UNIDAD 6 MÉTODOS NUMÉRICOS

INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE TIERRA BLANCA

INGENIERÍA EN SISTEMAS COMPUTACIONALES M. C. GENARO OCHOA CRUZ MÉTODOS NUMÉRICOS

UNIDAD 6: SOLUCIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES

JOSÉ ERNESTO CASTRO CHÁVEZ

TIERRA BLANCA, VERACRUZ; 10 DE MAYO DE 2013

Soluciones de Ecuaciones Diferenciales Diferencia les

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Índice 6.1 Métodos de un paso. .................................................................................................................

3

6.2 Métodos de Pasos Múltiples. ...................................................................................................

8

6.3 Sistema de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. .............................................................. 11

6.4 Aplicaciones. ................................. ................. .................. ................. .................. .................. .... 14

Soluciones de Ecuaciones Diferenciales

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6.1 Métodos de un paso. Los métodos de Euler Una de las técnicas más simples para aproximar soluciones de ecuaciones diferenciales es conocida como Método de Euler o método de las tangentes. Supongamos que queremos aproximar la solución del problema de valores iniciales y’ = f(x, y) para el cual y(x0 ) = y0. Si h es un incremento positivo sobre el eje x, entonces, como se muestra en la figura, podemos encontrar un punto Q(x1, y1) = (x0 + h, y1) sobre la tangente en P (x0, yo) a la curva solución desconocida. De la ecuación de una recta que pasa por un punto dado, tenemos: y1  y 0 ( x 0

 h)  x 0

 y 0 ;

O bien y1  y 0 En donde y 0

y1  y 0 h

 y 0

 hy 0

 f ( x 0 ,

y0 )

Si denotamos x0 + h por x1, entonces el punto Q(x1, y1) ubicado sobre la tangente es una aproximación del punto R(x1, y(x1)) que se encuentra sobre la curva solución. Esto es y1 ≈ y(x1).


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Por supuesto, la exactitud de la aproximación depende mucho del tamaño del incremento h. Usualmente debemos elegir el tamaño de esta medida de modo que sea “razonablemente pequeña.

Suponiendo que h tiene un valor uniforme (constante), podemos obtener una sucesión de puntos (x 1,y 1 ), (x 2, y 2 ), . . ., (x n, y n ), que sean aproximaciones de los puntos (x 1,y(x 1 )), (x 2,y(x . . ., (x n, y(x n )). 2 )), Ahora bien, usando el valor de y 2 que es la ordenada de un punto sobre una nueva “tangente”, tenemos: y 2

 y1

h

 y1 ;

o bien y 2  y1  hy1 es decir y 2  y1  h f ( x1 , y1 )

En general se tiene que: y n  1  y n

 hy n

y n  1  y n

 h f ( x n ,

yn )

En donde x n = x 0 + nh.

Método de Euler mejorado ó formula de Heun La fórmula

y n1  y n

donde

y n1  yn

h

f ( xn , y n )  f ( xn1 , y n1 ) 2

. . . . . . (A)

 hf ( xn , yn )

Se conoce como Fórmula de Euler mejorada o Fórmula de Heun.

Los valores de f(x n, y n ) y f(x n+1, y n+1 ) son aproximaciones de la pendiente de la curva

en

(x n,

y(x n ))

y

(x n+1,y( xn+1 ))


y

en

consecuencia

el

cociente

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f ( xn , y n )  f ( xn1 , y n1 ) 2

puede ser interpretado como una pendiente promedio en

el intervalo entre x n, xn+1. Las ecuaciones de (A) se pueden visualizar fácilmente. En la figura se muestra el caso en que n = 0.

Observe que f(x0, y0) y f(x1, y 1) son las pendientes de las rectas indicadas que pasan por los puntos

(x0, y0) y (x1, y 1), respectivamente.

Tomando un promedio de estas pendientes obtenemos la pendiente de las rectas oblicuas (flechas). En lugar de seguir la recta de pendiente m = f(x0, y0) hasta el punto de ordenada y 1 obtenida por el método de Euler usual, seguimos la recta por (x0, y0) con pendiente m hasta llegar a x1. Examinando la figura, es plausible admitir que y1 es una mejora de y 1. Además podríamos decir que el valor de y 1  y0

 hf ( x0 ,

y0 ) predice un valor de

y(x 1 ), mientras que: y1  y0

h

f ( x0 , y0 )  f ( x1 , y 1 ) 2

, corrige esta estimación.


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Métodos de Runge-Kutta Se trata de una familia de métodos en lugar de calcular derivadas de orden superior, se evalúa la función en un mayor número de puntos, tratando de igualar la precisión del método de la serie de Taylor. Métodos de Runge-Kutta de segundo orden

Métodos de Runge-Kutta de tercer orden.

Métodos de Runge-Kutta de cuarto orden.


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Método de Runge-Kutta de quinto orden de Butcher.


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6.2 Métodos de Pasos Múltiples. Los métodos de un paso descritos en las secciones anteriores utilizan información en un solo punto xi para predecir un valor de la variable dependiente yi+1 en un punto futuro xi+1. Procedimientos alternativos, llamados métodos multi paso, se basan en el conocimiento de que una vez empezado el cálculo, se tiene información valiosa de los puntos anteriores y esta a nuestra disposición. La curvatura de las líneas que conectan esos valores previos proporciona información con respecto a la trayectoria de la solución. Los métodos multi paso que exploraremos aprovechan esta información para resolver las EDO. Antes de describir las versiones de orden superior, presentaremos un método simple de segundo orden que sirve para demostrar las características generales de los procedimientos multi paso.


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El método de Heun de no auto inicio Recordemos que el procedimiento de Heun usa el método de Euler como un predictor:

Y la regla trapezoidal como un corrector:

Ec.1

Así, el predictor y el corrector tienen errores de truncamiento local de

y

, respectivamente. Esto sugiere que el predictor es el enlace débil en el método, pues tiene el error más grande. Esta debilidad es significativa debido a que la eficiencia del paso corrector iterativo depende de la exactitud de la predicción inicial. En consecuencia, una forma para mejorar el método de Heun es mediante el desarrollo de un predictor que tenga un error local de

.

Esto se puede cumplir al usar el método de Euler y la pendiente en , y una información extra del punto anterior

como en:

Ec.2 Observe la ecuación ec. 2 alcanza

) a expensas de emplear un tamaño de

paso mas grande, 2h. Además, observe que la ecuación ec. 1 no es de auto inicio, ya que involucra un valor previo de la variable dependiente yi-1. Tal valor podría no estar disponible en un problema común de valor inicial.


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A causa de ello, las ecuaciones 26.11 y 26.12 son llamadas método de Heun de no auto inicio. Como se ilustra en la figura 26.4, la derivada estimada de la ecuación 26.12 se localiza ahora en el punto medio más que al inicio del intervalo sobre el cual se hace la predicción. Como se demostrara después, esta ubicación centrada mejora el error del predictor a

Sin embargo, antes de proceder a una deducción formal del

método de Heun de no auto inicio, resumiremos el método y lo expresaremos usando una nomenclatura ligeramente modificada: Predictor:

Corrector:

Donde los superíndices se agregaron para denotar que el corrector se aplica iterativamente de j=1 a m para obtener soluciones refinadas. Observe que

son los resultados finales de las iteraciones del

corrector en los pasos de tiempo anteriores. Las iteraciones son terminadas en cualquier paso de tiempo con base en el criterio de paro:

Ec. 3 Cuando

es menor que una tolerancia de error Es preestablecida, se terminan

las iteraciones. En este punto


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6.3 Sistema de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. Muchos problemas prácticos de ingeniería y ciencia requieren la solución de un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias simultáneas más que una sola ecuación. Tales sistemas pueden representarse por lo general como:

La solución de tal sistema requiere que se conozcan las n condiciones iniciales en el valor inicial de x.

Método de Euler . Los métodos analizados anteriormente para simples ecuaciones pueden extenderse al sistema que se mostro antes. Aplicaciones en la ingeniería pueden involucrar miles de ecuaciones simultáneas. En este caso, el procedimiento para resolver un sistema de ecuaciones simplemente involucra aplicar la técnica de un paso para cada ecuación en cada paso antes de proceder con el siguiente. Esto se ilustra mejor con el siguiente ejemplo para el método de Euler simple.

Ejemplo Resolución de sistemas de EDO mediante el método de Euler Enunciado: Resuelva el siguiente conjunto de ecuaciones diferenciales usando el método de Euler, suponiendo que x=0 , y1=4 y y 2= 6 . Integre para x=2 con un tamaño de paso de 0.5.


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Solución: Se implemente el método de Euler para cada variable.

Observe que, y 1 (0)=4 se usa en la segunda ecuación mas que la y 1 (0.5)=3 calculada con la primera ecuación. Al proceder de manera similar se tiene:

x

y1

y2

0

4

6

0.5

3

6.9

1.0

2.25

7.715

1.5

1.6875

8.44525

2.0

1.265625

9.094087

Ahora que desarrollamos formas para estimar el error de truncamiento local, se puede usar para ajustar el tamaño de paso. En general, la estrategia es incrementar el tamaño de paso si el error es demasiado pequeño y disminuirlo si es muy grande. Press y Cols. (1992) han sugerido el siguiente criterio para cumplir con lo anterior:

Donde h-actual y h- nuevo = tamaño de paso actual y nuevo, Δactual= exactitud actual calculada, Δnuevo= exactitud deseada, y a= exponente constante que es

igual a 0.2 cuando aumenta el tamaño de paso y 0.25 disminuye el tamaño de paso. El parámetro clave en la ecuación 25.47 es obviamente Δnuevo ya que es su

vehículo para especificar la exactitud deseada. Una manera para realizarlo sería relacionar Δ nuevo con un nivel relativo de err or. Aunque esto funciona bien solo

cuando ocurren valores positivos, puede causar problemas para soluciones que Soluciones de Ecuaciones Diferenciales

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pasan por cero. Por ejemplo, usted podría estar simulando una función oscilatoria que repetidamente pasa por cero, pero está limitada por valores máximos absolutos. Para tal caso, podría necesitar estos valores máximos para figurar en la exactitud deseada. Una manera más general de manejar esos casos es determinar Δ nuevo como: ∆ nuevo

= E Y - escala

Donde E=nivel de tolerancia global. Su elección de y-escala determinara entonces como se ha escalado el error. Por ejemplo, si y-escala = y, la exactitud será manejada en términos del error relativo fraccional. Si usted trata ahora con un caso donde desee errores relativos constantes a un límite máximo preestablecido, existe ya una y-escala igual a ese límite. Un truco sugerido por Press y cols. Para obtener los errores relativos constantes excepto aquellos que cruzan muy cerca de cero, es:


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6.4 Aplicaciones. Método de Euler y de Euler modificado un circuito eléctrico contiene una impedancia, una resistencia y una capacidad, la ecuación que rige este problema “LRC” cuando el sistema no está sometido a ningún potencial es de tipo:

Se tomará con características del circuito una reactanci a L de .4H, R= 300Ω y una capacidad de .001 F. En el tiempo inicial (t=0), la intensidad es de 3A y su derivada (es decir la carga eléctrica) de .5A/s. °C Solución Primero se debe transformar este problema en un conjunto de ecuaciones de primer orden. Se tomara Q igual a la derivada de la intensidad de corriente.

Si se utiliza el método de Euler tradicional se tiene que resolver dichas ecuaciones empleando las formulas:


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La tabla de resultados obtenida con un paso de .0005 es: i

t

Intensidad (I)

Carga (Q)

0

0

3

0.5

1

0.0005

3.00025

-3.4375

2

0.0001

2.99853125

-5.89875

3

0.0015

2.995581875

-7.43488

4

0.002

2.991864434

-8.39128

5

0.0025

2.987668794

-8.98438

6

0.003

2.983176604

-9.34982

7

0.0035

2.978501692

-9.57261

8

0.004

2.973715387

-9.70601

9

0.0045

2.968862383

-9.7834

10

0.005

2.963970683

-9.8257

Si ahora se utiliza el de Euler modificado las formula son:

i

t

Intensidad (I)

Carga (Q)

0

0

3

0.5

1

0.0005

2.999421129

-2.81548

2

0.0001

2.998144429

-5.6068

3

0.0015

2.995320415

-7.23654

4

0.002

2.991705388

-8.26941

5

0.0025

2.987570174

-8.90763

6

0.003

2.983116438

-9.30179

7

0.0035

2.978465529

-9.54251

8

0.004

2.973694278

-9.68715

9

0.0045

2.968850703

-9.77159

10

0.005

2.963964491

-9.8183

Cabe recalcar que el problema se toma muy inestable si ese utilizan valores mas altos para L.


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UNIDAD 6 MÉTODOS NUMÉRICOS

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