LA FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN DE WEIBULL EN LOS ENSAYOS DE FIABILIDAD
0. INDICE 1.
¿Por qué usamos Weibull?
1
2.
¿Qué obtenemos al aplicar el modelo de Weibull?
2
Descripción del modelo
2
4.
Representación gráfica
4
5.
Métodos de estimación de los parámetros
5
6.
Cálculos y análisis de fiabilidad a partir del Weibull
12
7.
Observ Observaci acione ones s respec respecto to la aplica aplicació ción n de la funció función n de Weibu Weibull. ll.
16
3.
1. ¿POR QUÉ USAMOS WEIBULL? El uso de la función de distribución de Weibull en los estudios de fiabil fiabilida idad d de compo componen nentes tes se debe debe princi principal palme mente nte a la gran gran divers diversida idad d de formas formas que este este model modelo o puede puede tomar, tomar, depend dependien iendo do de los valores valores de los parámetros característicos. Esto nos permite usar un mismo modelo, independientemente de en que forma varíe la tasa de fallos del componente estudiado, simplificando en gran medida la tarea de análisis de los resultados.
Si no usáram usáramos os este este model modelo, o, cualqu cualquier ier análisi análisis s de los result resultado ados s obtenidos durante el ensayo ensayo de los componentes componentes implicaría necesariamente un estudió previo de los datos, para determinar cual de los diferentes modelos existentes se asemeja más a los datos obtenidos. Esto conllevaría un mayor
1
tiempo de análisis y una mayor probabilidad de error, debido a que una mala elección del modelo implicaría implicaría dar un resultado resultado erróneo. Al aplicar Weibull, Weibull, el estudió previo de los datos se reduce únicamente a una inspección visual en busca de posibles datos anómalos que distorsionen los resultados.
2. ¿QUÉ OBTENEMOS AL APLICAR EL MODELO DE WEIBULL?
Al aplicar Weibull se obtiene la distribución de fallos del conjunto de donde proviene la muestra, únicamente ajustando los parámetros del modelo al conjunto conjunto de component componentes es ensayados ensayados.. Los parámetros parámetros característicos característicos de la función de Weibull se pueden extraer directamente de la muestra, usando para este este fin difere diferente ntes s método métodos s que que se explic explicará arán n más adelan adelante. te. Esto Esto permi permite te conseguir un modelo estadístico que representa con mayor o menor exactitud la dist distrib ribuc ució ión n de los los fallo fallos s del del conj conjun unto to o lote lote de dond donde e prov provie iene nen n los los componentes ensayados.
Al conocer la distribución de los fallos, se puede responder a preguntas del tipo: ¿ Cuantos componentes fallarán durante el primer año?, ¿ Cuanto tiempo de garantía tendrá que tener el componente para que únicamente fallen el 1% durante durante ese periodo periodo?. ?. etc.
A parte de las pregunt preguntas as anterio anteriores res,, el
modelo modelo obtenido obtenido también también permite permite responder responder a una pregunta pregunta tan importante importante para nuestro departamento como: ¿El 5% de los componentes del lote fallarán por encima o por debajo del target? que es el criterio usado par decidir si un lote es OK o NG.
3.DESCRIPCIÓN DEL MODELO La función de distribución de Wiebull es un modelo estadístico que representa la probabilidad de fallo después de un tiempo t (R(t)) en función del tiempo transcurrido o de una variable análoga. O dicho de otra manera, R(t) es
2
la probabilidad de que los componentes de un conjunto sobrevivan hasta el momento t.
Esta función de probabilidad de fallo o función de fiabilidad R(t), viene dada por:
t −γ β R (t ) = exp − α Donde γ , α
-
α
(3.1)
y β son parámetros que definen la función:
es el parámetro de escala o vida característica. Este parámetro
representa el tiempo ( o el valor de la variable análoga usada ) para el cual la probabilidad de fallo acumulada es de 63,2%. Por tanto cuando mayor sea α, mayor será el intervalo de tiempo en que se producirán los fallos.
-
γ es el parámetro de translación, y se usa cuando inicialmente, durante un periodo de tiempo T, no se producen fallos y a partir de ese instante la fiabilidad del producto se puede aproximar por la distribución de Weibull (caso γ > 0); o cuando hay fallos antes de empezar los ensayos (caso γ <0).
-
β es el parámetro de forma o perfil y determina la forma de la distribución. En la representación gráfica del modelo, este parámetro coincide con la pendiente de la recta y da una idea de la dispersión de la muestra.
A partir de R(t) se puede definir la probabilidad de que un componente falle antes del momento t, que se indica como F(t). Esta función es muy útil en el estudio de fiabilidad de componentes y se puede representar como:
F(t) = 1-R(t)
(3.2)
3
A parte de la función de distribución F(t), también se puede definir la función de densidad de probabilidad f(t), que muestra la probabilidad que tiene un componente genérico de fallar en un tiempo dado. Esta función coincide con la derivada temporal de F(t) y su expresión es:
t β ∂ F (t ) β β −1 = β t exp − f (t ) = ∂t α α
(3.3)
4. REPRESENTACIÓN GRÁFICA Una forma simple de ver la distribución de los fallos y de esta forma poder analizar y decidir sobre los resultados, es representar gráficamente la función de Weibull. Esta gráfica muestra como varia F(t) respecto al tiempo ( o en nuestro caso, el numero de ciclos ). Para representar gráficamente esta función se deben seguir los siguientes pasos:
1- Clasificar el tiempo o ciclos de cada muestra (ti) de menor a mayor. 2- Determinar los valores de probabilidad acumulada de fallo ( Fi ). Estos valores se determinan usando la siguiente formula:
Fi
i 0,5 = − n
(4.1)
Aunque otros autores dan la formula:
Fi
=
i − 0,3 n + 0,4
(4.2)
Donde: i es el número de orden de fallo y n el tamaño de la muestra.
3- Conocidos ti y Fi, se representan el en gráfico.
4
Una vez se ha hecho el gráfico, puede pasar que salga directamente una línea recta (en cuyo caso γ = 0) o que salga una curva ( γ ≠ 0 ). En este segundo caso existe un periodo de tiempo entre t = 0 y t = γ en que ningún componente falla ( si γ es positivo) o parte de las muestras fallan antes de ensayarlas (caso de γ negativo). El parametro γ es aquel valor que se le tiene que restar a todos los ti para que los puntos representados sigan una recta.
5. METODOS DE ESTIMACIÓN DE LOS PARÁMETROS Para estimar los parámetros de la función de Weibull se puede recurrir a diferentes metodos, tanto análiticos como gráficos. Estos metodos se pueden usar para calcular los parámetros de forma manual, sobre todo los gráficos, peró normalmente se usan como base para desarollar programas o aplicaciones informaticas.
De los diferentes tipos de métodos que se presentarán en este apartado, los métodos analiticos son los que dan una mejor aproximación de los parámetros. Aunque antes de usar un método analitico siempre es recomendable aplicar un método grafico, con el objetivo de encontrar una primera aproximación de los parámetros y para comprobar que estos se pueden aproximar con la función de Weibull.
5.1 Métodos gráficos Los métodos gráficos se basan en obtener los parámetros directamente con el gráfico, relacionando estos con características facilmente medibles en el gráfico. Estos métodos son los más ampliamente usados en los diferentes programas o aplicaciones informáticas que se usan para determinar la distribución de Weibull a partir de un conjunto de muestras.
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Su facilidad de implementación radica en el hecho de que únicamente es necesario disponer de un programa capaz de efectuar regresiones. Esta cualidad, que inicialmente parece una gran virtud, también es el principal de sus problemas; ja que dependiendo del tipo de regresión usada, se obtiene un resultado u otro. Esta diferencia de resultados se ve incrementada al disminuir el número de muestras ensayadas.
Grafico de (ti- ,Fi). Este método parte del gráfico que se obtiene por el procedimiento que se muestra en el punto 4. Para poder aplicar este metodo de una forma rápida es conveniente usar el papel probabilistico que se muestra en la siguiente pagina. En este papel probabilistico se representa Fi en función de ti- γ , y por regresión se obtiene una recta que representa la función de fallos de nuestro conjunto de componentes.
A continuación se muestran los pasos para determinar los diferentes parametros característicos:
-
Para estimar el parámetro β se tiene que trazar una recta paralela que pase por el centro del arco representado en el papel y que corte a este. El punto de corte de la recta paralela que hemos dibujado y el arco nos dará el valor del parámetro.
-
El parámetro α se estima usando el hecho de que este representa el tiempo para el cual la probabilidad de fallo acumulada es de 63,2%. De este modo basta con ver para que valor de ti la probabilidad de fallo es de 63,2%, y este será el valor del parámetro.
Gráfico logarítmico
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Este método consiste en encontrar una relación lineal entre F(t) y t; para ello se modifica la formula 3.1 (con γ =0) tomando logaritmos dos veces en ambos lados de tal forma que se consigue una ecuación del tipo: y = ax+b. Esto permite conseguir los parámetros característicos de una forma simple y rápida mediante una representación gráfica de la ecuación. El camino a seguir para llegar a la ecuación lineal es él que se muestra a continuación:
t β R (t ) = exp − α
(5.1)
Si se toman logaritmos en ambos lados obtenemos:
β
t LnR (t ) = − α
(5.2)
Canbiando el signo ( LnR(t)<0, devido a que R(t)<1), y volviendo a tomar logaritmos : Ln ( −LnR (t ))
= β × Ln (t ) − β × Ln (α )
(5.3)
Como se puede comprobar, a partir de esta ecuación y de su gráfica, fácilmente se pueden extraer los diferentes parámetros característicos de la distribución de Weibull. Para mayor comodidad a la hora de dibujar la ecuación, esta se modifica de la siguiente manera: Ln ( −Ln (1 − F (t ))
= β × Ln (t ) − β × Ln (α )
(5.4)
Donde F(t) se calcula con las formulas 4.1 o 4.2 dependiendo de que método se quiera seguir.
En el caso de que la gráfica presente un periodo inicial donde no se produzcan fallos (en el caso de γ >0), o que parte de las muestras fallen antes de empezar el ensayo (caso de γ <0), antes de representar gráficamente la
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ecuación se debe encontrar el parámetro γ . Para encontrar este parámetro se deben seguir los siguientes pasos:
-
Dibujar la recta (ti, Fi) tal como se indica en el apartado 4.
-
Trazar tres rectas horizontales de manera que la primera pase por el tiempo de fallada más pequeño, la segunda por el tiempo de fallada más grande y la tercera pase por el medio de las dos anteriores.
-
Encontrar los tiempos de fallo correspondientes a los puntos de corte de estas tres líneas con la gráfica. Llamaremos a estos tiempos Tm (él correspondiente a la recta menor), TI (recta intermedia) y TM (recta mayor).
-
Calcular γ con la siguiente formula:
γ = TI −
-
−TI )(TI −Tm ) (TM −TI ) − (TI − Tm ) (TM
(5.5)
Volver a representar el gráfico sustituyendo ti por ti- γ , y seguir los pasos mostrados al principio de este apartado.
5.2 Métodos analíticos Los métodos que se presentan a continuación permiten obtener una aproximación del valor de los parámetros de la distribución de Weibull, la calidad esta aproximación dependerà del método usado. Debido al hecho de que estos métodos no contemplan el caso en que γ ≠ 0 ,
inicialmente es
conveniente dibujar alguno de los gráficos anteriores para determinar el valor de γ y para comprobar que la distribución de Weibull ajusta de una forma aceptable en el comportamiento de las muestras.
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Método de la máxima versemblanza. Este método, que es el que da una mejor aproximación de los parámetros, consiste en la resolución de un sistema de ecuaciones que contiene los parámetros α y β
de forma implicita. Para obtener este sistema
de ecuaciones se parte de la hipótesis de que la muestra (aleatoria simple) proviene de una distribución de Weibull de parámetros α y β , por tanto su función de densidad de probabilidad corresponte a f(t). Por tanto, si aplicamos la función de versemblanza a esta densidad de probabilidad, obtenemos:
n
L(α , β )
= ∏ f (ti)
(5.6)
i =1
Sustituyendo en la ecuación anterior la equación 3.3 obtenemos:
β n L(α , β ) = nβ α
n
∏ ti i =1
β −1
− β n β exp − α ∑ ti i =1
(5.7)
Ahora, si tomanos logaritmos en ambos lados de la equación y buscamos los parámetros α
y β
como los valores que maximizan la función de
versemblanza, obtenemos:
n
∑ti Ln (ti ) 1 1 − − ∑Ln (ti) = 0 β n ∑ti β
n
i =1
n
i =1
β
i =1
(5.8)
1
1 n β β α = ∑ti n i =1 Debido a que este sistema de ecuaciones no tiene solución explicita, para su resolución se debe usar algun algoritmo de calculo o algun programa informático que sea capaz de resolver este sistema (p.e Microsoft Excel 3.0 o
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4.0). Como estos algoritmos piden un valor inicial de calculo, es conveniente obtener una primera aproximación de los parámetros a traves de algún método gráfico. Para resolver este sistema es conveniente comenzar por la resolución de la primera equación de tal forma que se obtenga el parámetro β
para
después calcular α con la segunda equación.
Con este método de calculo se obtienen unos valores de α y β
que al
haber sido calculados a partir de una muestra aleatoria, tienen una cierta variabilidad. En concreto estos parámetros se distribuyen siguiendo una distribución normal, y por tanto sus intervalos de confianza para un nivel de confianza δ se pueden calcular como:
α − z δ / 2 V (α )
≤ α ≤ α + z δ / 2
β − z δ / 2 V ( β )
≤ β ≤ β + z δ / 2
V (α ) V ( β )
(3.9) (3.10)
Donde :
-
Zδ
/2
es el percentil de la normal estándar correspondiente a δ /2 (Ver tabla
en cuaquier libro de estadística). 2
-
α 1,1087 V (α ) ≈ β n
-
V ( β ) ≈ α
0,2570
n
Método implicito. Este método calcula los valores de los parámetros a partir de la media y de la varianza de la muestra. Este método permite calcular α y β
de una
forma más simple que el método anterior, peró da una aproximación peor de los valores.
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Las ecuaciones de calculo son las siguientes:
α = exp x +
0,5772
β
π
β =
S 6
Donde:
n
x=
s
2
∑Ln(ti)
=
i =1
n
1
n
∑(Ln(ti) − x) n −1
2
i =1
Este método, igual que el anterior, da unos valores de los parámetros que se distribuyen siguiendo una normal. Esto implica que se puede calcular su intervalo de confianza para un nivel de confianza δ como:
β
1,049 z (1+δ ) 2 exp n α
1,081z (1+δ ) 2 exp β n
1,049 z (1+δ ) 2 ≤ β ≤ β exp n
1,081z (1+δ ) 2 ≤ α ≤ α exp β n
Estos límites de confianza son validos cuando la muestra es superior a 100 unidades.
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6. CALCULOS Y ANALISIS DE FIABILIDAD A PARTIR DEL WEIBULL.
Para calcular valores de fiabilidad o percentiles de fallo se recurre a la formula de la distribución de Weibull, sustituyendo en esta los valores de los parámetros calculados como se muestra en el apartado 5. De esta forma, para calcular los valores de fiabilidad utilizaremos la expresión:
t −γ β R (t ) = exp − α Que en caso de querer calcular percentiles de fallos pasa a ser:
t − γ β F (t ) = 1 − R (t ) = 1 − exp − α
(5.1)
En el caso de querer saber en que momento (o numero de ciclos) se habrá producido el fallo de un percentil p de las muestras, lo unico que se debe hacer es despejar de la formula anterior la variable de tiempo t. Haciendo esto, la expresión queda como:
1
tp α [ Ln( 1 p) ] β =
−
(5.2)
−
Donde tp es el momento (o el numero de ciclos) donde falla p*n componentes.
Llegados a este punto se debe destacar que la formula 5.2 es la utilizada para determinar si un lote ensayado es OK o NG, para ello se calcula el tp para un percentil del 5% (p=0,05). Si el valor de tp es superior al target el lote es OK, en caso contrario el lote es NG.
A
parte
de
los
valores
de
fiabilidad
y
percentiles
calculados
anteriormente, el analisis de la función de distribución de Weibull nos permite conocer datos importantes de nuestro proceso. En concreto, el valor del 12
parámetro β
es el que nos da más información respecto de donde se
encuentra el error (en el caso de que no se supere el target). A titulo orientativo, se puede decir:
-
Si β > 3, la variabilidad del proceso de fabricación es correcta, y el problema se encuentra en el diseño. Se tiene que rediseñar el componente.
-
Si 1,5 -2<β <3, el proceso tiene demasiada variabilidad y el problema puede venir de este. No se puede descartar problemas de diseño. Se tiene que mejorar el proceso productivo y posteriormente volver a efectuar ensayos.
-
Si β <1,5 - 2 , posibles problemas en la toma de datos o en el estudio posterior de los resultados.
Ejemplo: Tenemos un conjunto de componentes que fallan en el siguiente numero de horas: 0.22; 0.5; 0.88; 1; 1.32; 1.33; 1.54; 1.76; 2.5 y 3. A partir de estos valores se nos pide calcular los siguientes apartados:
-
% de fallos a las 3 horas.
-
tiempo en el que habrán fallado el 5% de los componentes.
Para resolver este problema, primero vamos a dibujar el gráfico (ti,Fi), para ello calculamos los valores de Fi. Como se puede ver en la siguiente tabla también se adjuntan los valores de Ln(ti), en previsión de que los necesitaremos para calcular los parámetros con el método analítico implícito.
i
ti 1
Ln(ti) 0,22 -1,51412773
Fi 0,06730769
13
2 3 4 5 6 7 8 9 10
0,5 -0,69314718 0,88 -0,12783337 1 0 1,32 0,27763174 1,33 0,28517894 1,54 0,43178242 1,76 0,56531381 2,5 0,91629073 3 1,09861229
0,16346154 0,25961538 0,35576923 0,45192308 0,54807692 0,64423077 0,74038462 0,83653846 0,93269231
A continuación se muestra el gráfico de los resultados con la recta de regresión que aproxima los puntos:
1,2 1 d l 0,8 i t n 0,6 e c r e 0,4 p
0,2 0 0
1
2
3
4
horas
Si aplicamos las formulas del método implícito para el calculo de los parámetros, se obtiene:
n
x= s
2
∑Ln(ti) =0.1236
=
i =1
n 1
n
∑( Ln(ti) − x) n −1
2
=0.589
i =1
14
β =
π S 6
=1.67
α = exp x +
0,5772
β
=1.59
γ = 0
Si se aplican los métodos gráficos sobre la recta obtenida por regresión a partir de los datos, se puede ver que los valores obtenidos para α y β
coinciden practicamente con los obtenidos analiticamente.
A continuación, para contenstar a las preguntas del ejemplo, se van a aplicar las formulas 3.1 y 5.2.
t − γ β = 0,96 % de fallos a las 3 horas = F (t ) = 1 − R(t ) = 1 − exp − α Tiempo en el que habrán fallado el 5% de los componentes:
1
t 0, 05
= α [ − Ln(1 − 0,05) ] β
= 0,268 horas
En caso de tener un target (definido al F(t)5%), se tendría que comparar el valor obtenido con el valor del target. Si el target es menor que 0,268 horas, significa que en el target habrá menos del 5% de fallos, y por tanto el lote es OK. Por el contrario, si el target es superior a 0,268 horas, significa que en el target habrá más del 5% de fallos, y por tanto el lote es NG.
7. OBSERVACIONES RESPECTO LA APLICACIÓN DE LA DISTRIBUCIÓN DE WEIBULL.
15
Hasta este momento se ha explicado que es la distribución de Weibull y las ventajas que implica su aplicación en los estudios de fiabilidad, pero en la práctica, la aplicación de este método conlleva un conjunto de problemas que se van a tratar a lo largo de este apartado.
Durante la aplicación de la distribución de Weibull podemos encontrar problemas de dos tipologías diferentes: los originados por la variabilidad de los resultados, debido a que estamos trabajando con datos estadísticos, y los que son producto de las diferencias en el método de calculo usado.
Problemas de variabilidad. Los problemas que tienen su origen en la variabilidad de los resultados numéricos se deben principalmente al hecho de que estamos trabajando con resultados estadísticos, y por tanto su nivel de confianza dependerá en gran medida del numero de muestras ensayadas. En nuestro caso, usualmente se trabaja con los resultados de tres o cuatro muestras, y si se tiene en cuenta que la mayoría de libros de estadística recomiendan tamaños entre 10 y 13 muestras para conseguir resultados fiables, es fácil darse cuenta que los resultados obtenidos no siempre se correspondan con la realidad. Esta problemática de pone de manifiesto en el siguiente ejemplo:
Ejemplo:
Se tiene un conjunto de componentes que han roto a los siguientes ciclos: 115000, 88360 y 338130 (caso real con target de 85000). Si aplicamos el Weibull (en este caso se ha usado el paquete estadístico Minitab) obtenemos el siguiente resultado:
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Weibull Probability Plot for C1 99 95 90
Shape:
1.74707
Scale:
204656
80 70 60 50 40
t 30 n e c r 20 e P 10
5 3 2
1 1000
10000
50000
100000
500000
1000000
Data
Shape: Scale:
1.74707 204656
Percentile Estimates
P
95% CI 95% CI Approximate Approximate Percentile Lower Limit Upper Limit 0.01 0.02 0.03 0.04
14706 21931 27741 32804
1083 2258 3473 4716
199768 212972 221568 228177
0.05
37384
5981
233663
0.06 0.07 0.08 0.09 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 0.91 0.92 0.93 0.94
41621 45598 49370 52976 56444 86729 113436 139330 165927 194668 227598 268734 329877 338434 347813 358222 369964
7265 8567 9886 11219 12567 26765 42196 58866 76844 96248 117307 140612 168298 171562 174988 178614 182494
238425 242680 246561 250156 253526 281033 304955 329782 358279 393726 441586 513597 646587 667617 691326 718439 750018
17
0.95 0.96 0.97 0.98 0.99
383503 399602 419669 446794 490521
186711 191397 196788 203384 212634
787714 834298 894983 981516 1131572
Como se puede ver en los resultados que da el Minitab, el valor de los ciclos al 5% (0,05) es de 37384 y por tanto el lote sería NG. Pero si miramos los valores que da el programa como extremos del intervalo de confianza donde se encuentra F(t),5% con un nivel de confianza del 95%, estos son: 5981 y 233663. Por lo tanto, teniendo en cuenta que el target es de 85000 ciclos, no podemos asegurar que el lote sea NG, ni tampoco que sea OK.
Problemas de calculo. A parte del problema de la variabilidad de los resultados, nos encontramos con un problema a la hora de obtener estos resultados. Como se ha visto en el apartado 5 existen diferentes métodos para estimar los parámetros característicos de la función de Weibull, e incluso dentro de un mismo método hay diferencias dependiendo del algoritmo de calculo que se use (métodos analíticos) o del tipo de regresión (métodos gráficos). Esto implica que para un mismo conjunto de valores se pueden obtener diversos resultados diferentes; esta diferencia puede hacer que un mismo lote salga OK o NG dependiendo de quien lo calcule.
Aunque estas diferencias entre métodos se dan en todos los cálculos efectuados, estas se van incrementando a medida que aumenta la dispersión de la muestra y cuando aparecen valores que difieren del resto (sin ser anomalías). También es conveniente destacar que este problema se ve incrementado por el hecho de disponer de pocas muestras, ja que en el límite todos los métodos llevan a un mismo resultado. Estas diferencias y la tendencia que tienen al aparecer valores que distan del resto se puede comprobar con el siguiente ejemplo:
Ejemplo: 18
A continuación se van a efectuar los cálculos para determinar si un lote es OK o NG con dos conjuntos de muestras diferentes:
-
Muestra: 350000, 325000, 300000 y 100000 con target de 100000
Para calcular el número de ciclos que produce un 5% de fallos y el parámetro
β (pendiente) se utilizan dos programas: -
Programa 1: hoja de Excel basada en el método implícito.
-
Programa 2: Minitab
Los resultados obtenidos se pueden ver en la siguiente tabla:
F(t),5% Excel Minitab
79261 123257
OK/NG 2,16 3,3
NG OK
Como se puede comprobar, los resultados obtenidos por los diferentes métodos tienen grandes diferencias. Estas diferencias son tan importantes, que en el caso de tratarse de un ensayo real, el resultado del informe variaría: dando por bueno un lote malo o al revés.
Una cosa que cabría destacar del ejemplo anterior, es que la diferencia de resultados se ha visto aumentada por el hecho de haber un valor que difiere mucho del resto, y que los valores “normales” están muy juntos. Si repetimos los cálculos con un conjunto de valores reales sin grandes anomalías, podemos ver que el error cometido es bastante menor (ver siguiente ejemplo):
Ejemplo:
19
Queremos hacer lo mismo que en el ejemplo anterior pero con la siguiente muestra: 343000, 502000 y 381000. Los resultados se muestran la siguiente tabla:
F(t),5% Excel Minitab
279134 276000
6,5 6,4
Como puede verse el error cometido es menor y los resultados de ambos son completamente comparables.
Para resolver este problema de la variación de resultados con respecto al programa o método de cálculo usado, sería conveniente definir un único programa para todos. Esto permitiría
extraer unos resultados validos para
todos y comparables entre sí.
Dentro de los diferentes programas existentes, el Minitab pasa por ser uno de los que da una solución más coherente con el tipo de lotes que aquí se ensayan. Este programa utiliza un método de regresión lineal que otorga una importancia relativa a cada punto dependiendo de su posición respecto al grupo, y por lo tanto este método es más insensible a valores anómalos. Este detalle cobra importancia en nuestro caso por el hecho de que trabajamos con pocas muestras, esto implica que si una de ellas (por el motivo que sea) falla a unos ciclos muy diferentes que el resto, esta toma mucho peso y puede dar lugar a un resultado que, al menos desde un punto de vista lógico, no es coherente con los datos del ensayo.
Estas diferencias a la hora de efectuar la regresión, se pueden ver en los siguientes
gráficos.
Estos
gráficos
representan
las
funciones
(ti,Fi)
correspondientes a las muestras del primer ejemplo de este apartado (350000,325000, 300000, 100000) encontrada con el Excel y con el Minitab. En ellas se puede apreciar lo dicho respecto la forma que tiene el Minitab de efectuar las regresiones y la diferencia en el resultado.
20
-
Gráfico del Excel:
0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 0
-
100000
200000
300000
400000
Gráfico del Minitab:
Weibull Probability Plot for C2 99 95 90
Shape:
3.33783
Scale:
300105
80 70 60 50 40
t 30 n e c 20 r e P 10
5 3 2
1 20000
40000
60000
80000100000
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Data
21
