DISEÑO A FLEXIÓN DE UNA VIGA SIMPLEMENTE APOYADA Se detallará a continuación distintos procedimientos para diseñar una viga, que no necesariamente representan la forma correcta de diseñar vigas, pero que mostrarán algunos resul resultad tados os inter interesa esante ntes s y sobre sobre todo, todo, una forma forma de pensar pensar al moment momento o de analiz analizar ar las secciones, sus propiedades, y los resultados resultados obtenidos. La viga a diseñar es la siguiente, una viga simplemente apoyada de 6[m de luz, sometida a carga viva y carga muerta!
, donde! q" # $ [%&m qL # ' [%&m La sección de la viga se (a de)nido de la siguiente manera, una sección rectangular con las siguientes medidas!
*tilizando los factores de mayoración de la norma, podemos obtener la carga de diseño! q* # $,'+ q" $,6+ qL q* # $,'+ $ $,6+ ' q* # -,- [%&m del diagrama de momentos momentos de la viga simplemente apoyada, apoyada, obtenemos el momento momento de diseño!
/* # q*+ L'&0 /* # $1,0 [%m
A.) Diseño Sin Acero A Co!resi"n 2n este punto se diseñará la viga sin refuerzo longitudinal superior, o en caso de que l o (ubiera, no se considerará la su aporte.
Con#ro$%r Moen#o Noin%$ &I!oner Mn = M'() La forma usual de diseño es obtener un área de acero con la cual se obtenga la resistencia requerida, o sea, / n ≥ /u&3. 2sto se logra condicionando las ' ecuaciones de equilibrio de la sección 4momento y a5ial al momento deseado /n, y considerando que no (ay fuerza a5ial resultante 47e5ión pura, considerando tambi8n las ecuaciones de compatibilidad geom8trica. 2l análisis de la sección es el siguiente!
"el dibu9o, desconocemos! c, a, εs, :s, ;c y %s.
, asumiendo la distribución rectangular de esfuerzos propuesta por la norma, obtenemos a 4=$ # >,0? para f c@ ≤ '0> [Agf&cm'! a # =$+ c # >,0?+ c ;c y la tensión %s se obtienen directamente de!
, / # / n, y tenemos un sistema de ecuaciones para obtener :s y la )bra neutra c!
Suponiendo que el acero está 7uido!
reemplazando en la ecuación del momento, y obligando a que el momento nominal cumpla con la resistencia requerida 4suponiendo 3 # >,1!
Deordenando y evaluando! $?E?,E$'?+ c ' F $6'?6',?+ c ''>>>>> # > "espe9ando la ecuación cuadrática, se obtiene! c # $?,1'11cm , de lo que se obtiene! :s # $E,G>$6cm' εs # >,>>?-G-6EEEE 3 # >,1 ;alculando el momento nominal! /n # '' [%m # /u&3 Se comprueba entonces que el acero está 7uido 4sino tendrHamos que suponer lo contrario y volver a despe9ar las ecuaciones con los t8rminos correspondientes, y que 3 # >,1 ya que εs I >,>>? 4falla en tracción, sino, deberHa recomenzar con el nuevo factor 4o tomar alguna consideración. Sin embargo el área calculada no necesariamente se puede obtener con )erros, por lo que se debe intentar encontrar una combinación de )erros lo más a9ustada posible 4sobredimensionando para no variar muc(o los valores anteriores, aunque se debe recalcular de todas formas para comprobar. Se escoge en este caso poner E )erros de $6mm y $ )erro de E'mm 4E3$63E'. Se recalcula!
As * +,-/,0c1 "e la ecuación de igualdad de fuerzas se despe9a el e9e neutro 4suponiendo acero 7uido!
c * +2-0201c de la compatibilidad geom8trica!
* -31311
εs
3 # >,1 , con lo que se corrobora el factor de reducción 3 y se concluye el diseño. 2l momento nominal )nal serHa!
Mn * 11-,4532 6T7 se comprueba la (ipótesis de diseño! /n # '',-01?6 [%m ≥ /u&3 # '' [%m B* # /n&/u # $,$E?0E6 4factor de utilización
Con#ro$%r De8or%ci"n 9e$ Acero &I!oner εs * -,) : veces se busca, además de lograr la resistencia requerida a 7e5ión, lograr que el elemento tenga una capacidad de curvatura adecuada 4capacidad de deformación, ductilidad, lo cual de alguna forma se puede ver en la deformación unitaria del acero. Si bien se de)ne la falla en tracción 4falla dJctil con una deformación del acero sobre el >,>>?, la norma propone obtener una deformación sobre el >,>>-. %eniendo la deformación del acero como dato 4y ya no el momento nominal requerido, el e9e neutro queda de)nido por geometrHa!
c # $1,'0?G$-'1cm "e la ecuación equilibrio de fuerza a5ial, y como el acero está 7uido, utilizamos la ecuación correspondiente y obtenemos el área de acero!
:s # $6,?00cm ' , y con el acero y la )bra neutra de)nidos, podemos obtener el momento nominal!
/n # '?,6->1 [%m
εs #
>,>>-, el factor de reducción de resistencia
3 # >,0$666 podemos comprobar que la resistencia nominal cumple con la requerida! /n # '?,6->1 [%m ≥ /u&3 # '-,'--1 [%m B* # /n&/u # $,'1? 4factor de utilización
Sin embargo, tenemos que restringir el área de acero a una combinación de )erros 4un poco menor, para cumplir con la limitación εs ≥ >,>>-, intentando no ale9arse muc(o de la calculada. Se escoge armar la viga a 7e5ión con - )erros de ''mm y $ )erro de $6mm.
As * +2-0020c1 "e la ecuación de igualdad de fuerzas se despe9a el e9e neutro 4suponiendo acero 7uido!
c * +4-550/c de la compatibilidad geom8trica!
* -,+/4321 ≥ >,>>Mn * 13-00/+/ 6T7 4nótese que disminuyó, ya que disminuimos el área de acero εs
,0'?6?-60-E podemos comprobar que la resistencia nominal cumple con la requerida! /n # '?,EEG$G [%m ≥ /u&3 # 'E,10>1G [%m B* # /n&/u # $,'G16?? 4factor de utilización
Con#ro$%r De8or%ci"n 9e$ Acero &I!oner εs * -3) ;omo la falla en tracción está de)nida con un estiramiento del acero superior al >,>>?, a veces se intenta diseñar la viga para que suceda esto. 2l procedimiento de cálculo es análogo al anterior. %eniendo la deformación del acero como dato 4y ya no el momento nominal requerido, el e9e neutro queda de)nido por geometrHa!
c # $6,0G?cm "e la ecuación equilibrio de fuerza a5ial, y como el acero está 7uido, utilizamos la ecuación correspondiente y obtenemos el área de acero!
:s # $-,?$-?>1cm ' , y con el acero y la )bra neutra de)nidos, podemos obtener el momento nominal!
/n # 'E,>6>E0 [%m
εs #
>,>>?, el factor de reducción de resistencia
3 # >,1 podemos comprobar que la resistencia nominal cumple con la requerida! /n # 'E,>6>E0 [%m ≥ /u&3 # '' [%m B* # /n&/u # $,$6-66 4factor de utilización
Sin embargo, al igual que en los casos anteriores, debemos elegir una combinación de )erros que nos den un área parecida a la que requerimos para cumplir con las condiciones impuestas 4un poco menor, para cumplir con la limitación εs ≥ >,>>?, intentando no ale9arse muc(o de la calculada. Se arma la viga a 7e5ión con ' )erros de '?mm y - )erro' de $'mm, y se recalcula!
As * +,-0,+,c1 "e la ecuación de igualdad de fuerzas se despe9a el e9e neutro 4suponiendo acero 7uido!
c * +2-2/0/,c de la compatibilidad geom8trica!
* -35232 ≥ >,>>? Mn * 11-40242 6T7 4nuevamente disminuyó, ya que disminuimos el área de acero εs
calculada ,1 podemos comprobar que la resistencia nominal cumple con la requerida! /n # '',0E606 [%m ≥ /u&3 # '' [%m B* # /n&/u # $,$?EEGG 4factor de utilización
Desumiendo los E casos e5puestos!
Diseño Con9ici"n I!'es#% /n # /u&3 εs #
>,>>-
εs #
>,>>?
As 6c17
c 6c7
$-,>G-E $6,E6E' $0,11E> $6,EE6E G $6,6GEG $-,E-$-
εs
>,>>?'? >' >,>>-$> G1 >,>>?>1 66
Mn 6T7
FU
'',-01? $,$E?0E 6 6 '?,EEG$ $,'G16? G ? '',0E60 $,$?EEG 6 G
,>>-, con un factor de seguridad adecuado, sin embargo, para otras condiciones puede que esto sea imposible de lograr.
:.) Diseño Con Fierro A Co!resi"n 2n el caso de que consideremos el aporte del acero en compresión 4o diseñemos con 8l, tenemos a(ora ' factores para controlar, : s y :s@.
Con#ro$%r Moen#o Noin%$ Y De8or%ci"n De$ Acero &I!oner Mn -,)
=
M'( ;
εs
*
2n este caso tenemos una condición geom8trica 4que )nalmente in7uye en los esfuerzos y una condición de fuerzas 4o de resistencias. 2n la geometrHa, imponemos la deformación del acero requerida!
c # $1,'0?G$-'1cm , y de la compatibilidad de deformaciones por secciones planas!
εs@
# >,>>''' :(ora, de las ecuaciones de equilibrio de fuerzas!
, podemos establecer un sistema de ecuaciones en función de ambas áreas de acero, ya que los demás valores son conocidos!
asH imponemos ambas condiciones, εs # >,>>- obteniendo una )bra neutra c, y / n = /u&3 imponi8ndolo en la ecuación de equilibrio de momentos de la sección. Deemplazando y reordenando, se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones 4usando 3 # >,0$666 para εs # >,>>-! -'>>+ : s -'>>+ : s@ # 61661,6-'0G 0->>>+ :s 0->>>+ : s@ # '-'--01,G16 F $$G>610,0'
2n forma matricial 4simpli)cando por f sy # -'>> [Agf&cm'!
, y despe9ando, se obtiene! :s # $?,G?G>-66Ecm ' :s@ # >,0E>16E?0cm ' 2l área de acero a compresión resultó negativa, por lo cual podemos concluir que no necesita acero en compresión para lograr las condiciones deseadas. 2ste resultado era esperable, ya que en la primera parte comprobamos que, utilizando solamente acero traccionado, se lograba obtener la deformación deseada del acero y cumplir con los requerimientos de resistencia. Cótese tambi8n que! :s F :s@ # $?,G?G>-Gcm ' >,0E>16E6 cm ' # $6,?00 cm ' :l sumar las áreas resultantes, la comprimida negativa pues resta a la tracción, se obtiene el área que se requerHa sin considerar el acero comprimido. 2ste resultado tambi8n es lógico, pues!
, se puede asimilar a un diseño sin considerar armadura comprimida, aunque la ecuación de momentos pierde sentido, pues ambas áreas no necesariamente tienen el mismo brazo respecto del centro de gravedad de la sección. Binalmente, esta sección, con las dimensiones dadas, y con las cargas impuestas y los factores considerados, no requiere de acero a compresión 4o alguna otra solución para lograr la resistencia requerida y una deformación del acero adecuada.
