Vorl g p Erddruck

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Erddruck

Lehrstuhl für Grundbau, Bodenmechanik, Felsmechanik und Tunnelbau

P Erddruck P.1 Definitionen

Das Eigengewicht des Bodens und Auflasten auf der Geländeoberfläche bewirken neben den Vertikalspannungen im Boden auch Horizontalspannungen senkrecht zur Wirkung der Last. Hier unterscheidet sich zunächst ein Boden - der als Haufwerk vieler Einzelkörner zu verstehen ist nicht von einem Feststoff - z.B. Beton, Metall, Fels etc. Über die Querkontraktion entsteht bei allen genannten Materialien bei behinderter Querdehnung eine Materialbeanspruchung senkrecht zur Lastrichtung. Erst im Zusammenhang mit nachgiebiger seitlicher Stützung wird ein wesentlicher Unterschied deutlich. Entzieht man die seitliche Bild P01.10: Probenverhalten Stützung, dann verbleibt ein Feststoff aufgrund seiner Zugfestigkeit (natürlich auch nur begrenzt im Rahmen dieser Festigkeit) als fester Körper stabil. Da ein Boden keine oder eine nur sehr geringe Zugfestigkeit aufweist, weicht er bei Entzug seitlicher Stützung aus. Bei anderer Betrachtung: Wenn (nichtbindiger) Boden in ein Gefäß oder hinter eine Wand gefüllt wird, übt er - ähnlich einer Flüssigkeit - Druck auf die Behälterwände bzw. die Wand aus. Ohne Stützung durch die Behälterwände / Wand würde der Boden seitlich ausweichen. Dennoch unterscheidet sich Boden von einer Flüssigkeit aufgrund seiner Scherfestigkeit, die ihn in die Lage versetzt, Schubspannungen aufzunehmen. In einer Flüssigkeit sind die vertikalen und die horizontalen Spannungen, bzw. die Spannungen in allen Richtungen gleich groß (hydrostatischer Spannungszustand), gerade weil Schubspannungen nicht aufnehmbar sind. Im Boden können die vertikalen und die horizontalen Spannungen voneinander in einem Maße verschieden sein, wie dies im Rahmen der Scherfestigkeit möglich ist, vgl. Vorlesung I, "Scherfestigkeit". Die zwischen einer Wandfläche und dem dahinter anstehenden Boden wirkende Kraft wird Erddruckkraft (Bild P01.20) genannt. In der Baupraxis bezeichnet man häufig sowohl die Erddruckkraft als auch die Erddruckspannung als "Erddruck", wobei die Bedeutung sich aus dem Zusammenhang bzw. aus der Dimensionsangabe ergeben muss. Die Größe des Erddrucks ist davon abhängig, welche Bewegungen zwischen Boden und Wand vor dem zu betrachtenden Zeitpunkt aufgetreten sind. Wurde die Wand gegen den Boden bewegt (oder der Boden gegen die Wand), dann ist der Erddruck größer, als wenn sich die Wand vom Boden wegbewegen konnte. Für diese Abhängigkeit des Erddrucks von der Verschiebungsrichtung besteht eine Analogie zu der möglichen Kraft, die man an einem Körper auf einer schiefen Ebene angreifen lassen kann: in einer Richtung gegen die schiefe Ebene ist sie größer als in Richtung der Falllinie, Bild P01.30.

β

x E z

δ

Ex

Bild P01.20: Erddruckkraft belastet eine Wand. Gleichzeitig stützt sie den Boden.

Bild P01.30: Überwinden von Reibung auf schiefer Ebene

Vo 27.03.08 D:\Kh\Skript_Originale_einseitig_SS08\080226_Re_VorlG-P-Erddruck.doc

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Der seitliche Druck im Boden hängt also mit der Scherfestigkeit des Materials und mit Randbedingungen der seitlichen Stützung zusammen. Bei unveränderter Geometrie einer Wand und des umgebenden Geländes gibt es so in Abhängigkeit von den Relativverschiebungen zwischen Boden und Wand einen minimalen Erddruck, aktiver Erddruck genannt, und einen maximalen Erddruck, passiver Erddruck genannt. Der minimale Erddruck kann 0 sein, wenn der Boden (oder Fels) hinter der Wand infolge einer ausreichend hohen Kohäsion auch ohne Stützung durch die Wand "steht", hinter der Wand also eine standfeste Böschung besteht. In den Anfängen der Bodenmechanik wurde als Erddruckkraft die zur seitlichen Stützung eines Erdkörpers erforderliche Kraft bezeichnet, damit dieser Körper (gerade) im Gleichgewicht ist. Zur eindeutigen Ermittlung des wirksamen Erddrucks reicht aber die Gleichgewichtsbedingung nicht aus, da die Größe und Richtung der Scherverformungen im Boden zusätzlich zu beachten ist. Die Erddruckkraft E ist das Integral der Erddruckspannungen e zwischen Wand und Boden. Wenn mit den Koordinaten x; z ein Volumenelement (dx; dz; 1) im ebenen Verformungszustand definiert wird, ergibt sich die Erddruckspannung durch Bezug der x-Komponente von E auf das Flächenelement dz⋅1:

σxx = e = ∂Ex/∂z  [kN/m2]

e = σxx

(P01.10)

 Als Begriffe Begriffe werden werden zwei Grenzfälle Grenzfälle (Bild P01.40) und ein Sonderfall unterschieden: aktiver Erddruck Ea: Minimalwert des Erddrucks; Aktionskraft bei nachgebender Stützfläche; historisch oft auch nur "Erddruck" genannt. Die Wandbewegung lässt eine Entspannung des Bodens zu. Erdwiderstand Ep, auch "passiver Erddruck": Reaktionskraft eines Erdkörpers bei Zusammendrückung; Maximalwert des Erddrucks bei Bewegung der Wand gegen den Boden. Erdruhedruck E0: Erddruckkraft eines ungestörten Erdkörpers, wobei der ungestörte Zustand dadurch definiert ist, dass die Bodenteilchen nach ihrer Sedimentation im Halbraum Bild P01.40: aktiver und passiver Erddruck keine Relativverschiebungen zueinander mehr erlitten haben; entsteht z.B. durch Auffüllung eines Bodens hinter einer unverschieblichen Wand. -

-

-

Weitere Begriffe sind: -

-

-

-

erhöhter aktiver Erddruck: ein Erddruck zwischen dem aktiven Erddruck und dem Erdruhedruck; trifft bei unvollständigen Entspannungsbewegungen auf; Ea,erh = f (vh) mobilisierter Erdwiderstand: ein Erddruck zwischen dem Ruhedruck und dem passiven Erddruck, der bei begrenzten Verformungen einer Wand gegen den Boden auftritt; Ep,mob = f (vh) Verdichtungserddruck: Wenn hinter einer Wand Boden eingebaut und mit Geräten verdichtet wird, verspannt sich der eingebaute Boden zwischen der Wand und dem seitlich anstehenden Boden. In einem begrenzten Tiefenbereich liegt dann der Erddruck oberhalb des Erdruhedrucks; abhängig von Energieeintrag und Arbeitsraumbreite Siloerddruck: In einem engen Silo beeinflussen Wandreibungskräfte die Abtragung der vertikalen Kräfte, was im Vergleich zu Erddruckkräften hinter einer einfachen Wand zu reduzierten Erddruckkräften führt.

In der Regel wirken Ea, Ea,erh, Ep,mob und Ep nicht senkrecht auf eine betrachtete Stützfläche, sondern bilden mit der Flächennormalen einen Erddruckneigungswinkel

δa  bzw. δp, der bei optimaler Verzahnung mit der Wand maximal den Rei-

bungswinkel ϕ' des Bodenmaterials annehmen kann.

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Erddruck

Der seitliche Druck im Boden hängt also mit der Scherfestigkeit des Materials und mit Randbedingungen der seitlichen Stützung zusammen. Bei unveränderter Geometrie einer Wand und des umgebenden Geländes gibt es so in Abhängigkeit von den Relativverschiebungen zwischen Boden und Wand einen minimalen Erddruck, aktiver Erddruck genannt, und einen maximalen Erddruck, passiver Erddruck genannt. Der minimale Erddruck kann 0 sein, wenn der Boden (oder Fels) hinter der Wand infolge einer ausreichend hohen Kohäsion auch ohne Stützung durch die Wand "steht", hinter der Wand also eine standfeste Böschung besteht. In den Anfängen der Bodenmechanik wurde als Erddruckkraft die zur seitlichen Stützung eines Erdkörpers erforderliche Kraft bezeichnet, damit dieser Körper (gerade) im Gleichgewicht ist. Zur eindeutigen Ermittlung des wirksamen Erddrucks reicht aber die Gleichgewichtsbedingung nicht aus, da die Größe und Richtung der Scherverformungen im Boden zusätzlich zu beachten ist. Die Erddruckkraft E ist das Integral der Erddruckspannungen e zwischen Wand und Boden. Wenn mit den Koordinaten x; z ein Volumenelement (dx; dz; 1) im ebenen Verformungszustand definiert wird, ergibt sich die Erddruckspannung durch Bezug der x-Komponente von E auf das Flächenelement dz⋅1:

σxx = e = ∂Ex/∂z  [kN/m2]

e = σxx

(P01.10)

 Als Begriffe Begriffe werden werden zwei Grenzfälle Grenzfälle (Bild P01.40) und ein Sonderfall unterschieden: aktiver Erddruck Ea: Minimalwert des Erddrucks; Aktionskraft bei nachgebender Stützfläche; historisch oft auch nur "Erddruck" genannt. Die Wandbewegung lässt eine Entspannung des Bodens zu. Erdwiderstand Ep, auch "passiver Erddruck": Reaktionskraft eines Erdkörpers bei Zusammendrückung; Maximalwert des Erddrucks bei Bewegung der Wand gegen den Boden. Erdruhedruck E0: Erddruckkraft eines ungestörten Erdkörpers, wobei der ungestörte Zustand dadurch definiert ist, dass die Bodenteilchen nach ihrer Sedimentation im Halbraum Bild P01.40: aktiver und passiver Erddruck keine Relativverschiebungen zueinander mehr erlitten haben; entsteht z.B. durch Auffüllung eines Bodens hinter einer unverschieblichen Wand. -

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Weitere Begriffe sind: -

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erhöhter aktiver Erddruck: ein Erddruck zwischen dem aktiven Erddruck und dem Erdruhedruck; trifft bei unvollständigen Entspannungsbewegungen auf; Ea,erh = f (vh) mobilisierter Erdwiderstand: ein Erddruck zwischen dem Ruhedruck und dem passiven Erddruck, der bei begrenzten Verformungen einer Wand gegen den Boden auftritt; Ep,mob = f (vh) Verdichtungserddruck: Wenn hinter einer Wand Boden eingebaut und mit Geräten verdichtet wird, verspannt sich der eingebaute Boden zwischen der Wand und dem seitlich anstehenden Boden. In einem begrenzten Tiefenbereich liegt dann der Erddruck oberhalb des Erdruhedrucks; abhängig von Energieeintrag und Arbeitsraumbreite Siloerddruck: In einem engen Silo beeinflussen Wandreibungskräfte die Abtragung der vertikalen Kräfte, was im Vergleich zu Erddruckkräften hinter einer einfachen Wand zu reduzierten Erddruckkräften führt.

In der Regel wirken Ea, Ea,erh, Ep,mob und Ep nicht senkrecht auf eine betrachtete Stützfläche, sondern bilden mit der Flächennormalen einen Erddruckneigungswinkel

δa  bzw. δp, der bei optimaler Verzahnung mit der Wand maximal den Rei-

bungswinkel ϕ' des Bodenmaterials annehmen kann.

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P.2 P.2 Physikalische Ursache Ursache

Lockergesteine sind Systeme von Partikeln mit relativ schwachen Kohäsionskräften (Gegensatz: Festkörper), deren innere Kräfte durch Druck- und Schubkräfte in einzelnen Kontaktpunkten übertragen werden. Für das Beispiel des trockenen Sandes zeigt Bild P02.10 das Gedankenmodell einer "Kugelschüttung". Darin ist selbst bei alleiniger Wirkung der vertikalen Eigengewichtskräfte ein Gleichgewicht nur bei Ansatz von Stützkräften E möglich - falls nicht zufällig alle Kugelschwerpunkte lotrecht über Kontaktpunkten stehen. Bei geringem Nachgeben der Stützung in diesem Kugelschüttungsmodell kommt es zu Rotationen oder Gleitungen zwischen den Körnern, die je nach Anordnung der Körner kinematisch möglich (Bild P02.20 mit 4 rotierenden Scheiben) oder blockiert ist (z.B. bei 3 Scheiben in gegenseitigem Kontakt). Bei diesen (blockierten) Rotationen - und für den Fall anderer Körper auch Gleitungen - entsteht Kontaktreibung (siehe Kapitel I, "Scherfestigkeit"), außerdem ein Strukturwiderstand, da die Körner nicht perfekt rund sind und gegenseitig verhaken. Dies führt bei einer Expansion zu einer Reduzierung der Stützkräfte E und bei einem Zusammenschieben zu ihrer Erhöhung. Daher ist der Erddruck eine Funktion der inneren Reibung und der Bewegungsrichtung.

G E

E Q

Bild P02.10: Lastabtragung durch Kugelhaufen ist nur bei horizontaler Stützung möglich

Bild P02.20: rotierende Kugeln mit Kontaktreibung bei nachgebender Stützung

P.3 Erdruhedruck P.3.1 P.3.1 Erdruh edruck im Halbraum

Der eingeprägte Spannungszustand infolge der Bodenwichte γ allein lässt sich in einem geologisch ungestörten Korngefüge aus den Gleichgewichtsbedingungen nicht vollständig berechnen. Beispielsweise gilt für den ebenen Verformungszustand:

∂σzz/∂z + ∂σxz/∂x = γ ∂σzx/∂z + ∂σxx/∂x = 0  Aus Symmetriegründen sind im Halbraum σzz und σxx nicht von x abhängig. Daraus folgt, dass z und x Hauptspannungsrichtungen und die Spannungen σzz und σxx die Hauptspannungen σ1 und σ3 sind, d.h. σxz = σzx = 0 und

σzz = γ z + const 

(P03.10). Wird Boden natürlich oder künstlich in dünnen horizontalen Lagen und mit horizontaler Oberfläche so abgelagert, dass er sich dabei seitlich nicht verschiebt, dann entsteht dementsprechend in vertikaler Richtung die Eigengewichtsspannung ·

σzz = σ1 =

γ z. ·

 Aus den Gleichgewicht Gleichgewichtsbedingu sbedingungen ngen lässt sich jedoch jedoch keine Aussage Aussage über σxx(z) ableiten. Es ist aber vernünftig anzunehmen, dass auch die "Bruchsicherheit" des ungestörten Bodens konstant über x und z ist, d.h. dass σxx / σzz = bestimmte Bodenart eine Konstante ist, die als Ruhedruckbeiwert gung zu bestimmen. Sie lautet gemäß Definition:

K0 für eine

K0  bezeichnet wird. Er ist nur über eine Materialbedin-

ε xx = ε xx el + ε xx pl = 0  

(P03.20).

Setzt man für den Ruhespannungszustand in erster Näherung an, dass bei kleinen Beanspruchungsänderungen der Boden durch Elastizitätsparameter E und ν beschrieben werden kann, dann gilt

ε elxx = 0 = {σ xx − ν(σ yy + σ zz )}/ E . K0 =

ν 1- ν

 

ε xx pl = 0  und demgemäß

Daraus ergibt sich nach Umrechnung (P03.30a).

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Erddruck

Tatsächlich spielt die Elastizitätstheorie in der Erddrucktheorie eine sehr untergeordnete Rolle und die Querdehnzahl ν steht zur Ermittlung von Ko  nicht zur Verfügung. Allenfalls bei Ruhedrucküberlegungen im Festgestein können entsprechend abgeleitete Beiwerte hilfreich sein. In Fels ist andererseits zu beachten, dass Entspannungen bereits mit sehr kleinen Verformungen erreicht werden können. Entsprechend dem Modell des Kugelhaufens mit einer Reibung zwischen den Einzelkörnern und der Überlegung, dass bei der Sedimentation des Bodens, bei welcher der Ruhedruck entsteht, bereits Reibung zwischen den Körnern wirksam wird und diese auch im Ruhezustand die erforderlichen seitlichen Stützkräfte reduziert, muss ein Zusammenhang zwischen dem Reibungswinkel und dem Ruhedruckbeiwert bestehen. Aus Dreiaxialversuchen, bei denen der Zelldruck σxx = σyy  stets parallel zur Steigerung von σzz derart gesteuert wird, dass bei wachsendem σzz keine seitlichen Dehnungen auftreten.

(εxx = εyy = 0) lässt sich aus dem darin zu messenden Verhältnis Ko = σx'/ σz' in guter Näherung der erwartete Zusammenhang mit dem Reibungswinkel feststellen. Zur Beschreibung hat sich die auf JAKY (1938) zurückgehende empirische Beziehung 2

K = (1 + ⋅ sin ϕ' ) ⋅ tan (45° − 0

2

ϕ'

3

2

)

K ≈ 1 − sin ϕ'  

(P03.30b)

0

durchgesetzt und bewährt, vgl. MADER (1989). Da sich die Ruhedruck-Aussage definitionsgemäß auf das Korngerüst des Bodens bezieht, muss K0 in effektiven Spannungen definiert werden:

K0 = σxx'/σzz' 

(P03.40).

Man geht im Grundbau davon aus, dass der Erddruck, der auf eine unverschiebliche Wand wirkt, dem Erdruhedruck entspricht. Daher wird auf hinterfüllte Wände von praktisch starr gegründeten Bauwerken der Erdruhedruck angesetzt, z.B. auf gut ausgesteifte Untergeschosse von allseits eingeschütteten Gebäuden oder pfahlgegründete Brückenwiderlager. Erddruckmessungen bestätigen die dargestellte Größenordnung des Erdruhedrucks. Exakte Messungen des Erddruckes sind jedoch sehr schwierig, da eingebaute Erddruckmessdosen und stets auch weitere Versuchs-Randbedingungen das Messergebnis beeinflussen.

P.3.2 Erdruhedruck im geschich teten Halbraum

Eine Schichtgrenze ist für einen eingeprägten Spannungszustand eine natürliche Unstetigkeitsfläche (Bild P03.10). Aus Gleichgewichtsgründen ändert sich σzz an der Schichtgrenze nicht, wohl aber

σxx: σ ′xx (1) = σ ′zz (1 − sin ϕ1′ ) σ ′ (2) = σ ′ (1 − sin ϕ ′ )   xx

zz

2

wenn ϕ1′ ≠ ϕ ′2   ist.

1

σ'zz

φ'1

σ'xx (1) σ'xx (2)

(P03.50),

2

φ'2

Bild P03.10: Änderung der Ruhedruckspannung an Schichtgrenzen P.3.3 Erdru hedruc k bei geneigter Oberfläch e

Bei ansteigendem Gelände (Geländeneigung β, positiv im Sinne von Bild P01.30) wächst der Erdruhedruck. Die waagerechte Ruhedruckspannung lässt sich (NISSEN, 1969/FRANKE, 1974) angenähert beschreiben durch

σ′xx = (γ ⋅ z + p ) ⋅ (1 − sin ϕ′ ) ⋅ (1 + sin β )  

(P03.60).

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Erddruck

 Anmerkung: Da x und z hierbei nicht mehr Hauptspannungsrichtungen sind, ist auch

σ'3/σ'1 ≠ σ'xx/σ'zz.

Die Frage, ob

K0  als Hauptspannungsverhältnis (FRANKE, 1974) oder wie in Gleichung P03.60 definiert werden soll, ist unentschieden und führt oft zu Verwechslungen. P.3.4 Erdru hedruc k auf geneigte Stützfl äche

 Aus der Abbildung des Spannungszustands in der Spannungsebene, Bild P03.20, liest man ab:

σα = ½  σ'zz {(1 + K0) - (1 - K0) cos2α} τα = ½  σ'zz (1 - K0) sin2α ·

·

·

·

·

(P03.70).

·

 Aus Bild P03.20 ist erkennbar, dass es eine unter dem Winkel α  geneigte Fläche gibt, in der der Boden im Ruhespannungszustand seine maximale Scherbeanspruchung max{

τ / σ }  erhält.

Aus

∂(τα/σα)/∂α = 0 folgt cos2αm = (1 - K0) / (1 + K0). So ist z.B. für

ϕ = 30° α = 35°.

Bild P03.20: Erdruhedruck auf geneigte Wandfläche  Anmerkung: Für α < 0 unbrauchbar, weil dann

σ'zz ≠ γ z ist. ·

P.3.5 Ruhedruck im wassergesättigten Boden

Im wassergesättigten Boden ist die totale Spannung in waagerechter Richtung:

σxx = K0⋅σ'zz + u = K0⋅σzz + (1 - K0)⋅u 

(P03.80).

In nichtbindigen Böden ist, da ϕ' praktisch unabhängig vom natürlichen Wassergehalt w ist, K0 oberhalb und unterhalb des Grundwasserspiegels gleich, wenn der Porenanteil n gleich ist. Bei bindigen, voll wassergesättigten Böden wirkt sich der Grundwasserspiegel ebenfalls nicht auf

K0 aus. Bei Teilsättigung

(Sr  < 1) muss der Einfluss von Sr  auf die Scherfestigkeit im Versuch geprüft werden. Bei einer plötzlichen Spannungsänderung σzz kann in wassergesättigten Böden der dabei auftretende Porenwasserüberdruck u um den gleichen Betrag ansteigen, so dass dann

Δσxx = K0⋅Δσzz + (1 - K0)⋅Δu ≈ Δσzz 

(P03.90)

ist (KÉZDI, 1962). In Bild P03.30 sind die totalen und effektiven Spannungsbilder für den Fall gezeigt, dass in einem gesättigten, bindigen Boden eine GW-Druck-Entspannung um die Druckhöhe h vorgenommen wird. Die obere Zeile zeigt den Ausgangszustand (γ'=

γ - γw); die untere Zeile den konsolidierten Endzustand (ausgezogene Linien) und den nicht-konsolidierten Zustand nach der Druckänderung (gestrichelte Linien); die Differenz zwischen diesen Linien ist der Porenwasserdruck u, der durch den Konsolidationsvorgang abgebaut wird.

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Erddruck

GW

z

σzz

σxx

σzz’

u

σxx’

totale Spannung – Porenwasserdruck = effektive Spannung

h z

u

∆u

Bild P03.30: totale und effektive Spannungen in wassergesättigtem Boden vor und nach einer GW-Entspannung  Ausgangszustand (oben):

Endzustand (unten):

σzz = γ·z = (γ'+ γw)·z σxx = K0  γ z + (1-K0  γw z) u = γw z

σzz = γ z σxx = K0  γ z + (1-K0  γw (z-h) u = γw (z-h)

·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

P.3.5.1 Ruhedruc k im vorb elasteten Bod en

War ein Boden durch inzwischen wieder abgetragene Böden oder durch Eisüberlagerung in der Eiszeit geologisch vorbelastet, dann kann der zum Vorbelastungszeitpunkt wirksame Ruhedruck ab einer gewissen Überlagerungstiefe auch heute noch vorhanden sein. Dann besteht keine Proportionalität zwischen σxx  und σzz. Oberflächennah (Entspannungszone, Bild P03.40) ist die derart erhöhte Horizontalspannung durch das Kriterium von Mohr-Coulomb begrenzt. Eine entsprechende Verspannung des Bodens kann auch in größerer Tiefe durch Auslaugungsprozesse oder Entspannungsvorgänge im Zusammenhang mit Taleinschnitten wieder abgebaut Bild P03.40: Erdruhedruck in vorbelasteten Böden werden. Derartige eingeprägte Horizontalspannungen können vor allem im bergmännischen Tunnelbau sehr unangenehme Folgen für einen bei Nichtberücksichtigung nicht ausreichend dimensionierten Ausbau haben. Im Fall offener Einschnitte kann es Entspannungsvorgängen zu unvorhergesehenen Bewegungen kommen. Beim Bau der S-Bahn im Universitätsbereich in Stuttgart-Vaihingen werden sowohl ein Tunnelverbruch als auch Entspannungsbewegungen einer tiefen Baugrube mit Schäden an Nachbargebäuden auf den Effekt einer geologischen Vorbelastung mit verbliebenen eingeprägten Horizontalspannungen zurückgeführt.

Erddruck

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In Bild P03.40: sei "0" der Zustand vor, "1" während und "2" nach einer Vorbelastung. Durch die Entlastung von

σzz(1) auf

σzz(2) = σzz(0) besteht aktuell - bezogen auf die Spannungen σzz(2) ein Ruhespannungsbeiwert K0 ≤ K0V ≤ Kp. Untersuchungen von BRETH et al. (1978) für nichtbindige und von BELLOTTI et al. (1975) für bindige Böden deuten darauf hin, dass K0v mit der Wurzel aus dem Vorbelastungsverhältnis OCR = σv/σ zunimmt:

K 0 v = K 0 OCR

(P03.100).

P.4 Erddruck im Mohr'schen Diagramm

Ein Bodenelement hinter einer Wand habe die Vertikalspannung σzz. Im Ruhezustand beträgt die zugehörige horizontale Spannung σxx = K0 · σzz. Durch Bewegung der Wand in horizontaler Richtung lässt sich σxx vermindern und auch erhöhen. Die Grenzen der Verminderung und der Erhöhung lassen sich in der Mohr'schen Darstellung anhand von Spannungskreisen aufzeigen, welche die durch den Reibungswinkel ϕ' und die Kohäsion c' definierte Mohr-Coulomb'sche Grenz-Gerade erreichen. Dabei spielt die Wandreibung / Erddruckneigung eine Rolle, mit deren Hilfe auch die Vertikalspannung beeinflusst werden kann. Für Spannungsbereiche zwischen dem Ruhedruck und dem aktiven Erddruck sind entsprechende Spannungskreise in Bild P04.10, im Übergang zum passiven Erddruck und mit Berücksichtigung der Wandreibung in Bild P09.40, siehe Abschnitt P.9 , dargestellt.

Bild P04.10: Spannungskreise im Mohr'schen Diagramm zwischen Ruhedruck und aktivem Erddruck, Mobilisierung im Ruhezustand bei Böden ohne und mit Kohäsion

Spannungskreise, die bei den verformungsbedingten Änderungen den Grenzzustand erreichen, bilden die Zustände des aktiven bz w. des passiven Erddrucks ab. Im Mohr'schen Diagramm wird  jedoch besonders deutlich, dass alle Zwischenzustände ebenso zulässig und möglich sind. In der Praxis wird nur selten der voll mobilisierte passive Zustand erreicht, bei einer Verformung einer Wand gegen den Boden sind eher teilmobilisierte Zwischenzustände wirksam. Bis zum Erreichen des vollständig mobilisierten Erdwiderstands Bild P04.20: Erddruckbeiwert K in Abhängigkeit von der sind große Verformungen erforderlich (Bild Verschiebung v P04.20). Da der aktive Erddruck mit recht kleinen Verformungen einer nachgiebigen Wand erreicht werden kann, kann dieser Erddruck in praktischen Fällen häufig angesetzt werden.

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Erddruck

P.5 Aktiver Erddruck: Erddruck bei nachgiebiger Stützung P.5.1 Allgemeines

 Ausgehend von einem unverformten Sedimentationszustand hinter einer Wand mit dem Erdruhedruck lagern sich bei nachgebender Stützwand die Bodenteilchen um, wobei die innere Reibung zwischen ihnen mobilisiert wird. Dementsprechend nimmt die zum Halten des Bodens erforderliche Stützkraft ab, und der Erddruckbeiwert K sinkt ab. Bei ausreichend großer Verformung erreicht der Erddruckbeiwert den Grenzwert des aktiven Erddrucks Ka, siehe Bild P04.20. Er deutet darauf hin, dass nun die inneren Reaktionskräfte des Haufwerks ausgeschöpft sind und bei weiterem Ausweichen der Stützung mit einem Versagen des Haufwerks durch Bruch zu rechnen ist. Das Versagen kann auf zweierlei Weise eintreten: wenn keine kinematischen Zwangsbedingungen dem entgegenstehen, entwickelt sich im Innern des Bodens bis zur freien Oberfläche eine dünne Bruchfuge, und ein quasi monolithischer Bruchkörper gleitet auf dem Restkörper ab (Linienbruch); es entsteht ein in sich vollständig plastifizierter Bruchkörper (Flächen- oder Zonenbruch). -

-

P.5.2 Flächenbru ch nach RANKINE (1856) P.5.2.1 Bod en mit Reibung, ohne Kohäsi on

Wird im gesamten Boden hinter einer Wand, also für jedes beliebige Volumenelement, der Grenzzustand erreicht, so spricht man vom Flächenbruch, den RANKINE (1856) aufgezeigt hat. Er überträgt die in Abschnitt P.4 dargestellten, grafisch im Mohr'schen Diagramm abzulesenden Beziehungen auf ein Feld im Boden hinter einer Wand. Da überall die Bruchbedingung des ebenen Verformungszustandes

⎧ σ1 ⎫ 1 + sin ϕ' 2 ⋅ c' ⋅ cos ϕ' ⎨ σ ⎬ = 1 - sin ϕ' + σ ⋅ ( 1 - sin ϕ' )  (siehe Gleichung I06.20) 3 ⎩ 3 ⎭ f  erfüllt ist, muss der Erddruckbeiwert für den aktiven Zustand Ka gleich dem reziproken Wert dieses kritischen Hauptspannungsverhältnisses sein; hier zunächst angeschrieben für c’ = 0:

σ xx = σ 3 = K a ⋅ σ1 =

1 − sin ϕ' ⋅ σ1 = tan 2 (45° − ϕ' / 2) ⋅ σ1   1 + sin ϕ'

(P05.10).

Die charakteristischen Flächen, in denen das Verhältnis Schubspannung / Normalspannung kritisch wird, haben, siehe Bild P05.10, bezüglich der Flächenrichtung x und positiv im Uhrzeigersinn gemessen, die Richtungswinkel

ϑ1,2 = 90° m (45° + ϕ' / 2)  

(P05.20).

Man bezeichnete die kritischen Richtungen als "Gleitrichtungen" in der Annahme, dass dies auch die kinematischen Richtungen des Gleitens seien. Tatsächlich kann die Dilatanz, also die Auflockerung des Bodens in der Scherzone, zu veränderten Winkeln führen. Bei den Beziehungen von RANKINE können Erddruckneigungswinkel nicht berücksichtigt werden. Bewegungen in zwei gleichberechtigten Gleitrichtungen, wie sie beim Flächenbruch herausgehoben sind, passen zu einer Fußpunktdrehung einer Stützwand.

Bild P05.10: Flächenbruch und Darstellung im Mohr'schen Spannungskreis

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Erddruck

Mit den Differentialgleichungen des Erddrucks auch längs gekrümmter Gleitlinien hat sich zum ersten Mal der Berliner Mathematiker KÖTTER (1903) auseinandergesetzt, seine Lösung wurde von REISSNER (1924) verallgemeinert. Die RANKINE'sche Lösung ist die einzige analytische Lösung der Differentialgleichungen von KÖTTER und REISSNER, bei der beide Gleitlinienscharen Geraden sind. Sie lässt sich auch analog für den Fall eines unter ß geneigten Geländes bestimmen (siehe z.B. TERZAGHI / JELINEK, 1954), Bild P05.20.

Bild P05.20: RANKINE'scher Zustand in geneigtem Gelände (TERZAGHI / JELINEK, 1954)

Man zerlegt die Eigengewichtskraft γ z 1 eines Raumelements in ihre Komponenten normal und tangential zur Fläche ß und dividiert diese Kräfte durch die zugehörige ·

·

Fläche 1/cosβ. So ergeben sich die beiden Spannungen σβ = γ z cos2β und τβ = γ z sinβ cosβ, die im Spannungsdiagramm als Spannungspunkt B eingetragen werden. Dann konstruiert man den Spannungskreis durch B, der die Grenzgeraden tangiert, zieht von B aus die Richtung ß, um den Pol zu bekommen und kann vom Pol aus die gesuchten Gleitrichtungen eintragen. ·

·

·

·

·

P.5.2.2 Flächenbru ch im bin digen Boden

Die zuletzt dargestellten Überlegungen lassen sich sinngemäß auch auf den Fall des bindigen Bodens übertragen. Aus den geometrischen Beziehungen am Spannungskreis, Bild P05.30, folgt

sin ϕ' = (σ1 − σ 3 )/ (σ1 + σ 3 + 2 ⋅ c ′ ⋅ cot ϕ′ )

,

d.h. es ist

σ = K a ⋅ σ − 2 ⋅ c′ ⋅ 3

1

Es gibt somit eine Tiefe (mit σ1

= γ ⋅ z ),

cos ϕ′ = Ka ⋅ σ − 1 + sin ϕ′ 1

2

⋅ c' K a

 

(P05.30).

z0 = 2 ⋅ c′ / γ ⋅ K a

bis zu der Zugspannungen durch

die Kohäsion aufgenommen werden können. Grundsätzlich werden jedoch Zugspannungen im Boden nicht zum Ansatz gebracht, da eine Zugzone aufreißen kann. Bei einer Ermittlung von Erddruckspannungen beginnt der Erddruck daher bei z = z0. Im Zusammenhang mit Erddruckumlagerungen und zusätzlichem Erddruck aus Lasten an der Geländeoberfläche wird in der Regel jedoch die Kohäsion in vollem Umfang mit berücksichtigt. Wenn man die Polkonstruktion nach Bild P05.20 auf den Fall nach Bild P05.30 überträgt, ergeben sich bei geneigtem bindigem Gelände gekrümmte Gleitlinienscharen. Bild P05.30: Berücksichtigung der Kohäsion, Zugriss

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Erddruck

P.5.3 Akti ver Erddruc k nach COULOMB (1776) - Lini enbruc h P.5.3.1 Grundsätzliches

Die RANKINE´sche Theorie befasst sich mit einem seltenen Sonderfall des Erddrucks, dies ist der homogene Spannungszustand. Auch die verallgemeinerte Bruchtheorie zur Berechnung von Flächenbrüchen von KÖTTER (1903) und REISSNER (1924) hat für die praktische Erddruckberechnung nur insoweit Bedeutung, als ihre numerisch ermittelten Ergebnisse in Form von Tafeln verfügbar sind wie z.B. die VSS-Tafeln (1966). In der Praxis genügt es meist, die Erddruckkraft E, also das Spannungsintegral, zu kennen: man erfüllt dazu die Gleichgewichtsbedingungen nicht an jedem Volumenelement, sondern im Mittel über das Gesamtvolumen, wobei ein Linienbruch vorausgesetzt wird. Als Bruchfuge wird eine mathematisch einfach zu handhabende Figur, d.h. eine Gerade, ein Polygonzug aus Geraden, ein Kreis o.ä. zugrundegelegt, deren Bestimmungsstücke solange variiert werden, bis der Maximalwert des Erddrucks Ea  gefunden ist. Bild P05.40 zeigt den einfachsten Fall mit einer Ebene, bei der nur der Anstiegswinkel unbekannt ist. Der Bruch kommt hier durch eine Parallelverschiebung der Stützwand zustande. Diese Art der Erddruckberechnung geht auf COULOMB (1776) zurück. Bild P05.50 zeigt die Berechnungselemente für den Grundfall mit lotrechtem Wandrücken und ebenem Gelände. Wenn man (die Spannungsverteilung ist bei dieser Betrachtungsweise unbekannt!) annimmt, dass alle an dem Erdkeil angreifenden Kräfte Integrale von linear mit der Tiefe anwachsenden Spannungen sind, schneiden sich G, Q  und Ea  in einem Punkt (Drittelpunkt der

Bild P05.40: Erddruckermittlung bei Linienbruch auf geradliniger Bruchfläche

H

Bruchfuge), und es ist, falls δa = 0 ist (Vereinfachung):

1 γ ⋅ H2 ⋅ cot ϑa 2 E = G ⋅ tan(ϑa − ϕ ) . G=

und

Die Extremalbedingung

dE/dϑa = 0 führt auf ϑa = 45° + ϕ / 2

Bild P05.50: Schnitt und Krafteck der Kräfte in einem Punkt

und

Ea =

Ea =

1 γ ⋅ H2 ⋅ tan 2 (45° − ϕ / 2) 2

1 K a ⋅ γ ⋅ H2   mit 2

1 − sin ϕ ϕ ⎞ ⎛  K a = tan2 ⎜ 45° − ⎟ = 2 ⎠ 1 + sin ϕ ⎝ 

Der Ka-Wert ist also derselbe wie in Abschnitt P.5.2 , da dieselben Voraussetzungen gemacht werden (Bruchfläche eben; Spannungsverteilung linear; Hauptspannung waagerecht: δa= 0). Man beachte, dass die kinematische Voraussetzung bei COULOMB anders ist als bei RANKINE: die Stützwand bremst den abrutschenden Erdkeil. Dagegen gleitet der Boden bei RANKINE reibungsfrei an der Wand ab, und die für die Ausbildung des aktiven Zustands erforderliche Verschiebung v muss - bezogen auf die Keilbreite H cot ϕ - von 0 an unten bis zu einem Maximalwert oben zunehmen, damit sich der Erddruck zwängungsfrei einstellen kann (Fußpunktdrehung der Wand). ·

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Erddruck

P.5.3.2 Einfluss d er Wandreibung / des Erddruckneigungsw inkels

Die COULOMBsche Theorie lässt zu, dass an rauen Wandrückseiten Schubkräfte auftreten. Hierbei werden nur Reibungskräfte, keine Kohäsion berücksichtigt. Die in Abschnitt P.5.3.1 dargestellte Berechnung muss dazu durch Berücksichtigung eines Erddruckneigungswinkels δa modifiziert werden (in Bild P05.50 gestrichelt eingezeichnet). Er ist positiv, wenn er das Abgleiten des Bodens verhindert. Überträgt man diese geneigte Erddruckrichtung ins Krafteck, dann wird

Ea

kleiner als für δa = 0. Aber das Momentengleichgewicht ist jetzt etwas verletzt. (Schnittpunkt der Resultierenden aller Kräfte wandert nach hinten.) Die Erfüllung der Gleichgewichtsbedingungen erzwingt eine leichte Krümmung der Bruchfläche im Fußbereich der Wand, die aber in der Regel vernachlässigt wird (Bild P05.60). Bei positiver Wandreibung entsteht so ein konvexer Bruchkörper, bei negativer Wandreibung ein konkav gekrümmter. Bei vollem Verbund und ausreichender Rauigkeit der Wand kann sich ein Wandreibungswinkel δ = ϕ' ergeben. Aus Gründen der Gleitsicherheit (die hier nicht nachgewiesen wird, aber gewährleistet sein muss) setzt man in der Praxis, siehe DIN 1055 Teil 2, im Regelfall für alle Bodenarten

H

δa = 2/3·ϕ'.

Die den Erddruck vermindernde Wirkung des Erddruckneigungswinkels gilt nur, wenn der Boden an der Wand abrutscht. Wenn sich dagegen eine Wand stärker setzt als der Boden, kommt es zur Umkehrung der Wandreibung, was zu deutlichen Erddruckerhöhungen führt (Beispiel: vernagelte Spritzbetonschale, die bei Vertiefung einer Baugrube an der Unterseite freigelegt wird). P.5.3.3 Einfl uss der Koh äsion

Bild P05.60: konvexe Krümmung der Bruchfläche infolge einer positiven Wandreibung

Wenn in der Bruchfläche zusätzlich eine Kohäsionskraft C wirkt, kann sie im Krafteck nach Größe und Richtung mit eingetragen werden, ohne das Prinzip der Ableitung zu stören. Sie verletzt auch nicht das Momentengleichgewicht, weil sie durch den gemeinsamen Angriffspunkt der übrigen 3 Kräfte hindurchgeht. Aus der Extremalbedingung dE/dϑa = 0 bei Variation des Winkels ϑa ergibt sich für den Fall einer senkrechten Wand und waagrechten Oberfläche (Bild P05.60)

Ea =

1 K a ⋅ γ ⋅ H2 − 2 ⋅ c'⋅ H ⋅ K a 2

bzw. für die horizontale Komponente:

E ah =

1 K ah ⋅ γ ⋅ H2 − 2 ⋅ c'⋅ H ⋅ cos δ a ⋅ K ah . 2

P.5.3.4 Erddru ckbeiw erte für den allg emeinen Fall

Wenn man die Extremalberechnung auf den allgemeinen Fall mit geneigter Wand (α) und geneigter Oberfläche (ß) anwendet, Bild P05.70, erhält man bei unbelasteter Erdoberfläche als resultierende Erddruckkraft

Ea =

1 ⋅ K a (ϕ′, δa , α, β )⋅ γ ⋅ H2 − 2 ⋅ c′ ⋅ H ⋅ K a   2

(P05.40).

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Erddruck

In den Gleichungen P05.40 und P05.90 (siehe Abschnitt P.5.7 ) sind  Anteile zur Berücksichtigung der Kohäsion aufgeführt. Sobald

0 < α ≤ ϕ′   und 0 < β ≤ ϕ′ sind, beeinflusst die Kohäsion die Berechnung der ungünstigsten Bruchfläche (SCHMIDT, 1966). In der Praxis wird aber vereinfacht mit dem angegebenen, für

α ≠ 0;

ß = 0 und (α - δa) = 0 korrekten Wert (GUDEHUS, 1990) auch in den übrigen Fällen gerechnet. Damit wird also die waagerechte Erddruckspannung um den Betrag

2 ⋅ c ′ K ah ⋅ cos(α − δ a ) verringert. Genauere Untersuchungen mit der Methode der kinematischen Elemente zeigen, dass bei Böden mit relativ großem Kohäsions-Anteil geknickte Bruchfugen mit einer deutlichen Steigerung von Ea maßgebend werden, was in der Praxis aber wegen der Ungenauigkeit von

c' bzw. cu vernachlässigt wird.

Die Zerlegung der Erddruckkraft in einen horizontalen und einen vertikalen Anteil führt zu

Bild P05.70: Erddruck, allgemeiner Fall, Winkeldefinitionen

ϕ'

Eah = Ea cos(δa - α) und Eav = Eah tan(δa - α) = Ea sin(δa - α). ·

·

·

Der Erddruckbeiwert Ka bzw. der Beiwert Kah = Ka wurde von KREY (1926) tabelliert und ergibt sich aus

·

K ah =

0 10° 15° 20° 22,5° 25° 27,5° 30° 32,5° 35° 37,5° 40°

cos(δa - α)

cos 2 (ϕ′ + α ) 2

⎛   ⎞ ⎜1 + sin(ϕ′ + δ a ) ⋅ sin(ϕ′ − β) ⎟ cos 2 α ⎜ cos(α − δ a ) ⋅ cos(α + β ) ⎠⎟ ⎝  (P05.50).

Für α = β = δ = 0 ergibt sich speziell:

Ka = Kah  = tan2(π/4 - ϕ'/2) Für den regelmäßig benötigten Fall mit α =

0 und β = 0 sind die

Erddruckbeiwerte Kah  für verschiedene Reibungswinkel in der Tabelle P05.10 angegeben.

Erddruckbeiwert Kah für

δa= 0

δa= 2/3·ϕ'

1,00 0,70 0,59 0,49

1,00 0,65 0,52 0,43

0,45 0,41 0,37 0,33

0,38 0,35 0,31 0,28

0,30 0,27 0,24 0,22

0,25 0,22 0,20 0,18

Tabelle P05.10: Erddruckbeiwerte für

Kah

α = 0, β = 0

Der Winkel ϑa ist gegeben durch

tan ϑa = [H / B + tan β]/[1 + (H / B ) ⋅ tan α ]  

(P05.60).

In Gleichung P05.60 bedeutet:

H = B

(1 + tan2 ϕ′) ⋅ (1 + tan δ a tan α ) ⋅ ⎛ ⎜⎜ tan ϕ′′ − tan β  ⎞⎟⎟ ⋅ ⎛ ⎜ 1 − tan α 2tan β ⎞⎟ + tan ϕ′ − tan β ⎝ tan ϕ + tan δ a  ⎠ ⎝  1 + tan α  ⎠ (1 − tan ϕ′ ⋅ tan α )

(P05.70).

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Erddruck

Eine andere Fassung gibt GUDEHUS (1990) an:

⎛  sin(ϕ′ + δ a )cos(α + β ) ⎞⎟ 1   ϑ a = ϕ′ + arc cot⎜⎜ tan(α + ϕ′) + ⎟ ′ ′ cos sin cos ( ) ( ) ( ) α + ϕ ϕ − β δ − α a ⎝   ⎠ Die Aussagen der Gleichungen P05.60, P05.70 und P05.80 sind identisch. Für α = β = 0 ist

(P05.80).

ϑa = 45° + ϕ′ / 2 .

P.5.3.5 Angriffs punkt der Erddruckkraft

Bei der Berechnung von Flächenbrüchen nach P.5.2 kann man aus den Integralen der Spannungen die Kräfte und Momente erhalten. Dagegen liefert die Erddruckberechnung nach COULOMB weder eine Spannungsverteilung noch einen Kraftangriffspunkt. Eine einfache Abschätzung besteht, Bild P05.80, darin, den Schwerpunkt S des Bruchkeils zu bestimmen und durch ihn die Kraftrichtung als Parallele zur Bruchfläche zu ziehen. P.5.4 Grafische Erddruckermitt lung bei beliebig gestalteter Oberfläche

Bild P05.80: vereinfachte Ermittlung des AngriffsDas Extremalverfahren nach P.5.2 lässt sich auch bei beliebig gespunktes von Ea talteter Oberfläche anwenden, indem man max(Ea) durch Probieren bestimmt. Zur Rationalisierung des damit verbundenen Aufwands wurden im 19. Jahrhundert verschiedene grafische Verfahren entwickelt, z.B. von CULMANN (1866). Dabei wird, Bild P05.90, das Krafteck um den Winkel (90 °- ϕ') im Uhrzeigersinn gedreht und in den Querschnitt hineinverlegt. Damit fällt der Vektor G in die so genannte Böschungslinie, Q in die gewählte Bruchlinie und Ea steht unter

ϕ' + δa

zum Mauerrücken.

Wie Bild P05.100 zeigt, kann auch eine Kohäsionskraft C' beim Verfahren von CULMANN im gedrehten Krafteck sinngemäß berücksichtigt werden.

Bild P05.90: Grafische Ermittlung des aktiven Erddrucks (nach CULMANN, 1866)

Bild P05.100: Berücksichtigung der Kohäsion beim Culmann-Verfahren

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Erddruck

P.5.5 Geschichteter Baugrund

Ein häufiger Fall ist die horizontale oder annähernd horizontale Schichtung des Baugrunds, siehe Bild P05.110. Bei horizontaler Oberfläche ist es statisch möglich, dass in der Grenzfläche keine Schubspannung auftritt und der Erddruck σxx  eine Sprungstelle hat. Daher wendet man die Erddrucktheorie Schicht für Schicht mit den jeweiligen Scherparametern und Wichten an. Da ϑa  in jeder Schicht einen anderen Wert hat, entsteht ein geknickter Bruchlinienzug.

Bild P05.110: Bruchlinienzug und Erddruckspannungen bei geschichtetem Untergrund

Bei geneigter Oberfläche treten in der Schichtgrenze Schubspannungen auf, die den Erddruck in der schiebenden oberen Schicht etwas verringern, in der geschobenen unteren etwas vergrößern. Dieser Effekt tritt im übrigen auch bei waagerechtem Gelände auf, wenn die Wandschubspannung berücksichtigt wird (sehr schwacher Einfluss). In der Praxis wird die Erddruckspannung

e ah = (p + γ ⋅ H) ⋅ K ah − 2 ⋅ c ⋅ K ah ⋅ cos(α − δa )

schichtweise be-

rechnet. Es darf aber nicht vergessen werden, dass die Grundlage dafür eine kräftemäßige Betrachtung nach COULOMB ist! P.5.6 Äußere und innere Hori zontalkr äfte

Bei der Erddruckkraftermittlung nach COULOMB lassen sich auch Horizontalkräfte im Krafteck mit eintragen. Die damit ermittelte ungünstigste Bruchfläche hat aber wenig Aussagewert, weil die bei diesem Verfahren nicht überprüfte Bedingung des Momentengleichgewichts dann auch nicht annähernd mehr erfüllt sein wird (je nach der relativen Größe der H-Kräfte). Daher ermittelt man in der Praxis Ea  und die maßgebende Bruchfläche ohne Berücksichtigung der Horizontalkräfte und nimmt sie erst anschließend beim Standsicherheitsnachweis, bei dem dann auch das Momentengleichgewicht nachzuweisen ist, in die Berechnung hinein. P.5.7 Äußere Vertikalk räfte, belastete Geländeoberfläche

Eine gleichmäßige Oberflächenlast beeinflusst (GROSS, 1981) den Winkel

ϑa  beim Verfahren nach COULOMB, doch wird

das in der Praxis meist vernachlässigt. Entsprechend der Extremalbetrachtung in Abschnitt P.5.3.4 ergibt sich für den allgemeinen Fall der gleichförmig mit p belasteten Oberfläche (GUDEHUS, 1990):

⎛  H2 cos α ⋅ cos β ⎞⎟ + p ⋅H⋅ ⎟ − 2 ⋅ c′ ⋅ H ⋅ K a α + β 2 cos ( ) ⎝   ⎠

E a = K a ⋅ ⎜⎜ γ

 

(P05.90).

Darin ergibt sich der Faktor hinter p ⋅ H aus der Berechnung der in die Variation eingehenden Gesamt-Vertikallasten, bei der sich von 0 verschiedene Winkel α und β bei Oberflächenlasten und Eigengewichtslasten verschieden auswirken. Für Auflasten mit begrenzter Ausbreitung sind verschiedene Ansätze der Verteilung der Erddruckspannungen gebräuchlich. Die in Bild P05.120 dargestellten Ansätze sind zweckmäßig, da sie auch bei Superposition der Einflüsse aus benachbarten Lasten stimmig sind:

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Erddruck

Bild P05.120: Erddruckspannungen aus belasteter Geländeoberfläche Bei Streifen- und Einzellasten P gilt die in Bild P05.130 gezeigte Abschätzung der Zusatzerddruckkraft, aus der man eine Verteilung rückrechnet. Man beachte, dass tan (45°- ϕ/2) ≠ Kah nach Gleichung P05.50 ist. (Dort ist im Beiwert K ah das Verhältnis tan (45°- ϕ/2) als zusätzlicher Faktor enthalten, um die Längenverhältnisse H und B des Gleitkeils zu berücksichtigen.)

Bild P05.130: Auswirkung einer Einzellast auf den Erddruck Die dargestellten Erddrücke infolge von Oberflächenlasten gelten für den Fall des aktiven Erddrucks, also unter Heranziehung von Reibung im Boden infolge von Wandverformungen. Für eine starre Wand (Erdruhedruck) wird der Erddruck infolge von Oberflächenlasten entsprechend der Theorie der Spannungsausbreitung im elastisch isotropen Halbraum (siehe Vorlesungseinheit H, "Baugrundverformungen") ermittelt. P.6 Erhöhter aktiver Erddruck; Erddruck zwischen

E0 und Ea; Erddruckuml agerungen

P.6.1 Abhängigkeit von der Entspannungsbewegung

Die zur Weckung des vollen inneren Scherwiderstands erforderliche Fußpunktdrehung einer hohen Versuchswand beschreibt TERZAGHI (1934) für Sand auf Grund eigener Messungen vereinfachend wie folgt: 1. Phase - noch ohne relative Teilchenbewegung eine von der Lagerungsdichte unabhängige (elastische) Entspannung des Korngerüsts durch Drehwinkel bis 0,0005. Spannungsverteilung nichtlinear, Angriffspunkt zwischen H/2 und H/3. 2. Phase - Beginn der relativen Teilchenbewegung im dichten Sand bei 0,003, im lockeren bei 0,008, lineare Spannungsverteilung bei etwa 0,0025 erreicht. Bei einer 10 m hohen Wand genügen danach also schon 5 mm zur Entspannung! -

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Über Versuche an der TU München berichtete v. SOOS (1977). Bild P06.10 zeigt das daraus empfohlene Interpolationsdiagramm, aus dem der nichtlineare Übergang zum Grenzzustand deutlich wird. Die genannten Versuche beziehen sich auf nichtbindige Böden. In verwitterten Festgesteinen kann eine Entspannung vom Ruhedruck auf den aktiven Erddruck bereites bei geringeren Verformungen erwartet werden. Bei ausgeprägt plastischen Tonen enthalten die Entspannungsverformungen viskose, zeitverzögerte  Anteile.

Bild P06.10: Übergang vom Erdruhedruck zum Bei der Bemessung von Bauwerken, die durch Erddruck belastet aktiven Erddruck bei Wand mit Fußpunktdrehung werden, muss die gegenseitige Abhängigkeit von Verformungen und Erddrucklasten beachtet werden: Im Zusammenhang mit Standsicherheitsnachweisen bzw. Nachweisen gegen den Grenzzustand des Versagens kann in der Regel davon ausgegangen werden, dass dabei ausreichend große Verformungen auftreten können, um den  Ansatz des aktiven Erddruck sicherzustellen. Bei Lastzusammenstellungen für Grundbruchnachweise, Gleitsicherheitsnachweise und Nachweise der klaffenden Fuge innerhalb der zweiten Kernweite können daher Belastungen aus dem aktiven Erddruck vorausgesetzt werden. Bei der Bemessung von Bauteilen hinsichtlich ihrer Biegebeanspruchung und Lastweiterleitung kann der aktive Erddruck nur dann angesetzt werden, wenn im Gebrauchszustand ausreichend große Verformungen sicherstellen, dass er sich durch entsprechende Entspannungsverformungen auch einstellen kann. Wenn jedoch Verformungen vermieden und minimiert werden müssen, muss auch bei der Bemessung und Ausbildung eines Bauteils ein höherer Erddruck berücksichtigt werden, der im Einklang mit den erzielten Verformungen steht: • Bei sehr starren Bauwerken, die eingeschüttet werden, z.B. bei einem auf Fels gegründeten Brückenwiderlager, kann ein Abbau des Erddrucks ausgehend vom Erdruhedruck nicht vorausgesetzt werden. • Wenn durch Biegung, zur Mobilisierung von Sohlreibung von horizontal beanspruchten Fundamenten, Nachgiebigkeit von Verankerungen oder Abstützungen unschädliche Verformungen von wenigen Millimetern vorausgesetzt werden können, tritt ein Erddruck zwischen Ruhedruck und aktivem Erddruck auf. Hier wird vom erhöhten aktiven Erddruck gesprochen, der gerne bei 25 %, 50 % oder 75 % zwischen den zwei genannten Erddrücken interpoliert wird. • Wenn bei Verbaukonstruktionen die Verformungen begrenzt werden sollen, wird gerne ein erhöhter aktiver Erddruck als Ansatz für die statischen Berechnungen gefordert, was im Ergebnis auch gleichzeitig zu stärker gestützten und steiferen Konstruktionen führt. Werden dazu die letztgenannten Interpolationen verwendet, führt dies bei Böden mit hoher Kohäsion und geringer Reibung (z.B. verwitterte Tonsteine) zu hohen Erddruckbeiwerten, die nicht im Einklang mit der hohen Standfestigkeit derartiger Böden stehen. In solchen Fällen besteht die Alternative, nur teilmobilisierte Scherparameter, z.B. tan ϕ' / η  und c' / η zu verwenden und den (auf diese Art erhöhten) aktiven Erddruck für die teilmobilisierten Scherparameter anzusetzen. • Wenn, z.B. bei einem Verbau, planmäßig der aktive Erddruck der Bemessung zugrunde gelegt wird, dann werden damit auch planmäßig horizontale Verformungen in Kauf genommen, die bei üblichen Bodenarten in der Größenordnung von 0,1 % bis 0,2 % der Wandhöhe liegen. Im Zusammenhang mit den zugehörigen Vertikalverformungen kann dies in benachbarten Straßen oder an Nachbargebäuden bereits zu Schäden führen. -

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P.6.2 Erddruckuml agerung und -beeinflussung durch w aagerechte kinematische Zwangsbedingungen

Der Flächenbruch nach RANKINE ist verknüpft mit einer WandFußpunkt-Drehung als kinematische Randbedingung, der Linienbruch mit einer Parallelverschiebung der Wand. In beiden Fällen kann sich ein zwängungsfrei mit der Tiefe linear zunehmende Erddruck einstellen. In allen anderen Fällen kommt es zu statisch unbestimmten Veränderungen des einfachen Erddruckbildes. Ein Beispiel ist die aktive Kopfpunktdrehung eines Stützelements, Bild P06.20, bei der ein Gewölbeeffekt eintreten kann. Oben steigt die Horizontalspannung bei wegsackendem Boden an, unten nimmt sie ab. Gleichzeitig ist unten auch die Vertikalspannung kleiner als

γ z.

Derartige Verspannungen sind nur möglich, wenn der Boden dicht gelagert ist; sie sind außerdem empfindlich gegen dynamische Kräfte. Man beachte, dass auch eine waagerechte Parallelverschiebung wegen des erzwungenen Scherbruchs zwischen Wand und Boden zu einem veränderten Erddruckverlauf führt. ·

Bild P06.20: Erddruckumlagerung bei Kopfpunktdrehung

Kinematische Zwangsbedingungen der genannten Art führen bei biegsamen Wänden, z.B. Verbauwänden, die z.B. durch  Anker oder Steifen lokal unverschieblich gestützt sind, zu Lasterhöhungen im Stützen- und Lastminderungen im Feldbereich. In den Empfehlungen des Arbeitskreises Baugruben (EAB) sind entsprechende Umlagerungen quantifiziert, die sich in der Praxis bewährt haben. Ihre Anwendung ist abhängig von der Anzahl und Lage von Stützpunkten, Beispiele ohne nähere Erläuterungen sind in Bild P06.30 angegeben.

Bild P06.30: Beispiele für Lastbilder bei Baugrubenwänden in Abhängigkeit von Anzahl und Lage d er Abstützungen (EAB, 2006); siehe auch Bild Q05.200 Man beachte, dass Anker in der Regel hergestellt und gespannt werden, bevor der Verbauabschnitt, den sie stützen müssen, durch Aushub freigelegt ist. Außerdem ergeben sich Ankerkräfte häufig auch zu einem nennenswerten Anteil aus Verkehrslasten, die nur selten auftreten. Beim Spannen und Festlegen der Anker entsteht daher hinter der Wand ein erhöhter Erddruck (teilmobilisierter Erdwiderstand), der mit der eingeleiteten Ankerkraft im Gleichgewicht steht und wenig mit den "angreifenden" Erddrücken zu tun hat. Das Messen von Ankerkräften erlaubt daher kaum Rückschlüsse über die Erddruckgröße, sondern nur Aussagen zur Änderung des beim Ankerspannen eingeprägten Zustandes. Beim Aushub vor einer Verbauwand unterhalb der Ebene der vorgespannten Anker kommt es zu Entspannungsverformungen und zu Umlagerungen des durch die Anker eingeprägten Erddrucks.

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 Auch bei z.B. hinterfüllten Untergeschosswänden entstehen Umlagerungen dadurch, dass die zur Entspannung eines Ruhedrucks auf den aktiven Erddruck erforderlichen Verformungen nicht gleichmäßig auftreten, sondern durch Biegeformen der durch Deckenscheiben gestützten Wände beeinflusst sind. Die genannten Umlagerungen sind nicht exakt quantifizierbar. Da gleichmäßige Lastverteilungen zu höheren Biegebeanspruchungen führen als linear mit der Tiefe zunehmende Spannungsverteilungen, liegt es für die Bemessung von Wänden in der Regel auf der sicheren Seite, die nach klassischen Theorien ermittelten Erddruckverteilungen zu vereinfachten gleichmäßigen Spannungen zwischen den horizontalen Auflagern umzuverteilen. P.7 Zusatz-Erddruck infolge Verdichtu ng

Seit TERZAGHI (1934) ist bekannt, dass die Verdichtung von Schüttungen zu zusätzlichen Erddrücken auf Stützwände führt. SPOTKA (1977) referiert den Stand der Technik und kommt auf Grund eigener großmaßstäblicher Versuche mit Sand zu folgenden Ergebnissen hinsichtlich des Verdichtungserddrucks: Ein dynamisches Verdichtungsgerät verspannt den verdichteten Boden oberflächennah in horizontaler Richtung. Die derart eingeprägte horizontale Verspannung bleibt ähnlich wie eine eingeprägte Horizontalspannung aus geologischer Vorbelastung erhalten. Der zusätzlich zu einem zuvor vorhandenen Erddruck entstehende Verdichtungserddruck erreicht innerhalb der Tiefenwirkung zt  des Rüttlers ein Maximum und klingt darunter ab. Mit zunehmender Überschüttungshöhe wird der eingeprägte Verdichtungserddruck durch den "normalen" Erddruck überdrückt. Er ist dem "normalen" Erddruck daher nur im oberflächennahen Bereich hinzuzurechnen. Er wächst mit zunehmender Verdichtungsarbeit, erreicht aber für ein bestimmtes Gerät einen Grenzwert, der etwa zwischen 10 kN/m2 und 40 kN/m2 liegt. Bild P07.10: Verdichtungserddruck: Er ist unabhängig von der Arbeitsraumbreite. b - Breite des Rüttlers, zt – Wirkungstiefe Er tritt sowohl bei unverschieblichen Wänden auf - und überlaa) Überlagerung zum Erdruhedruck; gert dann den Erdruhedruck - als auch bei verschieblichen b) Überlagerung zum aktiven Erddruck Wänden - mit Überlagerung zum aktiven Erddruck. (SPOTKA, 1977) Die Wandschubspannung wird im Einflussbereich des Rüttlers stark abgemindert. Mit zunehmender Verdichtung nimmt der Einfluss einer Auflast auf den Erddruck ab. Die Erddruckerhöhung infolge  Auflast geht nach Wegnahme der Auflast nicht vollständig zurück. -

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Für die Praxis schlägt SPOTKA das in Bild P07.10 gezeichnete vereinfachte Lastbild zur angenäherten Erfassung des Verdichtungs-Erddrucks vor. Dabei bezieht sich die Linie "a" auf den Ansatz des Erdruhedrucks, "b" auf den Ansatz des aktiven Erddrucks: zt ≤ 0,35 m bei Schwinglasten von ≤ 1,2 kN, darüber: zt ≤ 0,60 m. P.8 Erdwiderstand P.8.1 Allgemeines

Nach Bild P04.20 steigt der Erddruck, wenn eine Stützwand gegen den Boden gedrückt wird, bis auf einen Grenzwert Ep, den passiven Erddruck oder Erdwiderstand, an. Die Abhängigkeit der Erddrucksteigerung von den Verformungen wird als Mobilisierung bezeichnet und in Abschnitt P.9 behandelt. Mit dem Übergang vom Erdruhedruck zum passiven Erddruckzustand sind erhebliche Kornumlagerungen verbunden, weil sich die Richtung der 1. Hauptspannung von der Vertikalen zur Waagerechten hin dreht. Deswegen ist die Mobilisierung des Erdwiderstands in Reibungsböden mit wesentlich größeren Wandverschiebungen verbunden als die Entspannung auf den aktiven Grenzzustand.

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 Auch im passiven Fall sind Flächen- und Linienbrüche zu unterscheiden, wobei erstere nur bei sehr speziellen Verschiebungs-Randbedingungen auftreten.  Auch bei der Berechnung des Erdwiderstands ist die Wandreibung / Erddruckneigung von wesentlicher Bedeutung. In dieser Vorlesung wird der Wandreibungswinkel δp verwendet. Er ist anders als δa definiert und dann positiv, wenn die Wand in den Boden hineingedrückt wird. In anderen Veröffentlichungen wird z.T. allgemein der Erddruckneigungswinkel / Wandreibungswinkel δ verwendet, der wie hier der Winkel im aktiven Fall definiert ist und beim Erdwiderstand im Regelfall das entgegengesetzte Vorzeichen hat. P.8.2 Erdwi derstand n ach RANKINE (1856) als Flächenbru ch

Wie in Abschnitt P.5.2 beschrieben, ist die RANKINE-Theorie ein Sonderfall der allgemeinen Bruchtheorie. Da es für einen gegebenen Spannungszustand, als Punkt der Mohrschen Spannungsebene betrachtet, stets zwei Grenzspannungszustände gibt - d.h. Kreise, die die Bruchgeraden berühren - ist der passive Flächenbruch der zum aktiven Flächenbruch korrespondierende Fall, und man erhält alle Lösungen einfach dadurch, dass man in den Gleichungen in Abschnitt P.5.2

ϕ' durch

-ϕ' ersetzt. P.8.3 Erdwiderstand bei geraden Bruchflächen und Linienbruch

 Auch das Berechnungsverfahren von COULOMB, siehe Abschnitt P.5.3 , liefert bei der Variation von

ϕ' einen 2. Extrem-

wert, die Erdwiderstandskraft Ep. Ihre horizontale Komponente ist bei unbelasteter Oberfläche, Bild P08.10:

Eph = ½ · Kph H2 

(P08.10)

·

mit dem Erddruckbeiwert

K ph =

cos 2 (ϕ′ − α ) 2

⎛   ⎞ ⎜1 − sin(ϕ′ + δ p ) ⋅ sin(ϕ′ + β ) ⎟ cos 2 α ⎜ cos(α + δ p ) ⋅ cos(α + β ) ⎠⎟ ⎝ 

 

(P08.10a).

Weiter gilt:

Kp = Kph/cos(α+δp). Man beachte, dass hier der Erddruckneigungswinkel δp  dann positiv definiert ist, wenn die Wandschubspannung den Boden nach unten drückt. Bei belasteter Oberfläche gilt die in Abschnitt P.5.3.4 angegebene Beziehung. Auch die Gleichung für den Bruchflächenwinkel kann von dort übernommen werden, indem man

δa durch -δp und ϕ′

Bild P08.10: Ermittlung des Erdwiderstandes bei Linienbruch auf durch −ϕ′  ersetzt. geradliniger Bruchfläche Bei Böden mit Kohäsion erhöht sich die waagerechte Reaktions-Erddruckspannung unter den in Abschnitt P.5.3.4 genannten vereinfachenden Annahmen um

2 ⋅ c ′ ⋅ K ph ⋅ cos(α + δ p )  

(P08.20).

In Tabelle P08.10 in Abschnitt P.8.5 sind auch einige Kph - Werte nach COULOMB für den Sonderfall α = ß = 0 bei glatter und rauer Wand angegeben. Sie sind Ergebnis einer Variation gerader Bruchflächen. Tatsächlich verlangt die Extremalmethode, dass auch die Form der Bruchfigur variiert wird. Daher ist im folgenden Abschnitt angegeben, wie Erdwiderstandsbeiwerte bei weiterreichender Variation unter Einbeziehung von kreisförmigen und zusammengesetzten Bruchkörpern ermit-

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Erddruck

telt werden, was z.B. für den Fall mit mobilisierter Wandreibung zu kleineren - und damit maßgebenden - Erdwiderstandsbeiwerten führt. P.8.4 Erdwiderstand bei gekrümmter Bruchf läche und Linienbruch

Für den Erdwiderstand ist die ebene Bruchfläche im  Allgemeinen nicht maßgebend. Bei vollständiger Variation aller möglicher Bruchflächen dürften eher gekrümmte Bruchflächen wie in Bild P08.20 das Minimum der Erdwiderstandskraft ergeben. Einen vergleichenden Überblick über verschiedene Verfahren der Erdwiderstandsermittlung gibt WINKLER (2003).  Auf KREY (1932) geht die Berechnung von Erdwiderstandsbeiwerten unter Zugrundelegung einer kreisförmigen Bruchfigur zurück. CAQUOT / KÉRISEL (1948) haben numerische Berechnungen auf der Basis der Plastizitätstheorie durchgeführt und die Ergebnisse in Näherungsgleichungen mitBild P08.20: Erdwiderstand bei gekrümmter Bruchfläche; Bezeichgeteilt. Sie sind nachfolgend für den Fall der unter α nungen für die Näherungsformeln von CAQUOT / KERISEL (1948) geneigten Wand und des unter β  ansteigenden Geländes bei homogenem Boden angeben: Berechnung einer Vergleichslast p aus der Vektorsumme der Auflast q und der sich aus dem Abszissenabschnitt des -

Mohrschen Spannungsdiagramms ergebenden Normalspannung -

c ′ ⋅ cot ϕ′ , daraus folgt der Winkel β0 (Bild P08.20).

Unter der (sonst nicht gebräuchlichen) Annahme, dass das Verhältnis von Adhäsion a an der Wand zur Kohäsion c des Bodens dasselbe ist wie tan δ / tan ϕ′ , errechnen sich die Randwinkel:

cos 2ϑ1 + ϕ′ + δp = sin δp / sin ϕ′ cos(2ϑ2 + ϕ′ + β 0 ) = − sin β0 / sin ϕ′   -

(P08.30).

Die Spreizung der Bruchfigur wird durch

θ = ϑ2 + β − ϑ1 − α[rad] ≥ 0  

(P08.40)

erfasst. -

Mit

K n = e 2⋅θ⋅tan ϕ′ ⋅

1 + sin ϕ′ ⋅ sin(2 ⋅ ϑ2 + ϕ′)   1 − sin ϕ′ ⋅ sin(2 ⋅ ϑ2 + ϕ′)

(P08.50)

lauten die Erdwiderstandsbeiwerte für die Spannung normal zur Wand: • infolge q (lotrechte Last, bezogen auf die Horizontalprojektion der Geländeoberfläche):

Kq = Kn cos2β  ·

(P08.60a)

• infolge Kohäsion:

Kc = (Kn - 1) cot ϕ'  ·

(P08.60b)

• infolge Bodeneigengewicht:

Kγ = Kn cosβ cos(β - α)  ·

·

(P08.60c).

Weitere Verfahren wurden von STRECK (1926) und OHDE (1938) vorgestellt. Gekrümmte Bruchflächen können auch gut durch zusammengesetzte Elemente mit geradlinigen Begrenzungen angenähert werden, wie dies auch bei der Kinematischen Element Methode (andere Vorlesungseinheit) vorgenommen wird (GUSSMANN, 1986, 1992, 2001). Für derartige Mechanismen sind Variationsrechnungen zur Auffindung von Extremwerten gut programmierbar. GUDEHUS (1990) hat im Grundbautaschenbuch die Kp-Werte für die Mechanismen in Bild P08.30 (b) und (c) aufgenommen (man beachte, dass δ

Seite P.21

Erddruck

dort gemeinsam für den aktiven und passiven Fall verwendet wird, so dass man z.B. in Bild P08.30 vgl. Bild P08.10).

δ = - δp zu setzen hat,

Bild P08.30: verschiedene Bruchmechanismen zur Ermittlung des Erdwiderstandes: durch Variation, Maßgebend ist im Einzelfall der Mechanismus mit der geringsten Erdwiderstandskraft (GUDEHUS, 1990) Die tatsächliche Form des Bruchkörpers wird ebenso wie die Größe des Erdwiderstands deutlich von der Größe und Richtung der Erddruckneigung / Wandreibung geprägt, siehe Bild P08.40.

Bild P08.40: Form des Bruchkörpers und Größe des Erdwiderstands in  Abhängigkeit vom Erddruckneigungswinkel P.8.5 Ansatz von Erdwiderstand in erdstatischen Berechnungen

Die Tabelle auf der folgenden Seite gibt für horizontales Gelände, vertikale Wände und einige Reibungs- und Erddruckneigungswinkel Beiwerte für den horizontalen Erddruck Kph an. Weitere Werte sind in Tabellen im Grundbautaschenbuch nachzuschlagen. Maßgebend sind die hervorgehobenen Werte, die das Minimum unter Berücksichtigung der verschiedenen untersuchten kinematischen Mechanismen darstellen. Bei Ansatz von Erdwiderstandskräften muss stets geprüft werden, ob die zur Mobilisierung des passiven Erddrucks erforderlichen Verformungen für das untersuchte System kompatibel und verträglich sind. Aus Gründen der Verformungsbegrenzung wird häufig nur 50 % des Erdwiderstandes zum Ansatz gebracht. Man geht als Faustformel davon aus, dass eine derartige Mobilisierung etwa mit den Verformungen erreichbar ist, die auf der Gegenseite einer Wand auch als Entspannungsverformung den Ansatz des aktiven Erddrucks rechtfertigt. Wenn die Interaktion zwischen Wand und Boden genauer zu betrachten ist, sollte die Mobilisierung nach Abschnitt P.9 untersucht werden.

Seite P.22

Erddruck

ϕ' 0 10° 12,5° 15° 17,5° 20° 22,5° 25° 27,5° 30° 32,5° 35° 37,5° 40°

gerade Bruchfugen

δp= 0

δp= 1/2·ϕ'

δp= 2/3·ϕ'

1,00 1,42 1,55 1,70 1,86 2,04

1,00 1,56 1,76 1,99 2,27 2,60

1,00 1,61 1,83 2,12 2,41 2,79

2,24 2,46 2,72 3,00

2,99 3,47 4,06 4,81

3,30 3,89 4,65 5,74

3,32 3,69 4,11 4,60

5,76 7,02 7,94 9,76

7,10 9,23 12,07 16,53

Tabelle P08.10: Beiwerte Geländeneigung

Erddruckbeiwert Kph für kreisförmige Bruchfugen

bilineare Bruchfläche

δp= 0

δp= 2/3·ϕ'

δp= 0

δp= 2/3·ϕ'

2,46

3,67

2,46

3,82

3,00

5,13

3,00

5,46

3,69

7,46

3,69

8,23

4,60

11,40

4,60

13,27

Kph für den horizontalen Anteil des Erdwiderstandes bei Wandneigung α = 0 ,

β = 0

Üblicherweise, aber nicht zwingend, wird beim Ansatz des Erdwiderstands der Erddruckneigungswinkel auf δp = 2/3·ϕ' beschränkt, selbst wenn ein guter Reibungsverbund zwischen Wand und Boden gegeben ist. Wichtig ist sicherzustellen, dass bei Ansatz einer Erddruckneigung die Vertikalkräfte, die sich aus der mobilisierten Wandreibung ergeben, auch tatsächlich aufgenommen werden können bzw. verfügbar sind, siehe auch Abschnitt P.9 . Bei der Berechnung mit totalen Scherparametern ϕu =

0, c = cu wird Kp = 1 unabhängig von α oder ß. Bei der Berechnung mit effektiven Scherparametern ϕ' und c' darf auch für die Wichte nur der effektive Wert γ' eingesetzt werden. P.9 Mobilisierung der Wandreibung und des Erddrucks

Zwischen den Grenzfällen des aktiven und des passiven Erddrucks (Erdwiderstand) sind hinsichtlich der Erddruckgröße alle Zwischengrößen möglich. Welcher Erddruck tatsächlich auftritt, ist von den Verformungen abhängig.  Ähnliches gilt für den Erddruckneigungswinkel: bei einer rauen Wand ist jeder mobilisierte Wandreibungswinkel zwischen

δ = +ϕ 

und δ = - ϕ möglich. Welcher Winkel tatsächlich auftritt, ist von der Kinematik und den Gleichgewichtsbedingungen abhängig, z.B.: In einer Pressgrube, bei der die Pressenkräfte über Erdwiderstand in das Erdwiderlager eingeleitet werden, ist der Erddruckneigungswinkel durch die Kraftrichtung der Pressen vorgegeben. Wenn eine Relativverschiebung zwischen Wand und Boden ausgeschlossen ist, muss der Erddruckneigungswinkel δ = 0 betragen. Gleiches gilt, wenn z.B. durch ein Abdichtungssystem oder Dränmatten die Übertragung von Schubkräften ausgeschlossen ist. Bei einer im Boden eingespannten Lärmschutzwand, die nur durch Wind belastet ist, sind die Erddruckneigungskräfte zur Mobilisierung des Erdwiderstands durch die geringen Vertikallasten aus Eigengewicht begrenzt. Eine vor einer Erdwand hergestellte Spritzbetonschale, die ihre Erddruckkräfte an horizontale Anker abgibt und die in einem folgenden Bauabschnitt unten abgegraben wird, hängt sich mit ihrem Eigengewicht an den Erdkörper. Dies definiert den Erddruckneigungswinkel, dessen Vorzeichen gegenüber dem Normalfall umgedreht ist und der zu einem höheren Erddruck führt. -

-

-

-

Nicht nur der Gesamterddruck, sondern auch die Erddruckspannung an jedem Punkt hinter einer Wand ist von der Größe und Richtung der Wandbewegung abhängig. Dabei ist auch die Lage eines Punktes in Bezug zur Geländeoberfläche von Bedeutung. Ein Punkt nahe der Geländeoberfläche wird schon bei kleinen Relativverschiebungen den Grenzzustand erreichen, da das Potential für Spannungsumlagerungen aufgrund der geringen Eigengewichtsspannungen klein ist.

Seite P.23

Erddruck

In großer Tiefe sind große Verschiebungen möglich, die aus aufintegrierten Dehnungen eines großen beeinflussten Gebietes resultieren können, bevor ein Grenzzustand auftritt. Über die Betrachtung in den Abschnitten P.5 und P.8 hinaus, in denen Grenzbetrachtungen an größeren Gesamtkörpern über Gesamt-Erddruckkräfte zur Ableitung von Erddruckbeiwerten führten, wird der Erddruckbeiwert auch zur Ermittlung lokaler Erddruckspannungen angewendet. Häufig wird ein über die gesamte Wandhöhe konstanter Erddruckbeiwert verwendet, vor allem im Fall des erhöhten aktiven Erddrucks, siehe Abschnitt P.6 . Bei der Mobilisierung von Erwiderstand ist es dagegen sehr zweckmäßig zuzulassen, dass in jeder Tiefe z hinter einer Wand in Abhängigkeit der örtlichen Verschiebungen v(z) ein anderer nur lokal gültiger Erddruckbeiwert

Kh = Kmob = σxx / σzz angesetzt wird:

σxx = Kh (ϕ', c', α, β, δ, z, v(z))  σ zz ·

Bei Konstanthaltung der Parameter ϕ', c', α, β  und δ haben großmaßstäbliche Versuche, Bauwerksmessungen und numerische Berechnungen mit der Finite-Element-Methode gezeigt (VOGT, 1984), dass die lokale Mobilisierung des Erdwiderstandes näherungsweise in Abhängigkeit der lokalen Wandverschiebung und der Tiefe des betrachteten Punktes durch einen lokalen Erddruckbeiwert Kh wie folgt beschrieben werden kann:

K h = K 0 + (K ph − K 0 ) ⋅ Bei einer Verschiebung 0 ist damit

v/z   a + v/z

(P09.10).

Kh = K 0, erst bei sehr großen

v/z, die sich aber an der Geländeoberfläche rasch ergeben, wird der Erdwiderstandsbeiwert Kph erreicht (Bild P09.10). Der Mittelwert zwischen K0  und Kph  stellt sich ein, wenn das Verhältnis v/z einem Wert a entspricht, der in den Versuchen bei a = Werten von

0,03 (dicht gelagerter Sand) und a = 0,11 (locker gelagerter Sand) lag. Die Bedingung v/z = 0,03 ist z.B. bei einer Kopfpunktdrehung einer Wand gegen den Boden für die gesamte Wandhöhe erfüllt, wenn sie um 3 % gegen den Boden verdreht ist.

Bild P09.10: teilmobilisierter Erdwiderstand

Bild P09.20 zeigt für die drei Fälle Parallelverschiebung, Kopfpunktdrehung und Fußpunktdrehung einer starren Wand, wie sich der Erddruck und die Erddruckverteilung nach dieser Beziehung mit zunehmender Verformung entwickelt.

Bild P09.20: Mobilisierung des Erdwiderstandes bei starren Wänden und verschiedenen Wandbewegungsarten entsprechend dem Mobilisierungsansatz

Seite P.24

Erddruck

Bild P09.30 zeigt die Anwendung der Mobilisierungsfunktion bei einer biegeweichen Versuchswand von 4 m Höhe, die mit Hilfe hydraulischer Pressen am Kopf um bis zu 25 mm gegen den Boden gedrückt wurde. Die berechneten Erddruckspannung zeigen qualitativ und quantitativ eine befriedigende Übereinstimmung mit den hier nicht dargestellten Messergebnissen. Grundsätzlich ist es möglich, einen zu Bild P09.10 gleichartigen Hyperbel-Ansatz auch für eine lokale Mobilisierungsfunktion bezüglich des aktiven Erddrucks anzuwenden, bei der verformungsabhängig lokale Erddruckbeiwerte zwischen K0  und Kah angegeben werden. Da schon sehr geringe Entspannungsbewegungen ausreichen, um die Entspannung auf den aktiven Erddruck zu erreichen, muss ein entsprechender Faktor aakt  um den Faktor 10 bis 100 unterhalb der o.g. Werte a liegen.  Auf einen Spannungspunkt hinter einer Wand bezogen lässt sich die Mobilisierung des Erdwiderstandes bei zunehmender Verschiebung ausgehend vom Erdruhedruck bis zum Erreichen des Grenzzustandes entsprechend Bild P09.40 im Mohr'schen Spannungsdiagramm darstellen.

Bild P09.30: Mobilisierung des Erdwiderstandes bei einer untersuchten biegeweichen Wand

Bild P09.40: Spannungsentwicklung eines Bodenteilchens hinter einer passiv beanspruchten Wand

P.10 Siloerddruck

In einem engen Silo beeinflussen Wandreibungskräfte die Abtragung der Eigengewichtskräfte in maßgebender Weise, was im Vergleich zu Erddruckkräften hinter einer einfachen Wand zu reduzierten Erddruckkräften führt. Entsprechend lassen sich auch bei Verfüllungen in engen Arbeitsräumen, z.B. zwischen einer Baugrubenwand im Fels und einem Bauwerk Erddruckreduzierungen begründen.  Angaben zur Berechnung des Siloerddrucks finden sich im Grundbautaschenbuch. P.11 Erddruckermittlungen bei komplexen Randbedingungen

Bei geschichtetem Baugrund, vorgeprägten Gleitebenen, komplexen geometrischen Randbedingungen etc. sind Starrkörperbetrachtungen hilfreich, bei denen mehrere beteiligte Erdkörper sich gegenseitig verschieben können und die Kräfte zwischen den Starrkörpern entsprechend den (Eigengewichts-) Kräften, Bewegungsrichtungen und der in den Gleitflächen mobilisierten Reibung und Kohäsion ermittelt werden. Durch Variation der Geometrie der beteiligten Körper sind dann die gesuchten Kräfte als Extremwerte zu bestimmen.

Erddruck

Seite P.25

 Als Beispiel in dieser Art zeigt Bild P11.10 die Ermittlung des Erddrucks auf eine verankerte Stützwand in einem kriechenden Hang. Die Bereiche 0 sind in Ruhe. Der Bereich 2 kriecht hangabwärts und schiebt dabei einen Keil 1 oberhalb der Stützwand aus dem betrachteten Schnitt heraus. Die Kräfte E1 auf den Fugen a, b, c können als Erddruckkräfte auf eine Wand mit der Neigung α bei ansteigendem Gelände β aufgefasst und mit Hilfe von Tabellenwerten (Grundbautaschenbuch) bestimmt werden. Sie können aber auch durch Variation der Gleitfläche zwischen den Körpern 1 und 2 ermittelt werden. Die Kraft R ist nach Annahme des Reibungswinkels zwischen festem Untergrund und dem Starrkörper hinter der Wand in ihrer Richtung bekannt. Die Variation des Winkels α und Einzeichnen der Kräfte am Starrkörper hinter der Wand in ein Krafteck führt zur Größe der Erddruckkraft auf die Wand im Hang.

Bild P11.10: Erddruckermittlung auf eine Wand in einem Kriechhang mit Hilfe variierter Starrkörper

P.12 Einspannung im Baugrund

Zur Einspannung von Pfählen im Baugrund siehe auch Abschnitt N.4.2.9 in der Vorlesungseinheit N, "Tiefgründungen, Pfähle und Anker". Im Gegensatz zur Einspannung eines Stabes in einem festen Körper mit der maximalen Biegebeanspruchung im Einspannpunkt muss der Gleichgewichtszustand im Boden durch eine Drehung des Stabes oder Baukörpers im Boden bewirkt werden, durch die der anteilige oder volle Erdwiderstand geweckt wird: Im Kopfbereich entgegen der ursächlichen Horizontalkraft; im tieferen Bereich, falls der Baukörper tief genug einbindet, im Sinne der H-Kraft. Der obere Bereich dient also der  Aufnahme der H-Kraft, der untere der Aufnahme des Momentes. Auf 3 typische Fälle wird hingewiesen (Bild P12.10): Im Fall a ist der Fundamentkörper so flach, dass die Momentenaufnahme ausschließlich über die exzentrische Sohlkraft erfolgen muss. Fall c ist das andere Extrem, der Pfahl, bei dem die Momentenaufnahme ausschließlich durch die seitliche Bodenreaktion erfolgt, so dass die V-Kraft oder ihr noch zu übertragender Rest am Fuß mittig in den Boden eingeleitet wird.

Bild P12.10: Bodenreaktion bei Einspannung von Bauwerken im Untergrund in Abhängigkeit von der Einbindetiefe

Bild P12.20: Schwergewichtsfundamentkörper zur  Aufnahme einer H-Kraft

Seite P.26

Erddruck

P.12.1 Einspannung mit Hilfe einer flachen Schwergewichtsgründu ng

zH über der Bodenoberfläche angreift, d.h. es tritt ein Moment MH = H zH  auf. Die Abmessungen des Fundaments: (t; bx; by) sind wählbar (Bild P12.20). Gegeben ist eine Kraft H, die in der Höhe

·

 Annahmen: bx =

b y = b . Das Stabgewicht oberhalb z = 0 möge vernachlässigbar sein. Der Drehpunkt liegt in der Fundamentsohle. Zur Erfüllung der Bedingung ΣH = 0 kann eine Sohlreibungskraft S wirksam werden. Es liegt V = γc b2 t (γc- Wichte des Fundamentbaustoffs) fest. Das rückdrehende Moment der Sohlkraft V darf zur Begrenzung der klaffenden Fuge höchstens sein: Ms = 1/3 V b ·

·

·

·

Das Restmoment MH 1.

2.

MS muss von E ausgeglichen werden. 3 Forderungen sind zu beachten: Für die Sohlreibungskraft S muss die Gleitsicherheit gegeben sein. Dazu muss der Bemessungswert tan ϕ′d = tan ϕ′k / γ m mit γ m = 1,5 ( ϕ′  - effekt. Sohlreibungswinkel) verwendet werden, d.h. 2 (P12.10). S ≤ V ⋅ tan ϕ′   3 Der Erdwiderstand soll z.B. höchstens zur Hälfte ausgenutzt werden (Verformungsbedingung):

Ep ≤ ½ Kp  γ b t2/2  ·

3.

·

·

(P12.20).

·

Die beiden Gleichgewichtsbedingungen müssen erfüllt werden: Momentensumme um Sohlmittelpunkt: MH - MS + H t = 1/3 ·

Summe der H-Kräfte:

Ep - S = H 

·

Ep t  ·

(P12.30), (P12.40).

Um die Tragfähigkeit des Fundamentes zu berechnen, ist es zweckmäßig, die Abmessungen festzulegen und dann

H und

zH als freie Variable zu betrachten, um das aufnehmbare Moment MHd zu ermitteln. 1 2 H = ⋅ K p ⋅ γ ⋅ b ⋅ t 2 − ⋅ γ c ⋅ b 2 ⋅ t ⋅ tan ϕ′ 4 3 1 1 MH = ⋅ V ⋅ b − H ⋅ t + ⋅ Ep ⋅ t 3 3 2 ⎡1 ⎤ ⎡1 ⎤ z H + t = (MH / H) + t = ⎢ ⋅ γ c ⋅ b 2 + K p ⋅ γ ⋅ t 2 / 12⎥ / ⎢ ⋅ K p ⋅ γ ⋅ t − ⋅ γ c ⋅ b ⋅ tan ϕ′⎥ 3 ⎣3 ⎦ ⎣4 ⎦ Mit α= γc/γ  und

β= t/b; ζ= zH/t

folgt daraus

1 + ξ = [4 ⋅ α + K p ⋅ β 2 ] / [3 ⋅ K p ⋅ β 2 − 8 ⋅ α ⋅ β ⋅ tan ϕ′]  

(P12.50).

Zahlenbeispiel: α = 2,5/1,8 = 1,4; b = 1,0 m; ϕ ′ = 32,5°; tan ϕ ′ = 0,64; Kp= 3,32. Daraus folgt H = 14,9 ⋅ t ⋅ (t - 0,75), d.h. t muss jedenfalls größer als 0,75 m sein. Ist z.B. H = 5 kN, dann muss t ≥ 0,95 m sein. Damit liegt ß = 0,95 fest und Gleichung P12.50 liefert einen möglichen Wert ζ = 2,93 oder z H = 2,78 m. Wenn der gegebene Hebelarm größer ist, muss neu dimensioniert werden.

Seite P.27

Erddruck

P.12.2 Einsp annung mit Hilfe einer tiefen starren Gründun g

Wenn die Einbindetiefe t wächst, wird die zuvor angesetzte Erdwiderstandsfigur fragwürdig. Tatsächlich ergibt sich eine Verteilung etwa in der Art, wie in Bild P12.30 dargestellt: im oberen Bereich parabolisch, im unteren vereinfacht linear, siehe hierzu auch Abschnitt N.4.1.9 im Kapitel N, "Tiefgründungen, Pfähle und Anker". Dort ist über die hier genannte Lösung hinaus eine geneigte Geländeoberfläche und eine andere Erddruckverteilung gewählt. Damit folgt:

E1 =

2 ⎛ 3  ⎞ ⎛ 1  ⎞ ⎛ 1 3 3 ⋅ ⎜ ⋅ t ⎟ ⋅ ⎜ ⋅ b ⎟ ⋅ ⎜ ⋅ ⋅ K p ⋅ γ ⋅ t ⎞⎟ = ⋅ K p ⋅ γ ⋅ b ⋅ t 2 3 ⎝ 4  ⎠ ⎝ 2  ⎠ ⎝ 2 4  ⎠ 32 (P12.60).

Bild P12.30: Tiefer starrer Körper zur Aufnahme einer H-Kraft

E2  und S  (Sohlschubkraft) werden überschlägig zu einer Resultierenden RS  in Höhe der Sohle zusammengefasst. Auch kann jetzt das Moment MS aus der Exzentrizität von V statisch vernachlässigt werden. Dann gehen nur noch H und E1 in die Momentenbedingung ein:

⎛ 1 3 ⎞ 5 H ⋅ (z H + t ) = E1 ⋅ t ⋅ ⎜ + ⎟ = ⋅ E1 ⋅ t ⎝ 4 8 ⎠ 8 oder

H (1 + ζ) = (15/256) ⋅ Kp ⋅ γ ⋅ b ⋅ t2  = 0,0585 ⋅ Kp ⋅ γ ⋅ b ⋅ t2  ·

(P12.70),

woraus sich die zulässige H-Kraft bei gegebenem Hebelarm, oder umgekehrt, ergibt. Gleichgewicht der horizontalen Kräfte folgt aus:

E2 + S = E1 - H = Kp ⋅ γ ⋅ b ⋅ t2 ⋅ [0,094 - 0,0585/(1+ ζ)] 

(P12.80).

Wenn man ζ→0  oder ζ→∞ gehen lässt, erkennt man, dass der verfügbare Erdwiderstand immer ausreichen wird, das Gleichgewicht der H-Kräfte herzustellen. Maßgebend ist daher stets Gleichung P12.70. Dieser Ansatz vereinfacht das statische Problem also erheblich, indem er die Lage des Drehpunktes fest annimmt und auch die Erdwiderstandsverteilung festlegt. Es lässt sich zeigen, dass die Verteilung nur zweitrangig in das Problem eingeht und dass der Drehpunkt nicht höher als 2/3 ⋅ t liegen kann und um so tiefer liegt, je stärker der Einfluss des Sohlschubes ist. Eine sehr ähnliche Methode ist die Dalbenberechnung von BLUM (1951), die in den Handbüchern der Spundwandhersteller wiedergegeben ist. Dabei wird bei einzelnen Dalben allerdings der Erdwiderstand räumlich angesetzt, d.h. unter Berücksichtigung einer mitwirkenden Breite 3b. Merkmal der Dalbenberechnung ist die Bemessung nach dem erforderlichen Arbeitsvermögen = Kraft × Kopfauslenkung. Die Kopfauslenkung wird an einem Ersatzbalken ermittelt, dessen rechnerischer Einspannpunkt dort liegt, wo das Integral der Erdwiderstandskräfte die Größe von H erreicht hat. P.12.3 Einsp annung mit Hilf e eines biegeweichen tiefen Pfahles

Dieser Fall ist dadurch gekennzeichnet, dass sich die Biegelinie des Baukörpers auf die Verteilung der seitlichen Reaktionskräfte maßgebend auswirkt (Pfahlproblem). Die Berechnung erfolgt dann gewöhnlich nach der Theorie des elastisch gebetteten Balkens. Dabei muss die Bettungsmodulverteilung - vor allem im oberflächennahen Bereich - darauf kontrolliert werden, dass die Normalspannungen zwischen Pfahl und Boden den Erdwiderstand - unter Ansatz einer räumlichen Tragwirkung seitlich des Pfahls z.B. durch Ansatz der dreifachen Pfahlbreite - nicht überschreiten.

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Erddruck

P.13 Räumlicher Erddruck P.13.1 Vorbemerkung

Ein räumlicher Erddruck entsteht, wenn in einem zusammenhängenden Bodenbereich die vorhandenen Schubspannungen durch  Änderung der Randbedingungen so weit erhöht werden, dass die Bruchbedingung nach MOHR / COULOMB in allen Punkten eines Teilvolumens des Bodens erfüllt ist. In Bild P13.10 ist ein Spannungszustand

σ1 > σ2 > σ3 vor der Änderung skizziert. Solange

σ2 die Rolle der mittleren Hauptspannung behält, wird für das Versagen des Bodens eine kritische Hauptspannungsdifferenz maßgebend werden und die zugehörige Bruchbedingung lautet:

(σ1 − σ 3 ) ≤ ⎛  ⎜ σ1′ + σ 3′ + 2 ⋅ c ′ ⋅ cot ϕ′ ⎞⎟ ⋅ sin ϕ′ ⎝   ⎠

Bild P13.10: Spannungskreise für den Zustand

σ1 > σ2 > σ3

Die Hauptrichtungen 1 und 3 definieren dann Flächen, auf denen die räumlich gekrümmten Gleitflächen senkrecht stehen (Bild P13.20): Der Bruchvorgang ist auch im räumlichen Fall zweidimensional und lässt sich in Sonderfällen statisch bestimmt berechnen, falls es möglich ist, über die mittlere Hauptspannung eine Aussage zu machen. Da in der Regel der Ruhespannungszustand Ausgangszustand ist

(σ2 = K0·γ·z) und die Richtung des plastischen Fließens aus den Randbedingungen geschlossen werden kann, lässt sich eine solche  Aussage oft dadurch gewinnen, dass man überlegt, ob die Breite ds2 der plastischen "Stromröhre" in Fließrichtung zunimmt (Auflockerung) oder abnimmt (Verdichtung) oder konstant bleibt. σ2 kann definitionsgemäß äußerstenfalls gleich der kleineren oder größeren Hauptspannung werden.

Bild P13.20: Bruchbedingung an einem Volumenelement

Rechenverfahren: Wie bei der Behandlung der ebenen Erddruckaufgaben sind bisher zwei Wege zur Berechnung räumlicher Aufgaben begangen worden: Kinematische Methode: Annahme einer Grenzfläche, Berechnung der Erddruckkraft als Extremwert; Charakteristikenverfahren: Einführung der Bruchbedingung in die Differentialgleichungen des Gleichgewichts und numerische Lösung des Systems zweier Differentialgleichungen des Grenzgleichgewichts. Dazu kommen in neuerer Zeit die numerischen FE-Verfahren auf der Grundlage elasto-plastischer Stoffgesetze. Für räumliche Anwendungsfälle sind die numerischen Verfahren bisher jedoch wegen ihres hohen Aufwands nur selten zur  Anwendung angemessen. -

-

P.13.2 Räumlicher Erddruck; axialsymmetrischer Zustand; c = 0: Extremalmethode

Berechnet wird der Erddruck Ea  als Kraft je lfdm, der auf eine zylindrische Wand mit dem Krümmungsradius r 0  und der Wandhöhe h entsteht, wenn diese nachgibt (STEINFELD, 1958 und 1972). Als Begrenzung des Bruchkörpers wird ein Kegelstumpf angenommen, Bild P13.40. Aus Bild P13.30 sind die beiden Gleichgewichtsbedingungen abzulesen.

Seite P.29

Erddruck

Bild P13.30: Kräfte am Volumenelement

Bild P13.40: axialsymmetrischer räumlicher Bruchkörper

Horizontales Gleichgewicht ist gegeben, wenn

1 dE + 2 ⋅ S ⋅ dψ = dG ⋅ tan(ϑ − ϕ) 2 = σrr r 0 d ψ dz, S = σψψ (r-r 0) dz, dG = γ z r  d ψ ⏐dr ⏐ und dem Ansatz σψψ= K γ z erhält man ist. Mit dE

·

·

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σ rr  ⋅ r 0 ⋅ dψ ⋅ dz = γ ⋅ z ⋅ r ⋅ dψ ⋅ dr  ⋅ tan(ϑ − ϕ ) − σ ψψ ⋅ (r − r 0 ) ⋅ dψ ⋅ dz und nach Einsetzen von r , ⏐dr ⏐ und dψ

σ rr  = γ ⋅ z ⋅ cot ϑ ⋅ [{1 + (h − z ) / (r 0 ⋅ tan ϑ)} ⋅ tan(ϑ − ϕ ) − (K / r 0 ) ⋅ (h − z )]  

(P13.10).

Die gesamte Erddruckkraft E je Einheit des Umfangs ergibt sich durch Integration der Ringspannung von z = 0 bis z = h zu:

E=

1 γ ⋅ h 2 cot ϑ[{1 + (h / 3r 0 ) ⋅ cot ϑ} ⋅ tan(ϑ − ϕ ) − K ⋅ h / 3 ⋅ r 0 ]   2

(P13.20).

Einsetzen des Reibungswinkels ϕ mit positivem Vorzeichen gehört zu dem Fall, dass das Abrutschen des Bodens behindert ist, also ein aktiver Grenzzustand entsteht. Umgekehrt führt ein negatives Vorzeichen beim Reibungswinkel zum Erdwider-

d E / dϑ = 0  ergeben sich die Erddruckkräfte für den rotationssymmetrischen Fall. Mit der Abkürzung tan ϑ  = x ergibt sich - da immer x > 0 ist - daraus die Bedingung d E / dx = 0 . Mit standsfall. Nach Variation von

ϑ

bzw. aus der Bedingung

der Abkürzung tan ϕ = a  führt sie auf die kubische Gleichung:

x3 (K a h/r 0 - 3) + x2 [6 a - (2 h/r 0) (1-K)] + x [(h/a r 0) (K-1) +3 (1+h a/r 0)] +2 h/r 0 = 0 ·

·

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·

Bild P13.50 gibt einige Lösungen der Gleichung an, und zwar einmal für eine nicht aktivierte Ringdruckkraft ( K = K0), zum anderen für eine um 25 %, 50 % oder 100 % über den Ruhedruckwert hinaus erhöhte Ringverspannung. Mit Kenntnis von

ϑa

kann die Gleichung P13.20 zur Ermittlung des Erddrucks angewendet werden. Bild P13.60 zeigt zwei derart ermittelte

Erddruckverteilungen für einen Scherwinkel ϕ = 30°. Danach führt eine Ringverspannung mit K/Ko > 1 am oberen Teil des Zylinders zu negativen Erdspannungen, die physikalisch nicht möglich sind. Abhilfe könnte in derartigen Fällen die Einführung eines tiefenvariablen Aktivierungsgrads K/K0 schaffen, z.B. K/K0 = 1+z/h.

Seite P.30

Erddruck

ϑa 80° K/K0=2,0 1,5

1,25 70°

1,0

60° 0

0,2

0,4

0,6 φ = 30° φ = 20°

Bild P13.50: maßgebender Winkel

r 0/h

ϑa in Abhän-

Bild P13.60: Beispiel für räumlichen aktiven Erddruck auf eine Zylinderschale bei zwei verschiedenen Ringdruck-Verspannungs-Verhältnissen

gigkeit von der Ringdruck-Verspannung (K/K0), Radius r  und Tiefe h der Zylinderwand

K/K0

Die Ansätze für den räumlichen Erddruck auf Zylinderschalen können noch um den Einfluss der Kohäsion und der Erddruckneigung erweitert werden. Eine Diskussion der Anwendung des Ansatzes für den passiven Fall auf das Problem der Bodenverdrängung durch Rammpfähle findet man bei STEINFELD (1972). In diesem Fall wird der Ringdruck durch die Radialverschiebung des Bodens abgebaut, wobei K seinen Kleinstwert Ka annehmen kann. Da der Spielraum zwischen K0 und Ka klein ist, setzen wir K

= Ka und erhalten die Gleichungen:

σ rr  = (γ ⋅ z / r 0 ) ⋅ (h − z ) ⋅ cot ϑp + r 0 ⋅ tan ϑp + ϕ ⋅ cot ϑp − K a ⋅ (h − z ) ⋅ cot ϑp

 

(P13.30)

1 ⋅ γ ⋅ h 2 ⋅ cot ϑp ⋅ {h / (3 ⋅ r 0 tan ϑp ) + 1}⋅ tan(ϑp + ϕ) − K a ⋅ h /(3 ⋅ r 0 )   (P13.40) 2 x3 [Ka a h/r 0 + 3] + x2 [6 a +2 h/r 0 (1-Ka)] - x [h (1-Ka)/a r 0 +3 (1- h a/r 0)] - 2 h/r 0  = 0. E= ·

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Im Erdwiderstandsfall muss - wie STEINFELD zu Recht betont - geprüft werden, ob die Radialverschiebung des Bodens ausreicht, um den Grenzzustand des Erdwiderstands über die volle Höhe zu aktivieren: bei kleinen Werten von r 0/h ist das ganz unwahrscheinlich. P.13.3 Räumlicher Erddruck ; axialsymmetrischer Zustand; Bruchth eorie

Bei schlanken Zylindern (r 0/h  klein) ist die Annahme einer geraden Erzeugenden für die axial-symmetrische Bruchfläche nicht mehr sachgemäß, wie man an den Winkeln

ϑa  in Abschnitt P.13.2

erkennt. BERESANZEW (1952) hat eine plastizi-

tätstheoretische Berechnung nach dem Verfahren von SOKOLOVSKI durchgeführt. Die Differentialgleichungen des statischen Gleichgewichts lauten hier (vgl. senkrechte Einzellast auf dem Halbraum, H.4.1):

∂σrr /∂r + ∂σrz/∂z + (1/r)·[σrr - σψψ] = 0 ∂σzr /∂r + ∂σzz/∂z + σzr /r = γ 

(P13.50).

σψψ ist wieder die mittlere (zweite) Hauptspannung.  Anmerkung: Der Ruhespannungszustand ist eine triviale Lösung des Gleichungssystems.

ϑ1  zwischen r und der 1. Hauptspannungsrichtung eingeführt. Mit Hilfe von hier nicht dargestellten Transformationsregeln und mit der Abkürzung ½ · (σ1 - σ3) = σ ⋅ sinϕ erhält man die Spannungs-

 Als Richtungswinkel wird hier der Winkel komponenten in der Form:

Seite P.31

Erddruck

σ1 = σ(1+ sinϕ) - c⋅cotϕ σ3 = σ(1- sinϕ) - c⋅cotϕ ---------------------------------------------

σrr  = σ⋅(1+ sinϕ cos2ϑ1) - c⋅cotϕ σzz = σ⋅(1- sinϕ cos2ϑ1) - c⋅cotϕ  σrz = σ⋅ sinϕ cos2ϑ1 σψψ = ?

(P13.60).

σψψ = σ2  ersetzt BERESANZEW (1952) durch die für die Rechnung bequeme, bodenmechanisch aber keineswegs zwingende Annahme, dass σ2 bis auf den Wert von σ1 anwächst. Statt also mit σ2 = K⋅σ1 zu rechnen und dann den Einfluss von K zu diskutieren, wird Die auch hier wieder fehlende Aussage zur Festlegung von

σψψ = σ1 = σ⋅(1+ sinϕ) - c⋅cotϕ 

(P13.60a)

angenommen. Durch Einsetzen von Gleichung P13.60 in die Gleichung P13.50 erhält man 2 partielle Differentialgleichungen für den unbekannten Gleitflächendruck p und den Richtungswinkel

ϑ1 :

∂p / ∂α + 2p ⋅ tan ϕ ⋅ (∂ϑ1 / ∂α) + (p / r ) ⋅ tan ϕ ⋅ [cos(ϑ1 − ϑa ) + cos(ϑ1 + ϑa )] ⋅ {(1 − sin ϕ) / cos ϕ} = γ ⋅ cos(ϑ1 − ϑa ) ∂p / ∂β − 2p ⋅ tan ϕ ⋅ (∂ϑ1 / ∂β) + (p / r ) ⋅ tan ϕ ⋅ [cos(ϑ1 − ϑa ) + cos(ϑ1 + ϑa )]⋅ {(1 − sin ϕ) / cos ϕ} = γ ⋅ cos(ϑ1 − ϑa )  

(P13.70).

Bild P13.70 zeigt einen von BERESANZEW berechneten Fall: mindestens in diesem Beispiel könnten die schwach gekrümmten Gleitlinien gut durch Geraden approximiert werden.

P.13.4 Räumlich er Erddr uck; allgemein er Fall; Extremalmethode (Verfasser: P. Gußmann)

Wenn eine Platte von begrenzter Länge im Boden einen Grenzzustand verursacht, indem sie beispielsweise um den Fußpunkt gedreht wird (Bild P13.80), lockert sich der Boden hinter der Platte auf und rutscht nach (Ea). Bei weiterer Bewegung wird vor der Platte ein muschelförmiger Erdwiderstandskörper herausgebrochen. Infolge der seitlichen Schubkräfte wird Ea kleiner und Ep größer als im ebenen Fall sein. Nach KREY (1932) wird der Seitendruck meist als Inhalt des in Bild P13.90 skizzierten Tetraeders zur Ordinate multipliziert mit tan ϕ′ , identifiziert:

Bild P13.80: räumliche Erddrücke an einer Platte im Boden

σyy,

Bild P13.70: Beispiel für räumlichen aktiven Erddruck auf eine Zylinderschale

Bild P13.90: Erddruck-Spannungen an der Seite eines räumlichen Bruchkörpers

Seite P.32

Erddruck

E a = E a,eben − 2∫ σ yy ⋅ dF ⋅ tan ϕ′  

(P13.80)

1 2 1 z ⋅ cot ϑ ⋅ K 0 ⋅ γ ⋅ z 2 3 1 ⎡ 2 ⎤ E a (z ) = K a ⋅ γ ⋅ b ⋅ z 2 ⋅ ⎢1 − K 0 ⋅ z ⋅ tan ϕ′ / (K a ⋅ b ⋅ tan ϑa )⎥   2 ⎣ 3 ⎦

∫ σ yy ⋅ dF =

(P13.90).

Diese sehr vereinfachte Bruchfigur führt also in einer gewissen Tiefe z/b zu einem Erddruck 0 und damit zum Widerspruch zur Bruchbedingung. Die Berechnung enthält außerdem den Fehler, dass der Bruchflächenwinkel nicht variiert, sondern gleich dem des ebenen Zustandes fest vorgegeben wird. Die Anwendung des Extremalprinzips ist aber (PRATER, 1973) ohne Schwierigkeit möglich. In der von GUSSMANN / LUTZ (1981) verbesserten Form ergibt sich folgender Gedankengang für das Schlitzwand-Problem (Bild P13.100):

Bild P13.100: erforderliche Stützkraft Ea zur Stützung eines Schlitzes im Boden  Aus dem Krafteck folgt: ϕmob

= ϕm ≤ ϕd S ⋅ cos ϕm + E a ⋅ cos(ϑa − ϕm ) = G ⋅ sin(ϑa − ϕm ) (P13.100). E a = G ⋅ tan(ϑa − ϕm ) − S ⋅ [cos ϕm / cos(ϑa − ϕm )]   Mit den Abkürzungen tanϕm = a  und tan ϑa  = x lässt sich Gleichung P13.100 umformen in: (P13.110). E a = G ⋅ (x − a ) / (1 + a ⋅ x ) − S ⋅ (1 + x 2 )/ ⎡⎢(1 + a ⋅ x ) ⋅ 1 + x 2 ⎤⎥   ⎣ ⎦ S wird aus σyy = K γ z mit der Annahme berechnet, dass die Reibung in den Seitenflächen A gleichmäßig mobilisiert ·

·

ist:

G = A⋅b⋅γ = γ⋅h2⋅b/(2 x) S = 2 ⋅ ∫ σ yy ⋅ tan ϕm ⋅ dA = 2 ⋅ K ⋅ tan ϕm ⋅ (h ⋅ G / 3 ⋅ b )   ·

(P13.120).

G durch die Vertikalkomponente von S reduziert wird, Bild P13.120. Zu dessen Berücksichti* * gung wird mit einem reduzierten Gewicht G = G − S ⋅ sin ϑa  gerechnet sowie entsprechend mit 2 2 S * = ⋅ K ⋅ a ⋅ (h / b ) ⋅ G* = ⋅ K ⋅ a ⋅ (h / b ) ⋅ ⎡⎢G − S * ⎛  ⎜ x / 1 + x 2  ⎞⎟⎤⎥ ⎝   ⎠⎦ 3 3 ⎣ Hierbei ist zu beachten, dass

oder

S * ⋅ ⎡⎢1 + 2 ⋅ K ⋅ a ⋅ h ⋅ x / 3 ⋅ b ⋅ 1 + x 2 ⎤⎥ = 2 ⋅ K ⋅ a ⋅ h ⋅ G / 3 ⋅ b  

⎣

⎦

(P13.130).

Seite P.33

Erddruck

Damit kann S in Gleichung P13.110 eliminiert werden:

Ea =

⎡ ⎤ 1 2 ⋅ γ ⋅ h2 ⋅ b ⋅ ⎢(x − a ) / x + a ⋅ x 2 − 2 ⋅ K ⋅ a ⋅ h ⋅ 1 + x 2 / ⎧⎨3 ⋅ b ⋅ x ⋅ (1 + a ⋅ x )⋅ 1 + x 2 + ⋅ K ⋅ a ⋅ h ⋅ x / b⎫⎬⎥   (P13.140). 2 3 ⎩ ⎭⎦ ⎣

 (

Der maßgebende Wert von x bzw.

)

(

)

ϑa  ergibt sich aus dEa/dx = 0.

Die Durchführung dieser Rechnung ist umfangreich.

Bild P13.110 stellt das Ergebnis dar, wobei eine Normierung auf die erforderliche Suspensions-Stützdruckkraft

E ad =

1 γ F ⋅ b ⋅ h2 2

vorgenommen ist (γF- Wichte der Suspension im Schlitz).

G*

S*

G

Bild P13.110: erforderliche Suspensionswichte γF (daraus lässt sich auch eine Stützkraft errechnen) zur Stützung eines Schlitzes Wenn man als Sonderfall h/b = 0  setzt, wird P.5.3.4 genannten Beziehungen

ϑ

a

Bild P13.120: Gewichtskraft des Bruchkörpers wird durch Seitenkraft reduziert

S* = 0, d.h. es ergibt sich der ebene Erddruckzustand mit den in Abschnitt

E a,eben / b = (G / b ) ⋅ tan(ϑa − ϕ) =

1 ⋅ γ ⋅ h2 ⋅ K a , 2

(ϑa = 45° + ϕ / 2) .

Somit ist im Lastfall "Eigengewicht" das räumliche Problem auf den ebenen Sonderfall des Ea mit der maßgebenden Bruchkörpertiefe h = 0 zurückgeführt: Der Beginn des Schlitzaushubs ist der eigentlich kritische Zustand. Bei anderen Lastfällen (Auflast, anstehendes Grundwasser, Leitwand) oder bei geschichtetem Baugrund ist das Ergebnis aber anders: Hier ist die kritische Tiefe h meist verschieden von der maximalen Schlitztiefe und außerdem ≠ 0. Diese Lastfälle (GUSSMANN / LUTZ, 1981) lassen sich mit demselben Gedankengang lösen, und erst dabei zeigt sich die Auswirkung der reduzierten Vertikalkomponente auf den räumlichen Erddruck.

Seite P.34

Erddruck

P.13.5 Räumli cher Erdwi derstand vor sch malen Druckf lächen

Wie bei dem im letzten Abschnitt diskutierten räumlichen Erddruckproblem ist auch der Erdwiderstand vor einer schmalen Druckfläche durch die Mitwirkung der Seitenreibung gekennzeichnet. Bild P13.130 zeigt den für den Grundbau wichtigsten Anwendungsfall: den Fuß eines Baugrubenträgers.  Aufgrund von Versuchen hat WEISSENBACH (1962) den Ansatz

Eph = ½ γ D3 ωR + 2 c D2 ωK (P13.150) ·

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vorgeschlagen. Die Reaktionskraft wächst aber nicht ganz um eine Potenz von D stärker als im ebenen Fall; die Beiwerte ωR,K  sind deswegen tiefenabhängig (siehe dazu: WEISSENBACH, 1982).

Bild P13.130: räumlicher Erddruck vor einem Trägerfuß

P.14 " Erddruck" im Festgestein

Bei der Herstellung von Baugrubenwänden, die in das Festgestein einschneiden, stellt sich die Frage nach der Notwendigkeit von Sicherungsmaßnahmen, wobei nochmals zu unterscheiden ist zwischen konstruktiven Sicherungen, die das Ziel haben, eine Verwitterung des Festgesteins während der Bauzeit zu minimieren und z.B. vor Steinschlag zu schützen, und einer statisch erforderlichen Sicherung, mit der das Abgleiten von Gesteinskeilen, die aus der Baugrubenwand und den natürlichen Trennflächen gebildet werden, zu verhindern ist.

B0/D 0,1 0,2

ϕ = 30°

ϕ = 35°

ωR

ωK

ωR

ωK

2,0 2,9

2,7 3,9

3,0 4,2

3,4 4,8

Tabelle P13.10: exemplarische Auswertung der WEISSENBACH´schen Formel

Ein üblicher Rechenansatz, mit dem "Erddruckkräfte" im Festgestein ermittelt und danach der Bemessung z.B. von Spritzbetonschalen und Verankerungen zugrunde gelegt werden, wird nachfolgend vorgestellt. Dabei sind die Klüftigkeit, der Grad der Durchtrennung von Klüften, die Reibung zwischen Kluftkörpern und vor allem die Orientierung der Trennflächen von besonderer Bedeutung. Es werden gedanklich mögliche Kluftkörper konstruiert, die im Bereich der Baugrubenwand abrutschen könnten und gehalten werden müssen. Daher ist zunächst eine möglichst gute ingenieurgeologische Aufnahme des Trennflächensystems erforderlich, welches in Relation zur Richtung der Baugrubenwand zu bringen ist. Bild P14.10 zeigt eine Situation, die der Bemessung einer Spritzbetonschale für einen in bankigem Fels abzuteufenden Schacht zu Grunde lag. Die Klüfte standen steil - überwiegend senkrecht. Sie waren orthogonal zu den etwa horizontal liegenden Schichtflächen orientiert. Wegen der Schachtsituation gibt es mehrfach Richtungen, in denen das Streichen der Klüfte und die Orientierung der Baugrubenwand zusammen fallen. Das Gestein sollte Bild P14.10: "Erddruck" im Fels durch schonendes Sprengen gelöst werden und man ging davon aus, dass Auflockerungen (vollständiges Durchtrennen natürlicher Trennflächen) sich auf einen Abstand von 2 m zur Schachtwand beschränken. Die Wichte des Fels lag bei etwa 24 kN/m 3, der Reibungswinkel auf Kluftflächen bei etwa 30°. Interpretiert man die Aussage "steil stehende Klüfte" mit einer Neigung von mindestens 70°, dann ergeben sich daraus maximale Kluftkörper mit 2 m Tiefe und 2 m / tan 70° = 5,5 m Höhe mit einem Gewicht von 132 kN/m. Das Abgleiten eines wandparallelen Felskeiles wird verhindert mit einer wirksamen Horizontalkraft von 110 kN/m. Auf die maximale Kluftkörperhöhe von 5,5 m sind das 20 kN/m2. Dieser Wert wurde als "Felsdruck" der Bemessung der Spritzbetonschale sowie einer systematischen Verankerung in der Schachtwand zu Grunde gelegt.

Erddruck

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Die gleiche Art der Berechnung eines "Erddrucks" im Fels ist auch zweckmäßig, wenn bei einer Baugrube im Fels, welcher von Deckschichten überlagert ist, die Deckschichten (z.B. mit einer Trägerbohlwand) verbaut werden und im Felsbereich nur eine Sicherung (z.B. vernagelte Spritzbetonschale) zur Ausführung kommt. Hier ist das Abgleiten eines Felskeiles zu untersuchen, der auch die Fußkräfte aus dem Verbau mit aufzunehmen hat (Bild P14.20). Da hier die Prüfgleitfläche nicht mit einer Kluft zusammenfallen muss, ist in die Stützkraft Q gegebenenfalls auch ein Kohäsionsanteil einzurechnen. Der Ansatz eines "Erddrucks" bei Verbauwänden im Fels dient auch einer Berücksichtigung von Entspannungsbewegungen, die während des Aushubs unvermeidbar auftreten. Durch eingebaute Verbauelemente, z.B. Träger einer Bohlwand oder Pfähle einer (aufgelösten) Pfahlwand werden derartige Verformungen behindert, was die Elemente belastet.

Bild P14.20: "Erddruck" die auf Fels aufgestellt ist

aus

Verbauwand,

 Auch in der EAB (2006) wird für Verbaubemessungen im Fels ein Mindest-Erddruck mit einem Beiwert von K = 0,15 als Regelansatz empfohlen, der bei einer Baugrube von etwa 10 m Tiefe und nach Erddruckumlagerung auch zu einem "Erddruck" von etwa 20 kN/m2 führt.

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P.15 Schrifttum

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