Verovatnoca, matematika

´ VEROVATNOCA Teorija verovatno´ verovatnoće ce je matematiˇ matema tiˇcka cka disciplina discipl ina koja koj a se bavi izuˇcavanjem cavanjem sluˇcajnih ca jnih pojava, po java, tj. takvih empirijskih empirijskih fenomena ˇciji ciji ishodi nisu uvek uvek strogo strogo definisani. definisani. Osnovni Osnovni model u teoriji teoriji verov verovatno atno´će ce je eksperiment ekspe riment (opit) (opit ) pomoću cu koga se u prirodi priro di i druˇstvu stvu vrˇsi si prouˇcavanje cavanje veze izmed¯u uzroka i posledice. posl edice. Na ishod isho d eksp erimenta obiˇcno cno utiˇce ce viˇse se uslova. us lova. Ako se eksperiment ekspe riment p onavlja mnogo puta pod po d istim is tim kompleksom uslova, uslova, pojavljuje po javljuje se odred¯ena zakonomernost u skupu ishoda. Teorija verovatno verovatno´će ce se bavi tim zakonitostima zakonito stima uvod¯enjem odred¯ene kvantitativne mere u obliku realnog realno g nenegativnog nenega tivnog broja bro ja – verovatno´ ce, ce, kojim koj im se procenjuje proc enjuje mogućnost, cnost, odnosno odn osno nemogućnost cnost nastupanja nastup anja ishoda. isho da. Poˇcetak cetak razvoja razvo ja teorije verovatno´ ce ce se vezuje za XVII vek i za imena francuskih francu skih matematiˇ matema tiˇcara cara Pas1 2 prouˇcavali cavali problem problem vezan vezan za jednu jednu kock kockarsku igru, i ova ova njihov njihova studija studija iz cal a i Fermata . Oni su prouˇ 1654. godine god ine obiˇ o biˇcno cno se s e smatra sma tra poˇ p oˇcetkom cetkom teorijskog teorijs kog razvo ja verovatnoće ce (videti (v ideti primer 2.2). Ona je j e dugo dug o bila usko povezana sa problemima hazardnih igara i praktiˇ cnih cnih problema na bazi empirijsko-intuitivnih motiv motivacija. acija. Tek posle posle 1933. godine, godine, kada kada je N. A. Kolmogorov 3 objavio rad u kojem je izloˇ izloˇzio zio osnovne postavke post avke aksiomatske aksi omatske zasnovanosti teorije teorij e verovatnoće, ce, teorija teorij a verovatnoće ce razvija ra zvija se kao moderna mode rna matematiˇcka cka disciplina koja se ne oslanja samo na empirijske i intuitivne motive, ve´ već na jednu formalnologiˇ log iˇcku cku teoriju teo riju povezanu pove zanu sa drugi d rugim m mate m atemat matiˇ iˇckim ckim po jmovima jmov ima.. Danas Dan as je j e teˇsko sko na´ n aći ci neku n eku nauˇcnu cnu disc d iscipli iplinu nu ili ˇcovekovu covekovu delatn del atnost ost koja ko ja se moˇze ze konkretn konkr etnoo izuˇcavati cavati bez primene pri mene teorij teo rijee verovatnoće i matema mat ematiˇ tiˇcke cke statistike, statis tike, ko ja je j e zasnovana zas novana na teoriji verovatno´ verovatnoće. ce.

1. Sluˇ Sl uˇ ca ca jni jn i doga do gad d ¯a ji Osnovni polazni p olazni pojam po jam u teoriji verovatno verovatno´će ce je neprazan skup Ω koji predstavlja skup svih mogućih cih ishoda ω ishoda ω jednog eksperimenta. eksp erimenta. Obiˇcno cno se s e Ω zove prostor elementarni ze biti eleme ntarnih h dogad doga d¯a ja. Skup Ω moˇze konaˇcan, can, prebro jiv ili il i neprebro nepre brojiv. jiv. Sluˇ se se kao neki podskup po dskup od Sl uˇ cajn ca jnii doga do gad d¯aj ili prosto dog do gad¯aj ¯aj definiˇse Ω. Doga Do gad d¯aj A ¯aj A ( Ω) se realizuje ako i samo ako se realizuje neki ishod ω koji pripada podskupu A podskupu A.. Skup svih dogad¯aja koji odgovaraju jednom eksperimentu nazivamo polje p oljem m dogad doga d¯a ja i oznaˇcavamo sa . Polje Polj e dogad dog ad¯a ja uvek sadrˇ sad rˇzi zi Ω ( ) (izvestan ili sigura ) (nemo sig uran n dogad do gad¯a j) i ( ne mogu gu´ ´ c doga do gad d¯aj ¯aj). U nastavku nas tavku,, dogad dog ad¯a je ćemo cemo oznaˇ ozn aˇcavati cavati velikim velik im slovima slovi ma latini lat inice ce A A,, B , C , . . . i smatra´ smat raćemo cemo da d a oni pripada ju polju po lju dogad dog ad¯a ja .

⊂

∈ F

F

∅ ∈ F

F

Ako realizacija realiza cija dogad¯a ja A povlaˇ p ovlaˇci ci realiza rea lizaciju ciju dogad dog ad¯a ja B kaˇzemo ze mo da doga do gad d¯aj A implicira doga do gad d¯aj ¯aj B , ˇsto sto sa stanov sta noviˇ iˇsta st a teor te orij ijee skup sk upova ova znaˇ zna ˇci ci A B .

⊂ Primetimo da A da A ⊂ B i B ⊂ C C p pov ovllaˇci A ⊂ C . Takod¯e, za z a svaki svak i doga do gad d¯aj A ¯aj A va vaˇzi ∅ ⊂ A i A ⊂ Ω. Ako je A je A ⊂ B i B ⊂ A kaˇzemo zem o da su doga do gad d¯aji ¯aj i ekvivalentni i piˇsemo se mo A = A = B B..

do gad d¯aja ¯aj a A i B , u oznaci AB oznaci AB , je dogad¯aj koji se realizuje realizuje ako i samo ako se realizuju realizuju Proizvod dva doga oba ob a doga do gad d¯aja ¯aj a A i B . Dakle, proizvod dogad¯aja je presek skupova A skupova A i B , tj. AB = AB = A A B . Ako su A su A i B disjunkni disjunkni skupovi, skupovi, tj. A B = , za doga do gad d¯aje ¯aj e A i B kaˇzemo ze mo da su nesaglasni ili da se isk isklj ljuˇ uˇ cuju cu ju .

∩

∩

∅

1

Blaise Pascal (1623–1662), francuski matematiˇcar, car, ˇ cita cita se Paskal. Pierre de Fermat (1601–1665), francuski matematiˇ car, car, ˇ cita cita se Ferma. 3 N. A. Kolmogorov (1903–1987), ruski matematiˇcar. car. 2

1

ˇun verovatno é racun c verovatnoce c

2

∪

do gad d¯aja ¯aj a A i B , u oznaci A B , predstavlja dogad¯aj koji se realizuje ako se realizuje bar Zbir dva doga jedan od dogad¯aja A aja A i B . Ako su A su A i B nesaglasni nesag lasni dogad¯a ji, umesto A umesto A B piˇ piˇsemo A + B .

∪

−

\

d ogad ad¯aja ¯aj a A i B , u oznaci A oznaci A B ili A ili A B , naziva se dogad¯aj koji odgovara razlici skupova Razlikom dog A i B ; ovaj ovaj dogad¯aj se realizuje samo ako a ko se realizuje A, realizuje A, a ne realizuje B realizuje B . Za doga do gad d¯aj A postoji suprotan (komplementaran) dog dogad ad¯aj ¯aj A¯ koji se realizuje ako se dogad¯aj A ne realizuje, tj. A¯ = Ω A. Koristeći ci elemente teorije skupova, imamo:

\

∩ B = {ω| ω ∈ Ω, ω ∈ A i ω ∈ B}, A ∪ B = {ω | ω ∈ Ω, ω ∈ A ili ω ∈ B }, A \ B = {ω | ω ∈ Ω, ω ∈ A i ω ∈ / B }, A¯ = {ω | ω ∈ Ω, ω ∈ / A}. A

Definicija Definici ja preseka i unije moˇze ze se jednostavno jednos tavno proˇsiriti siriti na konaˇcno cno ili prebro jivo mnogo dogad¯a ja. Na primer, ako je A je A 1 , . . . , An famili fam ilija ja konaˇcno cno mnogo mno go dogad dog ad¯a ja i I n := 1, . . . , n indeksni skup, tada je n

 

{

{|

Ai = ω za svako i

i=1 n

{|

Ai = ω postoji i

i=1

∅ 

Ako je A je A i Aj = (i ( i = j) j ), umesto



Ai piˇ piˇsemo

i



∈ I

n

∈ I

n

je ω

}

∈ A }, i

∈ A }.

tako da je ω

i

Ai .

i

Doga Do gad d¯aji ¯aj i A1 , . . . , An obrazuju potpuni pot puni sistem dogad¯aja aj a ako pri realizaciji odred¯enog kompleksa uslova uslova nastupi bar jedan od tih dogad¯aja, tj. ako je

n



Ai = Ω. Posebno su interesantni potpuni sistemi

i=1

nesaglasnih nesagl asnih dogad¯a ja. U tom sluˇcaju ca ju se kaˇ ze ze da oni ˇcine cine disjunktno disjun ktno razbijanje razbij anje skupa Ω. Pos matra jmo eksperimente eksp erimente sa s a homogenom homo genom kockom ko ckom za igranje igra nje ˇcije cije su strane oznaˇ o znaˇcene cene bro jevima Primer 1.1. Posmatra od 1 do 6. Ele Elemen mentar taran an dogad dogad¯aj koji znaˇ znaˇci ci da se pri bacanj bacanju u kocke kocke pojavila pojavila strana strana sa brojem brojem k I 6 = 1, 2, 3, 4, 5, 6 oznaˇ oz naˇcimo ci mo sa ω k . Prostor elementarnih elementar nih dogad d ogad¯a ja je Ω = ω1 , ω2 , ω3 , ω4 , ω5 , ω6 . Neka su A, B i C dogad dog ad¯aji odre od red d¯eni pre p reko ko ele e leme menta ntarni rnih h dog d ogad ad¯aja na sled sl ede´ eći ci naˇcin: ci n:

{

}

{

{

}

A = ω2 , ω4 , ω6 ,

{

}

B = ω1 , ω3 , ω5 ,

{

}

∈

}

C = ω2 , ω3 , ω5 .

Tada je, na primer,

∪ C = = {ω2 , ω3 , ω4 , ω5 , ω6 }, B ∩ C = = {ω3 , ω5 }, ¯ = {ω1 , ω4 , ω6 }, C ¯ \ (A ∪ C ) ∪ (C \ A) = {ω1, ω2 , ω3, ω4, ω5 , ω6} = Ω, Ω, ¯ = ∅. A\B ¯ \ ¯ nem Prema tome, (A ( A ∪ C ) ∪ (C \ A) je siguran s iguran dogad¯aj, aj , dok d ok je A \ B nemog ogu´ uć doga do gad d¯aj. ¯aj . A

2. Klas Klasiˇ iˇ cna cna de defin finic icij ija a verovatn verovatno´ o´ ce ce Teorija verov verovatno´ atno´ ce ce se skoro skoro trista trista godina razvijala razvijala bez strogo strogo definisanih definisanih aksioma aksioma verov verovatno atno´će. ce. Klasiˇcna cna definicija definici ja verovatno´ verovatnoće ce se zasnivala na intuitivno intuitiv nojj i iskustveno j predstavi verovatno´ ce ce dogad¯a ja

ˇ na definicija é klasicna c definicija verova verovatno ce c

3

kao relativnoj uˇcestanosti cestanosti broja broj a povoljnih ishoda i generalizaciji tog pojma. po jma. Na primer, ako je A je A d dog ogad ad¯aj ¯aj da se pri bacanju kocke pojavi, na primer, broj 4, a n i n(A) predstavljaju redom ukupan broj eksperimenata imenata i broj pojavljivanja pojavljivanja broja bro ja 4, pri dovoljno dovoljno velikom velikom broju opita moˇze ze se zapaziti zapaziti da se relativna relativna uˇcest ce stan anos ostt doga do gad d¯aja ¯aj a A izr i zraˇ aˇzena ze na koliˇ koliˇcnik cn ikom om n(A)/n /n pribliˇ pribliˇzava zava bro ju 1/6. Ovaj Ovaj broj se uzima kao mera ,,ˇsanse” san se” za realiza rea lizacij ciju u dogad dog ad¯a ja A. ja A. Iz opisanog opisan og primera vidi se da klasiˇcna cna definicija definici ja verovatno´ ce ce ustvari koristi pojam po jam verovatno´ ce ce jednakoverovatnih nakover ovatnih (jedn ( jednakom akomogu´ ogućnih) cni h) dogad do gad¯a ja, koji ko ji se smatr sm atraa osnovnim osn ovnim p o jmom jmo m i ne definiˇ defi niˇse se se. Oˇcigled cig ledan an je nedostatak takvog pristupa ve´ c samim tim ˇsto sto se po jam verovatno´ verovatnoće ce uvodi koriˇs´ sćenjem cenjem po jma ,,jednako,,jednakoverovatnih” verovatnih” dogad¯aja, aja , dakle p ojma koji treba definisati. Uprkos ove nedoslednosti, klasiˇ cna cna definicija verovatno´ ce ce je omogućila cila da se dobiju mnogi znaˇcajni ca jni rezultati. rezulta ti. Posmatra jmo skup svih med¯usobno iskljuˇcivih, civih, jednakoverovatnih dogad¯a ja ω 1 , ω2 , . . . , ωn koji ko ji ˇcine ci ne potpunu grupu dogad¯aja, aja , tj. neka je n

n

  ωi =

i=1

{

ωi = Ω.

i=1

}

cih jednakoverovatnih elementarnih elementarn ih dogad¯a ja Definicija 1. Neka je Ω = ω1 , . . . ωn skup svih mogućih koji su med¯usobno nesaglasni i neka je A = ωi , . . . , ωim dogad¯aj koji se sastoji od m elementarnih jednakoverov jednakoverovatnih atnih dogad¯aja koji imaju osobinu kojom se A definiˇ defin iˇse. se . Verovatno´ Verovat noća ca nast na stupa upanj njaa doga do gad d¯aja ¯aj a A jednaka je m P ( P (A) = . (2. (2.1) n Ovo je klasiˇ ze iskazati iskaza ti i na slede´ sled eći ci naˇcin: cin : klas iˇ cna cn a defin de finic icij ija a verovat ver ovatno´ noće ce i ona se moˇze Verova Vero vatn tno´ oća ca P ( P (A) doga dog ad¯aja ¯aj a A Ω jednaka je koliˇcniku cniku broja (povoljnih) ishoda opita, opit a, koji doprinose realizacij realiza cijii dogad¯aja A, i A, i broja svih ishoda.

{

}

1

⊆

Moˇze se reći ci da je verovat ver ovatno no´ća ca P f P funkcija unkcija koja koj a dogad¯a ju A dodeljuje realan broj dat pomoću cu (2.1). Funkcija P Funkcija P ima ima slede´ ce ce osobine koje sleduju na osnovu definicije (2.1): m (i) Za sv svako ako A je P je P ((A) 0 ( jer je 0). n n (ii) Za siguran dogad¯aj Ω je P je P (Ω) (Ω) = 1 (zato za to ˇsto st o je P (Ω) P (Ω) = = 1). n (iii) Ako je A je A = = B B + + C, (A,B,C ), pri pr i ˇcemu ce mu su B i C nesag C nesaglasni lasni dogad¯a ji, tada je

∈ F

≥

≥

∈ F

P ( P (A) = P ( P (B ) + P ( P (C ). Zaista, ako je

{

}

{

}

{

}

B = ωi , . . . , ωir , C = = ωj , . . . , ωjs , A = ωi , . . . , ωir , ωj , . . . , ωjs , B 1

1

tada je na osnovu (2.1)

P ( P (A) =

1

1

∩ C = ∅,

r + s r s = + = P ( P (B ) + P ( P (C ). n n n

Poslednja formula moˇze ze se uopˇstiti stiti za sluˇcaj ca j konaˇcnog cnog broja bro ja med¯usobno nesaglasnih nesagl asnih dogad¯a ja A1 , . . . , An . Matematiˇ Matemat iˇckom ckom indukcijom indukcijo m dokazuje se formula f ormula n

n

  

P

Ai =

i=1

P ( P (Ai ).

i=1

¯ suprotno ¯) = 1 (iv) (i v) Verovatno´ Verovat noća ca doga do gad d¯aja ¯aj a A, supro A, tnogg dogad dog ad¯a ju A, ju A, jednaka je P je P ((A

− P ( P (A).

ˇun verovatnoc é rac

4

¯ Ω, na osnovu (ii) i (iii) je P (A + A) ¯ = P (Ω), tj. P (A) + P (A) ¯ = 1, odakle sledi (iv). Kako je A + A =

∅ ∅

(v) Verovatnoća nemogućeg dogad¯aja jednaka je nuli. Kako je Ω = + Ω, sledi P (Ω) = 1 = P ( + Ω) = P ( ) + P (Ω), odakle je P ( ) = 0.

∅

⊆

≤

∅

∅

(vi) Ako je A B, tada je P (A) P (B). ¯ s obzirom da su A i AB ¯ nesaglasni na osnovu (i) i (iii) dobijamo Kako je B = A + AB, ¯ = P (A) + P (AB) ¯ P (B) = P (A + AB)

≥ P (A).

∈ F

(vii) Verovatnoća bilo kog dogad¯aja A pripada intervalu [0, 1]. Kako je A = AΩ Ω, na osnovu osobine (vi) sledi

∅ ⊆

⊆

∅ ≤ P (A) ≤ P (Ω) = 1, dakle 0 ≤ P (A) ≤ 1.

0 = P ( )

Sumirajući napred navedene osobine moˇzemo konstatovati sledeće: P je nenegativna, normirana, monotona, aditivna funkcija ˇcija je promenljiva sluˇ cajni dogad¯aj, a vrednosti su u intervalu [0, 1].

Primer 2.1. U partiji od n proizvoda k je neispravno. Odrediti verovatnoću da od m sluˇcajno izabranih proizvoda taˇcno r bude neispravno. n Iz kombinatorike je poznato da m o d n proizvoda moˇzemo izabrati na m razliˇcitih naˇcina. Povoljan sluˇcaj je kada od k neispravnih proizvoda uzmemo r, a od n k ispravnih proizvoda uzmemo m r. To je mogućno uˇciniti na

   k r

n k m r

− −



−

−

razliˇcitih naˇcina. Prema tome, traˇzena verovatnoća je

p =

  −   − k r

n m n m

k r

.

(2.2)

Primer 2.2. Dva kockara A i B bacaju novˇcić, pri ˇcemu jedan od njih, recimo A, igra na ,,pismo”, a drugi na ,,grb”. Broj po jave ,,pisma” (,,grba”) predstavlja bro j poena za igraˇca A (igraˇca B). Dobitniˇcki ulog namenjen je onom koji prvi dod¯e do unapred utvrd¯ene sume. Med¯utim, zbog nekih objektivnih razloga igra je prekinuta. Postavlja se pitanje kako podeliti ulog znajući da su u momentu prekida kockaru A bila potrebna 2 poena do dobitne sume, a kockaru B 3 poena. Ovaj problem, postavljen od jednog poluprofesionalnog kockara, analizirali su i reˇsili ˇcuveni francuski matematiˇcari Pascal i Fermat. Kao ˇsto je napomenuto u uvodu, njihova studija o ovom problemu iz 1654. godine uzima se za poˇcetak jedne nove matematiˇcke oblasti – teorije verovatno´ ce. Reˇ senje: Oˇcigledno, ne viˇ se od ˇcetiri bacanja novˇcića je dovoljno da se igra okonˇca. Neka a oznaˇcava opit

gde A pobed¯uje (pojava ,,pisma”), a b opit u kome B pobed¯uje (po java ,,grba”). Postoji 16 varijacija od dva slova a i b duˇzine 4, kao ˇsto je prikazano u donjoj tabeli.

1 a a a a

2 a a a b

3 a a b a

4 a b a a

5 b a a a

6 a a b b

7 a b a b

8 b a a b

9 a b b a

10 b a b a

11 b b a a

12 b b b a

13 b b a b

14 15 b a a b b b b b

16 b b b b

é aksiomatska definic ija v erovatno c

5

Izmed¯u 16 mogućih sluˇcajeva, 11 je povoljno za igraˇca A (sluˇcajevi 1-11, gde se a javlja 2 ili viˇ se puta), dok je 5 povoljno za B (sluˇ cajevi 12-16, gde se b javlja 3 ili viˇse puta). Prema tome, verovatno´ ca dobitka je 11/16 za kockara A, i 5/16 za kockara B. Kockari bi trebalo da podele ulog proporcionalno verovatnoćama dobitka, dakle, u odnosu 11:5.

3. Aksiomatska definicija verovatno´ ce Kao ˇsto je ve´ c pomenuto, aksiomatsko zasnivanje teorije verovatnoće prvi put je izloˇzeno u radu A. N. Kolmogorov a iz 1933. godine. Ovaj pristip obuhvatio je sve bitne eksperimentalno i intuitivno uoˇcene osobine funkcije P i prevaziˇsao ograniˇcenja u razvoju verovatnoće kao moderne matematiˇcke discipline. Uvedena aksiomatika bila je osnov za intenzivan razvoj novih pravaca u teoriji verovatnoće koji su omogućili istraˇzivanje veoma sloˇzenih procesa i pojava u prirodi, nauci, tehnici i druˇstvu. U aksiomatskom zasnivanju verovatnoće osnovni pojam koji se ne definiˇse jeste pojam elementarnog (sluˇcajnog) dogad¯aja. Sluˇ cajan dogad¯aj je podskup skupa svih elementarnih dogad¯aja iz Ω. Neka je (Ω) partitivni skup skupa Ω i (Ω).

P

F ⊂ P

F

Ako je familija podskupova zatvorena u odnosu na operacije komplementiranja i prebrojive unije i ako je Ω , onda se ova familija zove σ -polje.

∈ F

Aksioma 1. (aksioma σ -polja). Familija (1) Ω

F ⊂ P (Ω) je σ -polje ako su zadovoljeni uslovi:

∈ F ,

∈ F , tada A¯ ∈ F (i ∈ N), +∞ A ∈ F (i ∈ N), tada A ∈ F .

(2) ako Ai (3) ako

i



i

i

i=1

Osobine σ -polja:

∅ ∈ F . (ii) A \ B ∈ F za svaka dva dogad¯aja A, B ∈ F . +∞ (iii) Ako A ∈ F , tada A ∈ F . (i)



i

i

i=1

(iv) Ako A 1 , A2 , . . . , An (v) Ako A 1 , A2 , . . . , An

∈ F , tada

∈ F , tada

n

 

∈ F .

Ai

i=1 n

i=1

∈ F .

Ai

Osobine (iv) i (v) za konaˇcan broj dogad¯aja dokazuju se polazeći od reprezentacija n



i=1

Ai = A 1

∪ A2 ∪ · · · ∪ A ∪ ∅ ∪ ∅ ∪ · · · , n

n



i=1

Ai = A 1

∩ A2 ∩ · · · ∩ A ∩ Ω ∩ Ω ∩ · · · . n

F σ-polje nad skupom Ω. Funkcija P : F → R zove se

Aksioma 2. (aksioma verovatnoće). Neka je verovatno´ ca nad ako zadovoljava uslove:

F

(1 ) P (Ω) = 1, (2 ) za sve A (3 ) ako

∈ F , P (A) ≥ 0, A ∈ F (i ∈ N) i A ∩ A = ∅ (i  = j), tada P i

i

j

+

∞

+

∞

   i=1

Ai =

i=1

P (Ai ).


6

F

Trojka (Ω, , P ) odred¯uje tzv. prostor verovatno´ ce . Na osnovu aksioma 1 i 2 neposredno slede neke osnovne osobine verovatnoće, od kojih su neke već dokazane koriˇsćenjem klasiˇcne definicije verovatnoće:

∅

(i) P ( ) = 0. Kako je Ω = Ω + ∅ + ∅ + · · · , iz (3 ) dobijamo P (Ω) = P (Ω + ∅ + ∅ + · · · ) = P (Ω) + P (∅) + P (∅) + · · · ⇒ 0 = P (∅) + P (∅) + · · · , tj. P (∅) = 0.

(ii) Ako je A

⊆ B, tada je P (A) ≤ P (B).

¯ Kako su A i AB ¯ nesaglasni dogad¯aji, imamo P (B ) = P (A) + P (AB ¯ ), tj. P (A) ≤ P (B ). Sledi iz B = A + AB. n

n

   

(iii) P

Ai =

i=1

P (Ai ) (konaˇ cna aditivnost).

i=1

n

Sledi iz

Ai = A 1 + · · · + An + ∅ + ∅ + · · · .

i=1

∈ F vaˇzi 0 ≤ P (A) ≤ 1.

(iv) Za svako A

S obzirom da je ∅ ⊆ A ⊆ Ω, na osnovu osobine (iv) sledi da je 0 ≤ P (A) ≤ 1.

¯ = 1 (v) P (A)

− P (A).

¯ = Ω i P (A) + P (A ¯) = P (Ω) = 1. Sledi iz A + A

(vi) P (A

∪ B) = P (A) + P (B) − P (AB) (Teorema zbira).

¯ odnosno AB i AB, ¯ su nesaglasni i vaˇ ¯ ¯ (lako se vidi sa Venovih Dogad¯aji A i AB, zi A ∪ B = A + AB, B = AB + AB dijagrama), pa je na osnovu (iii) ¯ ) P (A ∪ B ) = P (A) + P (AB

i

¯ ). P (B ) = P (AB ) + P (AB

¯ ) dobijamo (vi). Eliminacijom P (AB

Generalizacija teoreme zbira: n

n

    

P

Ai =

i=1

(vii) P

i=1

n

P (Ai )

−





P (Ai Aj ) +

i
P (Ai Aj Ak )

i
Ai = P (A1 ) + P (A2 A¯1 ) + P (A3 A¯1 A¯2 ) +

i=1

Odavde, s obzirom da je A¯1

··· A¯ −1A ⊂ A k

k

k

n

− · · · + (−1) −1 P (A1 A2 ··· A

··· + P (A

⊇ A2 ⊇ · ·· , onda je P

(ix) Ako je A 1

+

∞

∞

i=1

n

n

Ai

P (Ai ). Poslednja

i=1

Ai = lim P (Ak ). k

i=1

+

n

i=1

   

⊆ A2 ⊆ · ·· , onda je P

··· A¯ ).

   ≤ 

(k = 2, 3, . . . ), sledi P

nejednakost vaˇ zi i u sluˇcaju prebrojivo mnogo dogad¯aja. (viii) Ako je A1

¯ ¯

n A1 A2

n ).

→+∞

Ai = lim P (Ak ). k

→+∞

Napomena 1. Videli smo da konaˇcne unije i preseci mogu jednostavno da se proˇsire na beskonaˇcan broj dogad¯aja. Na ta j naˇcin, prema Aksiomi 1 i osobinama σ-polja, sledi da je σ-polje zatvoreno u odnosu

é aksiomatska definic ija v erovatno c

7

na iste operacije kao i polje dogad¯aja, ˇsto dalje znaˇci da je σ-polje uvek i polje dogad¯aja, ali obratno ne vaˇ zi. Naime, zatvorenost operacija u odnosu na beskonaˇcne unije i preseke povlaˇci zatvorenost u odnosu na konaˇcne unije i preseke, ali u opˇstem sluˇcaju obratno ne vaˇ zi.

Napomena 2. Klasiˇcna definicija verovatnoće data pomoću (2.1) operiˇse sa (unapred usvojenim) jednakoverovatnim elementarnim ishodima. Pri aksiomatskom pristupu ovaj nedostatak je otklonjen i jednakoverovatni ishodi javljaju se jedino kao posledica. Aksiomatski prilaz takod¯e otklanja i drugi ozbiljan nedostatak klasiˇcne definicije verovatno´ ce – rad sa konaˇcnim skupom ishoda. Primer 3.1. Tri aviona nezavisno jedan od drugog vrˇse bombardovanje jednog mosta bacajući na njega jednu seriju bombi. Verovatno´ ca da bar jedna bomba iz serije pogodi most je: za prvi avion 0.2, za drugi 0.3, i za treći 0.4. Naći verovatnoću da most bude pogod¯en. Neka je A dogad¯aj da je most pogod¯en (bar jednom) i neka je A k dogad¯aj da je bomba baˇcena iz k -tog aviona pogodila most. Tada je P (A1 ) = 0.2, P (A2 ) = 0.3, P (A3 ) = 0.4. S obzirom da su dogad¯aji A1 , A2 , A3 nezavisni, imamo

·

·

·

P (A1 A2 ) = 0.2 0.3 = 0.06, P (A1 A3 ) = 0.2 0.4 = 0.08, P (A2 A3 ) = 0.3 0.4 = 0.12,

· ·

P (A1 A2 A3 ) = 0.2 0.3 0.4 = 0.024,

gde je, na primer, A 2 A3 dogad¯aj da su bombe baˇcene iz drugog i trećeg aviona pogodile most. Primenom Teoreme zbira za n = 3

∪ A2 ∪ A3) = P (A1) + P (A2) + P (A3) − P (A1A2) − P (A1A3) − P (A2A3 ) + P (A1 A2A3), izraˇcunavamo P (A) = P (A1 ∪ A2 ∪ A3 ) = 0.664. Primer 3.2. Pouzdanost nekog ured¯aja definiˇse se kao verovatnoća (∈ (0, 1)) da ured¯aj radi ispravno u P (A1

odred¯enom vremenskom intervalu. Pouzdanost sloˇzenog sistema koji je sastavljen od viˇse komponenti moˇze se odrediti ako su poznate pouzdanosti komponenti, pri ˇcemu se ˇcesto pretpostavlja da pouzdanost svake komponente ne zavisi od pouzdanosti drugih komponenti. U tom sluˇ caju kaˇ ze se da su komponente nezavisne. Osnovni naˇcin veze dve nezavisne komponente su redna veza (slika 3.1a)) i paralelna veza (slika 3.1b)).

Slika 3.1 Redna i paralelna veza komponenata Kod redne veze, sistem radi ako i samo ako obe komponente rade. Ako se pretpostavi da su komponente nezavisne, tada je pouzdanost ovakvog sistema odred¯ena sa p r = p 1 p2 (proizvod verovatnoća). Sistem od dve palelelno vezane komponente radi ako i samo ako radi bar jedna komponenta, odakle, na osnovu Teoreme zbira (osobina (vi) u ovom odeljku), sledi da je pouzdanost sitema odred¯ena sa p p = p 1 + p2 p1 p2 . Razmotrimo najpre jedno jednostavno pitanje: Koji sistem sa slike 3.1 je pouzdaniji?

−

Da bismo odgovorili na ovo pitanje uporedićemo verovatno´ ce (koje definiˇsu pouzdanost) ova dva sistema. Kako je

p p

∈

− p

r

= ( p1 + p2

s obzirom da p1 , p2 (0, 1) sledi p p intuitivno moglo i oˇcekivati.

− p

r

− p1 p2) − p1 p2 = p1 (1 − p2) + p2(1 − p1),

> 0, tj. p p > pr . Prema tome, paralelna veza je pouzdanija, ˇsto se

Kod sloˇzenijih sistema sa viˇse komponenti, pouzdanost se izraˇcunava na sliˇcan naˇcin, kombinuju´ ci osobine redne i paralelne veze. Analiza pouzdanosti ovakvih sistema nije uvek jednostavna, pogotovu ako komponente imaju razliˇcit stepen pouzdanosti.


8

Kao sledeći primer posmatrajmo dva sistema A i B prikazana na slici 3.2 ˇcije sve komponente imaju istu pouzdanost p. Odredimo koji od njih ima ve´ cu pouzdanost.

Slika 3.2 Koji sistem je pouzdaniji? Sistem A ne radi ako i samo ako ni jedna komponenta ne radi. Verovatnoća da sistem ne radi jednaka je (1 p1 )(1 p2 )(1 p2 ) = (1 p)3 . Nas interesuje verovatnoća suprotnog dogad¯aja (da sistem radi), tako da je pouzdanost sistema A data sa

−

−

−

−

pA = 1

− (1 − p)3 = 3 p − 3 p2 + p3.

Isti rezultat se dobija primenom Teoreme zbira verovatno´ ca. Kombinuju´ ci rezultate iz prethodnog primera za rednu i paralelnu vezu, nalazimo pouzdanost sistema B kao verovatnoću

pB = ( p1 + p2

− p1 p2) · p3 = (2 p − p2) p = 2 p2 − p3

( p

∈ (0, 1) .

Kako je

pA

− p

B

= (3 p

 

− 3 p2 + p3) − (2 p2 − p3 ) = p(2 p2 − 5 p + 3) = 2 p(1 − p) 32 − p

nalazimo da je p A > pB , dakle, sistem A je pouzdaniji.

> 0,

4. Geometrijska definicija verovatno´ ce Pretpostavimo da skup G sadrˇzi elementarne dogad¯aje koji se mogu predstaviti kao taˇcke u nekom od prostora R1 , R2 ili R3 . U oblasti G ,,nasumice” se bira taˇcka. Moˇze se postaviti sledeće pitanje: Kolika je verovatnoća da sluˇcajno izabrana taˇcka pripada i oblasti G 1 G? Neka je G ograniˇcen skup sa konaˇcnom geometrijskom merom m(G) (u R 1 to je duˇzina, u R2 povrˇsina, a u R3 zapremina). Pretpostavimo da traˇzena verovatnoća zavisi samo od mere oblasti G 1 , u oznaci m(G1 ), da joj je proporcionalna i da ne zavisi od poloˇzaja i oblika posmatranih oblasti. Na ovaj naˇcin dolazimo do geometrijske definicije verovatno´ ce kao koliˇcnika

⊂

P (A) =

m(G1 ) , m(G)

(4.1)

gde je A dogad¯aj koji se realizuje kada sluˇcajno izabrana taˇcka padne u oblast G 1 .

Napomena 1. U izvesnom smislu izmed¯u formula (2.1) i (4.1) postoji sliˇcnost jer se u sluˇcaju obe definicije vertovatnoća posmatra kao koliˇcnik povoljnih ishoda i svih mogućih ishoda. Primetimo da se u oba sluˇcaja javlja nedostatak koji se ogleda u zasnivanju pomenutih definicija na pojmu jednakoverovatnih dogad¯aja. Kod geometrijske definicije verovatnoće (4.1) unapred se usvaja uslov nezavisnosti izbora taˇcke od oblika i poloˇzaja oblasti, tj. pretpostavlja se jednaka mogućnost (jednakoverovatnost) izbora bilo koje taˇcke oblasti. Uprkos ovom nedostatku, geometrijska verovatnoća u mnogim sluˇcajevima daje dobre procene ,,ˇsanse” za realizaciju nekog sluˇcajnog dogad¯aja.

é geometrijska definicija v erovatno c

9

Primer 4.1. Osobe A i B dogovorile su se da se susretnu na odred¯enom mestu izmed¯u 13h i 13h i a minuta. Prema dogovoru, onaj ko prvi dod¯e ˇceka na drugog b minuta. Odrediti verovatno´ cu da dod¯e do susreta ako se pretpostavlja da je vreme dolaska za svaku od osoba podjednako verovatno raspored¯eno izmed¯u 13h i 13h i a minuta.

Reˇ senje: Neka je osoba A doˇ sla u 13h i

x minuta, a osoba B u 13h i y minuta. Tada je, prema uslovu zadatka, 0 x a, 0 y a

≤ ≤

≤ ≤

(mogu´ ci ishodi). Do susreta će do´ ci ako i samo ako pored ovih uslova bude i x y b. Dakle, taˇcka sa koordinatama (x, y) moˇze se nalaziti u kvadratu K stranice a , a do susreta će doći ako se nalazi u osenˇcenoj oblasti S (povoljni ishodi) koja je ograniˇ cena pravama y = x b, y = x + b i stranicama kvadrata (slika 4.1). Odnos ovih povrˇsina daje traˇzenu verovatnoću:

| − | ≤

−

Slika 4.1

p =

S a2 = K

− (a − b)2 = b(2a − b) . a2

a2

Primer 4.2 (Buffonov4 problem). Na dovoljno velikom listu hartije nacrtane su med¯usobno paralelne linije na jednakom rastojanju a. Igla duˇzine d (< a) baca se na povrˇ s sa paralelnim linijama. Bifonov problem sastoji se u odred¯ivanju verovatno´ ce da igla seˇ ce neku od pravih. Da bismo reˇ sili ovaj problem, koji pripada oblasti geometrijske verovatno´ ce, posluˇzićemo se slikom 4.2a. Neka je C srediˇste igle. Oznaˇcimo sa x rastojanje taˇcke C do najbliˇze prave i sa α ugao koji igla zaklapa sa familijom paralelnih pravih. Taˇ cka (α, x) moˇze se nalaziti u pravougaoniku



| ≤ α ≤ π ∧ 0 ≤ x ≤ a/2

D = (α, x) 0



.

Slika 4.2 Buffonov problem Da bi igla sekla jednu od pravih, taˇcka (α, x) mora se nalaziti u oblasti



 ≤

d D1 = (α, x) 0 x sin α 0 α π . 2 Traˇzena verovatnoća p jednaka je koliˇcniku povrˇsina oblasti D 1 i D (slika 4.2b). Ove povrˇsine su redom jednake S D = aπ/2 i

| ≤ ≤

π

S D = 1



d sin αdα = 2

0

te je

p = 4

∧ ≤

−



d cos α 2

S D 2d = . S D πa

π

0

= d,

1

J.L.L. Buffon (1707–1788), francuski sveˇ stenik i matematiˇcar, ˇ cita se Bifon.


10

Primer 4.3 (Bertrandov 5 paradoks). U krugu polupreˇcnika r povuˇcena je nasumice tetiva. Odrediti verovatno´ cu da je duˇzina tetive ve´ ca od strane ravnostranog trougla upisanog u krug. Ovako formulisan problem opisao je Bertrand 1889. godine i poznat je kao Bertrand ov paradoks. Paradoks se sasto ji u tome da se dobija ju (bar) tri razliˇcita rezultata za traˇzenu verovatnoću, zavisno od naˇcina na ko ji je povuˇcena tetiva. Posmatrajmo tri naˇcina (nasumiˇcnog) povlaˇcenja tetive:

Slika 4.3 Tri naˇcina za izbor ,,sluˇcajne tetive” periferiji kruga uoˇcimo taˇcku A i kroz nju povucimo tetivu u nasumice izabranom pravcu. Upiˇsimo u dati krug ravnostran trougao ˇcije je jedno teme taˇcka A i spo jimo taˇcku A sa centrom kruga (slika 4.3a)). Oznaˇcimo sa θ ugao koji zaklapa tetiva sa polupreˇcnikom OA. Oˇcigledno je da će nasumice povuˇcena tetiva imati ve´ cu duˇ zinu nego stranica upisanog trougla ako i samo ako je θ ( π/6, π/6). S obzirom da ugao θ moˇze da varira u granicama od π/2 do π/2, traˇzena verovatnoća je I naˇ cin. Na

∈ −

−

−

P II naˇ cin.

π π <θ < 6 6



π 1 = 3 = . π 3

Fiksirajmo jedan pravac i povucimo nasumice tetivu kruga paralelno fiksiranom pravcu.

Upiˇ simo u dati krug ravnostran trougao tako da jedna njegova stranica bude paralelna fiksiranom pravcu (slika 4.3b)). Rastojanje ove stranice od centra datog kruga je r/2. Tetiva će imati veću duˇzinu od stranice upisanog ravnostranog trougla ako i samo ako je njeno rastojanje od centra kruga manje od r/2. Kako rastojanje x tetive od centra kruga moˇze da varira od 0 do r (uzima jući u obzir simetriju koja je grafiˇcki ilustrovana ,,inverznim” trouglom nacrtanim isprekidanim linijama) traˇzena verovatno´ ca je

r 1 P = 2 = . r 2 II I naˇ cin.

Izaberimo u krugu jednu taˇcku i kroz nju povucimo tetivu koja će biti prepolovljena tom

taˇckom (slika 4.3c). U ovom sluˇcaju tetiva će imati veću duˇzinu od stranice upisanog ravnostranog trougla ako i samo ako njeno srediˇ ste leˇ zi unutar kruga koji je upisan u ravnostranom trouglu. Polupreˇ cnik ovako upisanog 2 2 kruga je r/2, a povrˇsina r π/4. Povrˇsina datog kruga je r π, pa je traˇzena verovatnoća

r2 π 1 P = 24 = . r π 4 Dakle, u sva tri sluˇcaja dobili smo razliˇcite verovatnoće, ˇsto predstavlja paradoks. Objaˇsnjenje za ovaj paradoks leˇzi u ˇcinjenici da problem nije precizno formulisan. U stvari, svi dobijeni rezultati su taˇ cni jer u postavljenom zadatku imamo tri razliˇcita problema, u zavisnosti od toga ˇsta podrazumevamo pod pojmom proizvoljne tetive. Kao ˇsto smo videli, svaki od tri opisana naˇ cina postavlja neke dodatne uslove, tako da sluˇ cajnost u stvari nije potpuna. 5

J. L. Bertrand (1822–1900), francuski matematiˇ car, ˇ cita se Bertran.

ˇka defi nicija ve rovatno c é statisti c

11

5. Statistiˇ cka definicija verovatno´ ce Klasiˇcna definicija verovatnoće podrazuma takav kompleks uslova pri ekperimentima koji uvek dovodi do pojave jednakoverovatnih elementarnih dogad¯aja. Sva navedena pravila za nalaˇzenje verovatnoće u prethodnom odeljku izvedena su pod ovim uslovima. Med¯utim, ˇcesto nije moguće utvrditi jednakoverovatˇ nost elementarnih dogad¯aja. Staviˇ se, i u sluˇcajevima kada je to moguće (kao u sluˇcaju homogene kocke ili pravilnog novˇcića), situaciju pogorˇsava ˇcinjenica da je u praksi teˇsko obezbediti nepromenljive i idealne uslove pri izvod¯enju eksperimenata. Zbog toga je jedini naˇcin da zaista odredimo verovatno´ cu dogad¯aja A statistiˇcki pristup zasnovan na velikom broju eksperimenata. Pretpostavimo da se pri dovoljno velikom broju od n opita dogad¯aj A realizovao m puta. U sluˇcaju da je kompleks uslova (skoro) nepromenjen pri ovim eksperimentima, iskustvo je pokazalo da se frekvencija dogad¯aja A grupiˇse oko koliˇcnika m/n, koji se prema klasiˇcno j definiciji verovatnoće uzima za verovatnoću realizacije tog dogad¯aja. Pri stabilnim uslovima pri izvod¯enju eksperimenata odstupanje od koliˇcnika je utoliko manje, ukoliko je broj opita n ve´ ci. Na osnovu ovog dolazi se do statistiˇcke definicije verovatnoće: Ako je mn broj pojavljivanja dogad¯aja A u seriji od n eksperimenata izvedenih pod istim uslovima, tada je mn . n→+∞ n

P (A) = lim

Gornja definicija proizilazi iz tzv. zakona velikih brojeva, o ˇcemu će biti reˇ ci u 14. odeljku. Na primer, ako je A dogad¯aj da pri bacanju kocke padne broj 6, i ako kocku bacimo 3000 puta, oˇcekujemo da se ˇsestica pojavi 500 puta jer je verovatnoća P (A) = 1/6. Ako bi se ˇsestica pojavila, 2 recimo, 400 puta, statistiˇ cki pristup daje verovatnoću koja je neki broj oko 15 . Statistiˇcka definicija verovatnoće koristi se pri statistiˇckoj obradi podataka u onim naukama ˇcija je metodologija istaˇzivanja zasnovana na statistici (na primer, u druˇ stvenim naukama, biologiji, socioloˇskim istraˇ zivanjima, medicini, meteorologiji, fizici, itd.). Ocena nekih parametara donosi se na osnovu verovatnoće koja se izraˇzava koliˇcnikom mn /n, dobijenim pri istraˇzivanju velikog broja sluˇ cajeva ili uzoraka.

Primer 5.1. U prethodnom odeljku izloˇzen je Buffonov problem koji razmatra verovatnoću da igla duˇzine d preseˇ ce jednu od ekvidistantno nacrtanih paralelnih linija na rastojanju a (> d). Pokazano je da je ova verovatnoća jednaka p = 2d/πa. Ako se izvrˇ si veliki broj eksperimenata, odnos broja povoljnih ishoda m (tj. broja preseka igle i prave) i ukupnog broja eksperimenata n daje vrednost koja je pribliˇ zno jednaka gornjem razlomku, tj. 2d/πa m/n. Odavde je 2dn π . am Ova formula daje mogu´ cnost da se broj π odredi eksperimentalnim putem. Prema statistiˇ ckoj definiciji verovatno´ ce moglo bi se oˇcekivati da se sa povećanjem broja eksperimenata n broj π moˇze odrediti iz gornje

≈

≈

formule sa većom taˇcnoˇsću. Godine 1850. Volf je izvrˇsio 5000 bacanja i dobio vrednost 3.1596, Smit (1855.) je naˇsao 3.1553 (3204 eksperimenta), Foks (1894.) je dobio 3.1419 (1120 eksperimenata), dok je Lazarini 1901. godine doˇsao do veoma dobre aproksimacije 3.1415929 izvrˇ sivˇ si 3408 eksperimenata (greˇ ska tek na sedmoj decimali). Povodom ovog poslednjeg rezultata ruski matematiˇ car A.N. Zajdel je 1983. godine napisao rad pod naslovom ,,Obmana ili zabluda ” u kome je izrazio sumnju u Lazarinijev rezultat. Naime, zbog neizbeˇznih greˇsaka pri merenju duˇzina a i d (makar to bio i hiljaditi deo milimetra), neidealnosti povrˇsine na koju se baca igla, raznih uticaja okoline, i nemogućnosti da se u potpunosti oˇcuva isti kompleks uslova u toku ˇcitavog ogleda, veoma je teˇsko oˇcekivati greˇsku manju od 0.001. U ovom radu Zajdel je pokazao da je greˇ ska pri eksperimentalnom o dred¯ivanju broja π srazmerna reciproˇcnoj vrednosti korena iz broja eksperimenata. Prema ovom ,,zakonu 1/ n ” , da bi dobio vrednost broja π navedenu gore, Lazarini bi morao da vrˇ si eksperimente ˇcitavih 4 000 000 godina!

√


12

6. Uslovne verovatno´ ce i nezavisnost dogad ¯aja

F

∈ F

Neka je (Ω, , P ) prostor verovatnoće i neka je A dogad¯aj ˇcija realizacija ne zavisi od nastupanja bilo kog drugog dogad¯aja iz . U tom sluˇcaju verovatnoća ovog dogad¯aja zove se bezuslovna verovatno´ ca . Ako je realizacija dogad¯aja A uslovljena nastupanjem joˇs nekog drugog dogad¯aja B (P (B) = 0), tada se verovatnoća dogad¯aja A pod uslovom da se desio dogad¯aj B naziva uslovnom verovatno´ com i oznaˇcava se sa P (A B). Dakle, P (A B) je verovatnoća dogad¯aja A pod uslovima koji sigurno dovode do realizacije dogad¯aja B . Posmatra jmo eksperiment sa konaˇcnim brojem jednakoverovatnih elementarnih dogad¯aja. Oznaˇcimo sa nA , nB , nAB bro j elementarnih dogad¯aja koji dovode do realizacija dogad¯aja A, B, AB u n opita. Prema klasiˇcnoj definiciji verovatnoće je

F



|

|

P (B) =

nB , n

P (AB) =

nAB . n

Kako je nastupanje sluˇcajnog dogad¯aja A uslovljeno nastupanjem dogad¯aja B, to pri odred¯ivanju uslovne verovatnoće P (A B) broj nB predstavlja broj svih mogućnih elementarnih dogad¯aja za nastupanje dogad¯aja B , a n AB onaj broj tih dogad¯aja koji dovode do realizacije dogad¯aja A. Zato je

|

|

P (A B) =

nAB nB

nAB P (AB) = nnB = , P (B) n

P (B) > 0.

(6.1)

U sluˇcaju da je dogad¯aj B uslovljen nastupanjem dogad¯aja A, analogno se dokazuje da je

|

P (B A) =

P (AB) , P (A)

P (A) > 0.

(6.2)

Iz (6.1) i (6.2) dobija se

·

|

·

|

P (AB) = P (B) P (A B) = P (A) P (B A).

(6.3)

Relacija (6.3) izraˇzava teoremu proizvoda verovatno´ ca prema kojoj je verovatnoća nastupanja dva dogad¯aja jednaka proizvodu bezuslovne verovatnoće jednog od tih dogad¯aja i uslovne verovatnoće drugog, pod uslovom da je nastupio prvi dogad¯aj. Formula proizvoda verovatnoća moˇze se uopˇstiti i na sluˇcaj viˇse dogad¯aja. Na primer, za tri dogad¯aja A,B,C vaˇzi

 

·

|

·

| ·

|

P (ABC ) = P (AB)C = P (AB) P (C AB) = P (A) P (B A) P (C AB).

(6.4)

Primenom matematiˇcke indukcije prethodne formule se mogu uopˇstiti i na sluˇcaj n dogad¯aja: P (A1 A2

··· A

n)

·

|

·

|

= P (A1 ) P (A2 A1 ) P (A3 A1 A2 )

··· P (A |A1A2 ··· A −1). n

n

(6.5)

Uslovna verovatnoća zadovoljava aksiom verovatnoća, tj. vaˇzi sledeće tvrd¯enje:

∈ F , P (B) > 0 i ako je P 1(A) = P (A|B) za svako A ∈ F , tada je (Ω, F , P 1)

Teorema 6.1 Ako je B prostor verovatnoće.

Dokaz. Pokazaćemo da P 1 : (1 ) P 1 (Ω) = P (Ω B) =

|

(2 ) Za svako A

F → R zadovoljava uslove Aksiome 2:

P (ΩB) P (B) = = 1. P (B) P (B)

∈ F je P 1(A) = P (A|B) = P (AB) ≥ 0. P (B)

´ e i nezavisnost dogad uslovne verovatnoc ¯aja

13

(3 ) Neka je A1 , A2 , . . . , An , . . . niz med¯usobno disjunktnih dogad¯aja. Tada su dogad¯aji A1 B, A2 B, A3 B , . . . takod¯e med¯usobno disjunktni (videti sliku 6.1).

Slika 6.1 Koristeći (6.1) nalazimo +

+

P 1

∞

+

∞

       |    |  ∞

∞

Ai = P

i=1

∞ P (A B)

=

i

P (B)

i=1

Ai B

i=1

Ai B = +

∞

=

=

P (B)

i=1

+

ˇsto je i trebalo dokazati.

P

+

P (Ai B)

i=1

P (B)

+

∞

P (Ai B) =

i=1

P 1 (Ai ),

i=1



Primer 6.1. Koja je verovatnoća da u druˇstvu od n osoba postoje bar dve koje su rod¯ene istog dana u godini? Na´ ci najmanji broj n potreban da bi ova verovatnoća bila 1/2. Uzima se da su svi dani podjednako

≥

mogu´ cni da budu datumi rod¯enja jedne osobe, kao i da godina ima 365 dana. Neka je A ∗ dogad¯aj da ne postoje dve od n osoba koje imaju isti datum rod¯enja. Verovatnoća ovog dogad¯aja je

P (A∗ ) =

·

365 364

··· (365 − n + 1) . 365n

Odavde je verovatnoća da na jmanje dve osobe imaju isti datum rod¯enja

P (A) = 1

− P (A∗) = 1 − 365 · 364 ···365(365 − n + 1) . n

≥

≥

Probanjem za n = 1, 2, . . . nalazimo da je P (A) 1/2 za n 23, ˇsto je sa intuitivnog stanoviˇsta dosta mali broj; naime, pre reˇsavanja ovog problema oˇcekivao bi se mnogo ve´ ci broj osoba da bi P (A) bilo ve´ ce od 1/2.

Primer 6.2. U kutiji se nalazi 10 sijalica od kojih su 4 neispravne. Nasumice se izvlaˇce 3 sijalice bez vraćanja. Naći verovatnoću da su sve tri izvuˇcene sijalice ispravne. Neka je Ai (i = 1, 2, 3) dogad¯aj da je u i-tom izvlaˇ cenju uzeta ispravna sijalica. Tada se dogad¯aj A, koji oznaˇcava da su sve tri sijalice ispravne, moˇze predstaviti kao A = A 1 A2 A3 , te je, na osnovu formule (6.4),

·

|

·

|

P (A) = P (A1 ) P (A2 A1 ) P (A3 A1 A2 ) =

6 5 4 1 = . 10 9 8 6

· ·

Definicija 1. Za sluˇcajan dogad¯aj A kaˇze se da je nezavisan od dogad¯aja B ako je uslovna verovatnoća nastupanja dogad¯aja A pod uslovom da je nastupio dogad¯aj B, jednaka bezuslovnoj verovatnoći dogad¯aja A, tj. P (A B) = P (A).

|


14

P (AB) = P (A), odakle je P (B)

|

Iz definicije uslovne verovatnoće (6.1) sledi P (A B) =

·

P (AB) = P (A) P (B).

(6.6)

Dakle, u sluˇcaju kada jedan dogad¯aj ne zavisi od drugog, verovatnoća njihovog proizvoda jednaka je proizvodu njihovih verovatnoća. Ova formula predstavlja specijalan sluˇ caj pravila o proizvodu verovatnoća datog pomoću (6.3). Napomenimo da neki autori uzima ju relaciju (6.6) za definiciju nezavisnosti dva dogad¯aja. Na osnovu (6.6) sledi

|

P (B A) =

P (AB) P (A)P (B) = = P (B). P (A) P (A)

Odavde zakljuˇcujemo da ako dogad¯aj A ne zavisi od B, tada ni B ne zavisi od A. Moˇzemo reći da su dogad¯aji A i B nezavisni ako je verovatnoća njihovog proizvoda jednaka proizvodu njihovih verovatnoća. Pojam nezavisnosti dva dogad¯aja moˇze se proˇsiriti na konaˇcan ili najviˇse prebrojiv skup dogad¯aja.

∈ F

kaˇze se da su nezavisni u parovima ako za svaki par indeksa Definicija 2. Za dogad¯aje A 1 , A2 , . . . (i, j) (i = j) vaˇzi P (Ai Aj ) = P (Ai ) P (Aj ).



·

∈ F

su u celini nezavisni ako za svaki konaˇcan niz indeksa Definicija 3. Dogad¯aji A 1 , A2 , . . . , Ai , . . . k1 < k2 < < kn (ki 1, 2, . . . ) i proizvoljno m N vaˇzi

···

∈ {

}

|

P (Am Ak Ak 1

2

∈ ··· A

kn )

= P (Am ),

ˇsto je ekvivalentno sa P (Ak Ak 1

2

··· A

kn )

·

= P (Ak ) P (Ak ) 1

2

··· P (A

kn ).

Oˇ cigledno je da nezavisnost dogad¯aja u celini implicira nezavisnost u parovima, ali obratno ne vaˇzi kao ˇsto pokazuje sledeći primer.

Primer 6.3. Tri strane pravilnog tetraedra obo jene su redom crvenom, plavom i ˇzutom bojom, dok je ˇcetvrta strana obojena sa sve tri bo je. Neka A oznaˇcava dogad¯aj da prilikom bacanja tetraedra padne crvena boja, B – plava, C – ˇzuta. Tada je, P (A) = P (B) = P (C ) = 12 , i odavde, na primer, P (AB) = P (A)P (B) = 14 . S 3 druge strane je P (ABC ) = 14 = P (A)P (B)P (C ) = 12 = 18 .





7. Totalna verovatno´ ca i Bayesova 6 formula Sledeće dve teoreme imaju veliki znaˇcaj u teoriji verovatnoće i njenim primenama.

Teorema 7.1 (Formula totalne verovatno´ ce). Ako su H 1 , H 2 , . . . , Hn med¯usobno nesaglasni dogad¯aji, P (H i ) > 0 (i = 1, . . . , n) i H 1 + H 2 + + H n = Ω, tada je

···

n

P (A) =

 i=1

6

|

P (H i )P (A H i )

za svaki dogad¯aj A

T. Bayes (1702–1761), engleski matematiˇ car, ˇ cita se Bajes.

∈ F .

(7.1)

´ a i Bayesova formula totalna verovatnoc

n

Dokaz. Polazeći od jednakosti A = AΩ = A

n

  H i =

i=1

aditivnosti, imamo n

P (A) = P

AH i =

i=1

cne AH i , na osnovu (6.3) i osobine konaˇ

i=1

n

  

15

n

P (AH i ) =

i=1



|

P (H i )P (A H i ).

i=1



Verovatnoće P (H i ) su obiˇcno poznate unapred, pre realizacije opita, pa se ˇcesto nazivaju apriornim verovatno´ cama , a sami dogad¯aji hipotezama. Primetimo da hipoteze H i ˇcine potpuni sistem dogad¯aja, tj. ˇcine disjunktno razbijanje skupa Ω.

Primer 7.1. Date su tri jednake kutije. U prvoj se nalaze dve bele i jedna crna kuglica, u drugoj tri bele i jedna crna, i u trećoj jedna crna i jedna bela kuglica. Neko nasumice bira jednu od kutija i uzima iz nje opet nasumice jednu kuglicu. Naći verovatnoću da će izvuˇcena kuglica biti bela.

Reˇsenje: Oznaˇcima sa A dogad¯aj da bude izvuˇcena bela kuglica i razmotrimo tri hipoteze: H 1 – izbor prve kutije; H 2 – izbor druge kutije; H 3 – izbor treće kutije. Najpre nalazimo

1 , 3

P (H 1 ) = P (H 2 ) = P (H 3 ) =

|

P (A H 1 ) =

2 , 3

|

P (A H 2 ) =

3 , 4

|

P (A H 3 ) =

1 . 2

Na osnovu formule totalne verovatnoće je 3

P (A) =



|

P (H i )P (A H i ) =

i=1

1 2 1 3 1 1 23 + + = , 3 3 3 4 3 2 36

·

·

·

ˇsto predstavlja traˇzenu verovatnoću.

|

Ako je rezultat opita pokazao da se dogad¯aj A realizovao, vaˇzno je naći verovatnoće P (H i B) realizacija pojedinih hipoteza koje su dovele do realizacije dogad¯aja A. Drugim reˇcima, interesuje nas aposteriorna verovatnoća hipoteza H i pod uslovom da se realizovao dogad¯aj B . Odgovor daje sledeće teorema.

Teorema 7.2 (Bayesova formula). Ako su H 1 , H 2 , . . . , Hn med¯usobno nesaglasni dogad¯aji, P (H i ) > 0 (i = 1, . . . , n) i H 1 + H 2 + + H n = Ω, tada je

···

|

P (H i A) =

|

P (H i )P (A H i ) n



(i = 1, . . . , n, A

|

P (H j )P (A H j )

j =1

∈ F ).

Dokaz. Kako je

|

|

P (H i A) = P (H i )P (A H i ) = P (A)P (H i A) (i = 1, . . . , n), imamo

|

P (H i A) =

|

P (H i )P (A H i ) . P (A)

Primenjujući teoremu 7.1 za P (A) dobijamo Bayesovu formulu (7.2).



(7.2)


16

Primer 7.2. Dva strelca nezavisno jedan od drugog gad¯aju istu metu ispaljujući po jedan metak. Verovatnoća pogad¯anja za prvog strelca je 0.8, a za drugog 0.4. Posle izvedenog gad¯anja utvrd¯eno je da je meta pogod¯ena samo jednom. Naći verovatno´ cu da je pogodio prvi strelac.

Reˇsenje: Oznaˇcimo sa A dogad¯aj da je cilj pogod¯en jednom. Pre gad¯anja sledeće ˇcetiri hipoteze su moguće: H 1 – ni prvi ni drugi strelac nisu pogodili; H 2 – oba strelca su pogodila; H 3 – prvi strelac je pogodio, drugi nije; H 4 – drugi strelac je pogodio, prvi nije. Uslovne verovatnoće su

|

P (A H 1 ) = 0,

|

P (A H 2 ) = 0,

|

|

P (A H 3 ) = 1,

P (A H 1 ) = 1,

tj. hipoteze H 1 i H 2 su nemoguće (jer je cilj pogod¯en samo jednom). Verovatnoće mogućih hipoteza su

·

P (H 3 ) = 0.8 0.6 = 0.48,

·

P (H 4 ) = 0.2 0.4 = 0.08.

Na osnovu Bayesove formule nalazimo verovatno´ ce hipoteza H 3 i H 4 pod uslovom da je cilj pogod¯en samo jednom:

|

·

P (H 3 A) =

|

P (H 3 )P (A H 3 ) 0.48 1 6 = = , P (H 3 )P (A H 3 ) + P (H 4 )P (A H 4 ) 0.48 1 + 0.08 1 7

|

P (H 4 )P (A H 4 ) 0.08 1 1 = = . P (H 3 )P (A H 3 ) + P (H 4 )P (A H 4 ) 0.48 1 + 0.08 1 7

P (H 4 A) =

| |

|

|

·

|

·

·

· ·

|

Na osnovu dobijenih rezultata zakljuˇ cujemo da je verovatnije da je metu pogodio prvi strelac (P (H 3 A) = 6/7), dok je verovatno´ ca da je to uˇ cino drugi strelac P (H 4 A) = 1/7.

|

8. Sluˇ cajne promenljive

∈

Iz prethodnih izlaganja videli smo da se svakom elementarnom dogad¯aju ω Ω moˇze dodeliti realan broj X (ω) i na taj naˇ cin opisati rezultat nekog eksperimenta pomo´ cu realne funkcije X (ω). Pritom, ova funkcija mora zadovoljiti neke uslove koji omogućavaju da ona na realnu pravu preslika ne samo elementarne dogad¯aje ω Ω, već i celu strukturu datog prostora verovatno´ ce (Ω, , P ). Ilustracije radi, posmatrajmo jedan ekperiment koji se sastoji od 3 nezavisna opita u kome se neki dogad¯aj A realizije ili ne realizuje. Mogući su sledeći ishodi:

∈

F

¯ ω3 = A AA, ¯ ¯A, ¯ ω5 = AAA, ¯ ¯ A, ¯ ω7 = A¯AA, ¯ ¯A. ¯ ω1 = AAA, ω2 = AAA, ω4 = A A ω6 = AA ω8 = A¯A Svakom od 8 ishoda ω moˇzemo dodeliti relan broj X (ω) koji oznaˇcava broj realizacija dogad¯aja A, na ¯A ¯A) ¯ = 0, X (AA ¯ A) ¯ = 1, X (AAA) ¯ = 2, X (AAA) = 3. Oˇcigledno je da X predstavlja presprimer, X (A likavanje skupa ishoda Ω = ω1 , . . . , ω8 u skup 0, 1, 2, 3 . Ovo nas dovodi do vaˇ znog pojma sluˇ ca jne promenljive X koja preslikava Ω u R. Uvod¯enje pojma sluˇcajne promenljive (tj. funkcije koja preslikava Ω u R) omogućava da se umesto direktnog i komplikovanog izuˇcavanja prostora verovatnoće Ω, , P problem izuˇcavanja svede na prostor realnih brojeva R koji ima veoma bogatu matematiˇcku strukturu i, samim tim, omogućuje definisanje i prouˇcavanje mnogih novih pojmova i odnosa vezanih za izuˇcavanje sluˇcajnih pojava. Od najvećeg interesa je sluˇcaj kada je Ω = R, gde se verovatnoća definiˇse na otvorenim intervalima (a, b). Treba napomenuti da se ne moˇze na svakom podskupu skupa Ω definisati verovatno´ ca. Na primer,

{

}

{

}

{ F }

ˇ ajne promenljive slu c

 

17

−

ako je P verovatnoća na skupu Ω = (0, 1), takva da je P (a, b) = b a za svaki otvoreni interval u (0, 1), tada postoje podskupovi skupa Ω na kojima verovatnoća nije definisana. Da bi se prevaziˇsla ova teˇskoća, uvodi se pojam tzv. najmanjeg σ -polja ili Borelovog sigma polja , u oznaci B(R), koje sadrˇzi sve otvorene intervale (a, b) R. Svaki skup koji pripada Borel ovom sigma polju naziva se Borelovim skupom. R mora da zadovolji izvesne uslove. U radu sa sluˇ Već smo pomenuli da preslikavanje X : Ω cajnim promenljivim potrebno je odgovoriti na pitanje kolika je verovatnoća da vrednost sluˇcajne promenljive X bude manja od nekog realnog broja x? Dakle, treba odrediti

⊂

→

{ | ∈ Ω, X (ω) < x}). Kako je funkcija P definisana nad F , potrebno je da za svako x ∈ R skup {ω | ω ∈ Ω, X (ω) < x} bude element σ-polja F , odnosno sluˇcajni dogad¯aj. Stoga se uvodi sledeća definicija. Definicija 1. Neka je (Ω, F , P ) prostor verovatnoće i X : Ω → R. Preslikavanje X zove se sluˇcajna promenljiva ako je {ω | ω ∈ Ω, X (ω) < x} ∈ F za svako x ∈ R. P ( ω ω

U skladu sa prethodnim, sluˇ cajna promenljiva moˇze se interpretirati i na slede´ ci naˇcin. Ako je X funkcija koja preslikava Ω u skup realnih brojeva R i ako je S podskup od R, tada ćemo sa X −1 (S ) oznaˇciti inverznu sliku skupa S definisanu sa X −1 (S ) = ω ω

{ | ∈ Ω, X (ω) ∈ S }. Neka je (Ω, F , P ) prostor verovatno´ ce. Funkcija X : Ω → R, takva da za svako x ∈ R skup {ω | ω ∈ − 1 Ω, X (ω) < x} (tj. inverzna slika X (−∞, x) intervala (−∞, x)) pripada σ-polju F , zove se sluˇ cajna promenljiva. Ovo je ilustrativno prikazano na slici 8.1.

Slika 8.1

Slika 8.2

∈ B(R) (gde je B(R)

Moˇze se pokazati da ako je X sluˇcajna promenljiva, tada za svako S polje) inverzna slika X −1 (S ) takod¯e pripada .

F

Borel ovo

Primer 8.1. Neka je ωk elementaran dogad¯aj koji oznaˇcava da se pri bacanju kocke pojavilo k taˇckica (k 1, . . . , 6 ) i neka je A = ω2 , ω4 , ω6 dogad¯aj koji oznaˇcava pojavu parnog broja taˇckica. Tada je Ω = ω 1 , . . . , ω6 i = Ω, , A, A¯ . Definiˇsimo funkciju X na sledeći naˇcin: X (ω2k ) = 1, X (ω2k−1 ) = 0 (k = 1, 2, 3) i ispitajmo da li je X sluˇcajna promenljiva nad (Ω, , P ). Prema prethodnom, ispitaćemo da li X −1 ( , x) za svako x R. Kako je (videti sliku 8.2)

∈{ {

}

} F { ∅

{

}

}

−∞ ∈ F

X −1 (

−∞, x) =

oˇcigledno je da X jeste sluˇcajna promenljiva.

  ∅

F

Ω, x > 1, ¯ 0 < x A, , x 0,

≤

∈

≤ 1,


18

{ | ∈

}

{ | ∈

Zbog jednostavnosti, skup ω ω Ω, X (ω) < x ćemo kraće oznaˇcavati sa (X < x), a skup ω ω Ω, X (ω) = x sa (X = x). Tako ćemo, na primer, verovatnoću da sluˇcajna promenljiva X uzme vrednost x obeleˇzavati sa P (X = x). Verovatnoću da sluˇcajna promenljiva X uzme vrednosti sa intervala (a, b) obeleˇzavamo sa P (a < X < b). Sa P (X < x) oznaˇcavamo verovatnoću da sluˇcajna veliˇcina X uzima vrednosti manje od x.

}

9. Funkcija raspodele

∈ B(R) definisana funkcija (S ) = P ({ω | ω ∈ Ω, X (ω) ∈ S }).

U prethodnom izlaganju videli smo da je za svaki skup S P X

∈

Na taj naˇcin sluˇcajna promenljiva X ,,prenosi” na realnu pravu R ne samo elementarne dogad¯aje ω Ω nego i strukturu prostora verovatnoće (Ω, , P ). Funkcija P X je definisana na skupu podskupova od R, ˇsto predstavlja izvesno ograniˇcenje u primeni mnogih metoda matematiˇcke analize u R. Zbog toga se uvodi jedan novi pojam, funkcija raspodele F X sluˇcajne promenljive X, koja u sebi sadrˇ zi sve potrebne informacije o raspodeli verovatnoća nad B(R), ali ima pogodniji oblik jer predstavlja realnu funkciju realne promenljive.

F

Definicija 1. Funkcija F X :

R

→ [0, 1] sluˇcajne promenljive X, definisana sa F X (x) = P (X < x),

koja predstavlja verovatnoću da sluˇcajna promenljiva X uzme vrednost manju od x za svako x se funkcija raspodele verovatnoća sluˇcajne promenljive X ili kraće funkcija raspodele .

(9.1)

∈ R, zove

Oˇ cigledno je da je funkcija raspodele F X jedinstvena za svaku sluˇ cajnu promenljivu X. Obrnuto ne mora da vaˇzi, naime, razliˇcite sluˇ cajne promenljive mogu imati istu funkciju raspodele. Ako je jasno o kojoj se sluˇcajno j promenljivoj radi, umesto F X (x) koristićemo oznaku F (x).

Primer 9.1. Funkcija raspodele F X sluˇcajne promenljive X iz primera 8.1 je data sa

F X (x) =

 

1, x > 1, 1/2, 0 < x 0, x 0,

≤

≤ 1,

U slede´ coj teoremi navedene su osnovne osobine funkcije raspo dele.

Teorema 9.1. Za funkciju raspodele verovatnoća sluˇcajne promenljive X vaˇzi: 1◦ 2◦ 3◦

−∞) = 0. lim F (x) = F (+∞) = 1. → +∞ P (a ≤ X < b) = F (b) − F (a) x

lim F (x) = F (

→−∞

x

(a < b, a, b

4◦ Funkcija raspodele je neprekidna sleva, tj.

∈ R). x

lim = F (a).

→a−0

5◦ Funkcija raspodele je monotono neopadajuća funkcija, tj. ako je x 1 < x2 , tada je F (x1 )

≤ F (x2).

funkcija raspodele

19

Dokaz: +∞ 1◦ F (−∞) = lim F (−n) = lim P (X < −n) = P (X < −n) = P (∅) = 0. n→+∞ n→+∞ n=1 +∞ ◦ 2 F (+∞) = lim F (n) = lim P (X < n) = P (X < n) = P (Ω) = 1. n→+∞ n→+∞ n=1 3◦ F (b) = P ({ω | ω ∈ Ω, X (ω) < b}) = P ({ω | ω ∈ Ω, X (ω) < a}) + P ({ω | ω ∈ Ω, a ≤ X (ω) < b})

   

≤ X < b). lim F (a − 1/n) = → +∞

= F (a) + P (a

4◦

x

lim F (x) =

→a−0

n

n

+

∞



lim P (X < a − 1/n) = P → +∞

= P (X < a) = F (a).

(X < a

n=1

− 1/n)



5◦ Ako je x 1 < x2 i ako je A = ω ω Ω, X (Ω) < x1 , B = ω ω A B, te je F (x1 ) + P (A) P (B) = F (x2 ).

{ | ∈ ≤

⊆

}

{ | ∈ Ω, X (ω) < x2}, oˇcigledno je

Na osnovu osobina 1◦ , 2◦ i 5◦ sledi da za funkciju raspodele vaˇ zi

≤ F (x) ≤ 1.

0

Vaˇzi i sledeća teorema koju navodimo bez dokaza. ca, neprekidna sleva i ako je Teorema 9.2 Ako je realna funkcija F, definisana na R, neopadaju´ F ( ) = 0, F (+ ) = 1, tada postoji sluˇcajna promenljiva X takva da je F njena funkcija rasapodele.

−∞

∞

ˇajne promenljive Diskretne sluc cajna promenljiva koja uzima konaˇcno ili prebrojivo mnogo vrednosti zove se Definicija 2. Sluˇ diskretna sluˇcajna promenljiva . Neka je

RX skup

slika sluˇcajne promenljive X. Ovaj skup ima oblik

{

}

RX

= x1 , x2 , . . . , xk , . . . , ako je

RX

= x1 , x2 , . . . , xn , ako je

RX prebrojiv

skup

ili

{

}

RX konaˇ can

skup.

Oˇcigledno je da vaˇzi Ω=

{ | ∈ ω ω

n

ˇsto znaˇci da je

}

 

Ω, X (ω) = x n =

n

(X = x n )

i

P (X = x i ) =

i

(X = x i )

∩ (X = x ) = ∅ za sve i = j, j



pi = P (Ω) = 1.

i

Diskretna sluˇcajna promenljiva potpuno je zadata ako je poznat: 1◦ skup svih vrednosti RX = x1 , x2 , . . . koje moˇze da uzme sluˇcajna promenljiva X ; 2◦ skup odgovara jućih verovatnoća pk = P (X = x k ) (k = 1, 2, . . . ).

{

}

{

}

Skup vrednosti diskretne sluˇcajne promenljive x1 , x2 , . . . , zajedno sa odgovarajućim verovatnoćama p1 , p2 , . . . , predstavlja zakon raspodele verovatno´ ca sluˇ cajne promenljive. Zakon raspodele obiˇcno se predstavlja u obliku ˇseme

 ∼

X

x1 x2 p1 p2

··· ···



.


20

Napomenimo da je u radu sa sluˇ cajnom promenljivom diskretnog tipa X, umesto funkcije raspodele F X ˇcesto jednostavnije koristiti zakon raspodele verovatnoća. Na osnovu definicije funkcije raspodele, ova funkcija za diskretne sluˇcajne veliˇcine moˇze se izraziti kao F (x) =



P (X = x k ),

k:xk
pri ˇcemu se sumiranje vrˇ si po svim indeksima k za koje je xk < x. Grafik funkcije F je najˇceˇsće ,,stepenasta” kriva sa prekidima prve vrste u taˇckama xk (k = 1, 2, . . . ). Ovih prekida ima najviˇse prebrojivo mnogo, a veliˇcina skoka jednaka je F (xk + 0)

− F (x − 0) = P (x − 0 < X < x k

k

k +

0) = P (X = x k ) = p k > 0.

Za diskretnu sluˇcajnu promenljivu X, koja sa odgovarajućim verovatno´ cama uzima konaˇcan ili prebrojiv skup vrednosti, ponekad se daje i slede´ ca definicija.

Definicija 3. Sluˇcajna promenljiva je diskretna ako je za svaki realan broj x odred¯ena neopadajuća funkcija raspodele F (x) = P (X < x) koja ispunjava uslove F ( ) = 0 i F (+ ) = 1, i koja u taˇckama prekida x k ima skokove jednake verovatnoćama p k :

−∞

F (xk + 0)

− F (x ) = P (X = x k

k)

= p k

∞

(k = 1, 2, . . . ).

ˇajne promenljive Neprekidne slu c Sluˇ cajna promenljiva neprekidnog tipa uzima vrednosti iz neprebrojivog skupa, na primer na realnom intervalu, na skupu realnih intervala ili na celoj realnoj pravoj. Kao ilustraciju takvog tipa promenljive, posmatrajmo sluˇcajnu promenljivu koja predstavlja duˇzinu rada sijalice. Ova sluˇcajna promenljiva moˇze uzeti bilo koju vrednost izmed¯u 0 i, recimo, 1000 sati. Kako u intervalu [0, 1000] ima neprebrojivo mnogo (kontinuum) taˇcaka, ne postoji naˇcin da definiˇsemo verovatnoću za svaku od pojedinaˇcnih vrednosti, ˇsto je bilo moguće u sluˇcaju diskretne sluˇcajne promenljive. Takod¯e, na osnovu intuicije, znamo da je verovatnoća da će sijalica pregoreti baˇs u taˇcno odred¯enom momentu x [0, 1000] jednaka 0, dok je verovatno´ ca da će pregoreti u nekom vremenskom intervalu [a, b] [0, 1000] razliˇcita od nule. R+ povezane sa funkcijom Opisane teˇskoće prevazilaze se uvod¯enjem jedne nove funkcije f X : R raspodele F X definisane pomoću (9.1). Novouvedena funkcija f X omogućuje nalaˇzenje verovatnoće na odred¯enim skupovima realnih brojeva pomoću integrala. Sledeća definicija precizno odred¯uje tip sluˇcajne promenljive.

⊆

∈

→

→

F X (x) funkcija raspodele sluˇcajne promenljive X i ako postoji integrabilna Definicija 4. Ako je x + funkcija f X : R R takva da ispunjava uslove 1◦ f X (x)

→

≥ 0, za svako x ∈ R,

2◦ F X (x) =

x



f X (t)dt,

−∞

tada je X neprekidna sluˇcajna promenljiva . Funkcija f X zove se gustina raspodele verovatno´ ce sluˇcajne promenljive X ili kraće gustina. Ako se radi sa viˇse sluˇcajnih promenljivih X, Y , . . . , njihove gustine ćemo oznaˇcavati sa f X , f Y , . . . . Ako je jasno o kojoj promenljivoj se radi, funkciju gustine ćemo oznaˇcavati jednostavno sa f .

Napomena 1. Na osnovu 2◦ sledi da je funkcija raspodele F X (x) neprekidne sluˇcajne promenljive uvek neprekidna funkcija. Obratno u opˇstem sluˇcaju ne vaˇ zi, ˇsto se moˇze pokazati na primerima izvesnih

funkcija raspodele

21

,,patoloˇskih” funkcija F X (x), ili specijalno konstruisanih primera. S obzirom da su ovakvi primeri sa praktiˇcnog stanoviˇsta izuzetno retki ili se uopˇste ne javljaju, u nastavku se nećemo baviti ovim izuzecima.

Napomena 2. Ako sluˇcajna promenljiva X ne uzima sve vrednosti iz intervala ( da je f X (x) = 0 za sve vrednosti x iz intervala na kojima X ne uzima vrednosti.

−∞, +∞), usvaja se

Osobine gustine raspodele date su u slede´ coj teoremi.

Teorema 9.2. Neka su F X i f X redom funkcija raspodele i gustina raspodele sluˇcajne promenljive X. Tada vaˇzi:

 (x) u svim taˇckama x 1◦ f X (x) = F X 2◦

+

∞



∈ R u kojima je f

X neprekidna.

f X (x)dx = 1.

−∞

3◦ P (X = a) = 0 za svako a b

∈ R.



4◦ P (a < X < b) = f X (x)dx za sve a, b ∈ R ∪{−∞}∪{+∞}. a

Dokazi navedenih tvrd¯enja slede na osnovu osobina funkcije raspodele datih u teoremi 9.1 i definiciji 4. Na primer, 2 ◦ sledi na osnovu ˇcinjenice da je

+

∞



∞

f X (x)dx = F X (+ ) = 1. Dalje je

−∞ P (X = a) = lim P (a h

→0

a+h

≤ X < a + h) = lim →0 h



f X (x)dx = 0,

a

ˇsto dokazuje 3◦ . Na osnovu 3 ◦ i 4◦ dobija se b

P (a

≤ X ≤ b) = P (a < X ≤ b) = P (a ≤ X < b) =



f X (x)dx.

a

Na osnovu osobine 1◦ sledi

− F (x) = f (x)∆x + α∆x, gde α → 0 kada ∆x → 0. Odavde je za dovoljno malo ∆x ∆F (x) ≈ f (x)dx, tj. f (x)dx ≈ F (x + ∆x) − F (x) = P (x ≤ X ≤ x + ∆x). ∆F (x) = F (x + ∆x)

Odavde se moˇze zakljuˇ citi da podintegralni izraz u funkciji raspodele (2 ◦ u definiciji 4) daje aproksimativnu vrednost verovatno´ ce da se sluˇcajna promenljiva X nad¯e u intervalu [x, x + ∆x]. Na osnovu prethodnih osobina grafici funkcija F X i f X kvalitativno izgledaju kao na slici 9.1. S obzirom na geometrijsku interpretaciju odred¯enog integrala, osenˇ cena povrˇsina na slici 9.1a brojno je jednaka F X (x) = P (X < x) za naznaˇceno x.

Slika 9.1 Grafici funkcije gustine i funkcije raspodele


22

Primer 9.2. Sluˇcajna promenljiva ne mora da bude ni neprekidna ni diskretna, kao ˇsto pokazuje sledeći primer. Funkcija definisana sa

  

0

x < 0 0 x

x 4 x+1 4

≤ ≤2 2 < x ≤ 3 1 x≥3 je neopadajuća, neprekidna sleva i vaˇzi F (−∞) = 0, F (+∞) = 1, tj. zadovoljava sve potrebne uslove da bi bila funkcija raspodele (videti teoremu 9.2). Med¯utim, kako je F (2 − 0) = 1/2, F (2 + 0) = 3/4, ova funkcija F (x) =

ima prekid u taˇcki x = 2 tako da nije neprekidna. S druge strane, X moˇze da uzima vrednosti iz neprebrojivog skupa taˇcaka intervala [0, 3], te X nije ni diskretna promenljiva.

Primer 9.3. Odrediti konstantu k tako da funkcija f (x) =

k 1 + x2

(x

∈ R) −

bude funkcija gustine raspodele sluˇ cajne promenljive X, a zatim naći P ( 1 < X < 1). +

Iz uslova

∞



f (x)dx = 1, tj.

−∞

+

∞



−∞ nalazimo

k =

Traˇzena verovatnoća je jednaka

k dx = k 1 + x2

∞

−∞

1 dx = 1, 1 + x2

1 1 1 = = . ∞ + +∞ π 1 arctan x dx 2 −∞ 1 + x −∞





1 P ( 1 < X < 1) = π

−

+



1



1 1 dx = arctan 1 1 + x2 π



−1

− arctan (−1)



=

1 . 2

10. Numeriˇ cke karakteristike sluˇ cajnih promenljivih Funkcija raspodele ili raspodela verovatnoća za diskretnu sluˇcajnu promenljivu i funkcija raspodele ili gustina raspodele verovatno´ ce za neprekidnu sluˇcajnu promenljivu, predstavljaju potpune karakteristike tih promenljivih. U praksi, med¯utim, ˇcesto nam ove karakteristike nisu poznate ili, ako jesu, raˇ cunanje sa njima moˇze biti dosta komplikovano. Osim toga, ponekad postavljeni problem zahteva znatno manji broj podataka o sluˇcajno j promenljivoj. Zato se u teoriji verovatnoće ˇcesto koriste izvesni numeriˇcki parametri koji do izvesnog stepena karakteriˇ su bitne crte raspodele verovatnoća sluˇ cajne promenljive. Najvaˇzniji med¯u njima su matematiˇ cko oˇ cekivanje, disperzija i momenti.

ˇ ko oc ˇekivanje Matematic Neka je diskretna sluˇcajna promenljiva X zadata zakonom raspodele

 ∼

X pri ˇcemu je p i = P (X = x i ).

x1 x2 p1 p2

··· ···



,

ˇ ke karakteristike slu c ˇ ajnih promenljivih numeric

23

Definicija 1. Matematiˇcko oˇcekivanje diskretne sluˇcajne promenljive X, u oznaci E (X ), je broj definisan pomoću E (X ) =



xi P (X = x i ),

(10.1)

i

gde se sumiranje odnosi na sve moguće vredenosti x i sluˇcajne promenljive X. Neka je neprekidna sluˇcajna promenljiva X zadata preko gustine raspodele f (x).

Definicija 2. Ako je sluˇcajna promenljiva X neprekidnog tipa i ima funkciju gustine f (x), tada je +

∞

E (X ) =



xf (x)dx.

(10.2)

−∞

Na intervalima gde sluˇcajna promenljiva X nije definisana uzima se f (x) = 0. U definiciji 1 pretpostavlja se da red (10.1) apsolutno konvergira u sluˇcaju prebrojive sume, a u definiciji 2 da nesvojstven Riemannov integral apsolutno konvergira. Drugim reˇ cima, E (X ) postoji ako i samo ako E ( X ) postoji. U tom sluˇcaju moˇzemo imati predstavu o matematiˇckom oˇcekivanju kao srednjo j vrednosti sluˇcajne promenljive. Ukoliko red (10.1) ili integral u (10.2) ne konvergira apsolutno, kaˇze se da matematiˇcko oˇcekivanje ne postoji. Uslov da red i xi pi apsolutno konvergira obezbed¯uje nezavisnost zbira reda i xi pi od redosleda sumiranja u redu. Na osnovu definicija 1 i 2 zakljuˇcujemo da matematiˇcko oˇcekivanje ne mora da postoji za svaku sluˇca jnu promenljivu, kao ˇsto pokazuju sledeća dva primera.

| |





Primer 10.1. Neka je

 ∼ 

X

2

4

8

1 1 4 8 zakon raspodele diskretne sluˇ cajne promenljive X. Tada je



1 2

···

xi pi =

i N

∈

Red



···



i N

∈

2i

2i

···

1 2i

···

1 = 2i



 

1.

i N

∈

1 ne konvergira, te ne postoji matematiˇcko oˇcekivanje E (X ).

i N

∈

Primer 10.2. Gustina raspodele neprekidne sluˇcajne promenljive X data je sa f (x) =

1 π(1 + x2 )

(x

∈ R)

(tzv. Cauchyeva raspodela). U ovom sluˇcaju je +

∞

 | |

−∞ te ne postoji E (X ).



t 1 1 2 x dx = lim log(1 + x ) = + π(1 + x2 ) π t→+∞ 0

∞,


24

Navodimo neke osobine matematiˇckog oˇcekivanja: 1◦ E (X ) postoji ako i samo ako postoji E ( X ).

| |

2◦ E (cX ) = cE (X ) (c konstanta). Specijalno, E (c) = c P (X = c) = c 1 = c.

·

3◦ Ako je X

·

≥ 0, tada je E (X ) ≥ 0. 4◦ Ako je X ≥ Y, tada je E (X ) ≥ E (Y ).

5◦ Ako E (X ) i E (Y ) postoje, tada je E (X + Y ) = E (X ) + E (Y ). Vaˇzi i opˇstije tvrd¯enje: 5◦ a) Ako su c 1 , c2 , . . . , cn konstante i postoje matematiˇcka oˇcekivanja E (X 1 ), . . . , E ( X n ), tada je n

n

  

E

ci X i =

i=1

ci E (X i ).

i=1

Specijalno, imamo 5◦ b) E (X + c) = E (X ) + E (c) = E (X ) + c, i odavde, 5◦ c) E (X

− E (X )) = E (X ) − E (E (X )) = E (X ) − E (X ) = 0.

6◦ Teorema o mnoˇ zenju matematiˇ ckih oˇ cekivanja:

Ako su X 1 , . . . , Xn nezavisne sluˇcajne promenljive i ako imaju matematiˇcka oˇcekivanja, tada je

· ··· X ) = E (X 1) · E (X 2) ··· E (X ).

E (X 1 X 2

n

n

7◦ Teorema o monotonoj konvergenciji:

{ }

Ako je X n niz sluˇcajnih promenljivih takav da 0

≤ X → X, tada E (X ) → E (X ). n

n

Dokazi osobina 1◦ , 2◦ i 3◦ direktno slede iz definicije matematiˇckog oˇcekivanja, dok su dokazi ostalih osobina izostavljeni jer zahtevaju poznavanje nekih pojmova i tvrd¯enja iz teorije verovatnoće koji prevazilaze okvire ovog kursa.

Momenti Definicija 3. Matematiˇcko oˇcekivanje sluˇcajne promenljive X k zove se poˇcetni moment reda k sluˇca jne promenljive X. Poˇcetni moment reda k oznaˇcavamo sa m k (X ), ili, ako je jasno o kojoj se sluˇcajno j promenljivoj radi, sa m k . Poˇcetni moment postoji ako i samo ako posto ji apsolutni poˇ cetni moment E ( X k ) reda k (na osnovu osobine 1◦ matematiˇckog oˇcekivanja).

| |

Na osnovu definicija 1 i 2 imamo

mk (X ) =

    i +

∞

xki P (X = x i ),

za diskretne promenljive, (10.3)

k

x f (x)dx,

za neprekidne promenljive.

−∞

U oba sluˇcaja pretpostavlja se da red (za diskretnu promenljivu), odnosno nesvojstven intergral (za neprekidnu promenljivu) apsolutno konvergiraju.


− E (X ))

Definicija 4. Matematiˇcko oˇcekivanje sluˇcajne promenljive (X reda k sluˇcajne promenljive X.

25

k

zove se centralni moment

Centralne momente reda k sluˇcajne promenljive X oznaˇcavamo sa µ k , dakle



k

− E (X ))

µk (X ) = E (X Na osnovu definicije 3 imamo

   

(xi

µk (X ) =

i +

.

(10.4)

za diskretne promenljive,

i

(10.5)

∞

k

− E (X )) f (x)dx

(x

−∞

Kako je

k

− E (X )) P (X = x )




k

k

    −  −     −   −   −

µk (X ) = E (X

E (X ))

k

k r

= E

k r

( 1) − X r (E (X ))k−r =

r =0

k r

( 1) − X r (E (X ))k−r

r =0

k

=

E

k r

k

k r

k r

k r

( 1) − (E (X ))k−r E (X r ) =

r =0



( 1)k−r mk1 −r mr ,

r=0

centralni momenti mogu se izraziti preko poˇcetnih momenata. Tako je, na primer, µ 0 = 1, µ1 = 0, µ2 = m2 m21 . Takod¯e, imamo

−

k



k

      

− E (X ))

mk (X ) = E (X ) = E (E (X ) + X k

=

  k r

r=0

k r

k

k r

= E

r=0

k r

(E (X )) − (X − E (X ))r

k



(E (X )) − E (X − E (X )r =

k r



mk1 −r µr ,

r =0

odakle sledi da se i poˇcetni momenti mogu izraziti preko centralnih, pri ˇcemu je poˇcetni moment prvog reda m 1 = E (X ) matematiˇcko oˇcekivanje sluˇcajne promenljive X.

Disperzija Posmatra jmo diskretne sluˇcajne promenljive X i Y date pomoću zakona verovatnoće

 ∼ −

X

0.1 0 0.1 1/3 1/3 1/3



,

Y

 ∼ −

100 0 100 1/3 1/3 1/3



.

Tada je

−

E (X ) = ( 0.1)

· 13 + 0 · 13 + 0.1 · 13 = 0,

−

E (Y ) = ( 100)

· 13 + 0 · 13 + 100 · 13 = 0.

Moˇzemo da zapazimo da su matematiˇcka oˇcekivanja E (X ) i E (Y ) jednaka, iako je oˇcigledno da je kod sluˇcajne promenljive X manje ,,rasturanje” mogućnih realizacija 0.1 i 0.1 od broja E (X ) = 0, nego ˇsto je ,,rasturanje” mogućnih realizacija 100 i 100 sluˇ cajne promenljive Y oko broja E (Y ) = 0. Iz ovog primera se jasno vidi da matematiˇcko oˇcekivanje ne pruˇza dovoljno informacija o ,,rasturanju”

−

−


26

sluˇcajne promenljive X oko E (X ). Zbog toga se sledećom definicijom uvodi joˇs jedna vaˇ zna numeriˇcka karakteristika sluˇcajne promenljive.

Definicija 5. Centralni moment drugog reda sluˇcajne promenljive X zove se disperzija ili varijansa sluˇcajne promenljive X. Pozitivna vrednost kvadratnog korena iz disperzije zove se standardna devijacija ili standardno odstupanje .

 

Disperziju oznaˇcavamo sa D(X ), a standradnu devijaciju sa σ(X ) (= + D(X )). Disperzija predstavlja meru rasturanja vrednosti sluˇ cajne promenljive X oko matematiˇckog oˇcekivanja ◦ E (X ). Polazeći od definicije X i osobina 5 za matematiˇcko oˇcekivanje, nalazimo



 

D(X ) = σ(X )2 = µ2 (X ) = E (X E (X ))2 = E X 2

−

− 2XE (X ) + E (X )2

= E (X 2 ) 2E (X )2 + E (X )2 ,

−

odakle dobijamo formulu koja se najˇceˇsće koristi za izraˇcunavanje disperzije. D(X ) = E (X 2 )

− E (X )2 = m2 − m21.

(10.6)

Koristeći osobine matematiˇckog oˇcekivanja dokazuju se sledeće osobine disperzije:

Teorema 10.1. Ako je X sluˇcajna promenljiva sa konaˇcnom disperzijom i c vaˇzi: 1◦ D(X )

∈ R konstanta, tada

≥ 0.

2◦ D(c) = 0.

3◦ D(cX ) = c 2 D(X ) ( c < + 4◦ D(X + c) = D(X ).

||

∞).

5◦ Jednakost Bienaym´ ea: Ako su sluˇcajne promenljive X 1 , . . . , Xn nezavisne i imaju disperzije, tada je n

D

n

   X i =

i=1

D(X i ).

i=1

Dokaz. 1◦ Sledi na osnovu osobine 3 ◦ matematiˇckog oˇcekivanje za (X



− E (X ))2 ≥ 0.

             

− E (c))2 = E (c − c)2 = 0. 3◦ D(cX ) = E (cX − E (cX ))2 = E c2 (X − E (X ))2 = c 2 E (X − E (X ))2 = c 2 D(X ). 4◦ D(X + c) = E (X + c − E (X + c))2 = E (X + c − E (X ) − c)2 = E (X − E (X ))2 = D(X ). 2◦ D(c) = E (c



5◦ Jednakost Bienaym eá dokazaćemo koristeći ˇcinjenicu da iz nezavisnosti sluˇcajnih promenljivih X i i X j (i = j) sledi nezavisnost sluˇcajnih promenljivih X i E (X i ) i X j E (X j ) (i = j) (jer su E (X i ) i E (X j ) konstante). U dokazu ćemo takod¯e koristiti teoremu o mnoˇzenju matematiˇckih oˇcekivanja (osobina 5◦ ). Imamo



−

n

D

n

n

−

n



n

   −     −     −    −   −    −     −   −     X i = E

i=1

X i

E

i=1 n

= E

2

X i

= E

i=1

X i

i=1

2

E (X i )

= E

E X i

E (X i )

+

2

+



E X i



D(X i ) +

E (X i ) E X j

n

µ1 (X i )µ1 (X j ) =

i=j



X i

i=j

i=j

n

i=1

E (X i )

2

i=1

i=1

=

X i

2

i=1

n

i=1

n

=

E (X i )

X i

D(X i ),

i=1

E (X j )

E (X i ) X j

− E (X ) j




27

− E (X )) jednaki nuli (osobina 5◦ c) za matematiˇcko

jer su centralni momenti prvog reda µ 1 (X ) = E (X oˇcekivanje). 

Definicija 6. Standardizovana sluˇcajna promenljiva ili normirano odstupanje sluˇcajne promenljive X jeste sluˇcajna promenljiva X E (X ) X ∗ = . σ(X )

−

Za sluˇcajnu promenljivu X ∗ je E (X ∗ ) = 0 i D(X ∗ ) = 1. Zaista, koristeći osobine disperzije 2 ◦ – 5◦ , imamo 1 µ1 (X ) E (X ∗ ) = E (X E (X )) = = 0, σ(X ) σ(X )

−

i

 





 

1 1 1 D(X E ( X ) ) = D X + ( 1)E ( X ) = D(X ) + D ( 1)E (X ) σ(X )2 D(X ) D(X ) 1 1 1 = D(X ) + ( 1)2 D(E (X )) = D(X ) + D(E (X )) = D(X ) + 0 = 1. D(X ) D(X ) D(X )

D(X ∗ ) =

−



−

−



− 



Sledeća teorema ima veliku primenu u teoriji verovatno´ ce.

ˇ Teorema 10.2 (Nejednakost Cebiˇ seva). Ako je X sluˇcajna promenljiva za koju postoji E (X 2 ), tada je za svako ε > 0 2

| | ≥ ε) ≤ E (εX 2 ) .

P ( X

(10.7)

Dokaz. Ako je X diskretnog tipa, imamo ε2 P ( X

| | ≥ ε) = ε2 =





p(xi ) =

i : xi



| |≥ε

ε2 p(xi )

i: xi

| |≥ε

≤





x2i p(xi ) +

i: xi

| |≥ε

x2i p(xi )

i: xi <ε

| |

x2i p(xi ) = E (X 2 ).

i

Ako je X neprekidnog tipa, tada je 2

| | ≥ ε) = ε

ε P ( X

2



f (x)dx =

|x|≥ε +∞

=





2

ε f (x)dx

|x|≥ε

x2 f (x)dx = E (X 2 ).

 ≤

2

x f (x)dx +

|x|≥ε



x2 f (x)dx

|x|<ε



−∞

− E (X ) u (10.7), nejednakost

Ako umesto X stavimo X

| − E (X )| ≥ ε) ≤

P ( X



ˇ ˇ Cebi seva

dobija sledeći oblik

− E (X ))2

E (X

ε2



,

tj. ) . | − E (X )| ≥ ε) ≤ D(X 2 ε

P ( X

(10.8)


28

Primer 10.3. Data je sluˇcajna promenljiva X sa matematiˇckim oˇcekivanjem E (X ) = µ i disperzijom D(X ) = σ 2 . Ocenićemo verovatnoću da sluˇcajna promenljiva X odstupa od svog matematiˇckog oˇcekivanja za viˇse od 3σ. ˇ ˇ sevljevu nejednakost (10.8), dobijamo Stavlja jući ε = 3σ u Cebi 2

) σ 1 | − µ| ≥ 3σ) ≤ D(X = = . 9σ 2 9σ 2 9

P ( X

ˇ ˇ seva daje samo gornju granicu verovatno´ Nejednakost Cebi ce datog odstupanja. U većini sluˇcajeva u praksi, verovatno´ ca da sluˇcajna promenljiva uzima vrednosti izvan intervala (µ 3σ, µ + 3σ) znatno je manja od 1/9 (videti primer 13.2). Ako zakon raspodele nije poznat, a poznato je samo µ i σ, interval (µ 3σ, µ + 3σ) se smatra intervalom praktiˇcno mogućih vrednosti sluˇcajne promenljive X (pravilo tri sigme ).

−

−

11. Karakteristiˇ cna funkcija Svakoj sluˇcajnoj promenljivoj X odgovara funkcija raspodele F X u kojoj su sadrˇ zane sve informacije vezane za X. U ovom odeljku uvodi se pojam karakteristiˇ cne funkcije ϕ X sluˇcajne promenljive, koja je po svom znaˇcaju i upotrebi bliska funkciji raspodele. Karakteristiˇ cne funkcije su od velike koristi pri reˇ savanju velikog bro ja problema u teoriji verovatnoće, na primer, pri dokazivanju brojnih teorema vezanih sa sluˇcajnim promenljivim i pri izraˇcunavanju numeriˇckih karakeristika sluˇcajnih promenljivih. Pri radu sa karakteristiˇcnim funkcijama srećemo se sa kompleksnom sluˇcajnom promenljivom oblika Z = X + iY, gde su X i Y realne sluˇcajne promenljive sa skupom vrednosti u R. Matematiˇcko oˇcekivanje za Z je E (Z ) = E (X + iY ) = E (X ) + iE (Y ).

Definicija 1. Karakteristiˇcna funkcija ϕ X (t) (t

∈ R) sluˇcajne promenljive X definiˇse se sa

 

ϕX (t) = E eitX , tj.

ϕX (t) =

    k +

∞

eitxk P (X = x k ),

za diskretne promenljive, (11.1)

eitx f (x)dx,


−∞

U sledećoj teoremi date su osnovne osobine karakteristiˇcne funkcije.

Teorema 11.1. 1◦ ϕ(t) 1, tj. karakteristiˇ cna funkcija uvek postoji.

|

|≤

2◦ ϕ(0) = 1. 3◦ ϕ( t) = ϕ(t).

−

4◦ Ako je Y = aX + b (a, b realne ili kompleksne konstante), tada je ϕY (t) = e itb ϕX (at). 5◦ Karakteristiˇcna funkcija t

→ ϕ(t) je uniformno neprekidna na R. 6◦ Ako su X 1 , . . . , X nezavisne sluˇcajne promenljive i X = X 1 + ··· + X , tada vaˇzi n

n

n

ϕX (t) =



k =1

ϕXk (t).

ˇ na funkcija karakteristic

29

7◦ Ako E (X n ) postoji, tada je ϕ(k) (0) = i k E (X k ) = i k mk (X )

(k = 1, . . . , n).

(11.2)

8◦ Ako E (X n ) postoji, vaˇzi Maclaurinova 7 formula n

ϕ(t) =



E (X k )

k =0

(it)k + o(tn ). k!

(11.3)

Dokaz. 1◦ Pokazaćemo da red i integral koji se pojavljuju u definiciji 1 apsolutno konvergiraju, tj. da posto ji E (eitX ). Zaista, imamo

  ≤   ≤         ≤  ≤   eitxk pk

eitxk pk

k

i

pk = 1 ( pk = P (X = x k ))

k

k

+

+

∞

∞

eitx f (x)dx

−∞

+

∞

eitx f (x) dx

f (x)dx = 1.

−∞

−∞

+

2◦ Sledi direktno na osnovu definicije i relacija

pk = 1

∞

i

f (x)dx = 1.

−∞ konjugovano kompleksno sa e −itX . k

3◦ Sledi na osnovu toga ˇsto je e itX 4◦ Tvrd¯enje sleduje iz jednakosti



    −   −   −   −  | − | ≤ 

    − 

ϕY (t) = E eit(aX +b) = E eiatX eitb = e itb E eiatX = e itb ϕX (at).

5◦ Kako je

ϕ(t + h)

zbog eitX eihX

1

ϕ(t) = E e

= eihX

i(t+h)X

itX

E e

= E e

1 , dobijamo ϕ(t + h)

E eihX

ϕ(t)

Desna strana ne zavisi od t i teˇzi nuli kada h

itX

→ 0.

ihX

e

  − 1

,

1 .

6◦ Ako su X 1 , . . . , Xn nezavisne sluˇcajne promenljive, tada su i e itX , . . . , eitXn nezavisne promenljive. Na osnovu ovog i teoreme o mnoˇzenju matematiˇckih oˇcekivanja (osobina 6◦ za matematiˇcko oˇcekivanje), imamo 1

   itX

ϕX (t) = E e

n

it(X1 +

= E e

···+X

n)

n

n

        = E

e

itXk

itXk

=

k=1

E e

=

k =1

ϕXk (t).

k =1

+

∞

eitx f (x)dx i izvrˇsimo

7◦ Ako pod¯emo od definicione formule za karakteristiˇcnu funkciju ϕ(t) =

−∞

diferenciranje k puta po t, dobijamo +

ϕ(k) (t) = i k

∞



xk eitx f (x)dx.

−∞ 7

C. Maclaurin (1698–1746), engleski matematiˇcar, ˇcita se Makloren.

(11.4)


30

Napomenimo da je zbog +

  

+

  ≤ | |

∞

∞

xk eitx f (x)dx

−∞

x k f (x)dx = E ( X k ) (k = 1, . . . , n)

| |

−∞

diferenciranje pod znakom integrala korektno. Stavljajući t = 0 u (11.4), dobijamo ϕ(k) (0) = i k E (X k ) = i k mk . 2

it (it) 2 8◦ Dokaz sleduje posle mnoˇzenja relacije e itx = 1 + x + x + ··· sa f (x)dx i integracije. 1! 2! Na osnovu osobine 7◦ jednostavno se odred¯uju poˇcetni momenti m k , a time i matematiˇcko oˇcekivanje i disperzija. Naime, kako je iz (11.4) ϕ (0) m1 = E (X ) = , i imamo

ϕ (0) m2 = E (X ) = = i2 2

−ϕ(0),

ϕ (0) E (X ) = i

i D(X ) = E (X 2 )



(11.5)

− E (X )2 = m2 − m21 = ϕ i(0) − 2

ϕ (0) i

 

2

=

−ϕ(0) + ϕ(0)2.

(11.6)

Naveˇsćemo bez dokaza joˇs neke vaˇzne osobine vezane za karakteristiˇcnu funkciju ϕ(t). Formula +

∞

ϕ(t) =



eitx f (x)dx

(11.7)

−∞

izraˇzava karakteristiˇcnu funkciju neprekidne sluˇcajne promenljive X pomoću gustine raspodele f (x). Transformacija (11.7), koja se izvodi nad gustinom f (x) da bi se dobila karakteristiˇ cna funkcija ϕ(t), zove se Fourierova transformacija . Med¯utim, vaˇzi i obratno, kao ˇsto tvrdi sledeća teorema.

Teorema 11.2. Ako je karakteristiˇcna funkcija ϕ(t) apsolutno integrabilna na R, tada je odgovarajuća funkcija gustine raspodele f (x) neprekidna i vaˇzi 1 f (x) = 2π

+

∞



e−itx ϕ(t)dt.

−∞

Teorema 11.3. Verovatnoće realizacija sluˇcajne promenljive X date su sa

P (X = x) =

    

1 π −itx e ϕ(t)dt, π −π lim

→+∞

T

1 2T

T

e−itx ϕ(t)dt,

za diskretne promenljive , za neprekidne promenljive .

−T

Pitanjem karakterizacije karakteristiˇcnih funkcija bavi se sledeća teorema.

ˇ ajnih promenljivih osnovne raspodele diskretnih slu c

→ ϕ(t) (t ∈

Teorema 11.4 (Bochnerova teorema). Funkcija t sluˇcajne promenljive X ako i samo ako je (i)

ϕ(0) = 1,

(ii)

|ϕ(t)| ≤ 1,

31

R) je

karakteristiˇcna funkcija

(iii) ϕ(t) je neprekidna funkcija, (iv) ϕ(t) je pozitivno definitna, tj. za svaki skup realnih brojeva t 1 , t2 , . . . , t n i kompleksnih brojeva z1 , z2 , . . . , zn vaˇzi n

n



− t ) ≥ 0.

zj z¯k ϕ(tj

j =1 k =1

k

12. Osnovne raspodele diskretnih sluˇ cajnih promenljivih Bernoullieva raspodela Posmatrajmo eksperiment sa dva ishoda: dogad¯aj A se desio (uspeh) ili se nije desio (neuspeh). Neka ¯ Ako je je X = 1 ako se dogodio uspeh (dogad¯aj A) i X = 0 ako se dogodio neuspeh (dogad¯aj A). ¯ = 1 p = q, tada je p = P (A) i P (A)

−

P (X = 1) = p,

P (X = 0) = 1

− p = q.

Ove jednakosti u potpunosti opisuju tzv. Bernoulli evu sluˇcajnu promenljivu X sa parametrom p. Ova sluˇcajna promenljiva sluˇzi kao model za bilo koji eksperiment sa dva ishoda. U teoriji verovatnoće ˇcesto se radi sa tzv. indikatorom dogad¯aja A (A Ω), koji predstavlja sluˇcajnu promenljivu I A definisanu na sledeći naˇcin: 1, ω A, I A (ω) = 0, ω / A.

⊂



∈ ∈

Kako je

∈ A) = P (A),

P (I A = 1) = P (ω

∈

P (I A = 0) = P (ω / A) = 1

− P (A),

sledi da je I A Bernoullieva sluˇcajna promenljiva sa verovatnoćom uspeha p = P (A). Zakon verovatnoće Bernoullieve sluˇcajne promenljive dat je sa

  ∼ 0 1 q p

X

.

Odavde se direktno dobija karakteristiˇ cna funkcija ϕ(t) = qeit0 + peit1 = q + peit . S obzirom da je ϕ (t) = ipe it ,

ϕ (t) = i 2 peit ,

na osnovu formula (11.5) i (11.6) nalazimo da su numeriˇcki parametri Bernoullieve raspodele jednaki: ϕ (0) = p; i ϕ (0) E (X ) = p2 = p 2 i

Matematiˇ cko oˇ cekivanje: E (X ) = Disperzija: D(X ) = E (X 2 )

−

−

− p2 = p(1 − p) = pq.


32

Binomna raspodela ¯ kome moˇze da nastupi ili ne nastupi dogad¯aj A, neka je X = 1 U eksperimentu sa dva ishoda A i A, u ¯ Ako ako se desio dogad¯aj A i X = 0 ako se nije desio dogad¯aj A (tj. ako se desio suprotan dogad¯aj A.) je p verovatnoća nastupanja dogad¯aja A, tada je P (X = 1) = p,

P (X = 0) = 1

− p.

Ove jednakosti opisuju Bernoullievu sluˇcajnu promenljivu X sa parametrom p. Posmatrajmo sada n nezavisnih opita Bernoullievog tipa pod nepromenljivim kompleksom uslova kao jedan nov opit. Ukoliko je verovatnoća jednog od dogad¯aja A, A¯ u jednom opitu nezavisna od verovatnoća u prethodnim opitima, posmatrani niz predstavlja Bernoullievu ˇ semu . Posmatrajmo u ovoj ˇsemi realizaciju dogad¯aja A. Oznaˇcimo sa P (A) = p verovatnoću nastupanja dogad¯aja A, a ¯ = q = 1 p verovatnoću nastupanja suprotnog dogad¯aja A. ¯ Kao elementarne dogad¯aje ω sa P (A) ¯ moˇzemo uzeti sve moguće nizove duˇzine n od A i A. Definiˇ simo sluˇcajnu promenljivu S n = S n (ω) koja predstavlja broj realizacija dogad¯aja A u nizu od n opita. Sluˇcajna promenljiva S n uzima vrednosti u skupu 0, 1, . . . , n sa verovatnoćom 1. Elementaran dogad¯aj ω koji se sastoji u tome da dogad¯aj A nastupi r puta (a dogad¯aj A¯ n r puta), tj. S n = r, predstavlja jednu od sledećih povoljnih kombinacija:

−

{

}

−

¯ A A¯A

r puta

E 2 = AA

n r puta

−

¯ A AA

¯ A¯A

r 1 puta

.. .

A¯

 ···  · ···   ···  ·  ··· 

E 1 = AA

n r 1 puta

−

¯A ¯ E k = A

A¯

−−

A¯ AA

 ···  · ···  n r puta

−

A

r puta

Povoljni dogad¯aji E 1 , E 2 , . . . , Ek su oˇcigledno nesaglasni. Broj povoljnih dogad¯aja jednak je broju svih razliˇcitih naˇcina izbora r elemenata od ukupno n elemenata, tj. k = C nr =



n . r

Kako se u svakom od povoljnih ω dogad¯aja, dogad¯aj A pojavljuje r puta, a suprotan dogad¯aj A¯ n puta, i kako su nizovi (od n) opita nezavisni, to je P (E 1 ) = P (E 2 ) =

−r

¯ ¯ ··· P (A) ¯ = p q − . ··· = P (E ) = P (A)P (A) ··· P (A) · P (A)P ( A) k

r n r

      r puta

n r puta

−

Na osnovu ovog, verovatnoća da dogad¯aj A u Bernoullievoj ˇsemi od n nezavisnih opita nastupi r puta, tj. S n = r, jednaka je P (S n = r) = P (E 1 + E 2 +

r r n r n

··· + E ) = P (E 1 ) + P (E 2 ) + ··· + P (E ) = C p q − .

tj. P (S n = r) =

k



n r n−r p q r

k

(r = 0, 1, . . . , n).




33

Verovatnoće P (S n = r) = nr pr q n−r (r = 0, 1, . . . , n) definiˇsu binomnu raspodelu, u oznaci (n, p). Naziv ,,binomna raspodela” izveden je iz ˇcinjenice da su verovatnoće P (S n = r) ˇclanovi binomnog razvoja n

n

( p+q ) =

  r=0

B



n r n−r n p q = q n + pq n−1 + r 1

  ···

n r n−r + p q + r

  ··· n

+

n

n

n 1

p − q + pn =

−1



P (S n = r).

r =0

n

¯ = 1, to je Kako je p + q = P (A) + P (A)



P (S n = r) = 1.

r=0

Verovatnoća da u seriji od n nezavisnih opita dogad¯aj A nastupi najviˇse m puta je m

≤ m) =

P (S n



m

P (S n = r) =

r =0

  r =0

Ova verovatnoća naziva se integralnom verovatno´ com . Funkcija raspodele binomne raspodele data je sa

      0,

[x]

F (x) =

za x

n r n−r p q , r

k =0

n r n− r p q . r

≤ 0, ≤ n,

za 0 < x

1,

za x > n.

Karakteristiˇ cna funkcija za binomnu raspodelu izvodi se na sledeći naˇcin: n

       itS n

ϕ(t) = E e

=

n

e

itxr

P (S n = x r ) =

r=0

n

=

r=0



n

e

itr

P (S n = r) =

r=0

n r peit q n−r = q + peit r





n

  eitr

r =0

n r n−r p q r

.

Primetimo da se karakteristiˇ cna funkcija binomne raspodele moˇze dobiti ako sluˇ cajnu promenljivu S n posmatramo kao zbir n nezavisnih sluˇcajnih promenljivih sa Bernoullievom raspodelom S n = X 1 + 0 1 n X 2 + +X n , X i . Tada, na osnovu osobine 6 ◦ karakteristiˇcne funkcije sledi ϕ(t) = q + peit . q p Polazeći od izraza za karakteristiˇcnu funkciju, dobijamo

  ∼

···

 

 

ϕ (t) = inpeit peit + q , te je ϕ  (0) = inp, ϕ (0) =

ϕ (t) =

it

−npe

 



peit + q npeit + q ,

−n2 p2 − npq. Iz formula (11.5) i (11.6) sleduje

ϕ (0) = np; Matematiˇ cko oˇ cekivanje: E (S n ) = i ϕ (0) E (S n )2 = (n2 p2 + npq ) Disperzija: D(S n ) = i2

−

− n2 p2 = npq.

Polinomna raspodela Izvodi se serija od n nezavisnih opita pri ˇcemu rezultat opita moˇze biti jedan i samo jedan od konaˇcno mnogo dogad¯aja A 1 , . . . , Ak , ki=1 Ai = Ω, P (Ai ) = p i (i = 1, . . . , k). Tada nad prostorom n nezavisnih k i opita Ω(n) moˇzemo definisati k-dimenzionalnu sluˇcajnu promenljivu S n(1) , . . . , Sn( ) , gde je S n( ) broj realizacija sluˇcajnog dogad¯aja A i u n opita. U tom sluˇ caju je







P S n(1) = r 1 , . . . , Sn( k) = r k =

∈ {0, 1, . . . , n} i r1 + ··· + r

gde je r 1 , . . . , rk

k

= n.

n! r1 !

···



pr1 rk !

1



rk k ,

··· p


34

Gornja relacija izraˇzava zakon polinomne raspodele verovatno´ ca. Verovatnoća koja se traˇzi jedrk r r naka je koeficijentu uz proizvod x 1 x2 xk u razvijenom obliku polinoma 1

2

···



p1 x1 + p2 x2 +

··· + p x

k k



n

.

¯ p1 = p, p2 = 1 Oˇcigledno je da se u specijalnom sluˇcaju za k = 2 (A1 = A, A2 = A, r, r2 = n r) polinomna raspodela svodi na binomnu raspodelu sa

−

n! P (S n = r) = pr q n−r = r!(n r)!

−

− p = q,

r1 =



n r n− r p q . r

Geometrijska raspodela Opiti se ponavljaju sve do prve realizacije dogad¯aja A. Neka sluˇcajna promenljiva X predstavlja potreban broj obavljenih opita i neka je u svakom opitu verovatnoća realizacije dogad¯aja A ista i jednaka ¯ = 1 p = q ). Dogad¯aj koji se sastoji u tome da se dogad¯aj A realizuje u k-tom P (A) = p (P (A) ponavljanju opita ekvivalentan je sloˇzenom dogad¯aju da se u k 1 ponavljanja opita dogad¯aj A ne realizuje nijednom i da se u k-tom ponavljanju ovaj dogad¯aj prvi put realizuje. Kako su ovi dogad¯aji nezavisni, to se mnoˇzenjem verovatnoća q k−1 i p dobija zakon raspodele verovatno´ ce sluˇcajne promenljive X : ¯A ¯ ¯ ¯ ¯ P (A) = q k−1 p (k = 1, 2, . . . ). P (X = k) = P (A A¯ A) = P (A)P ( A) P (A)

−

−

 ···  · 

 ···  ·

k 1

−

k 1

−

Ova raspodela verovatnoća poznata je kao geometrijska raspodela ili Pascalova raspodela , u oznaci (k, p). Naziv ,,geometrijska raspodela” potiˇce otuda ˇsto je verovatnoća realizacije dogad¯aja A (po prvi put u k opita) srazmerna geometrijskom nizu q, q 2 , . . . . Karakteristiˇ cna funkcija za geometrijsku raspodelu data je sa

G

+

ϕ(t) =

∞

 

+

itk

e

∞

k 1 itk

pq − e

P (X = k) =

k=1

=



k=1

p 1 q 1 qeit

−

 −

1 =

it

pe . 1 qe it

dobijamo ϕ (0) =

ipeit

−  qe it

1

+

∞

+

∞

     −  qe

it k

k =1

p = q

qeit

k

1

k=0

−

Kako je ϕ (t) =

p = q

ϕ (t) = 2,

ip i = , (1 q )2 p

ϕ (0) =

−

−  − 

i2 peit 1

qeit + 2i2 pqe 2it

1

qeit

3

,

i2 ( p2 + 2 pq ) i2 ( p + 2q ) = . (1 q )3 p2

−

Na osnovu ovog i formula (11.5) i (11.6) nalazimo parametre geometrijske raspodele:

Matematiˇ cko oˇ cekivanje: Disperzija:

ϕ (0) D(X ) = i2

1 ϕ (0) E (X ) = = ; i p ϕ (0) i

− 

2

=

p + 2q p2

− p12 = pq 2 .

Primer 12.1. Posmatrajmo niz Bernoullievih eksperimenata sve dok se ne postigne r ,,uspeha” (tj. r realizacija dogad¯aja A koji se u opitu realizuje ili ne realizuje). Opisana raspodela za r = 1 svodi se na geometrijsku raspodelu. U opˇ stem sluˇcaju, ako se r -ti uspeh dogodio u k -tom eksperimentu (k r), to znaˇci da je u prvih k 1 eksperimenata bilo r 1 uspeha i k r neuspeha, a da se u k -tom eksperimentu dogodio uspeh.

−

−

−

≥


− 1 uspeha u k − 1 eksperimenata moˇze dogoditi na naˇcina jednaka p −1 (1 − p) − , imamo da je k−1 P (X = k) = p (1 − p) − r−1 Kako se r

r

k r

 

r

  k 1 r 1

− −

k r

35

naˇcina i kako je verovatnoća svakog od tih

(k = r, r + 1, . . . ).

Karakteristiˇcna funkcija ove raspodele moˇze se odrediti koristeći karakteristiˇcnu funkciju geometrijske raspodele ϕXG (t) = pe it / 1 (1 p)eit i osobinu 6◦ karakteristiˇcne funkcije. Naime, sluˇcajna promenljiva X opisane raspodele moˇ ze se shvatiti kao zbir od r sluˇcajnih promenljivih X G koje sve imaju geometrijsku raspodelu sa istim parametrom p . Na ta j naˇcin dobijamo

−



−

peit (1 p)eit

  − r

ϕX (t) = ϕ rXG (t) = ϕXG (t)

=

−

1



r

.

Nalazeći prvi i drugi izvod funkcije ϕX (t) i koristeći formule (11.5) i (11.6), lako se nalaze numeriˇcke karakteristike

E (X ) =

r , p

D(X ) =

−

r(1 p) . p2

Kao primer primene opisane raspodele, odredimo koliko puta treba baciti kocku da bismo sa verovatnoćom od bar 0.5 bili sigurni da ćemo dobiti bar dve ˇsestice. U ovom konkretnom sluˇ caju je p = 1/6, r = 2. Tada najmanji broj bacanja kocke n traˇzimo iz uslova n



n

P (X = k)

k=2

     ≥ −  −  ≥ 0.5,

tj.

(k

1 6

1)

k =2

Poslednja nejednakost se svodi na

n

(k

1)

k=2

5 6

k 2

−

2

5 6

k 2

−

≥ 0.5.

18,

odakle probanjem (nalazeći parcijalne sume za razne vrednosti n ) nalazimo da ova nejednakost vaˇ zi za n

≥ 10.

Poissonova 8 raspodela Ova raspodela je graniˇcni sluˇcaj binomne raspodele pod uslovom da je bro j opita veliki, a verovatnoća p po jave dogad¯aja A u svakom pojedinaˇcnom opitu mala. ceno raste, a verovatnoća Teorema 12.1. Ako u binomnoj raspodeli broj nezavisnih ispitivanja neograniˇ u svakom ispitivanju opada tako da je np = λ = const > 0, tada r

P (S n = r)

−λ

→ λ r!e

kada n

→ +∞

(r = 0, 1, . . . ).

Dokaz. Iz uslova np = λ imamo p = λ/n. Ako p zamenimo u formuli koja odred¯uje binomni zakon raspodele, dobijamo P (S n = r) =

=

8

   − ··· − · −  −  −  ···  − −  ·  −  n r n− r n(n p q = r

λr 1 r!

1 n

1

2 n

1)

(n r!

1

r + 1)

r

S. D. Poisson (1781–1840), francuski matematiˇcar, ˇ cita se Puason.

1

n

λr λ 1 nr n λ n 1 n . λ r 1 n

−

n r

−


36

n

→ ∞

− 1/n, 1 − 2/n,

Kada n + , tada ˇclanovi 1 lim (1 λ/n)n = e −λ . Tada je

→+∞

−

− (r − 1)/n i (1 − λ/n)

... ,1

λr e−λ lim P (S n = r) = P (S ∞ = r) = r! n → +∞

r

teˇ ze ka 1, dok je

(r = 0, 1, 2, . . . ),

p → 0 np = λ

ˇcime je dokaz zavrˇsen.



λr e−λ Verovatnoće P (S ∞ = r) = (r = 0, 1, 2, . . . ) definiˇsu Poissonovu raspodelu r! poslednje formule sledi +

∞



r =0

+

P (S ∞ = r) =

∞ λr e−λ



r!

r =0

P (λ). Na osnovu

+

= e −λ

∞ λr



r =0

r!

= e −λ eλ = 1.

·

U Poissonovoj raspodeli imamo serije od beskonaˇ cno mnogo nezavisnih opita i sluˇ cajna promenljiva S ∞ je broj realizacija dogad¯aja A u jednoj takvoj seriji. Sluˇ cajna promenljiva S ∞ uzima svaku vrednost iz prebrojivog skupa 0, 1, 2, . . . . ¯aja i ima ˇsiroku primenu u telefoniji, saobraćaju, Poisson ova raspodela vezana je za pojavu retkih dogad demografiji, biologiji, fizici, astronomiji, lingvistici, itd. Koristi se kao model za broj dogad¯aja koji se deˇsavaju u jedinici vremena, pri ˇcemu parametar λ predstavlja srednju vrednost broja ovih dogad¯aja. Karakteristiˇ cna funkcija za sluˇcajnu promenljivu S ∞ sa Poissonovom raspodelom (λ) je

{

}

 

+

+ r −λ λeit − itr λ e λ ϕ(t) = e = e r! r! r =0 r=0

∞

∞



Kako je

it ϕ (t) = iλe it eλ(e −1) ,

nalazimo ϕ (0) = iλ, ϕ (0) = Poissonove raspodele

·

r it it = e −λ eλe = e λ(e −1) .

·

it ϕ (t) = λ(1 + λeit )eit eλ(e −1) ,

·

−λ(1 + λ), tako da su, na osnovu formula (11.5) i (11.6), parametri

Matematiˇ cko oˇ cekivanje: E (S ∞ ) = Disperzija: D(S ∞ ) =

P

ϕ (0) i2

−

ϕ (0) = λ; i

ϕ (0) i

 

2

= (λ + λ2 )

− λ2 = λ.

Primer 12.2. U vremenskom intervalu duˇzine T signalna lampa zasvetli M puta. Ako je a broj koji pokazuje koliko puta lampa zasvetli u jedinici vremena, odrediti verovatno´ cu da u intervalu duˇ zine t < T signalna lampa zasvetli m puta kada T + . cava broj paljenja signalne lampe u jedinici vremena, to je M = aT. Pojavu M Reˇ senje: Kako a oznaˇ svetlosnih signala moˇzemo tretirati kao M nezavisnih ispitivanja, pri ˇcemu je verovatno´ ca pojave signala u svakom ispitivanju jednaka p = t/T. Na osnovu binomne raspodele tada imamo

→ ∞

P (S M = m) =



M m p (1 m

 − 

− p) − = M (M − 1) ··· (M − m + 1) t M m

m!

P (S M = m) =

t T

M m

 −   −  −  ···  − −    −  −

− 1) ··· (aT − m + 1) m!

=

1

T

ili, zbog M = aT ,

aT (aT

m

(aT )m 1 m!

1 aT

1

2 aT

t T

m

1

1

t T

aT m

m 1 aT

−

t T

m

1

1

t T t T

aT m .

−

,

ˇajnih promenljivih osnovne raspodele neprekidnih slu c

→ +∞, izrazi

Kada T

 −  ···  − −   −  →    −  − 1 , aT

1

lim

1

→+∞

T

pa je

, 1

t T

aT

m 1 i 1 aT

= lim

→+∞

m

1. Osim toga, imamo

−at

t −T /t T

1

T

t T

37

= e −at ,

(at)m e−at lim P (S M = m) = P (S ∞ = m) = . T →+∞ m!

Stavljajući λ = at, dobijamo Poissonovu raspodelu

P (S ∞ = m) =

λm e−λ m!

(m = 0, 1, . . . ).

Primer 12.3. Za vreme II svetskog rata Nemci su bombardovali London letećim bombama V-1. Britanska vrhovna komanda uˇ cinila je sve da sazna neˇsto viˇse o ovim bombama, naroˇcito o njihovo j preciznosti pogad¯anja. Obaveˇsta jna sluˇzba je bila nemoćna i u pomoć su pozvani matematiˇ cari, eksperti za statistiku. Oni su podruˇcje grada Londona 2 (144km ) podelili na 576 sektora i analizirali udare neprijatelja. Od ukupno 537 bombi, 7 bombi palo je u jednom sektoru, po 4 bombe u 7 sektora, po 3 u 35, 2 u 93, po jedna bomba u 211 sektora i, konaˇcno, nijedna bomba u preostalih 229 sektora. Ovi podaci uneti su na grafikon (slika 12.1). Kriva na grafikonu je poznata kao kriva Poissonove raspodele, koja karakteriˇse pojavu tzv. retkih dogad¯aja. Da su Nemci mogli da gad¯aju ovim bombama ˇzeljene ciljeve, one bi bile ,,rasejane” po zakonu tzv. normalne raspodele, koja se uvek dobija kod (preciznog) gad¯anja u cilj. Zakljuˇ cak je bio da Nemci nisu mogli da gad¯aju izabrane ciljeve bombama V-1, ve´ c im je namera bio samo razaranje i unoˇsenje panike. Proizvodnja ovih bombi ubrzo je obustavljena.

Slika 12.1

13. Osnovne raspodele neprekidnih sluˇ cajnih promenljivih Ravnomerna (uniformna) raspodela Neprekidna sluˇcajna promenljiva X ima ravnomernu ili uniformnu raspodelu na intervalu (a, b) ako je definisana gustinom raspodele verovatnoće f (x) = x

Kako je F (x) =



−∞

x

f (t)dt =



 

∈ za x ∈ [a, b],

0,

za x / [a, b], 1

b

− a,

f (t)dt, nalazimo funkciju raspodele

a

≤ x) =

F (x) = P (X

 

0, x b 1,

za x < a,

− a, −a

U (a, b).

Ravnomerna (uniformna) raspodela oznaˇcava se sa

za x

∈ [a, b],

za x > b.


38

Prema tvrd¯enju 3◦ teoreme 9.1, za svako α, β

∈ [a, b] vaˇzi

≤ X ≤ β ) = F (β ) − F (α) = β b −− aα ,

P (α

odakle zakljuˇcujemo da je verovatnoća da X pripada nekom intervalu [α, β ] unutar [a, b] proporcionalna duˇzini tog intervala. Zbog toga se ova raspodela uzima kao model za izbor sluˇcajnog broja u intervalu [a, b]. Karakteristiˇ cna funkcija odred¯ena je pomoću b



eitx f (x)dx =

ϕ(t) =

a

b

1 b

−a



eitx dx =

a

eitb eita . it(b a)

− −

U ovom sluˇcaju matematiˇcko oˇcekivanje i disperziju je lakˇse odrediti koristeći poˇcetne momente: b

Matematiˇ cko oˇ cekivanje: E (X ) =



xf (x)dx =

a

Disperzija: D(X ) = E (X 2 )

− E (X )2 =

b

 −  −   b

1

b

a

a

a+b ; 2

(b

− a)2 .

a

a+b 2

x2 dx

xdx =

2

=

12

Eksponencijalna raspodela

E

Neprekidna sluˇcajna promenljiva ima eksponencijalnu raspodelu (λ) sa pozitivnim parametrom λ ako je njena gustina verovatno´ ce f data sa f (x) = λe −λx

(x

≥ 0),

f (x) = 0 (x < 0).

Funkciju raspodele dobijamo integracijom: x



F (x) =

x

f (t)dt = λ

−∞



e−λt dt = 1

0

− e−

λx

(x

≥ 0).

Odredimo karakteristiˇ cnu funkciju eksponencijalne raspodele. Imamo da je +

∞

ϕ(t) =



e λe−λx dx =

λ

itx

λ

0

− it

Prva dva izvoda karakteristiˇcne funkcije su ϕ (t) =

iλ , (λ it)2

−

ϕ (t) =

− (λ −2λit)3 ,



+∞ e−x(λ−it) = 0

λ

λ

odakle je ϕ (0) =

− it . i , ϕ (0) = λ

− λ22 .

Na osnovu ovog i formula (11.5) i (11.6) nalazimo parametre eksponencijalne raspodele: ϕ (0) 1 = ; i λ 2 1 1 = E (X )2 = 2 . λ λ2 λ2

Matematiˇ cko oˇ cekivanje: E (X ) = Disperzija: D(X ) =

ϕ (0) i2

−

−


39

Eksponencijalna raspodela se ˇcesto koristi u raznim primenama, na primer, pri analizi pouzdanosti rada sistema, kao model za vreme izmed¯u dva kvara. U ovim situacijama reciproˇ cna vrednost parametra λ se javlja kao mera proseˇcnog vremena rada ured¯aja koji se ispituje.

Primer 13.1. Istaknimo joˇs jednu interesantnu i korisnu osobinu eksponencijalne raspodele, karakteristiˇcnu jedino za ovaj tip raspodele. Neka je X sluˇ cajna promenljiva sa eksponencijalnom raspodelom

E (λ). Za svako x ≥ 0 vaˇzi

x

P (X > x) = 1

− P (X ≤ x) = 1

 −

e−λt dt = e −λx .

0

Koristeći definiciju uslovne verovatno´ ce, odavde je

P (X > s + t, X > s) P (X > s + t) e−λ(s+t) = = = e −λt = P (X > t). P (X > s + t X > s) = P (X > s) P (X > s) e−λs

|

|

Jednakost P (X > s + t X > s) = P (X > t) izraˇzava osobinu odsustva memorije . Naime, ako sluˇcajna promenljiva X predstavlja duˇ zinu rada (na primer u satima) nekog ured¯aja bez kvara, tada nejednakost X > s znaˇci da je ured¯aj ispravan posle s sati rada. Prethodna jednakost izraˇzava ˇcinjenicu da je verovatnoća da ured¯aj ispravno radi joˇs bar t sati jednaka verovatno´ ci da je ured¯aj ispravan posle t sati od ukljuˇcenja. Drugim reˇcima, kao da ured¯aj ,,ne zna” da je pre toga radio s sati. U praksi se pokazalo da ova osobina zaista karakteriˇse rad nekih elektronskih komponenti.

Normalna (Gaussova) raspodela Ovu raspodelu uveo je ˇcuveni nemaˇcki nauˇcnik Karl Friedrich Gauss u vezi sa obradom rezultata merenja i, posebno, sa ocenom sluˇcajnih greˇsaka, pa se zato ˇcesto naziva Gaussovom raspodelom. Normalna raspodela ima najveći znaˇcaj med¯u raspodelama verovatnoća neprekidne sluˇcajne promenljive, iz sledećih razloga: 1) mnoge sluˇcajne promenljive, koje se pojavljuju u vezi sa eksperimentima ili observacijama, imaju normalnu raspodelu; 2) veliki broj sluˇ cajnih promenljivih ima normalnu raspodelu aproksimativno; 3) ako sluˇcajna promenljiva nema normalnu raspodelu i ako je nema ˇcak ni aproksimativno, onda se moˇze transformisati na normalnu sluˇcajnu promenljivu relativno jednostavnim transformacijama; 4) izvesne sluˇcajne promenljive, koje sluˇze za verifikaciju statistiˇ ckih testova, imaju normalnu raspodelu.

N (µ, σ) sa

Definicija 1. Normalna sluˇcajna promenljiva X ima normalnu (ili Gaussovu ) raspodelu parametrima µ i σ > 0, ako je njena gustina raspodele verovatnoće

−

1 f (x) = exp σ 2π

√

(x

− µ)2

2σ 2



.

(13.1)

Zavisno od parametara µ i σ, grafici krivih funkcija gustine raspodela su razliˇ citi, ali se mogu uoˇciti neke zajedniˇcke karakteristike. Pre svega, lako je utvrditi da su sve krive gustine simetriˇ cne u odnosu na pravu x = µ. Taˇcka maksimuma je µ, 1/σ 2π . Levo i desno od taˇcke maksimuma kriva gustine simetriˇ cno opada do nule, f (x) 0 kada x (apscisna osa je horizontalna asimptota). Ukoliko je σ manje, maksimalna vrednost je ve´ ca, i obratno, maksimalna vrednost je manja za ve´ ce σ, ali je rasturanje oko taˇcke x = µ veće (slika 13.1). Prevojne taˇcke su µ σ, e−1/2 /σ 2π , µ + σ, e−1/2 /σ 2π .

→



√ → ±∞



−

√



√




40

Slika 13.1 Krive funkcije gustine normalne raspodele

∼ N (µ, σ) data je sa ϕ(t) = exp itµ − 12 t2 σ 2

Karakteristiˇ cna funkcija sluˇcajne promenljive X



(videti primer 13.3). Iz (13.2) nalazimo



(13.2)

t 2 σ 2  2 ϕ (t) = (iµ − σ t)exp iµt − , ϕ (0) = iµ,





2

t 2 σ 2  2 2 2 ϕ (t) = (iµ − ts ) − σ exp iµt − , ϕ (0) = −µ2 − σ 2 .



 

2



Na osnovu ovog i formula (11.5) i (11.6) dobijamo numeriˇcke parametre normalne raspodele

Matematiˇ cko oˇ cekivanje: E (X ) =

ϕ (0) = µ; i

N (µ, σ) :

ϕ (0) E (X )2 = σ 2 . i2 U teoriji verovatnoće se ˇcesto radi sa tzv. integralom verovatno´ ce ili Laplaceovom funkcijom Φ definisanom pomoću

−

Disperzija: D(X ) =

Φ(x) = Laplaceova

1 2π

√

x



2

e−t

/2

dt.

(13.3)

0

funkcija Φ ima sledeće osobine:

1◦ Φ(0) = 0; 2◦ Φ(+ ) =

∞

1 ; 2 1 2π

∞



1 +∞ 1/2−1 −u 1 1 u e du = Γ( 12 ) = , 2 2 π 2π 2 0

1 e−t dt = √ 2



√ √ 0 √ pri ˇcemu smo iskoristili poznati rezultat Γ( 1 ) = π (videti 5◦ u 1. odeljku poglavlja Specijalne funkcije Zaista, imamo Φ(+

∞) = √

+

i ortogonalni polinomi).

2


41

3◦ Φ( x) =

−

4◦

−Φ(x) (neparna funkcija); 1 x−µ F (x) = + Φ . 2 σ x−µ Uvodeći smenu t = , dobijamo

 

(13.4)

σ

F (x) = =

x

   − √ −     − √ √ 1 σ 2π

exp

(x

µ)2

2σ 2

−∞

dx =

√ 12π

x−µ σ



2

e−t

/2

√ 12π

dt =

−∞

−

1 1 1 x µ 1 x µ Γ +Φ = +Φ . σ 2 σ 2π 2 2

0



2

e−t

/2

dt +

−∞

x−µ σ



√ 12π

2

e−t

/2

dt

0

Na osnovu teoreme 9.1 (tvrd¯enje 3◦ ) sledi P (a < X < b) = F (b) Specijalno, ako je a =

− F (a) = Φ

−∞, iz poslednje formule dobijamo

 − −  −  b

µ

Φ

σ

a

µ

σ

−

1 b µ P (X < b) = + Φ . 2 σ

.

(13.5)

(13.6)

Relacije (13.5) i (13.6) omogućavaju da se odrede vrednosti funkcija raspodele, odnosno verovatnoće na intervalu (a, b) za proizvoljno µ i σ, polazeći od vrednosti Laplaceove funkcije Φ(x). Funkcija Φ(x) se tabelira za razliˇ cite vrednosti x i ima veliku primenu u teoriji verovatnoće i statistici. Jedna tablica vrednosti funkcije Φ za x [0, 3.49] data je na kraju 14. odeljka. Takod¯e, za 0 x + , moˇze se koristiti aproksimativna formula

∈ ≤ ≤ ∞

Φ(x)

≈ 12 −





2

a1 t + a2 t2 + a3 t3 e−x

−

/2

,

gde su t = 1/(1 + px), p = 0.33267, a 1 = 0.1740121, a2 = 0.0479399, a3 = 0.3739278. Apsolutna greˇska prethodne aproksimacije za svako x > 0 nije veća od 1.25 10−5 . Ako je interval (a, b) simetriˇcan u odnosu na taˇcku x = µ, iz (13.5) dobijamo

·



(13.7) | − µ| < ε) = 2Φ σε . Na primer, ako treba odrediti simetriˇ can interval (µ − ε, µ + ε) oko srednje vrednosti µ u kome sluˇcajna promenljiva X ∼ N (µ, σ) uzima vrednosti sa verovatnoćom p, na osnovu formule Φ(ε/σ) = p/2, traˇzi se P ( X

iz tablica argument ε/σ Laplaceove funkcije i nalazi ε.

Primer 13.2 (Pravilo tri sigme). Kolika je verovatnoća da se vrednosti sluˇcajne promenljive X (µ, σ) nad¯u na intervalu (µ 3σ, µ + 3σ)?

N

Kako je

−

P (µ

− 3σ < X < µ + 3σ) = 2Φ

iz tablica nalazimo Φ(3) = 0.49865 te je

  3σ σ

| − µ| < 3σ) ≈ 0.997

P ( X (Pravilo tri sigme za normalnu raspodelu).

= 2Φ(3),

∼


42

U primenama se ˇcesto koristi pravilo tri sigme, koje, slobodno reˇceno, kaˇ ze da je skoro nemoguće da odstupanje X od srednje vrednosti bude veće o d 3σ. U praksi se vrednost za σ dobija na osnovu podataka, pa se oˇcekuje da vrednosti skoro svih merenja (preciznije 99.7% na osnovu gornjeg rezultata za verovatno´ cu P ) budu u intervalu (µ 3σ, µ + 3σ). Ako se, na primer, otkrije da su podaci dobijeni merenjem izvan opsega (µ 3σ, µ + 3σ), moˇze se zakljuˇ citi da se radi o grubim greˇskama pri merenju. Drugi primer se o dnosi na vrednosti, recimo elektronskih komponenti. Ako merna karakteristika ovih komponenti treba da bude M jedinica, vrednosti proizvedenih komponenti će se gusto grupisati oko M , uz malo rasturanje, tj. ima´ ce normalnu raspo delu. Svako veće odstupanje znaˇci da se radi o neispravnom proizvodu koji treba odbaciti kao ,,ˇskart”.

−

−

N

Umesto sluˇcajne promenljive X sa normalnom raspodelom (µ, σ), ˇcesto se u teoriji verovatnoće radi sa standardizovanom sluˇ cajnom promenljivom X ∗ koja se, shodno izlaganju u 10. odeljku, uvodi na sledeći naˇcin: X E (X ) X µ X ∗ = = . σ D(X )

 −

−

Na osnovu osobina 2◦ i 5◦ matematiˇckog oˇcekivanja i osobina 3◦ i 4◦ disperzije, nalazimo numeriˇcke karakteristike standardizovane sluˇcajne promenljive X ∗ :

  



X − µ 1 = E (X ) − E (µ) = µ − µ = 0; Matematiˇ cko oˇ cekivanje: E (X ∗ ) = E σ

 − 

1 D(X ) = 1. σ σ2 Prema tome, standardizovana sluˇcajna promenljiva ima normalnu raspodelu njena gustina raspodele data je sa

Disperzija: D(X ) = D

X

µ

σ

=

N (0, 1). Na osnovu ovog

f X ∗ (x) =

√ 12π e−

x2 /2

,

ˇsto direktno sledi iz (13.1) za µ = 0 i σ = 1. Odgovarajuća funkcija raspodele je F X ∗ (x) =

1 2π

√

x



2

e−t

/2

dt.

−∞

Za µ = 0 i σ = 1 iz (13.2) nalazimo da je karakteristiˇ cna funkcija standardizovane sluˇcajne ∗ promenljive X (0, 1) jednaka ϕX ∗ (t) = e −t /2 .

∼ N

2

Ovaj rezultat moˇze se takod¯e dobiti iz (13.2) koristeći osobinu 4◦ (teorema 11.1) karakteristiˇcne funkcije. Zaista, primenjujući formulu (13.2) za a = 1/σ i b = µ/σ, dobija se

− · e−(

σ2 t2 )/2σ 2

ϕX ∗ (t) = e it(−µ/σ ) eiµt/σ

·

2

= e −t

/2

.

Na osnovu prethodno izloˇzenog zakljuˇcujemo da postoji ekvivalencija

∼ N (µ, σ) ⇐⇒ X σ− µ = X ∗,

X

X ∗

∼ N (0, 1). ∼ N (µ, σ). Uzimajući gustinu

Primer 13.3. Odredimo karakteristiˇcnu funkciju za sluˇcajnu promenljivu X raspodele f (x) datu sa (13.1), imamo 1 ϕ(t) = σ 2π

√

+

∞



−∞

e

itx

−

exp

(x

− µ)2

2σ 2



dx.


− µ , dobijamo

x

Ako uvedemo smenu y =

σ

ϕ(t) =

1 2π

√

→ e

Posle razvoja funcije t

ϕ(t) =

43

ityσ

1 itµ e 2π

√

+

∞



eit(yσ +µ) e−y

2

/2

1 itµ e 2π

√

dy =

−∞

+

∞



eityσ e−y

2

/2

dy.

−∞

u Taylorov red, imamo

+

∞ +∞

 

(ityσ)n −y e n!

n=0

−∞

2

+

/2

dy =

∞

1 itµ (itσ)n e n! 2π n=0



√

+

∞



y n e−y

2

/2

dx.

−∞

Ako je n = 2k + 1, zbog neparnosti podintegralne funkcije je +

∞



y2k+1 e−y

2

/2

dy = 0.

−∞

Ako je n = 2k, zbog parnosti podintegralne funkcije je +

∞



+

2k

y e−y

−∞

2

∞

+

∞

    √ −    −  −  ···  

/2

2k

y e−y

dy = 2

2

/2

dy = 2

k+

1 2

u −

0

Kako je (2k)! = 2 k k!(2k

1 2

=

1 = k 2

 

1 e−u du = 2k+ Γ k + . 1 2

2

0

1)!!, Γ

Γ k +

k 1/2

π i

1 2

3 2

k

1 1 Γ = (2k 2 2

− 1)!!√ π,

gornji izraz za ϕ(t) postaje +

ϕ(t) =

+

∞

∞

+

∞

1 itµ (itσ)2k k+ 1 ( 1)k (tσ)2k 2k (2k 1)!! e 2 Γ k + = e itµ = e itµ k k!(2k (2k)! 2 2 1)!! 2π k=0 k =0 k=0

√



1 2

  −

Dobijeni red predstavlja razvoj funkcije t X (µ, σ) data sa

∼ N

t2 σ2 /2

→ e−

−

(tσ)2 2

− 

−

k

1 . k!

, te je karakteristiˇ cna funkcija sluˇcajne promenljive



ϕ(t) = exp itµ



− 12 t2σ2 .

∼ N ≤ − ≤ ≤ ≤ Neka je X ∗ = (X − µ)/σ = (X − 3)/4 standardna sluˇ cajna promenljiva sa normalnom raspodelom N (0, 1).

(3, 4) sluˇcajna promenljiva sa normalnom raspodelom sa parametrima µ = 3 Primer 13.4. Neka je X i σ = 4. Odrediti: a) P (X 10); b) P ( 1 X 1); c) x tako da je P (X x) = 0.99.

Pri reˇsavanju postavljenih zadataka koristićemo Laplaceovu funkciju Φ(x) datu tabelarno na kraju 14. odeljka.





10 − 3 a) P (X ≤ 10) = P X ∗ ≤ = P (X ∗ ≤ 1.75) = 12 + Φ(1.75) = 0.5 + 0.4599 = 0.9599.

− ≤ X ≤

b) P ( 1

4

− −

≤ ≤ − −



1 3 1 3 1) = P X ∗ = P ( 1 X 0.5) = Φ( 0.5) 4 4 = Φ(0.5) + Φ(1) = 0.1915 + 0.3413 = 0.1498.

−

− ≤ ≤ −

−

− Φ(−1)


44

x−3 x−3 c) 0.99 = P (X ≤ x) = P X ∗ ≤ = 12 + Φ = 12 + Φ(x∗ ), odakle je Φ(x∗ ) = 0.49. Iz Ta5 5 ∗ bele za Φ(x) na marginama tablice traˇ zimo broj x za koji je Φ(x∗ ) = 0.49. Najbliˇzi bro j je x ∗ = 2.33,



te iz jednaˇcine

x



 

− 3 = 2.33 nalazimo x = 12.32. 4

Primer 13.5. Gama raspodela sa parametrima α > 0 i λ > 0 definisana je funkcijom gustine f (x) =

λα e−λx xα−1 (x > 0), Γ(α)

f (x) = 0 (x

≤ 0),

gde je +

∞

Γ(z) =



e−t tz−1 dt (z = x + iy, x > 0)

0

cajna promengama funkcija (videti 1. odeljak iz poglavlja Specijalne funcije i ortogonalni polinomi). Ako sluˇ

∼ Γ(α, λ). Ova funkcija ima vaˇznu ulogu u teoriji

ljiva X ima gama raspodelu sa parametrima α i λ, piˇsemo X verovatnoće i statistici. Karakteristiˇcna funkcija Γ(α, λ) raspodele data je sa

λα ϕ(t) = . (λ it)α

−

Odavde dobijamo ϕ  (0) =

iα i2 α(α + 1) , ϕ (0) = , te je λ λ2

ϕ (0) α E (X ) = = , i λ

ϕ (0) α(α + 1) E (X ) = = , 2 i λ2 2

D(X ) = E (X 2 )

− E (X )2 = λα2 .

Primer 13.6. Raspodela sa funkcijom gustine f (x) =

1 xα−1 (1 B(α, β )

β

− x) −1

(x

∈ (0, 1), α, β > 0)

zove se beta raspodela sa parametrima α i β . Raspodela je dobila ime po beta funkciji

Γ(α)Γ(β ) B(α, β ) = = Γ(α + β )

1



xα−1 (1

0

β

− x) −1dx.

Poˇ cetni moment reda k za beta raspodelu dat je sa

mk = odakle je

E (X ) = m 1 =

α , α + β

B(β, α + k) , B(α, β )

D(X ) = m 2

− m21 = (α + β )2αβ . (α + β + 1)

Pomo´ cu linearnih kombinacija gustina beta raspodele, koje se dobija ju variranjem parametara α i β, mogu se modelirati razne gustine dobijene iz empirijskih podataka.

ˇ ne teoreme granic

45

14. Graniˇ cne teoreme Mnogi vaˇ zni rezultati teorije verovatnoće su formulisani u formi graniˇcnih teorema. Dve osnovne grupe graniˇcnih teorema su zakoni velikih brojeva i centralne graniˇ cne teoreme . Graniˇcne teoreme su nezamenljiv matematiˇcki aparat u oblasti praktiˇcnih primena verovatnoće. One daju teorijsku podlogu za mogućnost ,,predskazanja” rezultata masovnih sluˇcajnih pojava i nalaˇzenje greˇsaka takvih statistiˇckih procena. Prema miˇ sljenju istaknutih matematiˇcara koji rade u oblasti teorije verovatnoće i statistike, prava sazna jna vrednost teorije verovatnoće otkriva se tek u graniˇcnim teoremama. Zakoni velikih brojeva, u ˇsirem smislu, znaˇce da pri vrlo velikom broju sluˇ cajnih pojava njihov srednji rezultat (aritmetiˇ cka sredina) prestaje da bude sluˇcajan i moˇze se predskazati sa velikom pouzdanoˇsću. U uˇzem smislu, ovi zakoni razmatraju razne oblike konvergencije niza sluˇcajnih promenljivih ka matematiˇckom oˇcekivanju i u vidu matematiˇckih teorema daju uslove pod kojima ukupno dejstvo sluˇcajnih uticaja dovodi do rezultata koji skoro ne zavisi od sluˇcaja. Na primer, pri velikom broju ponavljanja bacanja kocke za igru, pri ˇcemu ishod pri svakom bacanju smatramo sluˇ cajnom promenljivom, ˇ broj 1 (recimo) će pasti u pribliˇzno n/6 sluˇcajeva, gde je n broj bacanja. Sto je n veće, to će verovatnoća da je broj pojava jedinice blizu n/6, biti veća. U okviru ovog kursa nećemo se baviti zakonima velikih brojeva. Umesto toga, zbog istorijskog znaˇcenja, naveˇsćemo jedino Bernoulliev zakon velikih brojeva iz 1713. godine: Neka je S n = X 1 + X 2 +

··· + X , n

X i

verovatnoćom p. Tada za svako ε > 0 vaˇzi

 ∼ 

0 q

S n lim P n→+∞ n

1 p



broj uspeha u n Bernoullievih eksperimenata sa

  − ≥ p

ε = 0.

Ovaj zakon je od velikog znaˇcaja jer predstavlja pokuˇsaj opravdanja statistiˇcke definicije verovatno´ ce (videti 5. odeljak). Naime, ako se pri eksperimentu u kome dogad¯aj A (,,uspeh”) moˇze da se dogodi sa verovatnoćom p, beleˇzi broj uspeha S n (broj povoljnih ishoda) i zatim podeli sa n (bro j svih mogućih ishoda), prema Bernoullievom zakonu sledi da ovaj koliˇ cnik konvergira ka stvarnoj vrednosti p. Pravo opravdanje statistiˇcke definicije verovatnoće dato je Borelovim strogim zakonom velikih brojeva iz 1909. godine, koji tvrdi da pomenuti koliˇ cnik konvergira ka p skoro svuda 9 ; preciznije:





S n P lim = p = 1. n→+∞ n Drugu grupu graniˇcnih teorema ˇcine centralne graniˇ cne teoreme i one spadaju u red najznaˇcajnijih teorema u verovatnoći i matematiˇckoj statistici (otuda i termin ,,centralna teorema”). Ova grupa teorema ustanovljava uslove pod kojima je graniˇcni zakon raspodele normalni (Gaussov) zakon raspodele. Kako su ti uslovi u praksi vrlo ˇcesto ispunjeni, normalni zakon raspodele je i na jrasprostranjeniji. On se najˇceˇsće sreće u sluˇcajnim po javama prirode, ali i mnogobrojnim procesima razliˇcitog tipa. Normalna raspodela se moˇze svrstati med¯u raspodele koje se najˇceˇsće mogu primeniti za aproksimaciju empirijskih raspodela. Najviˇse prihvaćeno tumaˇcenje uzroka zbog koga je normalna raspodela najrasprostranjenija je ono koje je dao Bessel. Po njemu, vrednosti statistiˇckih obeleˇzja zavise od mnogo, po veliˇ cini neznatnih uticaja. Ti uticaji poseduju neke svoje sopstvene karakteristike i prouzrokuju da vrednosti statistiˇckih obeleˇzja odstupaju u razliˇcitim smerovima. Zbog toga će sumarno odstupanje vrednosti posmatranog obeleˇzja od njegove aritmetiˇcke sredine biti malo. Veća odstupanja u jednom smeru su malo verovatna. Dakle, uvek kada na posmatranu pojavu utiˇce veliki broj nezavisnih sluˇcajnih faktora i svaki od njih samo neznatno menja tok pojave, tada sumarno dejstvo tih faktora dovodi do toga da posmatrano obeleˇzje pojave poseduje normalnu raspodelu verovatnoća. 9

Kaˇzemo da niz { X n } konvergira skoro svuda ka sluˇ cajnoj promenljivoj X ako je P ( lim

n→+∞

X n = X ) = 1.


46

Prvi i istovremeno inspirativan rezultat u teoriji centralnih graniˇcnih teorema jeste Moivre 10 Laplaceova teorema, koja se odnosi na sluˇcajnu promenljivu S n sa binomnom raspodelom i na odgovarajuću standardizovanu promenljivu

 −

S n

S n∗ =

√ −

E (S n ) S n np = . npq D(S n )

→ + ∞,

Teorema 14.1 (Moivre-Laplaceova teorema). U binomnoj raspodeli sa p > 0 i kada n vaˇzi 1) (lokalna teorema) 1 P (S n = r) e−x 2π npq

→ √ √

2

/2

,

np √ −npq

r

x =

uniformno po x u svakom konaˇcnom intervalu; 2) (integralna teorema) b

 ≤ √ − ≤  → √  S n

P a

np npq

1 2π

b

e−x

2

/2

→ +∞

dx, kada n

a

Dokaz. Imamo najpre da

√ → +∞

r = np + x npq

i

k = n

− r = nq − x√ npq → +∞ kada n → +∞

jer x osta je u konaˇcnom intervalu. Primenimo Stirlingovu asimptotsku formulu 11 m!

∼

√

2πm mm e−m .

Tada je



n r k p q = P (S n = r) r

√ 2πn n e− ∼ √ 2πr r e− √ 2πk k e− p q n

r

Kako je

r

k

=

     √ 1 2π

   −   →     ∼ √ √

imamo

Koristeći razvoj log(1 + t) = t nq k

k

=

= =

2π

x

pq n

np npq r

r

n rk

np r

r

nq k

k

.

npq,

nq k

k

.

t2 + O(t3 ), dobijamo 2

    −  − √   −   − √   −  −  − √ −  −    √ −

    − r

−

q

1

P (S n = r)

10

r k

k

rk pq = n p + x n n

np log r

n

√ np + x npq

log 1 + x

np + x npq

x2 +O 2

x

q np

q np

qx 2 2np

nq

nq

x npq log 1 x npq

x

x

p nq

p nq

px2 2nq

1 , n

Abraham de Moivre (1667–1754), francuski matematiˇ car, ˇ cita se Muavr. U sluˇ caju asimptotskih relacija koristi´ cemo simbol ∼ koji za razliku od simbola ≈ dozvoljava pojavu velike apsolutne greˇske (uz malu relativnu greˇsku). 11


47

odakle je

   np r

r

nq k

k

= exp

−

x2 + O(1/ n) 2

√ → exp(−x2/2)

Ovim je prvi deo teoreme (lokalna teorema ) dokazan.



kada n

→ +∞.

Da bismo dokazali integralnu teoremu , uvedimo standardizovanu sluˇ cajnu promenljivu za binomnu S n np raspodelu S n∗ = i stavimo npq

√ −

xn,r =

np √ −npq

r

(r = 0, 1, . . . , n, n = 1, 2, . . . ).

Tada je xn,r+1

−x

=

n,r

1 , √ npq

pa na osnovu lokalne teoreme imamo

 ≤ √ − ≤ 

P a

S n

np npq

b = P (a ≤ S n∗ ≤ b) =

∼ √ 12π

P (a

1 2π

≤ S ∗ ≤ b) → √ n

P (S n = r)

r : a ≤ xn,r ≤ b



1 exp(−x2 √ npq

n,r /2).

r : a ≤ xn,r ≤ b

Poslednji izraz je integralna suma za Riemann ov integral



1 2π

√

b



2

e −x

/2

dx, tada je

a

b



2

e −x

/2

dx kada n

a

→ +∞. 

Prema tome, u graniˇ cnom sluˇ caju kada broj opita n neograniˇceno raste, standardizovana sluˇcajna ∗ promenljiva S n = (S n np)/ npq za binomnu raspodelu ima normalnu raspodelu (0, 1).

−

√

Prema integralnoj teoremi sledi i jednostavna formula za praktiˇcno izraˇcunavanje:

 ≤ √ − ≤ 

P a

S n

np npq

b = P (a

≤ S ∗ ≤ b) = Φ(b) − Φ(a). n

N

(14.1)

Primer 14.1. Koliko eksperimenata treba izvrˇsiti da bi se sa verovatnoćom 0.9 tvrdilo da se frekvencija dogad¯aja ko ji nas interesuje razlikuje za ne viˇse od 0.1 od verovatno´ ce nastupanja tog dogad¯aja, koja je jednaka 0.4? Neka je n broj eksperimenata i m broj nastupanja dogad¯aja u tim eksperimentima. Po uslovu zadatka je p = 0.4 i q = 0.6. Interesuje nas verovatnoća vaˇzenja nejednakosti

 −  ≤ m n

ˇsto je ekvivalentno sa nejednakoˇsću

p

0.1,

√ 0.1 n − √ ≤ √ 0.24 . m np 0.24n


48

−b) je √ √ √ 0 .1 n 0 .1 n 0 .1 n < √ ≈ Φ √ 0.24 − Φ − √ 0.24 0.24

Na osnovu formule (14.1) (za a = a =

 −   √ 

0.9 = P

m

np npq

   

Koriˇ Ko riˇs´ sćenje ce njem m tabl ta blic icee za Φ(x Φ( x), dobijamo

√

0 .1 n 0.24

√

odakle nalazimo nalazimo n

  √ 

0.1 n . 0.24

√

= 2Φ

≈ 1.64 64 , ,

≈ 64 64..55 55.. Prema tome, treba izvesti oko 65 eksperimenata.

proizvoljno nogg broja broja nezavisnih nezavisnih sluˇ cajnih cajnih promenl promenljivih, jivih, od kojih svaka ima norTeorema 14.2. Zbir proizvolj malnu raspodelu, raspodelu, takod¯e ima i ma normalnu normaln u raspodelu. raspodelu.

···

U oˇcimo ci mo sluˇ sl uˇcajnu ca jnu prom pr omenl enlji jivu vu X X = X 1 + + X n , gde sluˇ s luˇcajne ca jne promenlj prom enljive ive X X k imaju ima ju normalne normalne Dokaz. Uoˇ 1 2 2 raspodele (µk , σk ) (k = 1, . . . , n) n) i karakteristiˇcne cne funkcije ϕXk (t) = exp itµk σ t . Na osnovu 2 k osobina osobin a matematiˇ matema tiˇckog ckog oˇcekivanja cekivanja i disperzije, disp erzije, imamo za X za X :

N

µ = µ = µ 1 +



σ 2 = σ 12 +

···+ µ

n,



−

· · · + σ2 . n

S obzirom obz irom da d a su sluˇcajne ca jne promenlj p romenljive ive X X 1 , . . . , Xn nezavisne, na osnovu osobine 6 ◦ (videti 11. odeljak) karakteris karakt eristiˇ tiˇcna cna funkcija fun kcija sluˇcajne ca jne promenlj prom enljive ive X X = X 1 + + X n je

···

       ···

ϕX (t) = E eitX = E eit(X

   

+X2 + +Xn )

···

= E eitX

itX2

itXn



·e ···e = = exp iµ t − 12 σ 2 t2 E e ϕ (t) = =1 =1 =1 1 2 2 = exp it( it(µ1 + + µ ) − 2 t (σ1 + · · · + σ 2 ) = exp itµ − 12 σ 2 t2 , ˇsto znaˇ na ˇci ci da X ima X ima normalnu raspodelu N (µ, σ ).  1

n

n

n

itXk

k

Xk

k

k

k

n

n

1

   k



Pretpostavimo sada da nezavisne sluˇcajne cajne promenljive X promenljive X 1 , . . . , Xn imaju ima ju istu raspodelu raspo delu verovatno´ ca, ca, tj. µ1 = µ2 =

· · · = µ

σ12 = σ 22 =

n = µ,

· · · = σ 2 = σ = σ 2 , n

2 = nσ 2 . i neka je X je X = X 1 + X 2 + + X n . Tada je µ je µ X = nµ, σX Standardizovana Standa rdizovana sluˇcajna ca jna promenljiva promenl jiva X X ∗ ima oblik

···

X ∗ =

− − µ

X

X

σX

=

− −√

X nµ , σ n

i posebno, posebno,

Dalje, imamo X − −√ nµ = √ 1 X ∗ = σ n

n

n



X k∗ =

− µ = √ 1

X k

k=1

σ

n

− µ

X k

σ



X 1∗ +

(k = 1, . . . , n) n).



· · · + X ∗ . n

neza visne sluˇcajne cajne promenljive promenljiv e Teorema 14.3 (Lindeberg-Levieva teorema). Ako su X 1 , . . . Xn nezavisne 2 sa istom raspodelom raspodelom i konaˇcnom cnom disperzijom disperzijo m D( D (X k ) = σ , tada tad a vaˇzi zi centralna central na graniˇcna cna teorema, tj. P ( P (X ∗ < x) = F ( F (x)

1 2π

→ √

x



−∞

2

e−t

/2

dt kada n

→ +∞.


49

Ka rakteris eristiˇ tiˇcne cne funkci f unkcije je ϕk (t) sluˇcajnih ca jnih promenljivih promenl jivih X k∗ (k = 1, . . . , n) n) jednake su med¯u Dokaz. Karakt sobo so bom m i vaˇzi zi t2 ϕk (t) = 1 + O(t3 ) 2

−

(osobina 8◦ za karakteristiˇ karakteristiˇcnu cnu funkciju – razvoj u Maclaurinov red). Tada je karakteristiˇ karakteristiˇcna cna funkcija ϕ(t) sluˇcajne ca jne promenljive promenl jive X nµ X ∗ = (X = X 1 + + X n ) σ n

− −√

···

jednaka (osobina 6◦ )

  √    √   − n

ϕ(t) =

ϕk

k =1

t = n

ϕk

t n

n

=

1

  →

t2

t3 +O 2n n

n

Sluˇcajne ca jne promenl prom enljive jive X ∗ i X imaju X imaju redom normalne raspodele X ∗ (nµ, nσ) nσ).

N

√

2

e −t

/2

kada n kada n

→ +∞. 

∼ N (0, (0, 1) i X ∼ N (µ

X , σX )

=

P retpostavimo stavimo da proseˇcno cno svaki treći ci prolaznik prolaz nik pored pore d kioska ki oska kupi novine, tj. verovatno´ ca ca da Primer 14.2. Pretpo jedan prolaznik kupi novine je p = 1/3. Neka je S 100 ¯u pored kioska dok se ne proda prvih 100 broj lica koja prod 100 primeraka primera ka novina. Odrediti pribliˇznu znu raspo ras podelu delu sluˇcajne ca jne promenlji pr omenljive ve S 100 100 . 1 primeraka pa sve dok se ne proda Reˇ senj en je: Neka je X k (k = 1, 2, . . . ) broj prolaznika od prodaje k 100 k -ti primerak novina. Tada je S 100 cajne ca jne promenl pro menljive jive X k (k = 1, 2, . . . ) su nezavisne, sa istom 100 = k =1 X k . Sluˇ raspodel raspodelom om i to sa geometrijskom raspodelom raspodelom (videti (videti 12. odeljak – raspodele diskretne promenljive):

−





2 r −1 1 P ( P (X k = r) r ) = q − p = p = (r = 1, 2, . . . ). r 1

3

3

Parametri geometrijske raspodele su

E (X k ) =

1 = 3, 3, p

D (X k ) =

q = 6. 6. p2

Primenjuju´ Primenju jući ci teoremu Lindeberg-Levia dobija dobijamo mo da je raspodel raspodela a sluˇ sluˇcajne cajne promen promenlji ljive ve S 100 data sa 100 data ∗ (300, (300, 10 6), 6), dok standardizovana standa rdizovana sluˇcajna ca jna promenljiva promenl jiva S 100 = (S 100 300)/ 300)/10 6 ima raspodel rasp odelu u pribliˇzno zno 100 (0, (0, 1). 1). Kao ˇsto sto se vidi iz rezultata rezult ata za matematiˇ matema tiˇcko cko oˇcekivanje cekivanje (µ = 300), 300), oˇcekivani cekivani broj bro j lica koji će ce kupiti prvih 100 primeraka novina je 300, ˇsto sto je i intuitivno jasno.

N N

√

−

√


50

Tablice za normalnu raspodelu Laplaceova funkcija Φ(x Φ(x) =

Tablice daju vrednost izraza Φ(x Φ(x) =

1 2π

√

1 2π

√

x



2

e−t

/2

dt

0

x



2

e−t

/2

dt

0

za vrednost argumenta x izmed¯u 0 i 3.5. Za negativne vrednosti koristimo relaciju

−

Φ( x) =

Φ(x). −Φ(x

izabrani zadaci sa pismenih ispita

51

Izabrani zadaci sa pismenih ispita Zadatak 1.12 Dva kockara A i B igraju neku igru bacajući dve kocke. A pobed¯uje ako dobije sumu 6 pre nego ˇsto B dobije sumu 7, i obratno, B pobed¯uje ako dobije sumu 7 pre nego ˇsto A dobije sumu 6. Koji od ova dva igraˇca ima veće ˇsanse da dobije ako igru poˇcinje igraˇc A ? Reˇsenje: Neka su A i B dogad¯aji koji redom oznaˇcavaju pojavu suma 6 (A dobija) i 7 (B do¯ i B. ¯ Ako su baˇcene dve kocke, tada postoji 36 mogućih ishoda: bija). Suprotne dogad¯aje oznaˇcićemo sa A (1, 1), (1, 2), . . . , (1, 6), (2, 1), . . . , (6, 6). Postoji 5 povoljnih ishoda (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1) za sumu 6, i 6 povoljnih ishoda (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1) za sumu 7. Tada su verovatno´ ce opisanih dogad¯aja jednake

5 ¯ = 1 P (A) = 31 , , P (A) 36 36 6 1 ¯ = 1 P (B) = 30 = 5 . P (B) = = , P (B) 36 6 36 6

−

P (A) =

−

Kockar A dobija igru ako se desi sledeći sloˇzen dogad¯aj:

¯ + A¯B ¯ A ¯ BA ¯ + A¯B ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ + A + A¯BA AB ABA

··· .

Pojedinaˇcni dodad¯aji koji se javljaju kao sabirci u gornjoj sumi su med¯usobno iskljuˇcivi (ne mogu se desiti istovremeno) tako da je verovatno´ ca sloˇzenog dogad¯aja jednaka sumi verovatno´ ca pojedinaˇcnih dogad¯aja. Osim toga, dogad¯aji koji se javljaju u gornjim proizvodima su med¯usobno nezavisni tako da je verovatno´ ca proizvoda dogad¯aja jednaka proizvodu verovatno´ ca pojedinih dogad¯aja koji uˇ cestvuju u proizvodu. Ako p A oznaˇcava verovatnoću da kockar A dobija, tada je

¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ pA =P (A) + P (A)P ( B)P (A) + P (A)P ( B)P ( A)P ( B)P (A) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ + P (A)P ( B)P ( A)P ( B)P ( A)P ( B)P (A) +

···

 ·  ·  ·  · ···  · −

5 31 5 5 31 5 2 5 31 5 3 5 + + + + 36 36 6 36 36 6 36 36 6 36 5 5 1 30 = 1 + x + x2 + x3 + = = , 36 36 1 x 61

· ·

=



gde smo stavili x =

31 5 155 = . 36 6 216

···

·

Kockar B dobija ako se desi sledeći sloˇzen dogad¯aj:

¯ ¯ AB + ¯ ¯ A ¯ B ¯ AB + ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ AB + A¯B A¯B A¯B AB AB AB +

··· .

Odavde, na sliˇcan naˇcin kao u sluˇcaju igraˇca A , izraˇcunavamo verovatnoću p B da igru dobije kockar B :

¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ pB =P (A)P (B) + P (A)P ( B)P ( A)P (B) + P (A)P ( B)P ( A)P ( B)P ( A)P (B) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ + P (A)P ( B)P ( A)P ( B)P ( A)P ( B)P ( A)P (B) + 31 = 36 31 = 36 12

· ·

··· 2 31 1 + · · 36 6

  · · · ···  · · −

1 31 5 31 1 31 1 31 5 + + 6 36 6 36 6 36 6 36 6 1 31 1 1 31 1 + x + x2 + x3 + = = . 6 36 6 1 x 61

· · ·



 ·  31 5 36 6

3

+

···

Ovaj zadatak postavljen je i reˇ sen u prvom ˇstampanom radu iz teorije verovatnoće iz 1657. godine, ˇ ciji je autor ˇ cuveni holandski nauˇ cnik Cristiaan Huygens (1629–1695).


52

Na osnovu dobijenih verovatno´ ca pA i pB zakljuˇcujemo da kockar B ima neznatno ve´ ce ˇsanse za pobedu u odnosu na svog rivala A.

Zadatak 2. Bil i Toni igraju ruski rulet sa revolverom ˇcije ,,burence” ima 6 komora i, dakle, moˇze da primi 6 metaka. U komorama su sluˇ cajnim izborom stavljena 3 metka i ,,burence” je zarotirano samo jednom, pre poˇcetka igre. Prvi igraˇc uzima revolver i povlaˇci okidaˇc. Ako se ˇcuje ,,bum” (pucanj), on gubi igru, ako se ˇcuje ,,klik” (prazna komora) on daje revolver drugom igraˇcu koji nastavlja na isti naˇcin. Igra se zavrˇsava posle prvog ,,buma” (pucnja). Ako Bil poˇcinje prvi, kolike su ˇsanse svakog igraˇca da pobedi? Reˇsenje: Oznaˇcima sa 0 situaciju da je komora prazna, a sa 1 da se u komori nalazi metak i formirajmo nizove duˇ zine 6 od tri nule i tri jedinice (broj metaka u revolveru). U donjoj tabeli date su sve mogu´ ce kombinacije 6 ovakvih ˇsestorki, njih ukupno 3 = 20 :



0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1

0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1

1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0

1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0

1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0

B T T T B B B B B B T T T T T T T T T T

Oˇ cigledno je da ako je broj 1 na neparnom mestu, tada Bil, koji poˇcinje prvi, gubi igru i Toni pobed¯uje. Ako je 1 na parnom mestu, pobed¯uje Bil. Na kra ju svake vrste, koja pokazuje raspored metaka u burencetu, naznaˇ cen je pobednik; T – Toni je pobednik, i B – Bil je pobednik. Kao ˇsto se vidi iz tabele, slovo T se pojavljuje na 13 mesta (broj povoljnih ishoda za Tonija), a B na presostalih 7 mesta (broj povoljnih ishoda za Bila). Na osnovu ovog pripadne verovatno´ ce su jednake

P (B) =

7 , 20

P (T ) =

13 . 20

Prema tome, ve´ ce ˇsanse na pobedu ima Toni.

Zadatak 3. Neko je napisao n pisama i adresirao n koverata. Zatim je pisma nasumice stavio u koverte. Kolika je verovatnoća p n da bar jedno pismo dobije onaj kome je upu´ ceno? Odrediti lim pn . n

→+∞

ceno. Tada je Reˇ senje: Neka je A i dogad¯aj da i -to pismo dospe onome kome je upu´

P (Ai Ai 1

2

··· A

ik )

=

1 1 n n 1

· − ··· n − 1k + 1

(k = 1, . . . , n).


53

Na osnovu formule n

n

  

pn = P

Ai =

i=1

P (Ai )

i=1



k 1

+ ··· + (−1) −

i1
−

···




P (Ai Ai ) + 1

2

i1
P (Ai Ai Ai ) 1

2

3

i1
P (Ai Ai 1

2

k

··· A

ik ) +

n

··· + (−1) −1P (A1A2 ··· A

n ),

imamo

pn =

  −  n 1 1 n



n 1 1 n 1 1 1 + + 2 nn 1 3 nn 1n 2

−

−

−



··· + (−1) − n 1 = 1 − 1 + 1 + ··· + (−1)n−1 1 . n 1

n n!

2!

3!

n!

Odavde se dobija n

lim pn = 1

→+∞

− e−1 ≈ 0.63212... .

Zadatak 4. Igraˇc C treba da odigra tri ˇsahovske partije sa igraˇcima B i C naizmeniˇcno. Poznato je ˇ je da je igraˇc A bolji od igraˇca B. U ovom meˇcu cilj igraˇca C je da uzastopce dobije bar dve partije. Sta bolje za njega: da najpre igra protiv A, zatim protiv B , i potom ponovo protiv A, ili u poretku B AB? Reˇ senje:

Neka je P A (P B ) verovatnoća da C pobedi igraˇca A (B ). Tada su verovatno´ ce poraza igraˇca C protiv A i 123, 12, 23 , povoljan dogad¯aj koji znaˇci da je igraˇc C B redom jednake 1 P A i 1 P B . Neka je W I , I dobio partije oznaˇcene indeksom I . Na primer, W 23 znaˇci da je C dobio drugu i tre´ cu partiju. Razmotrimo dva moguća poretka za vreme meˇca, AB A i BAB. Realizacija cilja igraˇca C (uzastopne pobede u bar dve partije) je sloˇzen dogad¯aj koji ćemo oznaˇ citi sa W ABA , odnosno W BAB .

−

−

∈ {

}

Poredak ABA: Postoje tri razliˇcita naˇcina da C postigne bar dve pobede uzastopce, predstavljena pomoću sledećih povoljnih dogad¯aja W I : 2 P ; 1. W 123 , P (W 123 ) = P A P B P A = P A B

· · 2. W 12 , P (W 12 ) = P · P · (1 − P ) = P P − P 2 P ; 3. W 23 , P (W 23 ) = (1 − P ) · P · P = P P − P 2 P . A

B

A

A

B

A

A B

A B

A B

A B

Ovi dogad¯aji su med¯usobno iskljuˇcivi tako da je verovatno´ ca posmatranog dogad¯aja W ABA jednaka sumi po jedinaˇcnih verovatnoća

P (W ABA ) = P (W 123 ) + P (W 12 ) + P (W 23 ) = P A P B (2

− P ). A

Poredak BAB : Kao i u prethodnom sluˇcaju, postoje tri povoljna dogad¯aja, W 123 , W 12 , i W 23 , sa odgovarajućim verovatnoćama

P (W 123 ) = P A P B2 , P (W 12 ) = P (W 23 ) = P A P B

− P P 2 . A B

Prema tome,

P (W BAB ) = P (W 123 ) + P (W 12 ) + P (W 23 ) = P A P B (2

− P ). B

Na osnovu uslova zadatka je P A < P B (igraˇc A je bolji od igraˇca B ) tako da je

P ABA = P A P B (2

− P ) > P P (2 − P ) = P A

A B

B

BAB .

Poslednja nejednakost dovodi do neoˇcekivanog zakljuˇcka: igraˇc C ima ve´ ce ˇsanse da dobije bar dve partije uzastopce ako izabere protivnike u poretku ABA, tj. ako najpre igra protiv boljeg igraˇ ca, zatim protiv slabijeg, i ponovo protiv boljeg, nego ako igra meˇ c u poretku BAB.


54

Zadatak 5. Tri kutije sadrˇze po 10 proizvoda. U prvoj kutiji ima 4 neispravna proizvoda, u drugoj 2, a u tre´ coj 5. Najpre se bira kutija na sluˇ cajan naˇcin, a zatim se iz nje uzima sluˇ cajan uzorak od 3 proizvoda. Odrediti verovatnoću da uzorak sadrˇzi jedino ispravne proizvode. cimo sa K i Reˇ senje: Oznaˇ

(i = 1, 2, 3) dogad¯aj da je izabrana i -ta kutija, a sa P (r) verovatnoću da uzorak sadrˇzi r neispravnih proizvoda. Oˇ cigledno je P (K i ) = 1/3. Na osnovu formule (2.2) iz primera 2.1, verovatno´ ca 0, 1, 2, 3 neispravnih proizvoda je redom da uzorak obima m = 3 sadrˇzi r

∈ {

|

P (r K 1 ) = Odavde je

}

    4 r

6

3 r 10 3

− , P (r|K ) = 2

 4 0

|

P (0 K 1 ) =

6 3

10 3

1 = , 6

|

    2 r

8

3 r 10 3

P (0 K 2 ) =

− , P (r|K ) = 3

 2 0

8 3

10 3

7 = , 15

    5 r

5 3 r 10 3

−

|

P (0 K 3 ) =

Traˇzenu verovatnoću nalazimo primenom formule totalne verovatnoće

|

|

|

P (0) = P (K 1 )P (0 K 1 ) + P (K 2 )P (0 K 2 ) + P (K 3 )P (0 K 3 ) =

(r = 0, 1, 2, 3).

 5 0

5 3

10 3

=

1 . 12

1 1 1 7 1 1 43 + + = . 3 6 3 15 3 12 180

·

·

·

Na sliˇcan naˇcin mogu se izraˇcunati verovatnoće P (1), P (2) i P (3).

Zadatak 6. Date su dve kutije. Prva kutija sadrˇzi b 1 belih i c 1 crnih kuglica, a druga kutija b 2 belih i c 2 crnih. Iz prve kutije nasumice je izvuˇ cena jedna kuglica i prebaˇ cena u drugu kutiju. Zatim je iz druge kutije izvuˇcena jedna kuglica. Ako je ta izvuˇ cena kuglica bele boje, koja je verovatnoća da je kuglica koja je prebaˇ cena iz prve u drugu kutiju bila crna? Reˇ senje: Uvedimo oznake:

A – prebaˇcena kuglica je crna, B – prebaˇcena kuglica je bela, C – izvuˇcena

kuglica je bela. Po Bayesovoj formuli je

|

P (A C ) =

|

P (A)P (C A) . P (A)P (C A) + P (B)P (C B)

|

(1)

|

U prvoj kutiji ima ukupno b1 + c 1 kuglica, od kojih je c1 crnih. Zbog toga je P (A) =

c1 . Sliˇcno je b1 + c1

b1 . b1 + c1 P (C A) je verovatnoća da je iz druge kutije izvuˇcena bela kuglica pod uslovom da je prebaˇcena kuglica bila b2 . crna. Kako u tom sluˇ caju imamo ukupno b 2 + c2 + 1 kuglica, od kojih su b 2 bele, biće P (C A) = b2 + c2 + 1 b2 + 1 Sliˇcno je P (C B) = . Koristeći formulu (1) dobijamo zahtevanu verovatnoću b2 + c2 + 1 P (B) =

|

|

|

c1 b2 c 1 b2 (b1 + c1 )(b2 + c2 + 1) P (A C ) = = . c1 b2 b1 (b2 + 1) c1 b2 + b1 b2 + b1 + (b1 + c1 )(b2 + c2 + 1) (b1 + c1 )(b2 + c2 + 1)

|

Zadatak 713 Neko je istovremeno kupio dve kutije ˇsibica od kojih svaka sadrˇzi po n palidrvaca. Kada mu je bilo potrebno, on je palidrvca sluˇcajno uzimao i iz jedne i iz druge kutije. Kolika je verovatnoća, da u momentu kada konstatuje da je jedna kutija prazna, druga sadrˇ zi k ( n) komada palidrvaca?

≤

13

Ovo je zadatak poznatog poljskog matematiˇcara S. Banacha.


Koristeći se rezultatom, naći zbir

n

S =

  − 2n

2k

k

n

k=0

55

.

¯ dogad¯aj da je palidrvce A dogad¯aj da je palidrvce izvuˇceno iz prve kutije, a sa A ¯ = 1 p = q = 1 . Ako se u izvuˇ ceno iz druge kutije. Ovo je Bernoulli eva ˇsema sa P (A) = p = 12 , P (A) 2 momentu kada je konstatovano da je prva kutija prazna u drugoj kutiji nalazi k ( n) palidrvaca, to znaˇci da je ¯ Kako se u tom momentu realizovano 2n k dogad¯aja (n realizacija dogad¯aja A i n k realizacija dogad¯aja A). radi o nizu od 2n k Bernoullievih eksperimenata, dakle o binomnoj raspodeli, verovatno´ ca da se dogad¯aj A u 2n k nezavisnih dogad¯aja desio n puta jednaka je Reˇ senje: Oznaˇ cimo sa

−

−

−

≤

−

 − 2n

pk = P (S 2n−k = n) =

 − 2n

k

pn q 2n−k−n =

n

−

k

n

22n−k

,

ˇsto predstavlja traˇzenu verovatnoću. Da bismo odredili traˇzenu sumu (ˇcije nalaˇzenje pomoću standardnih metoda nije nimalo jednostavno), primen

timo da dobijene verovatno´ ce ˇcine potpuni sistem, tj.



pk = 1. Prema tome, imamo

k=0



 −

 −

1 2n 1 2n 1 1 2n 2 + + + 22n n 22n−1 n 22n−2 n

···



1 n + n 2 n

= 1.

Mnoˇzeći prethodnu relaciju sa 2 2n , dobijamo traˇzenu sumu n

S =

  −    −  − 2k

2n

k =0

k

n

=

2n 2n 1 2n 2 +2 + 22 + n n n

··· + 2

n

 n n

= 22n .

ˇ sto ji na poˇcetku brojne ose i baca novˇcić. Ako padne grb, on pravi korak udesno, Zadatak 8. Covek a ako padne pismo jedan korak ulevo. Naći matematiˇcko oˇcekivanje i disperziju apscise X koja odred¯uje poloˇza j ˇcoveka posle n bacanja novˇcića, ako se pretpostavi da je novˇcić nepravilan tako da je verovatnoća da padne pismo p.

− k puta, tada je ˇcovek udaljen (n − k) − k = n − 2k koraka od poˇcetka bro jne ose, pri ˇcemu rastojanja desno od poˇcetka bro jne ose smatramo pozitivnim. Oˇ cigledno je da se sluˇcajna promenljiva X ponaˇsa po binomno j raspodeli, pri ˇcemu uzima vrednosti x = n − 2k. Dakle, imamo Reˇ senje: Ako je pismo palo k puta, a grb n

k

n

P (X = n

− 2k) =

  k=0

n k n− k p q , k

−

gde je q = 1 p verovatnoća da padne grb. Karakteristiˇcna funkcija sluˇcajne promenljive X je n

ϕ(t) =

  e

k =0

itxk

n k n−k p q = k

n



e

it(n 2k )

−

k =0

odakle je

ϕ(t) = e

itn





n k n− k p q = e itn k



n pe−2it + q .

n

    k=0

n k pe−2it q n−k , k


56

Prvi i drugi izvod karakteristiˇcne funkcije ϕ dati su redom sa

ϕ (t) =

−

i2 neint  ϕ (t) = odakle je, uzimajući da je p + q = 1,

ϕ (0) =

 −      −    −   − n

qe 2it pe−2it + q , p + qe2it n pe−2it + q 4 pqe 2it + n( p

ineint p

p + qe2it

ϕ (0) = i 2 n n( p

−in( p − q ) = in(1 − 2 p),

qe2it )2

2

,

q )2 + 4 pq = i 2 n n(1

2 p)2 + 4 p

Na osnovu ovog, matematiˇcko oˇcekivanje i disperzija su jednaki

ϕ (0) E (X ) = = n(1 i

ϕ (0) D(X ) = i2

− 2 p),

Primetimo da u sluˇcaju ,,fer” novˇcića ( p = q =

1 ) 2



− 4 p2 .

− E (X )2 = 4np(1 − p).

dobijamo oˇcekivani rezultat E (X ) = 0.

Zadatak 9. Branko i Mirko bacaju novˇcić svaki po n puta. Kolika je verovatnoća da se i kod Branka i kod Mirka pismo pojavi isti broj puta. Reˇ senje: Uvedimo sledeće oznake:

Bk – u n bacanja kod Branka se pismo pojavilo k puta; M k – u n bacanja kod Mirka se pismo pojavilo k puta; A – u n bacanja pismo se pojavilo isti broj puta i kod Branka i kod Mirka. Potrebno je odrediti verovatno´ cu P (A). Dogad¯aj A moˇzemo rastaviti na n + 1 disjunktnih dogad¯aja prema broju pojavljivanja pisma:

A = B 0 M 0 + B1 M 1 +

··· + B

n M n .

Odavde je

P (A) = P (B0 M 0 )+ P (B1 M 1 )+

··· +P (B

n M n )

= P (B0 )P (M 1 )+P (B1 )P (M 1 )+

··· +P (B

n )P (M n ).

(1)

Za dodad¯aje B k i M k vaˇ zi binomna raspodela te je

          ·    

P (Bk ) = P (M k ) = Zamenom u (1) dobijamo

n

P (A) =

k =0

1 n 2n k

n k

1 2

k

1 n 2n k

1 2

n k

−

1 = 2n 2

=

1 n . 2n k

n

n k

k =0

2

.

(2)

Sumu koja se javlja na desnoj strani formule (2) na´ ci ćemo koriste´ ci primer 2.1 koji ćemo za naˇ se potrebe preformulisati na sledeći naˇcin: U partiji od 2n proizvoda n je neispravno. Odrediti verovatno´ cu da od n sluˇcajno izabranih proizvoda taˇcno k budu neispravna. Na osnovu reˇsenja datog formulom (2.2) nalazimo traˇzenu verovatnoću p k :

pk =

  −       − n k

2n n n k 2n n

=

2n n

−1 n k

2

,


pri ˇcemu smo iskoristili jednakost n



pk = 1, tako da je

   n n k

n k

=

−

57

. Kako verovatnoće p0 , p1 , . . . , pn ˇcine potpun sistem, imamo

k =0 n

n

    2n n

−1

k=0

   

2

n k

= 1,

odakle je

k=0

Na osnovu ovog rezultata iz (2) sledi

2

n k

2n . n

=



1 2n P (A) = 2n . 2 n

Zadatak 10. Sluˇcajna promenljiva X uzima vrednosti 0, 1, 2, . . . sa verovatnoćama koje opada ju po geometrijskoj progresiji. Odrediti matematiˇcko oˇcekivanje za sluˇcajnu promenljivu X. Reˇ senje: Prema uslovu zadatka imamo

P (X = n) = c r n (0 < r < 1),

·

gde je r koliˇcnik geometrijske progresije, a c konstanta koju treba odrediti. Da bismo naˇ sli c, primetimo da je +

∞



+

P (X = n) = 1

n=0

∞



⇒

crn = 1

n=0

⇒

c

1

−r =1 ⇒

n

.

c = 1

− r.

Prema tome, zakon verovatnoća je definisan sa

P (X = n) = (1

− r)r

Matematiˇcko oˇcekivanje i disperzija mogu se odrediti preko poˇcetnih momenata E (X ) i E (X 2 ) koji se nalaze sumiranjem geometrijskih redova. Jednostavniji naˇcin je koriˇsćenje karakteristiˇcne funkcije. Tako imamo +

ϕ(t) =

∞



+

e

itn

P (X = n) =

n=0

∞



+

e

itn

(1

n=0

− r)r

n

= (1

− r)

Prvi i drugi izvod karakteristiˇcne funkcije ϕ dati su sa

∞

    reit

n

=

n=0

−r 1 − re 1

it

.

i2 (1 − r)reit 1 + reit i(1 − r)eit   ϕ (t) = , ϕ (t) = , it 2 it 3 (1

te je

− re

)

(1

− re

)

ir i2 r(1 + r)   ϕ (0) = , ϕ (0) = . 2 1

Odavde je

−r

ϕ (0) r E (X ) = = , i 1 r D(X ) = E (X 2 )

(1

− r)

ϕ (0) r(1 + r) E (X ) = = , 2 i (1 r)2 r E (X )2 = . (1 r)2 2

−

−

−

−

Zadatak 11. U horizontalnoj ravni su nacrtane med¯usobno paralelne linije na jednakom rastojanju a. Na ovu ravan nasumice je baˇcen ram (kontura) u obliku pravilnog mnogougla ˇciji je strana d manja od a. ˇ Naći verovatnoću da ram preseće jednu od paralelnih pravih. Cemu je jednaka verovatnoća u graniˇcnom sluˇcaju kada kontura postane krug? A dogad¯aj da ram preseˇce neku od pravih. Numeriˇsimo strane mnogougla od 1 do n, pri ˇcemu je svaka strana duˇzine d i < a. Primetimo da ako prava seˇce ram, tada ona seˇce dve njegove strane. Neka je Aij dogad¯aj da proizvoljna prava preseˇce strane i i j mnogougla, i neka je p ij = pji verovatnoća ovog cimo sa Reˇ senje: Oznaˇ

dogad¯aja. Tada je

A = (A12 + A13 +

··· + A1

n ) + (A23 +

A24 +

··· + A2

n) +

··· + (A −2 n

,n 1 +

−

An−2,n ) + An−1,n .


58

Slika 1 Dogad¯aji A ij su med¯usobno nesaglasni pa je

  ···

p = P (A) = P (A12 ) + P (A13 ) + +

  

··· + P (A1

n ) + P (A23 ) + P (A24 ) +

+ P (An−2,n ) + P (An−2,n ) + P (An−1,n )

= ( p12 + p13 +

··· + p1

n ) + ( p23 + p24 +

··· + p2

n) +

··· + P (A2

··· + ( p −2 n



n)

,n 1 + pn 2,n ) + pn 1,n .

−

−

−

Kako je p ij = p ji , pii = 0, imamo

1 ( p12 + p13 + + p1n ) + ( p21 + p23 + 2 n n n 1 1 = pij = pi . 2i j 2i

p =

  =1

=1

=i j

···

··· + p2

n) +

··· + ( p 1 + p 2 + ··· + p n

n



n,n 1 )

−

 =1

n

Ovde smo uveli verovatno´ cu pi =



pij koja vredstavlja verovatnoću preseka i-te strane, ˇsto je ekvivalentno

j =1 =i j

Buffonovom

problemu (videti 4. odeljak). Iz primera 4.2 vidimo da je verovatno´ ca preseka p i data sa

pi =

2di , πa

pa je traˇzena verovatnoća jednaka

n

1 p = 2

n

 i=1

2di = πa



di

i=1

πa

=

L , πa

gde je L obim mnogougla. + , tada ram postaje kruˇznica obima L = 2πr, pa je na osnovu prethodnog rezultata Ako n

→ ∞

p =

Zadatak 12. Odrediti

2πr 2r = . πa a

verovatnoću da koreni kvadratne jednaˇcine x2 + bx + c = 0 ( s < b < s;

−

budu kompleksni.

−t < c < t)


59

cine bude negativna, tj. Reˇ senje: Uslov da koreni budu kompleksni je da diskriminanta jednaˇ

b2

− 4c < 0.

Prema tome, da bi koreni bili kompleksni taˇcka (b, c) treba da leˇzi u onom delu ravni Obc koji se nalazi iznad parabole b2 = 4c i unutar pravougaonika ˇcija su temena ( s, t) (slika 2). Povrˇsina tog dela ravni (povoljni sluˇcajevi) data je sa √

S =

   

2 √ 4t t − 2

t

  −

b2 db = 4

± ± √ 8 t 3

(s2

≥ 4t),

(s2

≤ 4t).

0

s

2st

12st s3 b2 db = 4 6

2

−

0

Slika 2 Kako je povrˇsina pravougaonika S 1 = 4st (mogući sluˇcajevi), traˇzena verovatnoća je

S p = = S 1

 √  −

2 t 3s 12t s2 24t

(s2

≥ 4t), (s2 ≤ 4t).

Zadatak 13. Funkcija gustine F X je definisana na sledeći naˇcin:

F X =

 

1, A + B arcsin xa , 0,

x

≥ a,

−a < x < a, x ≤ −a.

a) Odrediti A i B tako da funkcija F X bude neprekidna. a a b) Naći verovatnoću dogad¯aja X , . 2 2 c) Naći funkciju gustine raspodele f X .

 ∈ − 

Reˇ senje:

−

a) Kako je F X neprekidna funkcija u ( a, a), odredićemo A i B tako da je

x

lim F X (x) = A + B arcsin

→−a+

− 

a = A a

−

Iz dobijenog sistema jednaˇcina nalazimo A =

π B = 0, 2

1 1 , B = . 2 π

x

lim F X (x) = A + B arcsin

→a−



a π = A + B = 1. a 2


60

b) Na osnovu relacije P (a < X < b) = F X (b)

− F

X (a), nalazimo

 ∈ −    − −     √ ∈− −  ∈−

P

a a , 2 2

X

a 2

= F X

a π 1 π 1 1 = + = . 2 6π 6π 3

F X



c) Kako je f X (x) = F X (x) , to je

1

π a2 0,

f X (x) =

,

x2

x

( a, a),

x / ( a, a).

Zadatak 14. Na duˇzi AB (AB = a) nasumice su izabrane dve taˇcke M i N. Odrediti verovatnoću da je MN < b (b < a). Takod¯e, odrediti matematiˇcko oˇcekivanje i disperziju za rastojanje M N. AM = x, AN = y. Na osnovu ovog sledi da taˇcka (x, y) moˇze leˇzati u kvadratu K : 0 x a, 0 y a. Uslov MN < b ekvivalentan je uslovu x y < b, pa se taˇcka (x, y) mora nalaziti u onom delu kvadrata S za ˇcije taˇcke (x, y) vaˇzi x y < b. Traˇzena verovatnoća jednaka je odnosu povrˇsina oblasti S i povrˇsine kvadrata K, tj. Reˇ senje: Stavimo

≤ ≤

≤ ≤

| − |

| − |

P (MN < b) =

a2

− (a − b)2 = b(2a − b) a2

a2

(videti primer 4.1 i sliku 4.1). Stavimo da je X = M N. Na osnovu dobijenog zakona verovatno´ ce, funkcija raspodele je

F (x) = 0 (x

≤ 0),

F (x) =

−

x(2a x) (0 a2

≤ x ≤ a),

F (x) = 1 (x

≥ 1).

Odavde sledi da je funkcija gustine raspodele

 

f (x) = F (x)



=

2a

− 2x

a2

≤ x ≤ a),

(0

∈

f (x) = 0 (x / (0, a)).

Nad¯imo poˇcetne momente prvog i drugog reda. Imamo +

∞

E (X ) =



−∞

2 xf (x)dx = 2 a

a



(ax

0

− x2)dx = a3 .

Sliˇcno je +

E (X 2 ) =

∞



−∞

2 x2 f (x)dx = 2 a

a



(ax2

0

Odavde je 2

D(X ) = E (X )

−

a2 E (X ) = . 18 2

Zadatak 15. Sluˇcajna promenljiva X ima funkciju gustine raspodele f (x) =

xm − x e m!

(x

2

− x3)dx = a6 .

≥ 0, m ∈ N).

funkcija raspodele

Koristeći nejednakost

ˇ ˇ Cebi sev a

61

dokazati nejednakost



 

P 0 < X < 2(m + 1) > Reˇ senje: Kako je +

+

∞



E (X ) =

∞

xf (x)dx =

−∞

−∞

m . m+1

xm+1 −x e dx, m!

uzastopnom primenom parcijalne integracije dobijamo

E (X ) = m + 1. Istim postupkom nalazimo poˇcetni moment drugog reda: +

2

∞

E (X ) =



+

∞

2

x f (x)dx =

−∞



−∞

xm+2 −x e dx = (m + 1)(m + 2). m!

Kako je

D(X ) = E (X 2 ) na osnovu



ˇ ˇ Cebi sevljeve

− E (X )2 = (m + 1)(m + 2) − (m + 1)2 = m + 1,

nejednaksti dobijamo

 |

−

|

 |

−



|

P 0 < X < 2(m + 1) = P X (m + 1) < m + 1 = P X E (X ) < m + 1 > 1

) m − (mD(X = . + 1)2 m+1

Zadatak 16. Tri taˇcke su nasumice izabrane u beskonaˇcno j ravni. Kolika je verovatnoća da ove taˇcke predstavljaju temena tupouglog trougla?

| |

Reˇ senje: Pretpostavimo da su A,

B i C sluˇcajno izabrane taˇcke. Neka je AB najduˇze rastojanje od mogućih rastojanja AB , BC i CA izmedju taˇcaka A , B i C. Uzmimo da je AB na jduˇza stranica trougla ABC i nad njom konstruiˇsimo polukrug AF B (vidi sliku 3). Takodje, sa centrima u taˇ ckama A i B i polupreˇcnikom AB konstruiˇsimo lukove BDX i AEX koji se seku u taˇcki X. Na ovaj naˇcin je dobijen ravnostran trougao ABX.

| | | | | |

| | 

X

E

D F

B

A

Sl. 3 Sa slike 3 je oˇcigledno da




62



1) treće teme C bilo kog tupouglog trougla ABC ne moˇze se naći izvan oblasti ABDXE (jer bi, u suprotnom, jedna stranica bila duˇ za od AB , ˇsto je u suprotnosti sa pretpostavkom da je AB najduˇza stranica);

| |



2) ako je tre´ ce teme C unutar polukruga AF B , tada je trougao ABC tupougli, ako je teme C izvan ovog polukruga, trougao je oˇstrougli. U oba sluˇ caja smatramo da je teme C unutar oblasti ABDXE saglasno zakljuˇcku 1). Verovatnoća da se treće teme nad¯e na polukruˇznici (sluˇcaj pravouglog trougla) jednaka je 0 u smislu geometrijske verovatnoće.



Oznaˇcimo sa P (T ) verovatnoću da trougao ABC bude tupougli i neka S AF B , S ABDXE i S ABDX predstavlja ju redom povrˇsine poludiska AF B, oblasti ABDXE i sektora ABDX (ˇsestina kruga polupreˇcnika AB ). Na osnovu 1) i 2) imamo

| |

P (T ) =

S AF B . S ABDXE

| |

Neka je AB = 2a. Tada je

S AF B

πa 2 = , 2

·

S ABDXE = 2 S ABDX

− S 

ABX

=2

Prema tome, traˇzena verovatnoća je jednaka

P (T ) =

4πa 2 6

 −

√

a2 3 = a 2



4π 3

− √ 3



.

π/2 4π/3

3 √ = − 3 8 − 6√ 3/π ≈ 0.6394.

Zadatak 17. U urni se nalazi a belih i b crnih kuglica. Dva igraˇca naizmeniˇcno izvlaˇce iz urne po jednu kuglicu, vra´ cajući izvuˇcenu kuglicu ponovo natrag. Pobed¯uje ona j koji je izvukao prvi belu kuglicu. Odrediti verovatnoću da pobedi igraˇc koji je prvi poˇceo sa izvlaˇcenjem. Zadatak 18. Svaki od koeficijenata kvadratne jednaˇcine ax 2 + bx + c = 0 odred¯en je bacanjem jedne kocke. Kolika je verovatno´ ca da koreni ove jednaˇcine budu realni?

≥

Zadatak 19. U voz koji ima n vagona ulazi k ( n) putnika, koji biraju vagone sluˇcajno. Odrediti verovatno´ cu da u svaki vagon ud¯e bar jedan putnik. Zadatak 20. Sluˇcajna promenljiva X moˇze da uzme celu pozitivnu vrednost n sa verovatnoćom 3 −n . Naˇci matematiˇcko oˇcekivanje za X. Zadatak 21. Na duˇzi AB (AB = 1) nasumice se bira n n tako dobijenih duˇzi moˇze konstruisati poligon od n strana.

− 1 taˇcaka. Odrediti verovatnoću da se od

Zadatak 22. Sluˇcajna veliˇcina X uzima vrednosti iz skupa P (X = n) =

N0

M (a + n)(a + n + 1)(a + n + 2)

{ } ∪ N) sa verovatnoćama

(= 0

(n = 0, 1, . . . ).

a) Odrediti a ako je E (X ) = A (A zadati broj). b) Izraˇcunati disperziju D(X ). c) Naći P (X 10).

≤

Zadatak 23. Naći karakteristiˇcnu funkciju za diskretnu sluˇcajnu promenljivu X za koju je P (X = m) =

am (1 + a)m+1

i na osnovu toga odrediti matematiˇcko oˇcekivanje.

(a > 0, m = 0, 1, . . . ),

Verovatnoca, matematika

Recommend Documents