DISEÑO DE UN VERTEDERO TRIANGULAR
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CALIBRACIÓN DE UN VERTEDERO TRIANGULAR
INTRODUCCIÓN La medida del flujo de los fluidos es una de las prácticas más usuales en el área de la ingeniería y para ello el ingeniero hace uso de diversos instrumentos como los tubos Pitot, medidores de corriente y anemómetros rotativos y de hilo caliente. Dichas medidas son llevadas a cabo mediante orificios, toberas, boquillas, venturimetros, vertederos de aforo y otros medidores patentados. Cuando en la medición el líquido se hace pasar por encima de un muro o placa teniendo la superficie superficie libre, el instrumento utilizado se denomina vertedero. En relación con este tipo de instrumento, un cierto número de formulas empíricas son empleadas en la literatura técnica, cada una con limitaciones. En el presente trabajo se estudian los conceptos y parámetros relacionados con los vertederos que permitan entender su funcionamiento, profundizando principalmente en el vertedero triangular, del cual se realizará una calibración para unas condiciones de operación determinadas.
ASPECTOS GENERALES Un vertedero es un instrumento utilizado para medir el caudal de líquidos en canales abiertos. Consiste en una una escotadura a través de la cual se hace circular el líquido, corrientemente agua. Cuando la descarga se efectúa sobre una placa con borde afilado, se dice que el vertedero es de pared delgada, pero cuando el borde es redondeado o plano siendo más bien una superficie, el vertedero es de pared gruesa.
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Dependiendo de la forma de la abertura por la que fluye el líquido, los vertederos pueden ser rectangulares, triangulares, trapezoidales, circulares, parabólicos o de cualquier otra forma regular. Se denomina cresta del vertedero a la pared horizontal de la escotadura en contacto con el líquido, y su longitud se representa como L. La diferencia de nivel entre la cresta y la superficie del agua antes del abatimiento se denomina carga del vertedero H y es medida a una distancia d de la cresta, la cual puede variar entre 5 a 10 veces H, y el espesor del chorro medido sobre la cresta se denomina carga sobre la cresta. El abatimiento tiene un valor aproximado de 31% de la carga del vertedero. En la figura 1 se representan las anteriores definiciones. d
0.3H
H
0.7H
3H min
FIGURA 1. Definiciones de un vertedero. Cuando se dice que el flujo sobre el vertedero es libre, entonces la superficie del agua corriente abajo del mismo es más baja que la cresta, y si se dice que es sumergido, esa superficie corriente abajo es más alta que la cresta. La corriente que cae se denomina manto, y este se contrae en su lado inferior en los vertederos de pared delgada. Si los lados del vertedero son bordes agudas corriente arriba, también se presenta una contracción, y el vertedero se denomina contraído. Sí el vertedero tiene una longitud igual al ancho del canal y esta 3
construido según ciertas especificaciones, el vertedero se denomina normal. Existe una curvatura descendente de la superficie del líquido en las cercanías del vertedero, llamada curva de caída. El canal inmediatamente corriente arriba del vertedero recibe el nombre de canal de acercamiento, y la velocidad media en ese canal es la velocidad de acercamiento V. Como la contracción lateral perturba la distribución de presionas y velocidades en el interior de la vena en un espacio apreciable de su vecindad, es recomendable, si no necesario, que la longitud del vertedero sea mayor de 3H para que las perturbaciones no se encuentren en el interior de la vena. Si se cumple lo anterior y el ancho del canal de llegada es mayor a 9H se tendrá una condición de vertedero con contracción lateral perfecta. Si se utilizan glóbulos de tetracloruro de carbono y bencina, ajustados para que tengan el mismo peso específico del agua, puede obtenerse las líneas de trayectoria de flujo ordinarias sobre un vertedero de cresta aguda. Las trayectorias son más o menos paralelas hasta una distancia de aproximadamente seis veces la carga corriente arriba del vertedero, a partir de la cual experimentan una curva de ascenso gradual para pasar sobre la cresta. La figura 2 se muestra este comportamiento.
H
FIGURA 2. Líneas de trayectoria de flujo sobre vertedero rectangular de cresta delgada 4
CLASIFICACIÓN DE LOS VERTEDEROS Las más variadas formas y disposiciones hacen que los vertederos presenten los más diversos comportamientos, siendo posible efectuar la siguiente clasificación1 2 : 1. Según la forma: a. Simples: rectangulares, trapezoidales, triangulares. b. Compuestos: secciones combinadas. 2. Según el espesor de la pared: a. vertederos de pared delgada. b. Vertederos de pared gruesa. 3. Según la longitud de la cresta: a. vertederos sin contracciones laterales. b. Vertederos con contracciones laterales. 4. Según la forma de la sección transversal de la pared vertedora (vertederos de perfil práctico): a. vertederos curvilíneos. b. Vertederos poligonales. 5. Según el perfil de la cresta: a. Redondeados. b. De cresta viva. 6. Según la altura de la cresta: 1
PUENTE, Carlos A. BARRIOS, Felipe A. Laboratorio de hidráulica. Proyecto de grado.
PERDOMO MORALES, Lina Maria. PACHON GÓMEZ, John Alexander. Efecto del ancho de un canal en el aforo con vertederos. Trabajo de grado. Oct. 2000. 2
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a. Completos o libres. b. Incompletos o ahogados. 7. Según la posición de la pared: a. De pared vertical. b. De pared inclinada. 8. Según la posición del vertedero con relación a la corriente: a. Normales. b. Laterales.
EXACTITUD DE LAS MEDICIONES CON VERTEDEROS Para que a nivel de laboratorio se cuente con una buena exactitud en la medición con un vertedero, la cual puede estar alrededor de 0.5%, se debe cumplir con los siguientes criterios: a. Efectuar un diseño normal en la construcción del vertedero y el canal de acercamiento. b. Utilizar una formula que se base en pruebas confiables de un vertedero de diseño similar con una parecida gama de cargas. c. Las mediciones de pruebas necesarias, sobre todo de la carga del vertedero, se deben llevar a cabo con la mayor precisión y el mayor cuidado. MEDICIÓN DE LA CARGA H La carga se puede medir con alguna forma de medidor ajustado en una posición fija. La elevación del cero del medidor en cuanto a la cresta del vertedero se debe determinar con precisión. La carga se puede medir ya sea con en un pozo de
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carga conectado al canal por una tubería pequeña o tubo o directamente en el mismo canal. El pozo de calma proporciona un medio para medir la carga en agua tranquila y reduce los efectos de las ondas o remolinos que pueden estar presentes en el canal de acercamiento.
MEDICIÓN DE LA VELOCIDAD V La forma de medir la velocidad depende del nivel de precisión deseado. Teniendo presente lo anterior, esta se puede medir con aparatos mecánicos como el molinete, aparatos electrónicos como el velocímetro acústico Doopler (ADVLab) o haciendo uso de la ecuación de continuidad.
INFLUENCIA DE LA FORMA DE LA VENA Las condiciones aguas abajo del vertedero pueden influenciar la altura de la lamina de agua, modificando la posición de la vena vertiente y alterando el caudal. Las condiciones que provocan dichas modificaciones, y que deben ser evitadas, pueden definirse y representarse así: a. Lámina deprimida: En esta condición el aire debajo de la lámina vertiente es arrastrado por el agua, modificando la posición de la vena. b. Lámina adherente: Se presenta cuando el aire sale totalmente y en este caso el caudal será superior al arrojado por las formulas.
c. Lámina ahogada: Es la condición alcanzada cuando el nivel aguas abajo del vertedero es superior al de la cresta.
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Las anteriores condiciones se ilustran en la figura 3.
P
Caso normal.
Caso a.
P´ P
Caso b.
Caso c.
FIGURA 3. Posibles condiciones aguas abajo de un vertedero.
Para la corrección de los caudales, debe aplicarse los coeficientes de reducción proporcionados por la Tabla 1, donde h es la altura del agua por encima de la cresta, medida aguas a bajo. Tabla 1 3. Coeficientes de reducción.
3
h/H
Coeficiente
h/H
Coeficiente
0.0
1.000
0.0
0.937
0.1
0.991
0.1
0.907
0.2
0.983
0.2
0.856
0.3
0.972
0.3
0.778
0.4
0.956
0.4
0.621
PUENTE, Carlos A. BARRIOS, Felipe A. Laboratorio de hidráulica. Proyecto de grado. 8
VERTEDERO TRIANGULAR El vertedero triangular es un instrumento de medición de caudal muy adecuado para el caso de flujos muy variables, siendo así preferible al vertedero rectangular. Además, estos vertederos proporcionan un excelente método para medir pequeños gastos (inferiores a 30 L/s) y cargas superiores a 6 cm y hasta de 60 cm, aunque cuando el flujo está entre 40 L/s y 300 L/s suelen ser más precisos que los rectangulares, para gastos mayores es recomendado este último. En la figura 4 se representa un vertedero triangular sobre el que fluye un líquido. Los lados forman ángulos iguales con la vertical, la carga medida es H y la distancia entre los lados del vertedero en el plano de la superficie del líquido es L.
h
L´
H dH
FIGURA 4. Vertedero triangular. Para realizar la deducción de la ecuación de la descarga, se toma una franja horizontal de espesor dh y longitud L’, de tal forma que el área es L’dh. Si se desprecia la velocidad de acercamiento y la pérdida por fricción, la velocidad a través de la franja para una carga h es
dQt
= L'
2 gh
, y se tiene que la descarga es:
2 gh dh
(1)
9
A partir de triángulos semejantes L’ = (H - h) L / H y reemplazando en la anterior ecuación, se obtiene:
= L
dQt
( H − h) h
2g
H
dh
( 2)
Ahora se integra entre los límites 0 y H:
∫
Q t
0
=
dQt
Qt
=
Qt
=
L 2 g H
H
∫ ( Hh 0
L 2 g HH 3 / 2
H
4 15
1 / 2
3 / 2
−
− h 3 / 2 ) dh
H 5 / 2
5 / 2
( 3) ( 4)
2 g LH 3 / 2
(5)
Si ? es el ángulo que forman los lados del vertedero, L = 2H Tan(?/2) y además, sabiendo que el caudal real es menor que el teórico, debido a la contracción de la lámina vertiente, a la fricción y cabeza de velocidad de acercamiento que fueron despreciadas, lo que hace necesario introducir un coeficiente de descarga C que tenga en cuenta estos factores, se obtendrá:
Q
= C
8
15
2 g Tan(θ / 2) H 5 / 2
(6)
Es muy común que el ángulo del vertedero sea de 90º, para el cual con un valor de C de aproximadamente 0.6, la formula aproximada para la descarga es:
10
= 2.5 H 2. 5 Q = 1.4 H 2.5 Q
(7.1) Sistema inglés ( 7.2) Sistema métrico
A partir de pruebas hechas por Barr4 utilizando agua en un vertedero de 90º, Barnes 5 dedujo la siguiente formula, que demuestra una poca variación de los valores de la ecuación (7). Q
= 2.48 H 2. 48
(8) Sistema inglés
Para el caso en que el ángulo del vertedero es 60º, el profesor Horace W. King 6, de la Universidad de Michigan, obtuvo la siguiente expresión: Q
= 0.775 H 2. 47
(9) Sistema métrico
Lenz7 demostró, a parir de ensayos con agua y aceite a varias temperaturas, que el valor de C en la ecuación (6) varia con la carga, el ángulo del vertedero, la densidad, la viscosidad y la tensión superficial del líquido. Para el agua fría, C depende solo de la carga h y el ángulo ?. Lenz dedujo la siguiente ecuación solo para el agua y vertederos triangulares:
Q
N = 2.395 + n Tan(θ / 2) H 5 / 2 H
(9)
Los valores de N y n se dan en la siguiente tabla. El valor mínimo de la razón N/Hn es 0.09.
BARR, James. Flow of Water over Triangular Notches. Engineering, Abril 8 y 15, 1910.
4
Hydraulic Flow Reviewed, E y F. N. Spon, Ltd, 1916.
5
H. W. King. Handbook of Hydraulic. 3ª edición. Mc Graw Hill.
6
Trans. Am. Soc. Civil Engrs, 1943.
7
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Tabla 2. Valores de N y n para la ecuación 9. ?
90º
60º
45º
30º
N
0.068
0.087
0.102
0.131
n
0.588
0.582
0.579
0.576
Además, Lenz dedujo la siguiente formula para ?=90º, cualquier líquido de densidad ?, viscosidad cinemática ? y tensión superficial s.
Q = 2.395 +
5 / 2 H ν ) 0.165 ( ρ / σ ) 0. 170 H 0.59 (1 / 1.247
(10)
El valor del segundo término entre corchetes ha tomado valores mínimos de 0.09. Debe tenerse en cuenta que la agudeza del borde de la cresta es de suma importancia, ya que un ligero redondeo da como resultado un incremento apreciable en el flujo.
La bibliografía presenta una ecuación similar a la ecuación 6, la cual puede ser utilizada para un cálculo más específico, y es la siguiente: Q
=
8
2 g Tan(θ / 2) µ H 5 / 2
15 Q = C ' H 5 / 2 C ' =
8 15
2 g Tan(θ / 2) µ
(11) (12) (13)
Donde µ es un coeficiente de gasto que puede ser determinado con la figura 5. Sin embargo el valor de C’ en la ecuación 12 puede ser calculado con la ecuaciones presentadas en la tabla 3.
12
Además, cuando se tienen condiciones de vertedero ahogado, el valor de µ debe ser multiplicado por un factor K, cuyo valor puede determinarse con la figura 6.
Figura 5. Coeficientes de gasto µ de vertederos triangulares.
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TABLA 3. Formulas experimentales para determinar los coeficientes de gasto µ o C.
FIGURA 6. Valores de K para corrección de µ.
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DISEÑO Y CALIBRACIÓN DEL VERTEDERO TRIANGULAR Diseño del vertedero triangular El canal en el cual será calibrado el vertedero tiene un ancho de 30.2 cm. y la altura del vertedero será similar a la de los vertederos existentes en el laboratorio de hidráulica de la Universidad Nacional sede Manizales, es decir unos 31 cm. En el diseño de un vertedero triangular deben tenerse en cuenta las siguientes limitaciones8: Ø H/P = 1.2, H/Z = 0.4 Ø
0.049 = H = 0.61 m.
P = 0.09 m. Donde Z representa el ancho del canal. Ø
De las anteriores limitaciones puede tomarse las siguientes decisiones: Ø
Si el ancho del canal Z es 30.2 cm, entonces el máximo valor para la carga del vertedero será de 12 cm y se dejará un espacio libre de 6 cm.
Ø
Se toma un valor de 1 para la relación H/P. Esto determina un valor de P de 12 cm.
Para un vertedero triangular, el diseño de su sección obedece a la ecuación: y
8
=
x
tan (θ / 2)
FRENCH, Richard. Hidráulica de canales abiertos.
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FIGURA 7. Sección de un vertedero triangular. De los cálculos anteriores se sabe que y = 12+6 = 18 cm. Si el vertedero tiene un valor de ? de 60º, calculamos el valor de x: x = y tan( θ / 2) x = 18 tan 30 = 10.39 cm. Como el ancho del canal es de 30.2 cm quedarán 9.42 cm para repartir a cada lado del vertedero en la parte superior, es decir, 4.71 cm. Con las ecuaciones puede estimarse el caudal máximo de diseño para el vertedero: Ecuación 7.2
Ecuación 9
Q
= 1.4 H 2.5 = 1.4 * 0.122.5 = 6.98 x10 −3 m3 / s
N 0.068 2.5 Tan( 45) * 0.39 = 2.395 + n Tan(θ / 2) H 5 / 2 = 2.395 + 0.588 H 0.39 Q = 0.239 ft 3 / s = 6.76 *10− 3 m3 / s Q
Las anteriores ecuaciones estiman valores muy semejantes, de lo cual podría estimarse un caudal máximo de 6.8*10 -3 m3 /s. En la siguiente figura se representa el vertedero diseñado, señalando sus principales dimensiones.
16
4.71 cm
20.78 cm.
4.71 cm
18 cm. 12 cm . 30 cm.
60
FIGURA 8. Representación del vertedero diseñado. Calibración del vertedero triangular Como se había demostrado anteriormente, el caudal que fluye a través de un canal se determina con el uso de un vertedero si se conocen los valores de C y n de la siguiente ecuación: Q = C H
n
En donde: Q: Caudal que pasa por el canal C: Coeficiente H: Carga del vertedero n: Exponente
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En esta parte del trabajo el objetivo es determinar una curva de calibración o de patronamiento del vertedero triangular diseñado en la que se relacione el nivel del agua o carga del vertedero y con el caudal que pasa por el canal. A continuación se describe el procedimiento que se lleva a cabo para lograr el anterior objetivo. PROCEDIMIENTO La calibración del vertedero se realizará en las instalaciones del laboratorio de hidráulica de la Universidad Nacional de Colombia Sede Manizales. 1. Se fija en el canal el vertedero a patronar. Para esto se utiliza unos topes instalados en las paredes del canal y plastilina para lograr que el sistema quede sellado y libre de fugas. 2. Se abre la válvula de alimentación al sistema. 3. Se espera a que el caudal en el canal se estabilice. 4. Se hace la lectura del nivel del agua mediante los piezómetros que se encuentran ubicados aguas arriba en el canal. 5. Se afora mediante el método volumétrico, el cual consiste en contabilizar el tiempo requerido para el llenado de un recipiente de capacidad conocida. 6. Se repite el proceso para otros cuatro caudales. Tabla4. Datos obtenidos en el laboratorio. Ho (cm.)
V (m3)
T (seg.)
Qi (m3 /seg.)
Z1 (cm.)
Z2 (cm.)
Z3 (cm.)
Zprom (cm.)
H (m.)
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Donde: Ho: Nivel desde el fondo del canal hasta la cresta del vertedero V: Volumen recogido en el recipiente. T: Tiempo de llenado del recipiente. Q: Caudal en el canal. Zi : Lectura de los piezómetros. Zprom: promedio de las lecturas Zi. H: Carga del vertedero, H = Zprom – Ho. CÁLCULOS 1. Utilizando los datos de la tabla, se calcula por el método de los mínimos cuadrados los valores de C y n para la formula general, así:
= C H n log Q = log C + n log H log Q = y log C = b y = b + nx Q
log H = x
Donde
∑ y∑ x − ∑ x ∑ xy b= N ∑ x − (∑ x ) N ∑ xy − ∑ x ∑ y n= N ∑ x − (∑ x ) 2
2
2
2
2
Se traza la curva experimental Q=f(H) que es de tipo exponencial. 19
2. En el mismo eje coordenado se grafica la curva teórica del vertedero. 3. Se calcula para cada punto experimental el valor de Cd mediante su formula teórica o ecuación 6: Cd =
Q
8 15
( 6) 5 / 2
2 g Tan(θ / 2) H
4. Se observa si dentro del rango de caudales se mantiene el coeficiente de descarga Cd constante, y se hace el promedio. Se reemplaza en la formula teórica empleada según el caso y se traza la curva correspondiente. 5.
Se calcula el porcentaje de error que se introduce al calcular el caudal con la formula teórica.
BIBLIOGRAFÍA 1. MATERON MUÑOZ, Hernán. Obras hidráulicas rurales. 2. PUENTE BURGOS, Carlos A. BARRIOS CASTRO, Felipe A. Laboratorio de hidráulica. Proyecto de grado. 3. SOTELO ÁVILA. Hidráulica general. México: Limusa, 1980. Vol 1. 4. PERDOMO MORALES, Lina Maria. PACHON GÓMEZ, John Alexander. Efecto del ancho de un canal en el aforo con vertederos. Trabajo de grado. Oct. 2000.
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5. FRENCH, Richard H. Hidráulica de canales abiertos. México: McGraw Hill, 1988. 6. KING, Horace W. Hidráulica. México: Trillas, 1980.
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