INDICE
Introducción………………………………………………..........pág. Introducción……………………………………………… ..........pág. 2
6.1 Módulo de biot y de Fourier…………………………...pág. Fourier…………………………...pág. 3 - 11
6.2 Parámetros concentrados……………………….... concentrados ……………………….....pág. .pág. 12 – 12 – 2 2 7
6.3 Diagramas de heissler ……………………………....pág. ……………………………....pág. 28 - 40
Conclusión…………………………………………...................pág. Conclusión…………………………………………......... ..........pág. 41
Bibliografía…………………………………………...................pág. Bibliografía…………………………………………....... ............pág. 42
1
Introducción En esta unidad seis “ Balance de calor en un sistema en estado transitorio, flujo unidireccional ” veremos tres subtemas principales:
Módulo de Biot y de Fourier Parámetros concentrados Aplicación de las Gráficas de Heissler para problemas en geometrías simples. Placas, cilindros y esferas en estado transitorio.
Cuando se calientan partículas sólidas o gotas de líquido por medio de un líquido que las rodea, como ocurre por ejemplo en un horno rotario, un lecho fluidizado o un chorro de plasma, con frecuencia es necesario predecir el tiempo que se requiere para que el interior de la partícula alcance una cierta temperatura especificada. Si el sólido estaba en la forma de pequeñas partículas y/o el sólido es un mal condu ctor calorífico, la velocidad para la cual el centro de la partícula alcanza una temperatura especificada estará controlada por la velocidad con la que el calor llega a la superficie de la partícula. Gráficos Heisler son una herramienta gráfica de análisis para la evaluación de la transferencia de calor en la ingeniería térmica. Son un conjunto de dos tablas por la geometría incluida introducido en 1947 por MP Heisler, que se complementa con una tercera carta por la geometría en 1961 por H. Gröber. Heisler evaluación tablas de permiso de la temperatura central para transitoria conducción de calor a través de una pared plana infinitamente largo del espesor de 2 L, un tiempo infinitamente largo cilindro de radio r o, y una esfera de radio r o. Ese tipo de problemas no estables o transitorios, normalmente surgen cuando cambian las condiciones de frontera de un sistema. Por ejemplo, si se altera la temperatura superficial de un sistema, la temperatura en cada punto del sistema también comenzara a cambiar. Los cambios continuaran ocurriendo hasta que se alcance una distribución de temperaturas de estado estable. El estado transitorio se da cuando comenzamos a calentar algo, al empezar a calentarse el objeto emite calor por radiación y convección, lo cual produce que la temperatura aumente y disminuya, hasta que toma una temperatura uniforme en todo el cuerpo.
2
Introducción En esta unidad seis “ Balance de calor en un sistema en estado transitorio, flujo unidireccional ” veremos tres subtemas principales:
Módulo de Biot y de Fourier Parámetros concentrados Aplicación de las Gráficas de Heissler para problemas en geometrías simples. Placas, cilindros y esferas en estado transitorio.
Cuando se calientan partículas sólidas o gotas de líquido por medio de un líquido que las rodea, como ocurre por ejemplo en un horno rotario, un lecho fluidizado o un chorro de plasma, con frecuencia es necesario predecir el tiempo que se requiere para que el interior de la partícula alcance una cierta temperatura especificada. Si el sólido estaba en la forma de pequeñas partículas y/o el sólido es un mal condu ctor calorífico, la velocidad para la cual el centro de la partícula alcanza una temperatura especificada estará controlada por la velocidad con la que el calor llega a la superficie de la partícula. Gráficos Heisler son una herramienta gráfica de análisis para la evaluación de la transferencia de calor en la ingeniería térmica. Son un conjunto de dos tablas por la geometría incluida introducido en 1947 por MP Heisler, que se complementa con una tercera carta por la geometría en 1961 por H. Gröber. Heisler evaluación tablas de permiso de la temperatura central para transitoria conducción de calor a través de una pared plana infinitamente largo del espesor de 2 L, un tiempo infinitamente largo cilindro de radio r o, y una esfera de radio r o. Ese tipo de problemas no estables o transitorios, normalmente surgen cuando cambian las condiciones de frontera de un sistema. Por ejemplo, si se altera la temperatura superficial de un sistema, la temperatura en cada punto del sistema también comenzara a cambiar. Los cambios continuaran ocurriendo hasta que se alcance una distribución de temperaturas de estado estable. El estado transitorio se da cuando comenzamos a calentar algo, al empezar a calentarse el objeto emite calor por radiación y convección, lo cual produce que la temperatura aumente y disminuya, hasta que toma una temperatura uniforme en todo el cuerpo.
2
6.1 Módulo de biot y de fourier Cuando se calientan partículas sólidas o gotas de líquido por medio de un líquido que las rodea, como ocurre por ejemplo ejem plo en un horno rotario, un lecho fluIdizado flu Idizado o un chorro de plasma, con frecuencia es necesario predecir el tiempo que se requiere para que el interior de la partícula alcance una cierta temperatura especificada. Si el sólido estaba en la forma de pequeñas partículas y/o el sólido sólid o es un mal conductor calorífico, la velocidad para la cual el centro de la partícula alcanza una temperatura especificada estará controlada por la velocidad con la que el calor llega a la superficie de la partícula. Por lo contrario, con la partícula grande y solido de baja conductividad calorífica, la conducción interna será el factor controlante. En algunas situaciones la transmisión de calor interna y externa tendrá una importancia parecida. Un medio útil para analizar cuantitativamente estas situaciones consiste en evaluar el módulo de Biot (o número de Biot. Para una esfera, módulo de Biot, Bi Bi
hr / k p
Donde: h= coeficiente externo de transmisión de calor que incluirá las contribuciones de convección, conducción y radiación r= radio de la esfera k p = conductividad calorífica de partícula
Obsérvese que, si la transmisión externa de calor es simplemente por conducción, según Nu. Nu
hd / k
2
Por lo tanto h
2k / d
k / r
y Bi Bi
conductividad calorifica del fluido fluido
k
k p
conductividad calorifica de la particula particula
Por tanto, cuanto más elevado es el número de Biot más m ás se cumple que la conducción interna será el factor controlante del tiempo que se necesita para que el centro de partículas alcance una temperatura especificada. Así, por ejemplo, para conseguir la fusión de polvos en una pulverización de plasma, el número de Biot ha de estar comprendido en el intervalo de 0.005 a 5 dependiendo del plasma y de las partículas.
3
Si se evalúan de número de Fourier como el de Biot, se pueden utilizar las gráficas de respuesta de temperatura o de Gurney-Lurie para facilitar el cálculo de los perfiles de temperatura en función del tiempo para la superficie y el interior de la partícula.
Módulo de Fourier
4
Compara una dimensión característica del cuerpo con una profundi dad de penetración aproximada de la onda de temperatura, para un tiempo dado T.
F 0
s
2
Donde: : s
es el tiempo en segundos
2
: designa alguna dimensión característica del cuerpo; para la placa, es la mitad del espesor mientras que para el cilindro y la esfera representa el radio.
Todos los perfiles de temperatura adimensionales y los flujos de calor, se pueden expresar en términos de los parámetros adimensionales llamados módulos de Biot y Fourier. Para un cilindro, una placa y una esfera:
Análisis de sistemas concentrados
5
Se observan que algunos cuerpos se comportan como un “bulto” cuya temperatura interior permanece uniforme en todo momento durante un proceso de transferencia de calor. La temperatura de esos cuerpos se puede tomar sólo como una función del tiempo, T(t). El análisis que se utiliza esta idealización se conoce como análisis de sistemas concentrados.
Considere un cuerpo de forma arbitraria y masa m, volumen V, área superficial As, densidad r y calor específico Cp, inicialmente a una temperatura Ti. En el instante t = 0, el cuerpo está colocado en un medio a la temperatura T∞ y se lleva a efecto transfere ncia de calor entre ese cuerpo y su medio ambiente, con un coeficiente de transferencia de calor h. En beneficio de la discusión, se supondrá que T∞= Ti, pero el análisis es igualmente válido para el caso opuesto.
Se supondrá que el análisis de sistemas concentrados es aplicable, de modo que la temperatura permanece uniforme dentro del cuerpo en todo momento y sólo cambia con el tiempo, T = T(t). Durante un intervalo diferencial de tiempo, dt, la temperatura del cuerpo se eleva en una cantidad diferencial dT. Un balance de energía del sólido para el intervalo de tiempo dt se puede expresar como
Solucion:
Igualando:
Donde:
6
Despejando en función de las T:
Al integrar desde t = 0, en el cual T = Ti, hasta cualquier instante t, en el cual T=T(t):
Al exponencial de la ecuación queda:
Es una cantidad positiva cuya dimensión es (tiempo) –1. El recíproco de b tiene unidad de tiempo (por lo común s) y se llama constante de tiempo.
7
Note a mayor valor de b menor es el tiempo que se demora el cuerpo en alcanzar la temperatura ambiente. Nótese que realmente se está hablando de cuerpo isotérmico es decir que los cuerpos deben permanecer a T constante durante un proceso. Por lo general los cuerpos relativamente pequeños de materiales intensamente conductores se comportan como un cuerpo isotérmico La cantidad total de transferencia de calor entre el cuerpo y el medio circundante durante el intervalo desde tiempo de t =0 hasta t:
La cantidad de transferencia de calor llega a su límite superior cuando el cuerpo alcanza la temperatura T∞ del medio circundante.
Criterios para el análisis de sistemas concentrados
El análisis de sistemas concentrados es muy conveniente en el estudio de la transferencia de calor. El primer paso en el establecimiento de un criterio para la aplicabilidad del análisis de sistemas concentrados es definir la longitud característica y un número de Biot, Bi como: como
=
=
(4-9)
La longitud característica L c que se utiliza en el número de Biot para formas geométricas simples en las que la transferencia de calor es unidimensional, como una pared plana larga de 2L de espesor, un cilindro largo de radio r o, y una esfera de radio r o, se convierte en L (medio espesor), r o/2 y r o/3, respectivamente. La expresión 4-9 se puede expresar:
ó = /ℎ ∆ = ∆ ó O bien, 8
ó / = = /ℎ ó
El número de Biot es la razón de la resistencia interna de un cuerpo a la conducción de calor con respecto a su resistencia externa a la convección de calor. Por lo tanto, un número pequeño de Biot representa poca resistencia a la conducción del calor y gradientes pequeños de temperatura dentro del cuerpo. En el análisis de sistemas concentrados se supone una distribución uniforme de temperatura en todo el cuerpo, el cual es el caso sólo cuando la resistencia térmica de éste a la conducción de calor sea cero. El análisis de sistemas concentrados es exacto cuando Bi=0 y aproximado cuando Bi>0. En general, se acepta que el análisis de sistemas concentrados es aplicable si , cuando se satisface este criterio, las temperaturas dentro del cuerpo con relación a la de los alrededores permanecen dentro de un margen de 5% entre sí, incluso para configuraciones geométricas bien redondeadas como la de una esfera.
≤0.1
El primer paso en la aplicación del análisis de sistemas concentrados es el cálculo del número de Biot y la valoración de la aplicabilidad de este procedimiento. Note que el número de Biot es la razón entre la convección en la superficie con respecto a la conducción dentro del cuerpo, y debe ser tan pequeño como sea posible para el análisis de sistemas concentrados sea aplicable. Por lo tanto, los cuerpos pequeños con conductividad térmica alta son buenos candidatos para este tipo de análisis, en especial cuando se encuentran en un medio que sea un mal conductor del calor que esté inmóvil.
9
Los cuerpos pequeños con altas conductividades térmicas y bajos coeficientes de convección son los que tienen más probabilidad de satisfacer el criterio para el análisis de los sistemas concentrados.
Algunas observaciones sobre la transferencia de calor en sistemas concentrados.
Para comprender el mecanismo de la transferencia de calor durante el calentamiento o enfriamiento de un sólido por el fluido que lo circunda y el criterio para el análisis de sistemas concentrados, considere esta analogía:
10
Analogía entre la transferencia de calor hacia un sólido y el tránsito de pasajeros hacia una isla.
Gente que se encuentra en tierra firme debe ir en bote hacia una isla en la que toda la costa es puerto y, desde el puerto, hasta su destino en la isla por autobús. La aglomeración de personas en el puerto depende del tránsito de botes hacia la isla y del sistema de transporte terrestre en esta última. Si se tiene un sistema excelente de transporte terrestre con un gran número de autobuses, no se tendrá aglomeración de personas en el puerto, en especial cuando el tránsito de botes sea ligero, pero cuando se cumple lo contrario, se tendrá una aglomeración enorme en el puerto, creando una diferencia entre las poblaciones en el puerto y en la isla. En la transferencia de calor, un sistema malo de transporte terrestre corresponde, en esta analogía, a una pobre conducción de calor en un cuerpo y la aglomeración de gente en el muelle corresponde a la acumulación de energía térmica y la elevación subsiguiente de la temperatura cerca de la superficie de ese cuerpo con respecto a sus partes inferiores. Es obvio, que el análisis de sistemas concentrados no es aplicable cuando se tiene acumulación en la superficie. Por supuesto, en esta analogía se ha descartado la radiación y por consiguiente, el tráfico aéreo hacia la isla.
11
6.2 Parámetros concentrados La transferencia de calor ocurre en régimen variable o transitorio cuando la temperatura de al menos uno de los sistemas entre los que se produce la transferencia varía con el tiempo. Un sistema se dice concentrado cuanto la temperatura varía con el tiempo pero no con la posición espacial, es decir, en un instante dado todo el sistema se encuentra a la misma temperatura.
Conducción de Calor en estado transitorio
En diferentes procesos de la transferencia de calor, la temperatura del sistema depende del tiempo. Es el caso del calentamiento y enfriamiento del techo de una casa expuesta a la radiación solar; de los refractarios que componen la matriz de un regenerador, durante el proceso de templado de un cristal para automóvil o de una pieza de acero; en el proceso de cocción de un pastel; en fin, hay un sinnúmero de situaciones de este tipo. En todos esos casos la temperatura no solo está condicionada por la distancia, sino también por el tiempo. A diferencia de los procesos de conducción de calor en estado estable, en los de tipo transitorio hay un aumento o una disminución en la energía interna del sistema mientras ocurre el proceso. El tratamiento analítico de los procesos transitorios ha encontrado distintas aplicaciones mediante la simulación de sistemas por computadora. Con un análisis de este tipo puede predecirse su comportamiento sin necesidad de recurrir a la experimentación, que con frecuencia es muy costosa. Al analizar las expresiones que correlacionan el perfil de temperatura con el tiempo y la posición cuando hay resistencia externa, se observa que para valores del parámet ro ( conductividad térmica del sólido) menores de 0.1 (para el inverso mayor que 10), la temperatura en el sólido es esencialmente uniforme en cualquier instante (diferencias de temperatura menores al
= ℎ/
5%.
En tales casos se puede despreciar la variación de la temperatura con la posición considerando que ésta sólo varía con el tiempo. Como la forma geométrica no tiene importancia el análisis se simplifica.
Consideremos un sólido de forma arbitraria, volumen , área superficial total , conductividad térmica , densidad ρ, calor específico y temperatura uniforme que en el instante se sumerge en un fluido bien agitado que se matiene a temperatura ∞ Hay transferencia de calor por convección entre el sólido y el líquido con coeficiente de transferencia de calor .
.
=0
ℎ
12
Se supone que en cualquier instante la distribución de temperatura dentro del sólido es suficientemente uniforme, de tal modo que se puede considerar que la temperatura del sólido es función solamente del tiempo.
Definimos la longitud característica del sólido como el volumen dividido por el área superficial, o sea . Si el sólido está siendo enfriado ∞ y el balance macroscópico da:
= /
>
= ℎ ∞ 1 2 1 Velocidad de disminución de entalpía. 2 Velocidad de pérdida de calor en la superficie. Reorganizando e integrando con
= en = 0 :
= ∞∞ =exp[ ℎ ]=exp /ℎ 1 = 0.368 1
El grupo ( ) es una constante de tiempo . Se define como el tiempo necesario ó valga 0.632. para que θ valga
1 = ∞∞ Que es el tiempo necesario para que ocurra el 63.2 % del cambio de temperatura total. Observando la figura 4.13 vemos que la temperatura decrece exponencialmente con el tiempo y el valor de m en el exponente determina la forma de la curva. Observemos que la cantidad:
ℎ = ℎ =
13
.. VARIACION DE LA TEMPERATURA CON EL TIEMPO PARA PEQUEÑOS NUMEROS DE < /
/3 /
La longitud característica para una esfera se convierte en , para un cilindro infinito es y para una placa infinita de espesor a es a. El equivalente al número de en transferencia de masa es ó según el caso; es el coeficiente de transferencia de masa, es la difusividad dentro del sistema.
/2
2 = /
Ejemplo: Si se desea medir una temperatura inestable con un termómetro es importante conocer la velocidad con la cual el termómetro sigue el proceso. El «tiempo del valor medio» es el tiempo dentro del cual la diferencia inicial entre la temperatura verdadera y la temperatura indicada por el termómetro, se reduce a la mitad después de un cambio repentino de la temperatura verdadera. Debemos calcular este tiempo de valor medio para un termómetro de mercurio que está instalado en una corriente de aire. El bulbo de mercurio tiene forma cilíndrica de de radio. La conductividad térmica del mercurio es ; su Despreciamos la resistencia térmica de la difusividad térmica es pequeña pared de vidrio. El coeficiente de transferencia de calor en la corriente de . aire se estima en
0.01
= 5 /ℎ..°
= 0.178 /ℎ. ℎ = 10 /ℎ. .°
= ℎ/ = 100.01/52 = 0.01. La relación de temperatura es 0.5 cuando el exponente vale 0.693. Entonces la ecuación para la determinación del tiempo de valor medio es: Con estos datos
14
/ℎ/ = 0.693 / = 0.693/0.01=69.3 10 469.3 ℎ=0.0098ℎ=35 = 1.0 40.178 Solamente para cambios inestables de temperatura mucho más lentos (por ejemplo si el cambio de temperatura es de forma sinusoidal, la duración del período debe ser del orden de diez veces mayor), podemos esperar que el termómetro indique la marcha de la temperatura en forma adecuada.
Numero de biot
Se define el número de BIOT
como:
= ℎ ∗ / ; Donde:
= / ; ∶ ; ∶ . Para una placa plana grande de espesor E, bañada por el mismo fluido por las dos caras
= / 2 . Para un cilindro de radio Para una esfera de radio
, = . , = .
Cuando se produce transferencia de calor desde un fluido a un sistem a sólido rodeado por dicho fluido, primero se transfiere el calor desde el fluido al sólido mediante 15
convección y después el calor se transfiere desde el exterior al interior del sólido mediante conducción. El número de Biot se puede expresar también como:
ó = ℎ ∆ = ó ∆ O también:
ó = 1⁄⁄ℎ = ó El análisis utilizando el modelo de sistema concentrado es exacto cuando Bi = 0, pues en este caso la resistencia a la conducción dentro del sistema es nula y su temperatura uniforme. En los casos reales es imposible que Bi = 0 pues todos los sistemas presentarán alguna resistencia a la conducción en mayor o menor medida, siendo Bi > 0, y el análisis será aproximado. Es decir, que las diferencias de temperaturas en el interior de un sistema son pequeñas en relación con la caída de la temperatura en la interfase cuando el número de Biot es pequeño. Por el momento, baste decir que si el número de Biot es menor a 0.1, aproximadamente, la temperatura en el interior de un cuerpo depende fundamentalmente del tiempo. Cuanto más pequeño sea el número de Biot menos inexacto será el análisis. Se considera aplicable el modelo de sistema concentrado cuando Bi < 0,1. El modelo de sistema concentrado es aplicable a los cuerpos relativamente pequeños constituidos por materiales buenos conductores del calor. Se considera un cuerpo sólido de masa m, volumen V, área superficial As, densidad r y calor específico Cp, inicialmente a una temperatura Ti.
En el instante t = 0, la temperatura del fluido que rodea al cuerpo es Tf y el coeficiente de película h. Se supone que Tf > Ti aunque el análisis también sería válido para Tf < Ti. Considerar el sistema como concentrado supone que la temperatura dentro del 16
cuerpo es uniforme en cada instante y sólo cambia con el tiempo T = T (t). Durante un intervalo Δt la temperatura del cuerpo se eleva una cantidad ΔT.
El balance de energía del sistema en el interval o de tiempo Δt se puede expresar como:
Transferencia de calor
Incremento de la energía
Hacia el cuerpo durante dt
=
del cuerpo durante Δt
Cuya expresión matemática es: hAs Tf Ti
T
m Cp dT
m DV Tf
Cte. entonces :
dT d T Tf
La ecuación del balance de energía se puede transformar en:
d (T Tf )
h As
T Tf
V Cp
dt
Integrando:
T nt
d T Tf T Tf
t 0
h As p V Cp
Ln
T t Tf Ti Tf
h As p V Cp
t
Transformando: T (t ) Tf
Ti
Tf
e
bt
donde
b
h As
V Cp
La velocidad de transferencia de calor por en función del tiempo queda: 17
Q puntot
h AsT t T f
La cantidad total de calor transferida en un tiempo t será igual al incremento de energía del cuerpo en ese tiempo:
Q = m Cp [T (t) - Ti]
La cantidad total de calor transferida será máxima cuando el cuerpo alcance la temperatura del fluido o del ambiente:
Q max = m Cp (Tf - Ti)
Cuando el análisis de sistemas concentrados no es aplicable se puede determinar mediante los diagramas de Heisler-Grober.
Ejemplo:
20 º
A las 5 PM se encuentra una persona muerta en un cuarto cuya temperatura es . Se mide la temperatura del cuerpo y resulta ser de , se estima que el coeficiente de transferencia de calor es .
ℎ = 8 /2.º
25 º
30 de diámetro y 1,70 de largo,
Considerando el cuerpo como un cilindro de estime el momento de la muerte de esta persona.
30 á 1.70 37°
Hipótesis: El cuerpo se considera como un cilindro de . De largo. Se desprecia efectos de la radiación y se consideran constantes las propiedades térmicas del cuerpo y h. Se asume una temperatura corporal de .
La masa del cuerpo humano promedio es
72% de agua, así que se consideran:
= 37 + 25/2 = 31°, = 0.617 /°, = 996 /3, =4.178/°. 18
= / = 2 = 3.14 ∗ 0.152 ∗ 1.7 = 0.0689 2 + 22 2 ∗ 3.14 ∗ 0.15 ∗ 1.7 + 2 ∗ 3.14 ∗ 0.152 = ℎ = 80.0689 0.617 =0.89>0.1 Por lo tanto no es aplicable el análisis de sistemas concentrados. Sin embargo aún se puede utilizar el procedimiento para estimar aproximadamente el momento de la muerte. En este caso calculamos el exponente b:
×1.7 3.14×0.15 = = 2 + 2 = 2×3.14×0.15×1.7+2×3.14×0.15 = 0.0689
8 = ℎ = 996×4.178×0.0689 =2.79×10−− Ahora se sustituyen valores:
= − = 2520 = −(.×) 3720 Lo cual da:
= 43860 = .
El modelo de sistema concentrado es aplicable a cuerpos relativamente pequeños constituidos por materiales buenos conductores del calor, sin embargo no es aplicable a cuerpos relativamente grandes y/o malos conductores del calor. 19
El caso más general es el de un cuerpo relativamente grande rodeado por un fluido cuya temperatura permanece constante (la variación de la temperatura del fluido es muy pequeña y se puede considerar constante). A continuación se analiza la transferencia de calor entre un cuerpo relativamente grande (pared plana, cilindro o esfera) rodeado por un fluido cuya temperatura permanece constante a lo largo del tiempo y del espacio. El mecanismo de transferencia de calor es convección y el coeficiente de película, h, es constante y uniforme. Se considera una pared plana de espesor 2L, un cilindro de radio r y una esfera de radio r inicialmente a una temperatura uniforme Ti. La temperatura del fluido es Tf = cte. Una pared plana se considera grande cuando su espesor es mucho menor en relación a las otras dos dimensiones. Un cilindro se considera largo cuando su diámetro es mucho menor que su longitud. Una esfera se considera grande cuando no se puede aplicar el modelo de sistema concentrado. La variación de la temperatura con el tiempo en una pared plana se ilustra en la figura siguiente:
Se supone Ti > T f y que la transferencia de calor es unidimensional en la dirección x (radial en el caso de cilindro o esfera). Inicialmente toda la pared está a la temperatura Ti. Al entrar en contacto con el fluido que está a una temperatura inferior T f , la superficie exterior se enfría, por lo que
20
aparece un gradiente de temperatura que provoca una transferencia de calor desde el interior al exterior. La temperatura en el plano central de la pared se mantendrá en Ti hasta el instante t 2. A partir de ese momento irá disminuyendo con el paso del tiempo hasta que toda la pared se encuentre a la temperatura del fluido, entonces la transferencia de calor cesará al no existir diferencia de temperatura entre la pared y el fluido. El proceso descrito anteriormente también es válido para un cilindro y una esfera grandes. El modelo matemático de este proceso da lugar a una ecuación diferencial en derivadas parciales poco práctica desde el punto de vista ingenieril. Se prefiere la solución en forma de tabla o gráfico. La solución comprende parámetros x, L, t, k, a (difusividad térmica), h, Ti y Tf. Para disminuir el número de parámetros se reducen dimensiones al problema mediante la definición de cantidades adimensionales cuyas expresiones, para una pared plana grande, se muestran a continuación:
TEMPERATURA ADIMENSIONAL:
( x, t )
T ( x, t ) Tf
Ti Tf
DISTANCIA ADIMENSIONAL DESDE EL CENTRO:
X
x
L
Número de fourier (tiempo adimensional)
t
2
L
21
Las expresiones para un cilindro largo y una esfera son las mismas reemplazando la variable x por r y L por el radio exterior ro. El problema de transferencia de calor en una sola dirección espacial en régimen variable descrito anteriormente tiene una solución que incluye una serie infinita lo que la hacen poco práctica desde el punto de vista ingenieril. Para t> 0,2 el error que se produce al considerar el primer término de la serie y despreciar todos los demás es inferior al 2%, margen de sobra válido para la realización de cálculos. Las expresiones de la temperatura en función del tiempo y la distancia al centro, considerando sólo el primer término de la serie, quedan de la siguiente forma:
( x, t ) pared
(r , t ) cilindro
T ( x, t ) T f Ti T f
T (r , t ) T f
( r , t ) esfera
Ti T f
A1e
T (r , t ) T f Ti T f
A1e
2
1
cos(
L
);
1 r : r 0
12
J 0
A1e 2 1
1 x
0.2
0.2
1 r r 0 ; 0.2
sen
1r r 0
Las constantes A 1 y l1 son funciones, exclusivamente, del número de Biot. Sus valores respecto a Bi están tabulados en tablas. Jo es la función de Bessel de primer orden. Sus valores están tabulados en tablas también.
22
Las expresiones anteriores son válidas suponiendo un cambio brusco en la temperatura del fluido en contacto con el sólido o, considerándolo desde otro punto de vista, cuando h es finito. En el caso de que se suponga un cambio brusco en la temper atura del fluido, es decir, si la temperatura de la superficie del sólido (Ts) alcanza rápidamente la temperatura del fluido (Tf) se considera que h es infinito. En el caso de temperatura específica de la superficie del sólido, en la expresión de la temperatura adimensional se cambia el valor de la temperatura del fluido (Tf) por el valor de la temperatura de la superficie del sólido (Ts). El caso de temperatura superficial específica se tiene muy aproximadamente en la práctica cuando sobre la superficie del sólido existe condensación o ebullición. Particularizando para el centro:
( x, t ) pared
T ( x, t ) T f Ti T f
A1e
2
1
cos(
1 x
L
0.2
);
CENTRO DE UNA PARED PLANA (x = 0):
(0, t ) pared
T (0, t ) T f Ti T f
A1e
2
1
;
CENTRO DE UN CILINDRO (r = 0):
(0, t ) cilindro
T (0, t ) T f Ti T f
A1e
; 0.2
12
CENTRO DE UNA ESFERA (r = 0):
(0, t ) esfera
T (0, t ) T f Ti T f
A1e
; 0.2
12
23
0.2
Se supone que cuando el tiempo tiende a infinito (el periodo de tiempo es lo suficientemente largo) la temperatura del cuerpo es la misma que la del fluido que lo rodea.
Por lo tanto el máximo calor transferido entre el cuerpo y el fluido será igual al incremento de energía del cuerpo:
= = La cantidad de calor transferido Q en un tiempo finito t será menor que la cantidad de calor máxima .
La fracción de calor transferido en un tiempo t con relación a la cantidad calor máxima viene dadas por las expresiones siguientes: PARED PLANA: sen ( 1 ) Q 1 (0, t ) pared 1 Q max pared
CILINDRO:
Q J 1 ( 1 ) 1 2 (0, t ) cilindro 1 Q max cilindro
ESFERA: sen ( 1 ) 1 cos( 1 ) Q 1 (0, t ) esfera 3 1 Q max esfera
Un valor pequeño del número de Biot (Bi) indica que la resistencia interior del cuerpo a la conducción de calor es pequeña con relación a la resistencia a la convección entre la superficie y el fluido. Entonces, la temperatura dentro del cuerpo es bastante uniforme y es aplicable el modelo de sistema concentrado. El número de Fourier es una medida del calor conducido a través de un cuerpo con relación al calor almacenado en él.
24
Por tanto, un valor grande del número de Fourier indica una propagación más rápida de calor a través del cuerpo.
Un sólido semiinfinito es aquel que su distribución de temperatura sólo depende de una superficie, es el caso del estudio del campo de temperaturas en un muro grueso en la zona cercana a la superficie. Mientras que el campo de temperatura de una pared plana depende de las dos superficies que están en contacto con el fluido, en el caso de un sólido semiinfinito el campo de temperatura sólo depende de una superficie. Un valor pequeño del número de Biot (Bi) indica que la resistencia interior del cuerpo a la conducción de calor es pequeña con relación a la resistencia a la convección entre la superficie y el fluido. La temperatura adimensional, en el caso de cambio brusco de la temperatura del fluido, se define como: 1
( x, t )
1
T ( x, t ) T f
T ( x, t ) Ti
Ti T f
T f
Ti
Las soluciones obtenidas para la temperatura adimensional se presentan gráficamente. En el caso de temperatura superficial (Ts) específica:
( x, t )
T ( x, t )
Ti
T s
Ti
Dimensiones y Parámetros Del Intercambiador De Calor.
En esta sección se muestran las dimensiones y cálculo de los parámetros del intercambiador de calor RCT 100. Para poder determinar algunos de los parámetros del intercambiador de calor es necesario conocer las dimensiones físicas del intercambiador de calor. La Figura 2.10 muestra las mediciones físicas realizadas a los tubos del intercambiador de calor.
25
Con base en las medidas físicas se realizaron los siguientes cálculos para obtener las áreas de flujo, contacto y volúmenes ocupados por los fluidos del lado frío y caliente del intercambiador de calor. Para el flujo del lado caliente se tienen los siguientes parámetros: Tabla 2. 1 Constante L Di
Valores 790 5
Unidades Mm Mm
De
6.2
Mm
Dint c
16
Mm
Dextc
18
Mm
Para el flujo del lado frío se obtiene primero el volumen en el interior del casco posteriormente el volumen ocupado por el tubo
V tubo ,
V int c y
la diferencia entre los dos
volúmenes determina el volumen ocupado por el fluido del flujo frío. Entonces los cálculos de áreas y volúmenes para el lado frío son:
D 2 int c
V int c
V tubo
A fc Ac
4
D 2 int c
L
V tubo
Vc
L De L
Donde:
L = es la longitud del tubo 26
D = con los diferentes subíndices son los diámetros de los tubos (ver Figura 2.10) V intc =es el volumen en el interior del tubo V tubo =es el volumen en el tubo V c =es el volumen del flujo del fluido frío A =con los diferentes subíndices son la áreas de los tubos.
.
27
6.3 Diagramas de Heissler Gráficos Heisler son una herramienta gráfica de análisis para la evaluación de la transferencia de calor en la ingeniería térmica. Son un conjunto de dos tablas por la geometría incluida introducido en 1947 por MP Heisler , que se complementa con una tercera carta por la geometría en 1961 por H. Gröber. Heisler evaluación tablas de permiso de la temperatura central para transitoria conducción de calor a través de una pared plana infinitamente largo del espesor de 2 L, un tiempo infinitamente largo cilindro de radio r o, y una esfera de radio r o. Aunque las tablas de Heissler-Gröber son una alternativa más rápida y sencilla a las soluciones exactas de estos problemas, existen algunas limitaciones. Primero, el cuerpo debe estar a una temperatura uniforme inicialmente. Además, la temperatura de los alrededores y la convección coeficiente de transferencia de calor debe permanecer constante y uniforme. Además, no debe haber una generación de calor desde el cuerpo mismo. Diagramas de Heissler para la solución de problemas de conducción transitoria.
Es un Gráfico que muestra la evolución del perfil de temperaturas en estado transitorio – Placas planas infinitas; transferencia por ambos lados o aislada por un lado – Cilindros infinitos – Esferas Así como la Diferencia de temperaturas adimensional, en función de: – Número de Biot – Número de Fourier – Distancia adimensional Las tres geometrías que tienen mayor importancia práctica son: 1. 2.
3.
Una placa infinita de espesor 2L para la cual T=T(x,t), donde x es medido desde el centro de la placa. Un cilindro infinito de radio, r o , para el cual T=T(r,t) Una esfera sólida de radio, r o , para la cual T=T(r,t)
Geometría = Lc Placa infinita = L Cilindro infinito = r o Esfera = r o
Situación Física
Un objeto inicialmente a una temperatura uniforme T0 se sumerge en un fluido de temperatura constante T∞ ¿Cómo evoluciona el perfil de temperatura? 28
¿Cuánto calor se ha transferido entre el objeto y el fluido? Cálculo del calor total
El cálculo del calor total se puede realizar con la ayuda del concepto de la temperatura media. La temperatura media, se refiere al promedio volumétrico de la temperatura, es decir: T
m
1
TdV ∫ V V
La temperatura media depende exclusivamente del tiempo, y en términos físicos corresponde a la temperatura que adquiriría el cuerpo si repentinamente se aislará y se permitiera que alcanzara el equilibrio termodinámico. En base a la temperatura media es sencillo determinar el calor total transferido por el cuerpo, el cual mediante un balance global puede ser determinado por. Q mc(T i T m )
Que en términos adimensionales puede ser reescrito mediante: Q Q
mc(Ti T m ) mc(T i T )
29
*
1 m
Conducción transitoria en dos y tres dimensiones
Hasta aquí hemos discutido tan solo el flujo de calor unidimensional en paredes, cilindros y esfera, no obstante muchos problemas prácticos se incluyen flujo de Calor en dos y tres dimensiones. Bajo ciertas condiciones especiales, la solución de problemas de conducción transitoria en dos y tres dimensiones, puede ser obtenida por la superposición del producto de soluciones de problemas unidimensionales. Vamos a ilustrar con un ejemplo, considere el cilindro finito mostrado en la Figura. La solución para el cilindro finito puede ser obtenida como el producto de la solución para una placa infinita y la solución de un cilindro infinito.
2
Figura Cilind ro finito formad o por la inters ecció n de pla c a infin ita .
un cilind ro infinit o con una
De manera que para esta situación se tiene:
T (r , x,t ) T
T i T
T ( x,t ) T
T i T
placa inf inita
30
T (r ,t ) T
T i T
cilindro inf inito
El principio de superposición descrito anteriormente puede ser aplicado a otras situaciones, tales como las indicadas a continuación Barra rectangular formada por el producto de dos placas infinitas.
T ( x, y,t ) T
T ( x,t ) T
Ti T
Ti T
placa
T ( y,t ) T Ti T
inf inita
placa inf inita
Paralelepípedo formado por el producto de tres placas infinitas.
T ( x, y,t ) T
Ti T
T ( x,t ) T
Ti T
placa inf inita
T ( y,t ) T Ti T
31
placa inf inita
T ( z ,t ) T Ti T
placa inf inita
El principio de superposición descrito en esta sección es aplicable sólo en situaciones en las cuales la temperatura inicial sea uniforme y que todas las superficies estén expuestas al mismo ambiente convectivo. El cálculo del calor total para el caso de situaciones multidimensionales se puede realizar aplicando el principio del producto de soluciones a la temperatura media. De manera que una vez determinado la temperatura media, el calor total puede ser determinado por: Q mc(T i
T m )
A continuación, se muestran las diversas graficas de Heissler Estructura básica de la gráfica:
32
33
La Fracción de calor remanente (Q / Qmax) es la Cantidad de calor que aún no ha sido transferido Para cuando hay dos casos extremos – Bi=0 – Bi=∞
34
Se muestran las siguientes graficas:
35
Para el uso de estas graficas se requiere calcular el número de Biot y de Fourier:
NUMERO DE BIOT Bi
hs
k
B
Donde h, es el coeficiente de convección, s una distancia característica; la conductividad térmica. NUMERO DE FOURIER Fo
t
Cs
2
Donde: α, es difusividad térmica; t , es el tiempo transcurrido; s, la distancia característica; k , conductividad térmica; , densidad; C , calor especifico.
Aplicaremos las tablas de Heissler para la resolución del problema a continuación: Ejemplo: Una placa grande de aluminio de 5 cm de espesor, e inicialmente esta a 200°C, se expone de forma rapida a la conveccion del ambiente, que esta a 70°C y cuyo coeficiente de conveccion vale 525 W/m2 *°C.
36
Calculese la temperatura a una profundidad de 1.30 cmm desde una de sus caras 1 minuto despues de que la placa haya sido expuesta al ambiente; que cantidad de energia por unidad de area ha de ser extraida de la placa en ese intervalo de tiempo? Solucion: Para resolver est problema usaremos los diagramas de heisler de las figuras 4.7 y 4.10. en primer lugar se calcula la temperatura central de la placa, haciendo uso de la figura 4.7. Necesitamos hallar primero, el indice
i
i Ti T 200C 70C 130C
Luego determinamos por la tabla A.2 para el aluminio puro la conductividad y la difusividad térmica, respectivamente: K=200 W/m°C
8.418 x10
5
m
2
/ s
El coeficiente de convección h=525W/m2 °C y la distancia característica L=2.5 cm (0.025m) Calculamos así pues de biot y fourier
Bi
hs
k
5250.025 204
0.0643
− 60 8,4110 = = 0.025 =8,0812
Pasamos a la figura 4.7. Observe que en el eje x esta representado el valor del número de Fourier desde 0 hasta 700; y las rectas (curvas) son el valor inverso del número de Biot, o sea 1/Bi desde 0 hasta 100. Nosotros tenemos Fo=8,0812=8,00 y 1/Bi = 15,549= 16,00
37
Figura 4.7
Despejamos de la placa.
0=0,600i = 0,60(130°c) = 78°c, esta es la temperatura en el centro
Con la figura 4,10 para calcular la temperatura en la posición especifica, x=1,20cm (0,012m). En dicha figura el eje X está representando por el inverso del número de Biot, en nuestro caso sigue siendo 16,00 y las curvas son la relación x/L = (0,012m/0,025m) = 0,48, este valor vamos a acercarlo a inmediato superior según el diagrama a 0.60
38
Figura 4.10
0,980 Θ
Despejamos = = 0,98(78°c)=76,44°c, puesto que es también igual a T ∞ , entonces T= + ∞ = 76,44°C, + 70°c = 146,44°c, esta es la temperatura a una profundidad de 1,30cm de una de sus caras al cabo de 1 minuto de ser expuesta.
La energía perdida x la placa se calcula haciendo uso de la figura 4.14. Para este cálculo se precisan la densidad y el calor especifico del aluminio puro, respectivamente:
=2707 C = 895 .° Para la figura 4.14 se necesita calcular los siguientes índices adimensionales:
= ℎ Bi=
= , =0,064
=
5258,41810−60 =0.03 204
Observe que en la figura 4.14 el eje x está representado por el índice Fo , que −hasta , y las graficas es el valor de Bi, en nuestro ejercicio van desde − Fo
10 10 =310 = 0,06, 0,05.
39
Figura 4.14 Por unidad de área:
= = 2 = 27078960,05130 = 15,765510 : =0,42=6,621510 /
40
Conclusión: En esta unidad se hablo sobre el balance de calor en un sistema en estado transitorio, flujo unidireccional, quedando claro que el estado transitorio se produce cuando la T cambia a lo largo del tiempo, debido a que se encuentra evolucionando hacia su estado estable , por haberse producido alguna perturbación, ya sea un cambio de T o de flujo de la frontera. Al hablar de este tipo de balance se estudió que la Ley de Fourier establece que el flujo de calor entre dos cuerpos es directamente proporcional a la diferencia de temperatura entre ambos, y solo puede ir en un sentido: el calor sólo puede fluir del cuerpo mas caliente hacia el mas frio. Ademas se vio en los temas de la unidad que el módulo de Fourier es un numero adimensional que caracteriza la conducción de calor, y se entiende como la relación entre la velocidad de la conducción de calor y la velocidad del almacenamiento de energía, el método de Schmidith es un método que se puede emplear para la resolución de problemas de distribución tiempo –temperatura y que el modulo de Biot es un número adimensional utilizado en un estado no estacionario en los cálculos de transferencia de calor, que determina si la temperatura dentro de un cuerpo puede variar de manera significativa en el espacio, mientras que el cuerpo se calienta o se enfría con el tiempo, de un gradiente térmico aplicado a su superficie. Y así mismo se aprendio que las graficas de Heisler son un conjunto de gráficas que nos brindan soluciones para las geometrías de placas,cilindros y esferas, y con ellas se obtiene un aproximado de la temperatura por conducción en el centro de la geometría.
41
