Volumen de un sólido de revolución. Es un sólido que se obtiene al hacer girar una región de un plano alrededor de una recta de un plano, llamada eje de revolución, el cual puede o no intersectar a región. Por ejemplo, si la región limitada por una semicircunferencia y su diámetro se gira alrededor del diámetro, se genera una esfera. Consideremos que el eje de revolución es un límite de la región que se girara. Sea f la función continua en el intervalo [a, b] y suponga que f(x ) ≥ x x para toda x en su intervalo. Sea R la región limitada por la curva y=f(x), el eje x y las rectas x=a y x=b. La figura ### muestra la región R y el i-ésimo rectángulo. Cuando el i-ésimo rectángulo se gira alrededor del eje x se obtiene un elemento de volumen el cual es un disco cuya base es un círculo de radio f (wi) y su altura es de unidades, y considerando que el are de la circunferencia es volumen es Vi, entonces:
∆
∆
∆[ ]∆ Como existen n rectángulos, se obtienen n discos y la suma de estos discos haciendo más pequeño, es decir cuando , el volumen de aproximación de estos n discos es:
∆
→∞ [ ∆ ] ∑ = → [ ] ]
(Leithold L. , 1998, pág. p.407) Teorema:
Sea f una función continua en el intervalo cerrado [a, b], y supongamos que f(x) ≥ 0 para toda x en [a, b ]. Si es el sólido de revolución obtenido al girar alrededor del eje x la región limitada por la curva y f(x), el eje x y las rectas x a y x b, y si V unidades cubicas es el volumen de S tendríamos:
(Leithold L. , 1998, pág. p.409)
[ ]² ∆ ∑ → = []²
Principio de Cavalieri:
Si dos solidos tienen alturas iguales y las secciones hechas por planos paralelos a las bases y a la misma distancia están siempre en la misma proporción, entonces los volúmenes de los sólidos están también en la misma proporción (Hernandez, Calculo Diferencial - Integral con sus aplicaciones, 2016, p. 342) Método del disco:
La función gira entorno a su eje de revolución, que es su variable independiente, entre dos valores de dicha variable. Si giramos una región del plano alrededor de un eje obtenemos un sólido de revolución. El volumen de este disco de radio R y de anchura w, el volumen del disco es:
Para ver cómo usar el volumen del disco y para calcular el volumen de un sólido de revolución general se hacen n particiones en la gráfica. Podemos aclarar esta aplicación en el siguiente texto Sea la región R acotada por la gráfica de una función f continua no negativa, en el eje x, y las rectas verticales x = a y x = b, si dicha región gira alrededor del eje x, se genera un sólido compacto. La suma de Riemann asociada a la partición, y que da un volumen aproximado del solido es:
∆ ) ( → =
Por tanto recordando la definición de integral definida de Riemann obtenemos que: Volumen de rotación de discos en el eje x :
[ ]
Volumen de rotación de discos en el eje y :
[ ] (Hernandez, Calculo Diferencial - Integral con sus aplicaciones, 2016, p. 343) Ejemplo:
La región entre la curva y = sólido hallar su volumen.
√ , 0
≤ x ≤ 25
y el eje x se gira alrededor del eje x para generar un
SOLUCION: Trazo de la región y de la sección típica abajo se muestra la región R pedida:
La distancia del segmento r (radio principal) es f(x), es decir r=
√ ,
Los limites nos lo dieron en el enunciado de la demostración: 0 ≤ x ≤ 25 Formulación de la integral:
² (√ ) 25
[ 2 ] 0 625 2
(Hernandez, Calculo Diferencial - Integral con sus aplicaciones, 2016, p. 346) Método de las arandelas. Supóngase ahora que el eje de revolución no es una frontera de la región que está siendo rodeada. Sean f y g dos funciones continuas en el intervalo cerrado y supóngase que para toda x en . Sea R la región acotada por las curvas y y las rectas y . Sea S el sólido de revolución generado al rotar la región R alrededor del eje x.
[,] 0
[,] ≥≥
∆ una partición del intervalo cerrado [,] dada por: < < < ⋯ < − < Y el subintervalo [− , ] tiene una longitud de ∆ −. En el subintervalo se escoge cualquier con − ≤ ≤ . Considera los elementos Sea
i-ésimo
i-ésimo
n
rectangulares de área para la región R. Ver la figura 4 que ilustra la región y el i-ésimo rectángulo. (Leithold, 1973) Cuando el i-ésimo rectángulo se rota alrededor del eje x se obtiene un anillo como el de la figura #### y el sólido de revolución como el de la figura #### El número que da la diferencia de las medidas de las áreas de las 2 regiones circulares es y el espesor es unidades. Por lo tanto, la medida del volumen del anillo circular está dada por:
∆
[ ] []
∆ π[ ] []∆ (Leithold, 1973)
La suma de las medidas de los volúmenes de los n anillos circulares formados al rotar los n elementos rectangulares de área alrededor del eje x es:
∆ π[ ] []∆ = = El volumen se define como el límite cuando ‖∆‖ se aproxima a cero. Existe el límite ya que y son continuas en [,], se tiene la siguiente definición: Sean las funciones y continuas en el intervalo cerrado [,] y que ≥≥0 para toda en [,]. Entonces si unidades cubicas es el volumen del solido de revolución generado al rotar alrededor del eje la región acotada por las curvas y y las rectas y , entonces: ‖∆‖→ lim π[ ] [] ∆ [ ] []. f g
x
V
x
=
(Leithold, 1973) Ejemplo:
Encontrar el volumen del solido generado al rotar alrededor del eje x la región acotada por la parábola y la recta
1
3
SOLUCIÓN: Los punto de intersección son (-1, 2) y (2, 5). La figura ####muestra la región y un elemento rectangular de área. El sólido de revolución y un elemento de volumen se ilustran en la figura #####.
Figura 7. Fuente: Leithold, L (1998). El cálculo.
Tomando como es:
Figura 8. Fuente: Leithold, L (1998). El cálculo.
3 y 1, entonces la medida del volumen de la arandela
∆ π[ ] []∆ Si V unidades cubicas es el volumen del sólido, entonces:
‖∆‖→ lim π[ ] []∆ =
V [ ] [].
−[3 1]. − 69 2 1. − 68. 5 3 6 2 8− 2 2 1 1 1 2 5 3 6 2 16 5 3 6 2 8 325 83 15 13 33
Unidades cubicas (Leithold, 1998) Método de la Arandela Este método consiste en hallar el volumen de un sólido generado al girar una región R que se encuentre entre dos curvas. Si la región que giramos para formar un sólido no toca o no cruza el eje de rotación, el sólido generado tendrá un hueco o agujero. Las secciones transversales que también son perpendiculares al eje de rotación son arandelas en lugar de discos
(Hernandez, Calculo Diferencial - Integral con sus aplicaciones, 2016, p. 348)
Definición
El volumen del solido generado al girar la región R sobre el eje x (o algún eje paralelo a él) viene dado por:
Si el eje de rotación es el eje y (o un eje paralelo a él) tiene una expresión análoga a la anterior luego podemos observar que
Es una expresión valida que evalúa el volumen de un sólido generando al girar una región R sobre el eje y (o algún eje paralelo a él) con c ≤ y ≤ d
(Hernandez, Calculo Diferencial - Integral con sus aplicaciones, 2016, p. 350)
Demostración: Determine el volumen del solido de revolución que se genera al hacer girar en torno al eje de las equis de la región del plano comprendida entre las curvas f (x) = x², g(x) = 2x+1
Grafica
Ubicamos los puntos de la intersección f (x) = g (x) x² = 2x +1 x² - 2x – 1 = 0 Encontramos: x = - 0.43 x = 2.38
Aplicando el método de las arandelas podremos obtener el volumen de revolución
. −.21 ²
. −.21
2.38 + ³ [ ] 0.43
∗. + ³ . ∗−. + ³ −. [ ] - [ ]
V=
31.8515.270.0230.000486 π
V = 16.58 – 0.023486 V = 16.556514
π
Método de los cascarones cilíndricos También se le denomina método de capas tenemos una región R acotada por una función f continua por las rectas x = a y x = b, y se desea hallar el volumen del solido generado al girar esta región alrededor del eje y. Usando el método de las arandelas tenemos que determinar con la ayuda del segmento trazado sobre R, los radios exterior e interior a saber r = f (y) 1 y r = f (y) 2. Luego tenemos que generar una expresión que nos permita hallar el volumen de este sólido como el segmento trazado era perpendicular al eje de rotación, consideremos ahora ese mismo segmento pero paralelo al eje de rotación (eje y).
(Calculo de una variable, 1999, pág. 441) Si giramos R alrededor del eje y, se forma un sólido. Para determinar el volumen del sólido, tomamos un elemento con forma de cilindro (en vez de arandela o disco) con altura h (longitud del segmento) y radio x (distancia del segmento al eje y). El procedimiento a seguir ahora es de hallar el volumen de este cosquillo. El volumen correspondiente viene dado por:
2 ℎ ∆ ∆
Donde representa el grosor del cosquillo (grosor del segmento). Ahora que la suma de todos los volúmenes de los casquetes cilíndricos tomados del sólido. Generan aproximadamente el volumen del solido
Por ultimo si integramos Vc con respecto a x obtenemos una expresión matemática aceptable para el volumen de este sólido, a saber:
2
También dx representa el grosor del casquillo. La ecuación anterior es para ejes de rotación verticales para ejes horizontales, reemplazamos x por y
2 Para f (y) ≥ 0 y c ≤ y ≤ d
(Hernandez, Calculo Diferencial - Integral con sus aplicaciones, 2016, p. 360)
Demostración Hallar el volumen del solido de revolución que se genera al hacer girar alrededor del eje y, la región que está delimitado por la parábola y = -x² + 4 x-3, por la cubica y = x³ - 6x² + 12x -5 y por las verticales x = 1 y x = 3
Los casquetes no solo varían en cuanto a su radio y a su altura, sino que varían además en cuanto a su ubicación respecto del eje x En este caso existen 2 funciones involucradas las cuales podemos observar en la grafica
g (x) = x³- 6x² + 12x – 5
f(x) = - x² + 4x – 3
En este caso, un casquete cilíndrico de radio x tiene como altura:
g (x) – f (x) = (x³- 6x² + 12x – 5) – (-x² + 4x – 3) = x³- 5x² + 8x – 2
5x 8x2dx 2 πx (gx f x)dx2 π x x 5x 8x 3 x 2 π x 5x 8x 2x dx 2 π [ 5 4 3 x²]1 =
[ 12x-75x 160x 60x]3 1
=
π
(Hernandez, Calculo Diferencial - Integral con sus aplicaciones, 2016, p. 369)
Aplicación de solidos de revolución en la Ingeniera Civil
Un sólido de revolución es una figura solida obtenida como producto de la rotación de una región plana alrededor de una recta cualquiera que está contenida en el mismo plano. Los sólidos son un campo de estudio de la geometría. La geometría es muy importante en esta ingeniera, ya que con ella es esencial economizar una construcción, con respecto a materiales, y también, a menos residuos aprovechando cada centímetro cubico de los materiales. En una geometría analítica tanto como en una obra civil que sirve en las estructuras, se tiene como finalidad conseguir estructuras resistentes, en vista de sus materiales
Demostración de la importancia de los sólidos en la Ingeniera Civil Ejercicio Explique la paradoja del infinito presente en la trompeta de Torricelli. Demostrar que la función de la trompeta de Torricelli es utilizada en la construcción moderna
A(R) =
∫ ²
A partir de esta fórmula reemplazamos
Para hallar el área
∝1 ² A(R)
² lim ∫ →∝
A(R)
lim ln] →∝ 1 ²
lim →∝ ln ln1 ² A (R) = ln A (R) =
∝
∝ ²
AR →∝ lim ln ²
Para encontrar el volumen
V (S) =
∫ ² ³
A partir de esta fórmula remplazamos
V S AR →∝ lim ∫∝ ³
V(S)
− ³ lim ∫ →∝
V(S) lim −+ ] u³ 1 →∝ V(S)
] ³ lim →∝ 1
V(S)
] ³ lim →∝ 1
V(S)
³ lim →∝
V(S)
³ lim 1 →∝
V(S) =
³
Por medio de este ejercicio de aplicación de integrales en volúmenes de un sólido de revolución hemos podido demostrar que la función de la trompeta de Torricelli es utilizada en la construcción moderna
Bibliografía Courant, R., & Fritz, J. (1999). Introduccion al calculo y analisis matematico. D.F, Mexico: Limusa, S.A.
Gonzalez, C. (30 de Noviembre de 2015). Prezzi. Obtenido de Prezzi: https://prezi.com/9qzg5g9c3su6/aplicacion-del-calculo-integral-en-la-medicina-gasto-cardia/ Hernandez, E. (2009). Calculo Diferencial e Integral. Costa Rica: Revista Matemática Educación e Internet. Hernandez, E. (2016). Calculo Diferencial - Integral con sus aplicaciones. En E. Hernandez, Calculo Diferencial e Integral con sus aplicaciones (pág. 745). Costa Rica: Revista digital Matematica. James, S. (1999). Calculo de una variable. Mexico. Leithold. (1973). Leithold. (s.f.). 1998. Leithold, L. (1998). El cálculo. Traducción de la séptima edición en inglés de: THE CALCULUS 7. Mexico: Grupo Mexicano MAPASA, S.A. DE C.V. Rivera, A. (2014). Calculo integral. Sucesiones y series de funciones. Mexico: Patria. Serrano, D. (12 de Noviembre de 2014). Prezi. Obtenido https://prezi.com/uehcubpotvsd/aplicacion-integral-en-ingenieria-civil/ Silva, C. (Julio de 2009). Monografias.com. Obtenido de http://www.monografias.com/trabajos73/antiderivadas/antiderivadas.shtml
de
Prezi:
Antiderivadas:
Stewart, J. (2012). calculo de una variable . D.F: Cengage Learning Editores,S.A.de C.V.
Volúmenes con integrales dobles Definición Cuando f(x, y) es una función positiva sobre una región rectangular R del plano x ,y podemos interpretar la integral doble de f sobre R como el volumen de la región solida tridimensional en el plano x,y Cada termino f(xk, yk) en la suma es el volumen de una caja rectangular vertical que se aproxima al volumen de la porción del solido que está directamente sobre la base dak
De esta manera la suma Sn se aproxima a lo que llamaremos el volumen total del sólido. Este volumen se define como:
V=
lim →∝
Sn =
∬,
(Leithold L. , 1998, pág. 1056)
Demostración Determine el volumen de la región acotada arriba por el paraboloide elíptico z = 10+ x² + 3y² y abajo por el rectángulo R: 0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ 2
Solución La superficie y el volumen se representan en la figura el volumen está dado por la integral doble
Grafica
V=
∬10 3 ∫ 4 ∫10 3
∫ 4 10y + x y + y 20 dx [
²
³]
∫ 4 202 8 [20 8 ] 10 863 =
