1. HUKUM AMPERE AMPERE untuk untuk MEDAN MEDAN MAGNET MAGNET
Pertama kita anggap suatu arus lurus tak tentu I (lihat gambar)
Gambar 1.a Medan magnet di sekitar kawat lurus berarus I Medan magnet B di titik A adalah tegak lurus terhadap OA, yang dinyatakan dengan persamaan B=µ0I2πru0 Marila Marilah h kita kita hitung hitung perput perputara aran n dari dari B sekeli sekelilin ling g lintas lintasan an melin melingka gkarr yang yang berjari-jari r. Medan magnet B merupakan garis singgung terhadap lintasan, sehingga sehingga = B.dl = Bdl dan besarnya besarnya konstan. konstan. Oleh karena itu perputar perputaran an magnetik magnetik (magneti (magnetic c circulati circulation on / gaya magnetom magnetomotif) otif) yang didistr didistribus ibusikan ikan dengan AB adalah: AB=LB.dl=LB.dl=BLdl dl=L=2πr AB=BL=μ0I2πr2πr AB=B.dl=μ0I
(1)
Dan persamaan (1) disebut Hukum Ampere Berdas Berdasar arkan kan persa persamaa maan n (1) (1) Nampak Nampak bahwa bahwa perput perputara aran n magne magnett adalah adalah sebandin sebanding g dengan dengan kuat arus I dan tidak tidak bergantu bergantung ng dari jari-jari jari-jari lintasan lintasan.. Oleh karena itu, pada sekitar arus I digambarkan ada beberapa lingkaran L 1, L2, L 3, (lihat gambar) maka perputaran magnetik diseluruh sekitar dari kawat adalah sama yaitu µ0I.
Gambar 1.b Lintasan-lintasan medan magnet mengelilingi arus Lintasan tertutup sembarang (L) mengelilingi arus I (gambar 1.c).
Gambar 1.c Perputaran magnetik sepanjang lintasan L Perputaran magnetik sepanjang L adalah: AB=LB.dl=μ0I2πu0.dlr Sedangkan Sedangkan u0.dl u0.dl besarnya rdθ.
adalah adalah komponen komponen dl dalam arah arah vector vector satuan u0 dan
Karena itu: AB=μ0I2πLdθ=μ0I2π2π=μ0I Sebab total sudut sekitar titik adalah 2π. Hasil tersebut sesuai dengan yang ditunjukkan pada persamaan (1), hal itu menunjuk menunjukkan kan bahwa bahwa persamaa persamaan n (1) sesuai sesuai untuk untuk lintasan lintasanjj tertutup tertutup yang mengelilingi mengelilingi arus lurus, dengan tak mengandalkan posisi arus relatif terhadap lintasan. Persamaan (1) dapat digunakan untuk berbagai bentuk arus, artinya tidak hanya khusus untuk arus lurus saja. Misalnya, ada beberapa arus I 1, I2, I3, ….membentuk mata rantai dengan menutup lintasan L (lihat gambar 1.d).
Gambar 1.d Beberapa mata rantai arus Masing-masing arus memberikan sumbangan kepada perputaran dari medan magn magnet et sepa sepanj njan ang g L. berd berdas asar arka kan n kete ketent ntua uan n Huku Hukum m Am Ampe pere re,, maka aka perputaran dari medan magnet sepanjang garis tertutup yang dilingkupi arus (merupakan mata rantai), I1, I2, I3 adalah AB=B.dl=μ0I
(2)
Dimana I = I1 + I2 + I3 +…. Catatan untuk persamaan (2). Arus positif bila arus tersebut menembus L dalam keadaan keadaan sama sama dengan dengan putaran putaran sekrup sekrup ke keadaan keadaan mengikut mengikutii arah lintasan L, arus negatif bila arahnya berlawanan dengan keadaan tersebut. Catatan: •
• •
Arus positif, bila arah arus yang lewat (melingkupi) lintasan L sama dengan arah putaran sekrup ke kanan yang mengikuti arah lintasan tersebut. Arus negatif, bila arah arus berlawanan dengan keadaan tersebut. Dalam gambar tersebut I1 dan I3, adalah positif dan I2 adalah negatif.
Hukum Ampere Ampere LB.dl=μ0I dapat dinyatakan dinyatakan dalam bentuk diferensial, diferensial, yaitu dengan menggunakan teorema Stokes sebagai berikut: LB.dl=μ0I S∇×B.da=μ0Sj.da Sedangkan I=Sj.da, maka ∇×B=μ0j
(3)
Pers Persam amaa aan n (3) (3) meru merupa paka kan n pers persam amaa aan n huku hukumA mAmp mper ere e dala dalam m bent bentuk uk diverensial. Berdasarkan Berdasarkan persamaan tersebut dapat dilihat bahwa curl B tidak nol ∇×B≠ ∇×B≠0. 0. Sebali Sebalikny knya a diverg divergens ensii ∇×B= ∇×B=0 0 yang yang pembuk pembuktia tianny nnya a sebaga sebagaii berikut; Berdasarkan persamaan Biot Savart dapat dinyatakan bahwa medan listrik disekitar kawat besarnya adalah B=μ04πLIut×urr2dl
(4)
∇×B=μ04πL∇∙Iutdl×urr2 ∇.B=μ04πL∇.Idl×urr2 ∇.B=μ0I4πL∇.dl×urr2 Sementara itu berdasarkan sifat identitas vektor dapat dinyatakan bahwa ∇.dl×urr2=urr2.∇.dl-dl.∇×urr2 Mengin Mengingat gat dl tidak tidak menga mengandu ndung ng (x, (x, y, z), maka maka ∇×dl= ∇×dl=0, 0, disam disampin ping g itu itu ∇×urr2=0 ∇×urr2=0 maka ∇∙B=0
(5)
1. POTE POTENS NSIA IAL L VEKTO VEKTOR R
Perhitungan medan listrik telah dapat disederhanakan dengan memper memperken kenalk alkan an potens potensial ial skalar skalar elektr elektros ostat tatik ik E=-∇V E=-∇V.. Penyed Penyederh erhana anaan an terseb tersebut ut juga juga hasil hasil dari dari curl curl ∇×E= ∇×E=0. 0. Sedang Sedangkan kan untuk untuk medan medan magn magnet et ∇×B=μ0j, tetapi ∇.B=0. Karena divergensi dari suatu curl adalah nol, maka dengan dengan alasan alasan terseb tersebut ut dapat dapat diasu diasums msika ikan n bahwa bahwa medan medan magne magnett dapat dapat dituliskan: B=∇×A (6) A disebut potensial vektor magnetik (weber/m). sekarang akan ditentukan A sebagai berikut: Berdasarkan hukum Biot-Savart, Biot-Savart, maka medan B adalah: B=μ04πI μt × μrr2dl=μ0 I4πdl × μrr2 (7) Melalui identitas vektor dapat dinyatakan dl × urr2=-dl×∇1r=∇×∇ × dlr-∇ × dlr=∇×dlr (8) Karena ∇×dl=0, maka persamaan (8) menjadi dl×μrr2=∇×dlr Sehingga B dapat dinyatakan dengan, B=μ0i4π∇×dlr B=∇×μ0I4πdlr (9) Dari persamaan (8) dan (9) dapat dituliskan bahwa: A=μ0I4πCdlr (10) Persamaan (10) adalah A untuk arus filamen (kawat berarus). Bila distribusi arusnya volume dan permukaan maka potensial vektor yang dihasilkan masing-masing adalah: A=μ04πVjrdv (11) A=μ04πSkdar (12) Sementara itu potensial vektor yang dihasilkan oleh titik muatan yang bergerak adalah: A=μ0qv4πr (13) Dengan mengingat bahwa B=∇×A, maka hukum Ampere dapat dinyatakan sebagai berikut: ∇×B=∇×∇×A=μ0j (14) Dengan menggunakan identitas vektor dapat diperoleh ∇×∇×A=∇∇×A-∇2A Dapat dibuktikan bahwa ∇.A=0, maka ∇×B=∇×∇×A=∇∇.A-∇2A=μ0j ∇2A=-μ0j (15) Yang memiliki komponen pada x, y,z sebagai berikut ∇2Ax=-μ0jx ∇2Ay=-μ0jy (16) ∇2Az=-μ0jz
Perlu diperhatikan bahwa penilaian potensial vektor pada titik tunggal adalah tidak bermanfaat, sebab induksi magnet dapat diperoleh dengan diferensial. Prinsip penggunaan potensial vektor adalah pada elektrodinamika dan masalah-masalah yang meliputi radiasi elektromagnet. Contoh 1 Dengan menggunakan hukum Ampere, tentukan medan magnet yang dihasilkan oleh arus sepanjang silinder yang panjangnya tak tentu.
Penyelesaian Kita anggap arus I sepanjang silinder yang jari-jarinya jari-jarinya a (lihat gambar). Ini berarti garis-garis gaya dari medan magnet merupakan lingkaran-lingkaran dengan pusat sepanjang sumbuh silinder, dan medan magnet B pada setiap titik hanya tergantung pada jarak titik tersebut dari sumbu. Oleh karena itu jika kita pilih sebuah lingkaran dengan jari-jari r sepusat dengan arus sebagai lintasan L, maka perputaran magnetiknya adalah: AB=LBdl=BLdl=BL=B2πr Jika jari-jari r lebih besar daripada jari-jari arys, seluruh arus I lewat menembus lingkaran. Oleh karena itu dengan menggunakan persamaan (2) diperoleh: 2πrB=μ0I B=μ0I2πr (17) Persamaan (17) sama dengan medan magnet yang dihasilkan kawat berarus. Oleh karena itu pada titik-titik diluar silinder berarus, medan magnetnya adalah sama seperti jika seluruh arus dipusatkan sepanjang sumbu silinder. Jika r
2πrB=μ0I' =μ0Ir2a2 B=μ0Ir2πa2 (18) Persamaan (18), merupakan medan magnet pada titik di dalam silinder yang membawa arus rata melalui penampang lintang adalah sebanding dengan jarak dari titik tersebut terhadap sumbu dari silinder. Contoh 2 Dengan menggunakan hukum Ampere, tentikan medan magnet yang dihasilkan oleh kumparan toroida.
Penyelesaian Kumparan toroida terdiri atas kawat yang seragam (lihat gambar). Dalam masalah ini digunakan N sebagai jumlah lilitan, I adalah arus yang melalui masing-masing lilitan. Garis-garis Garis-garis gaya dari medan magnet adalah berupa lingkaran-lingkaran sepusat dengan (torus). Pertama-tama kita pandang lintasan L, maka perputaran megnetiknya: AB=B.dl=BL, Dimana L adalah lintasan-lintasan lintasan-lintasan yang dilingkupi lilitan-lilitan. lilitan-lilitan. Oleh karena itu arus total yang mengalir melalui toroida = NI. Dengan menggunakan hukum ampere dapat dihitung: B=μ0NIL
(19)
Jika jari-jari penampang lintang dan torus lebih kecil dibanding dengan jari jari lintasan maka boleh dianggap bahwa L adalah praktis sama dengan seluruh lintasan dalam. Bila n =N / L adalah jumlah lilitan persatuan panjang, maka da[pat disimpulkan bahwa medan magnet di dalam torus adalah serbasama dengan mempunyai harga konstan.
B=μ0nI
(20)
Untuk lintasan diluar torus, masing-masing L’ dan L’’, arus total yang melingkupi adalah 0, jadi B = 0. Dengan kata lain, medan magnet dari kumparan toroida dibatasi keseluruhan toroida bagian dalam.
1. FLUK FLUKS S MA MAGN GNET ET
Dalam bagian listrik telah diuraikan bahwa medan listrik adalah merupakan medan vektor. Disamping itu medan listrik dapat digambarkan dengan suatu garis medan listrik (garis gaya listrik). Seperti halnya pengertian tersebut, maka medan magnet juga merupakan suatu medan vektor yang dapat dinyatakan dengan garis medan. Misalnya, dA adalah vektor elemen luas permukaan S, B adalah vektor induksi magnet pada elemen luas tersebut, maka jumlah garis medan (garis gaya) atau fluks magnetik Φ yang keluar dari permukaan S adalah: Φ=SB.da (21) Integral pada persamaan (17) merupakan integral permukaan. Persamaan (17) dapat dinyatakan dalam bentuk: Φ=SB.nda (22) Atau Φ=SB da cosθ=SBn da (23) Dimana θ adalah sudut antara B dan n, Bn=Bcosθ merupakan komponen B pada arah normal. Sehubungan dengan uraian di atas maka induksi magnet B dapat diartikan sebagai banyaknya garis gaya tiap satuan luas, atau disebut rapat fluks (rapat garis gaya). Fluks magnet yang melalui permukaan tertutup adalah nol, gunakan teorema divergensi, sehingga SB.nda=S∇.Bdv=0 (24) Atau ∇.B=0 (25) Satuan fluks magnet adalah Weber (Wilhelm E. Weber adalah ahli fisika German yang hidup pada tahun 1804 -1891). Satuan Weber disingkat W dan 1 W menyatakan satu buah garis gaya. Berdasarkan persamaan persamaan (17) maka satuan induksi magnet adalah W / m2 (dalam sistem mks). W / m2 = 1 T, T = tesla (Tesla adalah neme lengkapnya Nicholas Tesla bangsa Yugoslavia kelahiran Amerika). T = kg det-1 C-1 Dalam sistem cgs satuan induksi magnet adalah gauss (G) dan satuan fluks magnetik adalah maxwell (M), jadi 1 gauss = 1 M cm -2.
