UNIDAD 3 RESPUESTA DINAMICA En esta sección nos interesa determinar la respuesta en el tiempo (es decir, la respuesta dinámica) de un cierto sistema cuando ocurre un cambio de algún tipo. En particular, nuestro interés reside en modificar alguna variable asociada con una corriente de entrada al proceso. Por ejemplo, en el caso de un reactor químico operado de manera continua podríamos modificar el flujo volumétrico de la corriente de alimentación y observar la manera como la concentración de reactivos y productos se modifica por este hecho. La respuesta dinámica de un sistema se puede representar en términos de la figura 1, donde u(t ) es una función variable de entrada, y (t ) es la respuesta del sistema.
3.1.- sistemas de 1er orden La respuesta dinámica de muchos sistemas se puede representar mediante la siguiente ecuación diferencial lineal de primer orden,
O de manera equivalente,
Donde,
K es la ganancia a lazo abierto del sistema y Ƭ la constante de tiempo a lazo abierto. Tomando la transformada de Laplace de ambos lados de la ecuación 2.2 tenemos:
De donde
Al cociente y (s)=u(s) se le denomina la función de transferencia G(s) :
Donde para un sistema de primer orden:
La solución de esta ecuación, en el dominio del tiempo, dada por:
3.1.1.- respuesta al escalón unitario Dado un sistema lineal e invariante en el tiempo cuya función de transferencia viene dada por
se denomina respuesta escalón a la salida obtenida tras aplicar como entrada una señal escalón unitario u(t ) , cuya transformada de Laplace viene dada por
Un sistema de primer orden queda descrito por una ecuación diferencial del tipo
con la condición inicial y(0) . La transformada de Laplace de la salida resulta en
Ante entrada escalón de amplitud A con U ( s) = A / s y considerando nula la respuesta de entrada cero, la respuesta sería
Descomponiendo en fracciones simples,
y aplicando la transformada inversa (en forma de t ablas)
La respuesta es de tipo exponencial y si a0 > 0 es decreciente en el término exponencial y por lo tanto estable, tendiendo al valor constante (Figura 3.1.).
Se define la constante de tiempo de un sistema de primer orden
como el instante de tiempo en el que la respuesta alcanza el 63% del valor final. Usando este parámetro, la función de transferencia de un sistema de primer orden queda
siendo k la ganancia del sistema.
3.1.2.- respuesta a la rampa
3.2.- sistemas de 2do orden
3.2.2.- parámetros de la respuesta subamortiguada ante la entrada escalón Un sistema de segundo orden viene descrito por una ecuación diferencial del tipo
con condiciones iníciales y(0), y'(0) . La transformada de Laplace aplicada a la ecuación resulta en
con P ( s) debido a las condiciones iníciales. Ante entrada escalón de amplitud A con U ( s) = A / s y considerando nula la respuesta de entrada cero, la respuesta sería función de las raíces s1 y s2 del polinomio característico de la función de transferencia
La respuesta y(t ) será obtenida descomponiendo en fracciones simples Y ( s) que viene dada por
Presentándose tres casos, a saber: a) raíces reales distintas
Que darán y(t ) aplicando la transformada inversa de Laplace
Cuya representación gráfica aparece en la Figura 3.2. Los sistemas con este tipo de respuesta con s1, s2> 0 se denominan sobreamortiguados.
b) raíces reales iguales
Que darán y(t ) aplicando la transformada inversa de Laplace
Cuya representación gráfica aparece en la Figura 3.3. Los sistemas con este tipo de
s
respuesta con 1 > 0 se denominan crítico amortiguados. c) raíces complejas
Con K 2 y K 3 complejos conjugados.
Agrupando las dos últimas fracciones
Siendo
. Aplicando la transformada inversa de Laplace
Cuya representación gráfica aparece en la Figura 3.4. Los sistemas con este tipo de respuesta con a > 0 se denominan subamortiguados. La respuesta escalón para sistemas de segundo orden admite otra representación en función de los parámetros frecuencia natural no amortiguada ωn y la relación de amortiguamiento ξ , especificando el sistema por
De tal forma que se distinguen tres casos: • 0 < ξ < 1, sistema subamortiguado • ξ = 1, sistema críticamente amortiguado • ξ > 1, sistema sobreamortiguado
3.3.- sistemas de orden superior Los sistemas de orden superior a dos se pueden expresar como suma de sistemas de primer y segundo orden, en general. La respuesta de este tipo de sistemas constará en términos generales de una suma de términos, uno por cada raíz característica, tal que
•
si la raíz es real simple producirá una respuesta de salida exponencial. • si la raíz es real repetida dará una respuesta del tipo potencia del tiempo multiplicando a una exponencial. • si las raíces son complejas se producirá una respuesta sinusoidal amortiguada por una exponencial. En la Figura 3.6 se muestran diferentes respuestas escalón pa ra sistemas de orden superior a dos.
Ejemplo:
Aplicando la regla de Ruffini para hallar las raíces de D( s)
La respuesta del sistema de 4º orden ante escalón será
aplicando la transformada inversa se obtiene y(t ) como
