ECUACIONES DE VARIACION PARA SISTEMAS ISOTERMICOS A lo largo del curso se ha aprendido a determinar las distribuciones de velocidad para sistemas sencillos de flujo, aplicando balances de cantidad de movimiento a una envoltura, que después se utilizaban para calcular otras magnitudes, como la velocidad media, velocidad máxima, esfuerzo de corte, etc. Este método método aplicado aplicado a una envolvente envolvente se usó con la finalidad de familiarizarnos con la aplicación del “principio de conservación conservación de la cantidad de movimiento”. Sin embargo al presentarse nuevos problemas no es necesario formular un balance de cantidad de movimiento para cada problema si todos se rigen prácticamente bajo las mismas condiciones. Las ecuaciones de variación, se tratan de la ecuación de conservación de la materia y la cantidad de movimiento expresadas en forma general, que se simplifican con el fin de adaptarlas al problema impuesto. Lo que agiliza y facilita la resolución del problema. Con estas dos dos ecuaciones se se pueden describir todos los problemas de flujo viscoso isotérmico de un fluido puro. Para fluidos no isotérmicas y para mezclas fluidas de dos o mas componentes, se necesitan ecuaciones adicionales para describir la conservación de la energía y la conservación de las especies químicas individuales. A este conjunto de ecuaciones de conservación se les denomina “ecuaciones de variación”, variación”, ya que describen la variación de la velocidad, temperatura y concentración, con respecto al tiempo y la posición en el sistema. Al hablar de variación con respecto al tiempo se habla de una razón de cambio y es necesario entender ciertos conceptos que se utilizan en las ecuaciones de variación como lo es la derivada parcial con respecto al tiempo , la cual matemáticamente es la razón de cambio de una sola variable contemplando a las demás como constantes. Para explicar a la derivada total con respecto al tiempo, imaginemos que vamos en una lancha a motor que se mueve en el río en todas direcciones, unas veces en contra de la corriente, otras a través, y tal vez otras a favor de la corriente. Al referir la variación de la concentración de peces con respecto al tiempo, los números que resultan han de reflejar también el movimiento de la lancha. La derivada total con respecto al tiempo viene dada por
Donde
,
y
son las componentes de velocidad de la lancha.
Otro concepto utilizado en las ecuaciones de variación es la derivada substancial con respecto al tiempo, .
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Supongamos que vamos en una canoa a la que no se comunica energía, sino que simplemente flota. En este caso, la velocidad del observador es exactamente la misma que la velocidad de la corriente Al referir la variación de la concentración de peces con respecto al tiempo, los números dependen de la velocidad local de la corriente. Esta derivada es una clase especial de deriva& total con respecto al tiempo que se denomina “derivada substancial”. Está relacionada con la derivada parcial con respecto al tiempo de la forma siguiente:
en la que V, Vy y Vz son los componentes de la velociad local del fluido. ECUACION DE CONTINUIDAD Esta ecuación sé deduce aplicando un balance de materia a un elemento estacionario de volumen Δx- ΔyΔz, a traves del cual está circulando un fluido. Tomemos en cuenta el siguiente modelo.
Para coordenadas rectangulares (el cubo en este caso): Se utiliza el método de la envolvente (volumen control). Se realiza un balance de velocidades en la envolvente.
El cual expresa que :
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Se realiza un balance de las caras del cubo tomando en cuenta el área de la cara por la velocidad que la afecta, para todas las caras del cubo es el mismo balance.
La velocidad de acumulación es la derivada de la densidad por el volumen estudiado (envolvente) y que sería igual a las expresiones anteriormente desarrolladas y siguiendo nuestra ecuación empírica inicial, quedando la ecuación enmarcada en azul.
Para llegar a esta ecuación: Se dividen ambos miembros entre el volumen. Se factoriza un signo negativo para expresar un cambio. Se toma la expresión como limite (ya que los tres miembros quedan divididos entre un delta) Se obtiene la definición de derivada al aplicar el limite (derivada parcial). Se obtiene la ecuación enmarcada en azul. Esta ecuacion expresa la velocidad con la que aumenta la densidad en el interior de la envolvente, y que es igual a la velocidad neta de entrada de densidad de flujo de materia dividida por su volumen. Si representamos esta ecuacion de forma vectorial obtenemos :
La transformacion se hace mediante una operación de divergencia en la cual se propone a la variación de velocidad tal como si estuviéramos en el mismo fluido dejándonos llevar por éste, cuando la densidad es constante y por lo tanto es un fluido incompresible, se puede admitir este estado de la densidad sin cometer casi error, hay que notar que para que eso sea posible la derivada sustancial tendría que valer cero, obtenemos un caso particular de la ecuación de la ecuación de continuidad.
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Aquí se presentan las diferentes ecuaciones de continuidad para coordenadas distintas.
ECUACION DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO Teniendo la ecuación de continuidad, continuamos ahora con la ecuación de cantidad de movimiento, tomando el mismo caso del cubo.
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La ecuación del balance de cantidad de movimiento expresa que:
Donde, c.m.d = cantidad de movimiento.
El procedimiento es parecido a la ecuación de continuidad pero con cantidad de movimiento y unas cuantas consideraciones, antes de tratar con el estado estacionario, hay que dejar que el fluido se mueva permitiendo 2 tipos de transporte: convectivo y molecular. El transporte convectivo es gracias a los gradientes de velocidades por lo cual se mueve el fluido (movimiento global), en el transporte molecular, tomamos en cuenta que entra por medio de la cantidad de movimiento en esa cara.
Se debe considerar tambien que hay fuerzas que actúan sobre el sistema como la presión y la gravedad másica; la presión sería multiplicada por el áre (Deltas “y” y “z” ) y la gravedad másica actúa sobre el elemento de volumen así que será multiplicada por las tres deltas.
El término de acumulación es el elemento de volumen por la velocidad másica.
Se sustituye todo lo anterior en la expresión inicial.
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Haciendo uso de la ecuación de continuidad que reducida, utilizando nuevamente la derivada sustancial.
Esta última expresión, nos representa que el elemento de volumen (envolvente) es acelerado por las fuerzas que actúan sobre él, y que este obedece a la segunda ley de Newton. Sabiendo esto hay que expresar las componentes del tensor en gradientes de velocidad y viscosidades.
Obteniendo:
Las expresiones obtenidas se sustituyen en las primeras ecuaciones de movimiento.
*Cabe mencionar que estas ecuaciones son para fluidos Newtonianos, basadas en viscosidades constantes. ECUACION DE ENERGIA MECANICA Para encontrar las interconversiones de energía mecánica que tienen lugar en un flujo de un fluido: Tomamos la ecuación de cantidad de movimiento.
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Se multiplica escalarmente por la velocidad.
Se obtiene:
Se describe la variación de velocidad de energía cinetica por unidad de masa para un elemento de volumen fluyendo.
A continuación se muestran las ecuaciones de continuidad y movimiento para los sistemas coordenados, además de las expresiones del esfuerzo de corte, en función de sus componentes.
Ecuación de de movimiento para coordenadas rectangulares en función de τ
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Ecuación de movimiento para coordenadas rectangulares (fluidos newtonianos)
Ecuación de movimiento para coordenadas cilíndricas en función de τ
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Ecuación de movimiento para coordenadas cilíndricas en fluidos newtonianos.
Ecuación de movimiento en coordenadas esféricas en función de τ
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Ecuación de movimiento para coordenadas esféricas (fluidos newtonianos)
Componentes del esfuerzo de corte Componentes de esfuerzo de corte Coordenadas rectangulares Coordenadas cilíndricas
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Componentes del esfuerzo de corte coordenadas esféricas.
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