INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO “SANTIAGO MARIÑO” EXTENSIÓN BARINAS ESCUELA DE INGENIERÍA CIVIL
Prof. Enrique Andueza Bachilleres: Pérez Rogelys C.I. 18036760
Enero, 2012
CÁLCULO DE VIGAS CONTÍNUAS POR EL METODO DE HARDY CROSS El cálculo de un pórtico de vigas continuas constituye un problema común en el calculista de estructuras de edificios, a los fines de obtener el armado final de las mismas. La secuencia de cálculo a continuación parece difícil, pero no lo es, sólo hay que cuidar el orden y los signos. Cuando cargas y luces son similares o la menor no difiere del 80% de la mayor podemos emplear el Método de los Coeficientes, bastante expeditivo, que nos proporciona los Momentos Definitivos de apoyo, es decir los momentos negativos, y los Momentos Máximos de Tramo, es decir los positivos. Una vez determinados los momentos se puede obtener la armadura de las vigas. Si las cargas y luces difieren bastante podemos emplear el Método de Cross, que nos proporciona sólo los Momentos definitivos de apoyo. Es más laborioso pero de buena exactitud. Y después pasamos a calcular todos los demás valores. Ambos métodos son aplicables al cálculo de losas, tomando las mismas como vigas de 1mde ancho.
METODO DE LOS COEFICIENTES La figura muestra los valores de los denominadores de cada tramo y apoyo. Para el cálculo se promedian las cargas y las luces concurrentes a cada apoyo.
El análisis estructural necesario para las grandes construcciones de estructuras de hormigón armado en 1950 era una tarea formidable. Esto es un atributo a la profesión de ingeniería, y para Hardy Cross, que aquí existen tan pocos fallos. Cuando los ingenieros tienen que calcular los esfuerzos y deflexiones en un marco estáticamente indeterminado, ellos inevitablemente vuelven a lo que fue conocido como "Distribución de Momentos" o "Método de Hardy Cross". En el método de distribución de momentos, los momentos en los
extremos fijos de los marcos son gradualmente distribuidos a los miembros adyacentes en un número de pasos tales que el sistema eventualmente alcanza su configuración de equilibrio natural. Sin embargo, el método era todavía una aproximación pero podía ser resuelto a ser muy cercano a la solución real. El método de Hardy Cross es esencialmente el método de Jacobi aplicado a las fórmulas de desplazamiento de análisis estructural. En 1930, el profesor Hardy Cross expuso en su obra el método de aproximaciones sucesivas que lleva su nombre. El método de cross es un procedimiento ideado para resolver el problema de las estructuras reticulares. El cálculo es relativamente sencillo, sin que aparezcan en su desarrollo integraciones complejas ni sistemas de ecuaciones complicados. Es más, una vez comprendido el mecanismo del método, las operaciones matemáticas se reducen a sumas, restas, multiplicaciones y divisiones. Además, no exige recordar nada de memoria. Si se dispone de unas tablas de momentos, rigideces y factores de transmisión, puede resolverse cualquier estructura. Si, como es frecuente, se trata de estructuras con piezas de sección constante en cada vano y con cargas uniformemente distribuidas, ni siquiera es necesario el empleo de tablas. El método de Cross es un método de aproximaciones sucesivas, que no significa que se a aproximado. Quiere decir que el grado de precisión en el cálculo puede ser tan elevado como lo desee el calculista. El método permite seguir paso a paso el proceso de distribución de momentos en la estructura, dando un sentido físico muy claro a las operaciones matemáticas que se realizan.
Datos Portico de Hormigón Armado Vigas 20/50 Columnas 20/30 Peso propio vigas q = 250kg/ml Sobrecarga q= 300 kg/ml P = 150 kg L1= 3,00 m. L2 = 6,00 m. h= 3,00 m.
I.- ANTECEDENTES PREVIOS
1.- Cálculo Momentos de Empotramiento Perfecto
Carga Uniformemente Distribuida (en este caso peso propio de vigas) Memp = q x (L)2 / 12
Memp(4-5) = 250 x (3)2 / 12 = 187,50 Kgm
Memp(5-6) = 250 x (6)2 / 12 = 750,00 Kgm
Carga con distribución triangular (Tramo viga 4-5) Memp = 5 x q x (L)2 / 96
Memp (4-5) = 5 x 300 x (3)2 / 96 = 140,63 Kgm
Momento Final Tramo 4-5 a la izquierda y derecha Memp(4-5) I – D = 187,50 + 140,63 = 328,13 Kgm
Cargas puntuales en los tercios de la luz Mempt = 2 x P x L / 9
Memp(5-6) = 2 x 150 x 6 / 9 = 200,00 kgm
Momento Final Tramo 5-6 a la izquierda y derecha Memp(5-6) I – D) = 750,00 + 200,00 = 950,00 Kgm
2.- Cálculo de Rigideces de las Barras ( E x I / L )
Barras 1-4 y 3-6 (columnas de extremos) I = 20 x (30)3 / 12 = 45000 por lo que la rigidez será K = 45000 / 300 = 150
Barra 2-5 I = 30 x (20)3 / 12 = 20000
K = 20000/300 = 66,67
Barra 4-5 I = 20 x (50)3 / 12 = 208333
K = 208333/ 300 = 694,44
Barra 5-6 I = 20 x (50)3 / 12 = 208333
K= 208333/ 600 = 347,22
3.- Coeficientes de Distribución por Nudo
En los nudos 1, 2 y 3, el empotramiento tiene una rigidez infinita comparada con las barras que llegan a cada nudo por lo tanto el coeficiente de distribución de las barras es:
CD(1-4) = CD(2-5) = CD(3-6) = 0
En los nudos 4 y 6 llegan dos barras de distinta rigidez por lo tanto el coeficiente de distribución para cada una de ellas es:
CD(4-5) = 694,44 / ( 694,44 + 66,7 ) = 0,91 CD( 4 -1) = 1 – 0,91 = 0,09 es lo mismo que hacer CD(4 -1) = 66,7 / (694,44 + 66,7) = 0,09
CD(6 -5) = 347,22 / ( 347,22 + 66,7) = 0,84 CD(6 -3) = 1 – 0,84 = 0,16
En el nudo 5 llegan tres barras de distintas rigideces por lo tanto el coeficiente de distribución para cada una de ellas es:
CD(5 -4) = 694,44 / (694,44 + 347,22 + 66,7) = 0,58
CD(5-6)= 347,22 / (694,44 + 347,22 + 66,7) = 0,29
CD(5 -2) = 1 – 0,58 – 0,29 = 0,13
sale por diferencia al equilibrio del nudo en el valor 1;
también se puede calcular como los anteriores es decir la rigidez de la barra dividido por la sumatoria de las rigideces de las barras que llegan al nudo.-
II.- DESARROLLO En el caso de los pórticos, como en el de las vigas hiperestáticas analizadas en los ejemplos anteriores, el método de Cross nos proporciona el valor de los momentos en los nudos. Los momentos de tramo se obtiene en los respectivos tramos de viga, tal como en los otros casos, con las mismas herramientas utilizadas hasta ahora en una viga isostática cualquiera.
Nudo
1
4
Rama
1- 4
CD
0,00
0,09
0,91
0,56
0,29
0,13
0,84
0,16
0,00
Mto Per
0,00
0,00
-328,13
328,13 -950
0,00
950
0,00
0,00
Reparto
0,00
29,63
298,60
360,68 180,34 80,85
-796
-152
0,00
180,34
149,30 -399
0,00
90,17
0,00
-76,00
144,83 72,41
32,46
-75,74 -14,43 0,00
4 -1
Traspaso 14,77 0 Reparto
0,00
5 4 -5
-16,23 -164,11
5-4
5-6
6 5-2
6-5
3 6-3
Traspaso -8,12 0,00
72,41
-82,06 -37,87 0,00
36,21
Reparto
-65,90
69,56
-30,41 -5,80
0,00
Traspaso -3,26 0,00
34,78
-32,95 -15,21 0,00
17,39
-2,90
Reparto
-3,13
-31,65
27,93
-14,61 -2,78
3,66
-3,66
965,42 -1100
0,00
0,00
Mto. Fin 3,39
-6,51
34,78
13,96
15,59
6,27
0,00
3-6
0,00
135,17 175,01 -175
-7,22
0,00 -86,12
