Linearna Algebra

Matrice

Determinanta matrice

Rang matrice

Inverzna matrica

Matr Ma triˇ iˇcne cn e je jedn dnadˇ adˇzb zbee

Sustavi linearnih jednadˇzbi zbi

Linearna algebra Materijali Materij ali za vjeˇ zb e iz Matemati zbe Matematike ke 1 Ksenija Kseni ja Smoljak Smolj ak i Kristina Krist ina Krulić

2008/09

Matrice


Rang matrice

Inverzna matrica



Uvod Matrica: matematiˇcki cki objekt koji se sastoji od brojeva koji su rasporedeni u retke i stupce zapisuje se u obliku pravokutne sheme, a brojeve od kojih se sastoji zovemo elementima matrice Matrica A sa m redaka, n stupaca i s elementima aij zapisuje se kao

A=

  

a11 a21

.. .

am1

a12 a22

... ...

.. .

..

am2

...

.

a1n a2n

.. .

amn

  

Takvu matricu zovemo m × n matric matrica, a, ˇsto sto zapisu zapisujem jemoo A ∈ Mm n ,

Matrice


Rang matrice

Inverzna matrica



Uvod

matricu sa samo jednim retkom zovemo matrica redak ili jednoretˇ jednoretˇcana cana matrica matricu sa samo jednim stupcem zovemo matrica stupac ili jednostupˇcana cana matrica ako je broj redaka jednak broju stupaca kaˇ kaˇzemo zemo da je A kvadratna matrica reda n i zapisujemo A ∈ Mn Primjer

 

1 7 4 0 2 6 1 4 −2 3 0 5

   

5 4 1 0 7 3 −1 3 0

       1 2 −2

9 6 1 4 −7



Matrice


Rang matrice

Inverzna matrica



Uvod Jednakost matrica: matrica A je jednaka matrici B ako imaju isti broj redaka i isti broj stupaca i za njihove elemente vrijedi aij = b ij ij , ∀i , j . Svaki element

jedne matrice jednak je odgovarajućem cem elementu druge matrice. ciji je svaki element jednak nuli. Nul-matrica je matrica ˇciji Dijagonalna matrica je kvadratna matrica za koju vrijedi (∀i  = j )(aij = 0) Jedi Jediniˇ niˇ cna cna matr matric ica a je dijagonalna matrica kojoj su svi elementi na dijagonali jednaki 1. Oznaˇcavamo cavamo je sa I ili E . Primjer

      0 0 0 0 0 0

 

1 0 0 0 0 0 0 0 7

 

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

 

Matrice


Rang matrice

Inverzna matrica

Matriˇcne jednadˇzbe

Sustavi linearnih jednadˇzbi

Operacije s matricama

Zbrajanje matrica Neka su A, B ∈ Mm n . Matricu C ∈ Mm n s elementima c ij = aij + b ij , ∀i , j zovemo zbrojem matrica A i B i piˇsemo C = A + B . ,

,

Primjer



 

 

 

2 3 5 1 0 2 2+1 3+0 5+2 3 3 7 + = = 7 0 1 0 3 1 7+0 0+3 1+1 7 3 2



Svojstva operacije zbrajanja: 1

A + (B + C ) = (A + B ) + C

2

A + B = B + A

asocijativnost komutativnost

Matrice


Rang matrice

Inverzna matrica



Operacije s matricama Mnoˇ zenje matrica sa skalarom

matrica se mnoˇ zi sa skalarom (brojem) tako da se svaki element matrice pomnoˇzi s tim brojem, kA = B , gdje je b ij = kaij , ∀i , j . Primjer

   

 

2 3 5 A= 7 3 2 1 5 9 2·2 2·3 2·5 4 6 10 2A = 2 · 7 2 · 3 2 · 2 = 14 6 4 2·1 2·5 2·9 2 10 18

   

 

Svojstva operacije mnoˇzenja matrica sa skalarom: 1 c (A + B ) = cA + cB distributivnost mnoˇ zenja prema zbrajanju 2 (k + l )A = kA + lA distributivnost mnoˇ zenja prema zbrajanju 3 (kl )A k (lA)

Matrice


Rang matrice

Inverzna matrica



Operacije s matricama Transponiranje matrica Neka je A ∈ Mm n . Matrica AT ∈ Mn m naziva se transponirana matrica matrici A, ako je svaki redak od AT jednak odgovarajućem stupcu matrice A. ,

,

Primjer

 

2 7 A= 1 6

3 3 5 3

5 2 9 2

 

 

2 7 1 6 AT = 3 3 5 3 5 2 9 2

 

Svojstva operacije transponiranja matrica: 1

(AT )T = A

2

(A + B )T = AT + B T

3

(AB )T = B T AT

Matrice


Rang matrice

Inverzna matrica



Zadaci

Zadatak

 

  

−2 2 1 5 6 4 , B = Ako je A = 3 odredite 2 −2 3 −5 −6 (a) 3A + B T



(b) 2AT + 3B . Zadatak Odredite matricu X za koju vrijedi 2A − 3X = B , ako je 2 −1 −5 −2 , B = . A= 5 3 1 3

  



Matrice


Rang matrice

Inverzna matrica



Zadaci

Zadatak Odredite matricu X koja zadovoljava uvjet 3A + 2X = I , gdje je I 1 −2 6 jediniˇcna matrica, a A = 4 3 −8 . 2 −2 5

 

 

Zadatak Odredite X iz uvjeta 2A + C =





10 −8 −5 . 7 2 −1

1 3 X





1 5 −2 = C , ako je A = i −3 0 2

Matrice


Rang matrice

Inverzna matrica



Operacije s matricama Mnoˇ zenje matrica Neka je A ∈ Mm n i B ∈ Mn p . Produkt matrica A i B je matrica C ∈ Mm p kojoj su elementi odredeni formulom ,

,

,

n

c ij =



aik b kj , 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ p .

k =1

Produkt matrica A i B definiran je samo onda kad je broj stupaca matrice A jednak broju redaka matrice B . Za takve dvije matrice kaˇzemo da su ulanˇ cane. Zadatak Odrediti m, n ∈ N iz uvjeta (a) A3 4 · B 4 5 = C m n ,

,

,

(b) A2 3 · B m n = C 2 6 ,

,

,

Matrice


Rang matrice

Inverzna matrica



Zadaci Zadatak Izraˇcunajte produkt matrica A · B i B · A, ako postoji, za: 1 0 −1 2 −1 0 (a) A = , B = 2 1 0 1 0 1 0 1 1

    

              

−1 1 2 3 (b) A = , B = 3 −3 2 3

3 −1 2 3 −1 (c) A = 2 0 , B = 0 1 2 −1 1

 

1 2 0 −1 −2 3 4 0 (d) A = , B = . 5 −1 2 3 −1 0 4 0

Matrice


Rang matrice

Inverzna matrica



Operacije s matricama Svojstva mnoˇ zenja matrica 1

A(B + C ) = AB + AC

2

(B + C )A = BA + CA

3

A(BC ) = (AB )C

4

k (AB ) = (kA)B = A(kB )

Uoˇcimo: ne vrijedi zakon komutativnosti postoje matrice A i B za koje produkt A · B postoji, a B · A ne postoji, ili obratno postoje matrice A i B za koje vrijedi A · B = 0 iako ni A ni B nisu nul-matrice.

Matrice


Rang matrice

Inverzna matrica



Polinom matrice Ako je A kvadratna matrica, izraz P n (A) = an · An + an−1 · An−1 + · · · + a0 · I

je polinom matrice A. Ako je P n (A) nul-matrica, onda A zovemo nul-toˇckom polinoma P n (x ). Zadatak Dokaˇzite 1 A= 2 2

 

da 2 1 2

je A nul-toˇcka polinoma P 2 (x ) = x 2 − 4x − 5, ako je 2 2 . 1

 

Matrice


Rang matrice

Inverzna matrica




Kvadratnoj matrici A reda n pridruˇzujemo broj koji nazivamo determinanta matrice A, a raˇcunamo ga na sljedeći naˇcin: A = a11 , det (A) = a11

   

a11 A= a21

a12 a22

,

det (A) = a11 a22 − a12 a21

Za matrice reda većeg od 2 koristimo razvoj determinante po retku ili stupcu koji se joˇs naziva i Laplaceov razvoj determinante .

Matrice


Rang matrice

Inverzna matrica



Laplaceov razvoj determinante Laplaceov razvoj determinante n > 2 : A ∈ Mn ,

det (A) =

  

a11 a21

.. .

an1

a12 a22

... ...

.. .

..

an2

...

.

a1n a2n

.. .

ann

       n

=

aij Aij

i =1

razvoj po j -tom stupcu

n

=

    aij Aij

j =1

razvoj po i -tom retku

Aij nazivamo algebarski komplement Aij = (−1)i + j M ij

zeg M ij se naziva minora, to je determinanta matrice niˇ stupnja koja se dobiva izostavljanjem i -tog retka i j -tog stupca.

Matrice


Rang matrice

Inverzna matrica


Primjer Primjer Izraˇcunajte det (A) ako je 2 −1 (a) A = ; 3 5 (b) A =

 



cos α sin α



− sin α . cos α

Primjer Izraˇcunajte det (A) ako je A = (a) razvijajući po 1. retku; (b) razvijajući po 2. stupcu.

 

1 2 3 0 −1 1

 

−1 1 1


Matrice


Rang matrice

Inverzna matrica



Sarrusovo pravilo

Samo za determinante 3. reda vrijedi tzv. Sarrusovo pravilo pomoću kojeg moˇzemo brˇze izraˇcunati determinantu.

= a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 − a13 a22 a31 − a11 a23 a32 − a12 a21 a33

Primjer Prethodni primjer rijeˇsite koristeći Sarrusovo pravilo.

Matrice


Rang matrice

Inverzna matrica



Svojstva determinanti det (AT ) = det (A).

Ako u determinanti zamijenimo dva retka (stupca), determinanta mijenja predznak. Ako matrica ima dva jednaka retka ili stupca, onda je njena determinanta jednaka 0. Ako se jedan redak (stupac) determinante pomnoˇzi skalarom, onda se cijela determinanta mnoˇzi tim skalarom. Ako matrica ima redak ili stupac sastavljen od samih nula, onda je njena determinanta jednaka 0. Determinanta trokutaste matrice (matrica kojoj su elementi iznad ili ispod dijagonale jednaki 0) jednaka je produktu elemenata na dijagonali.

Matrice


Rang matrice

Inverzna matrica



Svojstva determinanti Ako nekom retku (stupcu) matrice dodamo neki drugi redak (stupac) pomnoˇzen sa skalarom, vrijednost determinante se neće promijeniti. Binet-Cauchy teorem: det (AB ) = det (A) · det (B ). Zadatak

  

  

2 1 0 −1 3 −1 1 1 Ako je D = 1 0 2 −1 1 1 1 1 (a) Izraˇcunajte M 23 , M 33 , A23 , A33 . (b) Koristeći svojstva izraˇcunajte D .

Matrice


Rang matrice

Inverzna matrica



Zadatak Izraˇcunajte:

Zadatak Izraˇcunajte:

  

3 0 (a) 0 0

  

4 3 (a) −5 2

−2 −1 0 0

1 0 2 0

0 2 −1 0

  

  

4 2 , 5 4

3 0 5 4

6 4 (b) −3 5

  

7 0 , 8 2

  

0 3 2 1

1 2 (b) 0 −1

0 0 2 4

2 3 −1 0

0 0 0 1

   0 −1 2 4

  

1 0 . 4 −1

Matrice


Rang matrice

Inverzna matrica



Elementarne transformacije matrice

Elementarne transformacije nad retcima (stupcima): 1

Zamjena dva retka (stupca)

2

Mnoˇzenje retka (stupca) skalarom razliˇcitim od nule

3

Dodavanje nekog retka (stupca) nekom drugom retku (stupcu)

Napomena Posljedica uzastopne primjene transformacije (3) je dodavanje nekom retku (stupcu) linearne kombinacije ostalih redaka (stupaca), ˇsto ćemo takoder smatrati elementarnom transformacijom.

Matrice


Rang matrice

Inverzna matrica



Rang matrice

Matrica A reda n je regularna ako je det (A)  = 0. Ako je det (A) = 0 kaˇzemo da je A singularna. Rang matrice A ∈ Mm n jednak je maksimalnom broju linearno nezavisnih redaka (stupaca) matrice A. ,

Posljedica: r (A) = r (AT )

Nul-matrica ima rang 0. Za A ∈ Mm n je r (A) ≤ min{m, n}. ,

Ako je A ∈ Mn i det (A)  = 0, onda je r (A) = n.

Matrice


Rang matrice

Inverzna matrica



Ekvivalentne matrice

Za dvije matrice istog tipa kaˇzemo da su ekvivalentne ako imaju isti rang, to jest A, B ∈ Mm n : A ∼ B ⇔ r (A) = r (B ). ,

Teorem Ako su A i B ekvivalentne, onda se matrica B moˇze dobiti pomoću elementarnih transformacija matrice A. Primjenom elementarnih transformacija zadane matrice, matricu moˇzemo svesti na trapezoidni ili na trokutasti oblik. Iz tih oblika se lako odreduje rang matrice.

Matrice


Rang matrice

Inverzna matrica



Zadaci

Zadatak

 

2 −1 Dokaˇzite da su matrice A = i 3 0 regularne i odredite njihov rang.

 

1 B = 0 0

−1 0 1 2 0 5

 

Zadatak Dokaˇzite da su matrice A =

 

1 −2 i 2 −4

singularne i odredite njihov rang.

 

1 B = 2 3

−1 −1 0 −2 3 −3

 

Matrice


Rang matrice

Inverzna matrica



Zadaci

Zadatak Odredite rang matrice A =

Zadatak Odredite rang matrica: 1 2 −1 2 −1 3 (a) A = 3 1 2 1 2 3

 

 

3 0 3 1

1 −2 1 −1

 

2 1 , 3 1

2 0 2 2

3 1 −1 12

 

 

3 −2 . 3 1

2 1 3 (b) B = 4 2 5 2 1 1

 

−2 4 1 7 . 8 2

Matrice


Rang matrice

Inverzna matrica



Definicija i svojstva inverzne matrice Matrica A 1 je inverzna matrica kvadratne matrice A ako je A · A 1 = A 1 · A = I , gdje je I jediniˇcna matrica. −

−

−

Teorem Inverzna matrica A 1 postoji ako i samo ako je matrica A regularna (det (A)  = 0). −

Svojstva inverzne matrice: 1

= B 1 A

1

(AB )

2

(A

3

(kA)

4

det (A−1 ) =

−

−

1 )−1

−

1

−

1

−

=A

= k 1 A

1,

−

k  =0

1 det (A)

Matrice


Rang matrice

Inverzna matrica



Odredivanje inverzne matrice Inverznu matricu moˇzemo odrediti na dva naˇcina: (I) (Gaussov postupak) pomoću elementarnih transformacija samo nad retcima [A|I ] ∼ · · · ∼ [I |A

1

−

]

(II) (Kramerovo pravilo)

1

−

A

1 1 = ·A = · det (A) det (A) ∗

  

A11 A21

.. .

An 1

A12 A22

... ...

.. .

..

An 2

...

.

A1n A2n

.. .

Ann

  

T

gdje je A adjungirana matrica, Aij algebarski komplement matrice. ∗

Matrice


Rang matrice

Inverzna matrica



Zadaci Inverz za opću matricu drugog reda:

  a c

b d

1

−

=





1 d −b a ad − cb −c

,

=0 ad − cb 

Zadatak Neka je A =

 

 

1 0 1 0 0 2 . Odredite A −1 3 1

1

−

na oba naˇcina.

Zadatak Neka je A =

 

2 5 −2 1 2 7

 

3 −3 . Odredite A 5

1.

−

Matrice


Rang matrice

Inverzna matrica




Matriˇcne jednadˇzbe su jednadˇzbe oblika A · X = B ili X · A = B , gdje su A i B zadane, poznate matrice, a X je matrica nepoznanica. Rijeˇsavamo ih mnoˇzenjem s desna ili lijeva inverznom matricom A 1 , ako je A regularna matrica. −

Ako A nije regularna (det (A) = 0), onda jednadˇzba ili nema rjeˇsenja ili ima beskonaˇcno mnogo rjeˇsenja. OPREZ! Mnoˇzenje matrica nije komutativno. Vaˇzno je da li se mnoˇzi s desna ili s lijeva!

Matrice


Rang matrice

Inverzna matrica



Zadaci Zadatak Rijeˇsite matriˇcne jednadˇzbe: (a) A · X = B , ako je A =

         2 1 3 , B = 3 2 5

2 1 3 , B = 3 2 5 2 1 −3 (c) A · X · B = C , ako je A = , B = 3 2 5 4 −2 C = 3 −1 1 0 1

(b) X · A = B , ako je A =





(d) A · X · (B − I ) = C , ako je A =

C =

 

−2 1 2 1 2 3

 

 



2 , −3

   

2 −3 0 2 1 , B = , 2 −1 −1 1 0

Matrice


Rang matrice

Inverzna matrica



Uvod

Primjer U nekom kavezu su zeˇcevi i patke. Ako znamo da u kavezu ima 35 glava i 94 noge, odredite broj zeˇceva u kavezu. Metode rjeˇsavanja: 1

Metoda suprotnih koeficijenata

2

Metoda komparacije

3

Metoda supstitucije

4

Grafiˇcka metoda

Matrice


Rang matrice

Inverzna matrica



Matriˇ cni zapis sustava linearnih jednadˇzbi Sustav od m jednadˇzbi s n nepoznanica a11 x 1 + a12 x 2 + · · · + a1n x n

= b 1

a21 x 1 + a22 x 2 + · · · + a2n x n

= b 2 .. .

.. .

.. .

am1 x 1 + am2 x 2 + · · · + amn x n

= b m

Uvodenjem matrice sustava A ∈ Rm n , vektora rjeˇsenja x ∈ Rn i vektora desne strane sustava b ∈ Rm sustav prelazi u matriˇcni problem ×

Ax = b , to jest

  

a11 a21

...

.. .

.. .

am1

...

...

a1n a2n

.. .

amn

   

x 1 x 2

.. .

x n

  

=

  

b 1 b 2

.. .

b m

  

Matrice


Rang matrice

Inverzna matrica



Rjeˇsenja linearnih sustava

Rjeˇsenje sustava je svaka n−torka koja zadovoljava svaku jednadˇzbu sustava. Sustav linearnih jednadˇzbi je: nerjeˇsiv (nema rjeˇsenje) rjeˇsiv: ima jedinstveno rjeˇsenje (odreden sustav) ima beskonaˇcno mnogo rjeˇsenja (neodreden sustav)

Matrice


Rang matrice

Inverzna matrica



Kronecker-Capellijev teorem

Teorem (Kronecker-Capellijev teorem) Sustav ima rjeˇsenje ako i samo ako je rang matrice sustava jednak rangu proˇsirene matrice, tj. r (A) = r (A|b ), gdje je

[A|b ] =

  

a11 a21

...

.. .

.. .

am1

...

...

a1n a2n

| | .. .

amn

| b m

.. .

b 1 b 2

.. .

  

Ako je r (A) = r (A|b ) = n, (n je broj nepoznanica), onda sustav ima jedinstveno rjeˇsenje.

Matrice


Rang matrice

Inverzna matrica



Homogeni i nehomogeni sustavi Sustav ˇcija je matriˇcna jednadˇzba oblika Ax = b , b razliˇcit od nul-vektora, zove se nehomogen sustav. Sustav kod kojeg je vektor desne strane nul-vektor, to jest ˇcija je matriˇcna jednadˇzba oblika Ax = 0, zove se homogen sustav. Za homogen sustav vrijedi: Kako je r (A) = r (A|b ) sustav uvijek ima rjeˇsenja. Ako je r (A) = n, sustav ima samo trivijalno rjeˇsenje. Ako je r (A) < n, sustav ima ∞ rjeˇsenja. x 1 = x 2 = · · · = x n = 0 je trivijalno ili nul-rjeˇ senje.

Ako je matrica A regularna (to jest det(A)  = 0) sustav ima samo trivijalno rjeˇsenje.

Matrice


Rang matrice

Inverzna matrica



Metode rjeˇsavanja

Opći postupak za rjeˇsavanje sustava je Gaussov postupak (koriˇstenje elementarnih transformacija matrice samo nad retcima). Ako je matrica sustava regularna (to jest, det(A) =  0), onda se sustav moˇze rjeˇsiti i tzv. Cramerovim pravilom: x i = D , gdje je D = det(A), D i D determinanta koja se dobiva iz D kada se i -ti stupac zamijeni

   b 1

stupcem desne strane tj.

.. .

.

b n

mnoˇzenjem sa inverznom matricom A−1 pa dobijemo matriˇcnu jednadˇzbu X = A−1 b .

Matrice


Rang matrice

Inverzna matrica



Zadaci Zadatak Rijeˇsite sustave linearnih jednadˇzbi: (a)

x − 2y + 3z = 0 (b) x + y − 4z = 10 3x − 3y − z = 13

x + 2y = 3 2x − y = 1

x − 2y + z = 1 (c) 2x − y + z = 2 3x − 3y + 2z = 3

+ 2y x −2x (d) + 2y x −x + 2y

+ 3z + z − z + 12z

= 3 = −2 = 3 = 1

Matrice


Rang matrice

Inverzna matrica



Zadaci Zadatak Rijeˇsite sustave linearnih jednadˇzbi: 2x − y − z = 1 (a) 3x + y + 2z = 2 (b) x + 2y + 3z = 1 x + y + z = 6 x (c) 2x − y + z = 3 (d) x 3x + y − z = 2 2x − y + 3z = 0 (e) x + 2y − 5z = 0 3x + y − 2z = 0

2x − y = 0 −x + y = 0 + y + 3z = 1 + y + z = 5

Matrice


Rang matrice

Inverzna matrica


Zadatak Rijeˇsite sustave linearnih jednadˇzbi: 3x 1 − 2x 2 + x 3 + 2x 4 = 1 (a) 5x 1 − x 2 + 3x 3 − x 4 = 3 2x 1 + x 2 + 2x 3 − 3x 4 = 4 3x 1 − 2x 2 + x 3 + 2x 4 = 1 (b) 5x 1 − x 2 + 3x 3 − x 4 = 5 2x 1 + x 2 + 2x 3 − 3x 4 = 4 2x 1 − x 2 + x 3 2x 1 − x 2 (c) 3x 1 − x 3 2x 1 + 2x 2 − 2x 3

− x 4 − 3x 4 + x 4 + 5x 4

= = = =

0 0 0 0


Linearna Algebra

Recommend Documents