1. Pergese Pergeseran ran Terhadap rhadap Sumb Sumbu uS Misal fungsi f(t) mempunyai transformasi Laplace, F(s) = L (f(t)). Maka grafik hasil transformasi Laplace dari g(t) = eat f(t), dengan menggeser grafik hasil transformasi dari f(t) atau grafik F(s) sepanjang sepanjang a satuan kearah kanan (bila a > ) atau kearah kiri (bila a ! ). Maka didapatkan transformasi Laplace "
#ehingga transformasi in$ers "
Contoh : %entukan %entukan transformasi laplace dari g(t) g (t) = eat cosbt. &enyelesaian "
L{e cos bt} = at
∫
∞
e cos bt e − dt =
= lim
at
st
z
∫ cos bt e
∞
∫ cos bt e
−( s − a ) t
dt
-(s-a)t
z →∞
dt z
e −(s −a)t l i m [ (s a) cos bt b sin si n bt ] = − − + ' ' z →∞ (s − a) + b
(s − a) (s − a) cos bz + sin sin bz = lim − − ' ' z →∞ [(s-a) ' + b ' ]e zs (s − a) + b (s − a) (s − a) (s − a) cos bz + b sin sin bz l i m = − ' ' ' ' bz (s − a) + b (s − a) + b z →∞ e arena untuk menuju tak hingga cos bz *, dan sin bz *, maka nilai dari ( s s - a) a) cos bz + + b sin bz ( s - a) a) + b -imana s -imana s,, a dan b adalah bilangan riil yang nialinya terbatas, akibatnya, lim
z →∞
( s − a) cos bz + b sin sin bz e
adi,
L0e at cos bt / =
bz
=
( s − a) ( s − a) ' + b '
1andingkan bilamana digunakan sifat transformasi sebelum dan sesudah mengalami pergeseran pada sumbu s. #ebelum mengalami sifat pergeseran,
L0cos bt / =
s s
'
+
b'
#esudah mengalami sifat pergeseran,
L0e at cos bt / =
( s − a) ( s − a) ' + b '
2. f(t)
F(s)=L{f(t)}
F(s)
L-1{F(s)}=f(t)
n2
*
t n −*
s n
(n − *)2
*
t n −*e at
( s − a) n
(n − *)2
t n
s n
*
+
n2
t ne-at
( s − a ) n
*
+
s
cos bt
s '
+
s b'
s '
cos bt e
( s − a ) + b '
b'
cos bt
s − a
s − a at
+
'
b
( s − a) ' + b ' *
cos bt eat *
sin bt b s ' + b ' s ' + b ' Table 1.1 Rumus Dasar Transformasi Lapace Dan !n"ers Transformasi Lapace Fun#si-Fun#si $eder%ana * b * at sin bt e at ' ' ' ' sin bt e ( s − a) + b ( s − a) + b b
sin bt
Contoh 1.
't %entukan transformasi Laplace dari " g(t) = e sin 3t &enyelesaian " Misal f(t) = sin bt. Maka g(t) = e
¿e
= sin 3t b = 3
=
sin bt
=
sin 3 t
at
2 t
a = '
b 2
s +b
2
3 2
s
+9
%ransformasi laplace dari f(t) yaitu 4leh karena itu "
f(t)
Contoh 2.
%entukan in$ers dari &enyelesaian "
s −a =
(s− a ) +b
= e
Maka diperoleh hasil
b
2
at
2
5
2
(s− a ) +b
2
a = 5* dan b = *
−e at sin bt
cos bt
bt
=
−sin ¿ e ¿
cos bt
at
t =
− ¿ e ¿
cos t sin −t
Contoh 3. f (t ) = t 6 e
3 t
−
%entukan transformasi laplace dari &enyelesaian " f (t )
-iketahui, 62 L0t 6 / = 7 s
t 6 e
=
3 t
−
. arena, =
'6 s
,
Maka menurut sifat pergeseran pada sumbu s, diperoleh "
(
n
L t e
at
)=
L(t 6 e −3t ) =
n! n +1
( s −a )
'6 ( s − ( −3)) 7
=
'6 ( s + 3) 7
2. Pergeseran Terhadap Sumbu T
Fungsi tangga satuan yang disebut juga dengan fungsi 8ea$iside satuan didefinisikan oleh "
<
bia t a u (t − a) = 0*,, bia t >a
Fungsi tangga satuan dalam bentuk grafik diperlihatkan pada gambar *.* berikut ini. u(t - a)
1
a Gambar 1.1
t
Fungsi tangga satuan diatas memberikan dasar untuk menyatakan berbagai fungsi dengan banyak persamaan. #ecara umum fungsi tangga yang bernilai bila t & a dan f(t - a) bila t ' adiberikan oleh " t < a # (t ) = 0 f (t − a ),,bia bia t > a
-alam bentuk fungsi tangga satuan, u(t-a), fungsi #(t) dinyatakan oleh f(t - a)u(t - a), dengan demikian fungsi diatas menjadi " ,bia t < a t > a
f (t − a)u (t − a) = 0 f (t −a ),bia
-engan g(t) = f(t 5 a ) u (t 5 a), maka tranformasi Laplace dari g(t) sebagai berikut " L(g(t)) = L(f(t5a)u(t5a) ∞
=
∫ e−
st
f ( t − a ) u ( t −a ) dt
0
∞
=
∫ e−
sy
f ( y −a ) u ( y − a ) dy
a
∞
∫e
− sy
=
t = y
0
∫
−sy
f ( y −a ) 0 dy + e
o
f ( y −a ) dy
a
∞
=
∫ e−
sy
f ( y −a ) dy
o ∞
∫ e− ( + ) f ( t ) dt s a t
=
0
y = a+t
t = y5a ∞
−as
=
e
=
e
∫ e−
st
f ( t ) dt
0
−as
F ( s )
Lalu 9n$ersnya " −1 − as L =( e F ( s ) )= f ( t −a ) u ( t − a )= g ( t ) Contoh 1 : %entukan %ransformasi Laplace dari g(t) = t u(t5') a:ab " -apat dimisalkan " f(t5') = t t5' = t maka t = t+' a=' f(t) = t+' F(s) = t+'
1
¿
2
s
+
2
s
f ( t − a ) u ( t −a )
g(t) =
−as
G ( s )=e
F ( s )
−2 s 1
=
2
( + )
e
s
2
s
Contoh 2 : − πs
e G ( s )= 2 s +4
%entukan transformasi in$ers dari
a:ab " − as
F ( s )
e
L(g(t)) =
1
−πs
e
=
1
2
s +4 −πs 1
e
=
2
2 2
s +4 1
f(t) =
a =π dan F ( s )= 2 s +4
2
sin 2 t
maka "
f ( t − a ) u ( t −a )
g(t) =
1
=
2
sin 2
( t − π ) u ( t − π )
Contoh 3 :
%entukan 9n$ers %ransformasi Laplace dari −3 s
e 3 s
en*eesaian+ −as
L(f(t)) =
e
F ( s )
−3 s 1
=
e
1
3
s
a = 3 dan F(s)=
s
1
=
2
1
= 1
5* 3 L (*;s ) =
2
1
2
.
3
2
s
3
2
t
2
t
( t −a ) u (t −a ) = = 2 2
1 2
( t −3 ) u (t −3 ) 2
%<#F4
-isusun 4leh "
(*67CD63)
M. FatkurroEik
(*67CD6)
1agus
(*67CD6*G)
(*67CD6'*)
B9H@<#9%# @A@<9 #B<1I FBL%# %@9 B
