Unidad 1 Sistemas de Unidades

A I R E I N E G N I A L A N O I C C U D O R T N I

a h c n A a y a l P e d d a d i s r e v i n U

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[INTRODUCCION A LA INGENIERIA] INGENIERIA]

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UNIVERSIDAD DE PLAYA ANCHA CARRERAS DE INGENIERÍA ASIGNATURA DE INTRODUCCIÓN A LA INGENIERÍA

UNIDAD I: Magnitudes, dimensiones físicas y Sistemas de unidades

Elaborado por: Profesor Carlos Naveas H. Jefe de Carrera Ing. Estadística Responsable introd. a la Ing. para Ing. Civil Ambiental: Profesora Eva Soto Acevedo 1º Semestre 2008.

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1. Sistemas de Unidades Introducción Muchos profesionales, pero especialmente los ingenieros, necesitamos diariamente trabajar con magnitudes, dimensiones y unidades para poder describir y explicar la realidad y especialmente para poderla cuantificar. En esto debemos ser siempre muy precisos, precisos, para no cometer errores, errores, para no confundirnos confundirnos y para poder explicar bien y sin equivocaciones nuestros proyectos y nuestros resultados.

En el lenguaje de la vida cotidiana muchas o varias de las magnitudes que estudiaremos y deberemos manejar a menudo se suelen confundir y mencionar como si fueran sinónimos. Por ejemplo, muchos creen erróneamente que fuerza, presión, intensidad y energía representan lo mismo, que masa y peso es el mismo concepto, etc. Peor aún, algunos confunden una magnitud con alguna(s) de la(s) unidad(es) en que tal magnitud se mide, por ejemplo, confunden distancia con metro, tiempo con hora, rapidez con (km/h), etc. Una inmensa mayoría no conoce o no respeta la notación y símbolos mediante los cuales se deben expresar las magnitudes, las unidades y las dimensiones y eso conduce también a lamentables confusiones y equivocaciones. En muchos textos incluso se puede constatar esta confusión. Los ingenieros no pueden cometer ese grave error.

En consecuencia, partiremos explicando que debemos entender por magnitud física, por dimensión de una magnitud y por unidad o unidades en que las magnitudes deben ser expresadas. Acerca de todo esto entregaremos en cada caso ejemplos y aplicaciones que nos ayudarán a ilustrar y comprender mejor las explicaciones.

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Magnitudes En la naturaleza existen muchas magnitudes físicas de diversa índole, algunas de las cuales somos capaces de percibir directamente a través de nuestros sentidos (tacto, vista, audición, olfato, gusto) o bien en forma indirecta, mediante instrumentos o equipos especiales que permiten ampliar nuestra capacidad de percepción. En otros casos esas magnitudes o parte de las mismas podemos explicarlas sólo mediante modelos abstractos representativos de la realidad.

Es así como somos capaces de escuchar sonidos, ver colores y formas, distinguir objetos que que poseen poseen diversos diversos tamaños, tamaños, formas y consistencias, consistencias, percibir percibir olores agradables o desagradables, gustar sabores, distinguir texturas ásperas o suaves. Todo esto nos entrega una percepción de la realidad que nos rodea, percepción que, en todo caso, debemos ser plenamente conscientes que es limitada, ya que nuestros sentidos están limitados en su alcance y capacidad de percepción y que, en ocasiones, no es precisa y nos puede inducir a equivocaciones.

¿Saben ustedes, por ejemplo, que los reptiles pueden ver el calor emitido por los cuerpos y que por eso cazan de noche a sus presas, o que los perros perciben sonidos muy agudos o muy graves que nosotros, los humanos, no escuchamos? Estos son sólo algunos ejemplos de muchas situaciones que se encuentran fuera del alcance sensorial de los seres humanos. ¿Saben ustedes que de toda la gama de ondas electromagnéticas que existen en la naturaleza el ser humano es capaz de percibir mediante sus sentidos menos del 5%?

Para poder trabajar en forma precisa en el ámbito de la ciencia y de la tecnología se han definido entonces magnitudes físicas que, desde ahora en adelante, debemos conocer y comprender bien y que no debemos confundir. Es así como las magnitudes físicas se clasifican en MAGNITUDES FUNDAMENTALES FUNDAMENTALES y MAGNITUDES DERIVADAS.

Diremos además que los sistemas de unidades se clasifican en ABSOLUTOS (casos en que la masa se elige como magnitud fundamental) fundamental) y GRAVITACIONALES O TÉCNICOS (casos en que la fuerza se elige como magnitud fundamental).

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Las magnitudes fundamentales, según el Sistema Internacional de Unidades (SI), que ya veremos en mayor mayor detalle, son siete, pero de éllas éllas daremos a conocer, conocer, por el momento, sólo tres: MASA , cuyo símbolo es m y cuya dimensión dimensión es [M], LONGITUD , cuyo símbolo es l y cuya dimensión es [L] y TIEMPO, cuyo símbolo es t y cuya dimensión es [T]. Diremos desde ya que las dimensiones se expresan normalmente normalmente en paréntesis cuadrados y en mayúsculas y las unidades en paréntesis redondos. redondos.

Por ahora no intentaremos dar definiciones acerca de esas magnitudes y sólo diremos que de éllas nosotros vamos adquiriendo conciencia y conocimiento cabal a través de nuestros nuestros 5 sentidos, ya mencionados, mencionados, y esto sólo en forma forma paulatina. ¿No ¿No es verdad acaso que la percepción o significado del tiempo y su duración relativa que posee una persona adulta no es la misma que la que tiene un joven, un niño o un ser humano durante sus primeros 5 años de vida?.

En todo caso, más bien los invitamos a intentar una definición breve y precisa de estas magnitudes, con vuestras propias palabras, para luego compararlas y discutirlas entre ustedes.

¡Cuidado, discutir significa intercambiar opiniones, escuchar respetuosamente la opinión de los demás y atrevernos a dar nuestra propia opinión, en lo posible fundamentando y argumentando, para luego intentar rescatar aquello que mejor y más claramente explique o represente aquello que intentamos comprender bien, No significa enojarse ni pelear! La discusión, entendida de esta manera, es siempre muy deseable y constructiva en ciencia y tecnología (y en muchos otros ámbitos e instancias) y es el camino mediante el cual el ser humano ha podido ir descubriendo nuevas verdades y ampliando su horizonte de percepción y de comprensión de la realidad. En realidad la discusión, entendida de esta manera, es fundamental para casi todas las actividades humanas.

Combinando de diversas formas estas magnitudes fundamentales, especialmente mediante cuocientes (es decir, divisiones) o mediante productos (es decir, multiplicaciones) o combinaciones de estas operaciones, se pueden obtener diversas otras magnitudes físicas, conocidas como MAGNITUDES DERIVADAS.

Así, por ejemplo, la magnitud denominada SUPERFICIE (equívocamente denominada área, por razones que explicaremos después) se obtiene como el producto de una longitud por otra. En consecuencia, la superficie es una combinación de longitud por longitud, es decir, es una longitud al cuadrado, lo que de ahora en adelante expresaremos dimensionalmente dimensionalmente como [L 2]. 5


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A su vez, la magnitud denominada VOLUMEN se obtiene como el producto de tres longitudes entre sí, lo que se expresa dimensionalmente como [L 3].

Lo que conocemos bajo el concepto de RAPIDEZ (que no es lo mismo que velocidad) no es sino la comparación mediante mediante un cuociente o división entre la longitud recorrida por un objeto que se mueve y el tiempo que emplea en hacerlo, es decir dimensionalmente dimensionalmente es [L / T] o bien [L T - 1].

La magnitud conocida genéricamente como DENSIDAD (que en realidad es una densidad volumétrica de masa, ya que existe una gran diversidad de densidades) es simplemente la comparación entre la masa de un cuerpo y el volumen que ocupa en el espacio, es decir dimensionalmente dimensionalmente es [M / L 3] o bien [M L – 3]

Cabe destacar que un número importante de magnitudes derivadas derivadas y de índices de gran importancia para la ciencia y la tecnología, como las que acabamos de explicar, se construyen de esta manera.

Diremos finalmente en relación con las magnitudes algo muy importante. En la naturaleza existen MAGNITUDES ESCALARES y MAGNITUDES VECTORIALES. Magnitudes escalares son aquellas que quedan completamente definidas sólo mediante su valor numérico más la unidad de medida en que se expresen. Algunos ejemplos de magnitudes escalares son la masa, el tiempo, la temperatura, la densidad volumétrica de masa.

¿Cómo se deben expresar entonces estas magnitudes? Veamos algunos ejemplos:

a) Para masa

mA = 15 (kg) ,

mB = 0,5 (g)

b) Para tiempo t1 = 15,3 (h), c) Para temperatura

T1 = 24(°C)

t2 = 240,95 (s) T2 = 215(°K)

d) Para densidad volumétrica de masa

ρA

= 5,7 (kg/m3),

ρB

= 1,8 (g/cm3), etc.

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OBSERVACIONES IMPORTANTES 1) Como se observa en los ejemplos ejemplos anteriores, las unidades unidades deben escribirse escribirse siempre entre paréntesis redondos, con el propósito de evitar que, al trabajar en forma algebraica, las unidades se confundan con las magnitudes. 2) Además, para evitar evitar confusiones entre entre unidades unidades y para que todos todos quienes lean lean una información científica entiendan lo mismo, en todas partes del mundo, independientemente de cual sea su idioma materno, los símbolos de las unidades físicas están estandarizados y se escriben siempre en singular, no en plural. Acerca de esto haremos más comentarios un poco más adelante. 3) En los ejemplos anteriores hemos agregado dos magnitudes físicas importantes, temperatura, cuyo símbolo es T y densidad volumétrica de masa, cuyo símbolo es ρ (que se lee rho y corresponde a la letra R del alfabeto griego) Magnitudes vectoriales, en cambio, son aquellas que quedan completamente definidas sólo si se conocen de éllas su valor numérico o módulo, la unidad en que están expresadas, la dirección, el sentido y, en algunos casos, el punto de aplicación. Es necesario hacer presente que dirección no es lo mismo que sentido. Dirección es el ángulo que una recta forma con una recta horizontal de referencia y se mide en el sentido contrario a aquel en que se mueven los punteros de un reloj análogo. Cada dirección tiene dos sentidos que es necesario indicar explícitamente mediante la punta de una flecha cuando un vector se indica gráficamente. Hay diversas magnitudes físicas vectoriales. Por ejemplo, la velocidad (que no es lo mismo que la rapidez), la aceleración, la fuerza (de la que en muchos casos es necesario indicar el punto de aplicación), el torque (para el cual siempre es necesario indicar el punto de aplicación), etc. ¿Cómo se deben expresar entonces estas magnitudes? Veamos algunos ejemplos: a) Para velocidad VA = 50(km/h) 60° b) Para fuerza

F1 = 150(N) 120°

OBS 150(N) se lee 150 Newton

c) Para aceleración aB = 20 (m/s2) 75° A esta forma de indicar una magnitud vectorial se le denomina FORMA POLAR de un vector. Nótese que la magnitud está representada necesariamente en negrita para recalcar su carácter vectorial (así las verás en los textos). Cuando las magnitudes vectoriales se escriben en forma manuscrita DEBEN caracterizarse mediante una flecha ubicada sobre la letra que las representa Al representar a las magnitudes vectoriales en forma gráfica (se sugiere que lo hagas para estos ejemplos y para varios, más con ayuda de tu Profesor) el valor numérico o módulo de la magnitud queda representado por el TAMAÑO DE LA FLECHA (elegido de acuerdo a una escala de magnitudes) y la dirección queda representada por el ángulo medido, como se ha indicado ya, respecto a una recta horizontal de referencia y en sentido contrario a los punteros de un reloj análogo). 7


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Hay otras formas también para representar a las magnitudes vectoriales, por ejemplo la forma rectangular o cartesiana, que las conocerás ahora (optativamente, según lo decida tu Profesor) o más adelante, en otras asignaturas.

Diremos, además, que el ángulo se puede expresar mediante grados sexagesimales (es decir de base 60, como lo hemos hecho acá), pero al trabajar en ciencia y tecnología muchas veces es preferible hacerlo en radianes (es decir empleando el sistema circular de medición angular. También este aspecto se deja en forma opcional a ser explicado por tu Profesor o bien para analizarlo más adelante, cuando ya hayas estudiado y aprendido Trigonometría.

Dimensión Ahora bien, la combinación de magnitudes fundamentales (masa, longitud, tiempo) que da origen a una magnitud derivada, indicada en la forma en que lo hemos hecho anteriormente, es lo que se denomina DIMENSIÓN de la magnitud. Esto significa que la dimensión de una superficie, como ya hemos afirmado antes es [L 2], de un volumen es [L 3], de una rapidez es [L T -1], de una densidad volumétrica de masa es [M L -3], etc. Esto es muy importante de tener en cuenta cuando se trabaja con ecuaciones en ciencia y tecnología, ya que cuando los términos de una ecuación representan una determinada magnitud física, por ejemplo rapidez, se debe cumplir que TODOS los términos de esa ecuación deben tener la misma dimensión. En caso contrario la ecuación ya no representa una igualdad y, por lo tanto, está incorrecta, aunque las cifras digan lo contrario. En estos casos se dice que la ecuación es dimensionalmente incorrecta.

Cabe hacer presente que la revisión de la corrección dimensional de vuestras ecuaciones, cuando trabajen con magnitudes físicas, debiera constituirse en un hábito de trabajo.

Se sugiere que, con la posible ayuda de vuestro Profesor, intenten encontrar ahora o más adelante, la dimensión de otras magnitudes físicas derivadas importantes importantes y de empleo habitual para un ingeniero como, por ejemplo: aceleración, fuerza, energía, potencia, intensidad, presión u otras. Esto les dejará de manifiesto que es inaceptable para un profesional especialista en ciencia y tecnología y especialmente para un ingeniero, confundir estas magnitudes.

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Unidades Las unidades son patrones de medida de las magnitudes físicas, entendiendo por patrón, en este caso, un valor estandar de la magnitud física considerada, que se conozca y se reconozca como tal, en lo posible, en cualquier lugar y circunstancia. Como los patrones de medida son en esencia arbitrarios, es decir, que se pueden seleccionar EN SU ORIGEN (es decir al crearlos crearlos o definirlos) definirlos) a gusto, a lo largo de de la historia de la humanidad se han empleado muchos y diversos patrones de medida para cada una de las magnitudes físicas y se han empleado sistemas de unidades también diferentes. Esto ha provocado muchas confusiones y problemas, algunos de los cuales subsisten hasta el día de hoy.

Para entender bien cuales son los problemas asociados a no tener patrones únicos o universales de medida para una magnitud dada, realicemos algunos ejercicios relacionados con las magnitudes longitud y tiempo.

Ejercicio 1 Nuestro problema consistirá en medir el largo y el ancho de un objeto de forma rectangular y luego luego indicar la longitud longitud de su contorno o perímetro perímetro y la superficie de ese cuerpo. El objeto podría ser la sala de clases, un cuaderno, una hoja de papel, una caja de fósforos, etc. Para este ejercicio y el próximo forma previamente un grupo de no más de tres alumnos. Supongamos que elegimos como unidad de medida o patrón de medida de longitud, para este caso, la longitud de un palo de fósforo. Supongamos que elegimos como objeto a medir una hoja de tamaño oficio o de formato A4. a) Mide el largo largo de tu hoja hoja y exprésalo exprésalo en la unidad elegida elegida b) Mide el ancho de tu hoja y exprésalo en la unidad elegida c) Entrega el resultado resultado del perímetro de la hoja hoja y exprésalo en la unidad unidad que corresponde d) Entrega el resultado de la superficie superfici e de la hoja y exprésalo en la unidad que corresponde e) Repite todo lo anterior, empleando ahora como patrón de medida la longitud de la última falange de tu dedo pulgar (¿son de la misma longitud la de ambas manos?) f) Compara y discute discute tus resultados entre entre sí y con los de tus otros otros dos compañeros g) Escribe tus resultados, tus observaciones observaciones y tus conclusiones conclusiones h) Discutan sus resultados, resultados, observaciones observaciones y conclusiones como como curso y con el Profesor i) ¿Qué pasaría si empleáramos empleáramos esta unidad patrón patrón (la que han empleado en este ejemplo) en forma habitual para medir longitudes? ¿Qué otras unidades podríamos elegir? ¿Cuáles serían preferibles según el caso? ¿Por qué? j) Obtengan y anoten anoten observacione observacioness y conclusiones conclusiones generales generales y definitivas definitivas

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Ejercicio 2 Nuestro problema consistirá ahora en medir cuanto se demora una persona en contar desde 1 hasta 120. Uno de los integrantes del grupo contará (en SILENCIO) haciendo solamente un gesto indicador del inicio y del término del conteo (por ejemplo levantando su dedo índice). Los otros dos medirán el tiempo que transcurre entre ese instante inicial y el instante final, empleando como unidad de medida su pulso, es decir, cuanto demora su corazón entre un latido y otro. a) Midan y anoten el resultado obtenido tres veces b) Repitan la medición empleando un reloj convencional, en lo posible con segundero. c) ¿Cuál es el resultado en cada caso? d) Comparen sus resultados resultados con los de otros dos grupos e) ¿Con qué resultado definitivo se quedan? f) Escriban sus resultados resultados definitivos, sus observaciones observaciones y sus conclusiones conclusiones g) Discutan sus resultados, resultados, observaciones observaciones y conclusiones como como curso y con el Profesor h) ¿Qué pasaría si empleáramos esta unidad unidad en forma habitual habitual para para medir medir tiempo? ¿Qué otras unidades podríamos elegir? ¿Cuáles serían preferibles según el caso? ¿Por qué? i) Obtengan y anoten anoten resultado, observaciones observaciones y conclusiones conclusiones definitivas definitivas Después de realizados estos ejercicios se sugiere que los alumnos lean respecto a la vida y obra de Galileo Galilei, especialmente en cuanto se refiere a la forma y dispositivos para medir el tiempo, o sea, a los primeros relojes (péndulo y clepsidras). También se sugiere que lean y se informen respecto a los primeros instrumentos para medir longitudes (odómetros). Busquen al respecto en Internet (Wikipedia u otros sitios). Las primeras unidades patrones de longitud empleadas por el ser humano tuvieron su origen y estuvieron relacionadas con medidas antropomórficas, es decir, con medidas de longitud del propio cuerpo humano. Así es como se generaliza el uso de la pulgada, del pie, del codo, de la cuarta. ¿Por qué creen ustedes que no se siguen empleando hoy en día y especialmente en ciencia y tecnología estas unidades? ¿Qué otras unidades “extrañas” conocen ustedes para medir longitud? ¿Para medir otras magnitudes físicas? Anótenlas. ¿Cuáles son sus equivalencias con las unidades habitualmente empleadas hoy en día para medir esas magnitudes físicas? ¿Cuáles son sus observaciones observaciones y comentarios al respecto? Si ustedes han realizado a conciencia, en forma completa y ordenada todas estas actividades, seguramente tendrán muchas inquietudes, dudas y preguntas respecto a las unidades, preguntas a las que es necesario darles respuestas lógicas y coherentes. Esperamos también que hayan comprendido y aclarado bien muchas situaciones previamente confusas.

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Para analizar lo anterior anterior reservaremos un lapso al inicio de la clase siguiente siguiente

Luego de estas primeras actividades realizadas y de las explicaciones preliminares entregadas y aprendidas, ¿te has dado cabal cuenta de lo importante que es para estudiar ciencia y tecnología (y para casi todas las actividades humanas) el manejar bien el lenguaje?

¡En realidad, muchos de los errores que cometemos tienen su principal origen en un lenguaje pobre, impreciso o incorrecto, ya que esto es una barrera que nos impide dar a conocer bien nuestras ideas a los demás así como recibir en forma completa y correcta la información que los demás nos entregan!

¡Para poder ser un buen estudiante y un futuro profesional eficiente y respetable, esfuérzate entonces cada día por mejorar y enriquecer tu lenguaje!

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Unidades (continuación)

Como se habrán podido dar cuenta, luego de realizar los ejercicios anteriores, las características y propiedades deseables y necesarias que debe reunir un patrón de medida de cualquier magnitud física son:

o

o o o

Ser en lo posible un patrón universal, conocido y empleado por todos en cualquier lugar o circunstancia Ser lo más invariable posible, posible, para evitar errores Ser fácilmente reproducible en cualquier parte Ser accesible (que no es lo mismo que asequible, consulta tu diccionario)

Para cumplir con estos requisitos básicos, sin los cuales no era posible progresar en ciencia ciencia y tecnología, se empezaron a establecer desde desde principios del del siglo 20 los denominados Sistemas de Unidades. En orden cronológico los más importantes de estos sistemas fueron el Sistema Inglés o Anglosajón, el Sistema Métrico Decimal (que a partir del año 1948 fue racionalizado) y el Sistema Internacional de Unidades, que se crea y difunde mundialmente a partir de 1960, aproximadamente.

Durante un período breve se empleó también, especialmente para trabajos científicos, el Sistema CGS (centímetro (centímetro para longitud, longitud, gramo para para masa y segundo para tiempo) que se recomienda no emplear más para evitar confusiones.

En la práctica los tres sistemas ya indicados se emplean hasta la actualidad (ya que, por ejemplo, nadie botaría un torno que fabrique pernos calibrados en unidades inglesas si aún funciona bien), pero esto obliga a realizar en muchos casos conversiones de unidades, lo cual no es agradable ni es práctico. Tampoco resulta económico.

Los diversos países del mundo han ido incorporándose paulatinamente, entre éllos Chile, al empleo exclusivo sólo del último de los sistemas indicados, según lo recomiendan todos los organismos y agencias internacionales ligados a la Ciencia y Tecnología y esto ha sido materia de Tratados Internacionales. Es así también como prácticamente todas las editoriales del mundo (incluso las anglosajonas) editan los textos relativos a ciencia y tecnología empleando el Sistema Internacional de Unidades.

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Por las razones indicadas anteriormente conoceremos las características principales de los tres sistemas, ya que un ingeniero tiene la obligación de conocerlos y manejarlos por razones culturales y profesionales, dando énfasis en todo caso al Sistema Internacional. Internacional.

Culminaremos este capítulo estudiando y aplicando la notación científica, que permite simplificar la notación y la operación de cantidades, especialmente aquellas con muchas cifras.

Sistema Inglés o Anglasajón de Unidades

En este sistema la unidad patrón para la medición de longitudes es la pulgada, que se indica (pulg) en castellano y como (inch) en inglés. Su equivalencia con el sistema métrico decimal es 1(pulg) = 2,54(cm). También existen unidades de medición de longitud que corresponden a múltiplos de la anterior y que tienen como propósito hacer más práctica y expedita la medición de longitudes mayores. Estas unidades son el pie, que se indica como como 1(pie) en castellano castellano y como 1(ft) en inglés, inglés, la yarda, que se indica como 1(yd), tanto en castellano como en inglés y la milla terrestre (que no es igual a la milla náutica), que se indica 1(milla) en castellano y 1(mile) en inglés. Sus equivalencias equivalencias respectivas respectivas son:

1(ft) = 12(inch)

1(yd) = 3 (ft)

1(mile) = 63.360(inch) = 5.280(ft) = 1.760(yd)

La unidad patrón para la medición de la masa es la libra inglesa, que se indica (lb) en castellano y (pound) en inglés. Su equivalencia equivalencia con el sistema métrico decimal decimal es 1(lb) 1(lb) = 0, 454(kg) 454(kg)

La unidad patrón para la medición del tiempo es felizmente coincidente con la del sistema métrico y con la del sistema internacional y es el segundo, que se indica como 1(s) 1(s) y QUE NO SE DEBE ESCRIBIR EN LAS FORMAS 1(sg) 1(sg) ó 1(seg)

La forma más correcta para proceder a la conversión de unidades, con el propósito de disminuir la posibilidad de cometer errores, de hacer más expedito el procedimiento y de poder revisar posteriormente, se ilustrará a continuación mediante algunos ejemplos. Se sugiere que realices muchos ejercicios similares.

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Ejercicio 1. Un carrete de hilo de coser coser indica en su etiqueta etiqueta que la longitud longitud del hilo contenido en el carrete carrete es de 40(yd). 40(yd). ¿A cuántos cuántos metros (m) corresponde corresponde esta longitud?

40(yd) = 40 * 3(ft/yd) * 12(inch/ft) * 2,54(cm/inch) 2,54(cm/inch) * 0,01(m/cm) = 36,576 (m)

Rpta: La longitud del hilo contenido en el carrete es igual a 36, 576(m)

Como habrás podido apreciar a través de este ejemplo, ejercicios de este tipo se pueden resolver en una sola línea, en forma compacta y completa, estableciendo una secuencia de productos encadenados entre sí, en que cada uno de los factores representa la equivalencia entre una unidad y la otra. De esta forma las unidades se pueden ir simplificando entre sí de una forma cómoda y rápida. Todo lo realizado queda a la vista y se puede revisar sin problemas. Este procedimiento es MUCHO mejor y más rápido que resolver mediante sucesivas reglas de tres separadas entre sí que lo único que provocan es confusión, mucho desorden, errores y pérdida de tiempo.

¡Cuidado! En ejercicios de este tipo es INDISPENSABLE que anotes todas las unidades que corresponde considerar y que se debe operar tanto con los valores numéricos como con las unidades

Nótese que el último factor, que representa la relación de tamaño entre centímetro y metro, corresponde a un valor menor que 1, ya que el (cm) es cien veces menor que el (m).

Ejercicio 2. La longitud de una una cancha de fútbol es de de 110(m). ¿Cuál es su longitud, longitud, expresada en yardas? ¿Expresada en pulgadas? OBSERVACIÓN. Recalquemos Recalquemos primero algo que debiera debiera ser obvio, PERO QUE QUE A VECES NO LO ES. Una Una magnitud física, cualquiera cualquiera que que esta sea, sea, no cambia dependiendo de cual sea la unidad en la que expresa. Lo que cambia es sólo el valor numérico asociado a la unidad en la que se indica. En este caso, evidentemente, la cancha no se encoge ni se estira por la circunstancia de expresarse en metros, en yardas o en pulgadas. ¡Que esto no se te olvide nunca!

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Sistema Métrico Decimal

El Sistema Métrico Decimal tiene su origen en Francia, durante la Revolución Francesa, y se extendió en primera instancia más y mejor a los países de ascendencia ascendencia latina, es decir, aquellos países cuya lengua tiene sus raíces en el latín y en la cultura proveniente del Imperio Romano (castellano, francés, portugués, italiano, rumano y otras, denominadas también lenguas romances).

Se sugiere que busques en Internet más antecedentes históricos respecto a la creación de este sistema de unidades, antecedentes que son muy interesantes (pueden ser materia de un trabajo grupal) pero que no tenemos tiempo de analizar en clases.

Como siempre existió rivalidad cultural, económica y territorial entre Inglaterra y Francia eso explica que ambos ambos sistemas de unidades unidades persistan hasta hasta el día de hoy, aunque es evidente que el sistema inglés de unidades cada día es menos empleado, incluso en los países anglosajones, que en su momento pertenecieron al Imperio Británico y que hoy conforman la Commenwealth (Comunidad Británica de Naciones).

La gran ventaja que posee el Sistema Métrico Decimal por sobre el Sistema Inglés se explica precisamente por su carácter decimal, es decir, por estar basado en el número 10 y en potencias de 10. Como el ser humano posee diez dedos en las manos y en sus pies, piensa y calcula de una manera más natural en esa base 10 (aunque podría hacerlo en cualquier otra). Se sugiere que ustedes, por una inquietud cultural, investiguen que culturas han empleado otras bases de numeración, por ejemplo, 5, 20, 60, averiguando el motivo (las cosas siempre tienen una causa y una explicación).

Es en este sistema decimal donde se establece por primera vez que se consideren como magnitudes fundamentales la masa (en lugar del peso), la longitud (en lugar del volumen) y el tiempo. De igual forma se eligió al metro patrón (y de allí el adjetivo métrico) como la unidad patrón de longitud, al kilogramo kilogramo ( y no al gramo) como la unidad patrón de masa y al segundo como la unidad patrón de tiempo. También es importante que, por razones culturales averigüen como se definieron originalmente estas unidades patrones, especialmente especialmente para el caso del metro.

Además de las unidades patrones ya mencionadas, y cuyos símbolos son (m) para el metro, (kg) para el kilogramo y (s) para el segundo, y con el propósito de manejar en forma más simple la notación de cantidades muy grandes o muy pequeñas 15


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respecto a la unidad patrón, se establecieron múltiplos y submúltiplos de cada unidad, especialmente empleadas para el caso de la longitud, superficie, volumen y masa. Estos múltiplos o submúltiplos submúltiplos se ordenan ordenan también también en base a potencias potencias de 10, como veremos a continuación. continuación.

Es así como se elige el nombre nombre Deca, cuyo símbolo es da, da, para el prefijo 10 = 10 , el nombre Hecto, cuyo símbolo es h, para el prefijo 100 = 10 2 y el nombre Kilo, cuyo símbolo es k (cuidado, k minúscula para no confundirlo con el grado Kelvin, que corresponde a una escala de temperaturas), para el prefijo 1000 = 10 3. 1

OBSERVACIÓN Por mal hábito nos hemos acostumbrado en el lenguaje cotidiano a asociar la palabra kilo exclusivamente al kilogramo de masa (kg), es decir, a una cantidad de masa igual a 1000 gramos, pero es importante que ustedes sepan desde ahora que el el prefijo kilo, así así como cualquier cualquier otro prefijo, prefijo, se puede anteponer anteponer a cualquier unidad de medida que represente a cualquier magnitud física. De igual forma se elige el nombre deci, cuyo símbolo es d, para el prefijo 0,1 = 10 , el nombre centi, cuyo símbolo es c, para el prefijo 0,01 = 10 -2 y el nombre mili, cuyo símbolo es m, para el prefijo 0,001 = 10 10 -3 -1

Apliquemos estos prefijos tanto a las unidades de longitud como de masa, lo que apreciaremos en forma más compacta en las tablas siguientes, para luego aplicarlas mediante algunos ejercicios

TABLA 1 UNIDADES DE LONGITUD LONGITUD

UNIDAD PATRON: Metro patrón

Notación 1(m)

MÚLTIPLOS: Decámetro

Notación 1(dam) = 10(m) = 101(m)

Hectómetro

Notación 1(hm) = 100(m) = 102(m)

Kilómetro

Notación 1(km) = 1000(m) = 103(m)

SUBMÚLTIPLOS: decímetro

Notación 1(dm) = 0,1(m) = 10-1(m)

centímetro

Notación 1(cm) = 0,01(m) = 10-2(m)

milímetro

Notación 1(mm) = 0,001(m) = 10-3(m)

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TABLA 2 UNIDADES DE MASA UNIDAD PATRÓN: Kilogramo patrón Notación 1(kg) OBSERVACIÓN. Nótese que en este caso, a diferencia del caso anterior de las unidades de longitud, la unidad patrón es el kilogramo y no el gramo SUBMÚLTIPLOS : Hectogramo

Notación 1(hg) = 0,1(kg) = 10 -1(kg)

Decagramo

Notación 1(dag) = 0,01(kg) = 10 -2(kg)

gramo

Notación 1(g) = 0,001(kg) = 10-3(kg)

decígramo

Notación 1(dg) = 0,0001(kg) = 10 -4 (kg)

centígramo

Notación 1(cg) = 0,00001(kg) = 10 -5(kg)

miligramo

Notación 1(mg) = 0, 000001(kg) 000001(kg) =10 -6(kg)

Ejercicio 1. a)¿Cuántas veces mayor es un Kilómetro respecto a un decímetro? b)¿El Hectómetro respecto al milímetro? Dos cantidades de igual naturaleza, en este caso dos longitudes, se pueden comparar por diferencia o mediante un cuociente o división. LA MEJOR FORMA DE COMPARAR EN CIENCIA Y TECNOLOGÍA ES MEDIANTE UN CUOCIENTE. Esto lo comentaremos en mayor grado de detalle más adelante. a) 1(km) / 1(dm) = 103(m) / 10-1(m) = 103 – (-1) = 103 +1 = 104 = 10.000 Rpta. El Kilómetro es 10 4 = 10.000, es decir diez mil veces mayor que el decímetro OBSERVACIÓN. Nótese que en la división en este caso se simplifican las unidades y la respuesta es simplemente un número indicador de cuantas veces mayor (en este caso) o menor es el numerador respecto del denominador b) 1(hm) / 1(mm) = 102(m) / 10-3(m) = 102 – (-3) = 10 2 + 3 = 105 = 100.000 Rpta. El Hectómetro es 10 5 = 100.000, es decir cien mil veces mayor que el milímetro Ejercicio 2. a)¿Cuántas veces menor es el centímetro respecto al Decámetro? b) ¿El decímetro respecto al Hectómetro? a) 1(cm) / 1(dam) = 10-2(m) / 101(m) = 10 -2 – 1 = 10-3 = 0, 001 Rpta. El centímetro es la milésima parte del Decámetro b) 1(dm) / 1(hm) = 10-1 (m) / 102(m) = 10 -1 – 2 = 10-3 = 0,001 Rpta. El decímetro es la milésima parte del Hectómetro

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Ejercicio 3. La estatura de una persona adulta de sexo masculino es 1,75(m). a) ¿Cuál es su estatura estatura expresada expresada en (mm)? b) ¿En (km)? 1,75(m) = 1,75(m) * 10 3(mm/m) = 1,75 * 103(mm) = 1.750(mm) Rpta. La estatura de la persona, expresada en (mm), es 1.750(mm) (mil setecientos cincuenta (mm) 1,75(m) = 1,75(m) * 10 -3(km/m) = 1,75 * 10-3(km) = 0, 00175(km) Rpa. La estatura de esa esa misma persona, persona, expresada en en (km) es 0,00175(km) 0,00175(km) (ciento setenta y cinco cien milésimas de (km) ) Se sugiere que realices diversos otros ejercicios de este mismo tipo, tanto para unidades de longitud como para unidades de masa

Unidades de superficie UNIDAD PATRÓN: 1(m2) que se lee “un metro cuadrado” OBSERVACIÓN Para que tengas una cabal idea de lo que es 1(m 2) se sugiere que dibujes en el suelo con tiza una figura cuadrada, cada uno de cuyos lados mida 1(m) y te pares dentro de élla. Desde ya debes tener presente que no sólo las figuras de forma cuadrada o rectangular se expresan en (m 2) o, como veremos a continuación, en otras unidades de longitud al cuadrado, sino que TODAS las superficies, también aquellas con formas irregulares (como una hoja de árbol o como la palma de la mano, por ejemplo) y también aquellas superficies que no son planas sino que curvas (como una superficie superfici e cilíndrica o como la superficie de una esfera) o alabeadas (una bandera flameando al viento o una plancha de ondulada de zinc para techumbre son ejemplos de superficies alabeadas).

Antes de escribir la Tabla 3, que resume en forma compacta las relaciones de equivalencia entre los múltiplos y submúltiplos de las unidades de superficie con respecto a su unidad de referencia, que es el metro cuadrado, es más importante que COMPRENDAS el motivo por el cual estas magnitudes son mayores o menores respecto a la inmediatamente inferior o superior en 100 veces , en lugar de 10 veces, como ocurre con el caso de las Tablas anteriores de longitud y masa. Para esto se propone la siguiente actividad. En una hoja tipo croquis, es decir, en una hoja completamente blanca, sin líneas ni cuadros, dibuja un cuadrado que tenga 10(cm) por cada lado. A continuación, subdivide cada lado en tramos de 1(cm) de longitud y traza líneas verticales y horizontales en el interior del cuadrado que unan estas subdivisiones. Observarás que se te formaron cuadrados más pequeños, cada uno de los cuales tiene una longitud en cada lado de 1(cm), es decir una superficie de 1(cm2). ¿Cuántos de estos cuadrados hay en el cuadrado mayor de 1(m 2). 18


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Anota tu conclusión en la misma figura, debajo de la figura obtenida, y pega esta hoja en tu cuaderno. El ser humano, a diferencia de otros seres vivos, es capaz de INFERIR O INDUCIR, es decir obtener conclusiones generales a partir de un ejemplo particular o de unos pocos ejemplos. Sin necesidad de dibujar nada, simplemente pensando, anota los resultados de los siguientes ejercicios: 1. ¿Cuántos cuadrados cuadrados de 1(m) caben caben en el interior interior de un cuadrado cuadrado de 10(m) por lado? 2. ¿Cuántos cuadrados cuadrados de 1(m) caben caben en el interior interior de un cuadrado cuadrado de 100(m) por lado? 3. ¿Cuántos cuadrados de 1(m) caben en el interior de un cuadrado de 1000(m) por lado? Anota tu conclusión por escrito y fundaméntala Ahora te habrás podido CONVENCER, lo que es muchísimo más valioso que simplemente aprender de memoria, cual es la causa de la relación existente entre las unidades de superficie inmediatamente superiores o inferiores.

OBSERVACIÓN . Cuando las cosas simplemente se aprenden de memoria, sin comprenderlas, no dejan mucha huella y rápidamente se olvidan. Los seres humanos hacemos hacemos propio lo que aprendemos, aprendemos, es decir, decir, lo APREHENDEMOS APREHENDEMOS O INTERNALIZAMOS, que nos es lo mismo, sólo cuando somos capaces de explicar a otra persona con NUESTRAS propias palabras lo que sabemos, bastante tiempo después de haberlo aprendido. En una disciplina científica o en sus aplicaciones tecnológicas, para que los conocimientos realmente sirvan deben ser APREHENDIDOS y no simplemente aprendidos de memoria. Ahora sí estamos en condiciones de anotar la Tabla 3 y, más importante aún, de aplicarla en forma lógica y comprensiva a diferentes ejemplos

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TABLA 3 UNIDADES DE SUPERFICIE

UNIDAD DE REFERENCIA 1(m2), que se lee “un metro cuadrado” MÚLTIPLOS: Kilómetro cuadrado Notación 1(km2) = 1.000.000(m2) = 106(m2) Hectómetro cuadrado Notación 1(hm 2) = Decámetro cuadrado Notación 1(dam 2) =

10.000(m2) = 104(m2) 100(m2) = 102(m2)

decímetro cuadrado Notación 1(dm 2) = 0,01(m2) = 10 -2(m2) centímetro cuadrado Notación 1(cm2) = 0,0001(m2) = 10 -4(m2) milímetro cuadrado

Notación 1(mm2) = 0,000001(m2) = 10 -6(m2)

OBSERVACIONES 1. La unidad múltiplo de un metro cuadrado ubicada en el tercer lugar en esta Tabla 3, es decir el Decámetro cuadrado, en el lenguaje corriente y especialmente especialment e en aplicaciones agrícolas, se denomina área. Por este motivo es un error confundir área (una unidad de superficie) con la superficie misma, es decir una unidad con la magnitud a la que representa. 2. Además debe tenerse en cuenta que una hectárea (también empleada en aplicaciones agrícolas) en realidad es un hectómetro cuadrado, es decir 1(hm 2). Esto se presta a confusiones con las que hay que tener cuidado. A continuación aplicaremos lo que hemos aprendido respecto a las unidades de superficie a diversos ejercicios, con el propósito de mejorar nuestra COMPRENSIÓN acerca del manejo de estas unidades que son de gran importancia en la vida cotidiana y desde luego en las aplicaciones de ingeniería. Se sugiere que en vuestro Taller de la asignatura y con la ayuda de vuestro Profesor desarrollen varios otros ejemplos similares. Ejercicio 1. ¿Cuánto mayor es 1(hm 2) respecto a 1(cm 2) o, dicho de otra manera, cuántos (cm2) están contenidos o caben en 1(hm 2)? Comparemos mediante cuociente otra vez: 1(hm2) / 1(cm2) = 104(m2) / 10-4(m2) = 10 4 – (-4) = 108 veces Rpta. El Hectómetro cuadrado es 108 veces mayor que el centímetro cuadrado, o bien, en un Hectómetro cuadrado caben 100 millones de centímetros cuadrados. Expresado al revés, se puede afirmar que una superficie del tamaño de un centímetro cuadrado es cien millones de veces más pequeña (es la cien millonésima parte) de una superficie del tamaño de un Hectómetro cuadrado. 20


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Ejercicio 2. ¿Cuánto menor es 1(mm 2) comparado con 1(dam 2)? 1(mm2) / 1(dam2) = 10-6(m2) / 102(m2) = 10 -6 – 2 = 10-8 veces Rpta. Escríbela tú y coméntala y compárala con las respuestas de tus compañeros Ejercicio 3. Las propiedades inmuebles, ya sean estos terrenos o edificios o casas o departamentos se venden y compran de acuerdo con su SUPERFICIE. En el caso de los edificios y casas se trata tanto de la superficie del terreno como de la superficie construida (que no es lo mismo) y en el caso de los departamentos se trata sólo de la superficie construida. Supongamos que deseas adquirir un terreno rectangular que mide 120(m) de largo por 70(m) de ancho que tiene un valor unitario o precio de 2.500($/m2). ¿Cuánto vale el terreno? OBSERVACIÓN PREVIA. Al igual como en el caso de las magnitudes físicas derivadas como la densidad relativa de masa y la rapidez ya vistas (y muchas otras que ya conocerás) acá tenemos un cuociente o división híbrido (es decir un cuociente entre cantidades de diferente naturaleza) que es de mucho interés también en la práctica. Se trata en este caso de un precio, es decir, del valor unitario de algo, en este caso de la superficie de un terreno. Casi todos los índices o indicadores son en la práctica cuocientes de este tipo. En tu vida profesional te vas a encontrar con numerosos índices de diversa índole. Consúltale a tu Profesor por índices de interés especial para el campo profesional de tu carrera por ejemplo. ¿Conoces tú otros? Valor total de algo = Precio * Cantidad que se compra, ya que si: P : precio Entonces, como

V: valor total

C: cantidad que se compra o vende de algo

P = V / C, despejando la ecuación se tiene que V = P * C

En este caso C = S (superficie total del terreno ) y S = L * A (largo por ancho) En consecuencia

V=P*L*A

Reemplazando valores

V = 2.500($/m 2) * 120(m) * 70(m) = 25.000($/m2) * 8400(m2) V = $ 21.0000.000

Rpta. El valor total de la superficie de terreno es de veintún millones de pesos OBSERVACIÓN. Este ejemplo representa un primer caso muy simple de un problema de planteo, cuyo método de resolución general, para un estudiante universitario, debiera ser: a) Lectura comprensiva comprensiva del enunciado (un par de de veces, por lo menos) 21


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b) Identificación algebraica de las magnitudes y de las unidades de esas magnitudes involucradas en el problema c) Planteo algebraico algebraico del problema, es decir, solu solución ción del problema en general general mediante una ecuación y no simplemente para un caso particular (solución aritmética) d) Solución general del problema, es decir, despejar la ecuación para aquella magnitud que representa la magnitud desconocida que representa a la incógnita del problema e) Reemplazar los valores numéricos de las magnitudes conocidas, con sus unidades. f)

Efectuar las las simplificaciones simplificaciones que correspondan, correspondan, especialmente especialmente entre las unidades.

g)

Operaciones aritméticas (a mano mano o con calculadora) para llegar al resultado. resultado. Si esto se hace antes de tiempo, lo único que se logra es perder de vista la línea conductora de lo que se está haciendo, además de impedir o por lo menos dificultar mucho la revisión y la corrección posterior

h) Analizar críticamente críticament e el resultado tanto en cuanto a su valor numérico como en cuanto se refiere a la(s) unidad(es) que lo representan para comprobar si corresponde a un resultado lógico y esperable OBSERVACIÓN 1. Debemos adquirir adquirir el hábito hábito de trabajar trabajar de esta manera si queremos queremos tener tener éxito en cualquier carrera de índole científica y/o tecnológica y muy especialmente en una ingeniería, hábito que a algunos les cuesta bastante, pues lamentablemente lamentablemente no se practica mucho ni bien en nuestra enseñanza media. media. 2. A lo anterior se deberán agregar otros pasos y componentes a poco andar, por ejemplo, necesidad de incorporar diagramas y gráficos que contribuyan a explicar las características características y comportamiento comportamiento de las magnitudes que están involucradas en el problema, programas de computación que resuelvan en general, de una vez y para siempre (pues pueden quedar almacenados), todos aquellos problemas que se resuelven de la misma manera, etc. 3. Si el buen hábito no se adquiere rápido y AHORA, mediante ejemplos simples, como el recién presentado, cada vez resultará más complejo resolver problemas de mayor grado y nivel de dificultad. Ejercicio 4 (sugerido). Es necesario pintar por un solo lado, con dos manos de pintura, una muralla de 500(m) de longitud por 2,5(m) de altura. La pintura a emplear, para el tipo de acabado superficial que posee la muralla, rinde 3,4(m2/litro). La pintura se vende en tinetas tinetas de 20(litro), 20(litro), cada una de las las cuales tiene un precio de de 45.000($/tineta) 45.000($/tineta) a) ¿Cuántas tinetas de de pintura pintura se necesitan comprar? b) ¿Cuál es el valor total de la pintura necesaria para el trabajo? 22


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Ejercicio 5 (sugerido). Si en lugar de pintar una muralla, como la indicada anteriormente, se debe pintar sólo exteriormente una cañería cilíndrica de 1,5(m) de diámetro y 1,3(Km) de longitud, repetir el problema anterior para iguales datos. ¿Sabes cuál es la superficie del manto de un cilindro? Si no lo sabes averígualo y justifícalo previamente. previamente. Ejercicio 6 (sugerido). Se debe cerrar un terreno rectangular de 500(m) de largo y 120(m) de ancho) con postes de madera de 2,5(m) de altura, ubicados cada 2(m) entre sí y con 5 hebras de alambre de púa. Cada poste tiene un precio de 1.500($/poste) y el carrete o rollo de alambre de púa de 100(m) cuesta 10.000($/carrete) a) ¿Cuántos postes y cuántos cuántos rollos o carretes de alambre alambre de púa se necesitan necesitan comprar? b) ¿Cuánto cuestan cuestan los materiales materiales necesarios necesarios para realizar el trabajo? Repite el ejercicio anterior, pero ahora para cerrar un terreno de forma circular de 200(m) de diámetro. Analiza con cuidado. Discute y compara tus resultados, así como las similitudes y diferencias con el caso anterior. Una aplicación de especial interés para cualquier ingeniero es ser capaz de elaborar y de saber interpretar planos dibujados dibujados a escala. Un plano consiste en un dibujo de un objeto de la realidad de manera tal que la forma, tamaño y características de ese objeto real puedan ser completamente comprendidas y reproducidas por quien interpreta el plano. Si el plano está dibujado dibujado a ESCALA el dibujo representa representa el mismo objeto de la realidad pero de un tamaño REDUCIDO o bien AMPLIADO. Un ejemplo típico de esto lo representan los mapas, casos en los cuales habitualmente se emplea una escala de reducción. Las escalas de reducción se anotan 1 : E (siendo E el valor de reducción, que habitualmente es un número entero, aunque pueden haber excepciones). A la inversa, una escala de ampliación produce un plano que representa una imagen igual en forma pero de mayor tamaño que la realidad (por ejemplo el dibujo de un objeto observado a través de un microscopio) y se anota E : 1 Ejercicio 7. Elaborar un plano a escala 1 : 30 de una sala o salón rectangular que mide 15(m) de largo por 6(m) de ancho. Para esto deberás dividir tanto la longitud como el ancho de la sala por 30 y esos serán los nuevos valores (en la unidad que tú elijas) que representarán la longitud y el ancho de la sala en el dibujo. Elige un tamaño de hoja adecuado para tu plano. Se sugiere que la hoja sea tipo croquis. A continuación calcula la superficie de la sala en el dibujo y calcula la superficie de la sala real, expresando ambas cantidades en las MISMAS UNIDADES y compáralas (tú ya sabes cual es la mejor forma de comparar). ¿Cuál es tu conclusión?. conclusión?. Coméntala con tus compañeros y con el Profesor.

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¿Qué ocurrirá con la superficie en el caso inverso, es decir, cuando el plano de un objeto o figura se elabora empleando empleando una escala de reducción? Discute y comenta. Ejercicio 8. Elaborar ahora un plano a escala de una figura plana no rectangular. Para esto deberás Se sugiere que sea una figura circular, triangular, trapezoidal o poligonal susceptible de ser descompuesta en diversos cuadrados y rectángulos. Calcular la superficie de la figura en el plano y luego en la realidad. ¿Qué escala te conviene elegir para que el plano te quepa en una hoja tamaño oficio? Ejercicio 9. ¿Cómo podrías calcular la superficie de la palma de tu mano (con dedos incluidos)? ¿De una hoja de árbol? Discute y comenta. Ejercicio 10. Consíguete un plano a escala de Chile regionalizado y calcula la superficie de una Región completa completa del país, por ejemplo ejemplo de la V Región. Discute Discute y comenta. Ejercicio 11. Ahora estás en condiciones de hacer un plano de planta de la superficie edificada de tu casa o departamento y de calcular su superficie. Hazlo. Comenta y discute. ¿Puedes sugerir otras actividades similares que sean de interés general o de interés especial para ti? ¿Para qué trabajos tiene valor y sentido práctico lo que acabas de aprender? Comenta, discute.

Unidades de volumen La magnitud física denominada volumen la captamos paulatinamente desde pequeños gracias a nuestros sentidos del tacto (primero) y luego de la vista. Todos los cuerpos ocupan un determinado volumen en el espacio cuyo valor para un ingeniero es muy importante poder calcular o al menos estimar. Recuerda que en ciencia y tecnología lo que no se puede medir ni cuantificar NO SE CONOCE BIEN. Los volúmenes se expresan en general mediante el producto de TRES dimensiones físicas: LARGO, ANCHO y ESPESOR O ALTURA. Si los cuerpos poseen una forma regular propia (tales como los cubos o hexaedros y los paralelepípedos rectos, similares en forma a una caja de fósforos) la tarea de medirlos y calcular su volumen es sencilla, no tanto si poseen otras formas conocidas como cilindros, conos, esferas, pirámides o prismas. En estos casos existen fórmulas conocidas a través del estudio de la Geometría del Espacio o Estereometría o bien del Cálculo Integral que ya aprenderás. Si las formas de los cuerpos son completamente irregulares existen procedimientos variados para calcular su volumen que ya aprenderás o estudiarás. En cualquiera de los casos ya señalados, el volumen de un cuerpo se debe expresar mediante una unidad de longitud elevada al cubo, es decir a 3. En el Sistema Métrico de Unidades esa unidad base es 1(m 3) y también se pueden emplear cualquiera de sus múltiplos o submúltiplos que ahora indicaremos. Antes de empezar es necesario efectuar una actividad bien importante. Aprovechando la experiencia anterior, pero ahora extendiéndola a TRES dimensiones 24


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imagínate o, mejor aún, construye con cartulina o cartón blando un cubo que mida 10(cm) en cada uno de sus lados. Luego construye un cubo, mucho más pequeño, que mida 1(cm) en cada uno de sus lados. A continuación compáralos. ¿Cuál es la relación existente entre el volumen del cubo mayor y el volumen del cubo menor o, expresado de otra manera, cuántos cubos pequeños caben en el cubo más grande? ¿Por qué? ¿Cómo hiciste la comparación? comparación? ¿Cuál es tu conclusión general? Discute y compara con la de tus compañeros. NO DEBERÍAS CONTINUAR LEYENDO ESTOS APUNTES SIN ANTES REALIZAR LO PEDIDO ANTERIORMENTE

Efectivamente el cubo mayor, cuyo volumen es de 1(dm 3), es capaz de contener 1.000 cubos pequeños, cada uno de los cuales posee un volumen de sólo 1(cm3). Una forma simple de constatar esto es con un recipiente graduado en (cm 3), de uso habitual en un Laboratorio Laboratorio de Química, Química, llamado probeta, y un recipiente cuya cuya 3 capacidad sea precisamente de 1000(cm ). Para esto midan con la probeta un volumen de agua equivalente a 1.000(cm 3) y a continuación viertan esta agua en el recipiente. Sugiere que en clases de ejercicios acudan al Laboratorio de Química y realicen la experiencia. Comprobarán además que 1(dm 3), es decir 1.000(cm 3) corresponde precisamente al volumen de 1(litro) de agua. En forma estricta de agua pura, sin sales disueltas y a una temperatura de 4(°C). ESTA ES UNA EQUIVALENCIA MUY IMPORTANTE ENTRE LAS UNIDADES DE VOLUMEN Y LAS UNIDADES DE CAPACIDAD (que sirven para medir y expresar a las sustancias líquidas o gaseosas) Luego de esto estamos en condiciones de presentar la Tabla N° 4

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TABLA N° 4 UNIDADES DE VOLUMEN UNIDAD DE REFERENCIA REFERENCIA 1(m3) , que se lee “un metro cúbico” MÚLTIPLOS

1(dam3) = 1.000(m3) = 103(m3) 1(hm3) = 1.000.000(m 3) = 106(m3) 1(km3) = 1.000.000.000(m 1.000.000.000(m3) = 109(m3)

SUBMÚLTIPLOS 1(dm 3) = 0,001(m 3) = 10 -3(m3) 1(cm3) = 0,000001(m3) = 10 -6(m3) 1(mm3) = 0,000000001(m 3) = 10 -9(m3)

Esto permite constatar que la relación de tamaño entre cada una de estas unidades y la que la sigue en la escala es de 1.000 veces Ejercicio 1. ¿Cuántas veces mayor es 1(km3) respecto a 1(mm 3)? 1(km3) / 1(mm3) = 109(m3) / 10 -9(m3) = 10 9 – (-9) = 1018 veces Rpta. 1(Km3) es 1018 veces mayor que 1(mm 3), es decir es un Billón de veces mayor OBSERVACIÓN IMPORTANTE. Cuidado, para los países de ascendencia latina, como es el caso de Chile un Billón corresponde a un millón de millones, es decir a 1018, en cambio para los países de ascendencia anglosajona corresponde a mil millones, es decir a 10 9

Ejemplo 2. ¿Cuántas veces menor es 1(cm3) respecto a 1(hm 3)? 1(cm3) / 1(hm3) = 10 -6(m3) / 106(m3) = 10 -6 – 6 = 10 -12 veces Rpta. 1(cm3) es 10-12 veces menor que 1(hm 3), es decir la unidad menor es una billonésima parte de la unidad mayor. Ejercicio 3. El instrumento que permite medir la cantidad de agua caída en un determinado lugar durante una lluvia se llama pluviómetro (o pluviógrafo si es que además registra los valores medidos). Averigua como está construido y como funciona, a lo mejor te interesa construirte uno y probarlo. Tu debes haber escuchado muchas veces al final de los noticieros, en la TV, que se informa luego de una lluvia con la frase “el pluviómetro indicó que en Santiago, Valparaíso (o cualquier otra ciudad), la cantidad de agua caída fue de, por ejemplo, 15(mm). ¿Te dice algo comprensible esto?

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Para comprender el significado de la información comentada anteriormente, en nuestro ejercicio vamos a calcular el volumen contenido en una caja imaginaria cuya base tiene forma cuadrada, con cada lado de una longitud L igual a 1(m), y que tiene una altura H (del inglés height, que significa altura) igual a 1(mm) y vamos a expresar nuestro resultado en (dm 3). Como se trata de un paralelepípedo recto de base cuadrada, su volumen es: V = L * L * H = 1(m) * 1(m) * 1(mm)

y en (dm) es

V = 1(m) * 10(dm/m) * 1(m) * 10(dm/m) * 1(mm) * 0,01(dm/mm) Con lo cual, al simplificar las unidades, como ya aprendimos, nos queda: V = 1(dm3) y como 1(dm3) equivale a 1(litro) (revisa pág. pág. 18), por lo tanto la respuesta es: Vcaja = 1(litro) A la luz de lo que acabamos de comprobar, cuando nos informan que un pluviómetro marca 15(mm) de agua caída durante una lluvia, en el fondo nos están indicando que EN CADA 1(m 2) de un determinado lugar han caído 15(litro) de agua. Ejercicio 4. Si en una lluvia el pluviómetro nos indica que han caído 45(mm), ¿qué volumen de agua se puede almacenar en una laguna que posee una superficie equivalente a unas 5 canchas de fútbol de 110(m) de largo por 75(m) de ancho? Entrega tu resultado en (m 3) y en (litro). ¿Has comprendido mediante los ejercicios anteriores la necesidad imperiosa de que un ingeniero maneje bien las magnitudes físicas y sus unidades para estar en condiciones de entregar respuestas precisas y cuantificadas que no sean simples apreciaciones apreciaciones cualitativas de los fenómenos? Veamos uno más, también de gran interés para ilustrarte respecto a lo que significa pasar de las apreciaciones puramente descriptivas y cualitativas a las respuestas precisas y cuantificadas Ejercicio 5. Supongamos que estamos en una sala de 10(m) de longitud, 5(m) de ancho, y 2,5(m) de altura, como más o menos debe ser la sala en que te encuentras. La densidad volumétrica del aire (a nivel del mar y temperatura ambiente) es de más o menos 1,29(kg/m 3). Si pudiéramos encerrar todo el aire contenido en la sala en un saco (de masa despreciable), ¿te atreverías a echarte ese saco al hombro? ¿Qué cantidad de masa de aire contiene la sala? Entrega tu resultado en(kg) ¡y recuerda que masa NO ES LO MISMO QUE PESO (que es una fuerza), problema que se te aclarará mucho mejor cuando estudies Física.

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Sistema Internacional de Unidades (abreviadamente SI) Este sistema de unidades es el sistema que se emplea actualmente en todos los países del mundo para la notación de magnitudes y unidades en Ciencia y Tecnología. Cualquier artículo que deba ser presentado y corregido en un congreso científico, que postule a ser publicado en una revista científica o técnica con comité editorial, cualquier patente que se desee inscribir o cualquier texto nuevo que se escriba, debe cumplir con las reglas establecidas para este sistema. Esto obedece al intento de uniformar internacionalmen internacionalmente te la notación científica y tecnológica tecnológica y lograr de esta manera evitar al máximo las transformaciones de unidades, consiguiéndose así simplificar y universalizar la notación científica, todo lo cual sin duda contribuye a mejorar la comprensión conceptual de lo que la notación representa en cada caso y a evitar errores, que es lo que en definitiva más interesa. El organismo internacional que creó este Sistema de Unidades, basándose en el Sistema Métrico Decimal contemporáneo de la Revolución Industrial del siglo XVII, pero ampliándolo y perfeccionándolo. Fue la Conferencia General de Pesos y Medidas, con sede en Ginebra, Suiza, decisión que se adoptó en su 9° Congreso realizado en 1948. La concepción misma del sistema se inició en realidad en su décimo congreso, realizado en 1954, trabajo que se completó en los aspectos esenciales en el undécimo congreso, efectuado en 1960. Posteriormente ha experimentado revisiones y simplificaciones de algunos aspectos para irlo actualizando y adaptando a las necesidades. No pretendemos en estos apuntes realizar un análisis exhaustivo y completo de todo lo que este Sistema de Unidades establece, sino simplemente presentar las principales reglas y normas por las cuales se rige, aplicándolas a casos simples. Gradualmente deberás ir familiarizándote con este sistema, que será sin duda el que debas aplicar preferentemente en tu vida profesional. Para mayores antecedentes, incluidos incluidos los relativos al origen de este sistema (lo que también puede ser objeto de un trabajo personal o grupal), te proponemos que estudies también por tu propia cuenta, para lo cual se te sugiere, por ejemplo, revisar los anexos de diversos textos de Física o de otras disciplinas científicas, los manuales actualizados de Ingeniería y algunos sitios de Internet, tales como: www.terra.es/personal16/gcasado/si.htm y www.edison.upc.edu/units/SIcas.html.. www.edison.upc.edu/units/SIcas.html También se puede encontrar información adicional en las páginas web de la Oficina Internacional de Pesas y Medidas en www.bipm.fr www.bipm.fr yy del Instituto Nacional de Patrones y Tecnología, en ww.physics.nist.gov/cuu. Las magnitudes consideradas fundamentales en este Sistema Internacional de Unidades, con sus correspondientes nombres y símbolos, son:

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MAGNITUDES FUNDAMENTALES FUNDAMENTALES DEL SI

MAGNITUD

SÍMBOLO

UNIDAD

Longitud

metro

(m)

Masa

kilogramo

(kg)

Tiempo

segundo

(s)

Intensidad de corriente eléctrica

ampère

(A)

Temperatura termodinámica termodinámica

kelvin

(K)

Cantidad o conjunto de sustancia

mole o mol

(mol)

Intensidad luminosa

candela

(cd)

Sobre la base de estas magnitudes fundamentales se han construido todas las magnitudes derivadas, las que irás conociendo y aplicando a medida que avances en tu formación de ingeniero(a). Cada una de esas magnitudes derivadas posee un nombre y símbolo especial que debe ser respetado para poder lograr coherencia en la información científica y tecnológica y también en los intercambios comerciales de un mundo crecientemente globalizado. El no hacerlo puede llegar a significar graves trastornos de interpretación, pérdidas y accidentes de los cuales hay diversos ejemplos, el más conocido de los cuales fue un grave accidente del programa de exploración espacial de la NASA de Estados Unidos. Sugerimos que busques información al respecto. Creemos preferible que, en lugar de entregarte aquí una tabla de magnitudes derivadas que no te va a decir mucho en este momento y que no vale la pena que te la aprendas de memoria, memoria, sino que la comprendas, comprendas, te la vayas construyendo tú mismo(a), a medida que avances en tu formación y que necesites ocuparla. De esa manera adquirirá sentido e importancia para ti y realmente te ayudará en tu trabajo como estudiante y futuro profesional. Puedes partir con las magnitudes derivadas ya mencionadas anteriormente: rapidez y velocidad, aceleración, fuerza, densidad volumétrica de masa. Lo que sí conviene que conozcas y apliques desde ahora mismo son aquellos prefijos del Sistema Internacional que permiten expresar los valores de las magnitudes en forma simple y compacta, por muy grandes o pequeños que ellos sean. Cada uno representa a una potencia de diez y están ordenados en la tabla siguiente de mayor a menor. Dichos prefijos son los siguientes y conviene que te vayas acostumbrando acostumbrando a su empleo habitual:

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PREFIJOS DEL SI FACTOR

NOMBRE

SÍMBOLO

A) Para valores mayores que uno 1024

yotta

Y

1021

zetta

Z

1018

exa

E

1015

peta

P

1012

tera

T

109

giga

G

106

mega

M

103 kilo el símbolo se escribe con minúscula)

k

102

hecto

h

101

deka, deca

da

¡Cuidado, desde aquí en adelante

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} B) Para valores menores que uno 10 -1

deci

d

10 -2

centi

c

10 -3

mili

m

-6

micro

µ

10 -9

nano

n

10 -12

pico

p

10 -15

femto

f

10 -18

atto

a

10 -21

zepto

z

10 -24

yocto

y

10

Ejemplos de notación de cantidades mediante el empleo de prefijos del SI : a) 1.000.000 (m) = 1(Mm) un megametro b) 5.567 (kg)

= 5, 567(Mg) 5, 567 megagramo

c) 250.000.000.000(s) 250.000.000.000(s) terasegundo

= 250 (Gs)

= 0,250 (Ts)

250 gigasegundo gigasegundo ó 0,250

d) 0,0000000065 0,0000000065 (m) = 6,5 (nm) 6,5 nanometro e) 0,00000000000 0,0000000000000078 00078 (s) = 7,8 (fs) 7,8 femtosegundo femtosegundo OBSERVACIÓN OBSERVACI ÓN Nótese que el prefijo acompaña al símbolo de la unidad que representa a la magnitud en cada caso y se deben colocar AMBOS en el interior del paréntesis redondo, redondo, con el PREfijo ANTES del símbolo de la unidad unidad

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Te sugerimos también en este caso ejercitar la notación mediante prefijos para diversos ejemplos más hasta adquirir destreza y familiaridad. Por ejemplo, escribe: f) 0,0078 (Mm) como (km) g) 0,000000165 (ks) como (as) h) 189.000.000 (cm) como (Gm)

Notación Científica En muchos casos en ciencia y tecnología es necesario escribir, manejar y operar (es decir efectuar operaciones de suma, resta, multiplicación división, elevación a potencia, extracción de raíz de diversos índices, obtención de logaritmos, etc.) de cantidades que son muy grandes o muy pequeñas y, por lo tanto, complicadas de anotar, manejar y operar en forma simple y compacta. Para poder manejarse con comodidad con todas las cantidades se ha creado también esta notación, que es otra herramienta valiosa para dicho propósito y que tiene esencialmente TRES reglas bastante simples, a saber: Regla N° 1. Toda cantidad debe anotarse con UNA sola cifra o dígito entero Regla N° 2. Si la cantidad a escribir es el resultado de una medición, se deben anotar necesariamente todas las cifras o dígitos efectivamente obtenidos en la medición, conocidas también como cifras o dígitos significativos. La última de estas cifras la debe apreciar quien toma la medición, especialmente cuando emplee instrumentos análogos (pedir al Profesor que explique la diferencia entre un instrumento análogo y un instrumento digital). Regla N° 3. Para que el valor de la cantidad original no se vea alterado luego de aplicar la regla N°1, es necesario multiplicarla por una potencia de 10 tal que restablezca la posición de la coma (en los países anglosajones del punto) a su lugar original. A esta potencia de 10 que es necesario agregar como factor (cuyo exponente puede ser positivo, cero o negativo) se le conoce como ORDEN DE MAGNITUD de la cantidad escrita y es en realidad el valor más importante cuando se trata de comparar entre sí magnitudes.

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Para comprender bien lo explicado anteriormente, es indispensable ilustrarlo mediante ejemplos. Veamos algunos: Ejemplo 1 Escribir en notación científica la cantidad 78.953.000.000.000 78.953.000.000.000 a. Si cumplimos con la primera regla, la cantidad queda escrita como 7,8953000000000, 7,8953000000000, pues hemos corrido la coma decimal (que no estaba escrita en la cantidad original, por ser un número entero, pero que debería ponerse a la derecha del último cero) 13 posiciones hacia la izquierda. Hacer esto, equivale a dividir por 10 13 o bien, lo que es lo mismo, equivale a multiplicar por 10 -13 , con lo cual hemos alterado el valor original de la cantidad b. Si la cantidad fuese el resultado de la medición de alguna magnitud física y los nueve ceros colocados a la derecha hubiesen efectivamente sido medidos, deberían colocarse todos. Si se hubiesen obtenido en la medición sólo 4 ceros, deberían ponerse sólo 4 (supondremos que éste es el caso en este ejemplo). Por lo tanto debemos escribir 7, 89530000 c. Para restablecer restablecer a la cantidad cantidad su verdadero verdadero valor valor debemos entonces entonces 13 multiplicar el valor anterior por 10 d. El resultado final es entonces: 7,89530000 x 10 13 y hemos cumplido con las 3 reglas Esta notación científica se ha generalizado tanto, que en la actualidad todas las calculadoras científicas la traen incorporada en su software básico, al igual que los computadores personales, los computadores portátiles y, por supuesto, los computadores macro. Es necesario tener presente sí que en esos dispositivos en la pantalla el orden de magnitud, es decir la potencia de 10 que acompaña a la cantidad, se indica como EXP(valor del exponente). En el caso de nuestro ejemplo anterior, el resultado se expresaría expresaría : 7,89530000 EXP(13), EXP(13), todo lo cual se puede puede escribir en la misma línea, sin necesidad necesidad de expresar 13 como un un exponente y esa es la ventaja ventaja de dicha forma de indicar el resultado. Ejemplo 2 Escribir en notación científica la cantidad 0, 0006754 0006754 OBSERVACIÓN Si nada más se dice, se deberá entender, en este caso, que las cifras leidas en la medición fueron 6754. Entonces, para expresar esta cantidad en notación científica debemos hacer lo siguiente: a) 6,754 con lo que hemos cumplido cumplido las reglas 1 y 2 y hemos corrido la coma 4 lugares hacia la la derecha, es decir, decir, hemos multiplicado multiplicado por 10 4 b) Para restablecer el verdadero verdadero valor de la cantidad original debemos debemos efectuar 4 la operación contraria, es decir, debemos dividir por 10 o bien, lo que es lo mismo, deberemos multiplicar por 10 -4 , con lo cual la cantidad queda finalmente expresada como: 6,754 x 10 -4

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Se sugiere que se ejerciten con ejemplos similares para varios casos más, hasta adquirir mucha seguridad y eliminar cualquier duda. Cada Profesor puede aquí elegir la cantidad y tipo de ejemplos que estime necesario para que cada alumno adquiera familiaridad y agilidad con el procedimiento. procedimiento. LO MÁS IMPORTANTE, EN TODO CASO, ES QUE SI EL ALUMNO OCUPA LA NOTACIÓN CIENTÍFICA, YA SEA OPERANDO O LEYENDO RESULTADOS MEDIANTE UNA CALCULADORA O COMPUTADOR, SEPA COMPRENDER LOS RESULTADOS QUE LEE Y SEA CAPAZ DE APRECIAR EL ORDEN DE MAGNITUD DEL RESULTADO ESPERADO (incluso antes de efectuar la operación). Es importante señalar que muchas magnitudes de interés en la ciencia y tecnología aparecen en los textos escritas de esta manera, por ejemplo: Masa de la Tierra

mT = 5,98 x 1024 (kg)

Diámetro de la Tierra dT = 1,275 x 107 (m) ¿con ese dato puedes calcular su volumen? ¿Su superficie? Masa del Sol

mS = 1,991 x 1030 (kg)

Distancia a nebulosa de Andrómeda (Galaxia más cercana) d = 10 21 (m) Masa del electrón

me = 9,108 x 10 – 31 (kg)

Masa del neutrón

mn = 1,674 x 10-24 (kg)

Año luz

d = 9,4605 x 1015(m)

¡Cuidado, es una longitud, no un tiempo!

OBSERVACIÓN OBSERVACI ÓN Desde luego se puede combinar el empleo de prefijos con la notación científica, tanto para operar como para anotar valores de magnitudes con rapidez y comodidad, pero es preciso hacerlo con la debida precaución para no incurrir en errores en el orden de magnitud de los resultados, especialmente cuando se trabaja con calculadoras. calculadoras. A continuación se proponen algunos ejercicios tipo a ser desarrollados desarrollados en clase bajo la dirección de tu Profesor. Conviene que te propongas varios más y se los plantees a tus compañeros, trabajando en grupo y controlándose unos a otros, comparando vuestros resultados. Esta es una excelente forma de adquirir soltura en el manejo de estas herramientas

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Ejercicios de operatoria con magnitudes empleando prefijos del SI y notación científica conjunta y simultáneamente: simultáneamente: a) Calcular el tiempo de duración promedio de una vida humana en (s). Expresar el resultado resultado en la unidad unidad que corresponda y en notación científica, acompañada del prefijo M y del prefijo k. Suponga que dicho valor es 80(año) b) Exprese la cantidad de seres humanos del planeta Tierra, que son aproximadamente 6.500 millones de habitantes, en notación científica y precedidos del prefijo T c) Indicar la cantidad de (cm3) de agua contenidos en una piscina de 15(m) de largo, 10(m) de ancho y 2(m) de altura en notación científica y precedidos del prefijo P d) Calcular el valor valor numérico y la unidad de la expresión expresión resultante de la siguiente siguiente operación y luego indíquela en notación científica y acompañada del prefijo k :

45,67(hm 3) * 0,000892(kg 2) / 0,00784(m2) * 56789,2 x10 -3(kg) e) La radiación radiación del Sol, Sol, viajando a la rapidez rapidez de la luz en en el vacío, vacío, que es 8 aproximadamente aproximadamente c = 3 x 10 (m/s), parte desde su origen y recorre los 150.000.000(km) existentes entre el Sol y la Tierra. ¿Cuánto demora en llegar? Expresar el resultado en notación científica, en (s) y en (mh) f) En la página página anterior tienes tienes el dato correspondiente correspondiente a la masa masa del electrón. electrón. ¿Cuántos electrones se necesitan para poder tener una masa total de 5(Mg)? Expresar el resultado en notación científica. g) Cada saco de cemento trae 42,5(kg). Si se emplean 12 sacos de cementos para lograr 1(m3) de hormigón, ¿cuántos sacos se necesitarán para una construcción que requiere 4.580(m 3) de hormigón? Indicar además ese volumen total de hormigón en (Tlitro) y notación científica. Estos son sólo algunos ejemplos de una infinidad de situaciones similares que se pueden presentar en problemas de ciencia e ingeniería donde tendrás ocasión de necesitar y aplicar estas herramientas muy a menudo. Tu Profesor te puede proponer también muchos otros similares y luego, en tus diferentes asignaturas, estos conocimientos conocimientos te serán de mucha utilidad.

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Unidad 1 Sistemas de Unidades

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