Penggunaan Pendekatan Stirling Untuk Menentukan Peluang Thermodinamika

2.1 Penggunaan Penggunaan Pendekatan Pendekatan Stirling Stirling Untuk Untuk Menentukan Menentukan Peluang Thermodinamika Thermodinamika

Juml umlah

mikr mikros osta tate te

yang yang

berk berkai aita tan n

deng dengan an

makr akrost ostate ate

tert terten entu tu,,

atau atau

pelu peluan ang g

thermodinamika dari makrostate (W), untuk kasus gas dimana jumlah N dan semua Ni adalah sangat besar. Faktorial untuk jumlah bilangan yang besar dapat dilakukan dengan pendekatan Stirling yang akan kita turunkan berikut ini. Logaritma asli (alamiah) dari x faktorial adalah : ln (x!) = x ln x - x + 1 = x ln x - x Harga logaritma ini secara exact sama dengan luas daerah di bawah kurva tangga yang ditunjukkan dengan garis putus-putus pada gambar 3,

antara x = 1 dan x = x, karena masingmasing-

masing segiempat lebarnya satu satuan dan tinggi yang pertama ln 2, tinggi yang kedua ln 3, dst.

 y y = ln x ln 5 ln 4 ln 3 ln 2 0

1

2

3

4

5

6

7

8

 x

Gambar 3. Luas daerah di bawah kurva pada gambar 3 secara aproksimasi aproksimasi sama dengan luas kurva di  bawah fungsi y = ln (x) dengan batas-batas yang sama dengan kurva tangga. Secara pendekatan untuk x yang besar, diperoleh : x

∫ 

ln (x!) = ln(x)dx 0

= x ln x - x + 1 Untuk x besar faktor 1 dapat diabaikan, dengan demikian: ln(x ln(x!) !) = x ln x - x

(2) (2)

 Pendekatan Stirling. Stirling. Persamaan ini dikenal dengan Pendekatan

Untuk kasus jumalah partikel yang mendekati orde 1023 digunakan pendekatan Stirling, yaitu dengan formulasi sebagai berikut.

W  =

 N !

(3)

∏ N  i

Dengan mengambil logaritma dari persamaan (3), diperoleh : ln

a b

= ln a − ln b

∏ N !

ln W  = ln N !− ln ln W  = ln N !−

i

∑ ln N !

(4)

i

Bentuk persamaan (2) dan (3) dalam persamaan (4), dengan persamaan Starling persamaan (2) menjadi: ln W  = ln N !−

∑ ln N  ! i

∑ ( N  ln N  − N  ) ln W  = ( N ln N − ∑ N  ln N  ) − ( N + ∑ N  ) ln W  = ( N ln N − ∑ ( N  ln N  )) − 0 ln W  = ( N ln N − ∑ ( N  ln N  ))

ln W  = ( N ln N − N ) −

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

(5)

dengan ∑ Ni = N. Sekarang seiring dengan perubahan waktu dan titik fase di dalam cell dari ruang fase  berubah, jumlah Ni akan berubah. Jika sistem dalam keadaan peluang thermodinamika maksimum (Wo) variasi pertama Wo muncul dari variasi Ni. Dalam hal variasi Ni adalah nol. Kita akan menggunakan simbul δ untuk menyatakan perubahan kecil yang muncul dari gerak kontinu titik  fase di dalam ruang fase. Jika peluang thermodinamika Wo adalah maksimum, maka logaritmanya  juga maksimum, dengan demikian untuk peluang maksimum adalah: o

δ  ln (W ) = 0

∑ ( ln = δ ( ln − ∑ ( = δ  ln − ( ∑ ( ln

ln W  = (W  ln  N  − δ  ln W  δ  ln W 

W 

 N 

 N i

 N 

N i ))

 N i

 N 

ln N i ))

 N iδ  N i

+  N δ  ln N  ) ) i

Karena N konstan maka: δ  ln W 

    1 = − ∑ ( ln  N  δ  N  +  N  δ N  )      N      i

i

i

i

i

i

δ  ln W 

Dengan

∑

 N i

= −( ∑ ( ln  N  δ  N  ) + ∑ δ N  ) i

i

i

= N  konstan, maka persamaan di atas menjadi: δ  ln W 

= ∑ (ln  N  δ N  ) i

i

(6)

Persamaan (6) merupakan peluang termodinamika maksimum dengan menggunakan  pendekatan Stirling.