UNIDAD 2.- FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA VARIABLES Y FUNCIONES Si z representa a cualquier elemento de un conjunto de números complejos, entonces se le llama variable compleja. Si a cada valor que puede tomar la variable compleja z le corresponde a uno o más valores de una variable compleja w, decimos que w es una función de z, es decir: w = f(z) ó w = G(z), etc. Así, a la variable z se le llama variable independiente, mientras que w es llamada la variable dependiente. Funciones unívocas y multívocas Si a cada valor de z corresponde sólo un valor de w, decimos que w es una función unívoca de z o que f(z) es unívoca. Si más de un valor de w corresponde a cada valor de z, decimos que w es una función multívoca o multiforme de z. Ejemplos: •
Si w = z2, entonces para cada valor de z existe sólo un valor de w, por lo tanto: w = f(z) = z2, es una función unívoca.
•
Si w = z1/2, entonces para cada valor de z existen dos valores de w, por lo tanto: w = f(z) = z1/2, es una función multivaluada.
Funciones inversas Si w = f(z), entonces podemos considerar z como una función de w, simbólicamente z = g(w) = f -1(w), son funciones inversas (una de la otra). Transformaciones Si w = u + iv (donde u y v son reales) es una función unívoca de z = x+ iy (donde x y y son reales), podemos escribir u + iv = f(x + iy). Igualando partes real e imaginaria, esto es equivalente a: u = u(x,y), v= v(x,y)
(1)
Entonces al punto (x,y) en el plano z, tal como P en la figura 1-(a), le corresponde el punto (u,v) en el plano w digamos P´ en la figura 1-(b). El conjunto de ecuaciones (1) (o la equivalente w = f(z) es llamada una transformación. Decimos que el punto P se aplica o transforma en el punto P´ por medio de la transformación y llamamos P´ la imagen de P.
16
Figura 1 EJERCICIOS I. Sea w = f(z) = z2. Hallar los valores de w y representarlos gráficamente para los siguientes datos: a)
z = -2 + i
b)
z = 1 – 3i
II. Mostrar que la recta que une los puntos P(1,2) y Q(2,-1) en el plano z se aplica por w = f(z) = z2 en una curva que une P´Q´ y determinar la ecuación de esta curva. III. Sea w = f(z) = z(2-z). Hallar los valores de w y graficarlos en los planos z y w, utilizando los siguientes datos a)
IV. Si
w = f (z ) = a)
V. Si w = f (z ) =
z=1+i
b)
z = 2 – 2i
b)
f( 1 – i )
1+ z , resolver lo siguiente: 1− z f( i )
2z + 1 2 , z ≠ , resolver lo siguiente: 3z − 2 3
a)
f( 1/z )
b)
f { f( z ) }
17
z+2 1 resolver lo siguiente: , z≠ 2z − 1 2 a) Hallar los valores de z tales que:
VI. Si w = f (z ) =
•
f(z) = 0
•
f(z) = i
•
f(z) = 2 – 3i
b) Mostrar que z es una función unívoca de w. c) Hallar los valores de z tales que f(z) = z y explicar geográficamente por qué llamamos a tales valores los puntos fijos o invariantes de la transformación. VII. Separar cada una de las siguientes funciones en las partes real e imaginaria, es decir, hallar u(x,y) y v(x,y) tales que f(z) = u + iv. a) f(z) = 2z2 – 3iz b) f(z) =z + 1/z c) f(z) = (1 - z)/(1+z) d) f(z) = z1/2 VIII. Sea w3 = z y supongamos que para z = 1 tenemos w = 1. a) Si comenzamos en z = 1 en el plano z y damos una vuelta completa en el sentido positivo alrededor del origen, encontrar el valor de w que se obtiene al retornar a z = 1 en la primera vuelta. b) ¿Cuáles son los valores de w que retornan a z = 1, después de 2, 3, ... vueltas completas alrededor del origen? IX. Hallar para las siguientes funciones la parte real e imaginaria: a) w = z 3 − iz b) w = z − iz 2 c) w = 1 / z d) w =
iz + 1 1+ z
X. Hallar las imágenes de los puntos dados para las aplicaciones señaladas: a) z 0 = −i , w = z 2 b) z 0 = 1 − i , w = (z − i )2 FUNCIONES ELEMENTALES 1. Funciones polinomiales.- Son las definidas por: w = a 0 z n + a1 z n −1 + ... + a n−1 z + a n = P(z ) donde
n es un número entero positivo
llamado el grado del polinomio P(z). La transformación w = az + b se llama una transformación lineal.
18
2. Funciones algebraicas racionales.- Son las definidas por: P(z ) (1) donde P(z) y Q(z) son polinomios. A la ecuación 1 se le suele llamar w= Q(z ) también transformación racional.
3. Funciones exponenciales.- Son las definidas por: w = e z = e x +iy = e x (cos y + i sin y ) . La función exponencial ez se define como la suma de la serie potencial convergente absoluta en todo el plano complejo. z2 zn ez = 1+ z + + ... + + ... 2! n! La función exponencial ez tiene las propiedades siguientes: • e z1 + z2 = e z1 e z2 , donde z1 y z2 son las magnitudes complejas cualesquiera. •
e z + 2πki = e z ( k = 0, ±1, ±2,... ), es decir, ez es la función periódica con el periodo 2πi.
¾ La función general potencial w = za, donde a = α + iβ es el número complejo cualquiera, se determina por la igualdad: za = ea lnz. Esta función, en general, es una función multiforme. ¾ La función general exponencial w = az, donde ( a ≠ 0 es el número complejo cualquiera ) se determina por la igualdad: az = ez lna.
4. Funciones trigonométricas (ó circulares: sen z, cos z, etc).- En términos de las funciones exponenciales como sigue: 1 2i e iz − e −iz sin z = csc z = = iz 2i sin z e − e −iz cos z =
e iz + e −iz 2
sec z =
1 2 = iz cos z e + e −iz
tan z =
sin z e iz − e −iz = iz cos z i e + e −iz
cot z =
cos z i e iz + e −iz = iz sin z e − e −iz
(
)
(
.
)
Las propiedades de las funciones trigonométricas reales son también válidas para las funciones trigonométricas complejas. Por ejemplo: sin 2 z + cos 2 z = 1; 1 + tan 2 z = sec 2 z; 1 + cot 2 z = csc 2 z; sin(− z ) = − sin z; cos(− z ) = cos z; sin(z1 ± z 2 ) = sin z1 cos z 2 ± cos z1 sin z 2 tan(z1 ± z 2 ) =
tan(− z ) = − tan z cos(z1 ± z 2 ) = cos z1 cos z 2 m sin z1 sin z 2
tan z1 ± tan z 2 1 m tan z1 tan z 2
19
5. Funciones hiperbólicas.- Se determinan por las igualdades: e z − e−z 2 sinh z = csc h z = z 2 e − e−z
e z + e−z cosh z = 2 tanh z =
sech z =
e z − e −z
coth z =
e z + e−z
Y las propiedades siguientes: cosh 2 z − sinh 2 z = 1;
2 e + e−z z
.
e z + e −z e z − e−z
1 − tanh 2 z = sec h 2 z;
sinh (− z ) = − sinh z; cosh(− z ) = cosh z; sinh (z1 ± z 2 ) = sinh z1 cosh z 2 ± cosh z1 sinh z 2
tanh(− z ) = − tanh z
cosh(z1 ± z 2 ) = cosh z1 cosh z 2 ± sinh z1 sinh z 2 tanh(z1 ± z 2 ) =
tanh z1 ± tanh z 2 1 ± tanh z1 tanh z 2
Las funciones hiperbólicas y trigonométricas se unen entre sí por las relaciones siguientes: sin z = −i sinh iz; sinh z = −i sin iz;
cos z = cosh iz; tan z = −i tanh iz cot z = i coth iz
cosh z = cos iz; tanh z = −i tan iz coth z = i cot iz
6. Funciones trigonométricas inversas.- Si z = sen w, entonces z = sen-1 w se llama el seno inverso de z ó arco seno de z. 1 1 ⎛ i + z 2 − 1 ⎞⎟ sin −1 z = ln⎛⎜ iz + 1 − z 2 ⎞⎟ csc −1 z = ln⎜ ⎟ ⎠ i ⎝ i ⎜ z ⎝ ⎠ 1 ⎛ 1 ⎛⎜ i + 1 − z 2 ⎞⎟ 2 −1 −1 ⎞ . cos z = ln⎜ z + z − 1 ⎟ sec z = ln ⎟ ⎠ i ⎝ i ⎜ z ⎝ ⎠ 1 ⎛ 1 + iz ⎞ 1 ⎛ z+i⎞ tan −1 z = ln⎜ cot −1 z = ln⎜ ⎟ ⎟ 2i ⎝ 1 − iz ⎠ 2i ⎝ z − i ⎠ Nota: En todos los casos (al igual que en las hiperbólicas inversas) se omite una constante aditiva: 2kπi, k = 0, ±1, ±2,... en el logaritmo.
20
7. Funciones hiperbólicas inversas.⎛1+ z2 +1 ⎞ ⎟ csc h −1 z = ln⎜ ⎜ ⎟ z ⎝ ⎠
sinh −1 z = ln⎛⎜ z + z 2 + 1 ⎞⎟ ⎝ ⎠
⎛1+ 1− z2 sech −1 z = ln⎜ ⎜ z ⎝ 1 ⎛ z +1⎞ coth −1 z = ln⎜ ⎟ 2 ⎝ z −1⎠
cosh −1 z = ln⎛⎜ z + z 2 − 1 ⎞⎟ ⎝ ⎠ tanh −1 z =
1 ⎛1+ z ⎞ ln⎜ ⎟ 2 ⎝1− z ⎠
⎞ ⎟. ⎟ ⎠
8. Funciones logarítmicas.Donde si z ≠ 0, la función logarítmica es la inversa a la función exponencial: ln z = ln z + i (Arg z + 2kπ ), (k = 0,±1,±2,...) . Las relaciones siguientes son válidas: • ln ( z1 • z 2 ) = ln z1 + ln z 2 •
⎛z ⎞ ln⎜⎜ 1 ⎟⎟ = ln z1 − ln z 2 ⎝ z2 ⎠
Ejemplos: •
Separar la parte real e imaginaria de la función siguiente: w = sen z.
Solución:
e jz − e − jz e j ( x + jy ) − e − j ( x + jy ) e − y e jx − e y e − jx e − y (cos x + j sin x ) − e y (cos x − j sin x ) = = = 2j 2j 2j 2j
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
=
e−y − e y e−y + e y cos x e − y − e y + j sin x e − y + e y = cos x + j sin x 2j 2j 2j
=
cos x e − y − e y e−y + e y + sin x = − j cos x(− sinh y ) + sin x(cosh y ) 2 2 j
= sin x cosh y + j cos x sinh y;
)
u = sin x cosh y , v = cos x sinh y
21
•
Hallar el módulo y el valor principal del argumento de la función dada en el punto indicado: w = cos z; z1 = π + i ln2 Solución: ) +e ( e − ln 2+ jπ + eln 2− jπ w = cos ( π + j ln 2 ) = = 2 2 de donde si ln 2 = ln 2 + j ( Arg 2 + 2kπ ) = ln 2 + j 2kπ ( k = 0, ±1, ±2, ... ) tenemos :
e
w= = =
e
− ( ln 2 + j 2 kπ ) + jπ
ln 2 + j 2 kπ ) − jπ
− j π + j ln 2
=
e− ln 2− j 2 kπ + jπ + eln 2+ j 2 kπ − jπ 2
( ) +e e− ln 2e ( ) + eln 2 e ( ) = 2 2 − ln 2 e ( cos π (1 − 2k ) + j sin π (1 − 2k ) ) + eln 2 ( cos π ( 2k − 1) + j sin π ( 2k − 1) )
e
− ln 2 + jπ (1− 2 k )
+ e( 2
j ( π + j ln 2 )
ln 2 + jπ 2 k −1
jπ 1− 2 k
jπ 2 k −1
2 2 ( cos π (1 − 2k ) + j sin π (1 − 2k ) ) + 2 ( cos π ( 2k − 1) + j sin π ( 2k − 1) ) −1
=
2
1 ( cos π (1 − 2k ) + j sin π (1 − 2k ) ) + cos π ( 2k − 1) + j sin π ( 2k − 1) 4 ⎛1 ⎞ ⎛1 ⎞ = ⎜ cos π (1 − 2k ) + cos π ( 2k − 1) ⎟ + j ⎜ sin π (1 − 2k ) + sin π ( 2k − 1) ⎟ ⎝4 ⎠ ⎝4 ⎠ =
donde tenemos que : π (1 − 2k ) = − π ( 2k − 1)
y sustituyendo :
⎛1 ⎞ ⎛1 ⎞ = ⎜ cos ( − π ( 2k − 1) ) + cos π ( 2k − 1) ⎟ + j ⎜ sin ( − π ( 2k − 1) ) + sin π ( 2k − 1) ⎟ ⎝4 ⎠ ⎝4 ⎠ que para simplificar sabemos que : cos θ = cos − θ y sin θ = sin − θ ⎛1 ⎞ = ⎜ cos π ( 2k − 1) + cos π ( 2k − 1) ⎟ + ⎝4 ⎠ ⎛1 ⎞ = ⎜ cos π ( 2k − 1) + cos π ( 2k − 1) ⎟ + ⎝4 ⎠ 5 3 = cos π ( 2k − 1) + j sin π ( 2k − 1) 4 4 podemos ver que π ( 2k − 1) define en el
⎛1 ⎞ j ⎜ sin ( − π ( 2k − 1) ) + sin π ( 2k − 1) ⎟ ⎝4 ⎠ ⎛ 1 ⎞ j ⎜ − sin π ( 2k − 1) + sin π ( 2k − 1) ⎟ ⎝ 4 ⎠
puntos que están sobre el eje real
sentido negativo
5 3 5 = cos π ( 2k − 1) + j sin π ( 2k − 1) = cos π ( 2k − 1) 4 4 4 Continúa en la siguiente página
22
donde
finalmente tenemos que : 5 w = cos π ( 2k − 1) , y como cos π ( 2k − 1) = −1 4 5 ⎧ 5 5 ⎪w = 4 tenemos : w = − , ∴ de w = − = ⎨ 4 4 ⎪ ⎩∠ w = π ( 2k- 1) •
Hallar el logaritmo del siguiente número: -i Solución: Si ln z = ln z + i ( Arg (z ) + 2kπ ) entonces ln − i = ln − i + i ( Arg (− i ) + 2kπ ) = ln − i + i ( Arg (− i ) + 2kπ ) ⎛ π ⎞ ⎛ π ⎞ = ln 1 + i⎜ − + 2kπ ⎟ = 0 + i⎜ − + 2kπ ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 1⎞ ⎛ ∴ ln − i = iπ⎜ 2 k − ⎟ donde (k = 0,±1,±2,...) 2⎠ ⎝
•
(− 1)
Hallar:
2
Solución:
(− 1)
•
2
2 [ln −1 +i ( Arg (−1)+ 2 kπ )] =e = e 2 [ln1+i (π + 2 kπ )] = e 2 [i (π + 2 kπ )] = e 2 [iπ (1+ 2 k )] = e i 2 π (1+ 2 k ) = cos 2 π(1 + 2 k ) + jsin 2 π(1 + 2 k ) donde
= e ln (−1)
2
=e
2 ln (−1)
(k = 0,±1,±2,...)
Resolver la ecuación: ez + i=0
Solución: Si e z + i = 0 entonces despejando z :
( )
e z = −i, ln e z = ln(− i ),
z = ln(− i ),
⎛-π ⎞ + 2kπ ⎟, z = ln 1 + i⎜ ⎝ 2 ⎠ 1⎞ ⎛ z = iπ⎜ 2 k − ⎟ donde (k = 0,±1,±2,...) 2⎠ ⎝
z = ln − i + i ( Arg (− i ) + 2kπ ),
⎛ 1 ⎞ z = iπ⎜ − + 2kπ ⎟, ⎝ 2 ⎠
23
EJERCICIOS I. Separar la parte real e imaginaria de las funciones siguientes: • • •
w = z + z2 w = z-1 w = e-z
w = ez w = cosh ( z – i )
•
w = 2z
w = senh z w = tan z
• •
2
• •
2
II. En los problemas siguientes, hallar el valor del módulo y el valor principal del argumento de las funciones dadas en los puntos indicados: a) cos z • •
c) cosh2 z
b) senh z
z1 = π/2 + i ln2 z2 = π + i ln2
•
z1 = 1 + i π/2
•
z1 = i ln3
III. Hallar los logaritmos de los siguientes números: • •
e i
• •
–1 – i 3 – 2i
IV. Resolver las siguientes operaciones: • • •
ii i1/i 1i
1+i
•
⎛ 2 i ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 2 + 2⎟ ⎝ ⎠
•
⎛1+ i ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠
2i
V. Encontrar el módulo y el argumento de los siguientes números complejos: •
10 i
•
32 - i
VI. Resolver las siguientes ecuaciones: • • •
sen z = 3 e-z + 1=0 4 cos z + 5=0
• • •
sh iz = -i sen z = -π e2z + 2ez - 3=0
• • •
ch z = i ln( z + i )=0 ln( i – z ) = 1
24
CONDICIÓN SUFICIENTE DE LA CONVERGENCIA DE SUCESIÓN DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS Sea z n = ρ n e iϕ n , donde ρ n = z n , ϕ n = arg z n . Con e > 0, Si
lim ρ n = ρ0 ,
n →∞
lim ϕ n = ϕ 0 , entonces
n →∞
lim z n = ρ0 e jϕ 0 .
n →∞
La función f(z) prefijada en el dominio D se llama continua en el punto z 0 ∈ D , si: lim f (z ) = f (z 0 ) z → z0
Ejemplos: π
•
⎛ 1⎞ i Encontrar el límite de la siguiente sucesión: lim ⎜1 + ⎟e n . n →∞ ⎝ n⎠ Solución: π ⎡ π π ⎞⎤ ⎡ ⎛ 1 ⎞ ⎛ π π ⎞⎤ ⎛ 1⎞ i ⎛ 1 ⎞⎛ lim ⎜1 + ⎟ e n = ⎢ lim ⎜1 + ⎟⎜ cos + j sin ⎟ ⎥ = ⎢ lim ⎜ 1 + ⎟ ⎜ cos + j sin ⎟ ⎥ n →∞ n n ⎠ ⎦ ⎣ n→∞ ⎝ n ⎠ ⎝ n n ⎠⎦ ⎝ n⎠ ⎣ n→∞ ⎝ n ⎠⎝
(
)
i lim ϕn
de donde tenemos si lim zn = lim ρn e n→∞ n →∞
n →∞
π
⎡ ⎛ 1 ⎞ ⎤ i nlim →∞ n = (1 + 0 ) ei 0 = 1 ⎜1 + ⎟ ⎥ e ⎢ lim n →∞ ⎣ ⎝ n ⎠⎦ •
entonces
π ⎛ 1 ⎞ in ∴ lim ⎜ 1 + ⎟ e = 1 n →∞ ⎝ n⎠
2z − 1 . z →1 z + 2
Calcular el siguiente límite: lim
Solución: 2 z − 1 2(1) − 1 2 − 1 1 2 z− 1 1 lim = = = ∴ lim = z →1 z + 2 z →1 z + 2 1+ 2 1+ 2 3 3
•
Calcular el siguiente límite:
lim z .
z →3− j 4
Solución: lim z = 3 − j 4 = 9 + 16 = 25 = 5 ∴
z →3− j 4
lim z = 5
z →3− j 4
25
•
z 2 + 3iz − 2 . z →− i z+i
Calcular el siguiente límite: lim
Solución: A continuación se •
presentan varias opciones
para resolver el límite :
(z + 2i )(z + i ) = lim z + 2i = −i + 2i = i ∴ z 2 + 3iz − 2 = lim z →− i z →− i z →− i z+i z +i lim
2 z + 3i z 2 + 3iz − 2 • lim = lim == −2i + 3i = i ∴ z →− i z →− i z+i 1
z 2 + 3 iz − 2 =i z →− i z+ i lim
z 2 + 3 iz − 2 =i lim z →− i z+ i
EJERCICIOS I. Calcular los siguientes límites • • • •
sin z z →0 sinh iz lim iz 4 + 3 z 2 − 10i
lim
•
lim
z + z +1 z +1
•
lim (cos z )1 / z
z6 +1
•
⎛ sin z ⎞ lim ⎜ ⎟ z →0⎝ z ⎠
z → 2i
(
lim
z →eiπ / 4 2
lim z →i
1 − cos z
•
lim
z
)
2
4
II. Demostrar los siguientes límites: sin z 2 • lim = z →π / 2 z π
z →0 z →0
z2 1 − cos z sin z 2 2
z →0
1/ z 2
•
(
)
lim z 2 + 2 z = 2i − 1 z →i
26
CONTINUIDAD EN UNA REGIÓN Una función f(z) es llamada continua en una región si es continua en todos los puntos de la región.
f(z) es uniformemente continua en una región si para cualquier ε > 0 podemos encontrar δ > 0 tal que f (z1 ) − f (z 2 ) < ε cuando z1 − z 2 < δ donde z1 y z2 son dos puntos arbitrarios de la región.
Condiciones para la continuidad 1. f(z) está definida para todos los valores z = a 2. lim f (z ) exista z →a
3.
f (a ) = lim f (z ) z →a
Ejemplos: •
Demostrar que f(z) = z2 es continua en z = z0.
Solución: Para ello tenemos que verificar : •
lim f (z ) = f (z 0 )
z → z0
lim f (z ) = lim z 2 = z 0 2
z → z0
z → z0
f (z 0 ) = z 0 2
•
De donde observamos que se cumple :
lim f (z ) = f (z 0 )
z →z 0
∴ La función es continua Ejemplos: •
Demostrar que
⎧⎪ z 2 , z ≠ z 0 , donde z ≠ 0, es discontinua en z = z0. f (z ) = ⎨ ⎪⎩0, z = z0
Solución: Para ello tenemos que verificar : • •
Tenemos que f (z 0 ) = 0
lim f (z ) = f (z 0 )
z → z0
lim f (z ) = lim z 2 = z 0 2
z → z0
De donde observamos que :
z → z0
lim f (z ) ≠ f (z 0 )
z →z 0
∴ La función no es continua 27
EJERCICIOS I. Encontrar las discontinuidades de las siguientes funciones •
f (z ) =
•
f (z ) =
•
2z − 3 2
z + 2z + 2 3z 2 + 4
z 4 − 16 f (z ) = cot z
• •
f (z ) =
tanh z
z2 +1 1 f (z ) = − sec z z
z2 + 4 si z ≠ 2i, mientras f(2i) =3+4i, demostrar que lim f (z ) existe y z→i z − 2i determinar su valor.
II. Sea f (z ) =
•
¿Es f(z) continua en z = 2i ?
III. ¿Es la función f (z ) =
3z 4 − 2 z 3 + 8 z 2 − 2 z + 5 continua en z = i ? z −i
IV. ¿Es continua f (z ) =
z2 + 4 ? z − 2i
⎧z2 + 4 ⎪ , z ≠ 2i V. Determinar si f (z ) = ⎨ z − 2i es continua. ⎪4i , z = 2i ⎩ DIFERENCIACIÓN COMPLEJA Y LAS ECUACIONES DE CAUCHY RIEMANN La derivada está definida como
f ´(z ) = lim
∆z →0
f (z + ∆z ) − f (z ) ∆z
Funciones analíticas Si la derivada f´(z) existe en todo punto z de una región R, entonces función analítica en R.
f(z) es una
28
Ecuaciones de Cauchy - Riemann Una condición necesaria para que w = f(z) = u(x,y) + iv (x,y) sea analítica en una región R es que, en R, u y v satisfagan las ecuaciones de Cauchy – Riemann, y dichas derivadas sean continuas en R. ∂u ∂v ∂u ∂v = ; =− ∂x ∂y ∂y ∂x
Funciones armónicas Si las segundas derivadas parciales de u y v con respecto a x e y existen y son continuas en una región R, entonces ∂ 2u ∂x 2
+
∂ 2u ∂y 2
= 0;
∂ 2v ∂x 2
+
∂ 2v ∂y 2
=0
es así como satisfacen la ecuación de Laplace denotada por:
∂ 2Ψ ∂x 2
+
∇2
∂ 2Ψ ∂y 2
= 0 ó ∇ 2 Ψ = 0, donde ∇ 2 =
∂2 ∂x 2
+
∂2 ∂y 2
se le conoce como laplaciano
Ejemplos: •
Demostrar que
f ( z) =
1+ z es analítica. 1− z
Solución: Para ello debe cumplirse que f ´(z ) exista en todo (1 − z ) − (1 + z ) 1+ z Si f (z ) = entonces : f ´(z ) = 1− z (1 − z )2
de donde observamos que f ´(z ) no es continua en ∴ f (z ) no es analítica .
punto
z
de una región
z = 1,
29
R.
•
Demostrar que u = e − x (x sin y − y cos y ) es armónica. Solución: Para
ello
∂ 2u ∂x
2
+
∂ 2u ∂y
∂ 2u
•
∂x
debe cumplirse : siendo u = e − x x sin y − e − x y cos y
y
(
∂ − e − x x sin y + e − x sin y + e − x y cos y ∂x
=
2
= 0;
2
tenemos :
)
= e − x x sin y − e − x sin y − e − x sin y − e − x y cos y = e − x x sin y − 2e − x sin y − e − x y cos y ∂ 2u
•
∂y
(
∂ e − x x cos y − e − x cos y + e − x y sin y ∂x
=
2
)
= −e − x x sin y + e − x sin y + e − x sin y + e − x y cos y = −e − x x sin y + 2e − x sin y + e − x y cos y donde :
De 2
∂ u ∂x
2
+
∂ 2u ∂y
2
(
) (
∂2 u
∴ Como
•
)
= e − x x sin y − 2e − x sin y − e − x y cos y + − e − x x sin y + 2e − x sin y + e − x y cos y = 0
∂ x2
+
∂2 u ∂ y2
= 0 la función
es armónica
Mediante la definición, encontrar la derivada de w = f(z) = z3-2z en el punto z = -1. Solución: definición tenemos que : f (z + ∆z ) − f (z ) f ´(z ) = lim ∆z →0 ∆z
Por
f ´(z ) = lim
∆z →0
((z + ∆z )
3
de
) (
manera
− 2( z + ∆ z ) − z 3 − 2 z ∆z
que :
)
= lim
(z
3
= lim
(z
+ 3 z 2 ∆z + 3 z∆2 z + ∆3 z − 2 z − 2∆z − z 3 − 2 z ∆z
3
+ 3 z 2 ∆z + 3 z∆2 z + ∆3 z − 2 z − 2∆z − z 3 − 2 z ∆z
∆z →0
∆z →0
) (
)
) (
)
3 z 2 ∆z + 3 z∆2 z + ∆3 z − 2∆z = lim 3 z 2 + 3 z∆z + ∆2 z − 2 = 3 z 2 − 2 ∆z →0 ∆z →0 ∆z
= lim
∴ f´(z ) = 3 z 2 − 2
30
Puntos singulares Un punto en el cual singularidad de f(z). •
f(z)
deja de ser analítica es llamado un punto singular ó
Polos.- Indeterminaciones en el denominador.
Ejemplos: •
f (z ) =
•
f (z ) =
1
(z − 2)3
{tiene
un
3z − 2
(z − 1)2 (z + 1)(z − 4)
polo de
orden 3 en z = 2
⎧tiene un polo de orden 2 en z = 1 ⎨ ⎩ y polos simples en z = −1 y z = 4
EJERCICIOS I. Calcular las siguientes derivadas: •
cos 2 (2 z + j 3)
•
z tan −1 (ln z )
•
(z − j3)4 z +2
II. Obtener la derivada implícita de: • w 3 − 3z 3 w + 4 ln z = 0 III. Obtener del ejercicio anterior dz / dw IV. Mostrar que la función w = ez es analítica en todo el plano complejo V. Mostrar si la función w = z ⋅ z es analítica por lo menos en un punto VI. Utilizando las condiciones de Cauchy – Riemann, aclarar qué funciones de las siguientes son analíticas por lo menos en un punto y cuáles no lo son: •
w = z2 z
•
•
w = z ez
•
•
w= z z
•
2
w = ez w = z Re z w = sin 3 z − 1
31
VII. Hallar la función analítica w = f(z) a partir de su parte real conocida u(x,y) = 2excosy y con la condición complementaria f(0) = 2. VIII. Reconstruir la función analítica f(z) en el entorno del punto z0 a partir de la parte real u(x,y) o de la imaginaria v(x,y) y del valor f(z0 ) •
u=
x 2
x +y
2
,
f (π ) =
1 π
•
u = x 2 − y 2 + 2 x,
f (i ) = 2i − 1
IX. Mostrar que las siguientes funciones son armónicas •
u = x 2 + 2x − y 2
•
u = 2e x cos y
•
u=
x 2
x + y2
GRADIENTE, DIVERGENCIA, ROTOR Y LAPLACIANO (Operadores Diferenciales Complejos) •
Gradiente.- De una función real F (escalar) por: ∂F ∂F +i grad F = ∇F = ∂x ∂y Geométricamente, esto representa un vector normal a la curva. Similarmente, el gradiente de una función compleja A=P+iQ (vectorial) está definida por: ⎛ ∂ ⎛ ∂P ∂Q ⎞ ⎛ ∂P ∂Q ⎞ ∂ ⎞ − + grad A = ∇A = ⎜ + i ⎟ ( P + iQ ) = ⎜ ⎟+ i⎜ ⎟ ⎝ ∂x ∂y ⎠ ⎝ ∂x ∂y ⎠ ⎝ ∂y ∂x ⎠
•
Divergencia.- (Se basa en el producto escalar) Para una función compleja (vectorial) ⎧⎛ ∂ ⎫ ∂P ∂Q ∂ ⎞ + div A = ∇ o A = Re {∇A} = Re ⎨⎜ − i ⎟ ( P + iQ ) ⎬ = ⎩⎝ ∂x ∂y ⎠ ⎭ ∂x ∂y
Nota: Determina un campo escalar. Por ejemplo, si F es el campo de velocidad de un gas, entonces divF representa la tasa de expansión por unidad de volumen del gas.
32
•
Laplaciano.-
∂2
∂2 + ∂x 2 ∂y 2
Si A es analítica ∇ 2 A = 0, así armónicas. •
que ∇ 2 P = 0
y ∇ 2Q = 0 , es decir, P y Q son
Rotor (rotacional).- (Se basa en el producto vectorial) ⎧⎛ ∂ ⎫ ∂Q ∂P ∂ ⎞ rot A = ∇ × A = Im {∇A} = Im ⎨⎜ − i ⎟ ( P + iQ ) ⎬ = − ∂ x ∂ y ∂ x ∂y ⎝ ⎠ ⎩ ⎭ Nota: Para la rotación de un cuerpo rígido, el rotacional del campo vectorial de velocidad es un campo vectorial dirigido paralelo al eje de rotación con magnitud igual al doble de la rapidez angular.
Ejemplos: •
Sea C la curva en el plano xy definida por: 3x2y - 2y3 = 5x4y 2- 6x2. Encontrar un vector normal unitario a C en (1,-1). Solución: Si
F ( x, y ) = 3 x 2 y − 2 y 3 − 5 x 4 y 2 + 6 x 2 , se sabe que : grad F = ∇F =
y
(
) (
∂F ∂F +i = 6 xy − 20 x3 y 2 + 12 x + i 3 x 2 − 6 y 2 − 10 x 4 y ∂x ∂y
para encontrar el vector
(
normal en el
) (
punto
(1, −1) :
∇F = 6 (1)( −1) − 20 (1) ( −1) + 12 (1) + i 3 (1) − 6 ( −1) − 10 (1) 3
2
2
2
4
( −1)
)
)
= ( −6 − 20 + 12 ) + i ( 3 − 6 + 10 ) = −14 + i 7 Para obtener el vector ∇F −14 + i 7 = = ∇F −14 + i 7
normal unitario a C en (1, −1) tenemos :
−14 + i 7
( −14 )2 + ( 7 )2
=
−14 + i 7
245
=
−14 + i 7
5 ( 49 )
=
7 ( −2 + i ) 7 5
=
-2 + i 5
33
•
Si A(x,y) = 2xy - ix2y3, encontrar: a) gradA, b) divA, c) rotA y d) laplaciano de A. Solución: Si
A ( x, y ) = 2 xy − ix 2 y 3 , tenemos :
(
) (
⎛ ∂P ∂Q ⎞ ⎛ ∂P ∂Q ⎞ 2 2 3 a ) grad A = ∇A = ⎜ − + ⎟+i⎜ ⎟ = 2 y+ 3 x y + i 2 x- 2 xy x y y x ∂ ∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∂P ∂Q b ) div A = ∇ o A = + = 2 y − 3 x2y 2 ∂x ∂y ∂Q ∂P c ) rot A = ∇ × A = − = -2 xy 3 - 2 x ∂x ∂y 2
d) ∇ A =
∂2 A ∂x 2
+
∂2 A ∂y 2
=
(
∂ 2 y − i 2 xy 3 ∂x
)
) + ∂ ( 2 x − i 3 x 2 y 2 ) = −i 2 y 3 − i 6 x 2 y = - i 2 y 3 + 3 x 2 y ( ) ∂y
EJERCICIOS I. Si F = x2y - xy2, encontrar: a) ∇F Resultado: a )
y b) ∇ 2 F
( 2 xy − y 2 ) + i ( x2 − 2 xy ) ,
b) 2 y − 2x
II. Sea B = 3 z 2 + 4 z . Encontrar: a) grad B , b) div B , c) rot B Resultado: a ) 8, b ) 12 x, c ) 12 y , d ) 0
y d) ∇ 2 B
III. Sea C la curva en el plano xy definida por x2 – xy + y2 = 7. a) Encontrar un vector unitario normal a C en el punto (-1,2) −4 + j 5 Resultado: 41 b) Encontrar un vector unitario normal a C en cualquier punto ( 2x − y ) + i ( 2 y − x ) Resultado: 5 x 2 − 8 xy + 5 y 2 IV. Encontrar una ecuación para la recta normal a la curva x2y = 2 xy + 6 en el punto (3,2). x = 8m + 3 Resultado: y = 3m + 2
34