Metode Steepest Descent untuk Meminimalkan Fungsi

3. Tentukan

dan

dari barisan Steepest Descent

f ( x, y)  x2  2 y4  4xy  5x, dengan titik awal

untuk fungsi

.

Jawab : Diketahui f ( x, y)  x2  2 y 4  4xy  5x, dengan titik awal x(0)  (3,1)T . (langkah 1) Dari , kita dapatkan

f ( x, y)T  (2x  4 y  5,8 y  4x) dan

f (3,1)T   2  3  4 1  5,8 1  4 3    7, 4 .

(langkah 2) Akan kita cari yang meminimalkan fungsi 0 (t )  f  x(0)  tf ( x(0) )  Kita peroleh,

0 (t )  f  x(0)  tf ( x(0) ) 

3,1  tf 3,1  (t )  f   3,1  t  7, 4    f  3  7t ,1  4t  . f

0

Lalu, agar meminimalkan fungsi 0 , maka harus dipenuhi 0 '(t )  0 . Sehingga,





0 '(t )  f x 0  tf ( x 0 ) f ( x 0 )    2  3  7t   4 1  4t   5,8 1  4t   4  3  7t     7, 4     7  30t , 4  60t    7, 4     49  210t  16  240t     65  450t 

0 '(t )  450t  65  0  t 

65 13  . 450 90

Jika meminimalkan 0 , maka pasti berlaku 0 ''(t )  0 . Pernyataan 0 ''(t )  450  0 , membuktikan bahwa dalam kasus ini,

0 . (langkah 3)

meminimalkan

 

k 1 k k Kemudian, dengan rumus iteras, x   x   tf x  , akan kita dapatkan

 

 13   13   179 322  x1  x 0    f x 0   3,1     7, 4    , .  90   90   90 90 

 179 322  Jadi, x1   , .  90 90  (langkah 4) Dari x  , kita punyai 1

 179 322    179   322   322   179   f ( x1 )T  f  ,    2   4   5,8    4   90 90    90   90   90   90     179 644 225   1288 358    210 930         , , 45    45 45    45 45 45   45

.

(langkah 5) Akan kita cari yang meminimalkan fungsi 1 (t )  f  x(0)  tf ( x(0) )  Kita peroleh,

1 (t )  f  x(1)  tf ( x (1) )    179 322   179 322    f  , ,   tf    90 90     90 90    179 322   210 930   1 (t )  f   , , t     90 90   45 45  

 179 420 322 1860  f  t,  t . 90   90 90 90

Lalu, kita juga akan peroleh





1 '(t )  f x1  tf ( x1 )  f ( x1 )   179 420   322 1860   322 1860   179 420    179 320    2  t   4  t   5,8   t   4  t   ,  90   90 90  90   90 90    90 90   90   90  284 4340 930 8280  179 320     t,  t  ,  45 45 45  90 90   45    27, 20  72, 56t 

1 '(t )  72,56t  27, 2  0  t 

27, 2 3  . 72,56 8

Karena 1 ''(t )  72,56  0 , maka meminimalkan 1 . (langkah 5)

 

k 1 k k Kemudian, dengan rumus iteras, x   x   tf x  , akan kita dapatkan

 

 3  179 322   3  210 930  x 2  x1    f x1   , ,       8  90 90   8  45 45  Jadi, x   2

.

.

 Jadi, dengan metode Steepest Descent, kita peroleh

 179 322   2 x1   ,  dan x   90 90 



“Saya mengerjakan tugas ini dengan jujur”

Syahrul Bahar Hamdani