VARIACION DEL ESFUERZO EN UN PUNTO ( CALCULO ANALITICO) N
V
ESTADO INICIAL DE ESFUERZOS
ESFUERZOS QUE ACTUAN EN EL PRISMA TRIANGULAR
A
N A cos A sen
DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE DEL PRISMA TRIANGULAR
V DIAGRAMA DE FUERZAS (REDUCCION EN UN PUNTO)
Sustituyendo 3, 4 y 5 en 1, tenemos:
Sustituyendo 3, 4 y 5 en 2, tenemos:
La expresión para 6 por
puede obtenerse reemplazando el ángulo en la ecuación
que el eje y forma con el eje x
De acuerdo a expresiones para reducir ángulos tenemos:
Por lo tanto:
De las ecuaciones 6 y 8 se deduce que la suma de los esfuerzos normales que actúan sobre dos planos cualesquiera perpendiculares entre si es constante e igual a
La expresión para determinar el ecuación para eje x.
puede obtenerse reemplazando
(ecuación 7) por el ángulo
El signo signo nega negativ tivo o indica indica que que este este esfue esfuerzo rzo cort cortant ante e( al sentido del esfuerzo cortante
en la
que el eje y forma en el
) es de sent sentido ido cont contrar rario io
pero ambos debelan tener la misma
magnitud. Las ecuaciones 6, 7, 8 y 9 se conocen como ecuaciones de transformación para esfuerzo plano, por lo que sirven para transformar las componentes de
esfuerzo de un conjunto de ejes de referencia a otro de ejes auxiliares y son aplicables para esfuerzos en todo tipo de material. Derivando con respecto a tenemos:
y posteriormente igualando a cero la ecuación 6
Recordando que:
Entonces:
Por lo tanto:
Igualando a cero la derivada tenemos:
Derivando entre
, tenemos
Ecuación para determinar los planos en los que aparecen los esfuerzos normales máximo y mínimo (esfuerzos principales). Derivando con respecto a tenemos:
la ecuación 7 y posteriormente igualando a cero
Igualando a cero la derivada tenemos:
Permutando, tenemos:
Ecuación para determinar los planos en los que aparecen los esfuerzos cortantes máximo y mínimo. La ecuación 11 es reciproca y de signo contrario a la ecuación 10 lo que indica que los valore de definidas por ambas difieren en 90°, esto es, los planos de esfuerzo cortante máximo están inclinadas 45° respecto de los planos de los esfuerzos principales. Sustituyendo el valor de de la ecuación 10 en la ecuación 6ª se obtiene la ecuación para determinar la magnitud de los esfuerzos principales. Dividiendo ambos miembros de la ecuación 6 por el
Recordando que:
tenemos:
Ecuación para obtener la magnitud de los esfuerzos principales es decir los esfuerzos normales máximos y mínimo. Sustituyendo el valor de de la ecuación 11 en la ecuación 7A se obtiene la ecuación para determinar la magnitud de los esfuerzos cortantes máximo y mínimo Dividiendo ambos miembros de la ecuación 7 por el
, tenemos:
Multiplicando el numerador y el denominador por
tenemos:
Ecuación para la obtención de la magnitud de los esfuerzos cortantes máximo y mínimo. Si igualamos a cero la ecuación 2, significa
; entonces:
Se observa que los esfuerzos principales tienen ligar en los planos de
nulo.
CIRCULO DE MORH
σx
+
σy
/2
σx -σy
PUNTO X
(σx, τxy) = PUNTO A
PUNTO Y ( σy, τyx) = PUNTO B
/2
CIRCULO DE MOHR Las ecuaciones establecidas anteriormente se pueden utilizar en cualquier caso de un estado bidimensional de esfuerzos, sin embargo existe una interpretación grafica de estas ecuaciones debido al ingeniero alemán Otto Mohr (1882). Esta interpretación utiliza un círculo, por lo que se ha llamado circulo de Mohr. Realizando el dibujo a escala se pueden obtener los resultados gráficamente, aunque en general solo se suele utilizar como esquema, y los resultados se obtienen analíticamente.
y Eje x G
A
R
X
C
O
D
F
E
B H Eje y x(
) => A
y(
) => B
CIRCULO DE MOHR QUE CORRESPONDE A UN ESTADO GENERAL DE ESFUERZOS
REGLAS PARA LA APLICACIÓN DE CÍRCULO DE MOHR EN LOS ESFUERZOS COMBINADOS 1) Se deben trazar ejes ortogonales, en el de las abscisas se localizaran los esfuerzos normales y en el eje de las ordenadas se localizaran los esfuerzos cortantes. 2) Se sitúan los puntos que representan los esfuerzos normales y cortantes que actúan sobre las caras X y Y del elemento siendo X ( yY 3) Reglas de los signos a) Esfuerzos normales: (+) Positivos si están a tensión y (-) Negativos si están a compresión
(+)
(-)
PARA LA PARTICULA INFINITESIMAL
(+) Momento Positivo
(-) Momento Negativo
4) Se unen los puntos situados mediante una recta, el segmento de dicha recta comprendida entre dos puntos es el diámetro de una circunferencia cuyo centro es la intersección con el eje de los esfuerzos normales. 5) Para los diferentes planos que pasan por el punto en estudio, los componentes del esfuerzo normal y cortante, están representados por las coordenadas de un punto que se mueve a lo largo del de l círculo de Mohr. 6) El radio de la circunferencia, correspondiente a un punto dado de ella, representa el eje normal al plano cuyas componentes de esfuerzo vienen dadas por las coordenadas de ese punto del círculo. 7) El ángulo entre los radios de dos puntos del círculo de Mohr es el doble del ángulo entre las normales o los dos planos que representan estos dos puntos. 8) El sentido de rotación del ángulo es el mismo en la circunferencia que en la partícula en estudio.
