Ygs Matematik Genetik Kopya Kitap

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

ÖNSÖZ MATEMATİK VADİSİ PROJESİ Bu cinsten matematikle ilgili projelere sıra geldi. Ne mutlu bizlere, sevinmeliyiz. Çünkü bizim aslımız, matematik ile iç içe idiler. Dillerini (Türkçemizi) matematik yapı ile kurdular. Bu kuruluşu her geçen zamanla daha iyi anlayabiliyoruz. Dünyamız hiçbir zaman alfabe problemini çözemedi. Halen bu alfabe problemi zorlaşarak devam etmektedir. Öyle ki, iyi kurulamamış alfabeler kısa zaman içinde ölüyorlar. Türkçemizi matematiğe önem veren atalarımız iyi bir temel, matematiksel yapı üzerine oturttular. Yüzyıllardır bu nedenle sarsılmadan yaşamaya devam ediyor. Hele Türkçe için büyük Atatürk dünyaya örnek bir alfabe yazdıktan sonra bir bakıma Shakespeare’in İngilizce için yazılmasını istediği ve halen yazılamamış olan alfabeyi biz Türkçe için yazdık diyebiliriz (Necroponte, Being Digital). Matematik dildir, dil matematiktir. Matematik-dil ikilisi daima beraber gezerler, gelişirler. Bu nedenledir ki Cumhuriyetimizin kurucusu Atatürk bir matematik (geometri) kitabı yazmıştır. Çünkü 19 uncu yüzyıl matematiğin insanlara el uzattığı yüzyıldır. Gerçekten bu yüzyıla kadar geçen beş milyar yılda insanoğlu sadece kağnı-kazma ve kürek ile meydana çıkabilmiş iken türevin ortaya konması, diferensiyel integral hesabın sayesinde iki yüzyılda insanlığın kazandığı gelişme ivmesi beş milyar yılı ne derece solladığını hayretle görüyoruz. Yani, Ay’a seyahat ve bilgisayar dünyası matematiğin meyveleridir. Bu nedenlerle matematikle ilgimizi artırmalı, enerjimizi matematikle birleştirmeli, tüm projelerimize matematiği de yardımcı seçmeliyiz. Bu nedenlerledir ki, Matematik Vadisi projesini de bu anlamda görmek ve değerlendirmek gerekir. Projenin kapsamının “Matematikle ilgili olan herşey” diye seçilmiş olması tüm dünyayı kapsamı içine alması demektir. Zira matematik, her yerde, her olayda ve her zaman vardır. Eğitim - öğretim dünyasında, bilhassa öğrencilerin hedeflediği başarılara ulaşmada Matematik Vadisi projesinin yeri nedir? Cevabımız, projenin yayınlarını dikkatle inceledikten sonra şöyle olacaktır: Matematiği öğrenmede zorluk çeken, matematiği sevmeyen öğrenciler her zaman olmuştur ve olacaktır. Matematiği öğrenmeyi kolaylaştırmak ve dolayısı ile sevdirmek bu projenin esas gayelerindendir. Bu projenin yayınları, öğrenme için kendi kendine yeterdirler.

Matematik korkusunu yenmek: Matematikten korkan öğrenciler daima olmuştur ve daima olacaktır. Bu korkuyu yenmenin çeşitli yolları vardır. Bu yollardan başlıcaları: matematik okumak, matematik yazmak, matematik çizmek, matematik dinlemek, matematik konuşmak ve matematik düşünmektir. Bu anayolu açmak için Matematik Vadisi gibi projelere çok ihtiyaç vardır. Bu yol altı tane farklı aktivite içerir. Matematik Vadisi projesi bu altı özelikten sadece ilk üçüne yayınları ile cevaz verebilir niteliktedir. Geri kalan üç özelik de projenin eserlerinin sınıflarda veya ortak bir grup ile incelenmesi esnasında hayata geçirilebilir. DNA: Matematik Vadisinde, temel bilgileri vermek amacı ile ayrıntılı biçimde çözülmüş sorunun adıdır. DNA’lar sayesinde benzer sorular çözülebilecek, böylece okuyucunun kendine güveni artacak ve dolayısı ile okuyucu korkuyu yenecektir. Bu şekilde çalışan okuyucu matematik korkusunu yenerken matematik sevgisini de kazanacaktır. Sevgi, tanımayı, öğrenmeyi hem kolaylaştırır ve hem de hızlandırır. Buna biz matematik okumak, matematik yazmak ve matematik çizmek de diyebiliriz. Eğer okuyucular bu projenin eserlerini grup halinde ele alırlarsa veya bir sınıfta toplanır ve bir eğitimci eşliğinde incelerlerse o zaman matematik dinlemiş ve matematik konuşmuş da olurlar. Matematik düşünme işine sıra gelince ömür boyu yapacağımız ve devamlı geliştirmemiz gereken bir sistemdir. Yukarıda sıralanan ilk beş aktivite ile kazanılır ve kazandırılır. Matematiği Sevme - Sevdirme Çok iyi bilinen bir husus, insanın tanımadığını sevmeyeceği, sevme işinin tanıma ile başlayacağı hususudur. Demek ki sevmek için öncelikle tanımak, tadını ve kokusunu almak gerekir. O halde matematiği öğrendikçe sevme işi de kendiliğinden oluşacaktır. Matematik Vadisi projesinin yayınlarının yukarıda sıralanan özellikleri ve onları hazırlayan kadronun seçkin bir kadro oluşu nedeniyle bu proje matematiği öğretebileceği ve tanıtabileceği için matematiği sevdirmiş de olacaktır. Prof. Dr. Hasan Hilmi HACISALİHOĞLU

Saygıdeğer Öğretmenler Sevgili Öğrenciler Matematik çoğu öğrencinin eğitim hayatı boyunca korkulu rüyası olmuştur. Birçok kimse nezdinde hak ettiğinin ötesinde olumsuz bir imaja sahiptir. Buna karşılık matematiği tutkuyla sevenler de vardır. Matematiğe karşı duygusal tavrımız ne olursa olsun, hepimizin bildiği tartışma götürmez bir gerçek “matematik olmadan olmayacağı” gerçeğidir. Özellikle de bir öğrenci iseniz!

NEDEN MATEMATİK VADİSİ? Matematik Vadisi, matematiği tutkuyla seven bir grup matematik öğretmeninin; matematiği seven sevmeyen herkesin matematikte en azından yeteri kadar başarılı olabileceğini göstermek için hayata geçirdiği bir projedir. Matematik Vadisi, sloganından anlaşılacağı gibi, sadece matematikle ilgilenecektir. Matematikle ilgili her şey, ana sınıfından akademik hatta ansiklopedik düzeye kadar Matematik Vadisi’nin ilgi alanı içindedir. Bu projenin bel kemiği, okullara takviye ve sınavlara hazırlık amaçlı hazırlanmış yayınlar olacaktır. Temel iddiamız şudur: Matematik Vadisi’nin imza attığı her eserde usta eli değmiş dedirtecek özgünlüğü, ekip çalışması sonunda varılabilecek bir olgunluğu ve pedagojik alt yapıyı hemen hissedeceksiniz. Kısaca, Matematik Vadisi’nin uzmanlığını fark edeceksiniz.

GENETİK KOPYA YÖNTEMİ Genetik Kopya Yöntemi ülkemizde yaygın olan, “matematik korkusu”nun aşılmasını sağlamak için geliştirilmiş bir yöntemdir. Temel tezi “Bu çözümü anladıysan çok benzerini de yapabilirsin, yapabildiğini görürsen daha da cesaretlenirsin.” şeklinde özetlenebilir. Bu kitabın sistematiğinde temel bilgiyi vermek amacıyla ayrıntılı şekilde çözdüğümüz soruyu, DNA diye adlandırıyoruz.

ikonu ile verilen sorular ise, DNA’da verilen soruya bire bir benzeyen niteliktedir. Yani onun Genetik Kopyası-

dır. Böylece DNA için yapılan çözüm anlaşılmış ise, bu soru da rahatça çözülebilecektir. Böylece öğrencinin, yapılan çözümü kavraması, benzer soruları kendisi de çözerek iyice özümsemesi hedeflenmiştir. İnanıyoruz ki “Genetik Kopya” yöntemi ideal bir matematik öğrenme ve öğretme yöntemidir.

MATEMATİK VADİSİ’NİN KADROSU Matematik Vadisi, matematiği tutkuyla seven bir grup matematikçinin başını çektiği bir kadro tarafından kurgulanmıştır. Ankara’dan Alpaslan Ceran ve Saygın Dinçer, İstanbul’dan Eyüp Kamil Yeşilyurt, İskenderun’dan Taylan Oktay, Konya’dan Gürkan Gülcemal, bu projenin mimarı olan kişilerdir. Matematik Vadisinde içkin olan Matematik tutkusu, çok kısa sürede yayınlanacak onlarca özgün eserle, yeşerecektir.

Alpaslan CERAN Matematik Vadisi Yayın Editörü

KİTABIMIZIN ORGANİZASYON ŞEMASI HAZİNE veya IŞIK’lara ulaşabilmek için yapılan araştırmalar bu ikonla

Hazine Avı

gösterilmiştir. Böylece, HAZİNE ve IŞIK’ların zihninize daha net yerleşmesi sağlanmıştır.

Hazine 5

Hazine Avı’ndan elde ettiğimiz ve

n sayı tabanında verilmiş bir sayının, 10 luk sistemde-

DNA çözümlerinde işimize en çok

ki değeri; a, b, c, d < n olmak üzere;

yarayacak olan, teorem niteliğindeki değerli bilgiler bu ikonla gösterilmiş-

(abcd)n = a ⋅ n3 + b ⋅ n2 + c ⋅ n1 + d ⋅ n0

tir.

dir.

Bazen Hazine Avı’ndan, bazen de Hazine

Işık 13

Avı’na ihtiyaç duyulmadan elde edilen ve

n! sayısının sonundaki 0 ların sayısı, n! sayısı içindeki 10 çarpanlarının (10 = 2 ⋅ 5 ve 2 < 5 olduğundan) sayısı, tüm 5 çarpanlarının sayısı kadardır.

Bu Hazine’mizin Vadi Dili’ndeki karşılığı, Gauss

DNA çözümlerinde yolumuza IŞIK tutacak olan, küçük teorem niteliğindeki değerli bilgiler bu ikonla gösterilmiştir.

Bazı HAZİNE ve IŞIK’ları uzunca söylemek yerine, o Hazine ve Işık’ları anımsatacak birkaç kelimeden olu-

olacaktır.

şan slogan niteliğindeki ifadeler bu ikonla gösterilmiştir.

DNA 88 Kendinden

100 sayısından küçük 25 tane asal sayı vardır. 100 den farklı kaç tane n tam sayısı için n den küçük asal sayıların sayısı 25 tir? A) 2

B) 3

C) 4

D) n + 32

verilen

gerektiren KÖK SORU’lar bu ikonla

E) 6

Aşağıdakilerden hangisi aynı sayılar ile bölünebilir? B) n + 16

önce

gösterilmiştir. D) 5

n pozitif tam sayısı, 4, 8 ve 12 ile bölünebilmektedir.

A) n + 12

hemen

HAZİNE ve IŞIK’ların kullanımını

C) n + 24 E) n + 36

DNA’da kullanılan sorunun biraz değiştirilmiş şekli, yani Genetik Kopyası bu ikonla gösterilmiştir.

Çözüm DNA için verilen ayrıntılı çözümler bu

22227777 sayısında; 2 + 2 + 2 + 2 + 7 + 7 + 7 + 7 = 36 = 4 ⋅ 9

ikonla gösterilmiştir.

olduğundan, sayı 9 ile bölünebilir. (2 + 2 + 7 + 7) – (2 + 2 + 7 + 7) = 18 – 18 = 0 = 0 ⋅ 11 olduğundan sayı 11 ile de bölünebilir.

T ± T = Ç

Ç ± Ç = Ç

T⋅T=T

Ç ⋅ Ç = Ç

T ± Ç = T

T⋅Ç=Ç

n pozitif tam sayısı için,

HAZİNE ve IŞIK’lar kadar yoğun kullanılmayan, ancak yine de bilinmesi gereken bazı bilgiler bu ikonla gösterilmiştir.

Tn = T ve Çn = Ç (Ç0 = 1) dır.

Uyarı Soruyu çözerken öğrencinin yapabina

ifadesinde n ∈ {2, 3, 4, ...} tür. Yani, 1 4, 0 3, −2 5

gibi gösterimler anlamsızdır.

leceği muhtemel hataya düşmemesi için yapılan öğütler bu ikonla gösterilmiştir.

Not 168 = 12 ⋅ 14 180 = 12 ⋅ 15 12 sayısı 168 ve 180 sayılarını bölen ortak bölenlerin en

NOT etmemiz gereken, IŞIK ve HAZİNE’lere nazaran daha az ihtiyaç duyacağınız bilgiler, bu ikonla gösterilmiştir.

büyüğüdür.

Hatırlatma

Soruyu çözebilmek için gerekli olan ancak farklı konularla ilgili olan bilgi-

Ölçüsü x olan bir açının tümleyeni 90° – x, bütünleyeni 180° – x tir.

ler bu ikonla gösterilmiştir.

Kitabımızın Organizasyon Şeması....................................................... Sayfa: 6 - 7 BÖLÜM - 01 Sayılar............................................................................................ Sayfa: 9 - 144 BÖLÜM - 02 Rasyonel Sayılar.......................................................................... Sayfa: 145 - 160 BÖLÜM - 03 I. Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler.................................... Sayfa: 161 - 178 BÖLÜM - 04 Mutlak Değer.............................................................................. Sayfa: 179 - 192 BÖLÜM - 05 Çarpanlara Ayırma...................................................................... Sayfa: 193 - 214 BÖLÜM - 06 Üslü Sayılar................................................................................. Sayfa: 215 - 230 BÖLÜM - 07 Köklü Sayılar............................................................................... Sayfa: 231 - 266 BÖLÜM - 08 Kümeler...................................................................................... Sayfa: 267 - 278 BÖLÜM - 09 Bağıntı - Fonksiyon..................................................................... Sayfa: 279 - 298 BÖLÜM - 10 İşlem........................................................................................... Sayfa: 299 - 314 BÖLÜM - 11 Modüler Aritmetik...................................................................... Sayfa: 315 - 322 BÖLÜM - 12 Oran - Orantı.............................................................................. Sayfa: 323 - 332 BÖLÜM - 13 Problemler.................................................................................. Sayfa: 333 - 394 BÖLÜM - 14 Permütasyon - Kombinasyon - Binom - Olasılık.......................... Sayfa: 395 - 432

TEMEL KAVRAMLAR

SAYILAR - BÖLÜM 01

RASYONEL SAYILAR KÜMESİ

SAYI KÜMELERİ

a  Q =  a, b tam sayı , b ≠ 0  b 

GİRİŞ Nasıl atom maddenin, hücre canlının temel taşı ise sayı-

kümesine rasyonel sayılar kümesi denir.

lar da matematiğin temel taşlarıdır. Bu bölümde yalnızca atom veya hücreyi bir bütün olarak değil, atomun elektronlarını ve çekirdeğini, hücrenin çekirdeğini ve DNA’larını da

Uyarı

inceleyeceğiz. Sayılar, ana kurallar ile birlikte doğru kullanıldıklarında

Ondalık sayılar, 0,23; 45,67; 123,4569; ...

matematik seyretmesi doyumsuz bir sanat eserine dönüşür. LYS matematiğinde başarılı olmak isteyen öğrencinin sayılar ile arasının çok iyi olması gerekir. Bu yüzden öncelikle sayı kümelerine kuş bakışı bir göz atalım. Önemli özeliklerinden birkaçını da söyleyelim.

Devirli ondalık sayılar, 2,333...; 36,232323...; 0,125125... birer rasyonel sayıdır.

DOĞAL SAYILAR KÜMESi N = {0, 1, 2, 3, ..., n, n + 1, n + 2, ...} kümesine doğal sayılar kümesi denir.

Her tam sayı, paydası 1 olan bir rasyonel sayıdır. a tam sayı olmak üzere;

En küçük doğal sayı 0 dır.

TAM SAYILAR KÜMESİ Z = {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ..., n, n + 1, n + 2, ...}

N⊂Z⊂Q

İRRASYONEL SAYILAR KÜMESİ a (a, b tam sayı, b ≠ 0) b

kümesine tam sayılar kümesi denir. Her doğal sayı, aynı zamanda bir tam sayıdır. N⊂Z Z– = {..., –3, –2, –1} negatif tam sayılar. En büyük negatif tam sayı –1 dir. Z+ = {1, 2, 3, ...} pozitif tam sayılar. (sayma sayıları.) En küçük pozitif tam sayı 1 dir. Z = Z– ∪ {0} ∪ Z+

Uyarı

a = a dır. 1

şeklinde yazılamayan sayılara irrasyonel sayılar denir. İrrasyonel sayılar kümesi Q′ ile gösterilir. 2,

3

5 , π ≅ 3,14, ... , e ≅ 2, 71...

sayıları birer irrasyonel sayıdır. Rasyonel ve irrasyonel sayı kümelerinin ortak elemanları yoktur. Q ∩ Q′ = ∅

GERÇEK (REEL) SAYILAR KÜMESİ Rasyonel sayılar kümesi ile irrasyonel sayılar kümesinin

0 sayısı negatif bir tam sayı olmadığı gibi, pozitif bir tam sayı da değildir.

birleşimine gerçek sayılar kümesi denir. R = Q ∪ Q′

YGS MATEMATİK

Temel Kavramlar

Sayılar - Bölüm 01

Doğal sayılar, tam sayılar, rasyonel ve irrasyonel

Toplama işlemine göre etkisiz (birim) eleman 0 dır.

sayılar birer gerçek sayıdır.

a+0=0+a=a

N⊂Z⊂Q⊂R 6+0=0+6=6 4+0=0+4=4

�

�

Çarpma işlemine göre etkisiz (birim) eleman 1 dir.

� �

��

�

��

1⋅a=a⋅1=a

1⋅7=7⋅1=7

� � �

1 ⋅ 12 = 12 ⋅ 1 = 12 Toplama işlemine göre; a gerçek sayısının tersi (toplamsal tersi) –a sayısıdır.

DÖRT İŞLEM Matematikte başarılı olmanın temel koşullarından biri de

a + (–a) = 0

dört işlemi hatasız ve çabuk yapmaktır. Toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerini tüm sayı kümelerinde sıkılmadan, çok sayıda alıştırma yaparak pekiştirmek gerekir. Biz öncelikle bu işlemlerin temel özeliklerini belirtelim.

12 + (–12) = 12 – 12 = 0

5 + (–5) = 5 – 5 = 0

Çarpma işlemine göre; sıfırdan farklı bir a sayısının tersi (çarpımsal tersi) a−1 =

1 sayısıdır. a

 1 a  = 1 a

Toplama ve çarpma işlemlerinin değişme özeliği vardır.

a+b=b+a

a⋅b=b⋅a

8⋅

1 =1 8

4 + 7 = 7 + 4 = 11

7⋅

1 =1 7

4 ⋅ 7 = 7 ⋅ 4 = 28

Toplama ve çarpma işlemlerinin birleşme özeliği vardır.

(a + b) + c = a + (b + c)

(a ⋅ b)c = a( b ⋅ c) (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) = 2 + 3 + 4 = 9 (2 ⋅ 3)4 = 2(3 ⋅ 4) = 2 ⋅ 3 ⋅ 4 = 24

Çarpma işleminin, toplama işlemi üzerine dağılma özeliği vardır.

(a + b)c = a ⋅ c + b ⋅ c

a(b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c

İki sayının farkı; birinci sayı ile ikinci sayının toplamsal tersinin toplamıdır.

10

YGS MATEMATİK

a – b = a + (–b) 14 – 5 = 14 + (–5) = 9

12 – 8 = 12 + (–8) = 4

İki sayının bölümü; bölünen sayı ile bölen sayının çarpımsal tersinin çarpımıdır. (Bir sayının 0 ile bölümü tanımsızdır.) a  1 = a:b = a⋅  b b 12  1 = 12 : 5 = 12 ⋅   5 5

(3 + 4)5 = 3 ⋅ 5 + 4 ⋅ 5 = 15 + 20 = 35 3(4 + 5) = 3 ⋅ 4 + 3 ⋅ 5 = 12 + 15 = 27

(a ≠ 0)

2  1 = 2:3 = 2⋅  3 3

(b ≠ 0 )


Temel Kavramlar

Sayının –1 ile çarpımı; o sayının toplamsal tersine eşittir.

(–1)a = –a

(–1)14 = –14

DNA 1 −6 + 14 3 − ( −5 )

(–1)(–12) = 12

işleminin sonucu kaçtır?

Çarpanlardan birinin toplamsal tersi alındığında; çarpımın toplamsal tersi bulunur.

A) –2

B) –1

C) 0

D) 1

E) 2

(–a)b = a(–b) = –(a ⋅ b)

(–3) ⋅ 4 = 3(–4) = –(3 ⋅ 4) = –12

Çözüm

[–(–2)] ⋅ 3 = (–2)(–3) = 6

Çarpanların ikisinin de toplamsal tersi alındığında; çarpım

–6 + 14 = 8

değişmez.

3 – (–5) = 3 + 5 = 8

(–a)(–b) = a ⋅ b

(–4)(–5) = 4 ⋅ 5 = 20

değerleri yerlerine yazıldığında; −6 + 14 8 = =1 3 − ( −5 ) 8

6 ⋅ (–7) = (–6) ⋅ 7 = –42 Sayının 0 ile çarpımı; her zaman 0 dır.

bulunur.

(0 sayısı, çarpma işleminde yutan elemandır.)

0⋅a=a⋅0=0

0⋅2=2⋅0=0

Doğru Seçenek D

0 ⋅ 15 = 15 ⋅ 0 = 0

Uyarı

5 − 11 1 − ( −5 )

0 sayısı ile işlem yaparken çok dikkatli olunmalıdır. Matematik öğrenmenin en tatsız taraflarından biri sıfır sayısı ile geçinmeyi öğrenmektir. Her öğrenilen işlemi

işleminin sonucu kaçtır? B) –1

A) –2

C) 0

D) 1

E) 2

bir de 0 sayısı ile denemek insanın hep aklını kurcalar. Bunların en kötüsü de sıfırı, sıfıra bölmektir. Bu durumda “Matematik bilen aslana, sıfır bölü sıfır nedir? diye soran kişinin yaptığı ölümcül hatayı yapmış

DNA 2

oluruz.” a ≠ 0 için;

0 = 0 dır. a

a = TANIMSIZDIR 0 0 = TANIMSIZDIR 0

−2 + 2( −2 ) 1 + ( −3 )

işleminin sonucu kaçtır? A) –3

B) –2

C) 0

D) 2

YGS MATEMATİK

E) 3

11

Temel Kavramlar


Çözüm –2 + 2(–2) = –2 – 4 = –6

1 + (–3) = 1 – 3 = –2

+

AB

Yandaki toplama işleminde; A, B sıfır-

87

dan farklı bir rakamı, AB iki basamaklı bir sayıyı göstermektedir.

129

değerleri yerlerine yazıldığında; −2 + 2( −2 ) −6 = =3 1 + ( −3 ) −2

Buna göre, A ⋅ B çarpımı aşağıdakilerden hangisidir? B) 8

A) 6

bulunur.

C) 12

D) 15

E) 18

Doğru Seçenek E

DNA 4

3 − 3 ( −3 ) −4 + ( −2 )


B) –1

–

C) 0

D) 1

E) 2

DNA 3

73

Yandaki çıkarma işleminde; A, B sı-

AB

fırdan farklı bir rakamı, AB iki basa-

48

maklı bir sayıyı göstermektedir.

Buna göre, A + B toplamı kaçtır? A) 5

+

74

Yandaki toplama işleminde; A, B

AB

sıfırdan farklı bir rakamı, AB iki

132

B) 6

C) 7

D) 8

E) 9

basamaklı bir sayıyı göstermektedir.

Buna göre, A + B toplamı aşağıdakilerden hangisidir? A) 12

B) 13

C) 14

D) 15

73 – AB = 48 ⇒ 73 – 48 = AB

Çözüm

Eşitliğin bir tarafında toplam veya fark durumundaki bir terim, eşitliğin diğer tarafına işaret değiştirerek geçer. 74 + AB = 132 ⇒ AB = 132 – 74

⇒ AB = 58 olacağından,

A = 5 ve B = 8

dir.

A + B = 5 + 8 = 13

A = 2 ve B = 5

tir. A+B=2+5=7

olmalıdır. Doğru Seçenek C Doğru Seçenek B

YGS MATEMATİK

⇒ AB = 25

bulunur.

olmalıdır.

12

Çözüm

E) 16


–

Temel Kavramlar

AB

Yandaki çıkarma işleminde; A, B sıfır-

19

dan farklı bir rakamı, AB iki basamaklı

28

bir sayıyı göstermektedir.

(1. çarpan) ×

+

Buna göre, A + B toplamı kaçtır? B) 11

A) 10

D) 13

E) 14

Yukarıdaki çarpma işleminde 1. çarpan kaçtır? A) 876

DNA 5 (1. çarpan)

B) 867

3702 çarpım

+

D) 1342

C) 1324

E) 678

E) 1432

Yandaki toplama işleminde;

BA

AB ve BA iki basamaklı sayıları göstermektedir.


Çözüm

B) 15

C) 16

D) 17

E) 18

Çözüm

Çarpma işleminde;

Toplamdaki sayıların birler basamağındaki rakamların

1. satır = (1. çarpan) × 2. çarpanın birler basamağı)

2. satır = (1. çarpan) × 2. çarpanın onlar basamağı)

3. satır = (1. çarpan) × 2. çarpanın yüzler basamağı)

toplamı: A + B = 6 veya A + B = 16 olmalıdır. Onlar basamağındaki rakamların toplamı:

olarak yazıldığından;

B + A = 16

(1. çarpan) × 3 = 3702

olursa, birler basamağındaki rakamlar toplamından gelen

verilmiş. Eşitliğin her iki tarafı 3 ile bölündüğünde, (1. çarpan) × 3 3702 = 3 3

D) 687

AB

176

Yukarıdaki çarpma işleminde 1. çarpan kaçtır? B) 1243

C) 786

DNA 6

1 3 5 (2. çarpan)

+

A) 1234

1356 çarpım

C) 12

×

2 1 6 (2. çarpan)

(1. çarpan) = 1234

“elde var 1” ile birlikte toplamın sonucu 176 olur. Öyleyse; A + B = 16 dır.

bulunur.

Doğru Seçenek C Doğru Seçenek A

YGS MATEMATİK

13

Temel Kavramlar

+


AB

Yandaki toplama işleminde; AB ve

BA

BA iki basamaklı sayıları göster-

165

B) 15

C) 16

Yandaki çıkarma işleminde; AB ve BA

BA

iki basamaklı sayıları göstermektedir.

72


–

mektedir.

AB

Buna göre, A – B farkı kaçtır? D) 17

E) 18

A) 1

B) 2

DNA 7

–

C) 7

D) 8

E) 9

DNA 8

AB

Yandaki çıkarma işleminde;

BA

AB ve BA iki basamaklı sayıla-

18

rı göstermektedir.

NA

Yandaki çarpma işleminde; NA iki,

NA × DNA

DNA üç basamaklı sayıları göstermektedir.

Buna göre, A – B farkı kaçtır? A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

Buna göre, D + N + A toplamı kaçtır?

E) 5

A) 11

Çözüm

B) 12

C) 13

D) 14

E) 15

Çözüm

Birler basamağındaki rakamlar farkı; NA iki basamaklı sayısının kendisi ile çarpımı (karesi),

B–A=8 olduğu düşünüldüğünde, onlar basamağındaki rakamlar farkı; A – B bulunamaz. Öyleyse; birler basamağı için, B den A çıkmaz, AB nin onlar basamağı olan A dan bir onluk alıp; 10 + B – A = 8 ve 10 – 8 = A – B

yine NA ile sonlanan DNA üç basamaklı sayısına eşit verilmiş. Yalnızca,

25 × 25 = 625

eşitliği istenen koşulu sağlar.

A–B=2

25 × 25 = 625 NA × NA = DNA

olmalıdır.

Bu durumda;

Onlar basamağında işlem yapıldığında, A dan 1 alınmışN = 2, A = 5 ve D = 6 olup,

tı.

D + N + A = 6 + 2 + 5 = 13

A – 1 – B = 1 ve A – B = 2 olduğu görülür.

bulunur. Doğru Seçenek B

14

YGS MATEMATİK

Doğru Seçenek C


×

Temel Kavramlar

A6A

Yandaki çarpma işleminde;

A

A bir rakamı, A6A üç basamaklı bir sayıyı göstermek-

5369

3+3⋅3+3:3–3

işleminin sonucu kaçtır? A) 3

tedir.

B) 6

C) 8

D) 10

E) 12

Buna göre, A kaçtır? A) 3

B) 4

C) 6

D) 7

E) 9

DNA 10

5 – 2(5 – 2)


B) 0

C) 1

D) 3

E) 3

Dört işlem yaparken işlem önceliğine dikkat edilmelidir. Parantezli işlemlerde önce parantez içindeki işlem yapılır.

Çözüm

Parantez yoksa; önce çarpma ve bölme, sonra toplama ve çıkarma işlemleri yapılır. Çarpma ve bölmenin birbirine göre önceliği yoktur. Hangisi önce verilmiş ise o işlem

Önce parantez içindeki işlemin sonucunu bulalım, sonra

önce yapılır.

çarpma ve çıkarma işlemlerini yapacağız. 5 – 2(5 – 2) = 5 – 2(3) = 5 – 6 = –1 Doğru Seçenek A

DNA 9

4+4⋅4–4:4–4


B) 12

C) 15

D) 16

E) 20

(5 – 2)5 – 2


Çözüm

A) –1

B) 0

C) 1

D) 3

E) 13

D) 32

E) 256

Önce çarpma ve bölme işlemlerini yapalım; sonra toplama ve çıkarma işlemlerini yapacağız.

DNA 11

4 + 4 ⋅ 4 – 4 : 4 – 4 = 4 + 16 – 1 – 4

= 20 – 5 = 15 Doğru Seçenek C

128 : (2 ⋅ 4)


B) 8

C) 16

YGS MATEMATİK

15

Temel Kavramlar


Çözüm

DNA 13

Önce parantez içindeki işlemi yaparız.

128 : (2 ⋅ 4) = 128 : 8 = 16

1 – 2[3 – 4 : (5 – 6)]


Doğru Seçenek C

B) –3

C) 0

D) 3

E) 13

Çözüm İçteki küçük parantezden başlanarak, adım adım dışarı doğru işlem yapılır. (128 : 2) ⋅ 4

1 – 2[3 – 4 : (5 – 6)] = 1 – 2[3 – 4 : (–1)]


B) 8

C) 16

D) 32

E) 256

= 1 – 2[3 + 4] = 1 – 2[7] = 1 – 14

= –13 Doğru Seçenek A

DNA 12 128 : 2 ⋅ 4


B) 8

C) 16

D) 32

E) 256

6 – 5 : [4 – 3(2 – 1)]


B) –3

C) 0

D) 1

E) 13

Çözüm Çarpma ve bölme işlemlerinin art arda kullanıldığı parantezsiz işlemlerde, önce soldaki işlem yapılır.

Sayı kümelerini biraz daha çeşitlendirip, dört işlem yapmayı sürdürelim.

128 : 2 ⋅ 4 = 64 ⋅ 4 = 256 Doğru Seçenek E

ÇİFT SAYILAR Ç = {..., –6, –4, –2, 0, 2, 4, 6, ..., 2n – 2, 2n, 2n + 2, ...} 2 nin katı olan tam sayılardır. Birler basamağı 0, 2, 4, 6 veya 8 dir.

TEK SAYILAR

128 ⋅ 2 : 4

T = {..., –5, –3, –1, 0, 1, 3, 5, ..., 2n – 1, 2n + 1, 2n + 3, ...}


16

B) 8

YGS MATEMATİK

C) 32

D) 64

E) 256

Birler basamağı 1, 3, 5, 7 veya 9 dur.


Temel Kavramlar

DNA 15

T ± T = Ç

Ç ± Ç = Ç

T⋅T=T

Ç ⋅ Ç = Ç

T ± Ç = T

T⋅Ç=Ç

x bir çift sayı olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisinin sonucu tek sayıdır? B) x3 + 2

A) 3x + 2

n pozitif tam sayısı için,

D)

x2

+ 3x

C) 5x3

E) 4x + 3

Tn = T ve Çn = Ç (Ç0 = 1) dır.

Çözüm x bir çift sayı iken; 3x + 2, x3 + 2, 5x3 ve x2 + 3x sayıları çift,

DNA 14

4x + 3 sayısı tek sayıdır. Doğru Seçenek E

a bir tam sayı olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisinin sonucu kesinlikle tek sayıdır? B) a2 – 1

A) a + 1

D) 2a – 3

C) a2 + 2a

E) a2 + 2a + 1 n bir tek sayı olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisinin sonucu çift sayıdır?

Çözüm a bir tek sayı ise; a + 1,

a2

– 1 ve

a2

a bir çift sayı ise;

A) n2 + 3n

B) 3n + 2

C) n2 + 5n + 3

D) 3n – 4

+ 2a + 1 ifadeleri birer çift sayı,

a2

E) 2n – 3

+ 2a çift sayı gösterir.

a ister tek, ister çift sayı olsun; 2a çift sayı, 2a – 3 kesin-

DNA 16

likle bir tek sayıdır.

Ardışık üç çift sayıdan küçüğünün iki katı, ikinciden

Doğru Seçenek D

20 fazladır. Buna göre, üçüncü sayı kaçtır? A) 22

B) 24

C) 26

D) 28

E) 30

Çözüm n bir tam sayı olduğuna göre, aşağıdakilerden hangi-

İkinci sayı x + 2, üçüncü sayı x + 4 olacaktır.

sinin sonucu kesinlikle çift sayıdır? A) 2n + 6

B) n2 + 4

D) 3n + 4

Sayılardan küçüğüne x dersek,

2x = (x + 2) + 20 verilmiş.

C) n3

E) n2 – 2n + 1

x = 22 bulunur.

YGS MATEMATİK

17

Temel Kavramlar


Üçüncü sayı, x + 4 = 22 + 4 = 26

x ve y ardışık tam sayılar olduğuna göre, aşağıdakiler-

olur.

den hangisi kesinlikle çift sayıdır? Doğru Seçenek C

A) x + y

B) 2x + y

D) x + xy + y

C) x + 2y

E) 3xy

DNA 18 Ardışık dört tek sayıdan en küçüğünün üç katı, en büyü-

a, b, c doğal sayılar olmak üzere,

ğüne eşittir.

Bu sayıların toplamı kaçtır? A) 22

B) 24

a ⋅b + 3 =c 2

olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle

C) 26

D) 28

E) 30

doğrudur? A) a + b tek sayıdır. B) a ve b çift sayıdır.

DNA 17

C) a ve b tek sayıdır. D) c çift sayıdır.

a ve b ardışık doğal sayılardır.

E) a ve b den yalnızca biri tek sayıdır.

x = ab + 1

Çözüm

olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle tek sayıdır? A) x(a + 1)

B) a(x + b)

D) x(a + b)

a ⋅b + 3 = c ⇒ a ⋅ b + 3 = 2c 2

C) b(a – 1)

E) b(x + a)

Çözüm

eşitliğinde, c ne olursa olsun, 2c bir çift sayıdır. a ⋅ b + 3 sayısının çift sayı olması için, a ⋅ b nin tek sayı olması gerekir. a ⋅ b nin tek sayı olması, a ve b nin tek sayı olması ile

Ardışık iki doğal sayıdan biri tek, diğeri çift olduğundan;

mümkündür. Doğru Seçenek C

a + b tek sayı, a ⋅ b çift sayıdır.

ab çift sayı, x = ab + 1 tek sayıdır.

a tek ise, a + 1 çift, x(a + 1) çift sayıdır.

x, y ve z birer tam sayı ve

a çift ise, a(x + b) çift sayıdır.

b çift ise, b(a – 1) çift sayıdır.

olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

b çift ise, b(x + a) çift sayıdır.

A) y ve z tek sayılardır.

x tek sayı, a + b tek sayı olduğundan, x(a + b) tek sayıdır.

2x + 1 = y ⋅ z

B) y ve z çift sayılardır. C) y + z tek sayıdır.

Doğru Seçenek D

D) y ve z den biri tek, diğeri çifttir. E) x tek sayıdır.

18

YGS MATEMATİK


Temel Kavramlar

5.

TEST - 1

9 – 5 : (8 – 3) ⋅ 2 + 6 işleminin sonucu kaçtır? A) 10

1.

B) 11

D) 13

E) 14

D) 4

E) 10

3 ⋅ 4 + 10 : 5 – 3


B) 10

C) 11

D) 12

E) 13

6.

3 – [5 – (5 – 3)]


2.

C) 12

B) –4

C) 0

72 : 24 + 64 : 16


B) 7

C) 8

D) 9

E) 10

7.

A–B=C

olduğuna göre, A + B + C toplamının eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) 2A

3.

B) 2B

C) 2C

D) AB

E) AC

3+4⋅5–6:3


B) 15

C) 28

D) 21

E) 24

8.

a, b, c doğal sayıları için, a + b tek sayı, c2 çift sayıdır.

Aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur? A) c tek sayıdır. B) a + c tek sayıdır.

4.

150 : (6 + 3 ⋅ 8) – 5

C) b + c çift sayıdır.


B) 3

C) 5

D) a ⋅ b ⋅ c tek sayıdır. D) 8

E) 18

E) a ⋅ b ⋅ c çift sayıdır.

YGS MATEMATİK

19

Temel Kavramlar


9.

Aşağıdakilerden hangisi tek sayıdır?

A) 20072 + 3

B) 20083 + 4

C) 20072 + 5

D) 20083 + 7

E)

20072

13. x, y, z çift sayılar olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle çift sayıdır?

+9

A) x +

10. x ve y pozitif tam sayılarından, x çift, y tek sayıdır.

Aşağıdakilerden hangisi tek sayıdır?

A) x ⋅ y

y+z 2

x⋅y⋅z 2

C)

E)

x+y+z 2

x+y −z 2

aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? B) Ç ± T = T

A) Ç ± Ç = Ç

D) Ç ⋅ Ç = Ç

E) x3 ⋅ y2

D) yx

D)

B) x −

14. Tek sayılar T, çift sayılar Ç ile gösterildiğine göre,

C) xy

B) x + 2y

y−z 2

C) T ± T = Ç

E) Ç ⋅ T = T

15. a, b ve c sayma sayıları ve

11. Ardışık

iki tek sayıdan büyüğü küçüğünün üç katı-

a+b=c

olduğuna göre, a + b + c toplamı aşağıdakilerden

dır.

hangisi olabilir?

Bu iki tek sayının toplamı kaçtır?

A) 25

A) 4

B) 8

C) 12

D) 16

B) 37

C) 43

D) 52

E) 69

E) 20

16. A, B ve C farklı rakamlar olmak üzere,

A2C8 ve C66B dört basamaklı, A79 üç basamaklı sayılardır.

12. Ardışık dört tek sayının toplamı K dir.

A2C8

Buna göre, bu sayılardan en büyüğünün K türün-

–

den eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

C66B

A)

K +3 4

20

K − 3 4

K D) − 2 4

1. C

B)

2. B

3. D

YGS MATEMATİK

4. A

C)

K +2 4

6. C

Yukarıdaki çıkarma işlemine göre, A + B + C toplamı kaçtır?

K E) +1 8 5. D

A) 12 7. A

A79

8. E

9. D

10. D

B) 14 11. A

12. A

C) 15 13. D

D) 16 14. E

15. D

E) 18 16. E

MİNİMUM - MAKSİMUM PROBLEMLERİ


Çözüm

GİRİŞ Sayı kümelerini tanıyıp, dört işlemi pekiştirdikten sonra artık bu bilgilerimizi problem çözümlerinde kullanmaya başlayabiliriz. Sayı kümelerinin varsa en küçük veya en büyük eleman-

İki basamaklı en büyük pozitif tek tam sayı 99, İki basamaklı en küçük negatif çift tam sayı –98 olduğuna göre, 99 + (–98) = 99 – 98 = 1

larını bilmek, bizi sayı problemlerinde doğru sonuca götürür.

Doğru Seçenek C

Soru çözmeye geçmeden, sayılar arasında biraz daha gezinelim. İki basamaklı en küçük doğal sayı: 10 İki basamaklı en büyük doğal sayı: 99 İki basamaklı rakamları farklı en büyük doğal sayı: 98 Üç basamaklı en küçük doğal sayı: 100

İki basamaklı en küçük pozitif çift tam sayı ile iki ba-

Üç basamaklı rakamları farklı en küçük doğal sayı: 102 Üç basamaklı en büyük doğal sayı: 999 Üç basamaklı rakamları farklı en büyük doğal sayı: 987

samaklı en büyük negatif tek tam sayının toplamı kaçtır? A) –1

B) 0

C) 1

D) 9

E) 10

En büyük negatif tam sayı: –1 İki basamaklı en büyük negatif tam sayı: –10 İki basamaklı en küçük negatif tam sayı: –99

Işık 1

İki basamaklı, rakamları farklı en küçük negatif tam sayı: –98 Üç basamaklı en büyük negatif tam sayı: –100

Sonucu bilinen bir toplamda, toplanan terimlerden bi-

Üç basamaklı rakamları farklı en büyük negatif tam sayı: –102

rinin en büyük olması isteniyorsa; diğerlerinin olabildiğince küçük olması gerekir.

Üç basamaklı en küçük negatif tam sayı: –999 Üç basamaklı, rakamları farklı en küçük negatif tam sayı: –987

DNA 20

DNA 19 İki basamaklı en büyük pozitif tek tam sayı ile iki

a, b doğal sayıları için,

basamaklı en küçük negatif çift tam sayının topla-

mı kaçtır?

olduğuna göre, b nin en büyük değeri kaçtır?

A) –1

B) 0

C) 1

D) 89

E) 90

A) 0

a + b = 14

B) 1

C) 7

D) 13

YGS MATEMATİK

E) 14

21


Minimum - Maksimum Problemleri

Çözüm

Çözüm

İki doğal sayının toplamında; b nin en büyük değeri isten-

c nin en büyük değeri alması için, a ve b nin en küçük

diğinden, a en küçük değerini almalıdır.

değerlerini alması gerekir.

Doğal sayılar içinde en küçük değer 0 olduğundan

En küçük doğal sayı 0 olduğundan, a = b = 0 alındığında,

a=0

0 + 0 + c = 36

olmalıdır.

Bu durumda;

c = 36

bulunur.

a + b = 14 eşitliğinde; a = 0 alındığında, Doğru Seçenek E

0 + b = 14 ve b = 14 olacaktır. Doğru Seçenek E

a, b, c farklı doğal sayılar olmak üzere,

a + b + c = 36

olduğuna göre, c nin alabileceği en büyük değer kaçtır? A) 11

a, b pozitif tam sayıları için,

B) 12

C) 13

D) 35

E) 36

a + b = 14

olduğuna göre, b nin en büyük değeri kaçtır? A) 0

B) 1

C) 7

D) 13

E) 14

Uyarı Sayılar ile ilgili sorularda, kullanılan sayıların hangi sayı kümesinin elemanı olduğuna dikkat edilmelidir.

DNA 21

Işık 2

a, b, c doğal sayıları için,

Bir çıkarma işleminde;

a + b + c = 36

farkın küçük olması isteniyorsa, eksilen sayı küçük,

olduğuna göre, c nin alabileceği en büyük değer kaçtır? A) 11

22

çıkan sayı büyük seçilmelidir. Farkın büyük olması isteniyorsa, eksilen sayı büyük,

B) 12

YGS MATEMATİK

C) 13

D) 35

E) 36

çıkan sayı küçük seçilmelidir.



Çözüm

DNA 22

a – b farkının en büyük değeri alabilmesi için,

a, b sayma sayıları olmak üzere,

a nın en büyük, b nin en küçük

a – b = 14

olduğuna göre, a nın en küçük değeri kaçtır?

olması gerekir.

A) 0

İki basamaklı en büyük tam sayı: 99

B) 7

C) 13

D) 14

E) 15

En küçük tam sayı: –99 olduğundan,

Çözüm

a – b = 99 – (–99) = 99 + 99 = 198

Farkları sabit olduğundan, a nın en küçük olması için,

bulunur.

b nin de küçük olması gerekir.

Doğru Seçenek D

En küçük sayma sayısı 1 olduğundan; b = 1 için; a – 1 = 14 ve a = 15 bulunur. Doğru Seçenek E

İkişer basamaklı iki tam sayının farkı en az kaç olabilir? A) 0

a, b doğal sayılar olmak üzere,

B) –89

C) –180

D) –198

E) –200

a – b = 14

olduğuna göre, a nın en küçük değeri kaçtır? A) 0

B) 7

D) 14

C) 13

E) 15

Hazine 1

DNA 23 İkişer basamaklı iki tam sayının farkı en çok kaç olabilir? A) 89

B) 90

D) 198

E) 200

C) 180

Toplamları sabit iki gerçek sayının çarpımlarının en büyük olması için sayıların eşit seçilmesi gerekir. Doğal sayılarda ve tam sayılarda, sayılar eşit olamıyorlarsa mümkün olan en yakın değerler seçilmelidir.

YGS MATEMATİK

23



Çözüm

DNA 24

a + b = (3 – x) + (x + 7) = 10

a, b gerçek sayılar olmak üzere,

a+b=5

a ve b nin toplamları x e bağlı olmayıp sabit olduğundan,

olduğuna göre, a ⋅ b çarpımının en büyük değeri kaçtır?

olması gerekir.

A) 2

çarpımlarının en büyük değeri alması için sayıların eşit

B) 2,5

D) 6

C) 3

a + b = 10 ⇒ a = b =

E) 6,25

10 =5 2

olmalıdır. a ⋅ b = 5 ⋅ 5 = 25

Çözüm

çarpımın en büyük değeridir.

Toplamları 5 olan eşit iki gerçek sayı için,

Doğru Seçenek B

a = b = 2,5 alınırsa, a ⋅ b = (2,5)(2,5) = 6,25 bulunur. Doğru Seçenek E

x = a + 9 ve y = 5 – a

olduğuna göre, x ⋅ y çarpımının en büyük değeri kaçtır? A) 25

C) 49

B) 45

D) 75

E) 81

a, b gerçek sayılar olmak üzere,

a+b=8

olduğuna göre, a ⋅ b çarpımının en büyük değeri kaçtır? A) 4

B) 8

C) 12

D) 16

DNA 26

E) 20

Çevreleri sabit dikdörtgenler içinde alanı en büyük olanı karedir. Dikdörtgen şeklindeki bir bahçe 60 m uzunluğundaki

DNA 25

tel ile çevrilecektir. Bahçenin alanının en büyük değeri kaç m2 olabi-

a = 3 – x ve b = x + 7

olduğuna göre, a ⋅ b nin en büyük değeri kaçtır? A) 16

24

B) 25

YGS MATEMATİK

C) 36

D) 49

E) 38

lir? A) 225

B) 250

D) 400

E) 640

C) 360



Çözüm

Çözüm �

� �

�

�

�

�

�

�

Çevre = 2a + 2b = 60 ⇒ a + b = 30

Tel kullanılacak kısmın uzunluğu;

Alan = a ⋅ b

b+a+

Toplamı 30 olan iki sayının çarpımlarının en büyük olması istendiğinden, sayılar eşit olmalıdır.

b 3b = + a = 60 2 2

Toplanan terimlerin eşit olması gerektiğinden;

30 a=b= = 15 2

� �

a = 30,

a ⋅ b = 15 ⋅ 15 = 225

3b = 30 ⇒ 3 b = 60 ⇒ b = 20 2

olur.

alanın en büyük değeridir.

Alan = a ⋅ b = 30 ⋅ 20 = 600 m2

Doğru Seçenek A

dir. Doğru Seçenek E

Bir tarafı duvarla çevrili dikdörtgen şeklinde bir bahçe 60 m uzunluğundaki tel ile çevrilecektir. Alanının en büyük değeri kaç m2 olabilir? A) 225

B) 250

D) 450

C) 360

E) 640


a+b=6

olduğuna göre, a2 ⋅ b nin en büyük değeri kaçtır?

DNA 27

A) 18

B) 27

C) 32

D) 34

E) 36

Bir kenarının tamamı, diğer kenarının yarısı duvar ile örülmüş, kalan kısmı tel ile çevrelenmiş dikdörtgen bir bahçe yapılacaktır. 60 m uzunluğundaki tel ile çevrilecek bahçenin alanı en çok kaç m2 olabilir? A) 225

B) 250

D) 450

E) 600

C) 360

Hazine 2 Çarpımları sabit iki doğal sayının toplamlarının en küçük olması için sayıların eşit (veya en yakın) seçilmesi gerekir.

YGS MATEMATİK

25



Çözüm

DNA 28

Çarpımları 36 olan tam sayıların toplamlarına bakalım.

x, y ∈ N için, x ⋅ y = 36

(–1) ⋅ (–36) = 36 ⇒ (–1) + (–36) = –37

olduğuna göre, x + x ⋅ y + y ifadesinin en küçük

(–2) ⋅ (–18) = 36 ⇒ (–2) + (–18) = –20

değeri kaçtır? A) 36

B) 42

C) 48

D) 54

(–3) ⋅ (–12) = 36 ⇒ (–3) + (–12) = –15

E) 60

Çözüm x ve y doğal sayılarının çarpımları sabit olduğundan, toplamlarının en küçük olması için sayıların eşit olması gerekir. x ⋅ y = 36 olduğundan, x = 6 ve y = 6

............................

1 ⋅ 36 = 36 ⇒ 1 + 36 = 37

2 ⋅ 18 = 36 ⇒ 2 + 18 = 20

3 ⋅ 12 = 36 ⇒ 3 + 12 = 15

4 ⋅ 9 = 36 ⇒ 4 + 9 = 13

6 ⋅ 6 = 36 ⇒ 6 + 6 = 12

Görüldüğü gibi çarpanlar birbirine yaklaştıkça toplamın

alınır.

mutlak değeri küçülmektedir. x + x ⋅ y + y = 6 + 6 ⋅ 6 + 6 = 48

Çarpanlar negatif olabiliyorsa, toplamın en küçük değeri

bulunur.

bu çarpanların toplamı ile bulunur. Doğru Seçenek C

Çarpanlar –1 ve – 36 olarak alındığında elde edilen toplam en küçük olur. (–1) + (–36) = –37 Doğru Seçenek A

Kenar uzunlukları tam sayı ve alanı 25 birim kare olan bir dikdörtgenin çevresi en az kaç birim olabilir? A) 10

B) 11

C) 15

D) 20

E) 25

DNA 29 x, y tam sayıları için,

x, y ∈ Z için,

x ⋅ y = 36

olduğuna göre, x + y toplamının en küçük değeri kaçtır? A) –37

26

B) –12

YGS MATEMATİK

C) 0

D) 12

E) 37

x⋅y=9


B) –6

C) 0

D) 6

E) 10



DNA 30

DNA 31

a, b ve c tam sayıları için,

a, b ve c pozitif tam sayıları için,

a ⋅ b = 16

a ⋅ b = 18

a ⋅ c = 25

a ⋅ c = 24

olduğuna göre, a + b + c toplamının en büyük de-

olduğuna göre, a + b + c toplamının en küçük de-

ğeri kaçtır?

ğeri kaçtır?

A) 13

B) 14

C) 41

D) 42

E) 53

A) 12

B) 13

C) 41

D) 42

E) 43

Çözüm Çözüm

Toplamın küçük olması için, a, b ve c nin küçük olması gerekir. a sayısı her iki çarpımda ortak olduğundan, a nın

Her iki eşitliğin ortak çarpanı olan a yı en küçük aldığımızda, diğer çarpanlar büyük olacaktır. a = 1 için, b = 16 ve c = 25 olur.

en büyük değeri olan 6 sayısı alınırsa, b ve c sayıları en küçük değerleri alırlar.

6 ⋅ b = 18 ⇒ b = 3

6 ⋅ c = 24 ⇒ c = 4

bulunur. a + b + c = 1 + 6 + 25 = 42

a + b + c = 6 + 3 + 4 = 13

bulunabilecek en büyük değerdir.

olur. Doğru Seçenek D

Doğru Seçenek B

a, b ve c tam sayıları için,

a ⋅ b = 20

a ⋅ c = 24

x, y ve z doğal sayıları için,

olduğuna göre, a + b + c toplamının en küçük değeri

x⋅y⋅z=8

olduğuna göre, x + y + z toplamı en az kaçtır?

kaçtır? A) 15

B) –15

C) –30

D) –45

E) –60

A) 5

B) 6

C) 7

D) 8

YGS MATEMATİK

E) 9

27



DNA 32

DNA 33

a, b ve c doğal sayıları için,

a–b=7

a–c=5

Toplamları 72 olan üç farklı pozitif tam sayının en büyüğü, en az kaçtır? A) 22

B) 23

C) 24

D) 25

E) 26

olduğuna göre, a + b + c toplamının en küçük değeri kaçtır? A) 8

B) 9

C) 12

D) 13

E) 14

Çözüm

Çözüm

Sayıları eşit düşündüğümüzde,

a–b=7⇒a=b+7 a–c=5⇒a=c+5

72 : 3 = 24 = a

eşitliklerinde; a nın küçük olabilmesi için b ve c nin de küçük olması gerekir.

olur. Dağılım;

b = 0 seçilirse, a = 0 + 7 ve a = 7 a = c + 5 eşitliğinden de,

a – 1, a ve a + 1

7 = c + 5 ve c = 2

olarak yapıldığında a + 1 istenen koşulu sağlar.

bulunur.

a + 1 = 24 + 1 = 25 a+b+c=7+0+2=9 bulunur.

olur.

Doğru Seçenek D

Doğru Seçenek B

a, b ve c pozitif tam sayıları için,

a–b=7

a–c=5

olduğuna göre, a + b + c toplamının en küçük değeri

en çok kaçtır?

kaçtır? A) 8

28

Toplamları 47 olan üç pozitif tam sayının en küçüğü,

B) 9

YGS MATEMATİK

C) 12

D) 13

E) 14

A) 13

B) 14

C) 15

D) 16

E) 17



5.

TEST - 2

1.

a + b + c = 12

olduğuna göre, a2 + b2 + c2 toplamının en küçük değeri kaçtır?

a ve b pozitif tam sayıları için,

a, b, c tam sayılar olmak üzere,

A) 27

a + b = 11

B) 48

C) 60

D) 72

E) 144

olduğuna göre, 2a + 3b toplamının en büyük değeri kaçtır? A) 22

B) 23

C) 26

D) 32

E) 33

6.

2.

Çarpımları iki basamaklı en büyük çift sayıya eşit

a–b=4

b–c=6

olan iki doğal sayının toplamının alabileceği en

3.

B) 21

C) 34

D) 51

4.

D) 98

Her çocuğun en az bir tane kalem aldığı bu dağıtımda en çok kalem alan çocuk en az kaç kalem almış olabilir?

b nin en büyük değeri için, a + b toplamı kaç

A) 3

8.

a ⋅ b = 1200 ve b tek sayıdır.

B) 243

D) 432

C) 324

E) 1201

B) 4

C) 5

D) 6

E) 7


A) 91

E) 12

E) 99

olur?

D) 11

12 tane kalem üç çocuğa dağıtılacaktır.

lamı kaçtır? C) 97

C) 10

7.

basamaklı en büyük negatif tek tam sayının top-

B) 88

B) 9

E) 99

İki basamaklı en büyük pozitif çift tam sayı ile iki

A) 87

olduğuna göre, a nın en küçük değeri kaçtır? A) 8

büyük değer kaçtır? A) 20

a, b, c pozitif tam sayılar olmak üzere,

a + b = 10

olduğuna göre, a ⋅ b çarpımının en büyük değeri kaçtır? A) 5

B) 10

C) 20

D) 25

E) 50

YGS MATEMATİK

29



9.

13. a ve b pozitif tam sayıları için,


a+b=5

olduğuna göre, a ⋅ b çarpımının en küçük değeri

kaçtır? A) 0

a + b = 11

olduğuna göre, 2a + 3b toplamının en küçük değeri kaçtır?

B) 3

C) 5

D) 6

E) 10

A) 22

B) 23

C) 24

D) 25

E) 26

10. a ve b doğal sayıları için, a ⋅ b = 16

olduğuna göre,

ri kaçtır? A)

1 16

B)

1 1 + toplamının en küçük değea b

1 8

C)

1 4

D)

1 2

14. İkişer

basamaklı iki doğal sayının farkı en çok

kaç olabilir? A) 100

E) 1

B) 99

C) 90

D) 89

E) 88

11. x, y ∈ Z için,

15. A

x ⋅ y = –16


ve B ikişer basamaklı iki tam sayı olduğuna

göre, A – B farkı en çok kaçtır? A) 198

B) –15

C) 0

D) 15

B) 188

C) 108

D) 100

E) 89

E) 17

12. x ve y tam sayıları için,

16. A

x+y=9

göre, A – B farkının en küçük değeri kaçtır?

olduğuna göre, x2 + y2 toplamının alabileceği en

küçük değer kaçtır? A) 13 1. D

30

2. E

B) 25 3. A

YGS MATEMATİK

C) 41

4. A

5. B

D) 61 6. D

E) 81 7. C

8. D

ve B ikişer basamaklı iki tam sayı olduğuna

A) –198

9. A

B) –188

D) –100 10. D

11. B

12. C

C) –108

E) –89 13. B

14. D

15. A

16. A


ARDIŞIK SAYILAR

GİRİŞ Sayılar bölümünün bu kesiminde, belirli bir düzene göre

Ardışık üç çift doğal sayının toplamı 72 olduğuna

sıralanmış sayı dizilerinin özelikleri üzerinde duracağız.

göre, bu sayıların en büyüğü kaçtır? A) 22

B) 24

C) 26

D) 28

E) 36

TANIM n bir doğal sayı göstermek üzere; n, n + 1, n + 2, ...

Hazine Avı

şeklindeki sayılara ardışık doğal sayılar denir. Genel olarak n bir tam sayı göstermek üzere;

Ardışık doğal sayıların toplamının bulunması pek çok so-

ardışık çift sayılar,

ruda karşımıza çıkacağından, bunu kısa yoldan bulmanın

2n, 2n + 2, 2n + 4, ...

yollarını arayalım.

ardışık tek sayılar,

İşe 1 den başlayarak ardışık sayma sayılarının toplamına bakalım.

2n + 1, 2n + 3 , 2n + 5, ...

1=1

1 + 2 = 3 = 1,5 ⋅ 2

1+2+3=6=2⋅3

Ardışık üç doğal sayıdan en küçüğü ile en büyü-

1 + 2 + 3 + 4 = 10 = 2,5 ⋅ 4

ğünün toplamı 36 olduğuna göre, bu üç sayının

1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 = 3 ⋅ 5

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 = 3,5 ⋅ 6

şeklinde gösterilir.

DNA 34

toplamı kaçtır? A) 18

B) 36

C) 45

D) 54

E) 63

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28 = 4 ⋅ 7

Çözüm

..................

Toplamlara baktığımızda; ortadaki sayı ile terim sayısının

Ardışık doğal sayıları; n, n + 1, n + 2 şeklinde gösterdiğimizde en küçüğü n, en büyüğü n + 2 olduğundan, 2n + 2 = 36

2n = 34

n = 17

çarpımının sonucu verdiğini görebiliriz. Ortadaki sayı; en küçük terim ile en büyük terimin toplamının yarısıdır.

Hazine 3

Sayılar: 17, 18 ve 19 dur. Toplamları:

Ardışık ilk n tane sayma sayısının toplamı; toplamdaki

17 + 18 + 19 = 54

son sayı ile ardışığının çarpımının yarısına eşittir.

bulunur. Doğru Seçenek D

1 + 2 + 3 + ... + n =

n(n + 1) 2

YGS MATEMATİK

31

Ardışık Sayılar


DNA 35

1 + 2 + 3 + ... + 99 + 100

toplamının sonucu kaçtır? A) 1000

B) 1050

D) 5050

Bu Hazine’mizin Vadi Dili’ndeki karşılığı,

C) 5000

Gauss

E) 6000 olacaktır.

Çözüm Hazine 3’ten; son sayı 100, ardışığı 100 + 1 = 101 olduğundan istenen toplam; 1 + 2 + 3 + ... + 100 = =

100(100 + 1) 2 100 ⋅ 101 2

DNA 36

= 5050

dir.

13 + 16 + 19 + ... + 127 + 130

toplamının sonucu kaçtır?

Doğru Seçenek D

A) 2500

B) 2640

D) 2900

C) 2860

E) 3210

1 + 2 + 3 + ... + 10


B) 55

C) 60

D) 75

Çözüm

E) 100

Toplam =

Hazine 4

Ortak fark = r = 3

a, (a + r), (a + 2r), (a + 3r), ... , (a + nr) şeklindeki dizilere aritmetik dizi denir. a: İlk terim, r: Ortak fark Terim sayısı =

Ortadaki sayı =

ilk terim + son terim 2

Bir aritmetik dizinin tüm terimlerinin toplamı: Toplam = Ortadaki sayı ⋅ Terim sayısı

32

YGS MATEMATİK

Terim sayısı =

son terim − ilk terim +1 ortak fark

ilk terim + son terim ⋅ ( terim sayısı) 2

Terim sayısı =

Toplam =

son terim − ilk terim +1 ortak fark

130 − 13 117 +1= + 1 = 39 + 1 = 40 3 3

13 + 130 143 ⋅ 40 = ⋅ 40 = 2860 2 2 Doğru Seçenek C


Ardışık Sayılar

toplamının sonucu kaçtır? B) 1320

A) 1230

D) 1440

ilk sayı + son sayı 10 + 20 = = 15 2 2

Ortadaki sayı =

18 + 22 + 26 + ... + 98 + 102

C) 1380

Terim sayısı =

E) 1500

=

son terim − ilk terim +1 ortak fark 20 − 10 + 1 = 11 1

Toplam = Ortadaki sayı ⋅ Terim sayısı

= 15 ⋅ 11 = 165

Doğru Seçenek C

Uyarı Ortadaki sayı, toplanan terimlerden biri olmayabilir.

25 + 26 + 27 + ... + 74 + 75


D) 2650

DNA 37


C) 165

C) 2600

E) 2700

DNA 38

10 + 11 + 12 + ... + 19 + 20

A) 150

B) 2550

D) 175

E) 200

4 + 8 + 12 + ... + 396 + 400


B) 20100

D) 20300

C) 20200

E) 20400

Çözüm

Çözüm

Toplamdaki sayılar 4 ün katı olduğundan 4 parantezine 20(20 + 1) 1 + 2 + 3 + ... + 9 + 10 + 11 + 12 + ... + 20 = 2 =

1 + 2 + 3 + ... + 9 =

9(9 + 1) 9 ⋅ 10 = = 45 2 2

10 + 11 + 12 + ... + 20 = 210 – 45 = 165

20 ⋅ 21 = 210 2

alınabilir. 4 + 8 + 12 + ... + 400 = 4(1 + 2 + 3 + ... + 100) = 4⋅ olacaktır.

100(100 + 1) 100 ⋅ 101 = 4⋅ = 4 ⋅ 5050 2 2 = 20200

Doğru Seçenek C

olur.

YGS MATEMATİK

33

Ardışık Sayılar


DNA 40

5 + 10 + 15 + ... + 495 + 500

Ardışık ilk n sayma sayısının toplamını veren sayılara


A) 2525

üçgensel sayılar denir.

D) 252600

C) 25500

1 + 2 + 3 + ... + n =

E) 252700

n(n + 1) 2

n(n + 1) şeklinde yazılabilen sayılardır. 2

n ∈ N+ için

1, 3, 6, 10, 15, ... gibi.

DNA 39

0,12112111211112111112...

irrasyonel sayısında 0 dan sonraki onikinci 2 den önce yazılan 1 lerin toplamı kaçtır? A) 12

B) 24

C) 48

D) 78

1

2

3

4

5

1

3

6

10

15

Aşağıdaki sayılardan hangisi üçgensel sayıdır? E) 96

A) 16

Çözüm

B) 24

C) 32

D) 36

E) 48

Çözüm

Verilen irrasyonel sayıda; 2 rakamlarının önünde sırasıyla, 1 tane, 2 tane, 3 tane, ..., 12 tane 1 bulunmaktadır. Soruda bizden istenen toplam:

Üçgensel sayılar, n ∈ N+ için; len sayılardır.

n(n + 1) şeklinde yazılabi2

n ∈ N+ için;

1 + 2 + 3 + ... + 12 toplamıdır.

n(n + 1) = 36 2

12(12 + 1) 1 + 2 + 3 + ... + 12 = = 78 2

n(n + 1) = 2 ⋅ 36 = 72 = 8 . 9

bulunur.

Doğru Seçenek D

n = 8,

n+1=9

Seçeneklerde; iki katı, ardışık iki doğal sayının çarpımı olan 36 aranan sayıdır.

..

.

Doğru Seçenek D

... 15 tane En alt sırasında 15 tane bidon bulunan şekildeki gibi

bir istifte, toplam kaç bidon vardır?

olduğuna göre, n doğal sayısı kaçtır?

A) 120

34

B) 125

YGS MATEMATİK

C) 130

D) 145

E) 150

1 + 2 + 3 + ... + n = 66

A) 10

B) 11

C) 12

D) 13

E) 14


Ardışık Sayılar

DNA 41

Işık 3

{1}, {2, 3}, {4, 5, 6}, ...

n tane ardışık doğal sayının toplamının n’e bölümü

küme dizisindeki 100. kümenin en büyük elemanı

(aritmetik ortası) dizinin ortasındaki sayıyı verir.

kaçtır? A) 100

B) 500

D) 5050

C) 5000

DNA 42

E) 6000

Ardışık beş doğal sayının toplamı 400 olduğuna göre, bu sayılardan en büyüğü kaçtır?

Çözüm

A) 79

Kümelerin en büyük elemanlarına dikkat edildiğinde; 1. kümede 1

C) 81

Aritmetik orta =

3. kümede 6

D) 82

E) 83

Çözüm

2. kümede 3

B) 80

Toplam 400 = = 80 Terim sayısı 5

Aritmetik orta = Ortadaki terim = 80

......

78, 79, 80, 81, 82

birer üçgensel sayı olduğu görülür.

80 + 2 = 82 sayıların en büyüğüdür. Doğru Seçenek D

Bu durumda 100. kümenin en büyük elemanı da 100. üçgen sayı yani ilk 100 sayma sayısının toplamı olan; 100(100 + 1) 100 ⋅ 101 = = 5050 2 2 dir. Doğru Seçenek D

11 tane ardışık pozitif tam sayının toplamı 2002 olduğuna göre, en küçüğü kaçtır? B) 177

A) 176

küme dizisindeki 100. kümenin en küçük elemanı kaçtır?

B) 4950

D) 5050

D) 182

E) 187

DNA 43

{1}, {2, 3}, {4, 5, 6}, ...

A) 100

C) 178

C) 4951

E) 6000

Ardışık 17 tane tam sayının toplamı 17 dir. Bu sayıların çarpımı kaçtır? A) –170

B) –17

C) 0

D) 17

E) 170

YGS MATEMATİK

35

Ardışık Sayılar


Sayılardan en küçüğü;

Çözüm Aritmetik orta =

49 – 24 = 25

Toplam 17 = =1 Terimsayısı 17

olur. Doğru Seçenek B

Aritmetik orta = Ortadaki sayı = 1 ..., –2, –1, 0, 1, 2, 3 ... Ortadaki sayı 1 olduğundan, sayılardan biri de 0 sayısı

dır. Tüm sayıların çarpımında, çarpanlardan biri sıfır ol-

1 + 2 + 3 + ... + n = 10n

eşitliğini gerçekleyen n doğal sayısı kaçtır? A) 15

duğundan, çarpım sıfır olur.

B) 16

C) 17

E) 19

D) 18

Doğru Seçenek C

DNA 45

2 + 4 + 6 + ... + 100 = 2550

olduğuna göre, 1 + 3 + 5 + ... + 99 toplamının soArdışık 9 tane tam sayının toplamı 9 olduğuna göre,

nucu kaçtır?

bu sayılardan en büyüğü kaçtır? B) 5

A) 4

C) 6

A) 2400 D) 7

E) 8

B) 2450

D) 2550

C) 2500

E) 2600

Çözüm DNA 44

1 + 3 + ... + 99 = (2 – 1) + (4 – 1) + ... + (100 – 1)

49 tane ardışık pozitif tam sayının toplamı 74 oldu-

ğuna göre, bu sayılardan en küçüğü kaçtır?

A) 24

B) 25

C) 26

D) 27

50 tane

= 2550 – 50 = 2500 Doğru Seçenek C

E) 28

Çözüm Aritmetik orta =

= (2 + 4 + ... + 100) − (1+ 1 + ... +1)

n bir doğal sayı olmak üzere; 1 den n ye kadar doğal sa4

Toplam 7 49 ⋅ 49 = = = 49 Terim sayısı 49 49

Aritmetik orta = Ortadaki terim = 49

yıların toplamı A, 5 ten n ye kadar doğal sayıların toplamı B ile gösteriliyor.

A + B = 370

Ortadaki terim 49 olduğundan, kendisinden küçük 24 te-

olduğuna göre, A nın değeri kaçtır?

rim, kendisinden büyük 24 terim bulunur.

A) 176

36

YGS MATEMATİK

B) 180

C) 184

D) 190

E) 192


Ardışık Sayılar

Çözüm

DNA 46

n = 10 için;

12 + 22 + 32 + ... + 102 = K

A = 1 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3 + 3 ⋅ 4 + ... + 10 ⋅ 11

olarak veriliyor.

Karesi alınan sayılar birer azaltılırsa toplamın so-

olur.

nucu kaç olur?

B sayısı, A dan; 11 ⋅ 12 – 1 ⋅ 2 fazladır.

A) K – 10

B) K – 19

D) K – 100

B = 2 ⋅ 3 + 3 ⋅ 4 + 4 ⋅ 5 + ... + 10 ⋅ 11 + 11 ⋅ 12

C) K – 90

E) K – 101

B = A + 130 olur. Doğru Seçenek B

Çözüm Karesi alınan sayılar birer eksildiğinde toplam; (1–1)2 + (2–1)2 + (3–1)2 +...+ (10–1)2 = 02 + 12 + 22 +...+ 92 şekline dönüşür ki bu toplam K’den 102 = 100 eksiktir. Doğru Seçenek D

T = 2 ⋅ 5 + 3 ⋅ 6 + 4 ⋅ 7 + ... + 10 ⋅ 13

toplamının her bir teriminin birinci çarpanı 1 azaltılırsa, T sayısı ne kadar azalır? A) 79

B) 80

C) 81

D) 82

E) 83

DNA 48 12 + 22 + 32 + ... + 102 = A

olarak veriliyor.


Karesi alınan sayılar birer artırılırsa toplamın sonucu

A) –11

kaç olur? A) A + 121

B) A + 120

D) A + 10

1 – 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + ... + 19 – 20

B) –10

C) –9

D) –8

E) –7

C) A + 11

Çözüm

E) A + 1

1 – 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + ... + 19 – 20

DNA 47

işleminde gruplandırma yaparsak;

A = 1 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3 + 3 ⋅ 4 + ... + n(n + 1)

= (1 – 2) + (3 – 4) + (5 – 6) + ... + (19 – 20)

B = 2 ⋅ 3 + 3 ⋅ 4 + 4 ⋅ 5 + ... + (n + 1)(n + 2)

= (–1) + (–1) + (–1) + ... + (–1)

n = 10 için B nin A türünden eşiti aşağıdakilerden

= 10(–1) = –10

hangisidir?

bulunur.

A) A + 132

B) A + 130

D) A + 10

C) A + 12

E) 12 ⋅ A

Doğru Seçenek B

YGS MATEMATİK

37

Ardışık Sayılar


Işık 4

100 – 99 + 98 – 97 + 96 – 95 + ... + 4 – 3 + 2 – 1

Ardışık ilk n çift sayma sayısının toplamı:


B) 99

2 + 4 + 6 + ... + 2n = n(n + 1) dir. D) 50

C) 51

E) 49

Ardışık ilk n tek sayma sayısının toplamı: 1 + 3 + 5 + ... + 2n – 1 = n2 dir.

DNA 49 102 – 92 + 82 – 72 + 62 – 52 + 42 – 32 + 22 – 12

DNA 50


B) 45

C) 55

D) 65

Ardışık ilk 40 pozitif çift tam sayının toplamı A,

E) 75

ardışık ilk 40 pozitif tek tam sayının toplamı B olduğuna göre, A – B farkı kaçtır?

Çözüm

A) 0

B) 1

C) 40

D) 400

E) 720

a2 – b2 = (a – b)(a + b) özdeşliğinden;

Çözüm

102 – 92 = (10 – 9)(10 + 9) = 1 ⋅ 19 = 19 –

72

= (8 – 7)(8 + 7) = 1 ⋅ 15 = 15

–

52

= (6 – 5)(6 + 5) = 1 ⋅ 11 = 11

82

62

42 – 32 = (4 – 3)(4 + 3) = 1 ⋅ 7 = 7

A = 2 + 4 + 6 + ... + 80

2n = 80 ise n = 40 olduğundan; A = n(n + 1) = 40(40 + 1) = 40 ⋅ 41 = 1640

22 – 12 = (2 – 1)(2 + 1) = 1 ⋅ 3 = 3 olduğundan,

102 – 92 + 82 – 72 + 62 – 52 + 42 – 32 + 22 – 12

= 19 + 15 + 11 + 7 + 3

2n – 1 = 79 ise n = 40 olduğundan;

B = 1 + 3 + 5 + ... + 79

bulunur.

B = n2 = 402 = 1600

Ortadaki terim (aritmetik orta) = 11

A – B = 1640 – 1600 = 40

Terim sayısı = 5 olduğundan, toplamın sonucu;

bulunur.

11 ⋅ 5 = 55

Doğru Seçenek C

tir. Doğru Seçenek C

1 + 3 + 5 + ... + 99


12 – 22 + 32 – 42 + ... + 192 – 202

A) 250


38

B) –190

YGS MATEMATİK

C) –180

D) –160

E) –110

B) 2401

D) 2601

C) 2500

E) 5000


Ardışık Sayılar

TEST - 3 1.

5.

toplamının birler basamağındaki rakam kaçtır?

1 + 3 + 5 + ... + 41

A) 1

Aşağıdakilerden hangisi ardışık üç doğal sayının

B) 4

C) 5

D) 6

E) 9

toplamı olamaz? A) 48

B) 63

C) 75

D) 82

E) 96

6.

On bir tane ardışık tam sayının toplamı 2002 olduğuna göre, en büyüğü kaçtır?

2.

A) 176

Ardışık üç doğal sayının en küçüğü ile en büyüğü-

B) 177

C) 178

D) 182

E) 187

nün toplamı 88 dir.

Bu üç sayının toplamı kaçtır? A) 130

B) 131

C) 132

D) 134

E) 135

7.

1 + 2 + 3 + ... + n ≤ 125

eşitsizliğini sağlayan en büyük n doğal sayısı

3.

Ardışık 13 tane tam sayının toplamı 13 tür.

kaçtır?

Bu sayıların en büyüğü kaçtır?

A) 14

A) 6

4.

B) 7

C) 8

D) 9

olduğuna göre, n + (n + 1) + (n + 2) + ... + 2n toplamının A türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) A

B) 2A

C) 3A

D)

C) 16

D) 17

E) 18

E) 10

1 + 2 + 3 + ... + n = A

A2

B) 15

E)

A3

8.

Ardışık 2008 tane tam sayının çarpımı 0 dır.

Bu sayılardan en büyüğü en çok kaç olabilir?

A) 2010

B) 2009

D) 2007

C) 2008

E) 2006

YGS MATEMATİK

39

Ardışık Sayılar

9.

13. a, b, c, d ardışık dört tek sayı olduğuna göre,

a, b ve c ardışık üç doğal sayıdır.


a2 + b2 = c2

olduğuna göre, a + b + c toplamı kaçtır? A) 7

B) 12

C) 15

D) 18

a < b < c < d için (a – b)(c – d) (a – d) (b – c)


E) 24

B) 24

C) 32

D) 40

E) 48

14. Ardışık üç pozitif tam sayının çarpımı, toplamlarının 10.

21 katıdır.

(33 + 44 + 55 + 66) : 11


B) 8

C) 11

D) 18

Bu sayıların toplamı kaçtır? A) 23

E) 24

B) 24

C) 25

D) 26

E) 27

15. n doğal sayısının ardışığı (n’den sonra gelen do11.

(12 + 10 + 8 + 6 + 4 + 2) : (6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1)


12.

B) 4

C) 6


A) 3

40

B) 6

D) 2003 2. C

3. B

YGS MATEMATİK

4. C

C) 9

6. E

sayısının ardışığı kaçtır? A) 13

16.

7. B

8. D

B) 14

C) 15

toplamının sonucu kaçtır?

A) 1700

9. B

D) 16

E) 17

1 + 4 + 7 + ... + 100

E) 2004 5. A

(3 ⋅ 4*)*

E) 12

(2009 + 2008 + 2007) – (2006 + 2005 + 2004)

1. D

D) 8

ğal sayı) n* ile gösterildiğine göre,

B) 1717

D) 1734 10. D

11. A

12. C

C) 1724

E) 1771 13. E

14. B

15. E

16. B


Ardışık Sayılar

5.

TEST - 4

Ardışık dört çift sayının toplamı aşağıdakilerden hangisi olamaz? A) 84

1.

B) 100

C) 116

D) 132

E) 144

Ardışık ilk 100 pozitif tam sayının karelerinin toplamı A dır.

Ardışık ilk 100 pozitif çift tam sayının karelerinin toplamı aşağıdakilerden hangisidir?

A) 2 ⋅ A

B) 4 ⋅ A

D) 4 ⋅ A2

C) 2 ⋅ A2

E) 200 ⋅ A

6.

Ardışık beş tek sayının toplamı 165 olduğuna göre, bu sayılardan en büyüğü kaçtır? A) 33

2.

B) 35

C) 37

D) 39

E) 41

1 den 55 e kadar olan tam sayılar soldan sağa doğru yazılarak,

N = 1234...9101112...5455

şeklinde 101 basamaklı bir N sayısı oluşturuluyor.

Buna göre, N nin soldan 55. rakamı kaçtır? A) 1

B) 2

C) 3

D) 6

E) 9

7.

Ardışık üç tek sayının toplamı, üç basamaklı bir doğal sayıdır.

Bu sayılardan en küçüğü en az kaç olabilir? A) 33

3.

1 + 3 + 7 + 9 + 13 + 15 + 19 + ... + 61 + 63 + 67

toplamının değeri kaçtır? A) 663

B) 695

C) 717

D) 771

62 olduğuna göre, ilk dördünün toplamı kaçtır? B) 55

C) 56

D) 57

D) 39

E) 41

E) 58

1 + 3 + 5 + ... + 99 = T

olduğuna göre, 2 + 4 + 6 + ... + 100 toplamının T türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

Ardışık altı doğal sayıdan son dördünün toplamı

A) 54

C) 37

E) 779

8. 4.

B) 35

A) T

B) 2 ⋅ T

D) T + 50

C) T + 25

E) T + 100

YGS MATEMATİK

41

Ardışık Sayılar

9.


Ardışık dokuz tek sayının toplamı 873 olduğuna

13. Ardışık

göre, bu sayıların en büyüğü kaçtır? A) 87

B) 91

C) 97

beş çift sayının toplamı 100 olduğuna

göre, bu sayıların en büyüğü ile en küçüğünün

D) 105

toplamı kaçtır?

E) 107

A) 36

B) 38

C) 40

D) 42

E) 44

D) 21

E) 22

D) 441

E) 453

D) 840

E) 850

10. a, b ve c ardışık üç çift sayı olup, a < b < c dir.

Buna göre, (a – b) + (a – c) + (b – c) toplamı kaçtır? A) –10

B) –8

C) –6

D) –4

E) –2

14.

1 + 2 + 3 + ... + n = 190

olduğuna göre, n kaçtır? A) 18

11.

yıların her biri 2 azaltılırsa toplamdaki değişme

15.

nasıl olur?

A) 100 azalır

B) 50 azalır

C) Değişmez

D) 50 artar

11 + 13 + 15 + ... + 41


B) 425

C) 432

E) 100 artar

12. Ardışık yedi tam sayının en küçüğü ile en büyüğünün toplamı 24 olduğuna göre, bu yedi sayının

A) 60 2. B

B) 66 3. D

YGS MATEMATİK

16.

toplamı kaçtır?

42

C) 20

1 + 2 + 3 + 4 + ... + 99 + 100

ifadesinde tek sayıların her biri 1 artırılır, çift sa-

1. B

B) 19

C) 72 4. A

5. E

D) 78 6. C

8. D


E) 84 7. A

18 + 22 + 26 + ... + 82

9. D

10. B

B) 820 11. B

12. E

C) 830 13. C

14. B

15. A

16.E


TABAN ARİTMETİĞİ

DNA 51

GİRİŞ Kullandığımız 10 luk sayma sisteminde sayılar,

5 sayı tabanını göstermek üzere, (324)5 sayısının 10 sayı tabanındaki yazılışı hangisidir?

{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

A) 75

kümesinin elemanları (rakamlar) kullanılarak yazılır.

Bu küme 10 elemanlıdır.

B) 85

= 400 + 30 + 5

Dört yüz otuz beş

Onluk sistemde; sayının çözümlenmiş şeklinde, 10 un

E) 96

(324)5 = 3 ⋅ 52 + 2 ⋅ 51 + 4 ⋅ 50

Bir sayının değeri; kendisini oluşturan rakamların basa-

435 = 4 ⋅ 102 + 3 ⋅ 101 + 5 ⋅ 100

D) 92

Çözüm

En büyük elemanı 9 dur.

mak değerlerinin toplamıdır.

C) 89

= 3 ⋅ 25 + 2 ⋅ 5 + 4 ⋅ 1

= 75 + 10 + 4

= 89

bulunur.

kuvvetleri kullanılır.

Doğru Seçenek C

SAYI TABANI n sayı tabanındaki sayılar; {0, 1, 2, ..., n – 1} kümesinin elemanları kullanılarak yazılır. (n > 1) 2 sayı tabanını göstermek üzere, (110111)2 sayısının

Uyarı

10 sayı tabanındaki yazılışı hangisidir? A) 22

B) 33

D) 55

C) 44

E) 66

Küme n elemanlıdır. En büyük elemanı (n – 1) dir.

DNA 52 Hazine 5

6 sayı tabanını göstermek üzere, (1234)6 sayısının

n sayı tabanında verilmiş bir sayının, 10 luk sistemde-

10 sayı tabanındaki yazılışı aşağıdakilerden han-

ki değeri; a, b, c, d < n olmak üzere;

gisidir?

(abcd)n = a ⋅ n3 + b ⋅ n2 + c ⋅ n1 + d ⋅ n0 dir.

A) 204

B) 234

D) 310

C) 308

E) 326

YGS MATEMATİK

43

Taban Aritmetiği


49a + 5b = 23c eşitliği,

Çözüm

a = 1, b = 4, c = 3 için doğrulanır.

(1234)6 = 1 ⋅ 63 + 2 ⋅ 62 + 3 ⋅ 61 + 4 ⋅ 60

= 216 + 2 ⋅ 36 + 3 ⋅ 6 + 4 ⋅ 1

= 216 + 72 + 18 + 4

= 310

a+b+c=1+4+3=8 bulunur. Doğru Seçenek C


a sıfırdan farklı bir rakamı, 4 ve n sayı tabanını göstermek üzere, 9 sayı tabanını göstermek üzere, (432)9 sayısının 10 luk sistemdeki karşılığı kaçtır? A) 324

B) 326

C) 351

D) 353

E) 357

(aaa)4 = (aa)n


C) 20

B) 18

DNA 53

D) 24

E) 25

DNA 54

5 sayı tabanını göstermek üzere,

5 sayı tabanında, üç basamaklı kaç tane sayı ya-

zılabilir?

2(abc)5 = (cba)5

A) 25


B) 6

C) 8

D) 9

E) 10

Çözüm

B) 50

D) 100

C) 75

E) 125

Çözüm

(abc)5 ve (cba)5 sayılarının 10 sayı tabanındaki karşılık-

5 sayı tabanında kullanılacak rakamlar {0, 1, 2, 3, 4} kü-

ları;

mesinden alınır. (abc)5 = a ⋅ 52 + b ⋅ 5 + c

(abc)5 sayısında;

(cba)5 = c ⋅ 52 + b ⋅ 5 + a

a yı 0 dışında 4 rakamdan biri, b yi 5 rakamdan biri, c yi 5 rakamdan biri olarak seçebileceğimizden,

dır.

4 ⋅ 5 ⋅ 5 = 100

Bu değerler verilen eşitlikte yerlerine yazıldığında;

2(abc)5 = (cba)5

2(a ⋅ 52 + b ⋅ 5 + c) = c ⋅ 52 + b ⋅ 5 + a

50a + 10b + 2c = 25c + 5b + a

44

YGS MATEMATİK

sayı yazılabilir. Doğru Seçenek D


Taban Aritmetiği

3 sayı tabanında yazılabilecek üç basamaklı en büyük

7 sayı tabanında verilen (65a3)7 sayısının, 10 tabanın-

sayının 10 luk sistemdeki karşılığı kaçtır?

daki karşılığı tek sayı olduğuna göre, a nın alabileceği

A) 26

B) 27

C) 39

D) 40

E) 42

kaç farklı değer vardır? A) 1

C) 3

B) 2

Işık 5

D) 4

E) 5

DNA 56

(abcd)n sayısının on tabanındaki karşılığı: n çift ise d ye bağlıdır: d tek ise tek, çift ise çifttir.

8 sayı tabanında verilen (7654a)8 sayısının 10 tabanındaki karşılığı tek sayı olduğuna göre, a nın

n tek ise a + b + c + d toplamına bağlıdır:

alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?

Toplam tek ise tek, çift ise çifttir.

A) 12

DNA 55

B) 14

C) 16

D) 25

E) 26

Çözüm

9 sayı tabanını göstermek üzere, (23a)9 sayısının

8 çift olduğundan a nın tek sayı olması, sayının 10 taba-

on tabanındaki karşılığı çift sayı olduğuna göre, a

nındaki karşılığının tek olmasını gerektirir. a nın alabilece-

nın alabileceği değerler toplamı kaçtır?

ği değerler 1, 3, 5 ve 7 dir.

A) 12

B) 14

C) 16

D) 25

E) 26

1 + 3 + 5 + 7 = 16 bulunur.

Çözüm

Doğru Seçenek C

9, tek sayı olduğundan; 2 + 3 + a toplamının çift olması gerekir. Toplamı çift yapan a değerleri: 1, 3, 5 ve 7 dir. 6, sayı tabanıdır.

1 + 3 + 5 + 7 = 16

(1234a)6 sayısının 10 tabanındaki karşılığı çift sayı

bulunur.

olduğuna göre, a nın alabileceği değerlerin toplamı Doğru Seçenek C

kaçtır? A) 4

B) 6

C) 7

D) 8

YGS MATEMATİK

E) 9

45

Taban Aritmetiği


Çözüm

Işık 6 10 sayı tabanında verilen sayıyı, n sayı tabanında yazmak için verilen sayının içinde n in kuvvetleri aranır.

22 sayısını art arda 3 ile bölüp, en son kalandan başlayarak elde edilen kalanları sıra ile yazalım. 22 = 3 ⋅ 7 + 1

29 un 2 tabanında yazılışını bulmak için; 29 art arda

7 = 3⋅2+ 1

2 ye bölünür.

2 = 3⋅0 + 2

29 = 2 ⋅ 14 + 1 14 = 2 ⋅ 7 + 0

22 = (211)3

7 = 2⋅3 + 1

2 rakamı 1 kez kullanıldı.

3 = 2 ⋅1+ 1

Aynı işlemleri 4 için yapalım.

1= 2⋅0 + 1

22 = 4 ⋅ 5 + 2

En son kalandan başlayarak diğerleri sıra ile yazıl-

5 = 4 ⋅1+ 1

dığında, 29 sayısının 2 tabanında yazılışı bulunmuş

1= 4 ⋅0 + 1

olur.

22 = (112)4

29 = (11101)2

2 rakamı 1 kez kullanıldı.

dir.

Aynı işlemleri 5 için yapalım. 22 = 5 ⋅ 4 + 2 4 = 5⋅0 + 4 22 = (42)5 2 rakamı 1 kez kullanıldı. 2 rakamı toplam 3 kez kullanıldı.

Not

Doğru Seçenek B

İlk bölme işleminden bulunan kalan, sağdaki ilk basamağı verir.

DNA 57 25 sayısının, 2 sayı tabanında yazılmış şekli aşağıda22 sayısı 3, 4 ve 5 sayı tabanlarında yazıldığında kaç kez 2 rakamı kullanılır? A) 2

B) 3

46

YGS MATEMATİK

C) 4

kilerden hangisidir? A) (111)2

D) 5

E) 6

B) (1011)2

D) (11100)2

C) (1101)2

E) (11001)2


Taban Aritmetiği

DNA 58

Işık 7

216 – 1 sayısı 4 sayı tabanında yazıldığında kaç ba-

10 luk sistemdeki dört işlem kuralları, n sayı tabanın-

samaklı olur?

da verilen sayılar için de aynen geçerlidir. 10 luk sis-

A) 6

B) 8

C) 12

D) 15

E) 16

temdeki 10 lu demetler yerine, n sayı tabanında n li demetler kullanılır. (201)5 + (44)5 toplama işleminde; 1+4=5=1⋅5+0

Çözüm

olduğundan 1 + 4 = 5 değil, 0 yazılıp elde 1 var denilecek ve işlem 0 + 4 = 4 elde 1 vardı. 4 + 1 = 5 = 1 ⋅ 5 + 0 dan 0 yazıp tekrar elde 1 var denilecek 2 + 1 = 3 diyerek

216 – 1 = (22)8 – 1

sonlanacaktır. = 48 – 1

4 sayı tabanında,

48

(201)5 + (44)5 = (300)5

sayısını yazarken;

bulunur.

48 in katsayısı 1, diğer kuvvetlerinin katsayısı 0 olacağın-

(201)5 – (44)5 çıkarma işleminde; gerekirse diğer ba-

dan;

samaklardan 5 lik desteler alınır. 1 den 4 ü değil, 5 + 1 = 6 dan 4 ü çıkarıp birler basa-

48 = (100 000 000)4

mağına 2 yazılacaktır.

yazılır.

(201)5 – (44)5 = (102)5 bulunur.

48 – 1 = (100 000 000)4 – 1

(865)9 ⋅ (71)9 çarpma ve yapılacak toplama işlemlerin-

= (33 333 333)4

de de; her 9 luk deste için elde 1 var denilecektir.

8 basamaklıdır.

7 ⋅ 5 = 35 değil, 35 = 3 ⋅ 9 + 8 olduğundan; kalan Doğru Seçenek B

8 i yazıp, elde 9 un katsayısı olan 3 elde var diyerek işlem yapılacaktır. (865)9 ⋅ (71)9 = (68055)9 bulunur.

DNA 59 5 sayı tabanı olmak üzere, 22008 – 1 sayısı 2 sayı tabanında yazıldığında oluşan sayının rakamları toplamı kaçtır? A) 1

B) 25

D) 2007

C) 208

E) 2008

(234)5 + (23)5

işleminin 5 tabanına göre sonucu aşağıdakilerden hangisidir? A) (212)5

B) (222)5

D) (322)5

C) (312)5

E) (332)5

YGS MATEMATİK

47

Taban Aritmetiği


Çözüm

Çözüm

Sağdaki ilk basamaklardan toplamaya başladığımızda, 4 + 3 = 7,

Sağdaki ilk basamaklardan çıkarma işlemine başladığımızda 4 ten 5 çıkmaz, 654 ün 5 olan ikinci basamağı 7 nin

7=1⋅5+2

sonucun ilk basamağı 2 olup, elde 1 var denilecektir.

katsayısını olduğundan bir 7 lik deste aldığımızda 7 + 4 = 11 ve 11 – 5 = 6

3+2=5 olacaktır.

ikinci basamakların toplamı,

654 ün 5 olan ikinci basamağından 1 alınmıştı.

5+1=6 elde 1 vardı.

5–1=4 6=1⋅5+1

kaldı.

sonucun ikinci basamağı 1 olup elde 1 var. Sonucun son basamağı,

4–2=2 sonucun ikinci basamağı 2 dir.

2+1=3

Son basamakta işlem yapılmadığı için aynen kalır ve 6

elde 1 vardı.

olarak alınır.

(234)5 + (23)5 = (312)5

(654)7 – (25)7 = (626)7

bulunur. bulunur. Doğru Seçenek C

Doğru Seçenek C

6 sayı tabanıdır.

(345)6 + (15)6

işleminin sonucunun 6 sayı tabanındaki yazılışı aşağıdakilerden hangisidir? B) (404)6

A) (403)6

D) (414)6

4 sayı tabanı olmak üzere, (100)4 sayının bir eksiği, C) (405)6

E) (423)6

aynı sayı tabanında aşağıdakilerden hangisidir? A) (10)4

DNA 60

B) (11)4

C) (22)4

D) (30)4

E) (33)4

DNA 61


9 sayı tabanı olmak üzere,

(654)7 – (25)7

(865)9 ⋅ (71)9

işleminin sonucunun, 7 sayı tabanındaki yazılışı

işleminin sonucunun 9 sayı tabanındaki yazılışı

aşağıdakilerden hangisidir?


A) (606)7

48

B) (616)7

D) (636)7

YGS MATEMATİK

C) (626)7

E) (641)7

A) 58045

B) 68045

D) 68145

C) 68055

E) 68155


Taban Aritmetiği

Çözüm

DNA 62

Sayılar 9 tabanında yazılmıştır.

a sayı tabanıdır.

865 ×

(62)a ⋅ (14)a = (808)a

71 865

olduğuna göre, a kaçtır?

+ 6708

A) 9

68055

B) 10

C) 11

D) 12

E) 13

Yukarıdaki ifadeyi dillendirdiğimizde; 865 in 1 ile çarpımı 865 tir. 865 i 7 ile çarparken,

Çözüm

7 ⋅ 5 = 35 = 3 ⋅ 9 + 8 8 yazılır, elde 3 var denir. 7 ⋅ 6 = 42

42 + 3 = 45 = 5 ⋅ 9 + 0

(62)a = 6 ⋅ a + 2

(14)a = a + 4 ve (808)a = 8 ⋅ a2 + 8 olduğundan

0 yazılır, elde 5 var denir. 7 ⋅ 8 = 56 56 + 5 = 61 = 6 ⋅ 9 + 7 61 in 9 tabanındaki karşılığı 67 yazılır. İkinci çarpım 6708 dir. Son olarak toplama işlemini yapalım. 5 aşağıya alınır. 6 + 8 = 14 = 1 ⋅ 9 + 5 5 aşağıya yazılır, elde 1 var denir. 8 + 0 = 8, 8 + 1 = 9 = 1 ⋅ 9 + 0

(62)a ⋅ (14)a = (808)a

(6a + 2)(a + 4) = 8a2 + 8

6a2 + 26a + 8 = 8a2 + 8

a2 – 13a = 0

a(a – 13) = 0

a = 0 alınamayacağından,

0 yazılır, elde 1 var denir.

a – 13 = 0 ve a = 13

7+1=8

tür.

8 yazılır, 6 aşağıya alınır, sonuç 68055 bulunur.

Doğru Seçenek E

Doğru Seçenek C

n sayı tabanı olmak üzere, 6 sayı tabanıdır.

(55)6 sayısının iki katı aynı tabanda kaça eşittir?

olduğuna göre, n kaçtır?

A) 111

B) 124

C) 134

D) 144

E) 154

A) 4

(13)n + (31)n = 24

B) 5

C) 6

D) 7

YGS MATEMATİK

E) 8

49

Taban Aritmetiği


DNA 63

DNA 64

b ve c sayı tabanıdır.

7 ve 9 sayı tabanıdır.

(32)b = (21)c

b ≠ 0 olmak üzere,

(21)b = (13)c

olduğuna göre, a + b + c toplamı kaçtır?

olduğuna göre, b + c toplamı kaçtır? A) 8

B) 12

C) 13

D) 14

(abc)9 = (cba)7

A) 8

E) 15

Çözüm

B) 9

C) 10

D) 11

E) 12

Çözüm

(32)b = 3 ⋅ b + 2

3 ⋅ b + 2 = 2 ⋅ c + 1

(21)b = 2 ⋅ b + 1

2⋅b+1=c+3

2 ⋅ b + 1 = c + 3 ⇒ c = 2b – 2

3 ⋅ b + 2 = 2 ⋅ c + 1 ⇒ 3 ⋅ b + 2 = 2(2b – 2) + 1

⇒b=5

ve

ve

(21)c = 2 ⋅ c + 1

(abc)9 = a ⋅ 92 + b ⋅ 9 + c = 81 ⋅ a + 9 ⋅ b + c (cba)7 = c ⋅ 72 + b ⋅ 7 + a = 49 ⋅ c + 7 ⋅ b + a

(13)c = c + 3

Sayıların 10 luk sistemdeki karşılıklarıdır.

(abc)9 = (cba)7 81 ⋅ a + 9 ⋅ b + c = 49 ⋅ c + 7 ⋅ b + a 80 ⋅ a + 2 ⋅ b – 48 ⋅ c = 0

40 ⋅ a + b – 24 ⋅ c = 0

eşitliği a = 1, b = 8 ve c = 2 için sağlanır.

ve c = 2 ⋅ 5 – 2 ⇒ c = 8 bulunur.

b + c = 5 + 8 = 13

a + b + c = 1 + 8 + 2 = 11

bulunur.

olur. Doğru Seçenek D Doğru Seçenek C

11 ve 9 sayı tabanı olmak üzere,

b sayı tabanı olmak üzere,

(ab)11 = (ba)9

olduğuna göre, b – a farkı kaçtır? A) 0

50

B) 1

YGS MATEMATİK

C) 2

(121)b = 81

olduğuna göre, b kaçtır? D) 3

E) 4

A) 7

B) 8

C) 9

D) 6

E) 5


Taban Aritmetiği

DNA 65

DNA 66

2 ve 8 sayı tabanını göstermektedir.


(111 110 101 011 010)2 = (x)8

(199)16 = (x)4

olduğuna göre, x aşağıdakilerden hangisidir?

eşitliğini sağlayan x aşağıdakilerden hangisidir?

A) 76543

A) 1212

B) 76532

D) 76510

C) 76521

E) 76432

Çözüm

B) 2121

D) 21212

E) 12221

Çözüm

8 = 23 olduğundan her üç basamağın 10 sayı tabanındaki karşılıkları sıralanırsa, sayının 8 sayı tabanındaki karşılığı yazılmış olur. Üçerli gruplamaya en sağdan başlanılmalıdır.

(010)2 = 2

(011)2 = 2 + 1 = 3

(101)2 = 22 + 1 = 5

(110)2 = 22 + 2 = 6

(199)16 sayısının her basamağı ayrı ayrı 4 sayı tabanında yazılır. Bulunan ifadenin yan yana yazılmasıyla sayı 4 tabanında yazılmış olur.

9 = 2 ⋅ 4 + 1 = (21)4

9 = 2 ⋅ 4 + 1 = (21)4 1 = 0 ⋅ 4 + 1 = (01)4 = 1 (199)16 = (12121)4

bulunur.

(111)2 = 22 + 2 + 1 = 7

Doğru Seçenek C

(x)8 = (76532)8

C) 12121

Doğru Seçenek B

9 ve 3 sayı tabanıdır. 2 sayı tabanındaki on basamaklı en büyük sayının, 8

(57)9 = (x)3

sayı tabanındaki yazılışı aşağıdakilerden hangisidir?

eşitliğini sağlayan x aşağıdakilerden hangisidir?

A) 777

A) 121

B) 1177

D) 1777

C) 1717

E) 7777

B) 212

D) 1221

C) 221

E) 1222

YGS MATEMATİK

51

Taban Aritmetiği


DNA 67

DNA 68

0,5 ondalık sayısının 2 sayı tabanındaki gösterimi


aşağıdakilerden hangisidir? A) 0,1

[(33)8]2 sayısının aynı tabandaki eşiti nedir? C) 0,1

B) 0,01

A) 121

E) 0,10

D) 0,101

B) 131

D) 1331

C) 232

E) 2332

Çözüm Çözüm

[(33)8]2 = [3 ⋅ 8 + 3]2

n sayı tabanında verilmiş (abc,de...)n sayısının, 10 sayı

= [3(8 + 1)]2

tabanındaki karşılığı;

= 9(8 + 1)2

= (8 + 1)(8 +1)2

= (8 + 1)3

a ⋅ n2 + b ⋅ n1 + c ⋅ n0 + d ⋅ n–1 + e ⋅ n–2 + ... olduğundan, 0, 5 =

5 1 = = 2−1 = (0,1)2 10 2

= 83 + 3 ⋅ 82 + 3 ⋅ 8 + 1

dir.

= (1331)8 Doğru Seçenek D

Doğru Seçenek A

5 sayı tabanında verilen (0,24)5 sayısının ondalık sayı karşılığı nedir? A) 0,5

52

B) 0,6

YGS MATEMATİK

C) 0,56

D) 0,65

E) 0,7

a ≥ 3 ve a pozitif tam sayı iken, (a + 1)2 nin a sayı tabanında yazılışı aşağıdakilerden hangisidir? A) 11

B) 22

D) 222

C) 121

E) 1111


Taban Aritmetiği

5.

TEST - 5

1.

(33)6 + (22)6 = (x)10

olduğuna göre, x kaçtır? A) 15

x sayı tabanıdır.


B) 25

C) 35

D) 45

E) 55

(41)x = 3 ⋅ (14)x


B) 8

C) 9

D) 10

E) 11

6.

84 – 1 sayısının 4 sayı tabanındaki karşılığının rakamlarının toplamı kaçtır?

2.

A) 1


B) 3

C) 9

D) 18

E) 27

(12012)3 = (x)10


B) 120

C) 130

D) 140

E) 150

7.


[(33)8]2 – 1 sayısının aynı tabandaki eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

3.

3 sayı tabanında, en çok iki basamaklı kaç tane doğal sayı vardır? A) 6

4.

B) 7

C) 8

D) 9

8.

A) 0

D) 1330

C) 232

E) 2332

C) 2

E) 2008

b sayı tabanıdır.

B) 1

D) 2007

B) 130

E) 10

22008 – 1 sayısı 2 sayı tabanında yazıldığında kaç

A) 120

tane 0 rakamı kullanılır?

(23)b ⋅ (14)b = (333)b

olduğuna göre, b kaçtır? A) 8

B) 9

C) 10

D) 11

E) 12

YGS MATEMATİK

53

Taban Aritmetiği

9.

13. 9 sayı tabanı olduğuna göre,

b sayı tabanıdır.


olduğuna göre, (123)b sayısının onluk tabandaki karşılığı kaçtır? A) 27

B) 38

10. b sayı tabanında, b2

C) 51

D) 66

E) 83

sayısı 10 olarak yazılıyorsa,

sayısının c sayı tabanındaki yazılışı aşağıdaki-

A) 100

çarpımının eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

A) (5500)9

B) (1573)9

D) (1200)9

C) (1452)9

E) (700)9

14. a sayı tabanıdır. c2

lerden hangisidir?

(33)9 ⋅ (44)9

(321)b = 86

B) 1000

D) 100000

A = (1254)a

2 ⋅ A = (2541)a

C) 10000

olduğuna göre, a kaçtır? A) 10

E) 1000000

B) 9

C) 8

D) 7

E) 6

15. 6 ve 10 sayı tabanıdır. 11. 2009 sayısı ikilik sayı tabanına göre yazıldığında

kaç basamaklı bir sayı oluşur? A) 9

B) 10

C) 11

D) 12

(33)6 ⋅ (22)6 = (x)10

olduğuna göre, x aşağıdakilerden hangisidir? A) 250

E) 13

B) 294

C) 350

D) 454

E) 556

16. n ve 2n sayı tabanıdır. 12. 2, 3, 5, 9 ve 12 sayı tabanıdır.

Aşağıdaki sayılardan en büyüğü hangisidir?

olduğuna göre, A aşağıdakilerden hangisidir?

A) (0,10)2

A) 1248

1. E

54

B) (0,12)3

D) (0,42)9 2. D

3. D

YGS MATEMATİK

4. A

C) (0,21)5

E) (0,53)12 5. C

6. D

7. D

(8888)n = (A)2n

8. B

9. B

B) 1334

D) 1532 10. C

11. C

12. B

C) 1428

E) 1543 13. B

14. D

15. B

16. A


BASAMAK ANALİZİ

TANIM Doğal sayılar kümesinin alt kümelerinden biri olan; {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} kümesine rakamlar kümesi, bu kümenin elemanlarına da

a = 2 için; 3 ⋅ 2 + 2b = 22 ve b = 8

a = 4 için; 3 ⋅ 4 + 2b = 22 ve b = 5

a = 6 için; 3 ⋅ 6 + 2b = 22 ve

a = 8 için; 3 ⋅ 8 + 2b = 22 ve b = – 1

b=2

b = –1 bir rakam değildir, alınmaz. a + b toplamı;

rakam denir.

2 + 8 = 10, 4 + 5 = 9 ve 6 + 2 = 8

Rakamlar, “Onluk sistemde” sayıları yazmak için kullanılan sembollerdir.

olmak üzere 3 farklı değer alır. Doğru Seçenek C

Not Rakamlar, birer doğal sayıdır. Sayılar, rakamların bir arada yazılması ile oluşturulur. 304; –12; 4,5;

29;

a ve b birer rakam olmak üzere,

22 7

birer sayıdır.

a + b = 12

olduğuna göre, a nın alabileceği kaç farklı değer vardır?

DNA 69

A) 4

B) 5

a ve b birer rakam olmak üzere,

olduğuna göre, a + b toplamının alabileceği kaç farklı değer vardır? B) 2

E) 8

x, y ve z farklı rakamlar olmak üzere,

C) 3

D) 7

DNA 70

3a + 2b = 22

A) 1

C) 6

D) 4

E) 5

4x – 3y + z

ifadesinin alabileceği en büyük ve en küçük değerlerin toplamı kaçtır?

Çözüm

A) 18

Bu tip sorularda; değişkenlerden birine uygun değerler ve-

B) 26

C) 44

D) 52

E) 70

Çözüm

rilerek diğeri bulunur. 2b ve 22 çift olduğundan, a ya en küçük çift değeri ver-

x ve z büyük (x in katsayısı büyük olduğundan, x en bü-

mekle başlayalım.

yük)

a = 0 için;

y küçük alındığında ifade büyük değer alacağından; 3 ⋅ 0 + 2b = 22 ve b = 11

olur. b = 11 bir rakam değildir, alınmaz.

x = 9, y = 0, z = 8 alınırsa, 4 ⋅ 9 – 3 ⋅ 0 + 8 = 44 en büyük değerdir.

YGS MATEMATİK

55

Basamak Analizi

Sayılar- Bölüm 01

x ve z küçük (x in katsayısı büyük olduğundan x en küçük), y büyük alındığında ifade küçük değer almaktadır.

a nın alabileceği en büyük değer 9, a nın bu değeri için de b = 6 olur.

x = 0, y = 9, z = 1 alınırsa, ab = 96 yazılabilecek en büyük sayıdır.

4 ⋅ 0 – 3 ⋅ 9 + 1 = – 26

Doğru Seçenek C

en küçük değerdir. En büyük ve en küçük değerlerin toplamı, 44 + (–26) = 44 – 26 = 18 dir. Doğru Seçenek A

a ve b birer rakam olmak üzere;

3a = 4b

eşitliğini gerçekleyen kaç tane iki basamaklı ab sayısı a, b ve c farklı rakamlar olmak üzere;

yazılabilir?

A) 1

a + 2b – 3c

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

ifadesinin alabileceği en büyük değer kaçtır? A) 24

B) 25

C) 26

D) 27

E) 28

Not

DNA 71

Sayıları oluşturmaya başlamış iken, kaçar tane sayı yazıa ve b birer rakam olmak üzere,

labileceğine de bir göz atalım.

Bir basamaklı; 10 tane doğal sayı,

2a – 3b = 0

olduğuna göre, yazılabilecek en büyük ab iki basamaklı sayısı kaçtır? A) 32

B) 64

9 tane sayma sayısı,

İki basamaklı; 90 tane doğal sayı, C) 96

D) 97

E) 98

Üç basamaklı; 900 tane doğal sayı, Dört basamaklı; 9000 tane doğal sayı... yazılabilir.

Çözüm

Genel olarak; Soldaki ilk basamağa; 0 dışında 9 rakamdan birini,

Öncelikle; 2a – 3b = 0 eşitliğinde,

yanındaki basamağa; 10 rakamdan birini,

a ya verilecek değerler 3 ün katları, b nin değerleri de

yanındaki basamağa yine 10 rakamdan birini yazabiliriz.

2 nin katları olacaktır.

Matematiğin en önemli kurallarından biri olan, çarpmanın temel ilkesi gereği, yazılabilecek sayıların adedi;

ab sayısının en büyük olması için; a büyük, b büyük olmalıdır.

56

9 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ ... dur.

YGS MATEMATİK


Basamak Analizi

Çözüm

DNA 72 Üç basamaklı, rakamları farklı kaç tane abc doğal

Bir basamaklı 9 tane sayma sayısı, iki basamaklı 90 tane

sayısı yazılabilir?

sayma sayısı olduğundan;

A) 900

B) 800

D) 648

C) 720

9 + 90 = 99 sayfa bir ve iki basamaklı sayılar ile numaralandırılır.

E) 600

543 – 99 = 444 sayfa üç basamaklı sayılar ile numaralandırılmıştır.

Çözüm Soldaki ilk basamağa; 0 dışında 9 rakamdan birini yazabiliriz. Ortadaki basamağa; a yerine yazılan rakam dışında geriye kalan 9 rakamdan birini yazabiliriz. Son basamağa; a ve b yerine yazılan iki rakam dışında kalan 8 rakamdan birini yazabiliriz. Sonuç olarak;

Bir basamaklı sayılarda: 9 ⋅ 1 = 9

İki basamaklı sayılarda: 90 ⋅ 2 = 180

Üç basamaklı sayılarda: 444 ⋅ 3 = 1332

tane rakam kullanılır. Toplam: 9 + 180 + 1332 = 1521 rakam kullanılır.

9 ⋅ 9 ⋅ 8 = 648

Doğru Seçenek C

tane üç basamaklı, rakamları farklı doğal sayı yazılabilir. Doğru Seçenek D

100 sayfalık bir kitabın sayfalarını numaralandırırken 4 rakamı kaç kez kullanılır? İki basamaklı kaç tane çift doğal sayı yazılabilir? A) 50

B) 45

C) 40

D) 36

A) 10

B) 18

D) 20

C) 19

E) 21

E) 35

Hazine 6 ai ler birer rakam, n sayma sayısı göstermek üzere; her A doğal sayısı

DNA 73

A = an10n + an–110n–1 + ... + a110 + a0 biçiminde gösterilebilir.

543 sayfalık bir kitabın sayfalarını numaralandırmak için kaç tane rakam kullanılır? A) 1512

B) 1521

D) 1598

E) 1629

Bu gösterime A doğal sayısının çözümlenmiş şekli denir.

C) 1543

A = anan–1 ... a1a0 doğal sayısı n + 1 basamaklı bir doğal sayıdır.

YGS MATEMATİK

57

Basamak Analizi


Işık 8

DNA 74

a, b, c, d birer rakam, a ≠ 0 olmak üzere;

Kendisini oluşturan rakamların sayı değerlerinin

iki basamaklı doğal sayılar;

çarpımı 40 olan dört basamaklı en küçük doğal sa-

ab = 10 ⋅ a + b a onlar, b birler basamağıdır.

yının birler basamağı kaçtır? A) 0

B) 1

C) 2

D) 5

E) 8

Üç basamaklı doğal sayılar; abc = 100 ⋅ a + 10 ⋅ b + c a yüzler, b onlar, c birler basamağıdır. Dört basamaklı doğal sayılar;

Çözüm

abcd = 1000 ⋅ a + 100 ⋅ b + 10 ⋅ c + d a binler, b yüzler, c onlar, d birler basamağı olarak adlandırılır ve çözümlenir.

abcd dört basamaklı doğal sayısında;

ab0 üç basamaklı sayısı; ab ⋅ 10

a ⋅ b ⋅ c ⋅ d = 40

abc üç basamaklı sayısı;

abc = ab0 + c = ab ⋅ 10 + c veya

verilmiştir.

abc = a00 + bc = a ⋅ 100 + bc

Sayının küçük olması istendiğinde; soldaki basamaktaki

biçimlerinde de gruplandırılabilir.

rakamların sayı değerlerinin küçük olması gerekir.

Örneğin;

40 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 5 = 1 ⋅ 2 ⋅ 4 ⋅ 5 = 1 ⋅ 1 ⋅ 5 ⋅ 8

abcd = ab00 + cd = 100 ⋅ ab + cd gibi.

yazılımlarından; a = b = 1, c = 5 , d = 8 alınırsa;

TANIM

abcd = 1158

Bir doğal sayının yazılışında; rakamın bulunduğu basa-

olacaktır.

mağa bağlı olmadan tek başına gösterdiği değere, bu rakamın sayı değeri denir.

Birler basamağındaki rakam 8 dir. Doğru Seçenek E

TANIM Rakamların bulundukları basamaklara göre aldığı değere, bu rakamın basamak değeri denir. 678 = 6 ⋅ 102 + 7 ⋅ 10 + 8

= 600 + 70 + 8 sayısında;

6, 7 ve 8 rakamların sayı değerleri, 600, 70 ve 8 rakamların basamak değerleridir.

58

YGS MATEMATİK

Kendisini oluşturan rakamların sayı değerlerinin toplamı 20 olan dört basamaklı en büyük doğal sayının onlar basamağında hangi rakam bulunur? A) 0

B) 1

C) 2

D) 3

E) 4


Basamak Analizi

DNA 75 3, 4, 5, 6, 7 rakamları birer kez kullanılarak yazılan abcde beş basamaklı sayısında;

1, 2, 3, 4 rakamları birer kez kullanılarak yazılan abcd dört basamaklı sayısında, a+b=c+d

a+b=d+e dir.

dir. Bu koşullara uyan kaç tane abcde sayısı yazılabilir? A) 4

B) 12

C) 18

D) 24

E) 28

Bu koşullara uygun yazılabilecek en küçük abcd sayısında b + c toplamı kaçtır? A) 3

B) 4

C) 5

D) 6

E) 7

DNA 76 abc üç basamaklı sayısında; a nın sayı değeri 1 artırılır, b nin sayı değeri 1 azaltılır ve c nin sayı

Çözüm

değeri 2 artırılırsa abc sayısının değeri kaç artar?

Koşula uygun rakam gruplarını bulalım.

A) 112

B) 108

C) 102

D) 92

E) 88

4+7=5+6

Çözüm

3+7=4+6 3+6=4+5

abc = 100 ⋅ a + 10 ⋅ b + c dir.

şeklinde üç ana grup oluşturulabilir.

(a + 1) ⋅ 100 + (b – 1) ⋅ 10 + c + 2

İlk grup için; c yerine kullanılmayan 3 ü yazar, soluna 47 veya 74, sağına 56 veya 65 olmak üzere 4 farklı sayı, soluna 56 veya 65, sağına 47 veya 74 olmak üzere 4 farklı sayı yazılabileceğinden toplam 8 sayı vardır.

= 100 ⋅ a + 100 + 10 ⋅ b – 10 + c + 2

= 100 ⋅ a + 10 ⋅ b + c + 100 – 10 + 2

= abc + 92

Sayı değeri 92 artmıştır. Doğru Seçenek D

Diğer iki grup için de benzer işlemlerle 8 er sayı yazılabileceğinden, 8 + 8 + 8 = 24 sayı yazılabilir. Doğru Seçenek D

abc üç basmaklı sayısında; a, b ve c nin sayı değerleri 2 şer artırıldığında abc sayısının değeri kaç artar? A) 2

B) 22

C) 188

D) 200

YGS MATEMATİK

E) 222

59

Basamak Analizi


Çözüm

DNA 77 abab dört basamaklı sayısı, ab iki basamaklı sayı-

Sayıları çözümlediğimizde;

sının kaç katıdır?

ab + ba = 132

10 ⋅ a + b + 10 ⋅ b + a = 132

11 ⋅ a + 11 ⋅ b = 132

11(a + b) = 132

a + b = 12

A) 10

B) 11

D) 101

C) 100

E) 110

Çözüm

bulunur.

abab = 1000 ⋅ a + 100 ⋅ b + 10 ⋅ a + b

= 1010 ⋅ a + 101 ⋅ b

a = 9 ve b = 3 için aranan koşullar sağlanır.

= 101(10 ⋅ a + b)

ab = 93 yazılabilecek en büyük sayıdır.

= 101 ⋅ ab

a ⋅ b = 9 ⋅ 3 = 27 olur.

abab sayısı, ab sayısının 101 katıdır.

Doğru Seçenek E

Doğru Seçenek D

aaa üç basamaklı sayısı, a nın kaç katıdır? A) 11

B) 100

C) 110

D) 111

ab ve ba iki basamaklı doğal sayılarının toplamı aşağıE) 121

dakilerden hangisi olamaz? A) 11

B) 22

DNA 78

olduğuna göre, ab sayısının en büyük değeri için a ⋅ b çarpımı kaçtır?

60

B) 72

YGS MATEMATİK

E) 55

xy ve yx iki basamaklı doğal sayılardır.

ab + ba = 132

A) 81

D) 44

DNA 79

ab ve ba iki basamaklı doğal sayıları için,

C) 33

C) 54

D) 36

E) 27

xy + yx = 66

olduğuna göre, xy – yx farkı en çok kaçtır? A) 12

B) 18

C) 24

D) 36

E) 44


Basamak Analizi

Çözüm

Çözüm xy = 10 ⋅ x + y

ab = 10 ⋅ a + b çözümlemesi kullanıldığında;

yx = 10 ⋅ y + x

ab ⋅ x = (10 ⋅ a + b)x = 10 ⋅ a ⋅ x + b ⋅ x

olarak çözümlendiğinde;

bulunur.

xy + yx = (10 ⋅ x + y) + (10 ⋅ y + x) = 11(x + y) = 66

a ⋅ x = 94 ve b ⋅ x = 141 yazılırsa, ab ⋅ x = 10 ⋅ 94 + 141 = 940 + 141 = 1081

x+y=6 bulunur.

olur.

xy – yx = (10 ⋅ x + y) – (10 ⋅ y + x) = 9(x – y)

Doğru Seçenek B

farkının büyük olması istenmektedir. x in büyük, y nin küçük olması gerekir. Toplamları 6 olan iki rakamdan ab iki basamaklı bir doğal sayı, x bir gerçek sayı ol-

x = 5 ve y = 1 için aranan koşullar sağlanır.

mak üzere,

xy = 51 ve yx = 15 olmalıdır. xy – yx = 51 – 15 = 36 aranan en büyük farktır. Doğru Seçenek D

a ⋅ x = 52

b ⋅ x = 91

olduğuna göre, ab ⋅ x çarpımı kaçtır? A) 143

aşağıdakilerden hangisi olamaz? B) 18

C) 27

D) 36

E) 46

C) 611

E) 5291

DNA 81

ab ve ba iki basamaklı doğal sayılar arasındaki fark

A) 9

B) 438

D) 4732

ab iki basamaklı sayısının rakamları yer değiştirildiğinde, elde edilen iki basamaklı sayının değeri, verilen sayıdan 27 fazla olmaktadır.

DNA 80

Buna göre, b – a farkı kaçtır? A) 2

B) 3

C) 4

D) 5

E) 6

ab iki basamaklı bir doğal sayı, x bir gerçek sayı olmak üzere,

a ⋅ x = 94

b ⋅ x = 141

Çözüm Önce sözlü ifadeyi eşitlik halinde yazalım:

olduğuna göre, ab ⋅ x çarpımı kaçtır? A) 1024

B) 1081

D) 1425

E) 1437

ba sayısı, ab sayısından 27 fazla ise, C) 1212

ba = ab + 27 yazılabilir.

YGS MATEMATİK

61

Basamak Analizi


Çözümleme yapıldığında;

Çarpımları 18 olan iki sayının toplamlarının büyük olması için, sayıların birbirinden uzak olması gerektiğinden;

10 ⋅ b + a = 10 ⋅ a + b + 27

9 ⋅ b – 9 ⋅ a = 27

9(b – a) = 27

b–a=3

a = 2 ve b = 9 alınmalıdır. a + b = 11 en büyük değerdir.

bulunur.

Doğru Seçenek C

Doğru Seçenek B

ab iki basamaklı sayısının rakamları yer değiştirildiğinde elde edilen iki basamaklı sayının değeri, verilen sayıdan 36 eksik olmaktadır.

aa + bb = 176

olduğuna göre, a ⋅ b çarpımının en büyük değeri kaç-

Buna göre, a – b farkı kaçtır? A) 2

aa ve bb iki basamaklı sayıları için,

C) 4

B) 3

tır? D) 5

E) 6

A) 16

DNA 82

E) 64

nın üç katının iki eksiği, sayının ters yazılışına eşit olduğuna göre, bu sayının birler basamağındaki

olduğuna göre, a + b toplamının en büyük değeri

rakam kaçtır?

kaçtır? B) 10

D) 63

Rakamları toplamı 10 olan iki basamaklı bir sayı-

aa ⋅ bb = 2178

A) 9

C) 52

DNA 83

aa ve bb iki basamaklı sayıları için,

B) 24

C) 11

D) 12

A) 1

E) 13

Çözüm

B) 2

C) 4

D) 5

E) 8

Çözüm

aa = 10 ⋅ a + a = 11 ⋅ a

ab iki basamaklı sayısı için verilenleri eşitlik durumunda

bb = 10 ⋅ b + b = 11 ⋅ b

yazarsak;

a + b = 10

aa ⋅ bb = 11 ⋅ a ⋅ 11 ⋅ b = 121 ⋅ a ⋅ b = 2178

3 ⋅ ab – 2 = ba

a ⋅ b = 18 bulunur.

olur.

çözümlemeleri kullanılırsa,

62

YGS MATEMATİK


Basamak Analizi

Çözümleme yaptığımızda; 3(10 ⋅ a + b) – 2 = 10 ⋅ b + a

30 ⋅ a + 3 ⋅ b – 2 = 10 ⋅ b + a

xyz üç basamaklı sayısının her basamağının sayı değeri,

30 ⋅ a + 3 ⋅ b – 10 ⋅ b – a = 2

kendisi kadar artırıldığında sayı 143 artıyor.

29 ⋅ a – 7 ⋅ b = 2

Buna göre, x + y + z toplamı kaçtır? A) 6

bulunur.

C) 8

B) 7

D) 9

E) 12

Bulunan eşitlikler, a = 2 ve b = 8 değerleri için sağlanır. ab = 28 sayısının birler basamağı 8 dir. Doğru Seçenek E

Hatırlatma

Basamaklarının sayı değerlerinin toplamı 8 olan iki basamaklı bir sayının rakamları yer değiştirdiğinde, sayı 36

Bu bölümde üslü sayılarla işlemler yapacağımızdan,

azalmaktadır.

üslü sayılarla ilgili kuralları bir hatırlayalım. an = a a ⋅ ... ⋅a ⋅ 

Bu iki basamaklı sayı kaçtır? A) 26

B) 35

n tan e a

D) 62

C) 53

E) 71

DNA 84

an ⋅ am = am+n

an ⋅ bn = (a ⋅ b)n

(an)m = an ⋅ m

a4b2 sayısı, a2b4 sayısından kaç fazladır? A) 168

B) 178

D) 198

C) 188

E) 208

Çözüm Sayılar çözümlendiğinde;

a4b2 = 1000 ⋅ a + 100 ⋅ 4 + 10 ⋅ b + 2

a2b4 = 1000 ⋅ a + 100 ⋅ 2 + 10 ⋅ b + 4

Uyarı 10n–1 sayısı sondan n – 1 basamağı 0 olan, n basamaklı en küçük doğal sayıdır.

a4b2 – a2b4 = 1000 ⋅ a + 100 ⋅ 4 + 10 ⋅ b + 2

10n −1 = 1000 0   ...  

n −1 tan e 0

–(1000 ⋅ a + 100 ⋅ 2 + 10 ⋅ b + 4)

10n – 1 sayısı, n tane 9 rakamı ile yazılan, n basamaklı

= 400 + 2 – (200 + 4) = 198

en büyük doğal sayıdır.


10n − 1 = 100 00 ... 99  ...  − 1 = 999   n tan e 0

n tan e 9

YGS MATEMATİK

63

Basamak Analizi


DNA 85 A = 21999 ⋅ 52001

Soldaki ilk basamaklarında bulunan rakamların sayı değerlerinin çarpımı iki basamaklı ise çarpım m + n basa-

sayısı kaç basamaklıdır? A) 1999

maklıdır.

B) 2000

D) 2002

C) 2001

E) 2003

DNA 86 A sayısı 666 tane 3 ten,

Çözüm

B sayısı 666 tane 6 dan oluşmuştur. Buna göre A ⋅ B çarpımı kaç basamaklıdır?

21999 ⋅ 51999 ⋅ 52 = 25 ⋅ (2 ⋅ 5)1999 = 25 ⋅ 101999

A) 18

sondan 1999 basamağı sıfır olan 2001 basamaklı bir sa-

yıdır. Doğru Seçenek C

B) 1331

D) 1334

C) 1332

E) 1335

Çözüm Soldaki ilk basamakları 3 ve 6 dır. 3 ⋅ 6 = 18 sayısı iki basamaklıdır. Bu yüzden A ⋅ B çarpımı m + n basamaklı olacağından

666 + 666 = 1332

A = 412 ⋅ 2511 basamaklıdır.


B) 12

C) 21

D) 22

E) 23

Işık 9 m ve n basamaklı iki doğal sayının çarpımı; m + n – 1 veya m + n basamaklı bir doğal sayıdır.

64

YGS MATEMATİK

Doğru Seçenek C

A = 108 – 1

B = 109 – 2

olduğuna göre, A ⋅ B çarpımından elde edilen sayı kaç basamaklıdır? A) 14

B) 15

C) 16

D) 17

E) 18


Basamak Analizi

5.

TEST - 6

abc üç basamaklı sayısının rakamları kullanılarak yazılabilecek altı tane iki basamaklı sayının toplamı T olduğuna göre,

1.

A) 11

1025 – 25

B) 219

C) 220

D) 221

D) 44

E) 55

E) 222

6.

1999 yılının rakamları toplamı 28 dir. Takip eden X yılındaki rakamlar toplamı 28 olacaktır.

İki basamaklı ab sayısının rakamları yer değiştirdi

ğinde sayının değeri 36 azalmaktadır.

C) 33

sayısının rakamlarının toplamı kaçtır? A) 218

2.

B) 22

T oranı kaçtır? a +b +c

Bu koşulu sağlayan iki basamaklı ab sayılarının

Buna göre, X – 1999 farkı kaçtır? A) 9

B) 90

C) 900

D) 909

E) 999

D) 11

E) 12

en büyüğü için a + b toplamı kaçtır? A) 6

B) 8

C) 10

D) 12

E) 14

7. 3.

1 den 123 e kadar (1 ve 123 dahil) doğal sayıların

yan yana yazılmasıyla elde edilen sayı kaç basa-

A) 123

4.

B) 171

C) 249

D) 258

8.

toplamının en büyük değeri kaçtır? C) 134

D) 146

C) 10

E) 152

Üç basamaklı 6ab sayısı, üç basamaklı ab8 sayısından 349 fazladır.

labilen iki basamaklı ab ve cd doğal sayılarının

B) 130

B) 9

E) 261

2, 4, 6 ve 8 rakamlarını birer kez kullanarak yazı-

A) 128


maklıdır?

A = 212 ⋅ 58

Buna göre, a + b toplamı kaçtır? A) 7

B) 8

C) 9

D) 12

E) 14

YGS MATEMATİK

65

Basamak Analizi

9.

13. Birbirinden farklı, üç basamaklı iki doğal sayının top-

abc ve def üç basamaklı doğal sayılardır.


lamı T dir.

abc – def = 222

eşitliğinde, a rakamı 1 azaltılır, e rakamı 2 artırılırsa sonuç kaç olur? A) 122

B) 112

C) 104

D) 102

E) 92

Buna göre, T kaç farklı değer alabilir?

A) 1795

B) 1796

D) 1780

C) 1797

E) 1782

14. aa ve bb iki basamaklı doğal sayılardır.

abc üç basamaklı, de iki basamaklı doğal sayıları

için, abc – de farkının en küçük değeri kaçtır? A) 1

B) 4

C) 6

(aa)2 + (bb)2 = 1573

10. a, b, c, d, e farklı birer rakamdır.

D) 12

olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır? A) 4

B) 5

C) 6

D) 7

E) 13

E) 25

15. Üç basamaklı bir doğal sayının, iki basamaklı bir doğal sayı ile çarpımı en çok m, en az n basamak-

11.

10100

lı olduğunda göre, m + n toplamı kaçır?

– 101

A) 4

sayısının rakamları toplamı kaçtır? A) 89

B) 90

C) 99

D) 899

B) 6

C) 9

D) 12

E) 20

E) 900

16. ab ve cd iki basamaklı sayıları için,

a+b=6

12. 34a üç basamaklı bir sayıdır.

c⋅d=6

Bu sayının rakamları yer değiştirilerek yazılabile-

dır.

cek altı tane üç basamaklı sayının toplamı 3108

Buna göre, ab – cd farkının en büyük değeri kaç-

olduğuna göre, a kaçtır? A) 5 1. B

66

2. E

B) 6 3. E

YGS MATEMATİK

tır?

C) 7 4. D

D) 8 5. B

6. C

E) 9 7. C

A) 32 8. C

9. D

10. B

B) 36 11. D

12. C

C) 44 13. C

D) 48 14. E

15. C

E) 55 16. C


Basamak Analizi

5.

TEST - 7

Karesi dört basamaklı bir doğal sayı olan en küçük iki basamaklı doğal sayının rakamlarının çarpımı kaçtır?

1.

A) 3

B) 4

C) 6

D) 8

E) 9

abc üç basamaklı sayısında, a ve c yer değiştirdiğinde sayının değeri 495 azalmaktadır.

Buna göre, a – c farkı kaçtır? A) –5

B) –4

C) 4

D) 5

E) 6

6.

Dört basamaklı, rakamları farklı en küçük doğal sayının rakamları toplamı kaçtır? A) 1

2.

B) 90

C) 91

D) 99

İki basamaklı doğal sayıların tümü yazılırken 5

A) 9

B) 10

C) 11

D) 19

E) 20

7.

18 = 8

38 = 24

24 = 8

46 = 24

42 = 8

26 = x

E) 9

Yukarıda verilen eşitlikler bir kurala göre verilmiştir.

Buna göre, x kaçtır? A) 8

B) 12

C) 16

D) 18

E) 24

Soldan sağa ve sağdan sola okunuşları aynı olan sayılara “yansıyan sayılar” denir.

Örneğin; 474, 6556, 62326, ... sayıları yansıyandır.

Buna göre, beş basamaklı kaç tane yansıyan çift doğal sayı vardır?

D) 8

E) 100

rakamı kaç kez kullanılır?

4.

C) 7

İki basamaklı kaç tane doğal sayı yazılabilir? A) 89

3.

B) 6

A) 400

B) 800

D) 2000

C) 1000

E) 4000

8.

ab, ba ve c4 iki basamaklı doğal sayılar olmak üzere,

ab – ba = c4

olduğuna göre, c kaçtır? A) 9

B) 8

C) 7

D) 5

YGS MATEMATİK

E) 3

67

Basamak Analizi

9.


11 ⋅ 22 ⋅ 33 ⋅ 44 ⋅ 55 ⋅ 66 ⋅ 77 ⋅ 88 ⋅ 99 ⋅ 1010 = N

sayısının sonunda kaç tane 0 vardır? A) 14

B) 15

C) 16

D) 17

13.

1, 4, 7, 9

rakamlarının her birinin birer kez kullanılması koşulu ile yazılan iki basamaklı iki sayının toplamı

E) 18

en az kaçtır? A) 66

10.

C) 120

D) 138

E) 140

1234567891011121314...

şeklinde pozitif tam sayıların art arda yazılması

B) 93

ile elde edilen 100 basamaklı sayının birler basa-

14. 444 444 sayısının eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

mağında hangi rakam bulunur? A) 1

B) 3

C) 4

D) 5

E) 6

A)

106 − 1 9

B)

105 − 1 9

C)

106 − 1 ⋅ 4 9

D)

105 − 1 ⋅4 9

E) 4(106 – 1)

11. İki basamaklı bir doğal sayı, rakamları toplamı ile rakamları çarpımının toplamına eşittir.

Bu koşula uygun iki basamaklı en büyük doğal sayı kaçtır? A) 19

B) 39

C) 89

D) 98

15. 437 sayfalık bir kitabın sayfa numaraları yazılırken kaç tane rakam kullanılır?

E) 99

A) 1203

B) 1206

D) 1209

C) 1208

E) 1210

12. ab iki basamaklı sayısı için,

ab ⋅ a = 265

ab ⋅ b = 159

16. Birbirinden farklı iki basamaklı iki doğal sayının

olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır? A) 5 1. D

68

2. B

B) 6 3. D

YGS MATEMATİK

C) 7 4. A

D) 8 5. C

6. B

farkı kaç farklı değer alabilir? E) 9 7. B

A) 89 8. D

9. B

10. D

B) 90 11. E

12. D

C) 91 13. A

D) 178 14. C

15. A

E) 179 16. D


ASAL SAYILAR

TANIM 1 ve kendisinden başka hiç bir doğal sayıya bölünemeyen

x ve y asal sayılar olmak üzere,

1 den büyük doğal sayılara asal sayılar denir.

2, 3, 5, 7, 11 ... gibi.

2x + y = 16

olduğuna göre, x + y toplamı kaçtır?

En küçük asal sayı 2 dir.

A) 5

B) 7

C) 9

D) 11

E) 13

2 sayısı dışında, diğer asal sayılar tek sayıdır.

DNA 87

DNA 88

a, b, c asal sayılar ve a < b < c dir.

a + b + c = 22

100 sayısından küçük 25 tane asal sayı vardır.

a ⋅ b + b ⋅ c + c ⋅ a = 131

100 den farklı kaç tane n tam sayısı için n den küçük asal sayıların sayısı 25 tir?

olduğuna göre, b ⋅ c çarpımı kaçtır? A) 7

B) 13

C) 14

D) 26

A) 2

E) 91

B) 3

C) 4

D) 5

E) 6

Çözüm

Çözüm a + b + c = 22

100 sayısından küçük en büyük asal sayı 97 dir.

toplamı çift olduğundan sayılardan en az biri çift olmalı-

100 sayısından büyük en küçük asal sayı 101 dir.

dır.

100 asal sayı değildir.

Bu durumda kesinlikle a = 2 olmalıdır.

98, 99, 101 sayılarından küçük asal sayılar 25 tanedir.

2 ⋅ b + b ⋅ c + 2 ⋅ c = 131

Doğru Seçenek B

2(b + c) + b ⋅ c = 131

eşitliğinde deneme ile b = 7 ve c = 13 bulunur. b ⋅ c = 7 ⋅ 13 = 91 olacaktır. Doğru Seçenek E

..., 59, 53, 47, ?, ...

asal sayı dizisinde ? yerine hangi sayı yazılabilir? A) 31

B) 37

C) 41

D) 43

YGS MATEMATİK

E) 45

69

Asal Sayılar


Hazine 7 72 sayısının asal çarpanlara ayrılmış biçimi aşağıdaki-

a, b, c ... farklı asal sayılar,

lerden hangisidir?

p, q, r, ... sayma sayıları olmak üzere;

A) 2 ⋅ 3

N > 1 için her bir N doğal sayısı,

N = ap ⋅ bq ⋅ cr ...

B) 22 ⋅ 3

D) 23 ⋅ 32

C) 22 ⋅ 32

E) 23 ⋅ 33

olacak şekilde tek türlü asal çarpanlarına ayrılır.

Uyarı DNA 90

Atom parçalandığında ortaya çıkan büyük enerji, Matematikte bir doğal sayının asal çarpanlara ayrılması ile eş değer olarak düşünülebilir.

250 sayısının en küçük iki asal çarpanının toplamı kaçtır?

Bu yüzden sayı problemlerinin pek çoğunda çözüme, verilen doğal sayıları asal çarpanlara ayırmaya başla-

A) 2

B) 5

C) 7

D) 10

E) 12

makta yarar vardır.

DNA 89 540 sayısının asal çarpanlara ayrılmış biçimi aşa-

Çözüm

ğıdakilerden hangisidir? A) 22 ⋅ 33 ⋅ 5 C)

23

⋅

32

B) 22 ⋅ 32 ⋅ 5

⋅ 5

D) 2 ⋅

33

⋅ 5

E) 23 ⋅ 33 ⋅ 5

250 = 2 ⋅ 53 şeklinde çarpanlara ayrıldığında, en küçük iki asal çarpanının 2 ve 5 olduğu görülür. 2+5=7

Çözüm

bulunur.

540 sayısını, en küçük asal sayı olan 2 ile bölmeye başlar

Doğru Seçenek C

ve içindeki tüm asal sayı bölenlerini ararız. 540

2

270

2

135

3

45

3

15

3

5

5

540 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 5 540 = 22 ⋅ 33 ⋅ 5

1 Doğru Seçenek A

70

YGS MATEMATİK

90 sayısının tüm asal çarpanlarının toplamı kaçtır? A) 2

B) 5

C) 7

D) 10

E) 12


Asal Sayılar

DNA 91

DNA 92 x, y ∈ N olmak üzere,

a, b, c asal sayılar, a = 3b – 2 ⋅ 13c – 2

olduğuna göre, a + b + c toplamının alabileceği en

olduğuna göre, x kaçtır?

küçük değer kaçtır? A) 2

x2 – y2 = 13

A) 5

B) 3

C) 4

D) 5

B) 6

C) 7

D) 8

E) 9

E) 8

Çözüm

Çözüm

a nın asal sayı olması için 3b–2 veya 13c–2 den birinin 1 olması gerekir.

a2 – b2 = (a – b)(a + b)

Toplamın küçük olması istendiğinden; 13c–2

3b–2

= 1 ve

özdeşliğinden;

=3

x2 – y2 = (x – y)(x + y)

olmalıdır.

x ve y doğal sayı olduğundan, x + y ve x – y de doğal sayı

a ≠ 0 için, a0 = 1 ve a1 = a olduğundan,

olacaktır.

c – 2 = 0,

c = 2, 13c–2 = 130 = 1

b – 2 = 1,

b = 3, 3b–2 = 31 = 3

13 bir asal sayı olduğundan, ancak 1 ⋅ 13 biçiminde iki doğal sayının çarpımı olarak yazılabilir. x2 – y2 = (x – y)(x + y) = 1 ⋅ 13

a=

3b–2

⋅

13c–2

a=3⋅1=3

x – y = 1 ve x + y = 13

olmak zorundadır.

olmalıdır.

Sistem çözüldüğünde; a+b+c=3+3+2=8

x = 7 ve y = 6

bulunur.

bulunur. Doğru Seçenek E

Doğru Seçenek C

a, b, c birbirinden farklı asal sayılar,

N = a2 ⋅ b3 ⋅ c4 a, b doğal sayıları için,

eşitliği veriliyor. Buna göre, N nin en küçük değeri için a + b + c toplamı

a2 – b2 = 7

olduğuna göre, b kaçtır?

kaçtır? A) 5

B) 7

C) 8

D) 10

E) 12

A) 2

B) 3

C) 4

D) 5

YGS MATEMATİK

E) 6

71

Asal Sayılar


DNA 93

DNA 94

1 den büyük asal olmayan bir tam sayının rakamlarının toplamı, sayı asal çarpanlarına ayrılarak yazıldığında, bu yazılışta bulunan tüm asal çarpanlarının rakamlarının toplamına eşit oluyorsa bu tür sayılara “Smith sayısı” adı verilir.

n

n doğal sayısı olmak üzere, 22 + 1 biçiminde yazılabilen asal sayılara “Fermat asalı” denir. Aşağıdakilerden hangisi Fermat asalıdır? A) 7

B) 18

C) 17

D) 23

E) 29

Örneğin, 728 sayısı asal çarpanlarına, 728 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 7 ⋅ 13

biçiminde ayrılır.

7+2+8=2+2+2+7+1+3

Çözüm

olduğundan 728 bir Smith sayısıdır. Bu tanıma göre, aşağıdaki sayılardan hangisi bir

n = 0 için;

Smith sayısıdır? A) 21

n

0

n

1

22 + 1 = 22 + 1 = 21 + 1 = 2 + 1 = 3

B) 24

C) 27

D) 36

E) 45 n = 1 için; 22 + 1 = 22 + 1 = 22 + 1 = 4 + 1 = 5 n = 2 için;

Çözüm

n

2

22 + 1 = 22 + 1 = 24 + 1 = 16 + 1 = 17 27 = 3 ⋅ 3 ⋅ 3

sayısı Fermat asalıdır. 2+7=3+3+3 Doğru Seçenek C

olduğundan 27 bir Smith sayısıdır. Doğru Seçenek C

Asal olmayan 1 den büyük tam sayılara “birleşik tam

n doğal sayı olmak üzere, 2n – 1 biçiminde yazılabilen

sayı” denir.

asal sayılara “Mersenne asalı” denir.

Aşağıdakilerden hangisi birleşik tam sayı değildir?

Aşağıdakilerden hangisi Mersenne asalıdır?

A) 12

72

B) 18

YGS MATEMATİK

C) 21

D) 23

E) 25

A) 5

B) 11

C) 13

D) 31

E) 37


Asal Sayılar

DNA 95

TANIM

a ve b asal sayılar, a < b olmak üzere,

1 den başka ortak tam sayı böleni olmayan doğal sayılara,

aralarında asaldır denir.

a + b = 19


B) 3

C) 5

D) 7

E) 17

7; 13

12; 25

24; 29

4; 27

sayıları aralarında asaldır.

Not Çözüm

Ardışık doğal sayılar aralarında asaldır. 14; 15

İki asal sayının toplamı da bir asal sayı ise bu sayılardan

18; 19

küçüğü 2 dir. a + b = 19 eşitliğinde 19 asal sayı, a ve b de asal sayı olduğundan, a=2 dir.

Aralarında asal sayıların toplamı ile çarpımları da aralaDoğru Seçenek A

rında asaldır.

7 ⋅ 13 = 91

7 + 13 = 20

20 ve 91 sayıları aralarında asaldır.

DNA 96 k pozitif tam sayı olmak üzere, 4k + 1 biçiminde yazılabilen sayılara “Hilbert asalı” denir.

1 ≤ n ≤ 100 koşulunu sağlayan doğal sayılardan,

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi Hilbert asalıdır? A) 3

B) 7

C) 11

D) 17

E) 19

kaç tanesi 15 sayısı ile aralarında asaldır? A) 20

B) 33

C) 47

D) 53

YGS MATEMATİK

E) 67

73

Asal Sayılar


Çözüm

DNA 97

Verilen doğal sayılardan, 15 ile aralarında asal olanlar;

a ve b asal sayılar, b ve c sayıları da aralarında asal

15 = 3 ⋅ 5

sayılardır.

olduğundan (bölenleri 3 ve 5)

3 ve 5 sayılarından herhangi birine bölünmemelidir. (1 den başka ortak bölenleri olamaz.)

c = 4a

olduğuna göre, a + b + c toplamının en küçük değeri kaçtır?

Bu sayıları bulmak için biz önce 3 e ve 5 e bölünebilenlerin sayısını bulmalıyız.

A) 9

B) 10

C) 11

D) 12

E) 13

Verilen 100 doğal sayı içinde 3 e bölünebilen sayıların adedi; 100 ün 3 e bölümünden bulunacak bölüm kadardır. 100 = 3 ⋅ 33 + 1 den 33 tanesi 3 ile,

Çözüm

benzer şekilde; 5 sayısı için, 100 = 5 ⋅ 20 den 20 tanesi 5 ile, 3 ve 5 ile bölünebilen sayılar 15 ile de bölünebileceğinden 100 = 15 ⋅ 6 + 10 dan 6 tanesi 3 ve 5 ile

a + b + c toplamının küçük olması için sayılar küçük seçilmelidir. En küçük asal sayı 2 olduğundan, a = 2 seçildiğinde,

bölünebilir.

Kümelerin eleman sayıları için;

c = 4a

s(A ∪ B) = s(A) + s(B) – s(A ∩ B)

c=4⋅2=8

olduğundan 3 veya 5 ile bölünebilen sayılar;

olur.

33 + 20 – 6 = 47 tanedir.

b = 3 alındığında, kendisi asal olup, c = 8 sayısı ile de

Ne 3 e ne de 5 e böünemeyen ,15 sayısı ile aralarında asal olan sayılar da;

aralarında asaldır. a + b + c + = 2 + 3 + 8 = 13

100 – 47 = 53 tanedir.

toplamın en küçük değeridir. Doğru Seçenek D

Doğru Seçenek E

1 ≤ n ≤ 100

koşulunu sağlayan doğal sayılardan kaç tanesi 6 sayı-

Buna göre, a + b + c toplamı en az kaçtır?

sı ile aralarında asaldır? A) 16

74

B) 28

YGS MATEMATİK

a, b, c ardışık üç asal sayıdır.

C) 33

D) 42

E) 50

A) 6

B) 8

C) 10

D) 12

E) 19


Asal Sayılar

5.

TEST - 8

504 sayısının kaç tane farklı asal sayı çarpanı vardır? A) 2

1.

B) 3

C) 4

D) 5

E) 7

Sıfırdan farklı bir doğal sayının 13 katı ile 17 katı toplanıyor.

Bu toplamın en az kaç farklı asal çarpanı vardır? A) 2

B) 3

C) 4

D) 5

E) 6

6.

100 den küçük ve 100 ile aralarında asal kaç tane doğal sayı vardır?

2.

A) 32

Aşağıdaki sayılardan hangisi 12 sayısı ile arala-

B) 36

C) 40

D) 45

E) 49

rında asaldır? A) 8

3.

B) 9

C) 10

D) 11

E) 14

1 ≤ n ≤ 100

7.

si 12 sayısı ile aralarında asaldır?

koşulunu sağlayan doğal sayılardan kaç tanesi 8 sayısı ile aralarında asaldır? A) 12

4.

B) 38

C) 50

60 ile 70 arasındaki dokuz tam sayıdan kaç tane-

A) 2 D) 62

B) 3

C) 4

D) 5

E) 6

E) 88

Rakamlarının karelerinin peş peşe toplamı 1 olan sayılara “Mutlu sayılar” denir.

Örneğin 13 sayısı için,

12 + 32 = 10

8.

12 + 02 = 1

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi mutlu sayıdır? A) 21

B) 23

C) 102

D) 201

E) 202

x ve y doğal sayıları için,

x2 – y2 = 13

olduğuna göre, x + y yoplamı kaçtır? A) 28

B) 26

C) 14

D) 13

E) 12

YGS MATEMATİK

75

Asal Sayılar

9.

13. 7, 5 ve 3 sayıları,

x ve y pozitif tam sayıları için, x ⋅ y = 13


olduğuna göre, x + y toplamı kaçtır? A) 13

B) 14

a ⋅ b + c = 22

C) 16

D) 20

eşitliğinde yerlerine yazıldığında, a, b, c sıralaması için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

E) 26

A) 7, 5, 3

10. x asal sayısı için 17x + 1 ifadesi tam kare olduğuna göre, x kaçtır? A) 15

B) 17

şuluyla yazılabilecek en küçük asal sayının raC) 19

D) 23

kamlarının toplamı kaçtır?

E) 29

11. 87! + 88! sayısının en büyük asal sayı böleni kaçC) 89

D) 90

E) 91

Bu üç sayının toplamının en küçük değeri kaç-

A) 22 1. B

76

2. D

B) 27 3. C

YGS MATEMATİK

C) 30 4. B

5. B

D) 45 6. C

8. D

E) 5

ab + bc toplamının en küçük değeri için, |ab – bc|

16.

9. B

B) 8

C) 9

D) 10

E) 11

18, 45, 79, 90, 97

sayılarından kaç tanesi asal sayıdır? A) 1

E) 62 7. B

D) 4

farkı kaçtır?

tır?

C) 3

basamaklı sayılardır.

A) 7

12. Aralarında asal üç sayının çarpımı 720 dir.

B) 2

15. a, b ve c farklı rakamlar, ab ve bc aralarında asal iki

tır? B) 88

C) 3, 5, 7

E) 5, 7, 3

14. 1 ve 0 rakamlarını en az birer kez kullanmak ko-

A) 1

A) 87

B) 7, 3, 5

D) 3, 7, 5

10. C

B) 2 11. C

C) 3 12. B

13. C

D) 4 14. B

15. E

E) 5 16. B


BÖLEN SAYILARI

GİRİŞ Bu bölümde; bir doğal sayıyı asal çarpanlarına ayırmanın

72 sayısının kaç tane doğal sayı böleni vardır? A) 3

bize sağladığı başka kolaylıkları öğreneceğiz.

B) 4

C) 6

E) 12

D) 7

Hazine 8 a, b, c ... farklı asal sayılar; p, q, r, ... pozitif tam sayılar

DNA 99

olmak üzere,

N = ap ⋅ bq ⋅ cr ...

A = 150 ⋅ 60 ⋅ 90

sayısının (p + 1)(q + 1)(r + 1) ... tane doğal sayı böleni

sayısının kaç tane doğal sayı böleni vardır?

vardır.

A) 64

B) 80

D) 125

C) 100

E) 150

Işık 10 Doğal sayı bölenlerinin toplamsal tersleri de N sayısının bir böleni olacağından; N in tam sayı bölenlerinin

Çözüm

sayısı, doğal sayı bölenlerinin sayısının iki katıdır.

A = 150 ⋅ 60 ⋅ 90 = (2 ⋅ 3 ⋅ 52)(22 ⋅ 3 ⋅ 5)(2 ⋅ 32 ⋅ 5)

DNA 98

= 21+2+1 ⋅ 31+1+2 ⋅ 52+1+1 = 24 ⋅ 34 ⋅ 54

şeklinde asal çarpanlara ayrıldığında; 120 sayısının kaç tane doğal sayı böleni vardır? A) 12

B) 13

C) 14

D) 15

(4 + 1)(4 + 1)(4 + 1) = 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 125

E) 16 tane doğal sayı böleni olduğu görülür. Doğru Seçenek D

Çözüm N = 120 = 23 ⋅ 3 ⋅ 5 olarak yazıldığında kural gereği, (3 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 4 ⋅ 2 ⋅ 2 = 16 tane doğal sayı böleni vardır. Doğru Seçenek E

N = 122

sayısının kaç tane doğal sayı böleni vardır? A) 3

B) 4

C) 6

D) 13

YGS MATEMATİK

E) 15

77

Bölen Sayıları


DNA 100

DNA 101

1001 ile aralarında asal abc üç basamaklı sayısı-

1800 sayısının doğal sayı bölenlerinden kaç tanesi

nın 12 tane pozitif tam sayı böleni varsa, abcabc

10 un katıdır?

altı basamaklı sayısının kaç tane pozitif tam sayı böleni vardır? A) 24

B) 36

C) 48

D) 72

A) 12

B) 14

C) 16

D) 18

E) 20

E) 96

Çözüm

Çözüm

abcabc sayısını çözümleyelim.

1800 sayısını asal çarpanlarına ayıralım.

abcabc = 100000a + 10000b + 1000c + 100a + 10b + c

= 100100a + 10010b + 1001c

= 1001(100a + 10b + c)

=1001 ⋅ abc = 7 ⋅ 11 ⋅ 13 ⋅ abc

1800 = 23 ⋅ 32 ⋅ 52 olur. Bölenlerin 10 un katı olması için, A = 10 ⋅ B = (2 ⋅ 5) ⋅ B

abc sayısının 12 tane pozitif tam sayı böleni olduğundan, asal çarpanlarının üslerinin birer fazlasının çarpımı 12

şeklinde yazılabilmelidir. Bu yüzden;

dir.

1800 = 23 ⋅ 32 ⋅ 52 = 2 ⋅ 5 ⋅ (22 ⋅ 32 ⋅ 5)

abcabc = 7 ⋅ 11 ⋅ 13 ⋅ abc sayısının, pozitif tam sayı bölenlerinin sayısını bulmak için, tüm asal çarpanlarının üslerinin birer fazlası çarpılacağından,

yazdığımızda; 10 çarpanı dışında, 22 ⋅ 32 ⋅ 5 in (2 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 3 ⋅ 3 ⋅ 2 = 18 tane doğal sayı böleni vardır.

(1 + 1)(1 + 1)(1 + 1) ⋅ 12 = 96 Doğru Seçenek D

tane pozitif tam sayı böleni vardır. Doğru Seçenek E

1200...0 sayısının 96 tane doğal sayı böleni olduğu bilindiğine göre, verilen sayının sondan kaç basamağı

120 sayısının doğal sayı bölenlerinden kaç tanesi tek

0 dır?

sayıdır?

A) 3

78

B) 4

YGS MATEMATİK

C) 5

D) 6

E) 7

A) 4

B) 6

C) 12

D) 18

E) 24


Bölen Sayıları

DNA 102

DNA 103

7! sayısının doğal sayı bölenlerinden kaç tanesi

Kendisinden farklı pozitif çarpanlarının toplamı, ken-

tek sayıdır?

disinden küçük olan pozitif tam sayıya “güçsüz sayı” denir.

A) 4

B) 6

C) 12

D) 19

E) 24

8, 15, 35, ... gibi. 8 in bölenleri; 1, 2, 4, 8

1+2+4=7<8

15 in bölenleri; 1, 3, 5, 15

1 + 3 + 5 = 9 < 15

Aşağıdaki sayılardan hangisi güçsüz sayı değildir? A) 4

Çözüm

C) 6

D) 8

E) 16

Çözüm

7! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ 7 = 2 ⋅ 3 ⋅ (22) ⋅ 5 ⋅ (2 ⋅ 3) ⋅ 7

B) 5

=

24

⋅

32

⋅5⋅7

Tek sayıların içinde 2 çarpanı olmayacağından; 7! = 24(32 ⋅ 5 ⋅ 7)

4 ün bölenleri; 1, 2, 4

1+2=3<4

5 in bölenleri;

1, 5

1<5

6 nın bölenleri; 1, 2, 3, 6

ifadesinde parantez içindeki sayının doğal sayı bölenleri tektir. (2 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 3 ⋅ 2 ⋅ 2 = 12

1+2+3=6

8 in bölenleri;

1, 2, 4, 8

1+2+4=7<8

16 nın bölenleri; 1, 2, 4, 8, 16

tane tek doğal sayı böleni vardır.

1 + 2 + 4 + 8 = 15 < 16 Doğru Seçenek C

Doğru Seçenek C

Kendisinden küçük tüm doğal sayılar içinde en çok doğal sayı böleni olan sayılara “çok bölenli sayı” denir. 180, 360, ... gibi. Aşağıdaki sayılardan hangisi çok bölenli sayı değil10! sayısının kaç tane tek tam sayı böleni vardır? A) 24

B) 30

C) 32

D) 36

E) 40

dir? A) 4

B) 6

C) 12

D) 16

YGS MATEMATİK

E) 24

79

Bölen Sayıları


DNA 104

DNA 105

Kenar uzunlukları tam sayı ve alanı 180 cm2 olan kaç farklı dikdörtgen vardır? A) 6

B) 8

C) 9

72 sayısının tam sayı bölenlerinin toplamı kaçtır? A) 0

D) 12

E) 18

Çözüm

B) 60

D) 123

C) 72

E) 132

Çözüm

Kenar uzunlukları a ve b olan dikdörtgenin alanı a ⋅ b dir. a ⋅ b = 180

72 = 23 ⋅ 32 olduğundan 72 sayısının,

eşitliğinde a ve b sayıları, 180 in bölenleridir.

4 ⋅ 3 = 12

180 = 22 ⋅ 32 ⋅ 5 tane doğal sayı böleni ve bu bölenlerin negatif olanları ile olduğundan,

birlikte,

(2 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 3 ⋅ 3 ⋅ 2 = 18

12 + 12 = 24

tane (a, b) pozitif tam sayı ikilisi yazılabilir. tane tam sayı böleni vardır. Kenar uzunlukları (a, b) ve (b, a) olan dikdörtgenler aynı (–72) + (–36) + (–24) + ... + 24 + 36 + 72 = 0

sayılacağından; dır.

18 : 2 = 9

Bir doğal sayının tam sayı bölenlerinin toplamı 0

farklı dikdörtgen vardır. Doğru Seçenek C

dır. Doğru Seçenek A

1 ile 1000 arasında en çok doğal sayı böleni olan sayı

28 sayısının, asal sayı bölenleri dışında tam sayı bö-


lenlerinin toplamı kaçtır?

A) 720

80

B) 750

YGS MATEMATİK

C) 840

D) 864

E) 960

A) –28

B) –9

C) 0

D) 9

E) 19


Bölen Sayıları

Hazine 9

DNA 107

N = ap ⋅ bq ⋅ cr ...

sayısının doğal sayı bölenlerinin toplamı:

100 ifadesinin en küçük doğal sayı değeri için n 2n − 1

(1 + a + a2 +...+ ap)(1 + b + b2 +...+ bq)(1 + c + c2 +...+ cr)..

doğal sayısı kaç olmalıdır?

=

A) 1

ap +1 − 1 bq+1 − 1 c r +1 − 1 ⋅ ⋅  a −1 b −1 c −1

B) 3

C) 13

D) 20

E) 25

dir.

DNA 106

Çözüm 100 ifadesinin bir doğal sayı olması için, 2n – 1 in bölen 2n − 1

144 sayısının doğal sayı bölenlerinin toplamı kaçtır? A) 0

B) 144

D) 288

C) 223

olması gerekir. 100 ün bölenleri; 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50 ve 100 dür.

E) 403

En küçük doğal sayı olması için de paydanın büyük olma-

Çözüm

sı gerekir. 100 ve 50 için, n doğal sayı değildir.

144 sayısını asal çarpanlarına ayıralım.

2n – 1 = 25

144 = 122 = (22 ⋅ 3)2 = 24 ⋅ 32 5 ⋅ 4 = 20

tane doğal sayı böleni var.

n = 13

olmalıdır.

Bu bölenlerin toplamı;

Doğru Seçenek C

(1 + 2 + 22 + 23 + 24)(1 + 3 + 32) = 31 ⋅ 13 = 223 Veya doğrudan; 24 +1 − 1 32+1 − 1 32 − 1 27 − 1 ⋅ = ⋅ = 31⋅ 13 = 403 2 −1 3 −1 1 2 Doğru Seçenek E

6 ifadesini tam sayı yapan kaç tane n tam sayısı n+1 625 sayısının doğal sayı bölenlerinin toplamı kaçtır? A) 125

B) 156

C) 756

D) 781

E) 800

vardır? A) 4

B) 6

C) 8

D) 10

YGS MATEMATİK

E) 12

81

Bölen Sayıları


DNA 108

DNA 109

180 ⋅ x = y3

x, y, A, B pozitif tam sayıları için,

eşitliğini sağlayan en küçük pozitif y sayısı kaç-

90 ⋅ x = A2 ve 90 ⋅ y = B3

tır?

olduğuna göre, x + y toplamının en küçük değeri

A) 30

B) 90

D) 270

kaçtır?

C) 150

E) 300

A) 300

B) 310

D) 360

C) 320

E) 400

Çözüm 180 sayısını asal çarpanlara ayıralım.

Çözüm

180 = 22 ⋅ 32 ⋅ 5 olur.

90 = 2 ⋅ 32 ⋅ 5

x = 2a ⋅ 3b ⋅ 5c

2 ⋅ 32 ⋅ 5 ⋅ x = A2

alınırsa,

x = 2 ⋅ 5 = 10

180 ⋅ x = (22 ⋅ 32 ⋅ 5)(2a ⋅ 3b ⋅ 5c) = 2a+2 ⋅ 3b+2 ⋅ 5c+1 = y3

olmalıdır. 2 ⋅ 32 ⋅ 5 ⋅ y = B3

olacağından a + 2, b + 2, c + 1 sayıları 3 ün katı olmalı-

y = 22 ⋅ 3 ⋅ 52 = 300

dır. olmalıdır.

a = 1, b = 1, c = 2 için;

x = 2 ⋅ 3 ⋅ 52 = 150

y = 2 ⋅ 3 ⋅ 5 = 30

x + y = 10 + 300 = 310 bulunur. Doğru Seçenek B

bulunur. Doğru Seçenek A

1260 ⋅ x = N3

n, x, y pozitif tam sayıları için,

eşitliğinde x ve N pozitif tam sayılardır.

Buna göre, en küçük x sayısı kaçtır?

olduğuna göre, n in en küçük değeri kaçtır?

A) 210

82

B) 420

D) 2450

YGS MATEMATİK

C) 630

E) 7350

14 ⋅ n = x2 ve 21 ⋅ n = y3

A) 2 ⋅ 3 ⋅ 7

B) 22 ⋅ 33 ⋅ 55

D) 23 ⋅ 32 ⋅ 7

C) 23 ⋅ 32 ⋅ 7

E) 23 ⋅ 32 ⋅ 75


Bölen Sayıları

DNA 110

DNA 111

360 sayısının pozitif tam sayı bölenlerinden kaç

a ve b aralarında asal sayılardır.

tanesi tam karedir? A) 3

B) 4

Buna göre, C) 5

D) 6

E) 7

360 = a ⋅ b

eşitliğini sağlayan (a, b) doğal sayı ikililerinin sayısı kaçtır? A) 2

Çözüm

B) 3

C) 4

D) 8

E) 9

360 = 23 ⋅ 32 ⋅ 5 olarak asal çarpanlarına ayrıldığında, 22 = 4

32 = 9 ve (2 ⋅ 3)2 = 62 = 36

Çözüm

ve de 12 = 1

360 ın asal bölenleri 2, 3, 5 olup, üç tanedir.

olmak üzere dört tane tam kare böleni vardır. Doğru Seçenek B

İstenen cevap, 23 = 8 dir. Doğru Seçenek D

x ∈ Z+ için x3 sayısı 40000 in bir bölenidir. Buna göre, x in en büyük değeri kaçtır? A) 8

B) 12

C) 15

D) 20

E) 25

Hazine 10

a ve b aralarında asal sayılardır.

Bir A pozitif tam sayısının asal bölenlerinin sayısı P(A)

Buna göre,

olsun. O zaman,

A=a⋅b

4400 = a ⋅ b

eşitliğini sağlayan (a, b) doğal sayı ikililerinin sayısı

eşitliğini sağlayan aralarında asal (a, b) pozitif tam sayı

kaçtır?

ikililerinin sayısı 2P(A) dır.

A) 8

B) 9

C) 10

D) 12

YGS MATEMATİK

E) 16

83

Bölen Sayıları


DNA 112

DNA 113

Asal olmayan tam sayı bölenlerinin toplamı –5 olan

iki basamaklı bir doğal sayı en çok kaç olabilir? A) 24

B) 48

C) 54

D) 72

28 ⋅ a = b2

eşitliğini sağlayan a ve b pozitif doğal sayıları için, a + b toplamı en az kaç olabilir?

E) 96

A) 14

B) 18

C) 21

D) 32

E) 36

Çözüm Bir doğal sayının asal olmayan bölenlerinin toplamının,

Çözüm

asal bölenlerinin toplamının ters işaretlisine eşit olduğunu biliyoruz. Buna göre, soru bize asal bölenlerin toplamının

Öncelikle 28 sayısını asal çarpanlarına ayıralım.

5 olduğunu söylemektedir.

22 ⋅ 7 ⋅ a = b2 eşitliğin sağ tarafı karesel bir sayı olduğundan, sol tarafı

Toplamları 5 yapan asal sayılar, 2 ve 3 tür.

da karesel bir sayı olmalıdır. Diğer yandan, b sayısının

Aradığımız doğal sayı n olsun.

asal çarpanlarının içerisinde mutlaka 2 ve 7 bulunmalıdır.

n = 2a ⋅ 3b (a, b ∈ Z+) yazma hakkına sahibiz. Şimdi yapmamız gereken şey, a ve b ye değerler verip, 2a ⋅ 3b ifadesinin en büyük değerini

Burada b yerine en azından 2 ⋅ 7 yazılabilir. Hadi yazalım. b=2⋅7

bulmaktır. Birkaç denemeden sonra (belki de ilk denemenizde) a = 5 ve b = 1 olduğunu kolayca görebilirsiniz. O halde,

⇒

22 ⋅ 7 ⋅ a = (2 ⋅ 7)2 = 22 ⋅ 72

Buradan 7 ⋅ a = 72 yani a = 7 buluruz. O halde, b en az 14 tür. Buradan,

n = 25 ⋅ 31 = 32 ⋅ 3 = 96

a + b = 14 + 7 = 21 buluruz.

olur.

Doğru Seçenek C Doğru Seçenek E

Asal olmayan tam sayı bölenlerinin toplamı –10 olan bir doğal sayı en az kaç olabilir? A) 21

84

B) 30

YGS MATEMATİK

C) 60

72 ⋅ x = y3

eşitliğini sağlayan en küçük x pozitif doğal sayısı için, x + y toplamı kaçtır?

D) 63

E) 90

A) 8

B) 9

C) 12

D) 18

E) 24


Bölen Sayıları

5.

TEST - 9

1.

a ⋅ b = 91


a ve b birbirinden farklı asal sayılar olmak üzere,

a, b asal sayılardır.

B) 78

C) 62

D) 20

E) 18

X = a2 ⋅ b3

eşitliği veriliyor.

Xp nin tam bölenlerinin sayısı 140 olduğuna göre, p kaçtır? A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

6.

360 sayısının asal olmayan tam sayı bölenlerinin sayısı kaçtır? A) 21

2.

B) 24

C) 35

D) 45

E) 48

İki basamaklı doğal sayılardan kaç tanesinin pozitif tam sayı bölenlerinin sayısı 12 dir? A) 2

B) 3

C) 4

D) 5

E) 6

7.

n doğal sayı olmak üzere, 36n doğal sayısının 49 tane tam kare pozitif doğal sayı böleni varsa, n kaçtır?

3.

x ve y asal sayılar olmak üzere,

A) 4

B) 3

C) 5

D) 7

D) 7

E) 8

E) 9

8.

ra mistik sayı denir.

72 ⋅ x2 = y3

eşitliğini sağlayan x ve y için a en az kaçtır? A) 8

B) 9

C) 12

D) 16

Tanım: Rakamlarının sayı değerleri toplamı, pozitif tam sayı bölenlerinin sayısına eşit olan doğal sayıla-

x ve y pozitif doğal sayılar olmak üzere,

C) 6

olduğuna göre, x – y farkı kaçtır? A) 1

4.

B) 5

4x + y = 30

E) 27

Yukarıda verilen tanıma göre, üç basamaklı en küçük mistik sayı kaçtır? A) 101

B) 103

C) 105

D) 108

E) 124

YGS MATEMATİK

85

Bölen Sayıları

9.


13. 2880 sayısının asal bölenlerinin sayısı kaçtır?

x ile y asal sayılardır.

x + y = 21

A) 3

B) 6

C) 10

D) 18

E) 36

olduğuna göre, x ⋅ y çarpımı kaçtır?

A) 38

B) 54

C) 68

D) 80

E) 98

14. Tanım: Rakamlarının toplamı da asal sayı olan asal sayılara vadi asalı denir.

10. Tanım: a ve b asal sayılar olsun. Eğer |a – b| = 2 ise,

Yukarıda verilen tanıma göre, iki basamaklı en büyük vadi asalı kaçtır?

a ile b ye ikiz asal sayılar denir.

A) 97

B) 91

C) 89

D) 83

E) 79

Yukarıda verilen tanıma göre, aşağıda verilen sa-

yılardan hangisi iki ikiz asal sayının toplamı olarak yazılamaz? A) 8

B) 12

C) 24

D) 36

E) 40

15. Ahmet ile Uğur, D = {2, 3, 5, 7, 11} kümesinin elemanlarını kullanmak koşuluyla şu şekilde bir oyun oynuyorlar:

oyunu başlatıyor.

11. 27 sayısının pozitif tam bölenlerinin toplamı x, 16 sayısının pozitif tam bölenlerinin toplamı y oldu-

ğuna göre, 432 sayısının pozitif tam bölenlerinin toplamının x ve y cinsinden değeri nedir? A) x ⋅ y

B) x + y

D) x2 + y2

Uğur da D kümesinden istediği bir sayıyı seçerek, Ahmet’in seçtiği sayı ile topluyor.

Eğer toplam bir asal sayı değilse oyunu Ahmet kazanıyor. Asal sayı ise, oyunu Uğur kazanıyor.

C) x + y + 1

E) 2xy

Ahmet D kümesinden istediği bir elemanı seçerek

Buna göre, Ahmet’in oyunu kazanmayı garantilemesi için ilk seçtiği sayı kaç olmalıdır? A) 2

B) 3

C) 5

D) 7

E) 11

12. x ve y doğal sayılardır. x2 – y2 = 41

16. n bir doğal sayı olmak üzere, 2 ⋅ 6n sayısının 60 tane tam sayı böleni olduğuna göre, n kaçtır?


A) 18 1. C

86

2. C

B) 19 3. C

YGS MATEMATİK

C) 20 4. B

5. D

D) 21 6. D

A) 3

E) 22 7. C

8. A

9. A

10. E

B) 4 11. A

C) 5 12. D

13. A

D) 6 14. C

15. D

E) 7 16. B


FAKTÖRİYEL

TANIM Pozitif ilk n tam sayının çarpımı,

1 ⋅ 2 ⋅ 3...n = n!

ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

biçiminde gösterilir. n faktöriyel okunur.

1! = 1

2! = 1 ⋅ 2 = 2

3! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 = 6

4! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 = 24

7 ⋅ 8 ⋅ 9 ⋅ ... ⋅ 36

A) 6!

B) 35!

D)

36! 6!

C) 34!

E) 36! – 6!

5! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 = 120 gibi. Özel olarak; 0! = 1

DNA 115

olarak tanımlanmıştır.

101! − 100! işleminin sonucu kaçtır? 99!

Işık 11

A) 10

n! = n ⋅ (n – 1)!

B) 100

D) 10000

C) 1000

E) 100000

n! = n(n – 1)(n – 2)!

6! = 6 ⋅ 5!

6! = 6 ⋅ 5 ⋅ 4! gibi.

Çözüm 101! − 100 ! 101⋅ 100 ! − 100 ! 100 !(101 − 1) = = 99 ! 99 ! 99 !

DNA 114

=

= 100 ⋅ 100 = 10000

12! işleminin sonucu kaçtır? 8! ⋅ 4! A) 45

B) 55

D) 120

100 ! ⋅ 100 100 ⋅ 99 ! ⋅ 100 = 99 ! 99 !

Doğru Seçenek D

C) 99

E) 495

Çözüm 12! 12 ⋅ 11⋅ 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ! 12 ⋅ 11⋅ 10 ⋅ 9 = = = 11⋅ 5 ⋅ 9 = 495 8! ⋅ 4! 4⋅3⋅2 8! ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 Doğru Seçenek E

13 ! − 12! 10 ! + 11!

ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) 11

B) 12

C) 23

D) 132

E) 264

YGS MATEMATİK

87

Faktöriyel


Çözüm

DNA 116

77! + 78! = 77! + 78 ⋅ 77! = 77!(1 + 78) = 79 ⋅ 77!

(3n + 1)! (3n − 1)!

oluşan son çarpımda istenen toplamın 77! in 79 katı olduğu görülür.

ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) n(n+ 1)

B) 3n(n + 1)

D) 3n(3n + 1)

C) 3n(3n – 1)

Doğru Seçenek E

E) 3n

Çözüm (3n + 1)! (3n + 1)(3n) (3n − 1)! = (3n − 1)! (3n − 1)!

67! – 66! farkı, 66! in kaç katıdır?

= 3n(3n + 1)

A) 33

B) 34

D) 66

C) 65

E) 67

Doğru Seçenek D

DNA 118

2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ ... ⋅ 100


(2n + 3)! (2n + 1)!

A) 2 ⋅ 50!

ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) (2n + 3)(2n + 2)

B) (2n + 3)(2n + 1)

C) 2n(2n + 1)

D) 2n + 2

B) 2 ⋅ 100!

D) 250 ⋅ 50!

C) 100 ⋅ 50!

E) 2100 ⋅ 50!

Çözüm

E) 2

2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ ... ⋅ 100 = (2 ⋅ 1)(2 ⋅ 2)(2 ⋅ 3) ... (2 ⋅ 50)

DNA 117 B) 37

88

YGS MATEMATİK

= 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ 50

= 250 ⋅ 50!


77! + 78! toplamı 77! in kaç katıdır? A) 8

C) 77

D) 78

E) 79


Faktöriyel

3 ⋅ 6 ⋅ 9 ⋅ ... ⋅ 300

a ve b doğal sayıları için, a! = 30 ⋅ b!


A) 3 ⋅ 100!

olduğuna göre, b nin alabileceği değerler toplamı kaç-

B) 3 ⋅ 300!

D) 350 ⋅ 100!

C) 300 ⋅ 100!

E) 3100 ⋅ 100!

tır? A) 29

B) 30

x, y doğal sayıları için,

A) 0

olduğuna göre, y nin alabileceği değerlerin toplamı kaçtır? B) 23

0! + 1! + 2! + ... + 2008!

toplamının birler basamağındaki rakam kaçtır?

20 ⋅ x! = y!

A) 20

E) 34

DNA 120

DNA 119

D) 33

C) 32

C) 25

D) 26

n ⋅ (n – 1)! = n! eşitliği kullanılırsa, 20 ⋅ 19! = 20!

C) 4

D) 7

E) 8

Çözüm

E) 27

Çözüm

B) 3

0! = 1

1! = 1

2! = 1 ⋅ 2 = 2

3! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 = 6

4! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 = 24

5! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 = 120

6! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 6 = 720

olacağından, x = 19 ve y = 20 olur.

............ eşitliklerine bakıldığında, 5! ve sonrası 0 ile sonlanmakta-

n(n – 1)(n – 2)! = n! özelliği kullanılırsa, 5 ⋅ 4 . 3! = 5!

dır (Birler basamağı 0 dır).

0! + 1! + 2! + ... + 2008! = 1 + 1 + 2 + 6 + 24 + 120 + ...

olacağından, x = 3 ve y = 5 olur.

y nin alabileceği değerlerin toplamı;

= 34 + 120 + 720 + ...

Toplamın birler basamağı,

20 + 5 = 25

4 + 0 + 0 + 0 + ... + 0 = 4


bulunur. Doğru Seçenek C

YGS MATEMATİK

89

Faktöriyel


Not

Çözüm

n ≥ 5 için; n! sayısının birler basamağındaki rakam 0 dır.

10 sayısı ard arda 2 ye bölünerek, bölümler toplamı aranır.

10 = 2 ⋅ 5

5=2⋅2+1

2=2⋅1 5+2+1=8

1! + 3! + 5! + ... + 2009!

toplamının birler basamağındaki rakam kaçtır? A) 0

B) 4

C) 6

D) 7

E) 8

b nin alabileceği en büyük değerdir. b nin alabileceği değerler: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ve 8 dir. 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 36 aranan toplamdır. Doğru Seçenek E

Işık 12 n! sayısının içinde bulunan tüm x (x, asal sayı) çarpanlarının sayısı: n sayısının art arda x e bölümlerinden elde edilen bölümlerin toplamı kadardır. n! sayısının içinde bulunan tüm x çarpanlarının (x = a ⋅ b, a ve b asal) sayısı, a < b için, b çarpanlarının

100! = K ⋅ 5x

eşitliğinde K ve x pozitif tam sayılar olduğuna göre,

sayısı kadardır.

x in en büyük değeri kaçtır? A) 20

B) 24

C) 25

D) 26

E) 50

DNA 121 DNA 122

a ve b pozitif tam sayılar olmak üzere, 10! = a ⋅ 2b

eşitliğinde b nin alabileceği değerler toplamı kaçtır?

12! 6n

sayısını tam sayı yapan n nin en büyük doğal

sayı değeri kaçtır?

A) 8

B) 15

90

YGS MATEMATİK

C) 21

D) 25

E) 36

A) 4

B) 5

C) 6

D) 8

E) 10


Faktöriyel

Çözüm

Çözüm

12 = 2 ⋅ 6

6=2⋅3

3=2⋅1+1

2008 sayısı içindeki 5 çarpanlarını arayacağız. 2008 = 5 ⋅ 401 + 3

6 + 3 + 1 = 10 tane 2 çarpanı,

401 = 5 ⋅ 80 + 1

12 = 3 ⋅ 4

80 = 5 ⋅ 16

4=3⋅1+1

16 = 5 ⋅ 3 + 1

4 + 1 = 5 tane 3 çarpanı vardır. 210

⋅

35

=

25

⋅

25

⋅

35

=

25(2

⋅

3)5

=

25

401 + 80 + 16 + 3 = 500 tane 5 çarpanı, 500 tane 10 çar⋅

65

panı ve bundan dolayı da 2008! sayısının sonunda 500

olduğundan 5 tane 6 çarpanı oluşturulabilir. n in en büyük

tane 0 vardır.

değeri 5 tir.

Doğru Seçenek E

Yalnız 3 çarpanlarının sayısını bulmak yeterlidir. Çünkü, 3 çarpanlarının sayısı, 2 çarpanlarının sayısından azdır. Doğru Seçenek B

999! sayısının sonunda kaç tane 0 vardır? 30!

15n

sayısını tam sayı yapan n nin en büyük doğal

A) 199

B) 200

C) 245

D) 246

E) 250

sayı değeri kaçtır? A) 2

B) 6

C) 7

D) 14

E) 21

Işık 14 Işık 13

n! – 1 sayısının sonundaki 9 ların sayısı, n! sayısının sonundaki 0 ların sayısı kadardır.

n! sayısının sonundaki 0 ların sayısı, n! sayısı içindeki 10 çarpanlarının (10 = 2 ⋅ 5 ve 2 < 5 olduğundan) sayısı, tüm 5 çarpanlarının sayısı kadardır.

DNA 124

DNA 123

2008! sayısının sonunda kaç tane 0 vardır? A) 400

B) 480

C) 498

D) 499

[(3!)!]! – 1

sayısının sonunda kaç tane 9 vardır? E) 500

A) 177

B) 178

C) 179

D) 180

E) 181

YGS MATEMATİK

91

Faktöriyel


Çözüm

Çözüm

[(3!)!]! – 1 sayısının sonundaki 9 ların sayısı, [(3!)!]! sayısının sonundaki 0 ların sayısı kadardır.

olduğu bilindiğine göre,

[(3!)!]! = [6!]! = 720!

1 ⋅ 1! + 2 ⋅ 2! + 3 ⋅ 3! + ... + n ⋅ n! = (n + 1)! – 1

720! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ 720 sayısı içinde

1 ⋅ (1!) + 2 ⋅ (2!) + 3 ⋅ (3!) + ... + 10 ⋅ (10!) = (10 + 1)! – 1

10 = 2 ⋅ 5

çarpanlarının sayısını bulacağız.

= 11! – 1

dir.

720 = 144 ⋅ 5

144 = 28 ⋅ 5 + 4

28 = 5 ⋅ 5 + 3

5=1⋅5

144 + 28 + 5 + 1 = 178 tane 5 çarpanı vardır.

720! = A ⋅ 10178

11 = 5 ⋅ 2 + 1 olduğundan, 11! sayısının sonunda 2 tane 0, 11! – 1 sayısının sonunda da 2 tane 9 vardır. Doğru Seçenek B

sayısının sonunda 178 tane 0 rakamı vardır. 720! – 1 = A ⋅ 10178 – 1

sayısının sonunda da 178 tane 9 rakamı bulunur. Doğru Seçenek B

T = 1 ⋅ 1! + 2 ⋅ 2! + 3 ⋅ 3! + ... + 19 ⋅ 19!

olduğuna göre, T + 1 sayısının sonunda kaç tane 0 vardır? 100! – 1 sayısının sonunda kaç tane 9 vardır? A) 2

B) 23

C) 24

D) 25

A) 1

B) 2

D) 4

C) 3

E) 5

E) 26

DNA 125 DNA 126

1 ⋅ 1! + 2 ⋅ 2! + 3 ⋅ 3! + ... + n ⋅ n! = (n + 1)! – 1

olduğu bilindiğine göre, 1 ⋅ (1!) + 2 ⋅ (2!) + 3 ⋅ (3!) + ... + 10 ⋅ (10!) = A

B) 2

92

YGS MATEMATİK

C) 3

D) 4

12!

2a ⋅ 3b

çift tam sayı olduğuna göre,

a + b nin en büyük değeri kaçtır?


a, b ∈ Z+ ve

E) 5

A) 9

B) 10

C) 14

D) 15

E) 16


Faktöriyel

Çözüm

DNA 127

12! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ 12 sayısı içinde 2 ve 3 çarpanlarının

88!

kaçar tane olduğunu bulmak için;

8n

sayısının bir tam sayı olduğu bilindiğine göre,

n pozitif tam sayısının en büyük değeri kaçtır?

12 sayısı art arda 2 ye bölünüp, bölenler toplamı alınır.

A) 11

12! = A ⋅ 2a

B) 12

C) 22

D) 27

E) 28

biçiminde yazılır.

12 = 6 ⋅ 2

6=3⋅2

Çözüm

3=1⋅2+1

6 + 3 + 1 = 10 8 = 23

tane 2 çarpanı vardır.

12 sayısı art arda 3 e bölünüp, bölenler toplamı alınır.

olduğundan, 88! sayısı içindeki 2 çarpanlarını arayalım.

12! = B ⋅ 3b biçiminde yazılır.

12 = 4 ⋅ 3

4=1⋅3+1

4+1=5

88 = 2 ⋅ 44

44 = 2 ⋅ 22

22 = 2 ⋅ 11 11 = 2 ⋅ 5 + 1

tane de 3 çarpanı vardır.

5=2⋅2+1

a = 10 alınır ve 12! içindeki tüm 2 çarpanları ile sadeleş-

2=2⋅1

tirilirse, elde edilen sayı tek olacağından a = 9 alınmak

44 + 22 + 11 + 5 + 2 + 1 = 85 tane 2 çarpanı,

zorundadır.

(23)28 ⋅ 2 = 828 ⋅ 2

a + b = 9 + 5 = 14

olduğundan, 28 tane 8 çarpanı vardır.


n nin en büyük değeri 28 dir. Doğru Seçenek E

20! 2n

ifadesinin bir tek sayı gösterdiği bilindiğine göre,

B) 15

C) 17

eşitliğinde A ve n pozitif tam sayıları için n nin en büyük değeri kaçtır?

N doğal sayısının değeri kaçtır? A) 10

99! = 9n ⋅ A

D) 18

E) 19

A) 11

B) 24

C) 33

D) 34

YGS MATEMATİK

E) 35

93

Faktöriyel


DNA 128

DNA 129

5, 10, 15, ..., 95, 100 aritmetik dizisinin tüm terim-

lerinin çarpımı olan sayının sondan kaç basamağı

olduğuna göre, K sayısının son üç basamağı aşa-

0 dır?

ğıdakilerden hangisidir?

A) 18

B) 19

C) 20

D) 21

E) 22

K = 44! – 4!

A) 000

B) 006

C) 076

D) 976

E) 996

Çözüm 5 ⋅ 10 ⋅ 15 ⋅ ... ⋅ 100 = (5 ⋅ 1)(5 ⋅ 2)(5 ⋅ 3) ... (5 ⋅ 20)

Çözüm

= 520 ⋅ 20!

sayının içindeki 10 = 2 ⋅ 5 çarpanlarının sayısını araya44! sayısı;

cağız.

20 = 2 ⋅ 10

44 = 5 ⋅ 8 + 4

10 = 2 ⋅ 5

8=5⋅1+3

5=2⋅2+1

sonunda 8 + 1 = 9 tane sıfır bulunan bir sayı,

2=2⋅1

4! = 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 24 olduğundan,

10 + 5 + 2 + 1 = 18 tane 2 çarpanı var.

20 = 5 ⋅ 4

520 ⋅ 54 = 524

K = 44! – 4! = ...0000 – 24 = ...9976 Son üç basamak 976 dır. Doğru Seçenek D

24 tane 5 çarpanı var. 218 ⋅ 524 = 218 ⋅ 518 ⋅ 56 = (2 ⋅ 5)18 ⋅ 56 = 56 ⋅ 1018 sayının sondan 18 basamağı 0 dır. Doğru Seçenek A

23! + 24! sayısının sonunda kaç tane 0 vardır? A) 4

94

B) 6

YGS MATEMATİK

C) 7

D) 9

E) 11

A = 75! – 5

sayısının son iki basamağı aşağıdakilerden hangisidir? A) 00

B) 05

C) 70

D) 85

E) 95


Faktöriyel

5.

TEST - 10

1.

(1004 !)2


B) 2

C) 4

D) 200

E) 400

x, y ∈ N olmak üzere,

2008 !

12 ⋅ x! = y!

olduğuna göre, y nin alabileceği değerlerin toplamı kaçtır? A) 11

B) 12

C) 13

D) 14

E) 16

6. 2.

2n

sayısı tek sayı olduğuna göre, n kaçtır? A) 11

x! + y! = 25 x!

B) 22

C) 33

D) 44

E) 242

eşitliğini sağlayan en büyük x sayısı kaçtır? A) 20

B) 21

C) 22

D) 23

E) 24

7. 3.

15 ! ⋅ 25 !

((3 !)!)! = k ⋅ n! 3!

(k ∈ Z + )

eşitliğini sağlayan en büyük n sayısı için n kaç-

A=

80 ! 40 !

sayısının sonunda kaç tane sıfır vardır? A) 8

B) 9

C) 10

D) 11

E) 12

tır? A) 718

4.

B) 719

C) 720

D) 721

E) 722

8.

A = 33! – 3!

olduğuna göre, A sayısının son iki basamağı aşağıdakilerden hangisidir? A) 00

B) 04

C) 06

D) 94

E) 96

6! ⋅ 7!


A) 8!

B) 8! + 1

D) 10!

C) 9!

E) 7! + 8

YGS MATEMATİK

95

Faktöriyel


9.

13. 48! sayısı 6 sayı tabanında yazıldığında sondan

n! ⋅ 5! = 6!

kaç basamağı 0 olur?


B) 2

C) 3

D) 4

A) 20

E) 5

B) 22

C) 24

D) 25

E) 26

14. 1000! sayısı 7n ile bölünebilmektedir. 10.

(1!)2 + (2!)2 + (3!)2 + ... + (10!)2

tır?

toplamından elde edilen sayının birler basamağındaki rakam kaçtır? A) 0

B) 3

Buna göre, n in en büyük tam sayı değeri kaç-

A) 144

C) 6

D) 7

7! + 8! + 9! + ... + 2008!

toplamının onlar basamağında hangi rakam bu-

B) 3

C) 4

D) 6

12. 500! sayısının sonunda kaç tane 0 vardır?

1. E

96

2. D

B) 218 3. B

YGS MATEMATİK

C) 432 4. D

5. B

D) 500 6. C

E) 168

1! + 4! + 5!

B) 10!

C) 145

D) 154

E) 720

E)9

16. A) 124

D) 164

toplamının eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) 5!

lunur? A) 1

C) 152

E) 9

15. 11.

B) 146

E) 615

7. C

8. D


9. C

100 ! 250 ⋅ 510

10. D

B) 14 11. C

12. A

C) 12 13. B

D) 10 14. D

15. C

E) 8 16. B


BÖLME

Eşitliği sağlayan sayılar;

TANIM

BÖLÜM = 10

A, B, C, D ∈ N ve B ≠ 0 için, A

B

olur.

A = B⋅C +D

C

D

Kalan = 4

BÖLÜM + KALAN = 10 + 4 = 14

0≤D
Doğru Seçenek D

A: BÖLÜNEN

B: BÖLEN

C: BÖLÜM

D: KALAN

Uyarı Pek çok arkadaşımızın düştüğü; 234 sayısının ilk iki basamağı olan 23 te, bölen 23 sayısı 1 defa var, bölüm 1, kalan 4 tür, yanlışına düşmeyin.

BÖLÜNEN = BÖLEN × BÖLÜM + KALAN

Bu durumda;

(BÖLÜM ÖZDEŞLİĞİ)

234 = 23 ⋅ 1 + 4 eşitliğinin doğru olmadığına dikkat edilmelidir. Bölme işlemi sırasında; bölünen sayıdan basamak inBÖLÜNEN

64

12 BÖLEN 5 BÖLÜM

KALAN

60 4

dirildiğinde, ilk kalanla birlikte bölenden küçük ise bir 64 = 12 × 5 + 4

basamak daha indirmeden, bölüme 0 basamağının eklenmesi unutulmamalıdır.

DNA 130

ab3 üç basamaklı sayısı, ab iki basamaklı sayısına bölünüyor.

234

23

Yandaki

BÖLÜM

göre, bölüm ile kalanın top-

KALAN A) 4

bölme

işlemine

lamı kaçtır? B) 5

C) 10

D) 14

Bölüm ile kalanın toplamı kaçtır? A) 3

Bölme işlemi, bölüm özdeşliği şeklinde yazıldığında,

234 = 23 ⋅ BÖLÜM + KALAN

C) 10

E) 13

D) 12

E) 15

DNA 131

Çözüm BÖLÜNEN = BÖLEN × BÖLÜM + KALAN

B) 4

abcd dört basamaklı sayısı, 19 sayısına bölünüyor. Kalanın alabileceği değerlerin toplamı kaçtır? A) 18

B) 37

C) 171

D) 190

E) 201

YGS MATEMATİK

97

Bölme


Çözüm

Çözüm

Kalan 19 dan küçük her doğal sayı olabilir. 0 + 1 + 2 + 3 + ... + 18 =

abc = ab0 + c = ab ⋅ 10 + c

18 ⋅ 19 = 171 2

çözümlemesi ile bölüm özdeşliği karşılaştırıldığında; tam bölünmelerde kalan 0 olacağından, c = 0 olmalıdır.

olur.

ab0 ın en büyük değeri; 980 Doğru Seçenek C

en küçük değeri; 120

dir. Toplam: 980 + 120 = 1100 olur. Beş basamaklı bir doğal sayı, üç basamaklı bir doğal

Doğru Seçenek D

sayıya bölündüğünde, kalan sayı en çok kaç olabilir? A) 9

B) 98

D) 998

C) 99

E) 999

Not A

abcabc altı basamaklı sayısı, abc üç basamaklı sayısının kaç katıdır?

B C

D = 0 ise A = B ⋅ C

A) 11

D

B) 101

C) 111

D) 1001

E) 1111

Kalan 0 ise bölen ile bölümün çarpımı bölünen sayıyı ve-

Işık 15

rir. B sayısına, A nın bir böleni (veya çarpanı) denir.

A

(ya da A ya B nin katıdır denir.) Kısaca; “a sayısı, b sayısına bölünebilir” diyerek ifade edilir.

B C

D

bölme işleminde A – D ve A + (B – D) sayıları, B sayısına tam bölünür.

Tam bölünmelerde; kalan sıfıra eşittir.

Bölünenden, kalan çıkarılır veya bölünene, bölen ve kalanın farkı eklenirse elde edilen yeni sayı bölenin

DNA 132

katı olur.

a, b ve c farklı rakamlar olmak üzere, abc üç basamaklı sayısı, ab iki basamaklı sayısına tam olarak

DNA 133

bölünebildiğine göre, abc sayısının en büyük ve en küçük değerlerin toplamı kaçtır? A) 860

98

B) 980

D) 1100

YGS MATEMATİK

E) 1200

C) 1000

2018 sayısından büyük, 26 sayısına bölünebilen en küçük sayının rakamlarının toplamı kaçtır? A) 9

B) 10

C) 12

D) 13

E) 16


Bölme

Çözüm

DNA 134

2018 sayısını 26 ya bölme işleminde; 678

2018 = 26 ⋅ 77 + 16 olduğundan,

Kalan

Bölüm: 77, Kalan: 16 dır.

A) 2

Bölen ile kalanın farkı

Yandaki 9

bölme

işleminde

kalan 9 dan küçük olduğuna göre, kaçtır?

B) 3

C) 4

D) 6

E) 8

: 26 – 16 = 10

Bölünen ile farkın toplamı : 2018 + 10 = 2028

Çözüm

Bu sayı, 26 nın katı olan, 2018 den büyük, en küçük sayıdır.

678 9 63 75

Rakamları toplamı: 2 + 0 + 2 + 8 = 12 dir.

48 45 3

Doğru Seçenek C

Kalan 3 tür. Doğru Seçenek B

2018 sayısından küçük, 26 sayısına bölünebilen en büyük sayının rakamlarının toplamı kaçtır? A) 4

B) 10

C) 12

D) 13

E) 16

Işık 16 A

B C

876

bölme işleminde D < C ise B ile C aralarında yer değiştirebilir.

D

? A) 72

?

Yandaki bölme işleminde ka-

8

lan ile bölenin toplamı kaçtır?

B) 75

C) 78

D) 109

E) 113

Kalan < Bölüm

ise bölen ile bölüm yer değiştirebilir. 17

3

işlemi yerine 2 < 3 olduğundan

2 17

5

a=b⋅q+r yazılabilir.

ifadesi yerine

4

Eğer, a=b⋅q

3 5

4

olacak şekilde ve tek türlü belirlenen q, r ∈ Z vardır. (0 ≤ r < b)

5 3

19

a, b ∈ N ve b ≠ 0 ise

3

2 19

TANIM

5

ifadesi yazılamaz (4 < 3) .

olacak şekilde bir q ∈ N varsa b sayısına a nın bir böleni (ya da a ya b nin bir katı) denir. “a sayısı, b sayısına bölünebilir” diyerek ifade edilir.

YGS MATEMATİK

99

Bölme


Işık 17

DNA 136

a sayısı b nin bir böleni ve b sayısı da c nin bir böleni

a ve b pozitif tam sayılarının 7 ile bölümünden kalanlar

ise, a sayısı c nin de bir bölenidir.

sırası ile 3 ve 4 tür.

4⋅a+5⋅b

toplamının 7 ile bölümünden kalan kaçtır?

DNA 135

A) 2

B) 3

C) 4

D) 5

E) 6

A pozitif tam sayısı, B sayısının 4 katı, B sayısı da C sayısının 6 katı olduğuna göre, A sayısı, C sayı-

Çözüm

sının kaç katıdır? A) 4

B) 6

C) 12

D) 24

E) 48

a=7⋅x+3 4 ⋅ a = 4(7x + 3) = 28x + 12

Çözüm A pozitif tam sayısı, B sayısının 4 katı;

b=7⋅y+4

5 ⋅ b = 5(7y + 4) = 35y + 20

bölüm özdeşlikleri yazıldığında;

A=4⋅B

4 ⋅ a + 5 ⋅ b = (28x + 12) + (35y + 20)

B sayısı da C sayısının 6 katı; B=6⋅C Eşitlikleri bir arada kullandığımızda;

= 28x + 35y + 32

= 7(4x + 5y + 4) + 4

Toplamın 7 ile bölümünde,

A = 4 ⋅ B = 4 ⋅ (6 ⋅ C) = 24 ⋅ C

bölüm; 4x + 5y + 4

olur.

kalan; 4 tür.

A sayısı, C nin 24 katıdır. Doğru Seçenek C Doğru Seçenek D

A doğal sayısı 8 e bölündüğünde 5 kalanını, B doğal sayı-

A, B, C pozitif tam sayıları göstermek üzere, A sayısı B nin 3 katı, B sayısı da C nin 4 katı olduğuna göre, A) 2

100

A+B işleminin sonucu kaçtır? 8⋅C B) 3

YGS MATEMATİK

C) 4

D) 6

sı 8 e bölündüğünde x kalanını veriyor. A + B toplamı 8 e bölündüğünde 3 kalanını verdiğine göre, x kaçtır?

E) 12

A) 4

B) 5

C) 6

D) 7

E) 8


Bölme

DNA 137

DNA 138

ab iki basamaklı sayısının 7 ile bölümünden kalan 1

Dört basamaklı bir sayı 131 ile bölündüğünde 112 ka-

dir.

lanını, 132 ile bölündüğünde 98 kalanını vermektedir.

ab sayısının her rakamının sayı değeri 3 artırılırsa,

Bu sayı kaçtır?

bulunan yeni sayının 7 ile bölümünden kalan kaç

A) 1945

olur? A) 2

B) 3

C) 4

D) 5

E) 6

B) 1946

D) 1948

C) 1947

E) 1949

Çözüm

Çözüm ab sayısının her rakamının sayı değeri 3 artırılırsa, yeni

Bölüm özdeşliği gereğince, A = 131x + 112

sayı,

ab + 33

A = 132y + 98

yazılır.

olur.

İkinci eşitlikte; ab sayısının 7 ile bölümünden kalan 1, 33 ün 7 ile bölü-

A = 132y + 98 = (131 + 1)y + 98 = 131y + y + 98

münden kalan 5 olduğundan ab + 33 ün 7 ile bölümünden

işlemleri yapılır ve birinci eşitlik ile karşılaştırılırsa;

kalan

x = y ve y + 98 = 112 den

1+5=6

dır.

x = y = 14


A = 131 ⋅ 14 + 112 = 1946

dır. Doğru Seçenek B

ab iki basamaklı sayısının 11 ile bölümünden kalan 3 tür. ab sayısında a rakamı 2, b rakamı 4 artırılırsa, bulunan yeni sayının 11 ile bölümünden kalan kaç olur? A) 3

B) 4

C) 5

D) 6

E) 7

Üç basamaklı bir sayı 12 ile bölündüğünde 9 kalanını, 13 ile bölündüğünde 1 kalanını vermektedir. Bu üç basamaklı sayının rakamları toplamı kaçtır? A) 4

B) 5

C) 6

D) 7

YGS MATEMATİK

E) 8

101

Bölme


DNA 139

DNA 140 A ve n pozitif tam sayılardır.

x42y ve x34y dört basamaklı sayıları sırası ile 9 un A ve B katıdır.

n

Buna göre, A – B farkı kaçtır? A) 7

B) 8

n2

A

C) 9

24 D) 10

E) 11 Yukarıdaki bölme işlemine göre, A nın en küçük değeri kaçtır? A) 124

Çözüm

B) 149

D) 189

C) 164

E) 224

x43y = x ⋅ 1000 + 4 ⋅ 100 + 3 ⋅ 10 + y x34y = x ⋅ 1000 + 3 ⋅ 100 + 4 ⋅ 10 + y

Çözüm

çözümlemeleri taraf tarafa çıkarıldığında; x43y – x34y = (x ⋅ 1000 + 430 + y) – (x ⋅ 1000 + 340 + y)

24 < n2 olacağından n nin en küçük değeri 5 tir.

x43y – x34y = 90

A = n2 ⋅ n + 24

A = 52 ⋅ 5 + 24

A = 125 + 24

A = 149

x43y = 9 ⋅ A

x34y = 9 ⋅ B

x43y – x34y = 9 ⋅ A – 9 ⋅ B

90 = 9(A – B)

A – B = 10

bölüm özdeşlikleri

Doğru Seçenek B


A ve n pozitif tam sayılardır. A

35 x

5a2b ve 2a4b dört basamaklı sayıları sırası ile 20 nin x ve y katıdır.

102

B) 73

YGS MATEMATİK

Yukarıdaki bölme işlemine göre, A nın en büyük değeri kaçtır?

Buna göre, x – y farkı kaçtır? A) 35

x2

C) 94

D) 127

E) 149

A) 175

B) 185

C) 190

D) 200

E) 210


Bölme

TEST - 11

5.

n tam sayısının 8 ile bölümünden kalan 3 tür.

Buna göre, 6 ⋅ n sayısının 8 ile bölümünden kalan kaç olur?

1.

n pozitif tam sayısının 5 ile bölümünden kalan 3 tür.

Aşağıdaki sayılardan hangisi 5 ile bölünebilir?

A) n + 3

B) n + 2

D) n – 1

A) 0

B) 1

A ve B doğal sayıları için,

C) 5

D) 6

E) 9

ve

A + B = 185

5

olduğuna göre, A – B farkı kaçtır? A) 108

3.

B 4

1170 sayısının en az kaç katı 60 ile tam bölünür? B) 3

E) 4

E) n – 2

A

A) 2

D) 3

C) n + 1

6. 2.

C) 2

B) 113

C) 119

D) 121

E) 149

7 ⋅ n sayısı, 5 ile bölündüğünde 3 kalanını vermektedir.

Buna göre, n in en küçük pozitif tam sayı değeri kaçtır? A) 1

7.

İki basamaklı bir sayının, rakamları toplamına bölümünden kalan en çok kaç olabilir?

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

A) 12

B) 13

C) 14

D) 15

E) 16

4.

Bir N sayısının x ile bölümünden kalan 24 tür.

2 ⋅ N sayısının x ile bölümünden kalan 11 olduğu-

sayısına bölündüğünde bölüm ile kalanın farkı 6

na göre, x kaçtır?

olduğuna göre, bölüm ile kalanın toplamı kaçtır?

A) 13

B) 35

C) 37

D) 42

E) 59

8.

Dört basamaklı abcd sayısı üç basamaklı abc

A) 14

B) 15

C) 16

D) 17

E) 18

YGS MATEMATİK

103

Bölme

9.


a ve b farklı rakamlar olmak üzere, 1a3 üç basamaklı

13. Pozitif iki sayıdan biri diğerinin üç katıdır. 54 sayısı-

sayısı b6 iki basamaklı sayısına bölündüğünde bö-

nın her iki sayıya bölümünden elde edilen bölümler

lüm 5, kalan 13 olmaktadır.

arasındaki fark 4 olup, kalanlar sıfırdır.

Buna göre, a + b toplamının en büyük değeri kaç-

tır?

A) 5

A) 6

B) 9

C) 12

D) 15

B) 9

C) 12

D) 18

E) 27

E) 16

10. ab ve cd iki basamaklı sayılarının 9 ile bölümlerinden

Buna göre, bu iki sayı arasındaki fark kaçtır?

14. 1717 sayısının 17 ye bölümünden elde edilen bö-

kalanlar sırasıyla 7 ve 5 tir.

lüm kaç olur?

abcd dört basamaklı sayısının 9 ile bölümünden

A) 10

B) 11

C) 100

D) 101

E) 110

kalan kaçtır? A) 3

B) 4

C) 5

D) 6

E) 7

15. Bir 11. M sayısının 9 ile bölümünden kalan 6, N sayısının 27 ile bölümünden kalan 9 olduğuna göre, M ⋅ N

Buna göre, A sayısının 12 ile bölümünden kalan

çarpımının 27 ye bölümünden kalan kaç olur?

kaçtır?

A) 0

A) 2

B) 6

C) 9

D) 15

E) 18

12. 242 sayısı x e bölündüğünde 8 kalanını, 698 sayısı x e bölündüğünde 9 kalanını vermektedir.

A doğal sayısı 3 ile bölündüğünde bölüm x,

kalan 2; x sayısı 4 ile bölündüğünde kalan 1 dir.

1. B

104

2. A

D) 5

E) 7

bölündüğünde; bölüm 2x + 1, kalan 1 dir.

A sayısı 7 ile bölündüğünde; bölüm 9, kalan x – 1 olduğuna göre, A sayısı kaçtır?

kaçtır? A) 11

C) 4

16. A ve x pozitif tam sayılar olmak üzere, A sayısı 6 ile

242 ve 698 sayılarının toplamının aynı sayıya bölümünden kalan 4 olduğuna göre, ortak bölen

B) 3

B) 13 3. D

YGS MATEMATİK

C) 17 4. C

5. C

D) 19 6. B

A) 67

E) 23 7. D

8. A

9. C

10. A

B) 71 11. A

12. B

C) 72 13. D

D) 75 14. D

15. D

E) 83 16. A


BÖLÜNEBİLME KURALLARI

Çözüm

GİRİŞ

ile bölünebileceğini ve bölme işlemi sonucunda kalanın

2841 sayısının basamaklarındaki rakamların sayı değerleri toplamı,

kaç olacağını bölme işlemi yapmadan bulma yöntemleri

2 + 8 + 4 + 1 = 15

Bu bölümde; verilen bir doğal sayının, hangi doğal sayılar

anlatılacaktır.

olup, 3 ün katıdır.

En küçük doğal sayı olan 0 ile başlayalım.

Doğru Seçenek E

“Hangi sayılar 0 ile bölünebilir?” sorusunun yanıtı “0 sayısı ile bölme işlemi tanımsız” olmalıdır. Herhangi bir sayının, 0 sayısı ile bölümünden söz edilemez. TANIMSIZdır. 457a dört basamaklı sayısı 3 ile bölünebildiğine göre,

a TANIMSIZ = 0

a nın alabileceği değerlerin toplamı kaçtır? A) 8

Doğal sayıların tümü, 1 ile bölünebilir.

B) 9

C) 12

D) 15

E) 18

Bir doğal sayının 1 e bölümü, kendisine eşittir.

DNA 142

a =a 1

56a8 dört basamaklı sayısının, 3 ile bölümünden

Işık 18

kalan 1 olduğuna göre, a nın alabileceği kaç farklı değer vardır?

Birler basamağı çift (0, 2, 4, 6 ,8) olan sayılar, 2 ile

A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

bölünebilir.

Çözüm 56a8 sayısının basamaklarındaki rakamların sayı değerleri toplamı,

Işık 19 Rakamları toplamı 3 ve 3 ün katı olan sayılar, 3 ile

5 + 6 + a + 8 = 19 + a

bölünebilir.

dır.

Rakamları toplamının 3 e bölümünden kalan, sayının

Sayının 3 ile bölümünden kalanın 1 olması için, rakamları toplamının 3 e bölümünden kalanın 1 olması gerekir.

3 e bölümünden kalana eşittir.

19 + a = 3k + 1 (k ∈ Z) olmalıdır.

DNA 141

a = 0, 3, 6, 9

Aşağıdaki sayılardan hangisi 3 ile bölünebilir? A) 43

B) 76

D) 542

E) 2841

C) 125

için koşul sağlanır. a, dört farklı değer alabilir. Doğru Seçenek D

YGS MATEMATİK

105

Bölünebilme


4A12 dört basamaklı sayısının, 3 ile bölümünden ka-

73A2 dört basamaklı sayısı 4 ile bölünebildiğine göre,

lan 2 olduğuna göre, A nın alabileceği değerlerin top-

A nın alabileceği kaç farklı değer vardır?

lamı kaçtır? A) 7

A) 1 C) 12

B) 9

D) 15

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

E) 18

Işık 20

DNA 144

Bir doğal sayının onlar ve birler basamağındaki rakamların oluşturduğu iki basamaklı sayı, 4 ün katı ise;

8765a beş basamaklı sayısı 4 ile bölündüğünde 3 ka-

bu doğal sayı 4 ile bölünebilir.

lanını vermektedir.

Son iki basamağın oluşturduğu sayının 4 ile bölümün-

Buna göre, a nın alabileceği değerler toplamı kaç-

deki kalan, sayının 4 ile bölümündeki kalanı verir.

tır?

“Onlar basamağındaki sayının iki katı ile birler basa-

A) 9

B) 10

C) 12

D) 15

E) 19

mağının toplamı 4 ün katı olan sayılar, 4 ile bölünebilir.” (...a1a0 doğal sayısında 2a1 + a0 toplamı, 4 ün katı ise,

Çözüm

bu sayı 4 ile bölünür.)

8765a sayısının son iki basamağının oluşturduğu 5a iki basamaklı sayısının 4 ile bölümünden 3 kalanı bulunma-

Not

lıdır. 5a = 4k + 3 (k ∈ Z)

Art arda iki kez 2 ile bölünebilen sayılar, 4 ile bölünebilir. olmalıdır.

DNA 143

a = 1, 5, 9 için koşul sağlanır. 1 + 5 + 9 = 15

Aşağıdaki sayılardan hangisi 4 ile bölünebilir? A) 134

B) 238

D) 526

C) 312

a nın alabileceği değerler toplamıdır. Doğru Seçenek D

E) 622

Çözüm 312 sayısının son iki basamağı 12 olup, 12 = 3 ⋅ 4 123a dört basamaklı sayısının 4 ile bölümünden kalan

sayısı 4 ün katıdır.

1 olduğuna göre, a nın alabileceği kaç farklı değer var-

312 sayısı, 4 ile bölünebilir.

dır? Doğru Seçenek C

106

YGS MATEMATİK

A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5


Bölünebilme Kuralları

DNA 145

Işık 21

2327 sayısından en az hangi pozitif tam sayı çıka-

Birler basamağı 0 veya 5 olan sayılar, 5 ile bölüne-

rılırsa bulunan sayı 2, 3 ve 4 ile tam olarak bölü-

bilir.

nebilir? A) 11

Birler basamağının 5 ile bölümündeki kalan, sayının B) 12

C) 16

D) 26

E) 102

5 ile bölümünden kalanı verir.

Çözüm

DNA 146 20067 + 20068 sayısının 5 ile bölümünden kalan

4 ile bölünebilen sayılar, 2 ile de bölünebilir.

kaçtır?

Hem 3 hem de 4 ile bölünebilen en küçük pozitif tam sayı

A) 0

12 dir. 12 ile bölünebilen sayılar, hem 3 hem 4 ve hem de 2 ile

B) 1

C) 2

D) 3

E) 4

Çözüm

bölünebilir.

Birler basamağı 6 olan sayıların, tüm kuvvetlerinin birler

2327 = 12 ⋅ 193 + 11

basamağı 6 dır.

olduğundan, 2327 nin 12 ile bölümünden kalan 11 dir. Sayıdan 11 çıkarıldığında (veya 1 eklendiğinde) bulunan sayı 12 ile (2, 3 ve 4 ile) bölünebilir.

20067 ve 20068 kuvvetlerinin de birler basamağı 6 dır. 6 nın 5 ile bölümünden kalan 1 olduğundan; 20067 ve 20068 in 5 ile bölümünden kalanlar 1 dir. Toplamın 5 ile bölümünden kalan, 1+1=2

Doğru Seçenek A dir.

Doğru Seçenek C

12 ye bölündüğünde 11 kalanını veren pozitif bir tam

2009 ⋅ 2008 – 2007 ⋅ 2006

sayının 3 ile bölümünden kalan a, 4 ile bölümünden

kalan b olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır?

sayısının 5 ile bölümünden kalan kaçtır?

A) 2

B) 3

C) 4

D) 5

E) 6

A) 0

B) 1

C) 2

D) 3

YGS MATEMATİK

E) 4

107



DNA 147

Işık 22

Rakamları birbirinden farklı olan, üç basamaklı 4ab sayısı 3 ve 5 ile kalansız bölünebiliyor.

Rakamları toplamı 3 ün katı olan çift sayılar 6 ile bö-

Buna göre, a kaç farklı değer alabilir? A) 3

B) 4

C) 5

D) 6

2 ve 3 ile bölünebilen sayılar, 6 ile bölünebilir.

lünebilir. E) 7

DNA 148 abc üç basamaklı sayısının 6 katı xy02 olduğuna

Çözüm

göre, x + y toplamı kaç farklı değer alır?

3 ile bölünebilmesi için rakamları toplamı 3 ün katı olma-

A) 2

B) 3

C) 4

D) 5

E) 6

lıdır. 4 + a + b = 3k (k ∈ Z)

Çözüm

5 ile bölünebilmesi için birler basamağı 0 veya 5 olmalı6 ⋅ abc = xy02

dır.

verildiğinden xy02 sayısı 6 ile bölünebilir. (6 nın katıdır)

b = 0 veya b = 5

b = 0 için; 4 + a + 0 = 3k a = 2, 5, 8 olabilir.

b = 5 için; 4 + a + 5 = 3k

a = 0, 3, 6, 9 olur.

Rakamları farklı olacağından;

2 ve 3 ile bölünebilmelidir. Birler basamağı 2 olduğundan sayı çifttir. x+y+0+2=3⋅k

(3 ün katı olacak)

k = 1, 2, 3, ... için x + y toplamı 1, 4, 7, 10, 13, 16 olabilir.

a = 2, 5, 8, 0, 3, 6, 9

6 ⋅ 999 = 5994

olmak üzere, 7 farklı değer alabilir.

olduğundan xy02 sayısında x + y toplamı en çok 5 + 9 = 14

Doğru Seçenek E

olabilir. 16 alınamayacağından 5 farklı değer alabilir. Doğru Seçenek D

4 ve 5 ile bölünebilen iki basamaklı kaç tane doğal sayı yazılabilir? A) 3

108

B) 4

YGS MATEMATİK

C) 5

D) 6

E) 8

5aaaa beş basamaklı sayısı 6 ile bölünebildiğine göre, a kaçtır? A) 0

B) 2

C) 4

D) 6

E) 8



Not

DNA 149 Aşağıdaki sayılardan hangisi 2, 3, 4, 5 ve 6 sayıları

Art arda üç kez 2 ile bölünebilen sayılar, 8 ile bölünebilir.

ile bölünebilen en küçük pozitif tam sayıdır? A) 24

B) 36

C) 60

D) 75

DNA 150

E) 120

1, 3, 6 rakamları birer kez kullanılarak yazılabilecek üç basamaklı farklı sayılardan; 4 ile bölünebilen

Çözüm

A sayısının, 8 ile bölünebilen B sayısı ile toplamı kaçtır?

6 ya bölünebilen sayılar, 2 ve 3 e,

4 e bölünebilen sayılar 2 ye

A) 136

bölünebilir.

4 ve 6 ya bölünebilen sayılar 12 ile

12 ve 5 e bölünebilen sayılar 60 ile

B) 180

D) 452

C) 316

E) 496

Çözüm

bölünebilir.

A ve B sayıları, sırası ile 4 ve 8 ile bölüneceğinden önceDoğru Seçenek C

likle 2 ile bölünebilmelidir. Bunun için birler basamakları çift olmalıdır. Sayı 6 ile bitmelidir.

316 : 2 = 158

158 : 2 = 79

316 sayısı iki kez 2 ile bölünebildiğinden, A = 316 sayısı 4 ile bölünebilir.

136 : 2 = 68

68 : 2 = 34

34 : 2 = 17

6 ile bölünebilen iki basamaklı en büyük doğal sayı ile

136 sayısı üç kez 2 ile bölünebildiğinden, B = 136 sayısı

iki basamaklı en küçük doğal sayının toplamı kaçtır?

8 ile bölünebilir.

A) 96

B) 102

C) 108

D) 114

E) 120

A + B = 316 + 136 = 452 olur. Doğru Seçenek D

Işık 23 Bir doğal sayının yüzler, onlar ve birler basamağındaki rakamların oluşturduğu üç basamaklı sayı, 8 in katı ise; bu doğal sayı 8 ile bölünebilir. Son üç basamağın oluşturduğu sayının 8 ile bölümün-

476 476 sayısının 8 ile bölümünden kalan kaçtır?

deki kalan, sayının 8 ile bölümündeki kalanı verir.

A) 2

B) 3

C) 4

D) 5

YGS MATEMATİK

E) 6

109



DNA 151

DNA 152

23A5B beş basamaklı sayısı 8 ile bölünebilmektedir.

3A4A5A altı basamakı sayısı 9 ile bölünebilmektedir.

B nin alabileceği değerler toplamı kaçtır?

A nın alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?

A) 6

B) 8

C) 10

D) 12

E) 18

A) 8

Çözüm

B) 10

C) 15

D) 18

E) 24

Çözüm

23A5B sayısı 8 ile bölünebiliyorsa; A çift iken; 5B sayısı

3 + A + 4 + A + 5 + A = 12 + 3A = 9 ⋅ k

8 in katı olmalıdır. olmalıdır.

B = 6 için 56 = 7 ⋅ 8 A tek iken; 5B sayısının 4 eksiği 8 in katı olmalıdır.

k nin 2, 3 ve 4 değerleri için; A rakamı 2, 5 ve 8 olabileceğinden,

B = 2 için 52 – 4 = 48 = 6 ⋅ 8

2 + 5 + 8 = 15

B nin alabileceği değerler 6 ve 2 dir.

olur.

Toplam: Doğru Seçenek C

6+2=8 olur. Doğru Seçenek B

x ∈ Z olmak üzere, [3(230 + x)]2 = 140a25

9876A sayısının 8 ile bölümünden kalan 3 olduğuna


göre, A kaç olmalıdır?

A) 1

A) 1

B) 3

C) 5

D) 7

C) 6

D) 7

E) 8

E) 9

DNA 153

Işık 24 Rakamları toplamı 9 un katı olan sayılar, 9 ile bölü-

735726a sayısının 9 ile bölümünden kalan 1 dir. Aynı sayı 8 sayı tabanında yazıldığında birler ba-

nebilir. Rakamları toplamının 9 ile bölümünden kalan, sayının 9 ile bölümünden kalanı verir.

110

B) 3

YGS MATEMATİK

samağı kaç olur? A) 1

B) 2

C) 3

D) 5

E) 7



Çözüm

DNA 154

735726a sayısının 9 ile bölümünden kalan 1 ise;

1 + 9 + 92 + 93 + ... + 92007

7 + 3 + 5 + 7 + 2 + 6 + a = 9k + 1


dir.

B) 1

C) 6

D) 7

E) 9

30 + a = 9k + 1 k = 4 için a = 7 olmalıdır.

Çözüm

7357267 sayısını 8 sayı tabanında yazarken birler basamağına, 7357267 sayısının 8 ile bölümünden kalan geleceğinden,

Toplamdaki terimleri teker teker incelediğimizde; 9 un tek kuvvetlerinin 9,

267 sayısında, 2 çift,

91 = 9, 93 = 729, 95 = 59049, ...

67 = 8 ⋅ 8 + 3

9 un çift kuvvetlerinin 1,

olduğundan aranan rakam 3 tür.

92 = 81,

94 = 6561, ...

Doğru Seçenek C ile sonlandığını görebiliriz. Toplamdaki terimlerin yarısının birler basamağı 1, diğer yarısının birler basamağı 9 olduğundan, toplamın birler basamağı, 1 + 9 = 10

23A5B beş basamaklı sayısının 9 ile bölümünden kalan 4 olduğuna göre, A + B toplamı kaç farklı değer

olup, birler basamağındaki rakam 0 dır.

alabilir? A) 2

B) 3

C) 4

D) 5

Doğru Seçenek A

E) 6

Işık 25 Birler basamağı 0 olan sayılar, 10 ile bölünebilir. Sayının birler basamağındaki rakamın sayı değeri, verilen sayının 10 ile bölümünden kalandır.

20052006 + 20062007

sayısının birler basamağındaki rakam kaçtır? A) 0

B) 1

C) 5

D) 6

YGS MATEMATİK

E) 9

111



DNA 155

Işık 26

4, 5, 6, 8, 10 sayılarına bölündüğünde 3 kalanını

Tek numaralı basamaktaki rakamlar toplamı ile çift

veren en küçük pozitif üç basamaklı tam sayının

numaralı basamaktaki rakamlar toplamının farkı 11 in

rakamları toplamı kaçtır?

katı olan sayılar, 11 ile bölünebilir.

A) 3

B) 4

C) 5

D) 6

E) 7

(N = 100A + B için A + B sayısı 11 in katı ise, N sayısı 11 ile bölünebilir.) Tek numaralı basamaktaki rakamlar toplamı ile çift numaralı basamaktaki rakamlar toplamının farkının 11 ile bölümünden kalan, sayının 11 e bölümünden

Çözüm

kalanı verir.

8 e bölünebilen sayılar 4 e,

DNA 156

10 a bölünebilen sayılar 5 e, 6 ve 8 e bölünebilen sayılar da 24 e bölünebilir.

582463a7 sayısının 11 e bölünebilmesi için a kaç olmalıdır?

24 ve 10 a bölünebilen sayılar 120 ye bölünebilir.

A) 0

4, 5, 6, 8 ve 10 sayılarına bölünebilen en küçük pozitif tam

B) 1

C) 3

D) 7

E) 9

sayı 120,

Çözüm

4, 5, 6, 8 ve 10 sayılarına bölündüğünde 3 kalanını veren en küçük pozitif tam sayı 123 tür.

582463a7 (8 + 4 + 3 + 7) – (5 + 2 + 6 + a) = 22 – (13 + a)

123 ün rakamları toplamı:

= 9 – a = 11 ⋅ k

1+2+3=6

k = 0 için,


9 – a = 0 ve a = 9 olmalıdır. Doğru Seçenek E

8 ve 10 sayılarına bölündüğünde 7 kalanını veren üç basamaklı en büyük doğal sayının rakamları toplamı

27381a altı basamaklı sayısının 11 e bölünebilmesi

kaçtır?

için a kaç olmalıdır?

A) 15

112

B) 16

YGS MATEMATİK

C) 18

D) 19

E) 22

A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5



Çözüm

DNA 157

aabb = a ⋅ 1000 + a ⋅ 100 + b ⋅ 10 + b = 1110 ⋅ a + 11 ⋅ b

22227777 sayısının iki basamaklı en büyük böleni kaçtır? A) 11

B) 33

C) 66

D) 77

E) 99

= 11(100 ⋅ a + b)

= 11 ⋅ a0b

Çözümlenmesinden elde edilen çarpımın bir tam kare olması için, a0b sayısı içinde 11 çarpanı bulunmalıdır.

Çözüm

(Sayı 11 in katı olmalıdır)

22227777 sayısında;

a0b sayısının 11 ile bölünebilmesi için de,

2 + 2 + 2 + 2 + 7 + 7 + 7 + 7 = 36 = 4 ⋅ 9

(a + b) – 0 = 11k

olduğundan, sayı 9 ile bölünebilir.

(2 + 2 + 7 + 7) – (2 + 2 + 7 + 7) = 18 – 18 = 0 = 0 ⋅ 11

a + b = 11

olmalıdır.

olduğundan sayı 11 ile de bölünebilir.

Doğru Seçenek C

9 ve 11 ile bölünebilen sayılar 99 ile bölünebilir. Doğru Seçenek E

Aşağıdaki doğal sayılardan hangisi bir doğal sayının karesidir? Rakamları farklı, 9 basamaklı, 11 ile bölünebilen

A) 4477

en küçük doğal sayı aşağıdakilerden hangisidir?

A) 102345678

B) 102347586

C) 123456789

D) 123458596

B) 5566

D) 7744

C) 6655

E) 3388

E) 123456798

TANIM

DNA 158

1 den başka ortak böleni olmayan doğal sayılara, aralarında asaldır denir.

Dört basamaklı, tam kare doğal sayılar arasında sadece bir tanesi aabb biçimindedir. Buna göre, a + b toplamı kaçtır? A) 6

B) 9

C) 11

D) 13

E) 14

7 ; 13

12 ; 25

24 ; 29

4 ; 6 ; 27

Sayıları aralarında asaldır.

YGS MATEMATİK

113



Işık 27 Beş basamaklı, rakamları farklı A321B doğal sayısı

3 ve 4 ile bölünebilen sayılar, 12 ile bölünebilir.

12 ile bölünebildiğine göre, A kaç olmalıdır? A) 3

B) 4

C) 6

E) 9

D) 8

Uyarı 3 ve 4 sayıları aralarında asal olup, 12 = 3 ⋅ 4 tür.

DNA 160

12 = 2 ⋅ 6 olduğu halde, 2 ve 6 aralarında asal olmadığından;

n pozitif tam sayısı 3, 5 ve 12 ile bölünebilmektedir.

2 ve 6 ile bölünebilen sayılar 12 ile bölünebilir deni-

Aşağıdakilerden hangisi aynı sayılar ile bölünebi-

lemez.

lir? A) n – 2

DNA 159

B) n – 1

D) n + 15

C) n +1

E) n + 60

5613a8 sayısı 12 ile bölünebildiğine göre, a kaçtır? A) 3

B) 4

C) 5

D) 6

E) 7

Çözüm

Çözüm

12 = 3 ⋅ 4 olduğundan 12 ile bölünebilen sayılar 3 ile bölünebilir.

4 ve 3 ile bölünebilmelidir. 4 ile bölünebilmesi için; a8 sayısı 4 ün katı olmalıdır.

5 ve 12 ile bölünebilen sayılar, 5 ve 12 aralarında asal olduğundan,

a nın alabileceği değerler; 0, 2, 4, 6, 8 5 ⋅ 12 = 60

3 ile bölünebilmesi için; 5 + 6 + 1 + 3 + a + 8 = 23 + a = 3 ⋅ k

3, 5 ve 12 ile bölünebilen en küçük pozitif tam sayı 60 tır.

olmalıdır.

n sayısı aranan koşulu sağladığından, n + 60 sayısı ara-

a nın alabileceği değerler: 1, 4, 7 a nın her iki koşulu da sağlayan değeri 4 tür. Doğru Seçenek B

114

YGS MATEMATİK

ile bölünebilir.

nan sayıdır. Doğru Seçenek E



Rakamlar toplamı: 7 + 1 + 6 + 8 = 22 n pozitif tam sayısı, 4, 8 ve 12 ile bölünebilmektedir. Aşağıdakilerden hangisi aynı sayılar ile bölünebilir? A) n + 12

B) n + 16

D) n + 32

C) n + 24

E) n + 36

dir. 22 sayısı 9 un katı olmadığından, bölenlerinden biri 9 değildir. (3 ile bölünemediğinden 9 ile de bölünemez.) Birler basamağı 0 olmadığından, 10 bölenlerinden biri değildir. 7168 için, (7 + 6) – (1 + 8) = 13 – 9 = 4

DNA 161

4 sayısı 11 in katı olmadığından, bölenlerinden biri 11 de-

7168 sayısı 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10 ve 12 sayılarından kaç tanesi ile bölünebilir? A) 3

B) 4

C) 5

ğildir. 3 ile bölünemediğinden, 12 bölenlerinden biri değildir.

D) 6

E) 7

2, 4 ve 8 olmak üzere üç tanesi ile bölünebilir. Doğru Seçenek A

Çözüm Birler basamağı 8 dir. 2 ile bölünebilir. Rakamlar toplamı: 7 + 1 + 6 + 8 = 22 dir. 22 sayısı 3 ün katı olmadığından, bölenlerinden biri 3 de-

12345 sayısı 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10 ve 12 sayılarından kaç

ğildir.

tanesi ile bölünebilir?

Son iki basamağı 68 dir.

A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

68 = 4 ⋅ 17 olup, 4 ile bölünebilir. Birler basamağı 0 veya 5 olmadığından, bölenlerinden biri 5 değildir. 3 ile bölünemediğinden, 6 bölenlerinden biri değildir.

DNA 162

Son üç basamak 168 dir. Yüzler basamağı 1 ve tek, 68 + 4 = 72 olup, 8 ile bölünebilir.

72 = 9 ⋅ 8

Dört basamaklı 8A6B sayısı 15 ile bölünebildiğine göre, a + b toplamının en büyük değeri kaçtır? A) 8

B) 10

C) 12

D) 13

YGS MATEMATİK

E) 15

115



Çözüm

DNA 163

15 = 3 ⋅ 5 ve 3 ile 5 aralarında asal olduğundan verilen

a ≠ b olmak üzere, abab dört basamaklı sayısı 18 ile

sayının 15 ile bölünebilmesi için, 3 ve 5 ile bölünebilmesi

bölünebilmektedir.

gerekir.

Buna göre a nın alabileceği değerlerin toplamı

8A6B sayısının 5 ile bölünebilmesi için B = 0 veya B = 5

kaçtır?

olmalıdır.

A) 16

8A6B sayısının 3 ile bölünebilmesi için, 8 + A + 6 + B = 3k

B) 17

C) 20

D) 22

E) 25

Çözüm

14 + A + B = 3k

olmalıdır.

18 = 2 ⋅ 9 ve 2 ile 9 aralarında asal olduğundan verilen

B = 0 için;

sayının 18 ile bölünebilmesi için; 2 ve 9 ile bölünebilmesi gerekir. 14 + A + B = 3k

14 + A + 0 = 3k

2 için; b = 0, 2, 4, 6, 8 olabilir. 9 için; a + b + a + b = 2a + 2b = 2(a + b)

A = 1, 4, 7

toplamı 9 un katı olmalıdır.

olabilir.

b = 0 ise a = 9

B = 5 için;

b = 2 ise a = 7 14 + A + 5 = 3k

b = 4 ise a = 5

19 + A = 3k

b = 6 ise a = 3

A = 2, 5, 8

b = 8 ise a = 1 olacaktır.

olabilir.

a nın alabileceği değerlerin toplamı;

A + B nin en büyük değeri;

9 + 7 + 5 + 3 + 1 = 25

8 + 5 = 13

bulunur.

olur. Doğru Seçenek E Doğru Seçenek D

Beş basamaklı A234B sayısı 15 ile bölünebildiğine göre, A + B toplamının en büyük değeri kaçtır? A) 9

116

B) 10

YGS MATEMATİK

C) 12

D) 14

E) 15

Beş basamaklı 234ab sayısı 18 ile bölünebildiğine göre, a nın alabileceği en küçük değer kaçtır? A) 0

B) 1

C) 2

D) 3

E) 4



DNA 164

DNA 165

Beş basamaklı 9876AB sayısı 20 ile bölünebildiği-

23A5B beş basamaklı sayısı 24 ile bölünebilmektedir.

ne göre, AB iki basamaklı sayısının en büyük de-

Buna göre, A kaç farklı değer alabilir?

ğeri kaçtır? A) 20

B) 40

C) 60

D) 80

A) 3

E) 90

B) 4

C) 6

D) 8

E) 9

Çözüm 24 = 3 ⋅ 8 ve 3 ile 8 aralarında asal olduğundan verilen

Çözüm

sayının 24 ile bölünebilmesi için, 3 ve 8 ile bölünebilmesi gerekir.

20 = 4 ⋅ 5 ve 4 ile 5 aralarında asal olduğundan verilen sayının 20 ile bölünebilmesi için, 4 ve 5 ile bölünebilmesi gerekir.

23A5B sayısı 8 ile bölünebiliyorsa; A çift iken; 5B sayısı 8 in katı olmalıdır. B = 6 için,

5 için;

56 = 7 ⋅ 8

B = 0 ve B = 5

A tek iken; 5B sayısının 4 eksiği 8 in katı olmalıdır.

olmalıdır. 4 için; AB sayısının 4 ile bölünebilmesi gerekir. B çift ol-

B = 2 için,

malıdır.

52 – 4 = 48 = 6 ⋅ 8

B = 0 için AB nin 4 e bölünebilmesi, son iki basamağın 00, 20, 40, 60, 80 gibi 20 nin katı olması ile mümkündür.

B nin alabileceği değerler 6 ve 2 dir. 23A5B sayısı 3 ile bölünebiliyorsa;

En büyük değeri 80 dir.

2 + 3 + A + 5 + B = 10 + A + B = 3k Doğru Seçenek D

olmalıdır. A tek iken, B = 2 için 10 + A + 2 = 12 + A = 3k

A = 3, 9

A çift iken B = 6 için,

20 ile bölündüğünde 18 kalanını veren bir sayı, 4 ve 5 ile bölündüğünde a ve b kalanlarını verdiğine göre, a + b toplamı kaçtır? A) 2

B) 3

C) 4

D) 5

10 + A + 6 = 16 + A = 3k

A = 2,8

olmak üzere A, 4 farklı değer alabilir. Doğru Seçenek B

E) 6

YGS MATEMATİK

117



A543B beş basamaklı sayısı 24 ile bölünebilmektedir. Buna göre, A nın alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?

3A4B sayısı 36 ile bölünebildiğine göre, a kaç farklı değer alabilir? A) 1

A) 7

B) 8

D) 12

C) 11

x01y sayısı 72 ile bölünebildiğine göre, x + y top-

mının en büyük değeri kaçtır? C) 11

D) 12

lamı kaçtır?

E) 13

A) 8

Çözüm

B) 9

C) 10

D) 11

E) 17

Çözüm

36 = 4 ⋅ 9 ve 4 ile 9 aralarında asal olduğundan verilen sayının 36 ile bölünebilmesi için, 4 ve 9 ile bölünebilmesi gerekir.

72 = 8 ⋅ 9 ve 8 ve 9 aralarında asal olduğundan verilen sayının 72 ile bölünebilmesi için, 8 ve 9 ile bölünebilmesi gerekir.

4 için; 9b sayısı 4 ün katı olacağından, b, 2 veya 6 olmalı,

8 için; 01y, 8 in katı olmalıdır. y=6

9 için; 7 + a + 9 + b = 16 + a + b = 9k

16 + a + 2 = 18 + a = 9k

olmalı. 9 için;

b = 2 ise

a, 0 veya 9

x + 0 + 1 + y = x + 0 + 1 + 6 = x + 7 = 9k

x=2

olmalı.

b = 6 ise

x+y=2+6=8 16 + a + 6 = 22 + a = 9k

olur.

a, 5 olmalıdır.

E) 5

DNA 167

7a9b sayısı 36 ile bölünebildiğine göre, a + b topla-

B) 10

D) 4

E) 13

DNA 166

A) 9

C) 3

B) 2

Doğru Seçenek A a+b=0+2=2 a + b = 9 + 2 = 11 a + b = 5 + 6 = 11

olacağından, a + b nin en büyük değeri 11 dir. A34B sayısı 72 ile bölünebildiğine göre, A + B toplamı Doğru Seçenek C

kaçtır? A) 7

118

YGS MATEMATİK

B) 8

C) 9

D) 11

E)12



5.

TEST - 12

A < B olmak üzere, üç basamaklı 5AB sayısının 5 ile bölümünden kalan 3 tür.

Bu sayı 4 ile bölünebildiğine göre, A nın alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?

1.

387A42 sayısı 3 ile bölünebiliyor.

Buna göre, A nın alabileceği kaç farklı değer var-

A) 6

B) 8

C) 12

D) 16

E) 21

D) 6

E) 9

dır? A) 2

B) 3

C) 4

D) 5

E) 9

6.

x ∈ Z olmak üzere,

2.

5A427B altı basamaklı bir doğal sayıdır.

Bu sayı 6 ile bölünebildiğine göre, A + B toplamı

[3(460 + x)]2 = 6702a21


B) 4

C) 5

kaç farklı değer alabilir? A) 2

3.

C) 4

D) 5

E) 6

7. 45672 + 56782

4.

B) 4

C) 5

D) 6

8.

2006 ⋅ 2005 – 2004 ⋅ 2003

B) 3

C) 4

D) 5

E) 6

Bir A sayısının rakamlarının sayı değerlerinin toplamı 16 dır.

kalan kaçtır? B) 3

A) 2

E) 8

işleminden elde edilen sayının 9 ile bölümünden

A) 1

800 ile 1000 sayıları arasında 7 ve 8 ile bölünebilen kaç doğal sayı vardır?

toplamının 9 ile bölümünden kalan kaçtır? A) 3

B) 3

Buna göre, A2 sayısının 9 ile bölümünden kalan kaçtır?

C) 5

D) 7

E) 8

A) 4

B) 5

C) 6

D) 7

YGS MATEMATİK

E) 8

119


9.


ab ve cd iki basamaklı sayılarının 9 ile bölümlerinden kalanlar sırasıyla 7 ve 5 tir.

13. n tam sayısı 3, 5 ve 12 ile bölünebilmektedir.

abcd dört basamaklı sayısının 9 ile bölümünden kalan kaçtır? A) 3

C) 5

D) 6

E) 7

göre, a kaçtır? B) 5

C) 6

D) 7

A) n – 3

10. a6a41 beş basamaklı sayısı 9 ile bölünebildiğine A) 3

yük sayı aşağıdakilerden hangisidir?

B) 4

n den küçük ve bu sayılarla bölünebilen en bü-

D) n – 15

14. 5,

C) n – 12

E) n – 60

7 ve 20 ile bölünebilen en küçük pozitif tam

sayı aşağıdakilerden hangisidir?

E) 8

A) 35

11.

B) n – 5

B) 70

C) 140

D) 200

E) 280

A = 66 – 1

sayısı aşağıdakilerden hangisine tam bölünemez? A) 5

B) 7

C) 31

D) 36

E) 43

15. n tam sayısının 8 ile bölümünden kalan 3 tür.

6 ⋅ n sayısının 8 ile bölümünden kalan kaç olur? A) 0

B) 1

C) 2

D) 3

E) 4

12. n pozitif tam sayısının 5 ile bölümünden kalan 3 tür.


A) n + 3

1. C

120

B) n + 2

D) n – 1 2. E

3. E

YGS MATEMATİK

4. E

16. n

4 ile bölümünden kalan kaç olur?

C) n + 1

E) n – 2 5. C

6. E

bir tam sayı olmak üzere, (2n + 2)2 sayısının

A) 0 7. B

8. A

9. A

10. E

B) 1 11. D

C) 2 12. B

13. E

D) 3 14. C

15. C

E) 4 16. A



5.

TEST - 13


1.

9 + 92 + 93 + ... + 98

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

Rakamları toplamı 9 olan, 3 ile bölünebilen iki basamaklı en küçük doğal sayı aşağıdakilerden hangisidir? A) 18

B) 27

C) 33

D) 72

E) 90

6.

Yalnızca 1 ve 0 rakamları kullanılarak yazılabilecek doğal sayılardan 225 ile bölünebilen en kü-

2.

Aşağıdaki sayılardan hangisi 3 ile bölünemez?

A) 339

B) 342

D) 672

3.

{1, 2, 3, 4, 5, 6}

çük sayı kaç basamaklıdır? A) 3

C) 552

rarsız beş basamaklı doğal sayılardan kaç tanesi

7.

4.

D) 11

E) 12

6A6B dört basamaklı doğal sayısı 72 ile bölünebildiğine göre, A nın alabileceği değerlerin çarpı-

4 ile bölünebilir? B) 168

C) 10

E) 1111

kümesinin elemanları ile yazılan, rakamları tek-

A) 144

B) 9

mı kaçtır? C) 192

D) 216

E) 240

A) 10

B) 12

C) 14

D) 16

E) 18

351n ve 352n sayıları 7 ile bölündüklerinde aynı kalanı vermektedir.

Buna göre, n nin en küçük pozitif tam sayı değeri

8.


kaçtır?

A) 3744

B) 721809

C) 7177788

D) 88228299

A) 2

B) 3

C) 4

D) 5

E) 6

E) 99229288

YGS MATEMATİK

121



9.

aab üç basamaklı sayısı 12 ile bölünebilmektedir.

13. Beş basamaklı 12a3b doğal sayısı 4 ve 9 ile bölüne-

a < 4 olduğuna göre, b nin alabileceği değerlerin


B) 8

C) 10

D) 12

E) 14

10. Altı basamaklı 65a43b doğal sayısı 12 ile bölünebilmektedir.

11.

B) 4

C) 5

D) 6

E) 7

A) 9

C) 21

D) 27

122

2. E

YGS MATEMATİK

C) 7 4. B

D) 23

E) 30

C) 6

D) 7

E) 8

dir. Bu sayının 9 ile bölümünden kalan 1 olduğuna göre, a ⋅ b çarpımının en büyük değeri kaçtır?

D) 8 5. A

B) 5

16. Üç basamaklı abc doğal sayısı 5 ile bölünebilmekte

3. C

C) 18

E) 40

Buna göre, a + b toplamı kaçtır?

1. A

B) 12

bildiğine göre, x in en büyük değeri kaçtır? A) 1

bilmektedir.

B) 6

E) 7

15. Beş basamaklı 561xy doğal sayısı 45 ile bölüne-

12. Dört basamaklı a01b doğal sayısı 8 ve 9 ile bölüne-

A) 5

D) 6

kaçtır?

bölünemez?

C) 3

14. Dört basamaklı abba doğal sayısı 15 ile bölüne-

toplamı aşağıdaki sayılardan hangisi ile tam

B) 3

B) 2

bildiğine göre, b nin alabileceği değerler toplamı

34 + 35 + 36 + 37

A) 2

a ≠ b olduğuna göre, a kaçtır? A) 1

Buna göre, a kaç farklı değer alabilir? A) 3

bilmektedir.

6. D

E) 10 7. C

8. B

A) 15 9. E

10. E

B) 24 11. C

12. D

C) 48 13. A

D) 49 14. B

15. C

E) 56 16. D


TAM SAYILAR

TANIM a ve b tam sayılar olmak üzere,

..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...

(a + 4)2 + (b + 1)2 = 0

sayılarından her birine bir tam sayı denir.

olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır?

Tam sayılar kümesi “Z” ile gösterilir.

A) –5

B) –4

C) –3

D) –2

E) –1

Z = {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...} Z = Z– ∪ {0} ∪ Z+ Tam sayılar kümesi, negatif tam sayılar {Z–}, sıfır sayısı ve pozitif tam sayılar {Z+} dan oluşur.

DNA 169 ifadesinin alabileceği en büyük değer kaçtır?

x ve y tam sayılar olmak üzere,

(x –

3)2

+ (y +

2)2

A = 5 – (a + 2)2

DNA 168

A) 3

B) 4

C) 5

D) 6

E) 7

=0

olduğuna göre, 4x + 5y toplamının değeri kaçtır? A) 0

B) 2

C) 3

D) 4

Çözüm

E) 5

Farkın büyük olabilmesi için (a – 2)2 ifadesi en küçük değeri olan 0 değerini almalıdır.

Çözüm

(a + 2)2 = 0

Bir tam sayının karesinin alabileceği en küçük değer sıfırdır.

a + 2 = 0

a = –2 için,

A = 5 – (a + 2)2 = 5 – (–2 + 2)2 = 5 – 0 = 5 olur.

(x – 3)2 + (y + 2)2 = 0 ise,

Doğru Seçenek C

(x – 3)2 = 0

x – 3 = 0

x=3

(y + 2)2 = 0

y + 2 = 0

y = –2

olmalıdır. 4x + 5y = 4 ⋅ 3 + 5(–2) = 12 – 10 = 2 bulunur. Doğru Seçenek B

B = (b – 3)2 – 4

ifadesinin alabileceği en küçük değer kaçtır? A) –7

B) –4

C) –1

D) 3

YGS MATEMATİK

E) 7

123

Tam Sayılar


DNA 170

DNA 171

x2 + y2 ≤ 4

a2 – b2 = 124

koşulunu sağlayan kaç tane farklı (x, y) tam sayı

eşitliğini sağlayan kaç tane (a, b) pozitif tam sayı

ikilisi vardır?

iklisi vardır?

A) 4

B) 5

C) 12

D) 13

E) 16

A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

Çözüm a2 – b2 = (a – b)(a + b) = 124

Çözüm

124 = 2 ⋅ 2 ⋅ 31

x2 + y2 toplamının alabileceği tüm değerleri araştıralım.

x2 + y2 = 0

(0, 0)

x2 + y2 = 1

(–1, 0), (1, 0), (0, –1), (0, 1)

x2 + y2 = 2

(–1, –1), (–1, 1), (1, –1), (1, 1)

x2 + y2 = 3

yok

x2 + y2 = 4

(–2, 0), (2, 0), (0, –2), (0, 2)

124 ü; 1 ⋅ 124, 2 ⋅ 62, 4 ⋅ 31 olarak çarpanlara ayırdığımızda, bir tek 2 ⋅ 62 de çarpanların toplamı çift sayıdır. Pozitif tam sayılarda çözüm arandığından, a – b çarpanı küçük, a + b çarpanı büyük alınmıştır. Bu durumda, a – b = 2 ve a + b = 62 olur.

olmak üzere 13 tanedir.

a = b + 2 ve b + 2 + b = 62 den a = 32 ve b = 30

Doğru Seçenek D bulunur.

(32, 30) ikilisi eşitliği sağlar. Doğru Seçenek A

x2 + y2 > 1

a2 – b2 = 15

koşulunu sağlamayan kaç tane farklı (x, y) tam sayı

eşitliğini sağlayan kaç tane (a, b) pozitif tam sayı ikilisi

ikilisi vardır?

vardır?

A) 1

124

B) 4

YGS MATEMATİK

C) 5

D) 9

E) 13

A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5


Tam Sayılar

DNA 172

DNA 173 {–2, –1, 0, 1, 2} kümesinin birbirinden farklı x, y ve

x2 – y2 = 44

z elemanları için,

eşitliğini sağlayan kaç tane (a, b) tam sayı ikilisi vardır? A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

3x – 2y – z

ifadesinin en büyük değeri kaçtır?

E) 5

A) 10

B) 11

C) 12

D) 14

E) 15

Çözüm x2 – y2 = (x – y)(x + y) = 44

Çözüm

44 = 2 ⋅ 2 ⋅ 11

44 ü;

İfadenin büyük değer alması için katsayıları pozitif olanlar 1 ⋅ 44, 2 ⋅ 22, 4 ⋅ 11, 11 ⋅ 4, 22 ⋅ 2, 44 ⋅ 1

olarak çarpanlarına ayırdığımızda, 2 ⋅ 22 ve 22 ⋅ 2 çarpanlarının toplamı çift sayıdır. (–2)(–22) ve (–22)(–2) çarpımlarının da koşulları sağladı-

büyük, negatif olanlar küçük seçilmelidir. En büyük eleman 2 olduğundan x = 2, En küçük eleman –2 olduğundan y = –2 ve z = –1

ğı göz önüne alındığında,

x – y = 2

x – y = 22

seçilmelidir.

x + y = 22

x+y=2

(y nin katsayısı –2 olduğundan, y yi daha küçük seçtik.)

x – y = –2

x – y = –22

x + y = –22

x + y = –2

3x – 2y – z = 3 ⋅ 2 – 2(–2) – (–1) = 6 + 4 + 1 = 11 bulunabilecek en büyük değerdir.

denklem sistemlerinin çözümünden,

Doğru Seçenek B

(12, 10), (12, –10), (–12, 10) ve (–12, –10) olmak üzere dört tane tam sayı ikilisi bulunabilir. Doğru Seçenek D

{–2, –1, 0, 1, 2} kümesinin birbirinden farklı x, y ve z Farkları 1 den büyük x ve y pozitif tam sayıları için,

x2 – y2 = 187

olduğuna göre, x ⋅ y çarpımı kaçtır? A) 30

B) 36

elemanları için,

C) 40

D) 42

3x – 2y – z

ifadesinin en küçük değeri kaçtır? E) 54

A) –15

B) –14

C) –13

D) –11

YGS MATEMATİK

E) –10

125

Tam Sayılar


DNA 174

DNA 175 a ve b negatif tam sayılar olmak üzere,

2x + 7y = 1000

eşitliğini sağlayan kaç tane (x, y) pozitif tam sayı

ikilisi vardır? A) 69

2a – 5b = 0

olduğuna göre, a + b toplamının en büyük değeri

B) 70

C) 71

D) 72

kaçtır?

E) 73

A) –3

Çözüm

B) –4

C) –5

D) –6

E) –7

Çözüm

Bilinmeyen sayısının, denklem sayısından fazla olduğu sorularda, bilinmeyenlerden birine değerler verilerek, diğerleri aranır.

Toplamın büyük olması için, a ve b büyük değerler almalıdır. 2a – 5b = 0

y ye çift değerler vererek araştırmaya başlayalım.

y = 2

için x = 493

y=4

için x = 486

y=6

için x = 479

2a = 5b

a nın alabileceği değerler, b nin katsayısının katları, b nin alabileceği değerler, a nın katsayısının katlarıdır. Negatif tam sayılar içinde koşulu sağlayan en büyük sayılar;

...

y = 140 için x = 10

y = 142 için x = 3

a = –5 ve b = –2 dir. a + b = (–5) + (–2) = –5 – 2 = –7 bulunur.

bulunur.

Doğru Seçenek E

71 tane (x, y) pozitif tam sayı ikilisi vardır. Doğru Seçenek C

x ve y tam sayıları için,

3x + 5y = 501

2x + 3y = 0

denklemini sağlayan kaç tane (x, y) pozitif tam sayı

olduğuna göre, x + y toplamının en küçük pozitif de-

ikilisi vardır?

ğeri kaçtır?

A) 31

126

B) 32

YGS MATEMATİK

C) 33

D) 34

E) 35

A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5


Tam Sayılar

TEST - 14 1.

5.

x = –2 ve y = 4 için,

x 2 y( x + 2) 3x + 4y

4 – 5 [4 + 8(7 – 9)]

A) –1


B) –12

ifadesinin sayısal değeri kaçtır?

C) 24

D) 36

Çarpımları 342 olan ardışık iki tam sayıdan

küçüğü en az kaçtır? B) –18

D) 18


A) a – b

4.

B) 2a – b

D) 2a – 3b

B) 10

C) 11

D) 12

E) 13

x ve y pozitif tam sayıları için,

a – b – [a – 3b – (2a – 5b)]


E) 19

7. 3.

E) 4

x{x[x(x + 1) + 1] + 1} + 1

A) 9

C) 17

D) 2

x = –2 için,

A) –19

C) 1

E) 64

6.

2.

B) 0

7x + 11y = 100


C) a – 2b

B) 11

C) 12

D) 13

E) 14

E) 3a – 2b

8.

(x + 1) + (x – 2) + (x + 3) + (x – 4) + ... + (x + 99) + (x – 100)

işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?

x + y2 + z3 toplamının en küçük değeri kaçtır?

A) x – 50

A) 7

x, y ve z farklı pozitif tam sayılar olmak üzere,

B) 8

C) 9

D) 10

E) 12

B) x + 50

D) 100x + 50

C) 100x – 50

E) x + 500

YGS MATEMATİK

127

Tam Sayılar

9.


13. Çarpımları 156 olan ardışık iki tam sayıdan küçü-

(x – 3)(3x + 4) = 0


ğü en az kaçtır?

denkleminin tam sayılardaki çözüm kümesi aşa-

A) ∅

B) {3}

{ } { }

E) 3, −

D) {–3}

A) –13

B) –12

C) 12

D) 13

E) 14

4 C) − 3 4 3

14. 2008 tane pozitif tam sayının çarpımı 2008 dir. 10. a, b ve c pozitif tam sayılar olmak üzere,

3a – 2b + c = 0

Bu sayıların toplamının en büyük değeri kaçtır?

A) 4016

B) 4015

D) 2008

15.

x2y – y3 = 105

C) 2009

E) 2007

olduğuna göre, a + b + c toplamının en küçük değeri kaçtır? A) 3

B) 4

C) 5

D) 6

E) 7

11. a, b, c birbirinden farklı pozitif tam sayılardır.

Buna göre,

eşitliğini sağlayan (x, y) pozitif tam sayıları için, x + y toplamı kaçtır?

3a + 2b + c = 30

A) 7

B) 8

C) 9

D) 15

E) 17

denklemini sağlayan en büyük c sayısı kaçtır? A) 20

B) 21

12. Karelerinin

C) 22

D) 23

E) 24

farkı 72 olan pozitif iki tam sayının

16. 6

toplamı en az kaçtır? A) 12 1. E

128

2. A

B) 15 3. D

YGS MATEMATİK

C) 17 4. B

dan küçük kaç tane x tam sayısı için

6+x

ifadesi bir tam sayı belirtir?

5. B

D) 18 6. C

A) 1

E) 36 7. C

8. C

9. B

10. B

B) 2 11. D

C) 3 12. A

13. A

D) 4 14. B

E) 5 15.D

16. D


O.B.E.B - O.K.E.K

Not

TANIM İki ya da daha fazla sayma sayısının her birini tam bölen

168 = 12 ⋅ 14

en büyük sayma sayısına, bu iki sayının En Büyük Ortak

180 = 12 ⋅ 15

Böleni denir. (O.B.E.B)

12 sayısı 168 ve 180 sayılarını bölen ortak bölenlerin en büyüğüdür.

Işık 28

180 – 168 = 12 Sayıların farkı, ortak bölene tam olarak bölünür.

Verilen sayılar asal çarpanlarına ayrıldığında, asal çarpanlarından ortak olanlarının en küçük üslülerinin

Bölümler: 14 ve 15 aralarında asaldır.

çarpımı, sayıların O.B.E.B ini verir.

504 ve 540 sayılarının ortak bölenlerinden en büyüğü

DNA 176

kaçtır?

168 ve 180 sayılarının ortak bölenlerinden en bü-

A) 4

B) 9

C) 12

E) 36

D) 24

yüğü kaçtır? A) 2

B) 3

C) 6

D) 12

E) 18

TANIM İki ya da daha fazla sayma sayısının hepsinin pozitif bir

Çözüm

tam katı olan en küçük sayma sayısına, bu sayıların En Küçük Ortak Katı denir. (O.K.E.K)

Öncelikle verilen sayıları asal çarpanlarına ayırmak gerekir. 168 = 23 ⋅ 3 ⋅ 7

Işık 29

180 = 22 ⋅ 32 ⋅ 5 Ortak asal çarpanları; 2 ve 3 tür. 23

ve

22

Verilen sayılar asal çarpanlarına ayrıldığında; asal

den küçük olanı

2 2,

3 ve 32 den küçük olanı 3

çarpanlarından ortak olanlarının en büyük üslüleri ile ortak olmayanlarının tümünün çarpımı, sayıların O.K.E.K ini verir.

tür. 168 ve 180 sayılarının ortak bölenlerinden en büyüğü; 22 ⋅ 3 = 12

DNA 177

dir. O.B.E.B(168, 180) = 12 Doğru Seçenek D

12, 18 ve 30 sayılarının ortak katlarından en küçüğü kaçtır? A) 60

B) 90

C) 120

D) 180

E) 240

YGS MATEMATİK

129

O.B.E.B. - O.K.E.K.


Çözüm

Hazine 11

Öncelikle verilen sayıları asal çarpanlarına ayırmak gere-

A ve B sayma sayılarının çarpımı bu sayıların OBEB i

kir.

ile OKEK lerinin çarpımına eşittir.

12 = 22 ⋅ 3

18 = 2 ⋅ 32

A ⋅ B = OBEB(A, B) ⋅ OKEK(A, B)

30 = 2 ⋅ 3 ⋅ 5

DNA 178

Ortak asal çarpanlar; 2 ve 3 tür. 22 ve 2 den büyük olanı 22,

a ve b sayıları için,

3 ve 32 den büyük olanı 32

dir.

OKEK(a, b) = 108 ve OBEB(a, b) = 3

olduğuna göre, a ⋅ b çarpımı kaçtır?

12, 18 ve 20 sayılarının ortak katlarından en küçüğü;

A) 108

22 ⋅ 32 ⋅ 5 = 180

B) 111

D) 324

C) 216

E) 972

dir. O.K.E.K(12, 18, 30) = 180 Doğru Seçenek D

Çözüm Sayıların çarpımı, OBEB ve OKEK lerinin çarpımına eşit

Not

olduğundan, a ⋅ b = OBEB(a, b) ⋅ OKEK(a, b) a ⋅ b = 3 ⋅ 108 = 324

180 = 12 ⋅ 15

180 = 18 ⋅ 10

bulunur.

180 = 30 ⋅ 6

Doğru Seçenek D

180 sayısı 12, 18 ve 30 sayılarının katı olan en küçük sayıdır. Bölümler; 15, 10 ve 6 sayıları aralarında asaldır.

168 ve 180 sayılarının ortak katlarından en küçüğü kaçtır? A) 12

130

B) 360

D) 2520

YGS MATEMATİK

C) 1440

E) 2800

OBEB(6, 21) = A

OKEK(6, 21) = B

olduğuna göre, A ⋅ B çarpımı kaçtır? A) 36

B) 42

C) 84

D) 126

E) 252


O.B.E.B. - O.K.E.K.

Işık 30

DNA 180

Aralarında asal sayıların OKEK i bu sayıların çarpımı,

5 ile x aralarında asal sayılardır.

OBEB i ise 1 dir.

OKEK(5x, 5 + x) = 520

olduğuna göre, x in değeri aşağıdakilerden hangisidir? A) 6

DNA 179

B) 8

C) 12

D) 16

E) 20

Çözüm

24 ve 25 sayılarının ortak bölenlerinin en büyüğü ile ortak katlarının en küçüğünün toplamı kaçtır? A) 49

B) 491

D) 601

C) 600

Aralarında asal sayıların, toplamları ve çarpımları da aralarında asal olduğundan; 5x ve 5 + x sayıları da aralarında

E) 720

asaldır. OKEK(5x , 5 + x) = 5x ⋅ (5 + x) = 520

x ⋅ (5 + x) = 104

x2 + 5x – 104 = 0

(x – 8)(x + 13) = 0

dan aralarında asaldır.

x – 8 = 0

x1 = 8

(Ardışık doğal sayılar aralarında asaldır.)

x + 13 = 0

x2 = –13

OBEB(24, 25) = 1

–13 doğal sayı olmadığından,

OKEK(24, 25) = 24 ⋅ 25 = 600

Çözüm 24 ve 25 sayıları 1 den başka ortak bölenleri olmadığın-

x=8

OBEB(24, 25) + OKEK(24, 25) = 1 + 600 = 601


Doğru Seçenek D

A sayma sayısıdır. 8 ve 21 sayılarının ortak bölenlerinin en büyüğü ile or-

tak katlarının en küçüğünün toplamı kaçtır?

olduğuna göre, A kaçtır?

A) 168

B) 169

C) 216

D) 217

E) 321

A) 6

OKEK(A, A + 1) + A = 48

B) 7

C) 8

D) 9

YGS MATEMATİK

E) 10

131

O.B.E.B. - O.K.E.K.


DNA 181

DNA 182

x sayısı 30, 45, 75 sayılarını tam bölüyor.

Boyutları 8 metre ve 12 metre olan dikdörtgen halılar ile kare şeklinde bir alan kaplanacaktır.

12, 18, 24 sayıları da y doğal sayısını tam bölüyor.

Buna göre, en az kaç halı gerekir?

x in en büyük değeri ile y nin en küçük değerinin toplamı kaçtır? A) 72

A) 4

B) 87

C) 102

D) 117

B) 6

C) 8

D) 9

E) 12

E) 132

Çözüm Çözüm

Kare şeklindeki alanın kenar uzunlukları 8 ve 12 nin katı

30, 45 ve 75 sayılarını tam bölen en büyük sayı, bunların

olmalıdır. 8 = 23

OBEB idir.

30 = 2 ⋅ 3 ⋅ 5

45 = 32 ⋅ 5

75 = 3 ⋅ 52

12 = 22 ⋅ 3 olduğundan OKEK(8, 12) = 23 ⋅ 3 = 8 ⋅ 3 = 24 bulunur.

olduğundan; x = OBEB(30, 45, 75) = 3 ⋅ 5 = 15

��

y doğal sayısı, 12, 18 ve 24 sayılarına bölünebilen en küçük sayı ise bunların OKEK idir.

12 = 22 ⋅ 3

18 = 2 ⋅ 32

24 = 23 ⋅ 3

��

��

��

Dikdörtgenlerden kare oluşturuldu.

y = OKEK(12, 18, 24) = 23 ⋅ 32 = 72 x + y = 15 + 72 = 87

Karenin alanı = 24 ⋅ 24 = 576

Bir halının alanı = 8 ⋅ 12 = 96 Halı sayısı =

bulunur.

Karenin alanı Bir halının alanı

Doğru Seçenek B

A sayma sayısı 12, 18, 30 sayılarına tam bölünmekte, B doğal sayısı bu sayıları tam bölmektedir. Buna göre,

A nin en küçük değeri kaçtır? B

A) 12

B) 15

132

YGS MATEMATİK

C) 24

D) 30

=

576 = 6 olur. 96

Doğru Seçenek B

15 cm ve 20 cm kenar uzunluğu olan seramikler ile kare şeklinde bir yüzey oluşturulacaktır. Buna göre, en az kaç seramik gerekir?

E) 36

A) 7

B) 9

C) 12

D) 15

E) 20


O.B.E.B. - O.K.E.K.

DNA 183 Boyutları 8 metre ve 12 metre olan dikdörtgen şeklindeki bir salon, kare şeklindeki eş halılar ile kapla-

bir bahçenin çevresine eşit aralıklarla ağaçlar dikilecektir. Köşelere de ağaçların dikildiği bu ağaçlandırmada

nacaktır.

en az kaç ağaç dikilebilir?

Buna göre, en az kaç halı gerekir? A) 3

Kenar uzunlukları 15 m ve 20 m olan dikdörtgen şeklindeki

B) 6

C) 8

D) 9

E) 12

A) 7

C) 14

B) 12

D) 16

E) 20

DNA 184

Çözüm Salonun kenar uzunlukları, kare şeklindeki halıların kenar

91 metre ve 126 cm uzunluğundaki iki ayrı demir çu-

uzunluklarına bölünebilmelidir.

buk eşit uzunlukta parçalara ayrılacaktır. Çubuklar ayrı ayrı en az kaç yerden kesilmelidir?

8 = 23

A) 28

12 = 22 ⋅ 3 olduğundan,

B) 29

C) 30

D) 31

E) 32

OBEB(8, 12) = 22 = 4 bulunur.

8 : 4 = 2

Çözüm

12 : 4 = 3

2⋅3=6

OBEB(91, 126) = 7

tane halı gerekir.

Kesilecek parçaların uzunlukları 7 şer cm olmalıdır. ��

91 cm uzunluğundaki demir çubuk,

��

��

91 = 7 ⋅ 13

��

olduğundan 12 yerden, Dikdörtgen karelere bölündü. 126 cm uzunluğundaki demir çubuk,

Salonun alanı = 8 ⋅ 12 = 96 m2

Bir halının alanı = 4 ⋅ 4 = 16 m2 Halı sayısı =

Salonun alanı Bir halının alanı

126 = 7 ⋅ 18

=

96 =6 16

olur.

Doğru Seçenek B

olduğundan 17 yerden kesilmelidir. 12 + 17 = 29 Doğru Seçenek B

YGS MATEMATİK

133

O.B.E.B. - O.K.E.K.


Çözüm

Uyarı Ağaç dikme sorularında; 15 m uzunluğundaki bir yola, 5 m aralıklarla 4 ağaç dikileceğine;

(15 = 5 ⋅ 3

Bölüm = 3 Ağaç sayısı = 3 + 1 = 4)

Ortak bölenlerin sayısı, ortak bölenlerinden en büyüğünün pozitif ortak bölenlerinin sayısı kadardır.

1040 = (2 ⋅ 5)40 = 240 ⋅ 540

2030 = (22 ⋅ 5)30 = 260 ⋅ 530

OBEB(1040, 2030) = 240 ⋅ 530 (40 + 1)(30 + 1) = 41 ⋅ 31 = 1271

Parça kesme sorularında; 15 cm lik çubuğu, 5 cm lik parçalara ayırmak için, 2 yerden kesim yapılacağına,

(15 = 5 ⋅ 3

Bölüm = 3

tane pozitif ortak böleni vardır. Doğru Seçenek A

Kesim sayısı = 3 – 1 = 2) dikkat etmeliyiz. 24 ve 30 sayılarının kaç tane ortak pozitif tam sayı böleni vardır? A) 2

C) 4

B) 3

D) 6

E) 8

DNA 186 İzmir’den Ankara’ya 9 ve 12 saatte bir otobüs gönderen iki şirket aynı saatte ilk otobüslerini gönderiyor. İkinci kez birlikte aynı saatte otobüs gönderdiklerinde toplam kaç sefer yapılmış olur? A) 5

B) 7

C) 8

D) 9

E) 12

5, 7 ve 9 a bölündüğünde sırasıyla 1, 3 ve 5 kalanını veren en küçük pozitif tam sayı kaçtır? A) 311

B) 315

D) 323

E) 327

Çözüm 5 e bölündüğünde 1 kalanını veren sayı;

DNA 185

A = 5x + 1 Bölüm özdeşliği 7 ye bölündüğünde 3 kalanını veren sayı;

1040 ve 2030 sayılarının kaç tane pozitif tam sayı

A = 7y + 3

ortak böleni vardır? A) 1271

B) 1800

D) 2501

C) 2000

9 a bölündüğünde 5 kalanını veren sayı; A = 9z + 5

E) 2701 biçiminde yazılabilir.

134

YGS MATEMATİK

C) 319


O.B.E.B. - O.K.E.K.

Eşitliklerin her iki tarafına 4 eklendiğinde,

Çözüm

A + 4 = 5x + 5 = 5(x + 1)

OKEK(a, b) = 60

A + 4 = 7y + 7 = 7(y + 1)

a + b toplamının en büyük olması için,

A + 4 = 9z + 9 = 9(z + 1) elde edilir.

a = 60

Bu eşitlikler bize A + 4 sayısının 5, 7 ve 9 a bölünebildiğini

b = 30

gösterir.

olmalıdır.

A + 4 sayısı, 5, 7 ve 9 un OKEK idir.

A = a + b = 60 + 30 = 90

(veya OKEK in bir katıdır)

olur.

OKEK(5, 7, 9) = 315

a + b toplamının en küçük olması için,

A + 4 = 315

a=5

A = 311

b = 12

bulunur.

olmalıdır. B = a + b = 5 + 12 = 17

Doğru Seçenek A

A + B = 90 + 17 = 107

olur. Doğru Seçenek C

Bir sınıftaki öğrenciler dörderli, beşerli ve altışarlı sıralandıklarında sırasıyla 3, 4 ve 5 öğrenci artmaktadır. Ortak katlarının en küçüğü 45 olan farklı iki sayının

Bu sınıfta en az kaç öğrenci vardır? A) 59

B) 60

C) 61

D) 62

toplamı en çok A ve en az B olduğuna göre, A + B E) 63


DNA 187

B) 74

C) 82

D) 90

E) 105

DNA 188

Ortak katlarının en küçüğü 60 olan farklı iki sayının toplamı en çok A ve en az B olduğuna göre, A + B

Ortak bölenlerinin en büyüğü 12 olan farklı iki sa-

toplamı kaçtır?

yının toplamı en az kaçtır?

A) 60

B) 90

C) 107

D) 120

E) 132

A) 24

B) 30

C) 36

D) 42

YGS MATEMATİK

E) 48

135

O.B.E.B. - O.K.E.K.


Çözüm 24 ve a sayılarının OBEB i 6 dır.

OBEB(a, b) = 12 a + b toplamının en küçük olması için;

a = 12

0 < a < 50

olduğuna göre, a kaç farklı değer alabilir?

b = 24

A) 2

B) 3

C) 4

D) 5

E) 6

olmalıdır. a + b = 12 + 24 = 36 bulunur.

DNA 190

Doğru Seçenek C

Biri diğerini bölmeyen a ve b doğal sayıları için,

OBEB(a, b) = 12 ve OKEK(a, b) = 432

olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır? Ortak bölenlerinin en büyüğü 15 olan farklı iki sayının

A) 108

B) 124

C) 148

D) 156

E) 164

toplamı en az kaçtır? B) 45

A) 30

C) 60

D) 75

E) 90

Çözüm

DNA 189

a ⋅ b = 12 ⋅ 432 = (22 ⋅ 3)(24 ⋅ 33) = 26 ⋅ 34

OBEB(x, 192) = 32 ve x < 192

olduğuna göre, x in alabileceği değerlerin toplamı kaçtır? A) 160

a = OBEB(a, b) ⋅ x = 12 ⋅ x = 22 ⋅ 3 ⋅ x

b = OBEB(a, b) ⋅ y = 12 ⋅ y = 22 ⋅ 3 ⋅ y

Eşitlikler bir arada düşünüldüğünde; B) 192

C) 224

D) 256

E) 288

Çözüm 192 = 32 ⋅ 6 x = 32 ⋅ a

6 ve a sayıları aralarında asal olmalıdır. a = 1 ve a = 5

(22 ⋅ 3 ⋅ x)(22 ⋅ 3 ⋅ y) = 26 ⋅ 34

24 ⋅ 32 ⋅ x ⋅ y = 26 ⋅ 34

x ⋅ y = 22 ⋅ 32

x = 22 ve y = 32

olmalıdır.

olabilir.

a = 22 ⋅ 3 ⋅ x = 22 ⋅ 3 ⋅ 22 = 48 b = 22 ⋅ 3 ⋅ y = 22 ⋅ 3 ⋅ 32 = 108

x = 32 veya x = 160

a ⋅ b = OBEB(a, b) ⋅ OKEK(a, b)

32 + 160 = 192

a + b = 48 + 108 = 156

bulunur.


136

YGS MATEMATİK

Doğru Seçenek D


O.B.E.B. - O.K.E.K.

DNA 192

OBEB(a, b) = 6 ve OKEK(a, b) = 36


olduğuna göre, a + b toplamının en küçük değeri kaç-

tır? B) 30

A) 24

C) 36

D) 42

OBEB(a, b) = 20

olduğuna göre, OBEB(a4, b3) değeri kaçtır?

E) 48

B) 24 ⋅ 53

A) 20

D) 26 ⋅ 54

C) 26 ⋅ 53

E) 28 ⋅ 54

DNA 191 a ile b aralarında asal iki sayıdır. OKEK(a, b) = 345 ve a +

60 = 27 b

Çözüm

olduğuna göre, b sayısı aşağıdakilerden hangisidir? A) 5

B) 15

C) 23

D) 26

E) 69

a = 20 ⋅ x = 22 ⋅ 5 ⋅ x

b = 20 ⋅ y = 22 ⋅ 5 ⋅ y

Çözüm

a4 = (22 ⋅ 5)4 ⋅ x4 = 28 ⋅ 54 ⋅ x4 b3 = (22 ⋅ 5)3 ⋅ y3 = 26 ⋅ 53 ⋅ y3

a ile b aralarında asal iki sayı olduğundan, OKEK(a, b) = a ⋅ b = 345

x ve y aralarında asal olduğundan,

tir.

OBEB(a4, b3) = 26 ⋅ 53 a+

60 = 27 ⇒ ab + 60 = 27b b

⇒ 345 + 60 = 27 ⇒ b =

tür.

405 = 15 27

Doğru Seçenek C


a ve b aralarında asal iki sayma sayısıdır.

olduğuna göre, A) 1


OBEB(a, b) = x ve OKEK(a, b) = y

a ⋅b + 1 değeri kaçtır? x+y

B) 2

C) x

D) y

OBEB(a, b) = 2

olduğuna göre, OBEB(a2, b3) değeri kaçtır? E) x ⋅ y

A) 2

B) 4

C) 6

D) 8

YGS MATEMATİK

E) 10

137

O.B.E.B. - O.K.E.K.


DNA 193

DNA 194

a, b ve c sayıları için,

OBEB(a, b) = 4

OBEB(b, c) = 6

OBEB(a, c) = 10

4, 5, 6, 7 ve 8 e bölündüğünde 3 kalanını veren 3 ten büyük en küçük pozitif tam sayının rakamları toplamı kaçtır? A) 15


B) 32

C) 50

D) 62

B) 16

C) 17

D) 18

E) 19

Çözüm

E)70

A = 4x + 3

A = 5y + 3

A = 6z + 3

A = 7m + 3

A = 8n + 3

A – 3 = 4x

A – 3 = 5y

A – 3 = 6z

A – 3 = 7m

a = 4 ⋅ x = 10 ⋅ p = 20 = OKEK(4, 10)

A – 3 = 8n

b = 4 ⋅ y = 6 ⋅ m = 12 = OKEK(4, 6)

Eşitliklere dikkat edildiğinde A – 3 sayısının 4, 5, 6, 7 ve 8

c = 6 ⋅ n = 10 ⋅ k = 30 = OKEK(6, 10)

Çözüm OBEB(a, b) = 4 ise; a = 4 ⋅ x ve b = 4 ⋅ y

(OBEB(x, y) = 1)

OBEB(b, c) = 6 ise; b = 6 ⋅ m ve c = 6 ⋅ n

(OBEB(m, n) = 1)

OBEB(a, c) = 10 ise; a = 10 ⋅ p ve c = 10 ⋅ k (OBEB(p, k) = 1)

Eşitlikler bir arada düşünüldüğünde;

e bölünebildiği görülür. Bu durumda;

olur. a + b + c = 20 + 12 + 30 = 62

A – 3 = OKEK(4, 5, 6, 7, 8) = 840 A = 843

bulunur.

8 + 4 + 3 = 15

Doğru Seçenek D bulunur.

Doğru Seçenek A

a, b ve c sayıları için,

OBEB(a, b) = 2

OBEB(b, c) = 4

1000 den büyük, 8, 9 ve 10 ile bölündüğünde 2 kalanı-

OBEB(a, c) = 6

nı veren en küçük doğal sayı kaçtır? A) 1080


138

B) 22

YGS MATEMATİK

C) 24

D) 26

E) 30

B) 1082

D) 1442

C) 1172

E) 1632


O.B.E.B. - O.K.E.K.

DNA 195

DNA 196

a, b ve c pozitif tam sayılar,

a, b ve c doğal sayılar,

a≠b≠c≠1

dir.

OKEK(a, b, c) = 30

a ve b nin en büyük ortak böleni 4 olduğuna göre,

olduğuna göre, a + b + c toplamının en küçük de-

aşağıdakilerden hangisi kesinlikle çift sayıdır?

ğeri kaçtır?

A)

c=a+b

c 4

D)

B)

a−b 4

c ⋅b 4

C)

E)

c −a 4

A) 6

c +b 4

B) 8

C) 10

D) 12

E) 15

Çözüm 30 = a ⋅ x 30 = b ⋅ y

Çözüm

30 = c ⋅ z a, b ve c nin küçük olması için, x, y ve z nin büyük ve ara-

a = 4x ve b = 4y

larında asal olması gerekir.

c = a + b = 4x + 4y

x = 15, y = 10 ve z = 6 için

a, b ve c nin bu değerleri seçeneklerde yerlerine yazıldığında; c ⋅b (4x + 4y)⋅ 4y = = ( 4 x + 4 y ) y = 4( x + y ) y 4 4 kesinlikle çift sayıdır.

a = 2,

b=3

ve c = 5

bulunur. a + b + c = 2 + 3 + 5 = 10 olur.

Doğru Seçenek D

Doğru Seçenek C

a, b ve c pozitif tam sayılar, a=b+c

Farklı a, b ve c doğal sayılarının ortak katlarından en küçüğü,

dir. b ve c nin en büyük ortak böleni 3 olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle 6 ile bölünebilir? A) a

B) b

D) a + c

C) a + b

E) a + b + c

OKEK(a, b, c) = 30

olduğuna göre, a + b + c toplamının en büyük değeri kaçtır? A) 45

B) 50

C) 55

D) 60

YGS MATEMATİK

E) 75

139

O.B.E.B. - O.K.E.K.


DNA 197

DNA 198

a ve b ardışık iki pozitif çift tam sayıdır.

koşulunu sağlayan kaç tane N pozitif tam sayısı

OKEK(a, b) – OBEB(a, b) = 22

vardır?


B) 18

C) 22

D) 26

OKEK(63, 84, N) = 126

A) 12

E) 30

B) 13

C) 14

D) 15

E) 16

Çözüm n sayma sayısı olmak üzere, a = 2n ve b = 2n + 2 dir. a = 2 ⋅ n ve

Çözüm

b = 2(n + 1)

n, n + 1 ardışık doğal sayılar olup aralarında asaldır. a ve b sayılarının ortak bölenlerinden en büyüğü 2 dir. a ve b sayılarının ortak katlarından en küçüğü, 2n(n + 1)

63 = (2 ⋅ 3)3 = 23 ⋅ 33

84 = (23)4 = 212 126 = (22 ⋅ 3)6 = 212 ⋅ 36

dir. OKEK(a, b) – OBEB(a, b) = 22

2n(n + 1) – 2 = 22

n(n + 1) = 12

n=3

a = 2n = 2 ⋅ 3 = 6

b = 2n + 2 = 2 ⋅ 3 + 2 = 8

N sayısı 36 çarpanını içermek zorundadır. Diğer çarpan, 20, 21, 22, ..., 212 olmak üzere 13 farklı N sayısı vardır. Doğru Seçenek B

bulunur. a + b = 6 + 8 = 14 olur. Doğru Seçenek A

a ve b ardışık iki pozitif çift tam sayıdır.

OKEK(a, b) + OBEB(a, b) = 42

koşulunu sağlayan kaç tane N pozitif tam sayısı var-


140

B) 18

YGS MATEMATİK

C) 22

OKEK(66, 88, N) = 1212

D) 26

dır? E) 30

A) 12

B) 13

C) 16

D) 24

E) 25


O.B.E.B. - O.K.E.K.

TEST - 15 1.

OKEK(288, 720) = B

5 ile bölündüğünde 2 kalanını, 7 ile bölündüğün-

A) 1456

de 3 kalanını veren en küçük iki farklı pozitif tam

B) 69

C) 70

D) 104

OBEB(x, y) = 21

B) 42

C) 63

OKEK(3, 6, 8) = y

A) 18

7.

ları toplamı kaçtır?

4.

C) 11

D) 12

B) 24

C) 36

D) 48

E) 144

Toplamları 46 olan a ve b pozitif tam sayılarının en küçük ortak katı 385 tir.

ren en küçük iki basamaklı doğal sayının rakam-

B) 5


E) 99

3, 5 ve 6 sayılarına bölündüğünde 2 kalanını ve-

A) 1

C) 1584

E) 1840

OBEB(3, 6, 8) = x

D) 84

D) 1728

6.

olduğuna göre, x + y toplamı en az kaçtır? A) 22

B) 1520

E) 139

x ve y birbirinden farklı doğal sayılar ve

3.

olduğuna göre, A + B toplamı kaçtır?

A) 34

OBEB(288, 720) = A

sayının toplamı kaçtır?

2.

5.

E) 14

Buna göre, |a – b| kaçtır? A) 12

B) 20

C) 24

D) 25

E) 26

85, 98 ve 123 sayılarını böldüğünde, sırasıyla 1, 2 ve 3 kalanını veren en büyük doğal sayı kaçtır? A) 4

8.

Ortak katlarının en küçüğü 105 olan farklı iki sayının toplamı en çok kaçtır?

B) 6

C) 8

D) 12

E) 15

A) 15

B) 108

C) 112

D) 140

E) 210

YGS MATEMATİK

141

O.B.E.B. - O.K.E.K.

9.

13. Ortak katlarının en küçüğü 42 olan farklı iki sayı-

x ve y aralarında asal doğal sayılardır.

nın toplamı en az kaçtır?

OBEB(x2, y3) ⋅ OKEK(x2, y3) = 500


A) 7


B) 5

C) 6

D) 7

yapmaktadır. Şirketlerden biri 12 günde bir, diğeri 15 günde bir sefer yapmaktadır.

11.

C) 60

D) 75

olduğuna göre, x in en küçük pozitif tam sayı de-

15. 18,

C) 68

12.

a ⋅ b = 150

OBEB(a, b) = 5

D) 96

1. B

142

2. C

3. B

YGS MATEMATİK

C) 160

D) 336

E) 356

36, 54 sayılarına bölündüğünde 13 kalanını

B) 121

C) 134

D) 147

E) 160

E) 144

16. 3 e bölündüğünde 2, 8 e bölündüğünde 7 kalanını veren bir sayı, 12 ye bölündüğünde kalan kaç olur?

olduğuna göre, OKEK(a, b) kaçtır? B) 25

B) 64

veren üç basamaklı en küçük doğal sayı kaçtır? A) 108

B) 48

A) 20

olduğuna göre, x in alabileceği değerlerin topla-

A) 32

ğeri kaçtır?

x < 100

E) 90

OKEK(x, 52) = 624

A) 42

E) 63

mı kaçtır?

gün sonra tekrar aynı gün sefer yaparlar? B) 30

D) 13

14. x ve 16 sayılarının OBEB i 16 dır.

Bu şirketler aynı gün sefer yaptıktan en az kaç

A) 24

C) 12

E) 54

10. İki ayrı otobüs şirketi A ve B kentleri arasında sefer

B) 10

C) 30 4. D

5. C

D) 40 6. B

A) 1

E) 50 7. C

8. D

9. D

10. C

B) 5 11. B

C) 8 12. C

13. D

D) 9 14. D

15. B

E) 11 16. E


O.B.E.B. - O.K.E.K.

5.

TEST - 16 1.

22007 ve 22008 sayılarının ortak bölenlerinden en büyüğü aşağıdakilerden hangisidir?

A, B ∈ Z ve A > B

A) 1

6.

n pozitif tam sayı olmak üzere,

C) 22007

B) 2

D) 22008

E) 24015

olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? A) 1 ≤ OBEB(A, B) ≤ A – B B) 1 ≤ OBEB(A, B) ≤ B C) A ≤ OKEK(A, B) ≤ A ⋅ B D) OKEK(A, B) < OBEB(A, B)

n n + 12 18

E) A ⋅ B = OBEB(A, B) ⋅ OKEK(A, B)

ifadesinin alabileceği en küçük tam sayı değeri kaçtır? A) 2

2.

B) 3

C) 5

D) 6

E) 7

48, 64 ve 160 sayılarının ortak bölenlerinin en büyüğü ile ortak katlarının en küçüğünün toplamı kaçtır?

A) 824

B) 888

D) 1042

C) 976

7.

E) 1210

a ve b pozitif tam sayılarının en büyük ortak böleni,

3.

3 e bölünebilen 100 den küçük en büyük tam sa-

A) 6

B) 8

C) 9

D) 12

olduğuna göre, kaç farklı (a, b) sıralı ikilisi bulu-

A) 2

E) 24

B) 3

C) 4

D) 6

E) 8


OKEK(a, b) = 4 ⋅ OBEB(a, b)

a ⋅ b = 36

a ⋅ b = 400

nabilir?

yının rakamları çarpımı kaçtır?

4.

dir.

2 ye, 4 e ve 5 e bölündüğünde 1 kalanını veren,

EBOB(a, b) = 1

8.

sayılardan en büyüğünün onlar basamağındaki


B) 13

3, 7 ve 8 ile kalansız bölünebilen 2000 den küçük

C) 15

D) 16

rakam kaçtır? E) 24

A) 2

B) 4

C) 6

D) 7

YGS MATEMATİK

E) 8

143

O.B.E.B. - O.K.E.K.

9.


100! ve 102! sayılarının ortak bölenlerinin en

13. Kenar uzunlukları 6 cm ve 10 cm olan dikdörtgenler

büyüğü kaçtır?

A) 2

ile bir kare oluşturulmak isteniyor B) 100

D) 100!

C) 10200

E) 102!

A) 10

10. 56 ve 72 sayılarının ortak katlarından en küçüğü A) 168

B) 252

D) 1008

A) 8

E) 1260

11. 12, 15 ve 21 sayılarının ortak katlarından en küD) 420

B) 9

E) 20

C) 10

D) 12

E) 15

OBEB(30 ,36) + OKEK(30, 36)


çüğü kaçtır? C) 390

D) 16

rakamları toplamı kaçtır?

C) 504

B) 210

C) 15

nını veren iki basamaklı en büyük doğal sayının

15.

A) 180

B) 12

14. 8 e bölündüğünde 2, 12 ye bölündüğünde 6 kala-

kaçtır?

Buna göre, en az kaç dikdörtgen kullanılmalıdır?

B) 186

C) 196

D) 210

E) 216

E) 530

16. x, y, z pozitif tam sayılar olmak üzere, 12. 3700 sayısının en az kaç fazlası 4, 5 ve 6 sayıları

eşitliğini sağlayan üç basamaklı en büyük A sayısı kaçtır?

ile kalansız bölünebilir? A) 10 1. D

144

2. C

B) 20 3. B

YGS MATEMATİK

C) 30 4. C

5. C

D) 40 6. C

A) 992

E) 50 7. C

8. B

A = 3x + 2 = 5x + 3 = 7x + 1

9. D

10. C

B) 988 11. D

12. B

C) 981 13. C

D) 976 14. B

15. B

E) 953 16. E

RASYONEL SAYILAR - BÖLÜM 02

RASYONEL SAYILAR

Yani, x = 1 olamaz.

TANIM

Kısaca, x ≠ 0 ve x ≠ 1 olup, bu iki değer kesri tanımsız

a ve b iki tam sayı ve a ≠ 0 olsun.

yapar.

a ⋅ x = b denklemini sağlayan, x=

Doğru Seçenek C

b değerine bir kesir denir. a

b ifadesinde; b ye pay, a ya payda adı verilir. a Kesir, Arapça kökenli bir kelime olup, “çok” anlamına gelir.

2−

Hazine 1

1 2−

a bir kesir olsun. b a = 0 ise; kesrin değeri 0 dır.

4

1+

1 x

ifadesini tanımsız yapan kaç x değeri vardır? A) 1

B) 2

b = 0 ise; kesir tanımsızdır.

C) 3

D) 4

E) 5

a, b nin bir tam katı ise; kesir bir tam sayıdır.

TANIM

DNA 1 1 1−

a kesrinde, a sayısının sıfıra olan uzaklığı, b sayısının b a sıfıra olan uzaklığından küçük ise, kesrine basit kesir; b

1 x

ifadesini tanımsız yapan kaç x değeri vardır? A) 0

B) 1

C) 2

D) 3

a kesrine bileşik kesir denir. b

−3 kesrinde, (–3) sayısının sıfıra olan uzaklığı 7 3, 7 sayısının sıfıra olan uzaklığı 7 den küçük olduğundan Örneğin,

−3 bir basit kesirdir. 7

Çözüm

–1 ile +1 bir bileşik kesir, 0 ise bir basit kesirdir.

1 1 x

1−

E) 4

büyük ya da eşit ise,

kesrinde x = 0 olamaz.

Basit ve bileşik kesirleri, bir de sayı doğrusu üzerinde gösterelim.

Diğer yandan, 1 1−

1 x

kesrinde, 1 −

1 = 0 olamaz. x

��

��

��

�

�

YGS MATEMATİK

145

Rasyonel Sayılar

Rasyonel Sayılar - Bölüm 02

DNA 2

Işık 1

a−2 kesri bir basit kesir olduğuna göre, a nın 3 alacağı tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır? A) 10

B) 11

C) 14

D) 15

a c = ⇔ a⋅d = b⋅c b d

E) 16

Çözüm

TANIM

a−2 kesrinin basit kesir olabilmesi için, 3

a b kesrinde a ile b sadeleşemiyor ise; bu kesre bir rasyonel a bir tam sayı, b sıfırdan farklı bir tam sayı olmak üzere,

a – 2 < 3 ve –3 < a – 2 olmalıdır.

sayı denir. –3 < a – 2 < 3

⇒ –3 + 2 < a < 3 + 2

⇒ –1 < a < 5

Örneğin,

1 −4 −9 7 0 , , , , sayıları birer rasyonel sayıdır. 3 7 2 1 4

olup, bu aralıktaki tam sayıların toplamı, 0 + 1 + 2 + 3 + 4 = 10 dur. Doğru Seçenek A

TANIM Rasyonel sayılar kümesi Q ile gösterilir.

a +1 kesri bir basit kesir olduğuna göre, a nın alacağı 5 kaç değişik tam sayı değeri vardır? A) 9

B) 10

C) 11

D) 12

a Q= b

 b ≠ 0, a ile b sadeleşemez, a, b ∈ Z  

E) 13

Not TANIM a c ve iki kesir olsun. b d Eğer

146

a c a c = ise, ile kesirleri denktir denir. b d b d

YGS MATEMATİK

a rasyonel sayısında b = 1 alırsak her tamsayının aynı b zamanda bir rasyonel sayı olduğunu söyleyebiliriz. a   = a  Bu yüzden Z ⊂ Q dur. 1 


Rasyonel Sayılar

RASYONEL SAYILARDA TOPLAMA ve ÇIKARMA

RASYONEL SAYILARDA ÇARPMA ve BÖLME

a c ve rasyonel sayılarını toplarken; b b

a c ve iki rasyonel sayı olsun. b d

a c a+c + = b b b

a c ile yi çarparken, payları kendi arasında çarpıp, b d paya; paydaları kendi arasında çarpıp, paydaya yazarız.

payları kendi aralarında toplar; paydayı aynen yazarız. a c a⋅c ⋅ = b d b⋅d

a c − rasyonel sayılarını çıkarırken; b b a c a−c − = b b b birinci kesrin payından ikinci kesrin payını çıkarır; paydayı

a c yi ye bölerken de, ikinci kesrin payı ile paydasını yer b d değiştirip, birinci kesir ile çarparız. a c a c : = ⋅  b d b  d

aynen yazarız. Gördüğünüz gibi, paydalar eşit iken işimiz kolay.

=

Peki, paydalar farklı iken ne yapacağız?

−1

a d a⋅d ⋅ = b c b⋅c

Önce paydaları eşitleyip, daha sonra toplama veya çıkarma işlemini yapacağız. a c ve iki rasyonel sayı olsun. b d a c a ⋅d c ⋅b a ⋅d  c ⋅b  =  = b d b⋅d b⋅d b⋅d

Not a, b tam sayılar ve b sıfırdan farklı olsun. O zaman, −

olarak tanımlanır.

a −a a = = b b −b

dir.

DNA 3

Not a ≠ 0 olmak üzere,

a rasyonel sayısının çarpma işlemine b

göre tersi, a   b

−1

=

b a

1  3 1 1 2 1 ⋅ −  −  −  3 7 2 27 3


B)

1 7

C)

2 7

D) 0

E) –1

dır.

YGS MATEMATİK

147

Rasyonel Sayılar


Çözüm

Çözüm 1 + 2 3

1  3 1 1 2 1 ⋅ −  −  −  3 7 2 27 3

1 2 3

1 = 1 + 2 3

1 1 1 1 − − + =0 7 6 7 6

=

1 2 3 1

1 3 1 1 = ⋅ + ⋅ 1 2 2 3

Doğru Seçenek D

=

3 1 + 2 6

=

9 1 + 6 6

=

10 5 = 6 3

2  3 4  1 6 8  ⋅ −  −  −  5 7 9 57 9

Doğru Seçenek B

işleminin sonucu kaçtır? A) −

1 35

1 35

B)

C) 0

D) −

2 15

E) −

1 7

Uyarı a b c a b c

=

=

a 1 b c a b c 1

=

5 4 5

a c a⋅c ⋅ = 1 b b


=

B)

4 3

148

B)

C)

E) 8

x kesrinin hem payından y hem de paydasından aşağıdakilerden hangisi çıkarılırsa, kesrin değeri

YGS MATEMATİK

D) 7

x ≠ y ≠ 0 olmak üzere,

1 2 3

5 3

13 2

DNA 5

işleminin sonucu kaçtır? A)

25 4

a 1 a ⋅ = b c b⋅c

DNA 4 1 + 2 3

+

7 2 2

C) 2

A) y – x D)

7 3

E) 3

y olur? x

B) x – y

D) –y – x

E) 1

C) x + y


Rasyonel Sayılar

Çözüm

Çözüm x 3 = ⇒ x = 3k ve y = 5k (k ≠ 0) y 5

Hatırlatma dır. x2 –y2 = (x – y) ⋅ (x + y)

3k − 7 10 = olup, içler dışlar çarpımı yapılırsa, 5k − 7 19 57k – 133 = 50k – 70

İstenen sayı k olsun. x −k y = ⇒ x 2 − kx = y 2 − ky y −k x ⇒ x 2 − y 2 = kx − ky ⇒

7k = 63

k=9

olur ki, y – x = 5k – 3k = 2k = 2 ⋅ 9 = 18

(x − y) ⋅ (x + y) = k ⋅ (x − y) bulunur.

⇒ k = x+y

Doğru Seçenek E Doğru Seçenek C

x ≠ y ≠ 0 olmak üzere,

x kesrinin hem pay hem de y

paydasına aşağıdakilerden hangisi eklenirse, kesrin değeri

y olur? x

A) x – y

B) y – x

D) –x – y

C) x + y

E) –1

Değeri

3 1 olan bir kesrin payına eklenip, paydasından 4 2

1 çıkarılınca kesrin değeri 1 olmaktadır. 2 Buna göre, bu kesrin payı, paydasından kaç azdır? A) 1

B) 2

E) 5

1 2 3 − + 2 3 4 1 1 1 + − 2 3 4

x 3 kesrinin değeri tir. Bu kesrin hem pay hem de y 5 paydası 7 azaltılırsa kesrin değeri

10 olmaktadır. 19


Buna göre, y – x farkı kaçtır? B) 10

D) 4

DNA 7

DNA 6

A) 8

C) 3

C) 14

D) 16

E) 18

A)

5 7

B)

6 7

C) 1

D)

7 6

YGS MATEMATİK

E)

7 5

149

Rasyonel Sayılar


Çözüm

Çözüm

Paydalardaki sayılar 2, 3, 4 olduğu için, paydalar 2, 3, 4

2 3 5 + + = 3 4 6

ün OKEK’i olan 12 de eşitlenir. 1 2 3 − + 2 3 4

(6)

( 4)

(3 )

1 1 1 + − 2 3 4

(6)

( 4)

(3 )

6 8 9 − + = 12 12 12 6 4 3 + − 12 12 12

=

6−8+9 12 = 6+4−3 12

+

y diyelim.

1 1 1 + + = x 3 4 6 + 2 +1 3 +1 5 +1 + + = x+y 3 4 6

7 12 7 12

=1

⇒

1+1+1=x+y

⇒

3=x+y

⇒

y=3–x

dir.

Doğru Seçenek A Doğru Seçenek C

1 1 + 2 4 1 1 1− − 2 4

1+

olduğuna göre,


B) 5

3 4 1 + − =x 5 7 9

D) 7

C) 6

E) 8

ğeri nedir? A) x – 3

2 3 10 + + ifadesinin x cinsinden de5 7 9 B) x + 3

D) 3 – x

E) x + 2

C) 2x

DNA 8 Rasyonel Sayıların Ondalık Açılımı 1 1 1 + + =x 3 4 6

2 3 5 olduğuna göre, + + nın x cinsinden değeri 3 4 6 nedir? A) 3 – x

B) x – 3

D) x + 3

150

YGS MATEMATİK

E) 2x – 1

C) 2x

TANIM a bir rasyonel sayı olsun. a nın b ye bölünmesiyle elde b a edilen sayıya nin ondalık açılımı denir. b Hemen bir örnek verelim.


Rasyonel Sayılar

39 rasyonel sayısının ondalık açılımını yapalım: 4 39 4 39 Böylece = 9, 75 olur. 36 9,75 4 30 28 20 20 0

TANIM a bir tam sayı ve

b b bir kesir olsun. a + ifadesine bir c c

tam sayılı kesir denir ve a

b ile gösterilir. a ya da kesrin c

tam kısmı denir. topla

1 1 3⋅2 +1 7 2 = 2+ = = 3 3 3 3

39 975 900 70 5 1 1 = 9, 75 = = + + = 9 +7⋅ +5⋅ 4 100 100 100 100 10 102

çarp

topla

5 17 = 4 4 çarp 3

DNA 9

topla

3 11  3 −2 = −  2  = − 4 4  4

3 sayısının ondalık açılımı aşağıdakilerden han4 gisidir? A) 0,25

B) 0,34

D) 0,75

çarp

C) 0,6

E) 0,38

Uyarı Çözüm

−2

3 : 4 işlemini yaparak, verilen sayının ondalık açılımını

biçiminde bir işlem hatalı olur. Neden?

bulabiliriz. 30 28

4 0,75

20 20 00 Buna göre,

3 −2 ⋅ 4 + 3 −5 = = 4 4 4

3 ifadesindeki – sadece 2 ye ait değil, tam 4

(3 ün yanına sıfır attığı-

Çünkü −2

mızda, bölüm hanesine

sayılı kesre aittir. Bu yüzden,

sıfır yazıp virgül atarız.) −2 3 = 0, 75 tir. 4

3  3 = −  2  tür. 4  4

Doğru Seçenek D

DNA 10 5 sayısının ondalık açılımı aşağıdakilerden hangisi8

4 sayısının ondalık açılımı aşağıdakilerden han5 gisidir?

dir?

A) 2,25

A) 0,25

B) 0,325

D) 0,625

C) 0,524

2

B) 2,64

D) 2,98

C) 2,8

E) 3,02

E) 0,75

YGS MATEMATİK

151

Rasyonel Sayılar


Çözüm

Çözüm 1,42 =

Verilen tam sayılı kesri bileşik kesre çevirdikten sonra bileşik kesrin ondalık açılımını bulalım. olduğunu biliyoruz.

4 2 ⋅ 5 + 4 14 2 = = 5 5 5 14 10

5 2,8

40 40 00 Öyleyse, 2

142 100

142 rasyonel sayısını sadeleştirirsek, 100 142 142 : 2 71 = = 100 100 : 2 50

(4 ün yanına sıfır attığımızda, bölüm hanesine

buluruz.

virgül atarız.)

Doğru Seçenek D 4 14 = = 2, 8 dir. 5 5

Doğru Seçenek C

1,08 sayısının eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A)

5

57 50

B)

C)

27 25

D)

26 25

E)

51 50

Not

9 sayısının ondalık açılımı aşağıdakilerden hangi20

sidir?

0,abcd = a,bcd ⋅ 10–1 B) 5,45

A) 5,25

56 50

D) 5,6

C) 5,5

E) 5,75

= ab,cd ⋅ 10–2

= abc,d ⋅ 10–3

= abcd ⋅ 10–4

biçiminde yazılabilir.

DNA 11

DNA 12

1,42 sayısının eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A)

21 25

152

D)

B) 71 50

YGS MATEMATİK

24 25 E)

C) 81 100

63 50

4,15 4, 234 + 0, 415 0, 4234


B)

101 10

C) 20

D) 30

E)

401 10


Rasyonel Sayılar

Çözüm

Işık 2

4,15 kesrini 1000 genişletelim. 0, 415

101

10–1 10–3

↓

↓

↓

a b , c d e f = a⋅10 1 +b⋅10 0 +c⋅10 –1 +d⋅10 –2 +e⋅10 –3 +f⋅10 –4 ↑

4,15 ⋅ 1000 4150 = = 10 0, 415 ⋅ 1000 415

↑

Benzer olarak, n sayı tabanı olmak üzere,

olur.

n1

n–1

↓

↓

n–3 ↓

( a b , c d e f ) n = a⋅n 1 +b⋅n 0 +c⋅n –1 +d⋅n –2 +e⋅n –3 +f⋅n –4

Soruların hepsinde genişletme yapmak işimizi biraz uzatacaktır. Onun yerine aşağıdaki yolu kullanacağız.

↑

↑

↑

n0

n–2

n–4

Sayıların virgülden sonraki basamak değerlerini eşitleriz. 3 basamak

↑

100 10–2 10–4

DNA 13

4 basamak

4, 234 4, 2340 = 0, 4234 0, 4234

30,413 sayısının çözümlenmiş şekli aşağıdakiler-

4 basamak

den hangisidir?

4 basamak

A) 3⋅102 + 0⋅101 + 4⋅10–1 + 1⋅10–2 + 3⋅10–3

Virgülden sonraki basamak değerleri eşitlendikten sonra

B) 3⋅102 + 4⋅100 + 1⋅10–2 + 3⋅10–3

virgülleri silebiliriz.

C) 3⋅101 + 0⋅100 + 4⋅10–1 + 1⋅10–2 + 3⋅10–3

4, 2340 42340 = = 10 0, 4234 4234

D) 3⋅101 + 1⋅102 + 4⋅103 + 0⋅104 + 3⋅105

4,150 4150 = = 10 0, 415 415

E) 3⋅100 + 4⋅10–1 + 1⋅10–2 + 3⋅10–3

buluruz.

Çözüm

O halde,

3 0 , 4 1 3 = 3⋅101 + 0⋅100 + 4⋅10–1 + 1⋅10–2 + 3⋅10–3

4,15 4, 234 + = 10 + 10 = 20 0, 415 0, 4234

↓

↓

101 100

↓

↓

↓

10–110–2 10–3

Doğru Seçenek C

dir. Doğru Seçenek C

12,3065 sayısının çözümlenmiş şekli aşağıdakilerden hangisidir?

0, 24 + 0, 9 2, 4 0, 784 0, 004 + 7, 84 0, 005

A) 5⋅101 + 6⋅102 +3⋅103 +2⋅104 + 1⋅105 B) 1⋅101 + 2⋅100 + 3⋅10–1 + 0⋅10–2 + 6⋅10–3 + 5⋅10–4 C) 1⋅101 + 2⋅100 + 3⋅10–1 + 6⋅10–2 + 5⋅10–3

işleminin sonucu kaçtır? 9 A) 10

B) 1

10 C) 9

D) 1⋅102 + 2⋅101 + 3⋅100 + 0⋅10–1 + 6⋅10–2 + 5⋅10–3 D) 2

E) 10

E) 1⋅102 + 2⋅101 + 3⋅10–1 + 0⋅10–2 + 6⋅10–3 + 5⋅10–4

YGS MATEMATİK

153

Rasyonel Sayılar


RASYONEL SAYILARDA SIRALAMA

DNA 14

Pozitif rasyonel sayıları sıralayabilmek için aşağıdaki üç yöntemden biri kullanılabilir.

a=

13 10

b=

14 11

c=

5 4

sayılarının küçükten büyüğe doğru sıralanışı aşa-

I. Yöntem: Paydalar eşitlenir.


II. Yöntem: Paylar eşitlenir.

A) a < b < c

III. Yöntem: Ondalık açılımı yapılır.

B) c < b < a

D) b < c < a

C) a < c < b

E) c < a < b

Bir problemde bu üç yöntemden hangisi daha kullanışlıysa onu seçeriz.

Örneğin,

Çözüm

3 1 2 , , sayılarını üç yöntemle sıralayalım. 5 2 3

Verdiğimiz üç yöntemin de burada çok işe yaradığını söyleyemiyoruz.  Küçük bir düzeltmeyle soruyu çözmeye çalışalım.

I. Yöntem: 3 18 = 5 30

1 15 = 2 30

2 20 = 3 30

a=

10 + 3 3 = 1+ 10 10

c=

4 +1 1 = 1+ 4 4

15 < 18 < 20 olduğundan, 15 18 20 1 3 2 < < olup, < < tür. 30 30 30 2 5 3

II. Yöntem: 3 6 = 5 10 9 < 10 < 12 olup

Böylece

1 6 = 2 12

2 6 = 3 9

1 1 1 6 6 6 < < ve < < dur. 12 10 9 12 10 9

a −1=

3 10

b −1=

3 11

c −1=

1 3 = 4 12

11 + 3 3 = 1+ 11 11

    Artık payları eşit.    Sıralama yapabiliriz.    

c–1
1 3 2 < < bulunur. 2 5 3

III. Yöntem: 3 = 0, 6 5

1 = 0, 5 2

1 3 2 < < 2 5 3 tür.

YGS MATEMATİK

2 = 0, 666... 3

a=

10 11

b=

100 101

c=

1000 1001

sayılarının küçükten büyüğe doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

0,5 < 0,6 < 0,66 .... olup

154

b=

A) c < b < a

B) a < c < b

C) a < b < c

D) c < a < b

E) b < a < c


Rasyonel Sayılar

Çözüm

Uyarı Negatif kesirler arasında sıralama yapılırken, önce

a, b, c nin her birinin bir bileşik kesir olduğu açıktır. 2008 – 2005 = 2005 – 2002 = 2001 – 1998

kesirler pozitifmiş gibi sıralanır. Daha sonra, eşitsizlik işaretinin yönü değiştirilir.

olduğundan IŞIK 3’ten,

(> ise <, < ise >)

a
Rasyonel sayıların sıralamasını daha kolay yapabilmeniz

Doğru Seçenek A

için, aşağıdaki IŞIK yolunuzu aydınlatacaktır.

Işık 3 a c e , , kesirleri birer pozitif basit kesir ve b d f b – a = d – c = f – e olsun.

a=

17 15

b=

19 17

c=

21 19

O zaman; bu kesirlerden payı en küçük olanı en kü-

çük, payı en büyük olanı en büyüktür.

olduğuna göre, a, b, c nin küçükten büyüğe doğru sı-

Örneğin,

ralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

999 1000 1001 < < 1000 1001 1002

A) a < b < c

a c e , , kesirleri birer pozitif bileşik kesir ve b d f

B) a < c < b

D) c < a < b

C) c < b < a

E) b < c < a

a – b = c – d = e – f olsun. O zaman; bu kesirlerden payı en küçük olanı en büyük, payı en büyük olanı en küçüktür. Örneğin,

Not

1000 999 995 < < 997 996 992

Birbirinden farklı iki rasyonel sayı arasında, en az bir tane ve dolayısıyla sonsuz tane rasyonel sayı vardır.

DNA 15

a=

2008 2005

b=

2005 2002

c=

olduğuna göre, a, b, c nin küçükten büyüğe doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir? A) a < b < c

B) a < c < b

D) c < b < a

DNA 16

2001 1998

C) c < a < b

E) b < a < c

2 3
olduğuna göre, x aşağıdakilerden hangisi olabilir? A)

1 14

B)

5 14

C)

5 6

D)

1 4

YGS MATEMATİK

E)

1 2

155

Rasyonel Sayılar


DEVİRLİ ONDALIK SAYILAR

Çözüm

TANIM

Seçeneklerde verilen rasyonel sayıların paydalarının OKEK’i 84 olduğundan, soruyu paydalar 84 olacak şekil-

Bir kesir ondalıklı biçimde yazıldığında, ondalıklı kısımda-

de düzenleyelim.

ki sayılar belli bir rakamdan sonra tekrar ediyorsa bu sayı-

2 2 ⋅ 12 24 = = 7 7 ⋅ 12 84

3 3 ⋅ 12 36 = = 7 7 ⋅ 12 84

1 1⋅ 6 6 = = 14 14 ⋅ 6 84

5 5 ⋅ 6 30 = = 14 14 ⋅ 6 84

çizgi çekilir.

5 5 ⋅ 14 70 = = 6 6 ⋅ 14 84

1 1⋅ 21 21 = = 4 4 ⋅ 21 84

0,2457333... = 0,24573

ya devirli ondalık sayı denir ve devreden kısmın üzerine

13,4787878... = 13,478

1 1⋅ 42 42 = = 2 2 ⋅ 42 84

5,348348... = 5,348

Şimdi soru şu şekli aldı: 24 36
DNA 17

olduğuna göre, x aşağıdakilerden hangisi olabilir? A)

6 84

B)

30 84

C)

70 84

D)

21 84

E)

42 84

2 sayısının ondalık açılımı aşağıdakilerden han3 gisidir? A) 0,15

B) 0,2

C) 0,32

D) 0,6

E) 1,3

Şu halde, cevabın B olduğu açıktır. Doğru Seçenek B

Çözüm 20 18

3 0,666

20 18 20 18 2

(2 nin yanına sıfır attığımızda, bölüm hanesine sıfır yazıp, virgül atarız.)

Buna göre, 2 = 0, 666... = 0, 6 3

1 2

olduğuna göre, x aşağıdakilerden hangisi olamaz? 1 A) 6

156

4 B) 27

YGS MATEMATİK

5 C) 27

17 D) 81

19 E) 81

dır. Doğru Seçenek D


Rasyonel Sayılar

0,6787878... Öğretmen 6 yı cezalandırmak için gruptan çıkarmış. 5 sayısının ondalık açılımı aşağıdakilerden hangisi6 dir?

678 – 6 Hâlâ kızgın olan öğretmen daha sonra not defterini çıkar-

A) 0,3

B) 0,35

C) 0,63

mış ve koşanlara 9, koşmayanlara 0 vermiş. 678 − 6 990

E) 0,83

D) 0,8

Böylece,

Not

0, 678 =

678 − 6 672 = 990 990

Her rasyonel sayı, bir devirli ondalık açılıma sahiptir. olmuş.”

Örneğin, 1 = 0, 333... 3 2 = 2, 000...

Bu arada, hata yapmamanız için şunu söylememizde fayda var. Virgülden önceki rakamlara öğretmen asla not vermiyor.

Işık 4 Devirli Ondalık Sayı

DNA 18

Sayının tamamı – Devretmeyen kısım

=

Virgülden sonra devreden rakam sayısı kadar 9, devretmeyen rakam sayısı kadar 0

1,23 ondalık kesrinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A)

0, a =

a 9

0, ab =

ab 99

a, b = a, bm =

ab − a 9 abm − ab 90

37 33

miş. 7 ve 8 öğretmenlerinin isteğini yerine getirip koşarken

C)

43 33

D)

4 3

E)

3 2

IŞIK 4’ten, 1, 23 =

tutabileceğinizi düşünüyoruz. Örneğin 0,678 ile ilgili hikâ-

“Beden eğitimi öğretmeni 6,7 ve 8 den koşmalarını iste-

37 30

Çözüm

IŞIK 4’ü bir hikâyeye dönüştürürsek aklınızda daha kolay yemizi anlatalım.

B)

123 − 12 111 37 = = 90 90 30

buluruz. Doğru Seçenek B

6 hiç istifini bozmamış.

YGS MATEMATİK

157

Rasyonel Sayılar


DNA 20 0, 35 + 0, 64

x = 0,123

0, 3

y = 0,123


C) 3

B) 2

D) 4

z = 0,123

E) 5

olduğuna göre, x, y, z nin küçükten büyüğe doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir? A) x < y < z

DNA 19 x ve y pozitif tam sayılar olmak üzere,

D) z < x < y

eşitliğini sağlayan x en az kaçtır? A) 198

B) 158

C) 148

C) z < y < x

E) y < z < x

Çözüm

x ⋅ 0,479 = y

B) x < z < y

x = 0 , 1 2 3 1 2 3 1 2 3 ...

D) 138

E) 28

y = 0 , 1 2 3 2 3 2 3 2 3 ... z = 0 , 1 2 3 3 3 3 3 3 3 ...

Çözüm 0,479 = x⋅

Şu halde, x < y < z olduğu açıktır. Doğru Seçenek A

479 − 4 475 95 = = 990 990 198

95 =y 198

x ile 198 in sadeleşmesi gerektiğinden, x en az 198 olur. Doğru Seçenek A

x = 0,1234 y = 0,1234 z = 0,1234 a ve b pozitif aralarında asal sayılar olmak üzere,

a 0, 3 = b 0, 23


158

B) 33

YGS MATEMATİK

C) 44

D) 56

E) 77

t = 0,1234

olduğuna göre, x, y, z, t nin küçükten büyüğe doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir? A) x < y < z < t

B) x < y < t < z

C) y < z < t < x

D) z < y < x < t

E) t < z < y < x


Rasyonel Sayılar

TEST - 1 1.



6 7

B) 3

C) 5

D) 6

B) 49

C) 50


A)

168 5

144 5

B) 96 35

D)

3

:

3

4.


2+

9 10

7

5 1+ 6

B) 1

C)

E)

5+

140 9

7 270

1+

7 17

D)

D) 1

E) 2

D) 13

E) 12

D) 3

E) 4

6 5

E)

13 10

  1 :  12 

B) 144

1 1−

1

1+

C) 143

1 2

B)

7 10

C)

3 4

 1 1  1  5  −  ⋅  :  2 3  4  6

8.

11 10

1 4


7 5

C)

C)


E) 55

7.

A)

D) 54

1 3 + 3 5 1 2 − 4 9

3.

4 7

B)

3  −1  3 4 −  3  1 − 3  4

6.


3 4

E) 7

1 1 1    2  1 −  + 3  1 −  + ... + 10  1 −   2 3 10    

2.

5.

  2  1 2 −  2 : 3 − 2   : 2 + 3   

1  1   3 −  − 1 −   2  2 1  3    4 −  +  − 1  4 4 


1 4

B)

1 5

C)

5 12

D)

1 12

YGS MATEMATİK

E)

1 20

159

Rasyonel Sayılar

9.

1−


1

zincir kesrinin kısaltılmışı aşağıdakilerden hangi-

A) x–1

B) –x

D) 1 – x


A) 0,001

12.

6 5


A) 0,14

C) 0,1

1. C

160

B) 1,4

D) 140

C) 14

E) 1400

−1

15.

C) −

0,4

ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisi-

dir? 5 6

D)

5 6

E)

6 5

A) 0,2

B) 0,20

D) 0,6

C) 0,60

E) 0,40

1 3  1   2 + +  1 +   2 4  3 

16. 1


E) 1

1 (0,18 − 0, 04) 0, 01

14.

işleminin sonucu kaçtır? B) −

D) 2

E) 10

  2 −1  3 −1    −    2   3 

A) –6

B) 0,01

D) 1

11.

C) 3

E) 1 + x

B) 4

C) x – 1

1  1  1 1     1 −   1 −   1 −  ⋅ ... ⋅  1 −   2  3  4   100 

10.


sidir?

1  0, 65 +  0, 2 +  0, 5  2

13.

1 1− 1− x

19 3

2. A

B)

17 3

3. A

YGS MATEMATİK

C)

4. C

6

16 3

5. B

D)

14 3

6. A

E)

7. E

13 3

8. E

sayısının eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

A) 0,6

9. A

B) 0,16

D) 0,16 10. B

11. E

12. E

C) 0,16

E) 0,3 13. E

14. C

15. D

16. D

I. DERECEDEN DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER

I. DERECEDEN DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER - BÖLÜM 03

I. DERECEDEN DENKLEMLER TANIM

Not Birinci dereceden bir bilinmeyenli bir denklemi çözerken

x bir değişken, a, b gerçek sayı ve a ≠ 0 olsun. İçinde x ten başka değişken bulundurmayan, a ⋅ x + b = 0 biçiminde olan ya da bu biçime çevrilebilen ifadelere bi-

bilinenlerin (değişken olmayanların) eşitliğin bir tarafında, bilinmeyenlerin (değişkenlerin) eşitliğin diğer tarafında olması kolaylık sağlar.

rinci dereceden bir bilinmeyenli denklem, x e de denklemin değişkeni denir.

TANIM

Örneğin,

3x + 4 = 5 4a – 6 = 2 + 3a

Bir denklemin köklerinin oluşturduğu kümeye o denklemin çözüm kümesi denir.

x − 2 x +1 = 5 4

DNA 1

ifadeleri birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemdirler.

2x + 5 = 3

denkleminin çözüm kümesi nedir?

TANIM

A) { } x ve y iki değişken, a, b gerçek sayılar ve a ≠ 0 ≠ b ol-

B) {–1}

D) {2}

C) {–1, 1}

E) R

sun. İçinde x ve y den başka değişken bulundurmayan, a ⋅ x + b ⋅ y = 0 biçiminde olan ya da bu biçime çevri-

Çözüm

lebilen ifadelere birinci dereceden iki bilinmeyenli bir denklem, x ve y ye de denklemin değişkenleri denir.

2x + 5 = 3

3x + 4y = 10

⇒

2x = –2

a −1 b + 3 = 5 7

⇒

x=

⇒

x = –1

ifadeleri birinci dereceden iki bilinmeyenli denklemdirler.

−2 2

2x + 5 = 3 denkleminin kökü –1 dir.

TANIM Verilen bir denklemde eşitliği sağlayan değere denklemin

Çözüm kümesi {–1} dir. Doğru Seçenek B

bir kökü denir. Örneğin, 3x – 1 = 11 denkleminin kökü x = 3 tür.

YGS MATEMATİK

161

I. Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler

I. Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler - Bölüm 03

Tam sayılar kümesinde,

1 – 2x = 5x – 6

denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisi

dir? A) { }

B) {–1}

D) {1}

C) {–1, 1}

x 2 x 2 − = − 7 5 5 7

denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

E) R

A) { }

B) {–1}

C) {–2}

D) {2}

E) R

DNA 2 Doğal sayılar kümesinde,

4x + 6 = 7

denkleminin çözüm kümesi nedir? A) { }

B) {–1}

D) {2}

C) {–1, 1}

E) R

Denklem çözümü için yapılan işlemde kimi zaman bilinmeyenler birbirini yok eder. Bu gibi durumlarda çözüm kümesi { } veya R dir. Çözüm kümesi { } ise verilen denklemin kökü yoktur, R ise verilen denklemin çözüm kümesi sonsuz elemanlıdır.

Çözüm

a ≠ 0 olmak üzere, 4x + 6 = 7

⇒

4x = 7 – 6

⇒

4x = 1

⇒

x=

⇒

x = 0,25 ∉ N

a⋅x+b=0 denkleminin çözüm kümesinin sonsuz elemanlı olması

1 4

demek, bu eşitliğin her x gerçek sayısı için sağlanması demektir. Bunun için de eşitliğin sol ve sağ yanları birbiri-

0,25 sayısı bir doğal sayı olmadığından, doğal sayılar kü-

ne eşit olmalıdır.

mesinde 4x + 6 = 7 denkleminin kökü yoktur. Bu durumda doğal sayılar kümesinde 4x + 6 = 7 denkleminin çözüm kümesi { } dir.

Birinci dereceden bir bilinmeyenli bir denklemin çözüm kümesinin boş küme, sonsuz elemanlı bir küme veya tek

Doğru Seçenek A

elemanlı bir küme olması için gerek ve yeter şartları aşağıdaki IŞIK ile verelim.

162

YGS MATEMATİK



DNA 3

Işık 1 a ve c ikisi birden sıfır olmayan gerçek sayılar, b ve d

gerçek sayılar olmak üzere,

eşitliği her x gerçek sayısı için sağlandığına göre, k kaçtır?

ax + b = cx + d ... (i)

A) 1

denklemi verilsin. 1)

C) 3

D) 4

Çözüm 3x + 7 = 3(x + 1) + k

(i) deki eşitliğin çözüm kümesinin sonsuz elemanlı olabilmesi için gerek ve yeter şart,

a = c ve b = d (i) denkleminin çözüm kümesinin tek elemanlı

3x + 7 = 3x + 3 + k

⇒

⇒

7=3+k

⇒

k=4

olabilmesi için gerek ve yeter şart,

Doğru Seçenek D

a≠c

E) 5

a = c ve b ≠ d

3)

B) 2

(i) deki eşitliğin çözüm kümesinin boş küme olabilmesi için gerek ve yeter şart,

2)

3x + 7 = 3(x + 1) + k

olmasıdır.

IŞIK 1’den, şunu da söyleyebiliriz: ax + b = c (c = 0 ⋅ x + c) ... (i′)

4x + 15 = m(x + 3) + n

eşitliğini sağlayan hiçbir x gerçek sayısı olmadığına

denklemi verilsin. 1)

göre, n aşağıdakilerden hangisi olamaz?

(i′) deki eşitliğin çözüm kümesinin boş küme olabil-

A) 1

mesi için gerek ve yeter şart,

(i′) deki eşitliğin çözüm kümesinin sonsuz elemanlı olması için gerek ve yeter şart,

3)

C) 3

D) 4

E) 5

a = 0 ve b = c (i′) deki eşitliğin çözüm kümesinin tek elemanlı olma-

İki veya daha çok bilinmeyen içeren bir denklemin çözüm kümesi sonsuz elemanlıdır. İki bilinmeyenli bir denklemin çözüm kümesinin elemanları sıralı ikililer biçiminde yazılır. Örneğin; 3x + y – 7 = 0

sı için gerek ve yeter şart, a≠0

a = 0 ve b ≠ c

2)

B) 2

olmasıdır.

iki bilinmeyenli denklemi sağlayan değerlerden bazıları, x = 0 ve y = 7 ⇒ (0, 7)

x = 1 ve y = 4 ⇒ (1, 4)

YGS MATEMATİK

163



İki bilinmeyenli bir denklemin köklerinden biri (x, y) ikilisi

TANIM

ise (y, x) verilen denklemi sağlamak zorunda değildir. Örneğin (7, 0) ikilisi 3x + y – 7 = 0 denklemini sağlamaz.

Birden fazla denklemin oluşturduğu sisteme bir denklem

3⋅7+0≠0

sistemi denir. Verilen tüm denklemleri sağlayan değerlerden oluşan kümeye denklem sisteminin çözüm kümesi

dır.

denir. Bir denklem sisteminde birden fazla bilinmeyen varsa çözüm yerine koyma metodu veya yok etme metodu gibi

DNA 4

yöntemler kullanılarak yapılır.

Aşağıdaki (x, y) sıralı ikililerinden hangisi x – 2y = 0

Bunu DNA 5 ile gösterelim.

iki bilinmeyenli denkleminin bir çözümü değildir? A) (0, 0)

B) (1, 2)

D) (–2, –1)

C) (2, 1)

E) (6, 3)

DNA 5 Çözüm B şıkkında verilen (1, 2) ikilisine göre, x = 1, y = 2 değerleri x – 2y = 0 denkleminde yerine yazılırsa;

x – 3y = 0

y–x=5

denklem sisteminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

1 – 2 ⋅ (2) = 0

–3 = 0

çelişkisi elde edileceğinden (1, 2) ikilisi verilen denklemin bir çözümü değildir. Diğer seçenekler verilen denklemi sağlar.

 15 5   A)  ,    2 2  

 15 5   B)  − ,    2 2  

 15 5   C)  , −   2   2

 15 5  D)  − , −   2   2

E) {(–5, 0)} Doğru Seçenek B

Çözüm Denklemlerden birinde x veya y eşitliğin bir tarafında yalnız bırakılır ve diğer denklemde yerine yazılır. Bu yönteme Aşağıdaki (x, y) ikililerinden hangisi y – x = 4 iki bilinmeyenli denklemini sağlar? A) (0, 5)

164

B) (1, 5)

D) (5, 5)

YGS MATEMATİK

C) (5, 0) E) (5, 1)

yerine koyma metodu ile çözüm diyoruz. x – 3y = 0 ⇒ x = 3y dir.



Elde edilen x ifadesi diğer denklemde yerine yazılırsa y bilinmeyenine bağlı bir bilinmeyenli bir denklem elde edilir. y – x = 5 ⇒ y – 3y = 5 ⇒

y=−

5 2

x + 2y = –3

3x + y = 1

Bu değer denklemlerden herhangi birinde yerine yazılarak

denklem sisteminin çözüm kümesi aşağıdakilerden

x değeri bulunur.

hangisidir? x – 3y = 0

denkleminde y = −

5 değerini yazarsak, 2

x−3

−5 15 =0 ⇒ x=− 2 2

A) {(1, 2)}

D) {(–1, –2)}

C) {(1, –2)} E) {(2, 1)}

B) {(–1, 2)}

İki bilinmeyenli denklem sistemlerinde bazen değişkenler birbirini yok eder. Bu gibi durumlarda denklem sisteminin

elde edilir.

çözüm kümesi boş kümedir veya sonsuz elemanlıdır. Doğru Seçenek D

DNA 6 Uyarı

x–y=5

2x – 2y = 10

Yok etme metodu ile çözüm yaparken, öncelikle kendi-

denklem sisteminin çözüm kümesi aşağıdakiler-

nize bir kurban seçmelisiniz. (Örneğin, x) Daha sonra,

den hangisidir?

seçtiğiniz kurbanın her iki denklemde de katsayılarının toplamı sıfır olacak biçimde, denklemlerden birini; eğer gerekiyorsa ikisini uygun olan sayılarla genişlet-

A) {(x, x – 5)| x ∈ R}

B) {(x, x + 5)| x ∈ R}

C) {(x, 5 – x)| x ∈ R}

D) { }

tikten sonra, denklemleri taraf tarafa toplarsınız.

E) R

Örneğin, 2x + 3y = 12

Çözüm

3x + 2y = 6

denklem sistemini çözelim. Seçtiğimiz kurban x olsun.

−2 / x − y = 5

1. denklemi 3, 2. denklemi –2 ile genişletip, elde ede-

+

ceğimiz yeni denklemleri taraf tarafa toplayalım. 3/ 2x + 3y = 12 –2/ 3x + 2y = 6 Gerisini size bırakıyoruz.

2x − 2y = 10 0=0

6x + 9y = 36 +

–6x – 4y = –8

Değişkenler birbirini yok ettiğinde elde edilen eşitlik doğ-

5y = 28

ruysa sistem sonsuz elemanlı çözüm kümesine sahiptir. Yani denklemlerden birini sağlayan ikililerin meydana getirdiği küme çözüm kümesidir.

YGS MATEMATİK

165



x–y=5 ⇒ y=x–5

DNA 7

elde edilir. O halde, denklem sisteminin çözüm kümesi; {(x, y) = (x, x – 5)| x ∈ R}

3x + 5y + 6 = 0

mx + 15y + n = 0

denklem sisteminin çözüm kümesi sonsuz ele-

dir.

manlı olduğuna göre, m + n toplamı kaçtır? Doğru Seçenek A

A) 9

B) 18

C) 24

D) 27

E) 30

Çözüm Hazine 1’den,

2x – 4y = 3

8y – 4x = –6

3 5 6 = = m 15 n olmalı.

denklem sisteminin çözüm kümesi aşağıdakilerden

3 5 = ⇒ m=9 m 15

hangisidir? A) {(a, 2a – 3)| a ∈ R}

B) {(a, 2a + 3)| a ∈ R}

C) {(2a, a – 3)| a ∈ R}

D) { }

E) R

5 6 = ⇒ n = 18 15 n

⇒

m + n = 9 + 18 = 27

dir. Doğru Seçenek D

Hazine 1

a1x + b1y + c1 = 0

a2x + b2y + c2 = 0

denklem sisteminin çözüm kümesi, i)

Tek elemanlı ise,

ii)

Boş küme ise,

a1 b1 ≠ dir. a2 b2

a1 b1 c1 = ≠ dir. a2 b2 c 2

a b c iii) Sonsuz elemanlı ise, 1 = 1 = 1 dir. a2 b2 c 2

166

YGS MATEMATİK

(a – 1)x + 5y = 10

7x + (a + 1)y = 14

denklem sisteminin çözüm kümesi sonsuz elemanlı olduğuna göre, a kaçtır? A) –6

B) –4

C) –1

D) 4

E) 6



DİNÇER’İN DENKLEM YUMUŞATMA TEKNİĞİ ax + b e = cx + d f eşitliğinde içler - dışlar çarpımı yaparsak, ecx + ed = fax + fb biçiminde birinci dereceden bir bilinmeyenli bir denklem

Işık 2 a c = olsun. b d (i) a + b = c + d ise a = c ve b = d dir. (ii) a – b = c – d ise

a = c ve b = d dir.

elde ederiz. Örneğin, 2x − 1 3 = x+2 2 Aslında bu IŞIK’ı daha da genelleştirerek, (i) ve (ii) yerine; denklemini çözerken;

m ve n nin sıfırdan farklı gerçek sayılar olması koşuluyla;

2 ⋅ (2x – 1) = 3 ⋅ (x + 2) “ma + nb = mc + nd ise a = c ve b = d dir.”

⇒ 4x – 2 = 3x + 6

⇒ 4x – 3x = 2 + 6

yazabilirdik; ancak, şu an böyle bir genellemeye ihtiyacı-

⇒ x = 8

mız yok.

işlemlerini yaparız. Matematik öğreminine başladığınız ilk andan bu yana, bu “içler - dışlar çarpımı”nı bulduğunuz her fırsatta yoğun bir şekilde kullanmış olmanız, bu tip denklemlerin çözümü için en uygun olan yolun “içler - dışlar çarpımı” olduğunu

DİNÇER’İN DENKLEM YUMUŞATMA

düşünmenize yol açmış olabilir. Halbuki durum hiç de öyle değildir. Örneğin,

TEKNİĞİ (i) ve (ii) tipinde verilmiş olan, x değişkenine bağlı

149 + x 117 = ... (i) 131 − x 23

birinci dereceden bir denklem çözülürken, eğer x

97 + 41x 2007 = ... (ii) 87 + 31x 2009

larının farkı; eğer x lerin işareti farklı ise her iki

eşitliklerinden, “içler - dışlar çarpımı” ile x i bulmanın bir hayli uzun süreceğini bizzat yaşayarak görebilirsiniz.

lerin işareti aynı ise her iki kesrin pay ve payda-

kesrin pay ve paydalarının toplamı alınır. Daha sonra, ikinci kesrin pay ve paydalarının farkı veya toplamı, ilk kesirden elde edilen fark veya toplama eşit olacak biçimde ikinci kesir genişletilir veya

İşte bundan sonra, bu tip denklemleri kolayca çözebilme-

sadeleştirilir.

niz için; belki de bir çoğunuza içler - dışlar çarpımına elve-

Böylece, IŞIK 2 çalışır hale gelir.

da dedirtecek, aşağıdaki IŞIK 2 ve bu IŞIK’ın ışığı altında

Hadi (i) ve (ii) denklemlerini çözelim.

Dinçer’in Denklem Yumuşatma Tekniği’ni veriyoruz.

YGS MATEMATİK

167


(i)

149 + x 117 = 131 − x 23


DNA 8

x lerin işareti farklı. Toplama işlemi yapacağız.

(117) +

14243

(149 + x) + (131 – x) = 280 (23)

= 140

41 − 13 x 13 = 43 + 13 x 8

280 = 2 ⋅ 140

İkinci kesri 2 ile


genişletelim.

A)

−11 13

B)

−13 11

C)

−17 19

D)

17 19

E)

19 17

123

149 + x 234 = 131 − x 46 123

IŞIK 2’den,

Çözüm

131 – x = 46

14243

149 + x = 234

Denklemi yumuşatmış olduk.

x lerin işareti farklı olduğundan, toplama işlemi yapacağız. 1. pay + 1. payda = 84    84 = 4 ⋅ 21 2. pay + 2. payda = 21 

denklemlerinden istediğimiz birini çözerek x i bulalım. 149 + x = 234 ⇒ x = 85 Q.E.D. (ii)

97 + 41x 2007 x lerin işareti aynı. = 87 + 31x 2009 Çıkarma işlemi yapacağız.

(2007)

–

14243

(97 + 41x) – (87 + 31x) = 10 + 10x (2009) = –2

10 + 10x = –2 ⋅ (–5 – 5x)

Dinçer’in Denklem Yumuşatma Tekniği’nden, 41 – 13x = 13 ⋅ 4 = 52

⇒

⇒

13x = –11 x=

−11 13

buluruz. Doğru Seçenek A

İkinci kesri –5 – 5x ile genişletelim.

14243 123

97 + 41x 2007 ⋅ ( −5 − 5 x ) = 87 + 31x 2009 ⋅ ( −5 − 5 x ) IŞIK 2’den,

}

97 + 41x = 2007 ⋅ (–5 – 5x) Denklemi yumuşatmış olduk. Artık bu yumuşatılmış denklemi çözme işini size bırakıyoruz. Şimdi DNA zamanı.

168

YGS MATEMATİK

17 x + 12 21 = 19 x + 15 22

olduğuna göre, x kaçtır? A) −

51 25

B) –2

C)

41 12

D)

65 41

E)

65 51



Deniz: “Bence, 6,9 dur.”

Hatırlatma

Ceylan: “Bence, 6,99 dur.”

Ölçüsü x olan bir açının tümleyeni 90° – x, bütünleyeni

Umut: “Madem öyle, 6,999 dur.” ...

180° – x tir.

tartışma bu şekilde devam ederken Ceylan: “Bence, 7 den küçük olan en büyük sayı yoktur!” Şimdi de, basit bir eşitlik verelim ve çözüm için her iki tekniği kullanalım.

demiş. Umut: “Öğretmenim, işin içinden çıkamadık. Yardım edebilir misiniz?”

Böylece, aradaki farkı daha iyi görürüz.

Alp öğretmen: “Ceylan doğru söylüyor. 7 den küçük olan

x−3 7 = x+3 8

en büyük gerçek sayı yoktur. Kendi aranızda tartışmaya devam ederek bunun neden böyle olduğunu keşfetmeye çalışın.” demiş. Dinçer’in Denklem

İçler - Dışlar Tekniği x−3 7 = x+3 8

Yumuşatma Tekniği +6

⇒ 7 x + 21 = 8 x − 24

⇒

⇒

⇒

x = 45

x−3 7 = x+3 8

+1

Alp öğretmen sorusunu “7 den küçük olan en büyük tam sayı kaçtır?” şeklinde sorsaydı cevap “6” olurdu. Alp öğretmen sorduğu soruyla eşitsizlik sorularında sıkça kullanacağımız bir bilgiye dikkat çekmiş oldu.

x–3=7⋅6 x = 45

Şu andan itibaren, birinci dereceden denklemler için içler dışlar çarpımına güle güle diyebilirsiniz.

Uyarı x bir gerçek sayı olmak üzere, x ten küçük olan en büyük gerçek sayı yoktur. Örneğin, “x ∈ R ve x < 7 ise x in alabileceği en büyük değer nedir?” sorusuna verilecek cevap “x in alabileceği en büyük değer yok-

EŞİTSİZLİKLER

tur.” olacaktır.

Aşağıdaki örnekleri inceleyelim.

GİRİŞ Gerçek sayılar konusunu işlerken eşitsizlik kavramını ve özeliklerini ele almıştık.

Soru

Cevap

x ∈ R, x < 0 ise x in en büyük değeri kaçtır? x ∈ R, x <

Bu bölümde eşitsizlik ile ilgili bilgilerimizi pekiştirmek için

7 ise x in en büyük değeri kaçtır? 2

Yoktur Yoktur

DNA ve Genetik Kopya çözeceğiz.

x ∈ R, x > 2 ise x in en küçük değeri kaçtır?

Yoktur

Önce aşağıdaki konuşmaları dikkatlice okuyalım. Ceylan,

x ∈ Z, x < 10 ise x in en büyük değeri kaçtır?

9

7 ise x in en büyük değeri kaçtır? 2

3

Deniz, Umut ve Alp öğretmen “sayılar” üzerine konuşuyorlarmış. Alp öğretmen “7 den küçük olan en büyük gerçek sayı kaçtır?” diye sormuş. Umut: “6 dır.” diye cevaplandırmış. Alp öğretmen Ceylan ve Deniz’e dönerek “Katılıyor

x ∈ Z, x <

x ∈ Z, x > 2 ise x in en küçük değeri kaçtır?

3

musunuz?” diye sormuş.

YGS MATEMATİK

169



Aşağıdaki soru için iki farklı çözüm verilmiştir.

Çözüm

Sizce hangisi doğrudur? “x bir gerçek sayı ve x < 5 olduğuna göre, 3x in alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır?”

x ve y gerçek sayılar olduğu için x ya da y ye en büyük ve en küçük değer vermek gibi bir hataya düşmeyelim. Verilen eşitsizliklerden yola çıkarak 2x + 3y ifadesini içeren eşitsizliği bulalım.

I. Çözüm: 3x in en büyük değerini alması için, x e en büyük değerini vermeliyiz. x < 5 olduğuna göre, x en çok 4 olabilir.

Öncelikle 2 ile –1 < x < 3 eşitsizliğini; 3 ile 3 < y < 10 eşitsizliğini çarpalım.

Buradan, 3x = 3 ⋅ 4 = 12 olur.

2/ –1 < x < 3

⇒ –2 <

3/ 3 < y < 10

⇒

II. Çözüm: x bir gerçek sayı olduğu için x < 5 eşitsizliğinde x e değer

2x

< 6

9 < 3y < 30 + + 9 + (–2) < 2x + 3y < 6 + 30

7 < 2x + 3y < 36 olup, istenen aralık (7, 36) dır.

veremeyiz. 3x i elde etmek için verilen eşitsizliğin iki tarafını da 3 ile çarpalım.

Doğru Seçenek C

x < 5 ⇒ 3x < 15 3x in en büyük tam sayı değerini aradığımıza göre, cevap 14 olur.

Tabiki II. çözüm doğrudur. I. çözüm de yapılan hata x e değer verilmesidir. x bir gerçek sayı olduğu için en büyük

x ve y gerçek sayılar olmak üzere,

değeri yoktur.

–3 < x < 5 ve –4 < y < 6

Artık DNA’larımıza geçebiliriz.

olduğuna göre, 3x + 2y toplamının alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır? A) 28

B) 27

C) 26

D) 24

E) 22

DNA 9 DNA 10

x ve y gerçek sayılardır.

–1 < x < 3

ve

3 < y < 10


olduğuna göre, 2x + 3y toplamının oluşturduğu gerçek sayı aralığı aşağıdakilerden hangisidir? A) (2, 33)

170

B) (3, 13)

D) (6, 28)

YGS MATEMATİK

C) (7, 36)

E) (6, 34)

–3 < x < 4 ve –5 < y < –1

olduğuna göre, x – y farkının alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır? A) 4

B) 5

C) 6

D) 7

E) 8



Çözüm

DNA 11

Soruda x ve y nin tam sayı olarak verildiğine dikkat edelim. Yani x ve y ye en küçük ya da en büyük değerlerini

x ve y gerçek sayılardır. –2 ≤ x ≤ 5 ve –3 ≤ y < 4

verebiliriz.

x – y farkının en büyük değerini alabilmesi için x e ala-

olduğuna göre, x2 – y2 farkı kaç farklı tam sayı de-

bileceği en büyük, y ye ise alabileceği en küçük değeri

ğeri alır?

vermeliyiz.

A) 41

–3 < x < 4 olduğundan x in en büyük değeri 3,

–5 < y < –1 olduğundan y nin en küçük değeri –4

B) 40

C) 39

D) 38

E) 37

Çözüm

tür. Buradan,

–2 ≤ x ≤ 5 aralığında, x = 0 da olabileceğinden 0 ≤ x2 ≤ 25

(x – y)max = 3 – (–4) = 7

Benzer olarak, –3 ≤ y < 4 ⇒ 0 ≤ y2 < 16 ⇒ –16 < –y2 ≤ 0

olur.

0≤

Doğru Seçenek D +

x2

≤ 25

–y2 ≤ 0 + + –16 < x2 – y2 ≤ 25 – 16 <

olur. Böylece, x2 – y2 ∈ {–15, –14, ..., 25} olup, x2 – y2 nin alabileceği değerlerin sayısını, terim sayısı formülünden bu-


3
ve

labiliriz.

–2 < y < 8

olduğuna göre, 3x – 2y nin en küçük değeri kaçtır? A) 1

B) 0

C) –1

D) –2

Terim sayısı =

Son terim – İlk terim

+1=

25 – (–15)

Artış miktarı

E) –3

+ 1 = 41

1

Buna göre, x2 – y2 farkı 41 farklı değer alır. Doğru Seçenek A

Uyarı Eşitsizliklerde taraf tarafa toplama yaparken, işaretler

Hazine 2

aşağıdaki gibi olur. ... > ... ≥ ... +

... > ... > ... ... > ... > ...

... ≤ ... < ... +

... ≤ ... ≤ ... ... ≤ ... < ...

Ayrıca, eşitsizliklerde, taraf tarafa çıkarma, çarpma, bölme işlemleri yapamazsınız.

a, b ve x tam sayı olmak üzere, i)

a≤x≤b ⇒

ii)

a < x ≤ b   ⇒ x, b – a tane değer alır. a ≤ x < b 

x, b – a + 1 tane değer alır.

iii) a < x < b ⇒ x, b – a – 1 tane değer alır.

YGS MATEMATİK

171



a ve b birer tam sayı olmak üzere,

x ve y gerçek sayılardır. –5 < x < 3 ve –1 ≤ y < 3

olduğuna göre, y2 + x2 toplamı kaç farklı tam sayı değeri alır? A) 36

–1 ≤ a < 2 ve 2 ≤ b ≤ 4

olduğuna göre, a2 + b2 toplamı kaç farklı değer alır? A) 6

B) 35

C) 34

D) 33

B) 7

E) 32

C) 8

D) 9

E) 10

TANIM

DNA 12

Bir eşitsizliği sağlayan bütün değerlerin oluşturduğu kümeye, eşitsizliğin çözüm kümesi denir.

x ve y birer tam sayı olmak üzere, –5 < x < 3 ve –1 ≤ y < 3

olduğuna göre, x2 + y2 toplamı kaç farklı değer

Not

alır? A) 23

B) 20

C) 12

D) 11

E) 10

x bir değişken ve a bir gerçek sayı olsun. x > a eşitsizliğinin çözüm kümesi

(a, ∞)

x ≥ a eşitsizliğinin çözüm kümesi

[a, ∞)

x < a eşitsizliğinin çözüm kümesi

(–∞, a)

x ≤ a eşitsizliğinin çözüm kümesi

(–∞, a]

ile gösterilir.

Çözüm x ve y tam sayı olduğundan,

DNA 13

x ∈ {–4, –3, –2, –1, 0, 1, 2} y ∈ {–1, 0, 1, 2} dir.

x gerçek sayı olmak üzere,

x2 ∈ {0, 1, 4, 9, 16}

y2 ∈ {0, 1, 4} olup, x2 + y2 ∈ {0, 1, 2, 4, 5, 8, 9, 10, 13, 16, 17, 21} değerlerini alabilir. Doğru Seçenek C

−2x + 4 ≤ x + 2 ≤

eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?  2 A) 0,   3

172

YGS MATEMATİK

x +4 2

2  B)  , 4  3 

 9 D)  4,   2

C) [0, 4]

E) [4, ∞)



Çözüm −2x + 4 ≤ x + 2 ≤

Çözüm

x x + 4 ⇒ − 2x + 4 ≤ x + 2 ve x + 2 ≤ + 4 2 2

–2x + 4 ≤ x + 2 ⇒ 4 – (+2) ≤ x – (–2x)

x li ifade paydada değil de payda olursa, çözüme daha 1 kolay ulaşırız. x – 2 ifadesini paya atabilmemiz için x−2 yi ters çevirmeliyiz. Peki, verilen eşitsizlikte bunu yapma hakkımız var mı? Elbette!

2 ⇒ 4 – 2 ≤ x + 2x ⇒ 2 ≤ 3x ⇒ ≤ x ... (I) 3

Çünkü, 1 1 < 3 x−2 + +

x x x+ 2 ≤ + 4 ⇒ x − ≤ 4 − ( +2) 2 2

⇒

1 1 pozitif olduğundan de pozitiftir. Eşitsizliğin her 3 x−2

x ≤ 2 ⇒ x ≤ 4 ... (II) 2

(I) ve (II) den tür.

2 ≤ x ≤ 4 bulunur ki, çözüm kümesi 3

2   3 , 4  

Doğru Seçenek B

iki tarafı da aynı işaretli olduğundan, 1 1 < ⇒ 3 > x − 2 ⇒ 5 > x ... (1) 3 x−2 yazabiliriz. Ayrıca,

1 pozitif olduğundan x – 2 de pox−2

zitiftir. Yani, x – 2 > 0 ⇒ x > 2 ... (2) (1) ve (2) den 2 < x < 5 buluruz. İstenen çözüm kümesi (2, 5) aralığıdır.


Doğru Seçenek D

x −1 x +1 <2< 2 2

eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) (–∞, 5) B) (3, ∞) C) (3, 5)

E) (–∞, 3) ∪ (5, ∞)

D) R

DNA 14 x bir gerçek sayıdır.

x bir gerçek sayıdır.

1 1 < 3 x−2

eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) (0, 5)

B) (1, 6)

D) (2, 5)

E) (2, 6)

C) (1, 5)

1 1 < 2 x −1

eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) (–∞, 3)

B) (–3, 1)

D) (1, 3)

C) (0, 3)

E) (2, 5)

YGS MATEMATİK

173



DNA 15

DNA 16

x, y ve z gerçek sayılardır.


x < y < z olmak üzere,

–2 ≤ x ≤ 6

1 1 1 1 + + = x y z 10

–12 ≤ y ≤ 3

olduğuna göre, x ⋅ y çarpımının alabileceği kaç de-

olduğuna göre, x in alabileceği değer aşağıdakiler-

ğişik tam sayı değeri vardır?

den hangisi olabilir? A) 33

B) 32

A) 24 C) 31

D) 30

B) 41

C) 84

D) 96

E) 97

E) 29

Çözüm

Çözüm

−2 ⋅ ( −12) = 24    –72 en küçük −2 ⋅ 3 = −6  −12 ⋅ 6 = −72  24 en büyük   6 ⋅ 3 = 18

x < y < z değil de x = y = z olsaydı, o zaman, 1 1 1 1 1 1 3 1 + + = + + = = ⇒ x = 30 x y z x x x x 10

–72 ≤ x ⋅ y ≤ 24

olurdu. Oysa, x; y ve z den küçük olduğundan, 30 dan küçük bir

olup, x ⋅ y nin alabileceği tam sayı değerlerinin sayısı 24 – (–72) + 1 = 97

değer almalıdır. Doğru Seçenek E

dir. Doğru Seçenek E

x ve y gerçek sayılardır. x < y < z olmak üzere, 1 2 3 1 + + = x y z 5

–3 < x < 2

–2 < y < 4

olduğuna göre, x ⋅ y çarpımının alabileceği kaç deği-

olduğuna göre, x in en büyük tam sayı değeri kaçtır?

şik tam sayı değeri vardır?

A) 29

A) 16

174

B) 30

YGS MATEMATİK

C) 31

D) 32

E) 33

B) 17

C) 18

D) 19

E) 20



TEST - 1 1.

denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden han-

2 + x + 3(x – 1) = 7

gisidir? A) {–2}

C) {0}


A) –1

{ }

A) −

D)

B) −

1 2

D) 1

C)

E)

1 2

3 2

6.

denkleminin x değişkenine bağlı çözüm kümesi

E) {2}

ax + b = 5x + 4

sonsuz elemanlı olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır?

{ }

3 2

B) −


D) {1}

1  2x − 3  x +  = 0 2 

2.

B) {–1}

x  ( x − 3) + 2( 4 − 2x ) + 3  − 2  = 0 3 

5.

1 2

{}

3 2

A) 1

B) 4

C) 5

D) 7

E) 9

C) {0}

E)

{} 5 2

7.

2x + 1 = a(x + 2) + b

denkleminin x değişkenine bağlı çözüm kümesi boş küme olduğuna göre, b aşağıdakilerden han-

3.

gisi olamaz?

5x – 2 (1 + 3x) = 5

A) –3


B) –1

C) 0

D) 1

E) 4

gisidir? A) {–3}

B) {–2}

C) {–1}

D) {2}

E) {3}

4.


3x – [x + 2(x – 1)] = 5

denklemi x değişkenine bağlı birinci dereceden bir

a2 ⋅ x + a + 1 = 9x + 4

denklemdir.

gisidir? A) {–1}

8.

Bu denklemin çözüm kümesi boş küme olduğuna göre, a kaçtır?

B) {0}

C) {1}

D) ∅

E) R

A) –3

B) –1

C) 0

D) 1

YGS MATEMATİK

E) 3

175


9.

x – y = 15

x + y = 21

B) 16

10.

3x + 2y = 6

4x + 5y = 8

C) 18

D) 19

B)

5 2

C)

3x + 2y + 1 = 0

9x + ay + b = 0

A)

E) 20

10 3

D) 4

E)

30 7

denkleminin çözüm kümesi sonsuz elemanlı ol-

43 7

B) 6

C) 8

D) 9

B)

45 7

C)

47 7

D) 7

E)

55 7

2009 x − 1 2007 = 2011x + 1 2013


A)

2007 2009

2008 2009

B)

D) 1

15.

x + y + 2z = 12

x + 2y + z = 15

2x + y – 3z = 17

olduğuna göre, z kaçtır?

duğuna göre, a + b toplamı kaçtır? A) 4


14.

11.


7 x − 13 17 = 7 x + 13 30

13.



A) –2

B) –1

C)

1 2

E) 2

C) 0

D) 1

E) 2

E) 10

16.

2x – 3y = 17 ... (i)

3x + 5y = 29 ... (ii)

Bir öğrenciye yukarıdaki (i) ve (ii) denklemleri veri-

12.

2x – 5y + 1 = 0

lip, x ile y yi ayrı ayrı hesaplamadan x + y toplamını

6x + ay + b = 0

bulması istenmiştir. Bu öğrenci (ii) denklemini k sa-

yısıyla çarpıp (i) denklemi ile taraf tarafa topladıktan

denklem sisteminin çözüm kümesi boş küme olduğuna göre, b aşağıdakilerden hangisi olamaz? A) –3 1. E

176

2. A

B) –1 3. A

YGS MATEMATİK

C) 0 4. D

D) 1 5. B

6. E

sonra cevabı bulabilmiştir.

A) −

E) 3 7. A

Buna göre, k kaçtır?

8. A

9. C

2 5

10. A

B) − 11. D

3 4 12. E

C) −

5 4

13. C

D) 14. C

2 5 15. D

E)

5 2

16. E



5.

TEST - 2 1.

–6 ≤ x < 2

–3 < y < 6

olduğuna göre, 3x + 4y nin alabileceği en küçük değer kaçtır?

3≤y<9

–1 ≤ x < 5


A) –26

olduğuna göre, 3x – 2y farkının alabileceği en bü-

B) –25

C) –24

D) –23

E) –22

yük tam sayı değeri kaçtır? A) 5

2.

B) 6

2≤x≤3

1≤y≤4

olduğuna göre,

C) 7

D) 8

E) 9

6. x+y ifadesinin alabileceği en x⋅y

–3 < x ≤ 2

–2 < y < 1

hangisi olamaz?

büyük değer kaçtır? A)

3.

3 2

C)

5 2

D) 3

E)

a + 4b =c a olduğuna göre, c nin alabileceği en küçük tam sayı değeri kaçtır? A) 3

4.

A) 6

10 3

B) 8

C) 9

D) 10

E) 14

0 < a < b olmak üzere,

B) 2

olduğuna göre, x2 + y2 toplamı aşağıdakilerden

B) 4

7.

olduğuna göre, x in alabileceği kaç değişik tam

x – 17 < 2x + 1 < x + 17

sayı değeri vardır? C) 5

D) 6

E) 7

A) 29

B) 30

C) 31

D) 32

E) 33

x ⋅ y < 0 olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?

A) x + y < 0

B) x + 2y > 0

x+y < 0 C) x

1 1 D) + < 0 x y

x − 2y <0 E) y

8.

x < 6 olduğuna göre, x in farklı üç değerinin toplamının alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır? A) 18

B) 17

C) 16

D) 15

E) 14

YGS MATEMATİK

177



9.

12 < x + y < 30

13.

y = 2x – 3

sayı değeri vardır?

10.

B) 5

A) 2 C) 6

D) 7

14.

olduğuna göre, 3x + 4 ün alabileceği kaç değişik

11.

C) 10

D) 11

3x – 2 > 3x + 1

eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden

A) (–1, ∞)

15.

12.

4x + 6 > ax + b

1. D

178

2. A

3. D

YGS MATEMATİK

1 2

C)

1 2

D) 1

E) 2

olduğuna göre, x2 – 6x ifadesinin alabileceği kaç

B) 15

C) 16

D) 17

E) 18

E) R

16.

göre, b aşağıdakilerden hangisi olamaz? B) 1

B) −

C) (–∞, 1)

eşitsizliği her x gerçek sayısı için sağlandığına

A) –1

a2 < a

–1 < x < 2

A) 14 D) ∅

E) 6

değişik tam sayı değeri vardır?

B) (1, ∞)

D) 5

eşitsizliğini aşağıdaki a değerlerinden hangisi

A) –2

E) 12

hangisidir?

C) 4

sağlar?

tam sayı değeri vardır? B) 9

B) 3

E) 8

–3 < 2x + 1 < 5

A) 8

eşitsizliğini sağlayan kaç değişik x tam sayısı vardır?

olduğuna göre, x in alabileceği kaç değişik tam

A) 4

4 < x2 < 25

C) 4 4. E

D) 5 5. A

6. E

x<3

olduğuna göre, x3 – 3x2 + 3x ifadesinin alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır?

E) 8 7. E

A) 1 8. B

9. B

10. D

B) 2 11. D

C) 4 12. E

13. C

D) 8 14. C

15. A

E) 9 16. D

MUTLAK DEĞER - BÖLÜM 04

MUTLAK DEĞER

Çözüm

TANIM  a; a ≥ 0 ise a = − a; a < 0 ise

Mutlak değerli ifadelerin toplamı 0 ise, her biri ayrı ayrı 0 olmak zorundadır.

Bir gerçek sayının mutlak değeri; sayı ekseni üzerinde, kendisine karşı gelen noktanın, 0 başlangıç noktasına

Eşitliğin sağlanması için;

olan uzaklığıdır.

|–2| = 2

��

��

��

��

|x – 2| = 0 ⇒ x – 2 = 0 ⇒ x = 2

|3| = 3 �

�

��

�

|y – 3| = 0 ⇒ y – 3 = 0 ⇒ y = 3 �

�

olmalıdır.

��

x+y=2+3=5  f ( x ); f ( x ) ≥ 0 ise f(x) =  − f ( x ); f ( x ) < 0 ise


Değişkene bağlı ifadenin mutlak değeri ifade pozitif ise kendisine eşittir; ifade 0 ise 0 dır; ifade negatif ise ters işaretlisine eşittir. ; x > 2 için x − 2  x − 2 = 0 ; x = 2 için − x + 2 ; x < 2 için 

|a + 2| + |b – 3| = 0

olduğuna göre, a – b farkı kaçtır?

Işık 1

A) –5

B) –2

C) –1

D) 1

E) 5

Bir sayının mutlak değeri ile toplamsal tersinin mutlak değeri eşittir. Bir sayının mutlak değeri en az sıfır olmak üzere po-

Işık 2

zitiftir. |a| = |–a| ≥ 0

Mutlak değeri alınan ifade; mutlak değerinden küçük

|a – b| = |b – a|

veya eşit, mutlak değerinin ters işaretlisinden büyük veya eşittir.

DNA 1

a < 0 için; –|a| = a < |a| –|–2| = –2 < |–2|

3|x – 2| + 2|y – 3| = 0

a > 0 için; –|a| < a = |a|


B) 3

–|a| ≤ a ≤ |a|

C) 4

D) 5

E) 6

–|2| < 2 = |2|

YGS MATEMATİK

179

Mutlak Değer

Mutlak Değer- Bölüm 04

Işık 3

Işık 7

Çarpımın mutlak değeri, mutlak değerlerinin çarpımına eşittir.

|x| < c ⇔ –c < x < c

eşitsizliğinin çözüm kümesi; sayı ekseninde, başlangıç |a ⋅ b| = |a| ⋅ |b|

noktasına olan uzaklığı c br den az olan noktalardır. ��

�

�

��

Işık 4 Bölümün mutlak değeri, mutlak değerlerinin bölümüne eşittir. a a = b b

Işık 8

(b ≠ 0)

|x| > c ⇔ x < –c veya x > c

eşitsizliğinin çözüm kümesi; sayı ekseninde başlangıç noktasına olan uzaklığı c br den fazla olan noktalardır.

Işık 5

��

� ��

Toplamın mutlak değeri, mutlak değerleri toplamından

� ��

��

küçük veya eşit, mutlak değerleri farkının mutlak değerinden büyük veya eşittir. Üçgen eşitsizliği;

Işık 9

||a| – |b|| ≤ |a + b| ≤ |a| + |b| ..................................................................................... Farkın mutlak değeri, mutlak değerleri farkından büyük veya eşittir.

|x – a| = b

denkleminin kökleri; sayı ekseninde, a dan uzaklığı b |a| – |b| ≤ |a – b|

birim olan noktalardır. ��

a ve b aynı işaretli ise; |a + b| = |a| + |b|

�

��

��

a ve b ters işaretli ise; |a + b| < |a| + |b|

Işık 6

DNA 2

|x| = c ⇔ x = ±c

Denklemin kökleri; sayı ekseninde, başlangıç noktasından uzaklığı c birim olan noktalardır. ��

� ��

� ��

��

180

YGS MATEMATİK

|x – 2| = 8

eşitliğini sağlayan x sayıları aşağıdakilerden hangisidir? A) {–6, 10}

B) {–10, 6}

D) {–6}

E) {10}

C) {–8, 8}

Mutlak Değer - Bölüm 04

Mutlak Değer

Çözüm

Çözüm 1 için; 1 – x > 0 dır. 2

|x – 2| = 8 ⇒ x – 2 =  8

x<

⇒ x – 2 = 8 ⇒ x = 10 veya

Tanım gereği,

x – 2 = –8 ⇒ x = –6

Ç = {–6, 10} ��

olur. �

��

|1 – x| = 1 – x

��

Yerine yazdığımızda,

��

1 – |x – |1 – x|| = 1 – |x – (1 – x)| = 1 – |x – 1 + x| Doğru Seçenek A

= 1 – |2x – 1|

bulunur. x<

Uyarı

|2x – 1| = –(2x – 1) = –2x + 1 olur.

|x – a| = b

denkleminin çözüm kümesi Ç = {x1, x2} iken; a=

1 için; 2x – 1 < 0 dır. 2

x1 + x 2 2

ve x1 ve x2 için b =

x 2 − x1 2

Yerine yazdığımızda, 1 – |2x – 1| = 1 – (–2x + 1) = 1 + 2x – 1 = 2x bulunur. Doğru Seçenek E

|x + 5| = 4

eşitliğini sağlayan x sayıları aşağıdakilerden hangisidir? A) {–1, 9}

B) {1, 9}

D) {1, –9}

C) {–1, –9}

E) {–5, 4}

x = –32

olduğuna göre, |||x| – x| – x| ifadesinin değeri kaçtır? A) 0

B) 32

C) 64

D) 96

E) 128

DNA 3

x ∈ R, x <

Işık 10

1 2

olduğuna göre, 1 – |x – |1 – x|| ifadesinin eşiti aşa-

B) 2 + x

D) x – 2

|x – a| < b

eşitsizliğinin çözüm kümesi; sayı ekseninde a dan

ğıdakilerden hangisidir? A) 2

E) 2x

C) 2 – x

uzaklığı b birimden az olan noktalardır. –b < x – a < b

YGS MATEMATİK

181

Mutlak Değer


DNA 4

Işık 11

|2x – 1| < 5

|x – a| > b

eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden han-

eşitsizliğinin çözüm kümesi; sayı ekseninde a dan

gisidir?

uzaklığı b birimden fazla olan noktalardır.

A) x < – 2 B) x > 3

x – a > b veya x – a < –b

C) –2 < x < 3 D) x < –2 veya x > 3 E) ∅

DNA 5

|x + 1| ≥ 3

eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

Çözüm IŞIK 7’den;

A) (–∞, –4]

B) [2, +∞)

C) [–4, 2]

D) (–∞, –4] ∪ [2, +∞)

E) ∅

|2x – 1| < 5 ⇒ –5 < 2x – 1 < 5

⇒ –4 < 2x < 6

⇒ –2 < x < 3

Çözüm IŞIK 11’den;

bulunur.

|x + 1| ≥ 3 ⇒ x + 1 ≤ –3 veya x + 1 ≥ 3 Doğru Seçenek C

x + 1 ≤ –3 ⇒ x ≤ –4 veya x + 1 ≥ 3 ⇒ x ≥ 2

olmalıdır.

Bulunan x değerleri, (–∞, –4] ∪ [2, +∞) aralığının elemanlarıdır. Doğru Seçenek D

|x + 2| < 7


A) x < –9

B) x > 5

C) –9 < x < 5

D) x < –9 veya x > 5

182

E) R

YGS MATEMATİK

|2x + 5| > 9

eşitsizliğini sağlamayan kaç değişik x tam sayısı vardır? A) 8

B) 9

C) 10

D) 11

E) 12


Mutlak Değer

|x – 1| – 2 = 2 alındığında;

DNA 6

|||x – 1| – 2| – 3| = 1

denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) {–5, –3}

B) {1, 5, 7}

C) {–1, 1, 5, 7}

D) {–5, –3, –1, 5, 7} E) {–5, –3, 1, 5, 7}

|x – 1| = 4 ise

x – 1 = 4 veya x – 1 = –4

bulunur.

x–1=4⇒x=5

x – 1 = –4 ⇒ x = –3

olur. |x – 1| – 2 = –2 alındığında;

Çözüm İç içe mutlak değer bulunduran ifadelerde en dıştaki mutlak değerden başlayarak, sırası ile diğerlerine geçilir.

|||x – 1| – 2|–3| = 1 ise

||x – 1| – 2| – 3 = 1 veya ||x – 1| – 2| – 3 = –1

||x – 1| – 2| – 3 = 1 alındığında;

||x – 1| – 2| = 4 ise

|x – 1| – 2 = 4 veya |x – 1| – 2 = –4

|x – 1| = 0 ise

x–1=0⇒x=1

bulunur. Bulunan x değerleri, çözüm kümesinin elemanlarıdır.

Ç = {–5, –3, 1, 5, 7}

olur. Doğru Seçenek E

|x – 1| – 2 = 4 alındığında;

|x – 1| = 6 ise

x – 1 = 6 veya x – 1 = –6

bulunur.

x–1=6⇒x=7

||x – 2| – 2| = 2

x – 1 = –6 ⇒ x = –5

denkleminin çözüm kümesi kaç elemanlıdır? A) 1

olur.

C) 3

B) 2

D) 4

E) 5

|x – 1| – 2 = –4 alındığında;

|x – 1| = –2 bulunur ki, (!)

mutlak değer pozitif veya en az 0 olacağından mutlak de-

DNA 7

ğeri –2 olan bir sayı bulunamaz. Eşitliği sağlayan bir x sayısı yoktur.

||x – 1| – 2| – 3 = –1 alındığında;

||x – 1| – 2| = 2 ise |x – 1| – 2 = 2 veya |x – 1| – 2 = –2

A = |x – 3| + |x – 7|

ifadesinin alabileceği en küçük değer kaçtır? A) 2

B) 3

C) 4

D) 5

YGS MATEMATİK

E) 7

183

Mutlak Değer


Çözüm

DNA 8

K = |x – 1| – |x – 5|

ifadesinin alabileceği tam sayı değerleri kaç tane-

x < 3 için;

dir?

x – 3 < 0 ve |x – 3| = –(x – 3) = –x + 3

x – 7 < 0 ve |x – 7| = –(x – 7) = –x + 7

A) 6

B) 7

C) 8

D) 9

E) 10

dir.

Çözüm

A = |x – 3| + |x – 7| = (–x + 3) + (–x + 7) = –2x + 10 olur.

x < 1 için,

3 ≤ x < 7 için;

x – 3 ≥ 0 ve |x – 3| = x – 3

x – 1 < 0 ve |x – 1| = –x + 1

x – 7 < 0 ve |x – 7| = –x + 7 dir.

x – 5 < 0 ve |x – 5| = –x + 5

A = |x – 3| + |x – 7| = (x – 3) + (–x + 7) = 4

tir.

olur.

x e verilecek değerler için, A nın alabileceği en küçük değer 4 tür.

olur.

Işık 12

A = |x – a| + |x – b|

K = |x – 1| – |x – 5| = (–x + 1) – (–x + 5) = –4

1 ≤ x < 5 için;

x – 1 > 0 ve |x – 1| = x – 1

x – 5 < 0 ve |x – 5| = –x + 5

tir.

ifadesi, a < x < b değerleri için sabit bir değer alır. Bu değer A nın alabileceği en küçük değerdir.

K = |x – 1| – |x – 5| = (x – 1) – (–x + 5) = 2x – 6 olur. x ≥ 5 için;

x – 3 = 0 ⇒ x = 3 ve

x–7=0⇒x=7

3 < x < 7 için A = 4

x – 1 > 0 ve |x – 1| = x – 1

x – 5 ≥ 0 ve |x – 5| = x – 5

tir.

tür. Doğru Seçenek C

K = |x – 1| – |x – 5| = (x – 1) – (x – 5) = 4

olur. x e verilecek değerler için, K nin alabileceği en küçük değer –4, en büyük değer 4 tür. –4 ≤ K ≤ 4 olduğundan, K nın alabileceği tam sayı değerleri, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3 ve 4

A = |x + 1| + |x – 3|

olmak üzere 9 tanedir.


184

B) 1

YGS MATEMATİK

C) 2

D) 3

Doğru Seçenek E E) 4


Mutlak Değer

B = |x – 2| – |x + 3|

ifadesinin alabileceği tam sayı değerlerinden biri aşağıdakilerden hangisidir? B) –2

A) –6

C) 6

|x + 10| + |x + 9| + ... + |x| + ... + |x – 9| + |x – 10|

toplamının en küçük değeri kaçtır? A) 0

D) 7

B) 10

Işık 13

C) 50

D) 100

E) 110

E) 8

DNA 10

N = |x – a| + |x – b| + |x – c|

ifadesi, a < b < c olmak üzere x = b için en küçük değerini alır.

|2x + 1| < 5 ve 2 < |y + 3| < 5

olduğuna göre, x2 + y2 toplamının en büyük tam sayı değeri kaçtır? A) 64

DNA 9

B) 67

C) 69

D) 72

E) 73

0 < a < 10 için,

|x – a| + |x – 10| + |x – a – 10|

Çözüm

ifadesinin en küçük değeri kaçtır? A) 0

B) 3

C) 5

D) 8

E) 10

|2x + 1| < 5 ⇒ –5 < 2x + 1 < 5

Çözüm

⇒ –3 < x < 2 ⇒ 0 ≤ x2 < 9 ve 2 < |y + 3| < 5 ⇒ 2 < y + 3 < 5 veya 2 < –y – 3 < 5

x–a=0⇒x=a

x – 10 = 0 ⇒ x = 10 x – a – 10 = 0 ⇒ x = a + 10

2 < y + 3 < 5 ⇒ –1 < y < 2 ⇒ 0 ≤ y2 < 4 veya

2 < –y – 3 < 5 ⇒ –8 < y < –5 ⇒ 25 < y2 < 64

Bulunan eşitsizliklerden;

a < 10 < a + 10

x2 + y2 < 64 + 9 = 73

olduğundan verilen ifade x = 10 için en küçük değeri alır. |10 – a| + |10 – 10| + |10 – a – 10| = 10 – a + 0 + a = 10 bulunur.

olur. x2 + y2 toplamının en büyük tam sayı değeri 72 dir.

Doğru Seçenek E

Doğru Seçenek D

YGS MATEMATİK

185

Mutlak Değer


|a – 10| < 2

|b – 6| < 1

a, b, c sıfırdan farklı sayılar iken,

iken a – b farkının alabileceği en büyük ve en küçük tam sayı değerlerin toplamı kaçtır? A) 2

B) 4

C) 6

D) 8

E) 10

a b c + + a b c

toplamının alabileceği kaç farklı değer vardır? A) 1

B) 2

DNA 11

y

x + x y

x2 = − x

eşitliğini sağlayan x gerçek sayıları için, aşağıda-

toplamının alabileceği kaç farklı değer vardır? A) 1

E) 5

DNA 12

x ve y sıfırdan farklı sayılar olmak üzere,

D) 4

C) 3

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

kilerden hangisi doğrudur? B) x ≥ 0

A) x > 0

D) x ≤ 0

C) x < 0

E) x = 1

Çözüm Mutlak değer tanımından; |x| = x ve |y| = y

Çözüm

dir. Bu değerler toplamda yerlerine yazılırsa toplam;

x 2 = − x olduğundan,

y x y x + = + = 1+ 1 = 2 x y x y

x 2 = x = − x ve |x| = –x

y −x −y x + = + = −1 + ( −1) = −2 x y x y y −x y x + = + = −1 + 1 = 0 x y x y y x −y x + = + = 1 + ( −1) = 0 x y x y İstenen toplam –2, 0 ve 2 olmak üzere üç farklı değer

bulunur. Mutlak değer tanımından, |x| = –x ⇒ x < 0 veya x = 0 dır. Kısaca, x ≤ 0 dır.

alır. Doğru Seçenek D Doğru Seçenek C

186

YGS MATEMATİK


Mutlak Değer

x + |x| = 0

|x + y| = |x| + |y|

olduğuna göre, x gerçek sayıları için aşağıdakilerden

olduğuna göre, x ve y sayıları için aşağıdakilerden

hangisi doğrudur?

hangisi kesinlikle doğrudur? B) x ≥ 0

A) x > 0

D) x ≤ 0

C) x < 0

E) x = 1

A) x ⋅ y < 0

B) x ⋅ y ≤ 0

D) x ⋅ y ≥ 0

C) x ⋅ y > 0

E) x + y < 0

DNA 14 DNA 13


x+y

gisidir?

x + y

{

A) −2, −

kesrinin alabileceği en büyük değer kaçtır? A) –1

|2x – 1| = |4x + 3|

B) −

1 2

C) 0

D)

1 2

E) 1

}

{ }

1 3

1 B) − , 2 3

{ }

D) −2,

1 3

C)

{ }

1 ,2 3

E) {2}

Çözüm

Çözüm

Mutlak değer içindeki ifadelerin ikisini de aynı işaretli dü-

Kesrin en büyük değeri alması için;

şündüğümüzde;

|x + y| nin en büyük,

|2x – 1| = |4x + 3| ⇒ 2x – 1 = 4x + 3

|x| + |y| nin en küçük olması gerekir.

Üçgen eşitsizliğinden;

Mutlak değer içindeki ifadelerin ters işaretli olduğu düşü-

|a + b| ≤ |a| + |b|

⇒ 2x = –4 ⇒ x = –2

nüldüğünde de;

dir. |x + y| nin en büyük, |x| + |y| nin en küçük olması demek, |x + y| = |x| + |y|

|2x – 1| = |4x + 3| ⇒ 2x – 1 = –4x – 3

⇒ 6x = –2 ⇒ x = −

1 3

olur.

olması demektir.

{

Ç = −2, − Bu durumda;

x+y x + y

1 3

}

bulunur.

= 1 olur. Doğru Seçenek E

Doğru Seçenek A

YGS MATEMATİK

187

Mutlak Değer


DNA 16

|x + 3| = 2|x – 3|

denkleminin kökler çarpımı kaçtır? A) 1

B) 6

C) 9

–12 ≤ x ≤ 10

eşitsizliğinin mutlak değerli ifadesi nedir? D) 10

E) 12

A) |x – 11| ≤ 11

B) |x – 1| ≤ 9

C) |x + 1| ≤ 11

D) |x| ≤ 12

E) |x| ≤ 10

DNA 15 |5 – |x|| > 3

eşitsizliğini sağlamayan kaç değişik x tam sayısı

Çözüm

vardır? A) 7

B) 10

C) 14

D) 15

E) 16

|x – a| ≤ b ifadesini açalım. –b ≤ x – a ≤ b ⇒ a – b ≤ x ≤ b + a olup,

Çözüm

verilen eşitsizlikte, a + b = 10

Önce eşitsizliği sağlayan sayıları bulalım.

|5 – |x|| > 3 ⇒ 5 – |x| > 3

+

veya 5 – |x| < –3

5 – |x| > 3 ⇒ |x| < 2 ⇒ –2 < x < 2

5 – |x| < –3 ⇒ |x| > 8 ⇒ x > 8 veya x < –8

a – b = –12 dir. + 2a = –2 ⇒ a = –1

ve b = 11 olur ki, aranan eşitsizlik |x – (–1)| ≤ 11, yani |x + 1| ≤ 11 dir.

Bu sayılar dışında kalan tam sayılar; –8 ≤ x ≤ –2 ve 2 ≤ x ≤ 8

Doğru Seçenek C

dir. Bu aralıklarda ise 14 tane tam sayı vardır. Doğru Seçenek C

–10 < x < 14

eşitsizliğinin mutlak değerli ifadesi aşağıdakilerden hangisidir?

||x| – 4| = 4 – |x|

olduğuna göre, |x – 4| – |x – 5| ifadesinin değeri kaçtır? A) –4

188

B) –1

YGS MATEMATİK

C) 0

D) 1

E) 4

A) |x – 2| ≤ 12

B) |x – 2| < 12

C) |x + 2| < 10

D) |x + 2| < 16

E) |x – 2| < 10


Mutlak Değer

TEST - 1 1.

x < y < 0 olmak üzere,

x ⋅ y > 0 ve


1 1 1 1 + − − x y x y

B) −

2 x

C)

2 x

D) −

2 y

E)

B) –2x

C) 2x

D) –2y

E) 2y

2 y

6. x ve y sıfırdan farklı gerçek sayılar olmak üzere, y x − =2 y x

|x – y| + x + y


2.

1 1 > x y olmak üzere,

5.

x ∈ R+ olmak üzere, x+ | x | 2


B)

olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğru-

1 2

C) –x

D) x

E) 1

dur?

A) x < y < 0

B) y < x < 0

D) y < 0 < x

C) x < 0 < y

E) 0 < x < y

7.

x ∈ R– olmak üzere,

3.

x ≤1 x

x ⋅ |x|


B) 2x

D) x2

C) –2x

E) –x2


A) Z–

B) Z+

D) R – {0}

C) Z

E) R

8.

|x – 2| < 3 olduğuna göre,

4.

x ve y pozitif tam sayılardır.

x > y ve |y – x| + |y – 1| = 5


B) 3

C) 4

D) 5

E) 6

|2x + 3| + |x – 6| + x – 2 = A

ifadesi için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

A) –3 < A < 3

C) −6 < A < −

3 2

B) –1 < A < 5 D) 3 < A < 4

E) 5 < A < 17

YGS MATEMATİK

189

Mutlak Değer

9.


1 ≤ |x| < 5

eşitsizliğini sağlayan kaç değişik x tam sayısı vardır? A) 4

B) 5

2x − 5

13.

C) 8

D) 9


E) 10

denkleminin kökler çarpımı kaçtır? A) 0

B) 1

C) 2

D) 3

E) 6

A) (–∞, –4]

D) 2

D) (–∞, –4) ∪ (5, +∞)

1. B

190

2. D

B) 0 3. D

YGS MATEMATİK

C) 2 4. A

D) 4 5. E

6. D

E) 6 7. E

C) 7

D) 8

E) 9

|2009x – 2010| = 2011

eşitliğini sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır?

A)

2010 2009 D)

8. E

B) 6

|1 – x| = 7

A) –2

E) R

eşitsizliğini sağlayan kaç değişik x tam sayısı

A) 5

E) 4

eşitliğini sağlayan x sayılarının toplamı kaçtır?

C) [–4, 5]

|3x – 5| < 10

16. 12.

B) [5, +∞)

vardır?

kaçtır? C) 0

E) R

eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden

15.

olduğuna göre, |x – y| + |y – x| ifadesinin değeri

B) –2

5 2

hangisidir?

x+2=y

A) –4

C) x >

|1 – 2x| > 9

11.

5 2

D) x < 0

14.

|x| + |x – 1| + |x – 2| = 3

B) x <

A) ∅

10.

<0

x2 + 4

9. C

10. A

B)

2009 2010

2011 2009

11. E

12. C

E) 13. A

14. D

C)

4020 2009

4022 2009 15. B

16. C


Mutlak Değer

TEST - 2

5.

eşitsizliğinin çözüm aralığı aşağıdakilerden han-

||x| – 2| ≤ 4

gisidir?

1.

–5 < x < 3 ise

|x – 3| + |x + 5| – 4

B) 1

C) 2

A) [–6, 6]

B) [–2, 2]

C) [–6, –2] ∪ [2, 6]

D) [–2, 6]

ifadesinin değeri kaçtır? A) 0

D) 3

E) [–6, 2]

E) 4

2.

eşitsizliğinin mutlak değerli ifadesi aşağıdakiler-

1

1 2

6.

denkleminde x in alabileceği değerler toplamı

2≤x≤4

den hangisidir?

1 3− | x−2|

=

kaçtır?

A) |x – 3| ≤ 1

B) |x – 3| ≤ 2

C) |x – 2| ≤ 1

D) |x – 4| ≤ 4

A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

E) |x – 2| ≤ 2

7.

x < |x| ve |y| = y olmak üzere, aşağıdakilerden hangisi ya da hangileri daima doğrudur?

3.

x < 0 olduğuna göre,

I.

|| x | − x |

II.

III.

A) Yalnız I

işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? A) –3

4.

x

B) –2

C) 1

D) 0

E) 2

y ≤0 x x–y<0 B) Yalnız II

D) II ve III

|x – 2| ≤ 3

8.

x+2 =1 x−3

y+x=5

olduğuna göre, y nin alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır? A) 10

x⋅y≥0

B) 14

C) 15

C) Yalnız III

E) Hiçbiri

x+y≤3

olduğuna göre, y aşağıdaki değerlerden hangisini alabilir?

D) 19

E) 21

A) 2

B) 3

C) 4

D) 5

YGS MATEMATİK

E) 6

191

Mutlak Değer

9.


x – |x| = 0

eşitliğini sağlayan x değerlerinin oluşturduğu küme aşağıdakilerden hangisidir?

A) [–1, 0]

D) (– ∞, 0]

10.

B) [0, 1]

13.

|x – 3| = x – 3

|5 – y| = y – 5

olduğuna göre, x + y toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?

C) [–1, 1]

A) 8

E) [0, ∞)

14.

|12 – 4x| + |x – 3| = 26

eşitliğini sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır? B) –3

C) 0

D) 3

C) 10

D) 11

E) 12

D) 24

E) 30

x + |x| = 8

olduğuna göre, x2 + |x| kaçtır? A) 12

A) –6

B) 9

B) 18

C) 20

E) 6

15. x, y, z sıfırdan farklı gerçek sayılardır. 11.

toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır? A) 4

B) 5

|x| |y| = |y| |z| = |z| |x|

|x – 2| + |8 – x|

C) 6

D) 7

olduğuna göre,

büyük değer kaçtır?

E) 8

A) 1

12 | x − 1| + | x − 2 | + | 3 − x |

12.

16.

ifadesinin alabileceği en büyük değer kaçtır? A) 12 1. E

192

2. A

B) 6 3. B

YGS MATEMATİK

C) 4 4. E

D) 3 5. A

6. D

8. A

9. E

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

||x| – 1| = x

olduğuna göre, x kaçtır? A) –1

E) 2 7. D

x+y ifadesinin alabileceği en z

10. E

B) − 11. C

1 2 12. B

C) 0 13. A

D) 14. C

1 2 15. B

E) 1 16. D

ÇARPANLARA AYIRMA- BÖLÜM 05

ÇARPANLARA AYIRMA

TANIM 3x6 – 6x2 + 3x

İçindeki değişkenlerin her değeri için doğru olan eşitliklere

özdeşlik denir.

ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden hangisidir?

TANIM n, sayma sayısı olmak üzere, n. dereceden bir ifadeyi,

A) 3x2

B) 3x6

C) x5 + 2x + 1

D) x5 – 2x + 1 E) x5 + 2x – 1

daha küçük dereceden iki veya daha fazla ifadenin çarpımı şeklinde yazma işlemine çarpanlara ayırma denir.

Işık 1

DNA 2 a(b + c) = ab + ac

9x2(2x + 7) – 12x(2x + 7)

ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden hangisidir?

DNA 1

8x4

–

4x3

+

A) 3x – 4

10x2

ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden

B) 4x2 + 2x + 5

C) 4x2 – 2x + 5

D) 4x2 – 2x – 5

E) 40x3

D) 3x2

C) 3x + 4

E) 2x + 3

Çözüm

hangisidir? A) 4x2

B) 2x – 7

9x2(2x + 7) – 12x(2x +7) = 3x ⋅ 3x(2x + 7) – 4 ⋅ 3x(2x + 7)

= 3x(2x + 7)(3x – 4) Doğru Seçenek A

Çözüm Terimlerin tümünün OBEB ini bulalım ve ortak çarpanı (OBEB) parantez dışına, diğerlerini parantez içine yazalım. 8x4 – 4x3 + 10x2 = 2x2 ⋅ 4x2 – 2x2 ⋅ 2x + 2x2 ⋅ 5

= 2x2 ⋅ (4x2 – 2x + 5)

Bu çözüm yöntemine, ortak çarpan parantezine alma yöntemi denir. Doğru Seçenek C

x3y2 + 3x4y + 5x5y3

ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden hangisidir? A) x3y2

B) x2y3

C) y + 3x + 5x2y2

D) y – 3x + 5x2y2 E) y + 3x – 5x2y2

YGS MATEMATİK

193

Çarpanlara Ayırma

Çarpanlara Ayırma - Bölüm 05

DNA 3

DNA 4

a3 – a2 + a – 1

x5 – 3x3 – 2x2 + 6



hangisidir?

hangisidir?

A) a + 1

C) a2 – 1

B) a – 1

D) a3 – 1

A) x2 – 2

E) a2

B) x3 – 3

D) x3 + 2

C) x2 + 3

E) x2 – 3

Çözüm Çözüm

x5 – 3x3 – 2x2 + 6 = (x5 – 3x3) – (2x2 – 6)

= (x3 ⋅ x2 – 3x3) – (2x2 – 2 ⋅ 3)

= x3(x2 – 3) – 2(x2 – 3) = (x2 – 3)(x3 – 2)

Terimlerin tümünde ortak çarpan yoksa, terimler gruplandırılarak ortak çarpan aranır.

Doğru Seçenek E

a3 – a2 + a – 1 = (a3 – a2) + (a – 1)

= (a2 ⋅ a – a2 ⋅ 1) + (a – 1)

= a2(a – 1) + (a – 1)

= (a – 1)(a2 + 1) Doğru Seçenek B

x3 + 6x2 – 3x – 18

ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden hangisidir? B) x + 6

A) x – 6

D) x + 3

E) x2 – 6

3x3 – 2x2 + 12x – 8

ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden hangisidir? A) x – 2

194

B) x + 2

D) 3x + 2

YGS MATEMATİK

C) x2 + 4

E) 2x – 3

C) x2 + 3

Işık 2 a2 – b2 = (a + b)(a – b)


Çarpanlara Ayırma

Çözüm

DNA 5

a4 – 16 = (a2)2 – 42 = (a2 – 4)(a2 + 4)

25x2 – 9

ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden hangisidir? A) 25x – 3

B) 25x + 3

D) 5x – 9

= (a2 – 22)(a2 + 4)

= (a – 2)(a + 2)(a2 + 4)

C) 5x + 9

Doğru Seçenek E

E) 5x – 3

Çözüm 25x2 – 9 = (5x)2 – 32 = (5x + 3)(5x – 3) Doğru Seçenek E

x4 – 81

ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden hangisidir? A) x – 9

B) x + 9

D) x2 + 3

C) x – 3

E) x2 – 3

a2 – 16

Işık 3

ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden hangisidir? A) a – 8

B) a + 8

D) a + 16

C) a – 4

(a – b)2 = (a – b)(a – b) = a2 – 2ab + b2

E) a + 2

(a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + 2ab + b2

DNA 7

DNA 6

a4 – 16

ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden hangisidir? A) a – 8

B) a + 8

D) a + 16

E) a + 2

C) a – 4

x2 – 20x + 100

ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) (x – 4)(x – 25)

B) (x – 5)2

C) (x + 5)2

D) (x – 10)2

E) (x + 10)2

YGS MATEMATİK

195

Çarpanlara Ayırma


Çözüm x2 – 20x + 100 = x2 – 2 ⋅ x ⋅ 10 + 102


= (x – 10)2

25x2 – 30xy + 9y2

Doğru Seçenek D

B) (5x + 3y)2

A) 2(5x – 3y)

D) (3x – 5y)2

C) (5x – 3y)2

E) (3x + 5y)2

Uyarı DNA 9

Tam kare ifadelerde; ilk ve son terim birer tam kare, ortadaki terim bunların çarpımlarının iki katıdır.

427 + 41000 + 4n

ifadesini tam kare yapan en büyük n değeri kaçtır? A) 514 a2 – 6a + 9

B) 986

D) 1972

C)1000

E) 2000

ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) (a + 3)2

B) (a – 3)2

D) (3a – 1)2

C) (3a + 1)2

E) 2(a – 3)

Çözüm 4 sayısını 22 şeklinde alıp verilen ifadede yerine yazdığı-

DNA 8

mızda; 427 + 41000 + 4n = (22)27 + (22)1000 + (22)n

4m2 + 12mn + 9n2

A) 2(2m + 3n)

B) (2m + 3n)2

C) (2m – 3n)2

D) (2n – 3m)2

E) (2n + 3m)2

= 254 + 22000 + 22n


olur. İki tane terimin tam kare, üçüncü terimin de diğer ikisinin çarpımının iki katı olması gerekir. 254 = (227)2

Çözüm

22000 = (21000)2 olarak alındığında; 254 + 22000 + 22n = (227)2 + 2 ⋅ (227) ⋅ (21000) + (21000)2

4m2 + 12mn + 9n2 = (2m)2 + 2 ⋅ 2m ⋅ 3n + (3n)2

= 254 + 21028 + 22000

= (2m + 3n)2

Doğru Seçenek B

bulunur. 254 + 22000 + 22n = (227 + 21000)2 = 254 + 21028 + 22000

196

YGS MATEMATİK


Çarpanlara Ayırma

Bu durumda;

Çözüm

2n = 1028 ve n = 514

(x + m)2 = x2 + 2mx + m2 = x2 + 8x + k

olur. Veya; 254 = (227)2 22n

=

(2n)2 olarak

alındığında;

254

22n

+

22000

+

=

(227

+

2m = 8 ⇒ m = 4

m2 = k ⇒ 42 = k ⇒ k = 16

k + m = 16 + 4 = 20

dir. 2n)2

=

554

+

228+n

+

22n

Doğru Seçenek C

Bu durumda, 28 + n = 2000 ve n = 1972 olur. Bulunan n değerlerinin en büyüğü,

(x – r)2 = x2 – 6x + p

n = 1972

olduğuna göre, r + p toplamı kaçtır?

dir.

A) 6

B) 8

D) 12

C) 10

E) 15

Doğru Seçenek D

DNA 11 211 + 28 + 2n

B) 8

1 =6 a −1

olduğuna göre, (a − 1)2 +

ifadesi bir tam kare olduğuna göre, n kaçtır? A) 6

a+

C) 10

D) 12

ri kaçtır? E) 14

A) 23

B) 25

1 (a − 1)2

C) 27

ifadesinin değe-

D) 34

E) 36

Çözüm İstenen ifadenin terimleri (a – 1) türünden olduğundan, biz

DNA 10

de verilen ifadeyi a – 1 türünden yazmalıyız. Bunun için eşitliğin her iki tarafından 1 çıkaralım:

x2 + 8x + k = (x + m)2

a − 1+

olduğuna göre, k + m toplamı kaçtır? A) 16

B) 18

C) 20

D) 22

E) 24

1 =5 a −1

olur.

YGS MATEMATİK

197

Çarpanlara Ayırma


Her iki tarafın karesini aldığımızda;

Not

2

1   2  a − 1+  =5 a − 1 

Tam kare bir ifadenin alabileceği en küçük değer

1 1 ( a − 1) + 2( a − 1) ⋅ + = 25 a − 1 ( a − 1)2 2

( a − 1)2 + 2 + ( a − 1)2 +

1 (a a − 1)2 1

( a − 1)2

0 dır.

= 25

(x – 3)2 = 0 ⇒ x = 3

= 23

olduğunda; A = (x – 3)2 + 2

bulunur.

ifadesi en küçük değeri alır. Doğru Seçenek A

Amin = 2

dir. Doğru Seçenek B

x + 1+

5 =5 x+3

olduğuna göre, x 2 + 6x + 9 + kaçtır? A) 21

25 (x + 3)2

C) 39

B) 27

ifadesinin değeri

D) 47

E) 49

K = x2 + 8x – 2


B) –16

C) –2

D) 0

E) 4

DNA 12 A = x2 – 6x + 11


B) 2

C) 3

D) 6

E) 11

DNA 13

Çözüm

Verilen ifadeyi tam kareli bir toplam şekline getirelim. A=

x2

– 6x + 11 =

A = (x –

198

3)2

YGS MATEMATİK

+2

x2

– 6x + 9 + 2

A = –x2 + 6x + 5


B) 5

C) 6

D) 12

E) 14


Çarpanlara Ayırma

Çözüm

Çözüm (x – a)2 + (x – b)2 toplamı,

A = –x2 + 6x +5

x=

= –(x2 – 6x – 5)

x–3=0⇒x=3

= –(x2 – 6x + 9 – 14)

x+5=0⇒x=–5

= –[(x – 3)2 – 14]

x= = 14 – (x – 3)2

(x –

3)2

a+b için en küçük değerini alır. 2

−5 + 3 = −1 için A en küçük değerini alır. 2 Amin = (x – 3)2 + (x + 5)2 = (–1 – 3)2 + (–1 + 5)2

=0⇒x=3

= (–4)2 + 42= 16 + 6 = 32

olduğunda A = 14 – (x – 3)2 ifadesi en büyük değerini

Doğru Seçenek D

alır. x = 3 için A = 14 olacağı zaten aşikârdır. Doğru Seçenek E B = (x + 2)2 + (x – 6)2

toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır? A) –2

B) 6

D) 32

C) 16

E) 64

DNA 15

B = –x2 + 10x + 5

ifadesinin alabileceği en küçük değer kaçtır?


B) 10

C) 15

D) 25

A = x2 + y2 + 2x – 2y + 3

A) –1

E) 30

B) 1

C) 2

D) 3

E) 4

Çözüm Verilen ifadeyi tam kareli bir toplam şekline getirelim.

= x2 + 2x + 1 + y2 – 2y + 1 + 1

DNA 14

A = (x – 3)2 + (x + 5)2

B) –1

C) 3

= (x + 1)2 + (y – 1)2 + 1

x = –1 ve y = 1 için A = 1 olur.

toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır? A) –5

A = x2 + y2 + 2x – 2y + 3

D) 32

Doğru Seçenek B

E) 64

YGS MATEMATİK

199

Çarpanlara Ayırma


Işık 4 A = x2 + y2 – 4x + 6y + 9

(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab


B) –3

C) 2

D) 6

E) 9

DNA 17

DNA 16

x2 + 6x + 8

x2 + y2 + 2x – 8y + 17 = 0


eşitliğini sağlayan (x, y) tam sayı ikilisi için x + y

hangisidir?

toplamı kaçtır? A) –1

A) x – 9

B) 3

C) 4

D) 7

E) 17

B) x – 4

D) x + 8

Çözüm

C) x – 2

E) x + 4

Çözüm

İfadeyi tam kareli toplam şekline getirelim. (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab

x2 + y2 + 2x – 8y + 17 = x2 + 2x + 1 + y2 – 8y + 16

ifadesinde; sabit terim iki sayının çarpımı ve

= (x + 1)2 + (y – 4)2 = 0

Tam kare ifadelerin toplamının 0 olması için ifadelerin her-

x in katsayısı, o iki sayının toplamıdır.

birinin ayrı ayrı sıfır olması gerektiğinden,

x + 1 = 0 ⇒ x = –1

y–4=0⇒y=4

x2 + 6x + 8 = x2 + (2 + 4)x + 2 ⋅ 4 ↓ ↓

2+4 2⋅4

= (x + 2)(x + 4)

x+y=–1+4=3 Doğru Seçenek E


ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden hangi-

x2 + y2 – 2x + 6y + 10 = 0

eşitliğini sağlayan (x, y) tam sayı ikilisi için x + y top-

200

sidir? A) x – 8

lamı kaçtır? A) –3

x2 – 6x + 8

B) –2

YGS MATEMATİK

C) –1

D) 0

E) 2

B) x + 8

D) x + 2

C) x – 2

E) x + 4


Çarpanlara Ayırma

DNA 18

DNA 19

x2 + 2x – 8

3x2 + 13x + 14



hangisidir?

hangisidir?

A) x – 8

B) x – 4

D) x + 8

C) x + 2

E) x + 4

A) 3x + 7

Çözüm

B) 3x – 7

D) 3x – 2

C) x – 2

E) 3x + 2

Çözüm

İfadeyi tam kareli toplam şekline getirelim.

(ax + b)(cx + d) = acx2 + (ad + bc)x + bd

x2 + 2x – 8 = x2 + (–2 + 4)x + (–2) ⋅ 4 ↓ ↓ –2+4 –2⋅4

= (x – 2)(x + 4)

ifadesinde sabit terimin çarpanları ile x2 nin katsayısının çarpanlarının köşegensel çarpımlarının toplamı x in katsayısını vermektedir. 3x2 + 13x + 14 = 3 ⋅ 1x2 + 13x + 2 ⋅ 7 3⋅x 2

Doğru Seçenek E

1⋅x

7

köşegen çarpımlarını topladığımızda, 3 ⋅ x ⋅ 7 + 1 ⋅ x ⋅ 2 = 21x + 2x = 23x olur ki bu istenen terim değildir.

Çarpanların yerlerini değiştirelim.

x2 – 2x – 8


3⋅x

7

1⋅x

2

sidir? A) x – 8

B) x – 2

D) x + 8

C) x + 2

E) x + 4

köşegen çarpımlarını topladığımızda, 3 ⋅ x ⋅ 2 + 1 ⋅ x ⋅ 7 = 6x + 7x = 13x olur ki bu istenen terimdir. Tabloyu satırlar halinde ayrı parantezler içine yazdığımızda; 3x2 + 13x + 14 = (3x + 7)(x + 2)

Işık 5


(ax + b)(cx + d) = acx2 + (ad + bc)x + bd

YGS MATEMATİK

201

Çarpanlara Ayırma


2x2 + 5x – 3

10x2 + 7x – 12



sidir?

sidir?

A) 2x + 1

B) x – 3

C) 2x + 3

E) 2x – 1

D) x + 1

A) 2x – 3

B) 5x + 4

D) 5x – 4

C) 3x – 2

E) 4x – 5

Işık 6 (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3

DNA 20 DNA 21

5x2 – 17x + 6


hangisidir? A) 5x – 3

B) x – 2

D) x + 3

(a – b)3(a + b)3


C) 5x – 2

A) a6 + 3a4b2 + 3a2b4 + b6

E) 5x + 3

B) a6 – 3a4b2 + 3a2b4 – b6 C) a6 – b6 D) a6 + b6 E) a6 – 2a3b3 + b6

Çözüm

Çözüm

5x2 – 17x + 6 = 1 ⋅ 5x2 – 17x + (–2) ⋅ (–3) ��

��

��

��

(x ⋅ y)3 = x3 ⋅ y3 olduğundan; (a – b)3(a + b)3 = [(a – b)(a + b)]3

şeklinde yazılabilir.

Köşegen çarpımlarını topladığımızda,

(a – b)(a + b) = a2 – b2 olduğundan, [(a – b)(a + b)]3 = (a2 – b2)3

1 ⋅ x(–2) + 5x (–3) = – 2x – 15x = –17x

şekline dönüşür.

olur ki bu ortadaki terimdir.

(a2 – b2)3 = (a2)3 – 3(a2)2b2 + 3a2(b2)2 – (b2)3

5x2 – 17x + 6 = (x – 3)(5x – 2) Doğru Seçenek C

= a6 – 3a4b2 + 3a2b4 – b6


202

YGS MATEMATİK


Çarpanlara Ayırma

(a – 2b)3 ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

A) a3 + 6a2b + 12ab2 + 8b3

C) a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 D)

–

3a2

+

3ab2

–

1 =2 x

olduğuna göre, x 3 −

B) a3 – 6a2b + 12ab2 – 8b3

a3

x−

A) 2

B) 6

1 x3

ifadesinin değeri kaçtır? D) 14

C) 8

E) 16

b3

E) a3 – 8b3

Işık 7 a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2)

DNA 22

a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2)

x+

1 =3 x

olduğuna göre, x 3 + A) 16

B) 18

1 x3

ifadesinin değeri kaçtır?

C) 20

D) 24

DNA 23

E) 27

x3 = 1 ve x ≠ 1 için,

Çözüm x+

(x2 + x + 3)(x2 + x + 4)


1 = 3 eşitliğinin her iki tarafının kübünü alalım. x

A) 6

B) 9

C) 12

D) 15

E) 18

3

1  3 x +  = 3  x x3 + 3 x 2 ⋅

1 1 1 + 3 x ⋅ 2 + 3 = 27 x x x

1 1  x3 + 3  x +  + 3 = 27  x x x+

1 x3

x3 = 1 ⇒ x3 – 1 = 0 x3 – 1 = (x – 1)(x2 + x + 1) = 0

1 = 3 değerini yerine yazalım. x 1 x3 + 3 ( 3 ) + = 27 x3 x3 +

Çözüm

olur. Çarpımları 0 olan sayılardan en az biri 0 olmak zorunda

= 27 − 9 = 18

olacağından; x – 1 = 0 ⇒ x = 1 olamayacağından,

Doğru Seçenek B

x2 + x + 1 = 0 ⇒ x2 + x = – 1 dir.

YGS MATEMATİK

203

Çarpanlara Ayırma


x2 + x = –1 değeri,

DNA 24

(x2 + x + 3)(x2 + x + 4)

1110 – 1 sayısının son iki basamağı aşağıdakiler-

ifadesinde yerine yazılırsa;

den hangisidir?

(x2 + x + 3)(x2 + x + 4) = (–1 + 3)(–1 + 4) = 2 ⋅ 3 = 6

A) 00

B) 09

C) 10

D) 19

E) 99

olur. Doğru Seçenek A

Çözüm an – bn = (a – b)(an–1 + an–2b + ... + abn–2 + bn–1) özdeşliğinden yararlanıp çarpanlarına ayıralım. 1110 – 1 = (11 – 1) (119 + 118 + 117 + ... + 1) = 10 ⋅ A A sayısı, birler basamağı 1 olan on tane sayının toplamı x3 = 1 ve x ≠ 1 için,

olduğundan birler basamağı 0 dır.

(1 + x – x2)(1 – x + x2)

Çarpımın son iki basamağı 00 olur.

ifadesinin değeri nedir? A) 0

B) 2

C) 4

D) 6

Doğru Seçenek A

E) 9

Işık 8 n sayma sayısı olmak üzere, an – bn = (a – b)(an–1 + an–2b + ... + abn–2 + bn–1)

222+ 221 + 220 + ... + 2 + 1


B) 223 – 1

D) 224 – 1

C) 223 + 1

E) 224 + 1

dir. Buraya kadar; (a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + 2ab + b2 (a – b)2 = (a – b)(a – b) = a2 – 2ab + b2

Işık 9 n tek sayı olmak üzere, an + bn = (a + b)(an–1 – an–2b + ... – abn–2 + bn–1)

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3

özdeşliklerini gördük ve inceledik. Acaba aynı şekilde;

dir.

204

(a + b)4, (a + b)5, ..., (a + b)n

ifadelerinin eşitlerini bulabilir miyiz?

YGS MATEMATİK


Çarpanlara Ayırma

Not

Hazine 1 Binom Açılımı

(a – b)n açılımı, (a + b)n açılımında b yerine –b yazılarak

n doğal sayıları için;

elde edilebilir.

n  n n ( a + b )n =   an +   an −r br + ... +   bn 0 1  n      

DNA 25

n n! C ( n, r ) =   =  r  ( n − r )! n!  

x = 7 ve y = –4 için, (a + b)0 = 1 (a +

b)1

A = x5 + 5x4y + 10x3y2 + 10x2y3 + 5xy4 + y5

= 1a + 1b


(a + b)2 = 1a2 + 2ab + 1b2

A) 3

B) 15

C) 27

D) 81

E) 243

(a + b)3 = 1a3 + 3a2b + 3ab2 + 1b3 (a + b)4 = 1a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + 1b4

Çözüm

(a + b)5 = 1a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + 1b5 ......................................................................................

(x + y)5 = x5 + 5x4y + 10x3y2 + 10x2y3 + 5xy4 + y5

Eşitliklerinin, 5. kuvvete kadar olanlarının bilinmesinde

olduğundan,

yarar vardır. Açılımdaki katsayılar tablo olarak yazıldığında; � � � � � �

�

� �

tir. �

�

x = 7 ve y = –4 için,

� �

� ��

A = (x + y)5

� �

��

A = (7 – 4)5 = 35 = 243 �

�

�


PASCAL ÜÇGENİ

Işık 10 • Herhangi bir satırdaki ardışık iki terimin toplamı, bu iki sayının altında bulunur. • Aynı terimde bulunan a ve b nin kuvvetlerinin toplamı, parantezin kuvvetine eşittir. • İlk terimden başlayarak, a nın kuvveti azalırken, b nin kuvveti artar.

x = 6 için,

N = x4 – 4x3 + 6x2 – 4x + 1

ifadesinin sayısal değeri kaçtır? A) 5

B) 7

C) 20

D) 625

YGS MATEMATİK

E) 74

205

Çarpanlara Ayırma


DNA 26

DNA 27

x–y=6

a–b= 9

x2 – y2 = 72

b–c=9

olduğuna göre, a2 – 2b2 + c2 değeri kaçtır?

olduğuna göre, x3 – y3 değeri kaçtır? A) 792

B) 702

D) 614

A) 160

C) 678

E) 504

B) 161

D) 163

C) 162

E) 164

Çözüm Çözüm x2 – y2 = (x – y)(x + y) = 72

a2 – 2b2 + c2 = a2 – b2 – b2 + c2 = a2 – b2 + c2 – b2

x – y = 6 değerini yerine yazalım.

şeklinde yazılıp çarpanlara ayrılırsa;

(x – y)(x + y) = 6(x + y) = 72

x + y = 12

a2 – b2 + c2 – b2 = (a – b)(a + b) + (c – b)(c + b)

bulunur.

bulunur.

Burada;

x – y = 6 ile taraf tarafa toplarsak,

2x = 18 ⇒ x = 9 ve

x + y = 12 ⇒ 9 + y = 12 ⇒ y = 3

a – b = 9 ve b – c = 9 ⇒ c – b = –9

değerlerini yerlerine yazdığımızda,

olur.

x3 – y3 = 93 – 33 = 729 – 27 = 702

(a – b)(a + b) + (c – b)(c + b) = 9(a + b) + (–9)(c + b)


= 9a – 9c = 9(a – c)

olur. a–b=9 b–c=9 eşitlikleri taraf tarafa toplandığında, a – c = 18 bulunur.

x+y=6

x2 – y2 = 48

Bulunan bu değer yerine yazıldığında da, a2 – 2b2 + c2 = 9(a – c) = 9 ⋅ 18 = 162

olduğuna göre, x3 + y3 değeri kaçtır? A) 342

206

B) 416

YGS MATEMATİK

C) 504

D) 512

olur. E) 572


Çarpanlara Ayırma

Baştaki ve sondaki terimleri de; ortak çarpan olan 86 parantezine alalım. Sayı değerleri vererek daha kısa yoldan cevabı şöyle bulabiliriz.

87 ⋅ 86 – 86 ⋅ 85 = 86(87 – 85) = 2 ⋅ 86 olur.

b = 0 için a = 9 ve c = –9 olduğundan

Bulduklarımızı yerlerine yazdığımızda,

a2 – 2b2 + c2 = 81 + 0 + 81 = 162

87 ⋅ 86 + 87 ⋅ 85 – 86 ⋅ 85 = 862 – 1 + 2 ⋅ 86

Doğru Seçenek C

= 862 + 2 ⋅ 86 + 1 – 2

= (86 + 1)2 – 2

= 872 – 2


x – y = 3 ve y – z = 3

olduğuna göre, x2 – 2y2 + z2 değeri kaçtır? A) 3

B) 6

C) 9

D) 12

E) 18

DNA 28



B) 872 – 1

D) 862 – 1

B) 2000

A) 200

87 ⋅ 86 + 87 ⋅ 85 – 86 ⋅ 85

A) 872 – 2

1999 ⋅ 2001 + 1 = a2

D) 1999

C) 2001

E) 2002

C) 862 – 2

E) 862

DNA 29 Çözüm

87 ⋅ 86 + 87 ⋅ 85 – 86 ⋅ 85

ifadesindeki ortadaki terimi ele alalım;

87 ⋅ 85 = (86 + 1)(86 – 1) = 862 – 1

1 1 4 − + 16 3 9


5 12

D)

B) − 3 10

1 6 E)

C)

1 6

5 12

dir.

YGS MATEMATİK

207

Çarpanlara Ayırma


Çözüm

Çözüm

Karekök içindeki ifadeyi incelediğimizde; 2

(a + b + c)2 = 42 = a2 + b2 + c2 + 2 (ab + ac + bc)

1 1 4  1 1 2 2 − + =   − 2⋅ ⋅ +   16 3 9  4  4 3 3  1 1 = −  4 3

2

2

olduğu görülebilir.

⇒ 16 = a2 + b2 + c2 + 2 ⋅ 6

⇒ a2 + b2 + c2 = 16 – 12 = 4 Doğru Seçenek A

2

1 1 4 1 2  1 1 − + =  −  = − 16 3 9 4 3 4 3 =

3 − 4⋅2 5 5 = − = 3⋅4 12 12


4 3 9 − + 25 5 16

ifadesinin sonucu kaçtır? 7 A) − 20

D)

3 B) − 4 7 20

E)

2 C) 5

a+b+c=6

a2 + b2 + c2 = 12

olduğuna göre, ab + ac + bc toplamı kaçtır?

11 15

B) 12

A) 9

C) 16

D) 20

E) 24

Işık 11 (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc

DNA 31 x2 − 2 x − 8

DNA 30

a+b+c =4

ab + ac + bc = 6

x 2 − 9 x + 20

ifadesinin en sade biçimi aşağıdakilerden hangisidir? A)

x+2 x+4

olduğuna göre, a2 + b2 + c2 toplamı kaçtır? A) 4

B) 6

208

YGS MATEMATİK

C) 8

D) 12

E) 18

D)

B) x−4 x+4

x+2 x−5 E)

C) x+2 x−2

x−4 x−5


Çarpanlara Ayırma

Çözüm

Çözüm

Pay ve paydayı ayrı ayrı çarpanlarına ayırıp, ortak çar-

Kesirlerin pay ve paydalarını çarpanlarına ayırıp işlemi

panları kısaltacağız.

yapacağız.

x2 − 2 x − 8 2

x − 9 x + 20

=

( x − 4) ( x + 2) ( x − 5) ( x − 4)

=

x 2 − 5 x − 14

x+2 x−5

2

x2 − 4

⋅

2

x − 3 x + 2 x − 14 x + 49

Doğru Seçenek B

=

( x − 7) ( x + 2) ( x − 2) ( x + 2) ⋅ ( x − 2 ) ( x − 1) ( x − 7)2

=

( x + 2 )2 x+2 x+2 ⋅ = x − 1 x − 7 ( x − 1)( x − 7 )

Doğru Seçenek B

x 2 − 25 5 x − x2


x+5 x

B) −

x+5 x

C)

x−5 x m2 − 9

x−5 D) − x

E) –5

3−m : m + 5m + 6 m + 2 2

ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi aşağıdakilerden hangisidir? A) –1

B) 0

C) 1

D) 2

E) 3

DNA 32 x 2 − 5 x − 14

⋅

x2 − 4

DNA 33

x 2 − 3 x + 2 x 2 − 14 x + 49

ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi aşağıdakilerden hangisidir? x+2 A) ( x − 1)( x − 7 )

( x + 2 )2 B) ( x − 1)( x − 7 )

( x + 2 )2 C) ( x + 1)( x − 7 )

( x + 2 )2 D) ( x − 1)( x + 7 )

E)

( x − 2 )2 ( x − 1)( x − 7 )

x 18 − x − x + 3 x 2 − x − 12


x−6 x+4

D)

B) x+6 x−4

x+6 x+4

C)

x−6 x−4

E) 0

YGS MATEMATİK

209

Çarpanlara Ayırma


Çözüm

Çözüm

x 18 − x x 18 − x − = − x + 3 x 2 − x − 12 x + 3 ( x − 4 )( x + 3 ) = =

1 x +1 x +1 x 1 x = x = ⋅ = 2 1 x −1 x ( x − 1) x + 1 x −1 x− x x

1+

x ( x − 4 ) − 18 + x x 2 − 3 x − 18 = ( x − 4 )( x + 3 ) ( x − 4 )( x + 3 ) ( x − 6) ( x + 3)

=

( x − 4) ( x + 3)

Doğru Seçenek C

x−6 x−4

Doğru Seçenek C

x +1 x2 − x − 6

−

x+4 x2 − 4 x + 3

+

x = 999 iken,

x+3

ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi aşağıdakilerden hangisidir? x 2 − 6 x − 18 A) ( x − 3 )( x + 2 )( x − 1) C)

x 2 + 6 x − 18 B) ( x − 3 )( x + 2 )( x − 1)

x 2 − 6 x + 18 ( x − 3 )( x + 2 )( x − 1) E)

D)

1 x 1 1− x x−

x2 + x − 2

x 2 + 6 x + 18 ( x − 3 )( x + 2 )( x − 1)

ifadesinin sayısal değeri kaçtır? A) 1

B) 10

C) 100

E) 1000

D) 999

x 2 − 6 x − 18 ( x − 3 )( x + 2 )( x + 1)

DNA 34 1 x 1 x− x

x 2 + y 2 − 1 + 2 xy

1+

1 − x2 − 2 y + y2

ifadesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisi-

ifadesinin en sade biçimi aşağıdakilerden hangisidir?

dir?

A)

x + y +1 y − x −1

C)

x + y −1 x + y +1

A)

210

x x +1

B)

x D) x −1

YGS MATEMATİK

1 x +1 E) –1

C)

1 x −1

B)

x − y +1 x + y −1

D)

y − x +1 x + y −1

E)

y − x −1 x + y +1


Çarpanlara Ayırma

5.

TEST - 1

1.

(x – 1)(x +

1)(x2

+

1)(x4

+

1)(x8


A) x16 – 1

D) x32 – 1

y2 − 1 y+5

ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi aşağıdakilerden hangisidir?

+ 1)

B) x16

y2 + 5 y + 4

A)

y −1 ( y + 4 )( y + 5 )

B)

y +1 ( y + 4 )( y + 5 )

C)

( y + 4 )( y + 5 ) y −1

D)

( y + 4 )( y + 5 ) y +1

C) x16 + 1

E) x32 + 1

2.

x–y=3

a+b=4

olduğuna göre, ax – by + bx – ay işleminin sonucu kaçtır? A) 12

6.

B) 16

C) 18

D) 24

A) 4

A) x = 2y

7. C) x2 = y

B) 2x = y

D) x = y2

E) x = y

4.

x7 + 2 x 6 + x5 3

D) x2

C) 4 + x

E) 4x2

a ab − b2

−

b a2 − ab

ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi aşağıdakilerden

A)

1 1 − a b

B)

1 1 + a b

D) a – b

C)

1 ab

E) a + b

8

x ( x + 1)


8.

hangisidir?

B) 4x

hangisidir?

x2 + 2 x + 1

olduğuna göre, x ve y arasındaki bağıntı aşağıda-

( x 2 + 1)2 − 4 x 2

(x + y)2 = 2(x2 + y2)

kilerden hangisidir?

x2 − 2 x + 1

−


( x 2 + 1)2 − 4 x 2

( y − 4 )( y − 5 ) y −1

hangisidir?

E) 30

3.

E)

A)

C)

x3 ( x + 1)6 x

B)

2

( x + 1)6

E)

D) x4 ( x + 1)6

x3 ( x + 1)5 x

Aşağıdakilerden hangisi

4x4 + 3x2y2 + 9y4

ifadesinin çarpanlarından biridir?

A) 2x + 3y

B) 2x – 3y

C) 2x2 + 3y2 + 1

D) 2x2 + 3y2 + 3xy

2

( x + 1)5

E) 2x2 + 3y2 – 3

YGS MATEMATİK

211

Çarpanlara Ayırma

9.

x+

13.

1 =3 x

olduğuna göre, x 4 + A) 47

10.


B) 49

A=

x2

+

y2

1 x4

D) 79

A) 12

E) 81

14.

+ 2x – 2y + 4

ifadesinin en küçük değerini alması halinde (x, y)

ikilisi aşağıdakilerden hangisi olur?

A) (0, 0)

B) (–1, –1)

D) (1, 0)

olduğuna göre, x2 + y2 toplamının en küçük değeri kaçtır?

kaçtır?

C) 51

x–y=3

x2 – y2 = 27

B) 18

12.

x–y=4

x⋅y=1

1. A

212

2. A

B) 76 3. E

YGS MATEMATİK

D) 30

E) 36

D) 6

E) 9

3

B) 3

C) 4

C) (–1, 0)

E) (–1, 1)

C) 24

olduğuna göre, a3 −

D) 32

A) –1

E) 36

16.

C) 81 4. C

5. C

2

1  a +  = 1 a  1 a3

ifadesinin değeri kaç-

tır?

olduğuna göre, x3 – y3 kaçtır? A) 64

C) 24

x−y y−z −   +3 z−x x−z

A) 2

olduğuna göre, x ⋅ y kaçtır? A) 12

B) 18


15. 11.

x+y=6

D) 96 6. B

E) 108 7. B

8. D

C) 1

D) 2

E) 3

D) 198

E) 200

196 ⋅ 198 + 1


9. A

B) 0

10. E

B) 196 11. B

12. B

C) 197 13. B

14. A

15. B

16. C


Çarpanlara Ayırma

5.

TEST - 2 1.

x ve y gerçek sayıları için,


A) (x + y)3

2.

B) 3

C) 4

D) 6

E) (x2 + y)3

E) 8

a3 − b3 2

a + ab + b

2

+

a3 + b3 2

a − ab + b

2


A) 2a

3.

B) 2b

D) 2a – 2b

B) 7

A) 0

B) –3

D) –3abc

C) 3

E) 3abc

a = 3 için,

1 x

2

C) 8

ifadesinin değeri ne-

D) 9

8.

olduğuna göre, x2008 + x2009 + x2010 işleminin sonucu kaçtır? D) 1

B) 26

C) 27

D) 28

E) 29

E) 10

x2 + x + 1 = 0

C) 0

(a + 1)(a2 – a + 1)

ifadesinin değeri kaçtır? A) 24

B) –1

7.

4.

A) –2

olduğuna göre, a3 + b3 + c3 ifadesinin eşiti aşağı-

E) 2b – 2a

olduğuna göre, x 2 +

A) 6

C) –2b

1 x+ =3 x

dir?

a+b+c=0

dakilerden hangisidir?

hangisidir?

D) (x – y2)3

C) (x + y2)3


6.

B) (x – y)3

x2 + y2 – 6x – 4y + 13 = 0

A) 2

x3 + 3x2y2 + 3xy4 + y6

E) 2

(x – 3)(x4 + 3x3 + 9x2 + 27x + 81)


A) x5 – 243

B) x5 + 243

D) x5 – 81x

C) 243x

E) x5 + 81x

YGS MATEMATİK

213

Çarpanlara Ayırma

9.

x+y=1

olduğuna göre, x3 + y3 değeri kaçtır? A) 1

B) 1,5

10. Küpleri

316 − 1

13.

x2 + y2 = 2


C) 2

D) 2,5

8

( 3 + 1)( 34 + 1)

kesrinin değeri kaçtır? A) 26

E) 3

B) 28

B) 301

C) 302

D) 303

E) 304

7 3

B) 2

C)

9 5

D)

5 3

E) 1

a2 – 2ab + b2 – 9


A) (a – b – 3)(a – b + 3)

B) (a – b – 3)(a + b + 3)

C) (a + b – 3)(a – b + 3)

15.

D) (a – 3)(b + 3)

E) (ab – 3)(ab+ 3)

6666672 − 3333342

kesrinin değeri kaçtır? A)

12.

E) 242

8888892 − 1111122

14.

11.

D) 82

farkı 602 olan ardışık iki tek doğal sayı

x ve y olduğuna göre, x2 + xy + y2 değeri kaçtır? A) 300

C) 80

x2 + y2 + 2x + 2y +12


B) 9

C) 10

D) 11

E) 12

x2 – m2 – 4mn – 4n2

ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) (x + m – 2n)(x + m + 2n)

16.

x = (0,5)6

B) (x – m – 2n)(x – m + 2n)

y = 26

C) (x – m – 2n)(x + m + 2n)

olduğuna göre, (x + y)2 – (x – y)2 ifadesinin değeri

D) (x – m)(x + n)

kaçtır?

E) (x – m – 2)(x + m + 2)

A) 1

1. D

214

2. A

3. B

YGS MATEMATİK

4. C

5. C

6. E

7. D

8. A

9. D

10. B

B) 2 11. A

C) 3 12. C

13. C

D) 4 14. A

15. C

E) 5 16. D

ÜSLÜ SAYILAR - BÖLÜM 06

ÜSLÜ SAYILAR

Çözüm

TANIM a ∈ R ve n ∈ N+ olmak üzere,

a ≠ 0 için, a0 = 1 olduğundan,

a a⋅ a ⋅ ... ⋅ a = an ⋅

x + 4 = 0 ⇒ x = –4

n tane

1n = 1 olduğundan, şeklinde gösterilen sayılara üslü sayılar denir. 3 ⋅ 3 = 32

x–3=1⇒x=4 (–1)2n = 1 olduğundan,

2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 25 gibi.

x – 3 = –1 ⇒ x = 2 için,

(–3)2 = (–3) ⋅ (–3) = 9

x + 4 = 2 + 4 = 6 = çift

–32 = –(3 ⋅ 3) = –9

Ç = {–4, 2, 4} bulunur.

olduğuna dikkat ediniz. Doğru Seçenek E

Işık 1 Her a ∈ R \ {0} için, a0 = 1 dir.

(x + 1)x–1 = 1

Uyarı

denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? 00

belirsizdir.

A) {–2}

B) {0}

D) {0, 1}

C) {1}

E) {–2, 0, 1}

DNA 1

(x – 3)x+4 = 1

Işık 2


Her a ∈ R için,

A) {–4}

B) {4}

D) {–4, 4}

C) {2}

E) {–4, 2, 4}

a1 = a dır.

YGS MATEMATİK

215

Üslü Sayılar

Üslü Sayılar - Bölüm 06

Işık 3

Işık 7

Taban ve üsleri aynı olan üslü sayılar kendi aralarında

a ∈ R, a ≠ 0 ve n ∈ N+ için,

toplanıp çıkarılabilirler. a −n =

xan ± yan = ( x ± y)an

4x2 + 3x2 = (4 + 3)x2 = 7x2

1 an

dir.

x2 + x3 = x2(1 + x)

gibi.

Işık 8 Işık 4

a ∈ R \ {0} olmak üzere,

Tabanları aynı olan üslü sayıların çarpımında; ortak

am

taban taban, üsler toplamı üs olarak alınır.

an

am ⋅ an = am+n

= am−n =

1 an−m

dir.

Işık 5 DNA 2

Tabanları farklı, üsleri aynı olan üslü sayıların çarpımında; tabanlar çarpımı taban, ortak üs üs olarak alınır. (a ⋅ b)n = an ⋅ bn

2 + 2–1


B) 2

C)

5 2

D) 3

E)

7 2

Işık 6 Üslü bir sayının tekrar üssünü almak için; üsler çarpımı üs olarak alınır. (am)n = am⋅n = (an)m

a sayısının toplamsal tersi –a ve

Çözüm 2 + 2−1 = 2 +

1 5 = 2 2

a sayısının çarpımsal tersi a–1 olarak gösterilir. (a–1)n = a–1⋅n = a–n dir.

216

YGS MATEMATİK

Doğru Seçenek C


Üslü Sayılar

DNA 4 3 – 3–1


(–2)2 – 22 + (–2)3 – 23

B) 2

D)

C) 3

8 3

E)


10 3

A) –16

B) –12

C) 0

D) 6

E) 12

Çözüm (–2)2 – 22 + (–2)3 – 23 = 4 – 4 – 8 – 8 = –16

DNA 3

Doğru Seçenek A 23 – 2 ⋅ 20 + 2–3


B) 6

C)

49 8

D)

25 4

E) 7

Çözüm 23 − 2 ⋅ 20 + 2−3 = 8 − 2 ⋅ 1 +

1 8

(–3)–3


1 49 = 6+ = 8 8

A) 27

Doğru Seçenek C

D) −

B)

1 9

1 9

C)

E) −

1 27

1 27

DNA 5 x = 2 için,

22 + 20 + 2–2



B)

21 4

C)

x2 – 3x–1 + 5x–2

11 2

D)

23 4

E) 6

A) 3

B)

15 4

C) 4

D)

17 4

YGS MATEMATİK

E)

9 2

217

Üslü Sayılar


Çözüm 22 − 3 ⋅ 2−1 + 5 ⋅ 2−2 = 4 − 3 ⋅ = 4−

23 + x − 21+ x

1 1 +5⋅ 2 4

24 + x + 22+ x

3 5 16 − 6 + 5 15 + = = 2 4 4 4


B)

Doğru Seçenek B

5 6

C)

6 5

D)

3 2

E)

3 10

DNA 7

(5 – x)x = (x – 5)8

denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? na + ma

A) {5, 6}

ifadesinin, a = 5, n = –2 ve m = 3 için değeri kaçtır? A) 200

C) 211

B) 210

D) 235

B) {4, 8}

D) {4, 5, 6}

C) {4, 5}

E) {4, 5, 6, 8}

E) 242

Çözüm İki üslü sayının eşit olabilmesi için tüm durumları irdele-

DNA 6

memiz gerekir. 5 – x ve x – 5 sayıları, mutlak değerleri eşit, ters işaretli iki

23 − x + 21− x 2

4− x

sayıdır. Üsleri çift ve eşit iki sayı olduğunda, üslü sayılar

2− x

−2

eşit olur.


5 B) 6

6 C) 5

3 D) 2

Tabanlar ters işaretli, üsler çift ve eşit: E) 2

x = 8 koşulu sağlayan sayıdır. 1 sayısının tüm kuvvetleri 1 dir. 5–x=1 ⇒ x=4

Çözüm 23 − x + 21− x 24 − x − 22− x

=

=

–1 sayısının çift kuvvetleri 1 dir. 5 – x = –1 ⇒ x = 6

23 ⋅ 2− x + 2 ⋅ 2− x 24 ⋅ 2− x − 22 ⋅ 2− x 2− x (23 + 2) 2− x (2 24 − 22 )

=

0 sayısının pozitif kuvvetleri 0 dır.

8 + 2 10 5 = = 16 − 4 12 6 Doğru Seçenek B

218

YGS MATEMATİK

5–x=0 ⇒ x=5 Ç = {4, 5, 6, 8} Doğru Seçenek E


Üslü Sayılar

(x – 3)6 = (3 –x)x

denkleminin kökler toplamı kaçtır? A) 6

B) 8

2x–1 = 16

C) 9

olduğuna göre, x kaçtır? D) 10

E) 15

B) 5

A) 4

C) 6

D) 7

E) 8

Işık 9 a ∈ R \ {–1, 0, 1} için,

DNA 9

ax = ay ⇔ x = y dir.

2x–3 = 1

5y+2 = 1

olduğuna göre, 2x5y nin değeri kaçtır? A)

DNA 8

4 x+1 =

8 25

B)

2 5

C) 1

D) 5

E) 10

1 64

olduğuna göre, x kaçtır? A) –4

B) –3

C) 2

D) 3

E) 4

Çözüm

Çözüm 4 x +1 = 4 x +1 =

a ≠ 0 için a0 = 1 olduğundan,

1 64 1 43

2x–3 = 1 ⇒ x – 3 = 0 ⇒ x = 3 = 4−3

5y+2 = 1 ⇒ y + 2 = 0 ⇒ y = –2 dir.

x + 1 = −3 x = −4

2x 5 y = 23 ⋅ 5−2 =

bulunur.

23 5

2

=

8 25


Doğru Seçenek A

YGS MATEMATİK

219

Üslü Sayılar


200810 ⋅ 200820 ⋅ 200830 ⋅ 200840 = (2008x)x

2x+3 = 1

3y–1 = 1

olduğuna göre, x in alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?

olduğuna göre, 2x3y nin değeri kaçtır? A)

2 3

B)

2 9

C)

3 8

D)

3 16

A) –10 E) 18

B) 0

D) 100

C) 10

E) 2008

DNA 10 26n+3 ⋅ 43n+6 = (8n)n

DNA 11

olduğuna göre, n kaç farklı değer alabilir? A) 0

B) 1

C) 2

D) 3

E) 4

Çözüm

a = –3–3

b = 3–3

c = (–3)–3

sayıları için aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur?

26n+3 ⋅ 43n+6 = (8n)n

26n+3 ⋅ (22)3n+6 = [(23)n]n

26n+3 ⋅ 22(3n+6) = 23⋅n⋅n

26n+3+(6n+12) = 23n2

212n+15 = 23n2

3n2 = 12n + 15

3(n2 – 4n – 5) = 0

n2

(n – 5) (n + 1) = 0

A) a < b < c

B) a < c < b

D) a < b = c

a = −3−3 = −

– 4n – 5 = 0

b = 3−3 =

n + 1 = 0 ⇒ n = –1 dir.

n sayısı –1 ve 5 olmak üzere iki farklı değer alabilir. Doğru Seçenek C

220

YGS MATEMATİK

E) c < b < a

Çözüm

1 3

3

n – 5 = 0 ⇒ n = 5 veya

C) a = c < b

c = ( −3)−3 =

1

=−

33 =

1 27

1 27 1 3

( −3)

=

1 1 =− −27 27

a = c < b olur. Doğru Seçenek C


Üslü Sayılar

A = 4(3

2

)

2a–1 = x

B = 3(2

4

)

5a–2 = y

C = 2(3

4

olduğuna göre, 10a–1 ifadesinin x ve y türünden eşiti

)

sayıları için aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur?

aşağıdakilerden hangisidir? A) xy

A) A < B < C

B) A < C < B

D) B < A < C

C) C < B < A

D) x2y

C) 5xy

B) 2xy E) xy5

E) C < A < B

DNA 13 DNA 12

2x–3= a

3x–2 = b

9x – 28 ⋅ 3x–1 = –3

olduğuna göre, x in alabileceği değerler toplamı kaçtır? A) –1

olduğuna göre, 6x–2 ifadesinin a ve b türünden eşi-

B) 0

C) 1

D) 2

E) 3

ti aşağıdakilerden hangisidir? A) ab

C) a2b

B) 2ab

D) ab2

Çözüm

E) a2b2

9x – 28 ⋅ 3x–1 = –3

Çözüm 2x −3 =

3 x −2 =

6 x −2 =

2x 23 3x 32 6x 6

2

=a

⇒

2x = 23 a

⇒

2x = 8a

=b

⇒

3 x = 32 b

⇒

3 x = 9b

=

(2 ⋅ 3)x 2x ⋅ 3 x (8a)(9b) 72ab = = = 36 36 36 36 = 2ab

bulunur.

⇒ 9x – 28 ⋅ 3x–1 + 3 = 0

⇒ (32)x – 28 ⋅ 3x ⋅ 3–1 + 3 = 0

⇒

32x − 28 ⋅

3x +3 = 0 3

3x = y dersek, y +3 =0 3

⇒

y 2 − 28 ⋅

⇒

3 y 2 − 28 y + 9 = 0

⇒

(3 y − 1)( y − 9) = 0

⇒

3y − 1 = 0

⇒

y=

1 3

⇒

3x =

⇒

y−9 = 0

⇒

y=9

⇒

3x = 9

1 3

⇒ x = −1 ⇒ x=2

x in alabileceği değerlerin toplamı: –1 + 2 = 1 dir. Doğru Seçenek B

Doğru Seçenek C

YGS MATEMATİK

221

Üslü Sayılar


DNA 15 9x–1 – 12 ⋅ 3x–2 + 3 = 0

olduğuna göre, x in alabileceği değerler toplamı kaçtır? A) –1

B) 0

C) 1

D) 2

3a = 4

4b = 8

olduğuna göre, 9a–b ifadesinin değeri kaçtır?

E) 3

A)

1 2

B)

1 3

2 9

C)

D)

4 16 E) 27 27

DNA 14 3x + 3x + 3x 3x ⋅ 3x ⋅ 3x

Çözüm

= 27

4b = 8 ⇒ (22)b = 23 ⇒ 22b = 23


B) 3

C) 2

D) 1

E) –1

3 2

⇒ 2b = 3 ⇒ b =

dir.

b nin bu değeri ve 3a = 4 eşitliği aşağıda yerlerine yazıl-

Çözüm x

x

3 +3 +3 3x ⋅ 3x ⋅ 3x

dığında, x

=

3⋅3

x

(3 x )3

= 3( x +1)−3 x = 27

9a −b =

⇒ 3−2 x +1 = 27 = 33

9a b

9

=

(32 )a 2 b

(3 )

=

(3a )2 3 (3 2 ) 2

=

42 33

=

16 27

bulunur.

⇒ −2x + 1 = 3

Doğru Seçenek E

⇒ x = −1 bulunur. Doğru Seçenek E

2n ⋅ 2n 2n + 2n

=4

222

B) 2

YGS MATEMATİK

a2 = b3

b2 = ax

olduğuna göre, x in değeri kaçtır?


C) 3

D) 4

E) 5

A)

3 4

B) 1

C)

4 3

D) 3

E) 4


Üslü Sayılar

Işık 10 a ve b tam sayılar olmak üzere, Tabanları farklı, üsleri tam sayı olan üslü sayılar eşit ise, üsler 0 olmalıdır.

2a+3 = 3b–2

olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır? A) –3

C) –1

B) –2

D) 0

E) 1

DNA 16 DNA 17

x ve y tam sayıları için,

2x+5 + 2x+5 + 2x+5 = 3y–2 + 3y–2

99 + 999

olduğuna göre, x ⋅ y çarpımı kaçtır? A) –12

B) –4

C) 3

D) 4

39 + 339

E) 12

işleminin sonucu kaçtır? B) 33

A) 3

Çözüm 2x+5

+

C) 36

D) 39

E) 312

Çözüm 2x+5

+

2x+5

=

3y–2

+

3y–2

99 + 999

3 ⋅ 2x+5 = 2 ⋅ 3y–2 2x + 5 3 y −2 = 2 3

9

3 + 33

⇒ 2x +5 −1 = 3 y −2−1

9

=

99 + (9 ⋅ 11)9 39 + (3 ⋅ 11)9

99 + 99 ⋅ 119 9

9

9

3 + 3 ⋅ 11

=

99 (1 + 119 ) 9

9

3 (1 + 11 )

=

(32 )9 3

9

=

318 39

= 39

⇒ 2x + 4 = 3 y −3

Doğru Seçenek D

x + 4 = 0

⇒

x = –4 ve

y – 3 = 0

⇒

y=3

bulunur. x ⋅ y = –4 ⋅ 3 = –12 dir.

444 − 44 Doğru Seçenek A

224 − 24


B) 4

C) 8

D) 16

YGS MATEMATİK

E) 32

223

Üslü Sayılar


DNA 18 2x 1 + 2x

1 4

=

olduğuna göre, A)

1 64

DNA 19

8

x

1 28

B)

C)

1 16

D)

1 4

E)

2x = 9

3y = 8



1+ 8x

1 2

A) 2

B) 5

C) 6

D) 8

E) 9

Çözüm 2x

=

1 + 2x

1 ⇒ 4 ⋅ 2x = 1 + 2x 4

Çözüm

4 ⋅ 2x − 2x = 1

⇒

⇒ 3 ⋅ 2x = 1 1 2 = 3

1+ 8

x

=

=

(23 )x 3 x

1 + (2 )  1   3

=

3

 1 1+   3

3

⇒

2 x = 32

3y = 8

⇒

3 y = 23

x

⇒ 8x

2x = 9

=

23 x 3x

1+ 2

x

=

(2x )3

(2 )

1 + (2x )3

x 2

1 27 = 1 1 28 1+ 27

y

xy

= 23 ⇒ 2 2 = 23 ⇒

A)


Işık 11

1 = 3x + 1 9

1 81

224

B)

xy =3 2

⇒ xy = 6

3x

olduğuna göre,

22 = 3

İkinci eşitlikte 3 yerine eşiti olan 2 2 yazıldığında,

Doğru Seçenek B

x

⇒

9x

9x + 1 1 18

YGS MATEMATİK

a, b, x, y ∈ R \ {0} olmak üzere, işleminin sonucu kaçtır? C)

1 65

D)

1 3

E)

ax = by 1 27

dir.

y

x

⇒ a = b x veya b = a y dir.


Üslü Sayılar

3a = 25

5x = 9

5b = 81

5y = 3

olduğuna göre, a ⋅ b çarpımı kaçtır? B) 8

A) 6

C) 15

x değeri kaçtır? y

olduğuna göre,

D) 125

E) 243 A)

1 3

B)

1 2

C) 2

D) 3

E) 6

Işık 12 ax < ay eşitsizliğinde;

DNA 20

3x = 4

3y = 8


0 < a < 1

ise

x > y dir.

1 < a

ise

x < y dir.

x değeri kaçtır? y

B) 3

C) 2

2 3

D)

E)

DNA 21

1 2

 1   2

x +2

 1 <   4

x −5

eşitsizliğini sağlayan en büyük x tam sayısı kaçtır? A) 7

Çözüm 3x = 4 3y = 8

⇒ ⇒

3 x = 22 3 y = 23 y

3x 32

⇒

3 =

⇒

x 2 = y 3

B) 9

C) 11

D) 12

E) 13

x

⇒ 32 = 2 ⇒ 3y = ⇒

( ) x 32

3

3x y= 2

Çözüm  1   2

x +2

 1 <   4

x −5

⇒ (2−1 )x + 2 < (2−2 )x −5 ⇒ 2− x −2 < 2−2 x +10 ⇒ − x − 2 < −2x + 10 ⇒ x < 12


12 den küçük olan en büyük tam sayı 11 dir. Doğru Seçenek C

YGS MATEMATİK

225

Üslü Sayılar


 1 3 x −2 <   3

0, 4 ⋅ 10−5 − 0, 5 ⋅ 10−6

x+4

eşitsizliğini sağlayan en büyük x tam sayısı kaçtır? B) –2

A) –3

10−5

C) –1

D) 0

E) 1

işleminin sonucu kaçtır? A) 0,35

B) 0,45

D) 3,5

C) 0,5

E) 4,5

DNA 22

TANIM

(0,25)2–x = 82x+1

1 ≤ p < 10 ve n ∈ Z olmak üzere herhangi bir r rasyonel

olduğuna göre, x ⋅ y kaçtır?

sayısının r = p ⋅ 10n biçiminde yazılmasına sayının standart şekli denir.

A) 0

Çok büyük veya çok küçük rasyonel sayıların yazılmasın-

C) −

B) –1

7 4

D) −

7 2

E) –2

da 10n çarpanından yararlanılır. 0,000432 = 4,32⋅10–4

Çözüm

4320000 = 4,32⋅106 gibi. 0, 25 =

DNA 22

25 1 1 = = = 2−2 olup, 100 4 22

(2–2)2–x = 82x+1 = (23)2x+1 ⇒ 2 –4+2x = 2 6x+3 eşit

0, 4 ⋅ 10−5 + 0, 5 ⋅ 10−6 10−6

–4 + 2x = 6x + 3 ⇒ –4 – 3 = 6x + (–2x)

işleminin sonucu kaçtır? A) 0,45

B) 0,54

D) 5,4

C) 4,5

E) 45

−7 = 4 x ⇒ −

7 =x 4


Çözüm 0, 4 ⋅ 10−5 + 0, 5 ⋅ 10−6 10

−6

=

0, 4 ⋅ 10−5 10

−6

+

0, 5 ⋅ 10−6 10−6

= 0, 4 ⋅ 10−5 −( −6 ) + 0, 5 ⋅ 10−6 −( −6 ) = 0, 4 ⋅ 10 + 0, 5 = 4 + 0, 5 = 4, 5 olur. Doğru Seçenek C


226

YGS MATEMATİK

(0,125)–x = (0,5)2x–1

B)

1 2

C)

1 3

D)

2 5

E)

1 5


Üslü Sayılar

TEST - 1

5.

1.

B) 48

C) 212

D) 223


(x + 2)x+2 = 1

B) {–2}

D) {–2, –1}



C) 10

4.


B)

C) {–1}

32 + 30 – 3–1

32 D) 3

E) 11

32 – 5 ⋅ 30 + 3–2

37 B) 9

E) 10

10 3

C) 4

D) 6

E)

15 2

E) {–3, –2, –1}

3.

29 B) 3

D) 9

82x = 165

A) 3

A) {–3}

C) 6

6.

gisidir?

B) 4

E) 28

2.

=1 27 x +3 eşitliğini sağlayan x sayısı kaçtır? A) 3

88 sayısının yarısı kaçtır? A) 84

32 ⋅ 92 x −1

38 C) 9

7.


A)

(a–2 + b–2)–1

1 2

a +b

8. 13 D) 3

41 E) 9

2

B)

1

2 2

a b

C)

a2 ⋅ b2 a2 + b2

E) a2 ⋅ b2

D) a2 + b2

2x – 3 = 8

olduğuna göre, 3x – 4 kaçtır? A) 1

B) 3

C) 9

D) 27

E) 81

YGS MATEMATİK

227

Üslü Sayılar

9.


5n + 5n + 5n + 5n + 5n = (55)5

olduğuna göre, n kaçtır?

A) 1

B) 4

C) 5

1

13.

D) 24

E) 25

2

x = (33)3

y = 3(3

z = 333

3

A) x < y < z

B) x < z < y

D) z < x < y

11.

15.

B) 5

C) 16

D) 25

E) 40

−3

B) y–2

D) y2

C) y

E) y3

sayısının eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

A) 21⋅10–6

16.

A) 4

228

E) 3

den eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

1.D

36 13

B) 21⋅10–7

D) 2,1⋅107

C) 21⋅10–8

E) 2,1⋅106

22 + 32 + 42 = k

olduğuna göre, 42 + 62 + 82 toplamının k cinsin-

D)

0,0000021

12.

1 36

E) y < x < z

2x+2 = 10x

A) 4

C)

ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) y–3

C) z < y < x

olduğuna göre, 52x değeri kaçtır?

13 36

  x −1  x      y  

14.

doğrudur?

B)

)

sayıları için aşağıdaki sıralamalardan hangisi

+ 3−2


10.

−2

B) 2 + k

D) 4 + k 2.C

3.B

YGS MATEMATİK

C) 2k

5.D

6.B

olduğuna göre, A kaçtır? A) 45

E) 4k 4.B

156 ⋅ 306 ⋅ 186 = A12

7.C

8.C

9.D

10.A

B) 50 11.C

12.E

C) 60 13.D

D) 75 14.A

15.B

E) 90 16.E


Üslü Sayılar

5.

TEST - 2

a ∈ R, a ≠ 1 olmak üzere,

1.


(–1)1 + (–1)2+ (–1)3 + ... + (–1)98 + (–1)99

A) 99

2.

B) 1

C) 0

D) –1

x100 sayısının aşağıdaki sayılardan hangisi ile

A) 100

3.

B) 1

D) –1


A) ax–y + ay–x

B) ax–y – ay–x

C) ax – ay

D) 1

6.

D) 7

15y = 32


7.

E) 11

B) 4

C) 5

D) 6

2x + 1 = y2

olduğuna göre, x + y toplamının en küçük değeri kaçtır? A) 5

B) 6

C) 7

D) 8

E) 9

x−y

4.


8.

A) x + y

denkleminin kaç tane kökü vardır?

E) 7

x, y ∈ Z+ olmak üzere,

C) 6

2x = 15

A) 3

E) –100

tam karedir? B) 5

E) 0

C) 0

nn sayısı, aşağıdaki sayılardan hangisi için bir

A) 3

E) –99

çarpımı (–x)100 sayısına eşittir?

(1 – ax–y)–1 + (1 – ay–x)–1

y −1 − x −1

B) x – y

D) xy

E) –xy

C) y – x

A) 0

2

(x – 2)25–x = 1

B) 1

C) 2

D) 3

YGS MATEMATİK

E) 4

229

Üslü Sayılar


a = 10 b

9.

olduğuna göre,

a + 105

b + 104

5 B) 4

A) 1

14 x + 18 x

13.

değeri kaçtır?

C) 4

D) 5

olduğuna göre, x aşağıdaki aralıklardan hangisinin bir elemanıdır?

E) 10

A) (–1, 0)

10.

ab ⋅ ac ⋅ (a2)b ⋅ (a3c)2 = ap


A) 3b + 7c

B) 21bc

D) 3b + 9c

D) (2, 3)

A = 2x

2

C) 10bc

(a + b) ⋅ 2b–a = 1

(a + b)a–b = 2

E) 18bc

olduğuna göre, a ⋅ b çarpımının pozitif değeri kaçtır?

–6x+5

A) 32

B) 2

1 D) 2

C) 1

1 4

15.

sayısının en küçük değeri kaçtır?

1 E) 16

22008 + 22009

A) 1 1.D

230

2.B

B) 2 3.C

YGS MATEMATİK

C) 3 4.D

D) 4 5.D

6.C

8.E

9.E

B) 12

2n+ 2 + 2n =

3 2

D) 2

E) 4

C) 24

D) 36

E) 48

5 4

olduğuna göre, n2 + (n + 2 )2 değeri kaçtır? A) 2

E) 6 7.B

C)

kaçtır?


3 4

olduğuna göre, 2x+3 ⋅ 3x+1 ⋅ 5x–2 çarpımının değeri

16.

22008 − 22007

B)

30x = 50

A) 6

12.

C) (1, 2)

E) (3, 4)

A)

11.

B) (0, 1)

14. a ve b sıfırdan farklı gerçek sayılar olmak üzere,

olduğuna göre, p nin b ve c türünden eşiti aşağı-

=6

7x + 9x

10.A

B) 4 11.E

C) 6 12.E

13.D

D) 8 14.B

E) 16 15.E

16.B

KÖKLÜ SAYILAR - BÖLÜM 07

KÖKLÜ SAYILAR

GİRİŞ

TANIM

Bir önceki bölümümüzde üslü sayıları detaylıca işledik.

a negatif olmayan bir gerçek sayı olmak üzere, karesi a

Üslü sayıları öğrenmiş olmanızı bir avantaj olarak değer-

olan ve negatif olmayan sayıya a nın karekökü denir ve

lendirecek ve bu bölümümüzü üslü sayılar üzerine kura-

bu sayı,

rak işleyeceğiz.

a

Kısaca hatırlatalım. a bir gerçek sayı ve n pozitif bir tam sayı olmak üzere,

ile gösterilir. Bunun doğal bir sonucu olarak, a = b ⇒ a = b2

a a4⋅2 a ⋅44 ...3 ⋅a 1⋅4 n tane a

ifadesini an ile göstermiştik. İlk başta n nin pozitif tam sayı değerleri için kullandığımız an gösteriminin anlamını n nin sıfır ve negatif değerleri için de genişleterek

2 0,

3–2,

olduğunu kolayca söyleyebiliriz. Örneğin, karesi 4 olan ve negatif olmayan sayı 2 olduğundan,

−3

2   gibi ifadelere anlam kazandırmıştık. 5 Doğal olarak, bundan sonra akla gelen ilk soru “an ifadesinin anlamını n nin rasyonel olma durumunu da kapsayacak şekilde genişletebilir miyiz?” olacaktır.

4 =2 dir. Ancak, karesi 3 olan ve negatif olmayan sayının kaç olduğunu bilmediğimiz için, bu sayı, 3

Bu soruya vereceğimiz cevap “Evet, genişletebiliriz!” Üslü sayı özeliklerini kullanarak “Hangi sayının karesi 4

olarak kalır. Ek olarak, 02 = 0 olduğundan,

tür?” sorusunu “2 veya –2” diye kolayca cevaplayabiliriz.

0 =0

Ancak sorumuzu “Hangi sayının karesi 2 dir?” diye sormuş olsaydık nasıl bir cevap vermemiz gerekirdi?

olduğunu da söylememizde fayda var.

Düşünelim! Karesi 2 olan sayıyı x ile gösterelim. Buna göre,

Not

x2 = 2 Bir yandan da amacımızın “üslü sayı” kavramını üssü rasyonel olacak şekilde genişletmek olduğunu unutmadan

a negatif olmayan bir gerçek sayı ise, 1

aşağıdaki adımları atalım. x2 = 2 ⇒ x ⋅ x = 2

a = a2 dir.

Tabanları aynı olan üslü sayıları çarparken üsleri topluyorduk. Bu kuralı korumak istediğimizden x için seçebile1

ceğimiz tek gösterim 2 2 gösterimidir. 1

1

1 1 + 2

x ⋅ x = 22 ⋅ 22 = 22

= 21 = 2

Uyarı a pozitif gerçek sayı olsun. a >0

Güzel! Hem üssü rasyonel yaptık, hem de üslü sayılardaki kuralı bozmadık. Bundan sonra gösterimde kolaylık sağ1

laması bakımından a 2 yerine

a ifadesini kullanacağız.

olduğuna dikkat ediniz.

YGS MATEMATİK

231

Köklü Sayılar

Köklü Sayılar - Bölüm 07

DNA 1 2⋅ 4 + 4⋅ 9

1 + 25



1 2

B)

1 + 225

16 + 4

1 3

C) 1

D)

7 6

E)

13 10

A)

8 5

B)

16 11

C)

4 3

D)

8 7

E) 1

Çözüm DNA 2

12 = 1

52

= 25 olduğundan,

25 = 5

42 = 16 olduğundan,

16 = 4

22 = 4

4 =2


olduğundan,

olduğundan,

1=1

63 + 4 − 9

A) 6

dir.

B) 7

C) 8

D) 9

E) 10

Bu değerleri yerine yazarsak, 1 + 25

=

16 + 4

1+ 5 6 = =1 4+2 6

Çözüm

buluruz. Doğru Seçenek C

En içteki

işaretinden başlayarak işlemlerimizi yapa-

lım. 32 = 9 olduğundan,

9 = 3 tür.

63 + 4 − 9 = 63 + 4 − 3 = 63 + 1 12 = 1 olduğundan,

1 = 1 dir.

63 + 1 = 63 + 1 = 64

82 = 64 olduğundan,

49 − 25 = a

Doğru Seçenek C


232

B) 4

YGS MATEMATİK

C) 9

64 = 8 dir.

D) 16

E) 25


Köklü Sayılar

2+ 2+ 4

Karekökü 2 olan sayının küpü kaçtır?


A) 1

C) 3

A) 4 D) 4

C) 64

B) 16

D) 128

E) 256

E) 5

Karekökü 1 olan sayı ile karekökü 4 olan sayının kare81 +

lerinin toplamı kaçtır?

16 + 16

A) 3

B) 5

C) 9

E) 257

D) 17


C) 3

B) 2

D) 4

E) 5

DNA 4 DNA 3 Karekökü 3 olan sayının karesi kaçtır? A) 9

B) 27

2 =x

C) 36

D) 81

olduğuna göre, x4 + x8 kaçtır? E) 243

A) 6

B) 20

C) 80

D) 90

E) 272

Çözüm

Çözüm

işaretinin tanımından,

Karekökü 3 olan sayıya x diyelim.

a = b ⇒ a = b2

x = 3 ⇒ x = 32 = 9 olduğunu biliyoruz.

dur.

Buradan,

9 un karesi,

2 =x ⇒

92 = 81

2 = x2


⇒

2 = x2

⇒ 2 = ( x 2 )2

2 = x 2⋅2 = x 4

buluruz.

YGS MATEMATİK

233

Köklü Sayılar


Üslü sayı bilgilerimizden,

DNA 5

x8 = x4⋅2 = (x4)2 = 22 = 4

1

elde ederiz.

Bu değerleri yerine yazarsak,

1

42 + 92


x4 + x8 = 2 + 4 = 6

B) 6

C) 8

D) 9

E) 13

buluruz. Doğru Seçenek A

Çözüm

1

42 = 4 = 2 1

92 = 9 = 3 buluruz. 3 =x

1

5 =y

tir.

olduğuna göre, x4 + y8 kaçtır? A) 8

1

42 + 92 = 2 + 3 = 5

B) 14

C) 27

D) 28

E) 34

işaretini hiç kullanmadan üslü sayı bilgilerimizle şu şekilde çözüm yapabilirdik. 1

1

1

1

4 2 + 9 2 = (22 ) 2 + (32 ) 2  1 2⋅

 1 2⋅

    = 2 2  + 3 2 

= 21 + 31 = 2+3 = 5 Karekökünün karesi 3 olan sayı ile karekökünün karekökü 2 olan sayının toplamı kaçtır? A) 5

234

B) 13

YGS MATEMATİK

C) 19

D) 97

E) 131

tir. Doğru Seçenek A


Köklü Sayılar

Buradan, 1 1

1

3 ⋅ 5 = 32 ⋅ 52

1

49 2 − 25 2

1

= (3 ⋅ 5 ) 2


A) 1

C) 3

D) 4

1

E) 5

= 15 2 = 15 buluruz. Doğru Seçenek D

1

x2 = 3

olduğuna göre, x kaçtır? A)

3

B)

3

8⋅ 2

C) 3

D) 9

E) 81


B) 4

C) 6

D) 8

E) 16

D) 34

E) 35

DNA 6

3⋅ 5 3 ⋅ 27 + 5 ⋅ 125

işleminin sonucu kaçtır? A) 3 5 B) 5 3

C)

işleminin sonucu kaçtır? 8

D)

15

E) 8

A) 8

B) 14

C) 28

Çözüm 1

3 = 32 5=

DNA 6’dan sonra, kolayca elde edebileceğiniz aşağıdaki IŞIK’ı verebiliriz.

1 52

Işık 1

olduğunu biliyoruz. Üslü sayıları işlerken, n ∈ N+ için,

a ile b negatif olmayan gerçek sayılar ise, a ⋅ b = a ⋅b

an ⋅ bn = (a ⋅ b)n olduğunu zaten öğrenmiştik. Bu kuralın n nin rasyonel olması durumunda da geçerli olmasına izin vereceğiz.

dir.

YGS MATEMATİK

235

Köklü Sayılar


IŞIK 1’deki eşitlikte b yerine a yazarsak,

Çözüm

2

a ⋅ a = a⋅a = a = a

IŞIK 2’den, 14

elde ederiz. Burada a > 0 olduğuna dikkat ediniz.

7

Üslü sayıları işlerken, tanımlı olduğu değerler için, ax

a =  x b b

=

14 = 2 7

Buna göre,

x

14 7

⋅ 2 = 2⋅ 2 = 2⋅2

olduğunu öğrenmiştik.

(IŞIK 1)

= 4

Benzer olarak,

a b

=

1 a2 1 b2

=2 1  a 2

a =  = b b


yazılabilir. (b ∈ R+, a ∈ R+ ∪ {0})

Işık 2

27

a negatif olmayan bir gerçek sayı ve b pozitif bir gerçek sayı ise,

3

+ 8⋅ 2

işleminin sonucu kaçtır? a b

=

a b

A) 7

B) 8

C) 10

D) 16

E) 25

dir.

DNA 7 14 7

⋅ 2

20


2

B) 2

C)

8

D) 4

E)

32

YGS MATEMATİK

:

30 6


236

2

2

B)

3

C) 2

D)

5

E) 3


Köklü Sayılar

Harfli ifadelerde toplama ve çıkarma işlemlerini daha ön-

Çözüm

ceki yıllarda öğrenmiştiniz.

IŞIK 1’den,

2 ⋅ a + 3 ⋅ a = (2 + 3) ⋅ a = 5 ⋅ a

18 = 2 ⋅ 9 = 2 ⋅  9 = 3⋅ 2 3

5 ⋅ x – 3 ⋅ x + 4 ⋅ x = (5 – 3 + 4) ⋅ x = 6 ⋅ x

32 = 2 ⋅ 16 = 2 ⋅  16 = 4 ⋅ 2

işlemleri sizlere çok âşinâdır.

4

Buna benzer bir şekilde,

50 = 2 ⋅ 25 = 2 ⋅  25 = 5 ⋅ 2 5

2 ⋅ elma + 3 ⋅ elma = 5 ⋅ elma IŞIK 3’ten, 7 ⋅ altın – 2 ⋅ altın = 5 ⋅ altın

18 + 32 − 5 = 3 ⋅ 2 + 4 ⋅ 2 − 5 ⋅ 2

eşitlikleri nasıl doğru oluyorsa, elma ve altın yerine yazıla-

= (3 + 4 − 5 ) ⋅ 2

cak herhangi bir köklü sayı için, yine aynı eşitlikler doğru

= 2⋅ 2

olur. buluruz.

2⋅ a + 3⋅ a = 5⋅ a

Doğru Seçenek B

7⋅ b − 2⋅ b = 5⋅ b dir. Bunu bir IŞIK olarak verebiliriz.

Işık 3

12 + 27 − 48


a negatif olmayan bir gerçek sayı, x, y ve z gerçek sayılar ise,

3

B) 2 3

D) 4 3

C) 3 3

E) 5 3

x ⋅ a + y ⋅ a − z ⋅ a = ( x + y − z) ⋅ a dır.

DNA 8 a pozitif bir gerçek sayı olduğuna göre,

18 + 32 − 50

4a + 9a


2

B) 2 ⋅ 2

D) 4 ⋅ 2

C) 3 ⋅ 2

E) 5 ⋅ 2

36a − 25a


B) 4

C) 5

D) 6

YGS MATEMATİK

E) 7

237

Köklü Sayılar


Not

DNA 9

b negatif olmayan bir gerçek sayı ve a bir gerçek sayı

1

iken,

2

+2 2


a⋅ b

A)

ifadesini bundan sonra, “⋅” işareti olmadan,

3 2 2

a b

B) 2 2

D) 3 2

C)

E)

5 2 2

7 2 2

biçiminde yazacak ve bu ifadeyi “a kök b” diye okuyacağız.

Çözüm

Üslü sayıları işlerken,

IŞIK 4’ten, a−1 =

1 a

1 2

IŞIK 3’ten,

Bu eşitliğe benzer olarak,

a

=

2 1 = ⋅ 2 2 2

buluruz.

olduğunu öğrenmiştik.

1

=

−

1 1

1

1

=a 2

2

+2 2 =

a2 1

= a2

−1

=

1 a2 1

a

1 2+2 2 2

1  = 2 ⋅  + 2 2  =

a a

= 2⋅

yazılabilir.

=

5 2

5 2 2


Işık 4

3

a pozitif bir gerçek sayı ise, 1 a dır.

238

YGS MATEMATİK

=

a a

3

+ 3+

6 3

işleminin sonucu kaçtır? A) 2 3

B) 3 3

D) 5 3

C) 4 3

E) 6 3


Köklü Sayılar

Çözüm 2

+ 3−

3

4

( 2 2 + 3 ) ⋅ (3 3 − 2 )

3


3 3

D)

= 2 2 ⋅3 3 − 2 2 ⋅ 2 + 3 ⋅3 3 − 3 ⋅ 2

2 3 3

B)

4 3 3

E)

C)

3

= 2⋅3⋅ 2⋅3 − 2⋅ 2⋅2 + 3⋅ 3⋅3 − 3⋅2 = 6 6 − 2⋅2 + 3⋅3 − 6

5 3 3

= 6 6 − 6 −4+9 = 5 6 +5

Doğru Seçenek A

Harfli ifadeleri işlerken, (a + b) ⋅ (c – d) = ac – ad + bc – bd gibi işlemler yapabilmeyi önceki yıllarda öğrenmiştiniz. Yukarıdaki işlemde, a, b, c, d yerine herhangi köklü ifadelerin getirilmesi halinde yine durum değişmez. Yani;

(2 2 − 3 ) ⋅ (2 2 + 3 )


B) 8

C) 9

D) 11

E) 13

( x + y)⋅( z − t) = xz − xt + yz − yt dir.

DNA 10

( 2 2 + 3 ) ⋅ (3 3 − 2 )


işleminin sonucu kaçtır? A) 5 6 + 5

B) 5 6 + 6

D) 6 6 + 4

(2 + 2 ) ⋅ (2 + 3 ) − 2 3 − 6

C) 6 5 + 5

E) 7 6 + 13

A) 4 + 2 3

B) 4 + 2 2

C) 4 + 2 + 6

D) 6 + 2 2

E) 6 + 4 2

YGS MATEMATİK

239

Köklü Sayılar


Bu değerleri yerine yazarsak,

Hatırlatma

(2 + 3 )2 + (2 − 3 )2 (2 + 3 )2 − (2 − 3 )2

(a + b)2 = a2 + b2 + 2ab

(a – b)2 = a2 + b2 – 2ab

a2 – b2 = (a – b) ⋅ (a + b)

=

=

=

=

DNA 11

(7 + 4 3 ) + (7 − 4 3 ) (7 + 4 3 ) − (7 − 4 3 ) 7+ 4 3 +7− 4 3 7 +4 3− 7 +4 3 7 4 3

=

=

14 8 3

7 1 ⋅ 4 3

7 3 7 3 ⋅ = 4 3 12

buluruz. Doğru Seçenek E

(2 + 3 )2 + (2 − 3 )2 (2 + 3 )2 − (2 − 3 )2


4 3 7

D)

B)

6 3 7

7 3 4

E)

C)

11 3 14

7 3 12

( 3 + 2 )2 − ( 3 − 2 )2

( 3 + 2 )2 + ( 3 − 2 )2


Çözüm (a  b)2 = a2 + b2  2ab

2 6 5

D)

B)

3 6 5

5 6 3

E)

C)

4 6 5

5 6 2

olduğundan, (2 + 3 )2 = 22 + ( 3 )2 + 2 ⋅ 2 ⋅ 3 = 4 +3 + 4⋅ 3 =7+4 3 (2 − 3 )2 = 22 + ( 3 )2 − 2 ⋅ 2 ⋅ 3 = 4 +3 − 4⋅ 3 =7−4 3 tür.

A = (2 − 3 )2 + (2 + 3 )2


240

YGS MATEMATİK

B) 3

A + 2 kaçtır? C) 4

D) 5

E) 6


Köklü Sayılar

DNA 12



14

B)

D)

6+2 5 − 6−2 5

4+ 7 + 4− 7

17

26

C) E)

22

A) 2

B)

5

E) 2 5

D) 3 2

30

C) 4

Çözüm Bulmamız gereken ifadeye A diyelim ve her iki tarafın ka-

DNA 13

resini alalım.

(

4+ 7 + 4− 7

⇒

(

4+ 7

⇒

4+

) +( 2

7 +4−

)

2

4− 7

= A2

)

2

x2 + 4 − x = 1

+ 2 ⋅ 4 + 7 ⋅ 4 − 7 = A2

7 + 2 ⋅ ( 4 + 7 ) ⋅ (4 4 − 7 ) = A2

⇒ 8 + 2 ⋅ 14243 42 − ( 7 )2 = A 2 16 – 7 = 9


B) 2

tür.

D) 4

E) 5

(a – b) ⋅ (a + b) = a2 – b2

⇒ 8 + 2 ⋅ 3 = A 2 ⇒ A 2 = 14 A = 14

C) 3

Çözüm

⇒ 8 + 2 9 = A2

⇒

x2 + 4 + x kaçtır?

olduğunu hatırlayalım.

veya A = − 14

x2 + 4 + x = A

tanımından, A > 0 olması gerektiğinden, diyelim ve

A = 14

x2 + 4 − x = 1

tür. Doğru Seçenek A

eşitliğiyle taraf tarafa çarpalım. ( x2 + 4 + x ) ⋅ ( x2 + 4 − x ) = A ⋅ 1 ⇒ ( x 2 + 4 )2 − x 2 = A ⋅ 1

3−2 2 + 3+2 2


x2 + 4 − x2 = A

⇒

A=4

buluruz.

B) 3

D) 2 3

⇒

E)

C)

10

Doğru Seçenek D

13

YGS MATEMATİK

241

Köklü Sayılar


Özel olarak, n = 2 ise, 2a 2

x + 12 − x = 2


a

yazılması tercih edilir.

x2 + 12 + x kaçtır?

B) 3

yerine

C) 4

Daha açığı, “ikinci dereceden kökü” ile “karekökü” ifadele-

D) 6

E) 8

ri aynı anlama gelir.

TANIM n, 2 den büyük bir tek sayı olmak üzere, n yinci kuvveti a olan gerçek sayıya, a nın n yinci dereceden kökü denir ve bu sayı,

na

a + a2 +1 = 1 ile gösterilir.

olduğuna göre, a − a2 + 1 kaçtır? B) −

A) –1

1 2

C) 0

D)

1 2

Özel olarak, n = 3 ise, “a nın üçüncü dereceden kökü” E) 1

yerine “a nın küp kökü” demek tercih edilir.

Uyarı na

Artık

ifadesinde n ∈ {2, 3, 4, ...} tür. Yani,

işaretini biraz daha genelleştirme vaktimiz gel-

di.

1 4, 0 3, −2 5

gibi gösterimler anlamsızdır.

Zira, “Karesi 2 olan pozitif sayı kaçtır?” sorusunu “ 2 dir.” diye cevapladığımız halde, “Küpü 2 olan sayı kaçtır?” sorusunu şu an cevaplandıramıyoruz. Bunu ve bu türden

Bu iki tanımdan şunu anlıyoruz. Kök derecesi çift olan sayıların tanımlı olabilmesi için, kö-

olan diğer soruları cevaplandırabilmek için aşağıdaki ta-

kün içerisi sıfırdan büyük veya sıfıra eşit olmalıdır.

nımı veriyoruz.

Şimdi bunu IŞIK olarak verelim.

TANIM

Işık 5

n bir pozitif çift tam sayı olmak üzere, n yinci kuvveti a

n ≥ 2 ve n bir doğal sayı olmak üzere,

olan, negatif olmayan gerçek sayıya, a nın n yinci dere-

i)

tir.

ceden kökü denir ve bu sayı, na

ile gösterilir.

242

YGS MATEMATİK

n tek ise n a ifadesi her zaman gerçek sayı belir-

ii)

n çift sayı ise n a ifadesinin gerçek sayı belirtmesi için a ≥ 0 olmalıdır.


Köklü Sayılar

DNA 14

x−2

x−3 +48−x

+ 7− x −3

ifadesinin bir gerçek sayı belirtmesini mümkün kılan x

ifadesinin bir gerçek sayı belirtmesini mümkün kılan x tam sayılarının toplamı kaçtır? A) 9

B) 8

C) 7

D) 6

tam sayılarının toplamı kaçtır? B) 33

A) 34 E) 5

C) 32

D) 23

E) 22

Çözüm IŞIK 5’ten,

a bir negatif gerçek sayı iken, n nin pozitif çift sayı olma-

x − 2 ifadesinin bir gerçek sayı belirtmesi için,

ması koşuluyla, n a ifadesini, aşağıdaki IŞIK 6’da göste-

x–2≥0 ⇒ x≥2

rildiği gibi üslü sayı biçiminde yazabilirsiniz. Bu sayede,

olmalıdır.

köklü sayı sorularının bir çoğunu, üslü sayı bilgilerinizle

Ayrıca; 7− x −3 ifadesinin bir gerçek sayı belirtmesi için

çözebilirsiniz.

de; 7 – x ifadesi bir pozitif tek sayı olmalıdır.

Işık 6

Dolayısıyla, x ∈ {4, 2, 0, –2, ...} dir. x ≥ 2 ve x ∈ {4, 2, 0, –2, ...}

a ∈ R ve n, 1 den büyük bir tek sayı ise,

koşullarının ikisini birden sağlayan x değerleri 4 ve 2 olup, bu iki sayının toplamı,

na

1

= an

dir. a ∈ R+ ∪ {0} ve n, 1 den büyük bir çift sayı ise, 4+2=6

dır.

1

na

= an

na

= an

dir. Doğru Seçenek D IŞIK 6’daki 1

ifadeleri yerine,

n m

6 − x + x −1 −2

a

ifadesinin bir gerçek sayı belirtmesini mümkün kılan x değerlerinin toplamı kaçtır? A) 15

B) 12

C) 11

D) 10

E) 6

m

= an

ifadelerini de getirebiliriz. Şimdi, IŞIK 6’nın ikinci kısmındaki a ∈ R+ ∪ {0} şartının neden olması gerektiğini gösterelim.

YGS MATEMATİK

243

Köklü Sayılar


1

1

32

2

2

3 6 2 4 2 = 6 ( −2)2

= 23 = 26 =

2

5

= ( −2) 6

1

3

6 7 = ( −2) 3 = 3 −2

4 x 4 sayısı, x3 sayısının kaç katıdır?

B) 4 x3

A) x

Yukarıdaki işlemde bir hata olduğu kesin.

C) 7 x 6 E) 6 x7

D) 12 x7

Çünkü, 32

= 3 −2

olamaz.

DNA 16

Hata, 5 adımında yapılmıştır. 5 adımında, IŞIK 6’daki a ∈ R+ ∪ {0} şartı çiğnenmiştir.

32 x + y + 3 9 x −2

DNA 15

= 3

olduğuna göre, y kaçtır? A) –6

B) –3

C) 2

D) 3

E) 6

2 ⋅3 2 62

Çözüm

işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? A) 6 4

B) 3 4

C) 6 2

D) 3 2

E)

2

3

2 x + y +3 2 x −2 9 2

Çözüm 2 ⋅3 2 62

=

1 22

1 ⋅ 23

1 26

=

⇒ 3 1 1 + 22 3 1 26

=

5 26 1 26

=

5 1 − 26 6

=

2 23

Doğru Seçenek B

x+

(3

y +3 − x +2 2

⇒

y+3 1 +2= 2 2

⇒

y+3 3 =− 2 2

⇒

y + 3 = −3

⇒

y = −6

3

= 22 = 3 4

x+

=

3

2

y +3 2

x −2 ) 2

=

3

x+

y +3 2

3 x −2

= 3

1

= 32

Doğru Seçenek A

33⋅43

4x +2

3


244

B) 6 3

YGS MATEMATİK

C) 9 3

D) 12 3

3 3 x −6

2

= 2x +5

olduğuna göre, x kaçtır? E) 24 3

A) –2

B) –1

C) 0

D) 1

E) 2


Köklü Sayılar

Çözüm 4x + 4x + 4x + 4x

=

3x + 3x + 3x

9 16

Köklerin dereceleri birbirinden farklı, önce kök derecelerini eşit hale getirelim. 2, 3 ve 6 nın OKEK’i 6 olduğundan, dereceler 6 da eşitlenir.

olduğuna göre, x kaçtır? B) –5

A) –6

C) –4

1 D) − 5

2 E) − 5

2

a = 2 = 21 = 3

b = 31 =

c = 67

3⋅2 1⋅3

= 68

2

3⋅2 1 ⋅2

3

= 69

7 < 8 < 9 olduğundan, 67

⇒

Köklü sayılarda sıralama yapılırken kök dereceleri eşitse

< 68 < 69 c < a < b dir. Doğru Seçenek B

kökün içine bakılıp sıralama yapılır (içi büyük olan büyüktür). Kök dereceleri eşit değilse dereceler eşitlenerek sıralama yapılır. Peki dereceler nasıl eşitlenir? Eşitlemeyi IŞIK 7 yardımıyla yaparız.

x= 3

y=34

z = 6 25

olduğuna göre, x, y, z nin küçükten büyüğe doğru sı-

Işık 7

ralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

k ∈ Z+ olsun. n m

a

=

k⋅n k⋅m

A) x < y < z

B) x < z < y

C) y < x < z

D) y < z < x

a

E) z < x < y

.................................................................................... Hem derece hem üs pozitif bir k tam sayısıyla çarpılırsa sonuç değişmez.

DNA 17 x=

a= 2

b = 33

c = 67

olduğuna göre, a, b, c nin küçükten büyüğe doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir? A) c < b < a

B) c < a < b

D) b < a < c

C) b < c < a

E) a < b < c

1 2

y=

1 34

z=

1 6 10

olduğuna göre, x, y, z nin küçükten büyüğe doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir? A) x < y < z

B) x < z < y

C) y < x < z

D) y < z < x

E) z < x < y

YGS MATEMATİK

245

Köklü Sayılar


( −2)2 = −2 4 ( −3)4

= −3

Aşağıdaki önermelerden hangisi ya da hangileri dai-

gibi hatalar, kökü sayılarda işlem yaparken, düşme olasılığı en yüksek olan hatalardır. Bu hataya düşmemeniz için IŞIK 8’i veriyoruz.

Işık 8

x

I. x2 = 9 ⇒ |x| = 3

2 II. 16 − ( −2) = 6

n ∈ Z+ ve x ∈ R olmak üzere, 2n 2n

ma doğrudur?

III.

( −3)2 ⋅ 22 = −6

A) Yalnız I

=|x|

D) I ve II

tir.

B) Yalnız II

C) Yalnız III E) I, II ve III

Örneğin, x 2 = | x |,

4 4

x = | x |, ...

DNA 18 Aşağıdaki eşitliklerden hangisi ya da hangileri

Aşağıdaki işlemlerden hangisi veya hangilerinin so-

doğrudur?

nucu 6 dır?

I. − 9 = −3

2 II. ( −2) = −2

2

III. ( −3) + 9 = 6

A) I, II ve III

B) I ve III

D) Yalnız II

C) Yalnız I

E) Yalnız III

I. ( −2)2 + 4 + 2

II. ( −3)2 ⋅ ( −2)2

III.

( −4)2 ⋅ ( −3)2 4

A) Yalnız I

Çözüm

B) II ve III C) I ve III D) I ve II E) I, II ve III

− 9 = −( 9 ) = −3 I doğru

DNA 19

( −2)2 = | −2 | = 2 II yanlış ( −3)2 + 9 = | −3 | + 9 = 3 + 3 = 6 III doğru Doğru Seçenek B

246

YGS MATEMATİK

( 5 − 2)2 + ( 5 − 3)2

işleminin sonucu kaçtır? A) − 5

D)

B) –1 5

C) 1

E) 2 5 − 5


Köklü Sayılar

Çözüm IŞIK 8’den,

( −4)2 − 3 ( −3)3 + 3 64

( 5 − 2)2 + ( 5 − 3)2 =

5 −2 +

=

5 − 2 − ( 5 − 3)

=

5 −2− 5 +3


5 −3

 5 > 4 = 2    5 < 9 = 3  

A) 5

B) 6

C) 8

E) 11

D) 9

DNA 20

=1 buluruz.

a > 0 ve b < 0 olduğuna göre, Doğru Seçenek C

(2b − a)2 − a2 − 2ab + b2

ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) –3b

DNA 19’un Genetik Kopya’larından önce, IŞIK 8’in daha da genişletilmiş bir hali olan IŞIK 9’u verelim.

B) –b

D) –b – 2a

C) –b – a

E) –a

Çözüm

Işık 9

(2b − a)2 − a2 − 2ab + b2 = (2b − a)2 − (a − b)2 = | 2b − a | − | a − b |

a bir gerçek sayı, n, 1 den büyük bir tam sayı olmak üzere, | a | , a = a ,

n n

a > 0 ve b < 0 ⇒

n çift ise n tek ise

|2 b2 −3 a|−|a −b|  1 +

−

= −2b + a − a + b

dir.

= −b

Örneğin,

3 ( −2)3

dir.

= −2 dir.

Doğru Seçenek B

x < 3 olduğuna göre, 2

( 3 − 2)

+4(

4

3 − 1)

− 3 −8


D) –3

B) 3

x 2 − 6 x + 9 + 3 ( x + 1)3

ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? C) –1 E) −2 3

A) 2x + 2

D) –4

B) 2x – 2

E) 4

C) –1

YGS MATEMATİK

247

Köklü Sayılar


1 1 1 + + 16 25 10

x < 0 < y olduğuna göre,

x 2 − 2xy + y 2 + 3 ( x − y )3


ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) 2x

B) –2y

A)

1 2

B)

9 20

C)

2 5

D)

7 20

E)

3 20

E) 0

D) 2y – 2x

C) 2x – 2y

DNA 21 1 1 1 + − 16 9 6

ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) −

1 1 B) − 12 6

C)

1 4

D)

1 6

1 1 1 + − 25 9 30

E)

1 12


2 15

Çözüm

D)

B) − 2 15

1 15

C)

E)

1 15

2 225

Hatırlatma Bir a sayısının yaklaşık değerini rasyonel olarak bilirsek,

(x – y)2 = x2 + y2 – 2xy

2a, 2

2

1 1 1  1 1 1  1 1  1 + − =   +   − 2⋅ ⋅ =  −  16 9 6  4  4 3 4 3 3 1 1 1  1 1 + − =  −  16 9 6 4 3

⇒

=

2

gibi sayıların da yaklaşık değerlerini bulabiliriz.

2

DNA 22

1 1 −1 1 − = = 4 3 12 12

Aşağıdakilerden hangisinin yaklaşık değeri bilinir-

(3 ) ( 4 )

se,

olur.

A) Doğru Seçenek E

248

YGS MATEMATİK

3 3 3 a, a2 , a , ... 2 4

180 sayısının yaklaşık değeri hesaplanabilir? 2

D)

B) 6

3 E)

C) 15

5


Köklü Sayılar

Şimdi de IŞIK 3’ün daha da genelleştirilmiş şekli olan

Çözüm 180 90 45 15 5 1 Demek ki,

2 2 3 3 5

IŞIK 10’u verelim.

180 = 22 ⋅ 32 ⋅ 5 = 2 ⋅ 3 ⋅ 5

Işık 10

=6 5

Tanımlı olduğu değerler için, 5 sayısının yaklaşık değerini bilirsek,

180

sayısının yaklaşık değerini hesaplayabiliriz.

x ⋅ n a + y ⋅ n a − z ⋅ n a = ( x + y − z) ⋅ n a dır.

Doğru Seçenek C

DNA 23

3 250

− 3 54 − 3 16

işleminin sonucu kaçtır? Bir öğrenci

7 sayısının yaklaşık değerini bilmektedir.

Buna göre, bu öğrenci aşağıdaki köklü sayılardan

B) 3 2

A) 0

C) 23 2

E) 3 5

D) 33 2

hangisinin yaklaşık değerini bulabilir? A)

360

D)

B)

270

252

E)

C)

135

180

Çözüm 3 250

3

= 21 ⋅ 53 = 5 ⋅ 3 2 3

3 54

= 21 ⋅ 33 = 3 ⋅ 3 2

3 16

= 21 ⋅ 23 = 2 ⋅ 3 2

3

⇒

3 250

− 3 54 − 3 16

⇒

5⋅3 2 −3⋅3 2 − 2⋅3 2

⇒

( 5 − 3 − 2) ⋅ 3 2 = 0 ⋅ 3 2 = 0

432 sayısının yaklaşık değerini hesaplayabilmek için, aşağıdakilerden hangisinin yaklaşık değeri bilinmelidir? A)

2

B)

3

C)

5

D)

6

E)

Doğru Seçenek A

7

YGS MATEMATİK

249

Köklü Sayılar


Çözüm 3 54

+ 3 250 − 3 432

a4 ⋅ b−3 a−6 ⋅ b−5

işleminin sonucu kaçtır? A) 3 ⋅ 3 2

B) 2 ⋅ 3 2

D) 0

=

10

a4 ⋅ b−3 a−6 ⋅ b−5

2

= a10 ⋅ b2 = a 2 ⋅ b 2 = a5 ⋅ b

C) 3 2

Doğru Seçenek C

E) −3 2

18 ⋅ 20 10

4 48

+ 4 243 + 4 1875

ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?

43

A) 9

B) 8


B) 8

D) 10

C) 9

C) 6

D) 5

E) 4

E) 12

Işık 11 n

a ve

n

3

b ifadeleri tanımlı olmak üzere, n a ⋅n b na nb

=n

= n ab

5 3 63 ⋅ 4 5 32


a b

B) 3

A) 4

C) 2

D)

1 2

E)

DNA 24 DNA 25

a ve b pozitif gerçek sayılar olmak üzere, a4 ⋅ b−3

0,16 − 0, 04

a−6 ⋅ b−5

ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) a4b2

250

B) a5b2

D) a4b

YGS MATEMATİK

E) a3b

0, 36 + 0,16


C) a5b A)

1 5

B)

3 2

C)

3 4

D) 1

E) 2

1 4


Köklü Sayılar

Çözüm 0,16 − 0, 04 0, 36 + 0,16

DNA 26 =

16 4 − 100 100 = 36 16 + 100 100

4 2 − 10 10 = = 6 4 − 10 10

2 10 2 10

16 4 − 100 100 36 16 − 100 100

x= 2

y= 5

z= 3

0,03 sayısının x, y, z türünden

olduğuna göre,

değeri aşağıdakilerden hangisidir?

=1

A)

x 2

y z

bulunur.

y B) x 2 z2

D)

z xy

z

C)

E)

x2 y2

z xy 2

Doğru Seçenek D

Çözüm 0, 03 =

3 3 3 = = 100 100 10

x = 2 ve y = 5

1, 69 + 1, 21

⇒

x ⋅ y = 10

⇒

x 2 y 2 = 10 ve z = 3

0, 81 − 0, 49

işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? A) 14

B) 13

C) 12

D) 11

4 5

a= 2

b= 3

c= 5

3,6 ifadesinin a, b, c türünden de-

ğeri aşağıdakilerden hangisidir?

0, 9

B)


olduğuna göre,

+ 4 0, 0016

A)


x2 y2

E) 10

3 0, 008

z

olduğundan cevap

C)

3 5

D)

2 5

E)

1 5

ab2 c

D)

B) ab 2

c

a 2b c

C)

E)

a 2b 2 c

c a 2b

YGS MATEMATİK

251

Köklü Sayılar


ab iki basamaklı bir sayı olmak üzere, x = ab

y = 10

ve


0,0ab ifadesinin x ve y türünden de-

olduğuna göre,

ğeri aşağıdakilerden hangisidir? A)

x

2

y

B)

3

D)

( 7 − 3 )2009 ⋅ ( 7 + 3 )2009

x

C)

3

y

2

x y

E)

A) 42008

D) 24020

x3 y

B) 22009

C) 24018 E) 44018

x3 y2

DNA 27 ( 5 − 2)2008 ⋅ ( 5 + 2)2009



B)

5 − 2

D) 2 − 5

( x − 3 ) ⋅ ( x + 3 ) − x2

C)

5 +2

E) –1

A) –3

B) x2 – 3

D) 3 – x

E) 3

C) x – 3

Çözüm ( 5 − 2)2008 ⋅ ( 5 + 2)2009 = ( 5 − 2)2008 ⋅ ( 5 + 2)2008 ⋅ ( 5 + 2)1 = (144 5 −4 2)2 ⋅ (444 5 +3 2)    2 2   ( 5 −2 )

2008

= (5 − 4)2008 ⋅ ( 5 + 2) 2008

=1

DNA 28

⋅ ( 5 + 2)

⋅ ( 5 + 2)

82

= A olduğuna göre,

(8 2 + 1) ⋅ ( 4 2 + 1) ⋅ ( 2 + 1)

ifadesinin A türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

= 5 +2

A) A – 1


252

YGS MATEMATİK

D)

B) A + 1 1 A +1

E) 2A

C)

1 A −1


Köklü Sayılar

Çözüm ( 4 6 − 1) ⋅ ( 4 6 + 1) ⋅ ( 6 + 1) 5

(8 2 + 1) ⋅ ( 4 2 + 1) ⋅ ( 2 + 1) = B

olsun.


Her iki tarafı (8 2 − 1) ile çarpalım.

A) 8 2 − 1) ⋅ (8 2 + 1) ⋅ ( 4 2 + 1) ⋅ ( 2 + 1) = B ⋅ (8 2 − 1) (1 44 42444 3

6 5

B) 1

C)

1 5

D)

1 4

1 2

E)

( 4 2 −1)

4 2 − 1) ⋅ ( 4 2 + 1) ⋅ ( 2 + 1) = B ⋅ (8 2 − 1) ⇒ (1 44 42444 3 2 −1

EŞLENİK

⇒ (14 2 −412 )( 44 2 −3 1) = B ⋅ (8 2 − 1)

a + b irrasyonel sayısını,

2−1

a − b irrasyonel sayısı ile

çarpalım. ⇒

2 − 1 = B ⋅ (8 2 − 1)

( a + b ) ⋅ ( a − b ) = ( a )2 − ( b )2 = a − b ∈ Q

1 = B ⋅ ( A − 1)

Yani,

a + b irrasyonel sayısını

a − b irrasyonel

sayısı ile çarptığımızda sonuç bir rasyonel sayı olur. Ras1 =B A −1

yonel sayılar kümesine geçiş yapmamızı sağlayan söz konusu


a − b sayılarını sık sık kullanacağımız için bu tür

sayılara bir isim verelim.

TANIM a − b irrasyonel sayısına,

a + b irrasyonel sayısı-

nın bir eşleniği denir. Aşağıdaki örnekleri inceleyelim.

x+ 3 =a

olduğuna göre,

x−9 x− 3

ifadesinin a türünden değeri

aşağıdakilerden hangisidir? A) 3a

B) a

D) 3 a

E)

C) 3a

a 3

Sayı

Eşleniği

5+ 2

5− 2

7− 3

7+ 3

3 +1

3 −1

2+ 5

2− 5

2 = 2 +0

2 −0 = 2

2 3 +3

2 3 −3

YGS MATEMATİK

253

Köklü Sayılar


Not

DNA 29

a + b irrasyonel sayısının eşleniği olarak

a − b yi

a, b ∈ Z olmak üzere, 1

b − a yı da alabiliriz.

alabileceğimiz gibi

2− 3

Örneğin,

5 + 2 sayısının eşleniği olarak

5 − 2 yeri-

olduğuna göre, a – b kaçtır?

2 − 5 sayısını da alabiliriz.

ne

= a+b 3

A) 1

B) 0

C) –1

D) –2

E) –3

Çözüm 1 Eşlenik ile ilgili bilmemiz gereken en önemli şey; bir kök-

2− 3

ifadesinin hem payını hem de paydasını (2 + 3 )

ile çarpalım.

lü sayının, eşleniği ile çarpıldığında sonucun bir rasyonel

2+ 3 (2 + 3 )(2 − 3 )

sayı olacağıdır. Bundan faydalanarak, paydası köklü sayı olan bir kesrin pay ve paydasını paydanın eşleniği ile çarparsak; payda-

=

nın rasyonel olmasını sağlamış oluruz.

Bunu IŞIK 12 ile söyleyelim.

Buradan,

=

2+ 3 = 2 + 1 1

2+ 3 2

2

2 − ( 3)

=

2+ 3 4−3

3= a + b 3

⇒ a = 2 ve b = 1 olur.

a–b=2–1=1 buluruz.

Işık 12 i)

Doğru Seçenek A

Paydada a − b varsa; pay ve payda a + b ile çarpılır. x a− b

=

x ⋅ (a + b ) a2 − b

(a + b )

ii)

Paydada

a − b varsa pay ve payda

ile çarpılır.

x a− b ( a+ b)

olur.

254

a+ b

=

x( a + b ) a−b

6 3 2+2 3

ifadesinde a ve b iki tam sayıdır. Buna göre, a + b toplamı kaçtır? A) –2

YGS MATEMATİK

= a 2 +b 3

B) –1

C) 0

D) 1

E) 2


Köklü Sayılar

1

a ve b iki rasyonel sayı olmak üzere, 1 2 3 −3

1 3+ 2


olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır? B)

A) 1

3− 2

= a+b 3

+

5 3

C) 2

D)

A) 1 7 3

E)

8 3

B) 2

D) 3 2

C) 2 3 E) 2 2

DNA 30 1

3− 2

+

1 3+ 2

1

işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? A) 6 + 2 2

B) 6

D)

4 7

C)

E)

6 7

2 7

3 +2

1

+

3 −2

işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? A) –2

B) –1

D) −2 3

C) 0

E) –4

Çözüm 1 3− 2 (3 + 2 )

+

1 3+ 2

=

DNA 31

3+ 2 3− 2 + 9−2 9−2

(3 − 2 )

a = =

3+

2 +3− 7

2

a− b

−

b a+ b


6 7

A) Doğru Seçenek C

a a−b

b B) a − b

D) 0

E)

C)

a+b a−b

a−b a+b

YGS MATEMATİK

255

Köklü Sayılar


Çözüm

DNA 32 a

a− b ( a+ b)

=

= =

b

−

3

a+ b

( a− b)

a( a + b ) − b( a − b ) a−b a+

1

+

3 +2+ 7

7+ 3

toplamının sonucu aşağıdakilerden hangisidir? A) 2

ab − ab + b a−b

a+b a−b

B)

3 2

C) 1

D)

3 ( 3 + 2) + 7

y+ x

y− x

olduğuna göre, x in y türünden eşiti aşağıdakilerden

A)

y2 2

y −1

D)

B)

1 2

y −1

y2 3

E) −

C) –3y2 y2 3

3 + 4 +4 3− 7

3 +2−

= =

+

7− 3 4

3 ⋅ ( 3 + 2 ) − 7  7− 3 + 4 4 3

=

hangisidir?

( 7− 3)

3 ( 3 + 2) − 7 

=

=1

7+ 3

3 ( 3 + 2) − 7  7− 3 + 2 7−3 ( 3 + 2) − 7

=

y+ x

1

+

( 3 + 2 )− 7 )

+

E) 0

Çözüm Doğru Seçenek C

y− x

1 2

7 + 4

7 −

3

2 1 = 4 2


1 a − a −1 a − a

2 2

ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) –1

256

B) 1

a +1 D) 1− a

YGS MATEMATİK

C)

1 E) a −1

a +1 a −1

1+ 2 + 3

+

1 3+ 2


B)

3 2

C) 1

D)

1 2

E)

1 4


Köklü Sayılar

1+ 2

2 6 2+ 3+ 5

işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? A)

2+ 5− 3

C)

2− 3− 5

1+ 2 − 3 − 6

E)


B)

5+ 3− 2

D)

2+ 3− 5

A)

3 +1 2

D)

5− 3− 2

3 2

B)

− 3 −1 2

E)

3 −1 2

C) 3 −2 2

DNA 33 5 −1

15 + 5 − 3 − 1

3 −1


3 +1

D)

B)

3 +1 2

3 −1 2

C)

E)

3 2

3 −2 2

6 − 2 − 3 +1

işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisine eşittir? A)

2 −1

B) 1 − 2

D) −1 − 2

C) 1 + 2

E)

1+ 2 2

Çözüm 5 −1 15 + 5 − 3 − 1

=

=

=

5 −1 5 ( 3 + 1) − ( 3 + 1) 5 −1

1

7− 3

3 +1

( 3 −1)

=

DNA 34

( 3 + 1) ( 5 − 1)

7 +2

=x

olduğuna göre,

3 −1 2

7 −2 7+ 3

ün x türünden değeri

aşağıdakilerden hangisidir? Doğru Seçenek D

A) x

B)

3x 4

C)

x 2

D)

x 4

E)

YGS MATEMATİK

2x 3

257

Köklü Sayılar


Şimdi de iç içe kökler barındıran soru tiplerinden ilki olan

Çözüm 7− 3 7 +2 7 −2 7+ 3

ve ilköğretimde de çok severek çözdüğünüz soru tipine bakalım.

= x olduğu verilmiş. x yi bulalım. y

= y diyelim ve

7− 3

x = y

7 +2

⋅

⇒

x 7−3 4 = = y 7−4 3

⇒

4y = 3x

⇒

y=

DNA 35

7+ 3

3

7 −2

6 + 1 + 5 + 3 64


A) 5

3x 4

C) 3

D) 2

E) 1

Çözüm Doğru Seçenek B

3

6 + 1 + 5 + 3 64 = 3 6 + 1 + 5 + 4 123

4

123

9

= 3 6 + 123 1+ 3 = 3 6 + 2 4

= 38 = 2 6 −2 2 +1

Doğru Seçenek D =x 6 +2

olduğuna göre,

2 −1

ifadesinin x türünden eşiti

aşağıdakilerden hangisidir? A)

1 x

B)

2 x

C)

3 x

D)

4 x

E)

6 x

14 + 3 11 − 5 243


3+ 2 2 +1

2 −1 3− 2

nin x türünden değeri aşağı-


258

C) 4

D) 3

E) 2

D) 5

E) 6

=x

olduğuna göre,

A) x

B) 5

B) –x

YGS MATEMATİK

x C) 2

x D) − 2

3

24 + 7 + 5 32

işleminin sonucu kaçtır? E) –2x

A) 2

B) 3

C) 4


Köklü Sayılar

İç içe çarpım halinde kökler verildiğinde, nasıl davranma-

Çözüm

mız gerektiğini IŞIK 13 ile söyleyelim.

222

I.

Işık 13 nmk

2 = 2⋅2⋅2 2 = 8 2

II.

23

III.

2 2⋅2 3

2 = 2⋅3 2 = 6 2 =

(Yanlış)

(Doğru)

22 2

2 ⋅ 3 = 2⋅2 12 = 4 12

(Doğru)

a = n⋅m⋅k a n

Doğru Seçenek D

x ⋅ m y ⋅ k z = m⋅n⋅k xm⋅k ⋅ yk ⋅ z = n x ⋅ n⋅m y ⋅ n⋅m⋅k z 1

1

1

= x n ⋅ y n⋅m ⋅ z n⋅m⋅k

Ayrıca kök içerisindeki bir sayının kök dışına nasıl çıkarılabileceğini ve kök dışındaki bir sayının kök içine nasıl girebileceğini IŞIK 14 ile söyleyelim.

Işık 14

Aşağıdaki eşitliklerden hangisi ya da hangileri doğrudur?

3 6 I. 2 3 = 24

6 3 II. 2 3 = 24

i)

n tek ise, n xn ⋅ y = x ⋅ n y

n çift ise,

ii)

n xn

8 III. 2 2 3 = 12

A) Yalnız I

⋅ y = | x | ⋅n y

x ⋅ n y = n xn ⋅ y

B) Yalnız II

D) II ve III

C) Yalnız III E) I ve II

DNA 36 Aşağıdaki eşitliklerden hangisi ya da hangileri doğrudur? 2 =62

I.

II. 3 2 = 6 2

3

4 III. 2 3 = 12

A) Yalnız I

B) Yalnız II

D) II ve III

C) Yalnız III

E) I ve II

1 16 = n m 2

eşitliğinde n ve m pozitif tam sayılardır. Buna göre, m + n toplamı en az kaçtır? A) 5

B) 6

C) 18

D) 22

YGS MATEMATİK

E) 24

259

Köklü Sayılar


DNA 37 2 ⋅ 3 22 ⋅ 4 2 = 2x

33 ⋅ 4 3 3 = (0, 3)x

olduğuna göre, x kaçtır? olduğuna göre, x kaçtır? 1 A) 2

5 B) 8

3 C) 4

7 D) 8

4 E) 3

A) −

9 8

B) −

27 16

C) −

7 8

D)

9 8

11 6

D) −

E)

27 16

Çözüm 1 3 1 4 16

1 = 2x 8

olduğuna göre, x kaçtır? IŞIK 13’ten,

B) −

A) –2 2 ⋅ 3 22 ⋅ 4 2

=

2⋅3 2 ⋅ 22 ⋅ 2⋅3⋅4 2 1

2

23 12

C) −

5 3

E) –1

1

= 2 2 ⋅ 2 6 ⋅ 2 24

=

1 2 1 + + 2 2 6 24

=

12 8 1 + + 2 24 24 24

=

21 2 24

(x + y)2 = x2 + 2xy + y2 (x – y)2 = x2 – 2xy + y2

olduğunu hatırlattıktan sonra; x yerine b yazalım.

( a  b )2 = ( a )2  2 a ⋅ b + ( b )2 = 2x

= a  2 ab + b

21 7 ⇒ x= = dir. 24 8

a ve y yerine

= a + b  2 ab olur. Buna dayanarak aşağıdaki Hazine’yi verebiliriz.

2 ⋅ 3 22 ⋅ 4 2 = 2⋅3⋅4 23⋅4 ⋅ (22 )4 ⋅ 2 = 24 212 ⋅ 28 ⋅ 2 =

21 2 24

=

7 28

Hazine 1 a ve b pozitif gerçek sayılar olmak üzere, a + b + 2 ab = a + b

Doğru Seçenek D

dir.

260

YGS MATEMATİK

a + b − 2 ab =

a− b


Köklü Sayılar

DNA 38 işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?

6+2 5 = x+y 5

olduğuna göre, x – y farkı kaçtır? A) –2

B) –1

C) 0

4−2 3 − 4+2 3


D) 1

A) 2 3

D) −2 3

E) 2

Çözüm

E) –2

C) 0

DNA 39

Hazine 1’den,

1

6 + 2 5 == ( 5 + 1)2 = 5 + 1 5+1

B) 2

6−2 5

1

+

6+2 5


5⋅1

A)

olur.

5 2

1 ⋅ 5 + 1 = x + y 5 ⇒ x = 1 ve y = 1 olup,

B) 2 3 5

D)

C)

E)

3 2

5 4

Çözüm

x–y=1–1=0

6 − 2 5 = 5 −1

dır.

↓ 5+1

↓ 5⋅1

Doğru Seçenek C 6 + 2 5 = 5 +1 ↓ 5+1

⇒

1 6−2 5

+

↓ 5⋅1

1 6+2 5

=

( 5 +1)

= 5−2 6 + 5+2 6


D) 2 2

B) 3 2

E) –2

C) 2 3

1 5 −1

=

1

+

5 +1 ( 5 −1)

5+ 1+ 5−1 5 −1 2 5 5 = 4 2

dir. Doğru Seçenek A

YGS MATEMATİK

261

Köklü Sayılar


Çözüm 1 4+2 3

−

1

2  3 ifadesinde Hazine 1’i kullanabilmek için; köklü

4−2 3

ifadenin içini 2 ile çarpıp tekrar 2 ye bölelim.

işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? B) –1

A) − 2

C) 0

D)

2

2(2 + 3 ) 2(2 − 3 ) + = 2 2

E) 1 =

=

=

4+2 3 2

+

4+2 3 4−2 3 + 2 2

4−2 3 2

3+ 1+ 3−1 2 2 3 2

=

2⋅ 3 ⋅ 2 2⋅ 2

=

2 6 = 6 2

( 2)


2 5−2 6

+

3 5+2 6

işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? A) 2 3 + 3 2

B) 2 3

D) 5

E) 7

C) 3 2

5 − 21 + 5 + 21


B) 8

D) 2 14

E)

C) 2 7 14

DNA 40 1

2+ 3 + 2− 3


262

B)

D) − 6

YGS MATEMATİK

3− 5 − 3+ 5

6

C) 0

E) −2 6

işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? A) − 2

D)

B) − 2 2

2 2

C) 1

E)

2


Köklü Sayılar

5.

TEST - 1 1.

( −2 )3 + 3 −8 + 9


A) 12 2

B) 10 2

D) 6 2

6.

392 + 522

C) 7 2

E)

58


2.

50 + 8

B) –5

C) –2

D) 2

E) 5

f ( x ) = x2 − 6 x + 9

fonksiyonunun en geniş tanım kümesi aşağıda-


B) 65

C) 71

D) 82

E) 91

kilerden hangisidir?

B) (3, ∞)

A) (–∞, 3)

D) [0, ∞)

C) (–∞, 3]

E) R

7. 3.

a+b−2 + a−b−4 = 0

4.

B) 3

C) 8

D) 10

8.

3

5⋅ 5

5 D)

C) 0,002

D) 0,1

E) 0,3

5

x12 y4 z24 ifadesinin eşiti aşağıdakilerden han-

gisidir?

B) 5

B) 0,2

E) 12



olduğuna göre, 3a – b ifadesinin değeri kaçtır? A) 0

0, 81 − 0, 49

54

3

5 E)

C) 6

55

3

25

5

A) x 2 yz 4 x 2 z 4

B) x 2 z 4 5 x 2 y 4 z 4

C) xz 4 5 x 2 y 4 z3

D) x 2 z5 5 xy 4 z 4

E) x2yz4

YGS MATEMATİK

263

Köklü Sayılar

9.


13. 8 sayı tabanı olmak üzere,

a = 3 4 , b = 4 8 , c = 5 16

sayıları arasındaki sıralama aşağıdakilerden hangisidir?

A) a < b < c

B) a < c < b

D) c < a < b

10.

C) c < b < a


A) (11)8


A)

3− 6

B)

6 − 3

D) 2 6

C) 2 3

2 63 +

C) 4

D) 5

E) 7

264

2. E

B) 185 2

B) 81 3. D

YGS MATEMATİK

C)

185 2 4

−

( 0,125 )

E)

185 2 2

185 2 3

2 3


16.

B) 4

C) 5

D) 8

E) 10

x x =8 x + x ifadesinin değeri kaç-

olduğuna göre, tır?

olduğuna göre, m kaçtır?

1. A

D)

A) 2

m + n = 13

A) 74

8

A) 185

m – n = 65

1

15.

12. m ve n pozitif tam sayıları için,

−


2 8+3 7

B) 2

2

E) (15)8

E) 6


7

5000 −

C) (13)8

11.

B) (12)8

D) (14)8

14.

(1331)8

E) b < a < c

9−3 8

3

C) 100 4. E

5. C

D) 120 6. B

E) 121 7. B

8. B

A) 2

9. A

B)

6

D) 2 + 5 10. B

11. C

12. B

C) 2 5

E) 8 13. A

14. D

15. B

16. C


Köklü Sayılar

1.

1

5.

TEST - 2 1  4 − 5 ( 4 + 9 ⋅ 8 − 8 ⋅ 7 ) 2 

2

4

1+ 5

+

1 4

1− 5

+

2 1+ 5


B) –1

C)

1 2

D) −

1 2

E) 2

işleminin sonucu kaçtır? A) –100 B) –96

C) –92

D) –88

E) –84

6.

2.


A) −2 3

A)

B) −2 2

D) 2 3

2 8 = 2x


5+2 6 − 5−2 6

3

1 2

B)

2 3

C)

3 4

D)

4 5

E)

5 6

C) 2 2

E) 4

7.

0,4 ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

3.

14 + 27 − x − 1 = 4

denklemini sağlayan x değerinin rakamlarının toplamı kaçtır? A) 5

B) 6

C) 8

D) 9

5 < x < 27

koşulunu sağlayan kaç değişik x tam sayısı var-

B) 4

C) 5

D) 6

D) 0,6

C) 0,60

E) 0,40

E) 21

a > 0 için, a a a = 128

dır? A) 3

B) 0,20

E) 11

8. 4.

A) 0,2

olduğuna göre,

a değeri kaçtır?

A) 2

C) 8

B) 4

D) 128

E) 256

YGS MATEMATİK

265

Köklü Sayılar

9.


13.

7 − 48 + 5 − 24 + 3 − 8


A) 0

B) 1

D) 3 2

C) 2

n

A)

E) 1 − 3 2

1+ 1+ x = 2


B) 16

C) 32

D) 64

E) 128

6 5

B)

4− 7 + 4+ 7


10 B)

12.

14

C)

17

D)

21 E)

26

1+ 2 1+ 3 1+ 4 x = 3

1. B

266

2. C

B) 9 3. C

YGS MATEMATİK

18 5


A) 10

B) 10 2

D) 12 2

27 5

E)

5 72

C) 12

E) 13 2

2 3+ 7


A) 3 − 7

B) 3 + 7

D) 1 − 7

16.

x + 4 + x − 1 = 18

D)

olduğuna göre,

C) 1 + 7

E) 2

x + 4 − x − 1 işleminin sonucu

kaçtır?

C) 16 4. A

C)


12 5

72 + 3 18 − 50

15. 11.

25 ⋅ 32 n + 3 ⋅ 23 n +1


14. 10.

54 ⋅ 5n + 2

5. B

D) 25 6. E

A)

E) 36 7. D

8. A

9. B

5 12

10. D

B) 11. B

5 18 12. E

C)

7 20

13. E

D) 14. B

9 20 15. A

E)

9 25

16. B

KÜMELER - BÖLÜM 08

KÜMELER

TANIM

TANIM

Küme matematiğin tanımsız terimlerinden biridir.

Eleman sayıları eşit olan kümelere denk kümeler denir.

Bir takım nesneler topluluğu olarak düşünülebilir.

A = {1, 2, 3} ve B = {a, b, c} kümeleri için, s(A) = s(B) = 3 ve A ≅ B

Bu nesnelere kümenin elemanları adı verilir. Örneğin bir A kümesinin elemanlarından biri a ise, bu durum,

dir.

a∈A

TANIM

şeklinde gösterilir. A kümesinin eleman sayısı; s(A) ile gösterilir. Bir küme; liste yöntemi, ortak özellik yöntemi ve Venn şeması ile gösterilebilir. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Liste yöntemi A = {x: 1 ≤ x ≤ 6 ve x doğal sayı} Ortak özellik yöntemi �

A kümesinin tüm elemanları, aynı zamanda B kümesinin de elemanı ise “A kümesi, B kümesinin bir alt kümesidir.” denir ve bu durum A ⊂ B veya B ⊃ A biçiminde gösterilir. Eğer, A kümesi B kümesinin bir alt kümesi ise “B kümesi A kümesini kapsar.” denir.

��

A = {1, 2, 3, 4} ve B = {x: 0 ≤ x ≤ 6 ve x ∈ N}

��

(A ⊂ B) ⇒ (∀x, x ∈ A ⇒ x ∈ B)

��

��

kümeleri için; A ⊂ B dir.

��

� ��

��

��

Uyarı

��

Liste yönteminde; bir eleman birden fazla yazılamaz, elemanların yazılış sırası değiştirildiğinde küme değiş-

Hazine 1

mez. Ortak özellik yönteminde; hangi elemanların kümede

s(A) = n

olduğu, hangilerinin olmadığı kesinlikle belirtilmelidir.

ise A nın alt küme sayısı 2n dir. ......................................................................................

TANIM

n elemanlı bir kümenin, 2n tane alt kümesi vardır.

Elemanlarının tümü aynı olan kümelere eşit kümeler denir.

A = {1, 2, 3} kümesi için; s(A) = 3

A = {1, 2, 3} ve B = {x: 1 ≤ x ≤ 3 ve x ∈ Z}

olduğundan alt küme sayısı;

kümeleri için,

23 = 8

A=B dir.

tanedir.

YGS MATEMATİK

267

Kümeler

Kümeler - Bölüm 08

Bunlar;

TANIM

{ } = ∅ Boş küme

{1}, {2}, {3}

A ile B kümelerinin tüm elemanlarını içeren kümeye

{1, 2}, {1, 3}, {2, 3}

birleşim kümesi denir ve A ∪ B ile gösterilir.

{1, 2, 3}

A ∪ B = {x: x ∈ A ∨ x ∈ B}

kümeleridir.

A = {1, 2, 3, 4} ve B = {2, 4, 6}

Işık 1

kümeleri için;

Hiç elemanı olmayan kümeler (boş küme) tüm kümelerin bir alt kümesidir.

A ∪ B = {1, 2, 3, 4} ∪ {2, 4, 6} = {1, 2, 3, 4, 6} dır.

∅⊂A �

Işık 2

�

��

��

��

��

Her küme kendisinin bir alt kümesidir.

��

��

A⊂A

TANIM

TANIM

A ile B kümelerinin ortak elemanlarının oluşturduğu kümeBir kümenin kendisinden farklı alt kümelerine, o kümenin alt kümeleri denir.

ye kesişim kümesi denir ve A ∩ B ile gösterilir. A ∩ B = {x : x ∈ A ∧ x ∈ B}

n elemanlı bir kümenin 2n – 1 tane özalt kümesi vardır.

A = {1, 2, 3, 4} ve B = {2, 4, 6} kümeleri için,

Hazine 2 n elemanlı bir kümenin, r elemanlı alt küme sayısı:

A ∩ B = {1, 2, 3, 4} ∩ {2, 4, 6} = {2, 4} tür.

n n!  =  r  ( n − r )!⋅ r !

�

dir. (Kombinasyon)

�

��

��

��

��

��

A = {1, 2, 3, 4} kümesinin; 2 elemanlı alt kümeleri, ��

{1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4} olmak üzere,  4 4! 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1 C( 4, 2 ) =   = = =6 2 ( 4 − 2 )! 2 ! 2 ⋅ 1⋅ 2 ⋅ 1   tanedir.

268

YGS MATEMATİK

Işık 3 s(A ∪ B) = s(A) + s(B) – s(A ∩ B)


Kümeler

�

TANIM A kümesinin elemanı olmayan tüm nesnelerin oluşturduğu kümeye A nın tümleyen kümesi denir ve A′ veya A

�

��

��

��

��

��

ile gösterilir. ��

A′ = {x: x ∈ E ∧ x ∉ A}

TANIM

��

TANIM

Soruda düşünülebilen en kapsamlı kümedir. Ortak bir elemanı olmayan kümelere ayrık kümeler de-

E ile gösterilir.

nir. E = {x: 1 ≤ x ≤ 9 ve x ∈ N}

A = {1, 2, 3, 5, 7}

için

Işık 4

A′ = {4, 6, 8, 9} olur. � ��

�

��

��

��

��

��

A ∪ A = A

A∩A=A

A ∪ A′ = E

A ∩ A′ = ∅

A ∪ E = E

A∩E=A

A ∪ ∅ = A

A∩∅=∅

��

Işık 5 TANIM

A∪B=∅⇒A=∅∧B=∅

A kümesinin bir elemanı olup, B kümesinin elemanı olmayan elemanların oluşturduğu kümeye, A kümesinin B den farkı denir ve A – B veya A \ B ile gösterilir. A – B = {x: x ∈ A ∧ x ∉ B} = A ∩ B′

Işık 6

A = {1, 2, 3, 4} ve B = {2, 4, 6} kümeleri için; A – B = A \ B = {1, 3}

B – A = B \ A = {6}

A⊂B⇒A∪B=B

A ⊂ (A ∪ B) ∧ B ⊂ (A ∪ B) A ∩ B = ∅ ⇒ A ile B ayrık kümelerdir.

dır.

YGS MATEMATİK

269

Kümeler


Işık 7

DNA 2

A⊂B⇒A∩B=A

(A ∩ B) ⊂ A ∧ (A ∩ B) ⊂ B

kümesinin, içinde 2 bulunmayan alt kümeleri kaç

A = {1, 2, 3, 4, 5}

tanedir? A) 10

DNA 1 kümesinin liste yöntemi ile gösterimi aşağıdakilerden hangisidir? A) { }

B) {1}

D) {–1, 1}

C) 20

D) 24

E) 30

Çözüm

{x: x2 = 1 ve x ∈ R}

B) 16

2 nin eleman olarak bulunması istenmediğinden, kümeden 2 yi atalım. {1, 3, 4, 5}

C) {–1}

E) {–1, 0, 1}

olur. 4 elemanlı bu kümenin tüm alt kümeleri 24 = 16

Çözüm

tane olup, hiçbirinde 2 bulunmaz. Doğru Seçenek B

Küme için verilen gerek ve yeter koşul düzenlendiğinde; x2 = 1 ⇒ x2 – 1 = 0 ⇒ (x – 1)(x + 1) = 0

⇒x–1=0⇒x=1

⇒ x + 1 = 0 ⇒ x = –1

–1 ve 1 sayılarının koşulu sağladığı görülür. Küme liste yöntemi ile {–1, 1} olarak yazılır. Doğru Seçenek D

A = {1, 2, 3, 4, 5}

kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde 2 vardır? A) 10

B) 16

C) 20

D) 24

E) 30

{x: x2 = x ve x ∈ R}

kümesinin liste yöntemi ile gösterimi aşağıdakilerden hangisidir? A) { }

270

B) {1}

D) {–1, 1}

YGS MATEMATİK

C) {0}

E) {0, 1}

Işık 8 Kümenin, bir elemanının bulunduğu alt kümelerin sayısı, bulunmadığı alt kümelerinin sayısına eşittir.


Kümeler

DNA 3

DNA 4

A = {1, 2, 3, 4, 5}

A = {a, b, c, d, e, f}

kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde 2 veya 3

kümesinin üç elemanlı alt kümelerinden kaç tane-

bulunur?

sinde a veya e vardır?

A) 10

B) 16

C) 20

D) 24

E) 30

A) 16

B) 20

C) 32

D) 44

E) 60

Çözüm A = {a, b, c, d, e, f}

Çözüm

s(A) = 6

A nın tüm alt kümelerinin sayısı: 26 = 64

Ne 2 ne de 3 ün bulunmadığı alt kümeleri dışında diğer alt

Üç elemanlı alt kümelerinin sayısı: 6 6! 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1 C( 6, 3 ) =   = = = 20 3 ( 6 − 3 )! ⋅ 3 ! 3 ⋅ 2 ⋅ 1⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1  

kümelerinde 2 veya 3 bulunur. A kümesinden 2 ve 3 atıldığında;

A kümesinden a ve e atıldığında;

{1, 4, 5} kümesinin 23 = 8 tane alt kümesinde ne 2 ne de 3

{b, c, d, f} kümesinin üç elemanlı alt kümeleri olan,

yoktur. A kümesinin tüm alt kümeleri 25 = 32 tanedir.

 4 4! 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1 = =4  =  3  ( 4 − 3 )! ⋅ 3! 1⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1

32 – 8 = 24

tane kümede ne a ne de e yoktur.

tane alt kümesinde; 2 veya 3 bulunur.

Bu 4 küme dışında, A nın diğer üç elemanlı alt kümelerin-

(Yalnız 2, yalnız 3, 2 ve 3 birlikte olabilir.)

de a veya e vardır. Doğru Seçenek D

20 – 4 = 16 tane kümede a veya e den en az biri vardır. Doğru Seçenek A

A = {a, b, c, d, e, f}

A = {1, 2, 3, 4, 5}

kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde a veya e bu-

kümesinin iki elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde

lunur?

2 veya 3 vardır?

A) 64

B) 48

C) 32

D) 16

E) 8

A) 7

B) 10

C) 16

D) 20

YGS MATEMATİK

E) 24

271

Kümeler


DNA 5

DNA 6

A = {1, 2, 3, 4, 5}

Sarışın ve esmer öğrencilerin bulunduğu 30 kişilik bir

kümesinin en çok üç elemanlı alt kümeleri kaç tanedir? A) 6

B) 10

C) 16

D) 20

E) 26

grupta, kızların sayısı 19, sarışın öğrencilerin sayısı 9 ve esmer erkeklerin sayısı 7 dir. Buna göre, toplulukta kaç tane sarışın kız vardır? A) 4

B) 5

C) 6

D) 7

E) 8

Çözüm

Çözüm

��

En çok üç elemanlı alt kümelerinin sayısı istendiğinden;

��

�

��

�

∅, bir elemanlılar, iki elemanlılar ve üç elemanlılar alına-

�

��

�

��

�

� ��

��

� ��

caktır. 5 5 5 5  + + +   0   1  2   3  5! 5! 5! 5! = + + + ( 5 − 0 )!⋅ 0! ( 5 − 1)!⋅ 1! ( 5 − 2 )!⋅ 2! ( 5 − 3 )!⋅ 3!

= 1 + 5 + 10 + 10 = 26

Kızların sayısı

: 19

Erkekler

: 30 – 19 = 11 kişi

Sarışın sayısı

:9

Esmerler

: 30 – 9 = 21 kişi

Esmer erkekler : 7

tanedir. Doğru Seçenek E

Sarışın erkekler : 11 – 7 = 4 Sarışın kızlar

: 9 – 4 = 5 kişi Doğru Seçenek B

s(A) = 10

Sarışın ve esmer öğrencilerin bulunduğu 40 kişilik bir

olduğuna göre, A kümesinin en az iki elemanlı alt kü-

grupta, kızların sayısı 25, sarışın öğrencilerin sayısı 14 ve

melerinin sayısı kaçtır?

esmer erkeklerin sayısı 10 dur.

A) 210

272

B) 210 – 1

D) 210 – 10

YGS MATEMATİK

C) 210 – 2

E) 210 – 11

Buna göre, toplulukta kaç tane sarışın kız vardır? A) 5

B) 8

C) 9

D) 10

E) 16


Kümeler

DNA 7

DNA 8

A = {x | |x – 3| ≥ 2, x ∈ Z}

A = {0, 1, 2, 3}

B = {x

| |x – 4| < 3, x ∈ Z}

B = {2, 3}

kümeleri veriliyor.


Buna göre, A ∩ B kümesi aşağıdakilerden hangi-

Buna göre, A = X ∪ B olacak şekilde kaç farklı X

sidir?

kümesi yazılabilir?

A) {2, 5}

B) {2, 6}

D) {2, 5, 6}

A) 1

C) {5, 6}

B) 4

C) 5

D) 7

E) 8

E) {2, 4, 5, 6}

Çözüm

Çözüm

|x – 3| ≥ 2 ise

x – 3 ≥ 2 ⇒ x ≥ 5 veya x – 3 ≤ –2 ⇒ x ≤ 1

��

��

�

A = {..., –1, 0, 1, 5, 6, 7, ...}

�

��

��

dır.

|x – 4| < 3 ise

–3 < x – 4 < 3

1

B = {2, 3, 4, 5, 6}

0 ile 1, X kümesinin kesinlikle elemanı olmak zorundadır. 2 ile 3 keyfi elemanlar olarak seçilebilir. İstenen cevap: 22 = 4

dır. tür.

A ∩ B = {5, 6} bulunur.

Doğru Seçenek B Doğru Seçenek C

A = {x: –2 ≤ x < 7 ve x ∈ Z}

B = {x: 4 ≤ x < 9 ve x ∈ N}

kümeleri veriliyor. Buna göre, A ∩ B kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) {4, 5, 6}

B) {5, 6, 7}

D) {5, 6}

C) {7, 8, 9}

E) {6, 7}

A = {a, b, c, d, e}

B = {a, c, e}


A=X∪B

olacak şekilde kaç farklı X kümesi yazılabilir? A) 1

B) 4

C) 5

D) 6

YGS MATEMATİK

E) 8

273

Kümeler


DNA 9

DNA 10

A kümesinin 32 alt kümesi, B kümesinin 32 alt

koşulunu sağlayan kaç değişik X kümesi vardır?

göre, A ∩ B kümesi kaç elemanlıdır? A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

{1, 2} ⊂ X ⊂ {1, 2, 3, 4, 5}

kümesi, A ∪ B kümesinin 256 alt kümesi olduğuna

A) 3

E) 5

B) 4

C) 6

D) 8

E) 16

Çözüm Çözüm

{1, 2, 3, 4, 5} kümesinin içinde 1 ve 2 nin bulunduğu alt

n elemanlı kümenin 2n tane alt kümesi olduğundan,

2n = 32 = 25 ⇒ n = 5

s(A) = s(B) = 5

kümelerin sayısı istenmektedir. {3, 4, 5} kümesinin alt kümelerine 1 ve 2 eleman olarak eklenir. 23 = 8

2n = 256 = 28 ⇒ n = 8

tanedir.

s(A ∪ B) = 8

Doğru Seçenek D

IŞIK 3’ten, s(A ∪ B) = s(A) + s(B) – s(A ∩ B)

8=5+5–x

x=2

{a, b, c} ⊂ A ⊂ {a, b, c, d, e}

koşulunu sağlayan kaç tane A kümesi vardır?

bulunur.

B) 4

A) 3

C) 6

D) 8

E) 16

Doğru Seçenek B

DNA 11

A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

B = {1, 2, 3}

olduğuna göre, A kümesinin alt kümelerinden kaç A kümesinin 64 alt kümesi, B kümesinin 32 alt kümesi, A ∩ B kümesinin 8 alt kümesi olduğuna göre, A ∪ B

274

B) 5

YGS MATEMATİK

C) 6

nur? A) 128

kümesi kaç elemanlıdır? A) 3

tanesinde B nin elemanlarından en az biri bulu-

D) 8

E) 9

B) 256

D) 896

E) 1024

C) 512


Kümeler

Çözüm

Çözüm Bu tip sorularda Venn şeması yapılarak, kümelerin ele-

A – B = {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

man sayıları içlerine yerleştirilir.

kümesinin

�

27

= 128 �

tane alt kümesinde B nin hiç bir elemanı yoktur. A kümesinin tüm alt kümeleri;

�

��

210 = 1024

�

��

�

��

olduğundan, A nın 210 – 27 = 1024 – 128 = 896 tane alt kümesinde B nin elemanlarından en az biri bulunur. Doğru Seçenek D

x + y + z = 30

x+y=

x + y = 2y

x + y = 2y ⇒ x = y

x+y=

⇒ 4y = y + z ⇒ 3y = z

y+z 2

y+z y+z ⇒ y+y= 2 2

x + y + z = y + y + 3y = 5y = 30

A = {a, b, c, d, e, f, g}

B = {a, e}

olduğuna göre, A kümesinin alt kümelerinden kaç ta-

⇒y=6=x

x + y = 6 + 6 = 12

kişi İngilizce bilmektedir.

nesinde B nin elemanlarından en az biri bulunur? A) 32

B) 64

C) 96

D) 112

Doğru Seçenek C

E) 128

DNA 12 Bir sınıfta İngilizce veya Almanca dillerinden en az birini bilen 30 öğrenci vardır. İngilizce bilenlerin sayısı; Almanca bilenlerin sayısının yarısı, her iki dili bilenlerin sayısının iki katıdır. Buna göre, bu sınıftaki İngilizce bilenlerin sayısı kaçtır? A) 5

Bir sınıftaki öğrenciler İngilizce veya Fransızca dillerinden en az birini bilmektedir. Yalnız İngilizce bilenler, her iki dili bilenlerden 10 kişi fazla, yalnız Fransızca bilenler, her iki dili bilenlerin iki katıdır. İngilizce bilenlerin sayısının, Fransızca bilenlerin sayısına eşit olduğu bu sınıfta kaç öğrenci Fransızca bilmektedir?

B) 10

C) 12

D) 15

E) 20

A) 10

B) 15

C) 20

D) 25

YGS MATEMATİK

E) 30

275

Kümeler


Işık 9

DNA 13

s(A ∪ B ∪ C) = s(A) + s(B) + s(C) – s(A ∩ B) – s(A ∩ C)

�

– (B ∩ C) + s(A ∩ B ∩ C)

� ��

�

�

��

� ��

� �

�

�

� �

� � �

�

�

Yukarıdaki Venn şemasında kümelerin eleman sayıla�

rı içlerinde verilmiştir.

�

s(A ∪ B ∪ C) = 33

�

olduğuna göre, s(A) + s(B) + s(C) toplamı kaçtır?

Yukarıdaki Venn şeması; E sınıfında okutulan İngilizce,

A) 33

B) 44

C) 55

D) 57

E) 59

Fransızca, Almanca dillerini bilen öğrenci sayılarını vermektedir.

Çözüm

Sınıftaki öğrenci sayısı: s(E) = x + y + z + a + b + c + p + k En az bir yabancı dil bilenlerin sayısı: s(İ ∪ F ∪ A) = x + y + z + a + b + c + p En az iki yabancı dil bilenlerin sayısı:

s(A ∪ B ∪ C) = 6 + 5 + 4 + (x – 2) + (x – 1) + (x – 3) + x = 33

4x + 9 = 33

4x = 24

x=6

dır.

a+b+c+p En çok bir yabancı dil bilenlerin sayısı: k+x+y+z En çok iki yabancı dil bilenlerin sayısı: k+x+y+z+a+b+c

s(A) = 6 + x + x – 2 + x – 3 = 3x + 1 = 3 ⋅ 6 + 1 = 19

s(B) = 5 + x + x – 1 + x – 2 = 3x + 2 = 3 ⋅ 6 + 2 = 20

s(C) = 4 + x + x – 1 + x – 3 = 3x = 3 ⋅ 6 = 18

s(A) + s(B) + s(C) = 19 + 20 + 18 = 57


Yalnız bir yabancı dil bilenlerin sayısı: x+y+z Yabancı dil bilmeyenlerin sayısı: k İngilizce, Fransızca ve Almanca bilenlerin sayısı: p s[(İ ∪ F) ∩ A] = b + p + c

DNA 13’te verilen Venn şemasına göre,

s[(İ ∪ F) – A] = x + a + y

s(İ ∩ A) = b + p

olduğuna göre, s[(B ∩ C) ∪ A] kaçtır?

s(İ ∪ F)′ = k + z

A) 33

276

YGS MATEMATİK

s[(B ∪ C) ∩ A] = 22

B) 34

C) 35

D) 36

E) 37


Kümeler

5.

TEST - 1 1.

A = {1, {2}, (3, 4)}

kümesi için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

A) 1 ∈ A

2.

B) {1} ⊂ A

D) (3, 4) ∈ A

A – B = {1, 2, 3}

B – A = {4, 5, 6}

A∩B≠∅

A) 5

6.

C) 32

D) 64

7.

(A – B) ∩ (A′ ∩ B)

B) E

C) A

D) B

{a, b, c, d, e, f, g}

B) 24

C) 32

D) 64

E) 78

{1, 2, 3, 4, 5, 6}

dan en az biri bulunur?

E) A′

B) 36

C) 48

D) 54

E) 64

A ⊂ E ve B ⊂ E kümeleri için,

s(A) = 12

s(A′) = 13

s(B) = 14

E) 9

kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde 5 veya 6

A) 32

4.

D) 8

kümesinin alt kümelerinden kaç tanesinde a bu-

A) 16

E) 128

kümesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) ∅

C) 7

lunup, e bulunmaz?

alt kümelerinin sayısı kaçtır?

3.

B) 6

E) {3, 4} ⊂ A

kümelerinin sayısına eşit olan bir kümenin tüm

B) 14

olduğuna göre, A ∪ B kümesinin eleman sayısı en az kaç olabilir?

C) {2} ∈ A

3 elemanlı alt kümelerinin sayısı, 4 elemanlı alt

A) 7

A ⊂ E ve B ⊂ E kümeleri için,

8.

süz erkeklerin sayısının 2 katıdır.

B) 12

Bu sınıfta kızların sayısı, erkeklerin sayısından 6 fazla ve sınıfta 4 tane gözlüklü erkek olduğuna

olduğuna göre, s(B′) kaçtır? A) 11

20 kişilik bir sınıfta, gözlüklü kızların sayısı, gözlük-

C) 13

göre, gözlüksüz kız sayısı kaçtır? D) 14

E) 15

A) 3

B) 4

C) 6

D) 7

YGS MATEMATİK

E) 8

277

Kümeler


9.

s(A) = 14

s(B) = 10

s[(A ∪ B) – (A ∩ B)] = 8

13. n elemanlı bir kümenin a tane alt kümesinin olduğu bilindiğine göre, n + 1 elemanlı kümenin kaç tane alt kümesi vardır?

olduğuna göre, A ∩ B kümesi kaç elemanlıdır?

A) a + 1

D) a2

A) 2

B) 4

C) 6

D) 7

C) 2a

E) 4a

E) 8

14.

10. Bir sınıfta Türkçe ve İngilizce dillerinden en az birini

A ∪ B = {1, 2, 3, 4}

koşulunu sağlayan kaç farklı B kümesi yazılabi-

bilen öğrenciler bulunmaktadır.

lir?

Türkçe bilen öğrencilerin sayısı 25, İngilizce bilen

A) 2

öğrencilerin sayısı 15 ve yalnız bir dil bilenlerin

A = {1, 2, 3}

olduğuna göre,

B) a + 2

B) 4

C) 6

D) 8

E) 10

sayısı 12 olduğuna göre, iki dil bilenlerin sayısı kaçtır? A) 12

15. B) 14

C) 16

D) 18

� �

E) 20

�

11. A ∪ B kümesinin 128 tane alt kümesi, A ∩ B küme-

hangisine eşittir?

sinin yalnız bir alt kümesi vardır.

A) A ∩ B ∩ C

s(A – B) = 3

B) (A ∩ C) – B

olduğuna göre, s(B – A) kaçtır? A) 2

B) 3

C) 4

Yukarıdaki şemada taralı küme aşağıdakilerden

C) (B ∩ C) – A D) 5

E) 6

D) (A ∩ B) – (A ∩ B ∩ C) E) [(A ∪ B) ∩ C] – (A ∩ B ∩ C)

16. Bir çok yabancı dilin konuşulduğu bir sınıfta; yalnız bir yabancı dil konuşabilen 10 kişi, en az bir yabancı

12. Aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

dil konuşabilen 16 kişi, en çok bir yabancı dil konu-

A) A ∪ A = A

B) A ∪ E = E

C) A ∪ ∅ = ∅

D) A ∪ A′ = E

278

E) A ∩ A′ = ∅

1. E

şabilen 18 kişi vardır.

2. E

3. A

YGS MATEMATİK

4. A

5. C

Bu sınıfta kaç kişi vardır? A) 24

6. C

7. C

8. D

9. E

10. B

B) 26 11. C

12. C

C) 28 13. C

D) 34 14. D

15. E

E) 44 16. A

BAĞINTI - FONKSİYON - BÖLÜM 09

GİRİŞ Mantık konusunda olduğu gibi, kartezyen çarpım ve bağıntı da fonksiyon konusunun temelini oluşturduğundan, bilgileri kısaca hatırlamakta yarar vardır.

BAĞINTI - FONKSİYON

Örneğin,

A = {1, 2, 3}

B = {a, b)

kümeleri için, A × B = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)} B × A = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3)}

TANIM

s(A) = 3 ve s(B) = 2 olduğundan, s(A × B) = s(B × A) = s(A) × s(B) = 3 ⋅ 2 = 6

(x, y) şeklindeki ifadelere sıralı ikili denir. x; ikilinin birinci bileşeni,

dır.

y; ikilinin ikinci bileşenidir.

Uyarı Işık 1

A×B≠B×A

(x, y) = (u, v) ⇔ x = u ∧ y = v Her sıralı ikiliye düzlemde bir nokta karşı getirildiğinde, � �

Örneğin,

��

⇒ x = 5 ve y = 3

olmalıdır.

��

�

(x – 2, y + 1) = (3, 4) ⇔ x – 2 = 3 ve y + 1 = 4

� �

� � �

��

�

��

�

�

�

� �

��

��

��

��

��

��

�

�

�

� �

�

TANIM A ile B birer küme olmak üzere, A ve B kümelerinin kartez-

Kartezyen çarpım kümelerinin grafikleri çizilmiş olur. [1, 3] × {1, 2} Kartezyen çarpımının grafiği aşağıda verilmiştir.

yen çarpımı A × B ile gösterilir. A × B = {(x, y): x ∈ A ∧ y ∈ B}

�

dir. � �

Işık 2 s(A × B) = s(A) × s(B) = s(B × A)

�

�

�

�

�

�

�

�

�

Grafik: [CD] ∪ [EF] dir.

YGS MATEMATİK

279

Bağıntı - Fonksiyon

Bağıntı - Fonksiyon - Bölüm 09

Not

TANIM A × B nin her alt kümesine A dan B ye bir bağıntı denir.

s(A) = n için;

(x, y) ∈ b ifadesi “y b x” biçiminde gösterilir.

2

A da 2( n

y, b ile x e bağlıdır denir.

)

tane bağıntı tanımlanabilir. 2

Bu bağıntılardan 2n

Işık 3

n ( n +1) 2 2

s(A) = n, s(B) = m

−n

tanesi yansıyan,

tanesi simetriktir. b = {(x, y): 2x + y = 3, x, y ∈ R}

ise A dan B ye 2n.m tane bağıntı tanımlanabilir.

bağıntısının özeliklerini incelediğimizde; Yansıma yok: (x, x) ∉ b

Aşağıda bir bağıntı grafiği verilmiştir. b = {(x, y): |y| = x, x, y ∈ R}

Simetri yok: (x, y) ∈ b iken (y, x) ∉ b Ters simetri var: (x, y) ∈ b iken (y, x) ∉ b dır.

�

Geçişme yok: (x, y) ∈ b ve (y, z) ∈ b iken (x, z) ∉ b ��

olduğu görülür. �

� ��

b–1 ⊂ B × A olup, b–1 = {(y, x): (x, y) ∈ b} bağıntısına b bağıntısının tersi denir.

DNA 1 b, A da bir bağıntı iken: ∀x ∈ A için, (x, x) ∈ b oluyorsa; bağıntı yansıyandır.

X = {a, b, c, d, e}

kümesi üzerinde tanımlı aşağıdaki bağıntılardan

∀(x, y) ∈ b için, (y, x) ∈ b oluyorsa; bağıntı simetriktir.

hangisi ya da hangileri geçişmelidir?

∀x, y ∈ A ve x ≠ y için, (x, y) ∈ b iken (y, x) ∉ b oluyorsa;

b1 = {(a, b), (a, c), (b, c), (c, b), (b, b)}

bağıntı ters simetriktir.

b2 = {(a, c), (a, b), (a, a)}

∀[(x, y) ∈ b ve (y, z) ∈ b] için, (x, z) ∈ b oluyorsa; bağıntı

b3 = {(a, b), (b, a), (c, a), (c, b)}

geçişkendir. Bir bağıntının yansıma, ters simetri ve geçişme özellikleri varsa sıralama bağıntısıdır.

280

YGS MATEMATİK

A) Yalnız b1

D) b1 ve b2

B) Yalnız b2

C) Yalnız b3

E) b2 ve b3



FONKSİYON

Çözüm b1 e bakalım.

TANIM

(a, b) ve (b, c) için (a, c) ∈ b1

A kümesinin her elemanını, B kümesinin bir ve yalnız bir

(a, c) ve (c, b) için (a, b) ∈ b1

elemanı ile eşleyen A dan B ye bir f bağıntısına A dan B ye fonksiyon denir.

(b, c) ve (c, b) için (b, b) ∈ b1

f: A → B veya A → B yazılır.

(c, b) ve (b, c) için (c, c) ∉ b1

A tanım, B değer kümesidir.

olduğundan geçişmeli değil.

(x, y) ∈ f ise y = f(x) yazılır. y ye x in f fonksiyonu altındaki görüntüsü denir.

b2 ye bakalım.

Görüntü kümesi: f(x) = {y: (x, y) ∈ f}

(a, c) için c ile başlayan bir eleman yok. (a, b) için b ile başlayan bir ikili yok.

A = {1, 2, 3, 4} ve B = {2, 4, 6, 8, 10}

(a, a) ve (a, c) için (a, c) ∈ b2

kümeleri için;

(a, a) ve (a, b) için (a, b) ∈ b2

olduğundan b2 geçişmelidir.

s(A × B) = s(A) × s(B) = 4 ⋅ 5 = 20

A dan B ye tanımlanabilecek bağıntı sayısı = 220 b3 ü inceleyelim.

220 bağıntıdan biri;

(a, b) ve (b, a) için (a, a) ∉ b3 olduğundan diğerlerini incelemeye gerek yok.

A × B ⊃ f = {(1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8)} dir.

Bu durumda sadece b2 geçişmelidir. Doğru Seçenek B

İncelendiğinde fonksiyon olma koşullarını sağlar. A kümesinin her elemanı eşlenmiştir. A kümesindeki bir eleman birden fazla elemanla eşlenmemiştir. Şema ile gösterildiğinde; �

A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

�

��

��

��

��

��

kümesi üzerinde tanımlı aşağıdaki bağıntılardan han-

��

��

gisi ya da hangileri geçişken bağıntıdır?

��

b1 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 1), (3, 2), (3, 1)}

b2 = {(2, 1), (3, 2), (4, 5), (5, 6), (4, 6)}

f(A) = {2, 4, 6, 8} Görüntü kümesi.

b3 = {(6, 6), (7, 7), (3, 3), (1, 1)}

f: A → B

A) Yalnız b1

B) Yalnız b2

D) b1 ve b3

f(1) = 2, f(2) = 4, f(3) = 6, f(4) = 8

C) Yalnız b3

E) b2 ve b3

�

f(x) = 2x şeklinde gösterilebilir.

YGS MATEMATİK

281



�

�

�

��

��

��

��

DNA 2

��

��

f(x) = x2 – x3

��

��

fonksiyonu için, f(–1) aşağıdakilerden hangisidir?

��

A) –2

B) –1

C) 0

D) 1

E) 2

A × B ⊃ g = {(1, 2), (2, 4), (3, 6)} bağıntısı incelendiğinde, fonksiyon olma koşullarını sağ-

Çözüm

lamadığı görülür. A kümesindeki 4, B nin hiçbir elemanı ile eşlenmemiştir.

�

�

Doğru Seçenek E �

��

��

��

��

��

f(–1) = (–1)2 – (–1)3 = 1 + 1 = 2

��

A = {–1, 0, 1} kümesi ve A × B ⊃ h = {(1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8), (4, 10)}

bağıntısı incelendiğinde, fonksiyon olma koşullarını sağ-

fonksiyonu veriliyor.

lamadığı görülür.

f(x) = x2 – x3

Buna göre, f(A) kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

A kümesindeki 4, B nin hem 8 hem 10 elemanları ile eşlenmiştir. A kümesindeki 1, B kümesinin 5 elemanından biri ile,

A) {0}

A kümesindeki 2, B kümesinin 5 elemanından biri ile,

D) {–1, 0}

C) {0, 2}

E) {–1, 0, 2}

TANIM

A kümesindeki 3, B kümesinin 5 elemanından biri ile, A kümesindeki 4, B kümesinin 5 elemanından biri ile eş-

B) {2}

∀x1, x2 ∈ A için,

lenebileceğinden,

x1 ≠ x2 ⇒ f(x1) ≠ f(x2)

A dan B ye,

oluyorsa; f birebir fonksiyondur. 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 54 = 625

tane fonksiyon tanımlanabilir.

Işık 4

Işık 5 r elemanlı kümeden n elemanlı kümeye tanımlanabilen birebir fonksiyon sayısı:

A ve B kümeleri için,

P ( n,r ) =

s(A) = m ve s(B) = n ise, A dan B ye nm tane fonksiyon tanımlanabilir.

282

YGS MATEMATİK

dir.

n! ( n − r )!



DNA 3

TANIM f: A → B fonksiyonunda;

s(A) = 3 ve s(B) = 4

f(A) ≠ B

olduğuna göre, A kümesinden B kümesine tanımlanabilen tüm fonksiyonlardan kaç tanesi birebir

ise fonksiyona içine fonksiyon denir.

değildir? A) 12

f(A) = B B) 24

C) 40

D) 48

E) 64

ise fonksiyona örten fonksiyon denir. f: A → B fonksiyonunda; ∀x ∈ A için, f(x) = c ise fonksiyona sabit fonksiyon adı verilir.

Çözüm

f(x) = x ise fonksiyona birim fonksiyon adı verilir.

IŞIK 4’ten; A kümesinden B kümesine; 43 = 64 tane fonksiyon tanımlanabilir.

DNA 4

IŞIK 5’ten;

A kümesinden B kümesine; P ( n,r ) =

n! 4! = = 4 ⋅ 3 ⋅ 2 = 24 ( n − r )! ( 4 − 3 )!

f(x) = (a – 2)x + 4

olarak tanımlanan f fonksiyonunun sabit fonksiyon olduğu bilindiğine göre, a kaçtır?

tane birebir fonksiyon tanımlabilir.

A) 0

B) 1

C) 2

D) 3

E) 4

64 – 24 = 40 tane fonksiyon birebir değildir.

Çözüm

Doğru Seçenek C

Sabit fonksiyonda; ∀x ∈ A için f(x) = c olacağından x li terimin katsayısı sıfır olmalıdır. a–2=0

a=2

olmalıdır. 3 elemanlı bir kümeden, 5 elemanlı bir kümeye kaç tane birebir fonksiyon tanımlanabilir? A) 15

B) 20

C) 60

D) 65

Doğru Seçenek C

E) 125

YGS MATEMATİK

283



DNA 6

f(x) = (a – 3)x + 5

olarak tanımlanan f fonksiyonunun sabit fonksiyon

olduğuna göre, f(x + 2) aşağıdakilerden hangisine

olduğu bilindiğine göre, a kaçtır? A) 0

B) 1

f(x – 2) = x2 + 1

C) 2

eşittir? D) 3

E) 4

DNA 5

A) x2 + 4x + 5

B) x2 + 6x + 10

C) x2 + 8x + 16

D) x2 + 8x + 17

E) x2 + 2

f: N → R, 0 ; x = 0 için   f(x) =  1 ; x = 1 için 3 f ( x − 2 ) − f ( x − 1) ; x ≥ 2 için 

Çözüm

fonksiyonu tanımlanıyor. f(1) + f(2) + f(3) toplamının değeri kaçtır? A) –1

B) 3

C) 4

D) 7

E) 8

f(x – 2) den f(x + 2) yi oluşturabilmek için verilen eşitlikte x yerine x + 4 yazılırsa, f[(x + 4 ) – 2] = (x + 4)2 + 1 f(x + 2) = x2 + 8x + 17

bulunur.

Çözüm

Doğru Seçenek D f(1) = 1 f(2) = 3f(2 – 2) – f(2 – 1) = 3f(0) – f(1) = 3 ⋅ 0 – 1 = –1 f(3) = 3f(3 – 2) – f(3 – 1) = 3f(1) – f(2) = 3 ⋅ 1 – (–1) = 4 f(1) + f(2) + f(3) = 1 + (–1) + 4 = 4 Doğru Seçenek C

f(x + 1) = x2 + x – 3

olduğuna göre, f(x – 1) aşağıdakilerden hangisine ; x < 0 ise

eşittir?

; x ≥ 0 ise

A) x2 – x – 3

B) x2 + x – 3

fonksiyonu için, f(–2) + f(2) toplamı kaçtır?

C) x2 – 3x + 1

D) x2 + 3x – 1

 x f(x) =  2  x

A) –2

284

B) 0

YGS MATEMATİK

C) 2

D) 4

E) 6

E) x2 – 3x – 1



DNA 7 f: R → R,

f: R → R,

; x ≤ −3 ise | x | f ( x ) = 2 x + 9 ; −3 ≤ x ≤ 3 ise  3 ise x − c ; x ≥ 3

ifadesinin bir fonksiyon tanımladığı bilindiğine göre,

ifadesinin bir fonksiyon tanımladığı bilindiğine göre, c kaçtır? A) 12

B) 13

3 x + 2 ; x ≤ 1 ise f(x) =  2  x + k ; x ≥ 1 ise

k kaçtır? A) 2

C) 14

D) 15

B) 3

C) 4

D) 5

E) 6

E) 16

TANIM

Çözüm

f: A → B x → y = f(x)

R deki bir elemanın bir ve yalnız bir eleman ile eşlenmesi

birebir ve örten bir fonksiyon olsun.

gerekir.

f–1: B → A y → x = f–1(y)

Kritik sayılar;

fonksiyonuna f fonksiyonunun tersi denir.

x = –3 ve x = 3 sayılarıdır.

Işık 6

f(–3) = |–3| = 3 f(–3) = 2(–3) + 9 = –6 + 9 = 3

f: R → R f(x) = ax + b için;

olduğundan koşul sağlanır.

f(3) = 2(3) + 9 = 6 + 9 = 15

f(3) = 33 – c = 27 – c

27 – c = 15

f −1 ( x ) =

x −b a

dır.

olmalıdır. Buradan,

(a ≠ 0)

DNA 8

c = 12 f: R → R

bulunur.

Doğru Seçenek A

f(x) = 3x + 2

için, f–1(5) aşağıdakilerden hangisidir? A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

YGS MATEMATİK

E) 5

285



Çözüm

DNA 9

IŞIK 6’dan;

f(x) = f ( x ) = 3 x + 2 ⇒ f −1 ( x ) = f −1 ( 5 ) =

x−2 3

f −1 ( x ) =

5−2 3 = =1 3 3

2x + 3 için, 5x − 1 x+b cx + d

olduğuna göre, b + c + d toplamı kaçtır?

bulunur.

A) 2

B) 3

C) 5

D) 6

E) 8

Çözüm

y = f(x) iken x = f–1(y) olduğundan,

IŞIK 7’den;

y = f(x) = 3x + 2 iken, 3x + 2 = 5 ⇒ 3x = 3

⇒x=1

ax + b − dx + b ⇔ f −1 ( x ) = cx + d cx − a

f(x) =

2x + 3 x+3 ⇔ f −1 ( x ) = 5x −1 5x − 2

dır.

f–1(5) = 1 dir.

f(x) =

Doğru Seçenek A

f −1 ( x ) =

x+b x+3 = cx + d 5 x − 2

eşitliğinden, f: R → R,

b = 3, c = 5, d = –2

f(x) = 2x – 3

değerleri elde edilir ve buradan,

için, f–1(5) aşağıdakilerden hangisidir? A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

b+c+d=3+5–2=6 E) 5


Işık 7

{ }

f :R − −

f(x) =

{}

d a →R− c c

f: R – {–1} → R – {2}

ax + b için, cx + d

f −1 ( x ) =

− dx + b cx − a

(a ve d, hem yer hem işaret değiştirir.)

286

YGS MATEMATİK

2x + 3 x +1

fonksiyonu için f–1(x) aşağıdakilerden hangisidir? A)

dır.

f(x) =

2x − 3 x −1

D)

B) x+3 x+2

x−3 2x − 1 E)

C) x +1 2x + 3

−x + 3 x−2



Çözüm

TANIM f: A → B

f[g(x)] = f(5x + a) = a(5x + a) + 3 = 5ax + a2 + 3

g: B → C için, A dan C ye, g[f(x)] = g(ax + 3) = 5(ax + 3) + a = 5ax + 15 + a

(gof)(x) = g[f(x)] biçiminde verilen gof fonksiyonuna g ile f nin bileşke fonksiyonu denir.

olduğundan, katsayılar eşitlendiğinde;

a2 + 3 = 15 + a

a2 – a – 12 = 0

(a – 4)(a + 3) = 0

Örneğin, f: R → R, f(x) = x2 – 1 ve g: R → R, g(x) = 2x + 1 fonksiyonları için,

a – 4 = 0 ⇒ a = 4 veya

(gof)(x) = g[f(x)]

a + 3 = 0 ⇒ a = –3

= g(x2 – 1) = 2(x2 – 1) + 1 = 2x2 – 1 olmalıdır.

(fog)(x) = f[g(x)] a nın alabileceği değerler toplamı:

= f(2x + 1) = (2x + 1)2 – 1 = 4x2 + 4x tir.

4 + (–3) = 1 bulunur. Doğru Seçenek D

Işık 8 f ο f–1 = Ι = f–1 ο f

DNA 10

f(x) = ax + 3

g(x) = 5x + a

f[g(x)] = g[f(x)]

olduğu bilindiğine göre, a nın alabileceği değerler toplamı kaçtır? A) –2

B) –1

f(x) = 4x + 6

g(x) = 3x + k

iken (fog)(x) = (gof)(x) olduğuna göre, k nin değeri kaçtır?

C) 0

D) 1

E) 2

A) 0

B) 1

C) 2

D) 3

YGS MATEMATİK

E) 4

287



DNA 11

DNA 12

f ve g fonksiyonları için,

 1  1 f =  x − 1 x

f(x) = 2x – 3

f[g(x)] = x

olduğuna göre, f(x) aşağıdakilerden hangisidir?

olduğuna göre g(x) aşağıdakilerden hangisidir? A) 2x + 3

B) 3x – 2

x−3 D) 2

A)

C) 3x + 2

1 x +1

B)

x x +1

D) x – 1

C)

x x −1

E) x + 1

x+3 E) 2

Çözüm g( x ) =

Çözüm

1 dersek IŞIK 7’den; x −1 g−1 ( x ) =

f[g(x)] = 2g(x) – 3 = x

2g(x) = x + 3

g( x ) =

x +1 x

olur. IŞIK 8’den (gog–1)(x) = x olacağından;

x+3 2

fogog–1 = foΙ = f bulunur.

dir.

1 1   f = x +1  x +1  − 1  x  x

Doğru Seçenek E

f(x) =

x x +1


f ve g fonksiyonları için,

f(x) = 3x + 2

f[g(x)] = x

olduğuna göre, g(x) aşağıdakilerden hangisidir? A) 2x + 3

288

D)

B) 3x – 2 x−2 3

YGS MATEMATİK

E)

C) 3x + 2 x+2 3

f(2x – 1) = 3x + 5

olduğuna göre f(x) aşağıdakilerden hangisidir? A) 3x + 13

D)

B) 3x – 13 3 x − 13 2

E)

C) 3x + 5 2

3 x + 13 2



DNA 13 f(x) =

DNA 14

1 x

g( x ) = x 2

h( x ) = x

olduğuna göre,

olduğuna göre, (hogof)(x) aşağıdakilerden hangi1 B) x

A) 3

1 C) x

D) 1

f( −2) + f(3) ifadesinin değeri kaçf(0) + f(10)

tır?

sidir? A) x

; x ≤ −2 3 x  f ( x ) = 2 x − 2 ; −2 < x ≤ 3 ise 7 − x ; x>3 

B) 4

E) 0

C)

5 2

D)

1 3

E)

2 5

Çözüm

Çözüm

f(–2) = 3(–2) = –6

f(3) = 2(3) – 2 = 6 – 2 = 4 f(0) = 2(0) – 2 = 0 – 2 = –2

  1  ( hogof )( x ) = h { g[ f ( x )]} = h g      x   1  = h =  x2 

1 x2

=

f(10) = 7 – 10 = –3

değerleri yerlerine yazıldığında;

1 x

f ( −2 ) + f ( 3 ) −6 + 4 −2 2 = = = f ( 0 ) + f (10 ) −2 + ( −3 ) −5 5

bulunur. bulunur. Doğru Seçenek C Doğru Seçenek E

f ( x ) = 1+

1 1+ x

olduğuna göre, f(f(f(1))) aşağıdakilerden hangisidir? A)

17 12

B)

3 2

C)

19 12

D)

5 3

E) 2

 x − 1 ; x ≤ 0 ise f(x) =  2 ; x > 0 ise  x

f(–2) + f(0) + f(2) toplamı kaçtır? A) –2

B) –1

C) 0

D) 1

YGS MATEMATİK

E) 2

289



DNA 15

DNA 16

f(x + y) = f(x) ⋅ f(y)

f(1) = 8

olduğuna göre, f(x + 1) – f(x) in f(x) türünden eşiti

2 olduğuna göre, f   değeri kaçtır? 3 A) 1

B) 2

C) 4

f(x) = 4x

aşağıdakilerden hangisidir? A) 3f(x)

D) 6

E) 8

Çözüm 1=

C) [f(x)]3

B) 3 + f(x)

D) 4f(x)

E) 4 + f(x)

Çözüm 2 1 2 1 1 + ve = + 3 3 3 3 3

f(x + 1) – f(x) = 4x+1 – 4x

eşitlikleri kullanıldığında,  2 1  2  1  1 1  1 f (1) = f  +  = f   ⋅ f   = f  +  ⋅ f   3 3 3 3 3 3 3

= 4x(4 – 1) = 3 ⋅ 4x

= 3 ⋅ f(x)

bulunur.

 1  1  1 = f ⋅f ⋅f  = 8 3 3 3

Doğru Seçenek A

 1 f  = 2 3 2  1 1  1  1 f   = f  +  = f  ⋅f   = 2⋅2 = 4 3 3 3 3 3 bulunur. Doğru Seçenek C

f(x) = 3x

olduğuna göre, f(x + 1) + f(x) in f(x) türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) 3f(x)

f(x + y) = f(x) ⋅ f(y)

f(1) = a

B) 3 + f(x)

D) 4f(x)

C) [f(x)]3

E) 4 + f(x)

olduğuna göre, f(3) aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) 3a

290

B) 2a

D) 3 + a

YGS MATEMATİK

E) a3

C) 2 + a

TANIM A dan A ya tanımlanan birebir ve örten fonksiyonlara A nın permütasyonları denir.



Çözüm

Işık 9

g yi bulmak istediğimiz için gof–1 ifadesinde f–1 den kurtul-

s(A) = n

malıyız. Bunun için,

ise A da tanımlanabilecek permütasyonlar n! tanedir.

1 gof −1 =  2

2 1

3 4

4  3

eşitliğinin her iki yanına “o f” ekleyelim. 1 2 3 4  of go f −1of =  2 1 4 3   A = {1, 2, 3, 4} kümesi ve f: A → A  1 2 3 4 f =   3 4 2 1

1 2 3 4  of g= 2 1 4 3  

1 2 3 4  1 2 3 4   o   g=  2 1 4 3   3 4 1 2     

için, f(1) = 3, f(2) = 4, f(3) = 2, f(4) = 1

1 2 3 4   g= 4 3 2 1   

dir. dir.

Doğru Seçenek A

DNA 17

1 2 3 4   f = 3 4 1 2  

1 2 3 4   gof −1 =  2 1 4 3  

olduğuna göre, g fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir?

x y z t   f = y z t x  

x y z t   g−1of =  t z x y  

olduğuna göre, g fonksiyonu aşağıdakilerden hangi-

A)  1 2 3 4    4 3 2 1   

B)  1 2 3 4    3 2 1 4  

C)  1 2 3 4    4 2 3 1   

D)  1 2 3 4    4 3 1 2  

E)  1 2 3 4    4 2 1 3  

sidir? A)  x y z t    z x y t  

B)  x y z t    t x y z  

C)  x y z t    t x z y  

D)  x y z t    y z x t  

E)  x y z t    t y x y  

YGS MATEMATİK

291



f (5) f  g  ( 5 ) = g( 5 )  

Işık 10 (f  g)(x) = f(x)  g(x)

=

(c ⋅ f)(x) = c ⋅ f(x)

(f ⋅ g)(x) = f(x) ⋅ g(x)

f(x) f  g  ( x ) = g( x )  

( g( x ) ≠ 0 )

(f ⋅ g)(5) = f(5) ⋅ g(5) 5 −1⋅

f n ( x ) = f ( x ) ⋅ f ( x ) ⋅ ... ⋅ f ( x ) 

5 −1 2 = = 12 DOĞRU 1 1 5 +1 6

1 1 1 = 2 ⋅ = DOĞRU 5 +1 6 3

(fog)(5) = f(g(5))

n tane

 1   1 = f  = f   5 + 1 6 =

1 5 − 1 = − ∉ R YANLIŞ 6 6

Doğru Seçenek E

DNA 18 f(x) = x −1 g( x ) =

1 x +1

fonksiyonları için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? A) ( f + g )( 5 ) =

13 6

f C)   ( 5 ) = 12  g

B) ( f − g )( 5 ) = D) ( f ⋅ g) ( 5 ) =

11 6

1 3

1 E) ( f ο g) ( 5 ) = 3

f(x) = x + 2 g( x ) = 3 x

olduğuna göre, (f ⋅ g)(8) aşağıdakilerden hangisidir? A) 2

B) 4

C) 10

D) 20

E) 80

Çözüm

(f + g)(5) = f(5) + g(5) 1 1 13 = 5 −1+ =2+ = DOĞRU 5 +1 6 6

(f – g)(5) = f(5) – g(5) = 5 −1−

292

1 1 11 =2− = DOĞRU 5 +1 6 6

YGS MATEMATİK

Işık 11 Dik koordinat sisteminde verilen bir grafiğin bir y = f(x) fonksiyonuna ait olabilmesi için, x eksenine çizilen dikme doğrularının tümünün, grafiği en çok bir noktada kesiyor olması gerekir.



�

�

DNA 19 Aşağıda verilen grafiklerden hangisi bir fonksiyo-

�

�

�

��

� ��

na ait olabilir? �

��

Yukarıdaki şekillerde y = f(x) bir fonksiyon; y = g(x) ise bir

�

�

fonksiyon değildir.

�

�

�

��

�

��

�

��

Işık 12 �

�

Dik koordinat sisteminde, bir y = f(x) fonksiyonunun

�

grafiği verilmiş olsun.

�

�

�� Bu fonksiyonun grafiğinin x ekseni üzerindeki dik izdüşümü f nin tanım kümesi, y ekseni üzerindeki dik izdüşümü de f nin görüntü kümesidir.

�

�

� �

��

� �

Çözüm

�

�

IŞIK 11’den yola çıkarak bütün seçenekleri sırasıyla inceleyelim. Şekildeki y = f(x) fonksiyonunun tanım kümesi [a, b], görüntü kümesi ise [c, d] dir.

�

��

İki noktada kesti. �

�

Işık 13 Dik koordinat sisteminde, bir y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiş olsun.

Fonksiyon grafiği olamaz.

�

��

Üç noktada kesti. �

�


y eksenine çizilen dikme doğrularının her biri, f nin grafiğini en çok bir noktada kesiyorsa, o zaman, f fonksiyonu birebirdir.

YGS MATEMATİK

293



�

��

DNA 20

x eksenine çizilen her dikme grafiği yalnız bir nokta�

�

�

da kesiyor. Fonksiyon grafiği olabilir.

��

�

�

��

��


�

Yukarıdaki şekilde y = f(x) ile y = g(x) fonksiyonlarının


grafikleri gösterilmiştir. Buna göre, f(x) = g(x) eşitliğini sağlayan kaç değişik x değeri vardır?

�

��

A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5


�

Çözüm


Verilen şekilden f ile g nin grafiklerinin üç değişik noktada Doğru Seçenek C

kesiştiği görülmektedir. Buradan, f(x) = g(x) denklemini sağlayan üç değişik x değeri olduğunu söyleriz.

Aşağıda verilen grafiklerden hangisi bir fonksiyona

Doğru Seçenek C

ait olabilir? �

��

�

�

�

�

�

�

��

�

��

��

��

�

��

�

�

�

�

Yukarıdaki şekilde y = f(x) ile y = g(x) fonksiyonlarının gra-

�

��

�

fikleri gösterilmiştir.

�

�

Buna göre, f(x) = g(x) denkleminin kaç değişik kökü vardır? A) 3

294

YGS MATEMATİK

B) 4

C) 5

D) 6

E) 7



5.

TEST - 1 1.

f fonksiyonu için,

3f(x) + 2f(1 – x) = 2x + 9

fonksiyonu için, f–1(–10) ifadesinin değeri nedir?

A) –506

B) 2

C) 3

D) 4

2.

f ( x ) = 1−

1 x

fonksiyonu için, f–1(x) aşağıdakilerden hangisi-

x A) x −1

x B) x +1

D) 1 + x

3.

f(x) = x + 2

g( x ) = 3 x

olduğuna göre,

A) –6

4.

1 506

E) 2

olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır? B) –1

C) 0

D) 1

E) 2

7.

f(3x) = x + f(3x – 3)

f(3) = 1

olduğuna göre, f(300) aşağıdakilerden hangisidir?

(f–1

o

g–1)(2)

aşağıdakilerden han-

C) 2

D) 6

E) 8

A) 100

8.

f(x) = x + 1

fonksiyonu için, f(f(f(x))) ifadesinin eşiti hangisi-

f–1(x) = bx + a

A) –2

B) –2

A) x3 + 1

f(x) = ax + b

E) x – 1

dir?

1 C) 1− x

gisidir?

D) −

1 10

fonksiyonunun tersi,

dir?

C) −

B) –2

E) 5

6.

1 3 x −6 2

olduğuna göre, f(2) aşağıdakilerden hangisidir? A) 1

f(x) =

B) x3 + 3x

D) x + 3

C) 3x + 1

E) 3x + 3

D) 5050

C) 1050

E) 9000

f(x) = 2x – 3 ( gοf )( x ) =

B) 300

2x 2x − 3

olduğuna göre, g(1) aşağıdakilerden hangisidir? A) –2

B) 2

C) 3

D) 4

YGS MATEMATİK

E) 6

295


9.


13.

f(x) = 2x

fonksiyonu için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

A) f(x – y) = f(x) – f(y)

B) f(x + y) = f(x ⋅ y)

C) f(x + y) = f(x) ⋅ f(y)

D) f(g(x)) = f(x)

E) f ( x + y ) =

f(x) = |x| + |x + 1|

için, f([–3, 1]) aşağıdakilerden hangisidir?

A) [3, 5]

B) [0, 5]

D) [1, 5]

C) [0, 3]

E) [–1, 5]

f(x) f(y)

14. f: N+ → N+ 10. f ve g, R den R ye fonksiyonları için, f(g(x)) = 2 ⋅ g(x + 1)

f(n + 1) = n ⋅ f(n)

f(1) = 1

olduğuna göre, f(f(2x)) aşağıdakilerden hangisi-

olarak tanımlanıyor.

dir?

f(6) aşağıdakilerden hangisidir?

A) 24x+7

B) 2x+3

D) 2x+2 + 5

11.

f(3x + 1) = x + 3

C) 22x

A) 8

B) 0

8 D) 3

C) 1


Buna göre,

A)

max(4; 3) = 4

max(–1,5; –1,2) = –1,2

f: R→ R,

fonksiyonu için, aşağıdaki aralıkların hangisinde

A) [–2, 1]

1. E

296

B) [–1, 0]

D) [1, 2] 2. C

3. D

YGS MATEMATİK

4. D

aşağıdakilerden hangisine

2 3

B)

1 2

C)

9 8

D)

15 4

E) 5

16. x ≠ 0 için,

f(x) = max(x; x2)

f(x) = x olur?

 1 f  5

eşittir?

Örneğin;

dir.

E) 6!

 2x − 3  9x + 6 f =  3 x + 2  8 x − 12

a, b sayılarından küçük olmayanını göstermektedir.

D) 5!

15. Uygun tanım aralığında;

E) 3

12. a, b herhangi iki sayı olmak üzere, max(a, b) ifadesi

C) 24

E) 2x+4

olduğuna göre, f(0) aşağıdakilerden hangisidir? 1 A) − 3

B) 12

C) [0, 1]


Buna göre, f(1) değeri kaçtır?

E) [2, 3] 5. B

6. A

x–1 f(–x) + f(x–1) = x

A) 0 7. D

8. D

9. C

10. E

B) 1 11. D

C) 2 12. C

13. D

D) 3 14. D

15. D

E) 4 16. B



5.

TEST - 2

leri bire birdir?

1.

eşitliğini sağlayan (x, y) ikilisi nedir?

(2x+1, y + x) = (3, 2 – x)

A) (1, –2)

Aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi ya da hangi-

B) (1, –1)

D) (2, 0)

C) (1, 0)

E) (2, –2)

f(x) = x2 + 1

g( x ) =

h( x ) =

x +1 B) Yalnız g

D) f ve g

C) Yalnız h

E) f ve h

Gerçek sayılarda,

b1 = {(x, y)| x2 – y2 = 24}

b2 = {(x, y)| y = x + 6}

6.

bağıntıları tanımlanıyor.

Aşağıdakilerden hangisi b1 ∩ b2 nin elemanıdır?

A) (–1, 5)

3.

x 2

A) Yalnız f

2.

1 x +1

B) (5, 1)

D) (–5, 1)

C) (5, –1)

f(x) birim fonksiyondur.

f(x2) = (a – 3)x2 + (b + 1)x + c – 3

olduğuna göre, a + b + c toplamı kaçtır? A) –12

E) (3, 4)

B) –9

C) 0

D) 6

E) 9

Aşağıdaki bağıntılardan hangisi A = {1, 2} kümesinden B = {1, 2, 3} kümesine tanımlı bir fonksiyondur? A) {(1, 1), (2, 2), (3, 3)} B) {(1, 2), (2, 1), (3, 1)}

olduğuna göre, f(–x) in f(x) cinsinden değeri ne-

E) {(1, 2), (2, 1)}

4.

f (x) =

dir?

C) {(1, 1), (2, 1), (3, 3)} D) {(1, 1), (1, 2), (2, 1)}

1+ x 1− x

7.

A) –f(x)

B)

D) −

1 f (x)

1 + f (x) 1 − f (x)

C)

E)

1 − f (x) 1 + f (x)

1 f (x)

Aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi A = {1, 2, 3} kümesinden B = {0, –1, –2} kümesine tanımlı bire bir ve örten fonksiyondur? A) {(1, 0), (2, –1), (3, 0)} B) {(1, 0), (2, –2), (3, –1)} C) {(1, 0), (2, 0), (3, 0)} D) {(1, –1), (2, 0), (3, –1)} E) {(3, –1), (2, –2), (1, –1)}

8.

Tam sayılar kümesinde tanımlı bir f fonksiyonu,

f(2x + 1) – f(2x – 1) = 1

eşitliğini sağlamaktadır.

f(1) = 0 olduğuna göre, f(101) kaçtır? A) 49

B) 50

C) 99

D) 100

YGS MATEMATİK

E) 101

297


9.


f(x) = 2x – 3

13.

f(x – 2) = 2x + 1

(fog)(x) = 4x + 5

g(x + 3) = 4x + 2

olduğuna göre, g(2) değeri kaçtır?

A) 4

B) 6

C) 8

D) 10

olduğuna göre, (gof)(–1) değeri kaçtır? A) –2

E) 12

B) –1

C) 0

D) 2

E) 3

10. f: R → R fonksiyonu, x ≥1 ise  x −1 ,  f ( x ) =  3 x + 4, −1 < x < 1 ise  2 x ≤ −1 ise  x + 2,

14.


Buna göre, f(–1) + f(0) + f(2) toplamı kaçtır? A) –2

C) 4

D) 6

(fog)(x) = x + 1

E) 8

x 2

Yukarıdaki şekilde, y = f(x) fonksiyonunun grafiği

B)

x −1 2

D) x

C)

f[f(k – 1)] = 0

eşitliğini sağlayan k değerlerinin toplamı kaçtır?

A) –2

x +1 2

B) –1

15.

��

�

�

�

��

��

�

��

� ��

� � �

fonksiyonlarının grafikleri gösterilmiştir.

Buna göre,

eşitliğini sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır?

1. C

298

2. D

3. E

YGS MATEMATİK

�

�

�

�

�

Yukarıdaki şekilde, y = f(x) fonksiyonunun grafiği gösterilmiştir.

f(x) = g(x)

B) 3

�

��

Yukarıdaki şekilde y = f(x) fonksiyonu ile y = g(x)

A) 2

E) 3

�

��

D) 1

�

�

C) 0

E) x + 1

�

��

Buna göre,

�

�

gösterilmiştir.

12.

�

��

hangisidir? A)

�

��

olduğuna göre, g(x) fonksiyonu aşağıdakilerden

�

��

f(x) = 2x + 1

��

B) 2

11.

�

C) 4 4. B

D) 5 5. B

6.D

A) 4

E) 6 7. E

Buna göre, f(2) + f(6) + f(7) kaçtır?

8. B

9. C

B) 5 10. E

11. A

C) 6 12. D

D) 7 13. D

14.E

E) 8 15. D

İŞLEM - BÖLÜM 10

İŞLEMİN TANIMI

Şimdi de  işleminde x yerine 1 ve y yerine 2 yazmalıyız.

TANIM

x = 1 ve y = 2 için,

A ve B boş kümeden farklı iki küme olsun. A x A dan B ye tanımlanan her fonksiyona bir ikili işlem denir. Özel olarak A x A dan A ya tanımlanan her fonksiyona da A da bir ikili işlem denir. İşlemler kısaca, , D, ο, ∇, ... gibi sembollerle gösterilir.

x  y = x + y2 ⇒

1  2 = 1 + 22

=1+4

=5

buluruz.

3D4=5

Doğru Seçenek C

ifadesi; “üç işlem dört eşittir beş” diye okunur.

Not Bundan sonra “ikili işlem” yerine kısaca “işlem” diyeceğiz.

Tam sayılar kümesinde bir “D” işlemi, x D y = x + 2y – 1

DNA 1

kuralıyla tanımlanıyor. Buna göre, (1 D 1) D 1 kaçtır?

Tam sayılar kümesinde bir “” işlemi,

A) 3

x  y = x + y2

B) 4

C) 5

D) 6

E) 7

kuralıyla tanımlanıyor. Buna göre, (1  0)  2 kaçtır? A) 1

B) 3

C) 5

D) 6

E) 7

DNA 2

Çözüm

Gerçek sayılar kümesinde bir “D" işlemi, her x, y ∈ R 1  0 değerini bulabilmek için;  işleminde x yerine 1 ve y yerine 0 yazmalıyız.

x = 1 ve y = 0 için:

⇒ 1  0 = 1 + 02 = 1 + 0 = 1

buluruz.

Buna göre, a D b aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) a +

Dolayısıyla, (1  0)  2 = 1  2 123 1

dir.

x D y = 2 ⋅ (y D x) + x + 1

eşitliğini sağlamaktadır. x  y = x + y2

için,

C) −

b 2 + 2 3

B) 2a − b −

a 2b − + 1 3 3 E) −

D)

3 2

a 2b + −1 3 3

2b a − −1 3 3

YGS MATEMATİK

299

İşlemin Tanımı

İşlem - Bölüm 10

Çözüm

TANIM Bir işlem tablosunda yatay sıralara satır, dikey sıralara ise

x = a ve y = b için,

sütun adı verilir.

a D b = 2 ⋅ (b D a) + a + 1 ... (i)

A = {a, b, c, d}

x = b ve y = a için,

kümesinde tanımlı bir “D” işleminin tablosunda sadır ve

b D a = 2 ⋅ (a D b) + b + 1 ... (ii)

sütunları gösterelim.

elde ederiz. a D b yi bulabilmemiz için (i) ve (ii) denklemleri yeterli. (ii) denklemindeki b D a değerini (i) denkleminde yerine yazarsak,

D

a

b

c

d

a

b

c

d

a

1. satır

b

c

d

a

b

2. satır

c

d

a

b

c

3. satır

d

a

b

c

d

4. satır

a D b = 2 ⋅ [2 (a D b) + b + 1] + a + 1

1. 2. 3. 4. sütun sütun sütun sütun

⇒ a D b = 4 ⋅ (a D b) + 2b + 2 + a + 1

Yukarıdaki A da tanımlanmış “D” işleminin tablosu ⇒ (a D b) – 4 ⋅ (a D b) = 2b + a + 3

(Soldaki i-yinci eleman) D (Tepedeki j-yinci eleman) =

⇒ –3 ⋅ (a D b) = 2b + a + 3

−2b a ⇒ a ∆ b = − −1 3 3

(Tablo içindeki i-yinci satır ile j-yinci sütunun kesişimindeki eleman)

kuralına göre okunur. Örneğin, a D b = c


DNA 3

A = {1, 2, 3, 4, 5}

kümesinde bir “D" işlemi aşağıdaki tablo ile tanımlanmıştır.

Gerçek sayılar kümesinde bir “D” işlemi, her x, y ∈ R için,

x D y = 2 ⋅ (y D x) + 1 + x


300

B) –4

YGS MATEMATİK

C) –2

D) 1

1

2

3

4

5

1

5

1

2

3

4

2

1

2

3

4

5

3

2

3

4

5

1

4

3

4

5

1

2

5

4

5

1

2

3

Buna göre, (3 D 4) D (5 D 2) kaçtır?

Buna göre, 3 D 6 işleminin sonucu kaçtır? A) –6

D

E) 9

A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5


İşlemin Tanımı

İŞLEMİN ÖZELİKLERİ

Çözüm D

1

2

3

4

D

5

1

2

3

4

TANIM

5

1

3

1

1

2

4

2

2

A boş kümeden farklı bir küme, A ⊂ B ve : A x A → B

3

3

bir işlem olsun.

4

3

2

3

4

5

1

4

1

4

5

2

5

4

5

3D4=5 D

2

3

5D2=5 1

2

3

4

4

2

5

3

2

4

3 4

5

1

A kümesindeki her x, y elemanı için x  y ∈ A oluyorsa “ işleminin A kümesinde kapalılık özeliği vardır.” ya da “A kümesi  işlemine göre kapalıdır.” denir.

5

1

5

1

2

DNA 4 Tam sayılar kümesinde tanımlı aşağıdaki işlemlerden hangisinin kapalılık özeliği vardır?

3 A) x  y = x + y + x ⋅ y

5D5=3

B) x D y = x2 + y2 – xy

Tabloyu okuduğumuza göre, (3 D 4) D (5 D 2) = 3 123

123

5

5

 x + y, C) x ο y =   x − y,

x>y x≤y

ise ise

D) x  y = 2x + 3y – 1

olduğunu kolayca söyleriz.

E) x ∇ y = 2x + y

Doğru Seçenek C

Çözüm Tam sayılar kümesinde bir • işleminin kapalılık özeliğinin

olması; x ve y nin her tam sayı değerine karşılık x • y nin

A = {1, 2, 3, 4, 5}

kümesinde bir "D” işlemi aşağıdaki tablo ile tanımlanmıştır.

Seçenekleri sıra ile inceleyelim. D

1

2

3

4

5

1

1

2

3

4

5

2

2

2

3

4

5

3

3

3

3

4

5

4

4

4

4

4

5

5

5

5

5

5

5

A)

B) 2

C) 3

xy=x+y+x⋅y 123

∈Z

123

∈Z

14243 ∈Z

x ile y nin her tam sayı değeri için x + y ile x ⋅ y bir tam sayı olur. İki tam sayının toplamı yine bir tam sayı olduğundan, “” işleminin tam sayılar kümesinde

Buna göre, (2 D 3) D (4 D 5) kaçtır? A) 1

de bir tam sayı değerinin olması demektir.

D) 4

E) 5

kapalılık özeliği vardır.

YGS MATEMATİK

301

İşlemin Tanımı


x D y = x2 + y2 – xy

B)

123

123

123

∈Z

∈Z

∈Z

1442443 ∈Z

Aşağıda verilen kümelerden hangisi x  y = xy işlemiHer x, y tam sayısı için, x2 ∈ Z, y2 ∈ Z ve x ⋅ y ∈ Z ol-

duğundan, “D” işleminin tam sayılar kümesi üzerinde kapalılık özeliği vardır.

A) Tam sayılar kümesi B) Rasyonel sayılar kümesi

∈Z 123

 x + y, xοy=  x − y,

C)

ne göre kapalıdır?

x>y x≤y

123

ise ise

C) Gerçek sayılar kümesi D) Pozitif rasyonel sayılar kümesi E) Pozitif tam sayılar kümesi

∈Z

x > y ya da x ≤ y iken x o y nin bir tam sayıya eşit ol-

duğu âşikârdır. Dolayısıyla, “o” işleminin tam sayılar kümesi üzerinde kapalılık özeliği vardır.

D)

x  y =123 2x +123 3y – 1 ∈Z ∈Z

14243 ∈Z

Her x, y ∈ Z için, 2x + 3y – 1 ∈ Z olduğundan oldu-

ğundan, “” işleminin tam sayılar kümesi üzerinde

TANIM

kapalılık özeliği vardır.

Bir "” işlemi, bir A kümesinde tanımlanmış olsun. Eğer, her a, b, c ∈ A için,

x ∇ y = 2x + y

E)

123

123

∉Z ∈Z 14243 ∉Z

x negatif tam sayı iken 2x bir tam sayı değildir. 2−1 =

1 2

2−2 =

1 4

a  (b  c) = (a  b)  c oluyorsa, o zaman, "” işleminin birleşme özelliği vardır veya kısaca "” işlemi birleşmelidir denir.

Dolayısıyla, tam sayılar kümesi “∇” işlemine göre,

Işık 1

kapalı değildir.

Sadece bir tane bile (x, y) ikilisi için x ∇ y nin bir tam sayı olmaması, kapalılık özeliğini bozar. Başka bir (x, y) ikilisi aramamıza gerek yoktur. Doğru Seçenek E

a  b = ma + nb + kab + l işleminin birleşmeli olması için,

(i) m = n

(ii) m(m – 1) = kl

olması gerek ve yeterlidir.

302

YGS MATEMATİK


İşlemin Tanımı

DNA 5

TANIM A

kümesinde

bir

"”

işlemi

tanımlanmış

olsun.


Eğer "” işlemi birleşmeli değilse, o zaman "” işleminin

xy=x+y–1

birleşme özelliği yoktur veya "” işlemi birleşmeli değildir denir.

kuralıyla tanımlanıyor. Buna göre, "” işleminin etkisiz elemanı kaçtır? A) –2

TANIM Bir A kümesinde bir "” işlemi tanımlanmış olsun.

C) 0

E) 2

Her x tam sayısı için, xe=ex=x

olacak biçimde bir e ∈ A varsa, o zaman, e ye “” işleminin birim elemanı veya etkisiz elemanı denir.

D) 1

Çözüm

Her x ∈ A için, ex=xe=x

B) –1

olacak biçimde bir e tam sayısının varlığını araştıracağız. xe=x=ex

TANIM Eğer bir “” işleminin etkisiz elemanı varsa, o zaman, “” işlemi birimlidir denir.

⇒

⇒

x + e −1= x = e + x −1 e=1

buluruz. O halde, “” işleminin etkisiz elemanı vardır ve 1 dir.

Örneğin, doğal sayılar kümesinde, bildiğimiz toplama işle-

Doğru Seçenek D

minin birim elemanı sıfırdır. Bundan dolayı, toplama işlemi doğal sayılar kümesinde birimlidir. “” işleminin etkisiz elemanı yoksa, “” işlemi birimsizdir denir. Örneğin, pozitif doğal sayılar kümesinde, bildiğimiz toplama işleminin birim elemanı yoktur. Bundan dolayı toplama işlemi Z+ da birimsizdir. Gerçek sayılar kümesinde bir “” işlemi,

Uyarı Yukarıdaki örnekten anlıyoruz ki bir işlemin etkisiz elemanı var olmayabilir.

xy=x+y–4

kuralıyla tanımlanıyor. Buna göre, “” işleminin birim elemanı kaçtır? A) –4

B) –2

C) 1

D) 2

YGS MATEMATİK

E) 4

303

İşlemin Tanımı


DNA 6 Gerçek sayılar kümesinde bir “” işlemi,

Gerçek sayılar kümesinde bir “” işlemi,

x  y = 2x + 2y + xy + 2

kuralıyla tanımlanıyor.


Buna göre, "” işleminin etkisiz elemanı kaçtır? A) –2

1 C) − 2

B) –1

x  y = 3x + 3y + xy + 6

1 D) 2

E) 2

Buna göre, “” işleminin etkisiz elemanı kaçtır? B) –2

A) –3

C) –1

D) 2

E) 3

Çözüm Her x gerçek sayısı için,

Hazine 1

xe=ex=x olacak biçimde bir e gerçek sayısının varlığını araştıra-

m ≠ 0 olmak üzere, gerçek sayılar kümesinde tanımlı,

cağız.

x  y = mx + ny + kxy + l xe=ex

işleminin etkisiz elemanının var olabilmesi için,

olduğu zaten âşikâr olduğundan,

(i)

olması gerek ve yeterlidir.

denklemini çözmemiz kâfi.

Ayrıca, bu “”işleminin etkisiz elemanını e ile göste-

xe=x ⇒

(ii) m(m – 1) = kl

xe=x

m=n

rirsek,

2x + 2e + xe + 2 = x

⇒

2e + xe = –x – 2

⇒

e(x + 2) = –(x + 2)

⇒

(e + 1) ⋅ (x + 2) = 0

⇒

e = –1 veya x = –2

e=

−l m

dir.

DNA 7 Gerçek sayılar kümesinde bir “D” işlemi,

buluruz. x kaç olursa olsun, e = –1 için istenen şart sağlanacağından “” işleminin etkisiz elemanı vardır ve –1 dir.

x D y = 3x + by + 2xy + a

kuralıyla tanımlanıyor. “D” işlemi birimli olduğuna göre, “D” işleminin bi-

Doğru Seçenek B

rim elemanı kaçtır? A) –3

304

YGS MATEMATİK

B) –1

C) 0

D) 1

E) 3


İşlemin Tanımı

Çözüm

DNA 8

Hazine 1’den, “D” işleminin birimli olması için; (i)

3=b

(ii) 3 ⋅ (3 – 1) = 2 ⋅ a

⇒

3⋅2=2⋅a

D 1

2

3

4

5

 1

2

3

4

5

1

5

1

2

3

4

1

3

4

5

1

2

2

1

2

3

4

5

2

4

5

1

2

3

3

2

3

4

5

1

3

5

1

2

3

4

4

3

4

5

1

2

4

1

2

3

4

5

5

4

5

1

2

3

5

2

3

4

5

1

A = {1, 2, 3, 4, 5}

kümesinde “D" ve “” işlemleri yukarıdaki tablolar ile ⇒

tanımlanmıştır.

a=3

Buna göre,

olmasının gerek ve yeterli olduğunu biliyoruz.

x o y = x D (x  y)

kuralıyla tanımlanan "o" işleminin etkisiz elemanı eğer varsa kaçtır?

Bu değerleri yerine yazalım.

A) 1 x D y = 3x + 3y + 2xy + 3

B) 2

D) 4

C) 3

E) Yoktur

“D” işleminin etkisiz elemanını e ile gösterirsek, tekrar Ha-

Çözüm

zine 1’den, e=

−l −3 = = −1 m 3

Önce, “o” işleminin tablosunun birinci satırını dolduralım. 1 o 1 = 1 D (1  1) = 1 D 3 = 2

buluruz.

1 o 2 = 1 D (1  2) = 1 D 4 = 3

Doğru Seçenek B

1 o 3 = 1 D (1  3) = 1 D 5 = 4 1 o 4 = 1 D (1  4) = 1 D 1 = 5 1 o 5 = 1 D (1  5) = 1 D 2 = 1 o

1

2

3

4

5

1

2

3

4

5

1

2 3 4


5

x  y = 4x + by + xy + a


Böylece, o işleminin etkisiz elemanının, eğer varsa,

“” işlemi birimli olduğuna göre, “” işleminin etki-

1 olduğunu görmüş olduk. Şimdi de, etkisiz elemanın var-

siz elemanı kaçtır?

lığından emin olabilmek için, tablonun beşinci sütununu

A) –6

B) –4

C) –3

D) 3

E) 6

dolduralım.

YGS MATEMATİK

305

İşlemin Tanımı


2 o 5 = 2 D (2  5) = 2 D 3 = 3 o

1

2

3

4

TANIM

5

1

1

Bir A kümesinde tanımlı bir “” işlemi birimli olsun ve A

2

3

nın birim elemanı e olsun.

3

A daki bir x elemanı için,

4

xt=tx=e

5

olacak biçimde bir t ∈ A varsa, t ye x in “” işlemine göre, Beşinci sütunun ikinci elemanı 2 ye eşit olmadığından,

tersi denir ve t = x–1

işleme devam etmemize gerek kalmadı. “o” işlemi birimile gösterilir.

sizdir. Doğru Seçenek E

Uyarı Bir işlemde ters eleman özeliğinden bahsedebilmemiz

D 1

2

3

4

5

 1

2

3

4

5

1

2

3

4

5

1

1

4

5

1

2

3

2

3

4

5

1

2

2

5

1

2

3

4

3

4

5

1

2

3

3

1

2

3

4

5

4

5

1

2

3

4

4

2

3

4

5

1

5

1

2

3

4

5

5

3

4

5

1

2

için, öncelikle o işlem birimli olmalıdır. Birimsiz bir işlemde, ters eleman özeliğinden bahsedilemez.

A = {1, 2, 3, 4, 5}

DNA 9

kümesinde “" ve “D” işlemleri yukarıdaki tablolar ile tanımlanmıştır.


Buna göre,

x ∇ y = (x  y) D y

kuralıyla tanımlanan "o" işleminin etkisiz elemanı eğer varsa kaçtır? A) 1

B) 2

D) 4

C) 3

E) Yoktur

xy=x+y–2

kuralıyla tanımlanıyor. Buna göre, 3–1 kaçtır? A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

Çözüm Işık 2 Bir işlemin etkisiz elemanı, eğer varsa, biriciktir.

“” işleminin birimli olduğunu ve birim elemanının −( −2) =2 1 olduğunu Hazine 1’den biliyoruz.

306

YGS MATEMATİK

E) 5


İşlemin Tanımı

Ters eleman tanımından,

DNA 10

3–1  3 = e = 2

⇒

3–1 + 3 – 2 = 2

⇒

3–1 = 2 + 2 – 3

⇒

3–1 = 1



buluruz. Burada, 3−1 ≠

x  y = 4x + 4y + xy + 12

Buna göre,

1 olduğuna dikkat ediniz. 3

Bu eşitlik sadece çarpma işlemi için doğrudur.

x  x–1  4 = 2–1  x

eşitliğini sağlayan x değeri kaçtır?

Doğru Seçenek A

A) 22

B) 28

C) 38

D) 42

E) 44

Tam sayılar kümesinde bir “D” işlemi, xDy=x+y+1

kuralıyla tanımlanıyor. Buna göre, 2–1 kaçtır? A) –4

B) –2

C) 1

D) 2

Çözüm

E) 4

4 ⋅ 3 = 12 olduğundan “” işlemi birimli ve birleşmelidir. Hazine 2’den,

Işık 3

x  x–1  4 = 2–1  x

123 e

⇒

Bir elemanın, birleşmeli ve birimli bir işleme göre tersi

4 = 2–1  x

eğer varsa tektir. elde ederiz. 2–1 i bulmadan bu denklemi çözebilmek için

Hazine 2

eşitliğin her iki yanının soluna (2 ) yazalım.

Bir “” işlemi A kümesinde tanımlanmış olsun.

2  4 = 2  2–1  x

123 e

⇒ x = 2  4

“” işlemi birimli, birleşmeli, a, b, c ∈ A ve a ile b tersi olan elemanlar olsun.

= 4 ⋅ 2 + 4 ⋅ 4 + 2 ⋅ 4 + 12

O zaman, aşağıdaki eşitlikler doğrudur.

= 44

(i)

(a–1)–1 = a

(ii)

a–1

=b ⇔

tür. b–1

=a

(iii) x  a = c ⇒ x = c  a–1

Doğru Seçenek E

(iv) (a  b)–1 = b–1  a–1

YGS MATEMATİK

307

İşlemin Tanımı


Bu eşitlikte, a yerine yazılacak 2 den farklı her gerçek sayı için bir a–1 değeri bulunur. Gerçek sayılar kümesinde bir “” işlemi,

a = 2 için a–1 bulunamaz.

O halde, 2 nin “D” işlemine göre tersi yoktur.

x  y = x + y + 2xy


Doğru Seçenek E

Buna göre,

x  2–1 = 3  7  7–1

eşitliğini sağlayan x değeri kaçtır? A) 12

B) 15

C) 17

D) 19

E) 20 Gerçek sayılar kümesinde bir “” işlemi, x  y = 3x + 3y + 6xy + 1


DNA 11

Buna göre, “” işleminin hangi elemanının tersi yoktur?

Gerçek sayılar kümesinde bir “D” işlemi, x D y = 2x + 2y – xy – 2

A) −


1 6

B) −

1 2

C)

1 2

D)

1 3

E) 2

Buna göre, “D” işleminin hangi elemanının tersi yoktur? A) –2

B) –1

C) 0

D) 1

E) 2

Çözüm

DNA 12

“D” işleminin etkisiz elemanına e dersek, Hazine 1’den, e=

−( −2) =1 2

A = {a, b, c, d, e}

kümesinde bir “D" işlemi aşağıdaki tablo ile tanımlanmıştır.

buluruz. “D” işleminin tersi olmayan elemanı a olsun. O zaman, a D a–1 = e = 1 denkleminin çözüm kümesi boş küme olur.

a D a–1 = 1

⇒ 2a + 2a–1 – a ⋅ a–1 – 2 = 1

⇒ a–1(2 – a) = 3 – 2a

⇒ a

−1

elde ederiz.

308

3 − 2a = 2−a

YGS MATEMATİK

D

a

b

c

d

e

a

c

d

e

a

b

b

d

e

a

b

c

c

e

a

b

c

d

d

a

b

c

d

e

e

b

c

d

e

a

Buna göre, [a–1 D b]–1 D c–1 işleminin sonucu nedir? A) a

B) b

C) c

D) d

E) e


İşlemin Tanımı

Çözüm

TANIM

"D” işleminin etkisiz elemanı d dir.

Bir “” işlemi bir A kümesinde tanımlanmış olsun.

Ters eleman bulmada kolaylık olması açısından, tablonun

Eğer her x, y ∈ A için,

içerisindeki bütün d leri işaretleyelim. D

a

a b

b

c

d

xy=yx a–1 = b

e

d d

c

c–1

d

d

işlemi değişmelidir denir.

=e

d–1 = d

d

e

oluyorsa, “” işleminin değişme özeliği vardır veya “”

b–1 = a

d

e–1 = c

DNA 13

Şimdi sorumuzu çözebiliriz. [a–1 D b]–1 D c–1 = [b D b]–1 D e ↓ b

↓ b

Aşağıdaki N+ da tanımlı işlemlerden hangisi ya da hangileri değişmelidir?

= e–1 D e

=cDe

=d

Doğru Seçenek D

I. m ∗ n = mn + 1

II. m  n = m ⋅ n + m + n

III. m  n = m + n – 2m ⋅ n

A) Yalnız I

B) Yalnız II

D) I ve II

C) Yalnız III

E) II ve III

Çözüm

A = {a, b, c, d, e}

I.

Her m, n ∈ N+ için,

m ∗ n = mn + 1 ≠ nm + 1 olup "∗" işlemi değişmeli

kümesinde bir “D" işlemi aşağıdaki tablo ile tanımlanmış-

değildir.

tır. D

a

b

c

d

e

a

c

d

e

a

b

b

d

e

a

b

c

c

e

a

b

c

d

d

a

b

c

d

e

e

b

c

d

e

a

B) b

C) c

D) d

Her m, n ∈ N+ için,

m  n = m ⋅ n + m + n = n ⋅ m + n + m = n  m olup "" işlemi N+ da değişmelidir.

III. m  n = m + n – 2m ⋅ n = n + m – 2n ⋅ m = n  m olduğundan "" işlemi N+ de değişmelidir.

Buna göre, e–1 D b–1 işleminin sonucu nedir? A) a

II.

Doğru Seçenek E E) e

YGS MATEMATİK

309

İşlemin Tanımı


mHy=y

Aşağıdaki R de tanımlı işlemlerden hangisi ya da han-

I. x ∗ y = 2y – 3x + x ⋅ y

II. x  y = 2⋅x2 + y2

III. x  y =

⇒

m ⋅ (1 – y) = 0

Bu denklemin her m ∈ Z için sağlanmasını istediğimizden,

Doğru Seçenek C y2

B) Yalnız II

D) I ve II

m+y–m⋅y=0

y = 1 dir.

+x⋅y+

A) Yalnız I

⇒

dir.

gileri değişmeli değildir?

x2

C) Yalnız III

E) I, II ve III R de tanımlı "" işlemi her x, y ∈ R için,

x  y = xy + x + y

kuralıyla tanımlanıyor. Buna göre, "" işleminin yutan elemanı kaçtır?

TANIM

A) –2

B) –1

C) 0

D) 1

E) 2

A da "H" işlemi tanımlanmış olsun. Eğer her x ∈ A için, xHy=yHx=y

Hazine 3

olacak biçimde bir y ∈ A varsa, o zaman y elemanına, "H” işleminin yutan elemanı denir.

m ≠ 0 olmak üzere, gerçek sayılar kümesinde bir “D”

Örneğin, çarpma işleminin yutan elemanı 0 dır.

işlemi, x D y = mx + my + kxy + l

DNA 14

kuralıyla tanımlanmış olsun.

Z de bir "H" işlemi her m, n ∈ Z için,

m ⋅ (m – 1) = k ⋅ l

mHn=m+n–m⋅n

olsun.


O zaman, “D” işleminin yutan elemanı vardır ve

Buna göre, “H” işleminin yutan elemanı kaçtır? A) –1

B) 0

C) 1

D) 2

−

E) 3

m k

dır.

Çözüm

Uyarı

“H” işleminin değişmeli olduğu âşikârdır.

Her işlemin yutan elemanı var olmak zorunda değildir.

Yutan elemana y diyelim.

Ancak, eğer bir işlemin yutan elemanı varsa, tektir.

mHy=yHm=y olacak biçimde bir y ∈ Z olup, olmadığına bakacağız.

310

YGS MATEMATİK

Yani, bir işlemin birden fazla yutan elemanı yoktur.


İşlemin Tanımı

5.

TEST - 1 1.

x∆y=

B) 2

C) 3

D) 4

E) 8

m + n , (m + n) çift ise  m n =  2  m + n − 1 , (m + n) tek ise  2

B) –18

C) 12

D) 20

E) 24

D) 24

E) 39

6.

Z – {0} kümesinde bir “D” işlemi, 3 2 ∆ = 6x + 4y − 5 x y


Buna göre, 6 D 2 kaçtır? A) 2

B) 8

C) 11

Buna göre, (1  2)  3 işleminin sonucu kaçtır? B) 2

C) 3

D) 4

3.

Gerçek sayılar kümesinde tanımlı,

E) 6

7.

Gerçek sayılar kümesinde bir “” işlemi,

(a – 2b)  (b – 2a) = a + b

x D y = x – y – 2n


x ∗ y = (x D y) – 3n

Buna göre, a  b aşağıdakilerden hangisidir?

A) –a – b

işlemlerine göre, 3∗4=n+5


4.

Buna göre, 3 o 6 işleminin sonucu kaçtır? A) –22

Tam sayılar kümesinde “” işlemi aşağıdaki gibi ta-

A) 1



x+y ve x ∗ y = x ⋅ y 3

nımlanmıştır.

(2 ∗ a) D (4 ∗ a) = 2

A) 1

2.

x o y = 2 ⋅ (y o x) – 2x – 3y + 2

biçiminde veriliyor.

Gerçek sayılar kümesinde, “D” ve “∗” işlemleri,

Gerçek sayılar kümesinde bir “o” işlemi,

B) 3

C) 2

D) 1

a ∗b =

2

2

2

b −a a +b

 2b + a  D) −    3 

E)

8.

Gerçek sayılar kümesinde,

x , x∆y= y ,

2x > 3 y ise 2x ≤ 3 y ise


kuralıyla bir “D” işlemi tanımlanıyor.

Buna göre, 2 ∗ 3 kaçtır?

Buna göre, (3 D 2) D (–3) kaçtır?

A)

1 7

B)

5 13

C)

5 7

D) 1

a+b 3

E) –1

R – {0} kümesinde bir “∗” işlemi, 2

 2a + b  C) −    3 

B) a + b

E) 2

A) –3

B) –1

C) 0

D) 1

YGS MATEMATİK

E) 2

311

İşlemin Tanımı


9.

11.

kümesi üzerinde bir “D” işlemi aşağıdaki tablo ile ta-

A = {0, 1, 2, 3, 4}

nımlanmıştır.

kümesi üzerinde bir “∇” işlemi aşağıdaki tablo ile tanımlanmıştır.

D

0

1

2

3

4

∇

Ş

İ

M

A

L

0

1

2

3

4

0

Ş

A

L

Ş

İ

M

1

2

3

4

0

1

İ

M

A

L

Ş

İ

2

4

0

1

2

3

M

İ

M

A

L

Ş

3

0

1

2

3

4

A

Ş

İ

M

A

L

4

1

2

3

4

0

L

L

Ş

İ

M

A

Buna göre, ((2 D 4) D 3) D 1 işleminin sonucu aşa-

ğıdakilerden hangisidir? A) 0

D = {Ş, İ, M, A, L}

B) 1

Buna göre, x ∇ x = A eşitliğini sağlayan x elemanları kaç tanedir?

C) 2

D) 3

E) 4

A) 1

B) 2

12.

10.

A = {1, 2, 3, 4, 5}

D) 4

kümesi üzerinde tanımlı bir “” işlemi aşağıdaki tablo ile tanımlanmıştır. 

1

2

3

4

5

nımlanmıştır.

1

3

4

1

5

2

5

2

4

5

2

3

1

1

2

3

4

5

1

2

3

4

1

2

3

4

5

1

3

2

3

4

5

1

2

4

5

1

4

2

3

3

5

1

2

3

4

5

2

3

5

1

4

4

1

2

3

4

5

5

2

3

4

5

1

Buna göre, x D x = 2 eşitliğini sağlayan x değerle-

1.A

312

B) 4

2.B

YGS MATEMATİK

C) 5

3.E

D) 6

4.B

5.D

fab ( x ) = (a  2b) + x + 1

2 2 olduğuna göre, f1 (2) + f5 (3) toplamı kaçtır?

A) 11

E) 7

6.A

a, b ∈ A için,

rinin toplamı kaçtır? A) 3

E) 5

A = {1, 2, 3, 4, 5}

kümesi üzerinde bir “D” işlemi aşağıdaki tablo ile ta-

D

C) 3

7.A

8.E

B) 12

9.B

C) 13

10.B

D) 14

11.E

E) 15

12.C


İşlemin Tanımı

4.

TEST - 2

Aşağıda verilen işlemlerden hangisinin pozitif gerçek sayılar kümesinde değişme özelliği yoktur?

A) a o b = ab + ba

B) a o b = a ⋅ b + 1

hangileri kapalıdır?

C) a o b = a ⋅ b –a – b

D) a o b =

I. m ∗ n = m + n + 1

II. m  n = m ⋅ n + m + n

III. m  n = m + n – m ⋅ n

A) Yalnız I

1.

Aşağıda N de tanımlı işlemlerden hangisi ya da

2.

B) Yalnız II

D) I ve II

E) I, II ve III

5.

Tam sayılar kümesinde " " işlemi,


Buna göre, "" işleminin birim elemanı nedir?

hangileri değişmelidir? I. m ∗ n = mn + 1

II. m  n = m ⋅ n + m + n

III. m  n = m + n – 2m ⋅ n

A) Yalnız I

A) 0

B) Yalnız II

D) I ve II

E) a o b = 2 ⋅ a + 2 ⋅ b – 3

C) Yalnız III

Aşağıda N+ da tanımlı işlemlerden hangisi ya da

C) Yalnız III

E) II ve III

6.

xy=x+y+4

B) –1

C) –2

D) –3

E) –4

Gerçek sayılar kümesinde "o" işlemi,

xoy=x+y+x⋅y


Buna göre, “o” işleminin etkisiz elemanı kaçtır? A) –2

3.

a b + 6 5

B) –1

C) 0

D) 1

E) 2

Aşağıdaki işlemlerden hangisi değişmeli olduğu halde, birleşmeli değildir? A) x o y = x + y + 3

7.

lemi,

B) x o y = x – y + 3 C) x o y = 2x + 2y D) x o y = x + y + x ⋅ y E) x o y = x + y + 2xy

Rasyonel sayılar kümesinde her x, y ∈ Q için "D" iş-

x D y = 2x + 2y – xy – 2


Buna göre, "D" işleminin birim elemanı kaçtır? A) 2

B) 1

C) 0

D) –1

E) –2

YGS MATEMATİK

313

İşlemin Tanımı


8.

12. •

a

b

c

x

y

z

D

a

b

c

d

e

a

b

c

d

e

a

x

y

z

a

b

c

a

b

y

z

x

b

c

a

b

b

c

d

a

c

c

b

d

b

a

c

z

x

y

c

a

b

c

x

a

b

c

x

y

z

d

d

a

b

c

e

y

b

c

a

y

z

x

e

e

b

a

e

d

z

c

a

b

z

x

y

Yukarıda işlem tablosu verilen "D" işlemine göre,

cn = c ∆ c ∆ ... ∆ c olduğuna göre, 144244 3

Yukarıdaki tablo ile verilen "•" işleminin birim

elemanı nedir? A) b

B) c

C) x

D) y

n tane c

(c2 D e)–1

E) z

işleminin sonucu nedir?

A) a

9.

kümesi üzerinde “H” işlemi aşağıdaki gibi tanımlanı-

D) d

E) e

13. Gerçek sayılar kümesinde,

Her p, q ∈ A için,

C) c

A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}

yor.

B) b

p H q = p ve q dan büyük olmayanı

Buna göre, “H” işleminin etkisiz elemanı nedir? A) 0

B) 1

C) 2

D) 4

E) 5

10.

2 tür. 3

işleminin etkisiz elemanı

Buna göre, m + n toplamı kaçtır? B) 2

C) 3

a

b

c

d

e

D

a

b

c

d

e

a

d

e

a

b

c

a

e

a

b

c

d

b

e

a

b

c

d

b

a

b

c

d

e

c

a

b

c

d

e

c

b

c

d

e

a

d

b

c

d

e

a

d

c

d

e

a

b

e

c

d

e

a

b

e

d

e

a

b

c

işlemleri tanımlanıyor. Buna göre, [(a–1)–1  b] D [(e  c)  (d–1)–1]

x ∗ y = mx + my + nxy + 2

A) 1



işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? A) a

D) 4

B) b

C) c

D) d

E) e

E) 5

14. Gerçek sayılar kümesinde tanımlı, 11.

işlemine göre, tersi kendisinin 7 katına eşit olan eleman kaçtır? A) 1 1.D

314

B) 2 2.E

3.C

YGS MATEMATİK

x D y= x + y + 3

x∗y=x+y–4

C) 3 4.D

D) 4 5.E

işlemi veriliyor.

Buna göre, “D” işlemine göre, 23 ün tersi kaçtır? A) 3

E) 5 6.C

7.B

8.C

9.E

B) 2

10.C

C) –3

11.A

D) –4

12.C

13.D

E) –29

14.E

MODÜLER ARİTMETİK - BÖLÜM 11

MODÜLER ARİTMETİK

Çözüm

TANIM

x + 5 ≡ 3 (mod 11) ifadesinde amacımız x i yalnız bırak-

m bir pozitif tam sayı, a ile b iki tam sayı olsun. a – b farkı m ye tam bölünüyor ise; a ile b birbirine, m

mak. Bunun için x in yanındaki 5 ten kurtulmalıyız. 11 ≡ 0 (mod 11) olduğunu biliyoruz. 5 i 11 e tamamlamak

modülüne göre denktir denir ve

için x + 5 ≡ 3 (mod 11) ifadesinde her iki tarafa 6 ekleye-

a ≡ b (mod m)

lim.

ile gösterilir.

x + 5 + 6 = 3 + 6 (mod 11)

Örneğin, 15 ≡ –6 (mod 7) dir.

x + 11 ≡ 9 (mod 11) ve 11 ≡ 0 (mod 11) ⇒ x ≡ 9 (mod 11)

Hazine 1

Böylece, x in alabileceği en küçük pozitif tam sayı değeri

m pozitif bir doğal sayı ve a, b, c, d tam sayılar olsun. 1.

a ≡ b (mod m) ve c ≡ d (mod m) ise

(i) a  c ≡ b  d (mod m)

(ii) a ⋅ c ≡ b ⋅ d (mod m)

2.

n pozitif tam sayı olmak üzere,

a ≡ b (mod m) ise an ≡ bn (mod m)

9 olur.

Doğru Seçenek A

x – 3 ≡ 8 (mod 5)

denkliğini sağlayan en küçük x doğal sayısı kaçtır?

Hazine 2

A) 0

B) 1

C) 2

D) 3

E) 4

m pozitif bir doğal sayı ise m ≡ 0 (mod m) dir.

Hazine 3

DNA 1

a, b, c tam sayılar ve m bir pozitif tam sayı olsun.

x + 5 ≡ 3 (mod 11)

a ⋅ c ≡ b ⋅ c (mod m)

denkliğinde x in alabileceği en küçük pozitif tam sayı değeri kaçtır? A) 9

B) 8

ifadesinde c ile m aralarında asal ise, c ler sadeleşebilir. Yani, OBEB(c, m) = 1 olmak üzere,

C) 7

D) 6

E) 4

a ⋅ c ≡ b ⋅ c (mod m) ⇔ a ≡ b (mod m)

YGS MATEMATİK

315

Modüler Aritmetik

Modüler Aritmetik - Bölüm 11

Uyarı 3x ≡ 12 (mod 5)

Hazine 3’te c ile m aralarında asal değilse sadeleştir-

me yapılamaz. Örneğin,

olduğuna göre, x in iki basamaklı en küçük doğal sayı değeri kaçtır?

30 ≡ 18 (mod 12)

A) 10

ifadesinde 30 ve 18 i 6 ile sadeleştirirsek,

B) 11

C) 12

D) 13

E) 14

5 ≡ 3 (mod 12) elde ederiz, fakat bu doğru değildir. Buradaki sadeleştirmenin nasıl yapılacağını Hazine 4’te öğrenecek-

Hazine 4

siniz.

a ve b tam sayılar, c ve m pozitif tam sayılar olmak üzere,

DNA 2

a ⋅ c ≡ b ⋅ c (mod m ⋅ c) ⇒ a ≡ b (mod m) dir.

3x ≡ 15 (mod 8)

olduğuna göre, x in üç basamaklı en küçük doğal sayı değeri kaçtır? A) 100

B) 101

DNA 3 C) 102

D) 103

E) 104

4x ≡ 20 (mod 6)

olduğuna göre, x in iki basamaklı en küçük doğal

Çözüm


3x ≡ 15 (mod 8) ifadesinde her iki tarafı 3 ile sadeleştirebi-

A) 10

B) 11

C) 12

D) 13

E) 14

liriz, çünkü 3 ile 8 aralarında asaldır.

Çözüm

3x ≡ 15 (mod 8)

4, 20 ve 6 sayıları 2 ortak çarpanına sahip olduğundan,

⇒ x ≡ 5 (mod 8)

⇒ x – 5 = 8k, k ∈ Z

⇒ x = 8 ⋅ k + 5, k ∈ Z

Hazine 4’e göre, 2 ile sadeleştirme yapabiliriz. Hazine 4

4x ≡ 20 (mod 6) ⇒ 2x ≡ 10 (mod 3) Hazine 3

⇒

x ≡ 5 (mod 3)

x in en küçük üç basamaklı doğal sayı değeri istendiğin-

⇒

den, k yerine 12 yazmalıyız.

⇒

k = 12 için,

x in iki basamaklı en küçük değeri istendiğinden, k yerine x = 3 ⋅ 2 + 5 = 11


YGS MATEMATİK

x = 3k + 5, k ∈ Z

2 yazmalıyız. k = 2 için,

x = 8 ⋅ 12 + 5 = 101

316

x – 5 = 3k, k ∈ Z



Modüler Aritmetik

DNA 4 6x ≡ 22 (mod 8)

12999 sayısının birler basamağındaki rakam kaç-

olduğuna göre, x in en küçük doğal sayı değeri kaç-

tır?

tır?

A) 0

A) 0

B) 1

C) 2

D) 3

B) 2

C) 4

D) 6

E) 8

E) 5

Çözüm 121 ≡ 2 (mod 10)

123 ≡ 23 ≡ 8 (mod 10) 124 ≡ 24 ≡ 6 (mod 10)

Başa döndük

122 ≡ 22 ≡ 4 (mod 10)

125 ≡ 25 ≡ 2 (mod 10)

Işık 1

12 nin kuvvetlerini alırken, 1 i yakalayalamadık, fakat x ve k doğal sayılar, m pozitif bir doğal sayı olsun. 0 ≤ k < m ise x ≡ k (mod m)

12 nin ardışık pozitif kuvvetlerinin her dört kuvvette bir tekrar ettiğini gördük. 999 un 4 ile bölümünden kalan 3 olduğundan,

ifadesi “x in m ile bölümünden kalan k dir.” anlamına

12999 ≡ 123 ≡ 23 ≡ 8 (mod 10)

gelir. Çünkü,

Doğru Seçenek E

x ≡ k (mod m) ise x – k farkı m ile tam bölünür, yani x – k = m ⋅ n olacak biçimde bir n pozitif tam sayısı vardır. x–k=m⋅n ⇒ x=m⋅n+k

Uyarı

0 ≤ k < m olduğundan x = m ⋅ n + k eşitliğini, “x in m ile bölümünden kalan k dir.” şeklinde yorumlayabileceğimizi bölme konusundan biliyoruz.

DNA 4’ün çözümünde kullanılan yöntemde, üssün tur sayısına bölümünden kalan sıfır olursa, üsse 0 değil, tur sayısı yazılır.

IŞIK 1’i daha iyi anlamak için aşağıdaki örnekleri inceleyelim. x ∈ N ve x ≡ 3 (mod 5) ise x in 5 ile bölümünden kalan 3 tür. 27 ≡ 6 (mod 7) ise 27 nin 7 ile bölümünden kalan 6 dır.

18201 sayısının birler basamağındaki rakam kaçtır? A) 0

B) 2

C) 4

D) 6

YGS MATEMATİK

E) 8

317

Modüler Aritmetik


Amacımız (1) ifadesini kullanıp 17181 e ulaşmak.

Hazine 5

17181 ≡ 17180 ⋅ 171 ≡ (1718)10 ⋅ 17

p bir asal sayı, a bir pozitif tam sayı olsun.

≡ (1)10 ⋅ 17

≡ 17 (mod 19)

p den küçük her a tam sayısı için, ap–1 ≡ 1 (mod p)

Doğru Seçenek C

dir.

Örneğin, p = 7 için p – 1 = 6. 7 nin tam katı olmayan her pozitif tam sayının 6. kuvveti 7 modülünde 1 e denktir.

16 ≡ 1 (mod 7)

9102 ≡ x (mod 11)

olduğuna göre, x in alabileceği en küçük doğal sayı 26 ≡ 1 (mod 7)

değeri kaçtır?

36 ≡ 1 (mod 7)

A) 3

B) 4

C) 5

D) 9

E) 10

46 ≡ 1 (mod 7) 56 ≡ 1 (mod 7) 66 ≡ 1 (mod 7)

DNA 5

Z / m Kümesinde Toplama ve Çarpma: Z/m = Zm = {0, 1, 2, 3, ... , m – 1}

17181 ≡ x (mod 19)

olduğuna göre, x in alabileceği en küçük doğal

olduğunu bu bölümün girişinde verdiğimiz Z7 örneğinden


kendiniz sezinleyebilirsiniz.

A) 15

B) 16

C) 17

D) 18

E) 19

a, b ∈ Zm için, a ⊕ b = a + b ve a ⊗ b = a ⋅ b olarak tanımlanır.

Çözüm

Örneğin, Z5 te;

19 bir asal sayıdır. Hazine 5’e göre, 1719–1 ≡ 1 (mod 19) 1718 ≡ 1 (mod 19) ... (1)

318

YGS MATEMATİK

3⊕4=3+4=7=2 dir. 3 ⊗ 4 = 3 ⋅ 4 = 12 = 2 dir.


Modüler Aritmetik

Çok ilginç bir durumla karşı karşıyayız. İki kümenin toplamını ve çarpımını modüler aritmetik kulZ11 de

lanarak tanımlamış olduk.

4⋅x=3

Örneğin,

denklemini sağlayan x aşağıdakilerden hangisidir? 3 = {..., –2, 3, 8, 13, 18, ...}

A) 6

B) 7

D) 9

C) 8

E) 10

Bu kümedeki bütün elemanlar 5 modülüne göre birbirine denktir. Bu kümeye 3 ün denklik sınıfı diyeceğiz. 4 = {..., –1, 4, 9, 14, ...} 3 ⊕ 4 = {..., –3, 2, 7, 12, ...} = 2 Yani, 5 e bölündüğünde 3 kalanını veren bir sayı ile

DNA 7

5 e bölündüğünde 4 kalanını veren bir sayının toplamı 5 e bölündüğünde 2 kalanını vermektedir.

Z5 te tanımlı f(x) = 2x + 1

g(x) = 3x – 1

fonksiyonları veriliyor.

DNA 6

Buna göre, (fog–1)(2) aşağıdakilerden hangisine eşittir?

Z7 de

A) 0

3⋅x=1

B) 1

C) 2

D) 3

E) 4

denklemini sağlayan x aşağıdakilerden hangisidir? A) 2

B) 3

C) 4

D) 5

Çözüm

E) 6

(fog–1)(2) = f(g–1(2)) g(x) = 3x – 1 ⇒ g–1(3x – 1) = x 123

Çözüm

2 olmalı

Z7 de

3x – 1 = 2 ⇒ 3x = 3 0 = 7 = 14 = 21 = ...

⇒ x=1

(3 ve 5 aralarında asal olduğu için sadeleştirme yapabiliriz.)

olduğunu biliyoruz. 3 ⋅ x = 1 = 1 + 7 = 8 = 8 + 7 = 15 olup, 3 ⋅ x = 15 ten, x = 5 olduğunu buluruz.

Yani,

g–1(2) = 1 ⇒ f(g–1(2)) = f(1) = 2 ⋅ 1 + 1 = 3

Doğru Seçenek D

Doğru Seçenek D

YGS MATEMATİK

319

Modüler Aritmetik


Çözüm Soruda verilen değerleri yazalım.

Z/7 de tanımlı

f(x) = x2 + 1

n=5

g(x) = 2x – 1

k = 16

fonksiyonları tanımlanıyor.

k′ = 3 (Çarşambanın numarası)

Buna göre, (fogof)(1) aşağıdakilerden hangisine eşittir? B) 3

A) 2

C) 4

D) 5

E) 6

m = 48 m′ = ? (Sorulan günün numarası) Şimdi bu değerleri, Ceran Denkliği’nde yerine yazalım: (m – k) ⋅ n ≡ m′ – k′ (mod 7) ( 48 − 16) ⋅ 5 ≡ m′ − 3 (mod 7) 32  ⋅ 5 + 3 ≡ m′ (mod 7) ≡4

20  + 3 ≡ m′ (mod 7)

Işık 2

≡6

9 ≡ m′ (mod 7) CERAN DENKLİĞİ

m′ ≡ 2 (mod 7)

Bir asker n günde bir nöbet tutuyor olsun. Bu asker k yinci nöbetini k′ günde, m yinci nöbetini m′

Salının numarası 2 olduğundan cevap Salıdır.

günde tutuyor olsun. Doğru Seçenek B

O zaman, (m – k) ⋅ n ≡ m′ – k′ (mod 7) dir. (k′ ile m′, günlerin numaralarını göstermektedir.)

DNA 8 Bir asker 5 günde bir nöbet tutmaktadır. Bu asker 16 ıncı nöbetini Çarşamba günü tuttuğuna göre, 48 inci nöbetini hangi gün tutar? A) Pazartesi

B) Salı

C) Perşembe

D) Cuma

E) Pazar

Bir hemşire 6 günde bir nöbet tutmaktadır. Bu hemşire 22. nöbetini Cuma günü tuttuğuna göre, 49. nöbetini hangi gün tutar? A) Pazartesi

B) Salı

C) Çarşamba

D) Perşembe

E) Cumartesi

320

YGS MATEMATİK


Modüler Aritmetik

5.

TEST - 1 1.

2006 sayısının n sayısına bölümünden kalan 6 dır.

Buna göre, bu koşulu sağlayan kaç değişik n po-

B) 10

C) 12

D) 16

E) 20

�

�

�

�

�

��

��

�

�

�

�

��

��

��

��

0 ile 2007 arasındaki sayılar yukarıdaki grafik ile verilmiştir.

zitif tam sayısı vardır? A) 8

�

Buna göre, 2005 ile 2007 arasındaki sayılar (2005 ve 2007 dahil) arasındaki grafik aşağıdakilerden hangisidir? ��

��

��

��

��

2.

72006

+

252007

sayısının 8 ile bölümünden kalan kaçtır? A) 0

B) 1

C) 2

D) 3

E) 4

6.

2x ≡ 4 (mod 6)

denkliğini sağlayan iki basamaklı en küçük pozitif x tam sayısı kaçtır? A) 10

3.

B) 11

C) 13

D) 14

E) 15

n ∈ N+ için 2n sayısının 7 ile bölümünden kaç farklı kalan elde edilebilir? A) 5

B) 4

C) 3

D) 2

E) 1

7.

513 ≡ x (mod 17)

denkliğini sağlayan en küçük pozitif x tam sayısı kaçtır? A) 2

4.

C) 5

D) 7

E) 9

112003 ⋅ 72004 ⋅ 132005

sayısının birler basamağındaki rakam kaçtır? A) 1

B) 3

B) 3

C) 5

D) 7

E) 9

8.

11532 sayısının 7 ye bölümünden kalan kaçtır? A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

YGS MATEMATİK

E) 5

321

Modüler Aritmetik


9.

x ≡ 5 (mod 7)

13.

x ≡ 6 (mod 9)

yısı kaçtır?

10.

A) 9

B) 27

C) 33

D) 41

14.

denkliğini sağlayan en küçük farklı iki pozitif tam

sayının toplamı kaçtır? B) 5

B) 10

C) 11

D) 12

E) 13

E) 49

3x ≡ 3 (mod 6)

A) 4

denkliğini sağlayan en küçük farklı iki pozitif tam sayının toplamı kaçtır?

denkliklerini sağlayan en küçük pozitif x tam sa-

A) 23

5x ≡ 3 (mod 7)

44 ⋅ 113

çarpımından elde edilen sayının 12 ile bölümünden kalan kaçtır?

C) 6

D) 7

E) 8

A) 2

B) 4

C) 6

D) 8

E) 10

11. Z/7 de,

15.

x+6=2

denkleminin kökü aşağıdakilerden hangisidir? A) 1

B) 2

C) 3

D) 4


E) 5

39 + 59 + 99 + 119

B) 1

C) 2

D) 3

E) 4

12. Z/7 de,

16. (((77)7)7...) sayısında 7. kuvvet 1000 defa alınmıştır.

4x + 1 = 6

denkleminin kökü aşağıdakilerden hangisidir? A) 1 1. D

322

2. C

B) 2 3. C

YGS MATEMATİK

C) 3 4. B

D) 4 5. A

6. B

E) 5 7. B

Elde edilen sayının birler basamağı kaçtır? A) 1

8. B

9. C

10. A

B) 3 11. C

C) 7 12. C

13. C

D) 8 14. B

15. A

E) 9 16. C

ORAN - ORANTI - BÖLÜM 12

ORAN - ORANTI

Işık 1

TANIM a ve b, ikisi birden sıfır olmayan gerçek sayılar olsun. O zaman,

a c e = = = k olsun. O zaman, b d f a+c = k, b+d

a b ye, a nın b ye oranı denir. Örneğin,

a+c+e =k b+d+ f

dır.

IŞIK 1’i daha da genelleştirerek IŞIK 2’yi verelim. 3 −2 , , 4, ... 0 5

Işık 2

ifadeleri birer orandır.

a c e = = = k olsun. m, n ve l her üçü birden sıfır olb d f mayan gerçek sayılar olsun. O zaman,

TANIM

ma + nc + le =k mb + nd + lf

İki oranın eşitliğine orantı denir. Örneğin, a c = b d bir orantıdır.

dır. Örneğin,

Ayrıca,

2a − 3c + 5e = k dir. 2b − 3d + 5f

a c e = = = k ise, b d f a⋅c ⋅e a c e = ⋅ ⋅ = k ⋅ k ⋅ k = k3 b⋅d⋅ f b d f

tür.

TANIM

Bunu bir IŞIK olarak vermemize gerek yok. İkiden fazla sayıdaki oranın eşitliğine bileşik orantı denir.

Not

Örneğin, a c e = = b d f x z k p = = = y t l q birer bileşik orantıdır.

a c = yerine a : c = b : d b d a c e = = yerine a : c : e = b : d : f b d f gösterimleri de kullanılabilir.

YGS MATEMATİK

323

Oran - Orantı

Oran - Orantı - Bölüm 12

DNA 1

DNA 2

a c = =3 b d

 a +b   a − b  olduğuna göre,  :  işleminin sonucu  c   d  kaçtır? A)

2 3

B)

3 2

C)

4 3

D)

3 4

a:b:c=2:4:6

2a + 3b – c = 300

olduğuna göre, c kaçtır? A) 60

B) 120

C) 180

D) 240

E) 300

E) 1

Çözüm a:b:c=2:4:6

Çözüm

orantısından, a = 2k, b = 4k, c = 6k yazabiliriz.

a c = 3 ve =3 b d

Hadi yazalım:

eşitliklerinden a = 3b ve c = 3d elde ederiz. Bu eşitlikleri verilen ifadede yerlerine yazalım: 3b + b 3b − b : 3d d 4⋅ b d 4 2 ⋅ = = 6 3 3⋅ d 2⋅ b bulunur. Doğru Seçenek A

2a + 3b – c = 300

⇒ 2 ⋅ 2k + 3 ⋅ 4k – 6k = 300

⇒ 4k + 12k – 6k = 300

⇒ 10 ⋅ k = 300

⇒ k = 30

ve buradan, c = 6k = 6 ⋅ 30 = 180 buluruz. Doğru Seçenek C

a c e 1 = = = b d f 2

olduğuna

göre,

 a +b   c +d  f   ⋅ ⋅   b   c  e+f

işleminin

324

B) 2

YGS MATEMATİK

a b c = = 2 3 4

2a – 3b + 4c = 110

olduğuna göre, b kaçtır?

sonucu kaçtır? A) 1

C) 3

D) 4

E) 5

A) 20

B) 30

C) 40

D) 45

E) 60


Oran - Orantı

DNA 3

DNA 4

a c e = = =2 b d f

a c e 1 = = = b d f 3

a⋅c + a⋅e = 16 b⋅d⋅ f

a + 2c – e = 15

b–f=5


1 1 + toplamı kaçtır? f d

B) 2

C) 4

D) 8

olduğuna göre, d kaçtır?

E) 16

A) 10

Çözüm

B) 20

E) 50

a 2 ⋅ c −e 1 = = = b 2 ⋅ d −f 3

a⋅c + a⋅e a⋅c a⋅e = + = 16 b⋅d⋅ f b⋅d⋅ f b⋅d⋅ f ⇒

D) 40

Çözüm

Verilen ifadeyi parçalarsak,

C) 30

Verilen orantıyı genişlettik.

a c 1 a e 1 ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = 16 b d f b f d

IŞIK 2’den, 15

a + 2c − e

⇒ 2 ⋅ 2 ⋅ 1 + 2 ⋅ 2 ⋅ 1 = 16 f d

1 1 ⇒ 4 ⋅  +  = 16  f d

1 1 ⇒ + = 4 f d

b + 2d − f

=

1 3

5

buluruz. b – f = 5 ve a + 2c – e = 15 yerlerine yazarsak, 15 1 = 5 + 2d 3


⇒

45 = 5 + 2d

⇒

40 = 2d

⇒

d = 20


a c = =4 b d

ac + a = 24 bd

olduğuna göre, d kaçtır? A)

1 2

B)

1 4

C)

a c = =3 b d

2a + 3c = 18

2b + d = 1

olduğuna göre, d kaçtır? 1 6

D) 4

E) 6

A)

3 2

B) 2

C)

5 2

D) 3

YGS MATEMATİK

E) 4

325

Oran - Orantı


ORANTI ÇEŞİTLERİ

Uyarı

TANIM

Bir problemin içerisinde doğru veya ters orantı zikre-

a ve b pozitif gerçek değerler alan iki bağımlı değişken olsun. Eğer, a nın (ya da b nin) değişen her değerine karşılık

dilmeden, sadece çoklukların orantılı olduğu söylenmişse, o orantı bir doğru orantıdır.

bulunan b (ya da a) değeri için, a =k b olacak biçimde bir k ∈ R+ sabiti varsa, o zaman, a ile b doğru orantılıdır denir.

TANIM a ve b pozitif gerçek değerler olan iki bağımlı değişken

Uyarı

olsun.

Eğer a ile b doğru orantılı ise, a ile b den biri artarken

Eğer, a nın (ya da b nin) değişen her değerine karşılık

diğeri de artar; biri azalırken diğeri de azalır. Örneğin,

bulunan b (ya da a) değeri için,

a =2 b

a⋅b=k olacak biçimde bir k ∈ R+ sabiti varsa, o zaman, a ile b

için

a=2

b=2

için

a=4

b = 3

için

a=6

ters orantılıdır denir.

⋅⋅⋅

b = 1

⋅⋅⋅

⋅⋅⋅

orantısında,

Uyarı

olduğu âşikârdır. Bu noktadan hareket ederek, “Biri artarken diğeri de

Eğer a ile b ters orantılı ise, a ile b den biri artarken

artan iki çokluk doğru orantılıdır.” demek hatalıdır.

diğeri azalır.

Örneğin,

Ancak, “Biri artarken diğeri azalan iki çokluk ters orany

tılıdır.” demek hatalıdır.

=2

x3

x ⋅ (y – 1) = 12

eşitliğinde x artarken, y de artıyor; x azalırken y de y=2

x = 1

için

y = 13

x = 2

için

y = 16

x=2

için

y=7

x = 3

için

y = 54

x = 3

için

y=5

⋅⋅⋅

Fakat, x ile y doğru orantılı değildir.

326

YGS MATEMATİK

⋅⋅⋅

için

⋅⋅⋅

x=1

⋅⋅⋅

⋅⋅⋅

eşitliğinde x artarken y azalıyor.

⋅⋅⋅

azalıyor.

Fakat, x ile y ters orantılı değildir.


Oran - Orantı

DNA 5 a, b, c ∈ R+ olmak üzere,

a, b, c, d gerçek sayılardır. a=

8 b

b⋅c = 8

c = 80 d

olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? A) a ile b ters orantılıdır. B) a ile c doğru orantılıdır. C) a ile d doğru orantılıdır.

a ⋅ b = 12 ve

b =4 c

olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi ya da hangileri doğrudur?

I.

a ile c ters orantılıdır.

II. b ile a ters orantılıdır.

III. a ile c doğru orantılıdır.

A) Yalnız I

D) b ile d doğru orantılıdır.

D) I ve II

E) c ile d doğru orantılıdır.

Çözüm

B) Yalnız II

C) Yalnız III E) II ve III

DNA 6

A) a ⋅ b = 8

Bir çiftlikte 80 tavuk ve tavuklara 15 gün yetecek kadar

(a ⋅ b sabit olduğundan, a ile b T.O.) 

yem bulunmaktadır. 3 gün sonra 20 tavuk ölürse, kalan yem, kalan ta-

B) b ⋅ c = 8 = a ⋅ b ⇒ a = c

(

C)

c a = 80 ⇒ = 80 d d

(

D)

vuklara kaç gün daha yeter?

a sabit olduğundan, a ile c D.O.)  c

a sabit olduğundan, a ile d D.O.)  d

8 8 c 8 1 c= ve = 80 ⇒ b = 80 ⇒ = 80 ⇒ bd = b d d bd 10

(b ⋅ d sabit olduğundan, b ile d T.O.) 

E)

c = 80 d

(

c sabit olduğundan, c ile d D.O.)  d Doğru Seçenek D

A)

45 4

B) 20

C) 16

D) 15

E) 13

Çözüm Kelimelere, cümlelere kısacası Türkçe’ye dikkat ederseniz problemlerin çözümünde hiçbir sorun yaşamazsınız. Bu soruda yapılabilecek en büyük hata,

80

15

60

x

orantısını kurmak. Daha da büyük hata bu orantıyı doğru orantı gibi düşünüp içler dışlar çarpımı yapmaktır. Öncelikle bu bir ters orantı, çünkü tavuk sayısı azalınca yemin bitme süresi artar.

YGS MATEMATİK

327

Oran - Orantı


Başlangıçta 80 tavuğa 15 gün yetecek kadar yem var-

ORTALAMALAR

mış.

TANIM

Ancak, 3 gün geçtikten sonra kalan yem 80 tavuğa,

a ile b iki gerçek sayı olsun. O zaman, a+b 2

15 – 3 = 12 gün yeter.

sayısına, a ile b nin aritmetik ortası denir.

Ayrıca 20 tavuk ölünce, geriye 80 – 20 = 60 tavuk ka-

Şimdi bu tanımı biraz daha genelleştirelim.

lır.

TANIM

O halde, problemimiz şu: “80 tavuğa 12 gün yeten yem, 60 tavuğa kaç gün yeter?”

a1, a2, a3, ..., an n tane gerçek sayı olsun. O zaman, a1 + a2 + a3 + ... + an n

80

12

sayısına, a1, a2, a3, ..., an sayılarının aritmetik ortalaması

60

x

denir.

T.O.

DNA 7

80 ⋅ 12 = 60 ⋅ x

a ile b nin aritmetik ortası 4; a, b ve c nin aritmetik ortalaması 6 olduğuna göre, c kaçtır?

2

8 0 ⋅ 12 8 ⋅ 12 = = 8 ⋅ 2 = 16 ⇒ x = 60 6

A) 4

B) 6

C) 8

D) 9

E) 10

dır.

Çözüm

Doğru Seçenek C

Tanımdan, a+b = 4 ... (i) 2 a+b+c = 6 ... (ii) 3

eşitliklerini yazarız.

(i) den, a + b = 2 ⋅ 4 = 8 ve (ii) den, a + b + c = 3 ⋅ 6 = 18 buluruz. a + b + c = 18  8

Bir kamptaki 40 izciye 40 gün yetecek kadar erzak vardır. 10 gün sonra izcilerden 10 u evine dönüyor.

⇒

Kalan erzak, kalan izcilere kaç gün daha yeter? A)

45 2

328

B) 36

YGS MATEMATİK

C) 40

D) 45

E) 60

c = 18 − 8 = 10

dur. Doğru Seçenek E


Oran - Orantı

DNA 8 x ile y nin aritmetik ortası 12, x ile z nin aritmetik ortası

a,b ve c pozitif gerçek sayılardır.

15, y ile z nin aritmetik ortası 24 olduğuna göre, x, y ve z nin aritmetik ortalaması kaçtır? A) 17

B) 18

C) 20

D) 24

E)

51 2

2,

a ile b nin geometrik ortası

a ile c nin geometrik ortası 2,

b ile c nin geometrik ortası 2 2

olduğuna göre, a, b ve c nin geometrik ortalaması kaçtır? B) 3 2

A) 1

TANIM

C) 3 4

D)

2

E) 2

Çözüm

a ile b iki pozitif gerçek sayı olsun. O zaman, a ⋅b

Tanımdan, a ⋅b = 2

⇒

a ⋅b = 2

sayısına, a ile b nin geometrik ortası denir.

a⋅c = 2

⇒

a⋅c = 4

Şimdi bu tanımı biraz daha genelleştirelim.

b⋅c = 2 2 ⇒

b⋅c = 8

buluruz. Bu üç eşitliği taraf tarafa çarparsak, a2 ⋅ b2 ⋅ c2 = 2 ⋅ 4 ⋅ 8

TANIM

⇒ (a ⋅ b ⋅ c)2 = 64

⇒ a ⋅ b ⋅ c = 8

buluruz. a1, a2, a3, ..., an n tane pozitif gerçek sayı olsun.

Tekrar tanımdan, a, b ve c nin geometrik ortalamasını,

O zaman,

3 a ⋅b ⋅c n a ⋅a 1 2

⋅ a3 ⋅ ... ⋅ an

sayısına, a1, a2, a3, ..., an sayılarının geometrik ortala-

= 38 = 2


ması denir.

YGS MATEMATİK

329

Oran - Orantı


Çözüm Verilen orantıda,

a, b ve c pozitif gerçek sayılardır.

x yerine y

a ile b nin geometrik ortası 4, a ile c nin geometrik

A)

2 3

B)

4 9

y yerine z

b kaçtır? c

ortası 6 olduğuna göre,

C) 1

D)

9 4

E)

3 2

z yerine x yazarsak, 2 y − z 2z − x 2 x − y = = z+x x+y y+z olup, orantı bozulmaz. O halde, bu orantı bir simetrik orantı’dır. IŞIK 3’ten, x=y=z olmalıdır.

Işık 3

Dolayısıyla, x2 x2 = =1 y⋅z x⋅x

x, y ve z değişkenlerinin oluşturduğu bir bileşik orantıda;

x yerine y

y yerine z

z yerine x


yazıldığında, orantı bozulmuyorsa, o zaman, o orantıya bir simetrik orantı diyeceğiz. ..................................................................................... Bir simetrik orantıdaki değişkenlerin birbirine eşit olması durumunda, verilen eşitlik sağlanır.

DNA 9 2 x − y 2 y − z 2z − x = = y+z z+x x+y

2

olduğuna göre, 1 A) 4

330

x kaçtır? y⋅z

1 B) 2

YGS MATEMATİK

3 x − y − z 3 y − z − x 3z − x − y = = y+z z+x x+y

olduğuna göre, C) 1

D) 2

E) 4

A) 1

2x + 3y oranı kaçtır? 2z − x

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5


Oran - Orantı

TEST - 1

5.

Pozitif üç tam sayının aritmetik ortalaması 12 dir.

Her sayı 2 şer artırılırsa aritmetik orta kaç olur? A) 12

1.

B) 13

C) 14

D) 15

E) 16

Bir sınıftaki kız ve erkek öğrencilerin sayıları sırasıyla 1,2 ve 1,4 sayılarıyla orantılıdır.

Bu sınıftaki öğrenciler en az kaç kişidir? A) 6

B) 7

C) 10

D) 12

E) 13

6.

a, b, c pozitif tam sayılar olmak üzere,

2.

olduğuna göre,

A) 3

3.

B)

a + 2b ifadesinin değeri kaçtır? b C)

7 3

D) 2

E)

D)

a oranı kaçtır? b B) −

A) a < b < c

E) c < a < b

4 tavuk; 4 kg yemi, 4 günde bitiriyor.

Buna göre, 10 tavuk, 10 kg yemi kaç günde biti-

C)

5 18

A) 2

B) 3

C) 4

D) 6

E) 10

E) 5

x, y, z pozitif gerçek sayılardır.

4.

18 tane sayının aritmetik ortalaması 12 dir.

Bu sayıların toplamının 9 ile bölümünden kalan

kaçtır?

B) 3

D) c < b < a

C) b < a < c

7.

8.

A) 0

B) a < c < b

rir?

5 18

18 5

5 3

2a + 3b − 3 c 3 = a − 2b − 4 c 4

18 5

olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur?

8 3

olduğuna göre, A) −

2a + b =5 a

a ⋅b a ⋅c b ⋅c = = 2 6 9

C) 4

D) 6

E) 8

x⋅y =1 z

y⋅z =2 x

x⋅z =3 y

olduğuna göre, x2 + y2 + z2 toplamı kaçtır? A) 11

B) 9

C) 8

D) 6

YGS MATEMATİK

E) 3

331

Oran - Orantı

9.


Bir firmanın, “üçü bir arada” sloganı ile piyasaya sür-

13. Bir traktörün arka tekerleğinin yarıçapının ön tekerle-

düğü kahvenin içindekiler,

ğinin yarıçapına oranı 3 tür.

şeker : kahve : süt tozu = 0,1 : 0,2 : 0,3

arka tekerlekten 20 devir fazla yaptığına göre, ön

oranında karıştırılmıştır.

Bu firma toplam 180 kilo karışım oluşturduğuna

tekerleğin çevresi kaç metredir? A) 2

göre, bunun ne kadarı şekerdir? A) 30

10. 3

B) 60

C) 90

D) 120

tane özdeş musluk boş bir depoyu 12 dakikada

C) 4

D)

9 2

E) 5

14. 16 işçi bir işi 20 günde bitirebilmektedir. Bu işçiler işe başladıktan 8 gün sonra 4 tanesi işi bırakıyor.

4 tane özdeş musluk, bu depo ile eşit hacimde

Kalan işçiler, işin kalan kısmını kaç günde bitirir-

olan 3 tane boş depoyu kaç dakikada doldurur?

ler?

A) 27

A) 9

B) 24

B) 3

E) 150

doldurmaktadır.

Bu traktör 90 metre yol aldığında; ön tekerlek,

C) 18

D) 12

E) 9

B) 12

C) 15

D) 16

E) 18

11. Bir yurtta 90 öğrenciye 60 gün yetecek kadar yiyecek bulunmaktadır. 10 gün sonra, yurttan 30 öğrenci ayrılıyor.

bir Hereke halısı dokumak mümkündür.

Kalan yiyecekler, kalan öğrencilere kaç gün ye-

15. 3a kg iplik kullanılarak 3b cm eninde, 4c cm boyunda

ter?

a kg iplik ile b cm eninde, kaç cm boyunda bir Hereke halısı dokunabilir?

A) 60

B) 64

C) 75

D) 80

E) 90

A) 4c

B) 3c

C) 2c

D) c

E)

c 2

12. Eşit kapasitedeki a tane işçi 2b m2 halıyı günde 3c saat çalışarak 4 günde bitirebiliyor.

Buna göre, yine aynı kapasitedeki 2a tane işçi, c b m2 halıyı, günde saat çalışarak kaç günde 2 bitirebilir? A) 6

1.E

332

2.C

B) 8

3.A

YGS MATEMATİK

C) 10

4.A

5.C

D) 12

6.A

16. 3x–2

göre, x kaçtır?

E) 14

7.C

8.A

ile 3x+2 nin geometrik ortası 27 olduğuna

A) 1

9.A

10.A

B) 2

11.C

C) 3

12.A

13.B

D) 4

14.D

E)

15.A

10

16.C

PROBLEMLER - BÖLÜM 13

GİRİŞ

SAYI VE KESİR PROBLEMLERİ

Soruda konu edilen sayıyı x ile gösterelim. Bu sayı ile karşımıza çıkabilecek bazı ifadeleri semboller

Bu bölümde başarılı olabilmek için, Türkçeyi iyi bilmek,

kullanarak yazalım.

okuduğunu anlayabilmek ve soruyu tam olarak okumak şarttır. Kısaca problem çözerken yapılan iş, kelimeleri matematik

Sayının 3 fazlası: x + 3 Sayının 3 eksiği: x – 3

sembollere dönüştürmek ve oluşan denklem veya eşitsizliği temel matematik bilgileri kullanarak, bilinmeyeni bul-

Sayının 3 katı: 3x

maktır. Hataları önlemek için de problemin son bölümünde istenen ile denklemden bulunan değerin aynı olup olmadığı kontrol edilmelidir. Problem çözümlerinde;

Sayının üçte biri:

1 x ⋅x = 3 3

Sayının üçte ikisi:

2 2x ⋅x = 3 3

Sayının 2 katının 3 fazlası: 2x + 3 Sayının 3 fazlasının 2 katı: 2(x + 3) Sayının yarısının 3 eksiği:

x −3 2

Sayının 3 eksiğinin yarısı:

x−3 2

Verilen ifade, matematik semboller seçilerek eşitlik (eşitsizlik) şekline dönüştürülür.

Sayının küpü: x3 Sayının karesinin 3 fazlası: x2 + 3 Sayının 3 fazlasının karesi: (x + 3)2 Denklem (eşitsizlik) çözülür. Sayının karesinin üç katı: 3x2 Sayının üç katının karesi: (3x)2 = 32 ⋅ x2 = 9x2 Sayının karekökü: Bulunan ile istenenin aynı bilgi olup olmadığı kontrol edilir.

x

Sayının karekökünün 1 fazlası:

x +1

Sayının 1 fazlasının karekökü:

x +1

Gerekirse sağlaması yapılır. Sayının karekökünün üç katı: 3 x Konunun iyice pekişmesi için problemleri gruplara ayırıp inceleyeceğiz.

Sayının üç katının karekökü:

3x

YGS MATEMATİK

333

Sayı ve Kesir Problemleri

Problemler - Bölüm 13

Çözüm

DNA 1 Bir sayının 2 fazlasının yarısı, aynı sayının 5 eksiğine

İstenen sayı x olsun.

eşittir.

3x – 19 = 2x + 5

Bu sayı kaçtır? A) 7

B) 9

C) 12

D) 14

E) 16

denklemi oluşturulur. Denklemi çözelim: 3x – 2x = 5 + 19

Çözüm

İstenen sayı x olsun.

x = 24

buluruz.

x+2 = x−5 2

Doğru Seçenek B

denklemi oluşturulur. Denklemi çözelim: x + 2 = 2(x – 5)

x + 2 = 2x – 10

x =12

buluruz. Doğru Seçenek C Hangi sayının 3 eksiğinin iki katı, aynı sayının 5 eksiğinin üç katına eşittir? A) 6

B) 7

D) 9

C) 8

E) 12

Bir sayının 1 fazlasının iki katı, aynı sayının 5 fazlasına eşittir. Bu sayı kaçtır? B) 3

A) 2

C) 4

D) 5

E) 6

DNA 3

DNA 2 Üç katının 19 eksiği, iki katından 5 fazla olan sayı kaçtır? A) 14

334

B) 24

YGS MATEMATİK

C) 35

D) 53

E) 70

Hangi sayıdan 5 çıkardığımızda veya sayıyı 5 e böldüğümüzde aynı sonucu buluruz? A) 5

B) 6

C)

25 4

D)

13 2

E) 7



Çözüm

Çözüm

Aranan sayı x olsun.

Alınan kesir x−5 =

x 5

x olsun. y

Kesrin çarpımsal tersi

y tir. x x+3 y = y+3 x

denklemi oluşur. Denklemi çözelim: denklemi oluşur.

5x – 25 = x

Denklemi düzenleyelim:

4x = 25

x=

25 4


x2 + 3x = y2 + 3y

x2 – y2 = 3y – 3x (x – y)(x + y) = –3( x – y)

x + y = –3


Hangi sayıya 6 eklediğimizde veya sayının 6 katını aldığımızda aynı sonucu buluruz? 1 A) 6

1 B) 5

5 C) 6

D) 1

6 E) 5

Payı paydasından farklı bir kesrin pay ve paydasından 3 çıkardığımızda ilk kesrin çarpma işlemine göre tersi elde ediliyor. Bu kesrin pay ve paydasının toplamı kaçtır? A) –6

DNA 4

B) –3

C) –1

E) 3

D) 0

DNA 5

Payı paydasından farklı bir kesrin pay ve paydasına 3 eklendiğinde ilk kesrin çarpma işlemine göre tersi

Bir öğrenci kendisine söylenen sayıyı 6 ile çarpacağı-

elde ediliyor.

na, 6 ya bölmüş ve 15 sonucunu bulmuştur.

Bu kesrin pay ve paydasının toplamı kaçtır?

Doğru işlem yapılsaydı sonuç kaç olurdu?

A) –6

B) –3

C) –1

D) 0

E) 3

A) 90

B) 180

C) 360

D) 540

E) 720

YGS MATEMATİK

335



Çözüm

Çözüm Büyük sayı x, küçük sayı y olsun.

Öğrenciye söylenen sayı x olsun.

Yanlış işlem: x = 15 6

x−y =

2 x 3

y = x−

2 x 3

y=

x = 90 söylenen sayı.

x 3

x = 3y olur ki, Doğru işlem:

x + y = 3y + y = 4y

6x = 6 ⋅ 90 = 540 doğru sonuç.

sayıların toplamı, küçük sayının 4 katıdır. Doğru Seçenek D

Doğru Seçenek C

Bir öğrenci kendisine söylenen sayıyı 3 ile böleceğine, 3 ile çarpmış ve 36 sonucunu bulmuştur. Doğru işlem yapılsaydı sonuç kaç olurdu? A) 3

B) 4

C) 6

D) 12

E) 18

İki sayının toplamı küçük sayının 5 katı olduğuna göre, sayıların farkı küçük sayının kaç katıdır? A) 2

İki sayının farkı büyük sayının

2 ü olduğuna göre, 3

sayıların toplamı küçük sayının kaç katıdır? B) 3

336

YGS MATEMATİK

C) 4

D) 5

E) 6

DNA 7

DNA 6

A) 2

B) 3

C) 4

D) 5

Bir sayı 2 ile çarpılır, 6 çıkarılır ve sonuç 2 ye bölünürse 20 bulunuyor. Alınan sayı kaçtır?

E) 6

A) 12

B) 13

C) 20

D) 23

E) 24



Çözüm

DNA 8 60 sayısı öyle dört parçaya ayrılmıştır ki;

birincinin dörtte biri,

ikincinin dört katı,

üçüncünün 4 fazlası,

denklemi oluşur.

dördüncünün 4 eksiği

Denklemi çözelim:

birbirine eşittir.

Alınan sayı x olsun. 2x − 6 = 20 2

Bu parçalardan en büyüğü kaçtır?

2x – 6 = 40

2x = 46

x = 23

A) 2,4

B) 5,6

D) 38,4

C) 13,6

E) 43, 2

buluruz.

Çözüm Parçalar x, y, z ve t olsun. Tersten işlem yaparak:

Parçaların toplamı bütünü vereceğinden; x + y + z + t = 60

En son işlem, 2 ye bölme işlemi. Bölme yapılmasa idi sayı 40 olurdu.

olur.

6 çıkarılmış. Çıkarma yapılmasa idi sayı 46 olurdu.

x = 4y = z + 4 = t − 4 4

2 ile çarpılmış. Çarpma yapılmasa idi sayı 23 olurdu. Sistemi çözelim: Doğru Seçenek D

x = 4y 4

⇒

x = 16y

4y = z + 4

⇒

z = 4y – 4

4y = t – 4

⇒

t = 4y + 4

x, z ve t nin y türünden değerlerini ilk eşitlikte yerlerine yazarsak;

x + y + z + t = 60 16y + y + 4y – 4 + 4y + 4 = 60

Bir sayı 3 ile bölünür, 3 eklenir ve sonuç 3 ile çarpılırsa 21 bulunuyor.

25y = 60

Alınan sayı kaçtır?

y = 2,4

A) 6

B) 9

C) 12

D) 15

E) 18

buluruz.

YGS MATEMATİK

337



y nin bulunan bu değeri yerine yazıldığında;

Çözüm

x = 16y = 16 ⋅ (2,4) = 38,4

z = 4y – 4 = 4(2,4) – 4 = 9,6 – 4 = 5,6

Otobüsteki yolcu sayısına x dersek;

t = 4y + 4 = 4(2,4) + 4 = 9,6 + 4 =13,6

Başlangıçta:

bulunur. En büyük parça x olup,

Erkekler = E =

2x 5

Kadınlar = K =

2x 5

Çocuklar = Ç =

x 5

x = 38,4 tür. Doğru Seçenek D

45 sayısı öyle dört parçaya ayrılmıştır ki;

birincinin yarısı,

ikincinin iki katı,

üçüncünün 2 fazlası,

dördüncünün 2 eksiği

İnenler: E=

2x 10

K=

2x 15

Ç=

x 10

Kişi sayıları sayma sayısı olacağından; x sayısının 10 ve 15 e bölünebilmesi gerekir.

x = OKEK(10, 15)

10 = 2 ⋅ 5

15 = 3 ⋅ 5

birbirine eşittir.

x = OKEK(10, 15) = 2 ⋅ 3 ⋅ 5 = 30

Bu parçalardan en küçüğü kaçtır? B) 5

A) 3

C) 8

x, en az 30 dur. D) 10

E) 12

Başlangıçta: Çocuklar =

x 30 = = 6 kişidir. 5 5 Doğru Seçenek C

DNA 9 Bir otobüsteki yolcuların lan

2 2 i erkek, i kadın ve ka5 5

1 i çocuktur. 5

İlk durakta erkeklerin yarısı, kadınların üçte biri ve çocukların yarısı iniyor. Başlangıçta otobüste en az kaç çocuk vardır? A) 3

B) 4

338

YGS MATEMATİK

C) 6

D) 8

E) 9

Bir otobüs durağında bekleyenlerin, dın ve

1 1 ü erkek, ü ka3 3

1 ü de çocuktur. 3

İlk gelen otobüse erkeklerin üçte biri, kadınların yarısı ve çocukların yarısı biniyor. Başlangıçta durakta bekleyen en az kaç kadın vardır? A) 3

B) 4

C) 5

D) 6

E) 9



DNA 10 Bir yıl sonu balosuna 95 kişi katılıyor. Balo boyunca

Bir yıl sonu balosuna 43 kişi katılıyor. Balo boyunca

1. erkek 4 kızla,

1. erkek 6 kızla,

2. erkek 5 kızla,

2. erkek 7 kızla,

3. erkek 6 kızla ve

3. erkek 8 kızla ve

...

...

böyle devam ederek sonuncu erkek de balodaki kızların

böyle devam ederek sonuncu erkek de balodaki kızların tümü ile dans ediyor.

B) 50

C) 55

Baloda kaç kız vardır? A) 17

Baloda kaç kız vardır? A) 45

tümü ile dans ediyor.

D) 60

C) 23

B) 20

D) 26

E) 29

E) 65

DNA 11

Çözüm Erkeklere birer numara verdiğimizi düşünelim.

Bir toplantıdaki erkeklerin sayısı, kadınların sayısının üç katıdır. Toplantıdan 4 erkek eşleriyle birlikte ayrı-

1. erkek 6 kızla,

2. erkek 7 kızla,

3. erkek 8 kızla,

Başlangıçta toplantıda bulunan erkek ve kadınla-

....

rın toplam sayısı kaçtır?

x. erkek x + 5

A) 36

lınca erkeklerin sayısı, kadınların sayısının dört katı olmaktadır.

B) 40

C) 44

D) 48

E) 52

kızla dans ediyor. Her erkek, numarasının 5 fazlası kadar kız ile dans etmektedir. Baloda x erkek, x + 5 kız bulunduğundan;

x + (x + 5) = 95

2x = 90

x = 45

Erkeklerin sayısı = E

Kadınların sayısı = K

Başlangıçta; E = 3 ⋅ K

E + K = 95

Çözüm

4 erkek eşleri ile ayrıldığında; erkeklerin ve kadınların sayıları 4 er azalır. E – 4 = 4(K – 4) E = 4K – 12 eşitliğinde, E = 3K yazılırsa;

erkek vardır.

4K – 12 = 3K ⇒ K = 12

Kızların sayısı = x + 5 = 45 + 5 = 50 dir. Doğru Seçenek B

E = 3 ⋅ 12 = 36 bulunur. Toplantıdaki kişi sayısı = E + K = 36 + 12 = 48 Doğru Seçenek D

YGS MATEMATİK

339



Bir toplantıdaki erkeklerin sayısı, kadınların sayısının dört

Bir ailedeki erkek çocuklardan biri: “Kız kardeşlerimin sa-

katıdır. Toplantıya eşleriyle birlikte 3 erkek daha katılınca

yısı, erkek kardeşlerimin sayısına eşittir.”

erkeklerin sayısı, kadınların sayısının üç katı olmaktadır.

Ailedeki kız çocuklardan biri: “Erkek kardeşlerimin yarı-

Başlangıçta toplantıda bulunan erkek ve kadınların

sı kadar kız kardeşim var.” diyorsa ailedeki çocuk sayısı

toplam sayısı kaçtır?

kaçtır?

B) 30

A) 24

C) 35

D) 40

E) 45

A) 5

B) 6

C) 7

D) 8

E) 9

DNA 13

DNA 12

Evli kişilerin eşleri ile birlikte oldukları bir toplulukta;

Aynı hastahanede doktor olan Derya ve Deniz’den,

erkeklerin

Derya: 12 si bayan meslek17

“Bu hastahanedeki doktorların taşımdır.”

2 3 ü, bayanların ise i evlidir. 3 5

Bu toplulukta en az kaç kişi bulunmaktadır? A) 18

B) 19

C) 20

D) 21

E) 22

Deniz: “Bu hastahanedeki doktorların şımdır.” demiştir.

5 si bayan meslekta7

Çözüm

Her iki doktor da doğru söylediğine göre, bu has-

Evli erkeklerin sayısı, evli bayanların sayısına eşit olaca-

tahanedeki bayan doktorların sayısı kaçtır?

ğından;

A) 85

B) 119

C) 121

D) 132

Çözüm Derya:

2 3 E= K 3 5

E) 135

10 ⋅ E= 9 ⋅ K

12 12 ⋅ 7 84 = = 17 17 ⋅ 7 119

Deniz:

5 5 ⋅ 17 85 = = 7 7 ⋅ 17 119

E ve K sayma sayısı olduğundan, E = 9 ve K = 10 dur. Kişi sayısı = E + K = 10 + 9 = 19

oranlarını vermiştir.

Doğru Seçenek B

84 85 < 119 119 Derya bayan olduğundan, bayan meslektaşlarının oranını söylerken kendisini saymamış, bayan doktorların sayısını 1 eksik söylemiştir. Deniz ise erkek olduğundan, bayan meslektaşlarının sayısını tam olarak vermiştir.

Evli kişilerin eşleri ile birlikte oldukları bir toplulukta; Erkeklerin

119 doktordan, 85 tanesi bayandır. Doğru Seçenek A

Bu toplulukta en az kaç kişi bulunmaktadır? A) 30

340

YGS MATEMATİK

3 4 ü, bayanların ise i evlidir. 4 5

B) 31

C) 32

D) 33

E) 34



5.

TEST - 1

Yapılan bir sınavda erkek öğrencilerin rencilerin

1.

Hangi sayının 3 fazlası, 3 eksiğinin üç katıdır? A) 2

B) 3

C) 4

D) 6

olduğu bilindiğine göre, sınavda tüm öğrencilerin kaçta kaçı başarılıdır?

E) 9

Hangi sayının üç katının 8 fazlasının yarısından 6 çıkarıldığında, sayının kendisi elde edilir? A) 3

B) 4

C) 5

D) 6

3 ü başarılı olmuşlardır. 4

Başarılı kız ve erkek öğrencilerin sayılarının eşit

A)

2.

2 ü , kız öğ3

6.

11 16

B)

12 17

C)

13 18

D)

14 19

E)

17 23

3 küçük, 4 büyük kutu toplam 54 silgi, 5 küçük, 3 büyük kutu toplam 60 silgi almaktadır.

E) 7

2 küçük, 5 büyük kutuya toplam kaç silgi konulabilir? A) 62

3.

Bir kesrin değeri

B) 64

C) 66

D) 68

1 dir. Bu kesrin pay ve paydasın2

dan 1 çıkarıldığında elde edilen kesir ile, pay ve paydasına 1 eklendiğinde elde edilen kesir çarpıldığında sonuç

7.

1 olmaktadır. 5

lak değeri kaçtır? B) 2

C) 3

D) 4

2 ü, diğeri3

3 ine eşit olacak biçimde paylaş5

tırılıyor.

E) 5

Bu durumda en az parayı alan kaç lira almıştır? A) 20

8. 4.

76 lira iki kardeşe, birinin aldığı paranın nin aldığı paranın

Bu kesrin pay ve paydası arasındaki farkın mut-

A) 1

E) 70

B) 28

C) 36

D) 40

E) 42

Ali, Bora ve Can eşit katılımla bir şirket kuracaklar-

a kesrinin payı 1 artırıldığında, kesrin değerinin b

dır. Şirket kurulumu için Ali 9000 TL, Bora 15000 TL

değişmemesi için paydası ne kadar artırılmalı-

borçlanmıştır.

dır? A) 1

vermiştir. Can ise hiç para vermeyip arkadaşlarına

B) a

C) b

a D) b

b E) a

Can’ın Bora’ya borcu kaç bin TL dir? A) 1

B) 3

C) 4

D) 7

YGS MATEMATİK

E) 9

341



13. A,

9.

��

B, C, D bitkilerinin boyları sırasıyla 2, 3, 5 ve

26 cm dir.

��

İki halkadan oluşan bir zincir parçası 13 cm, üç

Her bitki ayda 2 cm uzadığına göre kaç ay sonra

halkadan oluşan parça 18 cm uzunluğunda ol-

A, B, C bitkilerinin boylarının toplamı, D bitkisi-

duğuna göre, 25 halkadan oluşan zincir kaç cm

nin boyuna eşit olur?

dir?

A) 2

A) 125

B) 126

C) 127

D) 128

B) 3

C) 4

D) 6

E) 8

E) 129

14. 700 paket eşya, araba veya hamalla taşınabilmekte10. Ali, kilosu 4 TL olan fıstık ile kilosu 3 TL olan fındıktan 500 gramlık bir karışım alarak 180 kuruş ödemiş-

8 TL, en çok 20 paket götürebilen hamal ise her gidiş

tir.

için 3 TL almaktadır.

Ali’nin aldığı karışımda kaç gram fındık vardır?

dir. En çok 60 paket götürebilen araba her gidiş için

A) 150

B) 175

C) 200

D) 225

A) 88

E) 250

11. Boş iken ağırlıkları x ve y olan iki kap su ile doldurulEğer kaplar yarıya kadar su ile doldurulursa ağır-

C) 96

D) 105

Sınıf geçme notu 4 ve üstü olduğuna göre, bu sınıfta en az kaç kişi sınıfta kalacaktır?

A) 300

A) 6

B) 450

C) 600

D) 750

E) 900

1 si kesilirse, telin orta 7

noktası eski durumundan 2 cm kayıyor.

1.D

342

2.B

B) 18 3.B

YGS MATEMATİK

C) 21 4.E

5.B

D) 28 6.A

B) 7

C) 8

D) 10

E) 17

16. 1 den 123 e kadar ( 1 ve 123 dahil) doğal sayıların yan yana yazılmasıyla elde edilen sayı kaç basamaklıdır?

Bu telin tamamının uzunluğu kaç cm dir? A) 14

E) 112

herhangi biri en çok altı defa kullanılabiliyor.

lıkları farkı 300 gr oluyorsa, |x – y| farkı kaçtır?

12. Bir parça telin ucundan telin

B) 94

15. 37 kişilik bir sınıfta 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 notlarından

duklarında ağırlıkları eşit olmaktadır.

Eşyanın tümü en az kaç TL ye taşınabilir?

A) 123

E) 35 7.C

8.D

9.D

10.C

B) 171 11.C

12.D

C) 249 13.C

D) 258 14.B

15.B

E) 261 16.E


YAŞ PROBLEMLERİ

Çözüm

GİRİŞ Kişinin bu günkü yaşı = İçinde bulunulan yıl – Doğum yılı

Çocukların bu gün yaşları; a, b ve c ise a + b + c = 25

Doğum yılı 1900 olan kişinin, 2008 yılında kaç yaşında 4 yıl sonraki yaşları;

olduğunu bulalım.

a + 4, b + 4, c + 4

Kişinin 2008 yılındaki yaşı = 2008 – 1900

olur.

=108 dir.

(a + 4) + (b + 4) + (c + 4) = a + b + c + 12

Kişinin bu günkü yaşı x ise,

isteniyor.

A yıl sonraki yaşı x + A,

a + b + c = 25 olduğu bilindiğine göre,

B yıl önceki yaşı y – B dir.

a + b + c + 12 = 25 + 12 = 37

Soruda söz konusu kişilerin bu günkü yaşları x, y, z, ... ise;


A yıl önce yaşları x – A, y – A, z – A, ...

A yıl sonra yaşları x + A, y + A, z + A, ...

olacağı unutulmamalıdır. Ayça bugün 17, kardeşi 13 yaşında ise; 5 yıl sonra; Ayça 17 + 5 = 22 Dört kardeşin bugün yaşları toplamı 36 olduğuna

Kardeşi 13 + 5 = 18

göre, 2 yıl önce yaşları toplamı kaç idi?

yaşında olacaktır.

A) 34

B) 32

C) 30

D) 28

E) 26

6 yıl önce; Ayça 17 – 6 = 11 Kardeşi 13 – 6 = 7 yaşında idi. Söz konusu kişilerin yaş farklarının sabit kaldığına dikkat

DNA 15

ediniz.

Ekrem’in yaşı, babasının yaşının

DNA 14

şının

Üç çocuğun bugün yaşları toplamı 25 olduğuna

1 ü kadardır. 3

Ekrem’in yaşı, babasının ve annesinin yaşları far-

göre, dört yıl sonra yaşları toplamı kaç olacaktır?

kının kaç katıdır?

A) 29

A)

B) 33

C) 37

D) 41

E) 45

2 si, annesinin ya7

1 2

B)

2 3

C) 2

D) 3

YGS MATEMATİK

E) 4

343

Yaş Problemleri


Çözüm

Çözüm

Ekrem’in yaşı: E

1923 sayısının rakamları çarpımı;

Annesinin yaşı: A

1 ⋅ 9 ⋅ 2 ⋅ 3 = 54

Babasının yaşı: B olsun. 2 7

ve

1 E = A⋅ 3

ve

E = B⋅

B=

tür.

7E 2

Bu aynı zamanda kişinin yaşı olduğundan,

A = 3E dir.

54 = İçinde bulunulan yıl – 1923 İçinde bulunulan yıl = 1923 + 54 =1977

Baba ve annenin yaş farkı: B−A =

7E 1 − 3E = E 2 2

Doğru Seçenek C

E = 2(B – A)

Ekrem’in yaşı, baba ve annesinin yaşları farkının 2 katıdır. Doğru Seçenek C

1983 yılında doğan bir kişi, yaşını soran arkadaşına, Cansu’nun yaşı, babasının yaşının şının

4 si, annesinin ya17

1 ü kadardır. 4

nın kaç katıdır? 1 2

B)

yanıtını veriyor. Buna göre, bu konuşma hangi yılda yapılmıştır?

Cansu’nun yaşı, babasının ve annesinin yaşları farkı-

A)

“Bugünkü yaşım, doğum yılımın rakamları toplamına eşit.”

A) 2000

2 3

C) 2

D) 3

“Bugünkü yaşım, doğum yılımın rakamları çarpımına eşit.” yanıtını veriyor. Buna göre, bu konuşma hangi yılda yapılmıştır?

344

B) 1976

D) 1978

YGS MATEMATİK

E) 2004

D) 2003

DNA 17

1923 yılında doğan bir kişi, yaşını soran arkadaşına,

C) 2002

E) 4

DNA 16

A) 1975

B) 2001

E) 1979

C) 1977

Ayça, Bora ve Cansu’nun bugünkü yaşları toplamı 68 dir. Ayça, Bora’nın bugünkü yaşında iken, Cansu’nun yaşı da Bora’nın yaşının iki katı idi. Buna göre, Bora’nın bugünkü yaşı kaçtır? A) 14

B) 16

C) 17

D) 18

E) 22


Yaş Problemleri

Not

Çözüm Ayça, Bora ve Cansu’nun bugünkü yaşları sırası ile A, B

Aslı ile Zara’nın yaş sorunu:

ve C olsun.

Aslı’nın yaşı A,

A + B + C = 68

Zara’nın yaşı Z olsun.

“Ayça, Bora’nın bugünkü yaşında iken” ifadesi, Ayça’nın

Aslı, Zara’nın yaşına geldiğinde; (Z – A yıl sonra)

Bora’dan büyük olduğunu verir.

Aslı’nın yaşı: A + (Z – A) = Z

A – B yıl öncesinden söz edilmektedir.

Zara’nın yaşı: Z + (Z – A) = 2 ⋅ Z – A olur.

A – (A – B) = B Ayça’nın yaşı B – (A – B) = 2B – A Bora’nın yaşı

Zara, Aslı’nın yaşında iken;

C – (A – B) = C – A + B Cansu’nun yaşı idi.

(Z – A yıl önce)

C – A + B = 2(2B – A)

Aslı’nın yaşı: A – (Z – A) = 2 ⋅ A – Z

C – A + B = 4B – 2A

Zara’nın yaşı: Z – (Z – A) = A idi.

C = 3B – A

DNA 18

A + B + C = 68 eşitliğinde yerine yazılırsa; A + B + (3B – A) = 68

4B = 68

B =17

Bir anne 36, kızı 8 yaşındadır. Kaç yıl sonra annenin yaşı, kızının yaşının 3 katı olur? A) 6


B) 7

C) 8

D) 9

E) 10

Çözüm x yıl sonra; Annenin yaşı: 36 + x Kızının yaşı: 8 + x olacaktır. 36 + x = 3(8 + x)

36 + x = 24 + 3x

2x = 12

Ayça, Bora’nın bugünkü yaşına geldiğinde, Cansu’nun

x=6

yaşı da Bora’nın yaşının yarısı kadar olacaktır.

bulunur.

Ayça, Bora ve Cansu’nun bugünkü yaşları toplamı 55 tir.

Buna göre, Bora’nın bugünkü yaşı kaçtır? A) 15

B) 18

C) 20

D) 24

Doğru Seçenek A E) 25

YGS MATEMATİK

345

Yaş Problemleri


Bir baba 38, oğlu 8 yaşındadır.

Bir annenin bugünkü yaşı, üç çocuğunun bugünkü yaşları

Kaç yıl sonra babanın yaşı, oğlunun yaşının 4 katı olacaktır?

toplamının iki katıdır. İki yıl önce annenin yaşı, çocuklarının yaşları toplamı-

B) 2

A) 1

C) 3

D) 4

E) 5

nın üç katı olduğuna göre, çocukların bugünkü yaşları toplamı kaçtır? A) 8

B) 10

C) 12

D) 14

E) 16

DNA 19 Bir babanın bugünkü yaşı, üç çocuğunun bugünkü

DNA 20

yaşları toplamının üç katına eşittir. 2 yıl sonra babanın yaşı, çocuklarının yaşları top-

Bir babanın yaşı, ikişer yıl ara ile doğmuş 3 çocuğu-

lamının iki katı olacağına göre, babanın bugünkü

nun yaşları toplamına eşittir.

yaşı kaçtır? A) 28

B) 30

C) 32

D) 36

Baba 48 yaşında olduğuna göre, en büyük çocuk

E) 40

doğduğunda babanın yaşı kaçtır? A) 28

Çözüm Babanın bugünkü yaşı: B

E) 35

x + (x + 2) + (x + 4) = 48

Babanın yaşı: B + 2 Çocukların yaşları: x + 2, y + 2, z + 2 olacaktır. B + 2 = 2[(x + 2) + (y + 2) + (z + 2)] B + 2 = 2(x + y + z) + 12

3x + 6 = 48

3x = 42

x = 14

En büyük çocuğun yaşı: x + 4 = 14 + 4 = 18

B =3(x + y + z) yazılırsa, 3(x + y + z) + 2 = 2(x + y + z) + 12

Çocuk doğduğunda babanın yaşı: 48 – 18 = 30

x + y + z = 10 bulunur. Babanın bugünkü yaşı:

olur.

B = 3(x + y + z) verildiğinden B = 3 ⋅ 10 = 30 dur. Doğru Seçenek B

346

D) 34

Çocukların yaşları: x, x + 2 ve x + 4

2 yıl sonra;

C) 32

Çözüm

Çocukların bugünkü yaşları: x, y ve z olsun B = 3(x + y + z)

B) 30

YGS MATEMATİK

Doğru Seçenek B


Yaş Problemleri

DNA 22 Bir annenin yaşı, üçer yıl ara ile doğmuş üç çocuğunun yaşları toplamına eşittir.

Kaya ve Mert’in bugünkü yaşlarının oranı

4 olacağına göre, Kaya ve 5 Mert’in bugünkü yaşları toplamı kaçtır?

Annenin 39 yaşında olduğu bilindiğine göre, en küçük

4 yıl sonra bu oran

çocuk doğduğunda annenin yaşı kaçtır? A) 20

B) 23

C) 26

D) 29

3 tür. 4

E) 32

A) 30

B) 28

C) 24

D) 18

E) 16

Çözüm DNA 21

Kaya’nın bugünkü yaşı: K Mert’in bugünkü yaşı: M

Ali 6 yaşında iken babası 36 yaşındadır.

K 3 = ⇒ 4K = 3M M 4

1 Kaç yıl sonra yaşlarının oranı olur? 4 A) 2

B) 3

C) 4

D) 5

4 yıl sonra; E) 6

Kaya: K + 4 Mert: M + 4 yaşında olacaktır.

Çözüm

K+4 4 = ⇒ 5(K + 4) = 4(M + 4) M+ 4 5

x yıl sonra; Ali’nin yaşı: 6 + x

5K + 20 = 4M + 16

4M – 5K = 4 4K = 3M ⇒ M =

Babanın yaşı: 36 + x olacaktır. 6+x 1 = 36 + x 4

 4K  4M − 5K = 4   − 5K = 4  3  K = 4 ⇒ K = 12 3

36 + x = 4(6 + x)

36 + x = 24 + 4x

3x = 12

4K 3

x=4 Doğru Seçenek C

4K = 3M

4 ⋅ 12 = 3M

M = 16 K + M = 12 + 16 = 28


Aysu’nun yaşı 12, Banu’nun yaşı 24 tür. Buna göre, kaç yıl önce Aysu ile Banu’nun yaşlarının

6 yıl önce bu oran

3 oranı idi? 7 A) 2

B) 3

Elif ve Demir’in bugünkü yaşlarının oranı

3 tür. 4

2 olduğuna göre, Demir ile Elif’in 3

yaşları farkı kaçtır? C) 4

D) 5

E) 6

A) 6

B) 9

C) 12

D) 18

YGS MATEMATİK

E) 24

347

Yaş Problemleri


DNA 23

DNA 24

Ayşe ile Fatma’nın bugünkü yaşları toplamı 42 dir.

17 ve 18 yaşındaki öğrencilerden oluşan 20 kişilik bir

Ayşe, kendisinden daha yaşlı olan Fatma’nın yaşına

sınıftaki öğrencilerin yaşları toplamı 348 dir.

geldiğinde ise yaşları toplamı 54 olacaktır.

Bu sınıfta 18 yaşında olan kaç öğrenci vardır?

Buna göre, Ayşe’nin bugünkü yaşı kaçtır? A) 16

B) 18

C) 24

D) 30

A) 6

B) 8

C) 9

D) 10

E) 32

Çözüm

Çözüm Ayşe’nin bugünkü yaşı: A

17 yaşındaki öğrencilerin sayısı: x

Fatma’nın bugünkü yaşı: F

18 yaşındaki öğrencilerin sayısı: y olsun.

A + F = 42

x + y = 20

F – A yıl sonrasından söz edilmektedir.

Tüm öğrencilerin yaşları toplamı;

Ayşe: A + (F – A) = F

17x + 18y = 348

Fatma: F + (F – A) = 2F – A F + (2F – A) = 54

Sistemi çözdüğümüzde;

Sistem çözüldüğünde;

A + F=42 ⇒ F = 42 – A

E) 12

17x + 18y = 17(20 – y) + 18y = 348

F + (2F – A) = 42 – A + [2(42 – A) – A] = 54

42 – A + 84 – 3A = 54

4A = 72

x + y = 20 ⇒ x = 20 – y

340 – 17y + 17y = 348

y=8

8 kişi 18 yaşındadır.

A = 18

bulunur.

Doğru Seçenek B Doğru Seçenek B

Can ve Doğa’nın bugünkü yaşları toplamı 35 tir. Doğa kendisinden genç olan Can’ın yaşında iken ikisinin yaşları

13 ve 14 yaşındaki öğrencilerden oluşan 18 kişilik bir sı-

toplamı 25 idi.

nıftaki öğrencilerin yaşları toplamı 242 dir.

Buna göre, Doğa bugün kaç yaşındadır?

Bu sınıfta 13 yaşında olan kaç öğrenci vardır?

A) 12

348

B) 13

YGS MATEMATİK

C) 15

D) 17

E) 20

A) 6

B) 8

C) 9

D) 10

E) 12


Yaş Problemleri

5.

TEST - 2

Bir ailenin bütün bireylerinin bugünkü yaşları toplamı 120, iki yıl önceki yaş ortalaması 22 dir.

İki yıl içinde birey sayısında değişiklik olmayan bu ailede kaç birey vardır?

1.

Lale 14, Gül x yaşındadır.

Gül 2x + 5 yaşına geldiğinde, Lale kaç yaşında

A) 3

B) 4

C) 5

D) 6

E) 7

olur?

A) x + 5

B) x + 14

D) 2x + 5

C) x + 19

E) 2x + 19

6. 2.

Ali, Bora’nın bugünkü yaşına geldiğinde, Can’ın yaşı

Namık 2 yıl sonra, Mehmet 2 yıl önce doğmuş olsa-

da Bora’nın yaşının iki katı olacaktır.

lardı yaşları eşit olacaktı.

İkisinin bugünkü yaşları toplamı 40 olduğuna

göre, Mehmet bugün kaç yaşındadır? A) 16

B) 18

C) 20

D) 22

4 yıl önce babasının yaşı Can’ın yaşının üç katı olduğuna göre, babasının bugünkü yaşı kaçtır? C) 38

D) 39

7.

C) 15

D) 18

E) 21

Akın’ın doğduğu yıl, Barış’ın yaşı Akın’ın bugünkü yaşının yarısı kadardı.

E) 40

Akın ile Barış’ın bugünkü yaşları toplamı 20 olduğuna göre, Barış bugün kaç yaşındadır? A) 8

4.

B) 12

E) 24

Can ile babasının yaşlarının toplamı 56 dır.

B) 37

Buna göre, Bora’nın bugünkü yaşı kaçtır? A) 9

3.

A) 36

Ali, Bora ve Can’ın bugünkü yaşları toplamı 48 dir.

B) 9

C) 10

D) 12

E) 15

Anne, baba ve iki çocuktan oluşan bir ailedeki tüm fertlerin yaşları toplamı 80 dir. 5 yıl sonra, anne ve babanın yaşları toplamı, çocukların yaşları toplamının 4 katı olacaktır.

Anne ve babanın bugünkü yaşları toplamı kaçtır? A) 60

B) 65

C) 70

D) 72

E) 74

8.

İki kardeşin yaşları 5 ve 8 dir.

Kaç yıl sonra yaşlarının oranı A) 3

B) 4

C) 5

3 olacaktır? 4 D) 6

YGS MATEMATİK

E) 7

349

Yaş Problemleri


9.

Üç kardeşin yaşları toplamı 30 dur.

13. ab ve ba iki basamaklı sayılardır. Bir baba ab, çocu-

En küçük çocuk ile en büyüğünün yaş farkı 6 olduğuna göre, en küçük çocuk en büyüğünün ya-

ğu ba yaşındadır.

şına geldiğinde üç çocuğun yaşları toplamı kaç

rısı olduğuna göre baba ve çocuğun yaşları top-

olur?

lamı kaçtır?

A) 36

B) 39

C) 42

D) 48

E) 54

10. Bir annenin bugünkü yaşı, kızının yaşının 8 katıdır.

A) 72

nin yaşları toplamı 92 olacağına göre, annenin

B) 30

C) 95

D) 110

E) 120

öğrencilerin yaş ortalaması 21 dir.

Erkek öğrencilerin sayısı, kız öğrencilerin sayısının iki katı olduğuna göre, bu grubun yaş ortala-

bugünkü yaşı kaçtır? A) 28

B) 84

14. Bir gruptaki kız öğrencilerin yaş ortalaması 18, erkek

Kızı annesinin bugünkü yaşına geldiğinde ikisi-

Bir yıl önce çocuğun yaşı, babasının yaşının ya-

ması kaçtır?

C) 32

D) 34

E) 36 A) 18

B) 19

C) 20

D) 21

E) 22

11. Ekrem ile Kerem’in bugünkü yaşları toplamı 35 tir.

Ekrem Kerem’in bugünkü yaşında iken Kerem 13

15. Bir sınıftaki 24 öğrencinin yaş ortalaması a dır.

yaşında olduğuna göre, Ekrem bu gün kaç yaşındadır? A) 13

B) 16

C) 19

D) 20

E) 22

Öğretmenin katılmasıyla ortalama b olmaktadır.

Buna göre, öğretmenin yaşı kaçtır?

A) 24(b – a)

B) 25(b – a)

C) 25b – 24a

D) 25a – 24b E) b – a

12. A nın yaşı bugün B nin yaşının k katıdır. k yıl önce A nın yaşı B nin yaşının k2 katı olduğu-

na göre, B nin bugünkü yaşı nedir? k A) 2

1.C

350

B) k – 1

D) k + 1 2.B

3.E

YGS MATEMATİK

16. Beş kişinin yaş ortalaması 12 dir.

na göre, diğer üçünün yaş ortalaması kaçtır?

C) k

A) 8

E) 2k 4.C

5.C

6.B

Bu kişilerden ikisinin yaş ortalaması 18 olduğu-

7.D

8.B

9.D

10.C

B) 9 11.C

C) 10 12.D

13.D

D) 11 14.C

15.C

E) 12 16.A


İŞÇİ - HAVUZ PROBLEMLERİ

Çözüm

GİRİŞ Problem çözümlerinin pek çoğunda olduğu gibi, “bire in-

Ekin işin tamamını 10 saatte yapıyorsa; 1 saatte işin

dirgeme yöntemi” uygulanır. Bir kalemin fiyatı, bir saatte gidilen yol, bir günde yapılan iş, bir saatte akıtılan su miktarı, ... bulunarak çözüme gi-

Damla işin tamamını 15 saatte yapıyorsa; 1 saatte işin

dilir. “Bir işin tamamını A işçisi a günde, B işçisi b günde bitirebiliyorsa, ikisi birlikte bu işi kaç günde bitirirler?”

1 ini yapar. 15

İkisi birlikte işi x saatte bitirirlerse; 1 saatte işin

sorusunu çözmek için; “A işçisi, işin tamamını a günde yapıyorsa 1 günde işin

1 unu yapar. 10

1 kadarını yaparlar. x

1 a

1 saatte birlikte yaptıkları işlerin toplamından;

1 b

denklemini elde ederiz.

1 1 1 + = 10 15 x

kadarını yapar. B işçisi, işin tamamını b günde yapıyorsa; 1 günde işin kadarını yapar.

Bu denklemi çözdüğümüzde;

İkisi birlikte işi x günde bitirirlerse;

6 ⋅1 4 ⋅1 1 + = ⇒ 6 ⋅ 10 4 ⋅ 15 x

1 kadarını yaparlar. x

⇒

6+4 1 = 60 x

⇒

10 1 = 60 x

⇒

1 1 = 6 x

⇒

x=6

1 günde işin

1 günde yaptıkları işlerin toplamı; 1 1 1 + = a b x olur.” diyerek denklemimizi kurar ve çözümü yaparız.

6 4 1 + = 60 60 x


DNA 25 Ekin bir işi tek başına 10 saatte, Damla aynı işi tek başına 15 saatte yapabilmektedir.

na 6 saatte yapabilmektedir.

İkisi birlikte aynı işi kaç saatte yaparlar? A) 5

B) 6

C) 7

D) 8

Mehmet bir işi tek başına 30 saatte, Akif aynı işi tek başı-

E) 9

İkisi birlikte aynı işi kaç saatte yaparlar? A) 5

B) 4

C) 3

D) 2

YGS MATEMATİK

E) 1

351

İşçi - Havuz Problemleri


DNA 26

Uyarı

Bir havuzu dolduran iki musluktan birincisi havuzun

Havuz ve işçi problemlerinin çözüm yöntemlerinin aynı

tamamını 6 saatte, ikincisi havuzun tamamını 30 saat-

olduğu DNA 1 ve DNA 2 de açıkça görülmektedir.

te doldurmaktadır.

Kişiler ile musluklar yer değiştirmiştir.

Bu havuzun tamamını, muslukların ikisi birlikte kaç saatte doldurabilir? A) 2

B) 3

C) 4

D) 5

E) 6

Çözüm I. musluk havuzun tamamını 6 saatte dolduruyorsa; 1 saatte

1 sını, 6

II. musluk havuzun tamamını 30 saatte dolduruyorsa; 1 saatte

Bir havuzu dolduran iki musluktan, birincisi havuzun tamamını 10 saatte, ikincisi havuzun tamamını 15 saatte

1 unu, 30

doldurmaktadır.

İkisi birlikte havuzu x saatte dolduracak ise;

Bu havuzun tamamını, muslukların ikisi birlikte kaç

1 1 saatte kadarını doldurur. x

saatte doldurabilir?

1 saatte muslukların doldurdukları kısımların toplamından;

A) 9

B) 8

C) 7

D) 6

E) 5

1 1 1 + = 6 30 x denklemini elde ederiz. Bu denklemi çözdüğümüzde; 5 ⋅1 1 1 + = 5 ⋅ 6 30 x

⇒

5 1 1 + = 30 30 x

⇒

5 +1 1 = 30 x

⇒

6 1 = 30 x

⇒

1 1 = 5 x

⇒

x=5

buluruz.

DNA 27 Ceren bir işi x günde, Demir ise aynı işi tirebilmektedir.

İkisi birlikte aynı işi 3 günde bitirdiklerine göre, Doğru Seçenek D

Demir bu işi tek başına kaç günde bitirebilir? A) 4

352

x günde bi2

YGS MATEMATİK

B) 4,5

C) 5

D) 5,5

E) 6



Çözüm Ceren 1 günde Demir 1 günde

DNA 28

1 kadarını, x

Üç işçi bir işi birlikte çalışarak 4 günde bitirebiliyor. Bunlardan birincisi bu işi yalnız başına 12 günde,

1 2 = kadarını, x x 2

İkisi birlikte 1 günde

ikincisi 24 günde bitirebildiğine göre, üçüncüsü bu işi yalnız başına kaç günde bitirebilir? A) 6

1 kadarını yaparlar. 3

B) 7

C) 8

D) 9

E) 10

1 2 1 + = x x 3

Çözüm

denklemini çözdüğümüzde; 1 2 1 + = x x 3

⇒

3 1 = x 3

1.işçi 1 günde

1 kadarını, 12

2.işçi 1 günde

1 kadarını, 24

3.işçi 1 günde

1 kadarını ve x

⇒ x=9 buluruz. Demir, bu işi tek başına, x 9 = = 4, 5 2 2

üç işçi birlikte 1 günde işin

1 kadarını yaptıklarından; 4

günde bitirir. 1 1 1 1 + + = 12 24 x 4

Doğru Seçenek B tür.

Bu denklemi çözdüğümüzde; 2 1 1 6 + + = 24 24 x 24 3 1 6 + = 24 x 24 1 6 3 1 = − = x 24 24 8

Bir havuza açılan iki musluktan, birincisi havuzun tamamını a saatte, ikincisi havuzun tamamını

a saatte dol3

x=8

durmaktadır. Bu havuzun tamamını, muslukların ikisi birlikte 6 saatte doldurabildiğine göre, ikinci musluk havuzu tek başına kaç saatte doldurur? A) 9

B) 8

C) 7


D) 6

E) 5

YGS MATEMATİK

353



Uyarı Aynı nitelikteki üç musluk bir havuzu birlikte 12 saatte dol-

Yapılan tüm işlerin toplamı, iş bitiminde 1 e eşittir.

durmaktadır. Musluklardan biri yalnız başına bu havuzu kaç saatte doldurabilir? A) 3

B) 4

C) 12

D) 24

Sistemin ortak çözümünde; 15 1 15 3  1  15 3  + =1 ⇒ = 1− ⇒ = y 4 y 4  12  y

E) 36

y = 20 1 1 1 1 1 1 1 + = ⇒ = − = x 20 12 x 12 20 30

DNA 29

x = 30

buluruz. Meral ve Nuran, birlikte çalışarak 12 saatte bitirebile-

Doğru Seçenek D

cekleri bir işi yapmaya başlıyorlar. İkisi birlikte 3 saat çalıştıktan sonra Meral işi bırakıyor. Geriye kalan işi Nuran 15 saatte bitirebiliyor. Bu işin tümünü Meral kaç saatte bitirebilirdi? A) 20

B) 24

C) 28

D) 30

E) 36 Aynı havuza açılan iki musluk bu havuzu birlikte 4 saatte

Çözüm

doldurmaktadır. Birlikte açıldıktan 2 saat sonra musluklardan biri kapatıldığında, diğer musluk havuzun kalan kısmını

Meral işin tamamını x saatte, Nuran işin tamamını y saatte bitirebilsin.

6 saatte doldurabilmektedir. Musluklardan biri havuzu tek başına en az kaç saatte doldurabilir? A) 5

B) 6

C) 8

D) 10

E) 12

1 Meral 1 saatte işin kadarını, x Nuran 1 saatte işin

1 kadarını, y

DNA 30

1 1 İkisi birlikte 3 saatte işin 3  +  kadarını yaparlar. x y Denklemi kurduğumuzda;

saatte doldurabiliyor. Bu iki musluk kapalı iken havu-

1 1 1 + = ve x y 12

zun altında bulunan üçüncü bir musluk dolu havuzu

1  1 1 3  +  + 15 ⋅ = 1 x y y  

Bu üç musluk birden açılırsa havuz kaç saatte do-

12 saatte boşaltabiliyor.

lar? A) 3

olur.

354

Bir musluk bir havuzu 4 saatte, başka bir musluk 6

YGS MATEMATİK

B) 4

C) 5

D) 6

E) 8



Çözüm 1.musluk 1 saatte

DNA 31

1 ünü, 4

Akif bir işi Bekir’den 15 saat daha kısa sürede yapabilmektedir.

1 2.musluk 1 saatte sını doldururken, 6 3.musluk 1 saatte

İkisi birlikte bu işi 10 saatte yapabildiklerine göre, Bekir bu işi tek başına kaç saatte yapar?

1 sini boşaltır. 12

A) 20

Üçü birlikte x saatte dolduruyorsa, 1 saatte

B) 25

C) 30

D) 35

E) 40

1 kadarı dolar. x

Çözüm

Denklemi kurduğumuzda; 1 1 1 1 + − = 4 6 12 x

Bekir işin tamamını x saatte yaparsa, Akif işin tamamını x – 15 saatte yapar.

olacaktır.

Bekir 1 saatte işin

Denklemi çözersek;

Akif 1 saatte işin

3 + 2 −1 1 1 1 = ⇒ = ⇒ x=3 12 x 3 x

1 kadarını, x

1 kadarını yapar. x − 15 1 kadarını yaptıklarından; 10

İkisi birlikte 1 saatte işin

buluruz.

1 1 1 + = x x − 15 10

Doğru Seçenek A

denklemi kurulur. Denklem çözüldüğünde; x − 15 + x 1 = x( x − 15) 10 x( x − 15) = 20 x − 150 x 2 − 35 x + 150 = 0 Bir musluk bir havuzu 10 saatte, başka bir musluk 15

( x − 30)( x − 5) = 150

saatte doldurabiliyor. Bu iki musluk kapalı iken havuzun altında bulunan üçüncü bir musluk, dolu havuzu x saatte boşaltabiliyor.

x − 30 = 0 x = 30

Üç musluk birden açılırsa havuz 12 saatte dolacağına x−5 = 0

göre, x kaçtır? A) 10

B) 12

C) 14

D) 16

E) 20

x=5

YGS MATEMATİK

355



x = 5 alındığında,

Çözüm x – 15 = 5 – 15 = –10 Bir musluk, havuzun üçte birlik kısmını tek başına x saatte

negatif olacağından x = 5 olamaz.

boşaltsın.

x = 30 olmalıdır.

Havuzun üstteki ilk üçte birlik kısmındaki su, B, C ve D Doğru Seçenek C

musluklarından boşalacağından, bu kısım

x saatte, 3

ortadaki üçte birlik kısmındaki su, C ve D musluklarından x saatte, 2 en alttaki üçte birlik kısım yalnızca D musluğundan boşaboşalacağından, bu kısım

Uyarı

lacağından x saatte boşalır.

Soruda bilinmeyen kullanılacaksa, sorulan çokluğa x

Dolu havuzun tamamı için;

demek yanlışa düşmenizi önler.

x x + + x = 22 3 2 denklemi kurulur. Denklemin çözümünde;

A musluğunun tek başına bir havuzu doldurma süresi,

2x + 3 x + 6 x 11x = 22 ⇒ = 22 ⇒ x = 12 6 6

B musluğununkinden 5 saat daha fazladır. İkisi birlikte bu havuzu 6 saatte doldurabildiklerine göre, A musluğu havuzu tek başına kaç saatte doldurur? A) 9

bulunur. Üçte birlik kısmını x =12 saatte boşaltan D musluğu, ha-

B) 10

D) 15

C) 12

E) 18

vuzun tamamını 3x = 3 ⋅ 12 = 36 saatte boşaltır.

DNA 32

Doğru Seçenek E Şekildeki havuzda;

� �

|AB| = |BC| = |CD|

�

B, C ve D musluk-

�

ları aynı boşaltma

Not

gücündedir.

Muslukların üçü birlikte açıldığında dolu havuz 22 saatte boşaldığına göre, D musluğu tek başına dolu havuzu kaç saatte boşaltır? A) 12

356

B) 22

YGS MATEMATİK

C) 27

D) 33

E) 36

Bir işçi, bir işi A saatte yapıyorsa; aynı nitelikteki 2 işçi bu işi

A A saatte, 3 işçi saatte, ... yaparlar. 2 3



Eşitlikte; tüm terimler yerine en küçüğü olan 1 1 1 1 3 1 + + < ⇒ < z z z 12 z 12

Aynı nitelikteki üç işçi bir işe birlikte başlamışlardır. İşin üçte birlik kısmı bittiğinde işçilerden biri, ikinci üçte birlik kısmı bittiğinde de ikincisi işten ayrılıyor. Üçüncü işçi, işin

1 yazılırsa; z

z > 36 bulunur.

kalan kısmını tek başına tamamlıyor. Bu koşullarda 11 saatte biten iş, işin tamamında üç

36 dan büyük en küçük tam sayı 37 dir.

işçi çalışırsa kaç saatte biter? A) 4

C) 6

B) 5

D) 7

E) 8 İşçiler aynı nitelikte olsaydı; Üçü birden 12 günde yapabiliyorlarsa, biri 3 ⋅ 12 = 36 günde yapar ve

DNA 33

z = 36 olurdu.

Üç işçi belli bir işi sırasıyla x, y, z günde bitirebilmektedir. Üçü birden aynı işi 12 günde bitirebildiğine ve x, y,

z, en büyükleri olduğundan; z > 36 olmalıdır. En küçüğü 37 dir.

z arasında x < y < z bağıntısı bulunduğuna göre,

Doğru Seçenek C

z nin en küçük tam sayı değeri kaçtır? A) 35

B) 36

C) 37

D) 38

E) 39

Çözüm

1. işçi,1 günde işin

1 kadarını, x

Üç musluk bir havuzu sırasıyla x, y, z saatte doldurabil-

2. işçi, 1 günde işin

1 kadarını, y

rına ve x, y, z arasında x < y < z bağıntısı bulunduğuna

3.işçi, 1 günde işin

1 kadarını, z

x nin en büyük tam sayı değeri kaçtır?

Üçü birlikte, 1 günde

1 kadarını yapıyor ise, 12

mektedir. Üçü birden aynı havuzu 9 saatte doldurduklagöre,

A) 24

B) 25

C) 26

D) 28

E) 29

1 1 1 1 + + = x y z 12 denklemi kurulur. x < y < z ve eşitsizlik özelliğinden, 1 1 1 > > x y z

Işık 1 Bir işçinin birim zamanda yaptığı iş =

Yapılan iş miktarı İşçi sayısı x Tüm zaman

olur.

YGS MATEMATİK

357



DNA 34

DNA 35

5 işçi, günde 5 er saat çalışarak 5 günde 5 baraka yapabiliyorlar. 10 işçi günde 10 ar saat çalışarak 10 günde kaç baraka yapabilirler? A) 10

B) 20

C) 30

D) 40

A bir parça işi 3 saatte,

B bir parça işi 2 saatte,

C bir parça işi 5 saatte

yapabiliyor.

E) 50

Üçü birlikte 62 parça işi kaç saatte yaparlar? A) 30

Çözüm

İşçi sayısı x Tüm zaman

İlk paragraf için; Bir işçinin birim zamanda yaptığı iş =

5 10 ⋅ 10 ⋅ 10

İkinci paragraf için;

C) 45

D) 60

E) 75

Çözüm

Yapılan iş miktarı

Bir işçinin birim zamanda yaptığı iş =

B) 36

A, bir saatte bir parçanın

1 ünü, 3

B, bir saatte bir parçanın

1 sini, 2

C, bir saatte bir parçanın

1 ini yapar. 5

Üçü birlikte bir saatte:

Bir işçinin birim zamanda yaptığı iş =

x

1 1 1 31 + + = 3 2 5 30

10 ⋅ 10 ⋅ 10

parça iş yaparlar.

İşçilerin nitelikleri aynı olduğundan;

62 parça iş :

5 x = ve x = 40 5 ⋅ 5 ⋅ 5 10 ⋅ 10 ⋅ 10

62 = 60 saatte yapılır. 31 30 Doğru Seçenek D


358

B)

b f

YGS MATEMATİK

C)

f 2b

B musluğundan 3 saatte bir ton su,

C musluğundan 4 saatte bir ton su

Üç musluk birlikte 26 ton su alan boş bir havuzu kaç

Buna göre c kişi b tane tuğlayı kaç günde örer? 2b f

A musluğundan 2 saatte bir ton su,

akmaktadır.

2 kişi c günde f tuğla örmektedir.

A)

D)

f b

E)

f 2

saatte doldurur? A) 12

B) 13

C) 16

D) 18

E) 24



Çözüm

DNA 36 Tek tür mal üreten bir atölyede makinelerden biri 3 sa-

Usta, 1 saate işin

atte 47 birim mal üretmektedir. Aynı süre içinde bu makinenin 4 katı mal üreten başka bir makine, 47 birim malı kaç saatte üretir? 3 A) 47

3 B) 4

47 C) 7

141 D) 4

188 E) 3

çırak, 1 saatte işin

1 ini, 8 1 ünü yapar. 24

Usta 6 saatte işin 6 ⋅

1 3 = ünü, 8 4

çırak x saatte işin x ⋅

1 ünü yapar. 24

İş bittiği için;

Çözüm 3 saatte 47 birim mal üreten makine, bir saatte

3 x + =1 4 24

47 birim 3

x 3 1 = 1− = 24 4 4

mal üretir. Başka bir makine bir saatte 4 ⋅

47 birim mal üretir. 3

x=6 bulunur.

47 3 = Bu makine 47 birim malı saatte üretir. 47 4 4⋅ 3

Doğru Seçenek D

Doğru Seçenek B A musluğunun 6 saatte doldurduğu bir havuzu, B musluğu 30 saatte doldurabilmektedir. A musluğu tek başına 4 saat açık bırakıldıktan sonra kapatılıp B musluğu açılıyor. Bir musluktan 4 saatte 13 ton su akmaktadır.

Havuzun kalan kısmını B musluğu kaç saatte doldurur?

Aynı sürede bu musluğun 3 katı su akıtan başka bir musluktan 13 ton su kaç saatte akar? A)

39 4

B)

52 3

C)

13 3

D)

4 3

E)

A) 6

B) 8

C) 10

D) 12

E) 15

4 13

DNA 38 DNA 37

A musluğundan birim zamanda akan su miktarı,

Bir ustanın 8 saatte yaptığı bir işi, çırağı 24 saatte yapabilmektedir. Usta, bu işte tek başına 6 saat çalıştıktan sonra bırakmış ve kalan işi çırak tamamlamıştır.

B) 3

C) 4

katıdır. İkisi birlikte boş bir havuzu 18 saatte doldurduklarına göre, B musluğu boş havuzu tek başına kaç

Çırak kaç saat çalışmıştır? A) 2

B musluğundan birim zamanda akan su miktarının iki

saatte doldurur? D) 6

E) 8

A) 24

B) 27

C) 36

D) 48

YGS MATEMATİK

E) 54

359



Çözüm

Çözüm

B musluğu havuzu x saatte dolduruyorsa, 1 saatte havuzun

1. havuzun 1 saatte

1 kadarını doldurur. x

x saat sonra x ⋅

A musluğu 2 katı kadar su akıttığından, 2 kadarını doldurur. x 1 İkisi birlikte 1 saatte havuzun ini dolduracağından; 18 1 saatte havuzun

2 1 1 + = x x 18

1 x si dolar, 1 − si boştur. 2 2

2. havuzun 1 saatte x saat sonra x ⋅

1 si dolar. 2

1 ü dolar. 3

1 x ü dolar, 1 − ü boştur. 3 3

x x < olduğundan, 3 2

denklemi kurulur.

1−

Denklemin çözümünden;

x x > 1− 3 2

dir.

3 1 = ⇒ x = 54 x 18

1−

x x  = 3 1 −  3  2

1−

x 3x =3− 3 2


3x x − = 3 −1 2 3 7x =2 6

Ayşe’nin birim zamanda yaptığı iş, Fatma’nın birim zamanda yaptığı işin üç katıdır.

x=

İkisinin birlikte 12 saatte yapabildikleri bir işi, Ayşe tek başına kaç saatte yapabilir? A) 16

B) 24

C) 36

D) 48

12 7


E) 52

DNA 39 Büyüklükleri aynı olan iki havuzdan biri 2 saatte, diğeri 3 saatte doldurulabilmektedir.

rinin boş kısmının, diğerinin boş kısmının üç katı olması için kaç saat geçmelidir?

360

6 B) 7

YGS MATEMATİK

10 C) 7

tür kutuların tümünün yapımı 3 saatte, ikinci tür kutuların ise tümünün yapımı 4 saatte bitmektedir.

Aynı anda doldurulmaya başlanan iki havuzdan bi-

1 A) 7

İki farklı tür kutudan eşit miktarlarda yapılacaktır. Birinci

12 D) 7

13 E) 7

Kutuların yapımına aynı anda başladıktan kaç saat sonra, bir türde yapılacak kutu sayısı, diğer türde yapılacak kutu sayısının iki katı olur? A) 2

B)

11 5

C)

9 4

D)

12 5

E)

5 2



5.

TEST - 3

Mahir 36 günde yapabilmektedir.

1.

B) 11

C) 12

D) 14

Üçü birlikte bu işi kaç günde yapabilirler? A) 4

4 sini 8 günde yapabilen bir işçi, bu işin 7 tamamını kaç günde yapar? Bir işin

A) 10

Kerim bir işi tek başına 12 günde, Leyla 18 günde,

B) 5

C) 6

D) 7

E) 8

E) 15

6.

Emel bir işi x günde, Ferit 3x günde ve Gül 18 günde yapabilmektedir.

2.

x günde yapabildiklerine 2

göre, x kaçtır?

Hacmi A litre olan bir havuza dakikada k litre su akmaktadır.

Üçü birlikte bu işi

A) 6

B) 8

C) 9

D) 12

E) 18

Havuzun yarısı kaç dakikada dolar? A)

A k

B)

A 2k

C)

A 2

D)

1 k

E)

1 2k

7.

Boş bir havuzu iki musluktan birincisi diğerinden 6 saat daha kısa zamanda doldurmaktadır.

3.

4 tavuk, 4 kg yemi, 4 günde bitiriyor.

20 tavuk, 30 kg yemi kaç günde bitirir? A) 2

4.

B) 3

C) 4

D) 6

ğuna göre, ikinci musluk tek başına kaç saatte doldurur? E) 10

Bir işi Alp ve Burcu birlikte 10 saatte, Burcu ve Cenk

A) 6

8.

birlikte 15 saatte, Cenk ve Alp birlikte 30 saatte yapabiliyorlar.

B) 3

C) 5

D) 6

B) 9

C) 12

D) 15

E) 16

Akın bir işin üçte birini yaptıktan sonra hızını iki katına çıkarıp işi tamamlamıştır.

Üçü birlikte bu işi kaç saatte yapabilirler? A) 2,5

İki musluk birlikte boş havuzu 4 saatte doldurdu-

İşin tamamını 18 günde yaptığına göre, ilk hızıyla çalışsaydı işi kaç günde yapardı?

E) 10

A) 20

B) 21

C) 24

D) 27

E) 30

YGS MATEMATİK

361


9.


Can bir işi Bora’nın yapacağı zamanın iki katı za-

13. A , B ve C aynı nitelikte üç işçidir. A işe başladıktan

manda yapabilmektedir.

bir saat sonra B ve B işe başladıktan bir saat sonra da C işe başlamış, üç saat sonunda işi bitirmişlerdir.

Bora ve Can birlikte bu işi 8 saatte yaptıklarına göre, Can tek başına kaç saatte yapabilir? A) 12

B) 14

C) 16

D) 18

Üçü birlikte aynı anda işe başlamış olsalardı iş kaç saatte biterdi?

E) 24

A) 1

10. Kaya bir işi 3 saatte, Mert 4 saatte yapabilmektedir. İkisi birlikte bu işi yapmaya başladıktan

5 saat son4

1 A) 2

3 B) 4

5 C) 6

5 D) 8

A) 3

oranı kaçtır? 3 4

C)

10 13

D)

11 14

E)

Havuzun tamamı kaç saatte dolar? A) 4

16. Bir

362

C) 5

D) 5,5

E) 6

havuzu x saatte doldurabilen bir musluk

3 saat açık bırakıldığında havuzun kaçta kaçı dol-

A)

yarıya düşürürse aynı işi kaç saatte bitirirler?

2.B

B) 4,5

muş olur?

İşçilerden ikisi hızlarını iki katına çıkarır, diğerleri

1.D

E) 15

açık kaldıktan sonra A musluğu da açılarak kalan

yorlar.

A) 6

D) 12

atte doldurabiliyorlar. B musluğu tek başına 3 saat

4 5

12. Aynı hızla çalışan 6 işçi birlikte bir işi 6 saatte bitiri

C) 9

kısmı birlikte dolduruyorlar.

Buna göre, mumların başlangıçtaki boylarının

B)

B) 6

15. A ve B muslukları boş havuzu sırasıyla 6 ve 12 sa-

3 saat sonra boyları eşit olmaktadır.

8 11

Buna göre, üçüncü işçi duvarın tamamını tek başına kaç günde örebilir?

atte erimektedir. Bu iki mum aynı anda yakıldıktan

A)

E) 3

likte duvarın kalan kısmını 3 günde tamamlıyor.

13 E) 16

11. Değişik boyda iki mumdan biri 11 saatte, diğeri 7 sa-

D) 2,5

yarısı örülünce bir işçi daha işe alınıyor. Üç işçi bir-

Kaya işin kalan kısmını kaç saatte tamamlar?

C) 2

14. İki işçi bir duvarı birlikte 12 günde örebiliyor. Duvarın

ra Mert işi bırakıyor.

B) 1,5

B) 8 3.D

YGS MATEMATİK

C) 9 4.E

D) 12 5.C

6.D

E) 15 7.C

8.D

3 x

9.E

B)

D)

10.E

x 3

x−3 x

11.D

12.A

E)

13.C

14.D

C) 3x x x−3 15.E

16.A


HAREKET PROBLEMLERİ

DNA 40

GİRİŞ

İzmir’den Balıkesir’e giden ve durmadan geri dönen

Soruların teorik çözümüne geçmeden önce gündelik ya-

bir otomobil gidişinde ortalama 80 km, dönüşünde

şantıda karşılaştığımız aşağıdaki soruları birlikte yanıtla-

60 km hız yapmıştır.

maya çalışalım.

Bu otomobil 4 saatte gidip geldiğine göre, İzmir’den Balıkesir’e kaç saatte gitmiştir?

Bir saatte 70 kilometre yol alabilen aracın, 4 saatte aldığı

A)

yol kaç km dir?

11 7

B)

12 7

C)

13 7

D) 2

E)

15 7

4 ⋅ 70 = 280 km

Çözüm

180 kilometrelik yolu 3 saatte gidebilen bir araç, bir saatte ortalama kaç kilometre gitmiştir? 180 = 60 km 3 Bir saatte ortalama 80 km gidebilen bir araç ile 400 km lik yol, kaç saatte alınabilir?

İzmir - Balıkesir gidiş zamanı = x Balıkesir - İzmir dönüş zamanı = 4 – x Yol = Hız x Zaman İzmir - Balıkesir = 80 ⋅ x Balıkesir - İzmir = 60(4 – x)

İzmir - Balıkesir = Balıkesir - İzmir

400 = 5 saat 80 Görülüyor ki yolculuklarda karşılaştığımız bu tür soruları yanıtlamak için özel bilgiler gerekmemektedir.

80 ⋅ x = 60(4 – x)

80x = 240 – 60x

Fakat biz yine de bu bilgileri toparlayalım:

Hız, birim zamanda gidilen yoldur.

bulunur.

140x = 240 x=

12 7

Doğru Seçenek B

Araç, bir saatte 60 km yol aldıysa; Aracın hızı: V = 60 km/saat 1 km=1000 metre 1 saat = 60 dakika

A kentinden B kentine giden ve durmadan geri dönen bir Yol 60 ⋅ 1000 Hız = V = = = 1000 metre / dak Zaman 60

otomobil, gidişinde ortalama 60 km dönüşünde 90 km hız

Yol = Hız x Zaman

Bu otomobil 6 saatte gidip geldiğine göre, A dan B ye

Ortalama Hız =

Toplam yol Toplam zaman

yapmıştır.

kaç saatte gitmiştir? A) 3,5

B) 3,6

C) 3,7

D) 3,8

YGS MATEMATİK

E) 4

363

Hareket Problemleri


DNA 41

DNA 42

Bir araç Ankara ve Bolu arasındaki yolu 4 saatte al-

Saatteki hızı V olan bir araç A ve B kentleri arasındaki

maktadır. Araç hızını 15 km artırırsa aynı yolu 3 saatte

yolu 6 saatte almıştır.

alacaktır.

Bu araç yolun yarısını saatte 2V hızıyla, diğer ya-

Buna göre, Ankara ve Bolu arasındaki yol kaç km dir? A) 120

B) 160

C) 180

D) 190

E) 210

V hızıyla giderse yolun tamamını kaç 2

rısında da saatte alır? A) 5

B) 6

C) 7

D) 7,5

E) 8

Çözüm

Çözüm

|AB| = 6V Ankara - Bolu = V ⋅ 4

| AB | 6 V = = 3V 2 2

Ankara - Bolu = (V + 15) ⋅ 3

| AB | = 3 V = 2V ⋅ x ⇒ 2x = 3 2

4V = 3(V + 15)

Yolun yarısı

⇒ x = 1, 5 saat (İlk yarısı)

4V = 3V + 45

3V =

V = 45

V ⋅ y ⇒ y = 6 saat (İkinci yarısı) 2

Yolun tamamı için geçen zaman:

Ankara - Bolu = V ⋅ 4 = 45 ⋅ 4 = 180 km

x + y = 1,5 + 6 = 7,5 saat

Doğru Seçenek C

Doğru Seçenek D

Saatteki hızı v olan bir araç A ve B kentleri arasındaki yolu 8 saatte almıştır. Bir araç A kentinden B kentine 5 saatte gitmektedir. Araç hızını 20 km azaltırsa aynı yolu 6 saatte alacaktır. Buna göre, A ve B kentleri arasındaki yol kaç km dir? A) 500

364

B) 520

YGS MATEMATİK

C) 540

D) 560

E) 600

Bu araç yolun yarısını saatte 3V hızıyla, diğer yarısını da

V hızıyla giderse yolun tamamını kaç saatte alır? 3

A) 8

B) 10

C) 13

D)

40 3

E)

43 3


Hareket Problemleri

DNA 43

Işık 2

Bir araç A kenti ile B kenti arasındaki yolu ortalama

��

V km/saat hızla giderek 12 saatte alıyor. �

Bu araç yolun yarısını ortalama 3V km/saat hızla aldıktan sonra, tüm yolu yine 12 saatte tamamlamak için yolun kalan kısmını ortalama kaç km/saat hızla gitmelidir? A)

V 5

B)

��

�

A ve B noktalarından V1 ve V2 hızlarıyla aynı anda yola çıkan ve birbirine doğru hareket eden iki araç t saat sonra C noktasında karşılaşıyorsa:

2V 5

C)

3V 5

D)

4V 5

E)

V 3

|AC| = V1 ⋅ t ve |BC| = V2 ⋅ t |AC| + |CB| = |AB| V1 ⋅ t + V2 ⋅ t = |AB| dir.

Çözüm

t=

| AB | Karşılaşma zamanı. V1 + V2

|AB| = V ⋅ 12 Yolun tamamı | AB | 12V = = 6V 2 2

DNA 44

Yolun yarısı

| AB | = 6 V = 3 V ⋅ x ⇒ 3 x = 6 ⇒ x = 2 saat 2

Aralarındaki uzaklık 600 km olan A ve B kentlerinden aynı anda, sabit hızla birbirine doğru hareket eden iki araçtan birinin hızı 50 km/saat, diğerinin hızı 70 km/

İlk yarısı için geçen zaman.

saattir.

12 – 2 = 10 saat kalan zaman.

Bu iki araç hareketlerinden kaç saat sonra karşı-

| AB | 6V 3V = 6 V = V1 ⋅ 10 ⇒ V1 = = 2 10 5

laşırlar? A) 4

bulunur.

B) 5

C) 6

D) 7

E) 8

Doğru Seçenek C

Çözüm

��

��

Saatteki hızı v olan bir araç A ve B kentleri arasındaki yolu �

6 saatte almıştır. Bu araç yolun yarısını saatte

lan kısmını ortalama kaç km/saat hızla gitmelidir? A) V

3V B) 2

C) 2V

5V D) 2

E) 3V

�

��

2V hızıyla aldıktan son3

ra, tüm yolu yine 6 saatte tamamlamak için yolun ka-

�

Karşılaşma hareketten t saat sonra olsun. |AC| = 70 ⋅ t |BC| = 50 ⋅ t

YGS MATEMATİK

365

Hareket Problemleri


|AB| = |AC| + |BC|

DNA 45

600 = 70 ⋅ t + 50 ⋅ t = 120 ⋅ t

��

t = 5 saat

bulunur.

��

�

�

�

��

Şekildeki A ve B kentleri arasındaki uzaklık 160 km dir. A ve B den aynı anda ve aynı yönde hareket eden Karşılaşma zamanı: t =

| AB | 600 = = 5 saat V1 + V2 70 + 50

iki aracın saatteki hızları sırasıyla 120 km/saat ve 80 km/saat tir. İki araç hareketlerinden kaç saat sonra aynı anda

Doğru Seçenek B

C ye varırlar? A) 3

B) 4

C) 5

D) 6

E) 7

Çözüm

Aralarındaki uzaklık 560 km olan A ve B kentlerinden aynı anda, sabit hızla birbirine doğru hareket eden iki araçtan birinin hızı 60 km/saat, diğerinin hızı 80 km/saattir. Bu iki araç hareketlerinden kaç saat sonra karşılaşırlar?

Hareketten t saat sonra C noktasına varmış olsunlar.

A) 4

B) 5

C) 6

D) 7

E) 8

|AC| = 120 ⋅ t |BC| = 80 ⋅ t

Işık 3 ��

|AB| = |AC| − |BC| 160 = 120 ⋅ t – 80 ⋅ t = 40 ⋅ t

��

�

t = 4 saat

bulunur.

A ve B noktalarından V1 ve V2 hızlarıyla aynı anda yola çıkan ve aynı yönde hareket eden iki araçtan biri, diğerine t saat sonra C noktasında yetişiyorsa: |AC| = V1 ⋅ t ve |BC| = V2 ⋅ t |AB| = |AC| − |BC|

Yetişme zamanı = t =

| AB | 160 = =4 V1 − V2 120 − 80

V1 ⋅ t – V2 ⋅ t = |AB| dir. t=

366

| AB | Yetişme zamanı V1 − V2

YGS MATEMATİK

Doğru Seçenek B


Hareket Problemleri

A ve B kentleri arasındaki uzaklık 90 km dir. A ve B den

��

��

aynı anda ve aynı yönde hareket eden iki aracın saatteki �

hızları sırasıyla 100 ve 85 km dir. İki araç hareketlerinden kaç saat sonra aynı C noktasına varırlar? A) 4

C) 6

B) 5

D) 7

E) 8

�

İki araç A ve B noktalarından aynı anda ve birbirlerine doğru hareket ediyorlar. Araçların hızları saatte 80 km ve 60 km dir. Bu iki araç hareketlerinden 5 saat sonra karşılaştıklarına göre, A ile B arası uzaklık kaç km dir? A) 420

B) 560

C) 700

D) 840

E) 980

DNA 46 ��

��

�

DNA 47

�

İki araç A ve B noktalarından aynı anda ve aynı

�

yönde hareket ediyorlar. A dan hareket edenin hızı �

80 km/saat, diğerininki 60 km/saattir.

��

� �

A dan hareket eden 6 saat sonra diğerine yetiştiği-

Şekildeki A ve B noktaları arasındaki uzaklık 300 km

ne göre, A ile B arası uzaklık kaç km dir?

dir. A ve B noktalarındaki iki otomobil birbirine doğ-

A) 100

B) 120

C) 140

D) 160

ru hareket ederse 2 saat sonra karşılaşıyorlar. Aynı

E) 180

yönde hareket ederse 10 saat sonra biri diğerine yetişiyor. Buna göre, hızı daha fazla olan otomobilin saatteki hızı kaç km dir?

Çözüm

A) 60

B) 70

C) 80

D) 90

E) 100

Yetişme zamanı t = | AB | = | AB | = 6 V1 − V2 80 − 60 | AB | =6 20

Çözüm

| AB | = 120 km

Karşılaşma zamanı t = Doğru Seçenek B

| AB | 300 = =2 V1 + V2 V1 + V2

2V1 + 2V2 = 300

V1 + V2 = 150

YGS MATEMATİK

367

Hareket Problemleri


Yetişme zamanı t =

| AB | 300 = = 10 V1 − V2 V1 − V2

10V1 – 10V2 = 300

V1 – V2 = 30

DNA 48 ��

� �

�

��

�

�

[BD] köprüsü üzerindeki C noktasında iken A noktaV1 + V2 = 150 V1 – V2 = 30

sından kendisine doğru gelen bir tren gören kişi kurtulmak için D ye doğru koşarsa D noktasında, B ye doğru

sistemini çözelim:

koşarsa B noktasında trenle buluşmaktadır. Kişinin saatte 8 km koşabildiği ve 5|BC| = 3|CD| olduğu bilindiğine göre, trenin saatteki hızı kaç km

2V1 = 180

dir?

V1 = 90 km/saat

A) 28

B) 30

C) 32

D) 34

90 + V2 = 150 V2 = 60 km/saat Doğru Seçenek D

Çözüm

Trenin hızı = V |AB| = y 5|BC| = 3|CD| |BC| = 3x |CD| = 5x alalım.

� �

��

B noktasındaki karşılaşma için;

� �

Karşılaşma zamanı t1 ise,

Şekildeki A ve B noktaları arasındaki uzaklık 450 km dir. A ve B noktalarındaki iki otomobil birbirine doğru hareket ederse 3 saat sonra karşılaşıyorlar. Aynı yönde hareket

y = V ⋅ t1

ederse 9 saat sonra biri diğerine yetişiyor.

3x = 8 ⋅ t1

Buna göre, hızı daha az olan otomobilin saatteki hızı

Taraf tarafa bölünürse,

kaç km dir? A) 50

368

B) 60

YGS MATEMATİK

C) 80

D) 90

E) 100

y V 3x y = ⇒ = ...... (1) 3x 8 8 V

E) 36


Hareket Problemleri

D noktasındaki karşılaşma için; Yetişme zamanı t2 ise,

�

��

y + 8x = V ⋅ t2

�

5x = 8 ⋅ t2 Taraf tarafa bölünürse,

�

�

�

�

[BD] köprüsü üzerindeki C noktasında iken A noktasından kendisine doğru gelen bir tren gören kişi kurtulmak için

y + 8x V 5x y + 8x = ⇒ = ...... (2) 5x 8 8 V

D ye doğru koşarsa D noktasında, B ye doğru koşarsa B noktasında trenle buluşmaktadır. Trenin hızının saatte 45 km ve 2|BC| = |CD| olduğu

(2) − (1) ⇒

5x 3x y + 8x y − = − 8 8 V V

bilindiğine göre, köprü üzerindeki kişi saatte kaç km hızla koşabilmektedir? A) 8

⇒

2x 8 V = 8 V

⇒

V = 32 km / saat

B) 10

bulunur.

C) 12

D) 14

E) 15

DNA 49 � � ��

� ��

�

Yol = Hız x Zaman ⇒ Zaman =

Yol

Hızları dakikada 10 metre ve 8 metre olan iki

Hız

hareketli, çevresi 360 metre olan çembersel pistin A noktasından aynı anda ters yönde hareket ettik-

D noktası için:

ten kaç dakika sonra karşılaşırlar? 5x y + 8x = 8 V

A) 10

B noktası için: 3x y = sisteminden 8 V 2x 8 x = ve V = 32 km / saat 8 V

B) 12

C) 15

D) 18

E) 20

Çözüm Karşılaşma zamanı: t |ACB| = 8t,

|ADB| = 10t

|ACB| + |ADB| = Çevre

bulunur.

8t + 10t = 360 ⇒ 18t = 360 ⇒ t = 20 dakika Doğru Seçenek C Doğru Seçenek E

YGS MATEMATİK

369

Hareket Problemleri


Hızları dakikada 8 metre ve 12 metre olan iki hareket-

Çevresi 120 metre olan çembersel pistin A noktasından

li, çevresi 120 metre olan çember üzerindeki A nok-

aynı anda , aynı yöne doğru harekete başlayan iki hare-

tasından aynı anda, ters yönde hareket ettikten kaç

ketlinin hızları dakikada 16 metre ve 21 metredir.

dakika sonra karşılaşırlar? A) 4

Bu iki hareketli, harekete başladıktan kaç dakika son-

C) 6

B) 5

D) 8

E) 10

ra ilk kez yan yana gelirler? A) 24

B) 32

C) 40

D) 45

E) 50

DNA 51 DNA 50

Saatteki hızı 72 km olan 120 metre uzunluğundaki bir tren, 900 metre uzunluğundaki tünele girdiği

Çevresi 200 metre olan çembersel pistin A noktasın-

andan kaç saniye sonra tünelden tamamen çıkar?

dan aynı anda , aynı yöne doğru harekete başlayan iki

A) 50

hareketlinin hızları dakikada 18 metre ve 23 metredir.

B) 51

C) 52

D) 53

E) 54

Bu iki hareketli, harekete başladıktan kaç dakika sonra ilk kez yan yana gelirler? A) 24

B) 32

C) 40

D) 45

Çözüm

E) 50

��

Çözüm

��

yol, tünelin uzunluğu ve kendi boyunun toplamıdır.

Hızlı gidenin aldığı yol = 23 ⋅ t

Yol = Hız x Zaman

Yavaş gidenin aldığı yol = 18 ⋅ t

Problemde kullanılan hız, yol ve zaman birimleri aynı cinsten olmalıdır.

Aldıkları yolların farkı = Pistin çevresi

72 km = 72 ⋅ 1000 = 72000 metre

(tur bindirme)

1 saat = 60 ⋅ 60 = 3600 saniye 23t – 18t = 5t = 200 72 km / saat = t = 40 dakika Doğru Seçenek C

370

��

Trenin tünelden tamamen çıkması için alması gereken

t dakika sonra yan yana gelsinler.

��

YGS MATEMATİK

72000 metre = 20 metre / saniye 36000 saniye

1020 = 20 ⋅ t ⇒ t = 51 saniye Doğru Seçenek B


Hareket Problemleri

x x + =4 6 2 Saatteki hızı 120 km olan bir tren, 300 metrelik bir tünele girdiği andan tamamen çıkıncaya kadar 15 saniye geçmiştir.

denklemi, gidiş ve dönüş zamanları toplamını verir. Denklemin çözümünden, x = 6 km bulunur. Doğru Seçenek E

Bu trenin boyu kaç metredir? A) 130

B) 150

C) 175

D) 180

E) 200

Durgun suda saatte 9 km gidebilen bir motor, akıntı hızının saatte 1 km olduğu nehirde 20 km gidip tekrar aynı noktaya dönecektir. Yolculuk toplam kaç saat sürer? B) 4,5

A) 4

C) 5

D) 5,5

E) 6

DNA 52 Durgun suda bir saatte 4 km yüzebilen sporcu, akıntı hızı saatte 2 km olan bir nehirde yüzecektir. A noktasından kıyıya paralel olarak yüzüp tekrar A noktasına yüzerek dönmesi gereken sporcu

DNA 53

suda 4 saat kalabileceğine göre, A noktasından en çok kaç km açılabilir? A) 4

B) 4,5

C) 5

D) 5,5

E) 6

Saatteki hızı 55 km olan 20 m uzunluğundaki tır, aynı yönde giden ve saatteki hızı 46 km olan treni 30 sn de geçiyor. Trenin boyu kaç metredir?

Çözüm

A) 50

��

��

��

B) 55

C) 60

� ��

� �

��

Zaman =

�

��

Akıntı yönündeki hızı = 4 + 2 = 6 km/saat Akıntıya karşı hızı = 4 – 2 = 2 km/saat

E) 70

Çözüm

��

�

D) 65

Tırın treni geçmesi için:

Yol

30 sn de kendi aldığı yolla, trenin aldığı yol farkının, kendi

Hız

boyu ile trenin boyu toplamına eşit olması gerekir.

YGS MATEMATİK

371

Hareket Problemleri


x – y = 20 + b x = 55000 ⋅

Çözüm

1 120

İlk seferde:

1 y = 46000 ⋅ 120

Ali, 45 basamak,

1 1 55000 ⋅ − 46000 ⋅ = 20 + b 120 120

Merdiven, 125 – 45 = 80 basamak,

75 = 20 + b ⇒ b = 55

İkinci seferde:

metre bulunur.

Ali, 55 basamak, Doğru Seçenek B Merdiven, 125 – 55 = 70 basamak hareket ediyor. t1 t t 8 = 2 ⇒ 1 = ve 80 70 t2 7 V1 ⋅ t1 = 45 ve V2 ⋅ t2 = 55 olduğundan

Saatteki hızı 72 km olan 45 metre uzunluğundaki

nur.

bir tren, aynı yönde giden saatteki hızı 36 km olan

V1 63 = buluV2 88

Doğru Seçenek D

75 metre uzunluğundaki bir başka treni kaç saniyede geçer? A) 10

B) 11

C) 12

D) 13

E) 14

DNA 54 125 basamaklı bir yürüyen merdiven yukarıya doğru sabit bir hızla ilerlerken, Ali merdivenden yürüyerek

120 basamaklı bir yürüyen merdiven yukarıya doğru sabit

yukarıya çıkıyor.

bir hızla ilerlerken, Can merdivenden yürüyerek yukarıya

İlk seferde merdivenin tepesine varana kadar 45

çıkıyor.

basamak, ikinci seferde ise 55 basamak çıkıyorsa,

İlk seferde merdivenin tepesine varana kadar 50 basa-

Ali’nin ilk seferki hızının ikinci seferki hızına oranı

mak, ikinci seferde ise 70 basamak çıkıyorsa, Ali’nin

kaçtır?

ilk seferki hızının ikinci seferki hızına oranı kaçtır?

A)

9 11

372

B)

9 25

YGS MATEMATİK

C)

11 25

D)

63 88

E)

65 88

A)

5 7

B)

10 13

C)

25 49

D)

10 21

E)

15 14


Hareket Problemleri

5.

TEST - 4

kalan kısmını V km/saat hızla 20 saatte gitmektedir.

1.

Bir araç 720 km lik yolun dörtte birini 3V km/saat,

Buna göre, V kaçtır? A) 20

1800 metrelik bir dairesel pistte; ters yönde git-

B) 24

C) 25

D) 26

E) 30

tiklerinde 30 saniyede bir karşılaşan iki kişinin hızları toplamı kaç metre/saniyedir? A) 50

B) 55

C) 60

D) 65

E) 70

6.

A ve B noktaları arasındaki uzaklık 350 km dir. A dan B ye doğru yola çıkan araç dönüşte hızını sa-

2.

2 saatte, aynı yolu akıntıya karşı 3 saatte almaktadır.

dır.

B) 5

C) 6

D) 7

Saatteki hızı 5 km olan Ali’den yarım saat sonra aynı

D) 8

E) 9

7.

Bir araç A kentinden B kentine giderken normal hızını saatte 6 km artırırsa 4 saat önce, 6 km azaltırsa 6

8 km dir.

saat geç ulaşmaktadır.

Bora, Ali’ye koşmaya başladıktan kaç dakika

Buna göre |AB| yolu kaç km dir? A) 360

B) 50

C) 55

D) 60

B) 480

C) 600

D) 660

E) 720

E) 65

Aralarında 2 km uzaklık bulunan iki tren saatte 30 km hızla birbirine doğru hareket etmektedir. Saat-

8.

Hızları sırasıyla V1 , V2, V1 + V2 olan üç araçtan

teki hızı 60 km olan bir kuş trenler arasında durma-

birincinin t saatte aldığı yol x, ikincinin 2t saatte

dan gidip gelmektedir.

aldığı yol y olduğuna göre, üçüncünün t saatte aldığı yol nedir?

Trenler karşılaşıncaya kadar kuşun aldığı toplam yol kaç metredir?

C) 7

noktadan koşmaya başlayan Bora’nın saatteki hızı

A) 45

B) 6

E) 8

sonra yetişir?

4.

Bu aracın A dan B ye gidiş süresi kaç saattir? A) 5

Nehirdeki akıntının saatteki hızı kaç km dir? A) 4

3.

atte 20 km artırırsa dönüş süresi 2 saat azalmakta-

Bir motor nehirde akıntı yönünde 60 km lik yolu

A) 1200

B) 1250

D) 1600

A) x +

y 2

C) 1500

E) 2000

D)

B) x + 2y x +y 2

C) 2x + y

E) 2xy

YGS MATEMATİK

373

Hareket Problemleri

9.


Saatteki hızları 2V ve 3V olan iki araç A kentinden B

12. Bir

kentine aynı anda yola çıkmışlardır. Hızı fazla olan araç diğerinden 4 saat önce B nok-

tasına vardığına göre, hızı az olan araç B noktası-

10.

B) 9

C) 10

Tüm yolculuk boyunca aracın ortalama hızı saatte kaç km dir?

na kaç saatte gitmiştir? A) 8

araç A kentinden B kentine saatte 80 km hızla

gitmiş ve 120 km hızla dönmüştür.

A) 90 D) 11

B) 96

C) 100

D) 102

E) 108

E) 12

��

13. Aynı �

�

noktadan, aynı anda, zıt yönde hareket eden

iki aracın hareketlerinden bir saat sonra aralarında-

�

ki uzaklık 100 km olmaktadır. Aynı yönde hareket

��

ederlerse bir saat sonra aralarındaki uzaklık 20 km

Hızları saatte 60 km ve 90 km olan iki araç A kentinden B kentine doğru aynı anda hareket ediyorlar. Hızlı olan araç B ye varıp hiç durmadan geri dönüyor

olacaktı.

km/saattir?

ve C noktasında diğer araçla karşılaşıyor.

Buna göre daha yavaş giden aracın hızı kaç

A) 36

Buna göre, |AC| uzunluğu , |BC| uzunluğunun

B) 40

C) 45

D) 46

E) 48

kaç katıdır? A) 2

B) 3

C) 4

D) 6

E) 8

11. 900 km lik yolun bir kısmı normal yol, bir kısmı otobandır. Bu yolu gidecek aracın normal yoldaki ortalama hızı 75 km/saat, otobandaki hızı 120 km/saattir.

14. Saatteki hızı 9 km olan bir aracın 18 dakikada aldığı yol kaç metredir?

Araç yolun tamamını 9 saatte aldığına göre, oto

banda kaç saat gitmiştir? A) 3 1.C

374

B) 4 2.B

3.B

YGS MATEMATİK

C) 5 4.E

D) 7 5.E

E) 8 6.C

A) 1800

7.E

8.A

B) 2000

D) 2700 9.E

10.C

C) 2400

E) 3000 11.C

12.B

13.B

14.D


YÜZDE - KÂR - ZARAR PROBLEMLERİ

DNA 55

GİRİŞ Nasıl ki;

A liraya satılmakta olan bir mala %10 zam yapan,

a a A sayısının si: A ⋅ = B, b b

sonra da yeni fiyatı üzerinden %10 indirim yapan

a a si K olan sayı: P ⋅ = K b b

A) Ne kâr, ne zarar eder. B) % 1 kâr eder.

eşitliklerinden bulunuyorsa; t =B 100

A sayısının % t si: A ⋅

satıcının bu satıştaki kâr - zarar durumu nedir?

t % t si K olan sayı: P ⋅ =K 100

C) % 1 zarar eder. D) % 2 kâr eder. E) % 2 zarar eder.

Çözüm

eşitliklerinden bulunur. 250 sayısının % 30 u, 250 ⋅

30 = 75 100

tir.

A liralık malın % 10 zamlı fiyatı: A+A⋅

% 30 u 60 olan M sayısı; M⋅

30 100 = 60 ⇒ M = 60 ⋅ = 200 100 30

A⋅

dür.

110 liralık yeni fiyatın % 10 indirimli durumu; 100 A⋅

A sayısının % t si B ise; A⋅

110 110 10 110  10  −A⋅ ⋅ = A⋅ 1 −  100 100 100 100  100  = A⋅

t =B 100 A⋅

dir.

10 100 + 10 110 = A⋅ = A⋅ 100 100 100

110 90 99 = A⋅ 100 100 100

99 , A nın % 1 zararına satış fiyatıdır. 100

A liraya alınan mal % t kârla (zamla) B liraya satılıyorsa; A+A⋅

t 100 + t = A⋅ =B 100 100

dir. A liraya alınan mal % t zararla (indirimle) B liraya satılıyorsa; A−A⋅

t 100 − t = A⋅ =B 100 100

% 10 zamlı fiyatı için;

110 ile, 100

% 10 indirimli fiyat iin;

90 ile çarpılır. 100

99  110  90 = A⋅ A ⋅ ⋅ 100  100  100 100 – 99 = 1 ve % 1 zarar. Doğru Seçenek C

dir.

YGS MATEMATİK

375

Yüzde - Kâr - Zarar Problemleri


Yanlışlıkla %25 indirim yaptıktan sonra hatasını dü-

Elektriğe iki ay art arda gelen %10 luk zamlar sonunda

zeltmek için yeni fiyata %40 zam yapan tezgahtarın

toplam zam oranı % kaç olmuştur?

kâr - zarar durumu aşağıdakilerden hangisidir?

A) 10

B) 15

D) 21

C) 20

E) 30

A) Ne kâr, ne zarar eder. B) % 15 kâr eder. C) %15 zarar eder. D) % 5 kâr eder.

DNA 57

E) % 5 zarar eder.

Alış fiyatı x lira olan bir mal %20 kârla; y lira olan başka bir mal da %20 zararla aynı fiyata satılıyor. x ile y arasındaki bağıntı aşağıdakilerden hangisidir? A) x = y

DNA 56

B) 3x = 2y

D) x = 2y

C) 2x = 3y

E) y = 2x

İndirim döneminde önce %30 luk, sonra yeni fiyat

Çözüm

üzerinden %25 lik indirim yapan mağazanın yaptığı toplam indirim % kaçtır? A) 55

B) 52,5

C) 50

D) 47,5

E) 45

x in % 20 kârlı satış fiyatı: x ⋅

120 100

y nin % 20 zararla satış fiyatı: y ⋅

Çözüm

x⋅

120 80 = y⋅ 100 100 3 x = 2y

Etiket fiyatı A iken, İlk indirimde: A ⋅

80 100

70 100

Doğru Seçenek B

70  75  İkinci indirimde:  A ⋅ ⋅  100  100 Son fiyatı : A ⋅

52, 5 100 A liraya alınan bir mal %25 karla, B liraya alınan bir başka

100 – 52,5 = 47,5

mal da %25 zararla aynı fiyata satılmaktadır.

Toplam indirim: % 47,5 Doğru Seçenek D

Buna göre, A)

376

YGS MATEMATİK

3 5

A oranı kaçtır? B B)

3 4

C) 1

D)

4 3

E)

5 3



DNA 58 Bir mağazadaki malların etiket fiyatlarına % 40 indirim yapıldığında, satışlarda % 50 artış olmaktadır. Kasaya giren para miktarındaki değişim için aşağıdakilerden hangisi doğrudur? A) Değişim olmaz.

B) % 10 artar.

C) % 10 azalır.

D) % 15 artar.

Sattığı ürüne %20 zam yapan üretici, satış miktarında %30 azalma görmüştür. Kasaya giren para miktarındaki değişim için aşağıdakilerden hangisi doğrudur? A) Değişim olmaz.

B) % 10 artar.

C) % 10 azalır.

D) % 16 artar.

E) % 16 azalır.

E) % 15 azalır.

Çözüm DNA 59

İndirimden önce; Tanesi A liraya, T tane satarken,

Yaz mevsiminde 100 km de 8 lt, kış mevsiminde 100 km de 9,2 lt benzin tüketen bir otomobil, kış

Kasaya giren para miktarı: A ⋅ T

mevsiminde % kaç fazla benzin tüketir?

İndirimden sonra; A⋅

A) 5

B) 8

C) 10

D) 12

E) 15

60 150 liraya, T ⋅ tane satılmış. 100 100

Kasaya giren para miktarı: A ⋅

Değişim oranı =

60 150 ⋅T⋅ 100 100

Çözüm

Yeni durum Eski durum

60 A 150T ⋅ 9 90 = Değişim oranı: 100 100 = A ⋅T 10 100 100 – 90 = 10

Kasaya giren para miktarı % 10 azalmıştır. Doğru Seçenek C

Değişim oranı =

Değişim oranı =

115 – 100 = 15

Kış tüketimi Yaz tüketimi 9, 2 115 = 8 100

Kış mevsiminde % 15 daha fazla benzin tüketir. Doğru Seçenek E

YGS MATEMATİK

377



Yaz mevsiminde 100 km de 8 lt, kış mevsiminde

240 TL iki kardeş arasında, birinin aldığı para diğerinin

100 km de 9,2 lt benzin tüketen bir otomobil, yaz mev-

aldığı paranın % 60 ı olacak şekilde paylaştırılıyor.

siminde % kaç az benzin tüketir? 300 B) 23

A) 13

330 D) 23

C) 14

Kardeşlerin aldıkları paraların farkı kaç TL dir? E) 15

A) 60

B) 90

D) 120

E) 150

DNA 61

DNA 60 203 sayısı, biri diğerinin % 45 i olan iki kısma ayrıldığında sayılar arasındaki fark kaç olur? A) 63

C) 100

B) 77

C) 90

D) 105

E) 140

Bir A sayısı, B sayısının % 20 si olduğuna göre, B sayısı A sayısının % kaçıdır? A) 80

B) 120

D) 250

C) 200

E) 500

Çözüm Çözüm

203 sayısının bir parçasına x dersek, diğer parçası 203 – x olur. 203 − x = x ⋅

A = B⋅

45 100 B = A⋅

x+

9x = 203 20

29x = 4060

x = 140

20 100

ve

B 100 500 = = A 20 100

500 bulunur ki, B sayısı A nın % 500 üdür. 100 Doğru Seçenek E

203 – x = 203 – 140 = 63 Sayılar 140 ve 63 tür. Aralarındaki fark: 140 – 63 = 77 olur. Bir X sayısı, Y sayısının % 50 si olduğuna göre, Y Doğru Seçenek B

sayısı, X in % kaçıdır? A) 50

378

YGS MATEMATİK

B) 100

C) 150

D) 200

E) 250



DNA 62 40 oyuncak bir grup çocuğa eşit olarak dağıtılıyor. İki çocuk daha olsaydı kişi başına % 20 daha az oyuncak düşecekti. Buna göre, başlangıçta her çocuk kaç oyuncak almıştır? A) 4

B) 5

C) 6

D) 8

E) 10

Aynı evi paylaşan bir grup öğrenci 1000 TL kira giderini eşit olarak bölüşüyorlar. Evden bir arkadaşları ayrıldığında kişi başına kira gideri % 25 artıyor. Buna göre, ilk durumda kişi başına düşün ev kirası kaç liradır? A) 100

B) 125

D) 200

C) 150

E) 250

DNA 63

Çözüm

Benzinin litresi x TL dir.

Başlangıçtaki çocuk sayısı: x olsun. Her çocuğa düşen oyuncak sayısı:

Benzine % 5 zam yapıldığında x TL ye kaç litre

40 x

benzin alınabilir?

İki çocuk katıldığında çocuk sayısı: x + 2 Her çocuğa düşecek oyuncak sayısı:

A) 1

40 x+2

5 6

B)

C)

D)

20 21

E)

25 36

Çözüm

% 20 az olması; % 80 ini alması demektir.

x⋅

40 80 40 ⋅ = x 100 x + 2

105 21x = TL zamlı fiyat 100 20

Alınacak benzin miktarı =

denkleminden,

10 11

4 1 = 5x x + 2

Eski fiyat Zamlı fiyat

x 20 = litre benzin alınır. 21x 21 20 Doğru Seçenek D

5x = 4x + 8 x=8 çocuk var. 40 40 = =5 x 8 Başlangıçta her çocuğa düşen oyuncak sayısı 5 tir.

1 kg pirinç A liradır. Pirince % 10 zam geldiğinde, A liraya kaç kg pirinç

Doğru Seçenek B

alınabilir? A) 1

B)

9 10

C)

10 11

D)

5 6

YGS MATEMATİK

E)

11 12

379



DNA 64

DNA 65

a sayısı c den % 50 fazla, b sayısı da c den % 25

Bir malın etiket fiyatı üzerinden % 25 indirim yapıldı-

fazladır.

ğında, satıcının kârı % 20 oluyor.

Buna göre, a sayısı b den % kaç fazladır?

Bu satıcı, etiket fiyatını % kaç kârla hesaplamış-

A) 15

B) 20

C) 25

D) 30

E) 35

tır? A) 45

B) 50

C) 60

D) 75

E) 90

Çözüm Çözüm

Alış fiyatı: A ise; 100 + x 100

a =c⋅

150 100

% x kârla hesaplanan etiket fiyatı = A ⋅

b =c⋅

125 100

100 + x  75 % 25 indirimli fiyatı =  A ⋅ ⋅ 100  100  a 150 120 = = b 125 100

% 20 kârlı satış fiyatı = A ⋅

120 100

120  100 + x  75 = A⋅ A ⋅ ⋅ 100  100 100 

120 – 100 = 20 a sayısı, b den % 20 fazladır.

100 + x = 160 Doğru Seçenek B

x = 60 % 60 kârla hesaplanmıştır. Doğru Seçenek C

Bir malın etiket fiyatı üzerinden % 30 indirim yapıldığında, A sayısı C nin % 40 ı, C sayısı da B nin % 25 idir.

satıcının kârı % 40 oluyor.

Buna göre, A sayısı B nin % kaçıdır?

Bu satıcı, etiket fiyatını % kaç kârla hesaplamıştır?

A) 10

380

B) 15

YGS MATEMATİK

C) 20

D) 25

E) 30

A) 45

B) 55

C) 60

D) 70

E) 100



DNA 66

DNA 67

Bir işyeri % 60 kapasiteyle ve günde 15 saat çalış-

Can, kalemin satış fiyatından % 20 indirim yapıldığın-

tırıldığında 12 günde ürettiği ürünü, % 75 kapasi-

da, elindeki parayla indirimsiz fiyattan alabileceği ka-

teyle ve günde 6 saat çalıştırıldığında kaç günde

lemden 2 tane daha fazla kalem alabilmektedir.

üretir?

Can, elindeki parayla indirimli fiyattan kaç tane ka-

A) 12

B) 16

C) 20

D) 24

E) 25

lem alabilir? A) 6

B) 8

C) 10

D) 12

E) 14

Çözüm Çözüm

İşletmenin % 100 kapasiteyle 1 saattlik üretimi Ü ise; % 60 kapasiteyle ve günde 15 saat çalıştırıldığında 12 günde ürettiği ürün:

Can, normal fiyatı x lira olan kalemlerden y tane alabiliyorsa; % 20 indirimli fiyatı x ⋅

60 Ü⋅ ⋅ 15 ⋅ 12 100

80 olan kalemlerden y + 2 tane 100

alabilir.

% 75 kapasiteyle ve günde 6 saat çalıştırıldığında x günx⋅y = x⋅

de ürettiği ürün: Ü⋅

75 ⋅6⋅x 100

80 ( y + 2) 100

5 y = 4( y + 2) y=8

olur. Ü⋅

60 75 ⋅ 15 ⋅ 12 = Ü ⋅ ⋅6⋅x 100 100

Can’ın alabileceği kalem sayısı; y + 2 = 8 + 2 = 10

⇒ x = 24 gün

dur.

bulunur.

Doğru Seçenek C Doğru Seçenek D

Mert, silginin satış fiyatına % 20 zam yapıldığında, elindeki parayla zamsız fiyattan alabileceği silgiden 2 tane daha Bir işyeri % 84 kapasiteyle ve günde 12 saat çalıştırıl-

az silgi alabilmektedir.

dığında 10 günde ürettiği ürünü, % 70 kapasiteyle ve

Mert, elindeki parayla zamlı fiyattan kaç tane silgi ala-

günde 18 saat çalıştırıldığında kaç günde üretir?

bilir?

A) 6

B) 7

C) 8

D) 9

E) 10

A) 6

B) 8

C) 10

D) 12

YGS MATEMATİK

E) 14

381



DNA 68

DNA 69

Bir satıcı 6 tanesini 5x liraya aldığı limonların, 2 tanesini 3x liradan satıyor.

Bu sınıfta en az bir erkek öğrencinin bulunduğu bilindiğine göre, sınıfta en az kaç öğrenci vardır?

Bu satıcı, bu satıştan % kaç kâr etmektedir? A) 50

Bir sınıftaki öğrencilerin % 93 ünden fazlası kızdır.

B) 60

C) 70

D) 80

E) 90

A) 14

B) 15

C) 16

D) 17

E) 18

Çözüm

Çözüm

% 93 ünden fazlası kız ise erkek öğrenci sayısı % 7 den Bir limonun alış fiyatı =

5x 6

azdır. Sınıftaki öğrenci sayısına x dersek ;

3x Bir limonun satış fiyatı = 2

Kâr oranı =

Satış fiyatı Alış fiyatı

x⋅

=

3x 2 5x 6

=

18 180 = 10 100

7 ≥1 100

olmalıdır. 7 x ≥ 100 x≥

180 – 100 = 80

100 7

x ≥ 14, 28... % 80 kâr eder.

x in alabileceği en küçük pozitif tamsayı değeri 15 tir. Doğru Seçenek B

Doğru Seçenek D

Bir satıcı 3 tanesini 4x liraya aldığı limonların, 5 tanesini 6x liradan satıyor.

Bu sınıfta en az üç erkek öğrencinin bulunduğu bilin-

Bu satıcı, bu satıştan % kaç zarar etmektedir? A) 10

382

B) 15

YGS MATEMATİK

Bir sınıftaki öğrencilerin % 84 ünden fazlası kızdır.

C) 20

D) 25

diğine göre, sınıfta en az kaç kız öğrenci vardır? E) 30

A) 14

B) 15

C) 16

D) 17

E) 18



5.

TEST - 5

A Dershanesi kurs ücretlerini her yıl % 20 artırmaktadır.

Bu yıl kurs ücreti 2 160 TL olduğuna göre, iki yıl önceki ücret kaç TL dir?

1.

Bir A sayısı B nin % 25 i olduğuna göre, B sayısı A nın yüzde kaçıdır? A) 50

2.

B) 75

C) 125

D) 200

E) 400

A) 1250

6.

D) 1600

mektedir. Beyaz gömlek giyenlerin bir kısmı ayrıldı-

168 TL indirim yapıldığında %12 zarar edilmektedir.

ğında kalan kişilerin % 96 sının beyaz gömlek giydiği gözleniyor.

Bu malın alış fiyatı kaç TL dir? B) 600

C) 700

D) 800

E) 900

Bir grup çocuğa bir miktar kalem eşit olarak paylaştırılıyor. Gruba iki çocuk katılırsa her birinin payının

7.

İşyerinde çalışanların yüzde kaçı ayrılmıştır?

Buna göre, başlangıçta bu grupta kaç çocuk vardır? A) 6

B) 8

C) 9

D) 10

E) 12

Bir musluk, boş bir havuzu 12 saatte doldurmakta-

D) 75

E) 80

19 sayısının % 99 u ile, 99 sayısının % 19 u arasın-

d için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

A) d < –1

8.

B) d = –1

D) d = 1

C) –1 < d < 1

E) d > 1

Kilogramı 70 kuruşa alınan yaş incir kuruyunca % 30 fire vermiştir.

Musluktan birim zamanda akan su miktarı % 20 artırılırsa, boş havuz kaç saatte dolar? A) 6

C) 70

dır.

B) 65

daki fark d dir.

% 20 azalacağı hesaplanıyor.

4.

E) 1750

Bir işyerinde çalışanların % 99 u beyaz gömlek giy-

A) 60

C) 1500

% 12 kârla satılmakta olan bir malın satış fiyatında

A) 500

3.

B) 1400

B) 7

C) 8

D) 9

Kuru incirin kilogramı kaç TL den satılırsa % 25 kâr elde edilir?

E) 10

A) 1

B) 1,2

C) 1,25

D) 1,3

E) 1,5

YGS MATEMATİK

383


9.


Bir Afrika köyünde 800 kadın yaşamaktadır. Bun-

13. Bir sınıftaki kızların sayısı, erkeklerin sayısının % 20

ların % 3 ü bir tek küpe takmaktadır. Geriye kalan

sidir. Sınıfa 4 kız öğrenci daha geldiğinde kızların

% 97 den yarısının bir çift küpesi vardır, diğer yarısı-

sayısı erkeklerin sayısının % 40 ı olmaktadır.

nın ise hiç küpesi yoktur.

Bu köyde kadınların taktıkları küpelerin toplamı

A) 4

kaçtır?

A) 400

B) 600

D) 1000

Bu sınıfta başlangıçta kaç erkek öğrenci vardır? B) 8

C) 12

D) 16

E) 20

C) 800

E) 1200

14. Bir mağazada x ve y liraya satılmakta olan ürünler için iki seçenek vardır. Birincisi 90 liralık, ikincisi % 15 lik indirimdir.

10. Bir malın mal oluş fiyatı x lira, satış fiyatı y liradır.

hangisi doğrudur?

bağıntısının varlığı bilindiğine göre, % 40 kâr ile satılan bu malın satış fiyatı kaç liradır? A) 200

B) 260

Müşteriler x lirada % 15 indirim, y lirada da 90 lira indirim tercih ettiklerine göre, aşağıdakilerden

y = 5x – 720

C) 280

D) 320

E) 380

A) x < 600 < y

B) x < 900 < y

C) y < 600 < x

D) x < y < 900

E) 900 < x < y

11. 150 TL ye alınan bir mal, %20 kar konularak etiketlendiriliyor. Bu mal satış sırasında etiket fiyatı üzerinden

15. Binde 8 i 5 olan sayı kaçtır?

% 10 indirim yapılarak kaç TL ye satılır? A) 160

12.

B) 162

C) 164

D) 165

A) 600

B) 625

Bir satıcı elindeki malın % 25 ini arızalı olduğu için % 40 zararla, kalan kısmını % 60 kârla satmıştır.

A) 20 1.E

384

2.C

B) 25 3.B

YGS MATEMATİK

C) 35 4.E

5.C

D) 40 6.D

D) 675

E) 700

16. Bir mal x liradan satılırsa % 25 kâr, y liradan satılırsa % 25 zarar edilmektedir.

Buna göre,

Satıcının toplam satıştaki kârı yüzde kaçtır?

C) 650

E) 166

A)

E) 42 7.C

8.C

9.C

3 4

10.C

B)

11.B

x oranı kaçtır? y 3 5 12.C

C)

4 3

13.E

D)

14.C

5 3 15.B

E) 2

16.D


KARIŞIM - FAİZ PROBLEMLERİ

KARIŞIM PROBLEMLERİ GİRİŞ

3 kg suya, 2 kg şeker katılarak oluşan karışımdaki

Karışım oranı =

şeker oranı % kaçtır?

Saf madde miktarı

A) 20

Karışımın tümü

B) 25

C) 30

D) 35

E) 40

% 25 lik şekerli suda; x gr karışımda, x ⋅

25 75 şeker, x ⋅ gr su vardır. 100 100

Bir başka deyimle; % 25 lik şekerli suda: 1 ölçü şeker, 3 ölçü su vardır. Karışım problemlerinde, karışımlar içinde bulunan saf

DNA 71

madde miktarları üzerinden işlem yapılır. Karışım oranı % a olan A litre karışımla, karışım oranı % b olan B litre karışım karıştırıldığında, karışım oranı % x olan yeni bir karışım oluşuyorsa:

Şeker oranı % 30 olan 300 gr şekerli suda kaç gr şeker vardır? A) 50

B) 60

C) 70

D) 80

E) 90

a b x A⋅ +B⋅ = ( A + B) ⋅ 100 100 100 olur.

Çözüm

Eşitlikte paydalar kısaltıldığında; A ⋅ a + B ⋅ b = (A + B) ⋅ x olur.

Karışım oranı =

300 ⋅

1 kg tuz, 3 kg suya karıştırıldığında oluşan karışımın tuz oranı yüzde kaçtır? B) 15

Karışımın tümü

⇒ Saf madde miktarı = (Karışımın tümü) ⋅ (Karışım oranı)

DNA 70

A) 10

Saf madde miktarı

C) 20

D) 25

30 = 90 gr 100

şeker vardır. Doğru Seçenek E

E) 30

Çözüm Karışım oranı =

Saf madde miktarı Karışımın tümü

=

1 1 25 = = 1 + 3 4 100 Asit oranı % 5 olan asit - su karışımı 500 gr dır.

Karışımdaki tuz oranı % 25 tir. Doğru Seçenek D

Bu karışımda kaç gr saf asit bulunur? A) 10

B) 15

C) 20

D) 25

YGS MATEMATİK

E) 30

385

Karışım - Faiz Problemleri


DNA 72

DNA 73

% 30 u şeker olan 50 gr lık bir karışıma 20 gr daha

% 30 u kakao olan 50 gr kakao-süt karışımına 10 gr

şeker ilave ediliyor.

daha süt ilave ediliyor.

Elde edilen yeni karışımın şeker oranı yüzde kaç

Elde edilen yeni karışımın kakao yüzdesi kaç

olur?

olur?

A) 35

B) 40

C) 45

D) 50

E) 60

A) 15

Çözüm

B) 16

C) 18

D) 20

E) 25

Çözüm

Verilen karışımdaki şeker miktarı: 50 ⋅

30 gr 100

Verilen karışımdaki kakao miktarı: 50 ⋅

Eklenen şeker miktarı: 20 gr

30 gr 100

Eklenen kakao miktarı: 0 gr

Yeni karışımın miktarı: 50 + 20 = 70

Yeni karışımın miktarı: 50 + 10 = 60

Yeni karışımın şeker oranı: % x Yeni karışımın kakao oranı: % x Verilerle denklemi kurduğumuzda; 50 ⋅

Verilerle denklemi kurduğumuzda;

30 x + 20 = (50 + 20) ⋅ 100 100

50 ⋅

30 x + 0 = (50 + 10) ⋅ 100 100

50 ⋅ 30 + 20 ⋅ 100 = 70 ⋅ x 50 ⋅ 30 = 60 x 70 x = 3500 x = 25 x = 50

buluruz.

buluruz.

Doğru Seçenek E Doğru Seçenek D

% 20 si tuz olan 150 gr lık bir karışıma 10 gr daha tuz

% 20 si tuz olan 150 gr lık tuz - su karışımına 50 gr daha

ilave ediliyor.

su ilave ediliyor.

Elde edilen yeni karışımın tuz oranı yüzde kaç olur?

Elde edilen yeni karışımın tuz oranı yüzde kaç olur?

A) 20

386

B) 24

YGS MATEMATİK

C) 25

D) 26

E) 30

A) 10

B) 12

C) 14

D) 15

E) 16



Çözüm

DNA 74 % 15 i tuz olan 150 gr lık tuz - su karışımı kaynatılarak

I. karışımdaki saf madde miktarı: 40 ⋅

15 100

içindeki su buharlaştırılıyor. 100 gr kalan yeni karışımın tuz oranı yüzde kaç olur?

II. karışımdaki saf madde miktarı: 60 ⋅

30 100

Oluşan karışım miktarı: 40 + 60 = 100

A) 15

B) 17,5

C) 20

D) 22,5

E) 25

Oluşan karışımın yüzdesi: % x Verilerle denklemi kurduğumuzda;

Çözüm

40 ⋅

15 Verilen karışımdaki tuz miktarı: 150 ⋅ gr 100

15 30 x + 60 ⋅ = ( 40 + 60) ⋅ 100 100 100

40 ⋅ 15 + 60 ⋅ 30 = 100 ⋅ x

Eklenen tuz miktarı: 0 gr

100 x = 2400

Yeni karışımın miktarı: 100 Yeni karışımın tuz oranı: % x

x = 24

Verilerle denklemi kurduğumuzda; 150 ⋅

buluruz.

15 x + 0 = 100 ⋅ ⇒ x = 22, 5 100 100

Doğru Seçenek B

buluruz. Doğru Seçenek D

% 20 si şeker olan 400 gr lık şeker - su karışımı kaynatılarak içindeki su buharlaştırılıyor.

nı yüzde kaç olur? B) 25

C) 26

den başka bir karışım aynı kaba konulduğunda, yeni oluşan karışımın yüzdesi kaç olur?

80 gr su buharlaştırıldığında yeni karışımın şeker ora-

A) 20

72 litre % 25 lik bir karışım ile, 48 litre % 20 lik aynı tür-

D) 28

A) 21

B) 22

C) 23

D) 24

E) 25

E) 30

DNA 75

DNA 76

40 litre % 15 lik bir karışım ile, 60 litre % 30 luk aynı türden başka bir karışım aynı kaba konulduğunda,

% 20 lik 40 litre karışıma, kaç litre % 60 lık karışım

yeni oluşan karışımın yüzdesi kaç olur?

eklenirse % 44 lük bir karışım elde edilir?

A) 20

B) 24

C) 25

D) 26

E) 28

A) 40

B) 45

C) 50

D) 55

YGS MATEMATİK

E) 60

387



Çözüm % 15 ve % 95 alkol içeren iki ayrı karışım kullanarak

% 60 lık karışım miktarına x dersek,

% 45 lik 10 kg bir karışım elde ediliyor.

20 60 44 40 ⋅ + x⋅ = ( 40 + x ) ⋅ 100 100 100

Bunun için % 15 lik karışımdan kaç kg kullanılmıştır? A) 3,75

800 + 60 x = 1760 + 44 x

D) 6,25

16 x = 960

B) 4,25

C) 5,5

E) 6,5

x = 60 buluruz. Doğru Seçenek E

DNA 78

Alkol oranı % 40 olan 30 kg karışıma, alkol oranı % 75 olan kaç kg karışım eklenirse yeni karışımın alkol oranı % 60 olur? A) 40

B) 45

Asit oranı % 24 olan A karışımına bu karışımın C) 50

D) 54

E) 60

1 i 8

kadar B karışımı ekleniyor. Elde edilen yeni karışımın asit oranı % 30 olduğuna göre, B karışımının asit oranı yüzde kaçtır? A) 76

DNA 77

B) 77

C) 78

% 6 olan 48 gr karışım elde edilecektir.

A karışımından A ölçek.

% 5 lik karışımdan kaç gr alınmalıdır?

B karışımından B ölçek.

B) 16

C) 31

D) 36

E) 40

Çözüm x⋅

5 x + 432 − 9 x = 288 4 x = 144 x = 36 Doğru Seçenek D

388

B=

A 8 A⋅

5 9 6 + ( 48 − x ) ⋅ = 48 ⋅ 100 100 100

YGS MATEMATİK

E) 80

Çözüm

Alkol oranı % 5 ve % 9 olan iki karışımdan alkol oranı

A) 12

D) 79

A⋅

24 x 30 +B⋅ = ( A + B) ⋅ 100 100 100

24 A x 9 A 30 + ⋅ = ⋅ 100 8 100 8 100 192 + x = 270 x = 78 Doğru Seçenek C



Şeker oranı %10 olan şeker - un karışımının

1 ü alınarak 3

yerine aynı miktarda şeker ekleniyor.

B) 25

liyor. Bu karışımın yüzde kaçı şekerdir?

Yeni karışımın şeker yüzdesi kaçtır? A) 20

15 kg şeker ile 75 kg undan homojen bir karışım elde edi-

C) 30

A) E) 40

D) 35

9 10

B)

10 9

C)

5 3

50 3

D)

25 3

E)

DNA 80 20 gr tuz ile 90 gr undan homojen bir karışım elde ediliyor.

DNA 79

Bu karışımın 1 gramında kaç gr tuz bulunur? A)

X kg tuz, Y kg un ile karıştırılıyor.

2 9

B)

2 11

C)

9 11

D)

1 5

E)

4 7

Bu karışımın ağırlıkça yüzde kaçı undur? A)

100 X+Y

B)

X⋅Y X+Y

D) 100 ⋅ X X+Y

C)

X+Y 100

E) 100 ⋅ Y X+Y

Çözüm Karışım miktarı = Tuz + Un = 20 + 90 = 110 gr Tuz oranı =

20 2 = 20 + 90 11

11 gr lık karışımın 2 gr tuz ise 1 gramında

Çözüm

dır.

Karışım miktarı = Tuz + Un = X + Y Un oranı =

2 gr tuz var11

Doğru Seçenek B

Y X+Y

Yüzde oranı =

M dersek, 100 M Y 100 ⋅ Y = ⇒ M= 100 X + Y X+Y

dir.

60 kg şeker ile 90 kg undan homojen bir karışım elde ediliyor. Doğru Seçenek E

Bu karışımın 10 kilogramında kaç kg şeker vardır? A) 3

B) 4

C) 5

D) 6

YGS MATEMATİK

E) 8

389



FAİZ PROBLEMLERİ

Çözüm

GİRİŞ

Basit faiz: f =

A ⋅n⋅ t 100

A: Ana para f=

f: Faiz

100 ⋅ 2 ⋅ 40 = 80 TL 100

Bileşik faiz:

n: Zaman (yıl) t: Yıllık faiz oranı (% t)

2

40  49  100 + f = 100 ⋅  1 + = 196  = 100 ⋅ 25  100 

A liranın, yıllık %t faiz oranıyla bankaya yatırılan paranın

f = 96 TL

n yılda getirdiği “basit faiz”: f=

A ⋅n⋅ t 100

Fark = 96 – 80 = 16 TL Doğru Seçenek C

liradır. Basit faiz, yalnız anaparaya uygulanan faizdir. (Bankaların birikime uyguladığı faiz) n: Zaman ay olarak verilirse, f=

A ⋅n⋅ t A ⋅n⋅ t = 100 ⋅ 12 1200

dür.

1000 TL nin % 15 yıllık faiz oranı ile 3 yıl sonunda ge-

Bileşik faiz, dönem sonunda kazanılan faizin anaparaya

tirdiği bileşik faiz, basit faizden kaç lira fazladır? 8567 8

eklenmesiyle oluşan toplama faiz verilmesidir.

A)

(Bankaların kredilere uyguladığı faiz)

B) 1000

D) 9753

C)

4321 4

E) 8934

n

t   A + f = A 1 +   100 

Bileşik faiz.

DNA 82

DNA 81

Yıllık %20 faiz oranı ile bankaya yatırılan bir mik-

100 TL nin % 40 tan 2 yıllık basit ve bileşik faizleri arasındaki fark kaç TL dir? A) 14

390

B) 15

YGS MATEMATİK

C) 16

tar para, kaç ay sonra kendisinin

1 u kadar faiz 10

getirir? D) 17

E) 18

A) 4

B) 6

C) 8

D) 9

E) 10



Çözüm f=

Çözüm 2A A ⋅ 6 ⋅ 24 ⋅ 6 ⋅ 20 3 − 3 = 140 1200 1200

A ⋅n⋅ t A ⋅n⋅ t = Aylık basit faiz 100 ⋅ 12 1200 f=

A ⋅ n ⋅ 20 A = ve n = 6 ay 1200 10

7A = 140 ve A = 3000 TL 150

Doğru Seçenek B

Doğru Seçenek E

Kaya parasının yarısını A bankasına yıllık % 20 den, diğer yarısını B bankasına yıllık % 18 den 1 yıllığına faize Yıllık % 18 faiz oranı ile bankaya yatırılan bir miktar para, kaç ay sonra kendisinin A) 20

B) 24

3 u kadar faiz getirir? 10

C) 26

D) 28

E) 29

yatırıyor. Bankalardan aldığı faizlerin farkı 200 TL olduğuna göre, Kaya’nın bankalara yatırdığı toplam para kaç TL dir? A) 10000

B) 15000

D) 25000

C) 20000

E) 30000

DNA 84

DNA 83

Bir banka, Dolar olarak yatırılan paraya yıllık % 5, Recep parasının

1 ünü yıllık % 20 den A bankasına, 3

geri kalanını ise yıllık % 24 ten B bankasına 6 aylığına faize veriyor.

TL olarak yatırılan paraya yıllık % 20 faiz vermektedir. Doların 1,2 TL olduğu dönemde 2000 Doları olan kişi parasını Dolar olarak bir yıllığına bankaya yatırıyor.

Bankalardan aldığı faizlerin farkı 140 TL olduğuna

Bu kişi bir yıl sonunda parasını faizi ile birlikte çek-

göre, Recep’in A bankasına yatırdığı para kaç TL

tiğinde zararlı çıkmaması için Doların yıl sonunda

dir?

değeri en az kaç TL olmalıdır?

A) 1000

B) 1500

D) 2500

E) 3000

C) 2000

A) 1,3

B) 1,37

D) 1,3714

C) 1,371

E) 1,4

YGS MATEMATİK

391



Çözüm

DNA 85

2000 Dolar, % 5 ten 1 yılda; f=

2000 ⋅ 1⋅ 5 = 100 Dolar 100

x, yıl olarak zamanı,

y, yıllık faiz oranını (% y)

göstermek üzere; bir bankanın vadeli hesaplara uygu-

faiz getirir.

layacağı yıllık faiz oranını belirleyen fonksiyon,

Yıl sonunda faizi ile birlikte,

2000 + 100 = 2100 Dolar

y=

2x + 75 dir. x+2

Kaçıncı yıldan sonra yıllık faiz oranı % 15 in altına

olacaktır.

düşer?

Elindeki Doları, TL ye çevirip bankaya yatırsaydı;

A) 2.

B) 3.

C) 4.

D) 5.

E) 6.

2000 ⋅ 1,2 = 2400 TL f=

2400 ⋅ 1⋅ 20 = 480 TL 100

Çözüm

faiz getirirdi.

Verilen fonksiyonda; y < 15 olmalıdır.

Yıl sonunda faizi ile birlikte;

2x + 75 < 15 x+2

2400 + 480 = 2880 TL

2x + 75 < 15 x + 30

olacaktı.

13 x > 45

2800 TL ≅ 1, 3714 2100 DOLAR

x>3

Doğru Seçenek E

Doğru Seçenek B

Bir banka, EURO olarak yatırılan paraya yıllık % 4,

x, yıl olarak zamanı,

TL olarak yatırılan paraya yıllık % 20 faiz vermektedir.

y, yıllık faiz oranını (% y)

EURO nun 1,92 TL olduğu dönemde 2000 EURO su olan kişi parasını EURO olarak bir yıllığına bankaya yatırıyor. Bu kişi bir yıl sonunda parasını faizi ile birlikte çektiğinde zararlı çıkmaması için EURO nun yıl sonunda değeri en az kaç TL olmalıdır? A) 2,21

392

YGS MATEMATİK

yacağı yıllık faiz oranını belirleyen fonksiyon,

y=

5 x + 75 tür. 2x + 3

Kaçıncı yıldan sonra yıllık faiz oranı % 10 un altına

B) 2,2153

D) 2,2213

göstermek üzere; bir bankanın vadeli hesaplara uygula-

C) 2,2165

E) 2,2345

düşer? A) 2.

B) 3.

C) 4.

D) 5.

E) 6.



5.

TEST - 6

Kakao oranı % 40 olan 35 gr kakao - süt tozu karışımına, kakao oranı % 20 olan 15 gr başka bir karışım ekleniyor.

1.

Tuz oranı % 15 olan 20 litre tuzlu su kaynatılarak tuz

A) 28

oranı % 25 e çıkarılmıştır.

Yeni karışımın kakao oranı yüzde kaçtır? B) 30

C) 32

D) 34

E) 36

Buna göre, kaynatma sırasında kaç litre su buharlaşmıştır? A) 4

B) 5

C) 6

D) 8

E) 10

6. 2.

karışımının 1 gramında kaç gr tuz vardır?

Şeker oranı % 25 olan 5 litre şekerli suya başka bir karışımdan 10 litre katılıyor.

30 gr tuz ile 50 gr undan oluşan homojen tuz - un

A)

Yeni oluşan karışımın şeker yüzdesi % 35 oldu-

1 3

B)

2 5

C)

3 5

D)

3 8

E)

3 10

ğuna göre, ikinci karışımın şeker yüzdesi kaçtır? A) 36

3.

B) 40

C) 42

D) 45

E) 48

% 20 si şeker olan X kg un - şeker karışımına, % 5 i

7.

şımın şeker oranı % 50 olmuştur.

şeker olan Y kg başka bir un - şeker karışımı katılarak % 10 u şeker olan bir karışım oluşturuluyor.

4.

X Buna göre, oranı kaçtır? Y A) 4

B) 2

C)

1 2

D)

1 4

E)

Yeni karışımın alkol oranı % 4 olduğuna göre, X kaçtır? B) 24

C) 28

D) 30

B) 10

C) 15

D) 20

E) 25

1 5

Alkol oranı % 10 olan 50 litre alkol - su karışımından

A) 20

Buna göre, ilk karışımın şeker yüzdesi kaçtır? A) 5

X litre alınarak yerine aynı miktarda su katılıyor.

320 gr şekerli suya 224 gr şeker eklendiğinde, karı-

E) 32

8.

10 gr tuz ile 70 gr undan homojen bir karışım elde ediliyor.

Karışımın tuz yüzdesi kaçtır? A) 10

B)

32 3

C) 12

D)

25 2

YGS MATEMATİK

E)

27 2

393


9.


A musluğu tuz oranı % 40 olan tuzlu su akıtarak bir

13. Bankaya 8 aylığına yatırılan paranın kendisi ka-

havuzu 3 saatte, B musluğu tuz oranı % 66 olan tuz-

dar faiz getirdiği bilindiğine göre, yıllık faiz oranı

lu su akıtarak 10 saatte doldurmaktadır.

% kaçtır?

İki musluk birlikte boş havuzu doldurduklarında

A) 50

B) 75

C) 100

D) 125

E) 150

havuzdaki tuz oranı yüzde kaç olur? A) 43

B) 46

C) 49

D) 52

E) 60

14. Tuz oranı % 20 olan tuzlu-su karışımına, 40 kg su konulursa, elde edilen karışımın tuz oranı % 10 oluyor.

10. 9000 TL nin bir kısmı yıllık % 40 tan, kalanı da yıl-

dır?

lık % 60 tan bir yıllığına bankaya yatırıldığında 4400 TL faiz geliri elde ediliyor.

A) 20

Buna göre, % 40 tan yatırılan para kaç TL dir?

A) 5000

B) 4900

D) 4700

Buna göre, su katılmadan önceki karışım kaç kg

C) 40

B) 30

D) 50

E) 60

C) 4800

E) 4600

15. Bir miktar suda 7 gr şeker eritiliyor ve karışımın şeker oranı % 36 dan % 50 ye çıkıyor.

Bu karışıma 20 gr daha şeker atılıp eritilirse, yeni karışımın şeker oranı yüzde kaç olur?

11. Bir miktar paranın 1 ü yıllık % 30 faiz oranı ile 3

A) 65

C) 55

B) 60

2 yıl, kalan kısmı yıllık % 40 faiz oranı ile 3 yıl basit

D) 50

E) 45

faizle bankaya yatırılıyor. Bu paranın tümünden elde edilen faiz geliri 6400

TL olduğuna göre, bankaya yatırılan paraların toplamı kaç bin TL dir? A) 3

B) 4

C) 5

D) 6

16. Bir miktar paranın

E) 8

1 ünü yıllık % 60 tan 9 aylığına, 3

2 ünü yıllık % 90 dan 6 aylığına bankaya yatıran bir 3 kişi 4050 TL faiz geliri elde ediyor.

tır?

12. Yıllık % 75 faizle bankaya yatırılan bir para kaç ay sonra kendisinin yarısı kadar faiz geliri getirir? A) 6 1.D

394

2.B

B) 8 3.C

YGS MATEMATİK

C) 9 4.D

D) 10 5.D

6.D

E) 12 7.C

8.D

Buna göre, bankaya toplam kaç lira yatırılmış-

9.B

A) 10000

B) 9000

D) 7000

10.A

11.D

12.B

C) 8000

E) 6000 13.E

14.C

15.A

16.B

PERMÜTASYON, KOMBİNASYON, BİNOM, OLASILIK - BÖLÜM 14

SAYMA PROBLEMLERİ

Çözüm

GİRİŞ

��

Permütasyon - Kombinasyon matematiğin en zevkli ve uygulaması en çok olan konularından biridir.

��

Sayı yazma problemleri, sıralama soruları, seçme soruları

�

gibi sorular bu bölümde incelenecektir.

��

��

��

Yukarıda saydığımız tüm soruların temelinde sayma işle-

��

mi bulunduğundan, biz de sayma problemlerinin yöntem-

A kentinden B ye, kara veya havayollarından biri ile gidi-

leri ile bölümümüze başlayacağız.

lebileceğinden, Toplama yöntemi gereği,

Hazine 1

karayolu için 3 seçeneğimiz,

Toplama Yöntemi:

havayolu için 2 seçeneğimiz olduğundan,

Bir E olayı, A veya B olaylarından birinin gerçekleşmesiyle oluşmakta iken,

3+2=5 farklı yol vardır.

A olayı için n seçenek, Doğru Seçenek B

B olayı için m seçenek varsa, E olayı için n + m seçenek vardır.

Işık 1

Pınar, Pazar günü saat 14 ile 17 arasında sinemaya gidip film izlemeyi veya evde kalıp ders çalışmayı planlamıştır.

E = A ∪ B ve A ∩ B = ∅ için,

Sinema için gidebileceği iki ayrı sinema, evde kalırsa çalı-

s(E) = s(A ∪ B) = s(A) + s(B) = n + m

şabileceği üç ayrı dersi bulunmaktadır. Pınar’ın belirtilen saatler içinde, plan dahilinde yapa-

A ∩ B ≠ ∅ ise,

bileceği kaç farklı şey vardır?

s(E) = s(A ∪ B) = s(A) + s(B) – s(A ∩ B)

A) 3

B) 5

C) 6

D) 8

E) 9

DNA 1 DNA 2

A kentinden B ye kara veya havayollarından biri ile gidilebilmektedir. 3 ayrı karayolu, 2 ayrı havayolu bu-

A = {(x, y): x2 + y2 ≤ 5, x, y ∈ Z}

lunmaktadır.

Buna göre, A dan B ye kaç farklı yolla gidilebilir?

kümesi kaç elemanlıdır?

A) 3

A) 8

B) 5

C) 6

D) 8

E) 9

B) 12

C) 21

D) 25

YGS MATEMATİK

E) 29

395

Sayma Problemleri

Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık - Bölüm 14

Çözüm

A = {(x, y): x + y ≤ 2, x, y ∈ N}

kümesi kaç elemanlıdır? Kareleri toplamı 5 veya 5 ten küçük tam sayı ikililerinin sayısı istenmektedir.

A) 3

B) 4

C) 5

D) 6

E) 7

İki tam sayının kareleri toplamının alabileceği değerleri incelediğimizde; en küçük değer 0 dır.

x2 + y2 = 0 için, (0, 0)

1 tane

Hazine 2

x2 + y2 = 1 için, (1, 0), (–1, 0), (0, 1), (0, –1)

4 tane

Çarpma Yöntemi: Bir E olayı, art arda A ve B olaylarının gerçekleşmesiyle oluşmakta iken,

x2 + y2 = 2 için, (1, 1), (–1, 1), (1, –1), (–1, –1)

4 tane

A olayı için n seçenek, B olayı için m seçenek varsa, E olayı için n ⋅ m seçenek vardır.

x2 + y2 = 3 için, –

Yok

x2 + y2 = 4 için, (2, 0), (–2, 0), (0, 2), (0, –2)

Işık 2

4 tane

s(E) = s(A x B) = s(A) x s(B) = n ⋅ m x2 + y2 = 5 için, (2, 1), (–2, 1), (2, –1), (–2, –1), (1, 2), (1, –2), (–1, 2), (–1, –2)

+

8 tane

DNA 3

21 tane

A kentinden C ye, önce B kentinden geçmek koşuluyx2 + y2 toplamının 5 veya 5 ten küçük olmasını sağlayan

la gidiliyor.

(x, y) tam sayı ikililerinin sayıları toplamı 21 dir.

A dan B ye 3 yol,

B den C ye 2 yol

Doğru Seçenek C

varsa, A dan C ye kaç değişik yoldan gidilebilir? A) 3

396

YGS MATEMATİK

B) 5

C) 6

D) 8

E) 9


Sayma Problemleri

Çözüm

Çözüm �

�

�

�

�

�

Dört basamaklı bir doğal sayı yazılırken; binler basama-

� �

ğına sıfır dışında 9 rakamdan biri, yüzler, onlar ve birler

A kentinden B ye ve B den de C kentine giden yollar

basamaklarına da 10 ar rakam yazılabileceğinden;

tek tek yazıldığında; Çarpma yöntemi gereği;

(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2) dir. Bu ikililer {a, b, c} ve {1, 2} kümelerinin kartezyen çarpımının elemanlarıdır. Çarpma yöntemi gereği; istenen yol sayısı,

__ __ __ __

9 ⋅ 10 ⋅10 ⋅ 10 = 9000 sayı yazılabilir.

Basamakları farklı dört basamaklı bir doğal sayı yazmak

3⋅2=6

için; binler basamağına sıfır dışında 9 rakamdan biri, yüz-

dır.

ler basamağına, kullanılan rakam dışında kalan 9 rakamDoğru Seçenek C

dan biri, onlar basamağına, kullanılan iki rakam dışında kalan 8 rakamdan biri, birler basamağına da, kullanılan üç rakam dışında kalan yedi rakamdan biri yazılır.

__ __ __ __

9 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 = 4536 sayı yazılabilir.

Pınar, Pazar günü saat 14 ile 17 arasında sinemaya gidip film izlemeyi ve saat 17 den sonra eve gidip saat 19 a ka-

Yazılabilecek tüm dört basamaklı doğal sayıların adedin-

dar ders çalışmayı planlamıştır. Sinema için gidebileceği

den, rakamları farklı olanlar çıkarıldığında; en az iki ba-

iki ayrı sinema, evde çalışabileceği üç ayrı dersi bulun-

samağı aynı olan dört basamaklı doğal sayıların adedi

maktadır.

bulunur.

Pınar’ın belirtilen saatler içinde, plan dahilinde yapa-

9000 – 4536 = 4464

bileceği kaç farklı şey vardır? A) 3

C) 6

B) 5

D) 8

E) 9

tane en az iki basamağı aynı olan dört basamaklı doğal sayı vardır. Doğru Seçenek A

DNA 4 En az iki basamağı aynı olan dört basamaklı kaç doğal sayı vardır? A) 4464

B) 4536

D) 5000

E) 5672

C) 4500

Üç basamaklı doğal sayılardan kaç tanesinde 0 rakamı kullanılmıştır? A) 160

B) 171

C) 196

D) 345

YGS MATEMATİK

E) 729

397

Sayma Problemleri


DNA 5 A ve B kümeleri için,

s(A) = 3

s(B) = 4

s(A) = 2

s(B) = 5

olmak üzere, A dan B ye kaç tane fonksiyon tanımlanabilir?

olmak üzere, A dan B ye kaç tane fonksiyon tanımlanabilir? A) 7

B) 12

C) 64

D) 81

A) 7

C) 25

B) 10

D) 30

E) 32

E) 256

DNA 6

Çözüm �

�

kümesinin elemanları ile üç basamaklı kaç doğal

�

�

sayı yazılabilir?

�

�

A) 100

� �

{0, 1, 2, 3, 4, 5}

B) 120

C) 160

D) 180

E) 200

�

Çözüm A daki,

Yüzler basamağına: 1. eleman, B deki 4 tane elemandan biriyle,

2. eleman, B deki 4 tane elemandan biriyle,

0 dışında beş rakamdan biri, Onlar basamağına: altı rakamdan biri,

3. eleman, B deki 4 tane elemandan biriyle Birler basamağına:

eşlenebilir.

altı rakamdan biri yazılabileceğinden; 5 ⋅ 6 ⋅ 6 = 180

Çarpma yöntemi gereği;

sayı yazılabilir.

A daki her eleman, B deki dört elemandan biri ile eşlene-

Doğru Seçenek D

bileceğinden, tüm eşlemelerin sayısı: 4 ⋅ 4 ⋅ 4 = 43 = 64 tanedir.

Doğru Seçenek C

{0, 1, 2, 3, 4, 5}

kümesinin elemanları ile üç basamaklı, rakamları tekrarsız kaç doğal sayı yazılabilir? A) 100

398

YGS MATEMATİK

B) 120

C) 160

D) 180

E) 200


Sayma Problemleri

5.

TEST - 1

Bir düzgün sekizgenin köşelerini köşe kabul eden kaç tane dikdörtgen çizilebilir? A) 3

1.

B) 6

C) 12

D) 16

E) 24

A kentinden B kentine 5, B kentinden de C kentine 6 değişik yolla gidilebilmektedir.

B kentine uğramak koşuluyla, A kentinden C kentine kaç değişik yolla gidilebilir? A) 10

B) 11

C) 12

D) 25

E) 30

6.

Üç basamaklı doğal sayılardan kaç tanesi 5 ile kalansız bölünür? A) 90

2.

B) 120

C) 180

D) 210

E) 240

A kentinden B kentine 5, B kentinden de C kentine 6 değişik yolla gidilebilmektedir. Ayrıca A kentinden C kentine B ye uğramadan gidilebilen 5 farklı yol daha vardır.

A kentinden C kentine kaç farklı yoldan gidilebilir? A) 11

B) 16

C) 30

D) 35

E) 36

7.

rakamları kullanılarak 3 basamaklı kaç değişik

0, 1, 2, 3, 4

doğal sayı yazılabilir? A) 100

3.

B) 120

C) 125

D) 160

E) 200

Üç kişinin katıldığı bir sınav başarı yönünden kaç farklı şekilde sonuçlanabilir? A) 3

B) 6

C) 8

D) 9

E) 12

8.

Bir torbada 4 kırmızı, 5 mavi top vardır. Bu torbadan, rengine bakmadan toplar çekiliyor.

4.

1 den 100 e kadar olan doğal sayılar bir listeye yazılıyor.

Çekilen toplardan en az birinin kırmızı olmasını garantilemek için bu torbadan en az kaç top çe-

Bu listede toplam kaç tane 9 rakamı vardır?

kilmelidir?

A) 24

A) 1

B) 27

C) 30

D) 36

E) 40

B) 3

C) 4

D) 5

YGS MATEMATİK

E) 6

399

Sayma Problemleri

9.


Bir torbada 4 kırmızı, 5 mavi, 6 sarı top vardır. Bu

13. Üç basamaklı kaç değişik çift doğal sayı vardır?

torbadan, rengine bakılmaksızın toplar çekiliyor.

A) 100

B) 450

C) 500

D) 620

E) 750

Kırmızı topların tamamının çekilmiş olmasını ga-

rantilemek için bu torbadan en az kaç top çekilmelidir? A) 4

B) 5

C) 6

D) 11

E) 15

14. abcba şeklinde sayılara “yansıyan sayılar” denir.

Beş basamaklı doğal sayılardan kaç tanesi yansıyandır?

10. 450 ile 700 arasında yalnız 3, 4, 5, 6, 7, 8 rakamları kullanılarak yazılabilen kaç tane tek sayı vardır? A) 32

B) 37

C) 45

D) 48

A) 450

B) 500

D) 900

C) 750

E) 1200

E) 96

15. Beş basamaklı yansıyan doğal sayılardan kaç ta11. Beş basamaklı kaç tane çift doğal sayı vardır?

nesi çifttir?

A) 225

A) 33333

B) 45000

D) 75000

C) 50000

1.e

400

2.d

B) 450 3.c

YGS MATEMATİK

C) 500

D) 600

E) 900

E) 90000

16. 8

12. Üç basamaklı kaç değişik doğal sayı vardır? A) 100

B) 400

C) 899 4.c

5.b

D) 900 6.c

öğrenci kaç değişik şekilde seçilebilir? A) 8

E) 901 7.a

erkek, 9 kız arasından; bir erkek veya bir kız

8.E

9.e

10.d

B) 9 11.b

C) 17 12.d

13.b

D) 72 14.d

15.b

E) 216 16.c


PERMÜTASYON (SIRALAMA)

PERMÜTASYON (SIRALAMA)

Çözüm

TANIM

İlk ve son harflerde: A = {a1, a2, ..., an}

5 sesli harften ikisi; P(5,2)

kümesinin 0 ≤ r ≤ n olmak üzere, elemanlarından r tanesinin sıralanmasına n elemanın r li bir permütasyonu denir

araya: 21 sessiz harften üçü; P(21,3)

ve P(n, r) ile gösterilir. şekilde sıralanabilir. Hepsi birlikte:

Hazine 3 P(n, r ) =

P(5, 2) ⋅ P(21, 3) = 5 ⋅ 4 ⋅ 21 ⋅ 20 ⋅ 19 = 159600

n! = n(n − 1)(n − 2) ⋅ ... ⋅ (n − r + 1) (n − r )!

şekilde sıralanabilir. Doğru Seçenek E

P(n, 0) = 1 ve P(n, n) = n! Örneğin, A = {a, b, c, d} kümesinin 3 lü permütasyonlarını incelediğimizde; P(4, 3) = 4 ⋅ 3 ⋅ 2 = 24 7 erkek, 3 kız öğrenci yan yana 3 kız bir arada olacak

tane olduğu görülür.

biçimde kaç değişik biçimde sıralanabilir? abc

bac

cab

dab

acb

bca

cba

dba

abd

bad

cad

dac

adb

bda

cda

dca

acd

bcd

cbd

dbc

adc

bdc

cdb

dcb

A) 7!

DNA 7

B) 8!

D) 3! ⋅ 8!

C) 2! ⋅ 8!

E) 9!

DNA 8

E = {a, b, c, ..., x, y, z}

26 harfli İngilizce abc sinde 21 sessiz, 5 sesli harf var-

Aralarında 2 subayın bulunduğu 7 kişilik bir asker gru-

dır.

bu yanyana fotoğraf çektireceklerdir.

İlk ve son harfleri farklı sesli harflerden, diğerleri

İki subayın yanyana gelmemesi koşulu ile bu grup

farklı sessiz harflerden oluşan 5 harfli kaç sözcük

kaç farklı şekilde fotoğraf çektirebilir?

yazılabilir? A) 79800

A) 5040 B) 80100

D) 125400

C) 85400

E) 159600

B) 3600

D) 2520

C) 2880

E) 1440

YGS MATEMATİK

401

Permütasyon (Sıralama)


Çözüm

DNA 9

2 subayın yanyana gelmemesi için, 2 subayın arasına 1 asker, 2 asker 3 asker, 4 asker ve 5 asker olduğu durumları tek tek incelememiz gerekir. Bunun yerine çözüme bizden istenenin tam terisini bularak ulaşacağız. Yani subayların yanyana olduğu durumları bulup tüm durumlardan çıkaracağız. Hiç bir koşul olmadan 7 kişi yanyana

{1, 3, 5, 7}

kümesinin elemanları ile rakamları tekrarsız yazılabilen tüm doğal sayıların toplamı kaçtır? A) 106656

P(7, 7) = 7! = 5040

B) 106672

D) 117856

C) 107200

E) 118974

Çözüm

farklı şekilde fotoğraf çektirebilir. İki subayın yanyana olduğu durum için bu iki subayı iple bağlayalım, yani tek kişi olarak düşünelim. 5 asker ve 1 subay olmak üzere 6 kişi

Bir basamaklı: P(4, 1) = 4 tane İki basamaklı: P(4, 2) = 4 ⋅ 3 = 12 tane

P(6, 6) = 6!

Üç basamaklı: P(4, 3) = 4 ⋅ 3 ⋅ 2 = 24 tane

farklı şekilde fotoğraf çektirir. Tek kişi gibi düşündüğümüz iki subay da 2! farklı şekilde dizileceğinden

Dört basamaklı: P(4, 4) = 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 24 tane sayı yazılabilir. Hepsi birlikte:

6! 2! = 1440

4 + 12 + 24 + 24 = 64

farklı şekilde fotoğraf çektirebilir.

tane sayı vardır.

Tüm durumların sayısından iki subayın yanyana geldiği durumları çıkarırsak iki subayın yanyana gelmediği durum sayısı ortaya çıkar.

Bir basamaklıların toplamı: 1 + 3 + 5 + 7 = 16 İki basamaklıların toplamı: 12 tane sayının her basamağında, her rakam 12 : 4 = 3 er kez kullanılmıştır.

5040 – 1440 = 3600

Toplam: 3 ⋅ 16 ⋅ 10 + 3 ⋅ 16 = 528

Doğru Seçenek B

Üç basamaklıların toplamı: 24 tane sayının her basamağında, her rakam 24 : 4 = 6 şar kez kullanılmıştır. Toplam: 6 ⋅ 16 ⋅ 100 + 6 ⋅ 16 ⋅ 10 + 6 ⋅ 16 = 10656 Bilgisayar için monitör ve televizyon üretimi yapan bir fir-

Dört basamaklıların toplamı: 24 tane sayının her basama-

ma, birbirinden farklı 2 monitörü ve birbirinden farklı 4 te-

ğında, her rakam 24 : 4 = 6 şar kez kullanılmıştır.

levizyonu fuarda sergileyecektir.

Toplam:

Bir masa üzerinde düz bir sıra halinde dizilecek olan

6 ⋅ 16 ⋅ 1000 + 6 ⋅ 16 ⋅ 100 + 6 ⋅ 16 ⋅ 10 + 6 ⋅ 16 = 106656

2 monitörün arasına en fazla 3 televizyon yerleştirilecek biçimde bu altı elektronik cihaz kaç farklı şekilde

Tümünün toplamı: 106656 + 10656 + 528 + 16 = 117856

dizilebilir? A) 144

402

B) 288

YGS MATEMATİK

C) 360

D) 672

E) 720

dır.



DÖNEL SIRALAMA

Hazine 4

Yazılabilecek sayıların ortalamaları, sayı adedi ile çarpılarak toplam bulunur.

s(A) = n ve 0 ≤ r ≤ n olmak üzere, r elemanın dönel

Bir basamaklıların toplamı:

sıralama sayısı:

1+ 7 ⋅ 4 = 16 2

Q(n, r ) =

P(n, r ) r

dir.

İki basamaklıların toplamı:

Q(n, n) =

13 + 75 ⋅ 12 = 528 2

P(n, n) = (n − 1)! n

A = {a, b, c, d} kümesinin 3 lü permütasyonlarının, P(4, 3) = 4 ⋅ 3 ⋅ 2 = 24

Üç basamaklıların toplamı:

tane olduğunu görmüştük.

135 + 753 ⋅ 24 = 10656 2

Aynı kümenin 3 lü dönel sıralamalarının sayısı: Q( 4, 3) =

Dört basamaklıların toplamı:

P( 4, 3) 4 ⋅ 3 ⋅ 2 = =8 3 3

tanedir.

1357 + 7531 ⋅ 24 = 106656 2

DNA 10 5 erkek, 3 kız öğrenci yuvarlak masa etrafına sırala-

Tümünün toplamı: 106656 + 10656 + 528 + 16 = 117856 dır.

nacaktır. Erkeklerden Ali ile kızlardan Bahar’ın yanyana olması istendiğine göre, sıralama kaç değişik şekil-

Doğru Seçenek D

de yapılabilir? A) 720

B) 900

D) 1440

C) 1080

E) 1620

Çözüm Ali ve Baharı bir eleman olarak düşündüğümüzde, diğer 6 kişi ile birlikte yuvarlak masa etrafına sıralanacak 7 kişi

vardır.

{1, 3, 5, 7}

Q(7, 7) = (7 – 1)! = 6!

kümesinin elemanları ile rakamları tekrarsız yazılabilen dört basamaklı sayılar küçükten büyüğe doğru sıralandığında, baştan 19. sayı kaçtır? A) 7135

B) 7153

D) 7351

Ali ve Bahar da kendi aralarında 2! şekilde sıralanır. Tümü bir arada düşünülürse: 6! ⋅ 2! sıralama vardır. 6! ⋅ 2 = 1440

C) 7315

Doğru Seçenek D

E) 7513

YGS MATEMATİK

403



5 erkek, 3 kız öğrenci yuvarlak masa etrafına sıralanacaktır.

6 evli çift yuvarlak masa etrafına sıralanacaktır. Eşlerin birbirlerinden ayrılmaları istenmediğine göre,

Erkeklerden Ali ile kızlardan Bahar’ın yan yana olması istenmediğine göre, sıralama kaç değişik şekilde yapılabilir? A) 720

B) 900

C) 1080

kaç değişik şekilde sıralama yapılabilir? A) 5!

B) 6!

D) 2 ⋅ 6!

C) 2 ⋅ 5!

E) 26 ⋅ 5!

E) 3600

D) 1440

TEKRARLI PERMÜTASYON

Hazine 5

DNA 11 6 evli çift yuvarlak masa etrafına sıralanacaktır.

n tane elemandan r1, r2, ..., rntanesi aynı ve

Herhangi iki bayanın yan yana gelmesi istenme-

r1 + r2 + ... + rn = n olmak üzere n elemanın tekrarlı

diğine göre, kaç değişik şekilde sıralama yapılabilir? B) 2 ⋅ 6!

A) 6!

D) (6!)2

permütasyonlarının sayısı: P(n; r1, r2 , ..., rn ) =

C) 5! ⋅ 6!

E) 6! ⋅ 7!

n! r1 ! ⋅ r2 ! ⋅ ... ⋅ rn !

dir.

Çözüm Işık 3

Önce 6 bayan yuvarlak masa etrafına;

A = {a1, a2, ..., an}

Q(6, 6) = (6 – 1)! = 5!

kümesinin r elemanlı tekrarlı permütasyonlarının sayısı: şekilde sıralanır. Sonra bayanlar arasında kalan 6 yere erkekleri 6! şekilde sıralayabiliriz. İkisi birlikte düşünüldüğünde; 5! ⋅ 6! şekilde sıralama yapılabilir. Doğru Seçenek C

1. sıraya, n tane elemandan biri; 2. sıraya, n tane elemandan biri; ... r. sıraya, n tane elemandan biri yazılabileceğinden r tane n nin çarpımı olan (nr) dir.

404

YGS MATEMATİK



Çözüm

DNA 12

5 harf sıralanacak, bunlardan 3 tanesi aynı.

A = {a, b, c}

kümesinin 2 li tekrarlı permütasyonları kaç tane-

P(5; 3,1, 1) =

dir? A) 5

B) 6

C) 8

D) 9

5! 3 ! ⋅ 1! ⋅ 1!

= 5 ⋅ 4 = 20

E) 12

Doğru Seçenek E

Çözüm A kümesinin 2 li permütasyonlarını yazdığımızda; aa, ab, ba, ac, ca, bb, bc, cb, cc olmak üzere, 32 = 9 tanedir. Doğru Seçenek D 2 tane 0, 3 tane 1, 5 tane 2 rakamıyla, 10 basamaklı kaç şifre yazılabilir? A) 1250

B) 1460

D) 2520

C) 1640

E) 2680

Yanyana 4 ev, 6 renk boya ile kaç değişik şekilde boyanır? A) 10

B) 24

C) 64

D) 46

E) 104

DNA 14 �

�

DNA 13

�

a, a, a, b, c harfleri ile 5 harfli kaç kelime yazılabilir? A) 3

A dan B ye, C den geçme koşulu ile en kısa yoldan kaç değişik şekilde gidilebilir?

B) 8

C) 15

D) 16

E) 20

A) 18

B) 20

C) 32

D) 35

YGS MATEMATİK

E) 40

405



Çözüm

DNA 15 � � � �

�

6 tane özdeş portakal, 3 çocuğa kaç değişik şekilde dağıtılabilir?

�

A) 26

� �

�

B) 28

C) 30

D) 32

E) 36

�

Yatay yollar: 1 sembolü ile,

Çözüm

Dikey yollar: 0 sembolü ile gösterildiğinde; Portakallar 0 sembolü ile , ayıraçlar 1 sembolü ile gösteriA dan, B ye en kısa yol: 4 tane 1, 3 tane 0 sembolü ile yazılabilecek şifre sayısı kadardır.

lirse; iki tane ayıraç, altı portakalı üç bölüme ayırır. Örneğin: 00100010 yazılımında;

1101001 gibi.

1. çocuk 2, P(7; 4, 3) =

7! = 35 4! ⋅ 3!

2. çocuk 3, 3. çocuk 1 portakal almıştır.

C den geçmek koşulu ile: A dan, C ye: P(3; 2, 1) =

3! =3 2!

6 tane 0, 2 tane 1 sembolü ile yazılabilecek şifrelerin sayısı;

4! C den, B ye: P( 4; 2, 2) = =6 2! ⋅ 2!

P(8; 6, 2) =

A dan, C ye ve C den, B ye: 3 ⋅ 6 = 18 yoldan gidilebilir.

8! = 28 6 ! ⋅ 2!

dir.

Doğru Seçenek A

Doğru Seçenek B

�

� �

6 tane özdeş portakal, 3 çocuğa, her çocuk en az bir

A dan B ye, C den geçmemek koşulu ile en kısa yol-

portakal almak koşuluyla kaç değişik şekilde dağıtı-

dan kaç değişik şekilde gidilebilir?

labilir?

A) 17

406

B) 18

YGS MATEMATİK

C) 19

D) 20

E) 21

A) 6

B) 8

C) 10

D) 12

E) 16

Permütasyon, Permütasyon Kombinasyon, Binom, Olasılık - Bölüm 14


5.

TEST - 2 1.

�

2 rakamı kullanılmadan yazılan ve 4 ile bölünebi-

�

len üç basamaklı kaç değişik doğal sayı vardır? A) 124

B) 132

C) 136

D) 148

E) 152

Yukarıdaki şekil, bir şehrin birbirini dik kesen sokaklarını göstermektedir.

Buna göre, A dan B ye en kısa yoldan kaç değişik şekilde gidilebilir? A) 16

2.

B) 18

C) 24

D) 32

E) 34

� �

6.

�

3 ü de Türkçe kitabıdır.

Yukarıdaki şekil, bir şehrin birbirini dik kesen sokak

larını göstermektedir.

10 farklı ders kitabından, 4 ü Matematik, 3 ü Fizik,

Aynı dersin kitapları bir arada olmak üzere, bu kitaplar yan yana kaç farklı şekilde sıralanabilir?

Buna göre, A dan B ye, O dan geçmek koşulu ile en kısa yoldan kaç değişik şekilde gidilebilir?

A) 3! ⋅ 3! ⋅ 4! ⋅ 3!

B) 10!

A) 20

C) 3! ⋅ 4! ⋅ 3!

D)

B) 40

C) 60

D) 80

E) 84

10 ! 3! ⋅ 4! ⋅ 3!

E) 3 ! ⋅ 4 ! ⋅ 3 ! 2′

3.

Beş tane madeni 1 TL, 8 farklı kumbaraya kaç değişik şekilde atılabilir? A) 40

B) 72

C) 792

7. D)

58

E)

4 kişi yuvarlak masa etrafına kaç farklı şekilde sıralanabilir?

85

A) 4

4.

Oya’nın aralarında bulunduğu 7 kişi yan yana sıralanacaklardır.

8.

B) 6

C) 12

D) 24

E) 30

123456 sayısının rakamlarının yerleri değiştirilerek yazılabilen altı basamaklı doğal sayılardan

Oya 4. sırada olmak üzere bu sıralama kaç deği-

kaç tanesinde, 3 rakamı 4 rakamının solunda yer

şik şekilde yapılabilir?

alır?

A) 4!

B) 5!

C) 6!

D) 7!

E) 8!

A) 120

B) 240

C) 360

D) 480

YGS MATEMATİK

E) 720

407


9.


A ülkesinden B ülkesine 3 farklı karayolu, 3 farklı demiryolu ve 2 farklı havayolu ile gidilebilmektedir.

13.

Buna göre, A ülkesinden B ülkesine kaç farklı

yolla gidilebilir? B) 8

A) 6

10.

C) 9

D) 18

5 ⋅ 10 ⋅ 15 ⋅ ... ⋅ 150

çarpımının faktöriyel formunda yazılışı aşağıdakilerden hangisidir?

A) 5150 ⋅ 30!

E) 72 D)

B) 560 ⋅ 7!

150! 50!

C) 530 ⋅ 30!

E) 150! – 50!

A = {0, 1, 2, 3, 4}

kümesinin elemanları kullanılarak oluşturulmak istenen rakamları tekrarsız, üç basamaklı bir sayının yüzler basamağına kaç farklı rakam gelebi-

14.

lir?

B) 4

A) 5

C) 3

D) 2

E) 1

0! + 1! + 2! +...+ 105!


B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

D) 9

E) 10

11. Bir bilgisayar satıcısında 9 tip monitör ve 6 tip bilgisayar kasası vardır. Bir monitör ve bir bilgisayar kasası alacak biri

için kaç tane monitör - bilgisayar kasası seçene-

15.

ği vardır? A) 2

B) 9

D) 54

C) 27

birlikte olmak şartıyla kaç farklı şekilde oturabilir?

ci hafta içi kaç farklı şekilde tişört giyebilir? B) 5 ⋅ 44

D) 4 ⋅ 54

1.C

408

2.B

3.E

YGS MATEMATİK

C) 54

5.E

6.A

7.B

8.C

9.B

B) 2 ⋅ 9!

A) 9!

D) 210 ⋅ 9!

E) 5 ⋅ 54 4.C

C) 8

16. 10 tane evli çift yuvarlak masa etrafında her çift

Ard arda iki gün aynı tişörtü giymeyen bu öğren-

A) 45

B) 7

E) 108

dır.

olduğuna göre n kaçtır? A) 6

12. Her gün tişört giyen bir öğrencinin 5 farklı tişörtü var

P(2n, 2) = 22 ⋅ n

10.B

11.D

12.B

C) 28 ⋅ 9!

E) 310 ⋅ 9! 13.C

14.D

15.A

16.D


KOMBİNASYON - BİNOM

KOMBİNASYON TANIM

7 elemanlı bir kümenin 5 elemanlı kombinasyonlarının

n, r ∈ N ve 0 ≤ r ≤ n olmak üzere, n elemanlı bir A küme-

sayısı kaçtır?

sinin r elemanlı alt kümelerinden her birine A kümesinin

A) 18

r li bir kombinasyonu denir. n elemanlı bir kümenin r

B) 21

C) 28

D) 35

E) 42

n elemanlı kombinasyonlarının sayısı C(n, r) veya  r  bi  çiminde gösterilir.

Hazine 6 n elemanlı bir kümenin r’li kombinasyonlarının, (r elemanlı alt kümelerinin) sayısı,

Işık 4

n n! C(n, r ) =   =  r  r ! (n − r )! dir.

•

8 elemanlı bir kümenin 4 elemanlı kombinasyonlarının sayısı kaçtır? B) 110

olduğundan C (n, 0) = 1 dir.

DNA 16

A) 70

n n! n! = =1  =  0  0!⋅ (n − 0)! n!

•

n n! 1! = =1  = n n ! ⋅ ( n − n )! 0 !  

olduğundan C (n, n) = 1 dir. C) 150

D) 180

E) 210 •

Çözüm C(n,r ) =

P(n,r ) n! = r! r !⋅ (n − r )!

olduğundan soruyu her iki formülü de kullanarak bulalım. C(8, 4) =

P(8, 4) 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 = = 70 4! 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1

olur. Veya, C(8, 4) =

8! 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4! = = 70 4!⋅ (8 − 4)! 4!⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1

olur. Doğru Seçenek A

n n!  = ve  r  r ! ⋅ (n − r )!  n  n! n! =  =  n − r  (n − r )! ⋅ (n − n + r )! (n − r )! ⋅ r !

n  n  olduğundan   =    r  n − r 

n n •   =   ise x + y = n ya da x = y dir. x y n  n  •   =   = n dir.  1   n − 1  n − 1  n − 1  n  •  +  =   dir.  r − 1  r   r 

YGS MATEMATİK

409

Kombinasyon - Binom


DNA 17

DNA 18

8  8   =   x   3x − 4  olduğuna göre x in alabileceği değerlerin toplamı kaçtır? A) 2

B) 3

C) 4

D) 5

6 kişilik bir topluluktan seçilen 3 kişi bir sıra halinde kaç farklı şekilde sıralanabilir? A) 40

B) 60

C) 80

D) 100

E) 120

E) 8

Çözüm Çözüm Önce 6 kişiden 3 kişiyi seçeceğiz. Daha sonra bu 3 kişiyi İki durum mümkün ya x ve 3x – 4 değerlerinin toplamı 8

sıralayacağız.

dir, ya da x ve 3x – 4 birbirine eşittir.

6 6 kişiden 3 kişi   farklı şekilde seçilir. 3

x + 3x – 4 = 8 ise 4x = 12

3 kişi 3! farklı şekilde sıralanabilir.

x = 3 tür. O halde 6 kişi içinden seçilen 3 kişi

x = 3x – 4 ise 2x = 4

6 6⋅5⋅4 ⋅ 3! = 6 ⋅ 5 ⋅ 4 = 120   ⋅ 3! = 3! 3

x = 2 dir.

Alabileceği değerlerin toplamı 2 + 3 = 5 olur.

farklı şekilde sıralanabilir.

Doğru Seçenek D

Doğru Seçenek E

5 basketbolcudan 3 kişi ve 4 voleybolcudan 2 kişi seçilerek bir hatıra fotoğrafı çekilecektir.

 n   n   n + 1  10   + + =   2 3  4   4 

3 basketbolcu arkada ve 2 voleybolcu önde olmak

olduğuna göre n kaçtır? A) 5

410

B) 6

YGS MATEMATİK

üzere kaç farklı poz verilebilir? C) 7

D) 8

E) 9

A) 180

B) 360

C) 720

D) 960

E) 1440


Kombinasyon - Binom

DNA 19 10 sorudan oluşan ve soruların seçmeli olduğu bir sınavda bir öğrenciden 6 soru seçerek cevaplandırması

öğrenciden 8 soru seçerek cevaplandırması istenmektedir. İlk 4 soruyu cevaplamak zorunda olan bu öğrenci kaç

istenmektedir. İlk 4 sorudan en az üçünü cevaplamak zorunda

B) 80

C) 95

D) 115

farklı seçim yapabilir? A) 15

olan bu öğrenci kaç farklı seçim yapabilir? A) 60

10 sorudan oluşan ve soruların seçmeli olduğu bir sınavda bir

B) 30

C) 45

D) 60

E) 120

E) 135

Çözüm İlk 4 sorudan en az üçünü cevaplamak zorunda olduğun-

DNA 20

dan iki durum söz konusudur.

5 evli çift arasından içinde sadece 1 evli çift buI. durum: ilk 4 sorunun 3 ünü cevaplarsa kalan 3 soruyu 6

lunan 4 kişilik bir ekip kaç değişik biçimde seçi-

soru içinden seçecektir.

lebilir? A) 60

O halde,  4 6 4 ⋅ 3 ⋅ 2 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅  ⋅  = 3! 3! 3 3

B) 90

C) 120

D) 180

E) 240

Çözüm

= 4 ⋅ 5 ⋅ 4 = 80 Sadece bir evli çift olacağından bu bir evli çifti, 5 evli çift

olur.

arasından seçelim. Bu seçimi, 5  =5  1

II. durum: İlk 4 sorunun 4 ünü cevaplarsa, kalan 2 soruyu 6 soru içinden seçecektir.

farklı şekilde yapabiliriz. Böylece ekip için 2 kişi seçmiş

O halde

olduk. Ekip 4 kişi olacağına göre, iki kişi daha seçmeliyiz  4   6  4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1 6 ⋅ 5 ⋅  ⋅  = 4! 2!  4  2 = 1⋅ 15 = 15

ve bu iki kişinin birbiriyle evli olmama koşulunu sağlamalıyız. Geriye kalan 4 evli çiftten 2 çift seçip, bu çiftlerden de birer kişi seçersek, birbiriyle evli olmayan 2 kişi seçmiş oluruz.

olur.

Bunu,

Toplam seçim sayısı

 4  2  2 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 2 = 24       = 2!  2   1  1

80 + 15 = 95 olur.

4 çiftten

Doğru Seçenek C

Bir çiftten Diğer çiftten

2 sini seç bir kişi seç

1 kişi seç

farklı şekilde yapabiliriz.

YGS MATEMATİK

411

Kombinasyon - Binom


O halde 5 evli çift arasından içinde sadece 1 evli çift bulunan 4 kişilik ekip 5 ⋅ 24 = 120

Bir çember üzerindeki 5 nokta en çok kaç doğru belirtir?

farklı biçimde seçilebilir. Doğru Seçenek C

B) 10

A) 5

C) 12

D) 15

E) 18

DNA 22 4 evli çift arasından içinde evli çift bulunmayan 3 kişilik bir ekip kaç değişik biçimde seçilebilir? A) 12

B) 16

C) 24

D) 32

Şekildeki yarım çember üzerindeki 8 nokta

E) 36

en çok kaç doğru belirtir? A) 15

DNA 21

B) 18

C) 21

D) 23

E) 27

Çözüm

Bir çember üzerindeki 6 nokta en çok kaç doğru geçer? A) 10

B) 12

C) 15

D) 18

E) 20 4 tane doğrusal nokta

Çözüm

8  4 8⋅7 4⋅3 − + 1 = 28 − 6 + 1 = 23   −   +1= 2! 2!  2  2 Doğru Seçenek D

Şekilde d1 ve d2 doğruları A noktasında kesişmektedir.

Bu altı nokta çember üzerinde olduğundan herhangi üçü doğrusal değildir.

olur.

6 6 ⋅ 5 = 15  = 2!  2 Doğru Seçenek C

Bu doğrular üzerindeki 8 nokta en çok kaç doğru belirtir? A) 14

412

YGS MATEMATİK

B) 16

C) 17

D) 18

E) 20


Kombinasyon - Binom

DNA 23

DNA 24 Şekildeki çember üzerindeki 7 noktayı köşe kabul eden kaç tane üçgen çizilebilir?

Farklı 4 noktası belirlenmiş bir d doğrusu ve farklı 5 noktası belirlenmiş bir k doğrusu birbirine paraleldir. Bu 9 nokta en çok kaç üçgen belirtebilir?

A) 18

B) 24

C) 27

D) 35

E) 48

A) 40

B) 45

C) 50

D) 60

E) 70

Çözüm

Çözüm Noktalar çembersel olduğundan, herhangi üçü doğrusal

9 noktadan, d doğrusundaki 4 tanesi ve k doğrusundaki 5 tanesi kendi aralarında doğrusaldır.

olmayan noktalardır.

Belirtilebilecek üçgen sayısı,

O halde bu noktaları köşe kabul eden

9  4 5 9 ⋅ 8 ⋅ 7 4 5 ⋅ 4 − −  − −  = 3! 1! 2! 3 3 3

7 7 ⋅ 6 ⋅ 5 7 ⋅ 6 ⋅ 5 = = 35  = 3! 3 ⋅ 2 ⋅1 3

= 84 − 4 − 10 = 70

tane üçgen çizilebilir. Doğru Seçenek D


Üzerinde 2 nokta belirlenen d doğrusu ile d doğrusuna paralel olan ve üzerinde 4 nokta belirlenen k doğrusu veriliyor.

Şekildeki yarım çember üzerindeki 9 noktayı köşe ka-

Bu 6 nokta ile en çok kaç üçgen oluşturulabilir?

bul eden kaç tane üçgen çizilebilir? A) 62

B) 68

C) 74

D) 78

E) 84

A) 12

B) 14

C) 16

D) 18

YGS MATEMATİK

E) 20

413

Kombinasyon - Binom

Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık - Bölüm Binom 14

BİNOM AÇILIMI

Çözüm

Hazine 7

Baştan 4. terim,

•

(x ± y)n açılımında (n + 1) tane terim vardır.

•

(x – y)n açılımında y nin tek kuvvetlerinden işa-

6 6⋅5⋅4 3 3 6 −3 ⋅ ( −2y )3 = ⋅ 3 ⋅ x ⋅ ( −2)3 ⋅ y3   ⋅ (3 x ) 3! 3 = 20 ⋅ 27 ⋅ x3 ( −8) ⋅ y3

ret negatif olacağından katsayıların işaretleri +, –, +, –, + , – ... sırasıyla gider. •

ken, y nin üsleri sıfırdan n ye kadar her terimde 1 artar. •

= −4320 x3 y3

x in üsleri n den sıfıra kadar her terim de 1 azalır-

Her bir terimdeki x ve y nin üslerinin toplamı n

olur. O halde baştan 4. terimin katsayısı – 4320 dir.

dir. •

Doğru Seçenek A

Baştan ve sondan eşit uzaklıktaki terimlerin katsayıları eşittir. Yani n  n   =   r  n − r 

dir.

(x + 3y)5

Hazine 8

ifadesinin açılımı x in azalan kuvvetlerine göre sırala-

(x + y)n ifadesi x in azalan kuvvetlerine göre sıralanırsa baştan (r + 1). terim,

nırsa baştan 3. terimin katsayısı kaç olur? A) 72

C) 90

B) 84

D) 102

E) 114

 n  n −r r  ⋅x ⋅y r  olur. Bu terim, aynı zamanda sondan (n – r +1) inci terimdir.

DNA 26

DNA 25

(3x – 2y)6

(x – 2y)8

ifadesinin açılımı x in azalan kuvvetlerine göre sı-

ifadesinin açılımı x in azalan kuvvetlerine göre sı-

ralanırsa baştan 4. terimin katsayısı aşağıdakiler-

ralanırsa sondan 3. terimin katsayısı kaç olur?

den hangisi olur? A) –4320

A) 1792

414

B) –3240

D) –2160

YGS MATEMATİK

C) –2700

E) –1620

B) 1680

D) 1512

E) 1344

C) 1568

Permütasyon, Binom Kombinasyon, Binom, Olasılık - Bölüm 14

Kombinasyon - Binom

Çözüm (2x – y)8

ifadesinin açılımı x in azalan kuvvetlerine göre sıralaSondan 3. terimin baştan kaçıncı terim olduğunu bulalım.

nırsa sondan 2. terimin katsayısı kaç olur? A) –64

B) –48

C) –24

D) –16

E) –8

r + 1 = 3 ise r = 2 olduğundan sondan 3. terim, baştan (n + 1 – r) = 8 + 1 – 2 = 7. terimdir. 8 Baştan 7. terim   katsayısıyla başlayacağından 6

DNA 27

 8  8−6 8 ⋅ ( −2y )6 =   ⋅ x 2 ⋅ 64 ⋅ y 6  ⋅x 6  2 =

(x – 2y)6

ifadesinin açılımında ortanca terimin katsayısı

8⋅7 ⋅ 64 ⋅ x 2 ⋅ y 6 2

kaçtır?

= 1792 ⋅ x 2 ⋅ y 6

A) –80

B) –100

C) –120

D) –140 E) –160

olur. O halde sondan 3. terimin katsayısı 1792 dir.

Çözüm Üs 6 olduğundan açılım 7 terimlidir. Buna göre ortanca terim hem baştan hem sondan 4. terimdir.

(x –

2y)8

ifadesini (–2y +

x)8

biçiminde yazarsak sondan

üçüncü terim baştan üçüncü terim olur. Yani (–2y + x)8

6 Baştan 4. terim   katsayısıyla başlayacağından, 3  6  6 −3 6⋅5⋅4 3 ⋅ ( −2y )3 = ⋅ x ⋅ ( −8) ⋅ y3  ⋅x 3! 3

8 ifadesinde baştan 3. terimi arıyoruz. Baştan 3. terim    2 katsayısıyla başlayacağından,

= −160 ⋅ x3 ⋅ y3

8 8−2 2 8 ⋅ 7 ⋅x = ⋅ ( −2)6 ⋅ y 6 ⋅ x 2   ⋅ ( −2y ) 2  2


= 28 ⋅ 64 ⋅ y 6 ⋅ x 2 = 1792 ⋅ x 2 ⋅ y 6 olur. Doğru Seçenek A

(x – y)8

ifadesinin açılımında ortanca terimin katsayısı kaçtır? A) 60

B) 70

C) 80

D) 92

YGS MATEMATİK

E) 110

415

Kombinasyon - Binom


Işık 5

DNA 29

x ve y bilinmeyenler, a ve b sabit gerçek sayılar ve n∈

N+

olmak üzere, (ax +

by)n

10

açılımının katsayılar

 3 1  x + 2   x 

toplamını bulmak için x ve y yerine 1 yazılır.

ifadesinin açılımı x in azalan kuvvetlerine göre yazıldığında x15 li terim baştan kaçıncı terim olur?

Buna göre, (ax + by)n açılımının katsayılar toplamı

A) 3

(a + b)n dir.

B) 4

C) 5

D) 6

E) 7

Çözüm DNA 28

x15 li terim baştan (r + 1). terim olsun. Buna göre, r

 10  3 10 −r  1   10  30 −3r −2r ⋅  =  ⋅ x ⋅x   ⋅ (x )  x2   r   r 

(2x – 3)3

ifadesinin açılımında katsayılar toplamı kaçtır? A) –6

B) –2

C) –1

D) 1

15 olmasını istiyoruz.

 10  =   ⋅ x30 −5r  r 

E) 6

olur. x15 li terimi aradığımızdan,

Çözüm

30 – 5r = 15

Tek değişken olan x yerine 1 yazalım. Katsayıları toplamı,

5r = 15

r=3

olur.

(2x – 3)3 = (2 ⋅ 1 – 3)3 = (–1)3 = –1

O halde x15 li terim baştan 4. terimdir. olur.

Doğru Seçenek B Doğru Seçenek C

11

(x –

2y)4

ifadesinin açılımı x in azalan kuvvetlerine göre yazıldı-

ifadesinin açılımında katsayılar toplamı kaçtır? A) –6

416

B) –2

YGS MATEMATİK

 3 1 x − x   

C) –1

D) 1

E) 6

ğında x5 li terim baştan kaçıncı terim olur? A) 4

B) 5

C) 6

D) 7

E) 8


Kombinasyon - Binom

5.

TEST - 3

lider seçilecektir.

1.

10 kişiden 6 kişilik bir grup ve grup içinden de bir

Buna göre kaç farklı seçim yapılabilir? A) 840

7 elemanlı bir kümenin 3 elemanlı kombinasyon-

B) 1050

C) 1260

D) 1470 E) 1680

larının sayısı kaçtır? A) 14

B) 21

C) 28

D) 35

E) 48

6.

Bir pansiyonda biri 4 kişilik, ikisi 3 kişilik 3 boş oda vardır.

2.

10 kişi bu pansiyona kaç farklı şekilde yerleşebilir? A) 4200 B) 3800

8 kişilik bir topluluktan 4 kişilik bir grup kaç farklı

C) 3600 D) 2800

E) 2400

şekilde oluşturulabilir? A) 40

B) 50

C) 60

D) 70

E) 80

7.

5 yönetici, 4 satış müdürü ve 6 personelden seçilecek 2 yönetici, 2 satış müdürü ve 1 personel

 9   9  3.  =   2x − 5   x + 2  olduğuna göre, x in alabileceği değerler toplamı

yuvarlak bir masa etrafında kaç farklı şekilde oturabilir? A) 7200 B) 7920

kaçtır? A) 12

B) 11

C) 7

D) 6

C) 8280

D) 8640 E) 9360

E) 4

8.

Bir sınıftaki kızların sayısı, erkeklerin sayısının 2 katıdır. Bu sınıftaki kız öğrencilerle yapılacak 2 şerli grupların sayısı, erkek öğrencilerle yapılacak 2 şerli grupların sayısının 6 katıdır.

4.

4 erkek ve 3 kız arasından 3 kişilik bir grup kaç farklı şekilde seçilebilir? A) 20

B) 24

C) 35

Buna göre, bu sınıftaki toplam öğrenci sayısı kaçtır?

D) 48

E) 75

A) 4

B) 6

C) 9

D) 15

E) 18

YGS MATEMATİK

417

Kombinasyon - Binom

9.


5 elemanlı bir kümenin en çok 2 elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır? A) 16

B) 18

C) 24

D) 32

13.

E) 36

Şekilde, çember üzerinde 6 nokta ve çemberin dışındaki doğru üzerinde 4 nokta işaretlenmiştir.

10.

çok kaç tane üçgen çizilebilir?

A = {1, 2, 3, 4, 5}

A) 96

kümesinin 3 elemanlı alt kümelerinin kaç tane-

Köşeleri bu noktalardan herhangi üçü olan en

B) 108

C) 116

D) 128

E) 144

sinde 1 elemanı bulunur? A) 4

B) 6

C) 8

D) 9

E) 10

14.

(2x2 – y2)6

açılımında ortanca terimin katsayısı kaçtır? A) –180 B) –160

11.

C) –80

D) 80

E) 320

A = {1, 2, 3, 4, 5}

kümesinin 3 elemanlı alt kümelerinin kaç tane-

sinde 2 elemanı bulunmaz? A) 4

B) 6

C) 8

D) 9

E) 10  3 2  x − 2   x 

15.

ifadesinin açılımında x3 lü terimin katsayısı kaçtır? A) 320

12.

6

B) 160

C) 80

D) –80

E) –160

ABC üçgeni üzerindeki

12

noktadan

herhangi üçünü köşe kabul eden kaç değişik üçgen çizilebilir?

A) 220 1.D

418

2.D

B) 190 3.B

YGS MATEMATİK

C) 160 4.C

5.C

D) 130 6.A

8.B

ifadesinin açılımındaki sabit terim kaçtır? A) –448 B) –224

E) 100 7.D

8

 3 2  x + 5   x 

16.

9.A

10.B

11.A

12.B

C) –112 13.C

D) 224 14.B

15.E

E) 448 16.E


OLASILIK

OLASILIK

DNA 30

TANIM Bir çift zar atıldığında zarın üst yüzüne gelen sayıSonucu belli olmayan bir deneyde elde edilmesi mümkün olan bütün sonuçların kümesine örnek uzay denir. Madeni bir parayı attığımızda;

ların aynı gelme olayı aşağıdakilerden hangisidir? A) {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6)} B) {1, 2, 3, 4, 5, 6}

E = {Yazı, Tura} = {Y, T}

C) {(1, 2), (2, 1), (2, 3), (3, 2), (3, 4), (4, 3), (5, 6), (6, 5)} D) {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)}

Madeni iki para attığımızda;

E) {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6)}

E = {YY, YT, TY, TT}

Bir zar atıldığında;

Çözüm

E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Bir çift zar atıldığında zarlardan birinin üst yüzüne 1 geldiyse diğeri de 1, 2 geldiyse diğeri de 2 gelmeli ve böyle

Bir çift zar atıldığında;

devam etmeli.

E = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), ..., (6, 5), (6, 6)}

O halde olayımız, {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)}

Madeni bir para atıldığında karşımıza 2 durum, iki para atıldığında 2 ⋅ 2 = 4 durum;

dır. Doğru Seçenek D

bir zar atıldığında karşımıza 6 durum, iki zar atıldığında 6 ⋅ 6 = 36 durum çıktığına dikkat ediniz. Örneğin; sınava giren bir öğrenci başarı yönünden iki durumla karşılaşır. Başarılı veya başarısızdır. Aynı sınava giren beş öğrenci için, 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 25 = 32

Bir çift zar atıldığında zarın üst yüzüne gelen sayıların

durum söz konusudur.

toplamının 9 dan büyük olma olayı aşağıdakilerden hangisidir?

TANIM

A) {(4, 6), (5, 5), (5, 6), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}

Örnek uzayın herhangi bir alt kümesine olay denir. ∅: İmkansız Olay

E: Kesin olay

Örnek uzayın ayrık iki alt kümesine ayrık olaylar denir.

B) {(4, 6), (5, 5), (5, 6), (6, 5), (6, 6)} C) {(4, 6), (5, 6), (6, 5)} D) {(4, 6), (5, 5), (5, 6), (6, 6)} E) {(4, 6), (5, 6), (6, 4), (6, 5)}

YGS MATEMATİK

419

Olasılık


Hazine 9

TANIM Örnek uzayın bütün alt kümelerinin kümesinden [0, 1] aralığına tanımlanan ve aşağıdaki aksiyomları sağlayan her P fonksiyonuna olasılık fonksiyonu, A ⊂ E olayının P(A) görüntüsüne A nın olasılığı denir. O1: A ⊂ E ise 0 ≤ P(A) ≤ 1

E eş olumlu örnek uzay, A ⊂ E, s(A) olması istenenlerin sayısı, s(E) olabileceklerin sayısı, P(A) olayın gerçekleşme olasılığı ise, P(A) =

Herhangi bir olayın gerçekleşme olasılığı en az sıfır,

s(A) s(E)

en çok birdir. dir. O2: P(E) = 1 Kesin olayın gerçekleşme olasılığı 1 dir.

DNA 31 O3: A ∩ B = ∅ ise P(A ∪ B) = P(A) + P(B) Ayrık olaylardan birinin veya diğerinin gerçekleşme olasılığı, iki olasılığın toplamına eşittir.

Bir çift zar atıldığında üstte okunan sayılar toplamının 8 olma olasılığı kaçtır? A)

1 6

B)

5 36

C)

1 9

D)

1 12

E)

1 18

Işık 6 Çözüm

P(∅) = 0 A ⊂ B ise P(A) ≤ P(B)

Deneyde örnek uzay;

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) P(A′) = 1 – P(A)

E = {(1, 1), (1, 2), ..., (6, 6)}

Bir olayın gerçekleşme olasılığı ile gerçekleşmeme

s(E) = 36

olasılıkları toplamı 1 e eşittir. A = {(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)} s(A) = 5

TANIM Örnek uzayı oluşturan deneylerin olasılıkları eşit ise;

P( A ) =

Yani, E = {a1, a2, ..., an} için, P(a1) = P(a2) = ... = P(an) ise E örnek uzayına eş olumlu örnek uzayı denir.

420

YGS MATEMATİK

s( A ) 5 = s(E) 36

dır. Doğru Seçenek B


Olasılık

Bir çift zar atıldığında üstte okunan sayılar toplamının

6 kırmızı, 4 beyaz, 8 mavi top bulunan torbadan aynı anda

10 olma olasılığı kaçtır?

3 top çekiliyor.

A)

1 6

B)

5 36

C)

1 9

D)

1 12

E)

1 18

Çekilen topların üçünün de beyaz olma olasılığı kaçtır? A)

1 68

B)

1 51

C)

5 204

D)

1 34

E)

1 204

DNA 32 6 kırmızı, 4 beyaz, 8 mavi top bulunan torbadan aynı

DNA 33

anda 3 top çekiliyor. Çekilen topların üçünün de kırmızı olma olasılığı

6 kırmızı, 4 beyaz, 8 mavi top bulunan bir torbadan çe-

kaçtır?

kilen top geriye atılmaksızın, art arda 3 top çekiliyor.

A)

1 68

D)

B) 1 34

1 51

C)

E)

5 204

7 204

Birinci topun kırmızı, ikincinin beyaz ve üçüncünün mavi olma olasılığı kaçtır? A)

4 17

B)

3 17

C)

3 34

D)

2 51

E)

5 68

Çözüm Çözüm

6K + 4B + 8M = 18 top 18 top içinden üç top,  18  18 ⋅ 17 ⋅ 16 s(E) =   = 3 ⋅ 2 ⋅1 3

Çekilen ilk topun kırmızı olma olasılığı: torbadaki 18 toptan 6 tanesi kırmızı olduğundan, 6 1 = 18 3

farklı şekilde alınabilir. İstenen, 6 kırmızı top arasından üç kırmızı top almak. O da,

İkinci topun beyaz olma olasılığı: torbadan kalan 17 toptan 4 tanesi beyaz olduğundan,

6 6 ⋅5 ⋅ 4 s( A ) =   =  3  3 ⋅ 2 ⋅1

4 17

farklı şekilde alınabilir.

Üçüncü topun mavi olma olasılığı:

s( A ) 6⋅5⋅4 5 P( A ) = = = s(E) 18 ⋅ 17 ⋅ 16 204

torbada kalan 16 toptan 8 tanesi mavi olduğundan, 8 1 = 16 2

tür. Doğru Seçenek C dir.

YGS MATEMATİK

421

Olasılık


Üç olayın art arda gerçekleşme olasılığı:

DNA 34

1 4 1 2 ⋅ ⋅ = 3 17 2 51

A nın problemi çözme olasılığı

dir.

4 2 3 , B nin , C nin 5 3 7


Üçü de uğraştığında problemin çözülmüş olma olasılığı kaçtır? A)

4 105

D)

B) 34 35

1 35

C)

E)

101 105

67 70

Çözüm Uyarı

Problemi çözememe olasılıkları:

Bu DNA’da bizden istenen, torbadan alınan üç topun

P( A′) = 1 −

4 1 = 5 5

P(B′) = 1 −

2 1 = 3 3

P(C′) = 1 −

3 4 = 7 7

farklı renklerde olmasından farklıdır. Çekilen topların farklı renkte olma olasılığı: C(6, 1) ⋅ C( 4, 1) ⋅ C(8, 1) 4 = dir. C(18, 3) 17

Üçünün de problemi çözememe olasılığı: Bu olasılık da;

P′( A ∩ B ∩ C) =

KBM, KMB, MKB, MBK, BKM, BMK

1 1 4 4 ⋅ ⋅ = 5 3 7 105

Problemin çözülmüş olma olasılığı:

olaylarının tümü gerçekleşmektedir.

1−

4 101 = 105 105


6 kırmızı, 4 beyaz, 8 mavi top bulunan bir torbadan çekilen top geriye atılmaksızın art arda 3 top çekiliyor. Birinci ve ikinci topun kırmızı, üçüncü topun beyaz olma olasılığı kaçtır? A)

1 68

422

B)

1 51

YGS MATEMATİK

Ali’nin problemi çözme olasılığı çözme olasılığı

2 , Berk’in problemi 5

3 olduğuna göre, problemin çözül4

müş olma olasılığı kaçtır? C)

5 204

D)

34 35

E)

7 204

A)

3 20

B)

17 20

C)

4 5

D)

2 3

E)

19 22


Olasılık

TANIM B olayının gerçekleşmiş olması halinde, A olayının olasılı-

P( A ) =

s( A ) 60 3 = = s(E) 160 8

P(B) =

s(B) 25 5 = = s(E) 160 32

ğına A nın, B koşullu olasılığı denir.

P( A ∩ B) =

Hazine 10 P( A ∩ B) s( A ∩ B) P( A \ B) = = P(B) s(B) dir.

s( A ∩ B) 3 = s(E) 160

P( A \ B) =

P( A ∩ B) s( A ∩ B) 3 = = P(B) s(B) 25

P(B \ A ) =

P( A ∩ B) s( A ∩ B) 3 1 = = = P( A ) s( A ) 60 20

Benzer şekilde; B nin, A koşullu olasılığı: P(B \ A ) =

P( A ∩ B) s( A ∩ B) = P( A ) s( A )

TANIM

dır. P(A \ B) = P(A) ve P(B \ A) = P(B) Aşağıda şema ile verilen deneyde her sonuç bir nokta ile

olma durumunda:

gösterilmektedir.

�

P( A \ B) =

P( A ∩ B) P(B)

P(B \ A ) =

P( A ∩ B) P( A )

eşitliklerinden, P(A ∩ B) = P(A) ⋅ P(B) �

�

bulunur. Bu koşulu sağlayan A ve B olaylarına bağımsız olaylar denir.

E örnek uzayı için; s(E) = 16 ⋅ 10 = 160

DNA 35

A ⊂ E olayı için; s(A) = 6 ⋅ 10 = 60

I nolu torbada; 2 siyah, 3 beyaz top, II nolu torbada; 1 siyah, 1 beyaz top bulunmaktadır.

B ⊂ E olayı için;

Torbaların rastgele birinden bir top çekiliyor. s(B) = 5 ⋅ 5 = 25 s(A ∩ B) = 1 ⋅ 3 = 3

Çekilen topun siyah olduğu bilindiğine göre, I nolu torbadan alınma olasılığı kaçtır? A)

olsun.

1 4

B)

1 5

C)

3 5

D)

2 5

YGS MATEMATİK

E)

4 9

423

Olasılık


Çekilen topun, II nolu torbadan ve siyah olma olasılığı:

Çözüm

P(II ∩ S) = P(II) ⋅ P(S)

Deneyi ağaç çizelgesi şeklinde gösterelim:

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

P(I \ S) =

��

=

1 1 ⋅ 2 2

=

1 4

P(I ∩ S) P(I ∩ S) = P(S) P(I ∩ S) + P(II ∩ S) 1 5

=

1 1 + 5 4

Top çekilecek iki torba bulunduğundan torbaları seçme olasılıkları;

= P(I) =

1 1 ve P(II) = 2 2

4 9 Doğru Seçenek E

dir.

I nolu torbadan; P(S) =

2 5

I nolu torbada; 2 siyah, 3 beyaz top, II nolu torbada,

Beyaz top çekme olasılığı: P(B) =

1 2

Torbaların rastgele birinden bir top çekiliyor.

Siyah top çekme olasılığı:

1 siyah, 1 beyaz top bulunmaktadır.

Çekilen topun siyah olduğu bilindiğine göre, II nolu torbadan alınma olasılığı kaçtır? A)

II nolu torbadan; P(S) =

1 2

Beyaz top çekme olasılığı: P(B) =

1 2

Siyah top çekme olasılığı:

1 4

Çekilen topun, I nolu torbadan ve siyah top olma olasılı-

= =

424

YGS MATEMATİK

1 2 ⋅ 2 5 1 5

1 5

C)

5 9

D)

2 5

E)

4 9

DNA 36

ğı: P(I ∩ S) = P(I) ⋅ P(S)

B)

Aynı örnek uzayına ait A ve B olayları için; P(A) = 0, 3 ve P(B) = 0,2 iken P(A ∩ B) = 0,1 dir. Buna göre, P(A′ ∩ B′) kaçtır? A) 0,1

B) 0,3

C) 0,4

D) 0,6

E) 0,9


Olasılık

Çözüm

DNA 37

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

E örneklem uzayı ve A ⊂ E olmak üzere, P(A) + 3⋅ P(A′) =

olduğundan,

7 3

olduğuna göre, P(A′) kaçtır? P(A ∪ B) = 0,3 + 0,2 – 0,1 = 0,4

A)

7 24

B)

1 3

C)

5 12

D)

3 5

E)

2 3

bulunur.

Çözüm

P(A ∪ B) + P(A ∪ B)′ = 1 ve P(A ∪ B)′ = P(A′ ∩ B′)

P(A) + P(A′) = 1 olduğundan, P( A ) + 3 ⋅ P( A′) =

olduğundan,

7 3

7 P A ) +P ( A ′) + 2 ⋅ P( A′) = (   3

P(A ′ ∩ B′) = 1 – 0,4 = 0,6

1

dır.

1 + 2 ⋅ P( A′) = Doğru Seçenek D

7 3

2 ⋅ P( A′) =

7 −1 3

2 ⋅ P( A′) =

4 3

P( A′) =

2 3


P( A ) =

1 1 ve P(B) = 4 4

olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur? 1 A) P( A ∪ B) = 2

C) A ∩ B = ∅ E) P(A ∩ B) = 0

1 B) P( A ∪ B) ≤ 2 D) A = B

E örneklem uzayında A ⊂ E olmak üzere, 4 ⋅ P( A ) + 5 ⋅ P( A′) =

23 5

olduğuna göre, P(A) kaçtır? A)

7 24

B)

1 3

C)

2 5

D)

3 5

YGS MATEMATİK

E)

2 3

425

Olasılık


DNA 38

DNA 39

Bir zar masaya atılıyor. Zarın üst yüzüne gelen sa-

İçinde 3 kırmızı, 4 mavi ve 5 sarı bilye bulunan bir

yının asal ve tek sayı olma olasılığı kaçtır?

torbadan rastgele seçilen üç bilyenin her birinin

A)

1 3

B)

1 6

C)

1 9

D)

1 18

E)

1 36

farklı renkte olma olasılığı kaçtır? A)

1 22

B)

3 22

C)

2 11

D)

3 11

E)

6 11

Çözüm Çözüm

Zarın asal sayı gelme olayına A, tek sayı gelme olayına B diyelim. A = {2, 3, 5}, B = {1, 3, 5} ve (A ∩ B) = {3, 5} olup A ve B bağımlı olaylar olacağından, P( A ∩ B) =

Kırmızıyı K, maviyi M, sarıyı S ile gösterelim. İstenen durumlar KMS, KSM, MKS, MSK, SMK, SKM olup 6 durum söz konusudur. Bu durum aslında KMS harflerinin farklı dizilişlerinin sayısıdır. Yani KMS harfleriyle

s( A ∩ B) s(E)

3! = 6

dir.

farklı diziliş elde edileceğinden KMS nin olasılığını bulup 6 ile çarparsak sonuca ulaşırız.

Bir zar atma deneyinde, E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, s(E) = 6 ve (A ∩ B) = {3, 5} olduğun-

s( A ∩ B) 2 1 = = s(E) 6 3

M

S

↓

↓

↓

3 4 5 1 ⋅ ⋅ = 12 11 10 22

dan zarın asal ve tek sayı olma olasılığı P( A ∩ B) =

K

İstenen olasılık 6⋅

olur.

1 3 = 22 11

olur. Doğru Seçenek A Doğru Seçenek D

Bir zar masaya atılıyor.

İçinde 4 mavi, 4 yeşil, 4 sarı bilye bulunan bir torbadan

Zarın üst yüzüne gelen sayının asal ve çift sayı olma

rastgele seçilen üç bilyenin her birinin farklı renkte

olasılığı kaçtır?

olma olasılığı kaçtır?

A)

1 3

426

B)

1 6

YGS MATEMATİK

C)

1 9

D)

1 18

E)

1 36

A)

16 55

B)

12 55

C)

4 25

D)

8 55

E)

3 25


Olasılık

DNA 40 Bir zar atıldığında üst yüze gelen sayının 4 ten küçük olduğu bilindiğine göre, bu sayının asal sayı olma olasılığı kaçtır? A)

1 6

B)

1 4

C)

1 3

D)

4 7

E)

2 3

Bir zar atıldığında, zarın üst yüzüne gelen sayının çift geldiği bilindiğine göre, bu sayının asal sayı olma olasılığı kaçtır? A)

1 6

B)

1 4

C)

3 7

D)

3 7

E)

1 3

Çözüm 4 bayan, 3 erkek yüzücü ve 5 bayan, 12 erkek paraşütçü arasından rastgele bir kişi seçilecektir. Seçilen kişinin bayan olduğu bilindiğine göre, yüzücü

Bir zar atıldığında,


E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} olur. Zarın üst yüzüne gelen sayının 4’ten küçük bir sayı geldiği bilindiğine göre,

A)

1 6

B)

5 24

C)

3 8

D)

4 9

E)

5 9

B = {1, 2, 3} olur. Asal sayı gelme olayı ise A olsun.

DNA 41

Buna göre, A = {2, 3, 5} tir.

Bir kapıyı içinde 6 anahtar bulunan bir anahtarlıktan

A ∩ B = {2, 3} olacağından P( A ∩ B) =

sadece ikisi açabilmektedir.

s( A ∩ B) 2 = ve s(E) 6

P(B) =

Bu kapıyı açmayı deneyen birinin ikinci denemesinde kapıyı açma olasılığı kaçtır? A)

s(B) 3 = s(E) 6

1 5

B)

4 15

C)

3 10

D)

2 5

E)

9 10

olur. 2 P( A ∩ B) 6 2 P( A / B) = = = tür. 3 3 P(B) 6

s(A ∩ B) = 2 ve s(B) = 3 olduğundan

Çözüm Kapı ikinci denemede açıldığına göre ilk denemede açıl2 madı demektir. İlk denemede kapının açılma olasılığı , 6 4 açılmama olasılığı dır. Açılmadığına göre yanlış anah6 tarlardan biri elendi demektir. Geriye 3 yanlış 2 doğru anahtar kaldı.

P( A / B) =

s( A ∩ B) 2 = s(B) 3


O halde aradığımız cevap, 4 2 8 4 ⋅ = = tir. 6 5 30 15 Doğru Seçenek B

YGS MATEMATİK

427

Olasılık


Çözüm Bir kapıyı içinde 5 anahtar bulunan bir anahtarlıktan sadece ikisi açabilmektedir.

üçgenlerin sayısını bulalım.

Bu kapıyı açmayı deneyen birinin ikinci denemesinde kapıyı açma olasılığı kaçtır? 1 A) 5

4 B) 15

d1 ve d2 doğrusu üzerindeki noktalarla oluşturulacak tüm

3 C) 10

2 D) 5

9 E) 10

d1 doğrusu üzerinde bir nokta seçersek d2 doğrusu üzerinde iki nokta seçmeliyiz. Ya da d2 doğrusu üzerinde bir nokta seçersek d1 doğrusu üzerinde iki nokta seçmeliyiz. O halde oluşacak tüm üçgenlerin sayısı  4 6  4 6 6⋅5 4⋅3 + ⋅6  ⋅  +  ⋅  = 4⋅ 2 2  1  2   2   1 = 60 + 36 = 96 dır.

Bir kapıyı içinde 6 anahtar bulunan bir anahtarlıktan sade-

Sadece bir köşesi d1 doğrusu üzerinde olan üçgen sayısı,  4 6 6⋅5 = 60  ⋅  = 4⋅ 2  1  2

ce ikisi açabilmektedir. Bu kapıyı açmayı deneyen birinin en çok ikinci denemesinde kapının açılma olasılığı kaçtır? A)

1 5

B)

4 15

C)

3 10

D)

3 5

E)

9 10

olur. Buradan, istenen cevap, İstenen durum sayısı 60 5 = = Tüm durumların sayısı 96 8 bulunur. Doğru Seçenek C

DNA 42

Birbirine paralel olan d1 ve d2 doğrularından, d1 doğrusu üzerindeki 4 nokta ve d2 doğrusu üzerindeki 6 nokta ile mümkün olan bütün üçgenler oluşturuluyor. Oluşan üçgenlerden rastgele seçilen birinin yalnızca bir köşesinin d1 doğrusu üzerinde olma olasılığı kaçtır? A)

3 8

428

B)

1 2

YGS MATEMATİK

C)

5 8

D)

3 4

E)

7 8

Birbirine paralel olan d1 ve d2 doğrularından, d1 doğrusu üzerindeki 5 nokta ve d2 doğrusu üzerindeki 4 nokta ile mümkün olan bütün üçgenler oluşturuluyor. Oluşan üçgenlerden rastgele seçilen birinin yalnızca bir köşesinin d1 doğrusu üzerinde olma olasılığı kaçtır? A)

1 7

B)

3 8

C)

3 7

D)

5 8

E)

3 4


Olasılık

5.

TEST - 4

Telefon numaralarının 0,1 veya 9 ile başlamadığı ve yedi basamaklı olduğu bir ülkede bir telefon numarasının 5 ile bölünebilme olasılığı kaçtır?

1.

E = {a, b, c, d} örnek uzayı için;

P(a) = 3 ⋅ P(b)

P(b) = 3 ⋅ P(c)

P(c) = 3 ⋅ P(d)

A)

B)

1 5

C)

1 4

D)

1 3

E)

1 2

E)

11 16

olduğuna göre, P(d) kaçtır? A)

1 40

B)

3 40

C)

9 40

D)

27 40

E)

1 4

6.

Bir zar peşpeşe üç kez atılıyor.

En az bir kez yazı gelmesi olasılığı kaçtır? A)

2.

P(A) = 0,9

P(B) = 0,6

1 6

1 8

B)

3 8

C)

5 8

D)

7 8

olduğuna göre, P(A ∩ B) nin en küçük değeri kaçtır? A) 0,3

B) 0,4

C) 0,5

D) 0,6

E) 0,8

7.

İçinde aynı büyüklükte 6 siyah, 4 beyaz, 2 kırmızı top bulunan torbadan alınan iki topun aynı renkli

3.

olma olasılığı kaçtır? {1, 2, 3, ..., 25}

A)

kümesinden seçilen bir sayının 6 ya bölündü-

1 2

B)

1 3

C)

1 4

D)

1 5

E)

1 6

ğünde 1 kalanını verme olasılığı kaçtır? A)

1 4

B)

1 5

C)

1 6

D)

1 8

E)

1 25

4.

Bir zar üç kez atılıyor.

8.

Bir torbada 3 mavi ve 4 kırmızı top vardır.

Üstte okunan sayıların toplamının 6 olma olasılı-

Bu torbadan aynı anda alınan iki topun farklı

ğı kaçtır? A)

5 1 B) 108 36

renkli olma olasılığı kaçtır? C)

7 108

D)

2 27

E)

1 12

A)

2 7

B)

3 7

C)

4 7

D)

4 9

YGS MATEMATİK

E)

5 14

429

Olasılık

9.


İçinde 1 den 10 a kadar numaralandırılmış 10 kart

13. Ahmet

ve Mehmet’in bir hedefi ilk atışta vurma 1 1 olasılıkları sırasıyla ve olduğuna göre, ikisi3 4 nin birden birer atış yaptıktan sonra hedefin vu-

bulunan torbadan çekilen bir karttaki numaranın çift sayı olması durumunda 3 e bölünebilme olasılığı kaçtır? 1 A) 2

1 B) 3

1 C) 4

1 D) 5

rulmuş olma olasılığı kaçtır?

1 E) 6

A)

1 2

B)

1 3

C)

1 4

D)

1 5

E)

1 6

10. 1 den 10 a kadar olan (1 ve 10 dahil) sayılardan rastgele seçilen farklı iki sayının toplamının tek sayı olması olasılığı kaçtır? A)

1 9

B)

4 9

C)

5 9

D)

5 18

E)

14. Üç


11 18

11. Bir sınıfta 5 i sarışın olmak üzere 20 kız, 6 sı sarışın olmak üzere 30 erkek öğrenci vardır.

A)

A)

kaçtır? 5 11

B)

6 11

C)

7 22

D)

B)

1 4

C)

1 6

D)

1 8

E)

1 12

nin kız olma olasılığı kaçtır?

şın olduğu bilindiğine göre, erkek olma olasılığı

A)

1 2

15. Üç çocuklu bir ailenin çocuklarından en az ikisi-

Bu sınıftan rastgele seçilen bir öğrencinin sarı-

çocuklu bir ailenin üç çocuğunun da erkek

9 22

E)

1 2

B)

1 4

C)

1 6

D)

1 8

E)

1 12

9 44

16. 6 kırmızı, 4 beyaz, 8 mavi top bulunan bir torbadan çekilen top geriye atılmaksızın art arda 3 top çekiliyor.

12. Dört evli çift arasından iki kişi seçilecektir.

Çekilen toplardan en az birinin kırmızı olma olasılığı kaçtır?

Seçilecek iki kişinin evli çift olma olasılığı kaç-

tır? A)

1.A

430

1 7 2.C

B)

2 7

3.B

YGS MATEMATİK

C)

4.A

3 7 5.B

D)

4 7

6.D

E)

7.B

5 7

8.C

9.D

A)

149 204

B)

D) 10.C

77 102

11.B

25 34

12.A

E) 13.A

14.D

C)

51 68

91 135 15.A

16.A


Olasılık

TEST - 5 1.

5.

Bir madeni para 4 defa atılıyor.

En az iki kez yazı geldiği bilindiğine göre, üç kez yazı bir kez tura gelmiş olma olasılığı kaçtır?

İki zar atıldığında üst yüze gelen sayıların çarpı-

A)

mının çift sayı olma olasılığı kaçtır? A)

2.

1 4

B)

1 2

C)

3 4

D)

7 36

E)

B)

1 3

C)

D)

2 3

E)

Bir zar ile bir madeni para birlikte atılıyor.

Paranın tura ve zarın çift sayı gelme olasılığı kaç-

B)

1 3

C)

1 4

D)

1 5

D)

5 16

E)

1 4

Paranın tura veya zarın 4 ten büyük gelme olasılığı kaçtır? 5 6

B)

2 3

C)

3 4

D)

1 3

E)

1 4

7.

Üç zar birlikte bir masaya atılıyor.

Zarların üst yüzüne gelen sayıların üçünün de farklı gelme olasılığı kaçtır? A)

tır? 1 2

2 8

3 4

3.

A)

C)

Bir madeni para ile bir zar birlikte atılıyor.

A) 3 8

4 11

6.

gelme olasılığı kaçtır? 1 4

B)

5 36

Üç madeni para havaya atıldığında 2 yazı, 1 tura

A)

5 11

E)

125 25 B) 216 36

C)

1 6

D)

5 9

E)

5 54

1 6

8.

Yüzleri 1 den 6 ya kadar numaralandırılmış bir hileli zarda her sayının gelme olasılığı bu sayı ile doğru

4.

Bir madeni para 4 defa atılıyor.

Bu atışlardan en az birinin yazı gelme olasılığı

orantılıdır.

kaçtır? A)

1 16

Bu zar peşpeşe 2 kez atıldığında, ikisinin de 6 gelme olasılığı kaçtır?

B)

5 16

C)

7 16

D)

11 16

E)

15 16

A)

8 49

B)

1 7

C)

6 49

D)

4 49

YGS MATEMATİK

E)

3 49

431

Olasılık


9.

Bir zar ard arda 3 kez atılıyor.

13. Bir zarın 3 yüzü beyaz, 2 yüzü siyah, 1 yüzü de mavi

Bu atışların ikisinde 4, birinde 6 gelme olasılığı

kaçtır? A)

1 6

renklidir.

B)

1 18

C)

1 36

D)

1 72

E)

Bu zar 3 kez atıldığında üst yüzüne gelen renklerin üçünün de farklı olma olasılığı kaçtır?

1 108

A)

1 2

B)

1 3

C)

1 6

D)

1 9

E)

1 12

14. Bir torbada 2 kırmızı, 2 beyaz ve bir sarı top bulunmaktadır. Torbadan çekilen top geri bırakılmaksızın

10. İki zar bir masaya atılıyor.

ardarda 2 tane top çekiliyor.

Zarların üst yüzüne gelen sayıların farklı olduğu

İkinci çekilen topun sarı olma olasılığı kaçtır?

bilindiğine göre, bu sayıların toplamının 8 olma A)

olasılığı kaçtır? A)

1 10

B)

4 15

C)

1 9

D)

1 6

E)

1 2

B)

1 4

C)

3 5

D)

2 5

E)

1 5

2 15

1 olan hileli bir madeni para 3 ile hilesiz bir madeni para düzgün bir zemine birlikte

15. Tura

gelme olasılığı

atılıyor.

11. İki zar bir masaya atılıyor.

İkisinin de yazı gelme olasılığı kaçtır? A)

Zarların üst yüzüne gelen sayıların farklı olma

1 2

B)

1 3

C)

1 4

D)

1 5

E)

1 8

olasılığı kaçtır? A)

6 7

B)

5 6

C)

5 7

D)

2 3

E)

4 7

16. Hileli bir zar üst yüzünde 1 sayısı varken atıldığında 1 olmaktadır. Üst yüzünde 1 sayı3 sı yokken atıldığında bütün sayıların gelme olasılık6 gelme olasılığı

ları eşittir.

12. Bir zar ve iki madeni para birlikte atılıyor.

peşpeşe atan ve hileyi bilen birinin her iki seferde de 6 atma olasılığı kaçtır?

Zarın üst yüzüne gelen sayının asal ve paralardan en az birinin yazı gelme olasılığı kaçtır? A) 1.C

432

1 4 2.C

B)

3 8

3.C

YGS MATEMATİK

C) 4.E

1 2 5.B

D)

5 8

6.B

Bu zarı, bir kez zara bakarak bir kez de bakmadan

E) 7.D

3 4

(Zarı atan kişi, zarın 6 gelmesini istemektedir.) A)

8.D

9.D

1 36

10.E

B) 11.B

1 18 12.B

1 9

D)

13.C

14.E

C)

19 36 15.B

E)

7 216 16.E

Ygs Matematik Genetik Kopya Kitap

Recommend Documents