EJERCICIO 1 1.Las siguientes cantidades son vectores o escalares? Explique. (a) el costo de un boleto de teatro (b) la corriente de un río (c) la trayectoria de vuelo inicial de Houston a Dallas (d) la población del mundo Los incisos (a) y (d) corresponden a cantidades escalares puesto que carecen de dirección y sentido, son solo magnitudes. Mientras tanto, los incisos (c) y (b) son cantidades vectoriales, ya que cumple con todas las características de un vector; tiene magnitud, dirección y sentido. 2. Cual es la relación entre el punto (4, 7) y el vector <4,7>? Ilustre con un bosquejo. Si el punto de inicio del vector <4,7> esta localizado en el origen, entonces <4,7> es el vector de posicion del punto (4,7).
3. Nombre los vectores iguales en el paralelogramo mostrado.
4. Escribe cada combinación de vectores como un solo vector. 5. Copie los vectores de la figura y empléelos para dibujar los siguientes vectores.
(a) u+v
u v
(b) u-v
u
v
(c) v+w
v
w
(d) w+v+u
w
v u
6. Copie los vectores de la figura y utilícelos para dibujar los siguientes vectores
(a) a+b
(b) a-b
(c) 2a
(d) – ½ b
(e) 2a+b
(f) b-3a
21-23. Halle un vector unitario que tenga la misma dirección que el vector dado. 21. -3i + 7j √❑ =
√❑ =
1 (-3i +7j) = 7.61
√❑
= 7.61
−3 i+ 7.61
7 j 7.61
22. <-4,2,4> √❑ =
√❑ =
√❑
=6
1 −4 <-4,2,4> = i+ 6 6
2 6
j+
4 k= 6
−4 i+ 6
1 3
j+
4 k 6
23. 8i + j + 4k √❑ =
=
8 i9
√❑ =
1 9
j+
√❑
=9
4 k 9
24. Determine un vector que tenga la misma dirección que <-2,4,2> pero tiene una longitud de 6.
1 < -2i, 4j, 2k > = 6
−2 i+ 6
4 6
j+
2 k= 6
−1 i+ 3
4 6
j+
25. Si v se encuentra en el primer cuadrante y forma un ángulo
1 k 3 π con el eje x 3
positivo y | v | = 4, determine v en forma de componentes. Cateto adyacente (x) cos θ=¿
C . adyacente Hipotenusa
C.a. = cos θ (Hip.) π C.a. = Cos (4) = 2 3 Cateto opuesto (y) sen
θ=¿
C . opuesto Hipotenusa
C.o. = Sen θ (Hip.) π C.o. = Sen (4) =3.46 3 26.Si un niño jala un trineo por la nieve con una fuerza de 50 N ejercida a un angulo de 38° arriba de la horizontal, encuentre las componentes horizontal y vertical de la fuerza. Cateto adyacente cos θ=¿
C . adyacente Hipotenusa
C.a. = cos θ (Hip.) C.a. = Cos 38° ( 50 ) = 39.40
Cateto opuesto sen
θ=¿
C . opuesto Hipotenusa
C.o. = Sen θ (Hip.) C.o. = Sen 38° ( 50 ) = 30.78
27. Un mariscal de campo lanza un balon con angulo de elevacion de 40° y una velocidad de 60 ft/s. Encuentre las componentes horizontal y vertical del vector de velocidad. C.a. = cos 40° ( 60 ) = 45.96 C.o. = sen 40° ( 60 ) = 38.56 28-29. Encuentre la magnitud de la fuerza resultante y el ángulo que forma con el eje x positivo.
28. Ax = cos 45°( 20 ) = 14.14 Ay = sen 45°( 20 ) = 14.14 Bx = cos 30 ° ( 16 ) = 13.86 By = sen 30 ° ( 16 ) = -8 Σ Ax + Bx = 27.99 Σ Ay + By = 6.14 = √ ❑ = 28.65 Tan θ =
Σ Ay +By Σ Ax+ Ay
θ = Tan-1 (
Σ Ay +By Σ Ax+ Ay
)
θ = 12.37 29. Ax = Cos 60 ( 200 ) = 100 Ay = Sen 60 ( 200) = 173.20 Bx = Cos By = Sen 180 ( 300 ) = 0 Σ Ax + Bx = - 200 Σ Ay + By = 173.20 = √ ❑ = 264.571 θ = Tan-1 (
Σ Ay +By Σ Ax+ Ay
) = -49.10
180
(
300
)
=
-
300
N
Dx= [(250N)Cos60°] - [(50N)Cos45°] = 89.64N Dy= [(250N)Sen60°] + [(50N)Sen45°] = 251.86N DR= DR=
√❑ 267.34N 251.86 θ=arctan( )=70.41° NE 89.645
P
V 50N 45°
250N 60° E
O
S
B 22mi/h
M 3 mi/h
Vx= (22mi/h)Cos0° + 3 mi/hCos90° Vx= 22mi/h Vy= (22mi/h)Cos0° + (3 mi/h)Cos90° Vy= (22 mi/h) Sen0° + (3 mi/h)Sen90° Vy= 3 mi/h
θ=arctan( V r=√ ❑ 32.-
3 mi/h )=7 ° 45 ' 22 mi/h
11- 12 Si u es un vector unitario, encuentre u . v y u . w
26. ¿Para qué valores de b son ortogonales los vectores <-6, b, 2> y ? Cos 90 = ( a • b ) / ( l a l l b l ) a•b=0 < -6 , b, 2 > < b, b2, b> = -6b + b3 +2b a • b = b3 - 4b = b (b2 - 4) =0 = b=0, b=2, b= -2
b
(
b
+
2)
(
b
-
2
)
27. Encuentre un vector unitario que es ortogonal a i + j e i + k. a1 + a 2 = 0 a (i +k) = 0 a1 + a 3 = 0 a1 = -a2 = -a3 1= a12 + a22 + a32 = 3a12 3a12 = 1 a1 = √ ❑ =
1 √❑
29-33 Halle los cosenos directores y los ángulos directores del vector. (Dé los ángulos directores correctos hasta el grado más próximo.) 29. <3, 4, 5> lal= √ ❑ = √ ❑ ≈ 7.071
cos α = 3 / 7.071 cos β = 4 / 7.071 cos γ = 5 / 7.071 α = cos-1 (3 / 7.07) ≈ 64.89 β = cos-1 (4 / 7.07) ≈ 55.54 γ = cos-1 (5 / 7.07) ≈ 44.99
30. <1, -2, -1> lal=
√❑ =
√❑
≈ 2.45
cos α = 1 / 2.45 cos β = -2 / 2.45 cos γ = -1 / 2.45 α = cos-1 (1 / 2.45) ≈ 65.91 β = cos-1 ( -2 / 2.45) ≈ 144.72 γ = cos-1 ( -1 / 2.45) ≈ 114.09
31. 2i+3j+6k
32. 2i-j+2k
33. donde c>0
34. Si un vector tiene ángulos directores cos2 α + cos2 β +cos2 γ = 1 cos2 γ = 1- cos2 α - cos2 β
α=
π y 4
β=
π 3
, encuentre el tercer angulo director
π π γ = 1- cos2 ( ) - cos2( ) 4 3 cos2 γ = 1- (½ )-(¼) cos2 γ = ¼ cos γ = ±1 /2 γ = π /3 γ = 2 π /3 cos2
8. Si a= i-2k y b=j+k, encuentre axb. Trace a,b y axb como vectores que se indican en el origen.
9-12 Encuentre el vector, no con determinantes, sino usando las propiedades de productos cruz. 9. (i x j) x k ixj=k kxk=0 10. k x (i - 2j) = (k x i) + (k x -2j) = j - 2i = -2i + j
11. ( j - k ) x ( k - i) ( j - k ) x ( k ) + ( j - k) x (- i) ( j x k) + (- k) x ( k + j) x (-i) + (-k) x (-i) (j x k ) + ( -1) ( k x k ) + (- i) (j x i ) + (-i) (k x i) 12. ( i + j ) x ( i - j ) ( i + j ) x (i)(i + j) x (-j) (i x i ) + (j x i) + ( i x (-j)) + (j x (-j)) (i x i) + ( j x i ) + (-1) ( i x j) + (-1)(j x j) = -k - k = 2k 13. Diga si cada expresión es significativa. Si no, explique por qué. En caso afirmativo, diga si es un vector o un escalar. a. a • ( b x c ) Si es significativa, es escalar. b. a x ( b • c ) No es significante porque solo puede ser por dos vectores (producto cruz). c. a x ( b x c ) No es significante. d. ( a • b ) x c No significante. e. ( a • b ) x ( c • d) No significante ya que se obtienen dos escalares y el producto cruz no se puede realizar de esta manera. f. ( a x b ) • ( c x d ) Significante, es un escalar. 14-15 Encuentre l u x v l y determine si u x v está dirigido hacia la pagina o hacia afuera de esta. 14. u = 10 v= 5 ⊖=60 5 ( 10 ) sen 60 = 50 ( √ ❑ ) = 25 √ ❑ ❑ Está hacia adentro de la página (regla de la mano derecha). 15. u = 6 v= 8
⊖=180−150=30
8 ( 6 ) sen 30 = 24 Está hacia adentro de la página (regla de la mano derecha).
Encuentre las ecuaciones paramétricas y las ecuaciones simétricas para la recta. 6. La recta por el origen y el punto (1,2,3) v=<1,2,3> x= 1-t y= 2-2t z= 3-3t
7. La recta por los puntos (1,3,2) y (-4,3,0) v= <-5,0,-2> r0= (i + 3j + 2k) r= (i+3j+2k) + t(-5i -2k) r= (1+5t)i+ 3j + (2+2t)k
8. La recta por los puntos (6,1,-3) y (2,4,5) v= <-4,3,8> r0= 6i + j - 3k r= (6i+j-3k)+t(-4i+3j+8k) r = (6-4t)i+(1+3t)j+(-3+8t)k
9. La recta por los puntos (0,½ , 1) y (2,1,-3) v= <2, ½ ,-4> r0= (0,½ , 1) r= (0 i+j k) +t(2i+j-4k) r = (2t)i+()j+(1-4t)k
10. La recta por (2,1,0) y perpendicular a i+j y i+k
x= 2+t y= 1-t z= -t t= x-2 = 1-y = -z 11. La recta por (1,-1,1) y paralela a la recta x+2 = y = z-3 x= -2+t y= 2t z= 3+t v= <1,2,1> x= 1+t y= -1+2t z= 1+t
12. La recta de intersección de los planos x+y+z =1 y x+z=0 con x= 0 v = n1 x n2 = <1,1,1> x <1,0,1> = <1,0,-1>
P0= (1,0,1) x= t y=1 z= -t t = x = -z 13. La recta que pasa (-4,-6,1) y (-2,0,-3) es paralela a la recta que pasa por (10,18,4) y (5,3,14)?
NO SON PARALELAS 14. La recta que pasa por (4,1,-1) y (2,5,3) es perpendicular a la recta que pasa por (-3,2,0) y (5,1,4)?
NO SON PERPENDICULARES 15. (a) Encuentre ecuaciones simétricas para la recta que pasa por el punto (1,-5,6) y es paralela al vector <-1,2,-3>. r= (1 -5j +6k )+ t (-i +2j -3k) = (1-t )i + (-5+2t )j + (6-3t )k x= 1-t y= -5+2t z= 6-3t
(b)Encuentre los puntos en los que la recta requerida en el inciso (a) corta los planos coordenados. (1,0,0) (0,-5,0) (0,0,6) 16. (a)Encuentre las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por (2,4,6) que es perpendicular al plano x-y+ 3z =7 . n = <1,-1,3> x= 2+ t y= 4-t z= 6 + 3t t= x-2 = 4 - y = (z-6)/3 (b) En qué puntos esta recta corta los planos coordenados? con z= 0 (0,6,0)
con y= 0 (0,6,0) con x= 0 (6,0,18)
1.(a)Que representa la ecuación y= x2 como una curva en R2? Representa una parabola
(b) Que representa como una superficie en R3? En R3, la ecuacion y= x2, no involucra a z, asi que cualquier plano horizontal con la ecuacion z=k intersecta la grafica en una curva con la ecuacion y=x2. Asi, la superficie es un cilindro parabolico, compuesto infinitamente de muchas copias cambiadas de puesto de la parabola misma. (c)Que representa la ecuación z= y2 En R3, la ecuacion z= y2 tambien representa un cilindro parabolico. Como x no aparece, la grafica es formada moviendo la parabola z=y2 en direccion del eje de las x’s. 2.(a) Bosqueje la gráfica de y= ex como una curva en R2.
(b) Bosqueje la gráfica de y= ex como una superficie en R3 .
(c) Describa y bosqueje la superficie z= ey. La ecuacion z= ey no involucra al eje x, asi que las trazas verticales en x=k son copias de la curva z= ey
3-8. Describa y bosqueje la superficie 3. y2 + 4z2= 4 La ecuacion representa a un cilindro eliptico con trazas paralelas al eje x.
4. z= 4-x2 Como la ecuacion no involucra y cada traza de la ecuacion z= 4 - x2 es una copia de la misma parabola en el plano y= k.
5. x- y2 = 0 La ecuacion reoresenta una parabola con copias a lo largo del plano z=k
6. yz=4 La superficie representa una copia de la misma hiperbola a lo largo del plano x=k. Un cilindro hiperbolico.
7. z = cos x Cada traza vertical, es una copia de una curva cosenoidal en el plano y=k.
8. x2 - y2 = 1 La ecuacion representa un cilindro hiperbolico paralelo al eje de las z.
21-28. Compare la ecuación con su gráfica. De razones para su elección. 21. x2 + 4y2 + 9z2 = 12 Grafica VII z=0 x2 + 4y2 = 1 x2 + 4y2 = 1 - 9k2 Despeje 1 - 9k2 = 0 - 9k2 = -1 k2 = 1/9 k = √❑ x=0 4y2 + 9z2 = 12 4y2 + 9z2 = 12 - k2 Despeje 12 - k2 = 0
-k2 = -12 k2 = 12 k = √❑ 22. 9x2 + 4y2 + z2 = 1 Grafica IV z=0 9x2 + 4y2 = 1 9x2 + 4y2 = 1 - k2 Despeje 1 - k2 = 0 -k2 = -1 k2 =1 k= ±1 x=0 4y2 + z2 = 1 4y2 + z2 = 1 - 9x2 Despeje 1 - 9x2 = 0 -9x2 = -1 9x2 = 1 x2 = 1/9 x = √❑ y=0 9x2 + z2 =1 9x2 + z2 =1 - 4k2 Despeje 1 - 4k2 = 0 k = √❑ 23. x2 - y2 - z2 = 1 Gráfica II z= 0 x2 - y2 = 1 + k2 Despeje 1 + k2 = 0 k2 = -1 k no existe ( √ ❑ ) x=0 -y2 - z2 = 1 - k2 Despeje 1 - k2 = 0 1 - k2 = 0 -k2 = -1 k2 = 1
k=±1 y=0 x2 - z2 = 1 + y2 k no existe (indefinida)
24. -x2 + y2 –z2 =1 Grafica III X=0 Y2 -z2 = 1 +x2 Despeje 1 +k2 = 0 K no hay Y=0 -x2 – z2 = 1 -x2 – z2 = 1 – y2 Despeje 1 – k2 = 0 K2 = 1 K= Z =0 -x2 + y2 = 1 + z2 Despeje 1 + k2 = 0 K2 = -1 Z no hay 25. Y = 2x2 + z2 Grafica VI 0= 2x2 + z2 –y X =0 2x2 = z2 – y Despeje 2k2 =0 X=0 Y=0 Z =0 26. y2 = x2 + 2z2 Grafica I x=0 0=2z2 - y2
-x2 =2z2 - y2 Despeje K=0 y=0 y2 = 0 k=0 z=0 k=0 27. X2 + 2z2 = 1 Grafica VIII X =0 2z2 = 1 2z2 =1 – k2 Despeje 0 = 1 – k2 K2 = 1 K = √❑ Z=0 X2 = 1 X2 = 1 – 2z2 Despeje 1 – 2k2 = 0 -2k2 = -1 K2 = ½ 28. Y = x2 – z2 Gráfica V X=0 X2 –z2 – y = 0 -z2 – y = 0 -z2 – y = -x2 Despeje K=0 Y=0 X2 – z2 – y =0 X2 – z2 =0 X2 – z 2 = y Despeje k = 0 Z=0 X2 – y = 0 X2 – y = z 2 Despeje
K2 = 0
