similitud hidraulica

16. Análisis dimensional y semejanza dinámica

TEMA 16. ANÁLISIS DIMENSIONAL Y SEMEJANZA DINÁMICA. 16.1. INTRODUCCIÓN. DIMENSIONAL.

EL

PRINCIPIO

DE

HOMOGENEIDAD

Pocas veces se puede tener la solución completa de los problemas de Mecánica de Fluidos (y de Ingeniería) sólo por métodos analíticos (matemáticos). Muchos fenómenos del flujo de fluidos son tan complejos que las soluciones puramente matemáticas son poco prácticas, incompletas o imposibles y es preciso tener en cuenta seriamente los resultados experimentales. Por tanto, el desarrollo de la Mecánica de Fluidos ha dependido sustancialmente de los resultados experimentales. La solución de los problemas reales implica una combinación de la información analítica y de la experimental. Primero se aproxima la situación física real con un modelo matemático y después se efectúan mediciones experimentales para verificar la validez de los resultados analíticos. El trabajo experimental en el laboratorio es caro y requiere un tiempo considerable. En este sentido, un objetivo obvio consiste en obtener la mayor información posible del número más reducido de experimentos. El análisis dimensional constituye una herramienta importante que muchas veces puede ayudar a alcanzar este objetivo. Este análisis dimensional se basa en el principio de homogeneidad dimensional, que establece que “cualquier ecuación deducida analíticamente y que represente un fenómeno físico, debe satisfacerse en cualquier sistema de unidades”. Una explicación de este principio la constituye el hecho de que los fenómenos naturales tienen lugar de forma completamente independiente de las unidades creadas por el hombre, y de aquí que las ecuaciones que representan tales fenómenos han de tener validez para cualquier sistema de unidades. Por ello, las ecuaciones fundamentales de la Mecánica de Fluidos son homogéneas.

16.2. NATURALEZA DEL ANÁLISIS DIMENSIONAL. En la actualidad, numerosas estructuras hidráulicas se proyectan y construyen sólo después de haber efectuado un amplio estudio sobre modelos. La aplicación del análisis dimensional y de la semejanza hidráulica permite al ingeniero organizar y simplificar las experiencias, así como analizar los resultados obtenidos. Ejemplos son: túnel de viento, presas modelo, canal para modelos de buques, modelos de redes de tuberías, cámara de ensayos para la cápsula de una nave espacial, etc. El objeto del análisis dimensional es la ordenación de las variables de una magnitud física, de forma que sea más sencilla la determinación experimental de ésta, al ser necesarias menos experiencias. La mayor parte de los fenómenos en Mecánica de Fluidos dependen de una manera compleja de los parámetros geométricos y del flujo. Consideremos, por ejemplo, la fuerza de arrastre que actúa sobre una esfera estacionaria, de superficie lisa, colocada en

Ingeniería Fluidomecánica

16-1


la corriente uniforme de un fluido. La fuerza de arrastre depende del tamañ ta mañoo de la esfera (diámetro D), de la velocidad v del fluido y de su viscosidad µ. La masa del fluido, caracterizada por su densidad, ρ, también debe resultar importante. Si se representa la fuerza de arrastre mediante F, podemos escribir la siguiente ecuación simbólica: F = f ( D, v, ρ , µ )

Se ha formulado de esta forma la fuerza de arrastre en función de cantidades que son fácilmente medibles y controlables en un laboratorio. Imaginemos una serie de experimentos para determinar la forma en que F depende de las variables D, v, ρ, µ. Para obtener una curva de F contra v con valores fijos de las otras tres variables, podríamos necesitar pruebas correspondientes a diez valores de v. Para analizar el efecto que tiene el diámetro, cada prueba tendría que repetirse para esferas de diez diámetros diferentes. El procedimiento anterior se repetiría diez veces para ρ y µ, respectivamente. Se necesitarían 10 4 experimentos diferentes, con las consiguientes dificultades para establecer las relaciones entre esas variables y la forma de representar los datos de forma útil. Se pueden obtener resultados más significativos con bastante menos esfuerzo mediante el uso del análisis dimensional. Los resultados experimentales para la fuerza que actúa sobre una esfera lisa se pueden representar con una relación funcional entre sólo dos parámetros adimensionales adimensionales de la forma: forma: F

ρ v 2 D 2

 ρ vD  = f    µ 

La forma de esta función se puede obtener siendo necesarios solamente diez experimentos para obtener esa relación en función del número adimensional del que dependen, que en este caso particular es el llamado número de Reynolds. Únicamente dicho parámetro debe modificarse modificarse durante los experimentos.

16.3. TEOREMA

DE BUCKINGHAM.

16.3.1. Introducción. Cuando el número de variables o magnitudes en un sistema es mayor que 4, el teorema de o de Vaschy-Buckingham constituye una herramienta mediante la cual pueden agruparse estas magnitudes en un número, menor que el de ellas, de grupos adimensionales, a partir de los cuales puede establecerse una ecuación que liga las magnitudes y describe el comportamiento del sistema (fenómen ( fenómeno) o) a estudiar. Los grupos adimensionales se llaman grupos o números Π. El teorema se enuncia:


16-2


“Si en el sistema intervienen n magnitudes físicas (a las que llamaremos q 1 , q 2 , q 3 ...q n ) y el número de dimensiones fundamentales es k (habitualmente tomaremos como dimensiones fundamentales M, L y T, con lo que k = 3), el de magnitudes derivadas será n-k”.

Entonces, la ecuación función de estado del sistema: f ( q1 , q 2 ....q n ) = 0

puede reemplazarse por la relación: Φ(π 1 , π 2 ....π n − k ) = 0

donde cualquier número Π no depende más que de k+1 magnitudes físicas q i , y cada uno de los números Π es una función monómica independiente, adimensional, de las magnitudes q i : ν π i = q1α .q β 2 ....q n

Cada grupo Π es un monomio producto de k magnitudes que se repiten elevadas a exponentes desconocidos y deferentes en cada grupo Π y de otra magnitud, diferente para cada número Π, elevada a un exponente conocido (normalmente 1).

16.3.2. Procedimiento de aplicación. 1. Se forma una tabla de dimensiones de las n magnitudes físicas q 1 , q 2 ........q n que intervienen en el sistema. 2. Se seleccionan k de esas magnitudes sin que haya ninguna sin dimensiones ni dos que tengan las mismas dimensiones. Todas las magnitudes fundamentales deben incluirse colectivamente en las magnitudes seleccionadas. 3. El primer grupo Π puede expresarse como el producto de las magnitudes escogidas, elevada cada una a un exponente desconocido y una de las otras magnitudes elevada a una potencia conocida (normalmente se toma igual a 1). Existirán n-k números Π. 4. Se mantienen las magnitudes escogidas en el paso (2) como variables repetidas y se escoge una de las restantes magnitudes para establecer el nuevo número Π. Se repite el procedimiento para obtener los sucesivos números Π. 5. En cada uno de los grupos Π, se determinan los exponentes desconocidos mediante análisis dimensional.


16-3


16.3.3. Relaciones útiles. a) Si una magnitud es adimensional, constituye un número Π sin necesidad de aplicar el procedimiento anterior. b) Si dos magnitudes físicas cualesquiera tienen las mismas dimensiones, su cociente será un número adimensional c) Cualquier número Π puede ser sustituido por cualquier potencia del mismo, incluida Π-1. d) Cualquier número Π puede sustituirse por su producto por una constante numérica. e) Cualquier número Π puede expresarse como función de otros números Π. Por ejemplo, si hay dos números Π: π 1

= Φ (π 2 )

Hallada la ecuación: Φ(π 1 , π 2 ....π n− k ) = 0

ésta nos permite diseñar experiencias. Por ejemplo, mantener todas las variables que definen los números Π menos las de uno de ellos, en cada serie de experiencias. Se simplifica así extraordinariamente el trabajo experimental.

16.4. MODELOS Y SEMEJANZAS. 16.4.1. Modelos hidráulicos. Los estudios sobre modelos de maquinaria o estructuras hidráulicas en proyecto sirven frecuentemente de valiosa ayuda, ya que permiten una inspección visual del flujo y hacen posible la obtención de ciertos datos numéricos, como por ejemplo, calibrado de vertederos y compuertas, profundidades de flujo, distribuciones de velocidades, fuerzas sobre compuertas, rendimientos y capacidades de bombas y turbinas, distribuciones de presiones y pérdidas de energía mecánica. Los modelos verdaderos tienen todas las características del prototipo reproducidas a escala (semejanza geométrica) y satisfacen todas las restricciones de diseño (semejanzas cinemática y dinámica). La semejanza geométrica se refiere también a la rugosidad superficial del modelo y del prototipo: las rugosidades han de estar en la misma proporción que las dimensiones lineales. El estudio comparativo entre modelo y prototipo ha mostrado con evidencia que la correspondencia de comportamiento es frecuentemente buena, fuera de las limitaciones


16-4


esperadas, como lo atestigua el funcionamiento correcto de muchas estructuras hidráulicas diseñadas a partir de ensayo sobre modelos.

16.4.2. Semejanza geométrica. Existe semejanza geométrica entre modelo y prototipo cuando las relaciones entre todas las dimensiones correspondientes u homólogas entre modelo y prototipo son iguales. Las relaciones de longitudes, áreas y volúmenes se pueden escribir: Lm L p

= Lr

Am A p

V m

= Ar = L2r

V p

= V r = L3r

en donde el subíndice m se refiere al modelo, p al prototipo y r a la relación.

16.4.3. Semejanza cinemática. Existe semejanza cinemática entre modelo y prototipo si las trayectorias de las partículas móviles homólogas son geométricamente semejantes y las relaciones entre las velocidades de las partículas homólogas son iguales: Velocidad

Aceleración

Caudal

vm v p am a p

Qm Q p

=

=

Lm T m L p T p

=

=

Lm T m2 L p T p2

L3m T m 3

L p T p

Lm L p T m T p

=

Lm L p T m2 T p2

3

=

=

3

Lm L p T m T p

=

Lr T r

=

Lr T r 2

L3r T r

16.4.4. Semejanza dinámica Entre dos sistemas semejantes con semejanza geométrica y cinemática existe semejanza dinámica si las relaciones entre las fuerzas homólogas en modelo y prototipo son las mismas. Las condiciones requeridas para la semejanza completa se obtienen del segundo principio del movimiento de Newton: ΣF m M m a m ΣF m = = M r Lr T r −2 = ρ r L3r Lr T r − 2 ⇒ = ρ r L4r T r −2 ΣF p M p a p ΣF p


16-5


16.5. TIPOS DE FUERZAS QUE ACTÚAN SOBRE UN FLUIDO. Las partículas de los fluidos pueden estar sometidas a diversos tipos de fuerzas. Generalmente no actúan sobre una partícula dada todas estas fuerzas simultáneamente. No consideraremos otras fuerzas posibles, como electrostáticas, magnéticas...., que se estudian en la rama de la Mecánica de Fluidos denominada Magnetohidrodinámica. Las fuerzas que vamos a considerar, junto con su ecuación de definición, son las siguientes: Fuerzas de inercia F i = ma Fuerzas viscosas F µ = µ A dv dy Fuerzas de presión F p = pA Fuerzas gravitatorias F g = mg Fuerzas de tensión superficial F σ = σ l Fuerzas elásticas F E = EA Un sistema en el que actúen simultáneamente más de dos de estas fuerzas puede ser complejo de estudio. Generalmente podrán considerarse despreciables las fuerzas actuantes salvo una o dos de ellas.

16.6. PARÁMETROS ADIMENSIONALES MÁS MECÁNICA DE FLUIDOS. SIGNIFICADO FÍSICO.

IMPORTANTES

EN

A la hora de establecer los números adimensionales para la realización de los experimentos, se buscan de tal forma que tengan un significado físico con las condiciones de semejanza que se han expuesto. Sirven para cuantificar la importancia de una fuerza respecto a la fuerza de inercia. Al disminuir el valor del número adimensional, aumenta el papel de la fuerza correspondiente respecto a las fuerzas de inercia. Los parámetros adimensionales más utilizados son los siguientes:

16.6.1. Número de Euler o de Newton. Representa la relación existente entre las fuerzas debidas a las presiones y las fuerzas de inercia: 2 2  ρ L3 LT −2   ρ L2T −2  v v ⇒ = = Eu 2 =  = ρ = 2 presion F p  pL p p ρ   p 

inercia

F i


Eu =

v p ρ

16-6


El número de Euler tiene importancia en derrames de fluidos compresibles a gran velocidad en los cuales las variaciones de densidad subsiguientes a las variaciones de presión son significativas, como en las salidas de fluidos por orificios, cavitación...

16.6.2. Número de Reynolds. Representa la relación entre las fuerzas de inercia y las viscosas. Constituye un criterio mediante el cual se puede determinar el estado del flujo.  ρ L3 LT −2  vL ρ vL = = =  2 −1 −1  = = Re = vis cos as F µ µ Adv / dy  µ L LT L  µ ν inercia

F i

ma

Re =

vL

ν

Las fuerzas de inercia y las viscosas son prácticamente las únicas que deben tomarse en cuenta a la hora de estudiar un flujo completamente encerrado (como en tuberías, medidores de flujo, ventiladores, bombas y turbinas), o bien para un flujo en que hay cuerpos totalmente sumergidos en un fluido (vehículos, submarinos, aeronaves o estructuras. Si las fuerzas viscosas y de inercia determinan el flujo para el prototipo, entonces, la similitud entre modelo y prototipo se alcanza cuando sus números de Reynolds son iguales. Un valor grande de Re indica preponderancia de las fuerzas de inercia y, por tanto, una gran turbulencia de la corriente.

16.6.3. Número de Froude Representa la relación entre las fuerzas de inercia y las gravitatorias.  L3 LT −2  v 2 ⇒ = = = = Fr 2  gravitator ias F g mg  Lg  Lg inercia

F i

ma

v

Fr =

Lg

Se toman en consideración las fuerzas de gravedad en los casos en que la superficie libre de un fluido desempeña un papel esencial, como, por ejemplo, en el caso de olas superficiales producidas por el casco de un barco o un hidroavión, o bien el flujo en un canal abierto. Tienen importancia también en compuertas, siendo útil en los cálculos de resalto hidráulico, en el diseño de estructuras hidráulicas y en el de barcos.

16.6.4. Número de Mach. Mide la relación entre las fuerzas de inercia y las elásticas.  ρ L3 LT −2  ρ v 2 v2 ⇒ = = = = Ma 2 = 2 elásticas F E EA  EL  E E ρ inercia

F i

ma


Ma

=

v E ρ

=

v c

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en donde c es la velocidad de propagación de las ondas en el fluido. Se puede demostrar que el número de Mach mide también la relación entre la energía cinética del movimiento y le energía interna del fluido. Es el parámetro a considerar cuando las velocidades son próximas o rebasan la velocidad local del sonido. Es fundamental para determinar los efectos de compresibilidad en un flujo.

16.6.5. Número de Weber. Es proporcional a la relación existente entre las fuerzas de inercia y las de tensión superficial.  ρ L3 LT −2  ρ Lv 2 ⇒ = = = = We 2  σ L  σ L  σ F σ tensión superficial inercia

F i

ma

We =

v

σ ( ρ L )

Es importante en las superficies de separación gas-líquido o líquido-líquido, y también donde dichas superficies estén en contacto con el contorno. La tensión superficial causa pequeñas ondas y formación de gotas. Tiene interés en la descarga de orificios y vertederos con cargas muy pequeñas. Cuanto más pequeño sea el número de Weber, mayor será la influencia relativa de la atracción molecular. En general, al estudiar un fenómeno, no se consideran todas las fuerzas que intervienen, sino que se estudia en el sistema únicamente el efecto de la fuerza preponderante. Si son varias las fuerzas que simultáneamente influyen en el sistema, su comportamiento es más complejo.

16.7. RELACIONES DE TIEMPOS PARA COMPORTAMIENTOS EN MODELO Y PROTOTIPO. Las relaciones entre los tiempos durante los que se desarrolla un comportamiento dado en modelo y prototipo para configuraciones del flujo del fluido en los que juega papel preponderante la fuerza correspondiente son:

16.7.1. Fuerza de inercia

[

]

F i = ma MLT −2 = ma T = L

T r

=

Lr

a

a r


16-8


16.7.2. Fuerza de viscosidad  MLT −2 L  = µ =  Adv  L2 LT −1  Fdy

T =

M

=

µ L

T r =

3 ρ L

µ L

L2r

ν r

16.7.3. Fuerza de gravedad

[

F g = mg MLT −2

T r

=

Lr

] = mg

g r

16.7.4. Fuerza de tensión superficial F σ

= σ L [ MLT −2 ] = σ L T =

T r

=

ρ L3 σ ρ r Lr

3

σ r

16.7.5. Fuerza de elasticidad

[

− F E = EA MLT

T =

2

] = EL

2

ρ L3

T r = Lr

EL

ρ r E r


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16.7.6. Fuerza de presión

[

F p = pA MLT −2

T =

] = pL

2

ρ L3

T r = Lr

pL

ρ r p r

16.8. EJEMPLOS DE PRUEBAS CON MODELOS. Pruebas en túneles de viento y agua. Los túneles se usan para examinar las líneas de corriente y las fuerzas que se inducen al fluir un fluido alrededor de un cuerpo totalmente sumergido. Debido a que la viscosidad cinemática del agua es alrededor de una décima parte de la del aire, se puede usar un túnel de agua para ensayos con modelos si los números de Reynolds son relativamente grandes. A muy altas velocidades hay que tener en cuenta los efectos de la compresibilidad y, por tanto, el número de Mach.

Flujo en tubos. Cuando se tiene un flujo en régimen permanente en un tubo, las fuerzas viscosas y las inerciales son las únicas de importancia. De ahí que, cuando se observa una similitud geométrica, el tener el mismo número de Reynolds en modelo y prototipo proporciona una semejanza dinámica. Para probar con fluidos que tienen la misma viscosidad cinemática, en modelo y prototipo debe ser igual el producto v D Frecuentemente esto requiere velocidades muy altas en modelos pequeños.

Estructuras hidráulicas abiertas. Las estructuras tales como canales de alivio, tanques amortiguadores y vertederos, generalmente tienen fuerzas debidas a la gravedad y fuerzas inerciales que son mayores que las fuerzas viscosas. En estos casos, la semejanza geométrica y el mismo valor del número de Fraude en modelo y prototipo producen una buena aproximación a la semejanza dinámica.


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Resistencia de barcos. La resistencia al movimiento de un barco que se desplaza en al agua está compuesta de arrastre de presión, fricción sobre su superficie y la resistencia debida a las olas. Los estudios con modelos se complican por los tres tipos de fuerzas que son importantes: inercia, viscosidad y gravedad. La fricción de superficie debe basarse en Re iguales en modelo y prototipo, pero la resistencia de las olas depende de Fr. Para satisfacer ambos requerimientos, modelo y prototipo deberían ser del mismo tamaño. La dificultad se vence usando un modelo pequeño y midiendo el arrastre total sobre él cuando se remonta. Entonces, se calcula la fricción en la superficie del modelo y se resta del arrastre total. La cantidad restante se proporciona al tamaño del prototipo usando la ley de Fraude y la fricción en la superficie del prototipo se calcula y se agrega para obtener la resistencia total debida al agua.

Maquinaria hidráulica. La velocidad de rotación de la maquinaria hidráulica presenta una variable adicional. Las partes móviles requieren un parámetro adicional para asegurar que los patrones de líneas de corriente sean iguales en modelo y prototipo. Este parámetro debe relacionar el flujo con la velocidad de las partes móviles. El número de Froude no es importante, pero los efectos del número de Reynolds pueden causar una discrepancia de un 2 a un 5% en la eficacia entre modelo y prototipo. El número de Mach es de importancia en los compresores de flujo axial y en turbinas de gas.


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PROBLEMAS DEL TEMA 16: ANÁLISIS DIMENSIONAL Y SEMEJANZA DINÁMICA. 16.1. De un dirigible de 60 m de longitud que ha de moverse en aire a la presión atmosférica y 300 ºC con una velocidad de 8 m/s, se construye un modelo de 10 m de longitud para ensayarlo en un túnel de viento en el que se emplea aire a la presión atmosférica y 0 ºC. a) Calcúlese la velocidad del aire en el túnel para que haya semejanza dinámica. b) Explíquense los diferentes efectos de la compresibilidad elástica medidos por el porcentaje del cambio del número de Mach en las condiciones de vuelo de prototipo y modelo. Soluciones: a) v = 39,6 m / s b)

Mam − Ma p Ma p

= 421 %

16.2. Un chorro de gasolin a, de tensión superficial σ = 2·10-2 N/m penetra a una velocidad de 12 m/s en aire a 10 kg/cm 2 y 60 ºC, rompiéndose en gotas de 0,14 mm de diámetro. a) Calcúlese el número de Weber. En él, la densidad es la de aire y la dimensión característica es el diámetro de la gota. b) Un modelo análogo que utilice un chorro de agua a 15 ºC, ¿a qué velocidad ha de penetrar en el aire para producir gotas del mismo diámetro? Soluciones: a) 3,217 b) v = 23,02 m / s 16.3. Se hace un modelo de prueba de un submarino cuyo diámetro máximo es de 7.5 m y cuya velocidad máxima en el océano es de 6 m/s. La temperatura del agua es de 4 ºC. Se pueden conseguir dos túneles para la prueba: 1) Un túnel de agua con una velocidad máxima de 30 m/s, en el cual el modelo puede tener un diámetro máximo de 7,5 cm. 2) Un túnel de viento con una velocidad máxima de 240 km/h, en el cual pueden usarse modelos con un diámetro máximo de 25 cm. La presión de aire en el túnel de viento puede ser de hasta 3 atmósferas. La temperatura, tanto la del aire como la del agua es de 25 ºC ¿Cuál de los dos túneles se elegiría para hacer la prueba? Dar razones que justifiquen su elección. Solución: El de aire 16.4. En un barco, el empuje F es función de la velocidad de avance del mismo, v, del diámetro de la hélice, D, del número de revoluciones de la misma, N, de la viscosidad del agua, μ, de la densidad, ρ, y de la gravedad, g.

a) Buscar los parámetros adimensionales que intervienen en el fenómeno, deduciendo la fórmula que da el empuje, y demostrar que no puede conseguirse, en un ensayo a escala reducida, la semejanza perfecta con el mismo fluido a la misma temperatura.


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b) Despreciando la influencia de las fuerzas viscosas, se quiere hacer un ensayo con un modelo a escala 1/10 de un buque con una hélice de diámetro 6 metros y N = 120 rpm que debe navegar a una velocidad de 40 km/h. Determinar el diámetro y las revoluciones de la hélice del modelo, así como la velocidad de desplazamiento de éste. c) Sobre el modelo se mide un empuje de 150 kg. Determinar el empuje necesario para el prototipo y la potencia cedida por el mismo. D ⋅ N F Soluciones: a) Re, Fr, , b) Dm = 0,6 m , v m = 12 km / h , 2 2 ρ ⋅ D

v

N m

= 379,47 r . p.m. c)

⋅v

 = 22222,2 CV F pm = 15 ⋅ 10 4 kp y W p

16.5. La resistencia F al avance y el comportamiento de un cuerpo flotante dependen de las siguientes variables: gravedad, g; longitud característica, l; densidad d el fluido, ρ; viscosidad dinámica del mismo, μ y velocidad v. a) Deducir la ley dimensional del fenómeno, es decir, la fórmula que da la resistencia. b) Se quiere hacer el ensayo, con un modelo a escala 1/4, de un prototipo que se prevé pesará 1000 kg y navegará en agua dulce a 20 ºC con una velocidad de 20 km/h. ¿Cuál será la viscosidad del fluido con el que se hará el ensayo? ¿Qué fluido se empleará? ¿Cuál debe ser el peso del modelo (si la densidad del fluido de ensayo con el modelo es 13600 kg/m3? c) Si la resistencia medida en el modelo es de 50 kg y la potencia que consume 2,66 CV, determinar la resistencia al avance y el rendimiento del prototipo. Nota: para que exista semejanza, deben coincidir los rendimientos en modelo y prototipo. 

Soluciones: a) φ 

F

2 2  ρ ⋅ L ⋅ v



, Re, Fr  = 0 , b) P



= 212.95kg c) R = 234.8kg y 70%

16.6. Una válvula que se emplea para controlar aire a la presión atmosférica en conductos grandes tiene un diámetro de entrada de 1.8 m y un gasto de 500 m 3/min. Las fuerzas que juegan papel son las viscosas y las gravitatorias. Se construye un modelo que utiliza agua. Toda la experiencia se realiza a 10 ºC. Calcúlese el diámetro, la velocidad y el gasto en el modelo en el S.I. Soluciones: D = 0,368 m , v = 1,48 m / s y Q = 0,157 m 3 / s 16.7. En un túnel de viento presurizado se ensaya el modelo a escala 1:10 de un automóvil, que en la realidad viajará a 80 km/h en aire a la presión atmosférica y 30 ºC. El túnel opera con aire a 10 ºC. Juegan papel las fuerzas viscosas y las elásticas. Calcúlese: a) La velocidad del modelo en km/h. b) La presión del túnel de viento en atm. Soluciones: a) v = 77,31 km / h b) p = 8,99 atm 16.8. Para determinar las cargas dinámicas por el efecto del viento a 60 km/h sobre una chimenea, se construye un modelo a escala 1:20 del prototipo y se ensaya en un túnel de


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viento en el que el aire se mantiene a las mismas condiciones de temperatura a que va a estar el prototipo, y a una presión cinco veces mayor que para el prototipo. Sobre el modelo se han medido cargas de 3,5 kg y un momento flector de 12,5 kg-m. Calcular: a) La velocidad del aire en el túnel de viento. b) Carga correspondiente al prototipo, en kg. c) Momento flector correspondiente al prototipo, en kg-m. Soluciones: a) v = 240 km / h b) F = 817,5 kg c) M = 1250 kg − m 16.9. a) Suponiendo que la resistencia F al avance de un cuerpo sumergido en un fluido es función de su velocidad, v, de una longitud característica, l, de la densidad del fluido, ρ, de la viscosidad dinámica del mismo, μ, y del módulo de elasticidad volumétrico del

fluido, E, hallar la expresión de la misma mediante el teorema de Buckingham. b) Se quiere diseñar un avión que vuele a 600 km/h y se estudia su maqueta a escala 1:20 en un túnel aerodinámico. Siendo las condiciones de presión y temperatura las mismas en el túnel y en la atmósfera, ¿cuál debe ser la velocidad del aire en el túnel? ¿Es viable el ensayo? c) Si se quiere ensayar en el túnel a la misma velocidad que en la atmósfera, y a la misma temperatura, ¿cuál debe ser la relación de presiones entre el túnel y la atmósfera? d) Calcular en este caso la relación entre las fuerzas de la maqueta y del prototipo. Soluciones: a) ρ ⋅ L2 ⋅ v 2φ (Re, Ma ) = F , b) v = 12000 km / h , No c)

p m p p

= 20 d)

F p = 20 ⋅ F m

16.10. La maqueta de un dique, cuyo manto protector está formado de bloques de hormigón y pesa cada uno 1 kg, está sometido a la acción del oleaje producido en el laboratorio (ver figura). Esta maqueta no sufre desprendimientos de bloque mientras la altura de la ola no sobrepase los 0,3 m. Se pide cuál será el peso mínimo de los bloques de hormigón que forman el manto protector del dique prototipo para que resista la acción de una ola geométrica e hidrodinámicamente semejante que alcance los 6 m de altura. Solución: P = 8000 kg

16.11. Las compuertas de llenado y vaciado de un canal de esclusa ocupan toda la altura de ésta. Cuando una embarcación desciende en la esclusa prototipo, las compuertas en


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el extremo de salida son programadas para abrirse con una rapidez de 2 cm/min. Las ondas y corrientes producidas por el flujo de salida hacen que la embarcación tire de sus amarras. En un modelo a escala 1/25, y usando agua, la tensión máxima en las amarras es de 0,725 kg, cuando las compuertas se abren con la rapidez debida. Determinar la rapidez de apertura de las compuertas en el modelo en cm/min y la tensión máxima de la línea de amarre en el prototipo. Soluciones: 5 cm / min y T = 11328 kg 16.12. Se empleará sodio líquido en un circuito cerrado como medio de transferencia de calor, en un submarino impulsado mediante energía nuclear. Deseamos determinar la caída de presión causada por el flujo a través de una válvula de retención diseñada especialmente en el circuito cerrado de sodio líquido. La temperatura del sodio líquido es de 700 ºC, la densidad relativa es de 0,78 y la viscosidad absoluta es 0,18 centipoises. La tubería tiene un diámetro de 20 cm y el gasto de diseño es de 7,48 m 3/min. Se construyó un modelo de la válvula de retención del prototipo, geométricamente semejante, de la mitad de tamaño. A fin de diseñar un programa experimental para predecir la caída de presión en el sistema prototipo, por mediciones sobre el fluido dinámicamente semejante en el sistema más pequeño, a) Enunciar las condiciones que deben satisfacerse a fin de lograr la semejanza dinámica. b) ¿Qué sería más interesante utilizar en el modelo a prueba: agua a 15 ºC o aire a 15 ºC y presión atmosférica? Dar razones. c) Determinar el caudal requerido del fluido escogido, para el modelo de prueba. Soluciones: a) Re m = Re p b) Agua c) Q = 0,308m 3 / s 16.13. El flujo a través de un tubo cerrado de sección circular se puede obtener midiendo la velocidad de rotación de una hélice que tenga su eje a lo largo del eje del tubo. a) Obtener una relación entre el caudal y la velocidad de rotación de la hélice, a través de los diámetros del tubo y de la hélice, de la densidad y de la viscosidad dinámica del fluido. b) Una hélice de 75 mm de diámetro instalada en un tubo de 150 mm que conduce 42,5 l/s. de agua gira a 20,7 r.p.s. Si una hélice geométricamente similar gira a 10,9 r.p.s. en un flujo de aire a través de un tubo de 750 mm de diámetro, calcular el diámetro de la hélice que trabaja con aire y el caudal de aire que pasa. 3 5 5 Datos: ρ(aire)=1,28 kg/m ; μ(aire)=1,93 · 10 Pa·s; μ(agua)=1,145 · 10 Pa·s.

 DT ρ ⋅ N ⋅ D H 2 ρ ⋅ Q   = 0 , b) D = 375 mm y Soluciones: a) φ  , ,  D D ⋅ µ µ H   H

Q = 2,79 m 3 / s

16.14. Un aeroplano va a volar a una altura de 9 km (en la que la temperatura y la presión son de –45 ºC y 30,2 kPa respectivamente) con velocidad de 400 m/s. Se prueba un modelo escala 1/20 en un túnel de viento presurizado en el cual el aire se encuentra a 15 ºC.


16-15


¿Qué presión y qué velocidad deberán usarse en el túnel de viento para una semejanza dinámica completa? Nota: para el aire a T K, μ es proporcional a T 3/2/(T + 117). Soluciones: P = 8,21 ⋅ 10 5 Pa y v = 449,6 m / s 16.15. Se desea predecir la fuerza de arrastre en un transductor de sonar, basándose en resultados obtenidos en pruebas de túnel de viento. El prototipo, consistente en una esfera de 30 cm de diámetro, se debe arrastrar con velocidad de 9 km/h en agua de mar de salinidad 35 por mil, a 20ºC. El modelo tiene 150 mm de diámetro y se prueba en aire a 20ºC. Se pide: a) Determinar una expresión válida para la fuerza de arrastre, utilizando la teoría de Buckingham y sabiendo que esa fuerza debe depender de la viscosidad, densidad y velocidad relativa del medio fluido respecto al cuerpo inmerso en él, así como del tamaño de éste (tómese una magnitud de longitud cualquiera, D, característica del cuerpo). b) Calcular la velocidad necesaria para la prueba en aire. c) Discutir si es necesario realizar alguna corrección de resultados en el túnel debido a efectos de compresibilidad. Razonar la respuesta y ofrecer una solución viable en caso afirmativo. d) Si la fuerza de arrastre en el modelo, en las condicione de prueba, es de 2,5 kg, estimar la fuerza de arrastre que debe esperarse en el prototipo. Soluciones: a) ρ ⋅ D 2 ⋅ v 2φ (Re ) = F , b) v = 68,89 m / s c) No corrección d) F = 11,20 kg 16.16. Un gran tanque contiene una capa de agua salada de peso especifico γ 2 , y profundidad z o , bajo una capa de agua dulce de peso específico γ   como se ve en la figura.

γ

Superficie límite

1

γ

z0

2

D

V

Un tubo de desagüe, de diámetro D, se localiza en el fondo del tanque. Se han llevado a cabo experimentos con el fin de determinar la velocidad v en el tubo de descarga, a la cual el agua dulce de la capa superior empieza a escaparse por el desagüe.


16-16


Los resultados experimentales están dados por: v = 2,05 ⋅ g

1/ 2

⋅

∆γ 1 / 2 γ 1

⋅

z 05 / 2 D 2

donde ∆γ = γ 2 − γ 1 . a) Demostrar que esta ecuación puede escribirse en una forma adimensional en términos del número adimensional de Froude. b) Cuando el tanque contiene agua de mar a 20ºC (de salinidad 30/1000) bajo el agua dulce a 20ºC y la profundidad de agua de mar es de 60 cm, determinar el gasto máximo de descarga del agua de mar en litros/minuto a través de un tubo de descarga de 15 cm de diámetro.

 ∆γ


 γ

,

z 0 D

,

  = 0 , b) Q = 12733,8 l / min g ⋅ D  v

16.17. Se pretende diseñar una presa que se prevé con una capacidad de 4,096 Hm 3 para alimentar a través de una tubería una serie de turbinas. Se sabe que la velocidad del agua en la tubería es función de la densidad del fluido, ρ, de la viscosidad dinámica, μ, de la gravedad, g, y del diámetro de la tubería, D. Se pide: a) Obtener mediante análisis dimensional una ecuación que defina el fenómeno, señalando los grupos adimensionales que intervienen. Para dimensionar la presa, se ensaya a partir de un modelo a escala reducida que tiene una capacidad de 100 m 3, y en él se mide la velocidad del fluido en la tubería, siendo ésta de 1 m/s. b) Calcular la velocidad con la que circulará el agua en la tubería del prototipo, si se trabaja en las mismas condiciones de gravedad y se consideran preponderantes las fuerzas de gravedad sobre las de viscosidad. c) Si se pretende que el caudal que circule por la tubería de alimentación a las turbinas del prototipo sea de 204.8 m 3/s, ¿cuál deberá ser el caudal que circula por la tubería del modelo? d) ¿Qué condición deberá cumplir el fluido del modelo para que la semejanza sea completa? Suponer que para el prototipo, el fluido utilizado es agua dulce a 15ºC. Soluciones: a) φ (Re, Fr ) = 0 , b) v = 5,87 m / s c) Q = 0,029 m 3 / s d) Q = 5,64 ⋅ 10 −9 m 3 / s 16.18. Un modelo reducido para el estudio de las mareas está construido adoptando una escala de 1/500 en planta y 1/80 en altura. ¿Cuál debe ser, para este modelo, la duración de una marea, si el período en la naturaleza es de 12 h 25´. La misma cuestión para una escala de 1/50000 en planta y 1/500 en altura. Soluciones: 13'22' ' y 20 s


16-17


16.19. Las variables que intervienen en el flujo a través de un turbomáquina son: el diámetro del impulsor, D, la velocidad angular, ω, la viscosidad, μ, la densidad del fluido, ρ, el caudal, Q, la carga H (energía por unidad de masa) y la potencia .

alimentada, W . Utilizando D, ρ, μ como variables repetitivas efectúese un análisis dimensional. a) Determinar los parámetros adimensionales que caracterizan este problema. b) ¿En qué condiciones resultarán semejantes los flujos en dos máquinas diferentes? c) Determinar la velocidad angular de operación de la máquina 2, para el mismo caudal que la máquina 1, si D 2 /D 1 = 2 y si los efectos viscosos no son importantes. ¿Cuál será la razón de cargas en estas condiciones? Soluciones: a) Π 1 =

H D 2 ⋅ w 2

Iguales los 4 números c) w2 =

, Π2 = w1

8

y

µ D 2 ⋅ w ⋅ ρ

H 1 H 2

, Π3 =

Q D 3 ⋅ w

y Π4 =

 W D 5 ⋅ w 3 ⋅ ρ

b)

= 16

16.20. La formación del fenómeno de la cavitación en el fuselaje de un torpedo es causa de ruidos y vibraciones en su desplazamiento por debajo de la superficie del agua debido a la implosión de las burbujas generadas. Ello lo hace especialmente vulnerable a cualquier sistema de detección. Se trata de evitar la aparición de este fenómeno que se sabe depende de la profundidad, H, a la que viaja el torpedo, de la densidad, ρ y la viscosidad, μ, del líquido, la velocidad de desplazamiento del proyectil, v, de la

gravedad, g, y de la diferencia de presiones, ∆ p, entre la que existe a la profundidad de navegación de torpedo y la presión de vapor del líquido (agua de mar) a la temperatura que se encuentre. Se pide: a) Obtener, mediante análisis dimensional, una ecuación que defina el fenómeno, señalando los grupos adimensionales que intervienen. (Elegir v, ρ, H como variables

repetidas). b) Un nuevo diseño de torpedo que viaja a 8 m por debajo de la superficie en agua de mar a 20 ºC, se sabe que inicia la cavitación a una velocidad de 21 m/s cuando la presión atmosférica es de 101 kPa. Si los números de Reynolds y de Froude tienen efectos despreciables, ¿a qué velocidad cavitará cuando viaje a 20 m de profundidad? Datos: Densidad del agua de mar: 1025 kg/m 3. Presión de vapor del agua a 20 ºC = 2,337 kPa (absoluta) Soluciones: a) φ (Re, Fr , Ma ) = 0 , b) v p = 27,16 m / s 16.21. Sabiendo que la potencia necesaria para bombear un fluido por una tubería es función de la densidad del fluido, ρ, de la viscosidad dinámica, μ de la velocidad, v y

del diámetro de la tubería, D, a) Demostrar por medio del análisis dimensional que esa potencia es función del número de Reynolds. Si se realiza un ensayo mediante modelo reducido a escala 1:5 utilizando como fluido agua (viscosidad cinemática 10 -6 m2/s), se observa que ésta se derrama con una velocidad de 2 m/s, consumiendo una potencia de 4 kW. Si se desea que en el prototipo


16-18


el fluido sea aire de peso específico 1,25 kg/m 3 y viscosidad cinemática 14,8 · 10 -6 m2/s, se pide: b) Velocidad a la que se derramará el aire por la tubería. c) Potencia necesaria para impulsar ese caudal de aire. Soluciones: a) f (Re ) =

 W ρ ⋅ v ⋅ D 3

2

 = 3,24 kW , b) v p = 5,92 m / s c) W p

16.22. Considérese la ecuación para la velocidad de propagación, c, de ondas superficiales de pequeña amplitud en un líquido uniforme:  σ 2π gλ   2π h   tanh c 2 =  +   λ   ρ λ 2π  Donde: σ tensión superficial; λ longitud de onda; h profundidad del líquido no perturbado; ρ densidad.

a) Escribir la ecuación anterior en forma adimensional e indicar las condiciones de semejanza en términos de números adimensionales. b) Si se utilizan agua y detergente (la tensión superficial es igual a un tercio de la del agua pura) en un modelo, y agua pura en el prototipo, ¿cuál es la relación de escalas para la semejanza dinámica del movimiento ondulatorio? Suponer iguales las densidades de los fluidos en modelo y prototipo.

 λ  h

 

Soluciones: a) φ  ,We, Fr  = 0 , b) Lr =

1 3

16.23. El momento de cabeceo máximo provocado por el agua en un hidroavión al amerizar, se representa por C max . En esta acción intervienen las siguientes variables: α = ángulo de la trayectoria de vuelo del avión con la horizontal. β = ángulo que define la posición del avión.

M = masa del avión L = longitud del casco ρ = densidad del agua

g = aceleración de la gravedad. R = radio de giro del avión respecto del eje de cabeceo. De acuerdo con el teorema de Buckingham, ¿cuántos grupos adimensionales independientes caracterizarían este problema? Obtener la ecuación que define el fenómeno. 

L

Solución: C max = L4 ⋅ ρ ⋅ g ⋅ φ α , β , , 

M 



R ρ ⋅ L3 

16.24. ¿Qué fuerzas (y sus correspondientes grupos adimensionales) son preponderantes en los siguientes fenómenos físicos? a) Lubricación. b) Formación de gotas.


16-19


c) Pérdidas de carga en tuberías. d) Fenómeno de golpe de ariete en una tubería. e) Equipos sonares para prospecciones subacuáticas. f) Cavitación. g) Bombeo de sangre desde las arterias a los capilares. Soluciones: a) viscosidad b) gravitatoria c) tensión superficial d) viscosidad e) elásticas f) elásticas y viscosas g) presión h) tensión superficial y presión .

16.25. La potencia requerida W para mover una hélice depende de las siguientes variables: D = diámetro de la hélice; ρ densidad del fluido; c = velocidad del sonido en el fluido; w = velocidad angular de la hélice; v = velocidad de la corriente libre; μ =

viscosidad del fluido. a) De acuerdo con el teorema de Buckingham, determinar los grupos adimensionales y la ecuación que caracteriza el problema. b) Supongamos que se excluye la viscosidad del grupo de variables que determinan la potencia necesaria para mover una hélice. El modelo de una hélice, cuyo prototipo tiene 2 pies de longitud, se reduce a una escala de 1:5 con respecto a la hélice natural. Si el modelo requiere 5 caballos de potencia, ¿cuál es la potencia requerida por el prototipo si se gira a una velocidad de 150 r/min? La hélice a escala natural debe operar a 30000 pies en una atmósfera estándar con una velocidad de corriente libre de 300 millas/hora. ¿Cuál debe ser la velocidad de la corriente libre en los ensayos del modelo? Suponer que para el modelo, T = 59 ºF. Datos: Tabla anexa de la atmósfera estándar. 1 slug 14,594 kg. Conversión de grados Fahrenheit a Celsius: ºC = 5(ºF-32)/9 


 W

 ρ ⋅ D ⋅ v 2

3

, Re, Ma,

v 

 = 24,27 kW y v = 150,52 m / s  = 0 , b) W p m D ⋅ w 

16.26. Se desea probar un modelo de avión supersónico con igualdad de números de Mach y de Reynolds con el prototipo. Señalar razonadamente cuál de las siguientes afirmaciones es la correcta: a) Es imposible mantener ambos números adimensionales iguales a la vez. b) El modelo se debe probar en un túnel de viento ordinario en circuito abierto. c) El modelo se debe probar en un túnel de viento con aire comprimido a cualquier temperatura. d) El modelo se debe probar en un túnel de viento con aire comprimido a la temperatura de vuelo del prototipo. Solución: d) 16.27. Por medio de un modelo experimental se desea establecer la profundidad mínima (h min ) a la que debe colocarse el tubo de succión de una bomba (desde la superficie libre del agua) para que no se produzcan vórtices en la entrada y no exista succión de aire. El líquido que se bombea es petróleo (viscosidad cinemática = 0.75 stokes) con un gasto Q = 140 l/s. El diámetro del tubo de succión es d = 250 mm. La prueba se desea realizar con un modelo de semejanza geométrico a escala 1:5. Las condiciones de entrada del


16-20


petróleo al tubo (en el caso dado) se definen por el efecto conjunto de las propiedades de inercia, viscosidad y gravedad del líquido. Determinar: a) La viscosidad μ m del líquido que debe ser usado en el modelo. b) El gasto Q m en el modelo y, con este gasto, la velocidad v m en el tubo del modelo. c) La profundidad h min a la que dejan de formarse vórtices en el prototipo, si en el modelo se obtuvo h min = 60 mm. Nota: para obtener en el modelo un líquido de la calidad deseada se puede utilizar una solución de glicerina en agua, que modifica la viscosidad en proporción a los componentes (a una temperatura de 20 ºC) desde 0.01 stokes (para agua pura) a 8 stokes (para glicerina). Soluciones: a) υ m = 0,067 st b) Qm = 2,5l / s y v m = 1,275 m / s c) hmin = 0,3m

hmin v d

16.28. La válvula de aguja mostrada en la figura tiene un diámetro D p = 2 m y trabaja con una carga H p = 100 m. Se ha probado un modelo hidráulico de la misma, el cual tiene un diámetro D m = 0,2 m y con una carga H m = 6 m descarga un gasto Q m = 206 l/s. En estas condiciones de trabajo, se ha medido el empuje dinámico del flujo sobre el cuerpo de la aguja y alcanza el valor P m = 60 kg. Entrada y salida de l fluido para el movimiento de la aguja móvil

H D

P

Aguja móvil


16-21


Determinar: a) El gasto que descargará la válvula para las condiciones en que funciona el prototipo. b) El empuje dinámico P en el prototipo para esas condiciones., Nota: Considerar que el flujo es completamente turbulento y, por tanto, independiente del número de Reynolds. Esto es, la ley de semejanza a utilizar es la de Euler. El fluido en ambos casos es agua. Soluciones: a) Q p = 84,09 m 3 / s b) P = 10 5 kg 16.29. Las características dinámicas de una pelota de golf se van a probar utilizando un modelo en un túnel de viento. Las variables dependientes son la fuerza de arrastre y la fuerza de sustentación sobre la pelota. Las variables independientes a incluir son la velocidad angular y la profundidad d de las pequeñas deformaciones sobre la superficie de la pelota. a) Obtener mediante análisis dimensional una ecuación que defina el fenómeno, señalando los parámetros adimensionales que intervienen. Un profesional de golf puede golpear la pelota a una velocidad de 73 m/s con una velocidad angular de 9000 r.p.m. Si se desea modelar estas condiciones en un túnel de viento con velocidad máxima de 24 m/s, b) ¿Qué diámetro de pelota modelo debe emplearse? c) ¿A qué velocidad debe girar la pelota modelo? 

F


 ρ ⋅ D ⋅ v 2

, Re,

2

d 

 = 0 b) Dm = 129,3 mm c) wm = 972,6 r . p.m.

D 

16.30. Considérese un fluido que fluye bajo condiciones tales que los efectos viscosos, gravitacionales y de tensión superficial son aproximadamente de igual importancia. ¿Qué interrelación entre las propiedades del fluido: densidad, viscosidad y tensión superficial, en modelo y prototipo, se requiere para obtener un modelo dinámicamente semejante? 1

Solución:

ρ m 4 ⋅ σ m 4 µ m

1

3

=

3

ρ p 4 ⋅ σ p 4 µ p

16.31. El momento torsor en una turbomáquina, depende de la velocidad con que gira su rodete N, del diámetro de dicho rodete D, del caudal que lo atraviesa Q, de la carga de trabajo h, de la viscosidad del fluido µ, de la densidad del fluido ρ y del ángulo de inclinación de los álabes (a la entrada) β. a) Obténganse los parámetros adimensionales que definen este fenómeno aplicando el teorema de Buckingham. b) Se va a trabajar con un modelo a escala 1:4. Sabiendo que el rodete de diámetro 1 m de la turbomáquina real gira a 200 r.p.m., cuando la carga es de 120 m y el caudal de 1.5 m3/s, obtener la carga de trabajo y el caudal necesarios en el modelo. c) Con las condiciones del apartado anterior se mide un par torsor en el modelo de 30 N-m, ¿cuál será el par torsor que se producirá en el prototipo?


16-22


Nota: El líquido utilizado en modelo y prototipo es agua que se supone en las mismas condiciones. Soluciones: a) Π 1 = β , Π 2 =

D h

L ⋅ D

, Π3 =

hm = 30 m y Qm = 0,375 m 3 / s c) L p

Q ⋅ ρ 2

, Π4 =

N ⋅ D 3 Q

y Π5 =

µ ⋅ D Q ⋅ ρ

b)

= 120 N − m

16.32. Se desea estudiar una presa mediante un modelo a escala 1:49. Se mide la velocidad del agua en el modelo y resulta ser de 0.4 m/s. El caudal máximo desaguado por la presa prototipo es de 500 m3/s y en el modelo se midió la fuerza ejercida sobre la presa, resultando ser de 2.5 kg. Calcular: a) Escalas de velocidades, caudales y fuerzas en función de la escala de longitud. b) Caudal que tiene que circular en el modelo en l/s. c) Velocidad del agua en la presa en m/s. d) Fuerza ejercida sobre la presa en kg. 5

Soluciones: a) v r = Lr , Qr = Lr 2 y F r = Lr 3 b) Qm = 29,75 l / s c) v = 2.8m / s d) F = 2,94 ⋅ 10 5 kg 16.33. La potencia P obtenida por una hélice depende de la densidad del aire, ρ, del diámetro D, de la velocidad de la corriente, v, de la velocidad de rotación, n, de la viscosidad dinámica, μ y de la velocidad del sonido, c. Empleando el teorema Π de Buckingham, obtener los parámetros adimensionales que definen el fenómeno físico. v

 W

c

ρ ⋅ D ⋅ N

Solución: Π 1 = , Π 2 =

5

3

, Π3 =

v D ⋅ N

y Π 4 =

µ ρ ⋅ N ⋅ D 2

16.34. De la experiencia en el diseño de turbinas hidráulicas se ha deducido que la potencia mecánica, P, entregada por una turbina depende de la densidad, ρ y viscosidad dinámica, μ del agua; del diámetro D del rodete; de la velocidad angular de rotación, de la misma; del caudal, Q; de la carga total, H (en m) sobre la máquina; y de la aceleración gravitacional, g. a) Determinar los parámetros adimensionales que intervienen en el fenómeno, eligiendo como variables repetidas: D, w y ρ.

b) Un modelo de turbina Francis, con un diámetro de rodete de 42.07 cm, se prueba bajo una carga de 5.643 m a una velocidad de rotación de 374 rpm. La potencia medida es de 22.15 CV, con un rendimiento del 89.3 %. El diámetro del rodete en prototipo es de 409 cm. Determinar la carga de bombeo, velocidad de giro, caudal y potencia entregada por el prototipo para un flujo dinámicamente semejante, considerando despreciable el efecto de las fuerzas viscosas. Soluciones: a) Π 1 =

 W ρ ⋅ D

5

⋅w

3

, Π2 =

µ ρ ⋅ D

2

⋅w

, Π3 =

Q D ⋅ w 3

y Π 4 =

H D

 = 46,64 MW b) H = 54,861 m , N = 119,95 rpm , Q = 97,25 m 3 / s y W


16-23




16.35. La fuerza de resistencia F sobre un proyectil de alta velocidad depende de la velocidad v del proyectil, de la densidad del fluido ρ, del módulo de elasticidad volumétrico del fluido E, del diámetro D del proyectil y de la viscosidad del fluido µ. a) Obtener los parámetros adimensionales aplicando el teorema de π. b) El proyectil tiene una velocidad de 150 m/s. Despreciando los efectos elásticos, a que velocidad deberá trabajarse en un modelo a escala 1:24 si se sabe que el protipo trabaja en aire a 15 ºC y el modelo va a trabajar con agua a 20ºC. (Ambos a presión atmosférica) c) Se lleva a cabo el ensayo y se mide una fuerza de resistencia sobre el modelo de 150 N, ¿Cuál será la fuerza de resistencia en el prototipo? Soluciones: a) Π 1 =

F

ρ ⋅ D

2

⋅ v2

, Π 2 = Ma y Π 3 = Re b) v m = 249,5 m / s

c) F = 38,36 N 16.36. En el estudio de turbomáquinas generalmente intervienen 6 variables: D = diámetro del rodete; N = velocidad de rotación; Q = caudal a través de la máquina; υ = viscosidad cinemática; g = aceleración de la gravedad; ∆ H = cambio en la altura total. a) Utilizando como variables repetidas N y D, obtener los parámetros adimensionales que intervienen en el fenómeno. Nótese que al no aparecer la magnitud “masa” en ninguna de las variables, el número de magnitudes fundamentales es 2. b) Una bomba colocada en la superficie de la Tierra mueve 10 m 3/s de agua a 60 ºC cuando gira a 1750 rpm. La altura de bombeo es de 20 m y el diámetro del rodete es de 0,4 m. En un vehículo espacial, una bomba geométricamente semejante a escala ¾, bombea aceite de viscosidad cinemática 3 · 10 -6 m2/s y con una velocidad de rotación de 1450 rpm. ¿A qué distancia d desde la superficie de la Tierra se obtendrá semejanza dinámica entre los flujos de las bombas en el espacio y en la Tierra? Determinar el caudal y la altura para la bomba espacial. Nota: el radio de la Tierra es de 6372 km. Soluciones: a)

Π1 =

∆ H

,

Π2 =

Q

D D 3 ⋅ N Q = 3,5 m 3 / s , h = 15 m y d = 2508 km

,

Π3 =

υ D 2 ⋅ N

y

Π4 =

g N 2 ⋅ D

b)

16.37. Un modelo de fuselaje de avión a escala 1 ÷ 8 se prueba en un túnel a presión absoluta de 2150 kN/m2 y 15 ºC. Los resultados observados son los siguientes: Velocidad (m/s) Resistencia (N)

18 4,7

36 15,7

Se pide: a) Deducir una fórmula para la resistencia o fuerza de arrastre soportada por un cuerpo inmerso en movimiento utilizando el teorema de π-Buckingham y considerando que la citada resistencia es función de la viscosidad absoluta ( µ) y de la densidad del fluido (ρ), así como de la velocidad relativa del fluido respecto al sólido (v) y de una dimensión característica de este último (l).


16-24


b) Encontrar la resistencia real que ofrece el fuselaje de un avión a 2400 m de altura y una velocidad de 290 km/h, sabiendo que π 1 *π 2 = k (constante). Datos: aire a 2400 m de altura: P absoluta = 75 kN/m2, T = -1ºC, ν = 1,8059 10-6 m2/s, aire 15 ºC y P = 2150 kN/m2, ν = 6,975 10-8 m2/s Considerar que el aire cumple la ecuación de los gases ideales. 

Fr



Soluciones: a) f  , Re  = 0 b) R = 208,25 N 2 2 ρ ⋅ ⋅ v l   16.38. La formación del fenómeno de cavitación en el fuselaje de un torpedo es causa de ruidos y vibraciones en su desplazamiento por debajo de la superficie libre del agua, debido a la implosión de las burbujas generadas. Ello lo hace especialmente vulnerable a cualquier sistema de detección. Se trata de evitar la aparición de este fenómeno, que se se sabe depende de la profundidad (H) a la que viaja el torpedo, de la viscosidad dinámica (μ) y la densidad del fluido ( ρ), de su presión de vapor (p), de la velocidad del proyectil (v) y de la aceleración de la gravedad (g). a) Establecer los números adimensionales de que depende el fenómeno. b) Si tenemos que con un nuevo diseño de torpedo que viaja a 8 m de profundidad en agua de mar se inicia la cavitación a 21 m/s, considerando que los números de Reynolds y de Froude tienen efectos despreciables, ¿a qué velocidad cavitará cuando viaje a 20 m de profundidad? Dato: densidad del agua de mar = 1025 kg/m 3. Soluciones: a) Π 1 = σ , Π 2 = Re , Π 3 = Fr y Π 4 =

p

ρ ⋅ v 2

b) v = 27,01 m / s

16.39. El movimiento del oleaje a lo largo de una sección costera debe estudiarse experimentalmente utilizando un modelo geométricamente semejante reducido en un factor de 20. La densidad del agua de mar es 1030 kg/m 3 y la del agua dulce 1000 kg/m3. a) Si no tienen en cuenta la tensión superficial y la fricción, señalar cuál es el parámetro adimensional a utilizar en la comparación de flujos e indicar razones. b) ¿Cuál es la velocidad de la onda en el modelo si la velocidad de onda en el prototipo es 0.15 m/s? c) ¿Cuál es la relación de fuerzas entre el modelo y el prototipo para estos flujos? Soluciones: a) Re b) v m=3,09 m/s c) F m/F p =1,03 16.40. En el laboratorio de fluidos del departamento se está ensayando con una hélice que mueve aceite a prueba de polvo a 30 ºC y cuyo movimiento queda definido por las siguientes variables: densidad ρ , la velocidad a través de la hélice v = 13 m / s , la velocidad de giro N = 100 r . p.m. , el diámetro D = 20 cm , la fuerza de impulsión  . F = 7350 N y la potencia de salida W s a) Tomando como variables repetidas ρ , D y N , determinar los números Π correspondientes.


16-25


b) Calcular la velocidad a la entrada v1 , la velocidad a la salida v4 , la diferencia de  , y el presiones a ambos lados de la hélice p3 − p 2 , la potencia a la salida W s rendimiento η c) Obtener la fuerza de impulsión de una hélice semejante a la utilizada que mueve agua a 4 ºC que tiene un diámetro 2,5 veces menor que la del laboratorio y su velocidad de giro es de 200 r.p.m.


16-26

similitud hidraulica

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