4.6 VARIACIÓN DE PARÁMETROS REPASO DE MATERIAL La variación de parámetros se introdujo por primera vez en la sección 2.3 y se usó de nuevo en la sección 4.2. Se recomienda r ecomienda dar un repaso a estas secciones. ●
INTRODUCCIÓN El procedimiento que se utiliza para encontrar una solución particular
de una ecuación diferencial lineal de primer orden en un intervalo es también aplicable a una ED de orden superior. Para adaptar el método de variación de parámetros a una ecuación diferencial de segundo orden
+ + =, 1 + + = 2 + = . , = + = = + , 3 = + + + . = + + + + + + + + +=[ + + ] + [ + + ] + + + + + ] + + [ + = [ + ] + [ + ] + + = . 4 + = 0 + = 0 + = comenzamos por escribir la ecuación en su forma estándar
dividiendo entre el coeficiente principal
. La ecuación (2) es la análoga de segundo orden de
la forma estándar de una ecuación lineal de primer orden:
En (2) se supone
que y son continuas en algún intervalo común . Como ya hemos visto en la sección 4.3, no hay dificultad para obtener la función complementaria , la solución general de la ecuación homogénea asociada de (2), cuando los coeficientes son constantes.
SUPOSICIONES Correspondiendo con la suposición 2.3 para encontrar una solución particular
de
que se usó en la sección
, para la ecuación lineal de
segundo orden (2) se busca una solución de la f orma
donde y forman un conjunto fundamental de soluciones en de la forma homogénea asociada de (1). Usando la regla del producto para derivar dos veces a , se obtiene
Sustituyendo la ecuación (3) y las derivadas der ivadas anteriores en (2) y agrupando términos se obtiene
Como se busca determinar dos funciones desconocidas y , la razón impone que son necesarias dos ecuaciones. Estas ecuaciones se obtienen con la suposición adicional de que las funciones y satisfacen . Esta suposición en azul no se presenta por sorpresa, sino que es resultado de los dos primeros términos de (4) puesto que si se requiere que , entonces (4) se reduce a . Ahora tenemos nuestras dos ecuaciones deseadas, a pesar de que sean dos ecuaciones para determinar las derivadas y . Por la regla de Cramer, la solución del sistema
+ = 0 + = = = = = , 5 = , = 0 , = 0 6 (, ) = 0 puede expresarse en términos de determinantes:
donde
Las funciones y se encuentran integrando los resultados de (5). El determinante se reconoce como el Wronskiano de y . Por la independencia lineal de y en , se sabe que para toda en el intervalo.
RESUMEN DEL MÉTODO Normalmente, no es buena idea memorizar fórmulas en lugar de
entender un procedimiento. Sin embargo, el procedimiento anterior es demasiado largo y complicado para usarse cada vez que se desee resolver una ecuación diferencial. En este caso resulta más eficaz usar simplemente las fórmulas de (5). Así que para resolver , primero se encuentra la función f unción complementaria y luego se calcula el Wronskiano . Dividiendo entre , se escribe la ecuación en la forma estándar para determinar . Se encuentra y integrando y , donde y se definen como en (6). Una solución particular es . Entonces la solución general de la ecuación es .
+ + = + ==/ + = = +
= (, ) /+ +=
EJEMPLO 1 Solución general usando variación de parámetros
4 +4=+1. 4+4=2 = 0 = + = = , = 2 2 + = . ′ ′ =+1 = +10 2 + = + 1, = 2 +01 = + 1 , = +1 = , = +1 =+1 = = + = 13 12 + 12 + = 16 + 12
Resuelva
SOLUCIÓN De la ecuación auxiliar Con las identificaciones
y
se tiene , a continuación se calcula el Wronskiano:
Puesto que la ecuación diferencial dada ya está en la forma (2) (es decir, el coeficiente de 1), identificamos . De (6), obtenemos
y así de (5)
Se tiene que
y
. Por tanto
.
es
Y
= + = + + 16 + 12 4 +36= 3. +9= 14 3 +9=0 =3 =3 = 3+ 3 = 3, = 3, = 3 cos33 3cos3 3 =3, 3, 3 =3 0 3 cos3 0 1 =14 3 3cos3= 4, =3 3 14 3= 14 cos33. = = 121 = = 121 cos33 = = ln| 3|. = 121 3+ 361 3ln| 3|.
EJEMPLO 2 Solución general usando variación de parámetros Resuelva
SOLUCIÓN Primero se escribe la ecuación en la forma estándar (2) dividiendo entre 4:
Debido a que las raíces de la ecuación auxiliar complementaria es . Usando
son
y
y
, la función ,
obtenemos
Integrando
Se obtiene
y
Así una solución particular es
La solución general de la ecuación es
0,/6.
= + = cos3+ 3 121 3+ 361 3 ln| 3|. 7
La ecuación (7) representa la solución general de la ecuación diferencial en, digamos, el intervalo
CONSTANTES DE INTEGRACIÓN Cuando se calculan las integrales indefinidas de es necesario introducir algunas constantes. Esto es porque
= + = + + + + + = + + + + + = + + +.
EJEMPLO 3 Solución general usando variación de parámetros Resuelva
= .
y
, no
1=0 =1 =1 − − = + , =2 1 − = 2 , = 12 ∫ − , 1 = 2 , = 12 ∫ − 1 1 − = 2 ∫ 2 ∫ − 1 1 − − = + = + + 2 ∫ 2 ∫ 8 [,] SOLUCIÓN La ecuación auxiliar . Ahora
produce ,y
y
. Por tanto
Puesto que las integrales anteriores son no elementales, nos vemos obligados a escribir
y por tanto
En el ejemplo 3 se puede integrar en algún intervalo
que no contenga al origen.
ECUACIONES DE ORDEN SUPERIOR El método que se describió para ecuaciones diferenciales no homogéneas de segundo orden se puede generalizar a ecuaciones lineales de n-ésimo orden que se han escrito en forma estándar
+ −− +⋯+ + =. 9 = + +⋯+ =++⋯+, , =1, 2, . . , + +⋯+ =0 ⋮ + +⋯+ =0⋮ − +− +⋯+− =. 1 + =0 = +⋯+ = , =1, 2 , … , , ,,..., 0, =0,. .,+ + =2 , =3 Si particular es
donde los
es la función complementaria para (9), entonces una solución
se determinan por las
ecuaciones
(10)
Las primeras ecuaciones de este sistema, al igual que en (4), son suposiciones que se hacen para simplificar la ecuación resultante después de que se sustituye en (9). En este caso usando la regla de Cramer se obtiene
donde es el Wronskiano de y es el determinante que se obtiene al remplazar la k -ésima columna del Wronskiano por la columna formada por el lado derecho de (10), es decir, la columna que consta de . Cuando , se obtiene la ecuación (5). Cuando , la solución particular , donde y constituyen un conjunto
linealmente independiente de soluciones de la ED homogénea asociada y determinan a partir de
, y
se
= , = , = , 0 0 0 = 0 , = 0 , = 0 , =
Véanse los problemas 25 y 26 de los ejercicios 4.6.
COMENTARIOS
i) La variación de parámetros tiene una ventaja particular sobre el método de coeficientes indeterminados en cuanto a que siempre produce una solución particular , siempre y cuando se pueda resolver la ecuación homogénea asociada. Este método no se limita a una función que es una combinación de las cuatro clases que se listan en la página 141. Como se verá en la siguiente sección, la variación de parámetros, a diferencia de los coeficientes indeterminados, es aplicable a ED lineales con coeficientes variables. ii ) En los problemas siguientes, no dude en simplificar la forma de . Dependiendo de cómo se encuentren las antiderivadas de y , es posible que no se obtenga la misma que se da en
=
la sección de respuestas. Por ejemplo, en el problema 3 de los ejercicios 4.6 tanto
= = + = cos+ como
general
son respuestas válidas. En cualquier caso la solución
se simplifica a
. ¿Por qué?
EJERCICIOS 4.6 En los problemas 1 a 18 resuelva cada ecuación diferencial por medio de variación de parámetros.
. += Solución:
. += Solución:
. += Solución:
. +=tan Solución:
. += Solución:
. += Solución:
. =ℎ Solución:
. =ℎ 2 Solución:
. 4= Solución:
. 9= 9 Solución:
. +3 +2= 1+1 Solución:
. 2 += 1+ Solución:
. +3 +2= Solución:
. 2 += arctan Solución:
. +2 +=− ln Solución:
. 2 +2 +=4√ Solución:
. 3 6 +6= sec Solución:
. 4 4 +=/ 1 Solución:
0=1,0=0
En los problemas 19 a 22 resuelva cada ecuación diferencial mediante variación de parámetros, sujeta a las condiciones iniciales .
. 4 =/ Solución:
. 2 + =+1 Solución:
. +2 8=2− − Solución:
. 4 +4= 12 6 Solución:
0, ∞ . + + 14=/; =−/ , =−/
En los problemas 23 y 24 las funciones que se indican son soluciones linealmente independientes de la ecuación diferencial homogénea asociada en . Determine la solución general de la ecuación homogénea.
Solución:
. + +=secln ; =cosln , =ln Solución:
En los problemas 25 y 26 resuelva la ecuación diferencial de tercer orden usando variación de parámetros.
. + = Solución:
. +4 = 2 Solución:
Problemas para analizar En los problemas 27 y 28 analice cómo pueden combinarse los métodos de coeficientes indeterminados y variación de parámetros para resolver la ecuación diferencial. Lleve a cabo sus ideas.
. 3 6 +30=15 + 3 Solución:
. +=4 3+− Solución:
0,∞.
29. ¿Cuáles son los intervalos de definición de las soluciones generales en los problemas 1, 7, 9 y 18? Analice por qué el intervalo de definición de la solución del problema 24 no es Solución:
30. Encuentre la solución general de de la ecuación homogénea asociada. Solución:
+ 4=1
=+, , =∫, , 12 ,
31. Suponga que
solución particular de (2) en un intervalo se puede escribir como
donde
dado que
y
están en
=
es una solución
donde y están definidas por (5) es una para el que y son continuas. Demuestre que
y
, 13 , = =, ,
es el Wronskiano. La función Green para la ecuación diferencial (2). Solución:
en (13) se llama la función de
32. Use (13) para construir la función de Green para la ecuación diferencial del ejemplo 3. Exprese la solución general dada en (8) en términos de la solución particular (12). Solución:
33. Compruebe que (12) es una solución del problema con valores iniciales
.
+ +=, =0, ′ =0
en el intervalo [Sugerencia: Busque la regla de Leibniz para derivar bajo un signo de integral.] Solución:
34. Use los resultados de los problemas 31 y 33 y la función de Green encontrada del problema 32 para encontrar una solución del problema con valores iniciales
=, 0=0, 0=0
usando (12). Evalúe la integral. Solución:
