DIAGRAMAS DE VENN Y ÁLGEBRA DE CONJUNTOS Diagrama de Venn.- Es un dispositivo gráfico para representar el espacio muestral y las operaciones que implican eventos. El inglés J. Venn desarrolló este tipo de diagrama para representar, gráficamente, los resultados de un experimento. El concepto de las reglas de eventos mutuos excluyentes y varias otras reglas de probabilidad se pueden representar con diagramas de Venn. Para construir un diagrama de Venn un espacio se enclaustra representando el total de todos los resultados posibles. Las reglas de las tres operaciones básicas del álgebra de conjuntos para formar uniones, intersecciones y complementos de eventos se describen en la TABLA 2.1. TABLA 2.1. Tabla mostrando las leyes del álgebra de conjuntos.
Los esquemas de abajo muestran algunos diagramas de Venn.
TÉCNICAS DE CONTEO Numerosas reglas de conteo han sido usadas para contar el número de puntos en muestreos. Cuando los diversos resultados de un experimento son igualmente probables, la tarea de calcular probabilidades se reduce a contar. Estas técnicas de conteo son útiles para contar el número de eventos que componen el numerador y/o el denominador de una probabilidad. Ejemplos de técnicas de conteo son: 1. La regla del producto para pares ordenados 2. La regla del producto más general
3. Factoriales 4. Uso de diagramas de árbol 5. Permutaciones 6. Combinaciones La regla del produ cto para pares ordenados La forma más básica de conteo es la regla del producto mn. Por ejemplo, si el primer elemento u objeto de un par ordenado se puede seleccionar en n1 formas, y por cada una de estas n1 formas se puede seleccionar un segundo elemento del par en n2 formas, entonces, siendo así, esto es una regla del producto.
Ejemplo #31. ¿Cuántos puntos muestrales hay en un espacio muestral S, cuando un par de dados se lanzan una vez? Solución: El primer dado puede caer en n1 = 6 maneras. Para cada una de estas 6 maneras, el segundo dado puede también caer en n2 maneras. Por lo tanto, el par de dados pueden caer en n1n2 = (6) (6) = 36. El espacio muestral es: S = {1-1, 1-2, 1-3, 1-4, 1-5, 1-6, 2-1, 2-2, 2-3, 2-4, 2-5, 2-6, 3-1, 3-2, 3-3, 3-4, 3-5, 3-6, 4-1, 4-2, 4-3, 4-4, 4-5, 4-6, 5-1, 5-2, 5-3, 5-4, 5-5, 5-6, 6-1, 6-2, 6-3, 6-4, 6-5, 6-6}
Ejemplo #32. En un estudio médico los pacientes se clasifican en ocho maneras de acuerdo a que tengan tipo de sangre, es decir, AB+, AB-, A+, A-, B+. B- o O+, O- y también de acuerdo a, aquéllos que tengan presión alta, baja o normal. Encontrar el número de maneras en las cuales un paciente se pueda clasificar. Solución: n1 = 8 tipos de sangre y n2 = 3 presiones arteriales. Por lo tanto, n1 n2 = (8) (3) = 24 maneras.
Regla de multiplicación más general La regla del producto para k-arreglos se define como sigue: Si una operación puede ser hecha en n1 maneras y, si para cada una de estas maneras, una segunda operación puede ser hecha en n2 maneras, y, si por cada una de estas dos primeras operaciones, una tercera operación puede ser hecha en n3 maneras y, así sucesivamente, entonces, la secuencia de k operaciones o arreglos puede ser hecha en n1, n2, n3,..., n k arreglos, es decir:
n1n2n3,…,n k
Ejemplo #33. Supóngase que un cliente desea instalar un teléfono Trimline y se puede seleccionar de n1 = 10 colores decorativos que se supone están disponibles en n2 = 3 longitudes de cables con n3 = 2 tipos de tonos rotativos. Entonces, ¿cuántos arreglos se pueden hacer? Solución: n1n2n3 = (10)(3)(2)= 60 arreglos
Ejemplo #34. Si cada clínica en un centro médico, tiene 4 especialistas del corazón, 3 especialistas en medicina interna y dos cirujanos generales, ¿cuántas maneras existen de seleccionar un médico de cada tipo? (Nota: en este renglón, del punto de vista del autor de este libro, no puede haber especialistas médicas de cada una de las partes, órganos o sistemas del cuerpo, como comúnmente se cree. Si así fuera, esto equivaldría a decir que cada órgano o sistema del cuerpo funciona independientemente del resto del organismo; lo cuál no es correcto. Esto se debe a qué, el cuerpo está compuesto por órganos o sistemas contingentes o dependientes, cuyo funcionamiento depende, en turno, de la dirección que se le dé a todo el organismo como unidad independiente. El hecho de que un órgano o sistema del cuerpo esté aparentemente enfermo, esto no quiere decir qué, solamente, ese órgano en particular está enfermo, sino que toda la química del cuerpo está alterada, como resultado de vida antinatural.Este razonamiento está relacionado con la tesis de Hipócrates conspiratio una). Solución: n1n2n3 = (4)(3)(2) = 24
Regla factorial Dado un íntegro positivo n, el producto de todos los números enteros desde n hasta 1 se llama factorial n y se escribe n!. En general, n! = n(n – 1)(n – 2)(n – 3)….1. Por definición 0! = 1. Aquí nótese que 10! = 10·9!; 5! = 4·4!, y n! = n(n – 1)! Más adelante, cuando se discuta el tema de permutaciones se verá que, la diferencia entre la regla factorial y la regla de permutaciones, es la siguiente: la regla factorial dice cuántos arreglos son posibles, cuando se usan todos los diferentes objetos de n. Sin embargo, cuando se habla de permutaciones, se seleccionan solamente algunos de los objetos n, no todos, como en el caso de la regla factorial.
Ejemplo #35. Calcular los siguientes factoriales: (a) 10! (b) 5! (c) 9!/0! Solución: (a) 10! = 3,628,800 (b) 5! = 120 (c) 9!/0! = 362,880/1 = 362,880
Ejemplo #36. Un candidato presidencial planea visitar cada uno de 28 estados de un país. ¿Cuántas rutas diferentes son posibles? Solución: Las capitales de los diferentes 28 estados se pueden arreglar en 28! maneras, de tal forma el número de diferentes rutas es 28! = 3.049x10 29.
Ejemplo #37. En la facultad de ingeniería, en cierta oficina, los escritorios de 4 becarias se ponen en línea contra una pared. Cada becaria se puede sentar en cualquier escritorio. ¿Cuántos arreglos para sentar a las becarias son posibles? Solución: Usando n! = 4! = (4)(3)(2)(1) = 24
Diagramas de árbol En las reglas de producto o regla de multiplicación se puede usar una configuración llamada diagrama de árbol, para representar esquemáticamente, todas las posibilidades y calcular cualquier probabilidad en los resultados obtenidos del diagrama de árbol. De esta manera, los espacios muestrales pueden describirse gráficamente en términos de un diagrama de árbol.
Ejemplo #38. Supóngase que una computadora pueda seleccionar, aleatoriamente, uno de dos factores, Rh (positivo y negativo) y uno de tres tipos de sangre. Calcular la probabilidad de sacar un factor Rh positivo con tipo de sangre A. Solución: Usando la regla de multiplicación n1 n2 = (2) (3) = 6 se hace este cálculo. Sin embargo, aquí es difícil visualizar las combinaciones calculadas en la probabilidad. No obstante, el uso de un diagrama de árbol simplifica esta tarea.
Ejemplo #39. Con relación al problema anterior hacer un diagrama de árbol para relacionar el factor Rh y el tipo de sangre. Solución:
Del diagrama de árbol de arriba podemos ver que el espacio muestral es: S = {+A, +O, +B, -A, -O, -B) Examinando esta situación vemos qué, una sola rama corresponde a: +A. Por lo tanto, la probabilidad de sacar este arreglo es de 1/6.
Ejemplo #40. Supóngase que se quiera encontrar la probabilidad de un infante, que sea una hembra con ojos azules. Asumir que la probabilidad de varones y hembras es igual y que puedan salir con colores de ojos cafés, verdes, azules o castaños. Solución: Usando la regla de productos da: n1 n2 = (2) (4) = 8. La probabilidad de una hembra con ojos azules es 1/8. Pero, haciendo un diagrama de árbol simplificamos el cálculo de la probabilidad de sacar una hembra con ojos azules.
El espacio muestral azules es de 1/8.
S
da 8 posibilidades. De manera que, la probabilidad de una hembra de ojos
Ejemplo #41. Considérese el lanzamiento de una moneda tres veces (o el lanzamiento de tres monedas a la vez). Hacer los siguientes enunciados: (a) Usar un diagrama de árbol para representar el número de resultados experimentales y el espacio muestral.
(b) Calcular la probabilidad de que caigan exactamente 3 soles (caras) (c) Calcular la probabilidad de que caigan cuando menos 2 soles. (d) Calcular la probabilidad de que caigan a lo más 2 águilas. (e) Calcular la probabilidad de cada uno de los resultados del espacio muestral. Solución: (a) La figura de abajo muestra el diagrama de árbol del experimento de lanzar las tres monedas simultáneamente.
Diagrama de árbol del experimento de lanzar las tres monedas simultáneamente, donde S = soles y A = águilas. Con este diagrama de árbol vemos que hay 8 resultados al lanzar una moneda tres veces consecutivas o tres monedas simultáneamente. El espacio muestral es: S = {(SSS), (SSA), (SAS), (SAA), (ASS), (ASA), (AAS), (AAA)} (b) La probabilidad de caigan exactamente 3 soles es: P(soles = 3) = 1/8 (c) La probabilidad de que caigan cuando menos 2 soles es: P(soles ≥ 2) = 4/8 = 1/2 (d) La probabilidad de caigan a lo más dos águilas es: P(águilas ≤ 2) = resolverse por el lector (e) La probabilidad de todo el conjunto muestral es: P( S ) = 1 o sea: = P(SSS)+P(SSA)+P(SAS)+P(SAA)+P(ASS)+P(ASA)+P(ASS)+P(AAA) = 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 = 1
Ejemplo #42. Una pareja de recién casados desea tener 4 hijos. (a) Enlistar el espacio muestral. (b) ¿Cual es la probabilidad de tener 3 varones? ¿4 varones? (c) ¿Cuál es la probabilidad de tener puras hembras? ¿Más de 2 hembras? Solución: (a) S = {vvvv, vvvh, vvhv, vvhh, vhvv, vhvh, vhhv, vhhh, hvvv, hvvh, hvhv, hvhh, hhvv, hhvh, hhhv, hhhh} (b) P(3 varones) = 2/8 = ¼; P(4 varones) = 1/16 (c) P(puras hembras) = 1/16; P(más de 2 hembras) = 5/16
Permutaciones Una permutación es un arreglo ordenado de objetos o casos. De esta manera, hasta ahora se ha discutido, únicamente, las reglas del producto para pares ordenados y la regla de multiplicación más generalizada. Como se dijo, estas reglas dicen que, los elementos sucesivos de un k-arreglo se
seleccionaron de conjuntos diferentes y con opciones con reemplazo para el mismo elemento que pueda aparecer más de una vez. Sin embargo, en el caso de las permutaciones, vamos a considerar un fondo fijo formado por n distintos elementos y suponiendo que se forma un k-arreglo, al seleccionar sucesivamente de este conjunto, sin reemplazo, para que un elemento pueda aparecer a los sumo en una de las k posiciones. Definición : Una
permutación es un arreglo de todos o parte de un conjunto de objetos, donde el orden es de importancia (en contraste con la combinación en la cual veremos que el orden no es de importancia). Teorema 1: El
número de permutaciones de objetos tomados todos a un tiempo es n! Este teorema nos da el número total de todos los objetos tomados todos a un tiempo (el cual es el espacio muestral).
Ejemplo #43. Usando una calculadora de bolsillo, evaluar las siguientes permutaciones: (a) 8P3, (b) 6P4, (c) 15P1, (d) 3P3 Solución: (a) 8P3 = n! / (n - r)! = 8!/(8 – 3)! = 336 (b) 6P4 = (6)(5)(4)(3) = 360 (c) 15P1 = 15 (d) 3P3 = (3)(2)(1) = 6
Ejemplo #44. El número de permutaciones de las cuatro letras, a, b, c, d (tomadas todas a un tiempo) es: n! = 4! = 24 Esta permutación es, realmente, una regla factorial, porque se tomaron todas las letras a un tiempo.
Ejemplo #45. Dos boletos de la lotería se sacan de 20 para el primero y segundo lugar. Encontrar el número de puntos muestrales en el espacio. Encontrar también todo el espacio muestral S . Solución: Aquí los objetos son tomados de 2 en 2 es decir, n = 20 y r = 2 y usamos la fórmula: nPr = n! / (n - r)! = 20P2 = 20!/(20 - 2)! = 380 Ahora, si queremos todo el espacio muestral quiere decir que los vamos a tomar todos a un tiempo r. Esto dice que la fórmula: nPr = n! / (n - r)! se reduce a n! o sea 20! = 2.43x10 18
Ejemplo #46. ¿De cuántas maneras puede la Sociedad Química Mexicana seleccionar a 3 conferencistas para 3 conferencias diferentes, si hay únicamente 5 fechas disponibles? Solución: Aquí n = 5 y r = 3 usando nPr = n! / (n - r)! y sustituyendo los valores da: nPr = n! / (n - r)! = 5P3 = 5! / 2! = 60. En resumen, aquí vemos qué, si queremos todas las permutaciones posibles o todo el espacio muestral, entonces, usamos n! Pero, si queremos, únicamente, una parte, usamos nPr = n!/(n - r)!
Ejemplo #47. ¿Cuál es el número de permutaciones de las letras a, b, c tomadas todas a un tiempo?
Solución:
Seis, v.g., ab, ba, ac, ca, bc, cb
Ejemplo #48. Considérese una carrera de 10 caballos y un premio de exacta para cualquiera que pueda escoger el orden exacto del primero hasta el décimo lugar. Asumiendo que todos los caballos tienen la misma oportunidad de ganar, ¿Cuántos arreglos hay? Solución: 10P10 = 3,628,800 permutaciones
Ejemplo #49. Bajo las condiciones del problema #7, ¿Cuál es la probabilidad de ganar si se compra un solo boleto? Solución: P(Con un solo boleto) = 1 / 10P10 = 1/3,628,800 = 2.76x10-7
Ejemplo #50. Supóngase que hay 6 partes diferentes para ser almacenadas, pero solamente, hay 4 cajas disponibles. ¿Cuántas permutaciones son posibles? Solución: Aquí, n = 6 y r = 4, es decir: 6P4 = 360 Teorema 3. El
número de diferentes permutaciones de n objetos, de los cuales n1 son de una clase, n2 son de una segunda clase,...n k son de una k-ésima clase se da como: n! / (n1! n2!..nk!) (2-10) Donde: n! es el total de los objetos
Ejemplo #51. ¿De cuántas maneras pueden arreglarse en un cordón eléctrico 3 focos rojos, 4 amarillos y 2 azules en 9 portalámparas? Solución: Usando la regla de partición n!/(n1!n2!..nk!) Donde, n! = 9, n1 = 3, n2 = 4 y n3 = 2, da: 9! / (3! 4! 2!) = 1260. Ejemplo #52. Un colegio juega 12 juegos durante la temporada. De cuantas maneras puede el equipo terminar la temporada con 7 juegos ganados, 3 perdidos y 2 empates? Solución: Usando la función (2-9) con n! = 12, n1 = 7, n2 = 3 y n3 = 2 y sustituyendo da: 12!/[(7!)(3!)(2!) = 7920 Otra forma de ver las permutaciones es cuando estamos interesados en el número de maneras de partir un conjunto de n objetos en r subconjuntos llamadas celdas. El número de maneras de partir un conjunto de n objetos en r celdas con n1 elementos en la primera celda, n2 elementos en la segunda y, así sucesivamente, es: Teorema 4.
Donde: n1 + n2 + nr = n
Ejemplo #53. En cuántas maneras pueden 7 científicos ser asignados a un cuarto triple y a 2 cuartos dobles en un hotel. Solución:
Ejemplo #54. De cuántas maneras se pueden acomodar a 10 viajeros en un hotel asignándolos en 2 cuartos triples y 3 cuartos dobles? Solución: Usando la función (2-11) y sustituyendo da: 10! / (3! 3! 2! 2! 2!) = 12,600
Combinaciones Una combinación es un arreglo de objetos, sin importar el orden. El número de combinaciones de n objetos tomados a un tiempo r puede escribirse como nCr. Teorema :
El número de combinaciones de n objetos distintos tomados a un tiempo r es una combinación; esto es, el número de subconjuntos de tamaño r que pueden seleccionarse de un conjunto de n objetos distintos donde el orden no es importante (como en el caso de la permutación, en la cual el orden si es importante). La combinación se denota por la función: nCr = n! / r! (n - r)! Donde: nCr es la combinación, que también se puede denotar como Cnr
Ejemplo #55. Evaluar 7C4. Solución:
Usando la fórmula (2-12) nCr = n! / r!(n - r)! y sustituyendo los valores da: = 7C3 = 7! / 4! 3! = 35
Ejemplo #56. Un fabricante de llantas hace 10 tipos de neumáticos para diferentes tamaños y quiere preparar una partida que contenga 6 tipos de llantas. ¿Cuántas combinaciones de llantas están disponibles? Solución: Usamos la función de combinación, la cual es un arreglo de objetos, sin importar el orden. Aquí se usa nuevamente, la función (2-12) definida como: nCr = n!/ r!(n - r)! = nPr / r! Aquí, n = 10, r = 6. Substituyendo estos valores en la función de arriba da: 10C6 = 10! / 6! 4! = 210 Ejemplo #57. Un grupo de tres inspectores va a inspeccionar las actividades de una industria contaminante. El grupo se va a formar seleccionando los tres agentes de un grupo de 5. ¿Cuántos grupos diferentes se pueden formar siguiendo un orden definido? ¿Siguiendo un orden indefinido? Solución: Para el primer caso, sería una permutación, porque se quiere un orden definido. Usando la fórmula nPr = n!/(n - r)! con n = 5 y r = 3 y sustituyendo los valores da: 5P3 = 5! / (5 - 3)! = 5!/3! = 20 Para el segundo caso, o sea un orden indefinido, sería una combinación, porque el orden no es de importancia, es decir, usando la fórmula 5C3 = 10
Otra variación de combinación se define como el número de combinaciones de n objetos tomados 1, 2, 3,... n a un tiempo. De esta manera, en general, para cualquier íntegro positivo n se da por la función de abajo: nC1 + nC2 + nC3 + ... + nCn = 2n – 1
Ejemplo #58. Una persona tiene cinco monedas de diferentes denominaciones. ¿Cuántas sumas diferentes de dinero se pueden formar? Solución: La moneda se puede seleccionar ya sea una de 5 monedas, dos de 5 monedas,…., cinco de 5 monedas. Usando la función de arriba (2-13) y sustituyendo los valores apropiados da: 5C1 + 5C2 + 5C3 + 5C4 + 5C5 = 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 31 Otra forma de hacer este problema sería razonando de la siguiente manera. Cada moneda se puede manejar de dos maneras, a medida que se selecciona o no se selecciona. Debido a que cada una de las dos maneras de tratar con una de las monedas es asociada con dos maneras de usar, con cada una de las otras monedas, el número de maneras de tratar con las cinco monedas es usando la relación 25 maneras. Pero la cantidad 25 maneras incluye el caso en el cual ninguna moneda se selecciona. Por lo tanto, el número requerido de sumas de dinero es de 25 – 1 = 31. Dentro del tópico de combinaciones, también se puede incluir el uso de la regla hipergeométrica (Pfaffenberger et al. 1987). Siendo así, supóngase que hay n objetos en un grupo y, que n1 son de un tipo y n2 son de otro tipo. El número de grupos de r objetos, donde r1 son del primer tipo y r2 son del segundo tipo, que pueden ser formados por medio de sacar r objetos de n, se da por: n1 n1Cr1 · n2Cr2 donde n1 + n2 = n; r1 + r2 = r
Ejemplo #59.Un reclutador de una firma de empleos ha hecho entrevistas con 10 ingenieros, de los cuales 6 son ingenieros civiles y 4 no. El reclutador quiere emplear 5 de los 10 ingenieros entrevistados. ¿Cuántos grupos posibles de los cinco ingenieros empleados contendrán exactamente tres ingenieros civiles? Solución: Dejar que n1 = 6 y n2 = 4 u usar la regla hipergeométrica (2-14). En el subgrupo de tamaño r = 5, queremos r1 = 3 ingenieros civiles y r2 igual a los que no son ingenieros civiles. Entonces, el número de grupos de tamaño 5 de esta categoría es: 6! 4! 6C3·4C2 = ————— · ————— = (20)(6) = 120 3!(6 – 3)! 2!(4 – 2)! Aquí nótese que la regla hipergeométrica es “poniendo juntos” el producto y la regla combinaciones para obtener el resultado.
de
EJERCICIOS. Resuelve correctamente los sigu ientes ejercicios utilizando los apuntes anteriores y los ejemp los dado s.
2.25. Un ingeniero fabricante de motores le preocupan tres tipos de principales defectos. Por ejemplo, A es el evento en el que el eje del motor es demasiado grande, B el evento en el que las bobinas son inadecuadas y C el evento en el que las conexiones eléctricas son insatisfactorias. De ser así, expresar verbalmente qué eventos están representados por las siguientes regiones del diagrama de Venn. (Johnson, 1997) (a) Región 2. (Dado que la región 2 está en A y B, pero no en C, esto dice que, el eje es demasiado grande y las bobinas son inadecuadas) (b) Región 1 y 3 juntas (c) Regiones 3, 5, 6 y 8 juntas (Debido a que todas estas regiones están fuera de la región A, esto representa el evento en que el eje es demasiado largo o defectuoso)
Figura mostrando los espacios muestrales y eventos. (Fuente: Johnson 1997) 2.26. Refiriéndose al problema anterior representar con símbolos de Venn las siguientes regiones: (a) 4, 6, 7 (b) 1,4 (c) 1, 2, 5, 7 (d) 1, 2 (e) 1, 3, 4. 2.27. En estudios de higiene industrial y seguridad de obreros de una industria se descubrió que el 8% necesitaron botas de hule para protección contra descargas eléctricas, 15% necesitaron cascos protectores para la cabeza y, 3% necesitaron, ambos, botas de hule protectoras y cascos protectores para la cabeza. ¿Cuál es la probabilidad de que un trabajador seleccionado, al azar, necesitará, ya sea, botas protectoras de hule o cascos protectores para la cabeza? Sugerencia: usar el modelo aditivo. 2.28. Se lanza una moneda dos veces. Encontrar la probabilidad de sacar una cara, ya sea en el primer lanzamiento o segundo lanzamiento o en ambos lanzamientos. Asumir que H = caras, T = águilas.
2.29. Una computadora genera, aleatoriamente, el último dígito de un número telefónico. Calcular: (a) La probabilidad de que el resultado sea un 8 o 9. (b) La probabilidad de que el resultado sea un número non o menor que 4. 2.30. Encontrar la probabilidad de sacar un total de 7 o 11 cuando un par de dados se lanzan. 2.31. ¿La probabilidad de sacar un as o un rey de un mazo de 52 cartas? 2.32. Cuál es la probabilidad de sacar, ya sea un as o una espada o ambos en una sacada de cartas de un mazo de 52 naipes. 2.33 ¿Cuántas comidas consistentes de una sopa, un emparedado, un postre y un refresco son posibles, si podemos seleccionar 4 sopas, 3 tipos de emparedados, 5 postres y 4 refrescos? 2.34. Dos monedas se lanzan. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas monedas caigan en águilas? Usar regla multiplicativa. 2.35. Una pareja de recién casados planea tener 3 hijos. Encontrar los siguientes enunciados: (a) La probabilidad que todos los hijos sean hombres. (b) La probabilidad de 3 hembras. (c) La probabilidad de exactamente 2 varones. (d) La probabilidad de 3 varones y 3 hembras. (e) La probabilidad de tener a lo más 2 varones. (f) La probabilidad de tener cuando menos 2 varones. Asumir que los varones y las hembras tienen la misma oportunidad y que el sexo de cada hijo sea independiente del sexo del otro. Hacer un diagrama de árbol para facilitar el cómputo. 2.36. Con referencia al problema anterior, si la familia fuera de 4 hijos, ¿cuál sería la probabilidad de fueran 4 varones y/o 4 hembras? 2.37. Responder a las siguientes preguntas; (a) ¿Cuántos resultados hay en un espacio muestral, cuando se lanzan un par de dados una sola vez?¿Cuál es éste? (b) ¿Cuántos puntos muestrales hay en un espacio muestral cuando se lanzan 3 dados simultáneamente? 2.38. Un diseñador de una nueva subdivisión ofrece a los compradores de casas, una selección de estilos exteriores de inglés, rústico, colonial, y exterior tradicional combinados con tipos de rancho, de dos pisos y un desnivel. ¿De cuántas maneras se puede ordenar una de estas casas con esos estilos de construcción? Hacer un diagrama de árbol. Sugerencia: usar la regla del producto n1n2. 2.39. Un estudio de tráfico vehicular indica que de 3,756 autos que se acercan a la plaza, 857 entran en el aparcamiento. ¿Cuál es la probabilidad de que un auto no entre en el aparcamiento? 2.40. En una prueba la primera pregunta es de falso y verdadero y, la segunda pregunta es de selección múltiple con posibles respuestas de a, b, c, d, e. (a) ¿Cuántas secuencias de posibles respuestas hay en estas dos preguntas? (b) Usar un diagrama de árbol y enlistar el espacio muestral. 2.41. En el diseño de un sistema de computadora, si un byte se define como una secuencia de 8 bits y, cada bit debe ser 0 o 1, ¿cuántos bytes diferentes son posibles?
2.42. Hablando de factoriales, evaluar 50! Sugerencia: usar la aproximación de Sterling: n! ~ √2πn nn e-n 2.43. Se lanza una moneda 3 veces consecutivas. Hacer un diagrama de árbol con los resultados de soles y águilas y el espacio muestral. Calcular lo siguiente: (a) Número de soles es cuando menos 2. (b) Segundo lanzamiento son soles. (c) El número de soles es exactamente 2. (d) Segundo lanzamiento son águilas. (e) Todos los lanzamientos muestran la misma imagen. (f) El número de soles es menor que 2. (g) El segundo lanzamiento no son soles. (h) El número de soles es de cuando menos 2. (i) El número de soles es no más de 3. (j) El número de águilas es a lo más 3. (k) El número de soles que excedan el número de águilas. 2.44. ¿De cuántas maneras diferentes una sección sindical con 25 miembros puede elegir un presidente y un vicepresidente? 2.48. Si un dado se lanza 3 veces consecutivas, ¿Cuál es la probabilidad de que salga un 3? 2.45. Se seleccionan 3 cartas, sucesivamente, de un mazo de 52, entonces, encontrar el número de resultados si: (a) Hay reemplazo (b) Si no hay reemplazo 2.46. ¿De cuántas maneras pueden acomodarse 5 canicas de diferentes colores en una fila? 2.47. ¿Calcular de cuántas maneras pueden formarse seis personas para subir a un autobús? 2.48. Un candidato presidencial planea hacer campaña política. Encontrar el número de permutaciones si: (a) Planea visitar todos los estados de la República Mexicana. (b) Planea visitar únicamente los estados que colindan con los Estados Unidos. 2.49. Evaluar los siguientes factoriales: (a) 7! (b) 70!/68! (c) 10!/0! 2.50. Supóngase que hay 50 personas compitiendo por 3 rangos diferentes, primero,segundo y tercero. ¿Cuál es el número de resultados de las 50 personas, si las tomamos 3 a un tiempo (es decir, de 3 en 3)? 2.51. En cierta compañía, 4 escritorios de secretarias se sitúan en línea contra la pared. Cada secretaria puede sentarse en cualquier banco de los escritorios. ¿Cuántos arreglos se pueden hacer para sentar a las secretarias? 2.52. En un almacén hay 5 cajas adyacentes para almacenar 5 objetos diferentes. El depósito de cada objeto puede almacenarse satisfactoriamente en una caja. ¿De cuántas maneras pueden asignarse 5 objetos a 5 cajas? 2.57. Supóngase que hay 6 partes diferentes para ser almacenadas, pero solamente, hay 4 cajas disponibles. ¿Cuántas permutaciones son posibles?
2.53. ¿De cuántas maneras diferentes se puede realizar una primera, segunda, tercera o cuarta selección entre 12 empresas arrendadoras de equipo de control de contaminación ambiental? 2.54. Contestar lo siguiente. (a) ¿Cuál es el número de permutaciones de las letras a, b, c, es decir, tomadas dos a untiempo? (b)¿Cuáles son estas letras? (ab, ba, ac, ca, bc, cb) 2.55. Un mecanismo electrónico de control requiere de 5 chips de memoria idénticos. ¿De cuántas maneras puede inhabilitarse este mecanismo colocando los 5 chips en las 5posibles posiciones dentro del controlador? 2.56. Se requiere sentar a 5 hombres y 4 mujeres en una fila de tal manera que las mujeres ocupen lugares pares. ¿Cuántos arreglos hay? 2.57. Un aparato de seguridad de un negocio con 10 botones se inhabilita cuando 3botones diferentes se oprimen en la secuencia apropiada (los botones no pueden oprimirse dos veces). Si el código correcto se olvida, ¿Cuál es la probabilidad de desarmar el aparato a través de oprimir, aleatoriamente, 3 botones? 2.58. Se sacan 2 boletos de la lotería entre 20 posibles para el primero y segundo premios. ¿Cuál es la probabilidad de ganar comprando un boleto? 2.59. En una carrera de 8 perros se juega un premio de exacta. Si seleccionamos 3 números de perros, ¿cuál es la probabilidad de acertar comprando un solo boleto? 2.60. Considérese una carrera de 10 caballos con un premio de exacta para cualquiera que pueda seleccionar el orden exacto y de ganar desde el primero hasta el décimo lugar. (a) ¿Cuántas permutaciones posibles hay? (b) ¿Cuál es la probabilidad de ganar si se compra un solo boleto? (c) ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar los tres primeros lugares? 2.61. Una prueba se compone de 12 preguntas de falso y verdadero. ¿De cuántas maneras diferentes un estudiante puede marcar el papel con una respuesta para cada pregunta? 2.62. ¿De cuántas maneras pueden 3 focos rojos, 4 focos amarillos y 2 focos azules ser arreglados en un cordón eléctrico con 9 portalámparas? 2.63. ¿Cuál es el número de permutaciones de la palabra "estadística"? 2.64. Cinco canicas rojas, 2 canicas blancas y 3 azules se arreglan en una fila. Si todas las canicas son del mismo color, y no se puede distinguir una de la otra, ¿cuántos arreglos pueden hacerse? 2.65. ¿De cuantas maneras pueden 7 científicos ser asignados a un cuarto triple y a dos cuartos dobles? Asumir regla de partición. 2.71. De un grupo de 4 químicos y 3 físicos, encontrar el número de comités que se pueden formar consistentes de 2 químicos y 1 físico. Sugerencia: usar un producto de combinaciones. 2.66. Un equipo de colegio juega 12 juegos durante la temporada. ¿De cuántas maneras puede el equipo terminar la temporada con 7 juegos ganados y 3 perdidos? Sugerencia usar la regla de partición de permutaciones.
2.67. Considerar un grupo de 5 personas consistentes de 3 hombres y 2 mujeres, todos pertenecientes a una organización. Siendo así, contestar lo siguiente: (a) ¿Cuántos comités de 3 personas pueden formarse de todo el grupo? (b) ¿De cuántas maneras pueden las 2 posiciones, presidente y vicepresidente ser formados? (c) ¿Cuál es la probabilidad de que un comité de 2 personas seleccionadas, aleatoriamente, consistieran de 1 hombre y 1 mujer? 2.68. ¿Cuántas manos de 5 cartas de flor imperial (la flor imperial consiste de sacar 10, sota, reina, rey, as de un solo palo, es decir, de tréboles, corazones, diamantes y espadas) son posibles de una mazo de 52 cartas, en las cuales el orden no es de importancia? 2.69. Si queremos saber la probabilidad de sacar una flor imperial de un mazo de 52 cartas, a sabiendas de que se pueden formar 4 flores imperiales (10, sota, reina, rey, as de cada una de las cuatro formas, es decir, tréboles, espadas, diamantes, corazones) entonces, calcular esta probabilidad. 2.70. En la lotería de Texas se juegan 54 números y se seleccionan solamente 6 de ellos. (a) ¿Cuántas combinaciones se pueden hacer? (b) ¿Cuál es la probabilidad de acertar comprando un solo boleto? (c) ¿Cuál es la probabilidad de acertar comprando un millón de boletos? 2.71. Supongamos que de todos los individuos que compran una computadora personal, 60% incluyen un programa de procesador de palabras en su compra, 40% incluye un programa de esparcimiento de hojas (LOTUS) y 30% incluye ambos programas. (a) ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar un comprador que incluya un programa de procesador de palabras, dado que incluya un programa de LOTUS? Usar un diagrama de Venn. (b) ¿Cuál es la probabilidad de que un comprador incluya un programa de LOTUS, dado que incluya un programa de procesador de palabras? 2.78. Una revista de publicaciones publica tres columnas intituladas Arte (A), Libros (B), Cinema (C). La selección aleatoria de un comprador de revistas, con (a) respecto a estas tres columnas se da abajo (elaboración propia):
2.81. Considérese un grupo de 5 personas consistentes en 3 hombres y 2 mujeres, todos los cuales pertenecientes a una organización. Siendo así, encontrar los siguientes enunciados. (a) ¿Cuántos comités de 3 personas pueden formarse? (b) Decir de cuantas maneras pueden formarse las posiciones de presidente y vicepresidente. (c) Decir la probabilidad de que un comité de 2 personas consistirán de 1 hombre y 1mujer.
