UNIDAD VI
EJERCICIOS DISTRIBUCIÓN WEIBULL
2.4 720
830 0
Estimación de Factores Vida Mínima, Factor Forma, Vida Característica, Vida Media, Vida Promedio Vida Bq
Vida Característica f(t)
= 2.4 63.2%
= 830
tiempo
Vida Media f(t)
= 2.4 52.7%
= 740
tiempo
Vida Mediana f(t)
= 2.4 50%
B50 life = 720
tiempo
Ploteando los datos usando el parámetro de ubicación •
•
El tercer parámetro de la distribución Weibull es utilizado cuando no es posible trazar una recta con los datos. Para poder utilizar el método de ploteo de probabilidad, se utiliza la siguiente formula para determinar un nuevo valor de :
T 2
T
3
T
3
•
T 2 T 2
T 2
T
2
T 1
T 1
Restar de cada dato el valor de * y plotear la correspondiente recta.
Estimación del Factor de Ubicación b
t 2
(t3 (t 3
t 2 )(t 2
t2 )
a
t1
t2
t3
tiempo
(t 2
t1 )
t1 )
Ejercicio : Ploteo de Probabilidad (con Weibull 3P) •
•
Seis ítems idénticos, están siendo probados en las mismas condiciones de aplicación y exigencia. Todos los ítems fallan durante el ensayo siguiendo los siguientes numero de horas: 48;66;85;107;125 y 152 horas.
•
Encuentre los parámetros de la distribución Weibull 3P (tres-parámetros) usando el método de ploteo de probabilidad.
Resultado: Probabilidad - W eibull 99.000
90.000
Datos ajustado por ) t ( F , d
Datos originales
γ
a d i l i
1.95 92.32
b f
i
a
50.000 n o c s e D
10.000 10.000
100.000
Tiempo, (t)
1000.000
17.26
Ejercicio: Análisis de Weibull 3P Número Falla (i)
1 2 3 4 5 6 7
Horas para la Línea Media % Falla (ti ) Acum Falla F(t )
1000 1300 1550 1850 2100 2450 3000
9.4 22.8 36.4 50.0 63.6 77.2 90.6
Estimación del factor de Ubicación Desde los datos:
t 1 t 2 t 3
t 2
(t3 (t 3
t 2 )(t2
t2 )
(t2
t1 )
t1 )
= 810 horas = 1500 horas = 4000 horas (4000 1500)(1500 810)
(4000 1500) (1500 810)
Replanteando:t i
t 1 t 2 t 3
1000 – 547 = 453 horas 1300 – 547 = 753 horas 1550 – 547 = 1003 horas, etc.
547
Ejercicio: Análisis Weibull 3P Número Falla (i)
Horas para
1 2 3 4 5 6
453
la falla ajustadas 753
1003
1303
1553
1903
Línea Media % Acum Falla F(t ) 9.4 22.8 36.4 50.0 63.6 77.2
El ajuste del tiempo para la falla es ahora lineal
Resultado: Probabilidad - Weibull 99.000
90.000
Datos C orregidos
Datos O riginales
50.000 t
) ( F , d a d i l i b a i f n o c s e D
10.000
5.000
Beta = 1.85 Eta = 1538.7 Gamma = 558.5
1.000 100.000
1000.000
Tiempo, (t)
10000.000
Ejercicio 01 La información disponible acerca de la duración de 10 controladores neumáticos, sometidos a funcionamiento continuo hasta que se produce un fallo, da los siguientes resultados expresados por su duración en meses: 1.9, 4, 5.5, 7, 8.5, 10, 12, 13.5, 19.5, 23 Se pide: a.
Calcular las probabilidades acumuladas.
b.
Determinar los parámetros de Weibull.
c.
Indicar el tipo de fallo.
d.
Calcular la probabilidad de fallo para 12 meses.
e.
Indicar cual es la duración media de vida.
f.
Determinar la desviación típica.
Solución a. Calcular las probabilidades acumuladas Las probabilidades de fallo acumuladas, para un valor de n=10, serán:
N° FALLO
TBF
F(i)
F(i) [%]
1
1.9
0.0673
6.73
Los valores de TBF están dentro del rango o escala, por lo tanto no es necesario usar escala.
2
4
0.1635
16.35
3
5.5
0.2596
25.96
Escala=1
4
7
0.3558
35.58
5
8.5
0.4519
45.19
6
10
0.5481
54.81
7
12
0.6442
64.42
8
13.5
0.7404
74.04
9
19.5
0.8365
83.65
10
23
0.9327
93.27
=
0.3 + 0.4
Solución b. Determinar los parámetros de Weibull Ubicar los puntos en el papel Weibull y trazar la línea que mejor se aproxime a la intersección de los valores.
El valor de beta ( ) se obtiene de la comparación de líneas paralelas, siendo el resultado. =1.481
El valor de Eta ( ) se obtiene de la intersección de la recta hallada con la recta de Eta y transfiriendo a la coordenada de tiempo. = 12
El valor de Gamma ( ) por ser una recta se considera. = 0
Solución c. Indicar el tipo de fallo
El valor de 1 < < 2 indica que los tipos de fallo son una mezcla entre fallos aleatorios = 1 y fallos por desgaste = 2 . Así mismo, al ser nulo el parámetro de origen, estos controladores no disponen de fiabilidad intrínseca. Finalmente el valor del parámetro de escala indica que la dispersión es baja. Por tanto, el mejor mantenimiento parece ser el preventivo sistemático.
Solución: d. Calcular la probabilidad de fallo para 12 meses La probabilidad será: •
Nótese que el tiempo para el que se a pedido el calculo (12 meses), coincide con el parámetro de escala , por lo que la probabilidad calculada (63.2%) también es un parámetro característico.
= 1
−
•
12 = 1
•
=0.632
=63.2%
−
.
Solución: e. Indicar cual es la duración media de vida
= . + = 0.9042 ∙ 12 + 0 = 10.85 El valor de A se a obtenido de la tabla de Anexo para un valor
= 1.481
Solución: f. Determinar la desviación típica
La desviación típica será:
= ∙ = 0.6212 ∙ 12 = 7.45 Donde el valor de B se a obtenido de la tabla de anexo para
= 1.481
Ejercicio 02 La información disponible acerca de la duración de 15 controladores neumáticos sometidos a funcionamiento continuo hasta que se produce un fallo, da los siguientes resultados, expresado por su duración en horas: 124, 190, 234, 276, 313, 349, 386, 420, 455, 499, 542, 588, 648, 710, 830. Se pide: a. Determinar el tipo de distribución de fallos y sus paramentos, explicando el significado de los resultados obtenidos. b. Calcular la duración media de vida, la desviación típica y la probabilidad de fallo en el valor medio. c. Si los tiempo medios de reparación siguen una distribución de Weibull con = 2, = 40, = 10ℎ, ¿Cuál es la disponibilidad media?
Solución: a. Determinar el tipo de distribución de fallos y sus parámetros, explicando el significado de los resultados obtenidos Para el ajuste de los datos se seguirá el procedimiento anterior. Para este caso se tomara en consideración usar la escala=9
FALLO
TBF
TBF'
F(i) [%]
1
124
13.78
4.55
2
190
21.11
11.04
3
234
26.00
17.53
4
276
30.67
24.03
5
313
34.78
30.52
6
349
38.78
37.01
7
386
42.89
43.51
8
420
46.67
50.00
9
455
50.56
56.49
10
499
55.44
62.99
11
542
60.22
69.48
12
588
65.33
75.97
13
648
72.00
82.47
14
710
78.89
88.96
15
830
92.22
95.45
Luego de dibujar los valores en la hoja de weibull, se obtienen los datos
= 0ℎ = ′ ∗ = 55.4 ∗ 9 = 498ℎ = 2.2
En este caso al tener un parámetro de forma superior a 2, el tipo de fallo de estos controladores es fallo por desgaste. Asimismo este tipo de fallo no disponen de fiabilidad intrínseca = 0ℎ y tienen una disposición media-alta ′ = 55.4 . A la vista de estos resultados el mejor tipo de mantenimiento será un preventivo (probablemente predictivo por el tipo de falla)
Solución: b. Calcular la duración media de vida, la desviación típica y la probabilidad de fallo en el valor medio Duracion de Vida media
= ∙ + = 0.8856 ∗ 498 + 0 = 441 Desviación típica
= ∗ = 0.4245 ∗ 498 = 212ℎ Probabilidad de fallo
=1
− −
1
−
= 1
=1
− . .
− −
= 0.535
Solucion: c. Si los tiempo medios de reparación siguen una distribución de Weibull con = , = , = =
+
Debemos calcular MTTR
= ∗ + = 0.8863 ∗ 40 + 10 = 45.5ℎ =
+
=
441 441 + 45.5
= 0.91