Materia: Mecánica de Fluidos
Catedrático: Cruz Rodríguez Heber Abel
TRABAJO: Unidad III: Hidrodinámica
Presenta: Colorado Sánchez Omar
Orizaba, Ver. 02 de junio de 2014
Unidad III: Hidrodinámica Hidrodinám ica
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CONTENIDO Capitulo
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Introducción …...…...…………………………………………………..3
3.1. Definiciones……………………………………………………….4 3.1.1 Trayectoria en línea de corriente. 3.1.2. Flujo permanente. 3.1.3 Flujo uniforme.
3.2. Volumen de control ……………………………………………...4
3.3. Ecuación de continuidad ……………………………………….6
3.4. Ecuación de cantidad de movimiento ……………………….7 3.4.1 Ecuación de cantidad de movimiento para un volumen de control. 3.4.2. Ecuación de cantidad de movimiento para un volumen con aceleración rectilínea (alabes con aceleración).
3.5. Ecuación de Bernoulli …………………………………………10
3.6. Teorema de Torricelli …………………………………………. .12
Unidad III: Hidrodinámica
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INTRODUCCION La hidrodinámica estudia la dinámica de fluidos incompresibles. Por extensión, dinámica de fluidos. Etimológicamente, la hidrodinámica es la dinámica del agua, puesto que el prefijo griego "hidro-" significa "agua". Aun así, también incluye el estudio de la dinámica de otros fluidos. Para ello se consideran entre otras cosas la velocidad, presión, flujo y gasto del fluido. Para el estudio de la hidrodinámica normalmente se consideran tres aproximaciones importantes: Que el fluido es un líquido incompresible, es decir, que su densidad no varía con el cambio de presión, a diferencia de lo que ocurre con los gases. Se considera despreciable la pérdida de energía por la viscosidad, ya que se supone que un líquido es óptimo para fluir y esta pérdida es mucho menor comparándola con la inercia de su movimiento. Se supone que el flujo de los líquidos es en régimen estable o estacionario, es decir, que la velocidad del líquido en un punto es independiente del tiempo. La hidrodinámica tiene numerosas aplicaciones industriales, como diseño de canales, construcción de puertos y presas, fabricación de barcos, turbinas, etc. El gasto o caudal es una de las magnitudes principales en el estudio de la hidrodinámica. Se define como el volumen de líquido ΔV que fluye por un idad de tiempo Δt. Sus unidades en el Sistema Internacional son los m3/s y su expresión matemática:
Esta fórmula nos permite saber la cantidad de líquido que pasa por un conducto en cierto intervalo de tiempo o determinar el tiempo que tardará en pasar cierta cantidad de líquido. El principio de Bernoulli es una consecuencia de la conservación de la energía en los líquidos en movimiento. Establece que en un líquido incompresible y no viscoso, la suma de la presión hidrostática, la energía cinética por unidad de volumen y la energía potencial gravitatoria por unidad de volumen, es constante a lo largo de todo el circuito. Es decir, que dicha magnitud toma el mismo valor en cualquier par de puntos del circuito. Su expresión matemática es:
Donde P es la presión hidrostática, ρ la densidad, g la aceleración de la gravedad, h la altura del punto y v la velocidad del fluido en ese punto. Los subíndices 1 y 2 se refieren a los dos puntos del circuito. Unidad III: Hidrodinámica
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3.1. Definiciones. 3.1.1 Trayectoria en línea de corriente.
Las líneas de corriente son curvas imaginarias dibujadas a través de un fluido en movimiento y que indican la dirección de este en los diversos puntos del flujo. La tangente en un punto de la curva representa la dirección instantánea de la velocidad del fluido, en dicho punto. Por consiguiente, no existe componente de la velocidad en dirección perpendicular a la línea de corriente, y debido a ello no existe, en ninguno de sus puntos flujo perpendicular a ella. 3.1.2. Flujo permanente.
El flujo permanente tiene lugar, cuando en un punto cualquiera, la velocidad de las sucesivas partículas que ocupan ese punto, en los sucesivos instantes es la misma. Por lo tanto, la velocidad es constante respecto del tiempo, pero puede variar de un punto a otro. 3.1.3 Flujo uniforme.
El flujo uniforme tiene lugar cuando el módulo, la dirección y el sentido de la velocidad no varían de un punto a otro del fluido.
3.2. Volumen de control. Para describir el comportamiento del flujo en una región se puede adoptar el concepto de volumen de control (VC) formado por el espacio delimitado por una superficie de control (SC) cerrada, real o virtualmente, donde una de sus características, en general, será la permanencia de la forma y el tamaño del volumen así delimitado. La permanencia del espacio ocupado por el volumen de control hace que las partículas que lo ocupan no sean siempre las mismas. La cantidad de partículas también será variable cuando el flujo no es permanente. Este método facilita la descripción del comportamiento del flujo y del fluido. En el volumen de control las actividades de todos y cada uno de los volúmenes en el espacio satisfacen los principios básicos y los principios secundarios pertinentes.
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Análisis de Volumen de Control Tres técnicas de análisis de flujo „ Análisis integral o de volumen de control „ Análisis diferencial „ Análisis experimental o dimensional „ Sistema cerrado : cantidad de masa de identidad fija „ Volumen de control: región del espacio Específica
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3.3. Ecuación de continuidad. Se considera un flujo a través de un tubo de corriente, siendo las secciones 1 y 2 normales a las líneas de corriente que forman el tubo. Como no hay paso de fluido a través de las paredes de un tubo de corriente, el caudal en masa que atraviesa la sección 1, debe ser igual al que atraviesa la sección 2, en igual tiempo. Si la sección recta del tubo es suficientemente pequeña, la velocidad en el punto medio de una sección cualquiera puede considerarse como la velocidad media en dicha sección.
p = densidad del fluido
Masa de fluido que
masa de fluido que
Atraviesa la sección 1
p(
A 1 . v ) 1 . d t
atraviesa la sección 2
=p(
A 2 . v ) 2 . d t
A 1 . v 1 = A 2 . v 2 Q = A 1 . v 1 = A 2 . v 2=
constante
El producto A.v se denomina caudal o gasto Q y es constante a través de un tubo de corriente. De ello se deduce, que cuando disminuye la sección de un tubo de corriente, la velocidad aumenta. “La ecuación de continuidad es una consecuencia del principio d e conservación de la masa”.
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3.4. Ecuación de cantidad de movimiento. 3.4.1 Ecuación de cantidad de movimiento para un volumen de control.
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3.4.2. Ecuación de cantidad de movimiento para un volumen con aceleración rectilínea (alabes con aceleración). Conservación de la cantidad de movimiento
También conocida como segunda Ley de Newton. Partiendo de la ecuación de la conservación de la cantidad de movimiento para un sistema:
Para un volumen de control con aceleración rectilínea
Al igual que cuando el volumen de control se mueve con velocidad constante, el primer punto a considerar es que todas las velocidades deben medirse respecto al volumen de control, es decir velocidades relativas. Vamos a partir de la ecuación de cantidad de movimiento para un sistema:
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Podemos expresar la aceleración a
Donde: a: Aceleración rectilínea del sistema respecto al marco de referencia inercial axyz : Aceleración rectilínea del sistema respecto a un marco de referencia no inercial. arf : Aceleración rectilínea del sistema de referencia no inercial xyz respecto al sistema inercial. Por lo cual se puede escribir la ecuación de cantidad de movimiento como:
O lo que es lo mismo:
Luego la expresión para la conservación de la cantidad de movimiento para un volumen de control con aceleración rectilínea será:
Y las fuerzas volumétricas pueden expresarse como:
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Obsérvese que la ecuación encontrada corresponde a una ecuación vectorial, y por lo tanto puede escribirse mediante las ecuaciones escalares de sus componentes.
3.5. Ecuación de Bernoulli. Ecuación de Bernoulli En un tubo de corriente, el trabajo específico (por unidad de masa) de las fuerzas de presión se invierte en incrementar la energía mecánica específica del fluido. Sobre un dm del tubo de corriente actúan las densidades de fuerza de gravedad y de presión.
Ahora, la resultante de las densidades de fuerza no es cero, ya que la velocidad de dm varía a lo largo del tubo de corriente. Un diferencial de masa de un punto del tubo de corriente tiene una aceleración dv / dt . La ecuación se escribe:
Denominada Ecuación de Euler. Multiplicando la ecuación por dy , y sustituyendo el vector unitario j por su expresión en la base intrínseca j = cos ϕ τ + sen ϕ n queda, para la componente en la dirección τ
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Operando la ecuación de arriba se obtiene:
La expresión entre paréntesis es constante, lo que constituye la ecuación de Bernoulli
A lo largo de un tubo de corriente la suma de la presión, mas las presiones debidas a la altura y a la velocidad, se mantiene constante. Dividiendo por la densidad ρ la ecuación cambia a:
El término
⇒ p/p
El término
⇒ g y es la energía potencial específica
El término
⇒ ½ v2 es la energía cinética específica
es el trabajo específico de las fuerzas de presión
Luego, el trabajo por unidad de masa de las fuerzas de presión entre dos puntos de tubos de corriente es invierte en incrementar la energía mecánica por unidad de masa del fluido. En la práctica la ecuación se aplica al movimiento de un líquido por una tubería que es equivalente a una vena líquida. Ejemplo. En el esquema de la figura adjunta, las secciones de la tubería son de 40 y 10 cm2 respectivamente. Si la velocidad del agua en la sección ancha es de 0,1 m/s, calcular el desnivel h del mercurio en el manómetro.
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3.6. Teorema de Torricelli. El teorema de Torricelli es una aplicación del principio de Bernoulli y estudia el flujo de un líquido contenido en un recipiente, a través de un pequeño orificio, bajo la acción de la gravedad. A partir del teorema de Torricelli se puede calcular el caudal de salida de un líquido por un orificio. "La velocidad de un líquido en una vasija abierta, por un orificio, es la que tendría un cuerpo cualquiera, cayendo libremente en el vacío desde el nivel del líquido hasta el centro de gravedad del orificio". Consideremos un líquido que sale por un orificio practicado en un depósito, a una profundidad h por debajo de la superficie del líquido en el depósito.
Tomemos un punto 1 en la superficie y un punto 2 en el orificio de salida. La presión en ambos puntos es la atmosférica puesto que ambos están en contacto con la atmosfera.
Tenemos:
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Aplicando la ecuación de continuidad para los puntos 1 y 2 obtenemos:
si
>>
Reemplazando en la ecuación de Bernoulli
√ Obsérvese que la velocidad de salida es la misma que adquiriría un cuerpo que cayese libremente, partiendo del reposo, desde una altura h.
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