 14

C) 1

D) 5

10.

denklemini sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır? B) 4

C) 3

D) 2

C) 12

D) 10

E) 7

E) 8

x . |x – 1| = 2

A) 6

B) 13

E) –2

|x – 4| + |x| = 8 denklemini sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır? A) 2

152

B) 4

C) 5

D) 6

E) 10

Çözümler

YGS Matematik

Mutlak Değer

1. a > 0 ve b < 0 olduğundan, b – a < 0 ve

4. |x – 2| = |2x – 7| ⇒ x – 2 = 2x – 7 V x – 2 = –(2x – 7)

2a – b > 0 dır.

^b – ah2 – ^2a – bh2

= |b – a| – |2a – b|

= – (b – a) – (2a – b)

= –b + a – 2a + b

= –a

⇒ x = 5 veya x = 3

bulunur. Köklerin toplamı, 8 dir. Cevap E

Cevap E

5. x ≥ 1 ise; |x – 1| = x – 1 dir. Buna göre,

2. x < |x| ⇒ x < 0 dır.

x.y

x.y x x >x

⇒ y > 1 olur.

Buna göre, verilen ifadelerden; II ve III doğrudur. Cevap B

x . |x – 1| = 2 ⇒ x . (x – 1) = 2

⇒ x2 – x – 2 = 0

⇒ (x – 2) . (x + 1) = 0

⇒ x = 2 veya x = –1 dir.

x ≥ 1 olduğundan, x ≠ –1 kök değildir; x1 = 2 dir.

x < 1 ise; |x – 1| = –x + 1 dir. Buna göre,

x . |x – 1| = 2 ⇒ x . (–x + 1) = 2

⇒ –x2 + x = 2

⇒ x2 – x + 2 = 0

denklemi elde edilir. Bu denklemde

Δ = b2 – 4ac ⇒ Δ = (–1)2 – 4 . 1 . 2 ⇒ Δ = –7 < 0 olduğundan, reel kök yoktur. O hâlde, verilen denklemin reel kökü, x1 = 2 dir. Cevap D

3.

|x – y| = y – x ⇒ x – y ≤ 0 ⇒ x ≤ y dir.

6. |x – 2| < 4 ⇒ –4 < x – 2 < 4

x ≤ y eşitsizliğinin her iki tarafı x ile çarpılarak

x2 < xy elde edilmiştir. O hâlde, x > 0 dır. x2 < xy eşitsizliğinin her iki tarafı pozitif x sayısına bölünürse, eşitsizlik yön değiştirmez;

|y + 1| ≤ 5 ⇒ –5 ≤ y + 1 ≤ 5

x2 < xy ⇒ x < y olur. O hâlde, 0 < x < y dir. Cevap C

⇒ –2 < x < 6 dır.

⇒ –6 ≤ y ≤ 4 tür.

x . y nin değer aralığı; –36 < x . y < 24 tür. Buna göre, x . y nin en küçük tam sayı değeri –35 tir. Cevap B

153

Çözümler

Mutlak Değer

7. |x| ≤ 3 ⇒ –3 ≤ x ≤ 3 tür.

YGS Matematik

10. a. x > 4 için;

–x + y – 3 = 0 ⇒ x = y – 3 tür.

–3 ≤ x ≤ 3 ⇒ –3 ≤ y – 3 ≤ 3

⇒ 2x = 12

⇒ x = 6 olur.

⇒ 0≤ y≤6

dır. 0 ≤ y ≤ 6 olan y tam sayılarının toplamı;

0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 dir.

Cevap B

b.

|x – 4| + |x| = 8 ⇒ x – 4 + x = 8

x > 4 olduğundan, x1 = 6 dır.

0 ≤ x ≤ 4 için; |x – 4| + |x| = 8 ⇒ –x + 4 + x = 8

⇒4≠8

Bu eşitlik yanlış olduğundan 0 ≤ x ≤ 4 için denklemin kökü yoktur.

c.

8. |3 – 2x| > 7

⇒ 3 – 2x < –7 V 3 – 2x > 7

⇒ –2x < –10

⇒ x > 5 veya x < –2

V –2x > 4

|x – 4| + |x| = 8 ⇒ –x + 4 – x = 8

⇒ –2x = 4

⇒ x = –2

olur. x < 0 olduğundan, x2 = –2 dir.

Buna göre, denklemin köklerinin toplamı;

6 – 2 = 4 tür. Cevap B

bulunur. Cevap B

9. 9 < |2x – 7| < 13 ⇒ 9 < –2x + 7 < 13 V 9 < 2x – 7 < 13

⇒ 2 < –2x < 6 veya 16 < 2x < 20

⇒ –1 > x > –3 veya 8 < x < 10

⇒ –3 < x < –1 veya 8 < x < 10

x < 0 için;

olan x tam sayıları; –2 ve 9 dur. Bunların toplamı 7 dir. Cevap E

154

BİRİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER

YGS

14. BÖLÜM

MATEMATİK

Örnek

BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER

a ≠ 0; a, b ∈R olmak üzere, ax + b = 0 denklemine birinci

x 2x + 7 − = 4 denkleminde x kaçtır? 2 3

dereceden bir bilinmeyenli denklem denir.

A) –42

b b olur. − a sayısı denkleminin köküdür. a b Denklemin çözüm kümesi; Ç = %− a / dır. ax + b = 0 ⇒ x = −

(2m - 3) x - 10 = 0 denkleminin kökü x = 2 olduğuna göre, m kaçtır? C) 3

D) 4

(2 )

E) –20

(6 )

⇒ 3x – 4x – 14 = 24

⇒ –x = 24 + 14

⇒ –x = 38

⇒ x = –38 bulunur.

E) 5

Cevap: B

Çözüm

Örnek

Denklemin kökü denklemi sağlayacağından, denklemde x yerine 2 yazarsak;

x x − 1 denkleminde x kaçtır? + 0,1 0,1 1 1 3 A) B) C) 5 2 3

(2m – 3) . 2 – 10 = 0 ⇒ 4m – 6 – 10 = 0

⇒ 4m = 16

⇒ m = 4 bulunur.

5 D) 9

E)

12 19

Çözüm Cevap: D

0, 1 =

1 1 ve 0, 1 = değerleri yerlerine yazılırsa; 10 9

x x−1 x x−1 =3& + + =3 0, 1 0, 1 1 1 10 9

Örnek mx + 7 = 3x + m denkleminde m nin hangi değeri için x tanımsızdır? A) 1

D) –30

3x − 2 (2x + 7) 24 x 2x + 7 4 − ⇒ = = 6 6 2 3 1

Örnek

B) 2

C) –34

Çözüm

(3 )

A) 1

B) –38

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

⇒ 10x + 9(x – 1) = 3

⇒ 10x + 9x – 9 = 3

⇒ 19x = 12 ⇒ x =

12 bulunur. 19 Cevap: E

Çözüm

Örnek

mx + 7 = 3x + m ⇒ mx – 3x = m – 7

⇒ x(m – 3) = m – 7

⇒x=

1 1− x = 3 denkleminde x kaçtır? 1 1+ x

m−7 m−3

A) –3

bulunur. Buna göre, m = 3 için x tanımsız olur.

B) –2

C) –1

1 D) − 2

E) −

3 2

(2008 ÖSS)

Cevap: C

155

Birinci Dereceden Denklemler

YGS Matematik

a 2) = a1

Çözüm 1 x = 3 &1 − 1 = 3 + 3 x x 1 1+ x 1−

3 1 ⇒1–3= x+x

4 ⇒ – 2 = x & x = − 2 bulunur.

b = b1

c c1

ise

denklem sisteminin çözüm kümesi sonsuz elemanlıdır.

3)

a b ise ! a1 b1

denklem sisteminin tek çözümü vardır.

Cevap: B 4) 6x, y ! R i in

Örnek 1 1 − 3a = + 3b olduğuna göre a + b toplam kaçtır? 8 2 3 5 1 5 4 B) C) D) E) A) 4 6 8 8 9

a.x + b.y + c = 0 ise

a = 0, b = 0, c = 0 olmalıdır.

(2010 YGS)

Çözüm

Örnek

1 1 1 1 − 3a = + 3b & − = 3a + 3b 2 8 2 8

x + 2y = 6

(4)

&

3 1 bulunur. = 3 (a + b) & a + b = 8 8

x – 2y = 10 Cevap: C

ax + y = 7 denklem sisteminin çözüm kümesi bir elemanlı ise a kaçtır?

BİRİNCİ DERECEDEN İKİ BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER

Çözüm

a, b, c ∈ R, x ve y bilinmeyenler olmak üzere ax + by + c = 0 biçimindeki denklemlere birinci dereceden iki bilinmeyenli

x + 2y = 6 ve x –2y = 10 denklemlerini ortak çözerek x ve y

denklem denir.

değerlerini bulalım.

Denklemi sağlayan x ve y değerlerine bu denklemin kökleri

x + 2y = 6 + x − 2y = 10

denir.

2x = 16 ise x = 8 olur.

a, b, c, a1, b1, c1 ∈ R olmak üzere

x + 2y = 6 eşitliğinde x = 8 yazılırsa

a.x+b.y+c=0

8 + 2y = 6 ise y = –1 olur.

a1x + b1y + c1 = 0

denklem sisteminin çözüm kümesi bir elemanlı ise

şeklindeki denklemlere birinci dereceden iki bilinmeyenli

x = 8 ve y = –1 değerleri

denklem sistemi denir.

ax + y = 7 denklemini de sağlamalıdır.

1)

a b c = ! a1 b1 c1

denklem sisteminin çözüm kümesi boş kümedir.

ise

a.8 – 1 = 7 ise a = 1 bulunur.

156

YGS Matematik


Örnek

Örnek

x y − =0 4 3

ax – 3y + 5 = 0

3x + 4y = 48 denklem sistemini sağlayan x değeri kaçtır?

(a + 1)x – 2y + 11 = 0

A) –12

denklem sisteminin çözüm kümesi boş küme ise a kaçtır?

B) –8

C) 4

D) 8

E) 12

Çözüm Çözüm

x y x y − =0& = 4 3 4 3

ax – 3y + 5 = 0

⇒ 3x = 4y dir.

(a + 1)x – 2y + 11 = 0 denklem sisteminin çözüm kümesinin boş küme olabilmesi için

3x +4y = 48 ⇒ 3x + 3x = 48 3x

−3 a 5 olmalıdır. = ] a + 1 − 2 11

⇒ 6x = 48

⇒ x = 8 bulunur.

a 3 = ise a+1 2

Cevap: D

2a = 3a + 3 den a = –3 bulunur.

Örnek a, b, x ve y pozitif birer sayı olmak üzere,

Örnek

x b a.y =2 a2 b2 + = 20 x2 y2

(3a – b + 5)x + (a + b + 11)y = 0 denklemi ∀x, y ∈ R için doğru ise a.b kaçtır?

olduğuna göre, x'in a türünden değeri aşağıdakilerden hangisidir? a A) 2

B)

3a 4

C)

3a 5

D)

4a 5

E)

5a 6

Çözüm

(2010 YGS)

Eşitlik ∀x, y ∈ R için doğru ise

Çözüm

3a – b + 5 = 0 ve a + b + 11 = 0 olmalıdır.

b a x b a . y = 2 ise y = 2. x olur.

4a + 16 = 0 ise a = –4, b = –7 olur.

 2a 2 a b a + = 20 ⇒ +   = 20 x2 y2 x2  x  2

2

&

a 2 4a 2 + = 20 x2 x2

&

5a 2 = 20 x2

2

a.b = (–4) . (–7) den a.b = 28 bulunur.

Örnek

a2 =4 x2 a a & = 2 ve = − 2 x x &

a olur. &x= 2

3x + 2y + 4z = 11 4x + 5y + 3z = 17 ise x + y + z toplamı kaçtır?

Cevap: A

157


YGS Matematik

Birinci Dereceden Üç Bilinmeyenli Denklem

Çözüm

a1x + b1y + c1z + d1 = 0

3x + 2y + 4z = 11 + 4x + 5y + 3z = 17

7x + 7y +7z = 28

7(x + y + z) = 28 den

x + y + z = 4 bulunur.

a2x + b2y + c2z + d2 = 0 a3x + b3y + c3z + d3 = 0 sistemine birinci dereceden üç bilinmeyenli denklem sistemi denir. Bu sistemi çözmek için iki bilinmeyenli denklem sistemlerinde

!

Denklem sistemlerinde bilinmeyen sayısı verilen

olduğu gibi yok etme, yerine koyma, karşılaştırma gibi metot-

denklem sayısından daha fazla veya eşit ise veri-

lar kullanılabilir.

len denklemler taraf tarafa toplanarak veya çıkarılarak istenilen ifade elde edilir.

Örnek x – 3y + 2z = 11

Örnek

3x – 5y + 5z = 9 olduğuna göre, x + y + z kaçtır?

a + 2b – 2c = 4

A) –14

a+b–c=7

B) –13

C) –12

D) –11

E) –10

ise denklem sistemini sağlayan a değeri kaçtır?

Çözüm Çözüm

Birinci denklemi –2 ile genişletelim ve elde edilen denklemleri taraf tarafa toplayalım:

a değeri sorulduğu için b ve c yok edilmelidir. a + 2b − 2c = 4 − 2/ a + b − c = 7

+

–2x + 6y − 4z = − 22 3x − 5y + 5z = 9 x + y + z = − 13

a + 2b − 2c = 4 + − 2a − 2b + 2c = − 14

Cevap: B

–a = –10 ise a = 10 bulunur.

Örnek

BİRİNCİ DERECEDEN ÜÇ BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER

a, b, c ∈ R ve (a, b, c) ≠ (0, 0, 0) olmak üzere;

a−1 c =a b

ax + by + cz + d = 0

a b+3 = c−2 a−1

denklemine, birinci dereceden üç bilinmeyenli denklem

olduğuna göre, 3c – 2b ifadesinin değeri kaçtır?

denir. Bu denklemin çözüm kümesi (x, y, z) üçlerinden oluşur.

A) 8

Denklemi sağlayan bütün (x, y, z) üçlülüleri uzayda bir düzlem

B) 9

C) 6

D) 3

E) 4 (2011 YGS)

belirtir.

158

YGS Matematik


Çözüm

Örnek 3a – 3b + 4c = 7

a –1 c = & b.c = a 2 − a dır. a b

2a – 6b + 8c = 2

a b+3 = & a 2 − a = (c − 2)(b + 3) c−2 a−1


& a 2 − a = b.c + 3c − 2b − 6

& b.c = b.c + 3c − 2b − 6

6 = 3c – 2b bulunur.

A) 3

B) 4

C) 5

D) 6

E) 8 (2002 ÖSS)

Cevap: C

Çözüm 3a – 3b + 4c = 7 2a – 6b + 8c = 2 1. denklemi (–2) ile çarpıp 2. denklemle toplayalım. +

− 6a + 6b − 8c = − 14 2a − 6b + 8c = 2 − 4a = − 12 &

a = 3 bulunur. Cevap: A

Örnek A+B=7 B+C=9

Örnek

C + D = 13 olduğuna göre, A + D toplamı kaçtır? A) 15

B) 14

C) 13

x, y gerçel sayılar ve

D) 12

E) 11

(x – 3)2 + (3y + 48)2 = 0

(2009 ÖSS Mat-1)

olduğuna göre x + y toplamı kaçtır? A) –15

B) –14

C) –13

D) 14

E) 15 (1993 ÖSS)

Çözüm Birinci ve ikinci denklem taraf tarafa çıkarılıp üçüncü denklemle toplanarak bu denklem sistemi çözülebilir. A+B = 7 ⇒ − 1/B + C = 9 A−C =−2 + C + D = 13 A + D = 11

A+B = 7 + −B − C =−9 A − C =−2

Çözüm (x – 3)2 + (3y + 48)2 = 0 denkleminin sağlanması için,

denklemi elde edilir.

x – 3 = 0 ⇒ x = 3 ve 3y + 48 = 0 ⇒ y = –16 olmalıdır. x + y = 3 + (–16) = –13 bulunur.

bulunur.

Cevap: C

Cevap: E

159

Çözümlü Test


1 1 1 + + =1 x−a x−3 x−2

1.

6.

denkleminin köklerinden biri 5 olduğuna göre, a kaçtır?

A) –2

B) –1

YGS Matematik

C) 0

D) 1

E) 2

1 3 − =4 x y 5 2 + = −14 x y

denklem sisteminde y kaçtır? A) –3

2.

I. 3x – 5 = 8 – x

II. 4x = 13

Yukarıdaki denklemler özdeştir.

II. denklemi elde etmek için I. denklem üzerinde aşa

7.

ğıdaki işlemlerden hangisi yapılmalıdır?

A) İki yanına x + 5 eklenmelidir.

D) -

C) –1

1 3

E) -

1 2

x+y = 2 y+z = 3 z+x = 5

olduğuna göre x + y + z toplamının değeri kaçtır? A) 5

B) İki yanına x – 5 eklenmelidir.

B) –2

B) 7

C) 8

D) 10

E) 12

C) İki yanına 5 – x eklenmelidir. D) Sol yanına x, sağ yanına 5 eklenmelidir. E) Sol yanına –x, sağ yanına –5 eklenmelidir.

8.

+

a

a b

3.

2 − 3x x − 3 − =3 6 3

olduğuna göre, x kaçtır? A) –2

4.

3−

B) –1

4−

1 C) − 2

1 D) − 3

E) −

C) – 81

D) – 72

5.

A) 5

9.

E) – 64

A) 3

sisteminin çözüm kümesini bulunuz?

D) {(–3, 2)}

C) {(–2, 1)}

160

C) 7

D) 8

E) 9

4x + 5y + 6z = 14 x + 2y + 3z = 5

B) 2

C) 1

1 D) 3

E) 0

1 1 + =1 x y 1 1 + =2 x z 1 1 + =7 y z

olduğuna göre, y kaçtır? A) 3

E) {(0, –2)}

B) 6

olduğuna göre, x + y + z toplamı kaçtır?

x + 3y = –7

B) {(–1, 2)}

11

Buna göre, a kaçtır?

3x – 4y = 5

A) {(–1, –2)}

13

10.

14

Yukarıdaki toplama tablosunda a, b ve c birer pozitif tamsayıyı göstermektedir.

A) –100 B) –93

c

1 4

x−3 2 7 = 1 denkleminde x kaçtır? 5

b

B) 2

C) 1

D)

1 2

E)

1 3

Çözümler

YGS Matematik

1. Denklemin köklerinden biri 5 olduğuna göre, 5 denklemi


4.

sağlamalıdır:

1 1 1 1 1 1 + + =1& + + =1 5−a 5−3 5−2 5−a 2 3

3−

4−

x−3 x−3 2 4− 2 7 = 1 ⇒ 3−1 = 7 5 5 x−3 2 7

&

1 5 + =1 5−a 6

⇒ 5.2 = 4 −

&

1 1 = 5−a 6

⇒

& 5−a = 6

⇒ x − 3 = 2 . (− 42)

& a = − 1 bulunur.

⇒ x − 3 = − 84

⇒ x = − 81

Cevap: B

x−3 = 7 . (− 6) 2

Cevap: C

2. I. denklemin her iki yanına x + 5 eklenirse ikinci denklem elde edilir. Cevap: A

5.

3x − 4y = 5 − 3. (x + 3y) = − 3. (− 7) 3x − 4y = 5 − 3x − 9y = 21

elde edilir. Bu iki denklem taraf tarafa toplanırsa x değişkeni yok olacaktır:

3x − 4y = 5 + − 3x − 9y = 21 − 13y = 26 ⇒ y = –2 bulunur.

Bu değer, denklemlerden herhangi birinde yerine yazılarak x bulunur:

3.

2 − 3x − 2 (x − 3) 2 − 3x x − 3 − =3& =3 6 6 3 (1)

(2)

& 2 − 3x − 2x + 6 = 18 & − 5x + 8 = 18 & − 5x = 10 & x = − 2 bulunur.

x + 3y = –7 ⇒ x + 3 . (–2) = –7

⇒ x – 6 = –7

⇒ x = –1 dir.

Buna göre, çözüm kümesi; Ç = {(–1, –2)} dir. Cevap: A

Cevap: A

161

Çözümler


6. Birinci denklemin her iki yanını –5 ile çarpıp denklemleri

9. İkinci denklemin her iki yanını –1 ile çarpalım ve iki

taraf tarafa toplayalım?

denklemi toplayalım:

5 15 = − 20 − + x y & 5 2 + = –14 x y &

YGS Matematik

4x + 5y + 6z = 14 15 2 + = –34 y y

17 y = –34 1 & y = − bulunur. 2

+

–x – 2y – 3z = –5 3x + 3y + 3z = 9

olur. Buradan, x + y + z = 3 bulunur. Cevap: A

Cevap: E

7. Üç denklem taraf tarafa toplanırsa;

10. Birinci ve üçüncü denklemleri taraf tarafa toplarsak;

1 1 1 1 2 1 1 x + y + y + z =8& y + x + z =8 2 & y + 2 = 8 2 & y =6 1 &y= 3

2x + 2y + 2z = 10

bulunur. Buradan, x + y + z = 5 olur. Cevap: A

bulunur. Cevap: E

8. Tablodan;

a + b = 14

a + c = 13

b + c = 11

denklemleri yazılabilir. Birinci ve ikinci denklemler taraf tarafa toplanırsa;

elde edilir. b + c = 11 olduğundan,

2a + b + c = 27

2a + 11 = 27 ⇒ a = 8

bulunur. Cevap: D

162

PROBLEMLER

YGS MATEMATİK

15. BÖLÜM

*

Bir sayının 15 katının karesi: (15x)2

*

Bir sayının karesinin 17 fazlası: x2 + 17

Problemler, bu kitapta da yapıldığı gibi pek çok başlık altında

*

Bir sayının 17 fazlasının karesi: (x + 17)2

incelenebilir. Genellikle problemler için üç adım söz konusu

*

İki sayının toplamı: x + y

*

İki sayının farkı: x – y

*

İki sayının çarpımı: x.y

*

x İki sayının oranı: y

*

İki sayının karelerinin toplamı: x2 + y2

Bu nedenle herhangi bir problemin çözümü yapılırken prob

*

İki sayının toplamının karesi: (x + y)2

lem anlaşılana kadar okunmalıdır. Sonra problem matematik

*

İki sayının karelerinin farkı: x2 – y2

*

İki sayının farkının karesi: (x – y)2

da yeterinden çok değişken seçilmemelidir.

*

İki sayının çarpımının 15 fazlası: x.y +15

Bu konuda, aşağıda verilen örnekler çoğaltılabilir. Bu örnek

*

Bir sayının 15 fazlasının başka bir sayının 12 katına oranı:

DÖRT İŞLEM PROBLEMLERİ

dur: 1. Problemi anlamak 2. Problemi matematik diline çevirmek 3. Elde edilen denklem, denklem sistemi veya eşitsizliği çözmek

diline çevrilmelidir. Matematik diline çevirirken kullanılacak değişken ya da değişkenler iyi seçilmelidir. Yeterinden az, ya

x + 15 12y

leri inceleyiniz, başka değişkenler kullanarak yeniden ifade ediniz. *

Bir sayının 17 fazlası : x + 17

*

Bir sayının 17 eksiği : x – 17

*

Bir sayının 17 katı : 17.x

*

Bir sayının 17 de biri :

*

3 3x Bir sayının si : 17 17

*

Bir sayının 17 de 3 ü:

*

x+y x–y

*

İki sayının toplamının farkına oranı:

*

Bir sayının 5 fazlası ile başka bir sayının 3 eksiğinin çar pımı: (x + 5 ).(y – 3)

*

Bir sayının 5 fazlasının sayının 7 eksiğine oranı:

*

Bir sayının karesi ile sayının 12 katının toplamı:

x2 + 12x

*

Ardışık iki sayının toplamı: x + (x + 1)

Bir sayının 17 katının 15 fazlası : 17x + 15

*

Ardışık üç sayının toplamı: x + (x + 1) + (x + 2)

*

Bir sayının 17 katının 15 eksiği : 17x – 15

*

Ardışık üç sayının toplamı: (x – 1) + x + (x + 1)

*

Bir sayının 15 fazlasının 17 katı: 17.(x + 15)

*

Ardışık iki çift sayının toplamı: x + (x + 2)

*

Bir sayının 15 eksiğinin 17 katı: 17.(x – 15)

*

Ardışık iki tek sayının toplamı: x + (x + 2)

*

Bir sayının karesi : x2

*

Ardışık üç çift ya da tek sayının toplamı:

*

Bir sayının küpü: x3

x + (x + 2) + (x + 4)

*

Bir sayının karesinin 15 katı: 15x2

*

Ardışık iki sayının kareleri toplamı: x2 + (x + 1)2

x 17

3x 17

163

x+5 x–7

Karmaşık Sayılar Sayı ve Kesir Problemleri

YGS Matematik

Örnek

SAYI VE KESİR PROBLEMLERİ

Bir hamal 4 büyük ve 9 küçük koliyi ya da 8 büyük ve 3 küçük

Örnek

koliyi aynı anda taşıyabilmektedir. Bu hamal küçük kolilerden en çok kaç tane taşıyabilir?

Hangi sayının 27 fazlasının 11 katı 440 tır? A) 10

B) 11

C) 12

D) 13

A) 10

E) 14

B) 12

C) 13

D) 14

Çözüm

Çözüm

Bir büyük kolinin ağırlığı = b, bir küçük kolinin ağırlığı = k olsun.

Sayı x olsun. Sayının 27 fazlası x + 27 dir.

4 büyük ve 9 küçük kolinin ağırlığı ile 8 büyük ve 3 küçük ko linin ağırlığı eşit olduğuna göre,

Sayının 27 fazlasının 11 katı 11 . (x + 27) dir. Buna göre,

4b + 9k = 8b + 3k ⇒2b = 3k

11 . (x + 27) = 440 ⇒x + 27 = 40

elde edilir.

⇒ x = 13 bulunur.

Buna göre, 4b + 9k = 2 . 3k + 9k = 15k olur.

Cevap: D

Örnek

O hâlde, hamal küçük kolilerden en fazla 15 tane taşıyabilir. Cevap: E

Hangi sayının 11 katının 27 fazlası 170 tir? A) 10

E) 15

B) 11

C) 12

D) 13

E) 16

Çözüm Sayı x olsun. Sayının 11 katı 11 . x tir. Sayının 11 katının 27 fazlası 11x + 27 dir.

Örnek

Buna göre,

Bir sınıfta öğrenciler sıralara üçer üçer oturursa 5 sıra, dörder

11x + 27 = 170 ⇒ 11x = 143

dörder oturursa 9 sıra boş kalıyor.

Bu sınıftaki sıra ve öğrenci sayısını bulunuz.

⇒ x = 13 bulunur. Cevap: D

Örnek

Çözüm

Hangi sayının 15 fazlasının yarısı ile nın 4 fazlasına eşittir? A) 20

B) 25

C) 30

2 inin toplamı, sayı 5 D) 35

Sınıftaki sıra sayısı s olsun. Öğrenciler sıralara üçer üçer oturduğunda 5 sıra boş kaldı

E) 40

ğına göre, öğrenci sayısı = (s – 5) . 3 tür.

Çözüm Sayı x olsun. Sayının 15 fazlasının yarısı

Aynı biçimde, öğrenciler sıralara dörder dörder oturduğunda 9 sıra boş kaldığına göre,

x + 15 ve sayının 2

öğrenci sayısı = (s – 9) . 4 tür.

2 2x x + 15 2x olduğundan, i + = x + 4 denklemi kurulabilir. 5 5 5 2

(s – 5) . 3 = (s – 9) . 4 ⇒ s = 21 olur.

Bu denklemin çözümünden, x = 35 bulunur.

Öğrenci sayısı ise, (21 – 5) . 3 = 48 dir.

Cevap: D

164


YGS Matematik

Çözüm

Örnek 50 kişinin bulunduğu bir topluluğa 5 evli çift (karı–koca) gelir

Sayı x olsun

se topluluktaki erkeklerin sayısı bayanların sayısının 3 katı

2 2 Sayının 3 eksiği x – 3 tür. 3 eksiğinin ü ^x − 3h. olur.Sayı3 3 nın 5 eksiği x – 5'tir.

olacaktır. Topluluktaki bayan ve erkeklerin sayısını bulunuz.

(x − 3).

2 = x−5 3

2x – 6 = 3x – 15

Çözüm

–6 + 15 = 3x – 2x Toplulukta x tane bayan olsun. Buna göre erkek sayısı 50 – x

x = 9 bulunur.

tir. Topluluğa 5 evli çift geldiğinde bayanların sayısı x + 5, er-

Cevap: D

keklerin sayısı (50 – x) + 5 Buna göre,

Örnek

(50 – x) + 5 = 3 . (x + 5) ⇒ 55 – x = 3x + 15 ⇒ 40 = 4x ⇒ x = 10 bulunur.

Bir tüccar, tanesi 45 ¨'den belirli sayıda gömlek satın alıyor.

O hâlde, toplulukta 10 bayan, 40 erkek vardır.

Kendisine verilen faturada, ödenen miktarın ilk ve son rakamları silik çıktığı için bu tutarın yalnızca • 92 • biçiminde

Örnek

dört basamaklı bir sayı olduğunu okunabilir. Tüccarın tek sayıda gömlek aldığı bilindiğine göre, silik

Pay ve paydasının toplamı 34 olan bir kesrin pay ve 1 paydasına 4 eklenirse kesrin değeri oluyor. Bu kesir 2 aşağıdakilerden hangisine eşittir? A)

4 30

10 24

B)

C)

12 22

D)

14 20

E)

çıkan iki rakamın toplamı kaçtır? A) 6

B) 7

C) 8

D) 9

15 19

(2007 ÖSS Mat 1)

Çözüm

Çözüm

Tek sayı ile 45 in çarpımından elde edilen sayının birler bal-

Kesrin payına x dersek paydası 34 – x olur.

samağı 5 olur. O hâlde, • 92 • tutarınının birler basağı 5 tir. •

1 Kesrin payına ve paydasına 4 eklendiğinde kesrin değeri 2 olduğuna göre,

925 dört basamaklı sayısı 45 in katı olduğu için 5 ve 9 ile tam bölünür. Birler basamağı 5 olduğu için 5 ile tam bölünür. 9'un

x+4 1 = & 2x + 8 = 34 − x + 4 (34 − x) + 4 2

katı olması gerektiğinden binler basamağı 2 olmalıdır.

& 3x = 30

Buna göre, silik çıkan iki rakamın toplamı

& x = 10 dur.

2 + 5 = 7 dir.

Buna göre, kesir,

E) 12

Cevap: B

10 tür. 24 Cevap: B

Örnek

Örnek Dört kardeş 114 ¨'yi paylaşıyor. Bu paylaşmada birinci kardeş 2 Hangi sayının 3 eksiğinin ü aynı sayının 5 eksiğine 3 eşittir?

ikinciden 1 ¨, ikinci üçüncüden 2 ¨, üçüncü dördüncüden 3 ¨

A) 6

Buna göre, en fazla para alan kaç ¨ almıştır?

B) 7

C) 8

D) 9

fazla alıyor.

E) 12 (2006 ÖSS)

A) 27

165

B) 28

C) 29

D) 31

E) 38


YGS Matematik

Çözüm 1. Kardeş

Çözüm

2. Kardeş 3. Kardeş 4. Kardeş

x + 1

x

x–2

Doktor sayısı x olsun. Her doktora 50 hasta düştüğü için hasta sayısı 50.x olur. Bir hemşireye de 25 hasta düştüğü için

x–5

Hasta say›s› 50x = = 2x olur. 25 25

Dört kardeş 114 ¨'yi paylaştıkları için,

Hem = flire say›s›

x+1 + x + x–2 + x–5 = 114

(Doktor + (Hemşire) + (Hasta) = 318

4x = 120

⇒

x + 2x + 50 x = 318

x = 30¨

⇒

53x = 318

⇒

En fazla parayı 1. kardeş aldığına göre

x = 6 doktor vardır. Cevap: E

x + 1 = 31 ¨ almıştır. Cevap: D

Örnek k ≥ 4 olmak üzere, x ¨ para, k kişi yerine k –3 kişiye eşit

Örnek

olarak dağıtılırsa her kişiye kaç ¨ fazla para düşer? 1 defter ve 1 kalemin fiyat 5 ¨, 3 defter ve 2 kalemin fiyat

A)

14 ¨ olduğuna göre, bir defterin fiyatı kaç ¨ dir? A) 2

B) 2,5

C) 3

D) 3,5

x k (k + 3)

D)

E) 4

B)

2x k (k + 3)

2x k (k − 3)

C) E)

x k (k − 3)

3x k (k − 3) (2008 - ÖSS Mat 1)

Çözüm

Çözüm

x x ¨ k kişiye dağılırsa kişi başına ¨, k – 3 kişiye dağılırsa kişi k x başına ¨ para düşer. Aradaki fark ise k−3

1 defterin fiyatı d ve 1 kalemin fiyatı k olsun. d + k = 5 ve 3d + 2k = 14 denklemleri ortak çözülürse

x.k − x.(k − 3) x x − = k.(k − 3) k−3 k

− 2d − 2k = − 10 − 2/d + k = 5 1 & + 3d + 2k = 14 3d + 2d = 14

(k)

d = 4 ¨ bulunur.

Cevap: E

(k − 3)

=

x.k − x.k + 3x k.(k − 3)

=

3x ¨ olur. k.(k − 3) Cevap: E

Örnek

Örnek

Bir pantolonu 50 ¨, bir gömleği ise 30 ¨'ye satan bir mağaza

Bir poliklinikte bir doktora 50 hasta, bir hemşireye de 25 hasta

her bir pantolon ya da gömlek alana bir adet mendil hediye

düşmektedir.

etmektedir.

Bu poliklinikteki doktor, hemşire ve hasta sayılarının

Buna göre, toplam 310 ¨'lik pantolon ve gömlek alan bir

toplamı 318 olduğuna göre, doktor sayısı kaçtır? A) 2

B) 3

C) 4

D) 5

müşteri en fazla kaç hediye mendil alabilir?

E) 6

A) 7

(2008 ÖSS Mat 1)

B) 8

C) 9

D) 10

E) 11

(2009 ÖSS Mat 1)

166


YGS Matematik

Çözüm

Çözüm

Pantolon sayısı p, gömlek sayısı g olsun.

İsmail, kumbarasına 1. günde

50.p + 30.g = 310

5 Kr + 10 Kr + 25 Kr + 50 Kr + 1¨ = 1,9 ¨ atmıştır.

⇒ 5.p + 3.g = 31 olur.

1. gün 1,9 ¨

Mendil sayısının en çok olması için gömleklerin sayısının pantolon sayısından daha fazla olması gerekir.

2. gün

2 . 1,9 ¨

3. gün

3 . 1,9 ¨

g = 7 ve p = 2 bu denklemi sağlayan sayılardır.

4. gün 4 . 1,9 ¨ . . . . . . n. gün n . 1,9 ¨ + ____________

Bu durumda, 7 + 2 = 9 tane mendil alabilir.

Cevap: C

Örnek Bir manav, limonları, her birinde 12 limon bulunan filelerle almış ve üçer üçer satmıştır. Manav bir file limonu 5 ¨'ye almış ve 3 adet limonu 2 ¨'ye satmıştır. Bu manav 4 file limonun satışından kaç ¨ kâr elde etmiştir? A) 6

B) 8

C) 9

D) 10

1,9.( 114+424+43 2 + 44+4...44 + n3) = 104,5

n.(n + 1) 104, 5 = 2 1, 9

n (n + 1) = 55 2

n(n + 1) = 110

n(n + 1) = 10.11

n = 10 bulunur.

Cevap: A

Örnek

E) 12 (2010 YGS)

Alanı 12 metre kare olan bir duvar, kısa kenarı 10 cm, uzunkenarı 20 cm olan dikdörtgen biçimindeki fayanslarla kaplanmak isteniyor. Bu işi yapacak usta, fayansların kısa kenar uzunluğunu yanlış anlıyor ve kaplama işi için kullanması gerekenden 100 adet az fayans kullanarak duvarı kaplıyor.

Çözüm 1 file limon 5 ¨'ye alındığına göre 4 file limonun maliyeti

Buna göre, ustanın kullandığı fayansların kısa kenarı kaç cm'dir?

4 . 5 = 20 ¨'dir. 4 filede 4.12 = 48 tane limon vardır.

A) 12

B)14

C) 15

D) 16

3 limonu 2 ¨'ye sattığına göre

Elde edilen kâr ise

Usta hata yapmasaydı kullanması gereken fayans sayısı Duvar›n alan› 12 m 2 12 m 2 = = Bir fayans alan› 10 cm . 20 cm 0, 1m . 0, 2m

32 –20 = 12 ¨'dir. Cevap: E

Örnek İsmail, kumbarasına 1. gün 5 Kr, 10 Kr, 25 Kr, 50 Kr ve 1 ¨

=

= 600 adettir.

600 − 100 =

iki adet ve benzer biçimde devam ederek n. gün her birinden n adet atmıştır.

500 =

İsmail kumbarasında 104,5 ¨ biriktirdiğine göre, n kaçtır? B) 11

C) 12

D) 13

12 m 2 0, 02 m 2

Ustanın yanlış anladığı kısa kenar uzunluğu x cm ise

madenî paralarının her birinden bir adet, 2. gün her birinden

A) 10

(2011 YGS)

Çözüm

48 limonu 32 ¨'ye satar.

E) 18

12m 2 xcm.20cm

12m 2 0, 0xm.0, 2m

xm . 1m = 12 m2

E) 14

x = 12 bulunur. Cevap: A

(2011 YGS)

167

Çözümlü Test - I

Sayı ve Kesir Problemleri

6. 700 paket eşya, araba veya hamalla taşınacaktır. En

1. Bir sayının 15 i ile aynı sayını 38 inin toplamı 23 ise bu

çok 60 paket götürebilen araba her gidiş için 80 lira en

sayı kaçtır? A) 23

B) 28

YGS Matematik

çok 20 paket götürebilen hamal ise her gidiş için 30 lira C) 32

D) 36

E) 40

almaktadır.

Eşyanın tümü en az kaç liraya taşıtılabilir? A) 880

B) 940

C) 960

D) 1050 E) 1120

2. Bir paranın önce 14 ünü, sonra kalanın 13 ünü har cayınca geriye 8100 lira kaldığına göre, bu paranın tümü kaç liradır? A) 12150

7. Bir salonda 36 erkek ve 10 kadın vardır. B) 14600

D) 18300

C) 16200

E) 20550

Bu salona kaç evli çift (karı - koca) gelirse erkek sa yısı kadın sayısının 3 katı olur? A) 2

3. Bir sınıftaki öğrencilerin 25 inin 2 fazlası kız öğrencidir.

C) 16

D) 14

E) 12

C) 49

D) 56

E) 63

5. Bir adam borcunun önce 15 ini ve sonra da kalan borcu

İlk durumda varilde kaç kova su vardır? B) 6

C) 5

D) 3

E) 2

15 bilyesini arkadaşı Çetin’e verirse ikisinin bilyeleri eşit oluyor.

Geriye 400 lira borcu kaldığına göre ilk ödediği mik tar kaç liradır? B) 75

E) 875

10. İki arkadaştan Kaya’nın 75 bilyesi vardır. Eğer Kaya,

1 ini ödüyor. 5

A) 50

D) 750

su eklenirse varilde a litre su oluyor. Varilden bir kova su a litre su kalıyor. 3

A) 7

nun

C) 625

alınırsa varilde

Bu telin tamamı kaç cm dir? B) 42

B) 600

9. Bir varilin içinde belli miktarda su vardır. Varile bir kova

tası eski durumdan 3 cm kayıyor.

A) 35

E) 6

Buna göre, yolun uzunluğu kaç metredir? A) 500

4. Bir parça telin ucundan telin 17 si kesilirse, telin orta nok

D) 5

daha koşunca yolun yarısına geliyor.

lerin sayısı kaçtır? B) 18

C) 4

8. Bir atlet belli bir yolun 13 ünü koşuyor, sonra 125 metre

Sınıfta 22 erkek öğrenci olduğuna göre, kız öğrenci

A) 20

B) 3

C) 100

D) 120

Çetin’in 15 bilyeyi almadan önce kaç bilyesi vardı? A) 30

E) 125

168

B) 35

C) 38

D) 40

E) 45

Çözümler - I

YGS Matematik

1.


6. Hamal 60 paketi 90 liraya taşıdığı için eşyayı araba ile

x 3x + = 23 & x = 40 5 8

taşıtmak daha kârlıdır. 700 paket eşyanın 660 paketi 11 seferde araba ile gönderilir. Geri kalan 40 paketi araba ile gönderilse 80 lira, hamal ile gönderilse 60 lira verile cek. Buna göre, eşyanın tümü, en az, 11 . 80 + 60 = 940 liraya taşıtılabilir.

Cevap: E

Cevap: B

2.

x 3x 1 + c . m + 8100 = x & x = 16200 4 4 3

7. Salona x tane evli çift gelirse erkek ve bayan sayıları x

Cevap: C

er artar. Buna göre,

36 + x = (10 + x) . 3 ⇒ x = 3 bulunur. Cevap: B

3. Sınıftaki kız öğrenci sayısı K olsun.

(22 + K).2 + 2 = K & K = 18 5

bulunur.

8. Cevap: B

Cevap: D

9. Varilde n kova su olsun. Buna göre, n + 1 kova su a

4. Telin tamamı x cm olsun.

x x + 125 = & x = 750 m bulunur. 3 2

a litre ve n – 1 kova su litredir. O hâlde, 2 kova su 3 a 2a a litredir. 1 kova su litre olur. a− = 3 3 3

x 7 + 3 = x & x = 42cm 2 2

x−

bulunur. Cevap: B

n + 1 kova su a litre olduğundan,

n + 1 = 3 ⇒ n = 2 dir.

Cevap: E

5. Adamın borcu x lira olsun. 5x + c 45x . 15 m + 400 = x & x = 625

liradır. İlk ödediği miktar,

10. Çetin’in bilye sayısı Ç olsun.

625 = 125 liradır. 5

Cevap: E

169

75 – 15 = Ç + 15 ⇒ Ç = 45

bulunur.

Cevap: E

Çözümlü Test - II


1. Bir merdivenin basamaklarını ikişer ikişer çıkıp, üçer

6. Bir benzin tankının içinde bir miktar benzin vardır. Tanka

5 300 litre benzin ilava edilirse tankın u doluyor. Oysa 9 tanka benzin konmayıp tanktan 100 litre benzin boşaltı 1 lırsa tankın u dolu olarak kalıyor. 9

üçer inen bir kişinin, çıkarken attığı adım sayısı inerken attığı adım sayısından 6 fazladır.

Buna göre, merdiven kaç basamaklıdır? A) 18

B) 30

C) 36

D) 42

E) 54

Buna göre, tankın tamamı kaç litre benzin alır? A) 500

2. Bir bidonun ağırlığı boş iken x gram, yarısı su ile dolu

B) 2x – y D) y – 2x

C) 2x + y

E) y + x

Kuyrukta 81 kişi olduğuna göre, Ali baştan kaçıncı kişidir? B) 30

C) 32

D) 33

E) 34

D) 14

E) 15

C) 22

D) 24

D) 3b – 2a

E) 135

Buna göre, deponun tamamı kaç ton mazot alır? A) 110

B) 113

C) 119

D) 124

E) 127

10. Kırtasiyeciden 2 silgi, 3 kalem, 4 defter alan bir kimse, toplam 16 ¨ ödemiştir.

Buna göre, boş sürahinin ağırlığı kaç gramdır? B) 2a – b

D) 134

E) 26

tılınca, sürahinin ağırlığı b gram olmaktadır.

A) a – 2b

C) 132

1 mazotun ü kullanıldığında, geriye 51 ton mazot kal 4 mıştır.

30 soruya cevap veren bir yarışmacı 300 puan ka zandığına göre, doğru cevaplarının sayısı kaçtır? B) 20

B) 129

9. Bir deponun 47 si mazot doludur. Bu depoda bulunan

5. Su dolu bir sürahinin ağırlığı a gramdır. Suyun 13 ü boşal

C) 13

1 ünü okuduğuna Serap 3. günün sonunda kitabın 3 göre, kitap kaç sayfadır? A) 126

doğru cevaptan 40 puan kazanıyor, her yanlış cevaptan 50 puan kaybediyor.

A) 18

B) 12

okuyarak 6 günde bitiriyor.

4. Bir bilgi yarışmasında, kurallara göre, yarışmacılar her

E) 900

8. Serap bir kitabı her gün bir önceki günden 5 sayfa fazla

sıradadır.

A) 28

D) 800

Buna göre, tüm çocukların sayısı kaçtır? A) 11

3. Ali bir bilet kuyruğunda baştan n. sırada, sondan (2n – 2).

C) 700

paylaştırmak istiyor. Çocuklardan 4 ü kendi paylarından vazgeçiyor ve para diğer çocuklar arasında eşit olarak paylaştırılıyor. Bu durumda, para alan çocuklar önceki ne göre 3 er lira daha fazla alıyorlar.

Bu bidonun tamamı su ile dolu iken toplam ağırlığı aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) 2y – x

B) 600

7. Bir adam 72 lirayı mahalledeki çocuklara eşit olarak

iken y gramdır.

YGS Matematik

C) 2b – a E) 3b – a

Bir kalemin fiyatı bir silginin fiyatının 2 katı, bir def terin fiyatı da bir kalemin fiyatının 4 katı olduğuna göre, bir silginin fiyatı kaç ¨'dir? A) 0,3

170

B) 0,4

C) 0,5

D) 0,6

E) 0,7

Çözümler - II

YGS Matematik

5. Suyun üçte biri a – b gramdır. O hâlde, dolu sürahideki

1. Basamak sayısı B olsun.

su miktarı 3 . (a – b) gramdır.

B B = + 6 & B = 36 d›r. 2 3

Cevap: C


Buna göre, boş sürahi;

a – 3 . (a – b) = 3b – 2a gramdır. Cevap: D

2. Bidonun yarısının aldığı su y – x gramdır.

Buna göre, su dolu bidonun ağırlığı;

6. Tankın tamamı T litre benzin alsın. Tankın içindeki ben

x + 2 . (y – x) = 2y – x gramdır.

zin miktarı da x litre olsun.

Cevap: A

5T 9 T x − 100 = 9 x + 300 =

denklem sisteminden, T = 900 litre bulunur. Cevap: E

3. Bu kuyrukta Ali’den önce n – 1 kişi, Ali’den sonra 2n – 3 kişi vardır. Buna göre,

(n – 1) + 1 + (2n – 3) = 81 ⇒ n = 28

7. Çocukların sayısı n olsun.

dir. Ali, baştan 28. kişidir.

Cevap: A

72 72 72 72 n +3 = n−4 & n − 4 − n = 3 (n)

4. Doğru cevapların sayısı D olsun.

D . 40 – (30 – D) . 50 = 300 ⇒ D = 20 dir.

&

(n − 4)

72n − 72n + 72 . 4 = 3 n . (n − 4)

⇒ 3 . n . (n – 4) = 72 . 4

⇒ n . (n – 4) = 96

⇒ n2 . 4n – 96 = 0

⇒ (n – 12) . (n + 8) = 0

⇒ n = 12 veya n = –8

O hâlde çocukların sayısı, 12 dir. Cevap: B

Cevap: B

171

Çözümler

Karmaşık Sayılar

8. Kitabın sayfa sayısı K ve Serap’ın birinci gün okuduğu sayfa sayısı n olsun. K 3

n + (n + 5) + (n + 10) =

n + (n + 5) + (n + 10) + (n + 15) + (n + 20) + ( n + 25) = K

denklemlerinden, K = 135 bulunur. Cevap: E

9.

4x 4x 1 − . = 51 & x = 119 ton 7 7 4 Cevap: C

10. Bir silginin fiyatına x dersek, bir kalemin fiyatı 2x, bir def terin fiyatı 8x olur.

2 . x + 3 . 2x + 4 . 8x = 16 ⇒ x = 0,4

liradır. Cevap: B

172

YGS Matematik

YAŞ PROBLEMLERİ

YGS

16. BÖLÜM

MATEMATİK

Yaş problemleri basit sayı problemleri gibi bir veya iki bilinme

Çözüm

yenli denklemler yardımıyla rahatlıkla çözülebilirler. Yaş prob lemleri ile ilgili aşağıdaki bilgiler soruların çözümünde dikkate

Mehmet’in yaşı m olsun. Yaşları toplamı 26 olduğundan,

alınmalıdır:

Ahmet’in yaşı 26 – m olur.

*

Kişilerin yaşları daima pozitif doğal sayılardır.

Üç yıl önceki yaşları ise m – 3 ve 23 – m dir.

*

Kardeşler farklı yaşlarda olabilecekleri gibi aynı yaşta da

*

* *

Buradan;

olabilirler.

23 – m = 2 . (m – 3) – 1 ⇒ 23 – m = 2m – 7

İki kişinin yaşları arasındaki fark hiç değişmez. Aynı yaşta

⇒ 30 = 3m

olmayan kişilerin yaşlarının oranı ise sürekli değişir.

⇒ m = 10 bulunur.

Doğum tarihi küçük olanın yaşı daha büyüktür.

Cevap: E

İki kişinin doğum tarihleri arasındaki fark, kişilerin yaşları nın farkına eşittir.

Örnek Örnek

Bugün 15 ve 23 yaşlarında olan iki kişinin kaç yıl sonra yaşları toplamının, yaşları farkına oranı 11 olacaktır? A) 15

B) 18

C) 20

D) 22

a yılında x yaşında olan bir çocuk b yılında 2x – 1 yaşında

E) 25

olmuştur. Bu çocuğun annesi a yılında 3x + 9 yaşında iken b yılında ise 5x yaşında olacaktır.

Çözüm

Buna göre, b yılında anne kaç yaşında olacaktır? A) 38

x yıl sonra yaşlarının toplamının, yaşlarının farkına oranı 11

B) 40

C) 42

D) 44

E) 46

olsun.

Çözüm

x yıl sonra kişiler 15 + x ve 23 + x yaşlarında olacaktır. Yaşlarının farkı ise daima 23 – 15 = 8 dir. Buna göre,

Yıllar arasındaki fark, yaşlar arasındaki farka eşittir. Buradan

(15 + x) + (23 + x) = 11 & 38 + 2x = 88 8

b – a = (2x – 1) – x (çocuk için)

& x = 25 bulunur.

b – a = 5x – (3x + 9) (anne için) Cevap: E

denklemleri yazılabilir. Bu iki denklemin sol tarafları eşit oldu ğundan, sağ tarafları da eşittir:

Örnek

(2x – 1) – x = 5x – (3x + 9) ⇒ 2x – 1 – x = 5x – 3x – 9

⇒ x – 1 = 2x – 9

yaşı Mehmet’in yaşının 2 katından 1 eksik idi.

⇒ x = 8 olur.

Buna göre, Mehmet kaç yaşındadır?

Buna göre, b yılında annenin yaşı; 5 . 8 = 40 olacaktır.

Ahmet ile Mehmet’in yaşları toplamı 26 dır. 3 yıl önce Ahmet’in

A) 6

B) 8

C) 10

D) 12

E) 13

Cevap: B

173

Yaş Problemleri

YGS Matematik

Örnek

Örnek

1977 yılında doğan bir matematikçi, yaşını soran bir arkada-

Oya 12 yaşında, Gül x yaşındadır.

şına, "Bugünkü yaşım doğum yılımın rakamlarının toplamına

Gül 3x + 10 yaşına geldiğinde, Oya kaç yaşında olur?

eşit." yanıtını veriyor.

A) x + 10

Buna göre, bu konuşma hangi yılda yapılmıştır? A) 2000

B) 2001

D) 2003

B) x + 14

D) 2x + 10

C) x + 24

E) 2x + 22

C) 2002

(2003 - ÖSS)

Çözüm

E) 2004 (2005-ÖSS)

Çözüm Bugünkü yaşı, doğum yılı olan 1977 nin rakamları toplamına

Oya

eşit ise,

Gül

12

x

↓

↓

12 + 2x + 10 3x + 10

2x + 10 yıl sonra Oya'nın yaşı

1 + 9 + 7 + 7 = 24 tür.

12 + 2x + 10 = 2x + 22 olur.

Konuşma ise,

Cevap: E

1977 + 24 = 2001 yılında geçmiştir. Cevap: B

Örnek

Örnek

Ahmet ve Hasan'ın bugünkü yaşları toplamı 54 tür.

Aslı, Hakan ve Tolga'nın bugünkü yaşları toplamı 72 dir. Aslı, Hakan'ın bugünkü yaşına geldiğinde, Tolga'nın yaşı da

Ahmet, Hasan'ın bugünkü yaşındayken Hasan 18 yaşında

Hakan'ın yaşının iki katı olacaktır.

olduğuna göre, Ahmet bugün kaç yaşındadır? A) 28

Buna göre, Hakan'ın bugünkü yaşı kaçtır? A) 12

B) 16

C) 18

D) 24

x yıl sonra

a

b

↓ a + x Y

Hakan Tolga +

+ c

= 72

Ahmet

a yıl önce

↓ ↓

+ 1b4+4x4 2 + 4c4+4x3 = 72 + 3x

b c + x = 2.(b + x)

E) 34

Çözüm

Aslı

D) 32

(2002 - ÖSS)

Çözüm

Bugünkü yaşları

C) 30

E) 32 (2004 - ÖSS)

B) 29

c = 2b + x

x – a

54 – x – a

yaşı ise

54 –x – a = 18

Cevap: C

↓

yaşı,

b + (b + x) + (2b + x) + x = 72 + 3x

b = 18 olur.

54 – x

Hasan'ın bugünkü

x – a = 54 –x

4b = 72

x ↓

a yıl önce Ahmet'in

x yıl sonraki yaşları toplamı; 4b + 3x = 72 + 3x

Hasan

⇒ ⇒

2x – a = 54 + x + a = 36 ____________

3x = 90

x = 30 olur. Cevap: C

174

Çözümlü Test

YGS Matematik

1. Bir babanın yaşı, üçer yıl ara ile doğmuş 3 çocuğunun

6. Bir annenin yaşı, iki çocuğun yaşları toplamından 19

yaşları toplamına eşittir.

fazladır.

Baba 54 yaşında olduğuna göre, en büyük çocuk doğduğunda babanın yaşı kaçtı? A) 39

B) 36

C) 33

Yaş Problemleri

D) 30

E) 27

Beş yıl önce, bu annenin yaşı iki çocuğun yaşları toplamının 4 katı olduğuna göre, bugün büyük ço cuk en az kaç yaşındadır? A) 8

Buna göre, BA sayısı aşağıdakilerden hangisidir? B) 65

C) 75

D) 85

D) 11

E) 12

dizi oluşturmaktadır.

yaşı, 5 in bir katı olan BA sayısıdır.

A) 55

C) 10

7. Yaşları toplamı 48 olan 6 kardeşin yaşları bir aritmetik

2. Bir adamın yaşı iki basamaklı AB sayısıdır. 18 yıl sonraki

B) 9

En küçük kardeş 3 yaşında olduğuna göre, en büyük kardeşin yaşı kaçtır?

E) 95

A) 9

B) 13

C) 14

D) 15

E) 17

3. Ahmet ile Hasan’ın bugünkü yaşları toplamı 56 dır. Ha

8. Bir ailede iki çocuğun yaşları m ile n, baba ve annenin

san, kendisinden daha yaşlı olan Ahmet’in yaşına geldi ğinde ise yaşları toplamı 88 olacaktır.

yaşları ise sırasıyla ikişer basamaklı mn ile nm sayıları dır.

Buna göre, Ahmet’in bugünkü yaşı kaçtır? A) 18

B) 27

C) 36

D) 45

E) 54

Babanın yaşı annenin yaşından çocukların yaşları toplamı kadar büyük olduğuna göre, babanın yaşı (mn) kaçtır? A) 65

4. Murat ve annesinin bugünkü yaşları oranı 13 tür.

B) 55

C) 50

D) 45

C) 56

D) 54

E) 45

9. Bir babanın yaşı, iki çocuğunun yaşları toplamından 33

3 5 yıl sonra bu oran olacağına göre, Murat ile anne 7 sinin bugünkü yaşları toplamı kaçtır? A) 60

B) 63

büyüktür.

E) 40

3 yıl sonra babanın yaşı, çocukların yaşları toplamı nın 2 katı olacağına göre baba bugün kaç yaşında dır? A) 52

B) 54

C) 55

D) 56

E) 57

5. Bir annenin bugünkü yaşı, kızının yaşının 6 katıdır.

10. Aslı 1984 yılında doğduğunda babası 30 yaşında idi.

Kızı annenin bugünkü yaşına geldiğinde ikisinin yaşları toplamı 85 olacağına göre, annenin bugünkü yaşı kaçtır? A) 24

B) 30

C) 36

D) 42

Kaç yılında babasının yaşı Aslı’nın yaşının karesine eşit olacaktır? A) 1988

E) 48

175

B) 1990 D) 1994

E) 1996

C) 1992

Çözümler

Yaş Problemleri

1. Kardeşlerin yaşları x, x + 3, x + 6 olsun.

YGS Matematik

6. İki çocuğu yaşları toplamı x olsun.

x + (x + 3) + (x + 6) = 54 ⇒ x = 15 tir.

O halde, büyük kardeş 21 yaşındadır.

Babası ile büyük oğlu arasındaki yaş farkı,

54 – 21 = 33 tür.

Anne x + 19 yaşındadır. (x – 10) . 4 = (x + 19) – 5 ⇒ x = 18

dir. İki kardeşin yaşları toplamı 18 olduğuna göre, büyü ğü en az 10 yaşında olur. Cevap: C

Cevap: C

2. BA sayısı 5 in katı olduğundan, A = 0 veya A = 5 tir. AB

7. 3 + (3 + x) + (3 + 2x) + (3 + 3x) + (3 + 4x) + (3 + 5x) = 48

iki basamaklı sayı olduğundan, A = 5 tir.

Buna göre,

denkleminden, x = 2 bulunur.

5B + 18 = B5 ⇒ 50 + B + 18 = 10B + 5

Büyük kardeş, 3 + 5 . 2 = 13 yaşındadır.

⇒ 63 = 9B

Cevap: B

⇒ B = 7 dir.

BA = 75 tir.

8. (mn) – (nm) = m + n

Cevap: C

3. Ahmet’in yaşı A, Hasan’ın yaşı H olsun.

Aralarındaki yaş farkı A – H dir. Hasan, Ahmet’in yaşına geldiğinde aradan A – H yıl geçmiştir. Yani, Hasan A yaşında, Ahmet ise A + (A – H) yaşında dır.

A + (2A – H) = 88

A + H = 56

Cevap: C

M 1 = A 3 M+5 3 = A+5 7

⇒ 8m = 10n

⇒ 4m = 5n

olur. m ve n birer rakam olduğundan; m = 5 ve

n = 4 tür. (mn) = 54 tür.

9.

B = Ç + 33

B + 3 = (Ç + 6) . 2

denklem sisteminden, B = 57 bulunur.

denklemlerinden; M = 10, A = 30 bulunur.

10. Aslı x yaşına geldiğinde babası x + 30 yaşında olacaktır. Bu yaşta iken, Aslı’nın yaşının karesi, babasının yaşına eşit olsun:

5. Kızının yaşı x ise, annesinin yaşı 6x tir.

Aralarındaki yaş farkı 5x tir. Kızı, annesinin yaşına geldi ğinde aradan 5x yıl geçmiştir. Bu anda annesi 6x + 5x = 11x yaşındadır.

⇒ 10m + n – 10n – m = m + n

Cevap: E

Cevap: E

M + A = 40 tır.

⇒ (10m + n) – (10n + m) = m + n

Cevap: D

denklem sisteminden, A = 36 bulunur.

4.

6x + 11x = 85 ⇒ x = 5

Cevap: B

⇒ x2 – x – 30 = 0

⇒ (x – 6) . (x + 5) = 0

⇒ x – 6 = 0 veya x + 5 = 0

⇒ x = 6 veya x = –5

olur. Annenin bugünkü yaşı, 6 . 5 = 30 dur.

x2 = x + 30

tir. O hâlde, Aslı 6 yaşındadır. 1984 yılında doğduğuna göre, yıl 1990 dır. Cevap: B

176

İŞ ve HAVUZ PROBLEMLERİ

YGS MATEMATİK

Örnek

İŞÇİ PROBLEMLERİ

A işçisi 3 günde bir işin

İşçi problemlerinde birim zamanda yapılan iş düşünülür. *

*

Bu iki işçi beraberce bu işte 4 gün çalışırsa işin kaçta kaçı biter? A)

Bir işi aynı iş gücünde n tane işçi m günde bitirebili

1 2

*

B)

2 3

C)

3 4

D)

4 5

E)

6 5

Çözüm

Bir işi 1 işçi n günde bitirebiliyorsa, aynı iş gücünde k tane işçi bu işi

2 1 ini, B işçi 5 günde aynı işin ünü 5 3

bitirebilmektedir.

Bir işçi bir işi n günde bitirebiliyorsa, bu işçi 1 günde bu 1 2 3 işin n ini, 2 günde bu işin n ni, 3 günde n sini, k günde k n ni bitirir.

yorsa, bu işi 1 işçi n.m günde bitirir. *

17. BÖLÜM

1 2 2 A işçisi 1 günde işin . = ini bitirir. B işçisi 1 günde işin 3 5 15 1 1 1 ini bitirir. İkisi beraberce 4 gün çalışırsa bu işin, . = 5 3 15

n günde bitirebilir. k

Bir işçi bir işi n günde bitirebiliyorsa, bir başka işçi bu işi

1 8 4 2 + 4. = + 15 15 15 15 12 = 15 4 = i biter. 5 4.

m günde bitirebiliyorsa, bu iki işçi 1 günde beraberce bu 1 1 işin n + m sini bitirebilirler. Bu iki işçi 2 günde beraberce 2 2 bu işin n + m sini bitirebilirler. Bu iki işçi k günde bera k k sini bitirebilirler. Bu işte birinci işçi x + n m x y gün, ikinci işçi y gün çalışırsa işin n + m si biter. berce bu işin

Örnek A işçisinin 5 günde yapabildiği işi, B işçisi 9 günde yapabil mektedir.

Örnek

A ve B işçilerinin birlikte 30 günde bitirebildiği bir işi B işçisi yalnız başına kaç günde bitirebilir?

İki işçiden biri bir işi yalnız başına 12 günde, diğeri bu işi yal nız başına 18 günde bitirebilmektedir.

A) 60

Bu işi ikisi beraberce kaç günde bitirebilirler? A) 7

B) 7,2

Cevap: D

C) 7,6

D) 8

B) 72

C) 84

D) 90

E) 100

Çözüm E) 9 Bu işi A işçisi a günde, B işçisi b günde bitirebilsin. Bu

Çözüm

durumda, 5 9 a=b 1 1 1 a + b = 30

Bu işi ikisi beraberce x günde bitirebilsinler. Birinci işçi 1 gün 1 de işin 1 sini, ikinci işçi 1 günde işin ini bitirebilir. 18 12

denklemleri yazılabilir. Birinci denklemden a =

1 İki işçi 1 günde bu işin x ini bitirebilirler.

ikinci denklemde yerine yazılarak;

Buna göre,

1 1 1 1 1 1 a + b = 30 & 5b + b = 30 9

1 1 1 + = & x = 7, 2 12 18 x

&

günde bu işi bitirebilirler.

& b = 84 gün bulunur.

Cevap: B

5b değeri 9

9 1 1 14 1 & + = = 5b b 30 5b 30

Cevap: C

177

İş ve Havuz Problemleri

YGS Matematik

Çözüm

Örnek 20 işçi günde 8 saat çalışarak 4 günde 120 parça mal ürete

Bir usta bu işi x günde, bir çırak bu işi y günde bitirebilsin. Buna göre,

bilmektedirler. Buna göre, 270 parça malı 45 işçikaç saatte üretir? A) 24

B) 28

C) 32

D) 36

6 8 1 x + y = 12 10 6 1 x +y=8

E) 40

denklemleri yazılabilir. Bu denklemlerden, x = 88, y = 528 bu lunur. 2 n 1 + = & n = 12 çırak bulunur. 88 528 22

Çözüm

Cevap: B Günde 8 saat çalışılırsa 4 günde 32 saat çalışılır. 20 işçi 32 saatte 120 parça mal üretirse, 1 işçi 32.20 saatte 120 parça 120 mal üretir. Bu durumda 1 işçi 1 parça malı saatte bitirir. 32.20 Aynı biçimde, 45 işçi 270 parça malı t saatte üretirse, 1 işçi 270 parça malı 45 . t saatte bitirir. Bu durumda 270 saatte bitirir. malı 45.t Buna göre,

Örnek

1 işçi 1 parça

6 işçi günde 8 saat çalışarak 24 parça işi 8 günde bitiri yorlar. Aynı nitelikte 12 işçi günde 6 saaat çalışarak 90 parça işi kaç günde bitirir?

120 270 ⇒ t = 32 saat bulunur. = 32.20 45.t Cevap:C

!

1. iş 1 işle ilgili veriler

=

A) 10

B) 12

C) 15

D) 20

E) 24

Çözüm

2. iş 2. işle ilgili veriler

24 90 = 6.8.8 12.6.x x = 20 bulunur. Cevap: D

Örnek

Örnek

Bir işi 5 kadın işçi 20 günde, 5 erkek işçi ise 30 günde bitiriyor.

6 usta ve 8 çırağın 12 günde bitirebileceği bir işi, 10 usta ve 6 çırak 8 günde bitirebilmektedir.

Buna göre, 2 kadın ve 2 erkek işçi aynı işi birlikte kaç günde bitirir?

Buna göre, bu işi 2 usta ile kaç çırak 22 günde bitirebilir? A) 10

B) 12

C) 14

D) 15

A) 50

E) 18

B) 30

C) 45

D) 40

E) 20 (2011 - YGS)

178


YGS Matematik

Çözüm

Örnek

5 kadın → 20 günde

5 erkek → 30 günde

2 kadın → x günde ________________

2 erkek → y günde ________________

Ters orantı

Bir fabrika % 72 kapasiteyle ve günde 15 saat çalıştırıldığında 10 günde ürettiği miktardaki ürünü, % 90 kapasiteyle ve günde 12 saat çalıştırılırsa kaç günde üretir?

Ters orantı

2.x = 5.20

2.y = 5.30

x = 50 günde

y = 75 günde

A) 6

B) 7

C) 8

D) 9

E) 10 (2004 - ÖSS)

2 kadın ve 2 erkek birlikte z günde bitirirse, 1 1 1 1 1 1 5 1 + = & + = & = x y z 150 z 50 75 z (3)

Çözüm

(2)

& z = 50 gün bulunur.

%72 kapasite → 15 saat 10 gün x ürün

Cevap: B

%90 kapasite → 12 saat a gün x ürün

Örnek

72.15.10.x = 90.12.a.x 72.15.10 = a & 10 gŸnde Ÿretir. 90.12

Bir grup işçi, bir işi 3 günde bitiriyor.

Cevap: E

İşçi sayısı % 50 azaltılır, günlük çalışma süresi %20 artırılırsa aynı iş kaç günde biter? A) 3

B) 4

C) 5

D) 6

E) 7

(2009 - ÖSS Mat-1)

Çözüm

Örnek Ahmet ve Barış bir işi birlikte 6 saatte bitiriyor. Barış aynı işi

2x iflçi 5k saat 3 gün 1 ifl x iflçi 6k saat a gün 1 ifl 2x.5k.3.1 = x.6k.a1

tek başına Ahmet'in tek başına bitirebilceğinden 5 saat erken bitiriyor.

30xk = k = 5 gün olur. 6xk

Buna göre, Barış bu işi tek başına kaç saatte bitirir?

Cevap: C

A) 10

B) 13

C) 16

D) 18

Örnek

E) 20 (2004 - ÖSS)

Üretim miktarının, işçi sayısı ve günlük çalışma süresiyle doğru orantılı olduğu bir fabrikada günlük çalışma süresi %20

Çözüm

azaltılıyor. Bu fabrikada aynı üretim miktarının elde edelebilmesi için

Ahmet

Barış

Birlikte

işçi sayısı % kaç artırılmalıdır?

x+5

x saat

6 saat

A) 20

B) 22,5

C) 25

D) 27,5

E) 40

1 1 1 x+x+5 1 + = & = x + 5 x 6 x (x + 5) 6

(2005 - ÖSS)

Çözüm 100 iflçinin x iflçi

12x + 30 = x2 + 5x

"

100 saatte yapt›€› ifli

"

80 saatte yapacak

x2 – 7x – 30 = 0 –10

Ters orant›

3

(x – 10) . (x + 3) = 0

100.100 = x. 80

x = 10 veya x= − 3

x = 125 olur.

Barış tek başına 10 saatte bitirir.

İşçi sayısı 100 den 125 e çıkacağına göre % 25 artırılmalıdır.

Cevap: A

Cevap: C

179


YGS Matematik

Örnek

HAVUZ PROBLEMLERİ

İki musluktan biri bir havuzu yalnız başına 12 günde, diğeri bu Havuz problemlerinde birim zamanda yapılan iş düşünülür.

havuzu yalnız başına 18 günde doldurabilmektedir.

*

Bir musluk bir havuzu n günde doldurabiliyorsa, bu mus

Bu havuzu ikisi birlikte kaç günde doldurabilirler?

1 2 luk 1 günde bu havuzun n sini, 2 günde bu havuzun n 3 k sini, 3 günde bu havuzun n sini, k günde bu havuzun n

A) 7,2

B) 7,5

C) 8

D) 9

E) 10

Çözüm

sini doldurur. *

Bu havuzu ikisi birlikte x günde doldurabilsin. Musluklardan 1 biri yalnız başına 1 günde havuzun sini, diğeri yalnız 12 1 ini, ikisi birlikte 1 günde havuzun başına 1 günde havuzun 18 1 x ini doldurabilir. Buradan,

Bir musluk bir havuzu n günde boşaltabiliyorsa, bu mus 1 2 luk 1 günde bu havuzun n sini, 2 günde bu havuzun n 3 k sini, 3 günde bu havuzun n sini, k günde bu havuzun n sini boşaltır.

*

1 1 1 + = & x = 7, 2 gün bulunur. 12 18 x

Bir havuzu aynı iş gücünde n tane musluk m günde dol

Cevap: A

durabiliyorsa, bu havuzu 1 musluk n.m günde doldurur. *

Bir havuzu 1 musluk n günde doldurabiliyorsa, aynı iş gücünde k tane musluk bu havuzu

*

Örnek

n günde doldurabilir. k

Boş bir havuzu A ve B muslukları birlikte 12 saatte, A ve C

Bir musluk bir havuzu n günde doldurabiliyorsa, bir baş

muslukları birlikte 18 saatte, B ve C muslukları birlikte 24

ka musluk bu havuzu m günde doldurabiliyorsa, bu iki

saatte doldurabilmektedir.

1 1 musluk 1 günde beraberce bu havuzun n + m sini doldu

Bu havuzu C musluğu kaç saatte doldurabilir?

rabilirler. Bu iki musluk 2 günde beraberce bu havuzun

A) 72

2 2 n + m sini doldurabilirler. Bu iki musluk k günde bera k k berce bu havuzun + sini doldurabilirler. Bu havuza n m

*

x y + si dolar. n m

D) 120

E) 144

A musluğu havuzu a saatte, B musluğu b saatte, C musluğu c saatte doldurabilsin.

n < m olmak üzere, bir musluk bir havuzu n günde doldu rabiliyorsa, bir başka musluk bu havuzu m günde boşal

1 1 1 a + b = 12 ... I

tabiliyorsa, bu iki musluk 1 günaçık kaldığında bu havu

1 1 1 + = ... III b c 24

1 1 sini doldurabilirler. zun − n m

C) 96

Çözüm

birinci musluk x gün, ikinci musluk y gün su akıtırsa havuzun

B) 84

1 1 1 + = ... II a c 18

II ve III denklemleri taraf tarafa toplanırsa, 1 1 1 1 1 1 II + III ten: + + + = + a c b c 18 24

2 2 Bu iki musluk 2 gün açık kaldığında bu havuzun n − m sini doldurabilirler. Bu iki musluk k gün açık kaldığında k k sini doldurabilirler. Birinci musluk x − n m x y gün, ikinci musluk y gün açık kaldığında havuzun − n m bu havuzun

1 1 2 7 1 2 7 + = &a+ +c = & b 72 12 c 72

2 1 &c= & c = 144 saat bulunur. 72 Cevap: E

si dolar.

180


YGS Matematik

Örnek

Örnek

Boş bir havuzu iki musluk yalnız başlarına 12 saatte ve 16 saatte doldurabilmektedir. Havuzun dibindeki bir musluk havuzu 30 saatte boşaltabilmektedir. Bu üç musluk birlikte açılırsa boş havuz kaç saatte dolar? A) 9

B) 10

C)

71 6

D)

80 9

E)

100 9

Çözüm 1 1 sini ve sını dol 12 16 1 dururken, dipteki musluk 1 saatte havuzun unu boşaltır. 30 Üçü beraber açıldığında havuz t saatte dolsun. Dolduran musluklar 1 saatte havuzun

Şekildeki I. havuz fıskiyeden akan, diğerleri üstteki havuzdan taşan su ile dolmaktadır. Havuzun hacmi sırasıyla V, 2V ve

Buna göre, 1 1 1 1 80 saatte dolar. + − = &t= 12 16 30 t 9

6V dir. I. havuz 2 saatte dolduğuna göre, fıskiyeden 10 saat su aktığında III. havuzun kaçta kaçı dolmuştur?

Cevap: D

3 A) 5

Örnek

2 B) 5

1 C) 3

2 D) 3

Boş bir havuza; A musluğu 5 saat, B musluğu 4 saat aktı

E)

1 2

(1989 - ÖSS)

ğında ya da A musluğu 6 saat, B musluğu 3,2 saat aktığında havuz dolmaktadır. Buna göre, A musluğunun 1 saatte doldurduğu kısım B musluğunun 1 saatte doldurduğu kısmın yüzde kaçıdır? A) 40

B) 50

C) 60

D) 70

E) 80

Çözüm Çözüm

Boş havuzu A musluğu a saatte, B musluğu b saatte doldu rabilsin.

Boş havuzu A musluğu a saatte, B musluğu b saatte doldu

5 4 a+b =1 6 3, 2 a+ b =1

rabilsin. 1. Havuz: V hacmi

denklemleri yazılabilir. Bu denklemlerden; a = 10 saat, b = 8

saat bulunur.

x

2 saatte dolarsa 10 saatte

x = 5V lik su akar

Havuzun hacmi v olsun. A musluğunun 1 saatte doldurduğu v v , B musluğunun 1 saatte doldurduğu kısım dir. kısım 10 8

5V lik suyun 1V si I. havuzda kalır ve 4V lik kısmı II. havuza

v x v = . = & x 80 8 100 10

II. Havuz: Hacmi 2V ve I. havuzdan 4V lik su geldiğine göre

dökülür.

2V lik kısım III. havuza akacaktır. III. Havuz: 10 saatin sonunda III. havuzda sadece 2V lik su 1 olacaktır. Tamamı 6V olduğuna göre ü dolu demektir. 3

bulunur. O hâlde, A musluğunun 1 saatte doldurduğu kısım, B musluğunun 1 saatte doldurduğu kısmın % 80 idir.

Cevap: C

Cevap: E

181


YGS Matematik

Çözüm

Örnek Bir havuzu %20 lik tuzlu su akıtan bir musluk 10 saatte, %30

İkinci musluk tek başına t saatte doldurursa

luk tuzlu su akıtan başka bir musluk 15 saatte dolduruyor.

Birinci musluk tek başına (t – 15) saatte doldurur.

Boş olan bu havuz muslukların ikisi birlikte açılarak

İkisi birlikte 10 saatte doldurduğuna göre

doldurulduğunda, havuzdaki suyun tuz oranı yüzde kaç

1 1 1 2t − 15 1 + = & = t t − 15 10 t (t − 15) 10

olur? A) 24

B) 25

C) 26

D) 28

E) 30

& t 2 − 15t = 20t − 150

& t 2 − 35t + 150 = 0

(1999 ÖSS İPTAL)

Çözüm

–30

–5

%20 lik tuzlu su akıtan musluk 10 saatte, %30 luk tuzlu su

t = 30 ve t = 5 tir.

akıtan musluk 15 saatte, doldurursa, ikisi birlikte

İkinci musluk 30 saatte doldurur. Cevap: C

1 1 1 + = & x = 6 saatte doldururlar. 10 15 x %20 lik musluk;

tamamını

10 saatte

x ini 6 saatte ________________________ 6 3 ünü doldurur. = x = 10 5

%30 lik musluk;

tamamını

15 saatte

x ini 6 saatte ________________________ 6 2 ini doldurur. = y = 15 5

Örnek

Havuzun

3 lik kısmında %20 tuzlu su 5

2 lik kısmında % 30 tuzlu su varsa 5

Bir musluk, boş bir havuzu 12 saatte doldurmaktadır. Musluktan birim zamanda akan su miktarı %20 azaltılırsa,

Havuzun tamamının tuz oranı x olsun;

boş havuz kaç saatte dolar?

2 5 3 . 20 + . 30 = .x 5 5 5

A) 15

B) 16

C) 17

D) 18

E) 20

12 + 12 = x

x = 24

%24 tuz vardır.

Çözüm Örnek

Birim zamanda musluktan 5x kadar su akmış olsun.

Boş bir havuzu iki musluktan birincisi ikincisinden 15 saat

12 saatte 12.5x = 60x

daha kısa sürede doldurmaktadır.

Havuzun hacmi olur.

Bu havuz boş iken, iki musluk birlikte havuzu 10 saatte doldurduğuna göre, ikinci musluk tek başına kaç saatte

20 1 5x = 5= x. x azalırsa 5 100

doldurur?

5x – x = 4x olur.

A) 20

B) 25

C) 30

D) 35

60x = 15 saatte dolar. 4x

E) 40 (1997 ÖSS)

182

Cevap: A

Çözümlü Test – I

YGS Matematik

1. Bir işi A ile B işçisi beraberce 10 günde, A ile C işçisi

6. Aynı zaman diliminde A, B nin 2 katı kadar; C, B nin ya

beraberce 12 günde, B ile C beraberce 15 günde bitire bilmektedirler.

rısı kadar iş yapabilmektedir.

Bu işi C işçisi tek başına kaç günde bitirebilir?

Bu üç işçinin beraberce 20 günde bitirebildiği işi, A ile C beraberce kaç günde bitirebilirdi?

A) 24

A) 24

B) 32

C) 36

D) 40

E) 60

2. A ile B bir işi birlikte 18 günde bitirebilmektedirler. A, 5 gün; B, 10 gün çalıştığında işin

B) 75

C) 80

D) 90

C)

13 20

D)

7 10

E)

11 15

B) 7

C) 8

C) 8

D) 9

C) 4

D) 6

E) 8

B) 35

C) 40

D) 45

E) 50

E) 10

10. k tane işçinin günde 12 saat çalışmasıyla 20 günde bi tirilebilen bir iş, işçi sayısı artırılarak ve günde 10 saat çalışılarak 10 günde bitiriliyor.

Kalan işi, A işçisi kaç günde bitirebilir? B) 7

B) 3

İkisi birlikte, 48 çift ayakkabıyı kaç günde yaparlar? A) 30

ünü B işçisi bitiriyor.

A) 6

E) 60

çift ayakkabı yapmaktadır.

5. A işçisi bir işin 25 ini 7 günde bitiriyor. Geri kalan işin 13

D) 55

9. Bir usta 3 günde 2 çift ayakkabı, bir kalfa ise 5 günde 2

2 i kalacaktır. 5

D) 9

C) 50

Buna göre, işçi elle kaç dakika çalışmıştır? A) 2

Buna göre, Ali ile Veli bu işi birlikte kaç günde bitire bilirler? A) 6

B) 45

yapılmaktadır. Bir işçi bu işi yapmaya önce makineyle başlayarak 6 dakika çalışmış, sonra elle devam ederek işi tamamlamıştır.

4. Bir işte Ali 3 gün, Veli 5 gün çalışırsa işin 35 i kalacaktır. Bu işte Ali 5 gün, Veli 3 gün çalışırsa işin

E) 32

8. Makineyle 8 dakikada yapılan bir iş, elle 24 dakikada

Buna göre, A nın 8 günde bitirebileceği işin kaçta kaçını A ile B birlikte 2 günde bitirebilirler? 1 B) 2

D) 30

1 ü kadar kısaltı Makinenin günlük çalışma süresi 3 lırsa, aynı iş kaç günde bitirilir? A) 40

E) 120

tirebilmektedir.

1 A) 3

C) 28

çalıştırılarak bu iş 30 günde bitiriliyor.

3. A nın 8 günde bitirebileceği işin 2 katını B, 10 günde bi

B) 26

7. Belirli bir iş için kullanılan makine her gün belli bir süre

1 ü bitmektedir. 3

Buna göre, işin tamamını B tek başına kaç günde bitirebilir? A) 60


Buna göre, k aşağıdakilerden hangisi olabilir? A) 11

E) 10

183

B) 10

C) 9

D) 8

E) 7


1.

Çözümler

6. Bu işi A, x günde bitirebilsin. A, B nin 2 katı kadar iş ya

1 1 1 + = A B 10 1 1 1 + = A C 12 1 1 1 + = B C 15

pabildiğine göre, bu işi B işçisi 2x günde bitirebilir. Aynı nedenle bu işi C işçisi 4x günde bitirebilir.

denklem sisteminden C = 40 gün bulunur.

1 1 1 1 x + 2x + 4x = 20 & x = 35

Cevap: D

2.

YGS Matematik

1 1 1 + = A B 18 5 10 1 + = A B 3

1 1 1 1 + = + A C x 4x =

5 5 1 = = 4x 4.35 28

olduğundan, A ile C beraberce 28 günde bitirebilir. Cevap: C

7. Makine her gün 3x saat çalışsın. Bu durumda işin tama

denklem sisteminden, B = 90 gün bulunur.

mı 3x . 30 = 90x saatte biter. Makinenin günlük çalış 90x ma süresi 3x saatten 2x saate düşürülürse iş, = 45 2x günde biter.

Cevap: D

Cevap: B

3. O halde, A nın 8 günde bitirebileceği işi B, 5 günde biti rebilmektedir.

8.

Makinada 1 dakikada yapılan iş elle 3 dakikada yapılabil mektedir. Makinada 6 dakikada yapılan iş elle 3 . 6 = 18 dakikada yapılır.

Buna göre, 24 – 18 = 6 dakika daha elle çalışmalıdır.

2 2 10 + 16 13 sini bitirebilirler. + = = 8 5 40 20 Cevap: C

Cevap: D

4.

3 5 2 + = A V 5 5 3 3 + = A V 5

9. Usta bir günde 23 çift ayakkabı, kalfa ise bir günde 25 çift ayakkabı yapabiliyor. Usta ile kalfa bir günde,

denklemleri yazılabilir. Bu denklemler taraf tarafa topla nırsa,

8 8 1 1 1 + = 1 & + = bulunur. A V A V 8

O hâlde, Ali ile Veli bu işi beraberce 8 günde bitirebilirler.

2 2 16 + = 3 5 15

çift ayakkabı yapabiliyorlar.

16 48 çift ayakkabı 1 günde biterse 48 çift ayakkabı, = 45 15 16 15 günde biter.

Cevap: C

Cevap: D

10. k tane işçinin günde 12 saat çalışmasıyla 20 günde biti rebildiği işi m tane işçi günde 10 saat çalışarak 10 günde bitirebilsin.

5. İşin 25 i bittikten sonra 35 i kalır.

Geri kalan işin

1 1 1 ü ise işin idir. B işçisi ini bitirmiştir. 5 5 3

Buna göre,

2 1 3 2 + = i bitmiştir. Geriye i kalır. 5 5 5 5

k . 12 . 20 = m . 10 . 10 ⇒ k . 12 = 5 . m

olur. k ve m birer doğal sayı olduğundan, k sayısı 5 in katıdır. Buna göre, k = 10 olabilir.

Bu durumda işin

Bunu, A işçisi 7 günde bitirebilir. Cevap: B

Cevap: B

184

Çözümlü Test –II

YGS Matematik

6. A musluğunun 8 saatte doldurduğu bir havuzu dipteki B

1. Boş bir havuzun 25 ini A musluğu 7 saatte dolduruyor. Havuzun boş kalan kısmının

musluğu 12 saatte boşaltmaktadır. Havuz boşken A ve B muslukları 6 saat açık tutuluyor ve sonra A musluğu kapatılıyor.

1 ünü B musluğu yalnız 3

başına dolduruyor.

Kalan kısmı A musluğu kaç saatte doldurabilir? A) 6

B) 7

C) 8

D) 9

E) 10

C) 32

D) 28

C) 3

D) 4

E) 5

B musluğu 16 saatte boşaltmaktadır. Havuz boşken A musluğu açılıyor ve 8 saat sonra B musluğunun da açık olduğu fark edilerek B musluğu kapatılıyor.

Buna göre, A musluğu bu havuzun tamamını kaç sa atte doldurabilir? B) 36

B) 2

7. A musluğunun 12 saatte doldurduğu bir havuzu dipteki

musluğu da açılıyor. İkisi beraberce 4 saat açık kalınca 1 havuzun ü boş kalıyor. Bu durumda A musluğu kapa 3 tılıyor ve kalan kısmı B musluğu 6 saatte dolduruyor.

A) 40

Bu andan itibaren kaç saat sonra havuz boşalır? A) 1

2. A musluğu bir havuzun 13 ünü doldurduktan sonra B


Bu andan itibaren havuz kaç saatte dolar? A) 6

B) 8

C) 10

D) 12

E) 14

E) 24

8. Aynı zaman diliminde A musluğu B musluğunun 2 katı kadar; C musluğu B musluğunun yarısı kadar su akıta bilmektedir.

3. Bir havuz A musluğu tarafından dolduruluyor, dipteki B ve C muslukları tarafından boşaltılıyor. A ve B mus lukları açıkken boş havuz 40 saatte dolmaktadır. A ve C muslukları açıkken dolu havuz 40 saatte boşalmaktadır. B ve C muslukları açıkken dolu havuz 12 saatte boşal maktadır.

Bu üç musluğun birlikte 20 saatte doldurabildiği boş bir havuzu A ile C muslukları birlikte kaç saatte doldurulabilir? A) 24

B) 26

C) 28

D) 30

E) 32

Buna göre, dolu havuzu C musluğu kaç saatte bo şaltabilir? A) 15

B) 16

C) 18

D) 20

E) 24

9. Boş bir havuz A musluğu tarafından 15 saatte doldurula biliyor. Bu havuz dolu iken dipteki B musluğu tarafından 20 saatte boşaltılabiliyor. Havuz boşken A ve B musluk ları açılıyor.

4. Boş bir havuzu iki musluktan birincisi ikinciden 15 saat daha kısa sürede doldurmaktadır.

Bu havuz boş iken, iki musluk birlikte havuzu 10 sa atte doldurduğuna göre, ikinci musluk tek başına kaç saatte doldurur? A) 20

B) 25

C) 30

D) 35

Kaç saat sonra havuzun dolu kısmının boş kısmına 3 oranı olur? 7 A) 10

B) 12

C) 14

D) 16

E) 18

E) 40

10. Boş bir havuzda A musluğunun 8 saatte doldurduğu kıs mı, B musluğu 6 saatte doldurmaktadır.

5. Bir musluk, boş bir havuzu 12 saatte doldurmaktadır.

Musluktan birim zamanda akan su miktarı azaltılırsa, boş havuz kaç saatte dolar? A) 15

B) 16

C) 17

D) 18

% 20

E) 20

Buna göre, A ve B musluğunun birlikte 15 saatte doldurduğu kısmı A musluğu tek başına kaç saatte doldurabilir? A) 28

185

B) 30

C) 32

D) 35

E) 38

Çözümlü Test

Karmaşık Sayılar

1. Havuzun 25 i dolduktan sonra 35 i kalır. Bunun 13 havuzun

6.

YGS Matematik

6 8 x − − = 0 & x = 3 saat bulunur. 8 12 12

1 idir. 5

Cevap: C

Toplam dolan kısmı musluğu havuzun

2 1 3 2 + = idi. Kalan kısmı idir. A 5 5 5 5

2 ini 7 saatte doldurabilir. 5 Cevap: B

7.

8 8 x − + = 1 & x = 10 saatte dolar. 12 16 12 Cevap: C

2. A ve B muslukları 4 saatte havuzun 13 ünü doldurabil

1 ünü 6 saatte doldur 3 maktadır. Buna göre, tamamını 18 saatte doldurabilir.

mektedir. B musluğu havuzun

1 1 1 + = & A = 36 bulunur. A 18 12

8. A musluğu bu havuzu x saatte doldursun. Bu durumda,

Cevap: B

3.

bu havuzu B musluğu 2x saatte, C musluğu 4x saatte doldurur.

1 1 1 − = A B 40 1 1 1 − = C A 40 1 1 1 + = B C 12

1 1 1 1 x + 2x + 4x = 20 & x = 35 saat bulunur. 1 1 1 1 + = + A C x 4x

olduğundan, A ve C muslukları birlikte 28 saatte doldu rur.

denklemleri yazılabilir. Bu denklemler taraf tarafa topla narak, C = 15 saat bulunur. Cevap: A

=

5 5 1 = bulunur. = 4x 4.35 28

Cevap: C

4.

1 1 1 x + x − 15 1 + = & = x − 15 x 10 x (x − 15) 10

⇒ x2 – 15x = 20x – 150

⇒ x2 – 35x + 150 = 0

⇒ (x – 30) . (x – 5) = 0

⇒ x = 30 veya x = 5

9. Havuzun dolu kısmının boş kısmına oranı 37 ise, dolu 3 kısım 3V, boş kısım 7V dir. Bu durumda havuzun u 10 doludur.

bulunur. x > 15 olduğundan, x = 30 saattir.

t t 3 − = & t = 18 saat bulunur. 15 20 10 Cevap: E

Cevap: C

5. Musluktan birim zamanda akan su miktarı 5x birim ol

10. Havuzu A musluğu A saatte, B musluğu B saatte doldu

sun. Birim zamanda akan su miktarı % 20 azaltılırsa, birim zamanda akan su miktarı 4x birim olur.

Havuzun hacmi. 5x . 12 = 60x birimdir.

Buna göre, birim zamanda 4x birim su akarsa, havuz

havuz

rabilsin:

60x = 15 saatte dolar. 4x

8 6 = A B 1 1 1 + = A B 15

denklem sisteminden, A = 35 saat bulunur. Cevap: D

Cevap: A

186

HAREKET PROBLEMLERİ

YGS

18. BÖLÜM

MATEMATİK

1. Bu hareketliler zıt yönde hareket edebilirler. Bu durumda,

Hareket problemlerinde genellikle aşağıda verilen hareket

hareketlilerin ilk karşılaştıkları ana kadar gittikleri yolların

formülü kullanılır:

Yol = Hız x Zaman

x= v. t

toplamı pistin çevresini verir. K A

x x ya da t = biçimiyle de kullanılabilir. Hare v t ket problemlerini denklemle ifade ederken bazen hıza göre

Bu formül, v =

B

bazen de zamana göre denklemi kurmak daha kolay olabilir. Burada, hız ile zamanın birimleri uyumlu olmalıdır. Hız, birim L

zamanda gidilen yol olduğuna göre; hız km/s ise zaman saat, hız m/sn ise zaman saniye cinsinden olmalıdır.

Burada kullanılan hız, ortalama hızdır. Ortalama h›z =

Şekilde, pistin K noktasından harekete başlayan A ve B Hareketlileri L noktasında karşılaştıklarında gittikleri yolla rın toplamı, pistin çevresi kadar olacaktır.

Toplam yol d›r. Toplam zaman

2. Bu hareketliler aynı yönde hareket edebilirler. Bu durumda, hareketlilerden hızlı olan öne geçecek ve bir zaman sonra yavaş gidene yetişecektir. Yetiştiği anda

1. Zıt Yönlü Hareket

gittikleri yolların farkı pistin çevresini verir.

A ve B kentlerinden birbirlerine doğru hareket eden iki aracın arasındaki yol hızlar toplamı çarpı zamana eşittir. V1

B A

K

V2

A

x

L

B

x = (V1 + V2 ).t

2. Aynı Yönlü Hareket

A ve B kentlerinden aynı yönde hareket eden iki araçtan hızlı

başlayan A ve B hareketlileri için B daha hızlı olsun. B

olan diğerini ilerideki C kentinde yakalıyorsa aralarındaki yol

hareketlisi, gittikçe arayı açacak ve bir zaman sonra A

hızlar farkı çarpı zamana eşittir. V1 A

hareketlisini L noktasında yakalayacaktır. Bu durumda B hareketlisi A hareketlisine tur bindirmiş olacaktır. Yani,

V2 x

Şekilde, pistin K noktasından aynı yönde harekete

B

C

gittikleri yolların farkı pistin çevresi kadar olacaktır.

x = (V1 – V2 ).t

*

Örnek

Kayık, bir nehirde akıntı ile aynı yönde hareket ederse

Bir araç A kentinden B kentine 75 km/s hızla 4 saatte, B ken

kayığın hızı ile nehrin hızı toplanır. Kayık, akıntı ile ters

tinden C kentine 60 km/s hızla 2 saatte gitmiştir

yönde hareket ederse kayığın hızından nehrin hızı

*

çıkarılır.

Bu aracın A kentinden C kentine giderken hızı saatte orta

Bir pist etrafındaki hareketlerde aynı noktadan harekete

lama kaç km olmuştur?

başlayan iki hareketli için iki durum söz konusudur:

A) 66

187

B) 68

C) 69

D) 70

E) 71

Karmaşık Sayılar Hareket Problemleri

YGS Matematik

Çözüm

Çözüm

Ortalama hız, toplam yolun toplam zamana oranıdır.

Hareketliler aynı yöne doğru koştuklarından hızlı giden yavaş

A ile B kentleri arasındaki yol: 75 . 4 = 300 km

gidene yetiştiğinde gittikleri yolların farkı pistin çevresi olacak

B ile C kentleri arasındaki yol: 60 . 2 = 120 km

tır:

olduğundan, toplam yol; 300 + 120 = 420 km dir.

280 . t – 240 . t = 720 ⇒ 40 . t = 720 ⇒ t = 18 dakika sonra yan yana gelirler. Cevap: B

Buna göre, Ortalama = h›z

420 = 70 km/s dir. 6 Cevap: D

Örnek Örnek

Çevresi 6720 m olan dairesel bir pistin A noktasından iki hare ketli zıt yönde harekete başlıyor.

Saatte 60 km hızla giden bir tren 360 metre uzunluğundaki bir

Hareketlilerin hızları dakikada 240 m ve 320 m olduğuna

tüneli 45 saniyede geçiyor.

göre, bu hareketliler kaç dakika sonra karşılaşırlar?

Buna göre, trenin boyu kaç metredir?

A) 8

A) 360

B) 9

C) 10

D) 11

E) 12

B) 370

C) 380

D) 390

E) 400

Çözüm Hareketlilerin karşılaştıkları anda gittikleri yolların toplamı pis tin çevresidir:

Çözüm

240 . t + 320 . t = 6720 ⇒ 560t = 6720

⇒ t = 12 dakika sonra karşılaşırlar.

Tünel

Tünel

Tren

Tren

Cevap: E

360 m fiekil I

fiekil II

Trenin boyu x metre olsun. Şekilde I de tren tünelin girişine

Örnek

gelmiş ve Şekil II de tren tüneli geçmiştir. Bu durumda trenin Çevresi 720 m olan dairesel bir pistin A noktasından iki hare

herhangi bir noktası 360 + x metre yol almıştır. Tren 1 saatte

ketli aynı yönde harekete başlıyor.

60 km yol gittiğine göre, 1 dakikada 1 km yol gider. Trenin 45 saniyede gittiği yol;

Hareketlilerin hızları dakikada 240 m ve 280 m olduğuna göre, bu hareketliler kaç dakika sonra ilk kez yan yana

1000 ⋅

gelirler? A) 20

45 = 750 m dir. Buna göre, 60

360 + x = 750 ⇒ x = 390 metredir. B) 18

C) 17

D) 16

E) 15

Cevap: D

188

Hareket Problemleri

YGS Matematik

Örnek

Örnek

A

40 km

A kentinden B kentine gitmek için aynı anda yola çıkan iki

B

otomobilden birincisi saatte 30 km, ikincisi de saatte 40 km

Şekildeki A ve B kentleri arasındaki uzaklık 40 km dir. A dan

hızla gidiyor.

hızı saatte 5 km olan bir yaya, B den hızı saatte 15 km olan bir

İkinci otomobil B kentine 2 saat önce vardığına göre, A ve

bisikletli aynı anda, birbirine doğru yola çıkıyor.

B kentleri arası kaç km dir?

Yaya kaç km yol yürüdüğünde bisikletli ile karşılaşır?

A) 180

A) 10

B) 9

C) 8

D) 5

B) 240

C) 280

D) 300

E) 320

E) 3

Çözüm

Çözüm

Yayanın yürüdüğü yol x km ise bisikletlinin gittiği yol (40 – x)

A ve B kentleri arasındaki uzaklık x km olsun.

km dir.

zaman =

yol zaman = formülü kullanılırsa h›z

yol formülünü kullanarak; h›z

x x = + 2 & x = 240 km bulunur. 30 40

40 − x x = & x = 10 km bulunur. 5 15

Cevap: B

Cevap: A

Örnek Saatteki hızı V olan bir hareketli A ve B arasındaki yolu 8

Örnek

saatte almıştır.

anda, zıt yönde hareket ediyorlar.

V hızıyla, diğer yarı 2 sında da 2V hızıyla giderse yolun tamamını kaç saatte alır?

Hareketlerinden 1 saat sonra aralarındaki uzaklık 40 km

A) 7

Hızları farkı 8 km/saat olan iki bisikletli, aynı noktadan, aynı

Bu hareketli yolun yarısında saatte

B) 8

C) 9

D) 10

E) 12

olduğuna göre, daha yavaş giden bisikletlinin hızı kaç km/s tir? A) 8

B) 10

C) 14

D) 16

E) 20

Çözüm A ile B arasındaki yol; 8.V km dir.

Çözüm

Yolun yarısı 4V dir. Yolun ilk yarısında harcanan zaman =

Yavaş giden bisikletlinin hızı V km/saat ise hızlı giden

4V = 8 saat V 2 4V = 2 saat 2V

bisikletlinin hızı (V + 8) km/s tir. Buna göre,

yolun ikinci yarısında harcanan zaman =

V . 1 + (V + 8) . 1 = 40 ⇒ V = 16 km/s bulunur. Cevap: A

olduğundan, yolun tamamını 8 + 2 = 10 saatte alır. Cevap: D

189

Hareket Problemleri

YGS Matematik

Çözüm

Örnek 20 A

C

B

y

|AB| = 20 km

25

A

|BC| = 25 km

B

2x t1

t1

A kentinden hareket eden bir araç, saatte ortalama 60 km

V = 30 km/s

3x

C

2. durak

Bilge

1. durak

hızla giderek a dakikada C kentine varıyor.

D

t2

VB

VB

Bu araç B kentine kadar saatte ortalama 40 km hızla gitseydi yine toplam a dakikada C kentine varmak için B ile | CB | 2 = ise |CB| = 2x ve |CD| = 3x olsun. | CD | 3

C arasındaki yolu saatte ortalama kaç km hızla gitmeliydi? A) 75

B) 80

C) 90

D) 100

E) 105 |AB| = y Bilge'nin hızı da VB olsun.

(2009 ÖSS Mat 1)

Çözüm 20 A

Bilge B noktasına t1 saatte, D noktasına da t2 saatte giderse;

25

I. durum (Bilge B noktasına gidiyor.)

C

B

2x = VB. t1 ........................(1)

i) A dan C ye 60 km hızla a dakika

45 3 dakika = 20 + 25 = 60.a ⇒ a = 60 4

y = 30.t1 .........................(2)

ii) A dan B ye 40 km hızla II. durum (Bilge D noktasına gidiyor.)

1 saatte gider. 2 3 1 1 iii) B den C ye − = saatte gitmesi gerekir. 4 2 4

20 = 40.t ⇒ t =

3x = VB. t2 ........................(3)

(2)

25 =

1 . V ⇒ V = 100 km hızla gitmeli 4

y + 2x + 3x = 30.t2 ..........(4) Cevap: D

(1) ve (2) eşitlikleri oranlanırsa,

Örnek

2x VB .t 1 2x VB = = & y ........(5) y 30.t 1 30 Bilge, otobüse binerek okuluna gitmek istiyor. Bilge'nin 1. 2 durağa olan uzaklığının, 2. durağa olan uzaklığına oranı tür. 3 (3) ve (4) eşitlikleri oranlanırsa, V V .t 3x 3x = B 2& = B ......(6) y + 5x 30.t 1 y + 5x 30 (5) ve (6) eşitlikleri aynı olduğu için) 1. durak

V = 30 km/s

Bilge

2. durak

VB 2x 3x = = y + 5x 30 1 y44 2 44 3

Otobüsün geldiğini gören Bilge, duraklardan hangisine doğru yürürse yürüsün, saatteki hızı 30 km olan otobüsle

aynı anda o durakta bulunduğuna göre, Bilge'nin yürüme

3 2 &y= & 2y + 10x = 3y y + 5x & y = 10x ........(7)

hızı saatte kaç km dir?

(Bilge 2. durağa doğru yürüdüğünde, otobüsün 1. durakta

(7) ifadesi (5) ifadesinde yazılırsa

durmadığını varsayacaktır.) A) 3

B) 4

C) 5

D) 6

E) 8

2x VB = = & VB 6 km/s bulunur. 10x 30 Cevap: D

(2008 ÖSS Mat 1)

190

Hareket Problemleri

YGS Matematik

Çözüm

Örnek Şekildeki ABC dik üçgeninin, A köşesinde bulunan iki hareketliden biri B ye doğru saatte v metre sabit hızla, öteki de C ye doğru saatte v metre sabit hızla aynı 2 anda harekete başlıyor ve ilk kez [BC] üzerindeki D noktasında karşılaşıyorlar.

C 60 D

v 2

A

B

v

12

C) 280

D) 260

B noktasında karşılaşmış olsunlar.

B

6 dakika sonra karşılaştıklarına göre > ;; ? h 12 .6 72 m m ÂxB = = ( m Ay= B 8= .6 48 m dir.

( ma AyB k = 12 . t

E) 240

(1999 - ÖSS İPTAL)

Çözüm

y

12 m lik hızla hareket eden aracın B den A ya varış süresi

uzunluğu kaç m dir? B) 300

8

x

3 . |AB| = 4 . |AC| ve |CD| = 60 m olduğuna göre, |BC| A) 320

A

48 = 12 . t

t = 4 dakika olur. Cevap: B

Örnek

C

|AB| = 4k, |AC| = 3k ise

60 D v 2

]BD| = 5k –60 olur.

3k

– 60

v

İrem yoluna devam ederse dersin başlamasından 4 dakika önce, eve dönerek defterini alıp tekrar yola çıkarsa dersin

|AB| + |BD| = V . t

B

4k

ediyor.

V hızıyla hareket eden hareketli

5k

A

1 3 ünü yürüdüğünde matematik defterini yanına almadığını fark

Sabit bir hızla yürüyen İrem, evden okula giderken yolun

|BC| = 5k,

5k

başlamasından 4 dakika sonra okula varacağına göre, ev

⇒ 4k + 5k – 60 = V . t ⇒ 9k –60 = V.t........... (*)

ile okul arası kaç dakika almaktadır?

V hızla hareket eden hareketli 2 V | AC | +| CD | = .t 2 ⇒ 3k + 60 =

(Dönüşlerdeki zaman kaybı önemsenmeyecektir.) A) 10

Vt ⇒ Vt ⇒ 6k + 120................(**) 2

B) 12

D) 15

3x

Okul

9k – 60 = 6k + 120 ⇒ k=60 ve |BC| = 5k = 5 . 60 = 300 m bulunur.

E) 16

(2007-ÖSS Mat 1)

Çözüm

(*) ve (**) denklemleri ortak çözülürse

Ev x

Cevap: B

Örnek

C) 14

2x

İrem eve dönüp kitabını alırsa 2x kadar fazla yol yürümüş olaA 8m

12 m

cak. Dersin başlamasından 4 dakika önce okula varacakken,

Hızları dakikada 12 metre ve 8 metre olan iki hareketli, çember üzerindeki A noktasından aynı anda ters yönde hareket ettikten 6 dakika sonra karşılaşıyorlar.

dersin başlamasından 4 dakika sonra okula varacağından, toplam 8 dakika fazla yürümüş olacaktır. Yani, İrem 2x lik mesafeyi 8 dakikada yürüyebiliyor. Buna göre,

Hareketlililerden hızlı olanı, karşılaşmalarından kaç dakika B) 4

8 dakikada yürürse,

3x mesafeyi

k dakikada yürür.

sonra A ya ulaşır? A) 3

2x lik mesafeyi

C) 5

D) 6

E) 8

= k

3x.8 = 12 2x

İrem okul ile ev arasını 12 dakikada yürümektedir.

(1988 ÖSS)

Cevap: B

191

Hareket Problemleri

YGS Matematik

Akrep ile yelkovan arasındaki açı;

SAAT PROBLEMLERİ 12

11

!

1

Saat kadranı üzerinde hareket

2

10

a=

formülüyle de bulunur. formülden çıkan açı 180° den küçük ise büyük

ederek saatın kaç olduğunu 3

9

gösteren

7

6

açıyı bulmak için 360° den çıkarılır.

kısa

olanına akrep, uzun olanına

4

8

göstergelerin

yelkovan denir.

5

Örnek

Saat kadranı 12 saat dilimine bölünmüştür. Bu nedenle 1

Saat 4 . 08 den kaç dakika sonra akrep ile yelkovan ilk defa

saatlik dilime 360:12 = 30° lik yay karşılık gelir. 12

11

1

7

6

7 11

B) 12

9 11

C) 13

9 11

D) 15

9 9 E) 16 11 11

Çözüm

Hareket problemlerindeki formül

4

8

A) 11

12.v dir. 3

9

üst üste gelir?

Akrebin hızı v ise, yelkovanın hızı

2

30°

10

11.Dakika − 60.saat 2

5

ler saat problemlerine de uygula

Akrep ile yelkovan üst üste gelecekseler aralarındaki açı 0°

nabilir.

dir. 0=

Akrep 1 saatte 30° lik, 1 dakikada 0,5° lik yol alır. Yelkovan ise

11.d − 60.4 240 &d= 11 2

1 saatte 360°, 1 dakikada 6° lik yol alır. Buna göre, akrep ile

baştan 8 dk geçmişti;

yelkovanın arasındaki açı 1 dakikada 5,5° azalır ya da artar.

240 152 19 −8= = 13 11 11 11

Örnek

Cevap: C

Örnek

Saat 12.00 den kaç dakika sonra akrep ile yelkovan birbi Saat 15.36 da akrep ile yelkovan arasındaki açı kaç dere

rine ilk defa dik konumda olur? A)

90 11

B)

120 11

C)

150 11

D)

180 11

E)

cedir?

200 11

A) 90

B) 96

Çözüm

C) 100

ra aralarında 90° lik açı oluşsun. 12

1 dakikada yelkovan ile akrep

2

4 6

5

12

1

artacaktır. Buna göre,

&x=

4 7

6

15.36 da aralarındaki açı a° 3

α°

8

90 = x.5, 5 90 = &x 5, 5

5

Saat 15.00 te akrep ile yelko van arasındaki açı 90° dir.

2

9

arasındaki açı 5,5 derece 3

9

8

11 10

1

10

7

E) 108

Çözüm

Saat 12.00 de akrep ile yelkovan üst üstedirler. x dakika son

11

D) 104

olsun. Buna göre, 36 dakikada yelkovan, akrepten (90° + a) derece fazla yol alacaktır. 1 dakikadaki yol farkı 5,5 derece olduğundan,

180 dakika bulunur. 11 Cevap: D

36 . 5,5 = 90 + a ⇒ a = 108° bulunur. Cevap: E

192

Hareket Problemleri

YGS Matematik

Örnek

Örnek B

A

Saat 11.00 den kaç dakika önce akrep ile yelkovan arasın daki açının ölçüsü 60° idi? A)

90 11

B)

120 11

C)

150 11

D)

180 11

E)

C

x

y

Aynı anda A dan kalkan iki arabadan biri A dan B ye saatte

200 11

40, B den C ye 60 km hızla gidiyor. Bu arabalardan ikincisi ise A dan B ye 60, B den C ye 40 km hızla gidiyor.

Çözüm

Arabaların biri C ye ötekinden 1 saat önce ulaştığına göre 12

11 10

|x – y| kaç km dir?

1

30°

7

6

C) 120

D) 90

E) 60

Çözüm

4

8

B) 150

3

60°

9

A) 180

2

Araçlardan birisi A dan C ye t saatte giderse, diğeri t + 1 saatte gidecektir. Buna göre,

5

önce 60° lik açı olduğundan, yelkovan akrepten 90° lik fazla

y x + =t 40 60 y x + = t+1 60 40

yol gitmiştir. Aradaki yol farkı 1 dakikada 5,5 derece olduğun

denklemleri yazılabilir. Bu iki denklemden

dan,

y y x x + = + +1 60 40 40 60

Saat 11.00 de akrep ile yelkovan arasındaki açı 30° dir. Daha

90 5, 5 180 dakika önce aralarındaki açı 60° idi. & 11 Cevap: D

5, 5.t = 90 &

&

2x + 3y 3x + 2y + 120 = 120 120

& 2x + 3y = 3x + 2y + 120 & y − x = 120 bulunur.

Örnek

Cevap: C

600 km lik yolun bir kısmı toprak bir kısmı asfalttır. Bu yolu katedecek olan bir aracın topraktaki ve asfalttaki ortalama

Örnek

hızı sırası ile 60 km/saat ve 90 km/saat tir. Araç yolun tamamını 8 saatte aldığına göre, yolun asfalt kısmını kaç saatte gider? A) 3,5

B) 4

C) 4,5

D) 5

a km

b km

A

B

Hızı saatte a km olan bir hareketli A kentinden, hızı saatte b

E) 5,5

km olan diğer bir hareketli B kentinden aynı anda birbirlerine doğru hareket ederlerse 2 saat sonra karşılaşıyorlar. (a > b)

Çözüm

İki hareketli aynı koşullarla aynı anda, aynı yönde hareket

Yolun asfalt kısmını t saatte giderse, yolun toprak kısmını

etselerdi kaç saat sonra A kentinden hareket eden diğe

(8 – t) saatte gider.

rine yetişecekti?

Buna göre,

A)

60 . (8 – t) + 90 . t = 600 ⇒ t = 4 saat bulunur.

a+b a−b

Cevap: B

193

B) D)

2(a + b) a −b

a−b a+b E)

2 (a − b) a+b

C)

a+b 2 (a − b)

Karmaşık Sayılar Hareket Problemleri

YGS Matematik

Çözüm

Örnek

A ile B arasındaki uzaklık: A

|AB| = a.2 + b.2

120 km

C

B

= 2.(a + b) km dir. ACB yolu 120 km dir. Hızları saatte v ve 2v km olan iki araba

Aynı yönde gittiklerinde, A dan hareket eden B den hareket

A dan aynı anda hareket ediyor. Arabalardan biri B ye gidip

edene yetiştiğinde gittikleri yolların farkı, |AB| olacaktır. A dan

hiç durmadan dönerek C ye vardığı anda, öbür araba A dan

hareket eden B den hareket edene t saat sonra yetişirse, t

C ye ulaşıyor.

saatte gittikleri yolların farkı, |AB| dır.

Buna göre, AC yolu kaç km dir?

|AB| = a . t – b . t ⇒ 2 . (a + b) = a . t – b . t

⇒ 2 . (a + b) = t . (a – b)

&t=

A) 60

B) 72

C) 80

D) 85

E) 90

Çözüm

2.(a + b) dir. a−b

Cevap: D

AC yolu x km olursa, CB yolu (120 – x) km olur. zaman =

yol formülünden, h›z

x 120 + (120 − x) x 240 − x & & = v 2v 1 2 & 2x = 240 − x

& x = 80 km bulunur. Cevap: C

Örnek K

L

Örnek Saatteki hızları 3v ve 2v olan iki araç K noktasından aynı Birinin hızı öbürünün hızının 2 katı olan iki koşucu, bir çem

anda L noktasına doğru harekete başlamıştır.

bersel pistin başlangıç noktasından, aynı anda aynı yöne

Hızı fazla olan araç öbüründen 3 saat önce L noktasına

doğru koşmaya başlıyorlar.

vardığına göre, hızı az olan araç L noktasına kaç saatte

Bu iki koşucu, ilk kez aynı anda pistin başlangıç nokta

gitmiştir?

sına geldiklerinde hızı daha fazla olan koşucu kaç tur

A) 15

yapmış olur? A) 2

B) 4

C) 6

D) 8

E) 12

B) 14

C) 11

D) 10

E) 9

Çözüm

Çözüm

Hızı az olan araç t saatte gitmişse, hızı fazla olan araç t – 3 saatte gitmiştir.

Birinin hızı öbürünün hızının 2 katı olduğundan, hızlı olan 2

Buna göre,

tur attığında yavaş olan 1 tur atacaktır.

3v . (t – 3) = 2v . t ⇒ 3 . (t – 3) = 2t

Buna göre, ilk kez aynı anda başlangıç noktasına geldikle

⇒ 3t – 9 = 2t

rinde hızlı olan 2 tur yapmış olur.

⇒ t = 9 saat bulunur.

Cevap: A

Cevap: E

194

Çözümlü Test

YGS Matematik

1.

D

C

A

4. A kenti ile B kenti arası 210 km dir. A dan B ye doğru ha

İki yarışmacı şekildeki A noktasın E

B

Hareket Problemleri

dan aynı anda koşuya başlıyor. Bi

reket eden bir araç belirli bir hızla 3 saat gittikten sonra,

risi AB yönünde V1 hızı ile, diğeri

saatteki hızını 5 km artırarak kalan yolu 2 saatte tamam

AD yönünde V2 hızı ile, ABCD ka

layıp B ye varmıştır.

resi çevresinde koşuyorlar.

Buna göre, aracın ilk hızı saatte kaç km dir? A) 70

B) 60

C) 50

D) 45

E) 40

İki yarışmacı, ilk kez BC kenarının E orta noktasında V karşılaştığına göre, 2 oranı kaçtır? V1 5 3 4 5 C) D) E) A) 2 B) 3 2 3 4

5. Bir motosikletli A ve B kentleri arasındaki yolu 3 saatte

2. Hızları sırasıyla V1, V2, (V1 – V2) olan üç taşıttan bi

t rincinin t saatte aldığı yol a, ikincinin saatte aldığı 2 yol b olduğuna göre, üçüncünün t saatte aldığı yol

almaktadır. Motosikletli, saatteki hızını 15 km azaltırsa aynı yolu 4 saatte almaktadır.

nedir? A)

a + b 2 b D) a − 2

b C) a + 2

B) 2a – b

Buna göre, A ve B kentleri arasındaki yol kaç km dir? A) 210

E) a – 2b

B) 190

C) 180

D) 160

E) 120

6. A ve B kentleri arasındaki yolun 13 ünde onarım yapıl 3. Bir hareketli belli bir yolu saatte ortalama a km hızla b

maktadır. Yolun düzgün kısmında saatte v km hızla gi v den bir araç, onarım olan kısmında saatte km hızla 4 gitmiştir.

saatte almıştır.

Hareketli, ortalama hızını saatte 1 km eksiltse aynı yolu kaç saatte alır? A)

ab a−1 D)

B) a+1 b

ab a+1 E)

C)

a+1 b

b a−1

Bu koşullarda A ile B kentleri arasındaki yolun tama mını 12 saatte giden bu araç, onarım yapılan kısmı kaç saatte gitmiştir? A) 3

195

B) 4

C) 6

D) 8

E) 9

Çözümlü Test

Hareket Problemleri

7.

A

9. A ve B kentlerinden saatteki hızları sırasıyla V1 ve V2

B

olan (V1 > V2) iki araç, birbirlerine doğru aynı anda ha 3 reket ederlerse saat sonra karşılaşıyorlar. Bu araçlar 4 aynı kentlerden aynı yönde hareket ederlerse hızlı giden 21 araç saat sonra diğerine yetişiyor. 4

600 km

Şekildeki A ve B noktaları arasındaki uzaklık 600 km dir. A ve B noktalarında bulunan iki otomobil birbirine doğru hareket ederlerse 3 saat sonra karşılaşıyorlar, aynı yön de hareket ederlerse 15 saat sonra biri diğerine yetişiyor.

Buna göre, hızı daha fazla olan otomobilin saatteki hızı kaç km dir? A) 120

8.

B) 125

C) 130

E 75 C

D

D) 140

E) 150

B

E) 8

dan biri B ye doğru saatte

A) 48

yorlar. |EC| = 75 m olduğuna göre, ABCD dikdörtgeninin çevresi kaç m dir? C) 400

D) 7

Gidiş dönüşte aracın ortalama hızı saatte 48 km ol duğuna göre, v kaçtır?

v hızıyla aynı anda koşmaya başlıyor. Ko 2 şucular ilk kez [DC] üzerindeki E noktasında karşılaşı

B) 350

C) 3

durmaktadır. Koşucular

doğru saatte

A) 300

7 B) 2

ve saatte V km hızla dönmüştür.

v hızıyla, diğeri de D ye

3 2

V1 + V2 oranı kaçtır? V1 − V2

10. Bir araç K kentinden M kentine saatte 42 km hızla gitmiş

Şekildeki, dikdörtgen bi A köşesinde iki koşucu

A v

Buna göre, A)

çimli ABCD koşu pistinin v 2

YGS Matematik

D) 450

E) 500

196

B) 50

C) 52

D) 54

E) 56

Çözümler

YGS Matematik

6. Araç, onarım yapılan kısmı t saatte gitmiş olsun. A ile B

1. Karenin bir kenarının uzunluğu 2x birim olsun. yol formülünden, h›z v 5 3x 5x bulunur. & 2 = = v1 v2 v1 3

Hareket Problemleri

arası x km olsun.

zaman =

Cevap: B

v x = 4 3

t.

(12 − t).v =

2x 3

denklemleri yazılabilir. Bu denklemler taraf tarafa oran lanırsa,

2. v1 . t = a

x v t 1 4 = 3 & = (12 − t).v 2x 4.(12 − t) 2 3 t.

& t = 8 saat bulunur.

t = b dir. 2

v2 .

(v1 – v2) . t

= v1 . t – v2 . t

= a – 2b dir.

Cevap: D

Cevap: E

3. Yol = a.b km dir.

zaman =

=

7. A dan hareket edenin hızı v1, B den hareket edenin hızı

yol h›z

v2 ve v1 > v2 olsun.

a.b bulunur. a−1 Cevap: A

3v1 + 3v2 = 600

15v1 – 15v2 = 600

denklem sisteminden, v1 = 120 km/saat bulunur. Cevap: A

4. Aracın ilk hızı v km/saat olsun.

3 . v + 2 . (v + 5) = 210 ⇒ v = 40 km/saat

bulunur.

8. Dikdörtgenin çevresi x m olsun.

Cevap: E

5. A ve B kentleri arasındaki yol x km olsun.

x x − 15 = & x = 180 km 3 4

bulunur. Cevap: C

x − 75 2

| AD | +| DE | =

| AB | +| BC | +| CE | =

x + 75 2

olur. Buna göre,

x x − 75 + 75 x − 150 x + 150 2 2 = v = v & v 2v 2

& 2x − 300 = x + 150

& x = 450m bulunur. Cevap: D

197

Çözümler

Karmaşık Sayılar

9. A ve B kentleri arasındaki uzaklık x olsun.

3 3 v + v =x 4 1 4 2 21 21 v − v =x 4 1 4 2

denklemleri yazılabilir. Bu denklemler taraf tarafa oran lanırsa;

3 3 v + v 4 1 4 2 =1& 21 21 v − v 4 1 4 2

3 .(v + v ) 4 1 2 =1 21 .(v 1 − v 2) 4 21 v +v & v1 − v2 = 4 1 2 3 4 v1 + v2 & v − v = 7 bulunur. 1 2 Cevap: D

10. K ile M arası x km olsun. 2x 2x = 48 x x = 48 & 1 1 + xc + m 42 v 42 v 2 & = 48 1 1 + 42 v 48 48 & + =2 42 v 48 48 & v = 2− 42 48 6 & v = 7 & v = 56 bulunur.

Cevap: E

198

YGS Matematik

Yüzde Problemleri YGS Matematik

Karmaşık Sayılar

Çözüm

YÜZDE PROBLEMLERİ

Sayı x olsun. Sayının % 27 si Yüzde problemlerinin çözümü için yüzde ve binde kavramla

27.x olduğundan, 100

x.27 x.30 30x 27x + 30 = & − = 30 100 100 100 100

rını bilmek gerekir.

3x = 30 100 & 3x = 3000 & 3x = 3000 & x = 1000

x.a dür. 100

*

x in yüzde a sı:

*

x in %a sı:

*

x in binde a sı:

*

Bir sayı ile sayının %a sının toplamı:

*

Bir sayının %a sı ile %b sinin toplamı:

&

x.a dür. 100

Cevap: E

x.a dir. 1000

x.(100 + a) dür. 100

Örnek

x.(a + b) dür. 100

Bir kesrin payının %15 i paydasına eklendiğinde kesrin değeri *

Bir sayının %a sı ile %b sinin farkı:

40 olmaktadır. 71

x.(a − b) dür. 100

*

x.a.b dir. Bir sayının %a sının %b si: 10 000

*

m x.a m . dir. Bir sayının %a sının n si: 100 n

*

m a m dür. Bir sayının n sinin %a sı: x. . n 100

Bu kesrin en sade biçimikaçtır? 1 A) 2

6 11

D)

8 13

E)

10 13

x 15x Kesir y olsun. Kesrin payının % 15 i dür. Buna göre, 100 x 40 x 40 = & = 15x 71 3x 71 y+ y+ 100 20 & 71x = 40y + 6x

Bir sayının %27 sinin 30 fazlası sayının %30 una eşittir. Bu sayıkaçtır? B) 600

C)

Çözüm

Örnek

A) 500

4 B) 5

C) 750

D) 900

& 65x = 40y

x 40 &y= 65

x 8 bulunur. &y= 13 Cevap: E

E) 1000

199

Karmaşık Sayılar

Yüzde YGSProblemleri Matematik

Örnek

Örnek

Bir memur maaşının % 20 sini kira, kalanının % 40 ını mutfak

Bir ildeki anaokullarının tüm okullar içindeki payı 2000 yılında

masrafı olarak ayırıyor.

%10, 2010 yılında ise %15'tir. Bu ilde 2000-2010 yılları ara-

Geriye 240 ¨ kaldığına göre, memurun maaşı kaç ¨ dir?

sında açılan 50 okulun 20'si anaokuludur.

A) 400

B) 450

C) 500

D) 550

E) 600

Buna göre, bu ilde 2000 yılında kaç anaokulu vardır? A) 30

B) 40

C) 20

D) 25

E) 35 (2011 - YGS)

Çözüm 2000 yılındaki okulların sayısı 10x ise anaokullarının sayısı x olur. 10 yılda 50 anaokulu açıldığına ve 2010 yılındaki (10x+50) tane okulun %15'i anaokulu olduğuna göre, 3

(10x + 50).

15

100 20

= 20 + x

30x + 150 = 400 + 20x 10x = 250 x = 25 bulunur

Cevap:D

Çözüm Memurun maaşı x ¨ olsun. Maaşın % 20 si =

20.x dür. 100

Kalan parası = x −

20.x 80x = dür. 100 100

= Kalanın % 40 ı

Örnek

80.x 40 32.x = dür. . 100 100 100

Geriye 240 ¨ kaldığına göre,

Bir depoda bulunan portakal ve mandalinaların miktarı top-

20x 32x + + 240 = x 100 100

lam 50 tondur. Portakalların %7'si, mandalinaların ise %8'i

denklemi kurulabilir. Çünkü, harcadıkları ile kalan paranın

3,8 tondur.

çürümüştür. Çürüyen portakal ve mandalina miktarı toplam

toplamı maaşına eşittir. Bu denklemin çözümünden, x = 500

Buna göre, depoda kaç ton sağlam portakal vardır?

bulunur.

A) 17,5

O hâlde, memurun maaşı 500 ¨ dir.

B) 17,6

C) 18

D) 17

E) 18,6 (2011 YGS)

Cevap:C

200

Çözümlü Test

Yüzde Problemleri YGS Matematik

Çözüm

Örnek Badem, çekirdek, fıstık ve leblebi karıştırılarak bir kuruyemiş paketi hazırlanmıştır. Aşağıdaki tabloda bu paketteki çekirdek, fıstık ve leblebinin ağırlıklarıyla çekirdeğin ağırlıkça yüzde oranı verilmiştir.

Portakal miktarı p ve mandalina miktarı m olsun. p + m =50 7 8 p. + m. = 3, 8 & 7p + 8m = 380 100 100 − 8p − 8m = − 400 + 7p + 8m = 380 ⇒ − p = − 20 7p + 8m = 380 p = 20 ton olur.

Badem

Portakalların %7'si çürüdüğüne göre, sağlam portakal miktarı

–8/p + m = 50

20 − 20.

7 7 = 20 − 5 100

Ağırlığı (g)

Yüzde oranı (%)

Çekirdek

500

40

Fıstık

300

Leblebi

250

Bu paketteki bademin ağırlıkça yüzde oranı kaçtır?

= 20 – 1,4 = 18,6 tondur.

A) 12

Cevap:E

B) 15

C) 16

D) 18

E) 24

(2009 ÖSS Mat 1)

Örnek Bir çobanın koyunları ya iki ya da üç kuzu doğurmuştur. İki kuzulu doğumlarda kuzuların % 75 i, üç kuzulu doğumlardaysa kuzunların % 50 si yaşamıştır. Bu çobanın doğum yapan 28 koyunu olduğuna göre, toplam kaç kuzusu yaşamıştır? A) 35

B) 36

C) 39

D) 42

E) 45

(2009 ÖSS Mat 1)

Çözüm Pakette 500 gr çekirdek toplam 300 + 250 = 550 gr fıstık ve leblebi vardır.

Çözüm

500 gramı

%40 ise

550 gramı % x tir. x tane koyun 3 kuzulu doğum yapmış olursa (28 - x) tane _______________________ koyun da 2 kuzulu doğum yapmış olur. Yaşayan kuzuların 550.40 = x = 44 50 sayısı ise 50 75 + 2.(28 − x). 100 100 3x 3 = + (28 − x). 2 2 3x 3x = + 42 − 2 2 = 42 olur.

Paketteki çekirdek, fıstık ve leblebinin toplam yüzde oranı

3.x.

40 + 44 = 84 tür. Buna göre, paketteki bademin ağırlıkça yüzde oranı 100 – 84 = 16 dır. Cevap:D

201

Cevap: C

Çözümlü Test

Karmaşık Sayılar

1. Bir lastik çekilip uzatıldığında boyu % 110 artıyor.

6. Bir fabrikada aynı malı üreten üç makine, bir günde x, y ve z miktarlarda mal üretebiliyor. x miktarda üretim ya

Buna göre, çekilmiş halde 0,63 metre olan lastiğin

pan makinenin kapasitesi % 20 artırılıp, y ve z miktarda

çekilmeden önceki boyu kaç metredir? A) 0,22

B) 0,24

D) 0,30

üretim yapan makinelerin kapasiteleri % 5 er azaltılırsa

C) 0,27

günlük üretim miktarı değişmiyor.

E) 0,33

2. Bir satıcı, elindeki malın önce % 5 ini, daha sonra da kalan malın % 10 nunu satmıştır.

YGSProblemleri Matematik Yüzde

Buna göre x, y ve z arasında nasıl bir bağıntı vardır?

A) x = y + z

B) x = 2 (y + z)

C) x = 4(y + z)

D) 2x = y + z E) 4x = y + z

Buna göre başlangıçtaki malın yüzde kaçı satılma mıştır? A) 84

B) 84,5

C) 85

D) 85,5

7. % 25 i kız öğrenci olan bir sınıfa 10 kız öğrenci daha

E) 86

katıldığında, sınıftaki kız öğrenci oranı % 40 olmuştur.

Buna göre, sınıftaki erkek öğrenci sayısı kaçtır? A) 25

3. Ucuzluk yapan bir mağaza, fiyatlarda % 25 indirim ya

B) 30

C) 35

D) 40

E) 45

pıyor. İlk hafta satışın az olduğunu görünce ikinci hafta indirimli fiyatlar üzerinden % 20 indirim daha yapıyor.

8. Bir sınıfta 40 erkek öğrenci vardır. Erkek öğrencilerin 32

Mağaza sahibinin yaptığı tüm indirim yüzde kaçtır? A) 32,5

B) 35

C) 37,5

D) 40

si, kızların ise % 70 i matematik dersinde başarılıdır.

E) 42,5

Tüm sınıfın % 75 i bu derste başarılı olduğuna göre sınıf mevcudu kaçtır? A) 74

4. Bir işyerinde günlük ücret zammı için iki seçenek vardır.

B) 76

C) 78

D) 80

E) 82

Birincisi net 90 lira, ikincisi günlüğün % 15’i dir. Bu işye rinde günlüğü a lira olan bir işçi 90 liralık zammı, b lira olan da % 15 lik zammı tercih etmiştir.

9. Aynı evi paylaşan bir grup öğrenci 120 lira kira giderini eşit olarak bölüşüyorlar. Eve bir arkadaşları daha yerle

Buna göre aşağıdakilerden hangisi doğrudur? A) a < 600 < b

B) a < 900 < b

D) 900 < a < b

şince kişi başına düşen kira gideri % 25 azalıyor.

C) a < b < 900

E) b < 800 < a

Buna göre son durumda kişi başına düşen ev kirası kaç liradır? A) 40

5. 2004 yılının Aralık ayında, ihracat 5 milyon ¨, ithalat ise

B) 30

C) 24

D) 20

E) 15

8 milyon ¨ dir. 2005 yılının Aralık ayında, ihracat geçen yılın aynı ayına göre % 15, ithalat ise % 10 artmıştır.

10. Yıllık enflasyon oranı iki basamaklı bir sayı olan bir

Buna göre, ithalat ve ihracat arasındaki fark (¨ ola

ülkede, a liraya satılan bir malın fiyatı satıştan bir yıl

rak) hakkında aşağıdakilerden hangisi doğrudur? A) Azalmıştır.

B) Artmıştır.

C) Değişmemiştir.

D) Kalmamıştır.

sonra en az kaç lira olur? A) 2a

B) D)

E) Bilinemez.

202

195 a 100

3 a 2

C) E)

11 a 10

9 a 5

YGS Matematik

Çözümlü Test

4.

1. Lastiğin çekilmeden önceki boyu x cm olsun. x.110 = 0, 63 & x = 0, 3 100

x+

metredir.

Cevap: D

Karmaşık Sayılar

a.15 < 90 & a < 600 100 b.15 > 90 & b > 600 100 Buna göre, a < 600 < b dir. Cevap: A

5. 2005 yılının Aralık ayında;

5.15 = 5, 75 milyon ¨ 100 8.10 = 8, 80 milyon ¨ İhracat = 8 + 100

İthalat ile ihracat arasındaki fark;

2004 yılının Aralık ayında : 8 – 5 = 3 milyon ¨

2005 yılının Aralık ayında : 8,80– 5,75 = 3,05 milyon ¨

olduğundan, fark artmıştır.

2. Satıcının malı 100 birim olsun. İlk satılan kısım 5 birim dir. Kalan kısım 95 birimdir.

95.10 = 9, 5 birim daha satılmıştır. Toplam satılan kısım 100

İhracat = 5 +

14,5 birim olur.

Satılmamış kısım 100 – 14,5 = 85,5 birimdir.

O hâlde, malın satılmayan kısmı % 85,5 tür.

Cevap:B

Cevap: D

6.

3. Malın satış fiyatı 100 lira olsun. % 25 indirim yapınca ye 75.20 = 15 lira daha indirim yapılıyor. 100

Toplam yapılan indirim 25 + 15 = 40 liradır.

Buna göre, toplam indirim % 40 tır.

120x 95y 95z + + 100 100 100

⇒ 100x + 100y + 100z = 120x + 95y + 95z

⇒ 5y + 5z = 20x

⇒ y + z = 4x bulunur.

Cevap: E

7. Sınıftaki erkek öğrenci sayısı E, kız öğrenci sayısı K ol

ni satış fiyatı 75 lira olur. Tekrar % 20 indirim yapılıyor:

x+y+z =

sun.

Cevap: D

(E + K) .25 =K 100 (E + K + 10) .40 = K + 10 100

denklemlerinden, E = 30 bulunur. Cevap: B

203

Çözümlü Test

Karmaşık Sayılar

8. Sınıftaki kız öğrencilerin sayısı K olsun.

(40 + K).75 K.70 = 32 + 100 100

denkleminden, K = 40 bulunur. Sınıf mevcudu

40 + 40 = 80 dir. Cevap: D

9. Evde ilk durumda n tane kişi olsun.

120 120 120 25 n − n + 1 = n . 100 1 1 1 &n− = n + 1 4n n+1−n 1 = & n.(n + 1) 4n 1 1 = & n+1 4 &n=3

Son durumda kişi başına düşen ev kirası,

120 : 4 = 30 liradır. Cevap:B

10. Fiyatın 1 yıl sonra en az olması için enflasyonun en az olması gerekir. Yıllık enflasyon oranı iki basamaklı oldu ğundan, yıllık enflasyon en az % 10 dur. Buna göre, a lira olan bir malın bir yıl sonra fiyatı, en az

a+

a.10 11a = lira olur. 100 10

Cevap:E

204

YGS Matematik

KAR ve ZARAR PROBLEMLERİ

YGS MATEMATİK

19. BÖLÜM

Örnek

KAR VE ZARAR PROBLEMLERİ Bu konu ile ilgili problemlerde alış-veriş ile ilgili bazı kavram

Bir mağaza sahibi, tüm ürünlerde etiket fiyatı üzerinden % 20

ları bilmek gereklidir.

indirim yapıyor. Aynı üründen 5'in üzerinden alınan her adet için ayrıca indirimli fiyat üzerinden %25'lik bir indirim daha

Alış fiyatı: Satıcının bir malı aldığı fiyattır.

yapıyor. (İkinci indirimi ilk 5 ürüne uygulamıyor.)

Satış fiyatı: Satıcının bir malı sattığı fiyattır. Satış fiyatına eti

Bu mağazadan etiket fiyatı 15 ¨ olan bir üründen 8 adet

ket fiyatı da denilebilir.

alan bir müşteri kaç ¨ öder?

Bir malın satışından ya kâr edilir, ya zarar edilir ya da ne kâr

A) 81

B) 83

C) 84

D) 85

ne zarar edilir. Satış fiyatı, alış fiyatından fazla ise bu satıştan

E) 87 (2010 YGS)

kâr edilir. Satış fiyatı, alış fiyatından az ise bu satıştan zarar edilir. Satış fiyatı, alış fiyatına eşit ise bu satıştan ne kâr ne de zarar edilmez.

Çözüm

a alış fiyatı, s satış fiyatı olmak üzere; 1 ürün 15 ¨ ise ilk beş ürünün tanesi

*

s > a ise s – a kardır.

*

s < a ise a – s zarardır.

*

s = a ise maliyetine satış yapılmıştır.

15 − 15.

20 = 15 − 3 = 12 ¨ olur. 100

Sonraki 3 ürüne 12 ¨ üzerinden % 25 daha indirim uygulanırsa tanesi

Bir malın satış fiyatı belirlendikten sonra bu mala zam veya

12 − 12.

indirim (iskonto) yapılabilir. Yapılan zam veya indirim daima

25 = 12 − 3 = 9 ¨ olur. 100 5 tanesi 5.12 = 60 ¨

satış fiyatı üzerinden hesab edilir.

8 ürün Bir kişi ya da kurumun bir başka kişi ya da kuruma ait malın

satışında aracılık ederek alıcıdan ve satıcıdan bir para isteye

+ 3 tanesi 3.9 = 27 ¨ ___________________

bilir. Bu paraya komisyon denir.

87 ¨ öder Cevap: E

*

x liraya alınan bir mal %k kâr ederek satılmışsa; edilen kâr

x.k x.k x.(100 + k) = liradır. Malın satış fiyatı ise x + 100 100 100

liradır. *

x liraya alınan bir mal %k

zarar ederek satıl

Örnek

x.k liradır. Malın satış fiyatı ise mışsa; edilen zarar 100 x.k x.(100 − k) x− = liradır. 100 100 *

Satış fiyatı x lira olan bir mala satış fiyatı x +

*

Bir otomobil lastiği satıcısı, lastiklerde % 25 mevsim sonu indirimi uyguladığında bir günde satılan lastik sayısının % 40 arttığını görüyor.

%z zam yapılırsa yeni

x.z x. (100 + z) liradır. = 100 100

Buna göre, satıcının kasasına bir günde giren para yüzde kaç artmıştır?

Satış fiyatı x lira olan bir mala % a indirim yapılırsa yeni

A) 5

x.a x. (100 − a) satış fiyatı x − liradır. = 100 100

B) 10

C) 15

D) 20

E) 25 (2010 YGS)

205

Kar ve Zarar Problemleri

YGS Matematik

Çözüm

Örnek

Bir lastiğin fiyatı 100 ¨ ve bir günde 100 lastik satılıyor olsun.

Bir malın alış fiyatı A ile satış fiyatı B arasında B = 5.A – 24 ¨

Bu durumda bir günde kasaya giren para 100.100 = 10.000 ¨ dir.

bağıntısı vardır.

% 25 indirimle bir lastik 75 ¨ ye satılır ve satışlar % 40 artarsa

Satıcının satıştan zarar etmemesi için malı en az kaç ¨

bir günde 140 lastik satılır.

den almalıdır?

Bu durumda bir günde kasaya giren para

A) 6

B) 7

C) 8

D) 9

E) 10

75 . 140 = 10.500 ¨ olur. Kasaya giren para 10.000 ¨ den 10.500 ¨ ye çıktığına göre % 5 artmış olur.

Çözüm

Cevap: A

Satıcının zarar etmemesi için satış fiyatı alış fiyatından az olmamalıdır: B ≥ A

5 . A – 24 ≥ A

4 . A ≥ 24 A≥6¨ O hâlde, satıcının zarar etmemesi için alış fiyatı en az 6 ¨

Örnek

olmalıdır. Cevap: A

Bir satıcı bir malı % 15 zararla 4250 ¨ ye satmıştır. Satıcı, aynı malı 6250 ¨ ye satsaydı % kaç kâr elde ederdi? A) 15

B) 20

C) 25

D) 30

E) 35

(2008 - ÖSS Mat 1)

Çözüm Malın maliyeti 100x ¨ olsun. % 15 zararla 4250 ¨ ye satılırsa 100x – 100x .

15 = 4250 100 85x = 4250 x =50 ve

maliyeti 100x = 5000 ¨ olur.

Örnek

Aynı mal 6250 ¨ ye satıldığında Bir tüccar malını %30 kârla satarken %20 indirim yapmıştır.

6250 – 5000 = 1250 ¨ kâr edileceği için y y = 25 1250 = 5000 . 100

Malın yeni satış fiyatı 52 ¨ olduğuna göre, malın alış fiyatı

kaç ¨ idi?

% 25 kâr edilirdi.

A) 48

Cevap: C

206

B) 50

C) 52

D) 55

E) 60

YGS Matematik


Çözüm

Örnek

Malın alış fiyatı x ¨ olsun. Malın % 30 kârla satış fiyatı x+

Bir yatırımcı, hesabındaki z ¨'nin bir kısmıyla altın, kalan kıs-

30x 130x 13x ¨ dir. = = 100 100 10

mıyla da döviz alıyor. Yatırımcı bir süre sonra altınlarını % 20 kâr elde ederek x ¨'ye, dövizlerini ise % 20 zarar ederek

Bu fiyata % 20 indirim yapılırsa yeni satış fiyatı elde edilir:

y ¨'ye satıyor.

13x 13x 20 13x 13x − = 52 & . − = 52 10 10 100 10 50 (5)

Buna göre, x, y ve z arasındaki bağıntı aşağıdakilerden

(1 )

hangisidir?

65x − 13x = 52 50 & 52x = 52.50

&

A) 3z = 6x + 4y

& x = 50

B) 5z = 4x + 6y

D) 6z = 5x + 8y

C) 4z = 9x + 12y E) 12z = 10x + 15y

O hâlde, malın alış fiyatı 50 ¨ dir.

(2011 - YGS)

Cevap: B

Örnek Bir mala % 20 indirim yapılmıştır. Bu malın yeniden eski fiyatından satılması için fiyatı yüz de kaç arttırılmalıdır? A) 15

B) 20

C) 25

D) 26

E) 28

Çözüm

Çözüm Malın indirimden önceki satış fiyatı x olsun.

z ¨ nin a ¨ lik kısmıyla altın, (z-a) ¨ lis kısmıyla da döviz almış

Bu mala % 20 indirim yapılınca satış fiyatı

olsun.

x.20 4x x− = 5 100

Altınları % 20 kârla x ¨ ye sattığına göre,

olur.

a + a. Bu fiyata % a zam yapılarak eski satış fiyatının

20 a 6a 5x = x & a+ = x & =x&a= 5 5 100 6

Dövizleri % 20 zararla y ¨ ye sattığına göre, 20 =y 100

(x ¨ nin) elde edildiğini kabul edelim:

(z – a) – (z – a) .

4x 4x a 4x a . x + =x + . =x& 5 100 5 5 125

&

100x + ax =x 125 & 100x + ax = 125x & ax = 25x & a = 25

& 12z − 10x = 15y

(25)

4 (z − a) =y 5 5y & z−a = 4 5x 5y z − = & 1 6 4

(1)

&

(12)

(2)

(3)

& 12z = 10x + 15 y

O hâlde, mala % 25 zam yapılmalıdır.

elde edilir. Cevap: E

Cevap: C

207

Çözümlü Test


1. Bir satıcı, a liraya aldığı bir malı kârla 200 liraya, b liraya

6. Bir mal etiket fiyatı üzerinden % 6 indirim yapılarak 37,6

aldığı ikinci bir malı da zararla yine 200 liraya satıyor.

liraya satılmıştır.

a ve b fiyatlarıyla ilgili aşağıdaki bağıntılardan han

gisi doğrudur? B) a < b < 200

D) b < 200 < a

C) 40

D) 44,4

E) 46,2

E) 200 < b < a

7. Bir satıcı bir malı % 20 kârla satarken, satış fiyatı üzerin den % 20 indirim yaparak 384 liraya satıyor.

satış fiyatının hesaplanması için:

I. y = 2x – 150

Bu malın maliyeti kaç liradır? A) 410

II. y = x + 100

biçimindeki iki bağıntı önerilmiştir.

Üretilen malın tümü satılabildiğine ve satış fiyatının hesaplanmasında I. bağıntıyı kullanmak daha kârlı olduğuna göre, x maliyeti için aşağıdakilerden han gisi doğrudur? A) x > 250

B) 39,6

C) a < 200 125

D) x > 50

B) 400

C) 380

D) 370

E) 360

8. % 15 zararla 170 liraya satılan bir mal % 15 kârla sa tılsaydı kaç liraya satılırdı? A) 240

C) x > 75

B) 230

C) 225

D) 221

E) 220

E) x > 25

9. Bir malın etiket fiyatı, maliyeti üzerinden % 40 kârla he

3. Bir tüccar, x kg lık mal satışından y lira kâr sağlamak

saplanmıştır.

tadır. x ile y arasında, y = 2x – 7 biçiminde bir bağıntı

vardır.

Bu malın etiket fiyatı kaç liradır? A) 38,4

A) b < a < 200

YGS Matematik

Bu mal, etiket fiyatı üzerinden % 15 indirimle satılır sa, elde edilen kâr yüzde kaç olur?

y nin negatif değerleri zararı gösterdiğine göre tüccarın, satıştan kâr edebilmesi için (tamsayı ile

A) 30

B) 27

C) 25

D) 22

E) 19

ifade edilen) en az kaç kg lık satış yapması gerekir? A) 3

B) 4

C) 5

D) 6

E) 8

10. Aşağıdaki doğrusal grafik bir malın maliyeti ile satış fiya tı arasındaki bağıntıyı göstermektedir.

4. Bir üretici x liraya ürettiği bir malı y liraya satmaktadır. x ile y arasında, y = 6x – 1230 bağıntısı bulunmaktadır.

Satış (¨)

x in bir tamsayı olduğu bilindiğine göre, üreticinin kâra geçmesi için malın maliyeti en az kaç lira olma lıdır? A) 205

B) 206

C) 245

D) 247

6 5

E) 250

A(1, 6 ) 5

5. Maliyeti sırasıyla a, b ve c lira olan bir kurşun kalem, bir tükenmez kalem ve bir dolmakalemden oluşan fiyatla satılırsa kesin olarak kâr edilir? A) a + b + c lira

B) b + a + 10 lira

C) c + b + 10 lira

D) a + c + 10 lira

0

üç yazı takımı, aşağıdakilerden hangisinde verilen

Alış (¨)

1

6 A c 1, m noktası bu doğru üzerinde olduğuna göre, 5 18 ¨ ye satılan bir maldan kaç ¨ kâr edilir? A) 1

E) a + b + c + 1 lira

208

B) 1,5

C) 2

D) 3

E) 3,6

Çözümler

YGS Matematik


5. a + b + c + 1 liraya satılırsa, kesinlikle 1 lira kâr edilmiş

1. a < 200 x + 100 ⇒ x > 250

x−

x.6 = 37, 6 & x = 40 liradır. 100

Cevap: A

Cevap: C

3. y > 0 olmalıdır. ⇒ 2x – 7 > 0

⇒ 2x > 7

⇒ x > 3,5

7. Maliyeti x lira olsun.

O hâlde, en az 4 kg lık satış yapmalıdır.

Cevap: B

x.120 80 = . 384 = & x 400 liradır. 100 100 Cevap: B

4. y – x > 0 olmalıdır.

⇒ (6x – 1230) – x > 0

⇒ 5x – 1230 > 0

⇒ 5x > 1230

8. Malın maliyeti x lira olsun.

⇒ x > 246

x.85 = 170 = & x 200 liradır. 100

200.115 = 230 lira olurdu. 100

O hâlde, malın maliyeti en az 247 lira olmalıdır. Cevap: D

Cevap: B

209

Karmaşık Sayılar

Çözümler

9. Malın maliyeti 100 lira olsun.

Etiket fiyatı 140 lira olur. % 15 indirim yapılırsa, satış fi yatı,

140.85 = 119 lira 100

olur. O hâlde, kâr % 19 dur. Cevap: E

10. Grafiğe göre, 1 ¨ ye alınan mal 65 ¨ ye satılmıştır. Yani, 6 1 ¨ ye satılan maldan ¨ kâr edilmiştir. 5 5

Buna göre, 18 ¨ ye satılan maldan

18 : 6 = 3 ¨ kâr edilmiştir. Cevap: D

210

YGS Matematik

FAİZ ve KARIŞIM PROBLEMLERİ

YGS MATEMATİK

20. BÖLÜM

Çözüm

FAİZ PROBLEMLERİ

A.n.t 210 000 . 60 . 2 =f = &f 100 100 Faiz problemlerinde genellikle yüzde problemleri ile aynı bil & f = 252 000 ¨ giler kullanılır. Faiz, bir ana paraya belli bir vadede, belli bir Faiz oranının yıllık, vadenin de yıl olarak verildiğine dikkat yüzde ile bir gelir sağlamaktır. ediniz. *

A, ana para (Kapital)

n, yıllık faiz yüzdesi

t, zaman

f, faiz tutarı

Cevap: C

Örnek

olmak üzere; t yıllık faiz tutarı; f =

A.n.t 100

t aylık faiz tutarı; f =

A.n.t 1200

t günlük faiz tutarı; f =

800 ¨ aylık % 3 faizle 15 ayda kaç ¨ faiz getirir? A) 120

C) 240

D) 300

D) 360

a.n.t 36000

formülleri ile hesaplanır. Bu formüllerin hepsinde n, yıllık faiz

Çözüm

oranıdır. f=

B) 180

Faiz oranı aylık ve zaman ay olarak verildiğinden, f =

A.n.t formülünde t aydır. 1200

A.n.t 100

formülünü kullanabiliriz.

A.n.t f= 36000 formülünde t gündür.

=f

Eğer, faiz oranı aylık, zaman da ay olarak verilirse f =

A.n.t 100

A.n.t 800.3.15 = &f 100 100

& f = 360 ¨ Cevap: E

formülü kullanılır. Eğer, faiz oranı günlük, zaman da gün olarak verilirse f =

A.n.t 100

formülü kullanılır.

Örnek 2 ini yıllık %60 faiz oranı ile 8 aylığına, 5 geri kalanı da yıllık %45 faiz oranı ile 6 aylığına bankaya yatı Bir adam parasının

rıyor.

Örnek

Vadelerin sonunda toplam 177 ¨ faiz aldığına göre, ada 210 000 ¨ yıllık %60 faizle 2 yılda kaç bin ¨ faiz getirir?

mın parası kaç ¨ dir?

A) 175

A) 400

B) 210

C) 252

D) 275

E) 300

211

B) 480

C) 500

D) 600

E) 800


Faiz ve Karışım Problemleri

Çözüm

Çözüm

2x + 66 < 10 olmalıdır. x+1

Adamın parası 5x ¨ olsun. Parasının

YGS Matematik

2 i 2x ¨, kalanı 3x ¨ olur. 5

2x + 66 < 10x + 10

2x.60.8 3x.45.6 + = 177 ¨ 1200 1200

66 – 10 < 10x – 2x

960x 810x + = 177 1200 1200 960x + 810x = 177.1200 1770x = 177.1200

56 < 8x 7 < x olduğu için 7. yıldan sonra yıllık faiz oranı % 10 un altına düşer.

x = 120 ¨

Cevap: E

O hâlde, adamın parası 5x = 5 . 120 = 600 ¨ dir. Cevap: D

Örnek Örnek

Bir bankaya 15 aylığına yatırılan paranın kendisi kadar faiz getirmesi için uygulanacak yıllık faiz oranı yüzde

y faiz oranı (%)

kaçtır? 66

A) 65

B) 70

C) 75

D) 80

E) 85

(1994 ÖSS İPTAL) y=

2x + 66 x+1

2 x yıl

0

Çözüm

Yukarıdaki şekilde, bir bankanın vadeli hesaplara uygulaya2x + 66 cağı yıllık faiz oranlarını belirleyen y = . fonksiyonunun x+1 grafiği verilmiştir.

Aylık faiz olduğu için F=

Bu grafiğe göre, kaçıncı yıldan sonra yıllık faiz oranı % 10

t = 15 ay için F = A olacağına göre,

un altına düşer? A) 2.

B) 4.

C) 5.

D) 6.

Ant olur. 1200

A E) 7. =

A.n.15 1200 = &n = 80 olur. 1200 15 Cevap: D

(1999 ÖSS İPTAL)

212


YGS Matematik

1. Bir adam aylık % 5 ten bankaya yatırdığı parasına 8 ay sonra 160 ¨ faiz almıştır.

Adamın parası kaç ¨ dir? A) 240

B) 280

C) 320

D) 360

E) 400


7.

F=

Ant faiz formülünde, 100

n$

100 ve t ≠ 0 koşulu, t

aşağıdakilerden hangisini kesin olarak gerektirir? A) 0 < F ≤ A

B) 0 ≤ F < 2A

D) F ≥ A

C) 0 < F ≤ 2A

E) F > 2A

2. 5 yılda kendisinin 3 katı faiz getiren bir para yıllık yüzde kaçtan faize yatırılmıştır? A) 50

B) 55

C) 60

D) 70

E) 75

8. Ahmet parasının 13 ünü yıllık % 40 tan, geri kalanını ise yıllık % 60 tan 6 aylığına faize veriyor. Eğer tersini 1 yapsaydı, yani; parasının ünü yıllık % 60 tan, geri 3 kalanını ise yıllık % 40 tan 6 aylığına faize verseydi 100

3. Yıllık % 60 faiz oranı üzerinden bankaya yatırılan bir miktar para, kaç ay sonra kendisinin

1 ü kadar faiz 4

lira daha az faiz alacaktı.

geliri getirir? A) 3

B) 4

C) 5

D) 6

E) 8

Buna göre, Ahmet’in faize verdiği toplam para kaç liradır? A) 3750

4. Bir bankaya 15 aylığına yatırılan paranın kendisi ka

B) 3500 D) 2500

C) 3000

E) 2225

dar faiz geliri getirmesi için uygulanacak yıllık faiz oranı yüzde kaçtır? A) 65

B) 70

C) 75

D) 80

E) 85

9.

Bir banka, dolar olarak yatırılan paraya % 8, ¨ olarak yatı rılan paraya % 50 yıllık faiz veriyor. Doların 1,44 ¨ olduğu bir dönemde 1000 doları olan bir kişi parasını bir yıl için dolar olarak yatırıyor.

5. Yıllık % 60 faiz oranıyla bankaya yatırılan bir para 9 ay sonra faiziyle birlikte 1044 ¨ olarak çekiliyor.

ğinde zararlı çıkmaması için doların bir yıl sonraki

Alınan faiz kaç ¨ dir? A) 244

B) 274

C) 304

Bu kişi bir yıl sonra parasını faizi ile birlikte çekti

D) 324

değeri en az kaç ¨ olmalıdır?

E) 344

A) 2,10

B) 2,05

C) 2

D) 1,95

E) 1,90

6. A liranın % x ten 3 yılda getirdiği basit faiz, B liranın % y den 5 yılda getirdiği basit faize eşittir.

10. Bir bankaya yatırılan x ¨, 15 ay sonra faiziyle birlikte y ¨

3 A olduğuna göre, x ile y arasındaki bağıntı 2 aşağıdakilerden hangisidir? B=

A) 2x = 5y D) 5x = 11y

B) 3x = 7y

olmaktadır.

C) 4x = 9y

7x = 4y olduğuna göre, bankanın yıllık faiz yüzdesi kaçtır?

E) 6x = 13y

A) 40

213

B) 48

C) 52

D) 60

E) 70


Çözümler - I

A.5.8 160 = & A 400 ¨ 1. = 100

YGS Matematik

Ant 100F &n = dir. 100 A.t 100 100.F 100 & $ n$ t t A.t

7. F = Cevap: E

⇒

F ≥1 A

⇒ F ≥ A bulunur. Cevap: D

A.n.5 3= 2. = A & n 60 100 Cevap: C

8. Ahmet’in parası x lira olsun. 3.

A.60.t 4 = = & t 5 ay 1200 4 Cevap: C

x 2x .40.6 .60.6 3 + 3 1200 1200

x 2x .60.6 .40.6 = 3 + 3 + 100 1200 1200

denkleminden, x = 3000 lira bulunur. Cevap: C

4.

A.n.15 = A= & n 80 1200 Cevap: D .8.1 9. Faiz = 1000 = 80 $ 100

Toplam para = 1080 $ olur.

Faiz =

Toplam para = 1440 + 720

5.

A.60.9 + A = 1044 & A = 720 ¨ 1200

Faiz = 1044 – 720 = 324 ¨

1440.50.1 = 720 ¨ 100

= 2160 ¨ dir.

Yıl sonunda 1 $ en az;

2160 = 2 ¨ olmalıdır. 1080

Cevap: D

Cevap: C

.n.15 xn 7x 10. x + x1200 = y & x+ = 80 4 .x.3 B.y.5 = = & 3Ax 5By 6. A100 100 3A & 3Ax = 5. .y 2 & 6x = 15y & 2x = 5y

⇒ 80x + xn = 140x

⇒ xn = 60x

⇒ n = 60 bulunur. Cevap: D

Cevap: A

214


YGS Matematik

Çözüm

KARIŞIM PROBLEMLERİ

Karışım miktarı = 15 + 60 = 75 gramdır. Bu problemler de yüzde problemlerinin bir başka çeşitidir. En

Karışımdaki şeker oranı % x olsun.

az iki çeşit maddeyi birbirine karıştırarak çeşitli oranlarda karı

75.x = 15 = & x 20 100

şımlar elde edilir.

bulunur.

Karışımı meydana getiren maddelerin miktarlarının hesaplan

Cevap: E

ması soruların çözümü için önemli bir adımdır. *

x gram karışımın %a sı A maddesinden ise bu karışım daki A maddesinin miktarı,

*

x.a gramdır. 100

Bir karışımda bulunan A maddesinin oranını artırmak için ya bu karışımın içine A maddesinden katmalı ya da bu karışımdaki diğer maddelerin miktarını azaltmalıdır.

*

A ve B maddelerinin meydana getirdiği bir karışımdaki A ve B maddelerinin oranı içinde

Örnek

a ise, A maddesi bu karışımın b

a oranında; B maddesi bu karışımın içinde a+b

%12 si tuz olan 75 gram tuzlu sudan kaç gram su buhar laştırılmalıdır ki, karışımdaki tuz oranı %18 olsun?

b oranında bulunur. a+b

A) 15

A maddesinin bu karışımın içindeki yüzde oranı

%

100a , B maddesinin bu karışımın içindeki yüzde oranı a+b

%

100b dir. a+b

*

Bir karışımda;

Saf madde oran› =

B) 20

C) 25

D) 30

E) 35

Çözüm

saf madde miktar› dır. tüm kar›fl›m miktar›

Karışımdaki tuz miktarı

75.12 = 9 gramdır. 100

Karışımdan x gram su buharlaştırılsın. Bu durumda karışım (75 – x) gram, karışımdaki tuz miktarı 9 gramdır. Karışımın % 18 i tuz olduğundan, (75 − x).18 = 9 & (75 − x).18 = 900 100

Örnek 15 gram şeker ile 60 gram su karıştırılıyor. Karışımdaki şeker oranı yüzde kaçtır? A) 10

B) 12

C) 15

D) 18

⇒ 75 – x = 50

⇒ x = 25 gram bulunur. Cevap: C

E) 20

215


YGS Matematik

Çözüm

Örnek Şeker oranı % 20 olan 20 kg karışımla, şeker oranı % 10 olan

%30 su

30 kg karışım karıştırılıyor. Elde edilen yeni karışımdaki şeker oranı yüzde kaçtır? A) 14

B) 15

C) 16

D) 17

alt

E) 18

+

%100 su

20lt

=

%50 su

(a+20)lt

30 . a +100 . 20 = 50 . (a + 20) ⇒ 30a + 2000 = 50a + 1000 ⇒ 20a = 1000 ⇒ a = 50 olur.

Çözüm

Cevap: D

Şeker oranı % 20 olan 20 kg karışımdaki şeker miktarı; 20.20 = 4 kg dir. 100 Şeker oranı % 10 olan 30 kg karışımdaki şeker miktarı; 30.10 = 3 kg dir. 100 Bu iki karışım karıştırıldığında toplam karışım 20 + 30 = 50 kg ve yeni karışımdaki şeker miktarı 4 + 3 = 7 kg olur. Bu karışımdaki şeker yüzdesi x ise, 50.x = 7= & x 14 olur. 100 Cevap: A

Örnek % 30 u su olan a litrelik bir karışıma 20 litre daha su ilave ediliyor. Elde edilen yeni karışımın % 50 si su olduğuna göre, a kaçtır? A) 20

B) 25

C) 40

D) 50

E) 55 (2003 - ÖSS)

216


YGS Matematik

1.


Ağırlıkça % 20 si şeker olan 10 kg lık un - şeker karı

6. Şeker oranı % 15 olan 200 gr lık meyve suyu ile, şe

şımına 8 kg daha un eklendiğine göre, yeni karışımın

ker oranı % 10 olan 300 gr lık meyve suyu karıştı

şeker (kg) ß oranı kaçtır? un (kg)

ğında, elde edilen karışımın şeker oranı yüzde kaç

1 A) 5

olur?

1 C) 7

1 B) 6

1 D) 8

1 E) 9

A) 11

B) 11,5

C) 12

D) 12,5

E) 13

7. Kakao ve süt tozundan A ve B gibi iki homojen karışım yapılmıştır. A nın ağırlığı 10 gr ve kakao oranı % 90, B

2. 100 gram un ile 10 gram tuzdan homojen bir karışım el

nin ağırlığı 40 gr ve kakao oranı % 40 tır.

de ediliyor.

Bu karışımın 1 gramında kaç gram un bulunur?

A)

10 11

B)

9 10

8 C) 9

D)

9 11

E)

A ve B karıştırıldığında elde edilen yeni karışımın ka kao oranı % kaç olur?

8 11

A) 50

B) 53

C) 60

D) 65

E) 70

8. A kabında ağırlıkça % 30 tuz içeren 2 kilogram, B ka 3. Şeker oranı % 15 olan 120 gramlık şekerli su karışı

bında ise ağırlıkça % 10 tuz içeren 1 kilogram tuzlu su

mına kaç gram şeker katılırsa şeker oranı % 20 olur?

bulunmaktadır. A daki tuzlu suyun yarısı B ye alınarak

A) 5

karıştırılmış, sonra da B dekinin yarısı A ya alınarak ka

B) 6

C) 6,4

D) 7,5

E) 10

rıştırılmıştır.

A da son olarak elde edilen tuzlu suyun ağırlıkça % kaçı tuzdur? A) 28

B) 27

C) 26

D) 25

E) 24

4. 320 gram şekerli su karışımına 80 gram daha şeker ka tılınca şeker oranı % 24 e çıkmaktadır.

9. Ağırlıkça % 36 sı şeker olan homojen un – şeker karışı

Buna göre, ilk karışımın şeker oranı yüzde kaç idi? A) 5

B) 6

C) 8

D) 10

mının

E) 15

1 sı alınarak yerine aynı ağırlıkta un ekleniyor. 6

Yeni karışımın ağırlıkça şeker yüzdesi kaçtır? A) 10

100 AB B) A+B A+B 100.A D) A+B

D) 25

E) 30

kg, % 45 i şeker olan başka bir un - şeker karışımından

Bu karışımın ağırlıkça yüzde kaçı şekerdir? A)

C) 20

10. Ağırlıkça % 70 i şeker olan un - şeker karışımından x

5. A kg şeker, B kg un ile karıştırılıyor.

B) 15

C)

ise y kg alınarak % 65 i şeker olan yeni bir karışım elde ediliyor.

100.B A+B

A+B E) 100

Buna göre x, y nin kaç katıdır? A) 2

217

B) 3

C) 4

D) 5

E) 7

Çözümler - II


YGS Matematik

1.

10.20 = 2 kg şeker var. 100

.90 7. A karışımında 10 = 9 gram kakao vardır. 100

ßeker (kg) 2 1 = = dir. 8+8 8 un (kg)

B karışımında

Toplam karışım 50 gramdır.

50.x = 9 + 16 & x = 50 dir. 100

Cevap: D

40.40 = 16 gram kakao vardır. 100

2. Karışım 110 gramdır.

Cevap: A

110gr 1gr 10 = xgr = &x dır. 11 100gr Cevap: A .30 8. A kabında 2100 = 0, 6 kg tuz vardır. Yarısı B ye boşaltılınca tuzun da yarısı B ye gider.

3. x gram şeker katılsın.

kg karışım var. Bu karışımdaki tuz miktarı 0,3 + 0,1 = 0,4

120.15 = 18 gramdır. 100

Karışımdaki şeker miktarı =

(120 + x).20 = 18 + x & x = 7, 5 gram 100

B deki tuz miktarı 0,1 kg dir. Bu durumda B de toplam 2 kg dır.

A kabında 0,3 kg ı tuz olan 1 kg karışım kalmıştır. B kabındaki 0,4 kg ı tuz olan 2 kg karışımın yarısı A ya dö-

Cevap: D

külürse, A kabında 0,3 + 0,2 = 0,5 kg ı tuz olan 2 kg karışım olur.

4.

400.24 320.x = + 80 & x = 5 bulunur. 100 100

Bu durumda, B kabındaki karışımın tuz oranı % 25 tir. Cevap: D

Cevap: A

9. Karışım x kg olsun.

1 x.36 kg dır. Karışımın sı alıİçindeki şeker miktarı = 6 100 1 nınca şekerin de sı alınır. 6 x.36 1 6x 30x ü alınır, ü kalır. . = 100 6 100 100

Yeni karışımın % a sı şeker olsun.

(A + B).x = A & x.(A + B) = 100A 100 100A &x= A+B

5.

Cevap: D

x.a 30.x & a 30 bulunur. = = 100 100 Cevap: E

6. Birinci karışımdaki

şeker miktarı =

200.15 = 30 gram 100

İkinci karışımdaki

.70 y.45 (x + y).65 + = 10. x100 100 100

300.10 = 30 gram dır. şeker miktarı = 100 500.x = 30 + 30 & x = 12 dir. 100

& 70x + 45y = 65x + 65y & 5x = 20y & x = 4y bulunur.

Cevap: C

Cevap: C

218

MANTIK

YGS

21. BÖLÜM

MATEMATİK

Önermelerin Doğruluk Değeri:

MANTIK

Bir önermenin doğru ya da yanlış olmasına o önermenin doğruluk değeri denir. Önerme doğru ise 1 ya da D, yanlış ise Y

Önerme:

ya da 0 ile gösterilir.

Doğru veya yanlış kesin hüküm bildiren ifadelerdir. p, q, r, s, ... gibi harflerle gösterilir. Örneğin, "Kaç yaşındasınız?", "Seni seviyorum.", "Seninle

p

p

1

D

0

Y

ders çalışalım.", cümleleri kesin hüküm bildirmiyor. "Bir hafta yedi gündür." cümlesi kesin hüküm bildiriyor ve

!

doğru bir önermedir.

n tane önermenin karşılıklı doğruluk değerleri için 2n değişik durum vardır.

"3 + 2 = 7" kesin hüküm bildiriyor ve yanlış bir önermedir. “Portakal bir sebzedir.” cümlesi yanlış bir önermedir.

p q

“5 + 6 > 2 + 8” doğru bir önermedir. Önermeler p, q, r, s, t ... gibi harflerle gösterilir. Bir önermenin doğru ya da yanlış olmasına bu önermenin

1

1

1

0

0

1

0

0

İki önerme için 22 = 4 durum

doğruluk değeri denir. Bir önerme:

!

p q 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0

r 1 0 1 0 1 0 1 0

Üç önerme için 23 = 8 durum

Doğru ise doğruluk değeri 1 Yanlış ise doğruluk değeri 0

Tablolarda da görüldüğü gibi her önerme için durumların yarısı doğru yarısı yanlıştır.

yazılarak belirtilir. p önermesi için,

Denk (Eşdeğer) Önermeler:

Doğr u

D

1

Doğruluk değeri aynı olan önermelerdir. p ve q önermeleri

Yanlış

Y

0

denk önermeler ise p ≡ q şeklinde gösterilir. Önermelerin denkliği düşünülürken sadece doğruluk değerlerine bakılmalı önermelerin anlamları dikkate alınmamalıdır.

Örnek Aşağıdaki örnekleri inceleyiniz.

Örnek

A) “ Bir yıl 12 aydır.” (Doğru önerme) B) “10 + 20 = 30” (Doğru önerme)

p: Denizli İç Anadolu bölgesindedir.

C) “3 bir asal sayıdır.” (Doğru önerme)

q: 32 > 23

D) “4 bir tek sayıdır.” (Yanlış önerme)

r: Sigara sağlığa zararlıdır.

E) “Bu kız güzelmiş.” (Ne doğrudur, ne de yanlıştır önerme

s: 2 + 3 = 7

değildir.)

219

Mantık

YGS Matematik

İki veya daha fazla önermenin birbirine ve, veya, ise, ancak

Önermelerinin doğruluk değerleri tablodaki gibidir. p

q

r

s

0

1

1

0

ve ancak gibi bağlaçlarla bağlanmasıyla elde edilen yeni önermeye bileşik önerme denir.

Buna göre p ≡ s ve q ≡ r dir.

p: "İstiklâl Marşımızın yazarı Mehmet Akif Ersoy'dur."

q: "En küçük iki basamaklı asal sayı 15'dir."

p önermesi doğru, q önermesi yanlış olduğundan önermeler birbirine denk değildir.

p _ q dur.

Bir Önermenin Değili (Olumsuzu): Bir önermenin hükmünün değiştirilmesiyle oluşan yeni öner+

meye bu önermenin olumsuzu denir, P veya pı şeklinde gös-

1) Veya (∨) Bağlacı ile Kurulan Bileşik Önermeler

terilir. p

pı

p ile q önermelerinin “veya” bağlacı ile bağlanmasından olu-

1

0

şan bileşik önermeye p veya q bileşik önermesi denir.

0

1

p ∨ q ile gösterilir. p ∨ q bileşik önermesi bileşenlerinden en az biri doğru iken

Örnek

doğru, her ikisi de yanlış iken yanlıştır.

p: 7 > 2 ise pı : 7 ≤ 2 q: 4 = 5 ise qı : 4 ≠ 5 r: Gömleğimin rengi beyazdır.

ise

Örnek

r′ : Gömleğimin rengi beyaz değildir.

2 çift asal sayıdır veya 2 asal sayıdır. (Doğru)

!

Bir önermenin değilinin değili önermenin kendisine

Her ikisi de doğru olduğu için doğrudur.

eşittir. (pı)ı = p

Örnek

Bileşik Önermeler Aşağıdaki cümleleri inceleyiniz.

(–3) + (5) = –8 veya (–2)3 = –8 (Doğru)

"Elif işini bitirdi ve gezmeye gitti." "Beyaz arkadaşına veya sinemaya gitti"

Örnek

"Hava güneşli ise okul tatil olur." "Üniversite sınavını kazanmam ancak ve ancak çok çalışmamla

(–3)2 + (–2) > 5 veya –22 = 4 (Doğru)

mümkün olur."

En az biri doğru olduğu için doğrudur.

Yukarıdaki önermeler birbirine birtakım bağlaçlarla bağlanmıştır.

220

Mantık

YGS Matematik

“p ∧ q” (p ve q) biçiminde gösterilir.

Örnek En büyük nüfuslu ilimiz Ankara’dır veya –3 > 5 (Yanlış)

p ∧ q bileşik önermesi; her ikisi de doğru iken doğru diğer durumlarda yanlıştır.

Her ikisi de yanlış olduğu için yanlıştır.

“Abim benden büyüktür ve arı bir hayvandır.” (Doğru)

V bağlacının doğruluk tablosu:

“Armut bir meyvedir ve 4 bir tek sayıdır.” (Yanlış) “Üçgen bir karedir ve Lale bir çiçektir.” (Yanlış)

p

q

p∨q

1

1

1

1

0

1

0

1

1

0

0

0

∧ bağlacının doğruluk tablosu:

şeklinde olur.

p

q

p∧q

1

1

1

1

0

0

0

1

0

0

0

0

şeklinde olur.

Örnek

Örnek

p: “Güneş Dünya’dan küçüktür.” q: “En küçük asal sayı 2 dir.”

p: “Ali bir erkek ismidir.”

Aşağıdaki önermeleri yazıp doğruluk değerlerini bulunuz. a) p ∨ q

b) p´ ∨ q

c) p ∨ q´

d) p ´ ∨ q´

q: “En küçük tam sayı sıfırdır.” Aşağıdaki önermeleri yazarak, doğruluk değerlerini bulunuz.

Çözüm a) p ∨ q

a) p ∧ q

b) p´ ∧ q

c) p ∧ q´

d) p ´ ∧ q´

Çözüm

“Güneş Dünya’dan küçüktür veya en küçük asal sayı 2’dir.”

a) p ∧ q

0 ∨ 1 ≡ 1 (Doğru) b) p´ ∨ q

“Ali bir erkek ismidir ve en küçük tam sayı sıfırdır.”

“Güneş Dünya’dan küçük değildir veya en küçük asal sayı 2 dir.”

1∧0≡0

1 ∨ 1 ≡ 1 (Doğru)

b) p´ ∧ q

c) p ∨ q´

“Ali bir erkek ismi değildir ve en küçük tam sayı sıfırdır.”

“Güneş Dünya’dan küçüktür veya en küçük asal sayı 2 değildir.”

0∧0≡0

0 ∨ 0 ≡ 0 (Yanlış)

c) p ∧ q´

d) p´ ∨ q´

“Ali bir erkek ismidir ve en küçük tam sayı sıfır değildir.”

“Güneş Dünya’dan küçük değildir veya en küçük asal sayı 2 değildir.”

1∧1≡1

1 ∨ 0 ≡ 1 (Doğru)

d) p´ ∧ q´

2) Ve (∧) Bağlacı ile Kurulan Bileşik Önermeler

“Ali bir erkek ismi değildir ve en küçük tam sayı sıfır değildir.”

p ile q önermelerinin “ve” bağlacı ile bağlanmasından oluşan

0∧1≡0

bileşik önermeye p ve q bileşik önermesi denir.

221

Mantık

YGS Matematik

“veya”, “ve” Bağlaçları ile Kurulan Bileşik Önermelerin

Örnek

Özellikleri

(p ∧ q) ∨ (p´ ∧ q) bileşik önermesini en sade biçimde yazınız.

1. Tek kuvvet özelliği

Çözüm

p ∨ p ≡ p ve p ∧ p ≡ p

2. Değişme özelliği p ∨ q ≡ q ∨ p ve p ∧ q ≡ q ∧ p

3. Birleşme özelliği

(p ∧ q) ∨ (p´ ∧ q)

≡ (p ∨ p´) ∧ q

≡1∧q

≡q

3) ise (⇒) bağlacı (koşullu önerme)

(p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r)

Birinci önerme doğru, ikinci önerme yanlış iken (p ⇒ q) bileşik önermesi yanlış, diğer durumlarda doğrudur.

(p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r)

4. Dağılma özelliği p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)

p

q

p⇒q

1

1

1

1

0

0

0

1

1

0

0

1

De Morgan Kuralları:

"⇒" Bağlacının Özellikleri:

1. (p ∨ q)´ = p´ ∧ q´

1. p ⇒ q ≡ pı v q ⇒ ve p ⇒ q ≡ q′ ⇒ p′

2. (p ∧ q)´ = p´ ∨ q´

2. (p ⇒ q) ≠ (q ⇒ p) 3. p ⇒ (q v r) = (p ⇒ q) v (p ⇒ r)

Totoloji ile Çelişki

p ⇒ (q ∧ r) = (p ⇒ q) ∧ (p ⇒ r)

Bir bileşik önerme, kendisini oluşturan önermelerin her değeri için doğru oluyorsa bu bileşik önermelere totoloji, daima yan-

4) "ancak ve ancak" bağlacı (İki Yönlü koşullu Önerme)

lış oluyorsa bu bileşik önermelere çelişki denir.

p ve q önermeleri aynı doğruluk değerinde iken (p ⇔ q) bileşik önermesi doğru, diğer durumlarda yanlıştır.

Örnek p ∨ p´ ≡ 1 ve p ∧ p´ ≡ 0 dır. Bu denkliklerin tablolarını gösterelim.

p

q

p⇔q

1

1

1

1

0

0

0

1

0

0

0

1

"⇔" Bağlacının Özellikleri:

1. p ⇔ q ≡ (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p) 2. p ⇔ q = q ⇔ p

222

Mantık

YGS Matematik

Örnek

Örnek

p: a = 0

p, q ve r önermelerinin değilleri sırasıyla pı, qı, rı ile gös-

q: a + b = 0

terildiğine göre, aşağıdakilerden hangisi p v q ⇒ q ∧ r önermesine denktir?

r: a.b = 0

A) pı ∧ qı ⇒ qı ∨ rı

önermeleri veriliyor.

B) pı ∧ qı ⇒ qı ∧ rı

Buna göre, aşağıdaki koşullu önermelerden hangisi

C) pı ∨ qı ⇒ qı ∧ rı

doğrudur?

D) qı ∧ rı ⇒ pı ∨ qı

A) r ⇒ p

B) p ⇒ r D) p ⇒ q

E) qı ∨ rı ⇒ pı ∧ qı

C) q ⇒ p

(2010 YGS)

E) q ⇒ r

Çözüm p ⇒ q ≡ qı ⇒ pı denkliği kullanılarak

Çözüm

p: a = 0

q: a + b = 0

r: a.b = 0

(p v q) ⇒ (q ∧ r) ≡ (q ∧ r)ı ⇒ (p ∨ q)ı

önermesi elde edilir. Cevap: E

Bir Koşullu Önermenin Karşıtı, Tersi, Karşıt Tersi p ⇒ q koşullu önermesinin karşıtı, q ⇒ p dir.

A) r ⇒ p

≡ (qı ∨ rı) ⇒ (pı ∧ qı)

p ⇒ q koşulu önermesinin tersi pı ⇒ qı

a.b = 0 ⇒ a = 0 önermesi yanlıştır.

p ⇒ q koşullu önermesinin karşıt tersi qı ⇒ pı B) p ⇒ r

a = 0 ⇒ a.b = 0 önermesi doğrudur.

Örnek

C) q ⇒ p

a + b = 0 ⇒ a = 0 önermesi yanlıştır.

çünkü a = 2 ve b = -2 olabilir.

Bir üçgenin kenarları eşit ise bu üçgen eşkenar üçgendir. Önermesinin karşıtını, tersini ve karşıt tersini yazınız.

Çözüm

D) p ⇒ q

a = 0 ⇒ a + b = 0 önermesi de yanlıştır.

Çünlü b Y = 0 olabilir.

p: “Bir üçgenin kenarları eşit” q: “Bu üçgen eşkenar üçgen” p ⇒ q karşıtı q ⇒ p olduğundan üçgen eşkenar üçgen ise bu

E) q ⇒ r

a + b = 0 ⇒ a.b = 0 önermesi yanlıştır.

Çünkü a = 5 ve b = -5 için

a + b = 0 ancak a.b ≠ 0 dır.

üçgenin kenarları eşittir. p ⇒ q tersi p´ ⇒ q´ olduğundan bir üçgenin kenarları eşit değil ise bu üçgen eşkenar üçgen değildir. p ⇒ q karşıt tersi q´ ⇒ p´ olduğundan üçgen eşkenar üçgen değil ise bu üçgenin kenarları eşit değildir.

Cevap: B

223

Mantık

YGS Matematik

Koşullu Önerme İle İlgili Özellikler

Açık Önerme

1. (p ⇒ q) ≡ (q´ ⇒ p´)

İçinde en az bir tane değişken bulunan ve değişken-

2. (p ⇒ q) ≡ (p´ ∨ q)

lere verilen değerlere göre doğru ya da yanlış önermeye

3. (p ⇒ q)´ ≡ (p´ ∨ q)´ ≡ p ∧ q´

dönüşen ifadelerdir.

Örnek Örnek P(x) : 3x - 5 < 0 önermesi

[(p´ ⇒ q´) ∧ (p ∨ q´)]´ eşitini bulunuz.

x = 1 için doğru bir önermedir. (P(1) ≡ 1) x = 4 için yanlış bir önermedir. (P(4) ≡ 0)

Çözüm Niceleyiciler [(p´ ⇒ q´) ∧ (p ∨ q´)]´ 1. Evrensel niceleyici (∀) [(p ∨ q´) ∧ (p ∨ q´)]´ (ise bağlacının 2. özelliği) "Her" sözcüğü ile ifade edilen niceleyicidir.

(p ∨ q´)´ ∨ (p ∨ q´)´ ≡ (p´ ∧ q) ∨ (p´ ∧ q) (Dağılma özelliğinden) p´ ∧ (q ∨ q) ≡ p´ ∧ q bulunur.

!

Örnek

∀ niceleyicisi ile oluşturulan bir önermenin doğru olması için tüm değerlerin o önermeyi gerçekleşmesi gerekir.

Aşağıdaki örnekleri inceleyiniz. a) Kare bir dikdörtgendir. ⇔ 4 + 3 > 5 dir.

1⇔1≡1

Örnek

b) Asal sayılar tek sayılardır. ⇔ 2 çift sayıdır.

∀ x, x2 + 1 > 0 önermesi doğrudur.

0⇔1≡0

∀ x, 2x + 1 > 0 önermesi yanlıştır.

c) Ay, Dünya’nın uydusudur. ⇔ Sıfırdan küçük bütün sayılar negatif tam sayıdır.

1⇔0≡0 2. Varlıksal niceleyici (∃):

d) x2 < 0 ⇔ İstanbul, Türkiye’nin başkentidir.

"Bazı" sözcüğü ile ifade edilen niceleyicidir.

0⇔0≡1

224

Mantık

YGS Matematik

Alıştırmalar

!

∃ niceleyicisi ile oluşturulan bir önermenin doğru

1. p: “Ankara, İç Anadolu Bölgesi’ndedir.”

olması içi en az bir değerin o önermeyi gerçekleşmesi yeterlidir.

q: “3 + 2 > 4”

Önermeleri denk önermeler midir?

2. Veya (∨) bağlacının doğruluk tablosunu yapınız.

Örnek ∃ x, x + 5 ≥ 0 önermesi doğrudur.

3. p ∧ (q ∧ r) bileşik önermesinin doğruluk tablosunu yapınız.

∃ x ! N, x2 + 1 < 0 önermesi yanlıştır.

4. De Morgan Kuralları’nı yazınız. Niceleyicilerin olumsuzu (değili):

5. I. ∀ x, (x - 4)2 > 0

[∀ x, P(x)]ı = ∃ x, Pı(x) [∃ x, P(x)]ı = ∀ x, Pı(x)

Örnek

II. ∃ x, x2 + 3 < 0

III. ∀ x, x3 = x

IV. ∀ x, x2 – 4 = (x - 2)(x + 2)

V. ∃ x,

önermelerinden kaç tanesi doğrudur?

x2 =1 x2

[∃ x, P(x) ≤ 0]ı = [∀ x, P(x) > 0]

6. p: “5 > 3 ⇒ 3 + 2 = 5” önermesinin karşıtını, tersini ve karşıt tersini yazınız.

Örnek

7. İki yönlü koşullu önermenin doğruluk tablosunu yapınız.

[∀ x, P(x) < 0] ⇒ [∃ x, P(x) = 0] önermesinin değili nedir?

8. Aşağıdakilerin doğruluk değerlerini yazınız. Çözüm ([∀ x, P(x) < 0] ⇒ [∃ x, P(x) > 0])ı ≡ ([∀ x, P(x) < 0]ı ∨ [∃ x, P(x) = 0])ı ≡ [∀ x, P(x) < 0] ∧ [∃ x, P(x) = 0]ı ≡ = 0] [∀ x, P(x) < 0] ∧[∀ x, P(x) Y

225

a) 1 ∨ 1

b) 1 ∨ 0

c) 1 ∧ 0

d) 1 ∨ 0 ∨ 0

e) 0 ∨ [(1 ∧ 1) ∨ 0]

Çözümlü Test

Mantık

YGS Matematik

1. p: "Ali bir erkek ismidir."

6. [(0 ∨ 1)ı ∧ (1ı ∧ 0)ı] ∨ (p)

P: "En küçük tam sayı sıfırdır."

Aşağıdaki önermeleri yazarak, doğruluk değerlerini bulunuz. A) p ∧ q

B) pı ∧ q

C) p ∧ qı

D) pı ∧ qı

Önermesinin yanlış olması için, p önermesi aşağıdakilerden hangisi olmalıdır? A) 0 ⇔ 0

C) 0ı ⇒ 0

B) (1 ∧ 0)ı

D) (1 ⇔ 0)ı

E) 0 ∨ 1

E) p ∨ q

7. (x2 = 9) ⇒ (x = 3) ∨ (x = -3) 2. 6 tane farkı önermenin kaç değişik durumu vardır? A) 4

B) 16

C) 32

D) 64

E) 28

önermesinin karşıt tersi, aşağıdakilerden hangisidir? A) x2 ≠ 9 ⇒ (x = 3) ∧ (x = - 3) B) (x ≠ 3) ∧ (x ≠ - 3) ⇒ (x2 ≠ 9) C) (x2 ≠ 9) ⇒ (x ≠ 3) ∨ (x ≠ - 3) D) (x = 3) ∧ (x = - 3) ⇒ (x2 = 9) E) (x = 3) ∨ (x = - 3) ⇒ (x2 = 9)

3. (p ∧ q) ∨ (pı ∧ q) bileşik önermesini en sade biçimi aşağıdakilerden hangisine eşittir? B) pı

A) p

C) q

D) qı

E) 0

8. pı ⇒ (q ∨ pı) bileşik önermesi, aşağıdaki önermelerden hangisin denktir? A) 1

B) 0

C) p

D) q

E) qı

4. pı ∨ (q ∧ rı)ı = 0 olduğuna göre p, qı ve r önermelerinin doğrululuk değerleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir? A) 1, 0, 0

B) 1, 1, 0

D) 0, 0, 1

C) 0, 1, 0

9. [(q ∨ rı) ∧ (q ⇒ rı)]ı

E) 1, 0, 1

önermesi, aşağıdaki önermelerden hangisine denktir? A) 1

B) 0

D) rı

C) r

E) rı ∨ qı

I. Bir hafta yedi gündür. II. 13 çift sayıdır. III. 3 + 5 = 9 IV. Bugün tiyatroya gidelim.

10. x tam sayı olmak üzere, aşağıdaki önermelerden

V. Nereden geliyorsun?

hangisi yanlıştır?

5. Aşağıdakilerden hangileri önermedir? A) I ve II D) II ve III

B) I ve III

C) I, II, III E) III ve IV

A) ∃ x, x < 5

=0 B) ∀x, x2 + 1 Y

C) ∃ x, x2 < 2x

D) ∀ x, 3x ≥ 3 E) ∃ x,

226

x <1

Çözümler

YGS Matematik

Mantık

1. a) p ∧ q

4. A ∨ B ≡ 0 ise A ≡ 0 ve B ≡ 0 olmalıdır.

"Ali bir erkek ismidir ve en küçük tam sayı sıfırdır."

O halde;

1∧0≡0

pı ≡ 0 ve (q ∧ rı)ı ≡ 0 dır.

b) pı ∧ q

"Ali bir erkek ismi değildir ve en küçük tam sayı sıfırdır."

pı ≡ 0 ⇒ p = 1 dir.

0∧0≡0

(q ∧ rı)ı ≡ 0 ⇒ (q ∧ rı) = 1

c)

q ≡ 1 ve rı ≡ 1 olmalı.

"Ali bir erkek ismidir ve en küçük tam sayı sıfır değildir."

qı ≡ 0 ve r ≡ 0 olur.

1∧1≡1

d) pı ∧ qı

"Ali bir erkek ismi değildir ve en küçük tam sayı sıfır değildir."

0∧1≡0

e) Ali bir erkek ismidir veya en küçük tam sayı sıfırdır.

1∨0=1

p ∧ qı

Böylece, p ≡ 1, qı ≡ 0, r ≡ 0 bulunur. Cevap: A

5. Cümlelerden d ve e önerme değildir. Çünkü doğru veya yanlış kesin bir hüküm bildirmiyorlar. Buna karşın a, b ve c cümleleri birer önermedir. a önermesi doğru, b ve c önermleri yanlış önermedir.

6. [(0∨1)ı ∧ (1ı ∧ 0)ı] ≡ [1ı∧(0∧0)ı]

2. 2n = 26 = 64

≡ (0 ∧ 0ı) ≡ 0 ⇒ P ≡ 0 olmalıdır.

Cevap: D

A) B) C) D) E)

0⇒0≡1 (1 ∧ 0)ı ≡ 0ı ≡ 1 (0ı ⇒ 0) ≡ (1 ⇒ 0) ≡ 0 (1 ⇔ 0)ı ≡ 0ı ≡ 1 0∨1≡1 Cevap: C

7. p ⇒ q koşullu önermesinin karşıt tersi 3. (p ∧ q) ∨ (pı ∧ q) ≡ (p ∨ pı) ∧ q

≡1∧q

≡q Cevap: C

qı ⇒ pı dir.

p : x2 = 9

q : (x = 3) ∨ (x = - 3) denirse,

[(x = 3) ∨ (x = - 3)]ı ⇒ (x2 = 9)ı

= 3) ∧ (x Y = - 3) ⇒ x2 Y =9 ≡ (x Y Cevap: B

227

Çözümler

Mantık

8. pı ⇒ (q ∨ pı)

≡ (pı)ı ∨ (q ∨ pı)

(p ⇒ q ≡ pı ∨ q) (∨ da birleşme öz.)

≡ p ∨ (q ∨

≡ (p ∨ pı) ∨q

≡1∨q

≡1

pı)

Cevap: A

9. [(q ∨ rı)] ∧ (q ⇒ rı)]ı

≡ [(q ∨ rı) ∧ (qı ∨ rı)]ı

≡ [(q ∧

qı) rı)ı

≡ (0 ∨

≡ (rı)ı

≡r

∨

rı]ı

(İse özeliği) (∨ nin dağılma öz.)

Cevap: C

10. A) Örneğin x = - 2 alınsa, -2 < 5 olur. ve önerme doğrudur.

B) Tüm x tam sayıları için x2 H 0 ve x2 + 1 > 0 olur. Bu = 0 dır ve önerme doğrudur. nedenle x2 + 1 Y

C) Örneğin x = 1 için 12 < 2.1 doğru olur ve önerme doğrudur.

D) Örneğin x = 0 için 3° = 1 ve 1 ≥ 3 yanlış olur. Öyleyse, önerme yanlıştır.

E) Örneğin x = 0 için 0 = 0 dır ve 0 < 1 olur. Önerme doğrudur. Cevap: D

228

YGS Matematik

YGS

KÜMELER

MATEMATİK

22. BÖLÜM

Matematikte küme kavramı tanımsız terimlerden biridir. Bu

A = {1, 2, 3} , A = {2, 1, 3} veya A = {3, 1, 2} vs. biçiminde

nedenle küme ile neyin kastedildiğini örnekler vererek, sezgi

yazılabilir. Kümenin elemanlarının yazılış sırası önemli olma-

yoluyla anlamaya çalışalım:

makla beraber sıralanabilen elemanları küçükten büyüğe doğru yazmak daha uygundur.

Sınıfınızdaki kız öğrencilerin topluluğu, okulunuzdaki bütün öğrencilerin topluluğu, okulunuzdaki matematik öğretmenlerinin topluluğu, Türk alfabesindeki sesli harflerin topluluğu, okulunuzdaki 30 yaşındaki öğrencilerin topluluğu birer kümedir.

Ortak Özelik Metodu İle Gösterim

Türkiye’nin bazı şehirlerinin topluluğu, okulunuzun bir kaç

Bir kümenin elemanlarının hepsinde ortak olan bir özellik

öğretmeni, bazı asal sayılar birer küme değildir.

varsa bu özellik söylenerek küme belirtilebilir.

Verilen örneklerden anlaşılacağı üzere, bir topluluğa küme diyebilmek için, o topluluğu meydana getiren nesnelerin iyi

Bu yazılış, A = {x | ... } veya A = {x : … } biçimindedir.

tanımlanmış ve birbirinden farklı olması gerekmektedir.

A = {x | ... } ifadesindeki ... yerine x elemanlarının ortak

Kümeyi meydana getiren farklı nesnelerin her birine küme-

özelliği yazılır. A = {x | ... } gösterimi, “A kümesi x ele-

nin elemanı denir.

manlarından meydana gelmiştir, öyleki ...”

Kümeler genellikle A, B, C,... gibi büyük harflerle adlandırılırlar.

okunur.

Eğer bir x nesnesi bir A kümesinin elemanı ise bunu x ∈ A

Kümenin elemanlarının ortak özelikleri, { } işaretleri arasına

biçiminde yazar ve “x elemanıdır A” diye okuruz.

doğrudan yazılabilir.

biçiminde

x nesnesi A kümesinin elemanı değilse bunu x ∉ A biçiminde yazar ve “x elemanı değildir A” diye okuruz.

Örnek

KÜMELERİN GÖSTERİMİ

a) A = {x | x, ilk üç sayma sayısı} kümesi liste metoduyla; A = {1, 2, 3} biçiminde yazılabilir.

Yukarıda bir kümenin elemanlarının kesin biçimde belirlenmiş olması gerektiğini söylemiştik. Bu temel şartla beraber, küme-

b) B = {y | y, Türk alfabesinin sesli harfleri} ile

lerle ilgili işlemlerde kolaylık sağlayacak bazı küme gösterim biçimleri geliştirilmiştir. Aşağıda açıklayacağımız bu gösterim-

B = {a, e, ı, i, o, ö, u, ü} kümesi ifade edilmiştir.

lerden uygun olanı kümelerle ilgili işlemlerde kullanılır.

c) C = {x | x tam sayı ve 3 ≤ x < 7} kümesi liste biçiminde yazılırsa; C = {3, 4, 5, 6} olur.

Liste Metodu İle Gösterim

d) D = {x | x, Türkiye’deki genel liseler} kümesini liste biçi-

Kümenin elemanları { } sembollerinin arasına, birbirlerinden

minde yazmak kolay değildir. Ancak D kümesinin bütün

virgül ile ayrılarak yazılırsa, kümenin liste metodu ile yazılışı

elemanları bellidir.

elde edilir. Bu yazılımda elemanların sırası önemli değildir.

e) E = {Doğal sayılar} kümesi liste metoduyla

Aynı eleman birden fazla yazılmaz. A = {1, 2, 3}

E = {0, 1, 2, ..., n, ...} biçiminde ifade edilebilir.

B = {a, e, ı, i, o, ö, u, ü}

Bu biçimdeki yazılımlarda kümenin elemanlarının sıra-

C = {matematik, fizik, kimya}

sını bozmamak gerekir. Bu yazılımdaki üç nokta (...) ele-

gibi.

manların belirli olan kurala göre devam edeceğini anlatır.

229

Kümeler

YGS Matematik

Venn Şeması ile Gösterim

Çözüm

Bir kümenin elemanları kapalı düzlemsel bir şeklin iç bölge-

3 ile bölünebilen en küçük 4 doğal sayı:

sinde, yanlarına (.) konularak gösterilebilir. Bu gösterim biçi-

0, 3, 6, 9 olduğundan; A kümesinin

mine kümenin Venn şeması ile gösterimi denir. B

A

C

1 2 3

a

e

i

o

Kalem

A

liste biçiminde gösterimi:

0

3

A = {0, 3, 6, 9} dur.

6

9

A nın Venn şeması ile gösterimi

Defter

yanda görülmektedir.

Kitap

Örnek KELİMELER kelimesindeki harflerin kümesini yazınız.

Örnek

Çözüm

A = {1, 2, 3, 4, 5} ve B = {2, 4, 6, 8} kümelerinin birlikte Venn şemasında gösterimi aşağıdaki şekildeki gibidir. Her iki kümede

Verilen kelimeyi meydana getiren birbirinden farklı harfler;

de olan 2 ve 4 elemanları ortak olan bölgeye yazılmıştır.

K, E, L, İ, M, R dir. O hâlde, istenen küme; {K, E, L, İ, M, R} dir.

A

B

1

2 4

3 5

Sonlu ve Sonsuz Kümeler

6

Elemanları sayılabilir çoklukta olan kümelere, sonlu küme

8

denir. Eğer A kümesinin eleman sayısı m ise bunu n(A) = m veya s(A) = m biçiminde gösteririz. Elemanları sayılamaz çoklukta olan kümelere, sonsuz küme denir.

Örnek

Örnek A = {0, 2, 4, 6} kümesini ele alalım. Bu kümenin 4 tane ele-

B

A a

kümedir.

e

c

g

manı olduğunu hemen söyleyebiliriz. O halde A kümesi sonlu

d

b

B = {x | x çift tam sayı ve 1 < x < 1000} kümesinin kaç elemanı

f

olduğunu hesaplayabiliriz.

h

1 < x < 1000 olan x çift tam sayıları;

C

B = {2, 4, 6, ..., 996, 998} dir. Bu sayılar,

Yukarıdaki Venn şemasına göre;

998 : 2 = 499 tanedir. O hâlde, B kümesi sonlu kümedir.

A = {a, b, c}

C = {Türkçede K ile başlayan, anlamlı, 5 harfli kelimeler} nin kaç elemanlı olduğunu hemen söyleyemeyiz. Ancak iyi

B = {b, c, d, e, f}

bir çalışma yapılarak, bu kümenin eleman sayısı bulunabilir. Buna göre, C kümesi de sonlu kümedir.

C = {c, f, g, h} dir.

D = {Doğal sayılar} kümesinin elemanlarını sayamayız. Bu

Örnek

nedenle D kümesi sonsuz kümedir. E = {x | x gerçek sayı ve 0 < x < 1} kümesinin elemanlarını

A = {3 ile bölünebilen en küçük 4 doğal sayı} kümesini liste

sayamayız. Bu nedenle E kümesi sonsuz kümedir.

biçiminde ve Venn şeması ile gösteriniz.

230

Kümeler

YGS Matematik

Örnek

Örnek

Aşağıdaki kümelerin sonlu ya da sonsuz küme olup

a) A = {a, b, c} ve

olmadıklarını belirtiniz. a) A = {4 ten küçük doğal sayılar} b) B = {4 ten küçük tam sayılar}

A

a

1

B = {1, a, 2, b, 3, c}

b

2

kümeleri için A, B nin

c

3

B

özalt kümesidir.

c) C = {x | x doğal sayı ve x2 = 25}

Çözüm a) A = {0, 1, 2, 3} olduğundan, s(A) = 4 tür. O hâlde, A sonlu kümedir.

Çünkü, A kümesindeki

a, b, c elemanlarının hepsi B kümesinde de vardır.

A

b) A = {1, 2, 3} ve B = {3, 2, 1}

b) B = {..., –2, –1, 0, 1, 2, 3} olduğundan, B nin elemanlarını sayamayız. O hâlde, B sonsuz kümedir.

c) x2 = 25 denklemi sadece x = 5 doğal sayısı için sağlanır.

1

B

2

kümeleri için A ⊂ B ve B ⊂ A dır.

3

c) Sınıfınızda adı A ile başlayan

Buna göre, C = {5} tir ve sonlu kümedir.

öğrencilerin kümesi, sınıfınızdaki öğrencilerin kümesinin alt kümesidir.

Boş Küme Hiç elemanı olmayan kümeye boş küme denir ve ∅ veya { }

d) Çift tam sayılar kümesi tam sayılar kümesinin özalt

sembolü ile gösterilir. s(Q) = 0 dır.

kümesidir. e) M = {a, b, c} kümesi, N = {a, b, 1, 2, 3} kümesinin alt

Örnek

kümesi değildir.

a) A = {Türkçe’de B ile başlayan günler} kümesi, boş küme

dir. Çünkü, gün isimlerinden hiç biri B ile başlamamaktadır. A = ∅ , A = { } dir.

Çünkü c ∈ M olduğu hâlde,

M

c ∉ N dir. şekildeki Venn

c

şemasını inceleyiniz.

b) B = {x | x asal sayı ve 7 < x < 11} kümesi, boş kümedir. Çünkü; 8, 9, 10 tam sayılarından hiçbiri asal sayı değildir.

B = ∅ , B = { } dir.

a b

1

N

2 3

M ⊂/ N dir.

Örnek

ALT KÜME VE ÖZALT KÜME

A = {a, b, c} kümesinin bütün alt kümelerini yazınız. A ve B herhangi iki küme olsun. Eğer A kümesinin her ele-

Çözüm

manı B kümesinin de bir elemanı ise, A kümesi B kümesinin alt kümesidir denir ve A ⊂ B biçiminde gösterilir.

Hiç elemanı olmayan alt kümesi : Ø

Bu durum B ⊃ A biçiminde yazılıp “B, A yı kapsar” diye de okunabilir.

Bir elemanı olan alt kümeleri : {a}, {b}, {c}

A ⊂ B olmak üzere, B kümesinin A da olmayan en az bir ele-

İki elemanı olan alt kümeleri : {a, b}, {a, c}, {b, c}

manı varsa, A kümesine B kümesinin özalt kümesi denir.

Üç elemanı olan alt kümesi : {a, b, c}

A kümesinde olup B kümesinde olmayan en az bir eleman

dir. O hâlde, A = {a, b, c} nin 8 tane alt kümesi vardır. Burada

varsa, “A kümesi B kümesinin alt kümesi değildir” veya “B

∅ ⊂ A ve A ⊂ A olduğuna dikkat ediniz. {a, b, c} alt küme-

kümesi A kümesini kapsamaz” denir ve A ⊂/ B ya da B ⊃ / A

sinin dışındaki alt kümeler birer özalt kümedir.

biçiminde gösterilir.

231

Kümeler

YGS Matematik

h) 2∈A ve 3∈A olduğundan, {2, 3} ⊂ A dır. Önerme doğru-

İKİ KÜMENİN EŞİTLİĞİ

dur. ı)

A ve B kümeleri için A ⊂ B ve B ⊂ A ise, A ve B kümelerine,

A nın hiç elemanı olmayan alt kümesi ∅ dir. Önerme doğrudur.

eşit kümeler denir. A ve B eşit iki küme ise, A = B biçiminde yazılır. A ve B küme-

DENK KÜMELER

leri birbirine eşit değilse, A ≠ B biçiminde yazılır.

Eleman sayıları eşit olan kümelere denk kümeler denir. Denk

Örnek

kümeler, aralarına ≡ sembolü yazılarak gösterilir.

A = {0, 2, 4, 6} ve B = {x | 0 ≤ x ≤ 6 , x çift tam sayı} kümeleri

s(A) = s(B) ⇔ A ≡ B

eşit kümelerdir. Çünkü, B kümesini liste biçiminde yazarsak; B = {0, 2, 4, 6} dır. A daki bütün elemanlar B kümesinde var.

ALT KÜMENİN ÖZELLİKLERİ

O hâlde, A ⊂ B dir. Aynı biçimde, B deki bütün elemanlar A da var. B ⊂ A dır. A ⊂ B ve B ⊂ A olduğundan, iki kümenin

1. Boş küme her kümenin alt kümesidir. Her A kümesi için

eşitliği tanımından A = B dir.

Ø ⊂ A dır. 2. Her küme kendisinin alt kümesidir. Her A kümesi için

Örnek

A ⊂ A dır.

A = {1, 2, {2}, 3} veriliyor.

3. A, B, C kümeleri için A ⊂ B ve B ⊂ C

Aşağıdaki önermelerin doğruluk değerlerini söyleyiniz. a) s(A) = 4

b) 2 ∈ A

c) 5 ∈ A

d) 4 ∉ A

e) {2, 3} ∈ A

f) {2} ∈ A

g) {2} ⊂ A

h) {2, 3} ⊂ A

Bu özeliği yandaki Venn şemasında görüyorsunuz.

ı) Ø ⊂ A

C

B

A

4. A sonlu bir küme ve eleman sayısı n olsun.

Çözüm

A kümesinin bütün alt kümeleri sayısı; 2n dir. A kümesinin bütün özalt kümeleri sayısı; 2n–1 dir.

5. A sonlu bir küme ve eleman sayısı n olsun. m bir doğal

a) A kümesinin 4 tane elemanı vardır. O hâlde, önerme

sayı ve m ≤ n olmak üzere, A kümesinin m tane elemanı

doğrudur.

olan alt kümeleri sayısı

b) 2, A kümesinin elemanıdır. O hâlde, önerme doğrudur.

n n! c m= m!. ^n − m h! m

c) 5, A nın elemanı değildir. O hâlde, önerme yanlıştır.

d) 4, A nın elemanı değildir. O hâlde, önerme doğrudur.

ile hesaplanır.

6. m ≠ p olmak üzere, bir kümenin m elemanlı alt kümeleri

e) A kümesinde {2, 3} biçiminde bir eleman yoktur. O hâlde,

sayısı p elemanlı alt kümeleri sayısına eşitse, bu küme-

önerme yanlıştır. f)

ise, A ⊂ C

dir.

nin eleman sayısı; m + p dir.

A kümesinde {2} biçiminde bir eleman vardır. O hâlde, önerme doğrudur.

g) 2∈A dır. 2 elemanının tek başına meydana getirdiği alt küme {2} dir. O hâlde, {2} ⊂ A dır. Önerme doğrudur.

232

n = ank ⇔n=p+m k p m

a

veya m = p

dir.

Kümeler

YGS Matematik

Örnek

Çözüm

A = {a, b, e}

a) 1 den 15 e kadar olan asal sayıların kümesi;

B = {a, b, c, d}

olduğuna göre, (A ∩ B) ⊆ K ⊆ (A ∪ B) koşulunu sağlayan kaç tane K kümesi vardır? A) 3

B) 4

C) 5

A = {2, 3, 5, 7, 11, 13} dir.

b) s(A) = 6 olduğundan, A kümesinin alt kümeleri sayısı; D) 8

26 = 64 tanedir.

E) 9 (2010 YGS)

c) A nın özalt kümeleri sayısı; 64 – 1 = 63 tanedir.

Çözüm

d) s(A) = 6 olduğundan, A nın 4 elemanlı alt kümeleri sayısı:

A ∩ B = {a, b} ve A ∪ B = {a, b, c, e, d} ise

{a, b} ⊆ K ⊆ {a, b, c, e, d} koşulunu sağlamak için K küme-

6! 6! 6.5.4! 6.5 = = = = 15 dir. 4!.2 2 4!. ^6 − 4 h! 4!.2!

sinde a ve b elemanları mutlaka bulunmalıdır. Ayrıca, c, d, e

Örnek

elemanları kullanılarak 23 = 8 tane alt küme elde edileceğinden verilen koşulları sağlayan 8 tane K kümesi bulunabilir.

A = {x, y, z, t} kümesinin 2 elemanlı kaç tane alt kümesi

Cevap: D

vardır? Bu alt kümeleri yazınız.

Örnek

Çözüm s(A) = 4 olduğundan, A nın 2 elemanlı alt kümeleri sayısı:

A = {a, c, d} ve B = {a, b, c, d, e, f, g} olduğuna göre, B nin

4! 4! 24 = = = 6 d›r. 2!. ^4 − 2 h! 2!.2! 2.2

alt kümelerinin kaç tanesi A kümesini kapsar? A) 16

B) 32

C) 48

D) 96

Çözüm

E) 112

A = {x, y, z, t} nin 2 elemanlı alt kümeleri şöyle yazılır: x, y, z, t

(1994 ÖYS)

elemanlarından herhangi ikisi seçilir ve liste biçiminde yazılır. Her seçimle başka bir alt küme elde edilir. Buna göre, bütün 2 elemanlı alt kümeler: {x, y} , {x, z} , {x, t} , {y, z} , {y, t} , {z, t} dir.

B = {a, d, c, -, -, -, -} B deki boşluklara b, e, f, g B

Örnek

elemanlarından istediğimizi yazabiliriz. Yada

A a. d. hiçbirini yazmayabiliriz. c. b. 4 f. 2 = 16 tane kümenin hepsi de A c. g. kümesini içerir ve B nin alt kümesidir.

127 tane özalt kümesi olan bir kümenin 4 elemanlı kaç tane alt kümesi vardır? A) 28

B) 35

C) 42

D) 48

E) 52

Çözüm

Cevap: A

Bu kümenin eleman sayısı n olsun.

Örnek

2n – 1 = 127 denklemi yazılabilir.

A = {x | x asal sayı ve 1 ≤ x ≤ 15} veriliyor.

2n–1 = 127 ⇒ 2n = 128 ⇒ 2n = 27 ⇒ n = 7 bulunur. O hâlde,

a) A kümesini liste metoduyla yazınız.

küme 7 elemanlıdır.

b) A kümesinin kaç tane alt kümesi vardır?

Bu kümenin 4 elemanlı alt kümeleri sayısı:

c) A kümesinin kaç tane özalt kümesi vardır?

7! 7! 7.6.5.4! 7.6.5 = = = = 35 tir. 4!.3! 6 4!. ^7 − 4 h! 4!.3!

d) A kümesinin 4 elemanlı kaç tane alt kümesi vardır?

Cevap: B

233

Kümeler

YGS Matematik

Örnek

Örnek

Bir A kümesinin 5 elemanlı alt kümeleri sayısı 4 elemanlı

A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} veriliyor. A kümesinin bütün alt küme-

alt kümeleri sayısına eşittir.

lerinin kaç tanesinde;

a) s(A) kaçtır?

a) 5 ve 6 elemanlarından hiçbiri bulunmaz?

b) A kümesinin kaç tane özalt kümesi vardır?

b) 5 ve 6 elemanlarından biri veya ikisi bulunur?

c) A kümesinin 3 elemanlı kaç tane alt kümesi vardır?

c) 5 ve 6 elemanlarından yalnız biri bulunur?

d) A kümesinin en çok 2 elemanlı kaç tane alt kümesi vardır?

d) 5 ve 6 elemanlarının her ikisi de bulunur?

e) A kümesinin en çok 7 elemanlı kaç tane alt kümesi vardır?

Çözüm

Çözüm

a) A kümesinin 5 ve 6 dışında 4 tane elemanı vardır. Bu ele-

a) s(A) = 5 + 4 = 9 dur. b) Özalt kümeleri sayısı :

manlarının oluşturacağı alt kümelerde 5 ve 6 elemanların29 –

1 = 512 – 1 = 511 dir.

dan hiçbiri bulunmaz. O hâlde, 5 ve 6 elemanlarının bulunmadığı alt kümeler; {1, 2, 3, 4} kümesinin alt kümeleri olup

c) 3 elemanlı alt kümeleri sayısı;

24 = 16 tanedir.

9! 9! 9.8.7.6! = = = 84 tür. 3!.6! 3!. ^9 − 3h! 3!.6!

b) A kümesinin 26 = 64 tane alt kümesi vardır. (a) şıkkında

d) A kümesinin en çok iki elemanlı alt kümeleri; boş küme,

bulduğumuz 16 tane alt kümenin dışındaki alt kümelerde

bir elemanlı alt kümeleri ve iki elemanlı alt kümeleri-

5 ve 6 elemanlarından biri veya ikisi bulunur. Buna göre,

dir. Bir elemanlı ve iki elemanlı alt kümelerin sayılarını

istenilen sayı; 64–16 = 48 dir.

hesaplayalım:

c) (a) şıkkında bulduğumuz 16 tane alt kümenin her birine 5 i

Bir elemanlı alt kümelerin sayısı:

9! 9! = =9 1!⋅ ( 9 − 1)! 8 !

eleman olarak eklersek, 5 in bulunduğu 6 nın bulunmadığı

İki elemanlı alt kümelerin sayısı:

5 in bulunmadığı alt kümeleri elde etmiş oluruz. O hâlde, 5

9! 9 = = 36 2!. ^9 − 2 h! 2!.7!

Buna göre, A nın en çok iki elemanlı alt kümelerinin

alt kümeleri; 6 yı eleman olarak eklersek 6 nın bulunduğu

ve 6 elemanlarından yalnız birinin bulunduğu alt kümeler; 16 + 16 = 32 tanedir. d) (c) şıkkında yaptığımız gibi (a) şıkkında bulduğumuz

sayısı; 1 + 9 + 36 = 46 dır.

bütün alt kümelere 5 ve 6 yı aynı anda eleman olarak

e) En çok 7 elemanlı alt kümelerinin sayısını şöyle bulabiliriz:

katarsak, hem 5 hem de 6 nın bulunduğu alt kümelerin

A kümesi 9 elemanlı olduğundan, bütün alt kümelerinin

sayısı; 16 tane olur.

sayısından 9 elemanlı ve 8 elemanlı alt kümelerinin sayısını çıkarırız.

9 elemanlı alt kümelerinin sayısı:

İki Kümenin Birleşimi

9! 9! = =1 1!. ^9 − 9h! 9!.0!

A ve B herhangi iki küme olmak üzere, A nın ve B nin bütün

8 elemanlı alt kümelerinin sayısı:

9! 9 = =9 8!. ^9 − 8 h! 8!.1!

A∪B gösterimi “A birleşim B” biçiminde okunur.

olduğundan, en çok 7 elemanlı alt kümelerinin sayısı;

Birleşim kümesi ortak özelik metodu ile;

29 – (1 + 9) = 502 dir.

A∪B = {x | x∈A veya x∈B} biçiminde ifade edilir.

elemanlarının alınmasıyla elde edilen yeni kümeye A ve B kümelerinin birleşim kümesi denir ve A∪B ile gösterilir.

234

Kümeler

YGS Matematik

Çözüm

Örnek

A

a) A ∪ B kümesi, A nın ve B nin bütün elemanları-

Herhangi iki A ve B kümesinin birleşim kümesi yanda Venn şeması ile gösterilmiştir. Taralı bölge A∪B kümesidir.

B

nın oluşturduğu kümedir. Aynı eleman birden fazla yazılmayacağından;

A∪B

Örnek A = {a, b, c, d} ve

A

B = {a, b, d, e, f}

a b d

A ∪ B = {–2, –1, 0, 1} ∪ {–1, 0} = {–2, –1, 0, 1}

olur. s(A) = 4, s(B) = 2 ve s(A ∪ B) = 4 tür.

s(A) + s(B) = 4 + 2 = 6 olduğundan,

s(A) + s(B) > s(A∪B) dir.

b) A ∪ C = {–2, –1, 0, 1} ∪ {2, 3, 4}

B c

e

= {–2, –1, 0, 1, 2, 3, 4} tür.

f

s(A) = 4, s(C) = 3, s(A ∪ C) = 7 olduğundan;

s(A) + s(C) = s(A ∪ C) dir.

kümeleri için

c) A∪D = {–2, –1, 0, 1} ∪ {0, 1, 2}

A∪B = {a, b, c, d, e, f} dir. Hem A da hem B de olan a, b, d elemanları birleşim kümesinde bir defa yazılmıştır. Çünkü, aynı

= {–2, –1, 0, 1, 2} dir.

eleman küme içinde birden fazla yazılmaz.

s(A) = 4, s(D) = 3, s(A ∪ D) = 5 olduğundan;

s(A) + s(D) > s(A ∪ D) dir.

A 1 A , B ve B 1 A , B olduğuna dikkat ediniz.

Birleşim İşleminin Özelikleri

Örnek

1. Tek Kuvvet Özeliği

A = {Tek tam sayılar kümesi},

Her A kümesi için A∪A = A dır.

B = {Çift tam sayılar kümesi} ise,

2. Değişme Özeliği

A ∪ B = {Tam sayılar kümesi} dir.

A ve B kümeleri için A∪B = B∪A dır. 3. Birleşme Özeliği A, B, C kümeleri için A ∪ (B∪C) = (A∪B) ∪ C dir.

Örnek

4. Etkisiz (Birim) Eleman Özeliği

A = {–2, –1, 0, 1}, B = {–1, 0}, C = {2, 3, 4},

Her A kümesi için A ∪ Ø = Ø ∪ A = A dır.

D = {0, 1, 2} kümeleri veriliyor.

Örnek

a) A ∪ B kümesini yazınız.

s(A) + s(B) ve s(A ∪ B) sayılarını karşılaştırınız.

A = {–2, –1, 0, 1}

b) A ∪ C kümesini yazınız.

B = {–1, 1, 3 }

s(A) + s(C) ve s(A ∪ C) sayılarını karşılaştırınız.

C = {0, 1, 3, 5, 7} veriliyor. (A∪B)∪C

c) A ∪ D kümesini yazınız.

ve

A∪(B∪C)

kümelerini bulunuz.

(A∪B)∪C = A∪(B∪C) olduğunu görünüz. A∪B∪C kümesini

s(A) + s(D) ve s(A ∪ D) sayılarını karşılaştırınız.

Venn şemasında gösteriniz.

235

Kümeler

YGS Matematik

Çözüm

Örnek

(A∪B) ∪C = ({–2, –1, 0, 1} ∪ {–1, 1, 3}) ∪ {0, 1, 3, 5, 7}

= {–2, –1, 0, 1, 3 } ∪ {0, 1, 3, 5, 7}

= {–2, –1, 0, 1, 3, 5, 7 }

A

B c

a b d

e f

A = {a, b, c, d} ve B = {a, b, d, e, f} kümeleri için A∩B = {a, b, d} dir. Çünkü, hem A da hem de B de olan

A∪(B ∪C) = {–2, –1, 0, 1} ∪ {–1, 1, 3} ∪ {0, 1, 3, 5, 7}

= {–2, –1, 0, 1} ∪ {–1, 0, 1, 3, 5, 7}

= {–2, –1, 0, 1, 3, 5, 7 }

ortak elemanlar; a, b, d dir. A + B 1 A ve A + B 1 B olduğuna dikkat ediniz. Ayrık Kümeler A ve B kümeleri için A ∩ B = Ø ise, A ve B kümelerine, ayrık

Aynı elemanlardan oluştukları için

kümeler denir.

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)

Örnek

dir. A ∪ B ∪ C kümesi aşağıdaki Venn şemasında görül-

A: Çift tam sayılar kümesi,

mektedir.

B: Tek tam sayılar kümesi olsun.

A

B

A ve B kümeleri ayrık kümelerdir. Çünkü, hem tek hem de çift

Ð1

Ð Ð 22 0 55

11

77

olan hiçbir tam sayı yoktur. Kesişim İşleminin Özelikleri

3

1. Tek Kuvvet Özeliği

C

Her A kümesi için A∩A = A dır.

A∪ B∪ C

2. Değişme Özeliği Her A ve B kümeleri için A∩B = B∩A dır.

İki Kümenin Kesişimi

3. Birleşme Özeliği

A ve B herhangi iki küme olmak üzere, hem A da hem B de

Her A, B, C kümeleri için A ∩ (B∩C) = (A∩B) ∩ C dir.

bulunan bütün elemanların alınmasıyla elde edilen kümeye A ve B kümelerinin kesişim kümesi denir ve A∩B ile gösterilir.

4. Yutan Eleman Özeliği

A ∩ B gösterimi “A kesişim B” biçiminde okunur.

Her A kümesi için A ∩ Ø = Ø ∩ A = Ø

Kesişim kümesi ortak özelik metodu ile;

Birleşim ve Kesişim İşlemlerine Ait Ortak Özelikler

A∩B = {x | x ∈ A ve x ∈ B} biçiminde ifade edilir.

1. Birleşim İşleminin Kesişim İşlemi Üzerinde Dağılma Özeliği Her A, B, C kümeleri için

Örnek A

B

a. A ∪ (B∩C) = (A∪B) ∩ (A∪C)

Herhangi iki A ve B kümelerinin kümesi

yanda

kesişim Venn

( ∪ in ∩ üzerine soldan dağılma özeliği)

b. (A∩B) ∪ C = (A∪C) ∩ (B∪C)

şeması ile gösterilmiştir. A∩ B

dir.

Taralı bölge; A∩B dir.

( ∪ in ∩ üzerine sağdan dağılma özeliği) dir.

236

Kümeler

YGS Matematik

2. Kesişim İşleminin Birleşim İşlemi Üzerinde Dağılma Özeliği

Örnek

Her A, B, C kümeleri için

A = {x | 1≤ x ≤ 100 ve x, 5 ile bölünebilir.}

a. A ∩ (B∪C) = (A∩B) ∪ (A∩C)

( ∩ in ∪ üzerine soldan dağılma özeliği)

B = {x | 1≤ x ≤ 100 ve x, 6 ile bölünebilir.}

b. (A∪B) ∩ C = (A∩C) ∪ (B∩C)

kümeleri veriliyor.

(∩ in ∪ üzerine sağdan dağılma özeliği)

dir.

a) A kümesinin eleman sayısı kaçtır? b) B kümesinin eleman sayısı kaçtır? c) A∩B kümesinin eleman sayısı kaçtır?

3. Her A, B kümeleri için

A ∩ (A∪B) = A

A ∪ (A∩B) = A

dır.

d) A∪B kümesinin eleman sayısı kaçtır?

Çözüm a) A kümesi, 1 den 100 e kadar olan sayılar içinde 5 e bölünebilenlerdir.

Örnek −3 , 5E 2 16 B = ; 3, E 3 A=;

A = {5, 10, 15, ... , 95, 100} olur.

s(A) = 100:5 = 20 dir.

b) Aynı biçimde, B = {6, 12, 18, ... , 90, 96} olup

kapalı aralıkları için (A ∪ B) ∩ Z kümesinin eleman sayısı

kaçtır?

s(B) = 96 : 6 = 16 dır.

c) A∩B kümesi ise, 1 den 100 e kadar hem 5 e, hem 6 ya

(Z, tam sayılar kümesidir.) A) 4

B) 5

C) 6

bölünebilen sayıların kümesidir. D) 7

Çözüm A ∪ B = ;−

E) 8

(2012 YGS)

A∩B = {30, 60, 90} olup n(A∩B) = 3 tür.

d) s(A∪B) = s(A) + s(B) – s(A∩B)

3 16 , E kapalı aralığı elde edilir. Bu aralıktaki 2 3

= 20 + 16 – 3 = 33 bulunur.

tam sayılar -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 elemanlarından oluşmakta ve (A ∪ B) ∩ Z = {-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5} dir. EVRENSEL KÜME

Eleman sayısı ise 7 dir. Cevap: D

Kümelerle ilgili herhangi bir uygulamada, gereksinme duyulabilecek bütün kümeleri alt küme kabul eden kümeye “evrensel

4. Birleşim Kümesinin Eleman Sayısı

küme” denir ve genellikle E harfi ile gösterilir.

a. s(A∪B) = s(A) + s(B) – s(A∩B)

Evrensel kümede ihtiyaç duyulan bütün elemanlar vardır. İhti-

b. s(A∪B∪C) = s(A) + s(B) + s(C) – s(A∩B) – s(A∩C) –

yaç duyulmayan elemanlar ise yoktur. Yani, evrensel küme gereğinden daha kapsamlı değildir.

s(B∩C) + s(A∩B∩C)

237

Kümeler

YGS Matematik

Tümleme İşleminin Özelikleri

Örnek

1. Sadeleştirme Özelikleri

Sınıfınızdaki kız öğrencilerin kümesi, sınıfınızda ismi B ile

a. Ø´ = E dir.

başlayan öğrencilerin kümesi, sınıfınızdaki gözlüklü öğrencilerin kümesi ile ilgili işlem yaparken evrensel küme sınıfınız-

b. E´ = Ø dir.

daki bütün öğrencilerin kümesi olur.

c. (A´)´ = A dır.

Çift doğal sayılar, asal sayılar, 10 dan büyük doğal sayı-

ç.

lar kümesi ile işlem yaparken evrensel küme doğal sayılar

d. A∪A´ = E dir.

A∩A´ = Ø dir.

kümesi olur. 2. De Morgan Kuralları Evrensel küme sonlu veya sonsuz küme olabilir.

Her A ve B kümesi için; (A∪B)´ = A´∩B´ (A∩B)´ = A´∪B´

BİR KÜMENİN TÜMLEYENİ

dir. E evrensel küme ve A ⊂ E olsun. Evrensel kümenin A küme3. A ve B kümeleri için; A ⊂ B ⇔ B´ ⊂ A´ dır.

sinde bulunmayan elemanlarının kümesine A nın E ye göre tümleyeni denir ve A´ ile gösterilir.

Örnek

Bu tanımın ortak özelik metoduyla ifadesi;

[ (A∩B´) ∪ (A´∩B) ] ∪ (A∩B) ifadesini sadeleştiriniz.

A´ = { x | x ∉ A ve x ∈ E } biçimindedir.

Çözüm [(A∩B´) ∪ (A´∩B)] ∪ (A∩B)

Örnek

= (A∩B´) ∪ [ (A´∩B) ∪ (A∩B) ] (∪ in birleşme özeliği)

kısım A nın E ye göre tümleyeni,

yani

= (A∩B´) ∪ [(A´∪A) ∩ B]

E

a) Venn şemasında taralı

= (A∩B´) ∪ (E∩B)

A

A´

(Dağılma özeliği)

(A´ ∪ A = E, E evrensel küme)

= (A∩B´) ∪ B

A′

kümesidir.

= (A∪B) ∩ (B´∪B)

(Dağılma özeliği)

= (A∪B) ∩ E = A∪B

b) E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ve A = {3, 5, 6} için A nın E ye göre tümleyeni; A´ = {1, 2, 4} kümesidir. E de olup A da olma-

İKİ KÜMENİN FARKI

yan elemanlar A´ kümesinin elemanlarıdır.

A ve B herhangi iki küme olmak üzere, A kümesinin B de

c) E = {x | x tam sayı} ve A = {x | x çift tam sayı}

olmayan elemanlarının kümesine “A fark B” kümesi denir

kümelerine göre, A´ = {x | x tek tam sayı} olur.

ve A – B veya A \ B biçiminde gösterilir.

d) E = {x | x doğal sayılar} ve A = {x | x asal sayı} kümele-

Fark kümesini ortak özelik metodu ile;

rine göre, A´ = {x | x asal olmayan doğal sayı} olur.

A – B = { x | x ∈ A ve x ∉ B } biçiminde yazabiliriz.

238

Kümeler

YGS Matematik

Örnek A

Örnek A ve B herhangi iki küme olmak üzere,

B

(A∩B´) ∪ [ (B–A)´ – B´ ] ifadesini en sade biçimde yazınız.

Çözüm Venn şemasında taralı bölge; A – B kümesidir.

(A∩B´) ∪ [ (B–A) ´ – B´] = (A∩B´) ∪ [ (B∩A´)´∩ (B´)´]

= (A∩B´) ∪ [ (B´∪A ) ∩ B ]

= (A∩B´) ∪ [ (B´∩B ) ∪ ( A ∩B) ]

= (A∩B´) ∪ [ Ø ∪ ( A ∩ B) ]

= (A∩B´) ∪ (A∩B)

B – A = {2, 4, 5, 6, 7} – {1, 2, 3, 4} = {5, 6, 7} dir.

= A∩(B´∪B )

Aşağıdaki Venn şemasında açık taralı bölge,

= A∩E

A – B kümesi; koyu taralı bölge, B – A kümesidir.

= A

Örnek A = {1, 2, 3, 4} ve B = {2, 4, 5, 6, 7} için A – B = {1, 2, 3, 4} – {2, 4, 5, 6, 7} = {1, 3}

( E, evrensel küme)

Örnek A´ = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5}, C = {1, 2, 3, 4, 5}, D = {2, 3, 4, 5, 6, 7} olduğuna göre, Fark İşleminin Özelikleri 1. Her A, B kümeleri için A – B = A ∩ B´

a) (A∪B) ´ kümesinin elemanlarını bulunuz. b) B nin C kümesine göre tümleyenini bulunuz.

dir.

c) B nin D kümesine göre tümleyenini bulunuz. 2. Sadeleştirme Özelikleri

Çözüm

E evrensel küme, A ⊂ E olmak üzere; a. A – A = Ø b. A – Ø = A c. Ø – A = Ø

a) (A∪B)ı = A´ ∩ B´

(De Morgan kuralı)

= A´ – B

(– işleminin özeliği)

= {1, 2, 3, 4} – {3, 4, 5} = {1, 2}

bulunur.

b) B nin C ye göre tümleyeni, C de olup B de olmayan

d. E – A = A´ dir.

elemanlardır.

= B olmak üzere, A – B Y = B – A dır. 3. A Y

O hâlde, B nin C ye göre tümleyeni; {1, 2} olur.

c) B nin D ye göre tümleyeni; {2, 6, 7} dir.

4. Her A, B kümeleri için A – B ⊂ A dir.

Bir kümenin, farklı kümelere göre tümyeninin farklı olabileceğini görünüz.

239

Kümeler

YGS Matematik

Örnek

Örnek

A = "n ! Z + | n # 100; n, 3'e tam bölünür. , B = "n ! Z + | n # 100; n, 5'e tam bölünür. ,

∪ kümesi, 1, 2, 3, 4 rakamları kullanılarak oluşturulan ve rakamları birbirinden farklı olan dört basamaklı bütün doğal


sayıların kümesidir. ∪ nun elemanlarından 4 rakamı 1 raka-

Buna göre, A\B fark kümesinin eleman sayısı kaçtır? A) 33

B) 32

C) 30

D) 28

mının solunda olanlar A kümesini, 4 rakamı 2 rakamının sağında olan B kümesini oluşturuyor.

E) 27 (2011 LYS)

Çözüm

Buna göre, A ∪ B kümesinin eleman sayısı kaçtır? A) 12

A = "n ! Z + | n # 100; n, 3'e tam bölünür. , B = "n ! Z + | n # 100; n, 5'e tam bölünür. ,

B) 16

C) 18

D) 20

E) 24 (2004 ÖSS)

Çözüm

A\B kümesinin elemanları A da olup B de olmayan sayılardır.

4 3 2 1 ⇒ 4 . 3 . 2 . 1 = 24 = s(∪)

Yani, 3 e bölünüp 5 e bölünmeyen sayılardır.

A ve B kümelerinin eleman sayıları 12 dir.

3 ile kalansız bölünen sayıların sayısı

A ∩ B (yani 4 rakamı, hem 1 in solunda, hem de 2 nin

100 3 − 99 33 1

sağında) elemanları ise,

33 tür.

3241, 2413, 2431, 2341 olmak üzere 4 tanedir.

Okek(3,5) = 15 ile kalansız bölünen sayıların sayısı

s(A ∪ B) = s(A) + s(B) - s(A ∩ B)

100 15 − 90 6 1

= 12 + 12 - 4

= 20 dir.

6 dır.

Cevap: D

s(A\B) = 33 - 6 = 27 olur.

Örnek

Cevap: E

Kesişimleri boş küme olmayan M ve N kümeleri için,

Örnek

s(N) = 4s(M) Herhangi A ve B kümeleri için (A ∪ B) - (A ∩ B) fark

s(N\M) = 5 ⋅ s(M\N)

kümesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?

olduğuna göre, N kümesi en az kaç elemanlıdır?

A) A ∩ (A - B)

B) A ∪ (A - B)

C) (A - B) ∪ (B - A)

D) (A - B) ∩ (B - A)

A) 12

B) 16

C) 18

D) 20

(2003 ÖSS)

Çözüm

E) (A ∪ B) - (A - B)

E) 24

(2009 ÖSS) b + 5a = 4 . (a + b)

Çözüm A

⇒ b + 5a = 4a + 4b

B

A

B

A

⇒ a = 3b

B

M

N a

b

5a

s(N) = b + 5a =

-

(A∪B)

-

(A∩B)

= b + 5 . (3b)

= 16b olur.

N nin eleman sayısının en az olması için b = 1 alınırsa

= (A-B) ∪ (B-A)

s(N) = 16 bulunur. Cevap: C

Cevap: B

240


YGS Matematik

1. A = {1, 2, 3, 4, 5} kümesinin alt kümelerinin kaç tane-

6. s(A) = 8

sinde 5 elemanı bulunur? A) 24

B) 22

C) 20

D) 16

Kümeler

E) 8

s(B – A) = 3

olduğuna göre, A ∪ B kümesinin eleman sayısı kaçtır? A) 3

B) 5

C) 8

D) 11

E) 14

2. A = {a, b, c, d, e} kümesinin, 3 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde a elemanı bulunur? A) 4

B) 5

C) 6

D) 7

7. M ve N kümeleri

E) 8

B = { y | 8 < y < 900, y = 6k, k ∈ N }

olduğuna göre, (A ∩ B) nin eleman sayısı kaçtır? B) 66

C) 68

D) 70

M = { a, b, {1, 2}, ∆ }

N = { a, 1, 2, {∆} }

olduğuna göre, M – N fark kümesinin 2 elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır? A) 2

3. A = { x | 11 ≤ x ≤ 1200, x = 4n, n ∈ N }

A) 64

B) 3

C) 4

D) 5

E) 6

E) 74

8. s(A \ B) = 9, s(B \ A) = 7 ve A ∩ B nin alt küme sayısı 64 olduğuna göre, s(A ∪ B) kaçtır? A) 16

B) 22

C) 24

D) 26

E) 28

4. Pozitif tam sayılardan oluşan A = { x | x < 100, x = 2n, n ∈ Z+ } B = { x | x < 151, x = 3n, n ∈ Z+ }



B) 65

C) 74

D) 83

9. A, B herhangi iki küme ve A ∪ B, A – B, B – A kümelerinin alt küme sayıları sırasıyla 512, 32 ve 4 olduğuna göre, A ∩ B kümesinin eleman sayısı kaçtır?

E) 99

A) 6

B) 5

C) 4

D) 3

E) 2

5. A = {1, 2, 3}

A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5}

A – B = {1, 2}

olduğuna göre, B kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) {5}

10. A ve B herhangi iki kümedir.

B) {4, 5} D) {3, 4}

A ∪ B, A ∩ B ve A – B kümelerinin tüm alt kümeleri sayıları sıra ile 128, 1, 8 olduğuna göre B – A kümesinin eleman sayısı nedir?

C) {3, 4, 5}

A) 7

E) {1, 3, 5}

241

B) 6

C) 5

D) 4

E) 3

Çözümler - I

Kümeler

YGS Matematik

4. A = {2, 4, 6, ..., 96, 98}

1. A kümesinin alt küme sayısı = 25 = 32 dir.

{1, 2, 3, 4} kümesinin alt kümelerinde 5 bulunmaz. Bu kümenin alt küme sayısı ise 24 = 16 dir.

Buna göre, 32 – 16 = 16 tane alt kümesinde 5 elemanı bulunur.

B = {3, 6, 9, ..., 147, 150}

dir. A ∩ B kümesi, hem 2 ile hem de 3 ile bölünebilen sayıların kümesidir:

Cevap: D

2. a elemanı bulunan alt kümeler, {a, –, –} biçimindedir.

b, c, d, e elemanlarından herhangi ikisi a nın yanına

A ∩ B = {6, 12, 18, ..., 96} dır. s( A ) =

98 − 2 + 1 = 49 2

s(B ) =

150 − 3 + 1 = 50 3

s( A ∩ B ) =

96 − 6 + 1 = 16 6

olduğundan, s(A ∪ B) = 49 + 50 – 16 = 83 tür.

gelmelidir. 4 elemanın herhangi 2 si;

Cevap: D

4 4! c m= =6 2!. (4 − 2) ! 2

türlü seçilebilir. O hâlde, 3 elemanlı alt kümelerin 6 tanesinde a vardır. Cevap: C

3. A kümesi, 11 den 1200 e kadar 4 ün katı olan sayıların kümesidir.

B kümesi, 8 ile 900 arasında 6 nın katı olan sayıların kümesidir.

Buna göre, A ∩ B kümesi 11 den büyük 900 den küçük hem 4 ün hem de 6 nın katı olan sayılardır.

5. Verilenleri bir Venn şemasında yerlerine yazalım:

OKEK (4, 6) = 12 olduğundan,

A ∩ B = {m | 11 ≤ m < 900, m = 12t, t ∈ N} dir.

A ∩ B nin en küçük elemanı 12, en büyük elemanı 888

dir. Buna göre,

s (A + B) =

888 − 12 + 1 = 74 tür. 12

Önce, A – B = {1, 2} yerleştirildi. A = {1, 2, 3} olduğundan, kesişim bölgesine 3 yerleştirildi. Buna göre, B = {3, 4, 5} tir.

Cevap: E

Cevap: C

242

Çözümler - I

YGS Matematik

6.

A

9. 512 = 29 olduğundan, s(A ∪ B) = 9 dur.

B x

y

z

32 = 25 olduğundan, s(A – B) = 5 tir.

4 = 22 olduğundan, s(B – A) = 2 dir.

A

Venn şemasına göre,

s(A) = x + y = 8

s(B – A) = z = 3

Kümeler

B 5

olduğundan, s(A ∪ B) = x + y + z = 8 + 3 = 11 dir.

x

2

s(A ∪ B) = 9

⇒5+x+2=9 ⇒x=2

Cevap: D

dir. s (A ∩ B) = x ⇒ s(A ∩ B) = 2 dir. Cevap: E

7. M – N = { b, {1, 2}, ∆ } dir.

3 elemanlı bir kümenin 2 elemanlı alt kümeleri sayısı: 3 3! = 3 c 2 m 2= !.1! tanedir. Cevap: B

8. s(A ∩ B) = n olsun.

2n = 64 ⇒ n = 6

dır.

10. 128 = 27 olduğundan, s(A ∪ B) = 7 dir.

A

B x

y

z

1 = 20 olduğundan, s(A ∩ B) = 0 dır.

8 = 23 olduğundan, s(A – B) = 3 tür.

A

B 3

s(A \ B) = 9 ⇒ x = 9

s(B \ A) = 7 ⇒ z = 7

s(A ∩ B) = 6 ⇒ y = 6

olduğundan,

s(A ∪ B) = x + y + z = 9 + 7 + 6 = 22 dir.

Cevap: B

0

x

s(A ∪ B) = 7 ⇒ 3 + 0 + x = 7

⇒ x = 4 tür.

Buna göre, s(B – A) = x = 4 tür. Cevap: D

243


Kümeler

1. E evrensel küme olmak üzere,

4. A ve B kümeleri için

s(E) = 9

A⊄B

s(A ∩ B) = 3

B⊄A

s(A ∪ B) = 8

s(A ∩ B) = 2

olduğuna göre, A kümesinin en çok kaç elemanı olabilir?

s(A ∪ B) = 6 s(B) = 4

YGS Matematik

olduğuna göre, A kümesinin tümleyeni olan A´ kümesinin eleman sayısı kaçtır? A) 8

B) 7

C) 6

D) 5

E) 4

A) 4

B) 5

C) 6

D) 7

E) 8

2. A ve B iki kümedir.

s(A) = 2.s(B), s(A – B) = 10 ve A ∩ B kümesinin alt kümeleri sayısı 16 olduğuna göre, A∪B kümesinin eleman sayısı kaçtır? A) 12

B) 14

C) 17

D) 21

E) 24

5. A ve B birer küme olmak üzere 3. A ve B kümeleri E evrensel kümesinin alt kümeleri olmak üzere,

s(E) = 12

s(A \ B) = 4

s(A´ ∩ B´) = 2

olduğuna göre, B kümesinin eleman sayısı kaçtır? A) 2

B) 4

C) 5

D) 6

A – B kümesinin eleman sayısı 4,

B – A kümesinin eleman sayısı 5,

A kümesinin eleman sayısı 6

dır.


E) 7

244

B) 13

C) 11

D) 9

E) 7


YGS Matematik

Kümeler

6. Bir sınıfta Almanca veya Fransızca dillerinden en az bi-

9. Futbol, voleybol ve basketbol oynayanlardan oluşan bir

rini bilen 40 öğrenci vardır. Almanca bilenlerin sayısı; Fransızca bilenlerin sayısının 2 katı, her iki dili bilenlerin sayısının ise 4 katıdır.

sporcu kafilesinde, üç oyunu da oynayanlar 5, futbol ve voleybol oynayanlar 9, voleybol ve basketbol oynayanlar 8, futbol ve basketbol oynayanlar 6 kişidir.

Buna göre, sınıfta Almanca bilenlerin sayısı kaçtır? A) 18

B) 20

C) 24

D) 30

E) 32

Futbol oynayanlar 23, voleybol oynayanlar 21, basketbol oynayanlar 15 kişi olduğuna göre, kafilede kaç sporcu vardır? A) 36

B) 41

C) 53

D) 59

E) 64

7. Bir sınıfta, hem basketbol hem voleybol oynayanların sayısı 7, voleybol veya basketboldan en az birini oynayanların sayısı 16 dır.

Basketbol oynayanların sayısı, voleybol oynayanlardan 5 fazla olduğuna göre, bu sınıfta basketbol oynayan kaç kişi vardır? A) 14

B) 13

C) 12

D) 11

E) 10

10. Voleybol, futbol ve basketbol sporlarından en az birini yapan sporculardan oluşan 60 kişilik bir sporcu kafilesinde;

I. Her üç sporu da yapanların sayısı 6,

II. Sadece voleybol, sadece futbol ve sadece basketbol oynayanların sayıları birbirine eşit

III. Bu sporlardan herhangi ikisini yapanların yani

voleybol ve futbol

8. 18 kişilik bir gruptaki öğrenciler İngilizce ve Fransız-

futbol ve basketbol

ca dillerinden en az birini bilmektedirler. İngilizce bilenlerin sayısı, Fransızca bilenlerin 3 katıdır.

voleybol ve basketbol

Buna göre, sadece Fransızca bilenlerin sayısı aşağıdakilerden hangisi olabilir?

oynayanların sayıları eşittir.

Buna göre voleybol oynayanların sayısı en az kaçtır?

A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

A) 18

E) 5

245

B) 20

C) 24

D) 27

E) 30

Çözümler - II

Kümeler

1. A x

3

3. A´ ∩ B´ = (A ∪ B)´ olduğundan, s(A ∪ B)´ = 2 dir.

E

B

YGS Matematik

A

y

B 4

x

y

z

2

s(B) = 4 ⇒ 3 + y = 4 ⇒ y = 1 dir.

s(A ∪ B) = 6 ⇒ x + 3 + y = 6

⇒x+y=6

⇒ s(B) = 6 dır.

⇒x+3+1=6

⇒ x = 2 dir.

s(E) = 12 ⇒ 4 + x + y + 2 = 12

Cevap: D

s(E) = 9 ⇒ x + 3 + y + z = 9

⇒2+3+1+z=9

⇒ z = 3 tür.

E

4.

Buna göre, s(A´) = y + z = 1 + 3 = 4 tür.

A

B x

Cevap: E

2

y

s(A ∪ B) = 8 ⇒ x + y = 6 dır.

B ⊄ A olduğundan, y ! 0 dır. A kümesinde en çok eleman olabilmesi için y en küçük olmalıdır.

y = 1 alınırsa; x + y = 6 ⇒ x = 5 olur.

s(A) = 5 + 2 = 7 olur. Cevap: D

2. 16 = 24 olduğundan, s(A ∩ B) = 4 tür.

A

B 10

4

5.

x

A

B 4

5

s(A) = 2 . s(B) ⇒ 14 = 2 . (4 + x)

x

⇒ x = 3 tür.

s(A ∪ B) = 10 + 4 + x = 17 dir. Cevap: C

s(A) = 6 ⇒ 4 + x = 6 ⇒ x = 2 dir.

s(A ∪ B) = 4 + x + 5 ⇒ s(A ∪ B) = 11 dir. Cevap: C

246

Çözümler - II

YGS Matematik

6.

9.

F x + y + z = 40

A x

z

y

Kümeler

F

x + z = 2 . (z + y)

V a

x+z=4.z

z

denklem sisteminden; x = 24, y = 8, z = 8 bulunur.

x + z = 24 + 8 = 32 dir.

b

x 5

y

c B

x+5=9

y+5=8

z+5=6

a + x + z + 5 = 23

x + b + y + 5 = 21

z + 5 + y + c = 15

Cevap: E

denklem sisteminden; x = 4, y = 3, z = 1, a = 13, b = 9, c = 6 bulunur.

s(F ∪ V ∪ B) = 41 dir. Cevap: B

7.

V x + y + 7 = 16

B x

7

y

x + 7 = (7 + y) + 5

denklemlerinden; x = 7, y = 2 bulunur.

s(B) = x + 7 = 7 + 7 = 14 tür. Cevap: A

10. V

F a

8.

Ü x

y

z

x + y + z = 18 ⇒ 3 (y + z) + z = 18

y

B

denklemleri yazılabilir. Sadece Fransızca bilenlerin sayısı z dir.

6 c

x + y = 3 (y + z)

x z

F x + y + z = 18

b

⇒ 3y + 4z = 18

Bu denklem y = 2 ve z = 3 için sağlanır. Buna göre, sadece Fransızca bilenlerin sayısı 3 olabilir.

a + b + c + x + y + z + 6 = 60

a=b=c

x=y=z

denklemleri yazılabilir. Buradan,

3a + 3x + 6 = 60 ⇒ a + x = 18

olur. s(V) nin en az olması için x = z = 0 seçilmelidir.

3y + 4z = 18 denklemi y = 6, z = 0 için de sağlanır. Bu durumda, sadece Fransızca bilenlerin sayısı z = 0 olur.

Buna göre, a = 18 ve voleybol oynayanların sayısı en az

Cevap: C

Cevap: C

24 olur.

247

23. BÖLÜM

KARTEZYEN ÇARPIM

YGS MATEMATİK

Örnek

KARTEZYEN ÇARPIM

A = {x, y} , B = {1, 2, 3} veriliyor. Sıralı İkili:

a) A x B kümesini liste biçiminde yazınız.

a ve b reel sayıları için sırası önemli olmak üzere (a, b) ikilisine sıralı ikili denir.

b) B x A kümesini liste biçiminde yazınız.

Çözüm 1) a ! b ise (a, b) ! (b, a)

!

a) Tanım gereği A x B kümesinin elemanları sıralı ikililer olacaktır. Bu elemanların birinci bileşenleri A, ikinci bileşenleri

2) (a, b) = (c, d) ⇔ a = c ve b = d olmalıdır.

B kümesinden alınacaktır. Buna göre A x B kümesi şöyle olur:

Örnek

A x B = {(x, 1), (x, 2), (x, 3), (y, 1), (y, 2), (y, 3)}

b) Aynı biçimde,

(3x-2y, y) = (27, 2x + 3) olduğuna göre, x . y kaçtır?

B x A = {(1, x), (1, y), (2, x), (2, y), (3, x), (3, y)} olur.

İki kümenin kartezyen çarpımı şema ile gösterilebilir. Bunun için birbirine dik iki doğru parçası alınır ve birinci

Çözüm

kümenin elemanları yatay eksen üzerinde, ikinci küme3x-2y

nin elemanları düşey eksen üzerinde işaretlenir. Daha

= 27

sonra bu noktalardan dikler çıkılarak kesiştirilir.

3x-2y =33 ⇒ x - 2y = 3

y = 2x + 3 ⇒ y - 2x = 3 olur.

2

+ 2y - 4x = 6

1

- 3x = 9 ⇒ x = - 3

x - 2y = 3 denkleminde yerine yazarsak

- 3 - 2y = 3

(y, 3)

(x, 2) (x, 1) x

y

(y, 2)

y

(y, 1)

x A

AxB

- 2y = 6

(x, 3)

3

x - 2y = 3

A

B

x - 2y = 3

2 / y - 2x = 3

A x B ve B x A kümelerinin şemaları şekilde gösterilmiştir.

(1, y) (2, y) (3, y) (1, x) (2, x) (3, x) 1

2

3

B

BxA

AxB ve BxA kartezyen çarpım kümelerinin şemalarının farklı olduğuna dikkat ediniz.

y = - 3 olur.

Örnek

x . y = (-3) . (-3) = 9 bulunur.

A x B = {(2, a), (2, 1), (3, a), (3, 1), (4, a), (4, 1)} olduğuna göre,

İKİ KÜMENİN KARTEZYEN ÇARPIMI

A ve B kümelerini yazınız. Bulduğunuz A kümesi için AxA kümesini yazınız.

A ve B boş olmayan herhangi iki küme olsun. Birinci bileşeni A kümesinin elemanı, ikinci bileşeni B kümesinin elemanı olan ikililerin meydana getirdiği kümeye A ve B kümelerinin kartezyen çarpım kümesi denir ve AxB ile gösterilir.

Çözüm A x B kartezyen çarpım kümesinin elemanlarının birinci bileşenleri A kümesini, ikinci bileşenleri B kümesini meydana

Bu tanımı sembollerle;

getirir. Buna göre; A = {2, 3, 4} ve B = {a, 1} olur.

A x B = {(x, y) | x∈A ve y∈B} biçiminde ifade ederiz.

248

Kartezyen Çarpım

YGS Matematik

A x A = {(2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (4, 2), (4, 3),

Örnek

(4, 4)} tür.

A = {1, 2, 3}, B = {3, 4} olmak üzere A x B nin grafiği

Kartezyen Çarpımının Özelikleri

B

1. Kümelerde kartezyen çarpım işleminin değişme özeliği yoktur.

4

A ve B farklı iki küme ise, A x B ≠ B x A dır.

3

2. Kartezyen çarpım işleminin birleşim işlemi üzerinde dağılma özeliği vardır. 1

Her A, B, C kümesi için; A x (B∪C) = (AxB) ∪ (AxC)

2

A

3

Örnek

(B∪C) x A = (BxA) ∪ (CxA)

A = [1, 4) , B = (3, 5] olmak üzere A x B nin grafiği:

dır.

B 5

3. Kartezyen çarpımın kesişim işlemi üzerinde dağılma özeliği

4

vardır.

A x B

3

Her A, B, C kümesi için;

2

A x (B∩C) = (AxB) ∩ (AxC)

1

(B∩C) x A = (BxA) ∩ (CxA)

1

2

3

4

A

dır.

Örnek 4. A, B, C kümeleri boş olmayan herhangi üç küme olsun. A = {a, b, c, d}

A, B, C kümelerinin kartezyen çarpımı AxBxC biçiminde gös-

B = {b, c, d, e, f, g, k, l}

terilir.

C = {c, d, e, r}

AxBxC = {(x, y, z) | x∈A, y∈B, z∈C }

olduğuna göre, kartezyen çarpımlarının kesişimi olan

dir. (x, y, z) elemanına sıralı üçlü denir.

(A x B) ∩ (A x C) kümesinin eleman sayısı kaçtır? A) 10

A = {a, b}, B = {x}, C = {1, 2} için AxBxC kümesi şöyle olur: AxBxC = {(a, x, 1) , (a, x, 2) , (b, x , 1) , (b, x, 2) }

B) 12

C) 14

Çözüm

5. A ve B sonlu iki küme olmak üzere, AxB kümesinin eleman

(A x B) ∩ (A x C) = A x (B ∩ C) dir.

sayısı;

B ∩ C = {c, d, e}

A ve B kümelerinin eleman sayılarının çarpımına

eşittir.

D) 16

E) 18 (2005 ÖSS)

s[A x (B ∩ C)] = s(A) . s(B ∩ C)

A, B sonlu iki küme olmak üzere, n(AxB) = n(A) . n(B)

=4.3

= 12 bulunur. Cevap: B

dir.

249

Kartezyen Çarpım

YGS Matematik

Çözüm

Örnek

AxB = {(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2)} dir.

A = {-2, -1, 0} B = {1, 2, 3} kümelerinin A x B (kartezyen

Bu kümenin alt kümesi olan her küme A dan B ye bir bağıntıdır. Alt kümesi olmayan kümeler A dan B ye bağıntı değildir. Buna göre;

çarpımı) kümesinin noktalarını dışarıda bırakmayan en küçük çemberin yarıçapı kaç birimdir? 1 B) 3 C) 2 D) 2 A) 3

E) 1

a) β1 ⊂ AxB olduğundan, β1, A dan B ye bağıntıdır.

(1988 ÖYS)

b) β2 ⊂ AxB olduğundan, β2, A dan B ye bağıntıdır.

Çözüm

c) β3, AxB nin alt kümesi değildir. O hâlde, β3 , A dan B ye bir bağıntı değildir.

A x B = {(-2, 1), (-2, 2), (-2, 3), (-1, 1), (-1, 2), (-1, 3), (0,1), (0, 2), (0, 3)} olur. (A x B) nin grafiği

d) β4, A dan B ye bağıntı değildir. e) Ø ⊂ AxB olduğundan, β5, A dan B ye bir bağıntıdır.

y

Örnek A = {1, 2, 3} olduğuna göre, aşağıdaki bağıntılardan han-

3 r 1 -1

a) β1 = {(1, 1), (3, 3), (1, 3)}

2

b) β2 = {(2, 1), (3, 1)}

1 -2

gileri A da bir bağıntıdır?

1

x

0

c) β3 = {(1, 4), (3, 2), (3, 3)} d) β4 = Ø

Çözüm

Bu 9 noktayı dışarda bırakmayan en küçük çember, köşelerdeki noktalardan geçen çemberlerdir. Bu durumda, (-1, 2)

AxA = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2),

noktası, çemberin merkezi olur. Pisagor bağıntısından, r2 = 12 + 12 ⇒ r =

2 br bulunur.

(3, 3)} tür. Bu kümenin her alt kümesi A da bir bağıntıdır. Buna göre, β1 , β2 ve β4 bağıntıları A da bir bağıntıdır. (1, 4) ∉ A x A

Cevap: C

olduğundan β3 , A da bir bağıntı değildir. BAĞINTI

Bağıntının Elemanlarının Gösterimi

A ve B boş küme olmayan herhangi iki küme olsun. AxB

β, A dan B ye bir bağıntı olsun (β ⊂ AxB). Eğer (x, y) ikilisi β

kümesinin her alt kümesine A dan B ye ikili bağıntı veya

bağıntısının elemanı ise, (x, y) ∈ β veya yβx biçiminde yazılır

kısaca bağıntı denir ve genellikle β (beta) ile gösterilir.

ve x elemanı β bağıntısı ile y elemanına eşlenmiştir veya

Bu durumda A kümesine bağıntının tanım kümesi, B küme-

B nin y elemanı β bağıntısı ile A nın x elemanına bağlıdır

sine bağıntının değer kümesi denir.

biçiminde okunur.

A ≠ Ø olmak üzere, AxA kümesinin her alt kümesine A dan A ya

Bağıntının Ok Diyagramı ve Grafikle Gösterimi

bir bağıntı veya kısaca A da bir bağıntı denir.

A dan B ye verilen bir bağıntının ok diyagramı şöyle çizi-

Örnek

lir: A ve B kümeleri Venn şeması ile yanyana gösterilir. A nın hangi elemanlarının B nin hangi elemanlarına eşlendiği

A = {a, b, c}, B = {1, 2} veriliyor.

oklarla belirtilir.

Aşağıdaki kümelerden hangileri A dan B ye bir bağıntıdır? a) β1 = {(a, 2) , (b, 2) , (c, 1)}

b) β2 = {(c, 1) , (c, 2)}

A dan B ye verilen bir bağıntının grafiği ise şöyle çizilir:

c) β3 = {(a, 3) , (b, 2) , (c, 1)}

d) β4 = {(1, a) , (2, c)}

Bir düzlemde yatay eksen A, düşey eksen B olarak alınır ve

e) β5 = Ø

bağıntının her elemanı bu düzlemde işaretlenir.

250

Kartezyen Çarpım

YGS Matematik

c) Bağıntı A dan A ya olduğundan, ok diyagramı için tek

Örnek

Venn şeması kullanabiliriz. β bağıntısının şeması şöyledir:

A = {a, b, c} , B = {1, 3, 5} olsun. A dan B ye verilen

β = {(b, 1), (b, 5), (a, 3), (c, 3)} bağıntısının ok diyagramı ve grafiği aşağıdaki şekilde görülmektedir.

BAĞINTI SAYISI A ve B kümelerinin eleman sayıları sırasıyla n ve m olsun. AxB kümesinin eleman sayısının n.m olduğunu daha önce görmüştük. AxB kümesinin her alt kümesi A dan B ye bir

Örnek

bağıntı idi. AxB kümesinin bütün alt kümeleri sayısı; 2n.m olduğundan, A dan B ye tanımlanabilecek bütün bağıntıların

A = {1, 2, 3} kümesinde β = {(x, y) | x ≤ y} bağıntısı tanımlanıyor.

sayısı; 2n.m dir.

a) β bağıntısını liste metoduyla yazınız.

Örnek

b) β bağıntısının grafiğini çiziniz.

s(A) = 3 ve s(B) = 4 ise, A dan B ye 23.4 = 212 tane bağıntı

c) β bağıntısının ok diyagramını çiziniz.

tanımlanabilir. Bu bağıntılardan biri Ø, biri AxB nin kendisidir. Aynı biçimde, B den A ya da 212 tane bağıntı tanımlanabilir.

Çözüm

Ancak, A dan A ya 23.3 = 29, B den B ye 24.4 = 216 tane a) β bağıntısı ortak özelik metodu ile verilmiştir. AxA küme-

bağıntı tanımlanabilir.

sinin elemanı olan ikililerin birinci bileşeni ikinci bileşeninden küçük veya eşit olanlar β bağıntısının elemanıdır.

BAĞINTININ TERSİ

Önce AxA kümesini yazalım ve içinden β nın elemanlarını seçelim:

AxA = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3),

β, A dan B ye bir bağıntı olsun (β ⊂ AxB olsun.).

(3, 1), (3, 2), (3, 3)}

β–1 = {(y, x) | (x, y) ∈ β} kümesine β bağıntısının tersi veya β

AxA nın elemanlarından verilen özelliği sağlayanları alır-

nın ters bağıntısı denir. β–1 ⊂ BxA dır.

sak, β bağıntısını elde ederiz.

Tanımdan kolayca anlaşılacağı gibi β nın elemanı olan ikili-

β = {(1, 1) , (1, 2) , (1, 3) , (2, 2) , (2, 3) , (3, 3)} olur.

lerin bileşenleri yer değiştirilerek β–1 ters bağıntısı elde edilir.

b) β nın grafiği:

A 3

Örnek

β

A = {1, 2, 3} , B = {4, 5, 6, 7} kümeleri veriliyor. A dan B ye

2

tanımlı aşağıdaki bağıntıların ters bağıntılarını yazınız.

1 1

2

3

a) β1 = {(1, 4) , (2, 7) , (2, 6)}

A

b) β2 = {(x, y) | x2 < y , x ∈A , y∈B}

251

Kartezyen Çarpım

YGS Matematik

Çözüm

BAĞINTININ ÖZELİKLERİ

a) β1 liste metoduyla verildiğinden, β1 in ters bağıntısını

Buraya kadar A dan B ye tanımlanan veya A da tanımlanan

hemen yazabiliriz:

–1 β1

bağıntıları inceledik. Bu kısımda A da tanımlanan bağıntılara

= {(4, 1) , (7, 2) , (6, 2)} olur.

ait temel özelikleri inceleyeceğiz.

b) β2 ortak özelik metodu ile yazılmıştır. β2 yı liste metodu ile yazıp sonra β–1 2 ters bağıntısını yazabiliriz. Ancak bu

1. Yansıma Özeliği

her zaman mümkün olmayabilir. Bunun için β2 nin ters

β, A da bir bağıntı olsun. A nın her x elemanı için (x, x) ikilileri

bağıntısını ortak özelik metodu ile yazalım:

β nın elemanı ise, yani;

2 β–1 2 = {(y, x) | x < y ; x ∈A, y ∈B} ... (I)

veya

ise, β nın yansıma özeliği vardır veya β yansıyandır denir.

2 β–1 2 = {(x, y) | y < x ; y ∈A, x ∈B} ... (II)

Bu tanıma göre; β yansıyandır ⇔ [∀x∈A ⇒ (x, x)∈β]

biçiminde yazılır. Görüldüğü gibi ters bağıntıyı ortak öze-

çift gerektirmesi yazılabilir.

lik metodu ile yazmak için ya bağıntının elemanında iki-

O hâlde, ∃x∈A için (x, x) ∉β ise, β yansıyan değildir.

lilerin bileşenleri yer değiştirilir (I), veya bağıntının kura-

s(A) = m ise

“∀x∈A ⇒ (x, x)∈β”

lında x yerine y, y yerine x yazılır (II).

Yansıyan bağıntı sayısı 2 m

2−m

β–1 2 = {(4, 1), (5, 1), (6, 1), (7, 1), (5, 2), (6, 2), (7, 2)} olduğunu görünüz.

Örnek A = {a, b, c} kümesinde tanımlı aşağıdaki bağıntıların

Örnek

yansıyan olup olmadıklarını araştırınız.

A = {1, 2, 3, 4} kümesinde

a) β1 = {(a, a) , (b, b) , (c, c) , (a, b)}

β = {(x, y) | x, y yi böler} bağıntısı tanımlanıyor. a) β bağıntısını liste metoduyla yazınız.

b) β2 = {(a, a)}

b) β–1 bağıntısını liste metoduyla yazınız.

c) β3 = {(b, b) , (c, c) , (a, c) , (c, a) , (b, c)}

Çözüm

Çözüm

a) AxA kümesinin elemanlarından birinci bileşenindeki

a) a ∈A için (a, a) ∈ β1, β ∈A için (b, b) ∈ β1, c∈A için

sayı ikinci bileşenindeki sayıyı bölen ikililer β bağıntısı-

(c, c) ∈ β1 olduğundan, β1 bağıntısı yansıyandır.

nın elemanıdırlar.

Buna göre;

β = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 4), (3, 3), (4, 4)} tür.

b) β2 yansıyan değildir. Çünkü, b ∈A için (b, b) ikilisi β2 nin elemanı değildir. c) a∈A için (a, a) ∉ β3 olduğundan, β3 yansıyan değildir. (b, b) ∈β3 ve (c, c) ∈β3 olması β3 ün yansıyan olması

b) β–1 = {(1, 1), (2, 1), (3, 1), (4, 1), (2, 2), (4, 2), (3, 3), (4, 4)} olur.

için yetmez.

252

Kartezyen Çarpım

YGS Matematik

2. Simetri Özeliği

3. Ters Simetri Özeliği

β, A da bir bağıntı olsun. β nın her (x, y) elemanı için (y, x)

β , A da bir bağıntı olsun. x, y∈A ve x ≠ y için (x, y) ve

ikilisi de β nın elemanı ise β nin simetri özeliği vardır veya

(y, x) ikililerinden en çok biri β nın elemanı ise, β nın ters

β simetriktir denir.

simetri özeliği vardır veya β ters simetriktir denir.

Bu tanımı; β simetriktir ⇔ [ ∀(x, y) ∈ β ⇒ (y, x) ∈β] biçiminde

Bu tanım gereğince (x, x) biçimindeki ikililerin β da olması

ifade edebiliriz.

veya olmaması ters simetri özeliğini etkilemez. ∃ x, y∈A,

s(A) = n Simetrik bağıntı sayısı

x ≠ y için (x, y)∈β ve (y, x)∈β ise, β nin ters simetrik olma-

n (n + 1 ) 2 2

yacağı açıktır.

Örnek A = {1,2,3,4} kümesinde tanımlı aşağıdaki bağıntıların simetrik olup olmadıklarını araştırınız. a) β1 = { (1, 2), (2, 3), (3, 3), (3, 2), (2, 1) } b) β2 = { (1, 1), (1, 3), (3, 1), (2, 4) }

Örnek

c) β3 = { (x, y) x.y ≤ 4, x, y ∈ A }

A = {1, 2, 3, 4} kümesinde tanımlı aşağıdaki bağıntıların ters simetrik olup olmadıklarını araştırınız.

Çözüm

a) β1 = { (2, 2) , (2, 4) , (3, 1) , (3, 3) }

a) (1, 2) ∈ β1 ⇒ (2, 1) ∈ β1

b) β2 = { (1, 1) , (2, 2) }

(2, 3) ∈ β1 ⇒ (3, 2) ∈ β1

(3, 3) ∈ β1 ⇒ (3, 3) ∈ β1

(3, 2) ∈ β1 ⇒ (2, 3) ∈ β1

(2, 1) ∈ β1 ⇒ (1, 2) ∈ β1

olduğundan, β1 bağıntısının simetri özeliği vardır. β bağıntısını yazınız. β1 =

–1 β 1

c) β3 = { (1, 1) , (1, 3) , (1, 4) , (2, 3) , (4, 1) , (4, 4) }

–1 1

olduğunu görünüz.

b) (2, 4) ∈β2 olduğu halde, (4, 2) ∉β2 dır. O hâlde, β2

Çözüm

simetrik değildir. c) β3 bağıntısını liste biçiminde yazalım:

β3 = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (3, 1), (4, 1)}

olur. ∀(x, y) ∈ β3 iken (y, x) ∈β3 olup olmadığını kontrol

a) (x, x) biçimindeki elemanlar ters simetrik özelliğini bozmazdı. Bu tip elemanların dışında;

(2, 4) ∈ β1 ⇒ (4, 2) ∉ β1

etmeliyiz. Bu araştırmaya (x, x) biçimindeki elemanları

(3, 1) ∈ β1 ⇒ (1, 3) ∉ β1

katmaya gerek yoktur.

olduğundan, β1 ters simetriktir.

(1, 2) ∈ β3 ⇒ (2, 1) ∈ β3

(1, 3) ∈ β3 ⇒ (3, 1) ∈ β3

b) (x, x) biçimindeki elemanlar ters simetri özeliğini etkilemez. β2 bağıntısında bu biçimdeki elemanların dışında başka eleman yoktur. O hâlde, β2 ters simetriktir.

(1, 4) ∈ β3 ⇒ (4, 1) ∈ β3

olduğundan, β3 bağıntısı simetriktir.

c) (1, 4) ∈β3 ve (4, 1) ∈β3 olduğundan, β3 ters simetrik değildir.

253

Kartezyen Çarpım

YGS Matematik

b) (a, b) ∈β2 olduğu halde, birinci bileşeni b olan eleman

4. Geçişme Özeliği

olmadığından, (a, b) elemanını incelemeye katmıyoruz.

β, A da bir bağıntı olsun. ∀ [ (x, y) ∈ β ve (y, z) ∈ β ] ⇒ (x, z) ∈ β

[(a, c) ∈β2 ve (c, a) ∈β2 ] ⇒ (a, a) ∈ β2

oluyorsa, β nın geçişme özelliği vardır veya β geçişkendir

[(c, a) ∈β2 ve (a, c) ∈β2] ⇒ (c, c) ∈ β2

[(c, a) ∈β2 ve (a, b) ∈β2] ⇒ (c, b) ∉ β2

olduğundan, β2 geçişken değildir.

denir. Bu tanımda şu hususlara dikkat etmek gerekmektedir: Eğer (x, y) ∈ β için birinci bileşeni y olan herhangi bir (y, z)

c) β3 geçişkendir. Çünkü, (b, c) ∈β3 için c ile başlayan ikili

elemanı β bağıntısında yoksa bağıntının geçişme özeliği

yoktur.

bozulmaz. β bağıntısında (x, x) biçiminde elemanların olması bağıntıda

d) [(b, a) ∈β4 ve (a, b) ∈β4] ⇒ (b, b) ∉ β4 tür.

geçişme özeliğini etkilemez. Çünkü;

O hâlde, β4 geçişken değildir.

∀ [(x, x) ∈β ve (x, y) ∈β ] ⇒ (x, y) ∈β sağlanmaktadır. ∀ [(x, y) ∈β ve (y, y) ∈β ] ⇒ (x, y) ∈β sağlanmaktadır. (x, y) ∈β iken β da y ile başlayan (y, z) gibi bir eleman yoksa (x, z) ikilisi aranmayacağı için β nin geçişkenliği bozulmaz. (x, y) ∈ β iken β da x ile biten (z, x) gibi bir eleman yoksa (z, y)

Örnek

ikilisi aranmayacağı için β nin geçişkenliği bozulmaz. Pozitif reel (gerçek) sayılar kümesi üzerinde her a, b için 3a + b b(a, b) = bağıntısı tanımlanmıştır. b Buna göre, b(2, 3) = b(4, m) eşitliğinde m sayısı kaçtır?

Örnek

A) 5

A = {a, b, c} kümesinde tanımlı aşağıdaki bağıntıların

B) 6

C) 7

D) 8

geçişme özelikleri olup olmadıklarını araştırınız.

E) 9 (1998 ÖSS)

a) β1 = { (a, a), (a, b), (b, a), (b, b) } b) β2 = { (a, b), (a, c), (c, a), (a, a), (c, c) } c) β3 = { (b, c), (a, a) } d) β4 = { (a, b), (b, a), (a, a) }

Çözüm Çözüm b(a,b) =

3a + b ise b

b(2,3) =

3.2 + 3 =3 3

a) (a, a) ve (b, b) elemanları geçişme özeliğini etkilemeyeceğinden bileşenleri farklı olan ikililere bakalım:

[(a, b) ∈β1 ve (b, a) ∈β1] ⇒ (a, a) ∈β1

b(4, m) =

[(b, a) ∈β1 ve (a, b) ∈β1 ⇒ (b, b) ∈β1

⇒3=

olduğundan, β1 geçişkendir.

3.4 + m 12 + m = m m

12 + m & 3m = 12 + m ⇒ m = 6 olur. m Cevap: B

254

Mantık

YGS Matematik

3. (x, y) ∈ b ve (y, z) ∈ b ise(x, z) ∈ b olduğundan geçişmelidir. x – y = 5k

Örnek (1, 3), (3, 4), (5, 7), (0, 2), (3, 5), (5, 3) ikilileri veriliyor.

+

y – z = 5m x – z = 5 (m + k) ⇒ geçişken t

Aşağıdakilerden hangileri aynı denklik sınıfına girer?

1, 2, 3'den b denklik bağıntısıdır.

A) Hepsi aynı denklik sınıfına girer B) Her biri ayrı denklik sınıfına girer C) (1;3), (0;2), (3;5), (5;7)

Özellikleri

D) (3;5), (5;3)

1) Birbirine denk olan iki elemanın denklik sınıfları aynıdır.

E) (1;3), (3;4), (5;3)

2) Birbirine denk olmayan iki elemanın denklik sınıflarının

(ÖYS)

kesişimi boş kümedir. 3) Denklik sınıflarının birleşimi A kümesini verir.

Çözüm Sıralama Bağıntısı:

(0,2), (1,3), (3,5), (5,7) sıralı ikililerinin farkları hep aynı olduğundan aynı denklik sınıfına girer.

Bir A kümesinde tanımlı b bağıntısının yansıması, ters Cevap: C

simetri, geçişme özellikleri varsa b bağıntısına sıralama bağıntısı denir.

Denklik Bağıntısı: Bir A kümesinde tanımlı b bağıntısının yansıması, simetri,

Örnek

geçişine özellikleri varsa b bağıntısına denklik bağıntısı denir.

A = {0, 1, 2, 3, ..., 9}

Örnek

b = {(x, y): x ≤ y; x, y ∈ A} bağıntısı sıralama bağıntısı mıdır?

A = {0, 1, 2, 3, ..., 15} b = {(x, y): x ile y nin farkı 5 e tam bölünür.}

{x, y ∈ A}

Çözüm

Çözüm 1. ∀x ∈ A; x ≤ x olduğunda (x, x) ∈ b 1. ∀x ∈ A için x – x = 0 5 ile bölünür olduğundan (x, x) ∈ b, 2. x ≠ y iken x < y ise y < x olamaz yani (x, y) ∈ β ise

b yansıyandır.

(y, x) ∉ b dir. (Ters simetriktir.) 2. (x, y) ∈ b ise x - y = 5k ⇒ –(y – x) = –5k

3. x ≤ y ve y ≤ z ise x ≤ z olduğundan geçişme özelliği vardır.

⇒ (y, x) ∈ b

O halde β bağıntısı sıralama bağıntısıdır

b simetriktir.

255

Çözümlü Test

Kartezyen Çarpım

1. A = {1, 2, 3} , B = {a, b} kümeleri veriliyor. A x B kü-

Kartezyen Çarpım YGS Matematik

4. R de bir β bağıntısı

mesini liste yöntemiyle yazınız ve grafikle gösteriniz.

β= { (x, y) | 3x + 4y = 14; x, y ∈ R }


Buna göre, β ∩ β–1 aşağıdakilerden hangisidir? A) { (1, 1) }

B) { (2, 2) }

D) { (3, 4) }

C) { (0, 0) } E) { (4, 3) }

2. A = {–1, 0, 1, 2, 4} kümesinde tanımlı β = { (x, y) | y = x2 ; x, y ∈ A }

bağıntısının liste biçiminde yazılımı aşağıdakilerden hangisidir? A) β = { (1, 1), (0, 0) } B) β = { (–1, 1), (0, 0), (1, 1) }

5. A = {0, 1, 2, 3} kümesinde tanımlı

C) β = { (–1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 4) }

β = { (x, y) | y, x e tam bölünür. }

D) β = { (0, 0), (1, 1), (2, 4) }

E) β = { (1, –1), (0, 0), (4, 2) }

bağıntısının kaç tane elemanı vardır? A) 2

B) 5

C) 8

D) 10

E) 12

3. R de

β = { (x, y) | 3x + 4y = a; x, y ∈ R }

bağıntısı tanımlanıyor.

β–1

(5, –2) ∈ A) –5

6. A = {1, 2, 3} kümesinde tanımlanan bağıntıların kaç tanesinde (1, 2) elemanı vardır?


B) 1

C) 7

D) 14

E) 19

A) 8

256

B) 16

C) 64

D) 128

E) 256

Çözümlü Test

YGS Matematik

7. A = {x, y, z} kümesinde 3 elemanlı kaç tane bağıntı

9. A = {1, 2, 3, 4} kümesinde aşağıda grafiği verilen β bağıntısı tanımlanıyor.

tanımlanabilir? A) 3

B) 9

Kartezyen Çarpım

C) 36

D) 54

E) 84

A 4 3 2 1 1 2 3 4

A

β nin geçişken olması için β ye en az hangi ikililer katılmalıdır? A) (3, 1), (2, 3)

B) (1, 2)

C) (1, 2), (2, 3)

D) (3, 3), (2, 3)

E) (1, 2), (3, 3)

10. R de tanımlı β = {(x, y) | x2 + 4x = y2 + 4y; x, y ∈ R}

8. Z de tanımlı β = { (3, 7), (5, 3), (3, 5) }

bağıntısına en az kaç tane eleman ilave edilirse, bağıntı geçişken olur? A) 1

B) 2

C) 3

bağıntısında

I. Yansıma

II. Simetri

III. Ters simetri

IV. Geçişme

özeliklerinden hangileri vardır? A) Yalnız I

D) 4

E) 5

D) II ve IV

257

B) Yalnız II

C) I ve III

E) I, II ve IV

Çözümler

Kartezyen Çarpım

1. A x B = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)}

6. s(A x A) = 32 = 9 dur. Bu 9 elemandan biri (1, 2) dir. 9 elemanlı bir kümenin alt kümeleri sayısı 29 = 512 dir. Bu 512 alt kümenin bazılarında (1, 2) elemanı vardır, bazılarında yoktur. 9 elemandan (1, 2) dışındaki 8 tanesinin meydana getirebileceği 28 = 256 tane alt kümede (1, 2) elemanı yoktur.

B

AxB

b a 1

2

3

YGS Matematik

A

O hâlde, 512 – 256 = 256 tanesinde (1, 2) elemanı vardır. Cevap: E

2. β nin liste biçiminde yazılışı C şıkkında verilmiştir. 7. s(A x A) = 32 = 9 dur. 9 elemanlı bir kümenin 3 elemanlı

Cevap: C

alt kümeleri sayısı; 9 9! c m = = 84 tür. 3!.6! 3 Cevap: E

3. (5, –2) ∈ β–1 ⇒ (–2, 5) ∈ β

⇒ 3 . (–2) + 4 . 5 = a

⇒ a = 14 tür. Cevap: D

8. β ya en az (5, 7), (5, 5), (3, 3) elemanları ilave edilince bağıntı geçişken olur.

4. β = { (x, y) | 3x + 4y = 14; x, y ∈ R }

β–1 = { (x, y) | 4x + 3y = 14; x, y ∈ R }

olduğundan, β ∩ β–1 i bulmak için,

3x + 4y = 14

4x + 3y = 14

Cevap: C

denklem sistemi çözülmelidir. Bu sistemin çözümünden, x = 2, y = 2 bulunur.

9. β = { (1, 1), (1, 3), (3, 2) } dir. β nin geçişken olması için β ye en az (1, 2) elemanı ilave edilmelidir.

O hâlde, β ∩ β–1 = { (2, 2) } dir.

Cevap: B

Cevap: B

5. β = { (x, y) | y, x e tam bölünür. }

= { (1, 0), (1, 1) (1, 2), (1, 3), (2, 0),

10. β da sadece ters simetri özeliği yoktur.

(2, 2), (3, 0), (3, 3) }

olduğundan, s(β) = 8 dir.

Çünkü, (0, –4) ∈ β ve (–4, 0) ∈ β dır. Cevap: E

Cevap: C

258

FONKSİYONLAR

YGS

24. BÖLÜM

MATEMATİK

Fonksiyon

c) β3 = {(1, b), (2, d), (2, a), (3, c)} alalım.

Bu kısımda, bağıntının özel bir hali olan fonksiyonu inceleyeceğiz. Fonksiyon kavramı matematikte önemli bir yer tutar. Tanımdan önce fonksiyonu örnekle açıklamaya çalışalım. Her aşamada fonksiyonun bir bağıntı olduğunu unutmayınız.

Şekilde

bu

bağıntının

β3

şemasını görmektesiniz.

A ve B boş kümeden farklı iki küme ve f, A dan B ye bir bağıntı olsun. Eğer; ∀x ∈ A için ∃ y ∈ B öyle ki (x, y) ∈ f

Bu bağıntıda ise, A nın hiçbir

A

B a

elemanı boşta kalmamıştır.

1

b

Ancak A kümesindeki 2 ele-

2

c

manı B nin a ve d elemanla-

3

d

rına ayrı ayrı eşlenmiştir.

ise, f bağıntısına “A dan B ye bir fonksiyon” denir.

d) β4 = {(1, b), (2, b), (3,b)} alalım. Bu bağıntıda tanım

A ya fonksiyonun “tanım kümesi”, B ye fonksiyonun “değer kümesi” denir.

kümesinin her elemanı değer kümesinin b elemanı ile

f B biçiminde A dan B ye f fonksiyonu; f : A → B veya A → gösterilir.

den fazla elemanla eşlenmemiştir.

eşlenmiştir. Tanım kümesindeki herhangi bir eleman bir-

Bu örneklerde şu özeliklere dikkat etmeliyiz:

Fonksiyonlar genellikle f, g, h harfleri ile isimlendirilirler.

Bağıntının tanım kümesindeki her eleman (a da olduğu gibi) farklı elemanlara eşlenebilir.

Bu tanıma göre; eğer f bağıntısı, A nın her elemanını B nin elemanlarına yalnız bir defa eşliyorsa, f bağıntısı A dan B ye bir fonksiyondur.

Bağıntının tanım kümesindeki bazı elemanlar (d de olduğu gibi) aynı elemanla eşlenebilir.

Aşağıdaki örnekte yapılan açıklamaları inceleyiniz.

Bağıntının tanım kümesindeki bazı elemanlar (b de olduğu

Örnek

gibi) hiçbir elemanla eşlenmeyebilir.

A = {1, 2, 3} , B = {a, b, c, d} kümeleri veriliyor. A dan B ye

Bağıntının tanım kümesindeki bazı elemanlar (c de olduğu

bazı bağıntılar alıp inceleyelim:

gibi) birden fazla elemanla eşlenebilir.

a) β1 = {(1, b) , (2, c) , (3, a)} alalım. Şekilde bu bağıntının

Bağıntının değer kümesindeki elemanlardan bazıları birden

şemasını görmektesiniz.

β1 A 1

fazla elemanla eşlenebildiği hâlde, bazıları hiçbir elemanla Şemada

B

bağıntının

eşlenmeyebilir.

tanım

kümesi olan A daki her eleman

Yukarıdaki örnekte incelenen β1 ve β4 bağıntıları birer fonk-

a

B nin yalnız bir elemanıyla

siyondur. β2 ve β3 bağıntıları ise fonksiyon değildir. Çünkü,

b

eşlenmiştir. A kümesinde boşta

β2 bağıntısında tanım kümesindeki 1 elemanı hiçbir elemanla

2

c

eleman kalmamıştır ve A nın

eşlenmemiştir. β3 bağıntısında ise, tanım kümesindeki 2 ele-

3

d

herhangi bir elemanı birden

manı a ve d gibi farklı iki elemana eşlenmiştir.

fazla elemanla eşleşmemiştir.

Her fonksiyon bir bağıntı olduğuna göre, bağıntının gösterim biçimleri fonksiyon için de geçerlidir. Eğer f fonksiyonu için

β2

b)

B

A

a

1

b

2

c

3

d

(x, y) ∈ f ise, bunu f : x → y veya

β2 = {(2, a), (3, c)} alalım. Şekilde bu bağıntının şemasını görmektesiniz.

f(x) = y biçiminde

gösteririz ve “x in f altındaki görüntüsü y dir” diye okuruz. O hâlde, bir bağıntının fonksiyon olması için tanım küme-

Bu bağıntıda tanım kümesindeki 1 elemanı hiçbir elemanla eşleşmemiştir. Diğer iki eleman ise birer elemanla eşleşmiştir.

sinde eşlenmeyen eleman kalmamalıdır ve tanım kümesindeki bir eleman birden fazla elemanla eşlenmemelidir. Değer kümesinde ise eşlenmeyen veya birden çok elemanla eşlenen eleman olabilir.

259

Fonksiyonlar

YGS Matematik

Örnek

e) g1 bağıntısı B den A ya tanımlan

A = {a, b, c} , B = {1, 2} kümeleri veriliyor.

mıştır. Tanım kümesindeki 2

Aşağıda verilen bağıntıların birer fonksiyon olup olmadı-

elemanı değer kümesinin farklı

ğını araştırınız.

iki elemanına eşlenmiştir. O

a) f ⊂ AxB,

g = {(1, b) , (2, b)}

c) h ⊂ AxA,

h = {(a, b) , (b, b) , (c, a)}

d) f1 ⊂ AxB,

f1 = {(a, 1) , (b, 1)}

e) g1 ⊂ BxA,

g1 = {(1, c) , (2, a) , (2, b)}

f)

h1 ⊂ AxA,

değildir.

b) g ⊂ BxA,

hâlde, g1 bağıntısı fonksiyon

f = {(a, 2) , (b, 1) , (c, 1)}

f) h1 bağıntısı tanım kümesindeki b elemanını farklı iki yere eşlemektedir. Ayrıca c elemanını hiçbir elemana eşlememektedir. O hâlde, h1 bağıntısı fonksiyon değildir. EN GENİŞ TANIM KÜMESİ

h1 = {(a, a), (b, c), (b, a)}

Bazen fonksiyonların tanım ve değer kümeleri verilmez. Bu durumda, değer kümesi olarak R alınabilir. Tanım kümesi ola-

Çözüm

rak, fonksiyonun kuralını tanımsız yapmayan bütün reel sayılar

a) f ⊂ AxB olduğundan, f bağıntısı A dan B ye tanımlanmış-

alınır.

tır. A nın her elemanı B nin elemanlarına yalnız bir defa

Fonksiyonun tanımlı olduğu bütün reel sayıların kümesine,

eşlenmelidir. A nın elemanlarına bakarsak;

a ∈A için f(a) = 2 ∈ B

b ∈A için f(b) = 1 ∈ B

c ∈A için f(c) = 1 ∈ B

en geniş tanım kümesi denir.

Örnek f (x) =

2x − 1 fonksiyonunun en geniş tanım kümesini x2 − 9

bulunuz.

olduğundan, f bağıntısı bir fonksiyondur. f nin oklu diyagramını çizerek verilen bağıntının fonksiyon olduğunu

Çözüm

görebilirsiniz.

Paydanın 0 olduğu değerlerde f tanımsızdır.

b) g ⊂ BxA olduğundan, tanım kümesi B, değer kümesi A dır.

x2 – 9 = 0 ⇒ x = 3 veya x = –3 tür.

1∈B için g(1) = b ∈B

Buna göre, f nin en geniş tanım kümesi;

2∈B için g(2) = b ∈B

R – {–3, 3} kümesidir.

olduğundan, g bağıntısı B den A ya bir fonksiyondur.

c) h, A dan A ya tanımlanmıştır. Şekilde kolayca görüldüğü gibi tanım kümesinin her elemanı değer kümesinin elemanlarıyla yalnız bir defa eşlendiğinden, h bağıntısı

A

fonksiyondur.

dan

A

ya

bir

f (x) =

Örnek x2 − x + 7 fonksiyonunun en geniş tanım kümesini x−5

bulunuz.

Çözüm f fonksiyonunun kuralında payda sıfır olmamalı ve kareköklü ifadenin içi negatif olmamalıdır:

x – 5 = 0 ⇒ x = 5 ⇒ x ! 5 olmalıdır. x + 7 ≥ 0 ⇒ x ≥ –7 olmalıdır.

d) c ∈ A için f1 bağıntısı c yi B nin hiçbir elemanına eşlemi-

Buna göre, f nin en geniş tanım aralığı;

yor. O hâlde, f1 bağıntısı fonksiyon değildir. Yani, f1(c)

[–7, 5) ∪ (5, +∞)

tanımsızdır.

260

dur. Ya da

[–7, ∞) – {5}

Fonksiyonlar

YGS Matematik

Örnek

BİR FONKSİYONUN GÖRÜNTÜ KÜMESİ VE GRAFİĞİ

A = {–2, –1, 0, 1} ve Z, tam sayılar kümesi olmak üzere, A dan Z ye

f, A dan B ye bir fonksiyon olsun. A nın bütün elemanlarının f altında eşlendiği elemanların kümesine, f fonksiyonunun görüntü kümesi denir ve f(A) ile gösterilir. Buna göre,

f = {(x, y) | y = x2 –1 ; x ∈A, y∈Z}

fonksiyonunun görüntü kümesini bulunuz ve grafiğini çiziniz.

f(A) = {y | x ∈ A ve f(x) = y ∈ B}

Çözüm

biçiminde yazabiliriz.

y = x2–1 ifadesine, fonksiyonun kuralı denir.

Fonksiyonun grafiği, bağıntının grafiği gibi çizilir. Analitik düzlemde, tanım kümesinin elemanları yatay eksen üzerinde, değer kümesinin elemanları düşey eksen üzerinde işaretlenir. Bu noktalardan eksenlere dikmeler çıkılıp kesiştirilir. Kesim noktalarından fonksiyona ait olanlar işaretlenir.

x = –1 için y = (–1)2 –1 = 0 ⇒ f(–1) = 0

Fonksiyonun görüntü kümesini Venn şeması ile şekildeki gibi gösterebiliriz.

Görüntü kümesi: f(A) = {–1, 0, 3} tür.

x = –2 için y = (–2)2 –1 = 3 ⇒ f(–2) = 3 x=0

için y = 02 –1 = –1 ⇒ f(0) = –1

x=1

için y = 12 –1 = 0 ⇒ f(1) = 0

Grafiği şekilde analitik düzlemde işaretli noktalardır.

Örnek

Şekilde

A = {1, 3, 5} , B = {7, 9, 11, 13} olmak üzere, A dan B ye tanımlanan f = {(1, 9), (3, 7), (5, 7)} fonksiyonunun görüntü kümesi; f(A) = {7, 9} dur. f f nin şema ile gösterimi şöyledir: A B

7 9

1 3

11

5

13

f fonksiyonunun;

Örnek

şöyledir:

fonksiyonunun

şeması verilmiştir.

Şekilde görüldüğü gibi, görüntü kümesi değer kümesinin alt kümesidir. f(A) ⊂ B dir.

f nin grafik ile gösterimi

f

a) Tanım kümesini yazınız.

b) Değer kümesini yazınız.

c) Görüntü kümesini yazınız.

d) Grafiğini çiziniz. e) f fonksiyonunu liste metoduyla yazınız.

Çözüm f(A)

a) f: A → B olduğuna göre, tanım kümesi; A = {–1, 0, 1, 2} dir. b) f: A → B olduğuna göre, değer kümesi; B = {–1, 0, 1, 2, 4} tür. c) f(–1) = 1, f(0) = 0, f(1) = 1, f(2) = 4 olduğuna göre, görüntü kümesi: f(A) = {0, 1, 4} tür. d) f nin grafiği şekilde

B 13

görülmektedir.

11

e) f nin liste yazılımı;

9 7 1

3

5

A

261

metoduyla

f = { (–1, 1), (0, 0), (1, 1),

(2, 4) } tür.

Fonksiyonlar

YGS Matematik

Çözüm

Örnek f : A → B, f(x) = –2x + 5 kuralı ile verilen fonksiyonun görüntü kümesi B = {–3, 5, 7} olduğuna göre, f nin tanım kümesini bulunuz.

a) f(3) = 0 dır.

b) f(5) = 3 tür.

c) f(–4) = 0 dır.

d) f(4) = 1 dir.

e) f(a) = 1 ⇒ a = –2 veya a = 4 tür.

Çözüm

f)

Tanım kümesindeki elemanlar fonksiyonun kuralı ile B nin elemanlarına eşleneceklerdir. Tanım kümesindeki a elemanının –3 ile eşlendiğini kabul edelim. Buna göre;

g) f(a) = 0 ⇒ a = –4 veya a = –1 veya a = 3 tür. h) 4 < x ≤ 5 için 1 < f(x) ≤ 3 olmaktadır. Aşağıdaki grafiği inceleyiniz. y

(a, –3) ∈ f ⇒ f(a) = –3

⇒ –2 . a + 5 = –3

⇒ a = 4 bulunur.

f(–6) + f(–1) – f(–2) = (–2) + (0) – (1) = –3 tür.

3

(b, 5) ∈ f ⇒ f(b) = 5

1

⇒ –2 . b + 5 = 5

⇒ b=0

4

5

x

i)

(c, 7) ∈ f ⇒ f(c) = 7

⇒ –2 . c + 5 = 7

⇒ c = –1 bulunur.

1

O hâlde, f nin tanım kümesi; A = {–1, 0, 4} tür.

4

1

4

Örnek

f(x) ≤ 1 olduğuna göre, x ≤ 4 tür. Çünkü, kalan grafik x – ekseni üzerinde (–∞, 4] aralığını örtmektedir.

j)

y = –1 doğrusu f nin grafiğini kaç noktada keserse f(x) = –1 denkleminin o kadar kökü vardır:

y = f(x) fonksiyonunun grafiği yukarıda verilmiştir.

Buna göre, aşağıdaki soruları çözünüz.

Görüldüğü gibi, y = –1 doğrusu y = f(x) in grafiğini 3 noktada kesmektedir. Buna göre, f(x) = –1 denkleminin 3 kökü vardır. Bu kökler; a, b, c dir.

c) f(–4) kaçtır?

f(a) = f(b) = f(c) = –1 dir.

d) f(4) kaçtır?

k)

a) f(3) kaçtır? b) f(5) kaçtır?

e) f(a) = 1 ise, a nın alabileceği değerleri bulunuz. f)

f(–6) + f(–1) – f(–2) kaçtır?

g) f(a) = 0 ise, a nın alabileceği değerleri bulunuz. h) 1 < f(x) ≤ 3 olduğuna göre, x in değer aralığını bulunuz. ı)

f(x) ≤ 1 olduğuna göre, x in değer aralığını bulunuz.

j)

f(x) = –1 denkleminin kaç tane kökü vardır.

k) –1 ≤ x ≤ 4 ise, f(x) in alabileceği değer aralığını bulunuz.

262

Grafikte görüldüğü gibi, –1 ≤ x ≤ 4 ise, –2 ≤ f(x) ≤ 1 dir. Grafiğin y ekseni üzerinde örttüğü kısmı daha kalın gösterilmiştir.

Fonksiyonlar

YGS Matematik

Örnek

İKİ FONKSİYONUN EŞİTLİĞİ

f : R → R , f(x) = 4x – 5 fonksiyonu bire bir midir?

A ve B boş olmayan iki küme ve f : A → B, g : A → B iki fonksiyon olsun. Eğer, ∀ x ∈ A için f(x) = g(x) oluyorsa, f ve g fonksiyonları birbirine eşittir denir ve bu eşitlik f = g biçiminde yazılır.

Çözüm

FONKSİYON ÇEŞİTLERİ

f fonksiyonu bütün reel (gerçek) sayılar için tanımlıdır. Bütün elemanların görüntülerini tek tek bulmamız mümkün değildir.

Fonksiyonun özel bir bağıntı olduğunu gördük. Fonksiyonlar

Tanımı kullanalım:

sağladıkları bazı özeliklere göre değişik isimler alır. Aşağıdaki

∀x1 , x2 ∈ R ve x1 ≠ x2 ⇒ f(x1) ≠ f(x2)

tanımları ve özelikleri dikkatle inceleyiniz. 1. Bire Bir Fonksiyon f : A → B fonksiyonu verilsin. Eğer f, A nın birbirinden farklı her elemanını B nın farklı elemanlarına eşliyorsa f ye bire bir fonksiyon denir.

⇒ 4x1–5 ≠ 4x2–5

⇒ f(x1) ≠ f(x2)

⇒ f, bire birdir.

Yani; f, bire bir fonksiyondur ⇔ [∀x1, x2 ∈ A, x1 ≠ x2 ⇒ f(x1) ≠ f(x2)] dir.

Örnek

p ⇒ q ≡ q´ ⇒ p´ olduğundan, bu tanımı şöyle de yazabiliriz: f, bire bir fonksiyondur ⇔ [f(x1) = f(x2) ⇒ x1 = x2]

g : R → R , g(x) = x2 + 3 fonksiyonu bire bir midir?

Örnek A = {–1, 0, 1} olmak üzere,

Çözüm

f: A → Z, f(x) = x3 – 2x + 5 fonksiyonu bire birdir. f(–1) = (–1)3 – 2(–1) + 5 = –1 + 2 + 5 = 6

g: R→ R, g(x) = x2 + 3 fonksiyonu için;

f(0) = 03 – 2.0 + 5 = 5 f(1) = 13 – 2.1 + 5 = 1 – 2 + 5 = 4

g(–2) = (–2)2 + 3 = 7

Görüldüğü gibi A nın her elemanı Z nin farklı elemanı ile g(2) = 22 + 3 = 7

eşlenmektedir.

Örnek

g(–2) = g(2) = 7 olduğundan, g, bire bir değildir. Örnek vererek bire bir olmadığını gösterdiğimiz gibi, tanımı

Aşağıdaki şekilde görülen g fonksiyonu bire bir değildir.

kullanarak da gösterebiliriz: g(x1) = g(x2) ⇒ x21 + 3 = x22 + 3

⇒ x21 = x22

⇒ x1 = x2 veya x1 = –x2

Çünkü, A nın farklı iki elemanı B nin aynı elemanına eşlenmektedir.

olur. Tanım kümesi R olarak verildiğinden x 1 = x2 veya

f(1) = f(2) = b fakat 1 ≠ 2 dir.

x1 = –x 2 şartlarını sağlayan x1, x2 ler bulunabilir. O hâlde,

(Tanım kümesinin farklı iki elemanı, aynı elemana eşlenmektedir.)

g, bire bir değildir.

263

Fonksiyonlar

YGS Matematik

Örnek

Örnek R

h : R+ → R , h(x) = x2 + 3 fonksiyonu bire bir midir?

y = f(x)

Çözüm h : R+ → R , h(x) = x2 + 3 kullanalım:

fonksiyonu için yine tanımı

h(x1) = h(x2) ⇒ x21 + 3 = x22 + 3

⇒ x21 = x22

⇒ x1 = x2 veya x1 = –x2

R

0

Şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir? a) f nin tanım kümesini yazınız. b) f nin görüntü kümesini yazınız. c) f bire bir midir?

bulunur.

Çözüm

x1, x2 ∈ R+ olduğundan, x1 = –x2 olamaz. O hâlde,

a) f fonksiyonu yatay eksen üzerindeki her x ∈ R için tanım-

x1 = x2 dir. Yani h, bire birdir.

lıdır. O hâlde, tanım kümesi R dir. R

b) Görüntü kümesi düşey eksen üzerinde 2. Örten Fonksiyon ve İçine Fonksiyon

eşlenilen

f, A → B fonksiyonu verilsin. f nin görüntü kümesi değer kümesine eşit; yani, f(A) = B ise, f fonksiyonuna, örten fonksiyon denir.

Düşey eksende grafik tarafından örtüO hâlde, görüntü kümesi f(R) =

R

0

dir. y = f(x)

R

bir olup olmadığı şöyle anlaşılır:

f örtendir ⇔ [∀y ∈ B için ∃ x ∈ A öyleki, f(x) = y dir.]

Yatay eksene paralel olarak çizi-

biçiminde ifade edebiliriz.

len doğrular grafiği en çok bir nok-

R

0

tada kesiyorsa fonksiyon bire bir-

Örnek

1

R+

c) Grafiği verilen bir fonksiyonun bire

Bu tanımı;

f

kümesidir.

len kısım Şekilde görüldüğü gibi R+ dir.

Örten olmayan fonksiyona, içine fonksiyon denir.

A

elemanların

dir. Şekilden bu durumu gözleyiniz. O hâlde, f bire birdir. 3. Birim Fonksiyon (Özdeşlik Fonksiyonu)

B

2

a

3

b

4

c

A, boş kümeden farklı bir küme olmak üzere, I: A → A, I(x) = x kuralı ile tanımlı fonksiyona, A nın birim (özdeş) fonksiyonu denir ve IA ile gösterilir.

Örnek Şekil de verilen f : A → B fonksiyonu örtendir. Çünkü değer kümesinde açıkta eleman kalmamıştır.

R nin birim fonksiyonunun grafiğini çiziniz.

Çözüm

f(A) = B = {a, b, c} dir.

Örnek

y

R nin birim fonksiyonu I : R→ R,

A = {2, 4, 6}, B = {5, 17, 37} olmak üzere,

yona ait noktalar (x, x) biçiminde-

f: A → B, f(x) = x2 +1 kuralı ile verilen f fonksiyonu örtendir.

dir. Çünkü;

Çünkü;

I(0) = 0, I(1) = 1, I(–1) = –1, ... dir.

f(2) = 5, f(4) = 17, f(6) = 37 olduğundan,

Bütün bu biçimdeki noktalar anali-

f(A) = {5, 17, 37} = B dir.

tik düzlemde şekildeki doğruyu belirtir.

264

y=x

1

I(x) = x fonksiyonudur. Bu fonksi-

Ð1 1 Ð1

x

Fonksiyonlar

YGS Matematik

4. Sabit Fonksiyon, Sıfır Fonksiyonu

Örnek

f : A → B fonksiyonu için f(A) = b∈B ise, f ye sabit fonksiyon denir. Eğer b = 0 ise, f ye sıfır fonksiyonu denir.

Aşağıdaki fonksiyonların tek ya da çift fonksiyon olup

Tanımdan anlaşıldığı gibi, sabit fonksiyonda tanım kümesinin bütün elemanları değer kümesinin aynı elemanına eşlenmektedir.

olmadıklarını belirleyiniz. a) f(x) = x4 + 7x2 + 8

Örnek

c) f (x) =

f : {–2, –1, 0, 1, 2} → R, f(x) = 0 kuralı ile verilen fonksiyonun grafiğini çiziniz.

e)

x3 x +1 2

b)

f(x) = x3 + 8

d)

f(x) = 4x

f(x) = 0

Çözüm

Çözüm

Fonksiyonun kuralı gereği; f(–2) = 0, f(–1) = 0, f(0) = 0, f(1) = 0, f(2) = 0 dır.

a) f(x) = x4 + 7x2 + 8 ⇒ f(–x) = (–x)4 + 7(–x)2 + 8

O hâlde, f fonksiyonu;

f = {(–2, 0), (–1, 0), (0, 0), (1, 0), (2, 0)} olur. Grafiği şöyle olur:

= x4 + 7x2 + 8

f(–x) = f(x) olur.

O hâlde, f çift fonksiyondur.

b) f(x) = x3 + 8 ⇒ f(–x) = (–x)3 + 8

= –x3 + 8 olur.

f(–x) ! f(x) ve f(–x) ! –f(x) olduğundan f, tek veya çift fonksiyon değildir.

Örnek

c) f (x) =

f : R → R, f(x) = 2 kuralı ile verilen fonksiyonun grafiğini çiziniz.

Çözüm

x3 − x3 & f (− x) = 2 x2 + 1 x +1 & f (− x) = − f (x)

olduğundan, f tek fonksiyondur.

d) f(x) = 4x ⇒ f(–x) = 4 . (–x) f : R→ R, f(x) = 2 fonksiyonu sabit fonksiyondur. Tanım kümesinin her elemanını 2 elemanına eşleyecektir. O hâlde, f fonksiyonunun elemanları (x, 2) biçimindedir. Grafiği şöyle olur:

y 2 0

= –4x

= –f(x)

f(x) = 2

olduğundan f tek fonksiyondur.

e) f(x) = 0 ⇒ f(–x) = 0

x

5. Tek Fonksiyon, Çift Fonksiyon f : A → B verilsin. ∀x ∈ A için f(–x) = –f(x) ise f ye tek fonksiyon denir. Tek fonksiyonların grafikleri orijine göre simetriktir. ∀x ∈ A için f(–x) = f(x) ise f ye çift fonksiyon denir. Çift fonksiyonların grafikleri Oy eksenine göre simetriktir.

265

⇒ f(–x) = f(x) tir.

O hâlde, f(x) = 0 çift fonksiyondur.

f(x) = 0 ⇒ f(–x) = 0

⇒ f(–x) = –0

⇒ f(–x) = – f(x) tir.

O hâlde, f(x) = 0 tek fonksiyondur.

f(x) = 0 (Sıfır fonksiyonu) hem tek hem de çift fonksiyondur.

Fonksiyonlar

YGS Matematik

Örnek

Örnek

Gerçel sayılar kümesinde tanımlı

fc

I. f(x) = 2x - 1

olduğuna göre, f(3) değeri kaçtır?

II. g(x) = x2 + 2 III. h(x) =

x−1 = x2 - x + 2 x+1m

x3

A) 5

fonksiyonlarından hangileri bire birdir? A) I ve II

B) Yalnız I D) I ve III

B) 6

C) 7

D) 8

E) 11 (2010 LYS)

Çözüm C) I, II ve III  x − 1  = x2 - x + 2 f  1  x +

E) Yalnız II (2011 YGS)

↓ 3

Çözüm

x−1 = 3 ⇒ x - 1 = 3x + 3 x+1

f(x) = 2x - 1 fonksiyonu, her reel sayının 2 katının 1 eksiği farklı bir reel sayı olduğu için bire birdir.

⇒ -1 -3 = 3x - x

g(x) = x2 + 2 fonksiyonu,

⇒ -4 = 2x

g(2) = 22 + 2 = 6

⇒ -2 = x

g(-2) = (-2)2 + 2 = 6

f(3) = (-2)2 - (-2) + 2

g(2) = g(-2) olduğu için bire bir değildir.

=4+2+2

h(x) = x3 fonksiyonu, her reel sayının küpü farklı bir reel

= 8 bulunur. Cevap: D

sayıya eşit olduğu için bire birdir. Cevap: D

Örnek

Örnek

f fonksiyonu n ≥ 1 tam sayıları için 2 −| x + 3 |

f(n) = 2.f(n - 1) + 1

f(x) =

eşitliğini sağlıyor.

fonksiyonunun tanım aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

f(0) = 1 olduğuna göre, f(2) kaçtır? A) 8

B) 7

C) 6

A) 3 ≤ x ≤ 5 D) 5

E) 4

B) -1 ≤ x ≤ 5

D) -3 ≤ x ≤ 0

(2011 LYS)

C) -3 ≤ x ≤ 4 E) -5 ≤ x ≤ -1 (2010 LYS)

Çözüm Çözüm

f(n) = 2.f(n - 1) + 1 f(0) = 1 ise

2 −| x + 3 | ise

n = 1 için f(1) = 2.f(0) + 1

f(x) =

= 2.1 + 1

2- |x + 3| ≥ 0

=3

⇒ |x + 3| ≤ 2

n = 2 için f(2) = 2.f(1) + 1

= 2.3 + 1

= 7 bulunur.

⇒ -2 ≤ x + 3 ≤ 2 ⇒ -5 ≤ x ≤ -1 olmalıdır. Cevap: E

Cevap: B

266

Fonksiyonlar

YGS Matematik

6. Permütasyon Fonksiyonu

Örnek Aşağıda A = {a1, a2, a3} ve B = {b1, b2, b3, b4, b5}

f : A → A fonksiyonu bire bir ve örten ise f ye A nın bir permü-

kümeleri verilmiştir.

tasyon fonksiyonu denir.

f A

B b1

a1

Örnek

b2

a2

b3

a3

b4

A = { a, b, c, d } nin iki permütasyon fonksiyonu;

b5

f=c

g=c

A dan B ye f(a2) = b4 olacak biçimde kaç tane bire bir f fonksiyonu tanımlanabilir? A) 24

B) 20

C) 16

D) 12

abc d m bdac abc d m a c db

dir.

E) 10 (2008 Mat2)

Çözüm

f=c

abc d m bdac

fonksiyonunda;

A daki a2 elemanı, B deki b4 ile eşlendiğine göre, a1 elemanı

f(a) = b, f(b) = d, f(c) = a, f(d) = c dir.

için b1, b2, b3, b5 elemanlarından herhangi birisi ve a3 elemanı için de kalan üç elemandan birinin eşlenmesi gerekir. O halde, f fonksiyonunun bire bir olması için a1 için 4 alternatif

Örnek

ve a3 içinde 3 alternatif olduğuna göre, 4.3 = 12 tane bire bir fonksiyon tanımlanabilir. Cevap: D

A = {1, 2, 3, 4, 5} kümesi üzerinde tanımlanan

Örnek

f=c

R den R ye f(x) = 3x+2 ile tanımlı f fonksiyonu için, f(a + b - 1) ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? A)

f (a + b) 9

B)

f (a + b) 27

f (a).f (b) D) 27

12 3 4 5 m 3 15 2 4

g=c C)

f (a) .f (b) 9

12 3 4 5 m 5 3 4 12

permüyasyonları için g(f-1(2)) değeri kaçtır?

f (a) .f (b) E) 81

(2010 LYS) (2007 Mat2)

Çözüm

Çözüm

f(x) = 3x+2 ise f(a) = 3a+2 = 3a . 32 = 9 . 3a,

f=c

12 3 4 5 m 3 15 2 4

f(b) = 3b+2 = 3b . 32 = 9 . 3b, g=c

f(a+b-1) = 3a+b-1+2 = 3a+b+1 = 3 . 3a+b ve

f-1(2) = x ise f(x) = 2 ve x = 4 olur.

9.3 a .9.3 b = 27 olduğundan, 3.3 a + b f(a + b -1) =

f (a).f (b) dir. 27

12 3 4 5 m 5 3 4 12

g(f-1(2)) = g(4) = 1 bulunur. Cevap: A

Cevap: D

267

Fonksiyonlar

YGS Matematik

Örnek FONKSİYON SAYILARI f ^xh = x 2 ve g ^x h = c

A kümesinin eleman sayısı n, B kümesinin eleman sayısı m

x3 m fonksiyonları veriliyor. x+1

istenenleri bulunuz.

olsun. a. A dan B ye mn tane fonksiyon tanımlanabilir. b. A dan B ye tanımlı bağıntılardan 2n.m – mn tanesi fonk-

a) (f + g)(–2)

b) (3f – 2g)(1)

c) (f + g)(x)

f d) f p(x) g

siyon değildir. c. A dan B ye m tane sabit fonksiyon tanımlanabilir. d. n ≤ m için A dan B ye

Çözüm

m! tane bire bir fonksiyon ^m − n h !

tanımlanabilir.

a)

e. A dan A ya n! tane bire bir ve örten fonksiyon tanımlanabilir.

(f + g) (− 2) = f (− 2) + g (− 2) (− 2) 3 = (− 2) 2 + −2 + 1 = 12

FONKSİYONLARDA DÖRT İŞLEM b) (3f − 2g) (1) = 3.f (1) − 2.g (1) 1 = 3.1 − 2. 2 =2

f: A → B, g : C → D olsun. A ∩ C ! ∅ olmak üzere; a. f + g : A∩C → B∪D; (f + g)(x) = f(x) + g(x) tir. b. f – g : A ∩C → B∪D; (f – g)(x) = f(x) – g(x) tir. f . g : A ∩C → B∪D; (f . g)(x) = f(x) . g(x) tir.

c.

c) (f + g) (x) = f (x) + g (x) x3 = x2 + x+1 x 2 ^x + 1 h + x 3 = x+1 2x 3 + x 2 = x+1

f ^x h f f p tir. d. c m: A + C & B , D; c m(x) = f g g g ^x h (∀ x ∈ A ∩ C, g(x) ≠ 0)

e. k ∈ R olmak üzere, (k . f)(x) = k . f(x) tir.

1) Bir bağıntının grafiği verildiğinde tanım kümesinde alınan her noktadan grafiği kesecek

f (x) f d) c g m(x) = g (x) =

x2 x3 x+1 x 2 (x + 1) = x3 x+1 = x

şekilde y eksenine çizilen her paralel doğru grafiği yalnız bir noktada keserse bu grafik

!

fonksiyon grafiğidir. 2) Bir fonksiyon grafiğinde görüntü kümesinde alınan her noktadan grafiği kesecek şekilde x eksenine çizilecek her paralel doğru grafiği yalnız bir noktada keserse bu fonksiyon bire birdir.

268

Fonksiyonlar

YGS Matematik

Örnek

FONKSİYONLARDA BİLEŞKE İŞLEMİ

A = {1, 2, 3, 4},

f : A → B, g : B → C fonksiyonları verilsin.

B = {5, 6, 7},

C = {8, 9, 10, 11} kümelerini alalım.

gof = {(x, z) | x∈A , z∈C, f(x) = y ve g(y) = z}

f : A → B, f = {(1, 6), (2, 5), (3, 6), (4, 7)}

olan gof : A → C fonksiyonuna f ile g fonksiyonlarının bileş-

g : B → C, g = {(5, 9), (6, 10), (7, 10)}

kesi denir. “o” işlemine fonksiyonlarda bileşke işlemi denir.

fonksiyonlarını tanımlayalım. Bu iki fonksiyon aşağıdaki şekilde aynı şemada görülmektedir. A

f

B

g

C

f

A 1

x

y

A

f

B

g

10

7

4

gof

9

6

3

C 8

5

2

z

g

B

11

C Bu fonksiyonlarda; f(1) = 6

g(5) = 9

f(2) = 5 ve g(6) = 10 f(3) = 6

g(7) = 10

f(4) = 7 dur. f(2) = 5 olduğundan, g(5) = 9 ifadesindeki 5 yerine f(2)

Şekile gof fonksiyonunun görüntü kümesi, C içinde taralı böl-

yazarsak; g(f (2)) = 9 elde ederiz.

gedir. x∈A olmak üzere f(x) = y ve g(y) = z idi. y = f(x) değerini g(y) = z eşitliğinde yerine yazarsak, x in gof altındaki

Aynı biçimde,

görüntüsü olarak

f(1) = 6 ve g(6) = 10 olduğundan, g(f(1)) = 10 dur.

(gof) (x) = g (f (x))

f(3) = 6 ve g(6) = 10 olduğundan, g(f(3)) = 10 dur.

eşitliğini elde ederiz.

f(4) = 7 ve g(7) = 10 olduğundan, g(f (4)) = 10 dur.

Bu tanımı yukarıdaki şekilden, aşağıdaki açıklamalar doğrul-

g(f (1)) = 10, g(f (2)) = 9, g(f (3)) = 10, g(f (4)) = 10

tusunda inceleyiniz.

eşitliklerine aşağıdaki şekilde görüldüğü gibi, A dan C ye tanımlanmış yeni bir fonksiyon gözüyle bakabiliriz.

f fonksiyonu A kümesindeki x elemanını B kümesindeki y elemanına eşlemektedir.

A

gof

C

g fonksiyonu B kümesindeki y elemanını C kümesindeki z ele-

1

8

manına eşlemektedir.

2

9

gof bileşke fonksiyonu ise A kümesindeki x elemanını C

3

10

kümesinin z elemanına eşlemektedir.

4

11

269

Fonksiyonlar

YGS Matematik

Örnek

Örnek

f, g, h : R → R

f(x) = x2

f(x) = 2x – 1

g(x) = 2x -1

g(x) = x – 2

fonksiyonları için g(f(2)) kaçtır?

h(x) = 1 – 3x

A) 0

B) 3

C) 5

D) 7

E) 9 (2010 YGS)

fonksiyonları veriliyor.

Çözüm

a) (fog)oh fonksiyonunun kuralını bulunuz. b) fo(goh) fonksiyonunun kuralını bulunuz.

f(x) = x2 ⇒ f(2) = 22 = 4 ve g(x) = 2x - 1 ⇒ g(f(2)) = g(4)

Çözüm a) [(fog)oh](x) = (fog)(h(x))

= (fog)(1–3x)

= f(g(1–3x))

= f(1–3x–2)

= f(–3x–1)

= 2.(–3x–1) – 1

= –6x–3

= f [g(h(x))]

= f [g(1–3x)]

= f (1–3x–2)

= f (–3x–1)

= 2.(–3x–1) – 1

= –6x–3

2.4-1

=8-1

= 7 olur. Cevap: D

Örnek Tam sayılar kümesinden tam sayılar kümesine f ve g fonksiyonları aşağıdaki biçimde tanımlanmıştır. f (x) '

b) [fo(goh)](x) = f [(goh)(x)]

2x + 1, 3x,

x / 0 (mod 2) ise x / 1 (mod 2) ise

Zx, g (x) ] [3x + 1, ]x − 1, \

x / 0 (mod 3) ise x / 1 (mod 3) ise x / 2 (mod 3) ise

Buna göre, g(f(6)) değeri kaçtır? A) 55

B) 40

C) 18

D) 17

E) 12 (2009 ÖSS)

Görüldüğü gibi,

Çözüm

[(fog)oh] (x) = [fo(goh)] (x) = –6x–3 tür. 6 ≡ 0 (mod 2) olduğu için f(6) değeri Özellik:

f(x) = 2x + 1 fonksiyonundan hesaplanır.

IA : A → A, IA(x) = x fonksiyonu A nın birim fonksiyonu idi.

f(6) = 2.6 + 1 = 13 tür.

f : A → B fonksiyonu için;

13 ≡ 1 (mod 3) olduğundan g(13) değerini hesaplamak için

foIA = f ve IBof = f dir.

g(x) = 3x + 1 kullanılır.

IA ve IB birim fonksiyonlarına, bileşke işlemine göre birim

g(13) = 3.13 + 1 = 40 bulunur.

(etkisiz) fonksiyon da denir.

Cevap: B

270

Fonksiyonlar

YGS Matematik

Şekilde görüldüğü gibi, f –1 bağıntısı 1 elemanını hiçbir ele-

Örnek f(x) = x2 + 2x

mana eşlemiyor. Ayrıca, 3 elemanını b ve c ye eşliyor. O hâlde, f –1 bağıntısı bir fonksiyon değildir. f fonksiyonunun

(fog)(x) = x2 + 6x+ 8 olduğuna göre, g(x)

ters fonksiyonu yoktur. g : A → B, g = {(a, 1) , (b, 3) , (c, 2)}

aşağıdakilerden hangisidir? A) x2 + x

B) x2 - 2 D) x - 2

fonksiyonunun ters bağıntısı

C) x2 + 2

g–1 = {(1, a) , (3, b) , (2, c)} dir. Şekilde görüldüğü gibi, g–1

E) x + 2

bağıntısı B nin her elemanını yalnız bir yere eşlemektedir. (1994 ÖSS)

O hâlde, g–1 bağıntısı bir fonksiyondur.

Çözüm

g fonksiyonunun ters fonksiyonu vardır.

f(x) = x2 + 2x = (x) . (x + 2) (fog)(x) = x2 + 6x + 8 = (x + 2) (x + 4) f(g(x)) = (x + 2) (x + 4) g(x) = x + 2 olmalıdır.

•

Cevap: E

f: A→B

fonksiyonunun tersinin bir fonksiyon olması

için gerek ve yeter şart, f nin bire bir ve örten olmasıdır.

TERS FONKSİYON

Yani, bire bir veya örten olmayan bir fonksiyonun ters fonksiyonu bulunamaz.

Bire bir veya örten olmayan

fonksiyonların tersi, fonksiyon olmayan bir bağıntıdır.

f: A → B bir fonksiyon olsun. f bağıntısının ters bağıntısı B den •

A ya bir fonksiyon ise, bu fonksiyona f nin ters fonksiyonu

f : A → B fonksiyonu bire bir ve örten olsun. f –1 : B → A fonksiyonu da bire bir ve örtendir.

denir ve f –1 : B → A biçiminde gösterilir.

•

f : A → B fonksiyonu bire bir ve örten ise; f –1of = IA ve f of–1 = IB dir.

Örnek

•

A = {a, b, c} , B = {1, 2, 3} kümeleri üzerinde;

f : A → B ve g : B → A fonksiyonları için gof = IA ve fog = IB ise f ve g fonksiyonları bire birdir, örtendir ve ayrıca birbirlerinin ters fonksiyonudurlar (f –1 = g, g–1 = f).

f: A → B, f = {(a, 2) , (b, 3) , (c, 3)} g : A → B, g = {(a, 1) , (b, 3) , (c, 2)}

fonksiyonları veriliyor.

O hâlde, y = f(x) biçiminde kuralı verilen bire bir ve örten bir fonksiyonun ters fonksiyonunun kuralını bulmak için; y = f(x) te x yerine y ve y yerine x yazılır. Elde edilen

Bu fonksiyonların ters bağıntılarının birer fonksiyon olup

eşitlikten y nin x cinsinden ifadesi bulunur.

olmadığını inceleyiniz.

y = f(x) ⇔ f –1(y) = x

Bu duruma göre, bir fonksiyonun grafiği ile ters fonksiyonu-

Çözüm

nun grafiği y = x doğrusuna (I. açıortaya) göre simetriktir.

f : A → B , f = {(a, 2) , (b, 3) , (c, 3)} fonksiyonunun ters Örnek

bağıntısı f–1 = {(2, a) , (3, b) , (3, c)} dir.

f(x) = 3x - 6

g(x)= (x - 2)2

Buna göre, (gof-1)(x) aşağıdakilerden hangisine eşittir? A)

3x 2 − 1 2

B) (3x + 4)2

D)

2

x 9

C) x2 - 4x + 2 E) (3x - 8)2 (2011 YGS)

271

Fonksiyonlar

YGS Matematik

Çözüm

Örnek

f(x) = 3x - 6 ⇒ f-1(x) =

f : R → R, f(x) = 2x – 3 fonksiyonunun ters fonksiyonunu

x+6 3

bulunuz.

ve g(x) = (x - 2)2 ise

Çözüm

(gof-1)(x) = g(f-1(x)) I. yol:

x+6 m 3 2 x+6 =c − 2m 3 x+6−6 2 =c m 3 2 x =a k 3 x2 = bulunur. 9 = gc

fof –1 = I ⇒ (fof –1)(x) = I(x) ⇒ f (f –1(x)) = x

⇒ 2.f –1(x) – 3 = x

⇒ f −1 (x) =

x+3 bulunur. 2

II. yol:

Cevap: D

Bir fonksiyonla ters fonksiyonunun grafikleri y = x doğrusuna göre simetrik idi. y = f(x) fonksiyonunun

Örnek

y = x doğrusuna göre simetriğinin denklemini bulmak için

2x olduğuna göre, f–1(4) kaçtır? f (x) = x+5 A) –10

B) –8

C) –6

D) –4

y = f(x) kuralında x yerine y, y yerine x yazılır ve elde edilen eşitlikten y çekilir.

E) –2

y = 2x–3 kuralında x yerine y, y yerine x yazıp y yi çekelim:

Çözüm

x = 2y–3 ⇒ x+3 = 2y

= a ⇒ f(a) = 4 tür. 2a 2a f (a) = &4= a+5 a+5

f–1(4)

⇒ 4a + 20 = 2a ⇒ 2a = –20 ⇒ a = –10 bulunur.

x+3 x+3 olur. & f −1 (x) = 2 2

Örnek 4 2 2x − 1 g: R − '− 1 & R − ' 1, g (x) = 3 3 3x + 4

Cevap: A

fonksiyonunun ters fonksiyonunu bulunuz.

Örnek f–1(x) = 4.32x–1 olduğuna göre, f(4) kaçtır? 3 B) 2

A) 2

⇒y=

C) 1

1 D) 2

Çözüm 1 E) 4

2x − 1 3x + 4 fonksiyonunun ters fonksiyonunun kuralını bulmak için fonksiyonun kuralında x yerine y, y yerine x yazalım: y=

Çözüm

y=

f(4) = a ⇔ f–1(a) = 4 tür. f–1(a) = 4.32a–1 = 4

2x − 1 2y − 1 & =x 3x + 4 3y + 4

⇒ 2y – 1 = 3yx + 4x

⇒ 32a–1 = 1

⇒ 2y – 3yx = 4x + 1

⇒ y . (2 – 3x) = 4x + 1

&y=

⇒

⇒ 2a – 1 = 0

⇒a=

32a–1

=

30

1 bulunur. 2

Cevap: D

272

4x + 1 − 3x + 2 4x + 1 & f −1 (x) = bulunur. − 3x + 2

Fonksiyonlar

YGS Matematik

Örnek

Örnek

f : R → R , f(x) = ax + b, a ! 0 fonksiyonu için f −1 (x) = olduğunu gösteriniz.

x−b a

f : R → R, y = f(x) fonksiyonun grafiği şekilde verilmiştir.

Çözüm f: R → R , a ! 0, f(x) = ax + b fonksiyonu bire bir ve örtendir. Ters fonksiyonun kuralını bulalım: y = ax + b ⇒ x = ay + b &y=

!

fonksiyonu için f −1 (x) =

f –1 : R → R , y = f –1(x) fonksiyonunun grafiğini çiziniz.

Çözüm − dx + b dir. cx − a

f : R → R , y = f(x) fonksiyonunun bire bir ve örten olduğunu şekilden görüyoruz. (x eksenine çizilecek paralel doğru-

Örnek f(x) =

lar grafiği en çok bir noktada keseceğinden bire birdir. y ekseninin her noktasından x eksenine çizilecek paralel doğrular

2x − 1 fonksiyonu veriliyor. x+5

eğriyi keseceğinden örtendir.)

a) f–1 fonksiyonunun kuralını bulunuz.

y = f(x) fonksiyonunun grafiği ile

b) (fof –1 )(x) i hesaplayınız.

d)

ile

f –1of

x doğrusu çizilir. Sonra y = f(x) in

arasındaki ilişkiyi söyleyiniz.

y = x doğrusuna göre simetriği alınırsa f –1 in grafiği bulunur.

Çözüm a) f (x) =

y = f –1(x) fonksiyonunun

grafikleri y = x doğrusuna göre simetrik olduğundan, önce y =

c) (f –1of)(x) i hesaplayınız. fof –1

x−b x−b olur. & f −1 (x) = a a d a f: R − '− 1 " R − % /, c c ax + b f (x) = cx + d

2x − 1 − 5x − 1 dir. & f −1 (x) = x+5 x−2

b) (fof –1)(x) = f(f –1(x))

Şekilde y = f(x) in grafiği kesik çizgi ile, y = f –1 (x) in grafiği sürekli çizgi ile çizilmiştir. c) ( f –1of )(x) = f –1 (f(x))

•

f : A → B fonksiyonu bire bir ve örten ise, (f –1) –1 = f dir.

•

f : A → B ve g : B → C fonksiyonları bire bir ve örten ise, gof: A → C fonksiyonu da bire bir, örtendir ve

d)

(fof –1)(x)

=

(f –1of)(x)

= x tir .

273

(gof) –1 = f –1og –1 dir.

•

f, bire bir ve örten bir fonksiyon ve

fog = h ise, g = f –1oh dir.

•

g, bire bir ve örten bir fonksiyon ve

fog = h ise, f = hog –1 dir.

Fonksiyonlar

YGS Matematik

Örnek

Örnek

f : R → R, f(x) = 3x – 2 fonksiyonu veriliyor. (fog) (x) = 6x + 10

fc

ise, g fonksiyonunun kuralını bulunuz.

4x − 1 2x + 3 olduğuna göre, f fonksiyonunun kuralını m= 3 8x − 1

bulunuz.

Çözüm

Çözüm

I. yol: f nin kuralını bulmak için

(fog)(x) = 6x + 10 ⇒ f(g(x)) = 6x + 10

⇒ 3.g(x) – 2 = 6x + 10

⇒ 3.g(x) = 6x + 12

⇒ g(x) = 2x + 4 bulunur.

x=

II. yol:

fc

4x − 1 = t diyelim. Bu eşitlikten 3

3t + 1 bulunur. 4

(4x − 1) m = 2x + 3 3 8x − 1

fog = h ⇒ g = f –1oh idi. f(x) = 3x – 2 ⇒ f –1(x) =

x+2 tür. 3

(fog)(x) = 6x + 10 ⇒ g(x) = f –1(x)o(6x + 10)

x+2 ) o (6x + 10) 3 (6x + 10) + 2 6x + 12 = = 3 3 = 2x + 4 bulunur. =(

Bu ifadede t yerine x yazarsek;

Örnek g : R → R, g(x) =

f ^x h =

3x + 7 olarak f nin kuralını bulmuş oluruz. 12x + 2

2x − 1 fonksiyonu veriliyor. (fog)(x) = 4x + 5 3

ise, f nin kuralını bulunuz.

Örnek N : Doğal sayılar kümesi,

Çözüm

R : Reel sayılar kümesi olmak üzere; fog = h ⇒ f = hog –1 dir. Ayrıca, g (x) =

f: N → R fonksiyonu için;

2x − 1 3x + 1 & g −1 ^x h = dir. 3 2

(fog)(x) = 4x + 5 ⇒ f(x) = (4x + 5) o & f (x) = ^4x + 5h o c

x.f(x) – f(x + 1) = 2x2 + x – 5

g –1(x)

bağıntısı tanımlanıyor.

3x + 1 m 2

Buna göre, f(3) kaçtır?

3x + 1 +5 2 = 6x + 7 bulunur. = 4.

A) 1

274

B) 3

C) 6

D) 9

E) 12

Fonksiyonlar

YGS Matematik

Çözüm

Örnek f (x) =

x.f(x) – f(x + 1) = 2x2 + x – 5 bağıntısında;

x = 0 için ; 0.f(0) – f(0 + 1) = 2.02 + 0 – 5

Çözüm

⇒ –f(1) = –5 ⇒ f(1) = 5 f (x) =

x = 1 için ; 1.f(1) – f(1 + 1) =

2.12 +

x olduğuna göre, f(2x) i f(x) cinsinden yazınız. x+3

1–5

x 2x & f (2x) = tür. Bu ifadede, x yerine f(x) cinx+3 2x + 3

sinden değerini yazmalıyız. Bunun için x in f(x) cinsinden değe-

⇒ f(1) – f(2) = –2

rini bulmalıyız:

⇒ 5 – f(2) = –2

x & x.f ^x h + 3.f ^x h = x x+3 & 3f (x) = x (1 − f (x)) f ^x h =

⇒ f(2) = 7

&x=

x = 2 için ; 2.f(2) – f(2 + 1) = 2.22 + 2 – 5

3f (x) 1 − f (x)

⇒ 2.7 – f(3) = 5 ⇒ f(3) = 9 bulunur.

2x f (2x) = & f (2x) = 2x + 3

Cevap: D

Örnek f(2x) =

4x − 1 veriliyor. 6x

3f (x) 1 − f (x) 3f (x) 2. +3 1 − f (x) 2.

& f (2x) =

6f (x) 3f (x) + 3

& f (2x) =

2f (x) f (x) + 1

bulunur.

a) f fonksiyonunun kuralını bulunuz.

Örnek

x b) f a k yi bulunuz. 2

f(x) = 3.22x–1 olduğuna göre, f(3x) i f(x) cinsinden yazınız.

Çözüm Çözüm

f(x) = 3 . 22x – 1 ⇒ f(3x) = 3 . 22 . 3x – 1 ⇒ f(3x) = 3 . 26x – 1 dir.

x 4x − 1 a) f(2x) = eşitliğinde her x yerine yazalım: 2 6x

x 4. − 1 x & f a 2. k = 2 x 2 6. 2 2x − 1 & f (x) = bulunur. 3x

Bu değeri f(3x) de yerine yazalım:

x f  = 2

(2 2x) 3 .3 2 2.f (x) 3 c m 3 & f (3x) = .3 2 4 3 & f (3x) = f (x) 9

f (3x) = 3.2 6x − 1 & f (3x) =

2x − 1 x b) f(x) = eşitliğinde her x yerine yazalım. 3x 2

f (x) 2 2x = 3 2 2.f (x) 2x tür. &2 = 3

f (x) = 3.2 2x − 1 &

x −1 2 x 3⋅ 2

2⋅

x 2x − 2 bulunur. fa k = 2 3x

bulunur.

275

Fonksiyonlar

YGS Matematik

Örnek

Örnek

A = {1, 2, 3, 4} kümesinde

R gerçek sayılar kümenin üzerinde tanımlı bir fonksiyonu

12 3 4 12 3 4 m ve g c m = f c= 13 4 2 4 3 12

Her x∈ [-10, 10] için f(x) = |x|

permütasyon fonksiyonları tanımlanıyor. a)

f –1

Her x∈R için f(x) = f(x + 20)

fonksiyonunu yazınız.

özelliklerini sağladığına göre, f(117) değeri kaçtır?

b) fog fonksiyonunu yazınız.

A) 3

C) 6

D) 9

Çözüm

Çözüm

-3∈ [-10, 10] için f(-3) = |-3| = 3

12 3 4 12 3 4 m & f −1 = c m dir. 13 4 2 14 2 3

x = 100 için f(100) = f(100 + 20) = f(120) f(-3) = f(-3 + 120) = f(117) 3 = f(117) bulunur.

Açıklama

Cevap: A

f(1) = 1 ⇒ f –1(1) = 1,

Örnek

f(2) = 3 ⇒ f –1(3) = 2,

Aşağıda f fonksiyonunun grafiği verilmiştir.

f(3) = 4 ⇒ f –1(4) = 3, f(4) = 2 ⇒ f –1(2) = 4

y

olur.

4

b) (fog)(1) = f(g(1)) = f(4) = 2

3

(fog)(2) = f(g(2)) = f(3) = 4

(fog)(3) = f(g(3)) = f(1) = 1

(fog)(4) = f(g(4)) = f(2) = 3 12 3 4 m dır. olduğundan, fog = c 2 4 13

1

-4

c) foh = g ⇒ h = f –1og dir. f –1og fonksiyonunu şema ile

A) -3

-2

O -1

2

x

3

g(x) = 3 - f(x - 2) olduğuna göre, g(-2) + g(5) toplamı kaçtır?

bulalım. Şekli inceleyiniz.

E) 12 (2012 YGS)

c) foh = g olacak biçimde h fonksiyonunu bulunuz.

a) f = c

B) 4

B) -1

C) 1

D) 2

E) 3 (2011 LYS)

Çözüm g(x) = 3 - f(x - 2) ise g(-2) = 3 - f(-4) = 3 - 0 = 3 g(5) = 3 - f(3) = 3 - 3 = 0 bulunur.

O hâlde, h = c

g(-2) + g(5) = 3 + 0 = 3 tür.

12 3 4 m tür. 3 2 14

Cevap: E

276

Fonksiyonlar

YGS Matematik

Çözüm

Örnek y

f(x) in denklemi bulunmalıdır. g(x) =

x3

f(x) doğrusal bir fonksiyon olduğu için f(x)

f(x) = ax + b olsun

8

(4, 0) ve (0, -2) noktalarından geçmektedir. f(0) = -2 ⇒ 0 . a + b = - 2 ⇒ b = - 2 f(4) = 0 ⇒ 4a + b = 0 ⇒ 4a - 2 = 0 ⇒ a = 0

2

x

4

f(x) =

1 2

1 x - 2 dir. f-1 (x) = 2 (x + 2) 2

g(6) = f(6) = 1/2 . 6 - 2 = 1 Yukarıdaki şekilde, f(x) fonksiyonu ile g(x) = x3 fonksiyonunun

(f-1og)(6) = f-1 (g(6)) = f-1 (1) = 2.(1 + 2) = 6

grafikleri verilmiştir.

(gof-1)(-2) = g(f-1(-1)) = g(2 . (-1 + 2)) = g(2) = 3

Buna göre, (fog-1of)(0) değeri kaçtır? A) -4

B) -2

C) 0

D) 4

⇒ 6 + 3 = 9 bulunur.

E) 8

Cevap: E

(2002 ÖSS)

Çözüm (fog-1of)(0) =

f(g-1(8))

=

Örnek

f(g-1

(f(0)))

y

= f(2) = 0 bulunur.

g(x)

Cevap: C

Örnek

2

y 0

1

2

3

x

4

3 f(x)

-2 f(x)

0 2

4

6

x

Yukarıda f(x) ve g(x) fonksiyonlarının grafiği verilmiştir.

g(x)

Grafikteki bilgilere göre,

-2

1 A) − 2

B) -1

g (1) + (fog)(2) değeri kaçtır? f (4)

C) 0

D) 1

Çözüm

verilmiştir. Buna göre, (f-1og)(6) + (gof-1)(-1) değeri kaçtır? 3 2

1 2

(1998 - ÖSS)

Yukarıda f doğrusal fonksiyonu ile g fonksiyonunun grafikleri

A)

E)

B)

5 2

C) 0

D) 3

g (1) + f (g (2)) 2 + f (3) 2 + 0 = = = − 1 olur −2 −2 f (4)

E) 9

(1999 ÖSS İPTAL)

Cevap: B

277


Fonksiyonlar

1. A = { –1, 0, 1, 2 }

6.

x2 − 1 x2 + 1 fonksiyonunun görüntü kümesi aşağıdakilerden hangisidir? f (x) =

C) {–1, 0,

3 } 5 3 E) {0, } 5

D) {–1, 0, 1,

C) 3

D) 4

3 } 5

Grafiği verilen y = f(x) fonksiyonunun tanım kümesi [–4, 4] aralığıdır.

Buna göre, f nin görüntü kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

C) {–3, 3, 4} D) [3, 4]

E) 5

E) {–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4}

7. f(x) = (2a – 1) x + 4a + 5

4x + m fonksiyonunda f(–1) = 3 olduğuna x−4 göre, f(3) kaçtır? B) 2

C) 1

D) 0

E) –1

I. f : { –2, –1, 1 } → R, f(x) = x3

II. f : N → N, f(x) = x + 5

III. f : R → R, f(x) = –2x

IV. f : R+ → R, f(x) = x2

V. f : Z → Z, f(x) = 10 A) 1

B) 2

C) 3

fonksiyonu sabit fonksiyon olduğuna göre, f (100) kaçtır? A) 4

B) 5

C) 6

D) 7

E) 8

8. f : R → R

4. Aşağıdaki fonksiyonlardan kaç tanesi bire birdir?

A) [–3, 4] B) [–3, 3]

f (x) =

A) 3

2x − a fonksiyonu için (–2, 7) ∈ f olduğuna ax + 5 göre, a kaçtır? B) 2

B) {–1, 0, 1, 2 }

f ^x h =

A) 1

3.

f:A→R

A) {–1, 0, 1 }

2.

YGS Matematik

f(x) = (m – 2) x + (2m – n – 3)

fonksiyonu birim fonksiyon olduğuna göre,

m.n

kaçtır? A) 1

B) 3

C) 6

D) 9

E) 12

9. f(x) = x2 – x + 1 D) 4

E) 5

olduğuna göre, f(1 – x) – f(x) aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) 0

5. B = {–4, –1, 5}

B) 1 D)

f:A→B

f (x) =

fonksiyonu örten olduğuna göre, A kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

x2

– 1

E)

x2

C) 1 – x +1

10. f (x) = x +x 1

x−4 2x + 1

A) { –4, –1, 0 }

B) { 0, 1, 5 }

C) { –1, 1 }

D) { –1, 0, 1 }

E) { –4, –1, 5 }

278

olduğuna göre, f(x – 1) in f(x) türünden değeri aşağıdakilerden hangisidir?

Çözümler - I

YGS Matematik

7. f(x) sabit fonksiyonunun kuralında x değişkeni olmama-

1. f(–1) = 0, f(0) = –1, f(1) = 0, f(2) = 35

lıdır. x li terimin katsayısını sıfıra eşitleyelim.

3 olduğundan, görüntü kümesi; '− 1, 0, 1 tir. 5 Cevap: C

⇒ a = 3 tür.

2a – 1 = 0 ⇒ a =

f(100) = 7 dir.

Cevap: C

m – 2 = 1 ⇒ m = 3 tür.

2m – n – 3 = 0 ⇒ 2 . 3 – n – 3 = 0

f (− 1) = 3 &

m . n = 9 olur. Cevap: D

4. (− 1) + m =3 (− 1) − 4

⇒ m = –11 dir.

⇒ n = 3 tür.

3.

1 dir. Buna göre, f(x) = 7 olur. 2

8. m – 2 = 1 ve 2m – n – 3 = 0 olmalıdır.

2. ^− 2h − a =7 a. ^− 2h + 5

⇒

Cevap: D

2. (–2, 7) ∈ f ⇒ f(–2) = 7

Fonksiyonlar

f(3) =

4.3 − 11 ⇒ f(3) = –1 dir. 3−4

9. f(1 – x) – f(x) = [(1 – x)2 – (1 – x) + 1] – (x2 – x + 1)

Cevap: E

4. Sadece V teki f(x) = 10 fonksiyonu bire bir değildir.

= (1 – 2x + x2 – 1 + x + 1) – x2 + x – 1

= x2 – x + 1 – x2 + x – 1

= 0 olur. Cevap: A

Cevap: D

5.

10. f ^x − 1h = x − 1 & f ^x − 1h = x −x 1 tir. x−1+1

x−4 =−4 & x = 0 2x + 1 x−4 =−1 & x = 1 2x + 1 x−4 = 5 & x =−1 2x + 1

f ^x h =

olduğundan, A = {–1, 0, 1} dir. Cevap: D

⇒ x . f(x) + f(x) = x

⇒ x . f(x) – x = – f(x)

⇒ x . (f(x) – 1) = – f(x) f (x) & x =− dir. f ^x h − 1

6. f nin görüntü kümesi, grafiğin y ekseni üzerinde örttüğü kısımdır. Bu kısım, [–3, 4] tür. Aşağıdaki şekli inceleyiniz:

x−1 ifadesinde yerine yazarsak; x f ^x h − −1 f x ^ h− 1 x−1 f ^x − 1 h = & f ^x − 1 h = x f ^x h − f ^x h − 1 Bu ifadeyi f (x − 1) =

x & x + 1 h.f ^x h = x x+1 ^

f ^x h +1 f ^x h − 1 f ^x h f ^x h − 1 2f (x) − 1 = f (x) =

bulunur. Cevap: E

Cevap: A

279


Fonksiyonlar

1.

YGS Matematik

3.

olduğuna göre, (fofof) (–3) kaçtır? A)

1 9

B)

1 3

C) 1

D) 3

E) 9

Yukarıda f(x) ve g(x) fonksiyonlarının grafiği verilmiştir.

Grafikteki bilgilere göre, 1 A) − 2

B) –1

4. (fog) (x) =

g (1) + (fog) (2) değeri kaçtır? f (4) 1 C) 0 D) 1 E) 2

x x2 + 1

f(x) = x + 1 olduğuna göre g(x) fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir?

2.

1 − 3x 2 2x + 3 g (x) = 4

(fog) (x) = x2 + 6x + 8

(fog) (a) = –1

olduğuna göre, g(x) aşağıdakilerden hangisi olabilir?


f (x) =

A) –2

B) –1

5. f(x) = x2 + 2x

C) 0

A) x2 + x 1 D) 2

3 E) 2

D) x – 2

280

B) x2 – 2

C) x2 + 2 E) x + 2


YGS Matematik

6. f(x) = ax + b

f–1(3)

f–1(2) = 5

Fonksiyonlar

9.

=4

olduğuna göre, a . b çarpımı kaçtır? A) –7

B) –6

C) –5

D) 3

E) 6

Yukarıda grafiği verilen f(x) fonksiyonu [0, 2] de bire bir ve örtendir.

Buna göre,

A) − 52

f (2) + f −1 (2) ifadesinin değeri kaçtır? f ^f (1) h

B) − 3 2

C) 0

D) 1 2

E) 3

7.

Yukarıdaki şekilde, f(x) fonksiyonu ile g(x) = x3 fonksiyonunun grafikleri verilmiştir.

Buna göre, (fog–1of) (0) değeri kaçtır? A) –4

B) –2

C) 0

D) 4

E) 8

10. A = {a, b, c, d} kümesinde

8. f(x) : IR – {–1} → IR – {3} f (x) + 2 3 − f (x)

x=

olduğuna göre, f–1(x) aşağıdakilerden hangisidir?

fonksiyonları tanımlanıyor.

Buna göre, fog aşağıdakilerden hangisidir?

281

abc d m a c db abc d m g −1 = c dc ab f=c

2

Çözümler - II

Fonksiyonlar

1.

YGS Matematik

6. f–1(3) = 4 ⇒ f(4) = 3 ⇒ 4a + b = 3

(fofof)(− 3) = f c f ^f (− 3)h m 1 = fffc − m p 3 = f (3) = 32 = 9

f–1(2) = 5 ⇒ f(5) = 2 ⇒ 5a + b = 2

denklemlerinden a = –1, b = 7 bulunur.

a . b = –7 dir.

Cevap: E

Cevap: A

2.

7. (fog–1of) (0) = f(g–1(f (0) ) )

= f( g–1(8) )

= f(2) = 0 dır.

g–1(8) = a ise g(a) = 8 dir. a3 = 8 ⇒ a = 2 dir.

Cevap: C Cevap: D

8. y = f(x) fonksiyonunun ters fonksiyonunun kuralını bul3.

mak için fonksiyonun kuralında her x yerine y, her y yerine x yazılır ve y çekilir.

g (1) + (fog)(2) g (1) + f (g (2)) = 4 f (4) 2 + f (3) = −2 2+0 = =−1 −2

Cevap: B

4.

(fog) (x) =

Cevap: C

x x & f ^g (x) h = 2 x +1 x2 + 1 x & g (x) + 1 = 2 x +1 x −1 & g (x) = 2 x +1 =

9.

f (2) + f −1 (2) − 3 + 0 = f (f (1)) f (0) −3 = 2

f(0) = 2 olduğundan, f–1(2) = 0 dır.

− x2 + x − 1 x2 + 1

f (x) + 2 y+2 &x= 3−y 3 − f (x) x+2 &y= 3−x x+2 −1 tir. & f (x) = 3−x

x=

Cevap: E

Cevap: B

5. (fog) (x) = x2 + 6x + 8 ⇒ f( g(x) ) = x2 + 6x + 8

⇒ ( g(x) )2 + 2 . ( g(x) ) = x2 + 6x + 8

10. g −1 = c a b c d m & g = c ac bd bc ad m dir. dc ab

⇒ ( g(x) )2 + 2 . ( g(x) ) + 1 = x2 + 6x + 9

(fog) (a) = f( g(a) ) = f(c) = d

⇒ ( g(x) + 1 )2 = (x + 3)2

(fog) (b) = f( g(b) ) = f(d) = b

⇒ g(x) + 1 = x + 3 V g(x) + 1 = – (x + 3)

(fog) (c) = f( g(c) ) = f(b) = c

⇒ g(x) = x + 2

(fog) (d) = f( g(d) ) = f(a) = a

olduğundan, fog = c

V g(x) = –x – 4

olabilir. Cevap: E

282

abc d m dır. db c a

Cevap: B

İŞLEM

YGS

25. BÖLÜM

MATEMATİK

A ≠ Ø olmak üzere, AxA kümesinin herhangi boş olmayan bir

alt kümesi B olsun. B den A ya her fonksiyona, A da bir ikili

Aşağıda ∗ işleminin şema ile gösterimini inceleyiniz.

işlem veya kısaca A da bir işlem denir. B ⊂ AxA olduğundan, B nin elemanları ikililerdir. O hâlde,

işlem olan fonksiyonlar ikilileri birlilere eşlemektedir. Fonksi-

yonları f, g, h gibi harflerle gösterirken, işlemleri genellikle ❏,

∆, ✰, o, ... gibi sembollerle ifade edeceğiz. Çok iyi bildiğiniz

+, –, x ve ÷ sembolleri de birer işlemdir. b) İşlem için tablo hazırlarken A kümesinin elemanlarını sırasıyla birinci satır ve birinci sütun olarak yazarız.

3 + 5 = 8, 4 x 7 = 28 gösterimlerine alışıksınız. * sembolünü de + ve x gibi bir işlem olarak düşünürsek x * y = z yazabiliriz.

(–1) ∗ 0 = 0 olduğunu tabloda şöyle işaretleriz:

Birinci bileşen olan (–1) in bulunduğu satır ile ikinci bileşen olan 0 ın bulunduğu sütunun kesiştiği yere 0 yazarız.

Yani, x ∗ y = z ise, x elemanının bulunduğu satır ile y elemanının bulunduğu sütunun kesim yerine z yazılır. Aşağıdaki tobloyu inceleyiniz.

İşlem bir fonksiyon olduğundan; 3 + 5 = 8 ifadesini + : (3, 5) → 8 4 x 7 = 28 ifadesini x : (4, 7) → 28 x * y = z ifadesini

∗

* : (x, y) → z

-1

-1

biçiminde gösterebiliriz. İşlemler şema ile veya tablo ile de gösterilebilirler.

0

0

1

-1

0

1

2

-1

2

2

2

Örnek A = {–1, 0, 1, 2} veriliyor. AxA nın

Örnek

B = {(–1, 1) , (–1, 0) , (0, –1) , (1, 1), (1, 0)} alt kümesini alalım.

R de bir ∗ işlemi x ∗ y =

∗ : B → A , x ∗ y = x – y + 1 işlemi tanımlanıyor.

2x − y biçiminde tanımlanıyor. x+y+1

a) 2 ∗ (– 4) ifadesinin değerini bulunuz.

a) İşlemi şema ile gösteriniz.

b) 3 ∗ a = 5 olduğuna göre, a yı bulunuz.

b) İşlemi tablo ile gösteriniz.

Çözüm

Çözüm

a) ∗ işleminin tanımından; 2.2 − (− 4) 4+4 = = − 8 bulunur. 2 ) (− 4) = 2 + (− 4) + 1 2 − 4 + 1

a) Önce ∗ işlemi altında B nin her elemanının görüntüsünü bulalım:

(–1) ∗ 1 = (–1) – 1 + 1 = –1

b)

3 * a =5

⇒

2⋅3 −a =5 3 + a +1 6−a =5 4+a

(–1) ∗ 0 = (–1) – 0 + 1 = 0

0 ∗ (–1) = 0 – (–1) + 1 = 2

⇒

1∗1=1– 1 + 1= 1

⇒ 6 − a = 20 + 5 a

1∗0=1–0+1= 2

⇒a=−

283

7 bulunur . 3

İşlem

YGS Matematik

Çözüm

Örnek R de;

Tabloda b nin bulunduğu satırla a nın bulunduğu sütunun

1 1 2 ) = 2x + y + x y xy

kesişiminde a olduğundan,

işlemi tanımlanıyor.

Yerine yazılırsa;

1 1 ) kaçtır? a) 3 2

(a ∗ x) ∗ (b ∗ a) = c ⇒ (a ∗ x) ∗ a = c olur. Bu eşitlikte a ∗ x

b ∗ a = a dır.

elemanı şöyle bulunur: Tabloda a sütununda c nin bulunduğu

b) 3 ∗ 2 kaçtır? c) 3 )

satıra inilir. c nin bulunduğu satır c ile başlamaktadır.

1 = a olduğuna göre, a kaçtır? a

O hâlde a ∗ x = c dir. Aynı biçimde, a nın bulunduğu satırda c nin bulunduğu sütuna gidilir. c nin bulunduğu sütun c ile

Çözüm

başlamaktadır.

a)

2 1 1 ) = 2x + y + x y xy

işleminde x = 3 ve y = 2 yazalım:

Bu göre, x = c dir.

İŞLEMİN ÖZELLİKLERİ

1 1 2 * = 2⋅3 + 2 + 3⋅2 3 2 =8+

=

1. Kapalılık Özeliği

1 3

∗ , A da bir işlem olsun. Eğer; ∀x, y ∈A için x ∗ y∈A ise

25 bulunur . 3

“A kümesi ∗ işlemine göre kapalıdır” denir. Bu tanıma göre; ∗ işlemi AxA dan A ya bir fonksiyon ise A

b)

kümesi ∗ işlemine göre kapalı olmaktadır.

Örnek A = {1, 2, 3} kümesi üzerinde aşağıdaki tabloda tanımlı ∗ işlemi verilsin.

c)

*

1

2

3

1

2

1

3

2

1

2

3

3

2

A kümesi ∗ işlemine göre kapalı değildir. Çünkü, tabloda 3 ∗ 1 ve 2 ∗ 3 elemanları tanımlanmamıştır.

Örnek

Örnek

A = {a, b, c} kümesi üzerinde aşağıdaki tabloda tanımlı o

A = {a, b, c} kümesi üzerinde aşağıdaki tabloda verilen ∗

işlemi verilsin.

işlemi tanımlanıyor. *

a

b

o

a

c

a

a

b

b

c

b

b

a

c

b

c

c

c

a

a

b

c

c

b

a

b

a

c

a

c

b

A kümesi o işlemine göre kapalıdır. Çünkü tabloda o işlemine göre tanımlanmamış ikili yoktur.

(a ∗ x) ∗ (b ∗ a) = c olduğuna göre, x i bulunuz.

284

İşlem

YGS Matematik

Örnek

dir. ∗ işlemine göre tanımlı olan her x ∗y ve her y ∗x için x ∗y = y ∗ x

Tam sayılar kümesinde

kat ediniz. Tablosu köşegene göre simetrik olan her işlemin

x∆ y = x.y – (x + y) + 5

değişme özeliği vardır.

olmaktadır. Tablonun köşegene göre simetrik olduğuna dik-

kuralı ile tanımlı ∆ işlemi verilsin.

A kümesinin ∗ işlemine göre kapalı olmadığına dikkat ediniz.

Z tam sayılar kümesi ∆ işlemine göre kapalıdır. Çünkü, ∀x, y ∈ Z için, (x.y) ∈ Z, (x+y) ∈ Z,

Örnek

(x–y) ∈ Z olduğundan, x.y – (x+y) + 5 sayısı bir tam sayıdır.

Örnek x+y kuralı ile tanımlı ∗ x−y işlemini alalım. Z tam sayılar kümesi ∗ işlemine göre kapalı

Tam sayılar kümesinde x ∗ y =

yandaki tablo gibi tanımlı ∆ işleminin değişme özeliği var

mıdır?

Çözüm

değildir. Çünkü; en azından 5 ∈ Z, 8 ∈ Z için 5)8 =

A = {a, b, c, d} kümesinde

∆ işleminin değişme özeliği yoktur. Çünkü, b ∆ c = b olarak tanımlandığı hâlde c∆b tanımlanmamıştır. Eğer b ∆ c tanımlanmamış olsaydı ya da c ∆ b = b olarak tanımlanmış olsaydı ∆ işlemi değişmeli olacaktı.

5+8 13 =− b Z dir. 5−8 3

Yani, Z kümesinde 5 ∗ 8 tanımlı değildir. Halbuki, ∀x, y ∈ Z için x ∗ y ∈ Z olmalıydı.

Değişme özelliği varsa

2. Değişme Özeliği ∗ , A da bir işlem olsun. x,y ∈ A olmak üzere; x ∗y=y ∗x ise “∗ işleminin değişme özeliği vardır” veya “∗ işlemi

!

değişmelidir” denir.

Örnek

A = {1, 2, 3, 4} kümesinde aşağıdaki tabloda tanımlı ∗ işleminin

değişme özeliği var mıdır? *

1

1

1

2 3 4

2

2

3

4

Örnek

2 3

1

1

4

R gerçek sayılar kümesinde tanımlı

2

x

2

y = x2 + y2 – xy + 5

işleminin değişme özeliği var mıdır?

Çözüm

Çözüm

işleminin değişme özeliği vardır. Çünkü;

∗ işleminin değişme özeliği vardır. Çünkü, tabloya göre;

x

y = x2 + y2 – xy + 5

2 ∗4 = 4 ∗2 = 2

y

x = y2 + x2 – yx + 5

3 ∗1 = 1∗3 = 2

olduğundan, x

2 ∗3 = 3 ∗2 = 1

285

y=y

x tir.

İşlem

YGS Matematik

4. Bir İşlemin Başka Bir İşlem Üzerine Dağılma Özeliği

Örnek

∗ ve ∆, A da tanımlı iki işlem olsun. x, y, z ∈ A olmak üzere;

Z tam sayılar kümesinde tanımlı x ∆ y = 3x – 2y – 1

x ∗ (y ∆ z) = (x ∗ y) ∆ (x ∗ z)

işleminin değişme özeliği var mıdır?

ise “∗ işleminin ∆ işlemi üzerine soldan dağılma özeliği vardır” denir.

Çözüm

(y ∆ z) ∗ x = (y ∗ x) ∆ (z ∗ x)

∆ işleminin değişme özeliği yoktur. Çünkü;

ise “∗ işleminin ∆ işlemi üzerine sağdan dağılma özeliği

2 ∈ Z ve 4 ∈ Z için;

vardır” denir.

2 ∆ 4 = 3 . 2 – 2 . 4 – 1 = –3

∗ işleminin ∆ işlemi üzerine hem sağdan hem soldan dağılma

4 ∆2=3.4–2.2–1=7

özeliği varsa “∗ işleminin ∆ işlemi üzerine dağılma özeliği

olduğundan, 2 ∆ 4 ≠ 4 ∆ 2 dir.

vardır” denir.

3. Birleşme Özeliği

Örnek

∗ , A kümesinde bir işlem olsun. x, y, z ∈ A olmak üzere; x ∗ (y ∗ z) = (x ∗ y) ∗ z

a) Gerçel sayılar kümesinde çarpma işleminin toplama

ise, “∗ işleminin birleşme özeliği vardır” veya “∗ işlemi

işlemi üzerine dağılma özeliği vardır.

birleşmelidir” denir.

Örnek R gerçek sayılar kümesinde x ∗y=x.y+x+y

Yani; ∀a, b, c ∈ R için;

a . (b + c) = (a . b) + (a . c)

(b + c) . a = (b . a) + (c . a)

dır.

b) Kümelerde ∪ işleminin ∩ işlemi üzerine dağılma özeliği

kuralı ile tanımlı ∗ işleminin birleşme özeliğinin olup olmadığını

vardır:

araştırınız.

Çözüm x, y, z ∈R için ;

A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

(B ∩ C) ∪ A = (B ∪ A) ∩ (C ∪ A)

c) Kümelerde ∩ işleminin ∪ işlemi üzerine dağılma özeliği

x ∗ (y ∗z) = x ∗ (y.z + y + z)

vardır:

(y∗z = y.z + y + z olduğundan)

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

= x . (y.z + y + z) + x + (y.z + y + z)

(B ∪ C) ∩ A = (B ∩ A) ∪ (C ∩ A)

= xyz + xy + xz + yz + x + y + z ... (I)

ç) Gerçek sayılar kümesinde bölme işleminin toplama işlemi üzerine sağdan dağılma özeliği vardır.

(x ∗y) ∗ z = (x.y + x + y) ∗ z = (x.y + x + y) . z + (x.y + x + y) + z

∀a, b, c ∈ R ve c ≠ 0 için;

= x.y.z + xz + y.z + x.y + x + y + z ... (II)

(a + b) : c = (a : c) + (b : c)

(I) ve (II) den, x ∗ (y ∗z) = (x ∗y) ∗ z olduğu görülmektedir.

dir.

O hâlde, ∗ işleminin birleşme özeliği vardır.

286

İşlem

YGS Matematik

Örnek

BİRİM (ETKİSİZ) ELEMAN

Reel sayılar kümesinde

∗, A kümesinde tanımlı bir işlem olsun. ∀x∈A ve bir tek e ∈ A için

x ∆ y = 3x + 3y – 2xy – 3

x∗e = e ∗x = x

kuralı ile verilen ∆ işleminin etkisiz elemanını bulunuz.

oluyorsa “A kümesinin ∗ işlemine göre birim (etkisiz) ele-

Çözüm

manı e dir.” denir.

x ∆ y = y ∆ x olduğundan, işlemin değişme özeliği vardır.

Örnek

Bu yüzden x ∆ e = x veya e ∆ x = x denklemlerinden birini kullanarak etkisiz elemanı araştırabiliriz.

a) Bütün kümelerin kümesi E olsun. E kümesinde tanımlı ∪

(birleşim) işleminin etkisiz elemanı Ø dir.

x ∆ e = x ⇒ 3x + 3e – 2xe – 3 = x

Çünkü; ∀A∈E için A ∪ Ø = Ø ∪ A = A dır.

⇒ 3e – 2xe = –2x + 3 ⇒ e . (3 – 2x) = 1. (3 – 2x)

b) Gerçek sayılar kümesinde çarpma işleminin etkisiz elemanı 1, toplama işleminin etkisiz elemanı 0 dır.

Çünkü; ∀x∈R için

x.1 = 1.x = x

x + 0 = 0 + x = x dir.

⇒ e=1 olarak bulunur.

!

c) A = {1, 2, 3, 4} kümesinde aşağıdaki tablo ile tanımlı ∗ işleminin etkisiz elemanı 2 dir.

1

2

3

4

1

4

1

2

2

2

1

2

3

4

3

3

3

4

1

4

3

4

1

2

A kümesi, bu kümede tanımlı ∗ işlemine göre kapalı olsun. A kümesinin ∗ işlemine göre en çok bir tane etkisiz elemanı vardır.

BİR ELEMANIN TERSİ ∗ , A kümesinde tanımlı bir işlem ve A kümesinin bu ∗ işlemine göre etkisiz elemanı e olsun. x, y ∈ A için

Çünkü, tabloya göre;

x ∗ y = y∗ x = e

1∗ 2 = 2 ∗ 1 = 1 2∗ 2 = 2

ise x ve y elemanlarına “∗ işlemine göre birbirlerinin

3 ∗ 2 = 2∗ 3 = 3

tersleri” denir ve x–1 = y veya y–1 = x biçiminde gösterilir.

4∗ 2 = 2 ∗ 4 = 4

Gerçek sayılarda toplama işlemine göre x in tersi –x tir.

olmaktadır. 2 nin bulunduğu satırda ve 2 nin bulunduğu

Çünkü, x + (–x) = 0 dır.

sütunda bütün elemanlar aynen korunmaktadır. Çarpma işlemine göre x ≠ 0 için x in tersi

∗ işleminin değişme özeliği olmadığına dikkat ediniz. 3 ∗1 = 3

x.

ve 1∗3 = 2 dir.

287

1 = 1 dir. x

1 tir. Çünkü, x

İşlem

YGS Matematik

Çözüm

Örnek A = {a, b, c, d} kümesinde aşağıdaki tablo ile tanımlanan ∗

a) x ∗ y = y ∗ x olduğundan, işlemin değişme özeliği vardır. O

işlemi veriliyor.

hâlde, işlemleri tek taraftan yapabiliriz.

*

a

b

c

d

a

b

d

a

c

b

d

c

b

a

c

a

b

c

d

d

c

a

d

b

Etkisiz eleman e olsun.

x∗ e = x

& 2x + 2e − 3xe −

2 =x 3

2 3 2 − 3x & e. ^2 − 3x h = 3 1 &e= bulunur. 3 & 2e − 3xe = − x +

a) İşlemin etkisiz elemanını bulunuz. b) Tersi olan elemanların terslerini bulunuz.

1 b) 3–1 = a olsun. O hâlde a ∗ 3 = 3 ∗ a = olmalıdır. İşlem 3 değişmeli olduğundan, tek yönden a yı bulmak yeterlidir.

Çözüm a)

*

a

b

a b c

d

b a

b

d

c a c

d

d

İşlemin etkisiz elemanı c dir. Nasıl bulunduğunu tabloda

O hâlde, 3 ün ∗ işlemine göre tersi

5 dir. 7

inceleyiniz. A kümesinin elemanlarının aynı sırada korunduğu satır ve sütunun kesiştiği yerdeki eleman, işleminin

Örnek

etkisiz elemanıdır. R gerçek sayılar kümesinde x ∗ y = 4x + 4y – 3xy – 4

b) Tabloda; a ∗ d = d ∗ a = c (c, etkisiz eleman) olduğundan,

işlemi tanımlanıyor. ∗ işlemine göre hangi elemanın tersi

a ve d elemanları ∗ işlemine göre birbirlerinin tersleridir.

Yani, a–1 = d ve d–1 = a dır.

Aynı biçimde b ∗ b = c olduğundan, b–1 = b ve c ∗ c = c

yoktur? A) 4

B) 3

C)

3 4

D)

4 3

E)

1 12

olduğundan, c–1 = c dir.

Çözüm Bir elemanın tersini araştırmak için önce etkisiz elemanı bul-

Örnek

malıyız. ∗ işleminin değişme özeliği vardır. O hâlde, tek yön-

R kümesinde x ∗ y = 2x + 2y – 3xy –

den etkisiz eleman araştırabiliriz: 2 3

x ∗ e = x ⇒ 4x + 4e – 3xe – 4 = x

kuralıyla ∗ işlemi tanımlanıyor.

⇒ 4e – 3xe = –3x + 4

⇒ e. (4 – 3x) = 4 – 3x

a) İşlemin etkisiz elemanını bulunuz.

⇒ e=1

b) ∗ işlemine göre 3–1 (3 ün tersi) i bulunuz.

bulunur. Şimdi de bir x elemanının tersini araştıralım. x in tersi x–1 olsun.

288

İşlem

YGS Matematik

x ∗ x–1 = e

⇒ 4x + 4x–1 – 3x.x–1 – 4 = 1

⇒ (4 – 3x) .

& x −1 =

x–1

Çözüm

= 5 – 4x

Yutan eleman θ olsun.

4x − 5 bulunur. 3x − 4

x ∆ θ = θ ∆ x = θ olacak biçimde θ ∈ R yi bulacağız. İşlemin değişme özeliği olduğundan, tek taraftan işlem yapmak

4x − 5 tür. O hâlde, bir x elemanının ∗ işlemine göre tersi; 3x − 4

yeterlidir.

Bu ifadenin paydası 0 olursa ifade tanımsız olur.

x ∆ θ = θ ⇒ 3x + 3θ – xθ – 6 = θ

4 4 3x – 4 = 0 ⇒ x = tür. O hâlde, ün ∗ işlemine göre tersi yoktur. 3 3

⇒ 2θ – x.θ + 3x – 6 = 0

⇒ θ.(2 – x) – 3 (2 – x) = 0

Özelik:

⇒ (θ – 3) . (2 – x) = 0

∗, A kümesinde tanımlı bir işlem olsun. A kümesi ∗ işlemine

⇒ θ=3

göre kapalı, ∗ işleminin birleşme özeliği var ve ∗ işleminin etki-

Burada θ = 3 sayısı işlemin yutan elemanı, x = 2 sayısı işlemin

Cevap: D

siz elemanı e olsun. Bu durumda x ∈ A nın ∗ işlemine göre

veya

x=2

bulunur.

etkisiz elemanıdır.

tersi varsa, bu ters eleman en çok bir tanedir.

Cevap: C

Örnek Özelik:

A = {0, 1, 2, 3, 4} de bir ∗ işlemi;

∗ , A kümesinde tanımlı bir işlem olsun. A kümesi ∗ işlemine

x ∗ y = “x ve y nin büyük olmayanı”

göre kapalı, ∗ işleminin birleşme özeliği var ve ∗ işlemine


göre A nın her elemanını tersi bulunsun.

a) İşlemin tablosunu yapınız.

Bu durumda,

b) İşlemin değişme özeliği var mıdır?

∀x, y ∈ A için, (x * y) –1 = y–1 ∗ x–1 dir.

c) İşlemin etkisiz elemanı var mıdır? d) İşlemin yutan elemanı var mıdır?

YUTAN ELEMAN

e) İşleme göre tersi olan elemanların terslerini bulunuz. A kümesinde bir ∗ işlemi tanımlanmış olsun. ∀x ∈ A için x ∗ θ = θ ∗ x = θ

Çözüm

olacak biçimde θ ∈ A varsa, θ elemanına ∗ işleminin a)

“yutan elemanı” denir.

Örnek Reel sayılar kümesinde çarpma işleminin yutan elemanı 0 dır. Çünkü, ∀ x ∈ R için x.0 = 0.x = 0 dır.

*

0

1

2

3

4 0

0

0

0

0

0

1

0

1

1

1

1

2

0

1

2

2

2

3

0

1

2

3

3

4

0

1

2

3

4

✓ Yutan elamanın tersi yoktur.

Tabloda bazı elemanların bulunuşu şöyledir:

0 ∗ 0 = “0 ve 0 ın büyük olmayanı” = 0

0 ∗ 1 = “0 ve 1 in büyük olmayanı” = 0

x ∆ y = 3x + 3y – xy – 6

2 ∗ 3 = “2 ve 3 ün büyük olmayanı” = 2

kuralı ile verilen ∆ işleminin yutan elemanı kaçtır?

3 ∗ 1 = “3 ve 1 in büyük olmayanı” = 1

A) 1

4 ∗ 4 = “4 ve 4 ün büyük olmayanı” = 4

Örnek Reel sayılar kümesinde

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

289

İşlem

YGS Matematik

b) ∀x, y ∈ R için; x . y ∈ R, 2x ∈ R, 2y ∈ R

b) Tablo köşegene göre simetrik olduğundan, işlemin değişme özeliği vardır. c) 4 ∗ 0 = 0

4∗1=1

4∗2=2

4∗3=3

4∗4=4

ve işlemin değişme özelliği olduğundan, işlemin etkisiz

olduğundan, (xy – 2x – 2y + 6) ∈ R dir.

O hâlde, R kümesi ∗ işlemine göre kapalıdır.

c) x ∗ y = x . y – 2x – 2y + 6

y ∗ x = y . x – 2y – 2x + 6

olduğundan x ∗ y = y ∗ x dır. Buna göre, ∗ işleminin değişme özeliği vardır.

d) Verilen işlemin değişme özeliği olduğundan sadece x ∗ e = x eşitliğinden etkisiz eleman araştırılabilir:

elemanı; 4 tür.

x ∗ e = x ⇒ x . e – 2x – 2e + 6 = x

d) 0 ∗ 0 = 0

1∗0=0

⇒ e(x – 2) = 3x – 6

2∗0=0

⇒ e . (x – 2) = 3 . (x – 2)

3∗0=0

⇒ e = 3 bulunur.

4∗0=0

e) ∗ işleminin değişme özeliği olduğundan, yalnız

ve işlemin değişme özeliği olduğundan, işlemin yutan

x ∗ θ = θ eşitliğinden θ araştırılabilir.

x ∗ θ = θ ⇒ x . θ – 2x – 2θ + 6 = θ

elemanı; 0 dır. e) İşleme göre sadece 4 ün tersi vardır ve

4–1 = 4 tür.

Örnek

⇒ (x – 3)θ = 2(x – 3)

⇒ θ = 2 dir.

f)

5 in tersi a olsun. Buna göre,

R de

5∗a=3

x * y = x.y – 2x – 2y + 6

tür. (3, etkisiz elemandır.)


5∗a=3⇒5.a–2.5–2.a+6=3

a) a * a = a olan a sayılarını bulunuz.

&a=

b) R, * işlemine göre kapalıdır mıdır?

O hâlde, 5 −1 =

7 bulunur. 3

c) * işleminin değişme özelliği var mıdır? d) * işleminin etkisiz elemanını bulunuz.

Örnek

e) * işleminin yutan elemanını bulunuz. f)

7 7 −1 ve c m = 5 tir. 3 3

Gerçel sayılar üzerinde bir Δ işlemi her a,b gerçel sayısı için

* işlemine göre 5 in tersini bulunuz.

a) a ∗ a = a ⇒ a . a – 2 . a – 2 . a + 6 = a

a Δ b = (a2 . b) - a + b biçiminde tamamlanıyor.

⇒ a2 – 5a + 6 = 0

x ! y ve x Δ y = y Δ x olduğuna göre x . y çarpımı kaçtır?

⇒ (a – 2) . (a – 3) = 0

A) 1

⇒ a = 2 veya a = 3

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5 (2012 YGS)

290

İşlem

YGS Matematik

Çözüm

Örnek

a Δ b = (a2 . b) - a + b tanımdan

Pozitif tam sayılar kümesi üzerinde 5 ve 7 işlemleri en büyük

x Δ y = y Δ x ise

ortak bölen ve en küçük ortak kat yardımı ile,

(x2 . y) - x + y = (y2 . x) - y + x (x2 y - y2 x) = 2x - 2y

a 5 b = EBOB (a,b)

xy (x − y) = 2 (x − y)

a 7 b = EKOK (a,b)

x . y = 2 bulunur.

Cevap: B

olarak tanımlanıyor.

Örnek

Buna görei 18 5 (12 7 4) işleminin sonucu kaçtır?

A = {a, b, c, d, e} kümesi üzerinde Δ işlem aşağıdaki tabloyla

A) 2

B) 3

C) 6

D) 8

E) 9

tanımlanıyor.

(2010 YGS)

Örneğin a Δ d = c ve d Δ a = a'dır. Δ a

a a

b b

c a

d c

e d

b

c

b

b

a

e

c

a

b

c

d

e

d

a

a

d

d

b

e

e

e

e

d

a

Çözüm 12 5 4 = EKOK (12,4)

= 12 dir.

18 7 12 = EBOB (18,12)

Bu tabloya göre A kümesinin

= 6 olur.

• K = {b, c, d} Cevap: C

• L = {a, b, c} • M = {c, d, e}

Örnek

alt kümelerinden hangileri Δ işlemine göre kapalıdır? A) Yalnız K

B) Yalnız L D) K ve M

C) K ve L

d

E) L ve M

A (2011 LYS)

Çözüm

A

B

B

Şekildeki gibi bir d doğrusunun noktaları kümesi üzerinde işlemi,

Δ a

a a

b b

c a

d c

e d

b

c

b

b a

e

c

a

b

c

d

e

d

a

a

d

d

b

e

e

e

e

d

a

A� B = *

[AB] do€ru parças›n›n orta noktas›, A Y = B ise A noktas›, A = B ise

biçiminde tanımlanıyor. Bu işlemle ilgili olarak

K = {b, c, d} kümesi için,

I. Değişme özeliği vardır.

Y K olduğu için kapalı değildir. d Δ b = a ve a !

II. Birleşme özeliği vardır.

L = {a, b, c} kümesi için,

III. Etkisiz (birim) elemanı vardır.

Δ işlemine göre elde edilen tüm sonuçlar yine L kümesine ait

yargılarından hangileri doğrudur?

olduğu için kapalıdır.

A) Yalnız I

M = {c, d, e} kümesi için,

B) I ve II D) II ve III

Y M olduğu için kapalı değildir. e Δ e = a ve a !

C) I ve III E) I, II ve III (2009 ÖSS)

Cevap: B

291

İşlem

YGS Matematik

Çözüm

Örnek

Doğru üzerindeki A, B, C ve E noktalarının koordinatları sıra-

Rasyonel sayılar kümesi üzerinde tanımlı,

sıyla a, b, c ve e olsun.

∗, 5, 9 ikili işlemleri I. a ∗ b = a − b II. a 5 b = a + b + ab

i) değişme özelliği:

III. a 9 b =

a+b_ b 2 À� B = B� A b+a b B� A = 2 a

AY = B için A� B =

ve

a+b 5

biçiminde tanımlanıyor. Buna göre, bu işlemlerden hangileri birleşme özeliğini sağlar?

_ a+a = ab 2 À� B = B� A a+a B� A = = ab 2 a

A = B için A� B =

A) Yalnız I

B) Yalnız II D) I ve II

olduğundan işlemin değişme özeliği vardır.

Çözüm ii) Birleşme özelliği:

eşitliğinin sağlanması gerekir.

b+c a+ b+c 2 A� (B� C) = a� ( )= 2 2 =

a+b (A� B) � C = ( )� c = 2 = C) ≠ (A

1, 2 ve 3 sayıları kullanılarak I ve III işlemlerinin birleşme özelliğinin olmadığı gösterildiğinde geriye sadece II işlemi kalır.

2a + b + c 4 a+b +c 2 2 a + b + 2c 4

B)

C olduğuna göre birleşme özelliği

I.

a∗b=a-b

1∗(2∗3) =? (1∗2)∗3

1∗(-1) =? (1-2)∗3

1-(-1) =? (-1) ∗3

1-(-1) =? (-1)-3

iii) Etkisiz eleman özelliği Birim elemanı E ise A

E=E

2Y =−4

III. a 9 b = A = A olmalıdır.

A ≠ E durumunda (yani, a ≠ e için) A

(2010 LYS)

aΔ(bΔc) = (aΔb)Δc

=BY = C durumunda AY

A (B yoktur.

E) II ve III

Rasyonel sayılarda tanımlı bir Δ işleminin birleşme özelliğinin olması için

A, B, C noktaları için,

C) Yalnız III

E=A

a+e =a 2 a + e = 2a

a+b 5

1 9 (2 9 3) =? (1 9 2) 9 3

19 c

1 9 1 =?

3 1 + 1 ? 55 + 3 = 5 5

2+3 ? 1+2 m=c m93 5 5 3 93 5

II. de verilen işlemin birleşme özeliğinin olup olmadığına

e = a olur ki bu durumda birim elemanı yoktur.

bakmaya gerek yoktur.

Cevap: A

292

Cevap: B

Çözümlü Test

YGS Matematik

1. ∗ işlemi

İşlem

4. A = {–1, 0, 1} kümesinde ∗ işlemi,

2 1 1 = + a)b a b

olarak tanımlandığına göre 2 ∗ 4 ün değeri kaçtır?

A) 8

B) 3

3

C) 10 3

D) 11 3

x∗y=

E) 4

{

x + y, x . y ≥ 0 x – y, x . y < 0


Bu işlemin tablosu aşağıdakilerden hangisidir?

şeklinde tanımlanıyor.

a ∗ (a ∆ 1) = 81 olduğuna göre, a kaçtır? A) 1

B) 2

D) 4

C) 3

x∆y=x+y

2. Pozitif tam sayılar kümesi üzerinde ∗ ve ∆ işlemleri

x ∗ y = xy

ise

ise

E) 5

5. Reel sayılarda tanımlı

x ∆ y = 3xy – 2x – 2y + 2

işleminin etkisiz elemanı kaçtır? A) –2

B) –1

C) 0

D) 1

E) 2

6. D = {1, 2, 3, 4, 5} kümesinde

p ∗ q = ( p ve q nun büyük olmayanı)

ile tanımlı “∗” işleminin etkisiz elemanı kaçtır? A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

3. Gerçel sayılar kümesi üzerinde her a ve b için değişme özelliği olan

7. Reel (gerçel) sayılar kümesi üzerinde her a, b için

a ∆ b = a . b – 3 (b ∆ a)

işlemi tanımlanmıştır.

Buna göre, 5 ∆ (–1) değeri kaçtır? 6 A) − 5

5 B) − 4

C)

1 5

D) 5

E) 7

a ∆ b = a + b – 2ab

işlemi tanımlanmıştır.

Buna göre, 5 in ∆ işlemine göre tersi kaçtır? A)

293

5 9

B)

2 3

C)

3 4

D)

3 7

E)

4 7

Çözümlü Test

İşlem


x ∆ y = 6xy + 3x + 3y + 1

2 ün tersi kaçtır? 3 2 A) –2 B) − 3 10 1 D) − E) − 7 21 işleminde

C) −

1 3


x ∗ y = 2 – 3x – 3y + 6xy

işleminin yutan elemanı kaçtır? A)

1 3

B)

1 2

C) 1

D) 2

E) 3

10. A = {a, b, c, d, e} kümesinde aşağıdaki tablo ile tanımlı ∗ işlemi verilmiştir.

a

a

b

c

d

e

a

b

c

d

e

b

b

c

d

e

a

c

c

d

e

a

b

d

d

e

a

b

c

e

e

a

b

c

d

Tabloya göre, x in tersi x–1 ile gösteriliyorsa

(x ∗ e)–1 ∗ (a ∗ d–1) = c

işleminde x aşağıdakilerden hangisidir? A) a

B) b

C) c

D) d

E) e

294

YGS Matematik

YGS Matematik

1.

Çözümler

İşlem

4. (–1) ∗ (–1) = (–1) + (–1) = –2 ∉ A

2 1 1 2 3 = + & = 2)4 2 4 2)4 4 8 & 2)4 = 3 Cevap: A

(–1) ∗ 0 = –1 + 0 = –1

(–1) ∗ 1 = –1 – 1 = –2 ∉ A

0 ∗ (–1) = 0 + (–1) = –1

0∗0=0+0=0

0∗1=0+1=1

1 ∗ (–1) = 1 – (–1) = 2 ∉ A

1∗ 0=1+0=1

1∗1=1+1=2∉A

Buna göre, işlemin tablosu C de verilmiştir. Cevap: C

2. a ∗ (a ∆ 1) = 81 ⇒ a ∗ (a + 1) = 81

⇒ aa+1 = 81

⇒ aa+1 = 34

O hâlde, a = 3 tür.

5. ∆ işleminin değişme özeliği vardır. Cevap: C

O hâlde x ∗ e = x eşitliğinden e yi bulmak yeterlidir.

x ∗ e = x ⇒ 3xe – 2x – 2e + 2 = x

⇒ 3xe – 2e = 3x – 2

⇒ e . (3x – 2) = 1 . (3x – 2)

⇒ e = 1 bulunur. Cevap: D

6.

3. a ∆ b = b ∆ a olduğundan,

⇒ a ∆ b = a . b – 3 . (a ∆ b)

⇒ 4 . (a ∆ b) = a . b

a.b tür. 4 5. (− 1) 5 Buna göre, 5 (− 1) = = − tür. 4 4

& a T b =

1

2

3

4

5

1

1

1

1

1

2

1

2

2

2

2

3

1

2

3

3

3

4

1

2

3

4

4

5

1

2

3

4

5

1

a ∆ b = a . b – 3 . (b ∆ a)

Cevap: B

∗ işleminin tablosuna göre, etkisiz eleman 5 tir. Cevap: E

295

Çözümler

İşlem

YGS Matematik

7. a ∆ b = b ∆ a olduğundan, ∆ nin değişme özeliği vardır.

9. x ∗ y = y ∗ x olduğundan işlemin değişme özeliği vardır.

5 in tersini bulmak için önce etkisiz elemanı bulmalıyız.

O hâlde, sadece x ∗ Θ = Θ eşitliğinden Θ yı bulmak ye-

Etkisiz eleman e olsun.

terlidir.

⇒ x + e – 2x e = x

⇒ e (1 – 2x) = 0

⇒ e = 0 bulunur.

⇒ –4Θ + 6xΘ = 3x – 2

x∆e=x

Yutan eleman Θ olsun. x∗Θ=Θ

⇒ 2 – 3x – 3Θ + 6 x Θ = Θ

5 in tersi m olsun.

⇒ 2Θ . (3x – 2) = 1 . (3x – 2)

5∆m=0

⇒ 2Θ = 1

&Θ=

⇒5+m–2.5.m=0

⇒ 5 + m – 10m = 0

⇒ –9m = –5

&m=

1 bulunur. 2 Cevap: B

5 9

5 dur. Etkisiz eleman 0 oldu9 ğundan, 5 ∆ m = 0 yazılmıştır.

bulunur. O hâlde, 5 in tersi

Cevap: A

8. x ∆ y = y ∆ x olduğundan, ∆ nın değişme özeliği vardır. Etkisiz eleman e olsun.

x∆e=x

⇒ 6xe + 3x + 3e + 1 = x

⇒ 6xe + 3e = –2x – 1

⇒ 3e . (2x + 1) = –1 . (2x + 1)

⇒ 3e = –1

& e =−

1 tür. 3

2 ün tersi a olsun. 3

10. ∗ işleminin etkisiz elemanı a dır.

(x ∗ e)–1 ∗ (a ∗ d–1) = c ⇒ (x ∗ e)–1 ∗ (a ∗ c) = c

⇒ (x ∗ e)–1 ∗ c = c

⇒ (x ∗ e)–1 = a

⇒ x ∗ e = a–1

⇒x∗e=a

⇒x=b Cevap: B

Cevap: E

296

MODÜLER ARİTMETİK

YGS MATEMATİK

26. BÖLÜM

x, y, m ∈ Z ve m ≥ 2 olmak üzere, x – y sayısı m ye bölü-

Özelikler

nebiliyorsa “x ile y sayıları m modülüne göre denktirler”

a. x ≡ y (mod m) ise x in ve y nin m ye bölümlerinden kalanlar

denir ve x ≡ y (mod m) veya y ≡ x (mod m)

aynıdır. b. x ve y tam sayılarının m > 1 tam sayısına bölümlerinden

biçiminde gösterilir.

kalanlar aynı ise x ≡ y (mod m) dir.

x ≡ y (mod m) ⇔ m | (x – y)

⇔ x – y = m . k (k ∈ Z)

c. k bir tam sayı olmak üzere;

⇔ x = y + m . k demektir.

x ≡ y (mod m) ⇒ x + k ≡ y + k (mod m)

x ≡ y (mod m) ⇒ x – k ≡ y – k (mod m)

x ≡ y (mod m) ⇒ x.k ≡ y.k (mod m) dir.

Örnek Aşağıdaki denkliklerin doğru olup olmadığını araştırınız. a) 130 ≡ 22 (mod 9)

d. x, y ∈ Z ve k ile m aralarında asal olmak üzere,

b) –8 ≡ – 41 (mod 11)

c) 27 ≡ –19 (mod 5)

e. x ≡ y (mod m)

Çözüm a) 130 – 22 = 108 dir. 108 , 9 ile bölünebildiğinden, verilen denklik doğrudur (Sayılar arasındaki fark 9 ile bölünebilmektedir.). b) Sayılar arasındaki fark –8 – (–41) = –8 + 41 = 33 tür. 33 , 11 e bölünebildiğinden, verilen denklik doğrudur. c) 27 – (–19) = 27+19 = 46 dır. 46, 5 ile tam bölünemez. O hâlde, verilen denklik doğru değildir.

Yani, 27 ≡/ –19 (mod 5) tir.

k . x ≡ k . y (mod m) ⇒ x ≡ y (mod m) dir.

z ≡ t (mod m)

olsun. Bu durumda,

x + z ≡ y + t (mod m)

x – z ≡ y – t (mod m)

x.z ≡ y.t (mod m)

dir.

f.

n ∈ Z+ olmak üzere;

x ≡ y (mod m) ⇒ xn ≡ yn (mod m) dir.

g. x ≡ y (mod m) ve 0 ≤ y < m ise x in m ye bölümünden kalan y dir.

Örnek

h. x ile m aralarında asal ve m asal sayı olmak üzere xm–1 ≡ 1 (mod m) dir.

38 ≡ 2 (mod m) denkliğini sağlayan m doğal sayıları kaç tanedir? A) 7

B) 8

C) 9

D) 10

Örnek

E) 11

7 ≡ –23 (mod 6)

Çözüm

–9 ≡ –15 (mod 6) dır. Bu denklikleri taraf tarafa toplayarak

38 ≡ 2(mod m) ⇒ m | (38 – 2)

–2 ≡ –38 (mod 6), taraf tarafa çarparak

⇒ m | 36 demektir.

–63 ≡ 345 (mod 6) denkliklerini elde edebiliriz.

36 nın pozitif tam sayı bölenleri sayısını bulalım: 36 =

22

.

32

7 ≡ –23 (mod 6) denkliğinin her iki tarafına 23 eklersek

olduğundan, 36 nın pozitif tam sayı

bölenleri sayısı, 3 . 3 = 9 tanedir.

30 ≡ 0 (mod 6) denkliğini elde ederiz.

Ancak m ≥ 2 olduğundan m ! 1 dir. Buna göre,

–9 ≡ –15 (mod 6) denkliğinin her iki tarafının karesini alırsak

9 – 1 = 8 tane m doğal sayısı vardır.

81 ≡ 225 (mod 6) denkliği elde edilebilir. Bulunan denkliklerin doğru olduğunu kontrol ediniz.

Cevap: B

297

Modüler Aritmetik

YGS Matematik

2. yol:

Örnek

1874 ≡ x (mod 7) olsun. 1874 sayısının 7 ile bölünmesinden kalan kaçtır? A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

18 ≡ 4 (mod 7) ⇒ 1874 ≡ 474 (mod 7) dir.

E) 6

4 ile 7 aralarında asal ve 7 asal olduğundan, 47–1 ≡ 46 ≡ 1 (mod 7) dir.

Çözüm

Buradan, 474 ≡ (46)12 . 42 (mod 7)

x ≡ y (mod m) ise, x ve y sayılarının m ile bölümlerinden kalanlar aynı idi. Bu denklikte 0 ≤ y < m

ise, x in m ile bölünmesinden kalan y olur.

≡ 112 . 42 (mod 7) ≡ 16 (mod 7)

≡ 2 (mod 7) bulunur. Cevap: B

Bundan faydalanarak, 1874 sayısının 7 ile bölünmesinden

Örnek

kalanını bulalım: 18 in 7 ile bölünmesinden kalan 4 tür (Bölerek bulunuz.). O

43.552 + 17.1386 sayısının 9 ile bölünmesinden kalan kaçtır?

hâlde; 18 ≡ 4 (mod 7) … (1)

A) 1

yazabiliriz. Bu denkliğin her iki tarafının karesini alırsak;

}

52 ≡ 7 (mod 9) 53 ≡ 8 (mod 9) ⇒ 53 ≡ –1 (mod 9)

⇒ 182 ≡ 2 (mod 7) ... (2)

olur. (1) ve (2) denkliklerini taraf tarafa çarparsak; 18 . 182 ≡ 4.2 (mod 7) ⇒ 183 ≡ 8 (mod 7)

⇒ 551 ≡ –1 (mod 9)

51 ≡ 5 (mod 9)

⇒ 552 ≡ –5 (mod 9)

183 ≡ 1 (mod 7) ... (3) yazabiliriz.

1872 ≡ 1 (mod 7) 182 ≡ 2 (mod 7)

⇒

≡ 4 (mod 9) … (II)

133 ≡ 1 (mod 9) ⇒ (133)28 ≡ 128 (mod 9)

(74 ün 3 e bölümünde bölüm 24 tür.) ≡

(–5 ≡ 4 (mod 9) olduğundan) 552

132 ≡ 7 (mod 9)

mek için (3) denkliğinin her iki tarafının 24. kuvvetini alalım.

≡ 1 (mod 7) ⇒

(Taraf tarafa çarparsak)

131 ≡ 4 (mod 9)

tini alırsak alalım sağ tarafı daima 1 olacaktır. 1874 e ulaşabil-

124

}

17 ≡ 8 (mod 9) … (III)

(3) denkliğinin sağ tarafı 1 olmuştur. Bu denkliğin hangi kuvve-

(183)24

⇒ (53)17 ≡ (–1)17 (mod 9)

elde ederiz. 8 ≡ 1 (mod 7) olduğundan

183

E) 8

51 ≡ 5 (mod 9)

16 ≡ 2 (mod 7) dir.

16 ≡ 2 (mod 7)

D) 6

43 ≡ 7 (mod 9) … (I)

buluruz. 16 nın 7 ile bölümünden kalan 2 olduğundan,

≡ 16 (mod 7)

C) 3

Çözüm

182 ≡ 16 (mod 7) buluruz.

182

B) 2

⇒ 1384 ≡ 1 (mod 9)

(mod 7)

⇒ 1872 ≡ 1 (mod 7) olur.

⇒

}

(Taraf tarafa

132

≡ 7 (mod 9)

1386

≡ 7 (mod 9) … (IV) olur.

çarparsak)

(I) , (II) , (III) ve (IV) ten;

}

⇒ 1872 . 182 ≡ 1.2 (mod 7) ⇒ 1874 ≡ 2 (mod 7)

43 . 552 + 17 . 1386

≡ 7.4 + 8.7 (mod 9)

≡ 84 (mod 9)

≡ 3 (mod 9)

O hâlde, sayının 9 ile bölünmesinden kalan 3 tür.

bulunur. O hâlde, 1874 sayısının 7 ile bölünmesinden kalan 2 dir.

Cevap: C

298

Modüler Aritmetik

YGS Matematik

Örnek

Örnek

342 nin birler basamağındaki rakam kaçtır? A) 0

B) 1

C) 3

Bir subay 1 gün nöbet tuttuktan sonra 4 gün dinlenmektedir.

D) 7

E) 9

Bu subay birinci nöbetini cuma günü tuttuğuna göre, 30. nöbetini hangi gün tutar?

Çözüm

A) Pazartesi

342 nin birler basamağındaki rakam, bu sayının 10 ile bölümündeki kalandır.

D) Perşembe

31 ≡ 3 (mod 10)

≡ 7 (mod 10)

34

≡ 1 (mod 10)

32 ≡ 9 (mod 10)

E) Cuma

Her 5 günde bir nöbet tutulmaktadır. Subayın birinci nöbetinden 30. nöbetini tuttuğu güne kadar olan gün sayısı;

olur. 34 ≡ 1 (mod 10) ⇒ (34)10 ≡ 110 (mod 10) ⇒ 340 ≡ 1 (mod 10)

C) Çarşamba

Çözüm

32 ≡ 9 (mod 10) 33

B) Salı

5 . 29 + 1 ≡ 146 dır.

146 ≡ 6 (mod 7) olduğundan, cuma gününden itibaren 6. gün ile 146. gün aynı gündür. Cuma gününden itibaren 6. gün çarşamba

⇒ 342 ≡ 9 (mod 10)

olduğundan, subay 30. nöbetini çarşamba günü tutacaktır.

bulunur. O hâlde, 342 nin birler basamağı 9 dur.

Cevap: C

Cevap: E

Örnek

Örnek Salı gününden itibaren 150. gün hangi gündür?

4x – 3 ≡ x + 7 (mod 8) denkliğini sağlayan

A) Salı

a) En küçük pozitif x tam sayısını bulunuz.

B) Çarşamba D) Cuma

C) Perşembe E) Cumartesi

b) En büyük negatif x tam sayısını bulunuz.

Çözüm

Çözüm

Haftada 7 gün olduğundan, 1. gün salı ise;

a) 4x – 3 ≡ x + 7 (mod 8) ⇒ 3x ≡ 10 (mod 8)

8., 15., 22., ... günler de salı günüdür.

⇒ 3x ≡ 18 (mod 8)

150 ≡ 3 (mod 7) olduğundan, 150. gün salı gününden itibaren

⇒ x ≡ 6 (mod 8)

bulunur.

18 ≡ 10 (mod 8) olduğundan, 10 yerine 18 alındı. 3 ile 8

3. gündür. Buna göre, 150. gün perşembe günüdür. Cevap: C

Örnek

aralarında asal olduğundan, 3x ≡ 18 (mod 8) denkliğinin her iki tarafı 3 e bölündü.

100. ay mayıs ayı olduğuna göre, 1. ay hangi aydır? A) Ocak

B) Şubat

C) Mart

D) Nisan

E) Mayıs

Buna göre, denkliği sağlayan en küçük pozitif tam sayı 6 dır.

b) x ≡ 6 (mod 8)

Çözüm

0 ≡ –8 (mod 8)

12 farklı ay olduğundan, her 12 ayda bir aynı aylar

denklikleri taraf tarafa toplanırsa,

tekrarlanacaktır.

x ≡ –2 (mod 8)

elde edilir. O hâlde, denkliği sağlayan en büyük negatif

100 ≡ 4 (mod 12) olduğundan, 100. ay ile 4. ay aynı aydır. 4. ay mayıs ise 1. ay şubattır.

tam sayı –2 dir.

Cevap: B

299

Modüler Aritmetik

YGS Matematik

⊕ ve ⊗ sembolleri Z/m de sırasıyla toplama ve çarpma KALAN SINIFLARI KÜMESİ

işlemlerini göstermek üzere, – – – a. p ⊕ q = r dir. – – – b. p ⊗ q = s dir.

m pozitif tam sayı olmak üzere, m ye bölümlerinden aynı k kalanını veren tam sayıları düşünelim. m ye bölümden elde edilebilecek kalanların kümesi:

Örnek

{0, 1, 2, …, m – 1} idi.

Z/8 kümesinde aşağıdaki işlemleri sonuçlandırınız.

– m ye bölümünde 0 kalanını veren tam sayıların kümesini 0 , – m ye bölümünde 1 kalanını veren tam sayıların kümesini 1 , – m ye bölümünde 2 kalanını veren tam sayıların kümesini 2 ,

– – a) 3 ⊕ 4

– – b) 5 ⊕ 7

– – c) 4 ⊗ 6

– – d) 7 ⊗ 2

Çözüm

……… m ye bölümünde m – 1 kalanını veren tam sayıların kümesini m − 1 ile gösterelim. Böylece tam sayıları, m ye bölümlerinden elde edilen kalanlarına göre sınıflandırmış oluruz. Bu sınıflardan her birine bir denklik sınıfı denir. Herhangi bir tam sayı bu sınıfların mutlaka birinin ve sadece birinin ele-

3 + 4 = 7 dir. 7 nin 8 ile bölünmesinden kalan 7 olduğun– – – dan, 3 ⊕ 4 = 7 dir.

b)

5 + 7 = 12 ve 12 nin 8 ile bölünmesinden kalan 4 ol– – – duğuna göre, 5 ⊕ 7 = 4 dır.

c) 4.6 = 24 ve 24 ün 8 ile bölünmesinden kalan 0 oldu– – – ğuna göre, 4 ⊗ 6 = 0 dır.

manıdır. Çünkü, bir tam sayının m ye bölümünden kalan 0, 1, 2, … , m–1 sayılarından birisidir. – – – m∈Z+ olmak üzere, {0 , 1 , 2 , ... , m − 1 }

a)

d) 7.2 = 14 ve 14 ün 8 ile bölünmesinden kalan 6 olduğun– – – dan, 7 ⊗ 2 = 6 dır.

kümesine, kalan

sınıfları kümesi denir ve Z/m ile gösterilir.

Örnek

Örnek

– – – – Z/7 de 4 ⊗ (x ⊕ 2 ) = 3 denkleminin çözüm kümesini

Tam sayıların 3 ile bölümünden kalan sınıfların kümesini

bulunuz.

yazınız. Her bir kalan sınıfına ait tam sayıları yazınız.

Çözüm Çözüm

– – – – – – – – – – 4 ⊗ (x ⊕ 2 ) = 3 ⇒ 2 ⊗ [4 ⊗ (x ⊕ 2 )] = 2 ⊗ 3 – – – – – ⇒ (2 ⊗ 4 ) ⊗ (x ⊕ 2 ) = 6

Tam sayıların 3 ile bölümünden kalanlar 0, 1, 2 olabileceğinden, kalan sınıfların kümesi; – – – – – – Z/3 = { 0 , 1 , 2 } dir. 0 , 1 , 2 kalan sınıflarına ait elemanları

liste biçiminde yazalım: – 0 = {… , –3n, … , –6, –3, 0, 3, 6, … , 3n, …} dir. – Aynı biçimde, 1 = “3 ile bölümünden 1 kalan tam sayılar”

olduğundan, – 1 = {… , –3n+1, … , –5, –2, 1, 4, 7, … , 3n+1, …} ve aynı biçimde, – 2 = {… , –3n+2, … , –4, –1, 2, 5, 8, … , 3n+2, …} – – – – – – Burada, 0 ∩ 1 = ∅ , 0 ∩ 2 = ∅ , 1 ∩ 2 = ∅ , – – – 0 ∪ 1 ∪ 2 = Z olduğunu görünüz.

(⊗ işleminin birleşme özeliği) – – – – – – – ⇒ 1 ⊗ (x ⊕ 2 ) = 6 (2 ⊗ 4 = 1 dir.) – – – ⇒x ⊕2 =6 – – – – – ⇒ (x ⊕ 2 ) ⊕ 5 = 6 ⊕ 5 – – – (2 ⊕ 5 = 0 dır.) – – – – – ⇒ x ⊕ (2 ⊕ 5 ) = 6 ⊕ 5

(⊕ nın birleşme özeliği) – – – ⇒ x⊕0=4 – – ⇒ x=4 – O hâlde, denklemin çözüm kümesi: Ç = { 4 } olur.

dir.

Örnek Z/5 te ( 3 5 4) 7 (2 5 3) işleminin sonucu aşağıdakilerden

Z/m Kümesinde Toplama ve Çarpma – – p , q ∈ Z/m olmak üzere, p + q nun m ile bölünmesinden

hangisidir?

kalan r, p . q nun m ile bölünmesinden kalan s olsun.

A) •0

300

B) •1

C) •2

D) •3

E) •4

Modüler Aritmetik

YGS Matematik

4 . 4 = 1 olduğu için Z/5 de 1 in karekökleri 1 ve 4 dür.

Çözüm

Öyleyse denklemin çözüm kümesi { 1, 4} bulunur.

Örnek Bugün günlerden çarşamba olduğuna göre, 899 gün Cevap: A

sonra hangi gün olur?

Örnek

Çözüm

4 −96 c m sayısının Z/5 te eşiti kaçtır? 3

Bir hafta 7 gün olduğundan (mod 7) ye göre işlem yapılacaktır.

Çözüm

899 ≡ 3 (mod 7) olduğu için 899. gün cumartesidir. Çarşamba

4 −96 3 96 c 3 m = c 4 m dır.

0

3 ≡ 8 (mod 5)

Perşembe

Cuma

Cumartesi

Pazar

1

2

3

4

Pazartesi

5

Salı

6

Örnek

3 8 / / 2 olur. 4 4

Üç günde bir nöbet tutan bir asker ilk nöbetini perşembe

3 96 96 c 4 m = 2 (mod 5) olur.

günü tuttuğuna göre 32. nöbetini hangi gün tutar?

2 ≡ 2 (mod 5)

Çözüm

22 ≡ 4 (mod 5) 23

≡ 3 (mod 5)

3 günde bir nöbet tuttuğuna göre 32. nöbetini 3.31 = 93 gün

24 ≡ 1 (mod 5)

sonra tutacaktır.

Periyod 4 tür.

Perşembe

96 4

0

≡ 1 (mod 5) bulunur.

2

3

Salı

Çarşamba

4

5

6

Z/5 te f(x) = 2 x + 1 olduğuna göre, f-1(x) bulunuz.

Çözüm

Z/5 te x2 + 2 / 3 denkleminin çözüm kümesi nedir?

f(x) = 2x + 1 ise

Çözüm

f(x) + 4 = 2 . x + 1 + 4 ; 0

+ 2 / 3 ise

3 / f(x) + 4 = 2 . x

x2 + 2 + 3 = 3 + 3 ; ; 0 1 x2

1

Pazartesi

Örnek

Örnek

x2

Cumartesi Pazar

93 ≡ 2 (mod 7) olduğu için 32. nöbetini cumartesi günü tutacaktır.

296 ≡ 20 (mod 5)

0

Cuma

3 . f(x) + 3 . 4 = 3 . 2 . x : : 2 1

= 1 olur.

Bu denklemi sağlayan x değerleri 1 in karekökleridir.

3 . f(x) + 2 = x olur.

1.1 = 1

f-1(x) = 3x + 2 bulunur.

301

Modüler Aritmetik

YGS Matematik

Çözüm

Örnek

1 2 3 4 5 6 7 8 A − B − C − D − E − D − C − B A . . . 1 4444444444 2 4444444444 3 1 4 2 4 3 Periyot 8 Tekrarl›yor.

7k + 4 biçimindeki bir sayı 3 ile kalansız kölünebildiğine göre, 21'den küçük k pozitif tam sayıları kaç tanedir? A) 9

B) 8

C) 7

D) 6

E) 5 (2011 YGS)

2010 ≡ ? (mod 8) 2010 8 16 251 41 40 10 8 2

Çözüm k ∈ Z+ ve k < 21 olmak üzere 7k + 4 ≡ 0 (mod 3) tür. 7k + 4 + 2 ≡ 0 + 2 (mod 3) 7k ≡ 2 (mod 3)

Kalan 2 olduğu için B lambası olur.

Cevap: B

1 . k ≡ 2 (mod 3)

Örnek

k ≡ 2 (mod 3) 3 e bölümünde 2 kalanını veren 21 den küçük pozitif tam sayılar,

2x = 1 (mod 7)

2, 5, 8, 11, 14, 17, 20 olmak üzere 7 tanedir.

3y = 4(mod 7)

Cevap: C

denkliklerini sağlayan en küçük x ve en küçük y pozitif tam sayıları için y - x farklı kaçtır? A) 5

B) 4

C) 3

D) 2

E) 1 (2011 LYS)

Çözüm Örnek 2x ≡ 1 (mod7) Aşağıda beş lambadan oluşan bir reklam panosu gösterilmiştir.

A

B

C

D

21 ≡ 2 22 ≡ 4

E

23 ≡ 1 ⇒ x = 3 tür. 3y ≡ 4 (mod 8)

Panodaki lambalar A lambasından başlayarak soldan sağa doğru, E lambasından sonra ise sağdan sola doğru devalmlı olarak yanıp sönmektedir. Örneğin, lambalar A - B - C - D - E - D - C - B - A - B ... sırasında yanıp söndüğünden 7. sırada yanıp sönen lamba C lambasıdır.

31 ≡ 3 32 ≡ 2 33 ≡ 6

Buna göre, 2010. sırada yanıp sönen lamba hangisidir? A) A

B) B

C) C

D) D

34 ≡ 4 ⇒ y = 4 tür.

E) E

y - x = 4 - 3 = 1 olur.

(2010 YGS)

Cevap: E

302

Modüler Aritmetik Mantık

YGS Matematik

Örnek 4x + 3 ≡ 6 (mod 7) denkliğini sağlayan en küçük pozitif x tam sayısı kaçtır? A) 2

B) 3

C) 4

Çözüm

D) 5

E) 6 (2005 ÖSS)

4x + 3 ≡ 6 (mod 7) 4x + 3 − 6 = k ! Z olmalıdır. 7 4x - 3 = 7k 4x = 7k + 3 x=

7k + 3 4

k = 3 için x = 6 en küçük değerdir. Cevap: E

303

Çözümlü Test

Mantık

1. 31994 ≡ x (mod 5)

6. Tam 12 yi gösteriyorken çalıştırılan bir saatin akrebi, 1999 saatlik süre dolduğu anda kaçı gösterir?

olduğuna göre, x kaçtır? A) 4

B) 3

YGS Matematik

C) 2

D) 1

A) 3

E) 0

B) 5

C) 7

D) 8

E) 9

7. 365 günlük bir yıldaki cumartesi ve pazar günleri sayısının toplamı en çok kaçtır?

2.

(1991)92

olduğuna göre, x kaçtır? A) 0

≡ x (mod 5)

B) 1

A) 102

C) 2

D) 3

B) 103

C) 104

D) 105

E) 106

E) 4

8. x iki basamaklı bir sayı

3. (1993)x ≡ 2 (mod 5)

x ≡ 2 (mod 3)

x ≡ 2 (mod 5)

olduğuna göre, x in en büyük ve en küçük değerlerinin toplamı kaçtır?

olduğuna göre, x in en küçük değeri kaçtır? A) 0

B) 1

C) 3

D) 7

A) 92

B) 109

C) 124

D) 154

E) 169

E) 10

9. Z/11 de

4. 161991 ≡ x (mod 7)

– – – – ( 3 ⊗ 7) ⊗ ( 5 ⊕ 9)

işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? A) 4

B) 6

C) 8

D) 9

E) 10

olduğuna göre, x aşağıdakilerden hangisidir? A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

10. Z/5 te

5. 5 – x ≡ 4 (mod 7)

olduğuna göre, x in alabileceği pozitif en küçük iki değerin toplamı kaçtır? A) 7

B) 8

C) 9

D) 10

– – 3⊗x⊕y=4 – – – 3⊗x⊕ 2⊗y= 4 denklem sisteminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? – – A) { ( 1, 3) } – – D) { ( 3, 0) }

E) 11

304

– – B) { ( 2, 3) }

– – C) { ( 2, 1) } – – E) { ( 2, 2) }

Çözümler

Modüler Aritmetik YGS Matematik

1. 31 ≡ 3 (mod 5)

Mantık

4. 161 ≡ 2 (mod 7)

32 ≡ 4 (mod 5)

162 ≡ 4 (mod 7)

33 ≡ 2 (mod 5)

163 ≡ 1 (mod 7)

34 ≡ 1 (mod 5)

olduğundan, her ardışık 3 kuvvete 2, 4, 1 kalanları tek-

olduğundan; her ardışık 4 kuvvette 3, 4, 2, 1 kalanları

rarlanacaktır.

tekrarlanacaktır.

1994 ≡ 2 (mod 4) olduğundan, 31994 ≡ 32 (mod 5)

≡ 4 (mod 5)

1991 ≡ 2 (mod 3) olduğundan, 161991 ≡ 162 (mod 7) ≡ 4 (mod 7)

tir.

dir.

Cevap: D

Cevap: A

5. 5 – x ≡ 4 (mod 7) ⇒ 5 – 4 ≡ x (mod 7)

⇒ 1 ≡ x (mod 7)

dir. O hâlde, x in pozitif en küçük değeri 1 dir. 1 ≡ 8 (mod 7) olduğundan, x in pozitif en küçük iki değeri 1 ve 8 dir.

1 + 8 ≡ 9 dur.

2. 1991 ≡ 1 (mod 5) ⇒ 199192 ≡ 192 (mod 5)

≡ 1 (mod 5) tir.

Cevap: C

Cevap: B

3. 19931 ≡ 3 (mod 5)

19932 ≡ 4 (mod 5)

19933 ≡ 2 (mod 5)

olduğundan, x in en küçük değeri, 3 tür.

6. Saat kadranı üzerinde her 12 saatte bir saatin akrebi aynı saati gösterir.

Cevap: C

1999 ≡ 7 (mod 12)

olduğundan, 1999 saat sonra saat 7 yi gösterir. Cevap: C

305

Mantık

Çözümler –

7. Her 7 gün içinde birer tane cumartesi ve pazar günü varduğunu kabul edelim.

–

–

–

9. ( 3 ⊗ 7) ⊗ ( 5 ⊕ 9) = 3 . 7 ⊗ 5 + 9

dır. Yılın ilk gününün cumartesi, ikinci gününün pazar ol

YGS Matematik

365 7 364 52 1

= 10 ⊗ 3

= 10 . 3 – =8

Cevap: C

olduğundan; 365 gün içinde 52 tane cumartesi, 52 tane pazar vardır ve 1 gün artmaktadır. Bu artan gün de cumartesi günüdür.

Buna göre, cumartesi ve pazar günlerinin sayısının toplamı en çok:

52 + 52 + 1 ≡ 105 tir. Cevap: D

–

–

–

–

–

–

10. 3 ⊗ x ⊕ y = 4 ⇒ 3 ⊗ ( 3 ⊗ x ⊕ y) = 3 ⊗ 4

– ⇒ 3.3 ⊗ x ⊕ 3 ⊗ y = 3.4 – – – 4⊗x⊕ 3⊗y= 2 – – – 3⊗x⊕ 2⊗y= 4

Son iki denklem taraf tarafa toplanırsa;

}

4+3 ⊗ x ⊕ 3+2 ⊗ y = 2+4 – – – ⇒ 2⊗x⊕ 0⊗y= 1 – – ⇒ 2⊗x= 1 – – – – ⇒ 3 ⊗ ( 2 ⊗ x) = 3 ⊗ 1

8. x ≡ 2 (mod 3) ⇒ x = 3m + 2, m ∈ Z

x ≡ 2 (mod 5) ⇒ x = 5n + 2, n ∈ Z

dir. Buradan,

x – 2 = 3m

x – 2 = 5n

dir. O hâlde, x – 2 sayısı 3 ve 5 in ortak katıdır.

OKEK (3, 5) = 15 olduğundan,

x – 2 = 15 . k , k ∈ Z

dir. Bu eşitlikte,

k = 1 için x = 17

k = 6 için x = 92

bulunur. iki basamaklı x sayısının en küçük değeri 17, en büyük değeri 92 dir.

17 + 92 = 109 dur.

⇒ 3 . 2 ⊗ x = 3 .1 – – ⇒ 1⊗x= 3 – ⇒ x = 3 olur. – – – – – – 3⊗x⊕y=4⇒ 3⊗ 3⊕ y= 4 – – ⇒ 3.3 ⊕ y = 4 – – ⇒ 4⊕y= 4 – ⇒ y = 0 dır.

Cevap: B

O hâlde, denklem sisteminin çözüm kümesi, – – Ç = { ( 3, 0) } dır. Cevap: D

306

PERMÜTASYON - KOMBİNASYON

YGS MATEMATİK

FAKTÖRİYEL KAVRAMI

27. BÖLÜM

SAYMA KURALLARI

n ∈ N olmak üzere n den 1 e kadar olan sayma sayılarının

1. Eşleme Yolu İle Sayma

çarpımı n! olarak gösterilir.

Sonlu bir kümenin her bir elemanına bir sayma sayısı karşılık gelecek şekilde 1 den başlayarak kümenin eleman sayısını

n! = n . (n - 1) . (n - 2).........3 . 2 . 1

!

0! = 1,

bulma işlemine eşleme yolu ile sayma denir.

1! = 1 dir.

Örnek Bir okuldaki öğrencilerin sayısını bulmak.

Örnek (n + 2)! + n! = 111 n!

2. Toplama Yolu İle Sayma Sonlu ve ayrık iki kümenin birleşminin eleman sayısını bul-

olduğuna göre, n kaçtır?

mak için kümelerin eleman sayıları toplanır. Bu yönteme toplama yolu ile sayma denir.

Çözüm

A ∩ B = Q ise s(A ∪ B) = s(A) + s(B) dir. (n + 2)(n + 1) n! + n! = 111 n! n! [(n + 2)(n + 1) + 1] = 111 n!

Örnek Bir sınıfta 19 kız öğrenci, 20 erkek öğrenci varsa sınıf mev-

n2 + 3n + 2 + 1 = 111

cudu 19 + 20 = 39 dur

n2 + 3n - 108 = 0 (n - 9)(n + 12) = 0 n - 9 = 0

3. Çarpma Yolu İle Sayma

⇒ n=9

İkişer, ikişer ayrık ve her biri sonlu olan n tane kümenin her

n + 12 = 0 ⇒ n = - 12

birinin eleman sayısı a.n dir. Bu yönteme çarpma yolu ile

n = - 12 olamaz. Çünkü negatif sayıların faktöriyeli olmaz. O

sayma denir.

halde n = 9 bulunur.

Örnek (2n + 1) ! . (n − 1)! 11 = 5 n! . (2n) ! olduğuna göre, n kaçtır?

Çözüm

!

(2n + 1) ! (n − 1) ! 11 = 5 n! .(2n) !

Ayrık k tane işten

1. iş n1 farklı yoldan

2. iş n2 farklı yoldan

3. iş n3 farklı yoldan . . . .

k. iş nk farklı yoldan yapılabiliyorsa

1. Bu k tane işten biri

(2n + 1) (2n)! (n − 1) ! 11 = 5 n (n − 1)! (2n) !

n1 + n2 + n3 + ... + nk değişik yoldan yapılabilir. Bu işleme toplama kuralı denir.

2. Bu k tane iş sıralı bir biçimde birlikte

2n + 1 11 = n 5 10n + 5 = 11n n = 5 bulunur.

307

n1 . n2 . n3 ... nk değişik yoldan yapılabilir.

Bu sayma işlemine genel çarpım kuralı veya saymanın temel ilkesi denir.

Permütasyon - Kombinasyon

YGS Matematik

Örnek

Örnek

4 kırmızı, 5 beyaz, 3 siyah bilye arasından 1 kırmızı, 1 beyaz ve 1 siyah bilye kaç farklı şekilde seçilebilir?

A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} kümesinin elemanlarını kullanarak en az iki basamağında aynı rakam bulunan, üç basamaklı en çok kaç farklı doğal sayı yazılır?

Çözüm

Çözüm

4 kırmızı bilyeden 1 kırmızı bilye 4 şekilde, 5 beyaz bilyeden 1 beyaz bilye 5 şekilde, 3 siyah bilyeden 1 siyah bilye 3 şekilde seçilebileceğinden bu seçim 4.5.3 = 60 farklı şekilde yapılabilir.

Yazılabilecek tüm üç basamaklı doğal sayılardan, rakamları farklı doğal sayılar çıkarılır. A kümesinin elemanlarını kullanarak üç basamaklı

Örnek

5 6 6 ⇒ 5.6.6 = 180 tane sayı yazılır. (Yüzler basamağında 0 rakamını kullanamayız.)

A = {1, 2, 3, 4, 5} kümesinin elemanlarını kullanarak I.

(Rakamlar tekrarlanabileceği için her basamağa gelebilecek 5 rakam seçeneği vardır.)

II.

Üç basamaklı rakamları farklı en çok kaç farklı doğal sayı yazılır?

5 5 4 ⇒ 5.5.4 = 100 tane sayı yazılır.

5 5 5 ⇒ 5 . 5 . 5 = 125 tane sayı yazılır.

Rakamları farklı üç basamaklı

Üç basamaklı en çok kaç farklı doğal sayı yazılır?

Öyleyse en az iki basamağında aynı rakam bulunan 180 - 100 = 80 tane sayı yazılır.

Örnek A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin elemanlarını kullanarak üç basamaklı rakamları farklı en çok kaç farklı çift doğal sayı yazılır?

5 4 3 ⇒ 5.4.3 = 60 tane sayı yazılır. (Bir basamakta kullanılan rakam diğerinde kullanılmayacağı için her basamakta seçenek sayısı birer azalarak gider.)

Çözüm

III. Üç basamaklı rakamları farklı en çok kaç farklı tek

doğal sayı yazılır?

Yazılacak sayıların çift sayı olabilmesi için birler basamağı 0,

Sayı tek sayı olacağından birler basamağına 1, 3, 5 rakamları gelmelidir.

2, 4, 6 olmalıdır.

4 3 3

Birler basamağı 0 olan

⇒ 4.3.3 = 36 tane sayı yazılır.

6 5 1 ⇒ 5.6.1 = 30 tane

1, 3, 5

0 Birler basamağı 2, 4, 6 olan

(Bir basamakta kullanılan rakam diğerinde kullanılmayacağı için her basamakta seçenek sayısı birer azalarak gider.)

2, 4, 6

IV. Rakamları farklı 300 den küçük en çok kaç farklı doğal sayı yazılır?

A kümesinin elemanlarını kullanarak üç basamaklı rakamları farklı 30 + 75 = 105 tane çift doğal sayı yazılabilir.

2 4 3 ⇒ 2.4.3 = 24 tane sayı yazılır. 1, 2

PERMÜTASYON

A kümesinin elemanlarını kullanılarak yazabileceğimiz iki basamaklı ve bir basamaklı doğal sayılar da 300 den küçük olacaktır.

n, r ∈ N+ ve r ≤ n olmak üzere n elemanlı bir kümenin r elemanlı sıralı r lilerine n nin r li permütasyonu denir ve P(n, r)

İki basamaklı 5 4

şeklinde gösterilir.

⇒ 5.4 = 20 tane

p (n, r) =

Bir basamaklı 5

⇒ 5.5.3 = 75 tane sayı yazılır.

5 5 3

⇒ 5 tane yazılır.

n! veya (n − r) !

Rakamları farklı 300 den küçük

P (n, r) = n (n − 1) . (n − 2) . ........... (n − r + 1) 1 444444444 2 444444444 3 r tane

24 + 20 + 5 = 49 tane sayı yazılır.

eşitlikleri ile hesaplanır.

308


YGS Matematik

!

Örnek r = n ⇒ P(n, n) = n! olur.

Aralarında Ahmet ile Ali'nin de bulunduğu 6 kişi, 6 kişilik boş bir sıraya oturacaklardır. Ahmet ile Ali'nin yanyana oturmaması koşulu ile en çok kaç farklı biçimde oturabilirler?

Örnek P(n, 2) + 2P(n, 1) = 42 ise P(n, 3) kaçtır?

Çözüm

Çözüm

Tüm durumlardan Ahmet ile Ali'nin yanyana olma durumları çıkarılır. n! n! +2 = 42 (n − 2) ! (n − 1) !

6 kişi 6! şekilde oturabilir. Öyleyse Ali ile Ahmet'in yanyana olmaması koşulu ile

n (n − 1)(n − 2) ! n (n − 1) ! +2 = 42 (n − 2)! (n − 1)!

6! - 2!.5! = 6.5! - 2!.5!

n(n - 1) + 2n = 42

n2 - n + 2n - 42 = 0

n2 + n - 42 = 0

(n + 7)(n - 6) = 0

= 5!(6 - 2)

= 4.5!

= 480 türlü oturabilirler. DAİRESEL (DÖNEL) PERMÜTASYON

n+7=0 ⇒ n=-7

n tane farklı elemanın bir çember etrafındaki sıralanışına dairesel (dönel) permütasyon denir.

n - 6 = 0 ⇒ n = 6 olur.

Dönel permütasyonda bir eleman sabit tutulup, diğerlerinin bu elemana göre sıralanışı düşünülürse n elemanın dönel permüstasyonu (n - 1)! şeklinde bulunur.

n = - 7 olamayacağından n = 6 olur. 6! P(n, 3) = P(6, 3) = (6 − 3)! 6.5.4.3! 3! = 120 bulunur. =

Örnek 8 kişi yuvarlak bir masa etrafına

Örnek

(8 - 1)! = 7! şekilde sıralanabilir.

Birbirinden farklı 4 kimya, 5 coğrafya kitabı, kimya kitap-

Örnek

ları yanyana olmak koşulu ile 9 kitaplık boş bir rafa en

Anne, baba ve dört çocuktan oluşan bir aile, anne ve baba-

çok kaç farklı şekilde sıralanabilir?

nın yan yana oturmaması koşulu ile yuvarlak bir masa

Çözüm Kimya kitapları kendi arasında P(4, 4) =

etrafına en çok kaç farklı şekilde oturabilirler?

Çözüm

4! = 4! (4 − 4) !

Tüm durumlardan anne ile babanın yanyana oturma durumları çıkarılır.

türlü sıralanır. Kimya kitaplarını bir kitap olarak düşünürsek 6 6! kitap P(6, 6) = = 6! türlü sıralanır. (6 − 6) !

Aynı soruyu saymanın temel ilkesi ile çözelim.

6 kişi yuvarlak masa etrafında (6 - 1)! = 5! türlü oturabilir. Anne ve baba kendi arasında 2! türlü, anne ile baba bir kişi olarak düşünülürse 5 kişi yuvarlak masa etrafında 5! türlü ve anne ile babanın yanyana olması koşulu ile 2!.4! türlü otururlar. Öyleyse anne ile babanın yanyana oturmaması koşulu ile

4 kimya kitabı kendi arasında 4! türlü sıralanır. 4 kimya kitabı

5! - 2!.4! = 5.4! - 2.4!

1 kitap olarak düşünülürse 6 kitap kendi arasında 6! türlü sıra-

= 4!(5 - 2)

= 24.3

= 72 türlü oturabilirler.

Öyleyse 4 kimya, 5 coğrafya kitabı kimya kitapları yanyana olmak koşulu ile 4!.6! türlü sıralanır.

lanır. Kimya kitapları yanyana olmak üzere 4!.6! türlü sıralanır.

309


YGS Matematik

III. 3 rakamı ile biten

TEKRARLI PERMÜTASYON n tane eleman içinden p tanesi, r tanesi ve k tanesi aynı ise bu elemanların farklı sıralanışı P(n/p, r, k) = c

210 . 2 (2 tane 3 rakamı) 7

= 60 tane sayı yazılır.

n n! m= p, r, k p! . r l . k!

Örnek

eşitliğiyle hesaplanır. 11100222 sayısındaki rakamların yerleri değiştirilerek

Örnek

sekiz basamaklı en çok kaç farklı çift doğal sayı yazılabilir?

ANKARA sözcüğündeki harflerin yerleri değiştirilerek 6

Çözüm

harfli anlamlı ya da anlamsız kaç farklı sözcük yazılabilir?

Yazılacak sayıların çift sayı olması için birler basamağı 0

Çözüm

veya 2 olmalıdır.

3 tane A

Birler basmağı 0 olan sayıları bulabilmek için

1 tane N

1, 1, 1, 0, 2, 2, 2 rakamları ile yedi basamaklı kaç sayı yazıla-

1 tane K

bileceğini bulmamız yeterlidir.

1 tane R olmak üzere

3 tane 1

6 6! 6.5.4.3! = 120 bulunur. c= m = 3 , 1, 1 , 1 3!. 1!. 1!. 1! 3!

1 tane 0

Örnek

3 tane 2 olmak üzere

2221133 sayısındaki rakamların yerleri değiştirilerek yedi

7! tane sayılır. Ancak bu sayıların hepsi yedi 3!.1!.3!

basamaklı en çok

basamaklı değildir. (0 ile başlayan sayılar olduğundan) Öyleyse

I.

bu sayıların içinden 1 ve 2 ile başlayanları bulmalıyız.

kaç doğal sayı yazılır?

II. 2 ile başlayan kaç doğal sayı yazılır?

7! 6 " (3 tane 1 + 3 tane 2) . 3!.1!.3! 7 " (7 tane rakam var)

III. 3 ile biten kaç doğal sayı yazılır?

=


Çözüm I.

3 tane 2

2 tane 1

2 tane 3 olmak üzere

yedi basamaklı

7 7! c= m = 210 tane sayı yazılır. 3, 2, 2 3!. 2!. 2!

Aynı şekilde birler basamağı 2 olan sayıları bulabilmek için 1, 1, 1, 0, 0, 2, 2 rakamları ile yazılabilecek yedi basamaklı 3 tane 1 2 tane 0 2 tane 2 olmak üzere

II. 210 tane sayı rakam kullanılarak yazıldığı için her bir 210 = 30 sayı vardır. rakam ile başlayan veya biten 7

Öyleyse 2 ile başlayan

210 . 3 (3 tane 2 rakamı) 7

= 30.3


7.6.5.4.3! 6 . 7 6.3!

7! 6 " (3 tane 1 + 3 tane 2) . 3!.1!.3! 7 " (7 tane rakam var) =

7.6.5.3.3! 5 . 7 3!.2.2

= 150 tane sayı yazılır. 11100222 sayısının rakamlarının yerleri değiştirilerek 120 + 150 = 270 tane çift doğal sayı yazılabilir.

310


YGS Matematik

Örnek

Örnek A

A = {1, 2, 3, 4} kümesinin elemanlarıyla, en az iki basamağındaki rakamı aynı olan üç basamaklı kaç sayı

C

yazılabilir? A) 52

B) 40

C) 38

D) 30

Çözüm

E) 24 (2006 ÖSS) B Şekildeki çizgiler bir kentin birbirini dik kesen sokaklarını

A = {1, 2, 3, 4} kümesinin elemanlarıyla yazılabilecek rakamları tekrarlı veya tekrarsız tüm 3 basamaklı sayılardan, rakamları farklı 3 basamaklı sayılar çıkarılırsa geriye en az 2 basamağı aynı olan sayılar bulunur.

göstermektedir. A dan hareket edip, C ye uğrayarak B noktasına en kısa yoldan gidecek olan bir kimse kaç değişik yol izleyebilir?

Tüm 3 basamaklı sayıların sayısı

A) 24

4 4 4 ⇒ 4 . 4 . 4 = 64 ve rakamları farklı 3 basamaklı sayıların sayısı 4 3 2 ⇒ 4 . 3 . 2 = 24 tür.

B) 18

C) 16

D) 12

E) 9 (2001 ÖSS)

Çözüm

64 - 24 = 40 bulunur. A dan C ye 1 aşağı, 3 sağa (veya 3 sağa, 1 aşağı) olmak üzere,

Cevap: B

4! 4.3! = = 4 farklı yolla gidilir. 3!.1! 3!

Örnek

C den B ye 2 sağa, 2 aşağı (veya 2 aşağı, 2 sağa) olmak üzere, 3 tane madeni 1 TL, kumbaralara istenen sayıda atılmak suretiyle değişik bankalardan alınmış 5 farklı kumbaraya

4! 4.3.2.1 = = 6 farklı yolla gidilir. 2!.2! 2.1.2.1 O ahlde, A dan B ye 4 . 6 = 24 farklı yolla gidilebilir.

kaç değişik şekilde atılabilir? A) 10

B) 21

C) 24

D) 35

i)

B

C

D

Cevap: A

(2005 ÖSS)

Çözüm A

E) 45

Örnek 1, 2, 3, 4 ve 5 rakamları kullanılarak yazılabilen, rakam-

E ⇒ 5 kumbara

ları tekrarlı veya tekrarsız tüm iki basamaklı tek sayıların

2 tane paranın aynı kumbaraya, 3. paranın farklı kumba-

toplamı kaçtır?

raya atılması durumu:

A) 495

5 c m.2 = 10.2 = 20 2 5 kumbaradan herhangi ikisinin seçilmesi

B) 497

C) 503

ii) 3 tane paranın üçününde aynı kumbarata atılması halinde 5 değişik durum olabilir. iii) 3 tane paranın farklı kumbaralara atılması durumu;

E) 523 (2003 - ÖSS)

Çözüm 2 tanesi A ya 1 tanesi B ye veya 2 tanesi B ye 1 tanesi A ya atılabileceği için 2 ile çarpılır.

D) 515

11

13

15

21

23

25

31

33

35

41

43

45

51

53

55

5 c m = 10 değişik durum 3

3 . (10 + 20 + 30 + 40 + 50) + 5 .1 + 5 . 3 + 5 . 5

Sonuçta;

⇒ 450 + 45

20 + 5 + 10 = 35 değişik şekilde atılır.

⇒ 3 . 150 + 5 + 15 + 25 ⇒ 495 olur. Cevap: D

Cevap: A

311


YGS Matematik

C(n, 1) = n, C(n, n) = 1 olur.

KOMBİNASYON (GRUPLAMA)

C(n, 2) - C(n, 1) = C(n, n) + 4 n (n − 1) -n=1+4 2

n ,r ∈ N ve r ≤ n olmak üzere n elemanlı bir kümenin r elemanlı alt kümelerinin herbirine n nin r li kombinasyonu denir.

n 2 − n − 2n =5 2

C(n, r) ve ( nr ) sembollerinden biri ile gösterilir. P (n, r) n! C(n, r) = = r! r! (n − r) !

n2 - 3n = 10 n2 - 3n - 10 = 0

eşitlikleri ile hesaplanır.

(n - 5)(n + 2) = 0 n-5=0 ⇒ n=5

Özellikleri

n + 2 = 0 ⇒ n = - 2 olur.

1. = 1= , a n k n, a n k = n, a n k = 1 an n n−1 0k 1

n = - 2 olamayacağından n = 5 bulunur.

2. a n k + a n k + a n k + ... + a n k = 2 n n 0 1 2

Örnek

3. a n k = a n k ise a = b veya a + b = n dir. a b n n n+1 = 4. a k + a r r+1k c r+1 m

5 erkek, 3 kız öğrenci arasından en az bir tanesi erkek öğrenci olan 3 kişilik en çok kaç farklı ekip oluşturulabilir?

Örnek

Çözüm

n+1 n+2 an k+an k+c m=c m olduğuna göre, n kaçtır? 5 7 3 4

En az bir tanesi erkek öğrenci olacağına göre 5 3 5 3 5 3 c mc m + c mc m + c mc m 1 2 2 1 3 0

Çözüm

= 5.3 + 10.3 + 10.1

n n n+1 n+2 c m+c m+c m=c m 3 4 5 7 14 424 43 n+1 n+1 n+2 c m+c m=c m 4 4 2 444 54 3 7 1 444

= 55 farklı ekip oluşturulabilir.

n+2 n+2 m=c m 5 7

c

n+2=5+7

= 15 + 30 + 10

Örnek 2, 3, 5, 7, 8, 9 rakamları kullanılarak a < b < c olacak şekilde en çok kaç farklı (abc) üç basamaklı doğal sayısı

n = 10 bulunur.

yazılabilir?

Örnek Çözüm

C(n, 2) - C(n, 1) = C(n, n) + 4 olduğuna göre, n kaçtır?

Her üç doğal sayı arasında tek bir sıralama olacağından 2, 3,

Çözüm

5, 7, 8, 9 rakamlarından üç rakam kaç farklı şekilde seçilebiliyorsa o kadar (abc) üç basamaklı doğal sayı yazılabilir.

n! (n − 2)!2! n (n − 1)(n − 2) ! = (n − 2)!2! n (n − 1) = 2

C(n, 2) =

6 6! c m= (6 − 3) !3! 3

312

6! 3!.3!

=

= 20 bulunur.


YGS Matematik

Çözüm

Örnek A

ABC

üçgeni

Üç elemanlı alt kümelerinden {-2, -1} kümesinin elemanlarından bir tanesi ile {1, 2, 3} kümesinin elemanlarından iki tanesini içerenler soruda verilen koşulu sağlar. O hâlde 2 {-2, -1} kümesinden bir eleman c m farklı şekilde, {1, 2, 3} 1 3 kümesinden iki eleman c m farklı şekilde seçilebileceği için 2 2 3 c m. c m = 2.3 1 2 = 6 tane alt küme elde edilir.

üzerindeki

dokuz nokta kullanılarak en çok

kaç

farklı

üçgen

çizilebilir?

B

C

Çözüm

Cevap: A

Üçgen üzerindeki dokuz noktanın herhangi üçü doğrusal olmasaydı

Örnek

9 9! c m = = 84 tane üçgen çizilebilirdi. 6!. 3! 3

A

Yandaki ABC üçgeninin kenarları üzerinde 9

Ancak [AB] üzerindeki dört nokta, [AC] üzerindeki beş nokta

nokta verilmiştir.

ve [BC] üzerindeki üç nokta doğrusal olduğundan bu noktalar

Köşeleri bu 9 noktadan

arasından seçilen üç nokta üçgen oluşturmayacaktır.

üçü olan kaç üçgen

4 5 3 c m + c m + c m = 4! + 5! + 3! 1!3! 2!3! 0!3! 3 3 3 = 4 + 10 + 1 = 15 olur. Çizilebilecek üçgen sayısı 9 4 5 3 c m − c m − c m − c m = 84 − 15 3 3 3 3

B A) 64

Aynı düzlemde alınan 4 farklı çember en fazla kaç D) 16

Çözüm

Yükseköğretim için A ve B ülkelerine gönderilmek üzere 5 öğrenci seçilmiştir. Her iki ülkeye en az birer öğrenci gideceğine göre, bu 5 öğrenci kaç farklı gruplama ile gönderilebilir?

4 .3 c= m 4= 6 grup oluşturur. 2.1 2

A) 10

B) 20

C) 25

D) 30

E) 40 (2003 ÖSS)

Her grupta 2 kesişim noktası olduğu için en çok 6 . 2 = 12 tane

Çözüm

kesişim noktası olur. Cevap: A

K = {-2, -1, 0, 1, 2, 3} kümesinin üç elemanlı alt kümelerinden kaç tanesinin elemanları çarpımı bir negatif tam sayıya eşittir? D) 9

A kenti

B kenti

1 kişi

4 kişi

5 4 & c m. c m = 5 1 4 5 3 2 kişi 3 kişi & c m. c m = 10 2 3 5 2 3 kişi 2 kişi & c m. c m = 10 3 2 5 1 4 kişi 1 kişi & c m. c m = 5 4 1 5 + 10 + 10 + 5 = 30 farklı gruplama yapılabilir.

Örnek

C) 8

E) 84 (2004 - ÖSS)

Örnek

olarak

B) 7

D) 79

Cevap: D

E) 18 (2009 ÖSS)

İki çemberin en çok 2 ortak noktası olabilir. Dört çember ikili

A) 6

C) 74

9 Herhangi üç tanesi doğrusal olmayan 9 noktadan c m tane 3 üçgen elde edilir. Ancak 9 noktanın 4 tanesi AB kenarı üzerinde olduğu için bunların üç tanesi ile üçgen elde edilemez. Aynı durum AC kenarı üzerindeki 3 nokta içinde geçerlidir. 9 4 3 c m − c m − c m = 79 üçgen oluşabilir. 3 3 3

Örnek

C) 15

B) 69

oluşturulabilir?

Çözüm

= 69 bulunur.

noktada kesişir? A) 12 B) 14

C

E) 10 (2008 ÖSS)

313

Cevap: D

Çözümlü Test


1. {0, 1, 2, 3, 4, 5} kümesinin elemanlarından 5 in katı

6. 6 tane özdeş kalem 4 çocuğa en çok kaç farklı bi-

olan üç basamaklı rakamları tekrarsız, farklı kaç sayı yazılabilir? A) 36

B) 40

C) 56

D) 60

YGS Matematik

çimde dağıtılır? A) 62

B) 64

C) 76

D) 80

E) 84

E) 120

7. A = {a, b, c, d, e} kümesinin, 3 elemanlı alt küme2. 5 farklı kitap bir raf üzerinde yan yana kaç türlü

lerinin kaç tanesinde a elemanı bulunur?

sıralanabilir? A) 120

B) 90

A) 4 C) 60

D) 30

B) 5

C) 6

D) 7

E) 8

E) 25

8. A, B, C, ∈ d1 ve D, E, F, G, H ∈ d2 3. 0, 2, 3, 4 rakamları ile rakamları farklı dört basa-

maklı kaç tane sayı yazılabilir? A) 24

B) 18

C) 12

D) 6

E) 4

A

B

C

D

E

F

I. şekil

16 küçük kareden oluşan I. şeklin her satır ve her sütununda bir ve yalnız bir küçük kare karalanarak II. şekildeki gibi desenler elde edilemektedir.

Bu kurala göre, en çok kaç farklı desen elde edilebilir? A) 16

B) 20

C) 24

D) 32

H

d2

B) 48

C) 52

D) 56

E) 72

9. Herhangi iki tanesi çakışık olmayan 10 doğrudan 3

II. şekil

G

Yukarıdaki şekilde d1 // d2 olduğuna göre, köşeleri bu 8 noktadan (A, B, C, D, E, F, G, H) herhangi üçü olan kaç üçgen çizilebilir? A) 45

4.

d1

tanesi birbirine paralel ve 4 tanesi de bir noktada kesiştiğine göre bu 10 doğrunun en çok kaç farklı kesim noktası vardır? A) 45

B) 42

C) 40

D) 37

E) 35

E) 36

10. n elemanlı bir kümenin r elemanlı bütün kombinasyonlarının (kombinezonlarının) sayısı C(n,r) ile gösterildiğine göre,

5. 3300222 sayısındaki rakamların yerleri değiştiri

lerek 3 ile başlayıp 3 ile biten yedi basamaklı kaç farklı doğal sayı yazılabilir? A) 6

B) 8

C) 10

D) 12

C(0, 0) + C(6, 3) = 3. C(m, m - 1) eşitliğinde m kaç olmalıdır? A) 4

E) 16

314

B) 5

C) 6

D) 7

E) 8

Çözümler

YGS Matematik

1. Sayıların 5 in katı olması için birler basamağının 5 veya

2. satırdan bir kare seçileceği için 3 seçenek,

3. satırdan bir kare seçileceği için 2 seçenek,

{0} Birler ↓

4. satırdan bir kare seçileceği için 1 seçenek vardır. Her satırdan farklı kareler seçildiğ için aynı zamanda da her sütundan farklı bir kare seçilmiş olur. 4 . 3 . 2 . 1 = 24 farklı desen oluşur.

Onlar ↓

Yüzler ↓ 5

.

4

.

1

= 20 tane

ii) Birler basamağı 5 olan sayılar; 0 hariç Yüzler ↓ 4

4. 1. satırdan bir kare seçileceği için 4 seçenek,

0 olması gerekir. i) Birler basamağı 0 olan sayılar;


{5} Birler ↓

0 dahil Onlar ↓ .

4

Cevap: C

.

1

= 16 sayı

Toplam = 20 + 16 = 36 sayı yazılabilir. Cevap: A

5. Sayılar 3002223 şeklinde olacağından 0, 0, 2, 2, 2 rakamlarını sıralamak yeterlidir.

2 tane 0

3 tane 2 olmak üzere 5! 5.4.3! = 2!3! 2.3! = 10 tane sayı yazılır.

Cevap: C

2. 5 farklı kitap bir rafta

5! = 120 farklı şekilde sıralanabilir. Cevap: A

6. k → kalem olmak üzere

6 tane özdeş kalem 4 çocuğa k / kk / kkk / 5 9 = ;

1. çocuk 2. çocuk 3. çocuk 4. çocuk

/ kk kkk / k / = 5 < <

1. çocuk 2. çocuk 3. çocuk

3. Binler basamağına sıfır gelemeyeceği için 2, 3, 4 rakamlarından biri gelebilir. O yüzden 3 farklı seçenek vardır.

2, 3, 4 rakamlarından biri, binler basamağına geldiği için yüzler basamağına 0 dahil 3 seçenek, onlar basamağına 2 seçenek, birler basamağına ise 1 seçenek kalır.

3, 3, 2, 1, ⇒ 3 . 3 . 2 . 1 = 18 farklı sayı yazılabilir.

4. çocuk

gibi farklı şekillerde dağıtılabilir. Yani 6 tane özdeş kalemi 4 çocuğa dağıtılırken her defasında 3 çizgi kullanılmaktadır. 6 tane k 3 tane / olmak üzere 6 tane özdeş kalem 4 çocuğa 9! 9.8.7.6! = = 84 farklı 6!.3! 6!.6 Cevap: E

Cevap: B

315

Çözümler

7. A = {a, b, c, d, e} kümesinin;

10 m kadar kesim noktası vardır. Ancak 2 bu 10 doğrudan 3 tanesi birbirine paralel olduğu için bu 4 doğruların kesim noktası olmayacaktır. 4 doğrunun c m 2 kadar kesim noktası olması gerekirken 4 doğrunun bir

9. 10 doğrunun c

3 elemanlı bütün alt kümelerinin sayısı 5 c m = 10 tane 3

a nın bulunmadığı üç elemanlı alt kümelerin sayısı 4 c m = 4 tanedir. 3

tane kesim noktası olduğundan verilen 10 doğrunun

Tüm alt kümelerinden a nın bulunmadığı alt kümeleri çı-

karılırsa, geriye a nın bulunduğu alt kümeler kalacaktır.

YGS Matematik

10 - 4 = 6 tane alt küme a yı içerir.

c

10 3 4 m−c m−c m+ 1 2 2 2 10! 3! 4! − − +1 8!2! 1!2! 2!2!

=

= 45 - 3 - 6 + 1

= 37 tane kesim noktası vardır.

Cevap: C

Cevap: D

8. a) d1 doğrusundan 1 nokta ve d2 doğrusundan 2 nokta seçilebilir.

3 5 c m= c m 3= .10 30 tane üçgen 1 2

b) d1 doğrusundan 2 nokta ve d2 doğrusundan 1 nokta seçilebilir.

3 5 c mc= m 3= .5 15 tane üçgen 2 1

Toplam üçgen sayısı = 30 + 15 = 45 tanedir.

10. C(0, 0) + C(6, 3) = 3 . C(m, m - 1)

Cevap: A

316

6.5.4 = 3.C (m, 1) 3.2.1

1+

⇒ 1 + 20 = 3 . m

⇒ 21 = 3m

⇒ 7 = m olur.

Cevap: D

YGS

BİNOM - OLASILIK

28. BÖLÜM

MATEMATİK

Örnek

BİNOM AÇILIMI

cx −

x, y ∈ R ve n ∈ N+ olmak üzere

1 10 m açılımında baştan 6. terim nedir? x3

n n n n (x + y)n = c mx n + c mx n −. 1 y + c mx n−.2 y 2 + ... + c my n 0 1 2 n

Çözüm

açılımına binom açılımı denir.

cx −

1 10 m açılımında baştan 6. terim x3

10 10 - 5 1 5 mx c− 3 m x 5

Özellikleri

c

1. (x + y)n açılımında (n + 1) tane terim vardır.

10! −1 . x 5 . 15 5!.5! x

2. (x + y)n açılımında her terimdeki çarpanların üsleri top=

lamı "n" dir. 3. (x + y)n açılımında genel terim

10.9.8.7.6.5! − 1 . 10 5! 5! x

= - 252 . x-10 bulunur.

n c m xn-r yr dir. r

Örnek

4. (x + y)n açılımından baştan r. terim

c

n m xn - r + 1 . y r- 1 olur. r−1

2 cx −

5. (x + y)n açılımında katsayılar toplamını bulmak için değiş-

Çözüm

kenlerin yerine x = y = 1 yazılır.

2 6 m açılımında x-6 lı terimin katsayısı kaçtır? x4

x = y = 1 ⇒ (x + y)n = (1 + 1)n = 2n bulunur.

x-6 lı terimin katsayısı A olsun. r 6 6−r c m^x 2 h c − 24 m = A.x −6 r x

Örnek

6 c m x12-2r . (-2)r.x-4r = A.x-6 r

(2x - 3)n açılımında 9 tane terim olduğuna göre (2x -

3)n

6 c m . (-2)r . x12 - 6r = A.x-6 r

açılımındaki katsayıların toplamı kaçtır?

6 A = c m (-2)r ve x12 - 6r = x-6 olur. r x12 - 6r = x-6 ⇒ 12 - 6r = - 6

Çözüm

18 = 6r

(2x - 3)n açılımında 9 terim varsa

n + 1 = 9 ve n = 8 olur.

6 A = c m(− 2) r r

(2x - 3)8 açılımındaki katsayıların toplamını bulmak için x = 1

6 = c m(− 2) 3 3

yazılırsa katsayıların toplamı

=

(2.1 - 3)8 = (-1)8

= 1 bulunur.

317

r = 3 olur.

6.5.4.3! 6! (− 8) = . (− 8) 3.2.1.3! 3! 3! = - 160 bulunur.

Binom - Olasılık

YGS Matematik

2. P(Q) = 0

OLASILIK

3. P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) Örnek Uzay:

4. Bir deneyde A, B, C gibi üç ayrık sonuç çıkması olasılığı ise

Bir deneyde elde edilebilecek tüm sonuçların oluşturduğu

kümeye örnek uzay denir. Örnek uzay E ile gösterilir.

P(A) + P(B) + P(C) = 1 dir.

Bağımsız Olaylar

Olay:

A ve B herhangi iki olay olmak üzere bu olaylardan biri-

Örnek uzayın her alt kümesine olay denir.

nin olması, diğer olayın olmasını etkilemiyorsa bu olaylara

A, B, C, ... ⊂ E şeklinde gösterilir.

bağımsız olaylar denir. A ve B bağımsız olaylar olmak üzere A ve B olaylarının birlikte

Örnek

gerçekleşmesi olasılığına P(A ∩ B) dersek P(A ∩ B) = P(A) . P(B) şeklinde hesaplanır.

İki madeni para atıldığında örnek uzay:

Örnek

E = {(Y Y), (Y T), (T Y), (T T)} dir. Paralardan en az birinde tura gelmesi bir olaydır. Bu olaya

Bir torbada 4 kırmızı, 3 siyah, 5 beyaz bilye vardır.

A dersek

Bu torbadan rastgele çekilen iki bilyeden

A = {(Y T), (T Y), (T T)} olur.

I)

İkisinin de kırmızı olma olasılığı

II) Birisinin kırmızı birisinin siyah olma olasılığı

OLASILIK FONKSİYONU

III) İkisinin de aynı renk olma olasılığı Örnek uzayın alt kümelerinden [0, 1] aralığına tanımlanan bir

kaçtır?

P fonksiyonu aşağıdaki koşulları gerçekleşiyorsa P fonksiyonuna olasılık fonksiyonu denir. P(A) =

Çözüm

s (A) olmak üzere s (E)

Torbada toplam 4 + 3 + 5 = 12 bilye vardır. Örnek uzayın eleman sayısı

1. 0 ≤ P(A) ≤ 1 dir.

s(E) = c

2. P(E) = 1 dir.

I)

3. A ∩ B = Q ⇒ P(A ∪ B) = P(A) + P(B) dir.

!

12 m = 12! = 66 olur. 10!.2! 2

Bilyelerin ikisinin de kırmızı olması olayına A diyelim. 4 4! c m = 6 olur. s(A) == 2!.2! 2 s (A) 6 1 bulunur. P(A) = = = s (E) 66 11

A, B ⊂ E ve A ∩ B = Q ise

A ve B olaylarına ayrık olaylar denir.

II) Bilyelerden birinin kırmızı, birinin siyah olması olayına B diyelim 4 3 s(B) = c mc m 1 1

Sonuçlar:

1. P(A) : A olayının olma olasılığı

P(Aı) : A olayının olmama olasılığı olmak üzere

P(A) + P(Aı) = P(E) = 1 dir.

318

= 4.3

= 12 olur. s (B) 12 2 bulunur. (B) = = P= s (E) 66 11

Binom - Olasılık

YGS Matematik

III) Bilyelerin aynı renk olması olayına C diyelim. 4 3 5 s(C) = c m + c m + c m 2 2 2 4! 3! 5! + + s(C) = 2!.2! 1!.2! 3!.2!

= 6 + 3 + 10

= 19 olur.

P(C) =

!

Art arda yapılan seçimlerde ayrı ayrı olasılıklar bulunup çarpılır.

Koşullu Olasılık A ve B aynı örnek uzayın iki olayı olmak üzere B olayının

s (C) 19 bulunur. = s (E) 66

gerçekleşmesi durumunda A olayının gerçekleşmesi olasılığına A olayının B olayına bağlı koşullu olasılığı denir.

Örnek

P(A|B) şeklinde gösterilir. P(A|B) =

Üç tane madeni 1¨ birlikte havaya atılıyor.

P (A + B) s (A + B) = P (B) s (B)

şeklinde hesaplanır.

İki tanesinin yazı, birinin tura gelme olasılığı kaçtır?

Çözüm

Örnek

I. yol:

Bir torbada 1 den 10 a kadar numaralandırılmış 10 tane özdeş top vardır. Torbadan çekilen bir topun numarası-

3 para atıldığında örnek uzay

nın 3 ten büyük olduğu bilindiğine göre asal sayı olma

E = {(YYY), (YYT), (YTY), (YTT), (TTT), (TTY), (TYT), (TYY)} olup

olasılığı kaçtır?

s(E) = 8 olur.

Çözüm

2 yazı 1 tura gelme olayına A dersek A = {(YYT), (YTY), (TYY)} olup

A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

s(A) = 3 olur. P(A) =

B = {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

s (A) 3 = bulunur. s (E) 8

s(B) = 7 olur. Asal sayılar

!

Bir madeni paranın 2 yüzü olduğundan n tane para-

A ∩ B = {5, 7}, s(A ∩ B) = 2 olur.

nın atılması ya da bir paranın n kez atılması ola-

P(A|B) =

yında örnek uzayın eleman sayısı s(E) = 2n olur.

s (A + B) 2 = bulunur. 7 s (B)

Örnek II. yol:

Meriç'in elinde kırmızı ve beyaz renklerde toplam 10 top var-

Üç para birlikte atıldığı için örnek uzay

dır. Meriç bu topları iki torbaya her bir torbada en az bir kır-

s(E) = 23 = 8 olur.

mızı ve bir beyaz top olacak şekilde dağıttıktan sonra şunları söylüyor. "Birinci torbada 3 kırmızı top vardır. Torbalardan

2 yazı 1 tura gelme durumunda kendi aralarında yer değiştirme

rastgele birer top çekildiğinde topların ikisinin de kırmızı olma 1 olasılığı 'dir." 2

sayısı 3! = 3 olduğundan 2!.1!

Buna göre, ikinci torbada kaç beyaz top vardır?

s(A) = 3 olur. P(A) =

A) 3

s (A) 3 = bulunur. s (E) 8

B) 5

C) 1

D) 2

E) 4 (2011 YGS)

319

Binom - Olasılık

YGS Matematik

Çözüm

Örnek

I. torba

II. torba

3 Kırmızı 1 Beyaz

4 Kırmızı 2 Beyaz

Boyları farklı dört öğrenci bir çizgi boyunca rastgele sıraya giriyor. Buna göre en kısa ve en uzun boylu öğrencilerin uçlarda olma olasılığı kaçtır? A)

1 2

I. torbada 3 kırmızı top olduğu biliniyor. I. torbaya 1 beyaz top

1 3

B)

C)

1 4

D)

1 6

E)

1 12

(2012 YGS)

Çözüm

konulursa II. torbaya 6 top kalır. Dört öğrenci 4! = 24 farklı biçimde sıraya girebilirler.

3 ? 1 . = 4 6 2

Uzun

3 Birinci torbadan kırmızı çekme olasılığı olduğuna göre, 4 1 sonucun olamsı için ikinci torbada 4 tane kırmızı 2 tane 2

boylu 1

2

K›sa boylu 1

1

2 durum

beyaz top olması gerektiği anlaşılır. Cevap: D

2 . 2 = 4 durum 4 1 bulunur. = 24 6 Cevap: D

Örnek A = {1, 2, 3, 4} ve B = {–2, –1, 0}

Örnek

olmak üzere A x B kartezyen çarpımı kümesinden alınan herhangi bir (a,b) elemanı için a + b toplamının sıfır olma

Bir torbada 2 kırmızı, 2 beyaz ve 1 sarı bilye vardır.

olasılığı kaçtır?

Torbadan rastgele 4 bilye alındığında torbada kalan bilye-

A)

nin kırmızı renkte olma olasılığı kaçtır? A)

1 2

B)

2 3

C)

3 4

D)

2 5

E)

1 4 D)

1 5

1 7

C) E)

1 6

2 7

3 5

(2010 LYS) (2010 YGS)

Çözüm A = {1, 2, 3, 4} ve B = {-2, -1, 0} ise

Çözüm 2K 2B 1S

B)

s(AxB) = s(A) . s(B)

Torbada kırmızı bilye kalması için çekilen 4 bilyeden 1 i kırmızı, 2 si beyaz ve 1 i de sarı olmalıdır.

=4.3

= 12 dir.

A x B kümesindeki 12 sıralı ikiliden bileşenleri toplamı sıfır

2 2 1 c mc mc m 2 .1 . 1 2 1= 2 1 = olur. 5 5 5 c m 4

olanlar (1, -1) ve (2, -2) olmak üzere 2 tanedir. O hâlde, 2 1 = 12 6

Cevap: D

320

Cevap: C

Binom - Olasılık

YGS Matematik

Örnek

Örnek

Bir mağazadan belirli miktarın üzerinde alışveriş yapan müş-

6 kız ve 7 erkek öğrencinin bulunduğu bir gruptan 2 temsilci

teriler, 4 eş parçaya ayrılmış birinci çarkı iki defa çevirmek-

seçiliyor.

tedir. Bu iki çevirişte gelen iki sayının toplamı 6 ya da 6 dan büyükse 6 eş parçaya ayrılmış ikinci çarkı çevirerek çıkan

Seçilen bu iki temsilciden birbirinin kız, diğerinin erkek

hediyeyi almaktadır.

olma olasılığı kaçtır? 3 4

A)

D)

ütü 1

2

3

4

B)

çamaşır makinesi

kahve makinesi

ütü

ütü

3 8

7 13

C) E)

2 13

9 13 (2011 - LYS)

tost makinesi II. çark

I. çark

Buna göre, birinci çarkı çevirmeyi hak eden bir müşterinin çamaşır makinesi kazanma olasılığı kaçtır? A)

1 14

B)

1 16

C)

5 24

D)

3 28

E)

5 32

(2009 - ÖSS)

Çözüm

Birinci çarkı iki kez çevireceği için toplamda 4 . 4 = 16 durum olur. Gelen iki sayının toplamının 6 ya da 6 dan büyük olduğu durumlar (2, 4), (3, 3), (4, 2), (3, 4), (4, 3), (4, 4) olmak üzere 6 tanedir. I.

Çözüm

çarkın iki kez çevrilmesinde toplamın 6 ya da 6 dan büyük gelme olasılığı

6 dır. 16

6 kız, 7 erkek Birinin kız olması 7 c m. c m Birinin erkek olması 1 1 13 c m Gruptan 2 kişi seçiliyor. 2 6

II. çarkın çevrilmesinde çamaşır maknesi gelme olasılığı da 1 olduğu için bu iki olayın birlikte gerçekleşme olasılığı 6 6 1 1 olur. . = 16 6 16

=

Cevap: B

6.7 7 = bulunur. 13.12 13 2.1 Cevap: D

321

Çözümlü Test

Binom - Olasılık 12 1. c x − 2 m açılımında sabit terim kaçtır?

6. Üç öğrencinin ÖSS yi kazanma olasılıkları sırası ile

x

B) 495.28

A) 495 D) 495.26

YGS Matematik

1 1 2 , , tür. 4 5 3

C) 95.212

E) 495.218

Bu üç öğrenciden en az birinin ÖSS yi kazanma olasılığı kaçtır? A)

1 5

B)

2 5

C)

3 5

D)

4 5

E)

3 4

6

2. c 2 − 3 1 m açılımındaki rasyonel terimlerin toplamı 2

7. A torbasında 3 kırmızı, 4 beyaz, B torbasında 4 kırmızı, 3

kaçtır? 33 A) 4

31 B) 4

29 C) 4

27 D) 4

25 E) 4

beyaz top vardır. A torbasından rastgele bir top çekilip B torbasına atılıp B torbasından rastgele bir top çekiliyor. Çekilen topun beyaz olma olasılığı kaçtır? A)

3. (3x4 - 5x3 + 2x - 1)(5x3 + 7x2 - 8x + 6)

B) 32

C) 24

D) -32

B)

9 56

C)

9 16

D)

16 57

E)

25 53

8. Bir torbada beyaz ve kırmızı 16 bilye vardır.

çarpımı yapıldığında x5 in katsayısı kaç olur? A) 35

25 56

Torbadan çekilen bilye tekrar torbaya konmamak üzere art arda seçilen iki bilyenin kırmızı olma olasılı3 ğı olduğuna göre, torbada kaç beyaz bilye vardır? 10

E) -59

A) 4

B) 5

C) 6

D) 7

E) 8

4. A ∪ B = E olmak üzere 2 1 , P(Bı) = 5 3

P(Aı) =

olduğuna göre, P(A ∩ B) kaçtır? A)

1 5

B)

1 10

9. 40 kişilik bir sınıfta 23 kişi fizikten, 27 kişi kimyadan baC)

2 15

D)

2 17

E)

şarılıdır. 6 kişi ise her iki dersten de başarısızdır. Sınıftan rastgele seçilen bir öğrencinin fizikten başarılı olduğu bilindiğine göre kimyadan da başarılı olma olasılığı kaçtır?

2 21

A)

25 36

B)

23 35

C)

23 25

D)

16 17

E)

16 23

5. 5 siyah, 3 beyaz topun bulunduğu torbadan geriye konulmaksızın art arda iki top çekiliyor.

10. İki zar ve yedi tane madeni para birlikte atılıyor. Parala-

Toplardan birincinin siyah, ikincinin beyaz olma olasılığı kaçtır? A)

3 11

B)

5 11

C)

5 29

D)

15 56

E)

rın üçünün yazı, dördünün tura ve zarların üzerindeki sayıların toplamının çift sayı olma olasılığı kaçtır?

15 66

A)

322

23 35

B)

35 256

C)

25 256

D)

29 35

E)

35 128

Çözümler

YGS Matematik

1. Sabit terim A olsun.

r 12 c m x12 - r .c − 2 m r x

c

3.

r 12 12-r − mx .(-2)r . x 2 = A x 0 r

12 r c m(-2)r.x12-r- 2 = A.x0 r 12 r A = c m(-2)r ve x12-r- 2 = x0 olur. r r r x12-r- 2 = x0 ⇒ 12 - r - = 0 2 3r =0 12 2 3r 12 = 2

Binom - Olasılık

(3x4 - 5x3 + 2x -1) . (5x3 + 7x2 - 8x + 6)

Sadece x5 li terimi verecek olan ifadeleri çarpmak yeterlidir.

3x4 . (-8x) ve - 5x3 . 7x2

⇒ -24x5 -35x5

⇒ 59x5 ⇒ kat sayı -59 dur.

4.

1 P(Aı) = ⇒ P(A) = 1 5 2 P(Bı) = ⇒ P(B) = 1 3

A ∪ B = E ⇒ P(A ∪ B) = P(E) = 1 olur.

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

P(A ∩ B) = P(A) + P(B) - P(A ∪ B)

Cevap: E

r = 8 olur. 12 a = c m . (-2)8 8 12! 8 = .2 4! 8! 12.11.10.9.8! = . 28 4.3.2.1.8!

= 495.28 bulunur.

Cevap: B

2.

6 6−r 1 r c m^ 2 h . c − 3 m r 2

1 4 = 5 5 2 1 = 3 3

4 1 + −1 5 3 12 + 5 − 15 = 15 2 = bulunur. 15

=

Cevap: C

5. Siyah gelme olasılığına P(S), beyaz gelme olasılığına

1 6−r 1 6 − r = c ma 2 2 k . (− 1) r . a 2 3 k r r 6 6−r − = c m2 2 . (− 1) r .2 3 r

P(B) dersek birincinin siyah, ikincinin beyaz gelme olasılığı P(S).P(B) dir.

P(S).P(B) =

5 3 15 bulunur. . = 8 7 56 Cevap: D

6−r r 6 − = c m. (− 1) r .2 2 3 r

6 = c m(-1)r.2 r

18 − 5r d Z olursa terim rasyonel olur. 6

Birinci öğrencinin kazanma olasılığı P(A) =

18 − 5r ifadesini tam sayı yapan r = 0 ve r = 6 dır. 6

kazanamama olasılığı P(Aı) = 1 -

r = 0 alınırsa

İkinci öğrencinin kazanma olasılığı P(B) =

kazanamama olasılığı P(Bı) = 1 -

Üçüncü öğrencinin kazanma olasılığı P(C) =

kazanamama olasılığı P(Cı) = 1 -

Üç öğrenciden en az birinin ÖSS yi kazanma olasılığı

1 - P(Aı).P(Bı).P(Cı)

3 4 1 . . 4 5 3 1 4 = 1 - = bulunur. 5 5

18 − 5r 6

18 − 5r 6

6 c m(− 1) r .2 r r = 6 alınırsa

6 c m(− 1) r .2 R

18 − 5r 6

6. En az bir öğrencinin ÖSS yi kazanma olasılığı istenil-

olur.

diğinden 1 den üç öğrencinin de kazanamama olasılığı çıkarılır.

6 = c m(− 1) 0 2 3 0 = 1.1.8 = 8 olur. 6 = c m (-1)62-2 6 1 1 = 1.1. = olur. 4 4

Rasyonel terimlerin toplamı

8+

1 33 bulunur. = 4 4

1 ise 4

1 3 = , 4 4 1 ise 5

1 4 = , 5 5 2 ise 3

2 1 = olur. 3 3

=1-

Cevap: D

Cevap: A

323

Çözümler

Binom - Olasılık

7. A torbasında 3 + 4 = 7 top vardır. A torbasından çekilen topun kırmızı olma olasılığı

A torbası

B torbası

kırmızı

beyaz

YGS Matematik

9. Sınıfı örnek uzay olarak alırsak s(E) = 40 olur.

3 4 , beyaz olma olasılığı dir. 7 7

beyaz

Fizikten başarılı olan öğrencilerin kümesi F, kimyadan başarılı olan öğrencilerin kümesi K olmak üzere

S(F) = 23, s(K) = 27 olur.

6 öğrenci her iki dersten de başarısız olduğu için

s(F ∪ K)ı = 6 ve

s(F ∪ K) = 40 - 6

beyaz

olmak üzere iki durum vardır.

A K

3 3 4 3+1 . + . 7 7+1 7 7+1

=

3 3 4 4 . + . 7 8 7 8

=

9 + 16 25 bulunur. = 56 56

B B

+

A B

B B

= 34 olur.

s(F ∪ K) = s(F) + s(K) - s(F ∩ K) 34 = 23 + 27 - s(F ∩ K)

s(F ∩ K) = 50 - 34

= 16 olur.

F

K 7

Cevap: A

16

11 6

P(K/F) =

E

s (K + F) 16 bulunur. = 23 S (F)

Cevap: E

10. 7 tane madeni para atıldığında s(E) = 27 = 128 dir. Üç kez yazı, dört kez tura gelmesi durumunda kendi aralarında yer değiştirme sayısı

8. s(E) = 16

Kırmızı bilye sayısı x olsun. Çekilen 2 bilyenin ikisinin de kırmızı olma olasılığı x x−1 3 . = 16 15 10 x (x − 1) 3 = 16.15 10 x(x - 1) = 72 ise .< 9 8 x = 9 olur. Beyaz bilye sayısı 16 - 9 = 7 bulunur.

7! 7.6.5.4! = = 35 olur. 3!.4! 3.2.1.4!

Öyleyse 7 madeni para atıldığında üç kez yazı, dört kez 35 olur. tura gelme olasılığı 128

İki zar atıldığında örnek uzayın eleman sayısı

s(E) = 62 = 36 dır.

Üst yüze gelen sayıların toplamının çift sayı olma durumu

B = {(1, 1), (1, 3), (1, 5), (2, 2), (2, 4), (2, 6), (3, 1),

(3, 3), (3, 5), (4, 2), (4, 4), (4, 6), (5, 1), (5, 3),

(5, 5), (6, 2), (6, 4), (6, 6)}

olduğundan s(B) = 18 dir.

P(B) =

Paraların üçünün yazı, dördünün tura ve zarların üzerindeki sayıların toplamının çift sayı olma olasılığı

18 1 olur. = 36 2

35 1 35 bulunur. . = 128 2 256 Cevap: B

Cevap: D

324

YGS Matematik Konu Anlatımlı e-kitap

Recommend Documents