CALCULO DIFERENCIAL
4.1 Definición de la derivada. 4.2 Interpretación geométrica y física de la derivada. 4.3 Derivada de la f unción constante, derivada del producto de una constante por una función, derivada de la función xn cuando n es un entero positivo, y cuando n es un número real, derivada de una suma de funciones, derivada de un producto de funciones y derivada de un cociente de funciones. 4.4 Derivada de las funciones exponenciales. 4.5 Derivada de las funciones trigonométricas. 4.6 Derivada de las funciones compuestas (regla de la cadena). 4.7 Derivada de la función inversa. 4.8 Derivada de las funciones logarítmicas. 4.9 Derivada de las funciones trigonométricas trigonométricas inversas. 4.10 Derivada de las funciones implícitas. 4.11 Derivadas sucesivas. 4.12 Funciones hiperbólicas y sus derivadas. 4.13 Teorema del valor medio y teorema de Rolle.
4
LA DERIVADA
OBJETIVO EDUCACIONAL El estu estudi dian ante te compr compren ende derá rá el conc concep epto to de deri deriva vada da;; su inte interp rpre reta taci ción ón geométrica y física, desarrollará la capacidad de derivar funciones algebraicas y trasce trascende ndente ntes s median mediante te reglas reglas de deriva derivació ción n y la técnic técnica a de deriv derivaci ación ón implícita.
71
CALCULO DIFERENCIAL
4.1 Definición de derivada.La derivación de una función y = f (x) con respecto a x en un punto x = x o . Se define por él límite: ( x + ∆x ) − f ( x o ) ∆y = lim o ∆x →0 ∆x ∆x →0 ∆x lim
4.2 Interpretación geométrica y física de la derivada. La derivación nos representa un movimiento de la secante (recta pendiente), a través través de una curva cualquiera, cualquiera, hasta hasta lograr ser tangente tangente de la misma, por lo que va tomando valores diferenciales.
dy dx
=
∆y 1 =y ∆x
y
Que nos da la pendiente (m) de la tangente a la curva y = f (x) en el punto P. Secante Como se indica en la figura de acuerdo a su interpretación geométrica. P2 ()
∆y (fx) P1 (x, y)
∆x x
m=
∆y ∆x
= ta g
∝ =P e n d ie n te
72
CALCULO DIFERENCIAL
Aplicación de la definición de derivada a funciones por medio de Incrementos. Consiste en encontrar la derivada de una función sustituyendo directamente en la expresión de su definición.
∆y = m = tg ∝ = derivada ∆x ∆y
lim
∆ →x x ∆
∆ → x 0
(x o
lim =
x
∆
0
+ ∆− x) f(x o)
Ejemplos:
a). y = x2 + 3x
∆y lim ∆x →0 ∆x lim
= lim x
2 y + ∆y = (x + ∆ x)
∆ + 3 (x + x)
∆x
→0
y + ∆ y - y = (x + ∆x)2 + 3 (x + ∆ x) - x2 - 3x
∆x y - y + ∆y = x2 + 2x ∆x + ( ∆x )2 lim ∆x →0 ∆x 2 ∆y 2x ∆x + x + 3 ∆ x lim = lim ∆x →0 ∆x ∆x →0 ∆x ∆y = 2x + 3 ∆x
=
∆x →0
b). y = lim
y + ∆y - y =
∆y = ∆x
+ 3x + 3 x∆- x 2 - 3x
x
∆x →0
=
=
x + ∆x ∆x
x + ∆x − x ∆x x + ∆x − x
=( =
−
x
x + ∆x
−
∆x(
x )( x + ∆x x + ∆x
+
+
x)
x)
1
∆x( x + ∆x + x ) x + ∆x + ∆y 1 = lim lim ∆x →0 ∆x ∆x→0 x + ∆x + x ∆y 1 = ∆x 2 x
x
73
CALCULO DIFERENCIAL
4.3 Derivada de las funciones. Reglas para aplicar la derivación Aquí se desarrollan fórmulas que permiten acortar el largo proceso al derivar funciones sencillas hasta la más complicada, en forma casi instantánea haciendo su deducción por medio de incrementos. La representación de la función, puede ser f(x) o simplemente “y”. Por lo tanto la representación de su derivada será f 1(x) o también y1.
Regla 1. De la función constante 1
Si f(x) = c entonces f (x) = 0 (x + ∆x) − f(x) ∆x →0 ∆x
f 1(x) = lim
= ∆lim x →0
c−c ∆x
= ∆lim x →0
0 ∆x
=0
Ejemplos: a). f(x) = 2
f 1(x) = 0
b). y = 2345
y1 = 0
c). y = 0.675
f 1(x) = y1= 0
Regla 2. De la función identidad Si f(x)=x Entonces f 1(x) =1
∆x (x + ∆x) − f(x) x+ ∆ x− x = lim = lim = 1 x 0∆ x ∆x→0 ∆ x→ 0 ∆ → ∆x ∆x
f 1(x) = lim
Ejemplos:
a). y = x
y1 = 1
b). y = x+1
y1 = 1
c). y = x - 4
y1 = 1
74
CALCULO DIFERENCIAL
Regla 3. Del múltiplo constante si f(x) = c f(x)
entonces f1 (x)
=
c f1 (x)
c. f (x + ∆x)-c . f (x) ∆x →0 ∆x
f 1(x) = lim
lim c.
∆x →0
f (x + ∆x)- f (x) f (x + ∆ x)- f (x) = c .∆lim = c . f1 (x) x →0 ∆x ∆x
Ejemplos: a). y = 3x b). y = 3x2
y1 = 3(1)
y1 = 3
y1 = 3(2)x2-1
y1 = 6x
Regla 4. De las potencias si f (x) = xn
entonces f1 (x)
=
nxn −1
f (x + ∆x)-f (x) (x + ∆x)n − x n = ∆lim f (x) = lim ∆x →0 x →0 ∆x ∆x n(n − 1) n−2 lim xn + nxn −1∆x + n ( ∆x)2 + ..... + nx( ∆x)n −1 + (∆ x)n + x = ∆x →0 2 n(n − 1) n−2 nxn−1 + x ( ∆x)2 + ..... + nx( ∆x)n− 2 + ( ∆x)n−1 2 lim ∆x [ ] ∆x →0 ∆x f 1(x) = nxn −1 1
Ejemplos: a). y = x2
y1 = 2x2-1
b). y = 5x3 - 3x2 +x – 3
y1 = 2x y1 = (5)(3)x3-1 - (3)(2)x2-1 + x1-1 - 0
y1 = 15x2 – 6x + 1
75
CALCULO DIFERENCIAL
c). y
1 2
=
y
5 − x 3 4x
=x + 1
1
3
1 2− x 2
1 2
⇒
y
1 2
=x +
3x
3 2 3 − 2 − 2 5 + 3 − x − x-1-1 4 2
−
1
y
3 2
=
-
5 -1 x 4 1
2 x
+
9 − x 2
5 2
+
5 4x2
En este caso podemos transformar la función x n a um quedando la fórmula para la derivación de la siguiente forma:
y = um
y1 = m u m-1 du
Ejemplos: a). y = (x2 -3)4
b). y =
y1 = 4(x2 – 3)4 – 1 (2x)
3 (x − 16)2
y1 = (3)( −2)(x2 − 16) −2 −1 (2x)
c). y = 1
y
=
x2
1 2 (x 2
+ 8x + 4 + 8x + 4)
y = 3(x 2 − 16) −2
⇒
2
y1 = 8x(x2 – 3)3
y1 = −12x(x2 −16)−3
⇒ 1 1 − 2 2
(2x + 8)
y = (x y1
=
2
y1 = −
+ 8x + 4)
2x + 8 2 x2
y1
+ 8x + 4
12 (x − 16)3 2
1 2
=
x+4 x2
+ 8x + 4
Regla 5. De la suma
Si f(x) + g(x) son funciones diferenciables. Entonces (f + g)1(x) = f 1(x) + g1(x) Donde: lim
[f(x + ∆x) + g(x + ∆x)] − [f(x) + g(x)]
∆x →0
∆x
= ∆lim [ x→0
f(x + ∆x) − f(x)
∆x
] + lim [ ∆x →0
g(x + ∆ x) − g(x)
∆x
= f 1(x) + g1(x) Regla 6. Del cociente
76
]
CALCULO DIFERENCIAL
Sean f y g dos funciones diferenciables y g(x) ≠ 0
1
f g(x)f 1(x) − f(x)g1 (x) g (x) = g2 (x)
f si entonces g
f(x + ∆x) f(x) − g(x + ∆x) g(x) lim ∆x →0 ∆x
g(x)f(x = ∆lim x →0
+ ∆x) − f(x)g(x + ∆x) 1 g(x)g(x + ∆x) = ∆x
1 g(x)f(x + ∆x) − g(x) + f(x)g(x) − f(x)g(x + ∆ x g(x)g(x + ∆x) = ∆x →0 ∆x lim
g(x)f 1(x) − f(x)g1 (x) f(x + ∆x) − f(x) g(x + ∆x) − g( x) 1 − f(x) lim g(x) g(x)g(x + ∆x) = ∆x →0 ∆x ∆x g2 (x) Ejemplos:
a). y =
( 2-3x 2 )
3
( 2x − 4 )
2
u = ( 2-3x 2 )
3
2
du = 3 ( 2-3x2 ) ( −6x) = −18x(2 − 3x2 )2
= ( 2x-4 ) 2 dv = 2(2x-4)(2) = (8x-16) (2x − 4)2 ( −18x)(2 − 3x2 )2 − (2 − 3x2 )3 (8x − 16) 1 y = [(2x − 4)2 ]2 3136x 3 − 1728x5 − 648x7 + 1344x2 − 3456x4 + 2592x6 − 1536x + 256 1
v
y=
(2x-4)4
77
CALCULO DIFERENCIAL
b). y =
u v
y
y=
= vdu-udv
u=
1
2
= mum-1du
um d
1 2
x − 2 x + 3
x −2 x+3 2
=
dv x −2 2
x+3
du =
1 x −2 2 x +3 2
(x + 3)(2x)-(x2
1 2 − 2 2
− 2)(1)
(x + 3)2
x2 + 6x + 2 (x + 3) 2
=
2x2
+ 6x − x2 + 2 x2 + 6x + 2 = (x + 3)2 (x + 3)2
+ 6x + 2 x 2 −2 2 x + 3) 2 ( x + 3 x 2 + 6x + 2 1 y = 2( x 2 − 2)( (x + 3)3 ) 1
y
x2
Regla 6. Del producto: d u(x + ∆x)v(x + ∆x) − u(x)v(x) (uv) = lim ∆x →0 ∆x dx u(x + ∆x)v(x + ∆x) − u(x + ∆x)v(x) + u(x + ∆x)v(x) − u(x)v(x) = ∆lim x →0 ∆x u(x + ∆x) v(x + ∆x − v(x) + v(x) v(x + ∆x) − u(x) = ∆lim x →0 ∆x ∆x
= ∆lim u(x + ∆x). lim ∆x →0 x →0
v(x + ∆x) − v(x) u(x + ∆x) − u(x) + v(x).∆lim x →0 ∆x ∆x
duv = udv +vdu
Ejemplos; a). y = ( x 2
+ 3) ( x − 4)
y1
= ( x2 + 3 ) ( 1) + ( x − 4 ) ( 2x )
y1
= 3x2 − 4x + 3
78
CALCULO DIFERENCIAL
b). y =
(
x
− 2 ) ( x − 3)
2
1 2
1
= ( x − 2 ) ( 2x ) + ( x
1
= 2x
y y
2
x
2
⇒
2
−2 +
2
1 2
( x − 2) ( x2 − 3) 2
1 − 1 2 2 − 3 ) ( x − 2 ) ( 2x ) 2
− 6x x2 − 2
x3
c). y = ( 4 − x 3 ) ( x3
− x + 2)
y1
= ( 4 − x3 ) ( 3x2 − 1) + ( x3 − x + 2) ( −3x2 )
y1
= 6x5 + 3x3 + 6x2 − 4
d). y = (x 2
+ 4)2 (2x3 − 1)3 u = (x 2 + 4)2 du = 2 ( x 2 + 4 ) (2x) =
v
= ( 2x3 − 1)
y1 = ( x 2
+ 4)
y1= 88x10
2
3
dv
=
4x(x 2
+ 4)
3(2x 3 -1)2 (6x 2 ) = 18x 2 (2x 3 -1)2
18x 2 (2x 3 -1)2
+ (2x 3 -1 )3 4x(x 2 + 4)
+ 640x 9 + 1152x 8 -96x 7 − 672x 6 − 1152x 5 + 30x 4 + 192x 3 + 288x2 − 8
4.4 Derivadas de funciones exponenciales
Re glas de derivación d dx
= (au ) = au ln a
du dx
d u du (e ) = eu dx dx d du (ceu ) = ceu dx dx
79
CALCULO DIFERENCIAL
Ejemplos:
a). y = 3e x
3
d du (ceu ) = ceu dx dx 3 u=x c =3 du dx
= 3x 2 3
= 3ex (3x2 ) y1 = 9x2 ex y1
3
b). y = a2x
3
d u du (a ) = (au )ln a dx dx du = 6x2 u = 2x 3 dx 3
= a2 x ln a6x2 y1 = 6x 2 a2x ln a y1
3
c). y = x 3a x d
(u) (v) = u
dv
+v
du
dx dx dx d n (x ) = nxn−1 dx d x du (a ) = au ln a dx dx u = x3 v = ax du du = 3x 2 = ax ln a dx dx y1 = x3 (ax ln a) + ax (3x2 ) y1
= x3 ax ln a + 3ax x2
80
CALCULO DIFERENCIAL
d). y =
d u dx v 1
y
=
=
eax eax
v
− e−ax + e −ax
du − u dv dx dx 2 v
( eax + e −ax ) a ( eax + e −ax ) − ( eax − e−ax ) a ( eax − e−ax )
+ e−ax )2 ae2ax + a + a + ae −2ax − ae2ax + a + a − ae−2ax 1 y = (eax + e−ax )2 y1
=
(eax
4a (eax + e−ax )2
4.5 Derivadas de funciones trigonométricas
Fórmulas que aplicamos para las funciones trigonométricas.
d du (sen u) = cos u dx dx d du (cos u) = − sen u dx dx d du (tag u) = sec 2 u dx dx d du (cot u) = − csc 2 u dx dx d du (sec u) = sec u tan u dx dx d du (csc u) = − csc u cot u dx dx
Identidades que aplicamos en las funciones trigonométricas.
81
CALCULO DIFERENCIAL
sen x cos x cos x cot x = sen x 1 csc x = senx
cot x
1 + tan2 x
1 + cos2 x
tan x =
senx = tanx
= sec 2 x
cat op hip
sec x
= =
1 cos x 1 tan x
sen2 x + cos2 x
cosx
=
=1
= csc2 x
cat ad hip
= cat op cat ad
Ejemplos: a). y = sen x y1 = cos x (1) y1 = cos x
b). y = sen 2x + cos 3x y1 = cos 2x (2) + (- sen 3x)(3) y1 = 2 cos 2x – 3 sen 3x c). y = tag x2 y1 = sec2 x2 (2x) y1 = 2x sec2 x2 d). y = tag2 x y = (tag x)2 y1 = 2(tagx)2-1 (sec2x) y1 = 2tagx sec2x
e). y = cot(2 – 3x2) y1 = -csc2(2 - 3x2)(-6x)
82
CALCULO DIFERENCIAL
y1 = 6x csc2(2 - 3x2) f). y = x2 senx y1 = x2(cosx)(1) + senx(2x) y1 = x2 cosx + 2x senx
g). y =
y1
=
y1
=
senx x
x(cos x)(1) + senx(1) x2 x cos x + senx
x2 y = (-csc 4x)(cot 4x) y1 = (-csc 4x)(-csc2 4x)(4) + (cot 4x)(-csc 4x)(cot 4x)(4) y1 = 4 csc34x – 4 cot24x csc4x
4.6 Derivadas de las funciones compuestas (Regla de la Cadena).
Regla de la cadena. Es una forma práctica de derivar funciones, la podemos definir de la siguiente forma: Si f(u) es diferenciable en el punto u = g(x), y g(x) es diferenciable en x, esto determina la función compuesta y = ( f°g)( x) = f(g(x)) es diferenciable en x, y (f °g)1(x) = [f1 (g(x))][g1 (x)] Si suponemos que y = f(u) y u = g(x) tenemos que dy dx
=
dy du * du dx
Ejemplos:
83
CALCULO DIFERENCIAL
a). y = (4x2 – 6x)5 Tomaremos y = u5 y
u = 4x2 – 6x
dy dx
=
dy du * du dx
dy dx dy
=
(5u4)(8x – 6)
=
5(4x2 – 6x)4(8x – 6)
dx
b). y =
x2
+4
tomaremos f(u)= u dy dx
=
dy dx dy dx
= =
y
u = x2
+4
dy du * du dx 1
* 2x 2 u 1
2 x2
+4
* 2x
c). y = sen x u= x
u1 =
1 2 x 1
dy = cos x * dx 2 x
4.7 Derivadas de funciones trigonométricas inversas.
84
CALCULO DIFERENCIAL
Como ejemplo la función inversa de x = seny es y = arc senx. Obedece a las siguientes reglas para su derivación. d dx
=
(arc sen u)
=
d dx
=
(arc cos u)
=−
d dx d dx d dx
=
(arc tag u)
=
d dx
=
(arc csc u)
=−
= =
1
du 1-u2 dx 1 du 1-u2 dx
1 du 1 + u2 dx 1 du (arc cot u) = − 1 + u2 dx 1 du (arc sec u) = u u2 − 1 dx 1 du u (u2 − 1) dx
Ejemplos:
a). y
= arc sen x 1
y1 =
1-x
2
(1)
b). y = arc sen (6x – 4) y1
=
y1
=
1 1 − (6x − 4)
(6)
6 1 − (6x − 4)
c). y = arc cos x4 y1 1
y
=− =−
1 1− x8
(4x3 )
4x 3 1− x8
d). y = arc tag 3x2
85
CALCULO DIFERENCIAL
y1
1
=
1 + 9x 6 6x y1 = 1 + 9x 6
(6x)
4.8 Derivadas de funciones logarítmicas. Propiedades de los logaritmos de base a. Regla del producto loga xy
= loga x + loga y
Regla de la potencia loga
1 x
= − loga x
Regla del cociente loga
x y
= loga x − loga y
Re gla del reciproco loga x y
= y loga x
Fòrmulas de derivación logarítmica d 1 du = (loga u) = loga e dx u dx d 1 du = (ln u) = dx u dx
Ejemplos: a). y = loga (3x 2
y1
=
y1
=
+ 2)
1
loga e (6x) 3x 2 + 2 6x loga e 3x 2 + 2
86
CALCULO DIFERENCIAL
b).
y1
=
y1
=
y = loga ( x + 3 ) ( x ) 1
( 1) +
( x + 3) 1
c). y = ln(x3
y1 1
y
− 3)3
=
(3)1 (3X2 ) 3 (x − 3)
=
9X 2 (x3 − 3)
d). y = ln ( x2
y1
=
y1
=
1 x2 + 3 2x x
2
+3
e). y = ln y1 =
1
⇒
1 x −3
y
= 3ln(x3 − 3)
⇒
y = ln ( x2
+ 3) + ln ( x − 3 )
( 1)
1 x −3
x3
( x − 3)
3
( 2x ) +
⇒ 1
x +3 x −3 2x 1 + y1 = 2 x +3 x−3 2
= loga ( x + 3) + loga ( x )
1 ( 1) x
+ 3) ( x − 3)
( 2x ) +
+
y
1 x
+
( x + 3)
⇒
y =3 ln x − 3ln ( x − 3 )
( 1)
4.10 Derivadas de funciones implícitas. Definición Cuando una función definida en el campo de variación de sus variables se escribe en la forma f(x,y) = 0 se dice que y es una función implícita de x. Ejemplo xy + x – 2y – 1 es una función implícita la cual podemos definir como:
87
CALCULO DIFERENCIAL
y=
1-x para x ≠ 2 x+2
METODO Derivar la ecuación dada con respecto a x, teniendo en cuenta que y es función de x, y despejar y1
Ejemplos: a). xy + x − 3y − 2 = 0 d d d d d d (y) + y ⋅ (x) + (x) − 3 ⋅ (y) − (2) = (0) dx dx dx dx dx dx xy1 + y + 1 − 3y1 = 0 x⋅
y1 (x - 3) = -y -1 y1 =
−y − 1 x−3
b). xy 2 − x 2 y + x 2 + y2 = 0 d 2 d 2 d 2 d d 2 2 d 2 d + − + + + = x (y ) y (x) x (y) y (x ) (x ) (y ) (0) dx dx dx dx dx dx dx x(2yy1 ) + y2 − x2 y1 + 2xy + 2x + 2yy1 = 0 y1 ( 2xy − x2 + 2y ) = −y2 − 2xy − 2x
− y 2 − 2xy − 2x y = 2xy − x 2 + 2y 1
88
CALCULO DIFERENCIAL
c). x 2
− xy + y2 = 8
d 2 d d d 2 d (x ) − x (y) − y (x) + (y ) = (8) dx dx dx dx dx 2x − xy1 − y + 2yy1
=0 y1( − x + 2y) = −2x + y −2x + y y1 = − x + 2y
y1
− 2x 2y − x
=y
3
d). x y + xy 3
x3
=2
d d 3 (y) + y x dx dx
+x
d 3 y dx
x3 y1 + 3x2 y + 3x y2 y1 + y3 y1(x 3
1
y
+ y3
d d(2) x= dx dx
=0
+ 3xy2 ) = −3x2 y − y3
−3x 2 y − y 3 = 3 x + 3xy 2
4.11 Derivadas sucesivas Definición. Consiste en ir derivando sucesivamente la función, obteniéndose así las derivadas de y con respecto a x. Si f(x) es una función de x diferenciable, su derivada se conoce como la segunda derivada de y con respecto a x, si la segunda derivada es una función de x diferenciable, su derivada se denomina tercera derivada de y etc... .
89
CALCULO DIFERENCIAL
Todas estas derivadas se denotan por uno de los tipos siguientes:
d , dy
d2 y , dx 2
y1,
y11 ,
f 1(x),
f11 (x),
d3 y dx3
......
dn y dxn
y111 . . . . . . . . . . f111 (x).. . . . ...
yn
f(n) (x)
Ejemplos: a). y = 3x 4 − 5x3 + 7x2 − 1 y1 = 3(4)x4 −1 − 5(3)x3 −1 + 7(2)x2 −1 − 0 y1 = 12x3 − 15x2 + 14x y11 = 12(3)x3 −1 − (2)15x2 + 14x1−1 y11 = 36x2 − 30x + 14 y111 = 36(2)x2 −1 − 30x1−1 + 0 y111 = 72x − 30 y1v = 7x1−1 − 0 y1v = 72 yV = 0 b). y =
x2 x2
+1
+ 1)(2x) − x2 (2x) 2x = y = (x 2 + 1)2 (x2 + 1)2 (x 2 + 1)2 (2) − 2x(2)(x2 + 1)(2x) −6x − 4x2 11 = 2 2 y = (x 2 + 1)2 (x + 1) 1
(x 2
c). u = (t 2
+ 1)2
+ 1)2 −1 (2t) = 4t(t2 + 1) = 4t3 + 4t u11 = 3(4)t3 −1 + 4t1−1 = 12t2 + 4 u111 = 12(2)t2 −1 = 24t u1 = 2(t2
90
CALCULO DIFERENCIAL
4.12 Funciones hiperbólicas y sus derivadas. Son aplicadas en matemáticas aplicadas y ocurren de ciertas combinaciones de ex y e-x. El seno y el coseno hiperbólica de un número real x se designan como senh x y ex − e−x ex − e− x cosh xy se definen como cosh x = , las otra senh x = 2 2 funciones se resuelven por analogía con las funciones trigonometricas. Para su derivación, es la sustitución directa con la derivada respectiva de u. d du (senh u) = cosh u dx dx d du (cos h u) = sen h u dx dx d du (tanh u) = sech2 u dx dx d du (coth u) = csch2 u dx dx d du (sec h u) = − sec h u tanh u dx dx d du (csc h u) = − csc h u coth u dx dx
Ejemplos.
a). y = cosh 3x y1 = 3 senh 3x
b). y =sen2h x y1 = 2 senh x cosh x
c). y = x coth x y1 = x csx2 x + coth x d). y = sech x3 y1 = -3x sech x3 tanh x3
91
CALCULO DIFERENCIAL
4.13 teorema del valor medio y teorema de rolle.
Teorema de Rolle. Definición. f es una función en la que se cumple: Sea f continua en el intervalo cerrado [a, b] y derivable en el intervalo abierto (a, b). Si f(a) = 0 y f(b) = 0 entonces f(a) = f(b) existe al menos un número dado x0 = c que pertenece a (a, b) tal que f 1(c) = 0.
Ejemplos a). Verifique las condiciones de la hipótesis del teorema de Rolle, y vea que se cumple para la función f(x) = x 2 – 4x +3 en el intervalo [1, 3], luego halle un valor adecuado para que c satisfaga la conclusión del teorema. Solución. f es una función polinomial, por lo tanto f es continua en R y, en particular, continua en el intervalo [1, 3]. f es una función polinomial; por lo tanto f es diferenciable en R y, en lo particular, f es diferenciable en (1, 3). f(1) = 12 – 4(1) + 3 = 0 f(3) = 32 – 4(3) + 3 = 0 f(1) = f(3) = 0 conclusión de pertenencia. f 1(x) = 2x - 4 f 1(c) = 2c - 4 c=2
92
CALCULO DIFERENCIAL
a). Por medio del teorema de rolle para la función f(x) = x3 – 6x2 + 11x – 6 encuentra todos los intervalos [a, b] sobre los cuales f(a) = f(b), para cada Sub intervalo encuentra todos los valores de c tales que f 1(c) = 0.
Solución f es un polinomio continuo y diferenciable para toda x se encuentran los valores de x haciendo f(1), f(1) = (1)3 – 6(1)2 + 11(1) – 6 = 0 podemos dividir la función entre (x – 1) por la condición anterior de f(x) = f (1) y obtenemos (x –1) (x –2) (x – 3) = 0 x = 1,2,3 Por lo que los intervalos que se puede aplicar el teorema de rolle son [1 , 2] y [2 , 3]. Estableciendo f 1(x) = 0 tenemos que f 1(x) = 3x2 – 12x + 11 = 0 Resolviendo x=
6± 3 3
Por lo tanto en el intervalo [1, 2] 6− 3
donde (6 - 3 ) = 1.423 =0 3 y en el intervalo [2, 3]
f 1
f 1
6+ 3 3
=0
donde (6 +
3 ) = 2.577
b). Hallar el valor de x0 que cumple las condiciones del teorema de siendo f (x) = x3 – 12x en el intervalo 0 ≤ x ≤ 2 3 .
Rolle,
Derivamos f 1(x) = 3x2 – 12 3x2 – 12 = 0
x
=±
2
Por lo tanto x0 = 2 es el valor buscado Aplicar el teorema de rolle a la función.
93
CALCULO DIFERENCIAL
c). Aplicar el teorema de Rolle a la función: f(x)
=
x 2 − 4x x−2
Solución f (x) = 0 para x = 0,4 Como f(x) es discontinua en x = 2 por indeterminarse que es un punto del intervalo 0 ≤ x ≤ 4 no se puede aplicar el teorema d). Aplicar el teorema de rolle a la función. f (x) =
x 2 − 4x x+2
Solución f(x) = 0 para x = 0,4 aquí x es discontinua en x =-2 pues no pertenece al intervalo 0 ≤ x ≤ 4. Derivando f 1(x) = (x2 + 4x – 8) / (x + 2)2 esta definida en todos los puntos del intervalo excepto en x = -2 por lo tanto se puede aplicar el teorema y el valor pedido es x0 = 2( 3 - 1) que es la raíz positiva de la ecuación x2 + 4x – 8 = 0 e). Por el teorema de rolle para f(x) = x2/3 – 1 encuentre todos los intervalos [a, b] sobre los que f(a) = f (b) = 0 para cada uno de ellos encuentre todos Los valores de c tales que f`(c) = 0. Solución f(x) = x2/3 – 1= 0 x2/3 = 1 x=± 1 Como f`(x) = 2/3x-1/3 no es diferenciable sobre el intervalo [-1,1], f 1(0) no esta definida por lo que no se puede aplicar el teorema.
94
CALCULO DIFERENCIAL
Teorema del valor medio Definición Si f(x) es una función en la que se cumple que: f es continua en el intervalo cerrado [a, b], y f es diferenciable en el intervalo abierto (a, b). Entonces, existe un número c que pertenece a (a, b) tal que: f 1(c) =
f(b) − f(a) b−a
Ejemplos: 2
a). Aplicar el teorema del valor medio a f(x) = x 3 sobre [0, 1] encuentre todos los valores de x0 = c en [0, 1] tales que: f 1(x) =
f (1) − f(0) 1− 0
Solución 2
Como f(x) = x 3 es continua para toda x y diferenciable para toda x distinta de x =0, se puede aplicar el teorema del valor medio sobre el intervalo [0, 1]. f(x) = x
2 3
2
f 1(x) =
3x
1 3
=
f(1) − f(0) 1− 0
=1
1
2 = x3 3 8 x= 27 c
=
8 ∈ (0,1) 27
b). Compruebe que la hipótesis del teorema del valor medio se cumple para f(x) = x2 + 2x - 1 en el intervalo [0, 1], luego halle un valor de c que cumpla la conclusión de este teorema. Solución. f es una función polinomial; por lo tanto, f es continua y diferenciable en cualquier intervalo.
95
CALCULO DIFERENCIAL
f(1) − f(0) 2 − ( −1) = 1− 0 1 f 1(c) = 3 f 1(c) =
Ahora f 1(x) = 2x + 2
⇒
f 1(c) = 2c +2
f 1(c) = 2c +2 = 3 3−2 1 = 2 2
c=
c). Sea f(x) = x3 – x2 – x + 1 en el intervalo [-1, 2] encuentre todos los números que satisfacen la conclusión del teorema del valor medio. Solución. f(x) = x3 – x2 – x + 1 f 1(x) = 3x2 – 2x – 1 f(2) - f(-1) =1 2 - (-1) f 1(x) = 3x2 – 2x –1= 0
±
x1
=2
x1
= −1
4 + 24 6 x1
=2
Ambos números están en el intervalo (-1, 2)
2
d). Sea f(x) = x 3 en el intervalo [-8, 27] demuestra la conclusión del valor medio. Solución f(x) = x
2 3
f
f(27) − f(−8) 27 − ( −8)
=
1 7
1
=
c
2 3
x
−
1 3
= x0 =
1 7
Sustituyendo f 1(x) f
1
=
2 − x 3
1 3
=
1 7
96
CALCULO DIFERENCIAL
x = 102 Conclusión x = 102 no esta dentro del intervalo (-8, 27) por lo que f(x) no es diferenciable en todas partes de (-8, 27) luego f 1 (0) no existe.
e). Por medio del teorema de valor medio encuentre el valor de x para f(x) = 2 x En el intervalo [1, 4]. Solución. f(x) = 2 x f 1(x) =
f(4) = 2 4
1
f(1) = 1
x
f(4) − f(1) 4 − 2 = (4 − 1) 3
=
2 3
Resolver la ecuación 1 x
=
2 3
=4 4=2
1 x x=
9 Esta dentro del intervalo 4
97
