Untuk Menentukan domain fungsi (daerah asal ), ada beberapa hal yang perlu kita ketahui
1. Jika
maka
2. Jika
maka
3. Jika
maka
4. Jika
maka
ontoh soal 1 !entukan daerah asal dari
Ja"ab # penyebut
$
Jadi domainnya adalah
ontoh soal 2 # %ungsi
terdefinisi dalam daerah &.
Ja"ab # 'ertanyaan ini sama artinya menari domain #
ontoh soal 3 # !entukan !entukan domain dari dar i
Ja"ab # yarat di dalam akar #
yarat di dalam logaritma # 4* + 4 $
ontoh soal 2 # %ungsi
terdefinisi dalam daerah &.
Ja"ab # 'ertanyaan ini sama artinya menari domain #
ontoh soal 3 # !entukan !entukan domain dari dar i
Ja"ab # yarat di dalam akar #
yarat di dalam logaritma # 4* + 4 $
4* 4 *1 Jadi
ontoh oal 4 # -aerah asal fungsi
adalah # Ja"ab # 33 /* + *2 $ *2 + /* + 33 0 $ (* 3)(* + 11) 0 $ 3 0 * 0 11
ontoh oal # -omain dari fungsi
adalah &.
Ja"ab # yarat numerus # 3$ + 3* $ 3* 3$ * 0 1$ yarat basis # * + 3 $ dan * + 3 1 * 3 dan * 4 Jadi 3 0 * 0 1$ dan * 4 isa 5uga ditulis # 3 0 * 0 4 atau 4 0 * 0 1$ etiap fungsi memiliki dua 6ariabel, yaitu 6ariabel bebas dan 6ariabel terikat. eara harfiah nilai 6ariabel terikat 7tergantung8 pada 6ariabel bebas. ebagai ontoh, dalam fungsi y 9 f ( x) 9 2 x y, x adalah 6ariabel bebas dan y adalah 6ariabel terikat (dengan kata lain, y adalah fungsi dari x). :ilainilai 6alid untuk 6ariabel x yang diketahui disebut 7domain;daerah asal.8 :ilainilai 6alid untuk 6ariabel y yang diketahui disebut 7range;daerah hasil.8 <1=
Tentukan jenis fungsi yang akan Anda kerjakan. -omain
dari fungsi tersebut adalah semua
nilai* (sumbu hori>ontal) yang akan memberi hasil nilaiy yang 6alid. 'ersamaan fungsi tersebut mungkin adalah kuadrat, peahan, atau mengandung akar. Untuk menghitung domain dari fungsi tersebut, yang pertama harus ?nda lakukan adalah memeriksa 6ariabel6ariabel dalam persamaan tersebut. •
ebuah fungsi kuadrat memiliki bentuk a*2 b* # <2= f(*) 9 2*2 3* 4
•
ontohontoh fungsi dengan peahan meliputi# f(*) 9 (1;*), f(*) 9 (* 1);(* 1), dan lainlain.
•
%ungsifungsi yang memiliki akar meliputi# f(*) 9 @*, f(*) 9 @(* 2 1), f(*) 9 @*, dan lainlain.
1.
Tulislah domain dengan notasi yang tepat.
'enulisan domain dari sebuah fungsi
melibatkan penggunaan tanda kurung siku [,] dan 5uga tanda kurung (,). Aunakanlah tanda kurung siku [,] 5ika bilangan termasuk dalam domain dan gunakan tanda kurung (,) 5ika domain tidak meliputi bilangan tersebut. Buruf U menyatakan gabungan (union) yang menghubungkan bagianbagian domain yang mungkin dipisahkan oleh suatu 5arak. <3= ebagai ontoh, domain dari [-2, 10) U (10, 2] meliputi 2 dan 2, tetapi tidak
o
menakup angka 1$. Aunakanlah selalu tanda kurung ( ) 5ika ?nda menggunakan simbol tak terhingga,
o
C.
•
3 Gambarlah grafik persamaan kuadrat.
'ersamaan kuadrat menghasilkan sebuah grafik
parabola yang terbuka ke atas ataupun ke ba"ah. 'ertimbangkan bah"a parabola akan berlan5ut tak terhingga pada sumbu*, domain dari sebagian besar persamaan kuadrat adalah semua bilangan real. -engan ara lain dinyatakan, sebuah persamaan kuadrat meliputi semua nilai* pada garis bilangan, menghasilkan domainnya R (simbol untuk semua bilangan real). <4= Untuk memeahkan fungsi tersebut, pilihlah nilai* sembarang dan masukkan ke
o
dalam fungsi. 'emeahan fungsi dengan nilai* akan menghasilkan nilaiy. :ilainilai * dan y merupakan koordinat (*,y) dari sebuah grafik fungsi. 'lotkan koordinat tersebut pada grafik dan ulangi prosesnya dengan nilai* yang
o
lain. o
Memplot beberapa nilai dalam model ini akan memberi ?nda gambaran umum dari bentuk fungsi kuadrat.
•
4 Jika persamaan fungsi tersebut adalah pecahan, buatlah penyebutnya menjadi sama dengan nol. aat
menger5akan peahan, ?nda tidak pernah dapat membagi dengan nol. -engan
membuat penyebut men5adi sama dengan nol dan menemukan nilai *, ?nda dapat menghitung nilainilai yang akan dikeluarkan dari fungsi tersebut. <= o
ebagai ontoh# !entukan domain dari fungsi f(*) 9 (* 1);(* 1).
o
'enyebut dari fungsi tersebut adalah (* 1).
o
uat penyebutnya men5adi sama dengan nol dan hitunglah nilai *# * + 1 9 $, * 9 1.
o
!ulislah domain# -omain dari fungsi tersebut tidak termasuk 1, tetapi meliputi semua bilangan real keuali 1D oleh karena itu, domainnya adalah (C, 1) U (1, C).
o
(C, 1) U (1, C) dapat dibaa sebagai kumpulan;gabungan dari semua bilangan real keuali 1. imbol tak terhingga, C, me"akili semua bilangan real. -alam hal ini, semua bilangan real yang lebih besar dari 1 dan kurang dari 1 termasuk dalam domain tersebut.
•
Jika persamaannya adalah fungsi akar, buatlah !ariabel"!ariabel akarnya menjadi lebih besar atau sama dengan nol. ?nda
tidak dapat menggunakan akar kuadrat dari bilangan
negatifD oleh karena itu, setiap nilai* yang memba"a pada bilangan negatif harus dikeluarkan dari domain fungsi tersebut.
ebagai ontoh# !entukan domain dari fungsi f(*) 9 @(* 3).
o
Fariabel6ariabel dalam akar tersebut adalah (* 3).
o
uatlah nilai tersebut men5adi lebih besar atau sama dengan nol# (* 3) G $.
o
Bitung nilai untuk *# * G 3. ol6e for *# * G 3.
o
-omain dari fungsi tersebut meliputi semua bilangan real yang lebih besar dari atau sama dengan 3D oleh karena itu, domainnya adalah <3, C). #agian$ %encari Range dari &ersamaan 'uadrat
1.
( &astikan Anda memiliki sebuah fungsi kuadrat. %ungsi kuadrat memiliki bentuk a* 2
b* #
f(*) 9 2*2 3* 4. entuk grafik fungsi kuadrat tersebut adalah sebuah parabola yang terbuka ke atas ataupun ke ba"ah. ?da beberapa ara berbeda untuk menghitung range dari fungsi tersebut tergantung 5enis fungsi yang sedang ?nda ker5akan.
ara paling mudah untuk menentukan range dari fungsifungsi lain, seperti fungsi akar atau fungsi peahan, adalah dengan menggambar grafik fungsi tersebut menggunakan kalkulator grafik.
•
$ )arilah nilai"* dari titik puncak fungsi. !itik
punak dari sebuah fungsi kuadrat adalah titik
punak parabola. Ingatlah, bentuk fungsi kuadrat adalah a*2 b* . Untuk menari koordinat* gunakan persamaan * 9 b;2a. 'ersamaan tersebut adalah turunan dari fungsi kuadrat dasar yang me"akili persamaan dengan gradien;kemiringan nol (pada titik punak grafik, gradien dari fungsi tersebut adalah nol).
ebagai ontoh, arilah range dari 3*2 E* 2.
o
Bitunglah koordinat * dari titik punak# * 9 b;2a 9 E;(23) 9 1
•
3 +itunglah nilai"y dari titik puncak fungsi. Masukkan
koordinat* ke dalam fungsi tersebut
untuk menghitung nilaiy yang berhubungan dari titik punak tersebut. :ilaiy ini menun5ukkan batas range dari fungsi tersebut. o
Bitunglah koordinaty# y 9 3*2 E* + 2 9 3(1)2 E(1) 2 9 .
o
!itik punak dari fungsi ini adalah (1, ).
•
4 Tentukan arah parabola tersebut dengan memasukkan ke dalamnya setidaknya satu lagi nilai"*. 'ilihlah
nilai* sembarang yang lain dan masukkan ke dalam fungsi tersebut untuk
menghitung nilaiy yang sesuai. Jika nilaiy tersebut adalah di atas titik punak, parabola berlan5ut ke C. Jika nilaiy di ba"ah titik punak, parabola akan berlan5ut ke C. o
Aunakan nilai* 2# y 9 3*2 E* + 2 9 y 9 3(2)2 E(2) + 2 9 12 12 2 9 2.
o
'erhitungan ini menghasilkan koordinat (2, 2).
o
Koordinat tersebut menun5ukkan pada ?nda bah"a parabola berlan5ut di atas titik punak (1, )D oleh karena itu, range meliputi semua nilaiy yang lebih tinggi dari .
o
Lange dari fungsi ini adalah <, C).
•
Tulislah range tersebut dengan notasi yang tepat. eperti halnya domain, range ditulis dengan
notasi yang sama. Aunakan tanda kurung siku [,] 5ika bilangan termasuk dalam range dan gunakan tanda kurung (,) 5ika range tidak menakup bilangan tersebut. Buruf U menun5ukkan suatu gabungan (union) yang menghubungkan bagianbagian range yang mungkin terpisah oleh suatu 5arak. <= ebagai ontoh, range dari [-2, 10) U (10, 2] meliputi 2 dan 2, tetapi tidak
o
menakup bilangan 1$. Aunakanlah selalu tanda kurung 5ika ?nda menggunakan simbol tak terhingga, C.
o
#agian3 %encari Range dari Grafik ungsi
1.
( Gambarlah fungsi tersebut. ering
kali, ara paling mudah menentukan range dari fungsi
adalah dengan menggambar grafiknya. anyak fungsi akar memiliki range (C, $= atau <$, C) karena titik punak dari parabola hori>ontal (sideways parabola) adalah pada sumbu hori>ontal *. -alam hal ini, fungsi tersebut meliputi semua nilaiy positif 5ika parabola terbuka ke atas, atau semua nilaiy negatif 5ika parabola terbuka ke ba"ah. %ungsi peahan akan memiliki asimtot (garis yang tidak pernah dipotong oleh garis lurus;lengkung kur6a tetapi didekati sampai tak terbatas) yang menentukan range dari fungsi tersebut.<1$= eberapa fungsi akar akan mulai di atas atau di ba"ah sumbu*. -alam hal ini,
o
range ditentukan oleh angka dimulainya fungsi akar. Jika parabola tersebut dimulai pada y 9 4 dan naik maka rangenya adalah <4, C). ara paling mudah untuk menggambar sebuah fungsi adalah menggunakan
o
program grafik atau kalkulator grafik. Jika ?nda tidak memiliki kalkulator grafik, ?nda dapat menggambar sketsa kasar
o
dari grafik tersebut dengan memasukkan nilai* ke dalam fungsi dan mendapatkan nilaiy yang sesuai. 'lotlah koordinatkoordinat tersebut pada grafik untuk mendapatkan gambaran bentuk grafiknya.
•
$ )arilah nilai minimum fungsi. egera setelah menggambar
fungsi tersebut, ?nda harus dapat
melihat dengan 5elas titik terendah dari grafik tersebut. Jika tidak ada nilai minimum yang 5elas, ketahuilah bah"a beberapa fungsi akan berlan5ut pada C (tak terhingga). o
ebuah fungsi peahan akan meliputi semua titik keuali yang berada pada asimtot. %ungsi tersebut memiliki range seperti (C, E) U (E, C).
•
3 Tentukan nilai maksimum fungsi. ekali
lagi, setelah menggambar grafik, ?nda harus dapat
mengidentifikasi titik maksimum dari fungsi tersebut. eberapa fungsi akan berlan5ut pada C dan oleh karena itu, tidak akan memiliki nilai minimum.
•
4 Tulislah range dengan notasi yang tepat. eperti
halnya domain, range ditulis dengan notasi
yang sama. Aunakan tanda kurung siku [,] 5ika bilangan termasuk dalam range dan gunakan tanda kurung (,) 5ika range tidak menakup bilangan tersebut. Buruf U menun5ukan gabungan (union) yang menghubungkan bagianbagian range yang mungkin dipisahkan oleh suatu 5arak. <11= ebagai ontoh, range dari [-2, 10) U (10, 2] meliputi 2 dan 2, tetapi tidak
o
menakup bilangan 1$. Aunakanlah selalu tanda kurung 5ika ?nda menggunakan simbol tak terhingga, C.
o
•
%ungsi f # AN Bf#?N adalah fungsi dengan daerah asal himpunan A? dan daerah ka"an B . -aerah hasil tidak harus sama dengan himpunan B . Untuk lebih 5elasnya akan di5elaskan dengan gambar di ba"ah ini 'ada gambar di samping # ? adalah daerah asal (-omain dari fungsi f f) ditulis Df -f B adalah daerah ka"an (Kodomain dari fungsi f f ) ditulis Kf Kf C adalah daerah hasil (Lange dari fungsi f f ) ditulis Rf Lf
•
-aerah asal alami dari f ( x)f(*) adalah daerah asal pada bilangan real
•
dimana f ( x)f(*) terdefinisi ontoh # (i) f ( x)9 xO1PPPPP@f*9*1 mempunyai
• •
• •
alami Df 9Q x∣∣ xG1, x∈ RR-f9**G1,*∈L ebab 5ika kita substitusikan nilai x01*01 , hasilnya tak terdefinisi (ii) f ( x)9 xxO1f*9**1 mempunyai daerah asal alami Df 9Q x∣∣
asal
x1, x∈ RR-f9*.
*1,*∈L ebab 5ika kita substitusikan nilai x91*91 , hasilnya 1$1$ (tak terdefinisi) emua fungsi polinom dera5at !n mempunyai daerah asal alami xϵ R*ϵL .
•
•
daerah
ebagai ontoh #
1.
-iketahui A9QO3,O2,O1,$,1,2,3R?93,2,1,$,1,2,3 , B9Q$,1,2,3,4,,E,H,/,R9$,1,2,3,4,,E,H,/,, dan f # A a. -omain
b. Kodomain
. range
-ihat &enyelesaian
2.
-iketahui A9Q x∣∣$S xS1, x∈ RR?9*$S*S1,*∈L , B9Q y∣∣$S yS1$$$, x∈ RR9y$SyS1$$$,*∈L , dan f # AN Bf# a . tentukan domain f f b . tentukan kodomain f f . tentukan range f f d . simpulkan tentang banyaknya bilangan real -ihat &enyelesaian
3.
!entukan -omain dan range untuk fungsifungsi di ba"ah ini T a . f ( x)9 x2O4 x3f*9*24*3 b . " ( x)9 x2O4 x3PPPPPPPPPPP@g*9*24*3 -ihat &enyelesaian
4.
!entukan -omain dan range untuk a. f ( x)9 x4PPPPP@f*9*4 b. " ( x)9 x24PPPPPP@g*9*24 -ihat &enyelesaian
.
!entukan domain dan range untuk dari f ( x)9 x2 xO3f*9*2*3 T -ihat &enyelesaian
E.
!entukan domain dan range untuk dari f ( x)93 xO2/ x211 xO12f*93*2/*211*12 T -ihat &enyelesaian
H.
!entukan domain dan range dari f ( x)92 xf*92* T -ihat &enyelesaian
/.
!entukan domain dan range dari fungsifungsi di ba"ah ini
a. f ( x)9log( x2)3f*9log*23 b . f ( x)9log( x2E x1)
%U:AI
/.
!entukan domain dan range dari fungsifungsi di ba"ah ini a. f ( x)9log( x2)3f*9log*23 b . f ( x)9log( x2E x1)f*9log*2E*1
J??
a.
f ( x)9log( x2)3f*9log*23
entuk logaritma akan terdefinisi 5ika basis dan numerusnya bernilai positif. Jadi x2$*2$ xO2*2
Df 9Q x∣∣ xO2, x∈ RR-f9**2,*∈L
Karena $0 x20C$0*20C , maka OC0log( x2)0C3C0log*20C3 Rf 9Q y∣∣ yϵ RRLf9yyϵL
b.
f ( x)9log( x2E x1)f*9log*2E*1
entuk logaritma akan terdefinisi 5ika basis dan numerusnya bernilai positif. Jadi x2E x1$*2E*1$ ( x3)21$$*321$$ Df 9Q x∣∣ x∈ RR-f9**∈L
Karena 1$S x2E x10C1$S*2E*10C maka 1Slog( x2E x1)0C1Slog*2E*10C Rf 9Q y∣∣ yG1, yϵ RR
H.
!entukan domain dan range dari x( x)92 x**92* T
J??
entuk 2 x2* akan terdefinisi pada semua nilai x* bilangan real, 5adi Df 9Q x∣∣ x∈ RR-f9**∈L
-an bentuk 2 x2* akan bernilai positif untuk semua x* bilangan real, Jadi Rf 9Q y∣∣ y$, y∈ RRLf9yy$,y∈L Untuk lebih 5elasnya, perhatikan sketsa grafik dari f ( x)92 xf*92*
4.
!entukan -omain dan range untuk a. f ( x)9 x4PPPPP@f*9*4 b. " ( x)9 x24PPPPPP@g*9*24
J??
a.
%ungsi rasional (bentuk akar) akan terdefinisi 5ika dalam akar bernilai non negatif,
