WEIBULL TWO PARAMETER Dalam teori probabilitas dan statistik, distribusi weibull merupakan distribusi probabilitas yang berkelanjutan atau kontinyu. Digambarkan secara detail oleh Waloddi Weibull pada tahun 1951 meskipun pertama kali diidentifikasi oleh Frechet (1927) dan diterapkan pertama kali oleh Rosin dan Rammler (1933) untuk menggambarkan ukuran distribusi dari partikel. Terdapat dua macam distribusi weibull yang dapat digunakan, yaitu distribusi weibull dua parameter dan distribusi weibull tiga parameter. Sesuai dengan namanya distribusi weibull dua paramater mempunyai dua buah parameter: • Parameter bentuk (k) Merupakan parameter yang menggambarkan bentuk dari distribusi. • Parameter skala (λ) Merupakan parameter yang menggambarkan umur karakteristik dari alat atau komponen. Definisi Fungsi Kepadatan probabilitas atau probability density function (pdf) dari variabel acak x Weibull adalah:
Dimana k > 0 adalah parameter bentuk dan λ >0 adalah parameter skala dari distribusi. Fungsi distribusi kumulatif yang saling melengkapi merupakan fungsi eksponensial yang diregangkan. Distribusi weibull dihubungkan dengan sejumlah distribusi probabilitas yang lain, dalam keadaan tertentu, ini merupakan interpolasi antara distribusi eksponensial (k = 1) dan distribusi Rayleigh (k = 2). Jika banyaknya x adalah "time-to-failure", distribusi weibull memberikan distribusi untuk tingkat kegagalan yang sebanding dengan kekuatan waktu. Parameter bentuk, k, dapat diartikan secara langsung sebagai berikut: • Nilai k <1 menunjukkan bahwa tingkat kegagalan menurun dari waktu ke waktu. Ini terjadi jika ada yang signifikan "infant mortality", atau barang cacat gagal di awal dan laju kegagalan mengalami penurunan dari waktu ke waktu sebagai item cacat yang keluar dari populasi. • Nilai k = 1 menunjukkan bahwa tingkat kegagalan konstan dari waktu ke waktu. Hal ini mungkin menunjukkan adanya random external events menyebabkan kematian atau kegagalan. • Nilai k> 1 menunjukkan bahwa laju kegagalan meningkat seiring dengan waktu. Hal ini terjadi jika ada proses "aging", atau bagian yang lebih cenderung gagal seiring dengan berjalannya waktu. Properties Density Function (Fungsi kepadatan) Fungsi kepadatan dari perubahan karakter distribusi weibull secara radikal sebagai k, bervariasi antara 0 dan 3, terutama dalam hal
perilakunya dekat x = 0. Untuk k <1 kepadatan (densitas) mendekati ∞ karena x mendekati nol dan kepadatan berbentuk J. Untuk k = 1 kepadatan memiliki nilai positif yang terbatas pada x = 0. Untuk 1 2 kepadatan adalah nol dan memiliki kemiringan nol pada x = 0 dan kepadatan yang unimodal. Karena k tak terbatas, distribusi weibull menyebar ke distribusi Dirac Delta berpusat pada x = λ.
Gambar 1. Grafik Probability Density Function (pdf) (Sumber: www.wikipedia.org, 2011)
Distribution function (Fungsi Distribusi) Fungsi distribusi kumulatif untuk distribusi weibull untuk x ≥ 0, dan F (x; k; λ) = 0 untuk x < 0. Failure Rate h (atau hazard rate) diberikan oleh persamaan
Gambar 2. Grafik Cumulative Distribution Function (cdf) (Sumber: www.wikipedia.org, 2011)
Failure Rate Function (Fungsi Laju Kegagalan) Merupakan gambaran laju kerusakan atau kegagalan dalam selang waktu tertentu k −1
k t r(t) = λ k
Gambar 3. Gambar Fungsi Laju kerusakan (Sumber : Jardine, 1973)
Reliability Function (Fungsi Keandalan) Merupakan probabilitas suatu alat atau komponen dapat berfungsi sampai suatu periode t R(t)
=e
t − λ
k
Gambar 4. Fungsi Keandalan (Sumber : Ebeling, 1997)
Moments Fungsi pembangkit momen (mgf) dari logaritma dari variabel acak terdistribusi weibull diberikan oleh persamaan
dimana Γ adalah fungsi gamma. Demikian pula, fungsi karakteristik dari log X diberikan oleh
Secara khusus, raw moment n-th dari X diberikan oleh persamaan:
Rata-rata dan variasi dari suatu variabel acak weibull dapat dinyatakan sebagai:
dan
Kemiringan ditunjukkan oleh :
Kelebihan kurtosis ditunjukkan oleh:
Dimana Γi = Γ (1 + i / k). Kelebihan kurtosis juga dapat ditulis sebagai:
Moment Generating Function Berbagai persamaan tersedia untuk fungsi pembangkit momen dari X itu sendiri. Sebagai rangkaian daya, karena raw moment yang sudah diketahui, maka:
Sebagai alternatif, dapat mencoba untuk berhubungan langsung dengan integral
Jika parameter k diasumsikan menjadi bilangan rasional, dinyatakan sebagai k = p / q, dimana p dan q adalah bilangan bulat, maka integral ini dapat dievaluasi secara analitis. Dengan t diganti dengan-t, seperti berikut:
di mana G adalah G-fungsi Meijer . Information Entropy Informasi Entropi ditunjukkann oleh
dimana γ adalah konstanta Euler-Mascheroni Weibull Plot Goodness-of-fit dari data untuk distribusi weibull dapat dinilai secara visual menggunakan plot weibull . Weibull Plot adalah plot dari fungsi distribusi empiris kumulatif
dari data pada sumbu khusus
dalam jenis plot Q-Q. Sumbunya adalah terhadap ln(x). Alasan dari perubahan variabel adalah fungsi distribusi kumulatif dapat dilinierkan menjadi:
yang dapat dilihat dalam bentuk standar dari garis lurus. Oleh karena itu jika data berasal dari distribusi weibull maka garis lurus diharapkan didapatkan plot weibull.
Ada berbagai pendekatan untuk mendapatkan fungsi distribusi empiris dari data: satu metode adalah untuk mendapatkan koordinat vertikal untuk setiap titik menggunakan
Dimana i adalah pangkat dari titik data dan n adalah jumlah titik data. Regresi linier juga dapat digunakan untuk penilaian secara numerik goodness of fit dan estimasi parameter distribusi weibull. Gradien menginformasikan secara langsung tentang parameter bentuk (k) dan parameter skala λ juga dapat disimpulkan. Kegunaan Distribusi Weibull dapat digunakan: • Dalam analisis survival • Dalam teknik keandalan dan analisis kegagalan • Dalam teknik industri untuk merepresentasikan waktu manufaktur dan pengiriman • Dalam extreme value theory • Dalam ramalan cuaca untuk menggambarkan wind speed distributions • Dalam menggambarkan ukuran partikel dari proses grinding, milling, crushing, dll. Related Distributions • Distribusi weibull memiliki parameter tambahan yaitu fungsi kepadatan probabilitas (probability density function)
•
Untuk dan f(x; k, λ, θ) = 0 untuk x < θ, dimana k > 0 merupakan parameter bentuk, , λ > 0 merupakan parameter skala dan θ merupakan parameter lokasi dari distribusi. Ketika θ=0, hal ini akan mengurangi menjadi 2 parameter distribusi. Distribusi weibull dapat dikarakteristikkan sebagai distribusi dari variable acak X
•
Standard distribusi eksponensial dengan intensitas 1. Distribusi weibull menginterpolasi antara distribusi eksponensial dengan intensitas 1/λ dimana k = 1 dan Distribusi Rayleigh dari
•
mode dimana k = 2. Distribusi weibull juga dapat digolongkan dalam terminologi distribusi uniform: jika X secara uniform didistribusikan pada (0,1), kemudian variabel random merupakan weibull yang didistribusikan dengan parameter k dan λ. Hal ini dapat menyebabkan implementasi yang mudah untuk mensimulasikan distribusi weibull.
•
•
•
•
Distribusi weibull (biasanya dalam rekayasa keandalan) merupakan “special case” dari distribusi Three-parameter Exponentiated Weibull dimana eksponen tambahan sama dengan 1. Distribusi Exponentiated weibull mengakomodasi unimodal, kurva berbentuk bathup dan tingkat kegagalan monoton. Distribusi weibull merupakan “special case” dari distribusi Generalized extreme value. Dalam hubungan ini weibull pertama kali diidentifikasi oleh Maurice Fréchet pada tahun 1927. Distribusi Fréchet terkait erat memiliki fungsi kepadatan probabilitas.
Distribusi weibull juga dapat digeneralisasi untuk distribusi 3 parameter exponentiated Weibull. Model ini terjadi ketika tingkat kegagalan system berkaitan dengan kombinasi faktor, dan dapat meningkatkan untuk suatu waktu dan menurun untuk waktu yang lain (lihat kurva bathup). Poly-Weibull Distribution adalah distribusi variabel acak yang didefinisikan sebagai beberapa variabel acak minimum dimana masing-masing memiliki distribusi weibull berbeda.
Pengujian Weibull 2 Parameter Pengujian distribusi weibul dua parameter digunakan untuk mengetahui data yang ada mengikuti pola distribusi weibull atau tidak. Salah satu metode pengujian yang digunakan adalah dengan metode Mann’s test (Ebeling;1997). Langkah-langkah dalam metode Mann’s test untuk pengujian distribusi weibull dua parameter adalah sebagai berikut: a. Menentukan hipotesis : Ho : Data kerusakan berdistribusi weibull 2 parameter H1 : Data kerusakan tidak berdistribusi weibull 2 parameter b. Hitung selang waktu antar kerusakan (ti) c. Tentukan nilai α (tingkat kesalahan), n (banyaknya data pengamatan), dan r (banyaknya data pengamatan yang tidak tersensor). d. Menghitung nilai k1 dan k2 dengan menggunakan rumus : r k1 = 2 k2 = e. Menghitung rumus:
nilai
Zi
r −1 2
masing-masing
dengan
menggunakan
i − 0,5 Z i = ln − ln1 − n + 0,25
f. Menghitung nilai Mann menggunakan rumus:
(Mi)
masing-masing
dengan
M i = Z i +1 − Z i
g. Menghitung nilai Mann (M) dengan menggunakan rumus :
k1 M=
r −1
(ln ti +1 - ln ti ) Mi i =k1 +1
∑ k1
(ln ti +1 - ln ti ) Mi i =1
k2 ∑
h. Membandingkan nilai M dengan nilai F tabel yang disesuaikan dengan derajat kebebasan.apabila nilai M < F α;v1;v2 maka Ho diterima. Estimasi Parameter Weibull 2 Parameter Setelah diketahui data mengikuti distribusi weibull 2 parameter, maka dilakukan estimasi parameter, yaitu mencari estimasi nilai λ (parameter skala) dan k (parameter bentuk). Untuk perhitungan estimasi parameter, metode yang digunakan adalah dengan pendekatan regresi linier. Misalkan t1,t2,...,tn adalah sejumlah data waktu antar kerusakan sistem yang telah disusun menurut urutan terkecil, untuk setiap ti (i=1,2,3,...,n) berlaku hubungan sebagai berikut : F ( ti ) =
i + 0,3 n + 0,4
xi = ln (ti) 1 y i = ln ln 1 − F(t i
)
Langkah selanjutnya adalah menghitung nilai intercept (a) dan slope (b), kemudian menghitung nilai λ dan nilai k dengan cara berikut :
b= a=
n ∑ x i yi − ∑ x i ∑ yi n ∑ xi − ( ∑ xi ) 2
2
∑ yi b ∑ x i − n n
k = b λ = exp −a / k Perhitungan Mean Time To Failure (MTTF) Untuk Distribusi Weibull 2 Parameter Setelah parameter dari distribusi weibull 2 parameter diketahui, maka nilai MTTF dapat dihitung. Nilai MTTF merupakan nilai yang menunjukkan selang waktu dari waktu part atau komponen mulai digunakan sampai part atau komponen mengalami kerusakan. Oleh
karena itu, nilai MTTF dapat digunakan sebagai perkiraan umur hidup part atau komponen. Perhitungan untuk nilai MTTF yaitu 1 MTTF = λ Γ1 + k
DAFTAR PUSTAKA http://en.wikipedia.org/wiki/weibull_distribution diakses pada tanggal 8 November 2011 http://elib.unikom.ac.id/files/disk1/67/jbptunikompp-gdl-s1-2006adyilhamsa-3305-bab-2-ti-a.doc diakses pada tanggal November 2011
8
http://kur2003.if.itb.ac.id/file/CN%20IF2152%20Beberapa%20Distribusi %20Peluang%20Kontinu%20II%20.pdf diakses pada tanggal 8 November 2011
