Facultad de Ingeniería Instituto de Ciencias Básicas
“APUNTES “APUNTES DE O ONDAS” (Primera versión)
Julio Pozo Pérez y Alejandro León Zapata
2006
“Apuntes de Ondas”
Julio Pozo y Alejandro León
1. Introducción La luz visible visible está compuesta
de radiación electromagnética con longitudes de ondas
ubicada en una región estrecha del espectro, comprendidas aproximadamente entre los 4.0 × 10
−7
m
y
7.2 × 10
−7
m.
Muchas propiedades físicas están determinadas por la
naturaleza de las ondas electromagnéticas y por la forma forma en que éstas interactúan con la materia . El desarrollo sistemático de la problemática planteada anteriormente, trae como consecuencia la vinculación de las diferentes temáticas involucradas en estos apuntes, las cuales van fundamentalmente desde las propiedades de las ondas hasta física moderna
2. Propagación de una perturbación en una dirección: Consideremos una perturbación que se propaga a lo largo de una cuerda con una velocidad constanteυ constante υ .. El desplazamiento de la cuerda es perpendicular a la dirección del movimiento de la perturbación mientras ésta se propaga a lo largo de la cuerda, cada punto de ésta se se mueve solamente de un lado a otro. Las perturbaciones de esta clase reciben el nombre de perturbaciones u ondas transversales . La luz también es una perturbación transversal, donde su campo eléctrico y magnético varían en dirección perpendicular a la dirección de propagación. Si al propagarse la perturbación en un medio éste oscila en la dirección de propagación, entonces se trata de una perturbación u onda longitudinal
En forma general, consideremos la propagación de una perturbación a lo largo del eje x en el tiempo t y designemos por Ψ( x , t ) a la magnitud perturbada (también llamada frecuentemente función de onda). Cabe destacar que ésta puede ser una magnitud tanto escalar como vectorial. Supondremos, además, que esta perturbación se propaga sin deformarse ( lo que corresponde a la realidad en muchos casos), con lo cual se dice que estamos en presencia de una perturbación de forma permanente. En particular
consideremos dos puntos, x1 en
el instante t 1 y x 2 en el instante t 2 . Entonces se debe cumplir:
Ψ( x1 , t1 ) = Ψ( x 2 , t 2 )
2
“Apuntes de Ondas”
Julio Pozo y Alejandro León
donde se ha tenido presente que x 2 − x1 = υ ( t 2 − t 1 ) o también
x1 − υ t 1 = x 2 − υ t 2 = Cte
Esto muestra que Ψ se puede escribir como
Ψ ( x, t ) = f ( x m υ t )
(1)
donde el signo menos indica que la perturbación se propaga en el sentido de las x positivas, y el signo más, en el sentido de las x negativas.
¿Qué es una onda?. Se puede decir que una onda es una perturbación que se propaga en el espacio y en el tiempo transportando energía y momentum (no transporta materia).
Respecto del medio en el cual se propagan las ondas existen dos tipos de ondas:
Ondas Mecánicas (necesitan de un medio para propagarse, ejemplo el sonido) Ondas Electromagnéticas (no necesitan de un medio para propagarse, pueden propagar en el vacío, ejemplo Ondas de Radio y TV entre otras)
3
“Apuntes de Ondas”
Julio Pozo y Alejandro León
3. Ecuación Diferencial de una Onda (Escalar): Una propiedad importante de la función Ψ( x , t ) , se obtiene calculando sus derivadas parciales: Sea Ψ( x , t ) = f (ε ) donde ε = ( x m υ t ) , derivando la ecuación (1), dos veces con respecto a x y dos veces con respecto a t , se encuentra:
∂ 2 Ψ ( x , t ) ∂ x 2
=
∂ 2 f ( ε ) ∂ ε 2
y
∂ 2 Ψ ( x , t ) ∂ t 2
= υ
2
∂ 2 f ( ε ) ∂ ε 2
Comparando ambas ecuaciones, y poniendo Ψ = Ψ( x , t ) se tiene:
(2)
∂ 2 Ψ ∂ x 2
=
1 ∂ 2 Ψ υ 2
∂ t 2
que corresponde a la ecuación diferencial unidimensional de una onda.
Además, se sabe que la solución general de la ecuación diferencial (2) es de la forma:
(3)
Ψ ( x, t ) = f 1 ( x − υ t ) + f 2 ( x + υ t )
4. Ondas periódicas sinusoidales Para estudiar la propagación de estas ondas, basta considerar una perturbación sinusoidal. Las ondas descritas mediante esta función, reciben el nombre de ondas armónicas
4
“Apuntes de Ondas”
Julio Pozo y Alejandro León
Sea una onda armónica progresiva de la forma:
(4)
Ψ ( x, t ) = Asenk ( x m υ t )
Dado que el argumento de la función sinusoidal debe ser adimensional, se introduce introduce una constante positiva k , que corresponde al número de propagación o número de ondas. El valor máximo de Ψ es la amplitud A . Puesto Puesto que la función de onda se repite a sí misma después de un período espacial λ (longitud λ (longitud de onda) se escribe:
(5)
Ψ ( x, t ) = Ψ ( x ± λ , t )
de lo anterior se tiene que el número de propagación está dado por:
(6)
k =
2π λ
5
“Apuntes de Ondas”
Julio Pozo y Alejandro León
En forma análoga, considerando τ como período temporal se tiene:
Ψ ( x, t ) = Ψ ( x, t ± τ )
(7)
donde se cumple que τ = λ / υ , de de est esta forma:
(8) a
υ =
λ τ
= λ v con
v =
1
ν : ν : frecuencia
τ
teniendo presente ( 6), se puede escribir que:
(8) b
donde
υ =
ω k
= 2π / τ es la velocidad angular.
Con todo esto, la función de onda (4) se puede expresar en la forma:
(9)
Ψ ( x, t ) = Asen(k x m
t )
5. Fase y velocidad de fase: El argumento de la la función función sinusoidal sinusoidal (9) se define como como la la fase fase
(10)
= kx m
de una onda dada por:
t
Por otro lado, para que la función de onda pueda tener cualquier valor en t = 0 y x = 0 , es necesario agregar al argumento argumento una fase inicial ε , ε , con lo cual se tiene
6
“Apuntes de Ondas”
Julio Pozo y Alejandro León
= kx m t + ε
(11)
La velocidad
de fase, que corresponde a la velocidad que viaja la onda (con (con fase
constante), se define como:
(12)
(∂ϕ / ∂ t ) x ⎛ ∂ x ⎞ ω ⎜⎜ ⎟⎟ = − = ± ≡ ±υ ϕ k (∂ϕ / ∂ x )t ⎝ ∂ t ⎠ϕ
Otro forma para determinar la velocidad de fase.
Dado que la fase de la onda es constante
= cte (ondas de forma permanente), se tiene
d = d ( kx m ω t t + ε ) = 0
luego kdx = ±ω dt
de donde se desprende que ω ⎛ dx ⎞ ⎜ ⎟ ≡ υ ϕ = ± k ⎝ dt ⎠ϕ
6. Ondas tridimensionales Generalizando lo estudiado en una dimensión, se puede decir que la ecuación general de propagación de las ondas en un medio homogéneo e isótropo, está dada por:
(13)
∂ 2 Ψ ∂ x 2
+
∂ 2 Ψ ∂ y 2
+
∂ 2 Ψ ∂ z 2
=
1 ∂ 2 Ψ υ 2
∂ t 2
donde por simplicidad hemos escrito Ψ = Ψ( x, y, z, t ) . La ecuación anterior, también se puede escribir como:
7
