DISEÑO DE VIGAS RECTANGULARES POR CORTANTE (PARA VIGAS DE CONCRETO, SEGÚN NTC-04)
La resistencia al corte de una viga de concreto armado
V R
está dada por dos componentes:
V R ＝ V CR + V RE
En donde: V CR =resistencia al corte que aporta el concreto y el acero
longitudinal de una sección.
V RE =resistencia al corte que aporta el el refuerzo de acero transversal.
Para calcular la primera componente, "i ρ ≤ 0.015 , entonces: o ien, en caso contrario: "i ρ > 0.015 , entonces:
V CR , se tienen
V CR ＝ F R ⋅ b ⋅ d ⋅
dos condiciones (sólo se deerá aplicar una!: 30
0.85 f´ ⋅ ρ + 0.2 ⋅ ‾‾‾‾‾ c
V CR ＝ 0.5 F R ⋅ b ⋅ d ⋅
‾‾‾‾‾ 0.85 f´ c
En estas e#presiones, se tiene que: F R =factor de reducción por efecto de cortante, es igual
a $.%, seg&n las ').
b =anc*o de la ase de la viga. d =peralte o altura efectiva de la viga. f´ c =resistencia nominal del concreto, a la compresión simple. ρ =cuant+a de acero de la viga.
Por otra parte, para calcular la segunda componente, V RE si el -estrio- se coloca en posición vertical es decir, tranversal al e/e longitudinal de la viga (lo cual es muy frecuente!, se tiene: F R ⋅ f y ⋅ AV ⋅ d V RE ＝ ――― S
En la cual: Av =área tranversal del acero del estrio (se toma en cuanta el n&mero de -ramas-! S =separación o espaciamiento entre los estrios. f y =esfuerzo l+mite de fluencia del acero (depende del grado
estructural del acero empleado!.
Los otros parámetros tienen su significado indicado arria del estas l+neas. En el dise0o de vigas *ay dos prácticas que frecuentemente se llevan a cao, la primera es -proponer- el calire (diámetro! y la separación de los estrios que se emplearán, con esto es posile calcular directamente la componente V RE . El otro procedimiento consiste en proponer solamente el calire del estrio y calcular a*ora la separación o espaciamiento al cual deerán colocarse 1stos. En esta segunda práctica deerá conocerce previamente el valor del cortante <imo que se presentará en la viga, V u .
)uando se elige la segunda opción es decir, conociendo el calire del estrio y el cortante <imo, se tiene que la separación se calcula con la siguiente e#presión: F R ⋅ f y ⋅ Av ⋅ d S ＝ ――― V u - V CR
La distancia o tramo en el que se deerán colocar los estrios a esta separación calculada, a partir del apoyo de la viga, es: X PIC ⋅ V u - V CR X EST ＝ ―――― V u
2*ora X PIC = es la distancia de la viga en la cual el cortante va de su má#imo valor es su diagrama *asta el cual se vuelve cero (punto de infle#ión del cortante!. En cualquier caso, se deerá verificar siempre que el cortante resistente sea mayor o al menos igual al cortante <imo que estará actuando en la viga es decir: V R ≥ V u
3inalmente, *ay unas 4isposiciones 5eglamentarias que deerán verificarse en relación al dise0o por cortante, estás son las sigueintes: 6. En ning&n caso se permitirá que
V u > 2 ⋅ F R ⋅ b ⋅ d 7
‾‾‾‾‾ 0.85 f´ c
F R ⋅ Av ⋅ f y 8. La separación de los estrios, ", no deerá e#ceder ―― 3.5 ⋅ b
9. "i
V CR < V u ≤ 1.5 ⋅ F R ⋅ b ⋅ d ⋅
‾‾‾‾‾ 0.85 f´ c ,entonces la separación má#ima de estrios será:
S max ＝ 0.5 ⋅ d
pero si
V u > 1.5 ⋅ F R ⋅ b ⋅ d ⋅
0.85
f´ c
entonces la separación má#ima será: S max ＝ 0.25 ⋅ d
. En todos los casos, la separación de estrios m+nima será:
S min ＝ 5 cm
E/emplo 6: )alcule la resistencia por cortante de la siguiente viga además indique si la separación de estrios se acepta o no. 42;":
Parámetros mecánicos de los materiales: 5esistencia a la compresión simple del concreto,
f´ c ≔ 200
cm
kgf
―
2
cm
kgf
2rmado de la viga acero longitudinal: varillas del 'o. acero transversal: Estrios del 'o.8 (dos ramas!
Esfuerzo l+mite de fluencia del acero (
cm 2
"eparación de estrios, S ≔ 15 )ortante <imo,
cm
3actor de resistencia, F R ≔ 0.8
10000 kgf V u ≔
";L)>?': Primero deemos calcular la cuant+a de acero de la viga (mediante el armado longitudinal por fle#ión! para saer cuál fórmula emplear para calcular la resistencia, para ello: Las varillas del 'o. , tienen un área transversal a s ≔ 1.27 varillas, se tiene que As ≔ 4 ⋅ a s = 5.08 cm
cm 2
por lo tanto, como el armado son
2
A
La cuant+a de la viga es, ρ ≔ ―s = 0.0045 b ⋅ d ⎛ kgf ⎞ f´ c ⋅ ― = 3936.555 kgf cm ⎝ ⎠ 0.5
como ρ < 0.015 , entonces: V CR ≔ F R ⋅ b ⋅ d ⋅
30
⋅ ρ + 0.2 ⋅
0.85
2
2*ora, como conocemos el calire de los estrios y la separación a la cual se colocarán, podemos calcular la resistencia al cortante que ellos aportan pero primero determinamos el área transversal de los estrios, como son de dos ramas, entonces, Av ≔ 2 ⋅ 0.32 cm = 0.64 cm 2
2
F R ⋅ f y ⋅ Av ⋅ d V R ≔ ――― = 3886.08 kgf S
Entonces la resistencia total al corte de la viga es,
V R ≔ V CR + V R = 7822.635 kgf
como V R < V u significa que con esos estrios indicados a una separación de 6@ cm, la viga no resistirá la fuerza cortante que actuará en ella por ello se proponen los mismos estrios pero menos espaciados, a*ora S ≔ 10 cm y volvemos a calcular la resistencia. F R ⋅ f y ⋅ Av ⋅ d V R ≔ ――― = 5829.12 kgf S
a*ora la resistencia total al corte de la viga es, V R ≔ V CR + V R = 9765.675 kgf la cual es prácticamente igual al cortante <imo, por lo que es aceptale esa separación de estrios.
Por <imo verificamos las 4isposiciones 5eglamentarias: 6. En ning&n caso se permitirá que V u > 2 ⋅ F R ⋅ b ⋅ d ⋅ ‾‾‾‾‾ 0.85 f´ c ⎛ kgf ⎞ 2 ⋅ F = 23469.129 kgf por lo tanto S !" #$%pl" R ⋅ b ⋅ d ⋅ 0.85 f´ c ⋅ ― ⎝ cm ⎠ 0.5
2
F R ⋅ Av ⋅ f y 8. La separación de los estrios, ", no deerá e#ceder ―― 3.5 ⋅ b ⎛ cm ⎞ F R ⋅ Av ⋅ f y ―― ⋅ ― = 14.804 cm por lo tanto S !" #$%pl" 3.5 ⋅ b ⎝ kgf ⎠ 2
9. "i
V CR < V u ≤ 1.5 ⋅ F R ⋅ b ⋅ d ⋅
‾‾‾‾‾ 0.85 f´ c ,entonces la separación má#ima de estrios será:
S ma! ＝ 0.5 ⋅ d
pero si
V u > 1.5 ⋅ F R ⋅ b ⋅ d ⋅
0.85
f´ c
entonces la separación má#ima será: S ma! ＝ 0.25 ⋅ d
⎛ kgf ⎞ como 1.5 ⋅ F R ⋅ b ⋅ d ⋅ ‾‾‾‾‾ 0.85 f´ ⋅ = 17601.846 kgf entonces, S ma! ≔ 0.5 ⋅ d = 22.5 cm c ― cm ⎝ ⎠ 0.5
2
. En todos los casos, la separación de estrios m+nima será: 3inalmente, como:
S m"# ≤ S ≤ S ma!
S m"# ＝ 5 cm
la separación propuesta "=6$ cm de los estrios es adecuada.
Ejemplo 2: Calcule la separación de estribos de la siguiente viga; además indique si la separación de estribos se acepta o no. DAT!: "eometr#a de la viga anc$o% b ≔ 30 cm altura e&ectiva% d ≔ 40
,arámetros mecánicos de los materiales: -esistencia a la compresión simple del concreto%
f´ c ≔ 200
cm
kgf
―
2
cm
kgf
Armado de la viga acero longitudinal: ' varillas del (o. ) acero transversal: Estribos del (o.2 *dos ramas+
Es&uero l#mite de &luencia del acero *"rado A/)2+% f y ≔ 2530 ―
2
cm
Distancia a la cual el cortante es nulo% Cortante 0ltimo%
10000 kgf V u ≔
X PIC ≔ 3 m
1actor de resistencia% F R ≔ 0.8
!3C45(: ,rimero debemos calcular la cuant#a de acero de la viga *mediante el armado longitudinal /por &le6ión/+ para saber cuál &órmula emplear para calcular la resistencia% para ello: as varillas del (o. )% tienen un área transversal a s ≔ 1.27 varillas% se tiene que As ≔ 6 ⋅ a s = 7.62 cm
2
cm
; por lo tanto% como el armado son '
2
A
a cuant#a de la viga es% ρ ≔ ―s = 0.0064 b ⋅ d ⎛ kgf ⎞ ⋅ ‾‾‾‾‾ 0.85 f´ ⋅ = 4887.837 kgf c ― cm ⎝ ⎠ 0.5
como ρ < 0.015 % entonces: V CR ≔ F R ⋅ b ⋅ d ⋅
30
⋅ ρ + 0.2
2
A$ora% como conocemos el calibre de los estribos% podemos calcular la separación a la cual deberán espaciarse esos estribos; pero primero determinamos el área transversal de los estribos% como son de dos ramas% entonces% A ≔ 2 ⋅ 0.32 cm = 0.64 cm 2
F R ⋅ f y ⋅ A ⋅ d ! ≔ ――― = 10.136 cm V u - V CR
2
,ara &ines prácticos% ! ≔ 10
cm
veri&icamos las Disposiciones -eglamentarias: 7. En ning0n caso se permitirá que V u > 2 ⋅ F R ⋅ b ⋅ d ⋅ ‾‾‾‾‾ 0.85 f´ c ⎛ kgf ⎞ ‾‾‾‾‾ b d f´ 2 ⋅ F ⋅ ⋅ ⋅ 0.85 ⋅ = 25033.737 kgf ; por lo tanto SÍ se cumple R c ― ⎝ cm ⎠ 0.5
2
F R ⋅ A ⋅ f y 2. a separación de los estribos% !% no deberá e6ceder ―― 3.5 ⋅ b ⎛ cm ⎞ F R ⋅ A ⋅ f y ―― ⋅ ― = 12.337 cm ; por lo tanto SÍ se cumple 3.5 ⋅ b ⎝ kgf ⎠ 2
8. !i
V CR < V u ≤ 1.5 ⋅ F R ⋅ b ⋅ d ⋅
‾‾‾‾‾ 0.85 f´ c %entonces la separación má6ima de estribos será:
S max ＝ 0.5 ⋅ d ;
pero si
V u > 1.5 ⋅ F R ⋅ b ⋅ d ⋅
0.85
f´ c
; entonces la separación má6ima será: S max ＝ 0.25 ⋅ d
⎛ kgf ⎞ como 1.5 ⋅ F R ⋅ b ⋅ d ⋅ ‾‾‾‾‾ 0.85 f´ = 18775.303 kgf ; entonces% S max ≔ 0.5 ⋅ d = 20 cm c ⋅ ― ⎝ cm ⎠ 0.5
2
). En todos los casos% la separación de estribos m#nima será: como:
S min ≤ S ≤ S max la
S min ＝ 5 cm
separación propuesta !97 cm de los estribos es adecuada.
1inalmente% la distancia o el tramo /a partir del apoo de la viga/ en el cual deberán colocarse los estribos a la separación calculada% !% es
X EST ≔
X PIC ⋅ V u - V CR V u
= 1.53 m
