Similitud geométrica
Existe similitud similitud geo métrica entre dos flujos cuando t ienen fronteras similares. Esta similitud similitud se expresa, e xpresa, por excelencia, co n la escala de longitudes:
Un modelo será no distorsionado si la escala esca la geométrica se conserva en todas las direccciones. Un modelo será distorsionado si la escala geométrica es diferente en dos direcciones, usualmente tales direcciones son la vertical y la ho rizontal. Pero existen también las escalas de área y de volumen. Para el área se tendrá, en un modelo no distorsionado:
SIMILITUD DINAMICA El concepto básico de similitud dinámica puede establecerse como un requisito para que dos sistemas, con fronteras geométricamente semejantes, tengan configuraciones de flujo geométricamente semejantes, en tiempos correspondientes. Así,
todas las fuerzas individuales que actúan sobre los elementos de masa de los correspondientes
fluidos, pueden ser debidas o a una fuerza del cuerpo tal como el peso, en un campo gravitacional, a fuerzas superficiales, resultantes de los gradientes de presión, esfuerzos viscosos o la tensión superficial.
para la fuerza resultante o inercial, como para las fuerzas elementales debe existir una misma relación entre los dos sistemas; llamada escala de fuerzas. El requisito para una sola escala de fuerzas es que los polígonos de fuerzas para los elementos de masa correspondientes sean geométricamente semejantes. Este concepto puede ilustrarse mediante el siguiente ejemplo: Ejemplo 7-1: Polígono de fuerza para sistemas dinámicamente semejantes Consideremos las fuerzas que actúan sobre una partícula de agua, en la vecindad de la cresta del vertedor de ena presa, como se muestra en la figura 7-1 (a). Podemos identificar las fuerzas superficiales que actúan sobre la partícula, en términos de las fuerzas debidas al gradiente de la presión normal y al esfuerzo tangencial. Considerando la fuerza por unidad de masa de fluido, encontrámos que éstas están representadas por f, Y f,. respectivamente. La fuerza de cuerpo oor unidad de masa, debida a la tracción gravitacional, %:s f,. La fuerza resultante o inercia] por unidad de masa, fi, la encontramos trazando el polígono mostrado en la figura 7-1 (b). La dirección de la aceleracGn de la partícula es, por tanto, idéntica a la dirección de fi. La figura 7- muestra el modelo de un v ertedor del tipo considerado en este ejemplo.
La similitud dinámica de dos movimientos geométricamente semejantes requiere que la magnitud y dirección de la aceleración resultante, por unidad de masa, sca la misma en los dos sistemas; lo cual implica que los polígonos de fuerzas por unidade masa sean idénticos. Veremos después que frecuentemente es imposible obtener una similitud dinámica exacta, y que entonces es necesario simplificar el polígono de fuerzas, ignorando las componentes menos importantes. El polígono mostrado en la figura 7-1 k) es un ejemplo del efecto de eliminar la fuerza tangencial. El resultado es únicamente un pequeño cambio en la dirección y la magnitud del vector resultante fc¶.
En la discusión anterior sobre similitud dinámica, se implica la existencia de escalas de longitudes, tiempos, masas y fuerzas, las cuales relacionan a los dos sistemas. Es importante observar que dentro del dominio de la mecánica newtoniana, no podemos escoger, en forma independiente, más de tres de esas cuatro escalas. La prueba d e esto se obtiene simplemente escribiendo la condición de que los dos sistemas satisfagan la segunda ley de Newton.
SIMILITUD CINEMÁTICA
En sentido general la similitud es la indicación de una relación conocida entre dos fenómenos. Con frecuencia
en mecánica de fluidos es la relación entre un flujo a escala natural y un flujo que involucra fronteras más pequeñas pero geométricamente similares.
Sin embargo, nótese que existen leyes de similitud de uso común en mecánica de fluidos en que intervienen flujos con fronteras no similares. Por ejemplo, existe una relación de similitud entre un flujo compresible subsónico (número de Mach menor que la unidad) y un flujo incompresible alrededor de un cuerpo deformado de manera preestablecida con respecto a la del flujo compresible. De la misma manera, en hidrología se utilizan modelos de ríos que son geométricamente similares en una vista de planta, pero que a menudo no son similares con respecto a la profundidad del río real.
En este texto se restringe el estudio a flujos geométricamente similares, es decir, a flujos con fronteras geométricamente similares6. Dos flujos compuestos por conjuntos similares de lineas de corriente se conocen comoflc&s cinemáticamente simikzres. Debido a que las fronteras formarán algunas de las líneas de corriente, los flujos cinemáticamente similares también deben ser geométricamente similares. Sin embargo, el inverso de esta afirmación no es cierto, y es bastante fácil encontrar flujos cinemáticamente no similares a pesar de tener fronteras geométricamente similares. En la figura 8.3 se muestran las líneas de corriente alrededor de cuñas dobles similares en flujos bidimensionales.
La de la izquierda se encuentra en un flujo subsónico de baja velocidad, M < 1, mientras que la de la derecha se encuentra en un flujo supersónico de alta velocidad, M > 1. La falta de similitud entre las líneas de corriente es obvia.
Ahora
se define una tercera similitud conocida como similitud dinámica,
donde la distribución de fuerzas entre dos flujos es tal que, en puntos correspondientes de éstos, existen tipos idénticos de fuerza paralelos (como la fuerza cortante, la fuerza de presión, etc.) y además tienen una relación con el mismo valor para todos los puntos correspondientes entre los dos flujos.
Además,
esta relación debe ser la misma para todos los tipos de fuerzas presentes. Luego,
para
flujos
dinámicamente similares existirá esta misma relación entre las fuerzas resultantes corres pondientes que actúan sobre las fronteras corres pondient es Cuáles son las condiciones para que exista similitud dinámica? Ahora se demostrará que los flujos deben ser cinemáticamente similares y, además, deben tener distribuciones de masa tales que la relación de las densidades en
puntos
corres pondientes de los
flujos sea la misma para todos los conjuntos de puntos corres pondientes.
Los flujos que satisfacen esta última condición se conocen como flujos con distribuciones de masa similares. Para demostrar que las similitudes cinemática y de masa son necesarias para que haya similitud dinámica, nótese que la primera condición de similitud cinemática significa que las aceleraciones:
1.
Son paralelas en puntos correspondientes.
2. Tienen una relación de sus magnitudes constante para todos los conjuntos de puntos correspondientes.
El ítem 1 y la ley de Newton significan que la fuerza resultante sobre cada partícula debe ser paralela en puntos correspondientes. La condición de distribuciones de masa similares y el ítem 2 significan, teniendo en cuenta también la ley de Newton, que esas fuerzas resultantes tienen magnitudes cuya relación es constante para todos los puntos correspondientes en el flujo. Como la dirección de cada ti po de fuerza que actúa sobre una partícula está intrínsecamente ligada a la dirección de las líneas de corriente, puede concluirse además que en flujos cinemáticamente similares ti pos idénticos defuerza en puntos correspondientes también son parulelos.
Por consiguiente, puede concluirse que debido a que las fuerzas resultantes sobre las partículas tienen una relación de magnitudes constante entre los flujos, es necesariamente cierto que todas Zas com ponentes corres pondientes de las fuerzas resultantes (como fuerzas cortantes, fuerzas de presión, etc.) tienen la misma relación de magnitudes
entre los flujos. En pocas palabras, flujos
cinemáticamente similares con distribuciones de masa similares satisfacen todas las c ondiciones de los flujos dinámicamente similares, establecidas en la definición dada al inicio de este párrafo.
