Unidad 1. Transporte de Cantidad de Movimiento (Momentum)

Fenómenos de transporte Unidad 1. Transporte de cantidad de movimiento (momentum)


Cuarto semestre Universidad Abierta y a Distancia de México

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Índice Unidad 1. Transporte de cantidad de movimiento (momentum) ………………………….2 Presentación de la unidad………………………………………………………………….…2 Propósito de la unidad ………………………………………………………………………... 3 Competencia específica ……………………………………………………………………… 4 Temario………………………………………………………………………………………… 4 1.1. Introducción y conceptos básicos ……………………………………………... 5 1.1.1. Importancia de los fenómenos de transporte en la formación profesional del ingeniero …………………………………………………………………………... 5 1.1.2. Elementos constitutivos de fenómenos f enómenos de transporte …………………….. 7 1.1.3. Mecanismo de transporte…………………………………………………….. 8 1.2. Tipos de Fluidos y efecto de un esfuerzo sobre de éstos …………………...9 1.2.1. Relación esfuerzos/rapidez de deformación en un fluido ……………….. 10 1.2.2. Ley de Newton de la viscosidad …………………………………………….1 1 1.2.3. Fluidos Newtonianos y no Newtonianos …………………………………... 13 1.2.4. Modelos reológicos …………………………………………………………... 17 1.3. Ecuación de movimiento ………………………………………………………. 19 1.3.1. Formulación Euleriana ………………………………………………………. 21 1.3.2. Formulación Lagrangiana (Ecuación de Navier –Stokes)……………….. 24 1.3.3. Ecuación de continuidad continuidad (forma diferencial) diferencial) ………………………………. 25 1.3.4. Ecuación de Bernoulli ………………………………………………………... 26 1.4. Flujo laminar de fluidos newtonianos y no newtonianos ……………………30 1.4.1. Flujo de Hagen Poiseuille para fluidos no Newtonianos …………………. 30 1.4.2. Distribución Distribución de presión……………………………………………………….33 1.4.3. Flujo de Couette en régimen transitorio ……………………………………34 1.5. Capa límite hidrodinámica…………………………………………………….. 35 1.5.1. Definición y caracterización de capa limite ……………………………….. 35 1.5.2. Teoría de capa límite de Ludwing Prandtl …………………………………37 1.5.3. Simplificación de la ecuación de Navier- Stokes para el flujo en la capa limite………………………………………………………………………………….. 39 1.6. Turbulencia ……………………………………………………………………... 40 1.6.1. Características distintivas de un flujo turbulento ………………………….40 1.6.2. Consecuencias matemáticas de las propiedades de la turbulencia ……42 Actividades…………………………………………………………………………………… 43 Autorreflexiones Autorreflexiones……………………………………………………………………………… 43 Cierre de la unidad …………………………………………………………………………... 43 Para saber más……………………………………………………………………………….44 Fuentes de consulta …………………………………………………………………………. 44

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Unidad 1. Transporte de cantidad de movimiento (momentum) Presentación de la unidad Al hablar de fenómenos de transporte nos referimos al estudio sistemático y unificado de la transferencia de momento, energía y materia. El transporte de estas cantidades guarda fuertes analogías, tanto físicas como matemáticas, de tal forma que el análisis matemático empleado es prácticamente prácticamente el mismo para los tres transportes. ¿Por qué es necesario estudiar los Fenómenos de Transporte? Porque en la biotecnología biotecnología permiten: 

  

Proyectar la mejora en en el desempeño de los los sistemas de agitación de biorreactores. Diseñar correctamente correctamente sistemas de esterilización esterilización y pasteurización. pasteurización. Estimar tamaños de biorreactores. Estimar tiempos de cocción.

Los fenómenos de transporte están presentes en todos los procesos industriales, de ahí que se debe tener un conocimiento claro de la influencia de dichos fenómenos en las etapas de los procesos. Los fenómenos de transporte han ido avanzando y mejorando continuamente. Se podría decir que una de las aportaciones más importantes en esta rama ha sido el libro de Bird, Stewart y Lightfoot (2006) Fenómenos de transporte, donde establece un método distinto con respecto al transporte de cantidad de movimiento (flujo viscoso), transporte de energía (conducción de calor, conservación y radiación), y transporte de materia (difusión). Considera que los medios en los que tienen lugar los fenómenos de transporte son continuos, haciendo una breve referencia a la explicación molecular de los procesos. Tal tratamiento a base de un medio continuo presenta un interés más inmediato para los estudiantes de ingeniería, pero es preciso tener en cuenta que ambos puntos de vista tanto continuo y molecular son necesarios para adquirir un completo dominio del tema, para el análisis y estudio de los fenómenos físico-químicos, buscando explicaciones explicaciones moleculares para los fenómenos macroscópicos. La importancia del estudio de los fenómenos de transporte radica en que nos permite identificar las leyes fundamentales de los procesos de transporte de masa, momentum y energía que se requieren en el análisis de un problema específico y nos facilita desarrollar modelos teóricos y teórico-experimentales, capaces de ser utilizados en la cuantificación de los sistemas reales aproximados, aproximados, determinando su validez y alcance. Será interesante conocer los fenómenos de transporte en cantidades microscópicas, desde el punto de vista molecular para posteriormente establecer su aplicabilidad a nivel macroscópico.


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Asimismo, los principales principales balances balances microscópicos microscópicos en biotecnología biotecnología son los de cantidad cantidad de movimiento o momentum, calor y masa que permiten caracterizar la variación de la fuerza motriz asociada (gradientes de velocidades, temperaturas o de concentraciones, concentraciones, respectivamente) con respecto a coordenadas espaciales espaciales y al tiempo en los problemas dinámicos. La rapidez de densidad de flujo está determinada por los parámetros de transporte asociados a cada tipo de transferencia, sea esta: la viscosidad o parámetros reológicos para el transporte de cantidad de movimiento, la conductividad térmica, el coeficiente de transferencia de calor por convección, o bien, la emisividad para el transporte de calor; así como, la difusividad y el coeficiente convectivo de transferencia de masa para el transporte de masa para una sustancia o componente en sistemas binarios o multicomponentes. En la transferencia de cantidad de movimiento, se efectúan balances microscópicos de velocidad de cantidad de movimiento, tanto viscosos como convectivos, tomando en cuenta las fuerzas superficiales, como la presión, y las fuerzas volumétricas, como la gravedad o la fuerza centrífuga, lo cual da lugar a la expresión diferencial de la Segunda Ley de Newton. A partir de esta expresión se pueden obtener cantidades físicas como velocidad promedio, flujo volumétrico, fuerza que ejerce el fluido sobre las paredes del ducto que lo contiene: número de Reynolds, flujo másico total, pérdidas de energía por transporte viscoso, entre otras, que son necesarias para el diseño de sistemas de transporte de fluidos.

Propósitos de la unidad Al finalizar esta unidad unidad podrás: podrás: Revisar, analizar y aplicar los conceptos como flujo de  fluidos, Ley de Newton de la viscosidad, fluidos newtonianos, fluidos no-newtonianos, así como a los que no es aplicable la ley de la viscosidad de Newton. 



Establecer la influencia de la temperatura y la presión sobre la viscosidad de gases y líquidos. Comparar los mecanismos del transporte de cantidad de movimiento de gases y líquidos. Calcular los perfiles de velocidad laminar en algunos sistemas geométricamente sencillos. Comprender los principios de las distribuciones de velocidad en flujo laminar y las ecuaciones de variación para sistemas isotérmicos, así como las distribuciones de velocidad con más de una variable independiente, incluyendo el conocimiento de la


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distribución de velocidad en flujo turbulento. 

Comprender los conceptos de transporte de interfase en sistemas isotérmicos.

Competencia específica Analizar los fenómenos de transporte de cantidad de movimiento mediante las ecuaciones propias para explicar la dinámica de fluidos.

Temario 1. Transporte de cantidad cantidad de movimiento (momentum). 1.1.

Introducción y conceptos básicos. 1.1.1. Importancia de los fenómenos de transporte en la formación profesional del ingeniero. ingeniero. 1.1.2. Elementos constitutivos de un fenómeno de transporte. transporte. 1.1.3. Mecanismos de transporte.

1.2.

Tipos de Fluidos y efecto de un esfuerzo sobre de éstos. 1.2.1. Relación esfuerzos-rapidez esfuerzos-rapidez de deformación deformación en un fluido. 1.2.2. Ley de Newton de la viscosidad. 1.2.3. Fluidos Newtonianos y no Newtonianos. 1.2.4. Modelos reológicos.

1.3.

Ecuación de movimiento. 1.3.1. Formulación Euleriana. 1.3.2. Formulación Lagrangiana Lagrangiana (Ecuación (Ecuación de Navier-Stokes). Navier-Stokes). 1.3.3. Ecuación de continuidad continuidad (forma diferencial). diferencial). 1.3.4. Ecuación de Bernoulli. Bernoulli.

1.4.

Flujo laminar de fluidos newtonianos y no newtonianos. 1.4.1. Flujo de Hagen-Poiseuille para fluidos no newtonianos. Universidad Abierta y a Distancia de México

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1.4.2. Distribución de presión. 1.4.3. Flujo de Couette en régimen régimen transitorio.

1.5.

Capa límite hidrodinámica. 1.5.1. Definición y caracterización caracterización de capa límite. 1.5.2. Teoría de capa límite límite de Ludwig Prandtl. Prandtl. 1.5.3. Simplificación Simplific ación de la ecuación de Navier-Stokes para el flujo en la capa límite.

1.6.

Turbulencia. 1.6.1. Características distintivas de un flujo turbulento. turbulento. 1.6.2. Consecuencias matemáticas de las propiedades turbulencia.

de la

1.1. Introducción y conceptos básicos En esta primera unidad es de gran importancia estudiar la propiedad física que caracteriza la resistencia al flujo de los fluidos sencillo que es la viscosidad, ya

que unos fluidos son más viscosos que otros, además la viscosidad varía con la temperatura, por estas razones es importante estudiar las viscosidades de gases y líquidos desde el punto de vista cuantitativo. Esta información será necesaria de forma inmediata, para la resolución de problemas de flujo viscoso. De la misma manera se estudiara como se puede calcular los perfiles de velocidad laminar en algunos sistemas geométricamente sencillos. Para estos cálculos se hace uso de la definición de viscosidad y del concepto de un balance de cantidad de movimiento. Es preciso conocer la velocidad máxima, la velocidad media y el esfuerzo cortante en una superficie.

1.1.1. Importancia de los fenómenos de transporte en la formación profesional del ingeniero En la industria los procesos de transporte químico y las operaciones físicas, se encuentran relacionados con el mecanismo de transporte de todas o algunas de las propiedades extensivas e intensivas, así como la cantidad de movimiento, energía y materia. (Figura 1). Los fenómenos de transporte se definen como la cantidad transferida a través de un un área dada en una cantidad cantidad de tiempo, el flujo tendrá lugar cuando existe una falta de balance o gradiente de una propiedad del sistema y actuará en sentido opuesto a ese gradiente. gradient e.


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Los fenómenos de transporte vistos como una materia del ingeniero, presentan aspectos interesantes de los cuales nos referimos principalmente a ellos cómo materia integradora, como una materia adecuada para desarrollar el criterio teórico y práctico mostrando objetivamente la forma en que avanza la ciencia ingenieril, como la caracterización a nivel microscópico o diferencial en el interior de los sistemas, con lo que se consigue así una concepción integral de la Ingeniería en la medida en que se relaciona el comportamiento macroscópico de las operaciones unitarias con el comportamiento a nivel microscópico y molecular de las sustancias o componentes de la operación unitaria. La formación profesional debe ser un crecimiento constante en conocimientos provenientes de diversas materias donde se apoyarán de la integración de dichos conocimientos; todo ello ayudará a adquirir un aprendizaje distribuido y forjar una mentalidad ingeniosa para tener un amplio conocimiento de los fenómenos de transporte, que se presentan en la vida cotidiana.

Figura 1. Fenómenos de transporte en la industria (Constantin, P. 2007).

Es importante describir las propiedades de un sistema en equilibrio, ay que nos permitirá conocer las propiedades del sistema a transportar en el cual debe existir una correcta distribución espacial de las propiedades de equilibrio, sin embargo, consideramos la aplicación de una perturbación externa a un sistema de forma que una propiedad del sistema se desplaza del equilibrio, es ahí donde los fenómenos de transporte implican la evolución de una propiedad del sistema en respuesta a la distribución de no equilibrio de la misma. Es de gran utilidad adquirir conocimientos de fenómenos de transporte, y muy importante familiarizarse con las leyes básicas, en donde se hace énfasis que los fenómenos de transporte se relacionan con las leyes naturales. Así mismo aprender sobre el campo de aplicación de los fenómenos de transporte, desde el punto de vista de los procesos, así como de los equipos en los cuales estos fenómenos se


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presentan. Es de suma importancia conocer cómo determinar los coeficientes de transferencia de cantidad de movimiento, calor y masa. Este conocimiento le permitirá a un ingeniero entender lo que ocurre con un proceso productivo, con el equipo involucrado, así como tomar la mejor decisión desde los puntos de vista operacional y económico. Como pieza clave en el desarrollo de la Ingeniería, las matemáticas proveen un enlace riguroso, sistemático y cuantitativo entre los fenómenos a nivel microscópico y el diseño de procesos. A medida que se profundiza profundiza en el estudio de los fenómenos de transporte, éste se encuentra estrechamente relacionado con las operaciones básicas que se rigen por leyes similares, como son transporte de movimiento, de materia y energía.

1.1.2. Elementos constitutivos de fenómenos de transporte En la ingeniería cualquier proceso físico o químico tiene por objeto modificar las condiciones de una determinada materia, para adecuarla a nuestros fines, esta modificación se provocará alterando los valores de las variables que definen al sistema, dando lugar al transporte de alguna de las tres propiedades intensivas que se conservan en las colisiones moleculares: la materia, la energía o la cantidad de movimiento. La variación de una de estas propiedades es provocada por la existencia de un gradiente del sistema lo que se manifiesta en una variación a lo largo de una o más dimensiones. Si en una mezcla fluida multicomponentes existe un gradiente de temperatura, se producirá un transporte de energía, si existe un gradiente en la composición de alguno de los componentes habrá un transporte de materia. En los fenómenos de transporte es necesario que exista un gradiente de la magnitud independiente, este gradiente es la fuerza impulsora y el fenómeno de transporte se puede realizar en el sentido de alcanzar el estado mínimo de energía o (equilibrio) en el que las magnitudes independientes son constantes en todas las direcciones, es decir el sistema sufre un cambio en el sentido contrario al gradiente. El objetivo del estudio de los fenómenos de transporte es pues, determinar la velocidad con que es posible alcanzar el equilibrio, tal como la composición, la energía y la cantidad de movimiento en el sistema.


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1.1.3. Mecanismo de transporte En la industria es muy común bombear fluidos a grandes distancias y cantidades desde los depósitos de almacenamiento hasta las unidades de proceso, lo cual produce una importante caída de presión, tanto en las tuberías como en las propias unidades. Es preciso considerar los problemas relacionados con el cálculo de la potencia requerida para poder bombear y con el diseño del sistema de tuberías. Hay que tener en cuenta que el fluido puede ser líquido, gas o una mezcla de ambas fases y puede ser transportado a alta presión y al vacío. Es necesario conocer el tipo de tuberías, así como el movimiento que presentará el flujo en el tubo para poder conocer si es laminar o turbulento. Estos fenómenos de transporte ocurrirán entre fluidos y sólidos, y como principal propiedad cuentan con la existencia del gradiente que representa la tendencia para alcanzar el equilibrio. Entre los mecanismos de transporte que podemos mencionar se encuentran: 





Flujo de fluidos: Se produce un transporte de cantidad de movimiento entre los puntos que avanzan a distintas velocidades, este tipo de flujo puede ser de flujo interno y flujo externo. Transmisión de calor: Se produce un transporte de energía entre regiones donde existe una diferencia de temperaturas. Transporte de materia: Se debe al cambio de composición de una mezcla como consecuencia del desplazamiento de un componente desde regiones de mayor concentración hasta las de menor concentración.

Para profundizar en el tema de mecanismos de transporte transport e puedes revisar el libro de Bird, R. B. et.al. (2006). Fenómenos de transporte. Nueva York: Ed. John Wiley & Sons, Inc., 2a edición; en este libro conocerás las características de los mecanismos de transporte en proceso industriales. industriales.

Los mecanismos de transporte se pueden distinguir fundamentalmente por el tipo de movimiento molecular y turbulento. El primero se basa en el desplazamiento e interacciones de las moléculas. El segundo es el más común que es el régimen turbulento, ya que facilita a los procesos de transferencia, aunque es más difícil de cuantificar, las condiciones de equilibrio equilibrio serían:


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  

Igualdad de velocidades en transferencia transfere ncia de cantidad de movimiento. Igualdad de temperaturas, en transferencia de calor. Igualdad de concentraciones, concentraciones, en transferencia de materia.

Al conocer las características de los tres diferentes mecanismos de transporte se define el tipo de fluido a utilizar, así como sus propiedades y condiciones, que determinarán el tipo de proceso usado. Estamos ahora en condiciones de estudiar los diferentes tipos de fluidos, las relaciones esfuerzos –rapidez de deformación, la Ley de Newton, los fluidos tanto newtonianos como no newtonianos y los modelos reológicos.

Para profundizar en el tema de ley de Newton puedes revisar el libro de Bird, R. B. et.al. (2006). Fenómenos de transporte. Nueva York: Ed. John Wiley & Sons, Sons, Inc., 2a edición; edición; donde podrás encontrar propiedades del fluido tales como la viscosidad.

Inicialmente es conveniente reconocer o definir un fluido ideal como aquél en el cual no existe fricción entre sus partículas, o lo que conocemos como viscosidad. En realidad un fluido como este simplemente no existe, dado que todos son viscosos y compresibles. Es por esto que la propiedad de los fluidos llamada viscosidad significa que siempre actúan fuerzas tangenciales o cortantes cuando existe movimiento dando lugar a las fuerzas f uerzas de fricción. En los temas expuestos se establece la importancia que los fenómenos de transporte tienen en los procesos productivos, así como su importancia en las operaciones unitarias de los procesos químicos y bioquímicos. De igual manera, se plantea la necesidad de conocer sobre este tema para tomar la mejor decisión desde los puntos de vista operacional y económico. Asimismo, es muy importante conocer los gradientes que dan lugar al desempeño de los mecanismos de transporte.

1.2. Tipos de Fluidos y efecto de un esfuerzo sobre de éstos En todo sistema debemos considerar el tipo de fluido (liquido o gas) contenido entre dos laminas planas y paralelas, con un área, separadas entre sí por una distancia muy pequeña, donde inicialmente se encuentra en reposo, y al cabo del tiempo, la lámina inferior se pone en movimiento en la dirección del eje x, con una velocidad constante. A medida que transcurre el tiempo el fluido gana cantidad de movimiento. Esta fuerza generada por unidad de área es proporcional al gradiente negativo de la velocidad local; dando lugar a la Ley de Newton de la viscosidad y a los fluidos newtonianos y no


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newtonianos, donde estos últimos son los que los fluidos que no cumplen con dicha ley. En otras palabras, la cantidad de movimiento va en sentido de que desciende de una región de velocidad alta a otra de baja velocidad, de la misma forma que un trineo se desliza desde un lugar elevado hasta otro más bajo, y el calor fluye de una zona caliente haca otra más fría. El gradiente de velocidad puede considerarse, por consiguiente, como una fuerza impulsora del transporte de cantidad de movimiento. La influencia de la temperatura y la presión sobre la viscosidad de gases y líquidos se resume finalmente en el estudio de la viscosidad desde el punto de vista de los procesos moleculares, y el comportamiento de los mecanismos del transporte de cantidad de movimiento en gases y líquidos.

1.2.1. Relación esfuerzos/rapidez de deformación en un fluido Es importante mencionar que un fluido es una sustancia que se deforma continuamente bajo las aplicaciones de esfuerzos cortantes, las características reológicas que posee un fluido son de gran importancia en el desarrollo de productos en el ámbito industrial, para el diseño de las operaciones básicas de bombeo, mezclado y envasado, almacenamiento y estabilidad física e incluso en el momento del consumo. En un fluido las propiedades reológicas están determinadas por la relación que existe entre la fuerza o sistema de fuerzas externas y su respuesta. Por la deformación del flujo, todos los fluidos se deformarán en mayor o menor medida al ser sometidos a un sistema de fuerzas externas. La reología se encarga de estudiar a los fluidos newtonianos, ya que estudia las propiedades que les caracterizan como un fluido ya que se estudian los parámetros reológicos como la viscosidad, consistencia, propiedades elásticas. Los fluidos se clasifican en líquidos y gases, los primeros están sometidos a fuerzas intermoleculares que ayudan a mantener unidos de tal manera que su columna está definida, pero carecen de forma definida. Cuando vertimos un líquido dentro de un recipiente, este fluido ocupara un volumen parcial igual al volumen del recipiente sin importar la forma de este fluido. En los gases existen partículas que están en constante movimiento, chocando unas partículas con otras y tratan de dispersarse de tal manera que un gas no tiene forma ni volumen definido. Debido a que la transferencia de cantidad de movimiento se lleva a cabo en el seno de un fluido. Sin embargo, para que exista esfuerzo cortante, el fluido debe estar en movimiento. La principal distinción entre un sólido y un fluido es el esfuerzo cortante, en un material solido este es proporcional a la deformación por corte y el material deja Universidad Abierta y a Distancia de México

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de deformarse cuando se alcanza el equilibrio, mientras que el esfuerzo cortante es un fluido viscoso es proporcional a la rapidez de deformación cuando se alcanza el equilibrio, el esfuerzo cortante se presenta cuando la fuerza aplicada es tangencial al área de aplicación; cuando la fuerza aplicada es normal al área de aplicación, el esfuerzo se conoce como esfuerzo normal Como Como se muestran en la figura 2.





Figura 2. Fuerza ejercida sobre un elemento del fluido (Guillen, M. et al 2013).

1.2.2. Ley de Newton de la viscosidad Una vez que se conoce el esfuerzo cortante (figura 2), se puede establecer la Ley de Newton de la viscosidad con base en la experimentación de un sistema conformado por un fluido contenido entre dos placas, una de las cuales se pone súbitamente en movimiento a un tiempo determinado a una velocidad constante, a medida que transcurre el tiempo el fluido gana cantidad de movimiento, y, finalmente se establece el periodo de velocidad en régimen estacionario, que se indica en la figura 3. Una vez alcanzado dicho estado estacionario de movimiento, es preciso aplicar una fuerza contante para conservar el movimiento. Esto indica claramente el comportamiento del experimento para establecer la Ley de Newton de la viscosidad.


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Figura 3. Formación del perfil de velocidad en estado estacionario. (Ibarz, A 2005)

La expresión matemática de la Ley de Newton es:  y x 

 

d v x d y

Donde

=      ==  

Es decir que el esfuerzo cortante ejercido en la dirección x sobre un fluido situado a una distancia y , depende de la viscosidad μ del del fluido y del gradiente de velocidad ( v x ) en la dirección con respecto a la distancia y . Los principios de la estática de fluidos son casi una ciencia exacta, por otra parte los principios del movimiento de los fluidos son bastante complicados, las relaciones básicas que describen el movimiento del fluido son bastante complicadas. Las relaciones básicas que describen el movimiento de un fluido están comprendidas en la ecuación para los balances totales de masa, energía y momento lineal.

Para ampliar tu conocimiento sobre la Ley de Newton de la viscosidad, así como de valores de viscosidad para gases, líquidos y sólidos, puedes consultar el texto de Bird, R.B. et.al. (2006). (Sección 1.1), para conocer un poco más sobre la viscosidad.


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Los balances totales o macroscópicos se aplicarán a un recipiente finito o volumen fijo en el espacio. Usamos el término total debido a que deseamos describir estos balances con respecto al exterior del recipiente. Los cambios dentro del recipiente quedan determinados en términos de las propiedades de las corrientes de entrada y salida y de los intercambios de energía entre el recipiente y sus alrededores.

1.2.3. Fluidos Newtonianos y no Newtonianos Los fluidos se clasifican de acuerdo a la relación que se tiene entre el gradiente de la velocidad y el esfuerzo cortante. Los que siguen la Ley de Newton de la viscosidad (figura 3) se conocen como fluidos Newtonianos, sin embargo, hay fluidos que no siguen esta ley, y como ya se ha mencionado, se conocen como fluidos No newtonianos. El comportamiento de los fluidos depende en gran medida de la viscosidad del fluido la cual se define en la medida de su resistencia a la deformación. La relación entre esfuerzo y rapidez de deformación para fluidos se presenta de manera gráfica en la figura 4.

Figura 4. Razón de esfuerzo vs esfuerzo limite. (Geankoplis, 2004).

A continuación podrás observar gráficas para dos fluidos Newtonianos Newtonianos donde se muestra el comportamiento entre esfuerzo y velocidad de cizalla (figura 5). Para fluidos Newtonianos, la relación entre esfuerzo y velocidad de cizalla es lineal.


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Figura 5. Comportamiento de fluidos Newtonianos (Hernández, M.J, 2010).

Los fluidos no newtonianos en la actualidad forman una parte de la ciencia más amplia que es la reología, la cual es la ciencia que se encarga del flujo y la deformación de los fluidos, debido al estudio de las propiedades mecánicas de los gases, líquidos, plásticos, sustancias asfálticas y materiales cristalinos. Es importante señalar que la reología abarca desde la mecánica de fluidos hasta la elasticidad de Hooke, por otra parte también estudia la deformación y flujo de todos los tipos de materiales pastosos y suspensiones. (Bird, R.B. et al, 2006). El comportamiento reológico, en estado estacionario puede establecerse mediante una forma generalizada de la ecuación:

=      ==   

 = − 

τyx ⁄

En la que puede expresarse a su vez en función de dv x/dy o de . En las regiones en que disminuye al aumentar el gradiente de velocidad , el comportamiento se denomina pseudoplástico, mientras que en las que  aumenta con dicho gradiente se denomina dilatante. Si resulta independiente del gradiente de velocidad, el fluido se comporta como newtoniano, y entonces se relaciona con la viscosidad  .




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Los fluidos donde existen esfuerzos de corte en los que no se relacionan directamente con la deformación son no newtonianos, lo que significa que son válidos para materiales que tienen un esfuerzo de deformación cero. Por lo común los fluidos no newtonianos se clasifican con respecto a su comportamiento en el tiempo, pueden ser dependientes del tiempo o independientes del mismo. Un ejemplo de ellos puede ser la fécula de maíz al mezclarse con agua, el huevo a la hora de separarse de la yema, la miel de maple al distribuirla en la superficie de un hotcake. Podemos mencionar los fluidos independientes del tiempo: Los fluidos de plásticos de Bingham son fluidos simples debido a que solo difieren de los newtonianos en cuanto a que la relación lineal no pasa por el origen. Para iniciar el flujo se requiere un exceso de cierto valor del esfuerzo cortante llamado límite de fluidez.



Los fluidos pseudoplásticos la mayoría de los fluidos no newtonianos pertenecen a esta categoría e influyen las soluciones o fusiones de polímeros las grasas las suspensiones de almidón, la mayonesa, ciertos fluidos biológicos, las suspensiones de detergentes, los medios de dispersión de algunos productos farmacéuticos y las pinturas.



Los fluidos dilatantes, son mucho menos comunes que los pseudoplásticos y su comportamiento de flujo muestra un aumento de la viscosidad aparente al elevar la velocidad cortante, casi siempre se puede aplicar la expresión exponencial, para un fluidos newtoniano, n=1 algunas soluciones dilatantes son la harina de maíz y la azúcar en solución, arena de playa húmeda, almidón en agua, silicato de potasio en agua y varias soluciones que contengan concentraciones elevadas de polvos en agua.



Incluyendo los modelos matemáticos (modelos reológicos) que definen su comportamiento. Es importante resaltar que la mayoría de los fluidos de origen biológico exhiben comportamiento no newtoniano. De igual manera, en las siguientes gráficas se puede observar el comportamiento de diferentes fluidos No Newtonianos: Newtonianos:


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Figura 6. Modelos comparativos de fluidos no-newtonianos y newtonianos. (Geankoplis, C.J. (2004).

Se ha establecido que la viscosidad del fluido es una propiedad muy importante que influye de manera sustancial en el comportamiento del fluido en movimiento. De ahí la importancia de determinar esta propiedad con la mayor precisión posible. En la caracterización reológica de fluidos se describen los diversos sistemas para medir viscosidad (viscosímetros) aplicables a fluidos newtonianos y los aparatos empleados para evaluar fluidos no newtonianos (reómetros) así como el uso de los datos experimentales para obtener los valores de los parámetros del modelo reológico propuesto (Figura 6). Cuando no es posible llevar a cabo la experimentación para determinar la viscosidad, se puede recurrir a métodos teóricos para estimar esta propiedad. Métodos gráficos como la de la relación generalizada y métodos analíticos como los de ChapmanEnskog y de Eyring, se han empleado para estimar la viscosidad de gases y líquidos, respectivamente. La viscosidad en los líquidos se presenta cuando las moléculas se presentan al azar aumentando las fuerzas de cohesión. Estas moléculas son capaces de deslizarse, los líquidos se difunden en otras mezclas miscibles; al bajar la energía cinética, baja la temperatura hasta el punto en que se generan sólidos. Las partículas no se mueven, vibran.


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Para ampliar tu conocimiento sobre la Ley de Newton de la viscosidad, así como los tipos de fluidos no newtonianos. En el capítulo unos de Bird, R.B. et.al . (2006) del texto Fenómenos de transporte se muestra la aplicabilidad de estos métodos para estimación de la viscosidad.

Existe gran número de datos de viscosidad de gases y líquidos puros reportados en bibliografía, cuando no se poseen dichos datos experimentales la viscosidad puede obtenerse por métodos empíricos, utilizando otros datos de la substancia en cuestión. Se presentan dos correlaciones que permiten efectuar dicha estimación y que a su vez proporcionan información sobre la variación de la viscosidad de los fluidos ordinarios con la temperatura y la presión. Estas correlaciones se basan en el análisis de un gran número de datos experimentales de diferentes fluidos, mediante la aplicación del principio de los estados correspondientes. correspondientes.

1.2.4. Modelos reológicos

μ ⁄

Se han propuesto numerosas ecuaciones empiricas o modelos para expresar la relacion que exiete en estado estacionario entre la viscocidad de Newton y mencionaremos cinco métodos. Dichos métodos poseen ecuaciones con parámetros empíricos positivos cuyo valor numérico puede determinarse correlacionando los datos experimentales de la viscosidad frente a la , a temperatura y presión constante (Geankoplis, (Geankoplis, 2004).

(⁄),

μ

Modelo de Bingham.

μ

En la primera ecuación se utiliza el signo positivo si el valor de es positivo y con un signo negativo, si es negativo el fenómeno, las sustancia que se comporta de acuerdo con este modelo de dos parámetros se denomina plástico de Bingham, permanecerá rígida mientras el esfuerzo cortante es menos de un determinado determinad o valor de por encima del cual se comporta de forma semejante a un fluido newtoniano. Este modelo resulta suficientemente exacto para muchas pastas y suspensiones suspensiones finas.


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Modelo de Ostwald de Waele.

Esta ecuación de dos parámetros se conoce también con el nombre de ley de la potencia. potencia. Para Para n=1 se se transform transforma a en la ley ley de viscosi viscosidad dad de newto newton, n, siendo siendo m= , por lo que la desviación del valor de n con respecto a la unidad es una medida del grado de desviación del comportamiento newtoniano, si el valor de n es menor el comportamiento comportamiento cambiaría cambiaría por un pseudoplástico.

Modelo de Eyring.

  

Este modelo de dos variables o parámetros donde se apoya de la teoría cinética de líquidos de Eyring, que se estudia en , este modelo da una idea del comportamiento pseudoplástico para valores finitos de y tiende asintóticamente a la ley de la viscosidad de Newton cuando el valor de tiende hacia cero; en este caso el valor de la viscosidad es

.

Modelo de Ellis.

Este modelo consta de tres parámetros positivos ajustados: y a. Si se toma para un valor mayor que la unidad, el modelo tiende hacia la ley de Newton para valores bajos de mientras que si se elige para un valor menor que la unidad, la ley de Newton se establece para valores elevados de . Este método posee una gran flexibilidad y en él están comprendidos como casos particulares tanto la ley de Newton cómo la ley de potencia. (Geankoplis, C.J. 2004).





Modelo de Reiner- Philippoff.


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Este modelo consta de tres parámetros positivos que pueden ser ajustables tales como la viscosidad , el comportamiento comportamiento de fluido newtoniano newtoniano para este modelo presenta valores bajos y también muy elevados.

Para ampliar tu conocimiento sobre los modelos reológicos y sus aplicaciones, aplicaciones, revisa las secciones secciones 1.3, 1.4 1.4 y 1.5 de Bird, R.B. et.al et.al . (2006) del texto Fenómenos de transporte.

En los temas expuestos se establece la importancia de la deformación de fluidos en movimiento bajo la acción de fuerzas, de lo cual depende que se clasifiquen en fluidos Newtonianos y fluidos No Newtonianos, incluyendo los modelos que los representan. De igual manera, se plantea la importancia de determinar de manera experimental o analítica la viscosidad de un fluido, la cual se ve influenciada por la presión y la temperatura.

1.3. Ecuación de movimiento La ecuación de movimiento, expresa el principio de conservación de cantidad de movimiento. Al sistema pude entrar cantidad de movimiento por transporte, de acuerdo con la expresión newtoniana (o no-newtoniana), de densidad de flujo de cantidad de movimiento. También puede entrar cantidad de movimiento debido al movimiento global del fluido. fluido. Las fuerzas que nos interesan son las fuerzas fuerzas de presión (actuando (actuando sobre superficie) y las fuerzas de gravedad (que actúan sobre todo el volumen). Para un elemento diferencial de volumen , se puede escribir el siguiente balance de cantidad de movimiento, la ecuación es para sistemas en estado no estacionario:

                                       = −  [  [  [  [     

Sin embargo, además de tener en cuenta el comportamiento no estacionario, permitiremos al fluido que se mueva en una dirección arbitraria a través de las seis caras del elemento de volumen. Es preciso resaltar que la ecuación es una ecuación de un vector, con componentes para cada una de las tres direcciones con coordenadas en x, y y z .


19


Figura 7. Región de volumen de la cantidad de movimiento (Aguilera, M.E.et al 2005).

Utilizando la ecuación en la dirección x la cantidad de movimiento que entra y sale del elemento de volumen indicado como se muestra en la figura anterior, se produce por dos mecanismos como la convección y transporte molecular, es decir, debido al flujo global del fluido y a causa de los gradientes de velocidad. La velocidad con que entra debido a la cantidad de movimiento por convección en el eje x de la cantidad de movimiento por la cara situada en x en las coordenadas y la velocidad de salida sumándole las fuerzas que actuaran sobre el sistema del cual se esté estudiando.

∆∆

∆∆

  ∆

La velocidad con que el componente en el eje x de la cantidad de movimiento entra por transporte molecular por la cara situada en x es con la que sale es .

∆∆

Para las demás caras se pueden escribir expresiones similares. Hay que tomar en cuenta que las densidades de flujo para la cantidad de movimiento en el eje j a través de una cara perpendicular al eje i, sumando las seis contribuciones se obtiene que:

∆∆ − +∆+∆  ∆∆ ] − ]+∆+∆  ∆∆ Estas densidades de flujo de la cantidad de movimiento se consideran esfuerzos cortantes cortant es por lo tanto el esfuerzo normal actuara en una sola cara y será un esfuerzo tangencial que actuara sobre la cara en dirección xy que resultara de las fuerzas viscosas. En la mayor parte de los casos, las únicas fuerzas importantes serán las provenientes de la presión del fluido y la fuerza de gravedad.


20


De acuerdo al texto Welty, J. R,. et al (1993). (Sección 3.2), en la mecánica de fluidos, existen dos formas de representar campos: la representación de Euler y la representación de Lagrange . La diferencia entre ambos enfoques está en la forma de identificar y describir la posición del sistema de flujo en los que los efectos viscosos . Mientras en los textos de Bird, R. B. et.al. (2006), (Sección 3.2) La ecuación del movimiento y Geankoplis, C. J. (2004), se desarrollan las ecuaciones para fluidos ideales, o no viscosos, con densidad constante y viscosidad cero. A estas expresiones se les conoce como ecuaciones de Euler.

  v v v  v   p         g v v v   t  x  y  z   x 

 

x

x

x

x

y

x

z

x

v v  v    v  p         g v v v   x  y  z   y   t

 

y

y

x

y

y

y

z

y

  v v v  v   p   t  v  x  v  y  v  z     z   g  

 

z

z

x

z

y

z

z

z

1.3.1. Formulación Euleriana Las ecuaciones de Euler son necesarias para calcular la distribución de presión en el borde externo de la capa límite, delgada en el flujo que pasa por cuerpos sumergidos. La formulación euleriana fija su atención sobre un punto particular en el espacio y describe lo que sucede en ese punto (o dentro y en las fronteras de la región) a lo largo del tiempo. Las propiedades de la partícula de fluido depende de la localización de la partícula en el espacio y el tiempo, el campo de velocidad se expresa como: V=V (x,y,z,t)

Donde las variables independientes son la posición en el espacio, representada por ls coordenadas cartecianas (x,y.z) y el tiempo (t). Como la identificación de puntos fijos en el espacio generalmente generalmente es más fácil que identificar piezas individuales de fluido, la descripción Euleriana se emplea con mucha frecuencia en la mecánica de fluidos. Resolver un problema de flujo de fluidos requiere entonces la determinación de la velocidad, la presión, etc., en función de coordenadas de espacio y tiempo. Se puede emplear entonces las funciones: V (x,y,z,t)

o

P(x,y,z,t)


21


Para encontrar la velocidad o presión en cualquier lugar dentro del campo en cualquier instante, sustituyendo simplemente simplemente los valores para x, y, z y t. La aplicación en ingeniería de un análisis de flujo trata los efectos del movimiento de los flujo sobre ciertos objetos, es importante la presión que se ejerce y no el efecto que hay sobre una partícula de fluido en particular. La formulación Langragiana, identifica cada partícula determinada del fluido y describe lo que le sucede a lo largo del tiempo. Matemáticamente la velocidad del fluido se escribe como: V = V (iden tid ad de l a par tícu la, t)

Las variables independientes son la identidad de la partícula y el tiempo. El enfoque lagrangiano se usa ampliamente en el campo de la mecánica de los fluidos y en el estudio de la dinámica. Una descripción lagrangiana es atractiva si se trata de un número de partículas pequeño. Si todas las partículas se mueven como un sólido rígido o si todas las partículas se desplazan solamente un poco de su posición inicial o su posición de equilibrio. Sin embargo, en un fluido en movimiento, identificar y seguir el rastro de varias partículas es virtualmente imposible. Surgen complicaciones adicionales debido a que una partícula típica de fluido con frecuencia experimenta un desplazamiento largo. Por estas razones, en la mecánica de fluidos la descripción lagrangiana no es muy útil. En muchos casos, la densidad ρ y la viscosidad µ son constantes , siendo ésta última

diferente de cero, se obtienen las ecuaciones de Navier-Stokes (formulación Langragiana) Langragiana) para los componentes x, y, z:   v   v  v  v   p v v  v                g v v v    x  y  z   y  z   x   t   x 2

x

x

x

x

y

2

x

z

2

x

x

x

2

2

2

x

  v  v  v   p v v  v    v           v v v   t    x   y   z    y   g    x y z     2

y

y

x

y

y

2

y

2

y

y

y

2

2

2

z

y

  v   v  v  v   p v v  v       v v v           g    x  y  z    t   x  y  z   z 2

z

z

x

z

y

z

z

2

2

z

z

z

2

2

2

z

Para ampliar tu conocimiento sobre la ecuación de movimiento y de Euler así como el desarrollo matemático de sus fórmulas, revisa las secciones del Autor Welty, J.R. et.al. (1993), del texto de Fundamentos de Transferencia de Momento, Calor y Masa . Universidad Abierta y a Distancia de México

22


Al comienzo de siglo XXI la frontera más activa del territorio de las ecuaciones ecuaciones en derivadas parciales tiene un amplio frente en el dominio hiperbólico y parabólico no lineal, tal es el caso más notable en la mecánica de fluidos en las ecuaciones de Euler y de Navier Stokes. La mecánica de fluidos es un campo amplio que abarca los tres estados de agregación de la materia (líquido, gas y plasma). Las situaciones físicas en las cuales interviene un fluido son innumerables y la dinámica del mismo puede depender de factores tales como la temperatura, la gravedad o la presencia de un campo magnético. Es por ello que el estudio de su evolución constituye un tema central en física e ingeniería. Es muy importante visualizar una aplicación práctica de las ecuaciones de Euler y de Navier-Stokes donde se hace una deducción de estas ecuaciones, para un fluido incompresible, a partir de la aplicación de la segunda Ley de Newton, al igualar la aceleración de las partículas a la suma de las fuerzas que actúan sobre ellas: las variaciones espaciales (gradiente) de la presión, las fuerzas de rozamiento (viscosidad), y las fuerzas externas como la gravitatoria, añadiéndoles la ley de la conservación de la masa. Como su título lo indica, se plantea el modelamiento de torbellinos, gotas y olas, mediante estas ecuaciones.

Figura 8. Una nota gris de la naturaleza. Rainforestradio. Tomado de Tornados, (2012).

Para que tengas una comprensión más profunda sobre las ecuaciones de Euler, recuerda que en la dinámica de fluidos la ecuación de Euler describe el movimiento de un fluido comprensible no viscoso. Su expresión corresponde a las ecuaciones de Navier Stokes cuando los componentes disipados son despreciables frente a las


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convectivas, esto nos lleva a deducir las siguientes condiciones que se deducen a través del análisis de magnitudes: magnitudes:

1.3.2. Formulación Lagrangiana (Ecuación de Navier Stokes) –

La serie de ecuaciones que rigen toda la mecánica de fluidos se obtienen por la aplicación de los principios de conservación de la mecánica y la termodinámica a un volumen fluido. Para generarlas se usa el teorema del transporte de Reynolds y el teorema de la divergencia para obtener las ecuaciones en forma más útil para la formulación Euleriana. Las tres ecuaciones fundamentales son la ecuación de la continuidad, la ecuación de la cantidad de movimiento y la ecuación de la conservación de la energía. Estas ecuaciones pueden darse en su formulación integral o en su forma diferencial, dependiendo del problema. A este conjunto de ecuaciones dadas en su forma diferencial también se le denomina ecuaciones de Navier-Stokes. Y de Lagrange, tiene su fundamento en la ecuación de continuidad aplicada a un volumen de control de dimensiones ∆x ∆y ∆y, a través del que está circulando el fluido (figura 9). velocidad de acumulación velocidad de entrada velocidad de salida     de materia de materia de materia      

Figura 9. Elemento diferencial de fluido en un volumen de control. Tomado de Geankoplis, C.J. (2004).


24


1.3.3. Ecuación de continuidad (forma diferencial) En el flujo la continuidad es consecuencia de la conservación de la materia, esto se refiere a la constancia del flujo a lo largo del camino recorrido, su enunciado es: El flujo de un fluido en movimiento es el mismo en dos puntos diferentes del camino recorrido por el fluido. Esta ecuación también recibe el nombre de ecuación de continuidad del flujo. Expresa que la cantidad de masa por unidad de tiempo que ingresa por un punto debe ser igual a la cantidad de masa por unidad de tiempo que sale por un punto recorrido del fluido. Si un fluido es un líquido no viscoso e incomprensible su densidad permanece constante durante el flujo, es por ello que se puede eliminar la densidad en ambos miembros de la ecuación del flujo, por lo que la ecuación de continuidad del flujo se reduce a la ecuación de continuidad del caudal del líquido.

Para ampliar tu conocimiento sobre la ecuación de movimiento y de Euler así como como el desarrollo desarrollo matemático matemático de sus sus fórmulas, revisa las secciones de los autores Welty, J.R. J.R. et al, al, (1993), del texto de Fundamentos de Transferencia de Momento, Calor y Masa .

La ecuación de continuidad se obtiene por la aplicación de un balance de materia a un elemento que posee un volumen y se puede representar por medio de una diferencial a través de la cual circula el fluido (figura 10).

Figura 10. Región de volumen donde circula el fluido (Bird, R.B. 1992)


25


La ecuación de continuidad nos permitirá calcular la velocidad de un fluido en un sistema de conductos cerrados, esto se puede determinar por la velocidad de flujo y masa como se menciona en la formula general de continuidad:

La ecuación de continuidad continuidad resultante es:  v y  v z    v           v x  v y  v z     x    t  x  y  z    x y z  

Para un fluido de densidad constante: (fluido incompresible)  v x  x



 v y  y



 v z

0

 z

En el flujo existen varios factores que afectan la elección de una velocidad para satisfacer los sistemas de fluido. Algunos de los factores más importantes son el tipo de fluido, la longitud del sistema de flujo, el tipo de conducto o de tubo, la caída de presión que se puede tolerar, los dispositivos tales como las bombas, válvulas las cuales se pueden conectar al conducto o a la tubería, la temperatura, la presión y el ruido. Con el análisis de la ecuación de continuidad aprendimos que la velocidad de flujo aumenta a medida que disminuye el área de la trayectoria, por ello los tubos más pequeños producen velocidades bajas.

1.3.4. Ecuación de Bernoulli La ecuación matemática de Bernoulli es una relación entre las fuerzas obtenidas a partir de la conservación de cantidad de movimiento; para el uso de la ecuación de Bernoulli se toman en cuenta tres consideraciones que hay que tener en cuenta en la ecuación que son, la energía cinética, al energía potencial y la energía libres (Helmholtz) totales del sistema de flujo; tomando la velocidad a la que el sistema realiza trabajo mecánico sobre los alrededores, así como la perdida por fricción, es decir, la velocidad con que la energía mecánica se convierte irreversiblemente en energía calorífica. La magnitud de la energía potencial por unidad de masa es la entalpia libre (o energía libre de Gibbs) por unidad de masa. (Mott, R.L 2006). 

Flujo estacionario: si un fluido fluye estacionariamente por una tubería horizontal estrecha y de sección transversal constante, la presión no cambia a lo largo de la tubería. Universidad Abierta y a Distancia de México

26








Flujo incomprensible: cuando la fuerza ejercida en cualquier lugar se puede calcular en forma de presión. Flujo sin fricción: en estos sistemas en los que el comportamiento de flujo es independiente del tiempo, puesto que las velocidades a la que el sistema realiza trabajo mecánico cobre los alrededores son iguales. Flujo a lo largo de una línea de corrientes: un fluido de viscosidad constante que es independiente de la velocidad del fluido

Para determinar esta ecuación no se debe considerar tampoco la transferencia transfer encia de calor o de trabajo. Una ecuación de amplia aplicación, sobre todo en el análisis de flujo a través de tuberías, es, sin duda, la Ecuación de Bernoulli. Esta ecuación cubre muchas situaciones de importancia práctica y se usa con frecuencia junto con la ecuación de masa. En la ecuación de Bernoulli se deben considerar los tipos de energía que posee una porción del fluido circulando. El elemento de fluido se localiza a cierta altura ( z ), ), con respecto a un nivel de referencia, igualmente tiene cierta velocidad ( v ) y cierta presión ( P ), ), como se muestra en la figura 11.

Figura 11. Elemento de tubo para análisis de Bernoulli. Tomado de Geankoplis, C. J. (2004).

La ecuación de Bernoulli es: P 1 



v1

2

2 g



z 1



P 2 



v2

2

2 g



z 2

donde: es el peso específico (ϒ=ρ g). P= presión a lo largo de la línea de corriente. g= aceleración aceleración gravitatori g ravitatoria a v = velocidad del fluido en la sección considerada z= altura en la dirección de la gravedad desde una cota de referencia ρ= densidad del fluido ϒ =


27


Esta ecuación de Bernoulli cubre muchas situaciones de importancia práctica en el flujo de fluidos a través de tuberías y se usa con frecuencia junto con la ecuación de flujo másico para cualquier sección de tubería, la cual se expresa como: para



.

m



 v A

Y para dos secciones (1, 2) de tubería: .

m1

. 

m2

 1 v1 A1



 2 v 2 A2

Es importante revisar y comprender claramente las restricciones de aplicabilidad de la ecuación de Bernoulli (Mott, 2006).La ecuación de Bernoulli es una ecuación muy aplicable para varias problemas cotidianos posee algunas restricciones con el fin de no usar esta ecuación de forma incorrecta.  

 

Es válida solamente para flujos incompresibles No puede haber dispositivos mecánicos entre entre las dos secciones de interés que puedan agregar o eliminar energía del sistema. No puede haber transferencia transfere ncia de calor hacia dentro o fuera del fluido. No puede haber pérdida de energía debido a la fricción.

En los sistemas de flujo siempre se presentarán restricciones y otros sistemas presentan pequeños errores despreciables cuando se aplica la ecuación de Bernoulli. Es hora de tomar un respiro, y con los conocimientos adquiridos, podrás abordar con gran certidumbre los temas relacionados a Flujo de Hagen-Poiseuille para fluidos no newtonianos, Distribución de presión, Flujo de Couette en régimen transitorio.

Figura 12. La ley de Poiseuille o ley de Hagen –Poiseuille (Ramos M. 2007).

La ley de Poiseuille o también denominada ley de Hagen –Poiseuille, después de los experimentos esta ley permitiría determinar el flujo laminar estacionario de un líquido incompresible que avanza de manera uniforme debido a su viscosidad (también denominado fluido Newtoniano), este fluido pasa por un tubo o cilindro de sección circular constante. Observa la figura 12, donde a través del tubo circular que tiene una Universidad Abierta y a Distancia de México

28


superficie transversal a una viscosidad µ, una velocidad de flujo V y una distancia a recorrer d, se define la fuerza viscosa como:

Donde la viscosidad se mide en La ley de Poiseuille predice que el caudal que pasa a través de un tubo cilíndrico de sección circular es constante. La ley de Poiseuille tiene aplicación, por ejemplo, en la ventilación pulmonar al describir el efecto que tiene el radio de las vías respiratorias sobre la resistencia del flujo de aire en dirección a los alveolos; alveolos; también en la red hidráulica casera, etc., éstas y más aplicaciones dan pauta para el estudio del siguiente tema.

Para ampliar tu conocimiento sobre la ecuación de movimiento y de Euler así como el desarrollo matemático de sus fórmulas, revisa las secciones de los autores Welty, J.R. et.al. (1993), del texto de Fundamentos de Transferencia de Momento, Calor y Masa.

La ley de Poiseuille es aplicada en la física de fluidos la cual se basa en el estudio de flujos laminares en tubos cilíndricos, tales como tuberías de metal, esta ley se aplica solo a flujo laminar no turbulento de un fluido viscoso constante, que es independiente de la velocidad del fluido. La ley de Poiseulle se cumple solamente para flujos laminares, sin embargo, frecuentemente el flujo no es laminar sino turbulento y se parece entonces a la estela de una lancha rápida, con torbellinos y remolinos. Cuando un fluido tiene una velocidad grande el flujo laminar se rompe y se establece la turbulencia crítica por encima de la cual el flujo a través de un tubo resulta turbulento, depende de la densidad y de la viscosidad del fluido y del radio del tubo.


29


1.4. Flujo laminar de fluidos newtonianos y no newtonianos Mediante balances de cantidad de movimiento se pueden resolver varios problemas de flujo viscoso en estado estacionario. Los métodos más generales permiten describir sistemas de flujo más complicados. Se han presentado algunas aplicaciones de las ecuaciones generales, pero, con el fin de hacer resaltar el aspecto físico y reducir al mínimo el tratamiento matemático, dichas aplicaciones se han reducido en su mayor parte a los problemas en los que intervienen ecuaciones diferenciales ordinarias en vez de ecuaciones entre derivadas parciales. Es importante que primeramente revises y entiendas los distintos regímenes de flujo: laminar, de transición y turbulento. El análisis adimensional es un método para verificar ecuaciones y planificar experimentos sistemáticos, a partir del análisis dimensional se obtiene una serie de grupos adimensionales que va a permitir obtener resultados experimentales en condiciones limitadas, a situaciones en que se tengan diferentes dimensiones geométricas, cinemáticas y dinámicas; y muchas veces en casos en que las propiedades del fluido y del flujo son distintas de las que se tuvieron durante los experimentos. La importancia del análisis adimensional viene dada por la dificultad del establecimiento de ecuaciones en determinados flujos, además de la dificultad de su resolución, siendo imposible obtener relaciones empíricas. Con base en el flujo laminar, se puede establecer la ecuación de Hagen-Poiseuille, tanto para fluidos Newtonianos como para fluidos No Newtonianos, la cual se emplea para el cálculo de la caída de presión de un fluido circulando en régimen laminar.

1.4.1. Flujo de Hagen Poiseuille para fluidos no Newtonianos En la dinámica de fluidos la ecuación de Hagen-Poiseuille, Hagen-Pois euille, esta ley tiene sus principios en la ley física que da la caída de presión en un fluido que fluye a través de un tubo largo y cilíndrico. Los flujos en tuberías quedan completamente limitados por superficies sólidas, el flujo interno en tuberías, ductos, considerando un flujo incomprensible a través de un tubo de sección transversal circular, es uniforme a la entrada del tubo y su velocidad es igual a cero, en la paredes la velocidad vale cero debido al rozamiento y se desarrolla una capa límite sobre las paredes del tubo. Para el caso de un fluido newtoniano circulando a través de una tubería de diámetro D, de longitud L, desde la sección 1 a la sección 2 , la ecuación de Hagen-Poiseuille, en términos de velocidad promedio, se expresa como:


30


v x prom  prom

 P  P  D 0

2

L

32  L

Y en términos de distribución de presión, se expresa como:  P f 

 P  P  1

2 f



32  v ( L2  L1 )

D 2

Sin embargo, para fluidos f luidos no newtonianos, el comportamiento comportamiento es diferente. Numerosos fluidos comunes tienen un comportamiento no newtoniano, como por ejemplo, la crema dental y la pintura Lucite. Esta última es muy "espesa" cuando se encuentra en su recipiente, pero se "adelgaza" si se extiende con una brocha. La crema dental se comporta como un "fluido" cuando se presiona el tubo contenedor, sin embargo, no fluye por sí misma cuando se deja abierto el recipiente. Existe un esfuerzo límite, de cedencia, por debajo del cual la crema dental se comporta como un sólido. En rigor, nuestra definición de fluido es válida únicamente para aquellos materiales que tienen un valor cero para este esfuerzo de cedencia.

Para ampliar tus conocimiento sobre la ecuación de Hagen-Poiseuille, tanto para fluidos Newtonianos como para no newtonianos revisa la Sección 2.3 de Bird, R.B. et.al. (2006 ), ), del texto Fenómenos de transporte.

Para el caso de fluidos no newtonianos se puede obtener una ecuación equivalente a la ecuación de Hagen-Poiseuille para fluidos newtonianos, sin embargo dependerá del modelo de fluido no Newtoniano aplicado. Uno de los modelos más empleados es el modelo de Bingham. Este es un modelo de dos parámetros en el que el fluido permanece rígido mientras el esfuerzo cortante es menor de un determinado valor por encima del cual se comporta de forma semejante a un fluido newtoniano. Este modelo resulta suficientemente exacto para muchas pastas y suspensiones finas. El flujo de Bingham en un tubo capilar se muestra en la siguiente figura 13, obtenida de la sección 2.3 del texto de Bird, R. B., et al. (2006).


31


Figura 13. Flujo de Bingham en un tubo capilar. (Tomado de Bird, et al, 2006).

La ecuación resultante, en términos del flujo volumétrico Q, en el desarrollo para un fluido que se comporta con el modelo de Bingham es: Q



 P  P  R  4

1

L

0

8  0



L

       3   R  3   R    4   0 

1   0 

4

Donde R es el radio del tubo. En términos de velocidad promedio es:

 P  P L  R  2

v prom 

0

8

 0 L

 1         3   R  3   R   4   0 

1   0 

4

En términos de caída de presión es:

 P  P   0

L

8  0 L v prom prom

R

2

 4    1    1        3   R  3   R  0

0

4

  

1

Estás últimas expresiones se convierten en la ecuación de Hagen-Poiseuille para fluidos Newtonianos cuando es igual a cero. 

0


32


1.4.2. Distribución de presión Un fluido en movimiento ofrece una resistencia de fricción al flujo, parte de la energía del sistema se convierte en energía térmica (calor), el cual se disipa a través de las paredes del conducto en el que el fluido se desplaza. La magnitud de la pérdida de energía depende de las propiedades del fluido, la velocidad de flujo, el tamaño del conducto, la rugosidad de la pared del conducto y la longitud del tubo. La ecuación general de la energía, es aplicable a un sistema de flujo de fluidos donde se pueden incluir la tubería, bombas, motor de fluido, y accesorios como válvulas, codos, Te´s, expansiones, etc. (figura 14).

Figura 14. Análisis de energía en una tubería. Tomado de Geankoplis, C.J. (2004).

z

1



v

2

1

2 g



P 1





h A



h R



h L



z

2



v

2

2

2 g



P 2



Donde γ es el peso específico del fluido (γ = ρg), h A es la energía que se agrega al fluido con un dispositivo mecánico como una bomba, hR es es la energía que se remueve del fluido por medio de un dispositivo mecánico como un motor de fluido, turbina, etc., y hL son las pérdidas de energía del sistema por la fricción en las tuberías, y pérdidas menores por válvulas y otros accesorios (Mott, 2006). El término h L suele representarse también como Σf. Para una tubería recta horizontal, con sección transversal de entrada igual a la sección transversal de salida, sin bomba ni motor de fluido incluido, la pérdida de energía debido a la fricción es:


33


 P  P   P  P           g 

h L   f  

1

2

1

2

En la siguiente figura se muestra como se realiza la transmisión del movimiento entre las capas de un fluido contenido entre dos placas planas, cuando el fluido se encuentra inicialmente en reposo y la placa superior se pone, súbitamente, en movimiento. Este comportamiento se conoce como flujo de Couette, que se muestra en la figura 15.

Figura 15. Couette. Tomado de Dobkin D. M., (2012).

1.4.3. Flujo de Couette en régimen transitorio Un tratamiento similar se puede hacer de un canal "corto", en una dirección el canal puede ser tratado como un flujo entre placas paralelas infinitas; la acción de difusión viscosa del momentum (movimiento) hacia la corriente, desde las paredes causará que el fluido esté completamente desarrollado después de una distancia lo suficientemente alejada de la entrada. La distribución de velocidad es cuadrática en cualquier posición vertical. El flujo de Couette es un problema clásico en la dinámica de fluidos el cual consiste en el movimiento de un fluido incompresible incompresib le y homogéneo entre dos placas paralelas o cilindros, donde una placa permanece en reposo y la otra en movimiento a una velocidad determinada. Ocurre en todo equipo que envuelve partes interesantes donde el espacio entre ellas es llenado por un fluido, donde una determinación de perfil de velocidades sirve de interés para varias ramas de la ingeniería como: lubricación, hidrodinámica, diseño de equipos, transferencia de calor y mecánica de los fluidos El flujo Couette. Figura 15, es un problema clásico en la dinámica de los fluidos y de Couette esta relaciona directamente con la dinámica de fluidos que se relaciona con el flujo laminar de un fluido viscoso en el espacio entre dos planos ubicados en planos paralelos o placas como se observó la imagen anterior en el cual uno está en movimiento relativo con respecto al otro.


34


El flujo en de Couette es conducido por la fuerza de arrastre actuando sobre este fluido y el gradiente de presión aplicado entre las dos placas.

Para ampliar tus conocimiento sobre la ecuación de Hagen-Poiseuille, tanto para fluidos newtonianos como para no newtonianos revisa la Sección 2.3 de Bird, R.B. et.al. (2006 ), ), del texto Fenómenos de transporte.

Bueno, ahora podrás continuar con el tema de capa límite hidrodinámica, incluyendo la teoría de Ludwing Prandtl y la simplificación de las ecuaciones de Navier-Stokes para este tipo de capa.

1.5. Capa límite hidrodinámica El concepto de capa limite, consiste cuando las partículas del fluido hacen contacto con la superficie, adquieren una velocidad cero. Estas partículas actúan entonces para retardar el movimiento de partículas en la capa contigua del fluido, que a su vez actúa para retardar el movimiento de las partículas en la siguiente capa, y así sucesivamente hasta que, una distancia de la superficie, el efecto se hace insignificante. Este retardo o desaceleración del movimiento del fluido se asocia con los esfuerzos cortantes que actúan en planos que son paralelos a la velocidad del fluido. Al aumentar la distancia dese la superficie, el componente de la velocidad del fluido debe entonces aumentar hasta que se aproxima al valor del flujo libre. De manera más específica, se le denomina capa imite de velocidad o hidráulica. Se produce siempre que hay un flujo sobre una superficie y es de fundamental importancia para problemas que incluyen transporte por convección.

1.5.1. Definición y caracterización de capa limite En fenómenos de trasporte la capa límite de un fluido es el área donde se realiza un movimiento perturbado por la presencia de un sólido con el que está en contacto el fluido. Dicha capa limite es la velocidad del fluido respecto a un sólido que está en movimiento, puede ser laminar o turbulento, en ocasiones es de gran utilidad que la capa limite sea turbulenta.


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En esta sección se considera un flujo en la vecindad de un placa, se entiende por capa limite a la región del flujo que se ve afectada por las funciones viscosas debido a la presencia de un objeto, dentro de esta región próxima a la profundidad del fluido diferente de cero. El grosor de la capa límite se extiende en dirección perpendicular al flujo hasta que el gradiente de la velocidad se iguala a cero y en la interfase de velocidad en la superficie en donde la constante de proporcionalidad es la viscosidad del fluido, el espesor de la capa limite se representa por  . La fricción del fluido viscoso sobre la superficie del sólido provoca una tensión de cizalladura proporcional al gradiente vertical de velocidades. La distribución de velocidades va desde cero en el contacto con la superficie hasta la velocidad máxima para las zonas alejadas de la superficie. La región comprendida entre ambos estados se denomina capa límite superficial (figura 16).

Figura 16. Capa límite (Muñoz, M.A .2008).

Las soluciones obtenidas, para un fluido ideal, para la distribución de velocidad no cumplen la condición hidrodinámica límite que el fluido se adhiere a las superficies sólidas del sistema. (v x = vy = 0 para todas las superficies sólidas fijas). De aquí que dichas soluciones no son válidas para describir los fenómenos de transporte en la inmediata proximidad de la pared. Concretamente, no puede calcularse la resistencia viscosa, ni se pueden obtener descripciones exactas de los procesos de transferencia de calor y materia en la interfase, ya que los flujos bidimensionales ideales indican la red de flujo mediante la función de corriente y una función potencial. (Bird. R. B. et.al., 2006).

Para ampliar tus conocimiento conocimient o sobre capa limite revisa los autores Welty, J.R. et.al. (1993). Fundamentos de Transferencia de Momento, Calor y Masa . Donde podrás encontrar las características de capa límite cuando es flujo turbulento y laminar.


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De acuerdo con el documento de Blasco, A. J. (2009) Bloque III: capa límite, se ha definido a la capa límite viscosa como la zona del flujo donde la viscosidad no se puede despreciar (aunque sea pequeña) debido a la existencia de elevados gradientes de velocidad.

1.5.2. Teoría de capa límite de Ludwing Prandtl Ludwing Prandtl formuló una teoría sobre la capa límite, la cual podrás comprender sin problema. Para un fluido circulando a través de una superficie sólida, el término de capa límite se aplica a una capa delgada, próxima a la superficie del sólido donde se presentan los efectos de fricción del fluido para valores grandes del número de Reynolds, ya que a medida que aumenta el número de Reynolds, decrece el efecto del esfuerzo cortante. Considerando a  como el espesor de la capa límite,  se toma arbitrariamente, como la distancia desde la superficie, hasta donde la velocidad alcanza el 99% de la velocidad de la corriente libre. (Welty, J. R. et al, 1993).

Figura 17. Esquema de la capa límite. Tomado de Geankoplis, C.J. (2004).

Puesto que la región donde ocurren los fenómenos de fricción se ha restringido a la capa límite y como esta es de muy pequeño espesor pueden realizarse aproximaciones que simplifican la resolución del sistema. Concretamente se trabaja con las ecuaciones de Navier-Stokes, las cuales para un flujo bidimensional e incompresible sobre una placa plana son:     v v  v      v v   x  y   x  y   t

 

x

x

x

x

xx

yx

y

v  v        v   v v   x  y   x  y   t

 

y

y

x

y

xy

yy

y


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Las cuales se reducen a las siguientes ecuaciones, conocidas como ecuaciones de la capa límite:  v x  t

 v x

 v x  x

 v y  v x

 v x  y 

 x

 v

 vy

 v  x

2

v

 v x  y

0

 y

En el estudio de flujo estacionario de fluidos incompresibles en conductos cerrados, la presentación matemática de tal situación del flujo suele concretarse bajo una orientación unidimensional, pues habitualmente se trabaja con valores promediados de las magnitudes fluidas en la sección transversal de la conducción (velocidad, presión y otras).

Para ampliar tus conocimiento sobre capa limite revisa los autores Welty, J.R. et al. (1993). Fundamentos de Transferencia de Momento, Calor y Masa. Donde podrás encontrar las características característ icas de capa límite de Ludwig Prandtl cuando es flujo turbulento y laminar.

Cuando un fluido circula a través de un tubo de sección circular, con diámetro interior D, se tiene una región inicial en la que se forma la capa límite hidrodinámica, cuyo espesor crece paulatinamente a medida que aumenta la distancia a partir de la entrada del tubo. Así mismo, va cambiando el perfil de la velocidad, como se ve en la siguiente figura.

Figura 18. Variación de la capa límite en un tubo. Tomado de Geankoplis, (2004).

La variación de la razón de v / v con respecto al número de Reynolds Re D v  / /  se presentan en la figura 19. prom



max

max


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Figura 19. Tomado de Geankoplis, (2004).

Bueno, ahora podrás continuar con el tema de capa límite hidrodinámica, incluyendo la teoría de Ludwing Prandtl y la simplificación de las ecuaciones de Navier-Stokes para este tipo de capa.

1.5.3. Simplificación de la ecuación de Navier- Stokes para el flujo en la capa limite La simplificación inherente a los fluidos perfectos, que no admiten el arrastre lateral, fue notada desde sus comienzos por los precursores y puesta muy de relieve por D’Alembert. A este momento, sólo resta conocer las características distintivas de un flujo turbulento y consecuencias matemáticas de las propiedades de la turbulencia. Cuando se impone la incomprensibilidad y se supone que ρ = 1 cuando es un fluido homogeneo, el sistema de Navier-Stokes, toma la forma:

Donde: Cuando el fluido es incomprensible u = nos da la velocidad que tendrá una partícula en cada punto x del espacio cada tiempo (t) p= p(x,t) es la presión en el seno del fluido Universidad Abierta y a Distancia de México

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f e= fuerza externa = viscosidad

v

En flujo turbulento, se asume que aparecen vórtices de diferentes escalas que interactúan entre sí. La fuerza La fuerza de arrastre debido a fricción en la capa límite aumenta. La estructura y localización del punto de separación de la capa límite cambia, a veces resultando en una reducción de la fuerza de arrastre global. Datos que nos estimulan a tratar el siguiente tema.

1.6. Turbulencia En los temas anteriores hemos visto cómo se pueden plantear y resolver problemas de flujo laminar y se ha indicado que la solución de problemas de flujo turbulento depende de la utilización de relaciones empíricas entre la densidad de flujo de cantidad de movimiento y los gradientes de velocidad de tiempo ajustado. En régimen turbulento turbulento hay fluctuaciones fluctuaciones de velocidad velocidad en todas las direcciones direcciones de la velocidad se puede descomponer en un promedio en el tiempo y componente componen te fluctuante de la velocidad. El fenómeno de turbulencia has sido estudiado por un buen número de científicos a lo largo de los años, cuando el agua de un rio fluye por su cauce existen diferentes formas de flujo. Si la velocidad del agua es pequeña, entonces este flujo es regular, cuando el agua pasa por alguna piedra que está en el rio, simplemente la rodea y el flujo continúa de manera regular. Sin embargo al aumentar la velocidad del agua llega un momento que el flujo se vuelve altamente irregular provocando que la piedra se rodee de remolinos, si la velocidad del agua es mucho más alta todavía, aparecen remolinos dentro de los remolinos en estas condiciones tenemos la turbulencia.

1.6.1. Características distintivas de un flujo turbulento Un flujo turbulento donde las partículas se mueven en trayectorias irregulares es turbulento debido a que sus fuerzas viscosas son débiles en relación con las fuerzas inerciales. La turbulencia según Taylor y Karma se produce cuando el fluido pasa sobre superficies de frontera o por un flujo de capas de fluido a diferentes velocidades que se mueven encima de la otra.


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Existen dos turbulencias: turbulencias: 



Turbulencia de pared: Ésta es formada o generada por efectos viscosos debido a la existencia de paredes. Turbulencia libre: Este fluido se produce en la ausencia de pared y es generado por el movimiento de capas de fluido a diferentes velocidades.

Durante el transcurso del tiempo se ha tratado de explicar el origen y la estructura de la turbulencia, algunos explican que la turbulencia es debida a la formación de los vórtices de la capa limite, como consecuencia de los disturbios que se generan por los golpes continuos debido a la pared; mientras que otras teorías atribuyen la turbulencia a la influencia del esfuerzo cortante, cuando se presenta un gradiente de velocidad con discontinuidades bruscas. Sin embrago a pesar de las múltiples investigaciones los resultados obtenidos sobre el desarrollo de la turbulencia no son del todo aceptables ya que son experimentales y teóricos cuando el f luido es estático.

Figura 20. Flujo turbulento. Geankoplis, (2004).

Actualmente existen varias teorías t eorías sobre el origen de la turbulencia, turbulencia, aunque las más aceptadas son las relacionadas con flujos laminares. Observa la imagen anterior donde un fluido laminar puede pasar a turbulento como se indica se muestra; estas capas paralelas y uniformes de un fluido se mueven a distintas velocidades A. Si se introduce una perturbación en la zona de contacto B, la presión en el punto B disminuye al acelerar el fluido en el punto B. el resultado es que la diferencia de presiones produce una fuerza neta que empuja al fluido en la zona de contacto. Aumentado las perturbaciones perturbaciones de la zona de contacto, se inicia la formación de torbellinos y dichas perturbaciones se terminan propagando al fluido dando paso a la creación de un flujo turbulento. La turbulencia de un fluido se puede visualizar como un conjunto de torbellinos de diferente escala que se superponen al flujo medio. Los torbellinos de mayor tamaño se rompen en torbellinos de menos escala, en un proceso en el que existe transferencia de energía que finalmente termina en choques moleculares.


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En esta sección se trata el tema de turbulencia, él reviste gran importancia dentro de las aplicaciones prácticas de la transferencia de momento y de la mecánica de fluidos. Para abordar este tema es necesario que consultes y estudies las siguientes secciones referenciadas: Bird, R.B. et al . (2006). Fenómenos de transporte .

En un flujo turbulento, las variables del flujo y del fluido cambian con el tiempo, por ejemplo, el vector de velocidad instantánea será muy diferente del vector velocidad promedio, tanto en magnitud como en dirección. (Welty, J. R. et al. 1993).

1.6.2. Consecuencias matemáticas de las propiedades de la turbulencia Sin embargo, Geankoplis, C. J. (2004), aborda la turbulencia desde dos puntos de vista: (1) la naturaleza de la turbulencia, y (2) la intensidad de la turbulencia. En el primer punto de vista se establece, principalmente, como se genera la turbulencia, la formación de remolinos y la fluctuación de la velocidad, mientras que en el segundo punto de vista se establece la importancia de la intensidad de la turbulencia, sobre todo para la comprobación comprobación de modelos y teorías de la capa límite. Para el caso del perfil de velocidad para un tubo liso de sección circular se tiene: v x v x max

1/ n

 y     R 

Mientras que para las capas límites, la ley de potencias se expresa como: 1/ n

v x v x max

 y      

La correlación de Blasius para el esfuerzo cortante es:  0

Donde

y

max



R en

tubos y

y

max



 0.0225  v

 en

2 x

max

   v

v x max

ymax

  

placas.

Los sistemas de fluidos son capaces de desarrollar un fenómeno que es difícil de medir o impredecible, conocido como turbulencia porque están gobernados por Universidad Abierta y a Distancia de México

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ecuaciones de movimiento no lineales. La mayor parte de los flujos que presentan turbulencia son los fluidos geofísicos, tales como la atmósfera o el océano, que son turbulentos. La turbulencia es una propiedad de los flujos y se define en función de una serie de características distintivas entre las que destaca la difusividad, que provoca una mezcla rápida y es capaz de aumentar los ritmos de transferencia de momento, calor y masa.

Actividades La elaboración de las actividades estará guiada por tu docente en línea, mismo que te indicará, a través de la Planeación didáctica del docente en línea , la dinámica que tú y tus compañeros (as) llevarán a cabo, así como los envíos que tendrán que realizar. Para el envío de tus trabajos usarás la siguiente nomenclatura: BFDE_U1_A1_XXYZ, donde BFDE corresponde a las siglas de la asignatura, U1 es la unidad de conocimiento, A1 es el número de actividad, el cual debes sustituir considerando la actividad que se realices, XX son las primeras letras de tu nombre, Y la primera letra de tu apellido paterno y Z la primera letra de tu apellido materno.

Autorreflexiones Para la parte de autorreflexiones debes responder las Preguntas de Autorreflexión indicadas por tu docente en línea y enviar tu archivo. Cabe recordar que esta actividad tiene una ponderación del 10% de tu evaluación. Para el envío de tu autorreflexión utiliza la siguiente nomenclatura: BFDE_E1_ATR _XXYZ, donde BFDE corresponde a las siglas de la asignatura, U1 es la unidad de conocimiento, XX son las primeras letras de tu nombre, y la primera letra de tu apellido paterno y Z la primera letra de tu apellido materno

Cierre de unidad A concluir esta unidad abras adquirido los conocimientos conocimientos necesarios para poder aplicarlos, no solamente en la solución de problemas que en forma teórica se te presentaron durante el curso, sino también desarrollado la habilidad para poder resolver problemas en el campo laboral.


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Si bien es cierto, que en México el campo del diseño de equipos y condiciones de operaciones de los procesos químicos aún está en una etapa incipiente, deberás de sentirte apto para poder contribuir en esos rubros, si tienes la maravillosa oportunidad de ingresar a una empresa que sea creadora de tecnología. También podrás aplicar, lo aquí aprendido en instituciones de investigación tanto nacionales como en el internacionales, y debes de tener la seguridad que al continuar ampliando tus conocimientos en el transcurso de la carrera, tendrás un panorama más amplio para participar con iniciativa y creatividad en el desempeño de las tareas asignadas.

Para saber más

…

http://catedras.quimica.unlp.edu.ar http://catedras.quimi ca.unlp.edu.ar/ftransporte/clas /ftransporte/clase6a.pdf e6a.pdf Para conocer más sobre el tema de capa límite te invito a que revises la siguiente liga http://www.slideshare.net/jaba09/capa-lmite http://www.youtube.com/watch?v http://www.you tube.com/watch?v=HDW9dX8OklE =HDW9dX8OklE http://gaussianos.com/paco-gancedo-nos-habl http://gaussianos.com/paco-gance do-nos-habla-sobre-singul a-sobre-singularidades-en aridades-en-la-laecuaciones-de-euler/ http://avibert.blogspot.com/2010/01 http://avibert.blogsp ot.com/2010/01/fluidos-viscosi /fluidos-viscosidad-reologia-y dad-reologia-y-textura.html -textura.html

Fuentes de consulta 1. Bird, R. B. et.al. ( 2006). 2006). Fenómenos de transporte. (2a ed.) Nueva York: Ed. John Wiley & Sons, Inc. 2. Betancourt, G. R. (1991). Fenómenos de Transporte: un curso introductorio. (Prefacio: Prólogo). Colombia: Centro de Publicaciones de la Universidad Nacional Seccional Manizales. 3. Constantin, Constanti n, P. (2007). On the Euler equations of incompressible incompres sible fluids Journal: Bull. Amer. Math. Soc. 44, 603-621 MSC (2000): Primary 76B47; Secondary 35Q30 Posted: July 5, 2007 MathSciNet review:2338368. 4. Córdoba, D. et.al. (2005). Las matemáticas de los fluidos: torbellinos, gotas y olas. La Gaceta de la Real Sociedad Matemática Española . Vol. 8.3, pp. 565595. Universidad Abierta y a Distancia de México

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5. Franco, C. A., et al. (2007). Fenómenos y mecanismos de transporte . Universidad de Sevilla. pagina_06. Recuperado Diciembre 08, 2012, de ocwus Web site: http://ocwus.us.es/arquitectura-e-ingenieria/operacionesbasicas/contenidos1/tema1/pagina_06.htm. Esta obra se publica bajo una licencia Creative Commons License. Copyright 2007, Autores y Colaboradores. Cite/attribute Resource. 6. Geankoplis, C. J. (2004). Procesos de transporte y operaciones unitarias . (5ª. Reimpresión). Reimpresión). México: Compañía Editorial Continental. 7. Instituto Tecnológico de Morelia, (2010). Fenómenos de Transporte I. Ingeniería Bioquímica. BQJ-1008. México: ITM. 8. Mott, R. L. (2006). Mecánica de fluidos . México: Pearson Prentice Hall. 9. Welty, J. R. et.al. (1993). Fundamentos de Transferencia de Momento, Calor y Masa. (5ª. reimpresión). reimpresión). México: Limusa.


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Unidad 1. Transporte de Cantidad de Movimiento (Momentum)

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