Escuela Profesional de Administración
Universidad Católica Santo Toribio de Mogrovejo
“CURVAS DE APRENDIZAJE Y LOGISTICA”
Curso Cálculo
Profesor Lic. José Andrés Ynoñán Jiménez
Estudiante Mino Pérez, Edgardo Mauricio
2007 Chiclayo – Perú
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Dedicatoria A Dios, a mis padres y hermanas.
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Agradecimiento
A quienes hicieron posible la elaboración de este trabajo; a Dios, a mis padres: Edgardo Mino Morales y Laura Rosa Pérez Cornejo, a mi profesor por su orientación y a los autores de los libros citados por su contribución de información.
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CURVAS DE APRENDIZAJE Y LOGISTICA I. FUNCIONES LINEALES [4] Una ecuación de primer grado o ecuación lineal con las variables X y Y es una ecuación de la forma
Ax + By + C = 0 En donde ni A ni B son 0. Se puede probar que la gráfica de una ecuación lineal es una línea recta. Las funciones que se especifican por una ecuación lineal se llaman funciones lineales. Si B ≠ 0 la ecuación Ax + By + C = 0 especifica una función cuyo dominio es el conjunto de todos los números reales. Como dos puntos determinan una linea recta, para hacer la gráfica de una ecuación lineal sólo determinan una línea recta, para hacer la gráfica de una ecuación lineal sólo se necesita encontrar dos elementos de un conjunto solución. Los pares ordenados más fáciles de encontrar son los que tienen la primera o la segunda componente 0, esto es, los pares ordenados de la forma (x, 0) o (0, y). Estos se localizan en los puntos en donde la gráfica interseca los ejes de X y Y, respectivamente. La coordenada X del punto en que la gráfica interseca el eje X es la intersección – X de la recta. La coordenada Y del punto en que la gráfica interseca el eje Y, se llama la intersección – Y de la recta. Considere la siguiente función
ƒ = { (x, y) | 2x + 3y = 6 } Cuando a Y se le da el valor de 0, se tiene la ecuación 2x = 6 cuya única solución es 3; así que (3, 0) es una solución de la ecuación 2x + 3y = 6 y la intersección – X de la gráfica de esta ecuación es 3. Si se substituye 0 en lugar de X, se obtiene la ecuación 3Y = 6 en la que 2 es la única solución. Así que (0, 2) es una solución de la ecuación 2x + 3y = 6 y la intersección – Y de la gráfica de esta ecuación es 2. La gráfica de esta función se muestra en la figura 1
FIGURA 1
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FUNCIONES EXPONENCIALES [4] Se llaman funciones exponenciales a las funciones de la forma
y = bx Donde la base de la potencia "b" es constante (un número) y el exponente la variable x. Considere la siguiente función
ƒ = { (x, y) | y = bx } Si b = 1, esta ecuación define la función constante, ya que 1 x = 1 para todo x. Ahora, si b ≠ 1 (pero b > 0), entonces la ecuación y = bx establece una función no constante que se llama función exponencial. Considérese la gráfica de la función exponencial dad por la ecuación.
y = 2x Los pares ordenados son algunas de las soluciones de esta ecuación. (-3, 1/8), (-2, 1/4), (-1, 1/2), (0, 1), (1, 2), (2, 4), (3, 8)
FIGURA 2 A continuación se establece, sin demostración, las propiedades de la función dad por una ecuación de la forma.
y = bx,, con b > 0
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1. La función sólo tiene valores positivos. 2. Si b > 1, entonces la función tienen valores crecientes cuando X crece Y, en este caso, la función es una función creciente. 3. Si 0 < b < 1, la función decrece cuando X crece; entonces; la función es una función decreciente. 4. Siempre que b sea un número positivo, b0 = 1. 5. La función no tiene ceros
FUNCIONES LOGARÍTMICAS [4] En la figura 2 se muestra la grafica posible de la función exponencial.
ƒ = { (x, y) | y = bx } en donde b es un número real positivo distinto de 1. Donde a cada valor de x se le asocia uno y solo un valor de Y. También se observa que cualquiera línea horizontal que pasa por un punto dado de la parte positiva del eje Y, interseca la gráfica en un punto exactamente. Esto significa que bp= bq si y solo si, p = q. Por lo tanto, la relación inversa de la función exponenciales también una función. Es decir, la función exponencial tiene una función inversa:
ƒ = { (y, x) | x = by }
FIGURA 3 También Se desea tener una forma de resolver la ecuación x = by explícitamente para Y. El exponente de la ecuación x = by ES EL LOGARITMO DE X EN BASE B, LO CUAL SE ESCRIBE
Y = log b X Y se lee: Y es igual al logaritmo de X en base B, donde B es positivo y distinto de uno. La función logarítmica esta dada por
ƒ = { (y, x) | Y = log b X } 6
es la función inversa de la función exponencial. La gráfica de la función logarítmica de base b se obtiene al graficar la ecuación b Y = log X. Ya que la ecuación Y = log b X Es equivalente a la ecuación
x = by esto simplifica el problema de graficar. Así como en la figura 1 se obtuvo la grafica de una ecuación de la forma
y = bx También se puede obtener la ecuación x = by a partir de la ecuación y = bx mediante el intercambio de las variables X y Y. Para obtener la gráfica de la ecuación Y = log b X
Enseguida se enumeran sin demostración, algunas de las propiedades de la función logarítmica: 1. El único cero de la función X = 1, esto b es, log 1 = 0. 2. log x es menor que cero cuando 0 < x < 1 y b > 1 y también si x > 1 y 0 < b b <1. b 3. Log x es mayor que cero si x > 1 y b > 1y también si x < 1 y 0 < b < 1.
II MODELOS LOGISTICOS. CURVA DE APRENDIZAJE: [1] Una curva de aprendizaje, no es más que una línea que muestra la relación existente entre el tiempo (o costo) de producción por unidad y el número de unidades de producción consecutivas. También pueden tomarse en
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consideración la cantidad de fallas o errores, o bien el número de accidentes en función del número de unidades producidas. La curva de aprendizaje es, literalmente, un registro gráfico de las mejoras que se producen en los costes a medida que los productores ganan experiencia y aumenta el número total de automóviles, aparatos de televisión, aparatos de vídeo o aviones que sus fábricas y líneas de montaje producen. Las curvas de aprendizaje se pueden aplicar tanto a individuos como a organizaciones. El nombre surgió cuando los psicólogos descubrieron que era para t ≥ 0, las funciones de esta forma describen con frecuencia la relación entre la eficiencia de un individuo al realizar una tarea y la cantidad de tiempo de entrenamiento o experiencia que ha tenido el “aprendiz”. El siguiente ejemplo muestra la aplicación de la función exponencial para describir ciertos tipos de procesos de aprendizaje. Considérese la función.
Donde C, A y K son positivas.
La gráfica de la función Q aparece en la figura, donde la parte de la gráfica correspondiente a los valores negativos de t se traza con una línea punteada pues, en la práctica, por lo general se restringe el dominio de la función al intervalo [0, ∞). Obsérvese que Q(t) (t > 0) crece un poco rápido al principio, pero su razón de crecimiento comienza a disminuir de manera considerable después de cierto tiempo. Este comportamiento de la gráfica de la función Q recuerda el patrón de aprendizaje experimentado por lo obreros involucrados en un trabajo altamente repetitivo; por ejemplo, la productividad de un trabajador en una línea de ensamblaje aumenta con rapidez en las primeras etapas del periodo de Q(t) = C – Ae capacitación. Este incremento de la productividad es resultado directo de la capacitación y la experiencia acumulada del sujeto. Pero la razón de incremento de la productividad comienza a reducirse conforme pasa el tiempo, y el nivel de productividad tiene a cierto nivel fijo por las limitaciones del trabajador o de la máquina. Debido a esta característica, la gráfica de la función recibe el nombre de curva de aprendizaje.
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EJEMPLO: La división de cámaras fotográficas de la compañía Eastman produce una cámara reflex con un lente de 35mm, modelo F. EL departamento de capacitación de Eastamn determina que, después de concluir el programa de capacitación básico un trabajador nuevo, sin experiencia previa, podrá ensamblar
cámaras modelo F cada día, t meses después de iniciar su trabajo en la línea de ensamblaje. ¿Cuántas cámaras modelo F puede ensamblar diariamente un trabajador nuevo después de la capacitación básica? ¿Cuántas cámaras modelo F puede ensamblar al día un trabajador con uno, dos y seis meses de experiencia? ¿Cuántas cámaras modelo F puede ensamblar diariamente un trabajador experimentado promedio? SOLUCION El número de cámaras modelo F que pueden ensamblar cada día un obrero nuevo esta dado por.
(0)
Q(0) = 50 – 30 Q(0) = 20
El número de cámaras modelo F que puede ensamblar diariamente un trabajador con uno, dos y seis meses de experiencia esta dado por -0.5 (1)
Q (1) = 50 – 30e -0.5
Q (1) = 50 – 30 e
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Q (1) = 31.80
-0.5 (2)
Q (2) = 50 – 30e -1
Q (2) = 50 – 30e Q (2) = 38.96
-0.5 (6)
Q (6) = 50 – 30e -3
Q (6) = 50 – 30e Q (6) = 48.51
Cuando t aumenta sin límite, Q(t) tiende a 50; por lo tanto, el trabajador experimentado promedio podría ensamblar diariamente 50 cámaras modelo F.
Hallar “t” para cuando no hay valores:
0 = 50 – 30e 5/3 = e log(5/3) = loge log5/3=-0.5t t = - log5/3 / 0,5 t = - 1,02
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CURVA LOGÍSTICA: [3] El último ejemplo de aplicación de las funciones exponenciales es la descripción de fenómenos naturales que comprende la curva de crecimiento logístico (tambien llamada de forma S o sigmoidal), que es la grafica de la función
donde A, B y K son constantes positivas
La grafica de la función Q aparece en la figura. Obsérvese que Q(t) aumenta con bastante rapidez para valores pequeños de t. De hecho, para valores pequeños de t, la curva logística recuerda una curva de crecimiento exponencial. Sin embargo, la razón de crecimiento de Q(t) disminuye rápidamente cuando t aumenta y Q(t) tiene el numero A cuando X se incrementa sin límites. Así, la curva logística exhibe la propiedad de rápido aumento de la curva de crecimiento exponencial, tanto como la propiedad de saturación de la curva de
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aprendizaje. Debido a estas características. La curva logística sirve de un modelo matemático parar describir muchos fenómenos naturales. EJEMPLO: Los registros sobre salud pública indican que t semanas después del brote de cierta forma de influenza, aproximadamente miles de personas habían contraído la enfermedad.
¿Cuántas personas tenían la enfermedad cuando ésta comenzó? ¿En que momento comienza a descender la tasa de infección? Si la tendencia continúa, aproximadamente ¿cuántas personas contraerán la enfermedad? SOLUCION: a.
-1.2 (0)
Como, se tiene 1.000 personas tenían inicialmente la enfermedad
Cuando t = 2
≈ 7.343
luego aproximadamente 7, 343 personas habían contraído la enfermedad para la segunda semana. b. La tasa de infección comienza a descender en el punto de inflexión de la gráfica de Q(t). Al comparar la fórmula dad con la fór mula logística
, se obtiene que B = 20, A = 19 y Bk = 1.2
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En el análisis general de la curva logística, se demostró que el punto de inflexión ocurre cuando
≈
2.454
Entonces, la epidemia comienza a reducirse aproximadamente a las 2.5 semanas de haber comenzado. c. Como Q(t) se aproxima a 20 cuando t crece sin límite, se deduce que aproximadamente a las 20, 000 personas contraerán la enfermedad con el tiempo.
III. APLICACIONES DE LA INTEGRAL. CURVA LOGÍSTICA [2] En muchos problemas la propagación de un rumor, de un virus contagioso de un mensaje publicitario etc, se caracteriza por: •
•
Estar dirigido a una población finita llamémosla B. Si Q(t) es la población que en el momento t conoce el chisme, tenemos que su variación con respecto al tiempo es directamente proporcional a Q (número de chismosos) y al numero de personas que no conocen el
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chisme B – Q(t) (si no hay a quien contarle el chisme, así hayan muchos chismosos Q(t) no varia). De acuerdo con sus condiciones tenemos que: [ dQ/dt ] = kQ(b - Q);
(1)
0 con la condición de que Q(0) = Q, que corresponda al número de chismosos iniciales. K es la constante de proporcionalidad, Q(t) > 0 y B ≥ Q(t). Separando variables en la ecuación (1) tenemos:
[ dQ/ Q(B-Q) ] = kdt
ƒ [ dQ/ Q(B-Q) ] = ƒ kdt = kt + C
(**)
Resolviendo la integral ƒ [ dQ/ Q(B-Q) ] por fracciones parciales tenemos: 1/Q(B-Q) = 1/B [B/Q(B-Q)] = 1/B [{1/Q} + {1/ B-Q} ] por lo tanto, ƒ [dQ/ Q(B-Q)] = [1/B ƒ 1/Q] + [1/B ƒ {1/B-Q} dQ] = [1/B ln(Q) ] – [1/B ln (B-Q)] = 1/B ln (Q/B-Q) (propiedades de los logaritmos) Reemplazando en (**) nos queda: 1/B ln (Q/B-Q) = kt + C o sea, ln (Q/B-Q) = Bkt + BC de donde, Q/ B-Q = eBkt + BC = eBkt eBC = A1eBkt, donde A1 = e BC por tanto
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Q = (B-Q) A1eBkt = BA1eBkt - QA1eBkt Q + Q A1eBkt = A1eBkt Q(1 + A1eBkt) = A1eNkt Q = A1BeBkt / 1+ A1BeBkt Dividiendo el numerador y el denominador entre A1Be Bkt se tiene Q = [ B / {(1/ A1)e-Bkt+ 1}] Haciendo A = 1/ A1 resulta:
Que es la llamada función logística.
BIBLIOGRAFIA [1] Hoffman, Laurence; Bradley, Gerald. Cálculo: para administración, economía, ciencias biológicas y sociales. COLOMBIA: Mc Graw-Hill Interamericana 2001 [2] Soler Fajardo, Francisco; Núñez, Reynaldo; Aranda Silva, Moisés. Fundamentos de cálculo con aplicaciones a ciencias económicas y administrativas. Colombia: ECOE EDICIONES 2003 [3] Tan, S. Matemáticas para administración y economía. MÉXICO: International Thomson Editores 1998 [4] Willerding Margaret Hoffman, Stephen. Fundamentos de álgebra . México: LIMUSA, S. A.
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