CÁLCULO INTEGRAL (LIC. EN MATEMATICAS)
TEMA: Volumen Volumen y Sólidos de Reolu!ión
Edinson Gem"uel Muel#s Cód. $%&'%*'+ G,u-o: &&$$$%$
RICAR/O GOME0 TUTOR
UNIVERSI/A/ NACIONAL A1IERTA 2 A /ISTANCIA 3 UNA/ 4 ESCUELA /E CIENCIAS /E LA E/UCACI5N 3 ECE/U 4 LICENCIATURA EN MATEMÁTICAS 6o-#y7n8 9$ de Se-iem",e de %$+ S5LI/O /E REVOLUCI5N
TRABAJO FASE 1 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA Escuela de Ciencias de la Educación Cálculo Integal
En las matemáticas, la ingeniería y la fabricación, un sólido de revolución es una figura sólida obtenida girando una curva plana en torno a algunos línea recta (el eje) que se encuentra en el mismo plano. Suponiendo que la curva no crua el eje, el sólido de volumen es igual a la longitud del círculo descrito por la figura del centroide multiplicado por la cifra de área (segundo teorema centroide de !appus ). "n disco es un representante de tres dimensiones elemento de volumen de un sólido de revolución. El elemento es creado por rotación de un segmento de línea (de longitud #) alrededor de un eje (r unidades situadas de distancia), de modo que un volumen cilíndrico está encerrado de π r 2 # unidades.
ENCONTRAR EL VOLUMEN $os m%todos comunes para encontrar el volumen de un sólido de revolución son el m%todo de disco y el m%todo de la cáscara de la integración. !ara aplicar estos m%todos, es más fácil de dibujar el gráfico en cuestión& identificar el área que va a ser girado alrededor del eje de revolución& determinar el volumen de cualquiera de una rebanada en forma de disco del sólido, con Dx espesor, o una carcasa cilíndrica de? x anc'ura& y luego encontrar la suma limitante de estos volmenes como Dx enfoques , un valor que se puede encontrar mediante la evaluación de una integral adecuado.
M;TO/O /ISCO El m%todo de disco se utilia cuando la rebanada que se e*trae es perpendicular al eje de revolución& es decir, cuando la integración paralela al eje de revolución. El volumen del sólido formado por la rotación de la ona comprendida entre las curvas de
y
y las líneas
y
sobre el eje x está dada por
Si g (x) + (por ejemplo, girando un área entre la curva y eje x), esto se reduce a
El m%todo puede visualiarse considerando un rectángulo 'oriontal delgada en y entre
en la parte superior y
en la parte inferior, y girando que sobre
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el eje y; que forma un anillo (o un disco en el caso de que
), -on un
radio e*terior f (y) y el radio interno g (y). El área de un anillo es , $onde R es el radio e*terior (en este caso f (y)), y r es el radio interior (en este caso g (y)). esumiendo todas las áreas a lo largo del intervalo da el volumen total.!or consiguiente, el volumen de cada disco es infinitesimal suma infinita de los discos entre A y B se manifiesta como integral (/).
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M;TO/O /EL CILIN/RO El m%todo del cilindro se utilia cuando la rebanada que se e*trae es paralelo al eje de revolución& es decir, cuando la integración perpendicular al eje de revolución. El volumen del sólido formado por la rotación de la ona comprendida entre las curvas de
y
y las líneas
y
sobre el eje y está dada por
Si g (x) + (por ejemplo, girando un área entre la curva y eje x), esto se reduce a
El m%todo puede visualiarse considerando un rectángulo vertical delgada en x con la altura 0 giratoria que sobre el eje y; forma una carcasa cilíndrica. El área de la superficie lateral de un cilindro es , $onde r es el radio (en este caso x), y es la altura (en este caso ). esumiendo todas las áreas de superficie a lo largo del intervalo de da el volumen total.
en algn
intervalo , 1os volmenes de los sólidos generados por la curva que gira alrededor del eje x o los eje y ! son dados por 2/3
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En las mismas circunstancias, las áreas de las superficies de los sólidos generados por la curva que gira alrededor del eje x o los eje y ! son dados por
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