Permutaciones, combinaciones y Variaciones: (Felipe Calderara)
1) Permutaciones lineales: Una permutación , si se tiene una cantidad de elementos k (de orden k), se define como los distintos órdenes que se puede dar al conjunto. De esta manera, se obtienen todas estas distintas disposiciones (importando el orden), mediante las siguientes formulas: a) Permutaciones con elementos distintos: o permutación con elementos sin repetición, la formula está definida por: k! El signo de exclamación denota factorial, una operación que implica la multiplicación de todos los términos naturales (vale decir, mayor o igual a 1) , de manera: Ejemplo: Cristiano Ronaldo tiene 5 balones por los hat-trick que ha convertido, pero no sabe cómo ordenarlos encima de su chimenea (después de todo, no es matemático). ¿De cuantas maneras puede el ordenar sus balones sobre la chimenea, si suponemos que va uno detrás de otro? Desarrollo: como se tiene 5 elementos que se ordenan de manera lineal, lo necesario a usarse es la fórmula de la permutación sin repetición, ya que sus balones son todos distintos. Entonces procedemos: = 5! = 1x2x3x4x5 = 120 Respuesta: cristiano puede ordenar sus balones de 120 maneras distintas sobre su chimenea. Cabe recordar que esta fórmula es específica para este tipo de permutaciones, así como el resto de las que hay a continuación. b) Permutaciones con elementos repetidos: En este tipo de casos, muy comunes en los ejercicios de números de teléfonos. En este caso se debe de tener en cuenta que esto se da cuando un elemento puede ir repetido varias veces y aun así implicar conjuntos distintos. Otro
ejemplo muy común es el de contraseñas. En este caso no se sigue la formula anterior, sino que se utiliza = (en caso de las variaciones más adelante, la formula varia, aquí se utilizan todos los elementos en los espacios dados. Ejemplo: Para generar números privados de 6 dígitos, el protocolo de una compañía es de usar solo 6 números (del 1 al 6). Calcular la cantidad de números posibles de generar. Desarrollo: Como en este caso se pueden repetir los dígitos ( es decir , que 111111 es un numero factible), se usa la formula mencionada anteriormente: = = 46656 Repuesta: a partir de 6 dígitos en seis distintas posiciones, se pueden obtener 46656 distintos números. c) Permutación de elementos distintos con objetos repetidos: En este caso, se busca la cantidad de mezclas distintas que se puede hacer con elementos distintos, pero se repiten dígitos, letras u otras situaciones, por lo que resultan varios conjuntos iguales. En este caso , la formula está definida por la forma de permutación de elementos sin repetición, dividido en la(s) permutación(es) del(los) elemento(s) repetido(s):
Ejemplo: ¿Cuántas palabras distintas se pueden formar con las letras de la palabra PALA? Desarrollo: Como en esta situación, tenemos letras repetidas ( las dos A) , se repetirán palabras, por lo que debemos hacer es usar la formula anterior:
= = 12 Respuesta: Existen 12 palabras distintas que se pueden formar con las letras de la palabra PALA.
2) Permutaciones Circulares: En este caso, típico de las rondas o de las mesas redondas, no se puede utilizar la misma fórmula que se utiliza en las permutaciones lineales, ya que aquí los términos distintos son aquellos en los que varía “quien se tiene al lado”. Por ejemplo una persona se sienta al lado de otras dos, no habrá 3! Posibilidades de distintas posiciones, ya que aquí vale más la posición relativa con las otras personas que su posición real en el espacio (si tengo a A a la derecha y a C a la izquierda, es distinto si tengo a C a la derecha y a A a la izquierda, no así las distintas posiciones que estos dos ordenamientos tienen dentro de la mesa).Por lo tanto, la fórmula que se deriva en este caso es (para una cantidad de elementos k) : Ejemplo: Un grupo de personas busca una mesa en un restaurant, pero no saben cómo sentarse en una mesa redonda. Si son 5 ¿De cuantas formas se pueden ordenar en la mesa? Desarrollo: Este es un claro caso de permutación circular, así que usaremos la formula anteriormente descrita: 3) Variaciones: Una variación puede ser definida como los distintos órdenes que toman “k” elementos de un total de “n” elementos, donde importa su posición relativa (como en las permutaciones). Tradicionalmente, las variaciones se denotan como: Y la formula general de obtención es :
=
= (n-k+1)x(n-k+
x n
4) Combinaciones: Es, al igual que el grupo anterior, una selección de “k” elementos dentro de un conjunto total de “n” elementos (parecido a la idea de “conjunto-subconjunto”), pero en este caso no importa el orden, sino que términos están contenidos. Se denotan como:
; ó bien ( )
La cantidad de grupos que es posible generar a partir de un grupo determinado, se resumen en la fórmula:
=( )= 5) Formula General: Estas operaciones están no solo conceptualmente relacionadas, sino que a través de una fórmula matemática única, la cual es :
=
x
6) Ejercicios: 1. Se tiene un juego de libros de 5 volúmenes, que se quieren ordenar en un estante. ¿Cuántas maneras hay de ordenarlos? (120) 2. ¿Cuántos números de 2 cifras se pueden obtener con los dígitos impares? (20) 3. Se requiere armar un comité de trabajo de 10 personas. Si existen 20 posibles opciones, calcular cuantos grupos se pueden formar. (184.756) 4. Calcular las palabras que se pueden formar con cada una de las letras de la palabra MURCIELAGO (3.628.800) 5. En un jardín infantil, se forma una ronda entre seis niños. Calcular: a) La cantidad de rondas que se pueden formar (120) b) Si hay 2 niños que no quieren estar juntos, ¿Cuántas rondas se podrán formar? (72) 6. Una persona olvida la contraseña de su i-Phone, de 4 números (usando 10 dígitos). Empieza a adivinar su clave, y, pensando que la descubre en su último intento, - ¿Cuántos minutos deberá esperar, si cada 5 intentos fallidos debe esperar 1 minuto?
(1.999) 7. Un profesor debe designar grupos de trabajo para un trabajo recuperativo. Para ello tendrá 5 grupos de 4 personas, teniendo 5 jefes de grupo (uno en cada grupo) si hay 20 alumnos, ¿Cuántos grupos distintos se podrán formar? (3.448) 8. Calcular todas las palabras que se pueden formar con la palabra PROBLEMÁTICA (239.500.800) 9. ¿Cuantas palabras son posibles de formar si se tienen 3 vocales y 2 consonantes, y se quieren formar palabras con 2 vocales y una consonante? (12) 10.¿Cuántos números distintos se podrán formar con los dígitos pares (utilizándolos todos), y que no empiecen con 0? (96) 11) Tenemos un grupo de 8 personas, de las cuales 4 son mujeres y 4 son hombres. Si debemos sentarlos en una mesa redonda, calcular los grupos que se formaran si: a) Cada mujer debe estar entre dos hombres (144) b) Cada dos mujeres deben estar entre dos hombres (288) 12) El Real Madrid tiene dentro de su nómina los siguientes jugadores: -3 Arqueros -7 Defensas -8 Mediocampistas
-5 Delanteros Calcular los equipos en formación 4-4-2 que se pueden formar si los jugadores pueden jugar en cualquier posición dentro de su división (73.500) 13) Con las letras de la palabra Francisco, generar palabras que comiencen con N y terminen con una consonante. (12.600) 14) Se debe elegir un grupo de investigación dentro de los profesores de física . Si son 7, y el profesor Álvarez y Pinto no deben estar juntos, ¿Cuántos grupos de 5 podremos formar? ( 11) 15) Se tiene 5 libros de Astronomía, 3 de Geología, 4 de Física y 7 de Matemáticas. Si los libros deben estar ordenados por grupo, calcular la cantidad de formas de ordenarlos en un estante (2.090.188.800) 16) En el mismo caso anterior, pero los libros de astronomía deben estar junto a los de física. (1.045.094.400)
