Universidad Abierta y a Distancia de México Unidad 2: Actividad 2: Límites de funciones
Alumno: Facilitador:
Puebla, Pue., México
Octubre, 2014
Cálculo diferencial Unidad 2. Límites y continuidad Actividad 2. Límites de funciones
Resuelve los siguientes los siguientes ejercicios:
Instrucciones:
lim ( 2 x3 − 3 x 2 − 4 x + 2 ) x →−
3 2
1. Resolver
. 3
2 x
(¿−3 x − 4 x + 2 )=¿ lim ¿ 2
x →
3 2
( ( ) ( ) ( ) ) ( ( ) ( ) ) 3
−3
2
−3
2
−27
2
−3
−4
2
−9
−3
8
2
−3
+
4
2
12 +2 2
+ 2 =¿
=¿
( − − + + )=¿ − ( + )=¿ − − − = = ( ) 27
27
4
54
2
8
4
27
8
6
4
16
27
2
11
2
2
Por lo que: 2 x
3
(¿−3 x − 4 x +2 )= −11 2
2
lim x→
lim x →3
¿
3 2
2 x 2 − 3x − 9 x
2
−
9
2. Resolver En este caso, como lim
lim x→ 3
x → 3
2
haría que la expresión
x −9 =0
lim ( 2 x + 3 ) ( x −3 ) lim ( 2 x + 3) − 3 x − 9 x → 3 = = x →3 =¿ 2 x + 3 ( x −3 ) ( x +3 ) x −9
2 x
2
2 x
2
x→ 3
.
− 3 x − 9 3 = 2 2 x −9
por lo que procedemos a actori!ar:
(2 (3 )+ 3 ) 9 3 = = ( 3 )+ 3 6 2
. Por lo que:
Cálculo diferencial Unidad 2. Límites y continuidad 3 − 7 x + 6 x 2
−
lim x →
3 − 5 x + 2 x 2
3 2
". Resolver
. 3 2 hace que el denominador sea $, el límite quedaría indeterminado, por lo que
#omo el valor de
procedemos a actori!ar la expresión: 2 3−7 x + 6 x − lim =¿ 2 3 3 −5 x + 2 x x → 2
lim
%os queda:
x →
3
( 2 x −3 ) ( 3 x + 1) ( 2 x − 3 ) ( x −1 )
2
lim
#on lo que la expresión se reduce a:
3(
Resolviendo:
.
3 2
)+ 1
3
9
=2 3
( )− 1 2
2
x →
3
( 3 x + 1 ) ( x −1 )
2
11
+1 = −1
2
−1
= 22 =11 2
2
Por lo que:
−3−7 x +6 x 2 lim =¿ 2 3 3 −5 x + 2 x x →
11
2
6 + 5 x − 6 x
lim
2
7 + 4 x + 3x 2
x→∞
&. Resolver . Para aplicar las propiedades de los límites en unciones racionales, procedemos a actori!ar la expresión. 'ultiplicamos el numerador ( denominador por
x
2
x
2
, que, como sa)emos es igual a 1, es decir no
aectamos al numerador ni al denominador 2
lim x →
3 2
6 + 5 x −6 x 7 + 4 x + 3 x
2
2
x (
6 2
+
5 x
6 x
2
2
−
2
)
2
x (
6 2
5
+ −6 )
x x x = lim 2 7 4 3 3 2 7 3 x 2 x→ x→ x ( + +3 ) + + ) 2 x ( 2 2 2 2 2 x x x x x
= lim
x
x 4 x
Cálculo diferencial Unidad 2. Límites y continuidad *rdenando, nos queda:
−6− lim x →
3 2
3+
6
x
7
x
2
2
+
+
5
x
4
x
+plicando las propiedades: lim x → ∞
lim x →
3
1
x
=0 n
lim x → ∞
1
x
=0
c =0 x → ∞ x
c
lim
lim
x → ∞
x
n
=0
en la expresión, nos queda:
−6− 0 + 0 −6 = =−2 3 + 0 +0 3
2
Por lo que:
lim x →
3
6 + 5 x −6 x 7 + 4 x + 3 x
2
2
=−2
2
lim ( 3 x − 5 ) x→2
-. emostrar por medio de la deinición que
ε>0
Para
En
|
.
|< δ
0 < x − x0
lim ( 3 x −5 )= 1 x→ 2
onde
+s/:
siempre que
x 0=2
|( 3 x −5 )−1|< ε
Por lo que:
|( 3 x −5 )−1|< ε 0uitamos parntesis:
|3 x −5− 1|< ε
f ( x )=3 x −5
siempre que
1
δ > 0 , tales que se cumpla que:
es necesario encontrar un
|f ( x )− L|< ε
=
|
L=1
|<δ
0 < x − 2
Cálculo diferencial Unidad 2. Límites y continuidad
Reduciendo trminos semejantes:
|3 x −6|< ε acamos actor com3n:
¿ 3∨| x −2|< ε
( dividimos entre " am)os lados de la ecuación:
| x −2|< ε
3
%os quedan las expresiones:
| x −2|< ε
|
|<δ
0 < x − 2
(
3
4omando lo que nos interesa:
| x −2|< ε
| x −2|< δ
(
3
Por lo que:
δ =
ε 3
lim f ( x ) = −∞
lim f ( x ) = L
x →a
5. einir lim
x →−∞
(
.
f ( x ) =−∞
x→ a
−∞
6na unción
f ( x )
veriica que:
f ( x ) < k para todos los valores próximos a
lim x→ a
f ( x ) =−∞
tiene por límite
si para toda
cuando
k que pertenece a
x → a , al ijar un n3mero real negativo
−¿¿ R
a .
existe
δ = δ ( k ) > 0
k < 0
se
Cálculo diferencial Unidad 2. Límites y continuidad |
|< δ
0 < x − x0
4al que:
Por lo que se cumple que:
e igual orma, para todo
lim f ( x )= L
f ( x ) < k ( ε>0
x → −∞
a
existe
que pertenece a
R
f ( x )
tal que
pertenece a:
( L− ℇ, L + ℇ) Para todo
x
que pertenece a
i el límite de la unción unción
f ( x )
f ( x )
(−∞ , a )
cuando
L que pertenece a R , entonces la gr7ica de la
lim
n
, demostrar que si
Empe!aremos por demostrar que
ecimos que un n3mero
(0 , ∞)
es
tiene una asíntota hori!ontal.
n ∈ ¥ \ { 0}
8. ea existe.
x →− ∞
x →0
es par, entonces
1
lim x→ 0
x
n es par si
n
1 x
n
= ∞
n
( que si
1 0 x n
lim x →
es impar entonces
no
=∞
n =2 k con
k = 0 , 1 , 2, …
para
x que pertenece al conjunto
Cálculo diferencial Unidad 2. Límites y continuidad x
ea
a ∈ R
( sea
a ∈ R
ado que
{1 , α
k ≔
→ ∀ x > k se tiene
2
¿ ¿ n x =¿
es un valor cualesquiera, se dice que ( adem7s
a =∞
podemos airmar que
x < a
por lo que: 1
lim x→ 0
x
n
=∞
Para asegurar que un n3mero n es impar usamos la siguiente expresión:
ea
a ∈ R
x
( sea
k ≔inf { a ,−1 } , como
x
(¿¿ 2 )k ≥ 1 ¿
para cualquier
n =2 k + 1
con
k =0 , 1 , …
x < k se tiene que:
2
¿ ¿ n x =¿ Puesto que
a ∈ R
es un valor ar)itrario, por lo que
una contradicción, por lo tanto: lim x→ 0
1
x
n
=∄
x < α
en ra!ón de que
K ≔inf { α , −1 } , lo cual es
Cálculo diferencial Unidad 2. Límites y continuidad lim f ( x ) = L
δ > 0
x → x0
9. upóngase que
, demostrar que existen
f ( x )
M > 0
(
<
M
tales que
, si
x ∈ ( x0 − δ , x0 + δ )
.
f ( x )= L
lim
ea
x ≠ x 0
ε>0
para todo
x → x 0
que satisaga la condición
( consideremos
| x − x |< δ 0
ε =1
( que existe
que veriica la desigualdad:
δ > 0
tales que para toda
|f ( x )− L|≤ 1
1;
|f ( x )|−| L|≤|f ( x )− L|
Por lo que
e la expresión 1;, podemos deducir que:
{
|f ( x )|<| L|+ 1
}
M =max | L|+ 1 ,|f ( x 0 )|
ea
f ( x )
x
del intervalo
( x −δ , x + δ ) 0
0
est7 acotada en el entorno del punto
lim f ( x ) = L
lo que nos da
|f ( x )|< M
x 0
lim f ( x + h) = L
x → x0
h→0
=. emostrar que
si ( sólo si
.
Para esta demostración, procedemos a airmar lo que tenemos en la hipótesis, es decir: lim
f ( x )= L
x → x 0
lim
(
f ( x + h )= K
h→ 0
Es decir, ha( que demostrar que
L= K
Por la deinición de límite lim
f ( x )= L
x → x 0
> así para toda
|
|< δ
0 < x − x0
ε>0
existe un
δ > 0 tal que si
por deinición
Cálculo diferencial Unidad 2. Límites y continuidad í
|f ( x )− L|< ε *)servamos que un punto
x =a + h
satisace la desigualdad
|
|< δ
0 < x − x0
lo que implica:
|( x + h )− x |=|h|< δ
0<
0
|f ( x )− L|< ε
> por
|f ( x
0
0
tenemos que:
+ h )− L|=|f ( x )− L|< ε
Pero lim f ( x 0+ h )= K ↔ ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 h→0
4ales que i
|h|< δ
|f ( x
0
es:
+ h )− K |< ε
+l sumar ( por la desigualdad del tri7ngulo tenemos que
|f ( x + h )− L + K − f ( x + h )|≤|f ( x 0
0
0
+ h )− L|+| K − f ( x + h )|< 2 ε 0
Esto implica que:
| K − L|< 2 ε ∀ ε > 0 ?o cual signiica que podemos hacer la distancia entre
K = L lim x → x 0
con lo que queda demostrado que
f ( x )= L
lim
(
h→ 0
f ( x + h )= L
K y L
tan peque@a como queramos ( por tanto
Cálculo diferencial Unidad 2. Límites y continuidad lim x
=
x →x0
x0
1$. emostrar por deinición que
ε>0
ea
δ > 0
)uscamos
.
tales que se cumpla que:
|< δ →|√ x − √ x |< ε
|
0 < x − x0
0
a)emos que el elemento neutro del producto es el n3mero 1, por que multiplicamos por la expresión:
|
|
|√ x + √ x | |√ x + √ x | 0
0
que sa)emos igual a
1
( que por lo tanto no aecta la expresión, sólo la modiica para
eectos de operaciones.
|
|√ x −√ x |=|√ x −√ x | 0
0
|
|√ x + √ x | | x − x | | x − x | = ≤ x + x √ | √ | ||√ x −√ x || |√ x | 0
0
0
0
0
0
?a desigualdad se de)e a que:
√ x ≤ √ x + √ x 0
> como todos los n3meros dentro del radical son ma(ores o iguales que cero se dice que:
|√ x |≤|√ x + √ x| 0
?o que implica: 1
≤
1
|√ x + √ x | √ x 0
Por lo que se cumple que:
| x − x | < ε ↔| x − x |<|√ x |ε √ x 0
0
0
+sí:
0
0
Cálculo diferencial Unidad 2. Límites y continuidad δ =|√ x | ε 0
#omo por la desigualdad tenemos que:
| x − x |≤ 0
| x − x | |√ x | 0
0
δ i la expresión es menor que
Por lo tanto:
| x − x |<|√ x |ε →|√ x − √ x |< ε 0
0
0
|√ x | 0
entonces:
|√ x −√ x |< ε 0
