E.T.S. Minas: Minas: Métodos Matemáticos Matemáticos Ejercicios resueltos Tema 8 EDOs de orden superior Francisco Palacios Escuela Politécnica Superior de Ingeniería de Manresa Universidad Politécnica de Cataluña
Curso 2006/07 Noviembre 2006, Versión 1.1
Ejercicio 1 Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias 00
0
0. 1. 4y + y = 0. 2. y
00
0
− y − 6y = 0.
00
0
8y + 16y 16y = 0. 3. y + 8y 12yy 4. 12
00
− 5y − 2y = 0. 0
9y = 0. 5. y + 9y 00
6. y
00
− 4y
0
+ 5y 5y = 0.
2y + y = 0. 7. 3y + 2y 00
0
(1.1) 00
0
4y + y = 0. Ecuación característica 4m2 + m = 0, m (4m (4m + 1) = 0, raíces m = 0, 0,
m = −1/4,
soluciones y1 y2
= e0x = 1, = e− x . 1 4
Solución general y = c1 + c2 e−
1 4
x
,
c1 , c2
(1.2) y Ecuación característica
00
0
− y − 6y = 0.
m2 − m − 6 = 0, 0, 1
∈ R.
2
Ejercicios resueltos: resueltos: EDO’s de orden superior
m=
1±
(
√
1 + 24 1±5 = = 2 2
−
6 2 4 2
= 3, = −2.
Sistema fundamental de soluciones y1 y2 Solución general
= e3x , = e−2x .
y = c1 e3x + c2 e−2x ,
c1 , c2
∈ R.
(1.3) 00
0
8y + 16y 16y = 0. y + 8y Ecuación característica
m2 + 8m 8m + 16 = 0, 0,
−8 ± m=
√
64 − 64 8 = − = −4 2 2 Sistema fundamental de soluciones = e−4x , = xe−4x .
y1 y2 Solución general
(doble) doble) .
y = c1 e−4x + c2 xe−4x ,
c1 , c2
∈ R.
(1.4) 12 12yy Ecuación característica
00
0
− 5y − 2y = 0.
12 12m m2 − 5m − 2 = 0, 0, 5±
√
√
25 + 4 · 2 · 12 5 ± 25 + 96 = 24 √ 24 16 2 5 ± 121 5 ± 11 24 = 3 , = = 24 24 − 246 = −1/4.
m =
(
=
Sistema fundamental de soluciones 2 3
= e x, = e− x .
y1
1 4
y2 Solución general y = c1 e
2 3
x
+ c2 e−
1 4
x
,
(1.5) 00
y + 9y 9y = 0. Ecuación característica
m2 + 9 = 0, 0, m2 = −9,
c1 , c2
∈ R.
2
Ejercicios resueltos: resueltos: EDO’s de orden superior
m=
1±
(
√
1 + 24 1±5 = = 2 2
−
6 2 4 2
= 3, = −2.
Sistema fundamental de soluciones y1 y2 Solución general
= e3x , = e−2x .
y = c1 e3x + c2 e−2x ,
c1 , c2
∈ R.
(1.3) 00
0
8y + 16y 16y = 0. y + 8y Ecuación característica
m2 + 8m 8m + 16 = 0, 0,
−8 ± m=
√
64 − 64 8 = − = −4 2 2 Sistema fundamental de soluciones = e−4x , = xe−4x .
y1 y2 Solución general
(doble) doble) .
y = c1 e−4x + c2 xe−4x ,
c1 , c2
∈ R.
(1.4) 12 12yy Ecuación característica
00
0
− 5y − 2y = 0.
12 12m m2 − 5m − 2 = 0, 0, 5±
√
√
25 + 4 · 2 · 12 5 ± 25 + 96 = 24 √ 24 16 2 5 ± 121 5 ± 11 24 = 3 , = = 24 24 − 246 = −1/4.
m =
(
=
Sistema fundamental de soluciones 2 3
= e x, = e− x .
y1
1 4
y2 Solución general y = c1 e
2 3
x
+ c2 e−
1 4
x
,
(1.5) 00
y + 9y 9y = 0. Ecuación característica
m2 + 9 = 0, 0, m2 = −9,
c1 , c2
∈ R.
3
Ejercicios resueltos: resueltos: EDO’s de orden superior
√ −9 = ±3i.
m=±
Tenemos dos raíces complejas conjugadas (simples) z = α ± β i, i, con α = 0 y β = 3. Las soluciones son del tipo y1 y2 Solución general y=e
x
α
= e = e
x
cos β x, x, x sin β x. x.
α
α
(c1 cos β x + c2 sin β x) ,
y = c1 cos3x cos3x + c2 sin3x, sin3x,
c1 , c2
∈ R.
(1.6) y Ecuación característica
00
− 4y
0
+ 5y 5y = 0.
m2 − 4m + 5 = 0, 0,
m = =
4±
√
√ −4
16 − 20 4± = 2 2 4 ± 2i = 2 ± i. 2
Sistema fundamental de soluciones = e2x cos x, = e2x sin x.
y1 y2 Solución general
y = e2x (c1 cos x + c2 sin x) ,
c1 , c2
∈ R.
(1.7) 00
0
3y + 2y 2y + y = 0. Ecuación característica
3m2 + 2m 2m + 1 = 0, 0,
m = =
√ 2 ± −8 − = 6√ √ 6 −2 ± 2 2i = − 1 ± 2 i. 6 3 3 −2 ±
√
4 − 12
Sistema fundamental de soluciones x
y1 = e− cos 3
x
y2 = e− sin 3
à √ ! à √ !
2 x , 3
2 x . 3
4
Ejercicios resueltos: EDO’s de orden superior
Solución general y = e−
x
3
" Ã √ !
2 x + c2 sin 3
c1 cos
à √ !# 2 x 3
,
c1 , c2
∈ R.
¤
Ejercicio 2 Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias 1. y
000
2. y
000
3.
0
= 0.
00
0
+ 9y = 0.
d3 u d2u + 2 dt3 dt
4. y
000
6. 16
− 2u = 0.
+ 3y + 3y + y = 0.
5. y(4) + y
7.
00
− 4y − 5y − 5y + 3y 00
0
000
+ y = 0. 00
d4 y d4 y + 24 + 9y = 0. dx4 dx4
d5 u d4 u + 5 dr5 dr4
3
2
− 2 ddru3 − 10 ddru2 + du + 5u = 0. dr
(2.1) y Ecuación característica
000
− 4y
00
0
+ 5y = 0.
m3 − 4m2 − 5m = 0,
¡
¢
m m2 − 4m − 5 = 0, m = 0,
m=
4±
m2 − 4m − 5 = 0,
m2 − 4m − 5 = 0,
√
√
16 + 20 4 ± 36 4±6 = = = 2 2 2
(
10 2 = 5, 2 = 1. 2
−
Raíces m = 0,
m = 5,
m = −1.
Sistema fundamental de soluciones y1
= e0x = 1,
y2 y3
= e5x , = e−x .
Solución general y = c1 + c2 e5x + c3 e−x ,
c1, c2, c3
(2.2) y
000
− 5y
00
0
+ 3y + 9y = 0.
∈ R.
−
5
Ejercicios resueltos: EDO’s de orden superior
Ecuación característica m3 − 5m2 + 3m + 9 = 0. Intentamos con los divisores del término independiente ±1, ±3, ±9. Para m = −1, obtenemos (−1)3 − 5(−1)2 + 3(−1) + 9 = −1 − 5 − 3 + 9 = 0. Descomponemos usando la regla de Ruffini 1
−1)
1
−5 −1 −6
3 6 9
9 −9 0
¡
¢
m3 − 5m2 + 3m + 9 = (m + 1) m2 − 6m + 9 . Resolvemos
m2 − 6m + 9 = 0,
√
36 − 36 6 = =3 2 2 Sistema fundamental de soluciones m=
6±
y1 y2 y3
(doble) .
= e−x , = e3x , = xe3x .
Solución general y = c1 e−x + c2 e3x + c3 xe3x , (2.3)
c1, c2, c3
∈ R.
d3 u d2 u + 2 − 2u = 0, dt2 dt u + u − 2u = 0. 000
Ecuación característica
00
m3 + m2 − 2 = 0.
Observamos que m = 1 es solución. Descomponemos usando la regla de Ru ffini 1 1) 1
1 1 2
0 2 2
¡
−2 2 0
¢
m3 + m2 − 2 = (m − 1) m2 + 2m + 2 . Resolvemos
m2 + 2m + 2 = 0,
6
Ejercicios resueltos: EDO’s de orden superior
−2 ± m=
√
4−8
√ 2 ± −4 − −2 ± 2i = −1 ± i. = =
2 Raíces de la ecuación característica
2
m = 1,
2
m = −1 ± i.
Sistema fundamental de soluciones y1 y2 y3
= et , = e−t cos t, = e−t sin t.
Solución general y = c1et + e−t (c2 cos t + c3 sin t) ,
c1 , c2 , c3
∈ R.
(2.4) 000
00
0
y + 3y + 3y + y = 0. Ecuación característica m3 + 3m2 + 3m + 1 = 0, (m + 1)3 = 0. Raíces m = −1,
(triple).
Sistema fundamental de soluciones y1
= e−x ,
y2 y3
= xe−x , = x2 e−x .
Solución general y = c1e−x + c2 xe−x + c3 x2 e−x, (2.5)
c1 , c2 , c3
y (4) + y + y = 0. 000
Ecuación característica
00
m4 + m3 + m2 = 0,
¡
¢
m2 m2 + m + 1 = 0. Resolvemos
m2 + m + 1 = 0, m = =
√ 1 ± −3 − = 2 √ √ 2 −1 ± 3 i = − 1 ± 3 i. 2 2 2 −1 ±
√
1−4
∈ R.
7
Ejercicios resueltos: EDO’s de orden superior
Raíces de la ecuación característica m =
0
(doble) ,
√
1 3 m = − ± i 2 2
(complejas conjugadas, simples) .
Sistema fundamental de soluciones = e0 = 1, = xe0 = x,
y1 y2 y3
= e−
y4
= e−
1 2
x
cos
1 2
x
sin
à √ ! à √ !
3 x , 2
3 x . 2
Solución general y = c1 + c2 x + e −
1 2
x
à à √ !
(2.6)
3 x 2
c3 cos
+ c4 sin
à √ !! 3 x 2
,
c1, c2, c3 , c4
d4 y d2 y 16 4 + 24 2 + 9y = 0, dx dx 16y(4) + 24y (2) + 9y = 0.
Ecuación característica
16m4 + 24m2 + 9 = 0.
Se trata de una ecuación bicuadrada, realizamos el cambio t = m2 16t2 + 24t + 9 = 0,
t = =
√
√
242 − 4 · 16 · 9 −24 ± 576 − 576 = 32 32 −24 = − 8 · 3 = − 3 (doble). 32 8·4 4
−24 ±
3 m2 = − , 4
r −
m=± m=±
√
3 , 4
3 i (dobles). 2
Sistema fundamental de soluciones y1
= cos
à √ !
3 x , 2
∈ R.
8
Ejercicios resueltos: EDO’s de orden superior
à √ ! à √ ! à √ !
y2
= x cos
y3
= sin
y4
= x sin
3 x , 2
3 x , 2
3 x . 2
Solución general y = c1 cos
à √ !
3 x + c2x cos 2
à √ !
à √ !
3 x + c3 sin 2
(2.7)
d5 u 5d4 u + dr5 dr4 Ecuación característica
3
3 x + c4 sin 2
à √ !
3 x , cj 2
2
+ 5u = 0. − 2 ddru3 − 10 ddru2 + du dr
m5 + 5m4 − 2m3 − 10m2 + m + 5 = 0. Descomponemos usando la regla de Ruffini 1
5 1 6 1 7 −1 6 −1 5
1) 1 1) 1
−1)
1
−1)
1
−2 −10 6 4 7 11 −6 5 −5 0
4 −6 11 5 −5 0
1
−6 −5
5 5 0
5 0
Raíces m =1
(doble) ,
m = −1
(doble) ,
Sistema fundamental de soluciones y1 y2 y3
= er , = rer , = e−r ,
y4 y5
= re−r , = e−5r .
m = −5.
Solución general y = c1 er + c2 re r + c3 e−r + c4re −r + c5 e−5r , Ejercicio 3 Resuelve el problema de valor inicial
⎧⎨ y + 16y = 0, = 2, ⎩ y(0) y (0) = −2. 00
0
cj
∈ R.
¤
∈ R.
9
Ejercicios resueltos: EDO’s de orden superior
Se trata de una EDO lineal homogénea con coe ficientes constantes. Ecuación característica m2 + 16 = 0, m2 = m =
− √ 16, −16 = ±4i.
Solución general y = c1 cos4x + c2 sin4x. Imponemos las condiciones iniciales 0
y = −4c1 sin4x + 4c2 cos4x, de y(0) = 2, obtenemos c1 cos 0 + c2 sin 0 = 2, c1 = 2. De la condición 0
y (0) = −2, obtenemos
−4c1 sin 0 + 4c2 cos 0 = −2, 4c2 = −2, c2 = −1/2. Solución del problema de valor inicial y = 2cos4x −
1 sin4x. 2
¤
Ejercicio 4 Resuelve el problema de valor inicial 2
⎧⎪ d y dy ⎨ dx −4 dx − 5y = 0, ⎪⎩ y(1) = 0, y (1) = 2. 2
0
EDO lineal homogénea con coeficientes constantes. Ecuación característica m2 − 4m − 5 = 0, m=
4±
√
√
16 + 20 4 ± 36 4±6 = = = 2 2 2
(
10 2 = 5, 2 2 = 1.
−
−
10
Ejercicios resueltos: EDO’s de orden superior
Solución general
y = c1 e5t + c2 e−t .
Imponemos las condiciones iniciales y = 5c1 e5t − c2 e−t , 0
de y(1) = 0, obtenemos
c1 e5 + c2 e−1 = 0.
De 0
y (1) = 2, resulta
5c1 e5 − c2 e−1 = 2.
Tenemos el sistema
½
c1 e5 + c2 e−1 = 0, 5c1e5 − c2e−1 = 2.
Sumamos las ecuaciones y resulta
6c1 e5 = 2, c1 = Sustituimos en
2 1 = 5. 5 6e 3e
c1 e5 + c2 e−1 = 0
y obtenemos
1 5 e + c2 e−1 = 0, 5 3e 1 c2 e−1 = − , 3 1 c2 = − e. 3 Solución del problema de valor inicial y=
1 5t 1 e − e · e−t . 3e5 3
Podemos reescribir la solución en la forma y
=
y
=
1 5t−5 1 −t+1 e − 3e , 3 1 5(t−1) 1 −(t−1) e . − 3e 3
Ejercicio 5 Resuelve el problema de valor inicial
½
00
0
y + y + 2y = 0, y(0) = y (0) = 0. 00
¤
11
Ejercicios resueltos: EDO’s de orden superior
EDO lineal homogénea con coeficientes constantes. Ecuación característica m2 + m + 2 = 0,
−1 ± m=
√ 2
1−8
√ √ 1 ± −7 1 7 − = =− ± i. 2
2
2
Solución general y = e−
x
2
" Ã √ ! 7 x 2
c1 cos
+ c2 sin
à √ !# 7 x 2
.
De y(0) = 0, obtenemos
e0 (c1 cos 0 + c2 sin 0) = 0 c1 = 0.
Como c1 = 0, sabemos que la solución es de la forma x
y = e− c2 sin 2
à √ !
7 x . 2
Calculamos 1 y = − e−x/2 c2 sin 2 0
à √ ! 7 x 2
√
7 + e−x/2c2 cos 2
à √ !
7 x , 2
de la condición 0
y (0) = 0, obtenemos
√
− 12 e0c2 sin 0 + e0c2 27 cos 0 = 0, c2 = 0.
La solución es y(x) = 0. Este resultado puede deducirse sin realizar ningún cálculo, ya que y = 0 es solución ( y es única). ¤ Ejercicio 6 Resuelve el problema de valor inicial
⎧⎪ y + 12y + 36y ⎨ y(0) = 0, ⎪⎩ y (0) = 1, y (0) = −7. 000
0
00
00
0
= 0,
Ejercicios resueltos: EDO’s de orden superior
EDO lineal homogénea con coeficientes constantes. Ecuación característica m3 + 12m2 + 36m = 0,
¡
¢
m m2 + 12m + 36 = 0, m2 + 12m + 36 = (m + 6)2 . Raíces de la ecuación característica m = 0,
m = −6
(doble).
Solución general y = c1 + c2e−6x + c3xe−6x . Imponemos las condiciones iniciales. De y(0) = 0, obtenemos
c1 + c2 e0 + c3 · 0 · e0 = 0, c1 + c2 = 0.
Calculamos 0
y = −6c2 e−6x + c3e−6x − 6c3 xe−6x . De la condición 0
y (0) = 1, resulta
−6c2 + c3 = 1. Calculamos y
00
= 36c2 e−6x − 6c3 e−6x − 6c3 e−6x + 36c3 xe−6x = 36c2 e−6x − 12c3 e−6x + 36c3 xe−6x .
De la condición 00
y (0) = −7, resulta 36c2 − 12c3 = −7. Tenemos el sistema
⎧⎨ c + c = 0, + c = 1, ⎩ 36c−6c− 12c = −7. 1
2
2
3
2
3
Multiplicamos la 2a ecuación por 6 y la sumamos a la 3a
⎧⎨ c + c = 0, ⎩ −−6c6c+=c −=1,1, 1
2
2
3
3
resulta
1 c3 = . 6
12
13
Ejercicios resueltos: EDO’s de orden superior
Sustituimos en la 2a
−6c2 + 16 = 1, −6c2 = 1 − 16 = 56 , −5 . c = 2
Sustituimos en la
36
1a c1 = −c2 =
5 . 36
Solución del problema de valor inicial y=
5 36
− 365 e−6x + 16 xe−6x.
¤
Ejercicio 7 Resuelve el problema de condiciones de contorno
⎧⎨ y − 10y + 25y = 0, = 1, ⎩ y(0) y(1) = 0. 00
0
EDO lineal homogénea con coeficientes constantes. Ecuación característica m2 − 10m + 25 = 0, m=
10 ±
Solución general
√
100 − 100 =5 2
(doble) .
y = c1 e5x + c2 xe5x .
Imponemos las condiciones de contorno
½ y obtenemos el sistema
½
y(0) = 1, y(1) = 0.
c1 = 1, c1 e5 + c2 e5 = 0,
½
c1 = 1, c1 + c2 = 0,
c1 = 1,
c2 = −1.
Solución y
= e5x − xe5x . = e5x (1 − x) .
¤
Ejercicio 8 Resuelve el problema de condiciones de contorno
⎧⎨ y + y = 0, = 0, ⎩ yy (0) ( ) = 2. 00 0 0
π
2
14
Ejercicios resueltos: EDO’s de orden superior
Ecuación característica
m2 + 1 = 0,
raíces
m2 = −1,
√ −1 = ±i.
m=± Solución general
Calculamos y
y
= e0x (c1 cos x + c2 sin x) ,
y
= c1 cos x + c2 sin x.
0 0
y = −c1 sin x + c2 cos x e imponemos las condiciones de contorno
½ Obtenemos
½−
y (0) = 0, y ( 2 ) = 2. 0 0
π
c1 · 0 + c2 · 1 = 0, −c1 · 1 + c2 · 0 = 2,
½ ½−
c2 = 0, c1 = 2, c1 = −2, c2 = 0.
La solución es y = −2cos x.
¤
Ejercicio 9 Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales 1. y + y = sec x. 00
2. y + y = cos2 x. 00
3. y
00
− y = cosh x.
4. y + 3y + 2y = 00
0
1 . 1 + ex
5. y + 3y + 2y = sin (ex ) . 00
0
6. y + 2y + y = e−t ln t. 00
7. 3y
0
00
− 6y
0
+ 6y = ex sec x.
15
Ejercicios resueltos: EDO’s de orden superior
(9.1) 00
y + y = sec x. Homogénea asociada 00
y + y = 0, ecuación característica
m2 + 1 = 0, m2 = −1, √ m = ± −1 = ±i.
Sistema fundamental de soluciones y1
= cos x,
y2
= sin x.
Solución de la EDO homogénea yh = c1 cos x + c2 sin x. Solución particular y p = u1 y1 + u2 y2 , que verifica
½
y1 u1 + y2 u2 = 0, y1 u1 + y2 u2 = f (x) = sec x. 0
0
0
0
0
0
u1 = W =
W 1 =
¯¯
¯¯
y1 y1 0
y2 y2 0
0 y2 f (x) y2 0
W 2 = Determinamos u1 (x)
¯¯ ¯¯
¯¯
=
=
y1 y1
¯¯
0
0
W 1 , W
0
u2 =
¯¯ −
cos x sin x sin x cos x
0 sin x sec x cos x
0 f (x)
0
¯¯
¯¯
¯¯ ¯−
=
W 2 . W
¯¯ ¯¯ ¯
= cos2 x + sin2 x = 1.
cos x
=
sin x
u1 = Determinamos u2 (x)
0 1 cos x
W 1 sin x =− , W cos x − sin x dx = ln |cos x| . cos x
u1 =
Z
0 1 cos x
0
u2 = u2 =
W 2 = 1, W
Z
dx = x.
¯¯ ¯ ¯¯ ¯
sin x
cos x
= 1.
=−
sin x . cos x
16
Ejercicios resueltos: EDO’s de orden superior
Solución particular de la EDO completa y p = cos x ln |cos x| + x sin x. Solución general de la EDO completa y = c1 cos x + c2 sin x + cos x ln |cos x| + x sin x, (9.2)
c1, c2
∈ R.
y + y = cos2 x. 00
EDO lineal completa con coe ficientes constantes. Homogénea asociada 00
y + y = 0, ecuación característica
m2 + 1 = 0, m2 = −1, √ m = ± −1 = ±i.
Sistema fundamental de soluciones y1 y2
= cos x, = sin x.
Solución general de la EDO homogénea asociada yh = c1 cos x + c2 sin x,
c1 , c2
∈ R.
Solución particular de la EDO completa y p = u1y1 + u2 y2 que verifica
½
Wronskiano W =
¯¯
W 1 =
y1 y1
y2 y2
0
0
¯¯ ¯¯
=
0 y2 f (x) y2
W 2 = determinamos u1
¯¯
0
y1 y1
u1 =
0
0
y1 u1 + y2 u2 = 0, y1 u1 + y2 u2 = cos2 x. 0
0
0
0
0
0
¯¯ − ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ −
cos x sin x sin x cos x
=
0 f (x)
W 1 = W
¯¯
= cos2 x + sin2 x = 1,
0 sin x 2 cos x cos x
¯¯ − ¯¯ =
cos x 0 sin x cos2 x
=
sin x cos2 x, = cos3 x,
− sin x cos2 x = − sin x cos2 x, 1
17
Ejercicios resueltos: EDO’s de orden superior
u1
= =
Z −
2
sin x cos x dx =
1 cos3 x. 3
Determinamos u2
Z
cos2 x(− sin x) dx
u2 = cos3 x, 0
u2
Z Z Z ¡ − ¢ Z − Z cos3 x dx =
= =
sin2 x cos x dx
1
=
cos2 x cos x dx
sin2 x cos x dx
cos x dx
= sin x −
1 3 sin x. 3
Solución particular de la EDO completa y p
= =
µ
¶
µ
¶
1 1 cos3 x cos x + sin x − sin3 x sin x 3 3 1 1 cos4 x + sin2 x − sin4 x. 3 3
Solución general de la EDO completa y = yh + y p = c1 cos x + c2 sin x +
1 1 cos4 x + sin2 x − sin4 x, 3 3
c1, c2
Podemos simplificar 1 1 1 cos4 x + sin2 x − sin4 x = cos4 x − sin4 x + sin2 x 3 3 3
£
=
= = =
⎡ 1⎢ ⎣ cos 3
¤
⎤ ⎥ x ⎦ + sin
¡| {z ¢¡}| −{z ¢} 2
x + sin2 x cos2 x =1
sin2
cos2x
2
x
1 cos2x + sin2 x 3 1 1 − cos2x 1 1 1 cos2x + = + cos2x − cos2x 3 2 2 3 2 1 1 − cos2x. 2 6
Finalmente y = c1 cos x + c2 sin x +
1 2
− 16 cos2x,
(9.3) y
00
− y = cosh x.
c1 , c2
∈ R.
∈ R.
18
Ejercicios resueltos: EDO’s de orden superior
EDO lineal completa con coe ficientes constantes. Homogénea asociada y ecuación característica
00
− y = 0,
m2 − 1 = 0,
raíces
m = ±1, sistema fundamental de soluciones = ex , = e−x .
y1 y2 Solución de la EDO homogénea
yh = c1 ex + c2 e−x,
c1 , c2
∈ R.
Solución particular de la EDO completa y p = u1y1 + u2 y2 con
⎧⎨ y u ⎩yu
0
1 1 0
1
+ y2 u2 = 0, 0
0
0
ex + e−x . 2 W 2 u2 = . W
0
1 + y2 u2 = cosh x = 0
u1 =
W 1 , W
0
Wronskiano W = = Calculamos W 1
= =
¯¯ − − ¯¯
¯¯
¯¯
y1 y2 ex = y1 y2 ex 1 1 = −2. 0
0
0 y2 f (x) y2 0
x −x e
−e
¯¯
=
¯¯
¯¯
e−x −e−x
0 cosh x
= −ex e−x − ex e−x
e−x −e−x
+ e−x 1 + e−2x =− . 2 2
¯¯
= −e−x cosh x
Determinamos u1
³− ´ − ¢ ¯¯ ¯¯ 1+e2 2
x
W 1 u1 = = W 0
u1 = Calculamos W 2
=
1 4
Z ¡ ¯¯
1 + e−2x dx =
y1 y1 0
2
=
0 f (x)
=
= ex cosh x = ex
ex ex
1 + e−2x , 4
1 1 x − e−2x . 4 8 0 cosh x
¯¯
ex + e−x e2x + 1 = , 2 2
19
Ejercicios resueltos: EDO’s de orden superior
determinamos u2
³ ´ ¡ ¢ − − Z µ− ¶ ¡ ¢ − µ ¶ e2 +1 2 x
W 2 u2 = = W 0
u2
= =
2
1 4
1 2x e +1 , 4
=
e2x + 1 dx =
1 4
1 2x e +x 2
− 18 e2x − 14 x.
Solución particular de la EDO completa y p
= =
µ
¶ µ
1 1 1 x x − e−2x ex + − e2x − 4 8 8 4 1 x 1 −x 1 x x −x xe − e − e − e . 4 8 8 4
¶
e−x
Solución general de la EDO completa y = c1ex + c2e−x +
1 x ex − e−x 4
¡
Como
1 x e + e−x , 8
¢− ¡
¢
c1 , c2
∈ R.
ex − e−x ex + e−x , cosh x = , 2 2 la solución puede reescribirse en la forma sinh x =
1 1 y = c1 ex + c2 e−x + x sinh x − cosh x. 2 4 (9.4)
1 . 1 + ex EDO lineal completa con coe ficientes constantes. Homogénea asociada 00
0
y + 3y + 2y =
00
0
y + 3y + 2y = 0, ecuación característica raíces
m2 + 3m + 2 = 0,
⎧⎨ −3 ± 9 − 8 = −3 ± 1 = m= ⎩ 2 2 √
−3+1 2
= −1,
−3−1 2
= −2.
Sistema fundamental de soluciones y1
= e−x ,
y2
= e−2x .
Solución general de la EDO homogénea yh = c1 e−x + c2e−2x ,
c1, c2
∈ R.
20
Ejercicios resueltos: EDO’s de orden superior
Solución particular de la EDO completa y p = u1 y1 + u2 y2 , que verifica
(
y1u1 + y2 u2 = 0, 0
0
y1u1 + y2 u2 = f (x) = 0
0
0
0
1 . 1 + ex
Wronskiano W =
¯¯
y1 y1
¯¯
y2 y2
0
0
=
¯¯ −
e−x e−x
e−2x −2e−2x
¯¯
= e−x (−2)e−2x + e−x e−2x = −2e3x + e−3x = −e−3x . También puede calcularse como sigue W = =
¯¯ −
e−x e−x
−e−3x.
¯¯
e−2x −2e−2x
= e−x e−2x
¯¯ −
1 1
¯¯
1 −2
= e−3x (−2 + 1)
Calculamos W 1
= =
¯¯
¯¯
0 y2 f (x) y2 0
e−2x
−
,
1 + ex
=
¯¯
0 1 1+e
x
¯¯
e−2x −2e−2x
determinamos u1 W 1 u1 = = W 0
³ − Z ¯¯
−e−2 1+e
W 2
= =
x
2
´
e−2x ex = = , (1 + ex ) e−3x 1 + ex
ex dx = ln (1 + ex ) . 1 + ex
u1 = Calculamos
x
y1 y1 0
¯¯
0 f (x)
e−x , ex + 1
=
¯¯ −
e−x e−x
0 1 1+e
x
determinamos u2
³ ´ e−
x
e +1 W 2 −1 = = = −2x x −3x W e (e + 1) −e e2x = − x . e +1 x
0
u2
u2 =
Z −
e2x dx. ex + 1
¯¯
21
Ejercicios resueltos: EDO’s de orden superior
Realizamos el cambio de variable ex = t dt = ex dx dx = 1t dt
⎫⎬ ⎭⇒−
Z
e2x dx = − ex + 1
Z
t2 1 · dt t+1 t
Z Z − − µ ¶ Z − −
t dt t+1−1 = dt t+1 t+1 1 = 1 dt = −t + ln(t + 1) t+1 = −ex + ln (ex + 1) . =
Solución particular de la EDO completa y p
= e−x ln (1 + ex ) + e−2x (−ex + ln (ex + 1)) = e−x ln (1 + ex ) − e−x + e−2x ln (ex + 1) = −e−x + e−x + e−2x ln (ex + 1) .
¡
¢
Solución general de la EDO completa
¡
¢
y = c1 e−x + c2 e−2x − e−x + e−x + e−2x ln (ex + 1) , Podemos reescribir la solución en la forma y
c1 , c2
¡ ¢ ¡ ¢
= e−x (c1 − 1) + c2 e−2x + ex + e−2x ln (ex + 1) = c1 e−x + c2 e−2x + e−x + e−2x ln (ex + 1) . 0
0
c1 = (c1 − 1) . (9.5)
y + 3y + 2y = sin (ex ) . 00
0
EDO lineal completa con coe ficientes constantes. EDO homogénea asociada 00
0
y + 3y + 2y = 0, ecuación característica raíces
m2 + 3m + 2 = 0,
⎧⎨ −3 ± 9 − 8 = −3 ± 1 = m= ⎩ 2 2 √
−3+1 2
= −1,
−3−1 2
=
−4 2
Sistema fundamental de soluciones y1
= e−x ,
y2
= e−2x .
Solución general de la EDO homogénea yh = c1 e−x + c2e−2x ,
c1, c2
∈ R.
= −2.
∈ R.
22
Ejercicios resueltos: EDO’s de orden superior
Solución particular de la EDO completa y p = u1 y1 + u2 y2 , que verifica
½
0
0
y1 u1 + y2 u2 = 0, y1 u1 + y2 u2 = f (x) = sin(ex ) . 0
0
0
0
Wronskiano
¯¯
W =
y1 y1
¯¯
y2 y2
0
0
=
¯¯ −
e−2x −2e−2x
e−2x −2e−2x
¯¯
e−x e−x
−2e3x + e−3x = −e−3x.
=
¯¯
Calculamos W 1 =
¯¯
¯¯
0 y2 f (x) y2 0
determinamos u1 0
u1
=
¯¯
0 sin ex
= −e−2x sin(ex ) ,
W 1 −e−2x sin(ex) = sin(ex) = W e−x −e−3x x x = sin (e ) · e , =
Z
sin(ex ) ex dx.
u1 = Con el cambio
½
t = ex , dt = ex dx,
resulta u1
=
u1
=
Z
sin t dt = − cos t,
− cos(ex) .
Calculamos W 2 = determinamos u2
¯¯
y1 y1 0
0
u2 0
u2 u2 Con el cambio
0 f (x)
¯¯
=
¯¯ −
e−x e−x
0 sin(ex)
W 2 e−x sin(ex ) = W −e−3x = = −e2x sin(ex) , =
=
Z − ½
e2x sin(ex ) dx. t = ex , dt = ex dx,
¯¯
= e−x sin(ex ) ,
− sin(ex) , e−2x
23
Ejercicios resueltos: EDO’s de orden superior
resulta
Z −
t sin t dt =
µ − −
u2
=
t cos t +
u2
= − (−t cos t + sin t) , = t cos t − sin t,
Z ¶
cos t dt ,
deshacemos el cambio u2 = ex cos(ex ) − sin(ex) . La solución particular de la EDO completa es y p
= = =
− (cos ex) e−x + (ex cos(ex) − sin(ex)) e−2x −e−x cos(ex ) + e−x cos(ex) − e−2x sin(ex) −e−2x sin(ex) .
Solución general de la EDO completa y = c1 e−x + c2 e−2x − e−2x sin(ex) ,
c1 , c2
∈ R.
(9.6) 00
0
y + 2y + y = e−t ln t. EDO lineal completa con coeficientes constantes. La EDO homogénea asociada es y + 2y + y = 0, 00
ecuación característica raíces
0
m2 + 2m + 1 = 0,
−2 ± m=
√
2 Sistema fundamental de soluciones
4−4
y1 y2
= −1
(doble) .
= e−t , = t e−t .
Solución general de la EDO homogénea asociada yh = c1e−t + c2 te−2t . c1, c2
∈ R.
Solución particular de la EDO completa y p = u1 y1 + u2 y2 , que verifica
Wronskiano
½ W =
y1 u1 + y2 u2 = 0, y1 u1 + y2 u2 = f (t) = e−t ln t. 0
0
¯¯
0
y1 y1 0
0
0
y2 y2 0
0
¯¯
=
¯¯ −
e−t e−t
te−t −t e − te−t
= e−t (e−t − te−t ) + te−2t = e−2t − te−2t + te−2t = e−2t .
¯¯
24
Ejercicios resueltos: EDO’s de orden superior
Calculamos W 1
¯¯ ¯¯ ¡ ¢¡ − 0 y2 f (t) y2
=
0
=
e−t ln t
Determinamos u1 0
u1 u1
te−t = −e−2t t ln t.
e−2t
Z − µ −
=
0 te−t −t e ln t (1 − t)e−t
µ Z − − Z ¶ − t2 ln t 2
( t ln t) dt = t2 1 ln t − 2 2
=
¯¯
−e−2t t ln t = −t ln t,
W 1 = W
=
=
¯¯ ¢
t dt
=
¶
1 2 1 t · dt 2 t t2 1 ln t + t2 . 2 4
Calculamos W 2
¯¯
=
y1 y1
0 f (t)
0
= e−2t ln t.
¯¯
¯¯ −
e−t e−t
=
0 −t e ln t
¯¯
Determinamos u2 0
u2
W 2 e−2t ln t = = ln t, W e−2t
=
u2
Z
=
ln t dt = t ln t
Z −
= t ln t
Z −
t·
1 dt t
dt
= t ln t − t.
Solución particular de la EDO completa y p
= e−t = e
−t
= e
−t
µ− µ− µ
¶
t2 1 ln t + t2 + te−t (t ln t − t) 2 4 2 t 1 ln t + t2 + t2 ln t − t2 2 4 2 t 3 ln t − t2 . 2 4
¶
¶
Solución general de la EDO completa y = c1 e
−t
−t
+ c2 te
+e
00
− 6y
−t
(9.7) 3y
0
µ
¶
t2 3 ln t − t2 , 2 4
c1, c2
∈ R.
+ 6y = ex sec x.
EDO lineal completa con coe ficientes constantes, la forma estándar es y
00
− 2y
0
+ 2y =
1 x e sec x. 3
25
Ejercicios resueltos: EDO’s de orden superior
Ecuación homogénea asociada y ecuación característica
00
− 2y
0
+ 2y = 0,
m2 − 2m + 2 = 0,
raíces 2±
√
√ −4 = 2 ± 2i ,
4−8 2± m = = 2 2 m = 1 ± i.
2
Tenemos un par de raíces complejas conjugadas, el sistema fundamental de soluciones es y1
= ex cos x,
y2
= ex sin x.
Solución general de la EDO homogénea y = c1 ex cos x + c2 ex sin x,
c1 , c2
∈ R.
Solución particular de la EDO completa y p = u1 y1 + u2 y2 , que verifica
½
Wronskiano W =
¯¯ ¡¡ ¡ ¯¯ y1 y1 0
y1 u1 + y2 u2 = 0, y1 u1 + y2 u2 = f (x) = 13 ex sec x. 0
0
y2 y2 0
0
0
¯¯
=
0
¯¯
0
¯¯ ¢ − ¢
ex cos x ex sin x x x x e cos x − e sin x e sin x + ex cos x
¢− ¡
= e2x cos x sin x + cos2 x
e2x cos x sin x
sin2 x
= e2x cos x sin x + cos2 x − cos x sin x + sin2 x
¢ ¯¯ ¯¯
= e2x sin2 x + cos2 x = e2x . Calculamos W 1
0 ex sin x 0 y2 = = 1 x f (x) y2 e sec x ex (sin x + cos x) 3 1 1 1 = − e2x sin x · sec x = − e2x sin x 3 3 cos x 1 2x sin x = − e , 3 cos x 0
determinamos u1 0
u1 u1
= =
¡ ¢
1 2x sin x e − W 1 1 sin x = 3 2xcos x = − W e 3 cos x 1 − sin x dx = 1 ln | cos x|. 3 cos x 3
Z
¯¯
26
Ejercicios resueltos: EDO’s de orden superior
Calculamos W 2
= =
¯¯
¯¯
¯¯
ex cos x 0 = 1 x x e (cos x − sin x) 3 e sec x 1 2x 1 1 1 e cos x · sec x = e2x cos x = e2x . 3 3 cos x 3 y1 y1
0 f (x)
0
¯¯
Determinamos u2 0
u2 u2
1 2x e W 2 = 3 2x = 1/3, W e 1 dx = x/3. 3
=
Z
=
Solución particular de la EDO completa y p =
µ
¶
1 x ln |cos x| ex cos x + ex sin x. 3 3
Solución general de la EDO completa 1 1 y = c1 ex cos x + c2 ex sin x + ex cos x ln |cos x| + xex sin x, 3 3
c1 , c2
∈ R.
Ejercicio 10 Resuelve el problema de valor inicial
⎧⎨ 4y − y = x e = 1, ⎩ y(0) y (0) = 0. 00
x/2
,
0
Se trata de una EDO lineal completa de segundo orden con coeficientes constantes, escribimos la ecuación en forma estándar y
00
− 14 y = 14 xex/2.
Homogénea asociada y
00
− 14 y = 0,
ecuación característica m2 − raíces
1 = 0, 4
1 m2 = , 4 1 m=± . 2
Sistema fundamental de soluciones y1 y2
1 2
= e x, = e−x/2 .
27
Ejercicios resueltos: EDO’s de orden superior
Solución general de la EDO homogénea y = c1 ex/2 + c2 e−x/2 ,
c1 , c2
∈ R.
Solución particular de la EDO completa y p = u1 y1 + u2 y2 , que verifica
½
y1u1 + y2u2 = 0, y1u1 + y2u2 = f (x) = 14 xex/2 . 0
0
0
0
0
0
Wronskiano
¯¯
¯¯
¯¯
y1 y2 ex/2 W = = 1 x/2 y1 y2 2e 1 1 = − − = −1. 2 2 0
0
e−x/2 − 12 e−x/2
¯¯
Calculamos
¯¯
¯¯
¯¯
0 y2 0 = = 1 x/2 f (x) y2 4 xe 1 1 = − xex/2 e−x/2 = − x. 4 4
W 1
0
e−x/2 − 12 e−x/2
¯¯
Determinamos u1 0
u1 u1
= =
−1x 1 W 1 = 4 = x, W (−1) 4 1 1 x dx = x2 . 4 8
Z
Calculamos W 2
=
¯¯
y1 y1 0
0 f (x)
¯¯
¯¯
=
ex/2 1 x/2 2e
0 1 x/2 4 xe
1 1 = ex/2 xex/2 = x ex . 4 4
¯¯
Determinamos u2 0
u2 u2
= =
W 2 = W
1 x 4 xe
1 = − xex , 4 −1 − 14 xex dx = − 14
Z µ ¶
Z
xex dx =
−1 (x − 1) ex. 4
Solución particular de la EDO completa y p
= =
µ ¶ − µ − ¶
1 2 x/2 (1 x) x −x/2 x e + e ·e 8 4 1 2 x 1 x/2 x + e . 8 4 4
28
Ejercicios resueltos: EDO’s de orden superior
Solución general de la EDO completa x/2
y = c1 e
+ c2 e
+
−x/2
µ
1 2 x 1 x − + 8 4 4
¶
ex/2 ,
c1 , c2
∈ R.
Imponemos las condiciones iniciales
½
y(0) = 1, y (0) = 0. 0
De la condición y(0) = 1 resulta
1 = 1, 4 c1 + c2 = 3/4.
c1 + c2 +
Calculamos 1 1 y = c1 ex/2 − c2 e−x/2 + 2 2 0
µ −¶ µ 1 x 4
1 4
x/2
e
+
1 2 x 1 x − + 8 4 4
e imponemos la condición 0
y (0) = 0, resulta
1 1 1 1 c1 − c2 − + = 0, 2 2 4 8 1 1 1 c1 − c2 − = 0, 2 2 8 1 c1 − c2 = . 4
Resolvemos el sistema
½
c1 + c2 = 3/4, c1 − c2 = 1/4.
Sumando, resulta 2c1 c1
= 1, = 1/2.
Restando, la 2a ecuación a la 1a , obtenemos 2c2 c2
= 1/2, = 1/4.
La solución del problema de valor inicial es y
= =
1 x/2 e + 2 3 x/2 e + 4
1 −x/2 e + 4 1 −x/2 e + 4
µ µ
1 2 x − 8 1 2 x − 8
¶
x 1 x/2 + e 4 4 x x/2 e . ¤ 4
¶
¶
1 x/2 e 2
29
Ejercicios resueltos: EDO’s de orden superior
Ejercicio 11 Resuelve el problema de valor inicial
⎧⎨ y + 2y − 8y = 2e − e = 1, ⎩ y(0) y (0) = 0. 00
0
−x ,
−2x
0
EDO lineal completa de segundo orden con coe ficientes constantes. La homogénea asociada es y + 2y − 8y = 0. 00
Ecuación característica raíces
0
m2 + 2m − 8 = 0,
⎧⎨ −2 ± 4 + 32 = −2 ± 6 = m= ⎩ 2 2 √
−2+6 2 −2−6 2
Sistema fundamental de soluciones
= 2,
= −4.
= e2x , = e−4x .
y1 y2
Solución general de la EDO homogénea y = c1 e2x + c2 e−4x ,
c1 , c2
∈ R.
Solución particular de la EDO completa y p = u1 y1 + u2 y2 , que verifica
½
Wronskiano
0
0
y1 u1 + y2 u2 = 0, y1 u1 + y2 u2 = f (x) = 2e−2x − e−x . 0
0
W = =
0
¯¯
0
y1 y1
¯¯
y2 y2
0
0
=
¯¯
e2x 2e2x
e−4x −4e−4x
−4e−2x − 2e−2x = −6e−2x.
¯¯
Calculamos W 1
= =
Determinamos u1 0
u1
¯¯ ¡ −
0 y2 f (x) y2 0
¯¯
=
e−4x 2e−2x
= = =
¯¯ ¢ − ¡
0
2e−2x − e−x
e−x .
¢
e−4x −4e−4x
−e−4x 2e−2x − e−x W 1 = W −6e−2x 1 −2x e 2e−2x − e−x 6 1 1 1 2e−4x − e−3x = e−4x − e−3x. 6 3 6
¡
¡
¢
¢
¯¯
30
Ejercicios resueltos: EDO’s de orden superior
u1
¶
Z µ
1 −4x 1 −3x = e dx − 6e 3 1 1 = − e−4x + e−3x . 12 18
Calculamos W 2
=
¯¯ ¡ y1 y1
0 f (x)
0
¯¯
=
¯¯ ¢
e2x 2e2x
0 2e−2x − e−x
= e2x 2e−2x − e−x = 2 − ex , y determinamos u2 0
u2
W 2 2 − ex = = W −6e−2x = 1 = − 2e2x − e3x 6 1 1 = − e2x + e3x , 3 6
¡
u2 =
¢
Z µ−
µ− ¶ 1 6
1 2x 1 3x e + e 3 6
¯¯
e2x (2 − ex )
¶
dx,
1 1 u2 = − e2x + e3x . 6 18 Solución particular de la EDO completa y p
= = = =
µ−
¶ µ
Solución general de la EDO completa 1 1 y = c1e2x + c2e−4x − e−2x + e−x . 4 9 Imponemos la condición y(0) = 1 y resulta
¶
1 −4x 1 1 1 + e−3x e2x + − e2x + e3x e−4x e 12 18 6 18 1 −2x 1 1 1 e + e−x − e−2x + e−x − 12 18 6 18 −3 e−2x + 2 e−x 12 18 −1 e−2x + 1 e−x. 4 9
1 1 + = 1, 4 9 −9 + 4 = 1, c1 + c2 + 36 5 c1 + c2 − = 1, 36 5 41 c1 + c2 = 1 + = . 36 36 c1 + c2 −
31
Ejercicios resueltos: EDO’s de orden superior
Calculamos
1 1 y = 2c1e2x − 4c2 e−4x + e−2x − e−x 2 9 e imponemos la condición y (0) = 0, 0
0
resulta
1 1 − = 0, 2 9 9−2 2c1 − 4c2 + = 0, 18 7 2c1 − 4c2 + = 0, 18 2c1 − 4c2 = −7/18,
2c1 − 4c2 +
c1 − 2c2 = Resolvemos el sistema
(
−7 . 36
c1 + c2 = 41 36 , c1 − 2c2 = −7 36 .
Restamos la 2a ecuación a la 1a 3c2
=
c2
=
41 + 7 48 4 · 12 4 = = = , 36 36 3 · 12 3 4 . 9
Sustituimos en la 1a ecuación c1 +
4 41 = , 9 36
41 4 41 − 16 25 = = . − 36 9 36 36 Solución del problema de valor inicial c1 =
y=
25 2x 4 −4x 1 −2x 1 −x e + e − 4e + 9e . 36 9
¤
Ejercicio 12 Resuelve la EDO 000
0
y + y = tan x.
EDO lineal completa de tercer orden con coe ficientes constantes. La EDO homogénea asociada es y + y = 0. 000
Ecuación característica
0
m3 + m = 0,
¡ ¢
m m2 + 1 = 0,
32
Ejercicios resueltos: EDO’s de orden superior
raíces m = 0,
m = ±i.
Sistema fundamental de soluciones y1 y2 y3
= 1, = cos x, = sin x.
Solución general de la EDO homogénea yh = c1 + c2 cos x + c3 sin x,
c1 , c2 , c3
∈ R.
Solución particular de la EDO completa y p = u1 y1 + u2 y2 + u3 y3 , que verifica
⎧⎨ y u ⎩ yy uu
+ y2 u2 + y3 u3 = 0, 1 + y2 u2 + y3 u3 = 0, 1 + y2 u2 + y3 u3 = f (x) = tan x. 0
0
1 1 0
1
00
1
Wronskiano
¯¯ ¯
y1 y1 y1 0
00
y2 y2 y2
y3 y3 y3
0
0
00
00
¯¯ ¯
=
0
0
0
00
¯¯ ¯
1 0 0
0
0
0
0
0
00
cos x − sin x − cos x
0
sin x cos x − sin x
¯¯ ¯
=
¯¯ − −
sin x cos x
¯¯
cos x − sin x ,
W = sin2 x + cos2 x = 1.
Calculamos W 1
=
¯¯ ¯ ¯ ¯−
0 y2 0 y2 f (x) y2
y3 y3 y3
0
0
00
00
¯¯ ¯
=
0 0 tan x
cos x sin x sin x cos x
= tan x
= tan x. Determinamos u1
¯¯ ¯¯ ¯
cos x − sin x − cos x
sin x cos x − sin x
¡
= tan x cos2 x + sin2 x
0
u1 = tan x, u1 =
Z
y1 y1 y1
0 y3 0 y3 f (x) y3
Calculamos W 2
= =
Determinamos u2
¯¯ ¯¯ ¯
0
00
sin x dx = − ln |cos x| . cos x
0
00
0 tan x
cos x
− sin x 0
u2 =
¯¯ ¯¯ ¯
=
¯¯ ¯ ¢
¯¯ ¯
1 0 0 0 0 tan x
sin x cos x − sin x
¯¯ ¯
= − tan x cos x = − sin x.
W 2 = − sin x, W
