Volumen de Cono y Esfera

Supongo que cuando dices una esfera inscrita en un cono te estás refiriendo a que la esfera está perfectamente inscrita y en ese caso el cono debe ser equilátero. El volumen del cono es: Vc = 1/3 π Rc² h

Y el volumen de la esfera: Ve = 4/3 π Re³

Pero en un cono equilátero, el centro de la esfera inscrita es el baricentro del triángulo equilátero sección. Y el baricentro del triángulo equilátero divide a la altura h en dos segmentos de 2/3 y 1/3. Justamente el segmento de 1/3 que es el que va desde el baricentro hasta la base del triángulo es el que se corresponde con el radio de la esfera. Por tanto: Re = 1/3 h Por otra parte, el radio de la base del cono es la mitad del lado del t riángulo equilátero que se obtiene de la sección vertical del cono. Y como los lados de un triángulo equilátero son: L = 2/√3 h Rc = L/2 = h/√3

La relación entre el volumen del cono y de la esfera inscrita será: Vc/Ve = (1/3 π Rc² h) / (4/3 π Re³) = ¼ Rc² h/Re³

Y sustituyendo los valores de los radios:

► Vc/Ve = ¼ (h/√ 3)² h/(1/3 h)³ = 9/4 Un saludo. http://mimosa.pntic.mec.es/cl http://mimosa.pntic.mec.es/clobo/geoweb/volu obo/geoweb/volum3.htm m3.htm

PIRÁMIDE, CONO Y ESFERA

PIR PI R MI MIDE DE RE REGU GULA LAR  R 

VOLÚMENES

La figura muestra una pirámide regular y su desarrollo, que nos permite deducir el área. Como vemos en la figura:

Área lateral = N · Área Triángulo Siendo N el número de lados del polígono que forma la base.

ÁREA Y VOLUMEN DE UNA PIRÁMIDE

Total =

Volumen 

A Lateral + A Base

 Área   base · Altura 3

Base = Polígono Regular.

 A Base

 A Lateral  

 Perímetro·apotema 

2

 Perímetrobase· Apotema 2

No confundas apotema del polígono con apotema de la pirámide (=altura triángulo de una cara)

Ejercicios

1.-Observa en la figura los cálculos realizados para calcular área y volumen. Mueve los puntos marcados en la pirámide para que:

a) Calcula A aplicando el teorema Pitágoras.

2.- Calcula el área y el volumen de una pirámide cuadrangular de igual lado y altura.

CONO La figura muestra el desarrollo de un cono, un sector circular y una circunferencia.

La longitud de la circunferencia, 2 Πr, es igual a la longitud del arco del sector 2Πgn/360. 2Πr=2Πgn/360, de donde n=360r/g. Luego el área lateral es A L=Πrg y el área total es:

 AToral   rg  r 

2

Ejercicios: 1.-Modifica el cono para que el ángulo del sector circular sea recto (puede que exacto no lo consigas)  ¿Que relación hay entre la generatriz y el radio? 2.-Calcula el área de un cono de radio 1,3 m y generatriz 3,6 m. ¿Cuánto mide la altura del cono?

ÁREA Y VOLUMEN DEL CONO

.Total = A.Lateral + A.Base Volumen = A.Base · Altura / 3 Base = Círculo, Circunferencia

A Base= Π r 2 A Lateral = Π·r·g 2

V=Π·r  ·h / 3

ESFERA Como ya sabes no es posible hacer el desarrollo de una esfera. REA DE LA ESFERA A= 4·Π·r 2 VOLUMEN V= 4/3 Π ·r 3

Calcula el área y volumen de una esfera de radio 2 cm. Si haces el radio el doble,

¿cuánto aumenta el área? ¿y el volumen? comprueba tus cálculos en el grafico. Puedes mover la circunferencia exterior.