Utilidad y Curvas de Indiferencia

MICROECONOMÍA – DOCTORADO CIENCIAS ECONÓMICAS Prof. Patricia Hernández

CURVAS DE INDIFERENCIA. 1. Utilidad Total – consideraciones previas La medición de la utilidad puede ser llevada a cabo a través de la utilidad cardinal y la utilidad ordinal. Utilidad Ordinal. Consiste en indicar a través de los números primero, segundo, y tercero el grado de satisfacción que le proporcionan las cestas al consumidor. Es un orden o clasificación una comparación. Utilidad Cardinal. Es aquel nivel de satisfacción que esta medido a través de “útiles”. Estos útiles son números cuyo orden ascendente determina un mayor nivel de satisfacción. Supongamos que existe un consumidor al que le gusta el chocolate entonces los niveles de satisfacción registrados son:

Q Chocolate 0 1 2 3 4 5 6 7 8

Utilidad Total (útiles) 0 30 55 75 90 100 105 105 100

Utilidad marginal 30 25 20 15 10 5 0 -5

Graficando la utilidad total obtenemos: Ut

X Umax

Umax

X

1


Como puede observarse la utilidad total crece a tasa decreciente, llega a un máximo y a partir de allí el bien genera menos utilidad total. La utilidad total disminuye como consecuencia de que el consumidor no desea tantas unidades del bien porque ya satisfizo sus necesidades. En cuanto a la utilidad marginal es el nivel de satisfacción alcanzado por la última unidad consumida del bien (pendiente de la función de utilidad total, o derivada de la función respecto al bien). En el momento en el cual la satisfacción total alcanzada por el consumidor desciende, es porque la ultima unidad consumida ya no satisface más, el consumidor esta saciado. De esta forma cuando se consumen las primeras unidades reportan mucha satisfacción porque el consumidor no tiene el bien, pero a medida que consume más unidades, éstas generan cada vez menos satisfacción (utilidad marginal con pendiente negativa o utilidad total decreciente). El mismo proceso podría realizarse para el bien y, graficando su utilidad total, ceteris paribus el consumo de x, y su utilidad marginal, obteniendo así conclusiones similares. Bajo los supuestos iniciales de un campo de elección con alternativas o cestas que contienen dos mercancías tenemos una función de utilidad que depende de dos bienes conjuntamente, no solo x e y, por tanto, es necesario entender el comportamiento de la función de utilidad del tipo U  f ( x, y) , que se gráfica en un plano de tres dimensiones, cuyas curvas de nivel determinan las curvas de indiferencia. 2. Curva de Indiferencia. Es el conjunto de cestas que le reportan al consumidor el mismo grado de satisfacción, de tal manera que el consumidor es indiferente en su elección. Las cestas que se encuentran por encima de la curva de indiferencia se prefieren a ellas. Las cestas que se encuentran por debajo no son preferidas. Mapa de Indiferencia. Es el conjunto de curvas de indiferencias, donde la curva mas alejada del origen representa un mayor nivel de satisfacción o de utilidad. Propiedades de las curvas de indiferencias: No se cortan (Axioma de transitividad). Cada curva pasa por un punto Tienen pendiente negativa. Estrictamente convexas    

Y

X

2


¿Por qué las curvas de nivel o cortes horizontales deben ser estrictamente convexas? Para garantizar que la utilidad marginal de los bienes sea decreciente. Consideremos una curva de indiferencia estrictamente convexa: Y

Estricta convexidad

X La estricta convexidad implica que la función no tiene ningún segmento de recta, y si trazáramos una recta que una dos puntos de esa función, la recta estaría por encima de dicha función. Ahora bien, debe ser tener pendiente negativa porque la única forma de mantener el nivel de satisfacción es intercambiando un bien por otro, si aumentáramos o disminuyéramos la cantidad de los bienes las cestas serían preferidas o no, pero nunca indiferentes. Además es estrictamente convexa porque por las primeras unidades del bien x el individuo está dispuesto a sacrificar mucho del bien y, mientras que si ya tiene muchas unidades del bien x, está dispuesto a sacrificar menor del bien y. Detrás de este comportamiento está implícito el concepto de utilidad marginal decreciente. Si la función fuera estrictamente cóncava, entonces el individuo está dispuesto a sacrificar poco del bien y por unidades adicionales de x, y cuando tiene mucho de x estaría dispuesto a sacrificar mucho del bien y, lo cual no satisface la condición de utilidad marginal decreciente. Y

Estrictamente cóncava

x

3


Para que la curva de indiferencia sea estrictamente convexa la función de utilidad debe ser cuasiconcava. Pendiente de la curva de indiferencia TMS X, Y es la cantidad de unidades de Y que deben sacrificarse para obtener una unidad adicional de X de tal manera que el consumidor mantenga el mismo nivel de utilidad.

Y

Tms X ,Y 

 y dY   x dY

X La tasa marginal de sustitución es decreciente en valor absoluto, porque cada vez que se obtiene una unidad adicional de x disminuye el sacrificio de Y. La TMS indica un beneficio marginal, ahora bien respetando el signo negativo de la pendiente (que implica el sacrificio de uno por otro manteniendo la satisfacción constante), la tasa es creciente porque se acerca cada vez más por la izquierda al cero. La curva de indiferencia es estrictamente convexa puesto que la TMS es creciente. Si fuera cóncava la pendiente seria decreciente y esto carece de sentido porque a medidas que obtengo más del bien X el consumidor no está dispuesto a sacrificar mas unidades de Y porque X ya le genera mejor utilidad. En un primer momento el consumidor está dispuesto a sacrificar mucho del bien y por obtener más unidades de X, pero una vez satisfecha su necesidad no lo hace. Derivación matemática de la pendiente de la curva de indiferencia La pendiente de la curva de indiferencia es el cociente de las utilidades marginales, su pendiente es negativa, pero al ser estrictamente convexa su tasa de crecimiento es creciente (segunda derivada). Partiendo de U  f ( x, y) , sabemos que la utilidad total no cambia a la curva de indiferencia por lo cual el du=0, entonces:

dU  0 dU  f x dx  f y dy Despejando el cociente del diferencial de y entre el diferencial de x (pendiente), tendríamos:

4


dy



dx

f x



f y

Uma x Uma y

 TMS x , y

Para demostrar que la función es estrictamente convexa es necesario calcular la segunda derivada:

 f   f     x    x  2 d y  f y    f y  dy    f xx f y  f x f yx    f xy f y  f x f yy   f x        2 2 2 x y dx dx f y fy      f y 

 1  2 2    3   f xx f y  2 f x f y f yx  f yy f x   0 2 dx  f y  2

d y

Esta segunda derivada es positiva dado que:

f x , f y > 0 f xx , f yy < 0

3. Implicaciones matemáticas Matemáticamente, la utilidad marginal de un bien es la derivada de la utilidad con relación a ese bien, ceteris paribus el consumo del bien y. Partiendo de una función de utilidad U  f ( x, y ) que dependa de dos bienes x e y, tendríamos:

Uma x 

 f pendiente de la función U  f ( x, y) con respecto a x  x

Esta derivada es la pendiente de la función de utilidad cuyo valor es positivo hasta el máximo, cero en ese punto y negativo a partir de allí, los cuales constituyen los valores de la utilidad marginal del bien. La segunda derivada de la función indica su tasa de crecimiento y al mismo tiempo la pendiente de la utilidad marginal de manera tal que si la utilidad marginal es decreciente, debe tener valor negativo:

 2 f Uma x   f xx  0 tasa de crecimiento de la utilidad total o pendiente de la utilidad marginal.  x 2 x 2 La función de utilidad generalmente viene dada por cestas, por lo cual al menos tienen dos bienes x,y, y estaría dada por U  f ( x, y) . Esta una función debería ser cuasicóncava, para que su curva de nivel sea estrictamente convexa y se garantice así la optimización de la conducta del consumidor. La curva de nivel no es más que el corte horizontal de la función U  f ( x, y ) , con lo cual se garantiza que sea el lugar geométrico de todas las combinaciones de x,y (cestas) que generan la misma satisfacción o utilidad total (altura de la función en tres dimensiones).

5


Una función de utilidad puede ser cóncava o convexa, pero aún así las curvas de nivel ser estrictamente convexa (curvas de indiferencia), lo único que se requiere es que sean cuasicóncavas. Gráfico N° 1: f ( x, y )  xy 

1/ 4

Gráfico N° 2: f ( x, y )  xy 

1/ 2

6


Gráfico N° 3: f ( x, y )  xy 

2

En los gráficos se demuestra que las curvas de nivel son estrictamente convexas, pero las curvas de utilidad total pueden ser cóncavas o convexas. Una función como Z  f ( x, y) será cóncava si se satisfacen las siguientes condiciones: 

2

f

 x 

2

2

f

 y

H 2

2



f xx

0



f yy

0

0

Las dos primeras condiciones están dadas por el hecho de que la utilidad marginal de cada bien, ceteris paribus, es decreciente. La tercera condición parte de lo que se conoce como el determinante hessiano, que viene dado por las derivadas parciales directas y cruzadas de la función:

H 2 

f xx

f xy

f yx

f yy

 f xx f yy  f xy f yx  0

Dado que la función es continua, el Teorema de Young establece que: f xy  f yx , por tanto, podríamos expresar el segundo término como: f xy f yx  f xy  f yx . 2

2

7


Como se observan los signos se intercalan a medida que aumenta el número de variables en la función, en el caso de una sola variable la función sería U  f ( x) , y para garantizar la concavidad bastaría con que

f xx  0 (menor principal del determinante hessiano). Al analizar una función con dos variables explicativas como U  f ( x, y) , no solo se requiere que los menores principales f xx  0, f yy  0 , sino que H 2 sea positivo. 4. Otro tipos de curva de indiferencia Curvas de Indiferencia de Bienes Sustitutivos Perfectos Dos bienes son sustitutos perfectos si puede elegirse entre uno y otro indistintamente. Ejemplo: el café y el té (satisfacen por igual la misma necesidad). Cuando los bienes son sustitutos perfectos la TMS X, Y es constante es decir, la curva de indiferencia no es estrictamente convexa, sino que su pendiente es lineal. Sustituto perfecto no significa que los bienes se intercambien uno a uno, sino que satisfacen la misma necesidad.

Curvas de Indiferencia para Bienes Sustitutivos.

Perfecto Sustitutivo, viola axioma de dominación.

Y

I1

I2

I3

X

Curvas de Indiferencia de Bienes Complementarios

Dos bienes complementarios si se utilizan conjuntamente para satisfacer una necesidad. Ejemplo: café y azúcar. Estas curvas de indiferencia no satisfacen el axioma de dominación, porque puede aumentar la Q de un bien, pero si no se eleva la Q del otro bien, no aumenta la satisfacción del consumidor.

8


Si el rayo es de 45° la relación es 1:1. Si el rayo es menor de 45° se consume mas X que Y. Si el rayo es mayo de 45° se consume mas Y que X.

I4 I3

I2 I1

La TMS X, Y es indefinida en el vértice, cero en la porción horizontal e infinita en la vertical. Curvas Indiferencia de un Bien Neutral Violan el supuesto de Dominación y la TMS decreciente. Y

Se viola el axioma de dominación porque puede tener más Q de X y no la desea.

I3 I2 I1

X

Un bien neutral es aquel que no le reporta ningún nivel de satisfacción al individuo, le es indiferente. En este caso el bien X no le interesa al consumidor. Curvas de Indiferencia cuando el Bien no es atractivo (un mal) Cuando el bien no atractivo está en el de las “X”. Y

B A

Queremos deshacernos de unidades de X porque nos es perjudicial, el humo del cigarrillo (por ejemplo). Mejor sería aquella combinación que tiene menor humo y más Y.

X

9

Utilidad y Curvas de Indiferencia

Recommend Documents