www.matematikclub.com, 2006
MC
Cebir Notları Gökhan DEMĐR,
[email protected]
Kümeler KÜME KAVRAMI Kümenin tanım yoktur. Bundan dolayı kümeyi tanıtmaya çalışalım. Küme kavramında bir topluluk, bir kolleksiyon ifadesi vardır. Kümeye ait olan şeylere kümenin elemanı denir. Hiç elemanı olmayan kümeye bo ş küme denir ve simgesi ile gösterilir. Küme üç türlü ifade edilir.
1. Liste Yöntemi : Kümeye ait olan şeyler iki paragraf parantezi içine liste olarak yazılır. (Bir eleman küme de ancak bi r kez yazılır.) Örneğin; {1, 2, 3, 4} {a, b, c, d, e} kümeleri liste ile yazılmıştır.
EŞĐT KÜMELER Elemanları aynı olan kümelere eşit kümeler denir. Örneğin A = {0, 1, 2, 3} ve B = { x | 0 ≤ x < 4, x ∈Z } kümeleri eşit kümelerdir. (A = B) Bir A kümesinin eleman sayısı s(A) olarak belirlenir. s(A) = 4 gibi. Ya Ya da n(A) ile belirlenir. belirlenir.
ALT KÜME A kümesinin her elemanı B kümesinin bir emelanı ise A ya B nin alt kümesi veya B, A kümesini kapsar denir. A ⊂ B biçiminde gösterilir. Hata!
Örneğin A = {0, 2, 4} ve B = {0, 1, 2, 3, 4, 5} ise ise A ⊂ B dir.
Alt Kümenin Özellikleri : 2. Koşullu Yöntem (Ortak Özellikli Yöntem) : Kümeyi oluşturan şeylerin ortak özellikleri varsa bu yöntemle yazılır. Kümeye ait olan şeyleri bir harfle gösterir, bir çizgi veya (:) koyarak ortak özelliği belirten gerek ve yeter koşuluna uyarız. Bunu da iki paragraf parantezi arasında gösteririz. B = { x | 0 < x < 5, x ∈Z } (Bu kümeni elemanlarının oldu ğunu görüyoruz.)
3. Şema Đle Gösterme : kümeye ait şeyleri bir kapalı eğri içinde yazarız. Örneğin B = {1, 2, 3, 4} ise bunun şema ile gösterimi: B 1
2 3 4
1. Ø, Her A kümesinin bir alt kümesidir. 2. Her küme kendisinin alt kümesidir. ∀A, A ℘ A (yansıma özelliği) 3. A ℘ B , B ℘ A ♠ A ℘ C (geçişme özelliği) 4. A ℘ B , B ℘ A ♠ A = B (Ters simetri özelli ği) n elemanlı bir kümenin alt kümelerinin sayısı 2n dir.
ÖZ ALT KÜME Kendinden başka alt kümelere öz alt küme denir. n elemanlı bir kümenin öz alt küme sayısı 2 n –1 dir. n elemanlı bir kümenin r elemanlı alt kümelerinin sayısı: n n! ( r ) = (n–r)! r! formülü ile kullanılır.
şeklindedir. Kümenin elemanı ( ∈ ) ile belirlenir. Örneğin yukarıdaki küme için 2 ∈ B, 3 ∈ B gibi. 5 ∉ B (5, B nin elemanı de ğildir.)
NOT : n elemanlı bir kümede r elemanlı alt kümelerin sayısı n – r elemanlı alt küme sayısına e şittir.
www.matematikclub.com
ÖRNEK : Bir A kümesinin üç elemanlı alt kümelerinin sayısı iki elemanlı alt kümelerinin sayısına e şitse bu küme kaç elemanlıdır? Çözüm : n elemanlı kümede r elemanlı alt kümelerin sayısı n – r elemanlı alt kümelerin sayısına eşittir. r = (n – r) = n oldu ğu için 3 + 2 = 5, A kümesinin eleman eleman sayısıdır.
ÖRNEK : A = {a, b, c} kümesinin kaç tane alt kümesi, kaç tane özalt kümesi vardır? Çözüm : Alt küme sayısı 2 3 = 8, Öz alt küme sayısı 2 3 – 1 = 7 dir.
ÖRNEK : Bir kümenin 3 den az elemanlı alt kümelerinin sayısı 16 ise o küme kaç elemanlıdır? Çözüm : 3 den az elemanlı, , bir elemanlı ve 2 elemanlı alt küme sayısı demektir. Küme n elemanlı ise n n n ( 0 ) + ( 1 ) + ( 2 ) = 16 n! n! n! n! 0! + (n–1)! 1! + (n–2)! 2! = 16, n(n–1) 1 + n + 2 = 16 2 + 2n + n 2 – n = 32 n2 + n – 30 = 0 (n – 5) (n + 6) = 0 ♠ n = +5 ve n = –6 eleman sayısı negatif olamaz. Kümenin eleman sayısı 5 dir.
ÖRNEK : A = { 1, 2, 3, 4, 5, x, y } kümesinin, içerisinde x, y elemanları bulunmayan, dört elemanlı alt kümesi kaç tanedir?
ÖRNEK : A = {a, b, c, d, e, f} kümesnin üç elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde b elemanı vardır? Çözüm : Aranılan alt kümelere {b, ., .} biçimindedir. (.) ların yerine kümenin b den ba şka 5 tane elemanından 2 tane5 5! si gelecektir. O halde; ( 2 ) = 3! 2! = 10. 10 tane üç elemanlı alt kümede b vardır. vard ır.
ÖRNEK : Dört elemanlı alt kümelerin sayısı, üç elemanlı alt kümelerinin sayısına eşit olan bir kümenin kaç tane beş elemanlı alt kümesi vardır? Çözüm : Kümenin eleman sayısı: 4 + 3 = 7 dir. O halde yedi elemanlı kümenin 5 elemanlı alt küme 7 7! sayısı: ( 5 ) = 5! 2! = 21 bulunur.
Çözüm : x, y elemanları bulunan dört elemanlı alt küme sayısı 5 5! ( 2 ) = 3! 2! = 10. A kümesinin 4 elemanlı alt küme sayısı: 7 7! ( 4 ) = 4! 3! = 35 dir. x, y elemanları bulunmayan dört elemanlı küme sayısı : 35 – 10 = 25 dir.
SONLU KÜME Kendi öz alt kümelerinden hiçbiri ile 1 – 1 e şlenemeyen kümelere sonlu küme denir. Örneğin A = {1, 2} kümesi sonlu s onlu kümedir.
ÖRNEK : Öz alt küme sayısı 31 olan bir kümenin 3 elemanlı alt kümesi kaç tanedir? (Bu küme sonlu mudur?)
www.matematikclub.com
Çözüm : n elemanlı kümenin öz alt kümesi 2n – 1 = 31 →2 n = 32 = 25 n = 5 bulunur. Bu küme sonludur. 5 elemanlı kümenin üç elemanlı alt küme sayısı ise 5 5! ( 3 ) = 3! 2! = 10 bulunur.
KÜMELERDE ĐŞLEMLER BĐRLEŞĐM ( ∪ ) : Tanım : A ve B kümelerinin birle şimi : A ≈ B = { x : x ∈ A veya x ∈ B } dir. Örneğin A = {a, b, c} B = {c, d, x, y} ise A ≈ B = {a, b, c, d, x, y} dir. Şema ile A
a b
B
c
d x y
taralı bölge A ∪ B dir. BĐRLEŞĐMĐN ÖZELLĐKLERĐ (≈ ) 1. A ≈ A = A 2. A ≈ B = B ≈ A (Değişme) 3. (A ≈ B) ≈ C = A ≈ (B ≈ C) (Birleşme) 4. A ≈ = ≈ A = A 5. (A ℘ B) → A ≈ B = B 6. (A ℘ B) → (A ≈ C) ℘ (B ≈ C) (Her C için) 7. (A ℘ B) →A ℘ (B ≈ C) (Her C için) 8. (A = B) →(A ≈ C) = (B ≈ C) (Her c için) 9. (A ≈ C) = (B ≈ C) olması A = B olmasını gerektirmez. 10. (A ≈ C) ℘ (B ≈ C) olması A ℘ B olmasını gerektirmez.
A
B
A∩B
dır. KESĐŞĐMĐN ÖZELLĐKLERĐ (↔) 1. A ↔ A = A 2. A ↔ = ↔ A = 3. A ↔ B = B ↔ A (Değişme) 4. (A ↔ B) ↔ C = A ↔ (B ↔ C) (Birleşme) 5. (Α ℘ B) → A ↔ B = A 6. (A ℘ B) → (A ↔ C) ℘ (B ↔ C) (∀C, için) 7. (A ℘ B) → (A ↔ C) ℘ B (∀C, için) 8. (A ℘ B) → (A ↔ C) ℘ (B ≈ D) (∀C, D için) 9. (A = B) → (A ↔ C) = (B ↔ C) (∀C, için) 10. (A ↔ C) = (B ↔ C) olması A = B olmasını gerektirmez. 11. (A ↔ C) ℘ (B ↔ C) olması A ℘ B olmasını gerektirmez. Not: Kesişimin eşitlik ya da alt küme olmada sadele şme özelliği yoktur. Kesişimin birleşim üzerine dağılma özelliği vardır. A « (B » C) = (A « B) » (A « C)
Birleşimin kesişim üzerine dağılma özelliği vardır. A » (B « C) = (A » B) « (A » C) A ve B kümelerinin birle şimlerinin eleman sayıları A
B
(9. ve 10. da görüldüğü gibi birleşimde sadeleşme özelliği yoktur.) s(A » B) = s(A) + s(B) – s(A « B)
KESĐŞĐM ( ∩ ) A ve B kümelerinin kesi şimi: A ↔ B = { x | x ∈ A ve x ∈ B } Örneğin A = { 1, 2, 3, 4} ve B = {1, 3, 5, 7, 9} A ↔ B = {1, 3} tür. Şema ile A ∩ B nin gösterimi
A, B, C kümelerinin birle şiminin eleman sayısı : A
B
C s(A»B»C)=s(A)+s(B)+s(C)–s(A«B)–s(A«C)–s(B«C)+s(A«B«C)
www.matematikclub.com
AYRIK KÜMELER A ↔ B = → A ve B ayrık kümedir. Ayrık kümelerde
EVRENSEL KÜME VE TÜMLEME Verilen kümeyi alt küme kabul eden kümeye onun evrensel kümesi denir. E ile gösterilir. Örneğin, A = {0, 1,2 3, 4} ise E = {0, 1, 2, 3, 4, 4 , 5, 6, 7}, veya E = {x | x 0 ≤ x < 20, x ∈ N} ya da E = N olarak alınabilir.
s(A » B) = s(A) + s(B)
Not: Evrensel küme verilmemiş ise biz en dar olanını tercih ederiz.
ÖRNEK : Bir sınıfta bulunan ö ğrencilerin tümü voleybol veya basketboldan en az birini oynamaktadır. 21 ö ğrenci voleybol, 24 öğrenci basketbol ve 7 öğrenci de herikisini de oynadığına göre bu sınıfta kaç öğrenci vardır? Çözüm : V: Voleybol oynayanların kümesi, B: Basketbol oynayanların kümesi ise, s(V ≈ B) = s(V) + s(B) – s(V ↔ B) = 21 + 24 - 7 = 38 bulunur.
TÜMLEME Bir A kümesinin elemanı olmayıp da onun evrensel kümesinin elemanlarından oluşan kümeye A nın tümleyeni denir. Ve A' yada ~A biçiminde gösterilir.
A' A
Venn şeması ile çözün:
E
Önce ikisini oynayanlar yaz›l›r. V 14
B 7
17
ÖRNEK :
(S(B) = 24 ⇒ 24 - 7 = 17)
E = {0, 1, 2, 3, , 5} ve A = {0, 2, 4} ise A nın tümleyeni; A' = {1, 3, 5} kümesidir. k ümesidir.
(S(V) = 21 ⇒ 21 - 7 = 14)
s(V ≈ B) = 14 + 7 + 17 = 38 bulunur.
ÖRNEK : Bir spor kulübünde futbol oynayan 60, voleybol oynayan 42 ve basketbol oynayan 40 kişi vardır. Bu kulüpte futbol – voleybol oynayan 18, futbol basketbol oynayan 16, her üçünü de oynayan 14 kişi bulunuyor. Bu kulüpte kaç sporcu vardır?
Çözüm : s(F≈B≈V) = 60 + 42 + 40 – 20 – 18 – 16 + 14 = 102 sporcu Venn şeması ile çözüm: Venn şeması ile çözümde daima en çok kesişen bölgeden başlanır. Oyuncu sayıları şekilde görüldüğü gibi yerleştirilir. Toplamı 38+6+14+2+18 + 4 + 20 = 102 bulunur.
F
V 6
38 2
14
18 4
20 B
TÜMLEME ÖZELLĐKLERĐ 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.
(A')' = A '=E E' = (A≈B)' = A' ↔B' (A↔B)' = A' ≈ B' A ℘ B → B' ℘ A' A ↔ B = = A ℘ B' ve B ℘ A' A ≈ A' = E A ↔ A' =
www.matematikclub.com
FARK KÜMELERĐ A ve B kümelerinin farkı A \ B = {x | x A ve x tanımlanır. Örneğin; A = {1, 2, 3, 3, 4} ve B = {1, 3, 4} ise A \ B = {2, 4} A
ÖRNEK : B} olarak
B
2 4
1 3
A\B
(A \ B) maz? A) A ∩ C) A ∩ E) A ∩
\ C nin e şiti aşağıdakilerden hangisi olaB' ∩ C' (B ∪ C)' B ∩ C'
B) A \ (B ∪ C) D) (A \ B) ∩ C'
5
Çözüm : (A\B) \ C
A/B
= (A \ B) ∩ C' = (A ∩ B') ∩ C' = A ∩ (B' ∩ C') = A ∩ (B ∪ C)' = A \ (B ∪ C) Burada bulunan eşitlikler A, B, C, D seçeneklerinde var. O halde Cevap : E dir.
ÖRNEK : A = {x | 2≤ x < 7, x ∈ R} B = {x| 5 < x ≤ 11, x ∈ R} ise A \ B kümesini bulunuz?
Çözüm : A ve B kümelerini reel sayı ekseninde gösterelim.
ÖRNEK : A
B
C
A 2
5
7
11 B
A \ B = {x | 2 ≤ x ≤ 5 x ∈ R} Bunu x ∈ [2; 5] şeklinde de gösterebiliriz.
Taralı bölge aşağıdakilerden hangisidir? A) A ∩ B ∩ C B) A ∩ ( B ∪ C)' C) (A ∩ C)' ∩ C D) B ∩ (A ∪ C)' E) B ∩ (A ∩ C)'
FARK KÜMELERĐNDE ÖZELLĐKLER 1. A \ A = ∅ 2. A \ ∅ = A 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.
∅ \A= ∅ A \ B = A ∩ B' (A\B) ∪ B = A ∪ B (A \ B) ↔ B = (A \ B)' = A' ∪ B (A \ B) ∪ (B \ A) = (A ∪ B) \ (A ∩ B) (A \ B) ∩ A = A \ B (A \ B) ∪ A = A (A \ B) ∪ (A ∩ B) = A
Çözüm : Taralı bölge B nin içinde A ile C nin dı şında olduğu için B ↔ (A ≈ C)' cevapdır. Cevap : D
ÖRNEK : s(A \ B) = 5, s(A ∩ B) = 2 ise s(A) nın e şiti nedir? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7
www.matematikclub.com
Çözüm : A 5
ÖRNEK :
B
s(B') = 13, s(A') = 10 ve s(B) = 8 ise s(A) kaçtır?
2
Çözüm : s(B) + s(B') = s(E) O halde s(E) = 13 + 8 = 21 dir. s(A) + s(A') = s(E) olduğundan s(A) = 21 – 10 = 11 bulunur.
(A \ B) ∪ ∩ (A ∩ B) = A oldu ğu için s(A) = 5 + 2 = 7 bulunur. Cevap : E ÖRNEK : s(A) = 2s(B), s(A \ B) = 10 ve s(A ∩ B) nin alt kümelerinin sayısı 16 ise A ∪ B kümesinin eleman sayısı kaçtır? A) 15 B) 16 C) 17 D) 18 E) 20
KONU TEST Đ – 12
1.
A = {a, b, c, {a, b} } kümesi için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? A) {a, b} ∉ A B) { {a, b} } ∉ A C) {a, b} ∈ A D) {a, b, c} ∉ A E) {a} ∈ A
2.
{1, 2, 3, 4, 5} kümesinde üç elemanlı alt küme kaç tanedir? A) 6 B) 10 C) 15 D) 18 E) 32
3.
{1, 2, 3, 4, e} kümesinin üç elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde e elemanı vardır? A) 4 B) 5 C) 6 D) 10 E) 15
4.
{a, b, c, d, e, x, y} kümesinin beş elemanı alt kümelerinin kaç tanesinde x ve y elemanı yoktur? A) 10 B) 11 C) 12 D) 14 E) 16
5.
Üçten az elemanlı alt kümelerinin sayısı 22 olan küme kaç elemanlıdır? A) 9 B) 8 C) 7 D) 6 E) 5
Çözüm : A 10
B 4
3
(A \ B) ∪ (A ∩ B) = A oldu ğu için 10 + 4 = s(A) ve 1 s(B) = 2 s(A) olduğundan s(B) = 7; s(B \ A) = 3 bulunur. Bunları Venn şemasına yerleştirirsek s(A ≈ B) = 17 Cevap : C
ÖRNEK : Bir E evrensel kümesinde verilen A ve B kümeleri için s(A) + s(B') = 18, s(B) + s(A') = 24 ise bu evrensel küme kaç elemanlıdır? A) 20 B) 21 C) 22 D) 23 E) 24
Çözüm : S(A) + s(A') = s(E) ve s(B) + s(B') = E oldu ğu için verilenleri taraf tarafa toplayalım. s(A) + s( B′) = 18 + s( A ′ ) + s(B) = 24 s(A) + s( A′ ) + s(B) + (B ′) = 42 2 s(E) = 24 → s(t) = 21 bulunur. Cevap : B
www.matematikclub.com
6.
A, B, C kümeleri için aşağıdaki gerektirmelerden hangisi yanlıştır? A) A ∈ B → (A ∩ C) ∉ B B) A ∈ B → (A ∩ C) ∉ B ∩ C C) A ∈ B → A ∉ B ∪ C D) A ∈ B → (A ∩ C) ∉ (B ∪ C) E) (A ∩ B) = ( B ∩ C) → A = B
7.
s(A) = s(A ∪ B) ise aşağıdakilerden kaç tanesi doğrudur? I. B = II. A = B III. A ∉ B IV. B ∉ A V. A ∪ B = B A) 1
8.
9.
10.
B) 2
C) 3
D) 4
11.
Bir kümenin iki elemanlı alt kümelerinin sayısı üç elemanlı alt kümelerinin sayısına eşitse bu küme kaç elemanlıdır? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 8
12.
Öz alt küme sayısı sayısı 127 olan bir kümenin üç elemanlı kaç tane alt kümesi vardır? A) 8 B) 21 C) 35 D) 36 E) 42
13.
Öz alt küme sayısı 63 olan bir A kümesinde a, b, c elemanları vardır. A kümesinin beş elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde a, b, c elemanları vardır? A) 1 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
14.
A = {1, 2, 3, 4}, B = { x|2 x|2 < x < 7, x A ≈ B kümesi hangisidir? A) {x | 0 < x < 7 x ∈ N} B) {x | 1 < x ≤ 6 x ∈ N} C) {1, 2, 3, 4, 5} D) {x | 0 < x < 7 x ∈ R} E) {x | 0 < x < 7 x ∈ R}
15.
29 dan 317 ye ye kadar (317 dahil) sayılardan kaç tatanesi 3 veya 7 ile bölünebilir? A) 13 B) 41 C) 95 D) 123 E) 126
E) 5
Bir sınıfta bulunan öğrenciler futbol ve voleyboldan en az birini oynuyor. Bu sınıfta 27 ki şi futbol, 20 ki şi voleybol ve 11 kişi de her ikisini de oynuyor. Futbol oynamayan yalnız voleybol oynayan öğrenciler, tüm sınıfın kaçta kaçıdır? 1 1 1 2 3 A) 3 B) 4 C) 5 D) 5 E) 10
A ve B dersanelerine giden 136 ö ğrenciden 60 ı A dersanesine gidiyor. A dersanesine gitmeyen 40 kız öğrenci vardır. B dersanesine giden kaç erkek ö ğrenci vardır? A) 26 B) 30 C) 36 D) 40 E) 46
A = {x | (x – 5) (x2 – 1) = 0 x R} kümesinin boş olmayan öz alt küme sayısı kaçtır? A) 6 B) 7 C) 8 D) 14 E) 30
N} ise
www.matematikclub.com
16.
Bir yolcu bulunan bir uçakta 20 si Đngilizce, 16 sı Fransızca ve 13 üde Almanca biliyor. Ancak bunlardan 7 si Đngilizce ve Fransızca, 6 sı Fransızca ve Almanca bilmekte. 5yolcu da bu üç dilden hiç birini bilmiyor. Bu uçakta üç dili bilen kaç yolcu vardır? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
17.
(A' ∪ B) ∩ A kümesinin eşiti hangisidir? A) A B) A' C) B' D) B E) A ↔B
18.
s(A ∪ B) – s(A) = s(B) ise aşağdakilerden hangisi doğrudur? A) A ∪ B = A B) A ∪ B = B C) A = B D) A ∩ B = E) A ∩ B = A
19.
Şekilde taralı bölge hangisidir? A) A ↔ B ↔ C B) (A ↔ C) ↔ B' C) (A ↔ B) ↔ C' D) (A ↔ B) ≈ C' E) A ↔ B ≈ C
20.
A
B
C
A = [–1, 4], B = (2, 8] ise A \ B kümesi hangisidir? A) [–1, 2] B) [–1, 2) C) [2, 4] D) (4, 8] E) [–1, 8]