UNIDAD 7 SIMILITUD HIDRÁULICA 7.1 Aspectos Generales a) Modelos hidráulicos. Un modelo hidráulico es un medio que permite estudiar de manera precisa de manera experimental un fenómeno hidráulico, puede proporcionar información confiable si es diseñado adecuadamente, de acuerdo con criterios de semejanza con el fenómeno real (prototipo). La técnica de ensayo sobre modelos reducidos data desde el siglo antepasado, con la formulación de las leyes de semejanza enunciadas por Osborne Reynolds y William Froude. En 1885, Reynolds construyó dos modelos distorsionados del estuario de Mersey, donde por primera vez, fue introducida la dimensión tiempo en un esfuerzo para alcanzar la similitud dinámica, estos primeros esfuerzos fueron los precursores para el estudio en modelos hidráulicos. En México, a partir del siglo XX se inició con el estudio de obras hidráulicas en modelos, siendo el Ing. Ricardo Gayol en el año de 1902 el hacer uso de esta técnica para estudiar el comportamiento hidráulico de estructuras hidráulicas para la red de alcantarillado para la ciudad de México, teniendo auge el estudio en modelos para las obras de irrigación, generación de energía eléctrica y de agua potable hasta 1990, época en la que se construyeron grandes obras hidráulicas en el Sistema Grijalva Usumacinta, Papaloapan y en el norte y centro del país.
Para que una reproducción a escala de una estructura hidráulica real proporcione resultados confiables y precisos, debe ser diseñado de manera adecuada, atendiendo a criterios de semejanza o similitud 7.2 Similitud geométrica. Dos sistemas (prototipo y modelo) se dice que son similares geométricamente cuando dos sistemas Sp y Sm pueden ser llevados en posiciones homólogas sucesivamente, como se ve en la figura siguiente, es decir que dependiendo de la escala del modelo este se acercará o alejará del prototipo en la misma proporción en cada punto de su geometría. La relación geométrica entre los sistemas S p y Sm será entonces: Le = Lm L p
(7.1)
Siendo Le la escala de longitudes que establece la relación geométrica en ambos sistemas.
7.3 Similitud cinemática y dinámica Dos sistemas son similares cinemática y dinámicamente cuando se cumple con lo siguiente: T e = T m T p
(7.2)
M e = M m M p
(7.3)
La similitud cinemática implica que el movimiento de una partícula, por ejemplo la denominada como Bp pasa por los puntos 1p, 2p y 3p en cierto tiempo, una partícula similar Bm pasará por los puntos 1m, 2m, 3m en otro tiempo que deberá ser proporcional al tiempo que ocupa la partícula Bp, semejante en tiempo y en geometría, esto implica que: T e = T m2 – T m1 = T m3 – T m2 T p2 – T p1 T p3 – T p2
La similitud dinámica se alcanza cuando se cumplen las siguientes relaciones: Le = Lm L p T e = T m T p M e = M m M p
Dónde: Le es la escala de longitudes T e es la escala de tiempos M e es la escala de masas Estas tres condiciones implican que los efectos dinámicos en ambos sistemas son proporcionales. La definición de las tres escalas no es arbitraria, su relación dependerá de la ley de similitud que se adopte para el diseño del modelo, lo que dependerá que se quiera estudiar y aplicar la ley de similitud correspondiente, como se verá en el siguiente apartado.
7.4 Leyes de similitud En la hidráulica, el parámetro de similitud ocupado comúnmente para el diseño de modelos de obras hidráulicas con flujo a superficie libre, donde el flujo se ve sujeto a fuerzas dinámicas y fuerzas de peso, es el número de Froude (Fr ), este es el criterio de similitud, lo que establece la siguiente condición: F rp = F rm
Dónde: F rp es el número de Froude en el prototipo y F rm es el número de Froude en el modelo, esto implica que: v m = v p 1/2 [g m Dm ] [g p D p ] 1/2
Como la constante gravitacional en el prototipo y el modelo son las mismas: g = g p =g m, entonces: v m = [Dm ] 1/2 Dm D p
1/2 =
v p [D p ] 1/2 v p v m
= 1 v e
Donde: v e es la escala de velocidades y por tanto, la escala de velocidades será: v e = Le1/2
(7.4.1)
Puesto que: v e = v m = Lm /T m = Lm T p = Le v L p /T p L p T m T e p
Entonces la escala de tiempos será: T e = Le = Le v e Le1/2 T e = Le1/2
La escala de gastos será:
(7.4.2)
Qe = v e Ae, pero v e = Le1/2 y por tanto Ae = Am = Le2 A p Qe = Le1/2 Le2 = Le5/2 Qe = Le5/2
(7.4.3)
Que son las escalas más importantes en la técnica de modelación aplicando como criterio de semejanza el Número de Froude en modelos de fondo fijo y sin distorsión.
Definida la escala de líneas Le, los demás parámetros a diseñar son el gasto para efectos de laboratorio y las características geométricas del proyecto que se trate a fin de construir el modelo con semejanza geométrica y en la etapa de pruebas, observar el comportamiento hidráulico del modelo, midiendo profundidades y velocidades. Por ejemplo si se trata de diseñar el modelo hidráulico de una obra de excedencias y el gasto en prototipo es de 2,500 m 3 /s, con una escala de líneas Le = 1/100, entonces el gasto en modelo será; Qe = Le5/2 = Qm = 1 Q p 100
5/2
Qm = 2,500x0.01 5/2 = 0.025 m3 /s El gasto que hay que suministrar al modelo es de 0.025 m 3 /s (25 lt/s), con una escala de líneas de 1/100.
