VIGAS POR METODO DE INTEGRALES.pdf

DEPARTAMENTO DE PROGRAMACIÓN Y TECNOLOGÍA EDUCATIVA

PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL

Solución de Vigas por Integración Guía de Ejercicios

Profesor Francisco D’Amico D’Agosto Abril 2003

PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL Guía de Ejercicios

Solución de Vigas por Integración

Guía de Ejercicios 1 A continuación se muestran 6 modelos matemáticos diferentes de vigas isostáticas; utilizando las relaciones entre carga, cortante y momento determine para cada viga:

Reacciones en los vínculos. Ecuaciones que describen a las características de solicitación en todas las secciones. Diagrama de fuerza cortante y momento flector.

No se dispone de información acerca de las características del material y de la sección de las vigas.

Francisco D’Amico

Vigas Isostáticas - 1


Francisco D’Amico



Ri

Rj

Cálculo de las reacciones: Por simetría: Ri = R j = 2 ⋅

4500 ⋅ 4 1 2

2

= 9000kgf ↑

Otra forma, por equilibrio:

∑

i=0⇒

1 3

4500 ⋅ 4  2  4500 ⋅ 4 +  4 + ⋅ 4 − 8Rj = 0 2 3  2 

⋅4⋅

⇒ Rj = 9000kgf ↑

∑

F V = 0 ⇒ −

4500 ⋅ 4 2

⋅ 2 + 9000 + Ri = 0

⇒ Ri = 9000kgf ↑

Cálculo de las características de solicitación: 0≤

(primer segmento) ≤ 4 (p

W ( x) =

4500 4

x − 4500 = 1125 x − 4500

∫

V ( x ) = W ( x )dx = 562, 5 x2 − 4500 x + 9000

Francisco D’Amico



( x ) = ∫ V ( x ) dx = 187, 5 x3 − 2250 x2 + 9000 x V ( 4 ) = 0 M ( 4 ) = 12000mkgf 0 ≤ x ≤ 4 (segundo segmento) W ( x) = −

4500 4

x = −1125 x

∫ M ( x ) = ∫ V ( x ) dx = −187, 5 x V ( x ) = W ( x )dx = −562,5 x2

3

+ 12000

V ( 4 ) = −9000kgf M ( 4 ) = 0

Diagramas de cortante y momento:

Francisco D’Amico



Ri

Rj

Cálculo de las reacciones: Por equilibrio:

∑ Mi = 0 ⇒

7, 50 2

1

3000 ⋅ 7,5

3

2

⋅ 2000 ⋅ 7, 5 + 5 ⋅ 3000 + ⋅ 7, 5 ⋅

− 7,5Rj = 0

⇒ Rj = 13250kgf ↑

∑

F V = 0 ⇒ Ri − ( 5000 + 2000)

7, 5 2

− 3000 + 13250 = 0

⇒ Ri = 16000kgf ↑

Cálculo de las características de solicitación: 0 ≤ x ≤ 5 (primer segmento) W ( x) =

5000 − 3000 5

x − 5000 = 400 x − 5000

V ( x ) = 200 x2 − 5000 x + 16000 M ( x ) =

200

x3 − 2500 x2 + 16000 x

3 V ( 5 ) = −4000kgf

M ( 5 ) = 25833,33mkgf

Francisco D’Amico


PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL Guía de Ejercicios V ( x ) = 0 ⇒ 200 x2 − 5000 x + 16000 = 0 x1 = 3,77 m x2 = 21, 23m > 5m no es solución M ( 3, 77 ) = 28360,10mkgf x = 5 (fuerza puntual) V ( 5 ) = −3000 − 4000 = − 7000kgf

M ( 5 ) = 25833,33mkgf 0 ≤ x ≤ 2, 50 (segundo segmento) W ( x) =

3000 − 2000 2,5

x − 3000 = 400 x − 3000

V ( x ) = 200 x 2 − 3000 x − 7000 M ( x ) =

200

x3 − 1500 x2 − 7000 x + 25833,33

3 V ( 2, 5) = −13250kgf

M ( 2,5 ) = 0

Diagramas de cortante y momento:

Francisco D’Amico



Ri

Rj


∑

i=0⇒

2 3

⋅2⋅

3000 ⋅ 2

1  3000 ⋅ 3  3  + 750 +  2 + ⋅ 3  ⋅ +  5 +  ⋅1000 ⋅ 3 + ( 5 + 1, 5) ⋅ 1500 − 8Rj = 0 3  2 2  

2

⇒ Rj = 5937,5kgf ↑

∑

F V = 0 ⇒ Ri −

3000 ⋅ 2 2

−

3000 ⋅ 3 2

− 1000 ⋅ 3 − 1500 + 5937,5 = 0

⇒ Ri = 6062,5kgf ↑ Cálculo de las características de solicitación: 0 ≤ x ≤ 2 (primer segmento) W ( x) = −

3000 2

x = −1500 x

V ( x ) = −750 x 2 + 6062, 5 M ( x ) = −250 x3 + 6062, 5x V ( 2 ) = 3062, 5kgf M ( 2 ) = 10125mkgf x = 2 (momento aplicado) V ( x ) = 3062,5kgf

( x ) = 750 + 10125 = 10875mkgf

Francisco D’Amico


PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL Guía de Ejercicios 0 ≤ x ≤ 3 (segundo segmento) W ( x) =

3000 3

x − 3000 = 1000 x − 3000

V ( x ) = 500 x 2 − 3000 x + 3062,5 M ( x ) =

500

x3 − 1500 x2 + 3062,5 x + 10875

3 V ( 3) = − 1437,5kgf

M ( 3) = 11062,59mkgf V ( x ) = 0 ⇒ 500 x2 − 3000 x + 3062,5 = 0

⇒ x1 = 1, 3m ⇒ x2 = 4, 7m > 3m no es solución M (1, 3) = 12687,42mkgf 0 ≤ x ≤ 1, 5 (tercer segmento) W ( x ) = −1000 V ( x ) = −1000 x − 1437,5 M ( x ) = −500 x 2 − 1437, 5 x + 11062,59 V (1,5) = −2937, 5kgf

M (1, 5) = 7781, 34mkgf x = 1, 5 (fuerza puntual) V ( x ) = −1500 − 2937, 5 = − 4435,5kgf

M ( x ) = 7781,34mkgf 0 ≤ x ≤ 1, 5 (cuarto segmento) W ( x ) = −1000 V ( x ) = −1000 x − 4437,5 M ( x ) = −500 x 2 − 4437, 5x + 7781,34 V (1,5) = −5937, 5kgf

M (1,5 ) = 0

Francisco D’Amico


PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL Guía de Ejercicios Diagramas de corte y momento:

Francisco D’Amico



Mi

Ri


∑ F

V

= 0 ⇒ Ri −

1000 ⋅ 2, 5 2

− 2000 −

2100 ⋅ 3,5 2

=0

⇒ Ri = 6925kgf ↑ 2

∑ Mi = 0 ⇒ − Mi + 3 ⋅ 2, 5 ⋅

1000 ⋅ 2,5 2

1   2100 ⋅ 3, 5 + ( 2,5 + 1) ⋅ 2000 +  4, 5 + ⋅ 3, 5 =0 3 2  

⇒ Mi = 29908,33mkgf Cálculo de las características de solicitación: 0 ≤ x ≤ 2, 5 (primer segmento) W ( x) = −

1000 2,5

x = −400 x

V ( x ) = −200 x2 + 6925 M ( x ) = −

200

x3 + 6925 x − 29908, 33

3 V ( 2, 5) = 5675kgf

M ( 2,5 ) = − 13637,55mkgf 0≤

≤ 1 (segundo segmento)

W ( x) = 0 V ( x ) = 5675 M ( x ) = 5675 x − 13637, 55

Francisco D’Amico


PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL Guía de Ejercicios V (1) = 5675kgf

(1) = −7962, 55mkgf x = 1 (fuerza puntual) V ( x ) = −2000 + 5675 = 3675 M ( x ) = −7962,55mkgf 0 ≤ x ≤ 1 (tercer segmento) W ( x) = 0 V ( x ) = 3675 M ( x ) = 3675 x − 7962, 55 V (1) = 3675kgf M (1) = − 4287,55mkgf 0 ≤ x ≤ 3, 5 (cuarto segmento) W ( x) =

2100 3,5

x − 2100 = 600 x − 2100

V ( x ) = 300 x 2 − 2100 x + 3675 M ( x ) = 100 x3 − 1050 x2 + 3675x − 4287,55 V ( 3,5) = 0 M ( 3,5 ) = 0

Diagramas de corte y momento:

Francisco D’Amico



Mi

Ri


∑ F

V

= 0 ⇒ Ri −

6000 ⋅ 7 2

=0

⇒ Ri = 21000kgf ↑ 2

∑ Mi = 0 ⇒ − Mi + 250 + 300 + 350 + 3 ⋅ 7 ⋅

6000 ⋅ 7 2

=0

⇒ Mi = 98900mkgf Cálculo de las características de solicitación: 0 ≤ x ≤ 2 (primer segmento) W ( x) = −

1714,29 2

x = −857,14 x

V ( x ) = −428, 57 x 2 + 21000 M ( x ) = −142,86 x3 + 21000 x − 98900 V ( 2 ) = 19285, 72kgf

M ( 2 ) = −58042,88mkgf x = 2 (momento aplicado) V ( x ) = 19285,72kgf

( x ) = −58042,88 + 250 = − 57792,88mkgf Francisco D’Amico


PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL Guía de Ejercicios 0 ≤ x ≤ 2 (segundo segmento) W ( x) = −

1714,29 2

x − 1714, 29 = − 857,14x − 1714, 29

V ( x ) = −428, 57 x 2 − 1714, 29 x + 19285, 72 M ( x ) = −142,86 x3 − 857,15x2 + 19285, 72x − 57792,88 V ( 2 ) = 14142,86kgf

M ( 2 ) = −23792,87mkgf x = 2 (momento aplicado) V ( x ) = 14142,86kgf

( x ) = −23792,87 + 300 = − 23492,87mkgf 0 ≤ x ≤ 3 (tercer segmento) W ( x) = −

2571,43 3

x − 3428,57 = − 857,14x − 3428, 57

V ( x ) = −428,57 x 2 − 3428,57 x + 14142,86 M ( x ) = −142,86 x3 − 1714, 29x2 + 14142,86x − 23492,87 V ( 3) = 0 M ( 3) = −350,12mkgf x = 3 (momento aplicado) V ( x) = 0 M ( x ) = −350,12 + 350 = − 0,12mkgf ≈ 0


Francisco D’Amico



Rj

Ri


∑ Mi

izq

= ∑ Mi der ⇒ −1,5 ⋅ 3 ⋅ 7500 + 1000 = − 6 ⋅ 7500 ⋅ 12 + 9Rj + 1000

⇒ Rj = 56250kgf ↑

∑ F

V

= 0 ⇒ −7500 ⋅15 + 56250 + Ri = 0

⇒ Ri = 56250kgf ↑ Cálculo de las características de solicitación: 0 ≤ x ≤ 3 (primer segmento) W ( x ) = −7500 V ( x ) = −7500 x M ( x ) = −3750 x 2 V ( 3) = − 22500kgf M ( 3) = −33750mkgf x = 3 (momento aplicado + reacción) V ( x ) = −22500 + 56250 = 33750kgf

( x ) = −33750 + 1000 = − 32750mkgf

Francisco D’Amico


PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL Guía de Ejercicios 0 ≤ x ≤ 9 (segundo segmento) W ( x ) = −7500 V ( x ) = −7500 x + 33750 M ( x ) = −3750 x 2 + 33750 x − 32750 V ( x ) = 0 ⇒ −7500 x + 33750 = 0 ⇒ x = 4,5m M ( 4,5 ) = 43187, 50mkgf V ( 9 ) = − 33750kgf M ( 9 ) = −32750mkgf x = 9 (momento aplicado + reacción) V ( x ) = −33750 + 56250 = 22500kgf

M ( x ) = −32750 − 1000 = − 33750mkgf 0 ≤ x ≤ 3 (tercer segmento) W ( x ) = −7500 V ( x ) = −7500 x + 22500 M ( x ) = −3750 x 2 + 22500 x − 33750 V ( 3) = 0 M ( 0 ) = 0


Francisco D’Amico




Guía de Ejercicios 2 A continuación se muestran 4 modelos matemáticos diferentes de vigas hiperestáticas; utilizando las relaciones entre carga, cortante, momento, rotación y deformación determine para cada viga:

Ecuación general de la carga. Ecuación general de la fuerza cortante. Ecuación general del momento flector. Ecuación general de la deformada (elástica). Momento flector máximo y distancia a la cual se encuentra. Deformación máxima y distancia a la cual ocurre.

Todas las vigas poseen la misma sección transversal típica con inercia I xx = 9600 cm4 en acero estructural con módulo de elasticidad E = 2100000 kgf/cm 2.

Francisco D’Amico

Vigas Hiperestáticas - 16


Francisco D’Amico



Mi

Mj

Ri

Francisco D’Amico

Rj


PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL Guía de Ejercicios W ( x) = V ( x) =

4500 8 4500

M ( x ) =

x − 4500 x 2 − 4500 x + Ri

16 4500

x3 − 2250 x2 + Rix − Mi

48 4500

EI xxθ ( x ) =

x4 −

2250

x5 −

2250

192 3 x = 0 ⇒ θ ( x ) = 0 ⇒ C 1 = 0

EI xxδ ( x ) =

4500

960 12 x = 0 ⇒ δ ( x ) = 0 ⇒ C 2 = 0

x3 +

Ri

x4 +

Ri

2

6

x2 − Mix + C 1

x3 −

Mi 2

x2 + C 2

x = 8 ⇒ θ ( x ) = 0 x = 8 ⇒ δ ( x ) = 0

0 = −288000 + 32 Ri − 8Mi   0 = −614400 + 85, 3 Ri − 32Mi resolviendo el sistema de ecuaciones resulta: Ri = 12600kgf Mi = 14400mkgf

∑ F

V

= 0 ⇒ 12600 −

Francisco D’Amico

4500 ⋅ 8 2

+ Rj = 0 ⇒ Rj = 5400kgf


PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL Guía de Ejercicios 1 8 i = 0 ⇒ −14400 + ⋅ 8 ⋅ 4500 ⋅ − 8 ⋅ 5400 + M j = 0 ⇒ M j = 9600mkgf 3 2 Ecuación general de la carga:

∑

W ( x ) = 562, 50 x − 4500 ∀x ∈ [ 0, 8] Ecuación general de la fuerza cortante: V ( x ) = 281, 25 x 2 − 4500 x + 12600 ∀x ∈ [ 0,8] Ecuación general del momento flector: M ( x ) = 93, 75 x3 − 2250 x2 + 12600x − 14400 ∀x ∈ [ 0,8] EI xxθ ( x ) = 23, 44 x 4 − 750 x3 + 6300x2 − 14400x ∀x ∈ [ 0,8] Ecuación general de la deformada: EI xxδ ( x ) = 4, 69 x5 − 187,5 x4 + 2100 x 3 − 7200x2 ∀x ∈ [ 0,8] Máximo momento flector: V ( x ) = 0 ⇒ 281, 25 x 2 − 4500 x + 12600 = 0

⇒ x1 = 3,62m ⇒ x2 = 12, 38m > 8m no es solución M ( 3, 62 ) = 6174, 41mkgf M ( 0 ) = −14400mkgf

⇒ M = M ( 0 ) = −14400mkgf para x = 0 

Máxima deformación: θ

( x ) = 0 ⇒ 23, 44 x 4 − 750 x3 + 6300x2 − 14400x = 0

⇒ x1 = 0 empotramiento ⇒ x2 = 3,8 m ⇒ x3 = 8m empotramiento ⇒ x4 = 20,19m > 8m no es solución ⇒ δ = δ ( 3,8) = −1, 2cm para x = 3,8m 

Francisco D’Amico



Mi

Mj

Ri

Rj

W ( x ) = −2000 V ( x ) = −2000 x + Ri M ( x ) = −1000 x 2 + Rix − Mi EI xxθ ( x ) = −333,3x3 +



Ri 2

x2 − Mix + C 1

x = 0 ⇒ θ ( x ) = 0 ⇒ C 1 = 0



EI xxδ ( x ) = −83,3x 4 +

Ri

x3 −

6 x = 0 ⇒ δ ( x ) = 0 ⇒ C 2 = 0

Mi 2

x2 + C 2

x = 8 ⇒ θ ( x ) = 0 x = 8 ⇒ δ ( x ) = 0

 170666, 6 = 32 Ri − 8Mi    341333, 3 = 85,3 Ri − 32Mi resolviendo el sistema de ecuaciones resulta: Ri = 8000kgf Mi = 10666,67mkgf por simetría Rj = 8000kgf

Francisco D’Amico


PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL Guía de Ejercicios por simetría: M j = 10666, 67mkgf Ecuación general de la carga: W ( x ) = −2000 ∀x ∈ [ 0,8] Ecuación general de la fuerza cortante: V ( x ) = −2000 x + 8000 ∀x ∈ [ 0,8] Ecuación general del momento flector: M ( x ) = −1000 x 2 + 8000 x − 10166, 67 ∀ x ∈ [ 0,8] Ecuación general de la deformada: EI xxδ ( x ) = −83,33x 4 + 1333,33x3 − 5333,33x2 ∀x ∈ [ 0,8] Máximo momento flector: V ( x ) = 0 ⇒ −2000 x + 8000 = 0

⇒ x = 4m M ( 4 ) = 5333,33mkgf M ( 0 ) = − 10666, 67mkgf M ( 8 ) = 10666, 67mkgf

⇒ M = M ( 0 ) = M ( 8) = −10666, 67mkgf para x = 0 y x = 8 


( x ) = 0 ⇒ −333,33x3 + 4000x2 − 10666, 67x = 0

⇒ x1 = 0 empotramiento ⇒ x2 = 4m ⇒ x3 = 8m empotramiento ⇒ δ = δ ( 4 ) = −1, 06cm para x = 4m 

Francisco D’Amico



Mi

Mj

Ri

Rj

W ( x ) = 400 x − 5000 V ( x ) = 200 x 2 − 5000 x + Ri M ( x ) =

200 3

x3 − 2500 x2 + Rix − Mi

EI xxθ ( x ) =

200

EI xxδ ( x ) =

x4 −

2500

x3 +

Ri

12 3 x = 0 ⇒ θ ( x ) = 0 ⇒ C 1 = 0

2

200

x5 −

2500

x4 +

Ri

60 12 x = 0 ⇒ δ ( x ) = 0 ⇒ C 2 = 0

6

x2 − Mix + C 1

x3 −

Mi 2

x2 + C 2

x = 7,5 ⇒ θ ( x ) = 0 x = 7,5 ⇒ δ ( x ) = 0

298828,13 = 28,13 Ri − 7,5Mi  580078,12 = 70,31 Ri − 28,13Mi resolviendo el sistema de ecuaciones resulta: Ri = 15363,19kgf Mi = 17778,44mkgf

Francisco D’Amico


PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL Guía de Ejercicios Ecuación general de la carga: W ( x ) = 400 x − 5000 ∀x ∈ [ 0; 7, 5] Ecuación general de la fuerza cortante: V ( x ) = 200 x2 − 5000 x + 15363,19 ∀x ∈ [ 0;7, 5] Ecuación general del momento flector: M ( x ) = 66, 67 x3 − 2500 x2 + 15363,19x − 17778, 44 ∀ x ∈ [0;7,5] Ecuación general de la deformada: EI xxδ ( x ) = 3,33 x5 − 208, 33x4 + 2560,53x3 − 8889, 22x2 ∀x ∈ [ 0; 7,5] Máximo momento flector: V ( x ) = 0 ⇒ 200 x2 − 5000 x + 15363,19 = 0

⇒ x1 = 3,59m ⇒ x2 = 21, 41m > 7, 5m no es solución M ( 3, 59 ) = 8239,88mkgf M ( 0 ) = − 17778, 44mkgf

⇒ M = M ( 0 ) = −17778, 44mkgf para x = 0 


( x ) = 0 ⇒ 16, 67 x 4 − 833, 33x3 + 7681, 60x2 − 17778, 44x = 0

⇒ x1 = 0 empotramiento ⇒ x2 = 3,66m ⇒ x3 = 7,5m empotramiento ⇒ x4 = 38, 83m > 7, 5m no es solución ⇒ δ = δ ( 3, 66 ) = − 1, 43cm para x = 3, 66m 

Francisco D’Amico



Mi

Ri

Rj W ( x) = − V ( x) = −

6000 7 6000

M ( x ) = −

x x 2 + Ri

14 6000

x3 + Rix − Mi

42 6000

EI xxθ ( x ) = −

x4 +

Ri

x5 +

Ri

x2 − Mix + C 1

168 2 x = 0 ⇒ θ ( x ) = 0 ⇒ C 1 = 0

EI xxδ ( x ) = −

6000

x3 −

840 6 x = 0 ⇒ δ ( x ) = 0 ⇒ C 2 = 0

Mi 2

x2 + C 2

x = 7 ⇒ M ( x ) = 0 x = 7 ⇒ δ ( x ) = 0

49000 = 7 Ri − Mi   = 120050 57,16 Ri − 24,5Mi  resolviendo el sistema de ecuaciones resulta: Ri = 9450kgf Mi = 17150mkgf Francisco D’Amico



Ecuación general de la carga: W ( x) = −

6000

x ∀x ∈ [ 0, 7] 7 Ecuación general de la fuerza cortante:

V ( x) = −

6000

x 2 + 9450 ∀x ∈ [ 0,7]

14 Ecuación general del momento flector:

M ( x ) = −

6000

x3 + 9450 x − 17150 ∀x ∈ [ 0, 7]

42 Ecuación general de la deformada:

EI xxδ ( x ) = −

6000

x5 +

9450

840 6 Máximo momento flector:

V ( x) = 0 ⇒ −

6000 14

x3 −

17150 2

x2 ∀x ∈ [ 0,7]

x2 + 9450 = 0

⇒ x1 = 4, 7 m ⇒ x2 = −4, 7m < 0 no es solución M ( 4, 7 ) = 12433,18mkgf M ( 0 ) = −17150mkgf

⇒ M = M ( 0 ) = −17150mkgf para x = 0 


( x ) = 0 ⇒ −35, 71x 4 + 4725x2 − 17150x = 0

⇒ x1 = 0 empotramiento ⇒ x2 = 4,18m ⇒ x3 = 8,83m > 7m no es solución ⇒ x4 = −13, 01m < 0 no es solución ⇒ δ = δ ( 4,18) = −2,18cm para x = 4,18m 

Francisco D’Amico




Guía de Ejercicios 3 A continuación se muestran 4 modelos matemáticos diferentes de vigas hiperestáticas y 6 de vigas isostáticas; utilizando las relaciones entre carga, cortante, momento, rotación y deformación determine para cada viga:

La rotación en las secciones I, J, A y B. El desplazamiento vertical en las secciones I, J, A y B.

Todas las vigas poseen la misma sección transversal típica con inercia Ixx = 10000 cm4 en acero estructural con módulo de elasticidad E = 2100000 kgf/cm 2.

Francisco D’Amico

Rotaciones y Deformaciones en Vigas -

27


Francisco D’Amico


28


Mi

Ri

Rj

Tramo (I-J) 0 ≤ x ≤ 5 W ( x) = 0 V ( x ) = − Ri M ( x ) = − Rix + Mi Ri 2 (1) EI xxθ ( x ) = − x + Mix + C 1 2 x = 0 ⇒ θ ( x ) = 0 ⇒ C 1 = 0 Ri 3 Mi 2 (2) EI xxδ ( x ) = − x + x + C 2 6 2 x = 0 ⇒ δ ( x ) = 0 ⇒ C 2 = 0 condiciones en la frontera: V ( 5 ) = − Ri M ( 5 ) = − 5Ri + Mi EI xxθ ( 5 ) = −

25 2

Ri + 5Mi

Articulación J (condiciones en la frontera) Vj = − Ri + Rj Mj = −5 Ri + Mi Voladizo (J-A) 0 ≤ x ≤ 2 W ( x ) = −1000 (3) V ( x ) = −1000 x − Ri + Rj (4)

( x ) = −500 x2 − Rix + Rjx − 5 Ri + Mi

Francisco D’Amico


29

PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL Guía de Ejercicios (5) EI xxθ ( x ) = −

500

(6) EI xxδ ( x ) = −

500

3

x3 −

Ri

x4 −

2 Ri

12 6 x = 0 ⇒ δ ( x ) = 0 ⇒ C 4 = 0 con (1) y (5): EI xxθ ( 5)

tramo

x2 +

Rj

x3 +

Rj

2 6

x2 − 5 Rix + Mix + C 3 x3 −

= EI xxθ ( 0 )

5 2

Rix2 +

Mi 2

x2 + C3 x + C 4

voladizo

25 25 Ri + 5Mi = C3 ⇒ − Ri + 5 Mi − C 3 = 0 (I) 2 2 125 25 de (2) δ ( 5 ) = 0 ⇒ − Ri + Mi = 0 (II) 6 2 de (3) V ( 2 ) = 0 ⇒ −2000 − Ri + Rj = 0 ⇒ − Ri + Rj = 2000 (III)

−

de (4) M ( 2 ) = 0 ⇒ −2000 − 7Ri + 2Rj + Mi = 0 ⇒ − 7Ri + 2Rj + Mi = 2000 (IV) formando sistema con I, II, III y IV:

 25 − 2   − 125  6  −1   −7

 −1  Ri   0       Rj 25 0      0 0 ⋅ =   Mi  2000  2  1 0 0   C   2000    3   2 1 0  Nodo I: de ecuación (1) θ ( 0) = 0 0

5

Nodo J:

Nodo A:

Rj = 2600kgf Mi = 1000mkgf C3 = −2500kgfm2

( 0) = 0 − de ecuación (1) θ ( 2, 5) = 2, 976 ⋅ 10 4 rad − de ecuación (2) δ ( 2,5) = 7,440⋅ 10 4 m de ecuación (5) θ ( 0) = − 1,190 ⋅ 10−3 rad de ecuación (6) δ ( 0) = 0 de ecuación (5) θ ( 2) = − 1,825 ⋅10−3 rad − de ecuación (6) δ ( 2) = − 3, 333⋅ 10 3 m

de ecuación (2) Nodo B:

Ri = 600kgf

Francisco D’Amico

δ


30


Mi

Ri

Rj

Tramo (I-J) 0 ≤ x ≤ 5 W ( x) = 0 V ( x ) = − Ri M ( x ) = − Rix + Mi Ri 2 (1) EI xxθ ( x ) = − x + Mix + C 1 2 x = 0 ⇒ θ ( x ) = 0 ⇒ C 1 = 0 Ri 3 Mi 2 (2) EI xxδ ( x ) = − x + x + C 2 6 2 x = 0 ⇒ δ ( x ) = 0 ⇒ C 2 = 0 condiciones en la frontera: V ( 5 ) = − Ri M ( 5 ) = − 5Ri + Mi EI xxθ ( 5 ) = −

25 2

Ri + 5Mi

Articulación J (condiciones en la frontera) Vj = − Ri + Rj Mj = −5 Ri + Mi Voladizo (J-A) 0 ≤ x ≤ 2 W ( x ) = −500 x (3) V ( x ) = −250 x 2 − Ri + Rj (4)

( x ) = −

250

Francisco D’Amico

3

x3 − Rix + Rjx − 5 Ri + Mi


31

PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL Guía de Ejercicios (5) EI xxθ ( x ) = −

250

(6) EI xxδ ( x ) = −

250

12

x4 −

Ri

x5 −

Ri

2

60 6 x = 0 ⇒ δ ( x ) = 0 ⇒ C 4 = 0 con (1) y (5): EI xxθ ( 5)

tramo

x2 +

Rj

x3 +

Rj

2 6

x2 − 5 Rix + Mix + C 3 x3 −

= EI xxθ ( 0 )

5 2

Rix2 +

Mi 2

x2 + C3 x + C 4

voladizo

25 25 Ri + 5Mi = C3 ⇒ − Ri + 5 Mi − C 3 = 0 (I) 2 2 125 25 de (2) δ ( 5 ) = 0 ⇒ − Ri + Mi = 0 (II) 6 2 de (3) V ( 2 ) = 0 ⇒ −1000 − Ri + Rj = 0 ⇒ − Ri + Rj = 1000 (III)

−

de (4) M ( 2 ) = 0 ⇒ −

2000

− 7 Ri + 2Rj + Mi = 0 ⇒ −7 Ri + 2Rj + Mi =

3 formando sistema con I, II, III y IV:

 25 − 2   − 125  6  −1   −7

 −1  Ri   0      0  Rj   25 0 0  ⋅   =  1000    Mi  2      2000 1 0 0 C    3   3  2 1 0  0

5

2000 3

(IV)

Ri = 400kgf Rj = 1400kgf Mi = 666,67mkgf C3 = −1666,67kgfm2

( 0) = 0 de ecuación (2) δ ( 0) = 0 Nodo B: de ecuación (1) θ ( 2,5) = 1,984⋅ 10−4 rad de ecuación (2) δ ( 2,5) = 4,960⋅ 10−4 m Nodo J: de ecuación (5) θ ( 0) = − 7, 937 ⋅ 10−4 rad de ecuación (6) δ ( 0) = 0 Nodo A: de ecuación (5) θ ( 2 ) = − 1, 270 ⋅ 10−3 rad de ecuación (6) δ ( 2) = − 2, 286⋅ 10−3 m Nodo I: de ecuación (1)

Francisco D’Amico

θ


32


Ri

Rj

Por simetría: Ri = Rj = 1000kgf Voladizo izquierdo 0 ≤ x ≤ 1 W ( x ) = −1000 V ( x ) = −1000 x M ( x ) = −500 x 2 condiciones en la frontera: V (1) = − 1000kgf M (1) = −500mkgf Articulación I condiciones en la frontera: Vi = −1000 + 1000 = 0 Mi = −500mkgf Tr amo (I-J) 0 ≤ x ≤ 5 W ( x) = 0 V ( x ) = Vi = 0 M ( x ) = −500 (1) EI xxθ ( x ) = −500 x + C 1 (2) EI xxδ ( x ) = −250 x 2 + C1 x + C 2 x = 0 ⇒ δ ( x ) = 0 ⇒ C 2 = 0

= 5 ⇒ δ ( x ) = 0 ⇒ −250 ⋅ 52 + 5C1 ⇒ C1 = 1250kgfm2

Francisco D’Amico


33


( 0) = 5,952 ⋅ 10−4 rad de (2) δ ( 0 ) = 0 Nodo B: de (1) θ ( 2,5) = 0 de (2) δ ( 2, 5) = 7, 440 ⋅ 10−4 m Nodo J: de (1) θ ( 5) = − 5,952 ⋅ 10−4 rad de (2) δ ( 5) = 0 Nodo I: de (1)

θ

Articulación J condiciones en la frontera Vj = 1000kgf Mj = −500mkgf Voladizo derecho 0 ≤ x ≤ 1 W ( x ) = −1000 V ( x ) = −1000 x + 1000 M ( x ) = −500 x 2 + 1000 x − 500 (3) EI xxθ ( x ) = − (4) EI xxδ ( x ) = −

500 3 500

x3 + 500 x 2 − 500 x + C 3 x4 +

500

12 3 x = 0 ⇒ δ ( x ) = 0 ⇒ C 4 = 0 con (1) y (3): EI xxθ ( 5)

tramo

x3 − 250 x2 + C3 x + C 4

= EI xxθ ( 0 )

voladizo derecho

⇒ −500 ⋅ 5 + 1250 = C 3 ⇒ C3 = −1250kgfm2 Nodo A: de (3) de (4)

Francisco D’Amico

(1) = − 6, 746 ⋅ 10− 4 rad −4 δ (1) = − 6, 548 ⋅ 10 m

θ


34


Ri

Rj

Por simetría: Ri = Rj = 500kgf Voladizo izquierdo 0 ≤ x ≤ 1 W ( x ) = 1000 x − 1000 V ( x ) = 500 x 2 − 1000 x M ( x ) =

500

x3 − 500 x

3 condiciones en la frontera:

V (1) = − 500kgf M (1) = −333, 33mkgf Articulación I condiciones en la frontera: Vi = −500 + 500 = 0 Mi = −333,33mkgf Tramo (I-J) 0 ≤ x ≤ 5 W ( x) = 0 V ( x ) = Vi = 0 M ( x ) = −333,33 (1) EI xxθ ( x ) = −333,33x + C 1 (2) EI xxδ ( x ) = − 166,67 x 2 + C1 x + C 2 x = 0 ⇒ δ ( x ) = 0 ⇒ C 2 = 0

= 5 ⇒ δ ( x ) = 0 ⇒ −166, 67 ⋅ 52 + 5C1 ⇒ C1 = 833, 33kgfm2

Francisco D’Amico


35


( 0) = 3,968 ⋅ 10−4 rad de (2) δ ( 0 ) = 0 Nodo B: de (1) θ ( 2,5) = 0 de (2) δ ( 2, 5) = 4, 960 ⋅ 10−4 m Nodo J: de (1) θ ( 5) = − 3,968 ⋅ 10−4 rad de (2) δ ( 5) = 0 Nodo I: de (1)

θ

Articulación J condiciones en la frontera Vj = 500kgf Mj = −333,33mkgf Voladizo derecho 0 ≤ x ≤ 1 W ( x ) = −1000 x V ( x ) = −500 x2 + 500 M ( x ) = −

500 3

x3 + 500 x − 333,33

(3) EI xxθ ( x ) = − (4) EI xxδ ( x ) = −

500 12 500

x 4 + 250 x2 − 333,33x + C 3 x5 +

500

60 3 x = 0 ⇒ δ ( x ) = 0 ⇒ C 4 = 0 con (1) y (3): EI xxθ ( 5)

tramo

x3 − 166,67 x 2 + C3 x + C 4

= EI xxθ ( 0 )

voladizo derecho

⇒ −333, 33 ⋅ 5 + 833, 33 = C 3 ⇒ C3 = −833,33kgfm2 Nodo A: de (3) de (4)

Francisco D’Amico

(1) = − 4,563⋅ 10− 4 rad −4 δ (1) = − 4, 405 ⋅ 10 m

θ


36


Ri

∑ Mi

izquierda

Rj

= ∑ Mi derecha

5 2 0 = −1000 ⋅ ⋅ ⋅ 5 + 5 Rj ⇒ Rj = 1666, 67kgf 2 3 5 F V = 0 ⇒ −1000 ⋅ + 1666, 67 + Ri = 0 ⇒ Ri = 833,33kgf 2 Voladizo izquierdo 0 ≤ x ≤ 1

∑

W ( x) = 0 V ( x) = 0 M ( x ) = 0 Articulación I condiciones en la frontera Vi = 833,33kgf Mi = 0 Tramo 0 ≤ x ≤ 5 W ( x ) = −200 x V ( x ) = −100 x2 + 833,33 M ( x ) = −

100

x3 + 833,33 x

3 V ( 5 ) = −1666, 67kgf

M ( 5 ) = 0 (1) EI xxθ ( x ) = −8,33x 4 + 416, 67 x 2 + C 1 (2) EI xxδ ( x ) = −1, 67 x5 + 138,89 x3 + C1 x + C 2 x = 0 ⇒ δ ( x ) = 0 ⇒ C 2 = 0 x = 5 ⇒ δ ( x ) = 0 ⇒ −1, 67 ⋅ 55 + 138,89 ⋅ 53 + 5C1 = 0 ⇒ C1 = − 2430,56kgfm2 Francisco D’Amico


37


( 0) = − 1,157 ⋅ 10−3 rad de (2) δ ( 0 ) = 0 − Nodo B: de (1) θ ( 2,5) = − 7, 234 ⋅ 10 5 rad − de (2) δ ( 2,5) = − 1,938 ⋅ 10 3 m − Nodo J: de (1) θ ( 5) = 1,323⋅ 10 3 rad de (2) δ ( 5 ) = 0 Nodo I: de (1)

θ

Voladizo derecho 0 ≤ x ≤ 1 W ( x) = 0 V ( x ) = −1666, 67 + 1666, 67 = 0 M ( x ) = 0 (3) EI xxθ ( x ) = C 3 (4) EI xxδ ( x ) = C3 x + C 4 x = 0 ⇒ δ ( x ) = 0 ⇒ C 4 = 0 con (1) y (3): EI xxθ ( 5)

tramo

= EI xxθ ( 0)

voladizo derecho

⇒ −8,33 ⋅ 5 4 + 416, 67 ⋅ 52 − 2430, 56 = C3 ⇒ C 3 = 2777, 78kgfm2 Nodo A: de (3) de (4)

Francisco D’Amico

( 0) = 1, 323⋅ 10−3 rad −3 δ (1) = 1, 323 ⋅ 10 m θ


38


Mi

Ri

Rj

Tramo 0 ≤ x ≤ 5 W ( x ) = −1000 (1) V ( x ) = −1000 x + Ri (2) M ( x ) = −500 x 2 + Rix − Mi (3) EI xxθ ( x ) = −

500 3

x3 +

Ri 2

x 2 − Mix + C 1

x = 0 ⇒ θ ( x ) = 0 ⇒ C 1 = 0 (4) EI xxδ ( x ) = −

500

x4 +

Ri

12 6 x = 0 ⇒ δ ( x ) = 0 ⇒ C 2 = 0

x3 −

Mi 2

x2 + C 2

de (4): x = 5 ⇒ δ ( x ) = 0 ⇒ −26041, 67 + 20,83Ri − 12, 5Mi = 0 (I) de (2): x = 5 ⇒ M ( x ) = 0 ⇒ −12500 + 5Ri − Mi = 0 (II) formando sistema con ecuaciones I y II: Ri = 3125kgf  20,83 −12,5  Ri   26041, 67 ⋅ = ⇒    5 −1   Mi   12500  Mi = 3125mkgf  condiciones en la frontera: V ( 5 ) = −5000 + 3125 = − 1875kgf M ( 5 ) = −12500 + 5 ⋅ 3125 − 3125 = 0

∑ F

V

= 0 ⇒ −1000 ⋅ 5 + 3125 + Rj = 0 ⇒ Rj = 1875kgf

Francisco D’Amico


39

PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL Guía de Ejercicios Articulación J condiciones en la frontera: Vj = −1875 + 1875 = 0 Mj = 0 Voladizo 0 ≤ x ≤ 2 W ( x) = 0 V ( x) = 0 M ( x ) = 0 (5) EI xxθ ( x ) = C 3 (6) EI xxδ ( x ) = C3 x + C 4 x = 0 ⇒ δ ( x ) = 0 ⇒ C 4 = 0 con (3) y (5): EI xxθ ( 5)

⇒−

500

⋅ 53 +

3125

tramo

= EI xxθ ( 0 )

voladizo derecho

⋅ 52 − 3125 ⋅ 5 = C3 ⇒ C3 = 2604,16kgfm2

3 2 Nodo I: de (3): θ ( 0) = 0

( 0) = 0 de (3): θ ( 2,5) = − 3,100⋅ 10−4 rad de (4): δ ( 2,5) = − 1, 550 ⋅ 10−3 m de (3): θ ( 5) = 1, 240 ⋅ 10−3 rad de (4): δ ( 5) = 0 − de (5): θ ( 2) = 1, 240 ⋅ 10 3 rad − de (6): δ ( 2 ) = 2, 480 ⋅ 10 3 m

de (4): Nodo B:

Nodo J:

Nodo A:

Francisco D’Amico

δ


40


Mi

Ri

Rj

Tramo 0 ≤ x ≤ 5 W ( x ) = 200 x − 1000 (1) V ( x ) = 100 x 2 − 1000 x + Ri



(2) M ( x ) = 33,3x3 − 500 x2 + Rix − Mi





(3) EI xxθ ( x ) = 8, 3x 4 − 166, 6x3 +

Ri 2

x2 − Mix + C 1

x = 0 ⇒ θ ( x ) = 0 ⇒ C 1 = 0





(4) EI xxδ ( x ) = 1, 6x5 − 41, 6x4 +

Ri 6

x3 −

Mi 2

x2 + C 2

x = 0 ⇒ δ ( x ) = 0 ⇒ C 2 = 0



de (4): x = 5 ⇒ δ ( x ) = 0 ⇒ −20833, 3 + 20,83 Ri − 12, 5Mi = 0 (I)



de (2): x = 5 ⇒ M ( x ) = 0 ⇒ −8333,3 + 5Ri − Mi = 0 (II) formando sistema con ecuaciones I y II:

  Ri Ri = 2000kgf   20833,3  20,83 −12,5 ⋅ = ⇒       5 −1   Mi   8333,3  Mi = 1666,67mkgf  condiciones en la frontera: V ( 5 ) = −2500 + 2000 = − 500kgf



M ( 5 ) = −8333, 3 + 5 ⋅ 2000 − 1666, 67 = 0

∑ F

V

= 0 ⇒ −2500 + 2000 + Rj = 0 ⇒ Rj = 500kgf

Francisco D’Amico


41

PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL Guía de Ejercicios Articulación J condiciones en la frontera: Vj = −500 + 500 = 0 Mj = 0 Voladizo 0 ≤ x ≤ 2 W ( x) = 0 V ( x) = 0 M ( x ) = 0 (5) EI xxθ ( x ) = C 3 (6) EI xxδ ( x ) = C3 x + C 4 x = 0 ⇒ δ ( x ) = 0 ⇒ C 4 = 0 con (3) y (5): EI xxθ ( 5)

tramo

= EI xxθ ( 0 )

voladizo derecho

 ⇒ C3 = 1041,6kg fm 2

( 0) = 0 de (4): δ ( 0 ) = 0 − Nodo B: de (3): θ ( 2,5) = − 9,301⋅ 10 5 rad − de (4): δ ( 2,5) = − 6, 975 ⋅ 10 4 m Nodo J: de (3): θ ( 5) = 4,960 ⋅ 10−4 rad de (4): δ ( 5 ) = 0 Nodo A: de (5): θ ( 2) = 4,960 ⋅ 10−4 rad de (6): δ ( 2 ) = 9, 921⋅ 10−4 m Nodo I: de (3):

Francisco D’Amico

θ


42


Ri

∑ Mi

izquierda

Rj

=∑ Mi derecha

 1 1 − ⋅1 ⋅1000 ⋅ = 5 Rj ⇒ Rj = 33, 3kgf 3

2

∑

F V = 0 ⇒ −1000 ⋅

1

  − 33,3 + Ri = 0 ⇒ Ri = 533,3kgf

2 Voladizo izquierdo 0 ≤ x ≤ 1

W ( x ) = −1000 x V ( x ) = −500 x2



M ( x ) = −166,6x3 condiciones en la frontera: V (1) = − 500kgf



M (1) = −166, 6mkgf Articulación I condiciones en la frontera:





Vi = −500 + 533,3 = 33,3kgf



Mi = −166,6mkgf Tramo 0 ≤ x ≤ 5 W ( x) = 0



V ( x ) = 33,3





M ( x ) = 33,3x − 166, 6





(1) EI xxθ ( x ) = 16, 6x 2 − 166, 6x + C 1





(2) EI xxδ ( x ) = 5, 5x3 − 83, 3x2 + C1 x + C 2 x = 0 ⇒ δ ( x ) = 0 ⇒ C 2 = 0

Francisco D’Amico


43

PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL Guía de Ejercicios 





= 5 ⇒ δ ( x ) = 0 ⇒ 5,5 ⋅ 5 − 83,3 ⋅ 5 + 5C1 = 0 ⇒ C1 = 277, 7kgfm2 3

2

condiciones en la frontera:



V ( 5 ) = 33, 3kgf M ( 5 ) = 0 Articulación J condiciones en la frontera:





Vj = 33, 3 − 33, 3 = 0 Mj = 0 Voladizo derecho 0 ≤ x ≤ 1 W ( x) = 0 V ( x) = 0 M ( x ) = 0 (3) EI xxθ ( x ) = C 3 (4) EI xxδ ( x ) = C3 x + C 4 x = 0 ⇒ δ ( x ) = 0 ⇒ C 4 = 0 con (1) y (3): EI xxθ ( 5)

tramo

= EI xxθ ( 0 )

voladizo derecho

 ⇒ C3 = −138,8kgfm2

( 0) = 1, 323⋅ 10− 4 rad de(2): δ ( 0 ) = 0 − Nodo B de(1): θ ( 2,5) = − 1, 653⋅ 10 5 rad − de(2): δ ( 2, 5) = 1, 241⋅ 10 4 m − Nodo J de(1): θ ( 5) = − 6,614 ⋅ 10 5 rad de(2): δ ( 5) = 0 Nodo A de(3): θ (1) = 6, 614 ⋅ 10− 5 rad de(4): δ (1) = − 6, 614 ⋅ 10− 5 m Nodo I de(1):

Francisco D’Amico

θ


44


Ri

Rj

Por simetría: Ri = Rj = 2500kgf Tramo 0 ≤ x ≤ 5 W ( x ) = −1000 V ( x ) = −1000 x + 2500 M ( x ) = −500 x 2 + 2500 x



(1) EI xxθ ( x ) = −166, 6x3 + 1250 x 2 + C 1





(2) EI xxδ ( x ) = −41, 6x 4 + 416, 6x3 + C1 x + C 2 x = 0 ⇒ δ ( x ) = 0 ⇒ C 2 = 0



x = 5 ⇒ δ ( x ) = 0 ⇒ C1 = −5208, 3kgfm2

( 0 ) = −2, 480 ⋅10−3 rad de (2): δ ( 0 ) = 0 Nodo B de (1): θ ( 2,5) = 0 de (2): δ ( 2, 5) = − 3,875 ⋅ 10−3 m Nodo J de (1): θ ( 5) = 2, 480 ⋅ 10−3 rad de (2): δ ( 5) = 0 Nodo I de (1):

θ

condiciones en la f rontera: V ( 5 ) = − 2500kgf M ( 5 ) = 0

Francisco D’Amico


45

PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL Guía de Ejercicios Articulación J condiciones en la frontera: Vj = −2500 + 2500 = 0 Mj = 0 Voladizo derecho 0 ≤ x ≤ 1 W ( x) = 0 V ( x) = 0 M ( x ) = 0 (3) EI xxθ ( x ) = C 3 (4) EI xxδ ( x ) = C3 x + C 4 x = 0 ⇒ δ ( x ) = 0 ⇒ C 4 = 0 con (1) y (3): EI xxθ ( 5)

tramo

= EI xxθ ( 0 )

voladizo derecho

 ⇒ C 4 = 5208,3kgfm2 Nodo A de (3): de (4):

Francisco D’Amico

(1) = 2, 480 ⋅ 10−3 rad −3 δ (1) = 2, 480 ⋅ 10 m

θ


46


Ri

Rj

Por simetría: Ri = Rj = 1250kgf Tramo-segmento (I-B) 0 ≤ x ≤ 2, 5 W ( x ) = 400 x − 1000 (1) V ( x ) = 200 x2 − 1000 x + 1250



(2) M ( x ) = 66, 6x3 − 500 x2 + 1250 x





(3) EI xxθ ( x ) = 16, 6x 4 − 166, 6x3 + 625x2 + C 1 (4) EI xxδ ( x ) = 3,3x5 − 41, 6x 4 + 208,3x3 + C 1 x + C 2







x = 0 ⇒ δ ( x ) = 0 ⇒ C 2 = 0 de (1): V ( 2, 5) = 0



de (2): M ( 2,5) = 1041,6mkgf Tramo-segmento (B-J) 0 ≤ x ≤ 2, 5 W ( x ) = −400 x (5) V ( x ) = −200 x 2





(6) M ( x ) = −66, 6x3 + 1041, 6





(7) EI xxθ ( x ) = −16, 6x 4 + 1041, 6x + C 3





(8) EI xxδ ( x ) = −3, 3x5 + 520,83x 2 + C3 x + C 4 con (3) y (7): EI xxθ ( 2,5)

( I − B )

= EI xxθ ( 0)

( B − J )

  ⇒ 16, 6 ⋅ 2, 54 − 166, 6 ⋅ 2, 53 + 625⋅ 2,52 + C1 = C 3 (I) con (4) y (8): EI xxδ ( 2, 5)

( I − B )

= EI xxδ ( 0)

( B − J )

   ⇒ 3,3 ⋅ 2,55 − 41, 6 ⋅ 2,54 + 208, 3⋅ 2,53 + 2,5C1 = C 4 (II)

Francisco D’Amico


47

VIGAS POR METODO DE INTEGRALES.pdf

Recommend Documents