ANÁLISIS DIMENSIONAL. INTRODUCCION Y DEFINICION DE ANALISIS DIMENSIONAL. Los parámetros adimensionales profundizan de manera significativa nuestra comprensión de los fenómenos de flujo de fluidos en forma parecida al caso de un gato hidráulico, donde la relación de los diámetros de pistón determina la ventaja mecánica, un numero adimensional que es independiente del tamaño total del gato; permiten aplicar resultados experimentales limitados en número a situaciones en que se tengan diferentes dimensiones físicas y, a veces diferentes propiedades de fluido. Los conceptos de análisis dimensional presentados, mas una comprensión de la mecánica mecánica del tipo de flujo en estudio, hacen posible realizar esta generalización de datos experimentales. experimental es. La consecuencia de tal generalización es múltiple, ya que ahora se puede describir el fenómeno en su totalidad sin estar restringido a la discusión del experimento especializado que se realizó. Así es posible realizar menor número de experimentos, aunque de carácter altamente selectivo, para describir las facetas escondidas del problema y lograr así importantes ahorros de tiempo y dinero. Los resultados de una investigación se pueden también presentar a otros ingenieros y científicos en una forma más compacta y significativa para facilitar su uso. Igualmente importante es el hecho que, a través de tales presentaciones, incisivas y ordenas de información, los investigadores pueden descubrir nuevas características y áreas faltantes de conocimientos del problema en estudio. Este avance dirigido de nuestra comprensión de un fenómeno seria perjudicado si no se contara con las herramientas de análisis dimensional. Muchos de los parámetros adimensionales pueden verse como la razón de un par de fuerzas de fluidos, cuya magnitud relativa indica la importancia relativa de una de las fuerzas co con n respecto a otra. Si Si algunas fuerzas en una situación situación de flujo particular son mucho menores que otras, es posible despreciar el efecto de las fuerzas más pequeñas y tratar el fenómeno como si fuera determinado completamente por las fuerzas mayores. Esto significa que se pueden utilizar procedimientos matemáticos experimentales mas sencillos, aunque no necesariamente mas fáciles, para resolver el problema. problema. Para situaciones con varias fuerzas de la misma misma magnitud,
tales como fuerzas de inercia, de viscosidad y gravitacionales, se requieren técnicas especiales. Después de una discusión de dimensiones, análisis dimensional y parámetros adimensionales, se presentan estudios de similitud dinámica y de modelos. HOMOGENEIDAD
DIMENSIONAL Y RELACIONES ADIMENSIONALES
Para resolver problemas prácticos de diseño en la mecánica de fluidos se requiere, por lo común de desarrollos teóricos y resultados experimentales. Por la agrupación de cantidades significativas en parámetros adimensionales es posible reducir el número de variables que aparecen y hacer este resultado compacto (ecuaciones o graficas de datos) aplicable a todas las situaciones similares. Si se tuviera que escribir la ecuación de movimiento
F =ma para una partícula
de fluido, incluyendo términos de fuerza de todos tipos que pudieran actuar sobre ella, tales como: gravedad, presión, viscosidad, elasticidad, y tensión superficial, resultaría una ecuación de la suma de estas fuerzas igualada a ma, la fuerza inercial. Al igual que con todas las ecuaciones físicas, cada termino debe tener las mismas dimensiones, en este caso la fuerza. La división de cada término de la ecuación por cualquiera de los términos haría a la ecuación adimensional. Por ejemplo dividiendo toda la ecuación entre el termino de la fuerza inercial, produciría una suma de parámetros adimensionales igualada a la unidad. La magnitud relativa de un parámetro cualquiera, comparada con la unidad, hincaría su importancia. Si se dividiera totalmente la ecuación de fuerza entre un término diferente, por ejemplo entre el termino de la fuerza viscosa, resultaría otro conjunto de parámetros adimensionales. Sin experiencia el caso del flujo es difícil determinar cuáles parámetros serian más útiles. Un ejemplo del uso de análisis dimensional y sus ventajas esta dado por la consideración del salto hidráulico. La ecuación de cantidad de movimiento para este caso.
K y12 2
K y 22 2
!
V 1 y1K g
(V 2
V 1 )......... .......... .................... .......... .......... .( 4.1.1)
Se puede volver a escribir como.
K 2
y
2 1
« ¨ y 2 ¸ 2 » K ¨ y ¸ y ¬1 ©© ¹¹ ¼ ! V 12 y1 ©©1 2 ¹¹ 1 g ª y1 º y 2 ¬ ª y1 º ¼½
Resulta claro que, al lado derecho representa las fueras inerciales y, al izquierdo, las fuerzas de presión debidas a la gravedad. Estas dos fuerzas son de igual
K magnitud, ya que una determina la otra en esta ecuación, más aun, el término 2
2
y1
tiene las dimensiones de fuerza por unidad de anchura y multiplica a un número adimensional que es especificado por la geometría del salto hidráulico. y 2
Si se divide esta ecuación entre el termino geométrico 1- y1 y entre un número representativo de las fuerzas de la gravedad, se tiene. 2
V 1
gy1
!
1 y 2 ¨
y ¸ ©©1 2 ¹¹......................................................................................(4.1.2) 2 y1 ª y1 º
Ahora, el lado izquierdo es la razón de las fuerzas de la inercia y la gravedad, que cuando la representación de las fuerzas se ha oscurecido por la cancelación de términos que son comunes tanto en el numerador como en el denominador. Esta razón es equivalente a un parámetro adimensional, en realidad el cuadrado del número de Froude, que se tratara con mayor detalle. Es también interesante notar que está razón y2
de fuerzas se conoce una vez dada la razón y1 , sin importar cuales son los valores de y 2 y y1 , de esta observación de puede obtener una apreciación del mayor alcance que
la ecuación (4.1.2) ofrece sobre la ecuación (4.1.1) aunque una es solo un nuevo arreglo de la otra. Al escribir la ecuación de cantidad de movimiento que condujo a la ecuación (4.1.2) solo se incluyeron las fuerzas de inercia y de gravedad en el enunciado original del problema. Pero tras fuerzas tales como la tensión superficial y la viscosidad, están presentes aun cuando se despreciaron por ser pequeñas en comparación con las fuerzas de inercia y de gravedad; sin embargo solo la experiencia con el fenómeno o
con los fenómenos similares justificaría tal simplificación inicial, por ejemplo si se hubiera incluido la viscosidad por no tener seguridad sobre la magnitud de sus efectos, la ecuación de momento sería:
K y12
2
K y 22 2
F vis cos a ! V 1
y1K g
(V 2 V 1 )
Con el resultado que. 2
V 1
gy1
F vis cos a y 2
K y12 ( y1 y 2 )
!
1 y 2 ¨
y ¸ ©© 1 2 ¹¹ 2 y1 ª y1 º
Esta afirmación es más completa que aquella dada por la ecuación (4.1.2). sin embargo los experimentos mostrarían que el segundo término por el lado izquierdo es generalmente una pequeña fracción del primer término, por lo que se puede despreciar al hacer pruebas iniciales sobre el salto hidráulico. y 2
En la última ecuación se puede considerar que la razón y1 es una variable dependiente que se determina para cada uno de los varios valores de las razones de fuerzas.
Si en un experimento modelo se pueden crear las mismas razones geométricas y de fuerza que ocurren en la unidad a escala completa, entonces la solución adimensional para el modelo es válida también para el prototipo. Frecuentemente como se verá, no es posible tener todas las razones iguales en el modelo y el prototipo. Entonces se trata de planear la experimentación de manera tal que las razones de fuerza dominantes sean tan iguales como sea posible. Los resultados que se obtienen con tal modelo incompleto son a veces suficientes para describir el fenómeno con el detalle que se desea. Escribir una ecuación de fuerza para una situación compleja puede no ser factible y entonces se usa otro proceso, el análisis dimensional, si se conocen las cantidades pertinentes que entran en el problema. En una situación dada, varias de las fuerzas pueden ser de poca significancia, permaneciendo quizá dos o tres fuerzas del mismo orden de magnitud. Son tres
fuerzas del mismo orden de magnitud se obtienen dos parámetros adimensionales; un conjunto de datos experimentales sobre un modelo geométricamente similar proporciona las relaciones en tres parámetros que valgan para todos los demás casos similares de flujo.
DIMENSIONES Y UNIDADES. Las dimensiones de la mecánica son fuerza, masa longitud y tiempo; ellas están relacionadas con la segunda ley de movimiento de Newton,
F=ma««««««««««««««««««««««««««««(4.2.1) Para todos los sistemas físicos, probablemente seria necesario introducir dos dimensiones adicionales, una que trate con la electromagnética y la otra con los efectos térmicos. Para el trabajo de compresibilidad en este texto, no es necesario incluir una unidad térmica porque las ecuaciones de estado unen la presión. La densidad y la temperatura. La segunda ley de movimiento de Newton en forma dimensional es: F
2
! MLT .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .........( 4.2.2)
Que muestra que solo tres de las dimensiones son independientes. F es la
dimensión de fuerza, M la dimensión de masa, L la dimensión de longitud y T la dimensión de tiempo. Un sistema común. Empleado en análisis dimensional es el sistema MLT. Una combinación adimensional de p, , l , y Q es:
(a)
( p Q V l 2
V
Vl
2
(b) ( pl
(c) ( p
( plQ 2
¡
(d)
V
V
Q
2 (e) (p l
SEMEJANZA GEOMETRICA, CINEMATICA Y DINÁMICA. Semejanza geométric a.
Entre el modelo y el prototipo existe semejanza geométrica cuando las relaciones entre todas las dimensiones correspondientes u homólogas en modelo y prototipo son iguales. Tales relaciones pueden escribirse Lmod el o L protot i po
! L
Amod el o A protot i po
Lm rel .
o
2
L
!
2
L
mod el o
! L
L p
! L2
r
«««««««««««««««««..(1)
! L2
rel .
r
«««««««.««««««««««««.(2)
protot i po
Semejanza ci nemátic a.
Entre modelo y prototipo existe semejanza cinemática si (1) la trayectoria de las partículas móviles homologas son geométricamente semejantes y (2) las relaciones entre las velocidades de las partículas homologas son iguales. A continuación se dan las siguientes relaciones útiles: V m V v
Velocidad:
am
Aceleración: Qm
Caudal:
!
Q p
a p
!
!
2
L p / T
2
m
/ T m
p
/ T p
3
L
L p / T p
Lm / T
3
L
Lm / T m
m
!
!
p
Lm
!
Lm
T 2 m
:
L p
m p
:
T m T £
T 2
Lr
!
T P
3
L
T m
Lv
3
L
:
T r
!
¢
««««««««««««««(3)
Lr
T 2 r
«««««««««««««(4)
3
!
L
r
T r
«««««««««.«««««..(5)
ámic a. Semejanza d in
Entres dos sistemas semejantes geométrica y cinemáticamente existe semejanza dinámica si las relaciones entre las fuerzas homólogas en modelo y prototipo son las mismas. Las condiciones requeridas para la semejanza completa se obtienen a partir del segundo principio del movimiento de Newton, Fx = Max . las fuerzas que actúan pueden ser cualquiera de las siguientes, o una combinación de las mismas: fuerzas viscosas, fuerzas debidas a la presión, fuerzas gravitatorias, fuerzas debidas a la tensión superficial y fuerzas elásticas. Entre modelo y prototipo se desarrolla la siguiente relación de fuerzas:
§ fuerz as viscosas, de presión, § fuerz as viscosas, de presión,
gr avitator ias, tensión superf ., elásticasm gr avitator ias, tensión superf ., elásticas p
!
M m a m M p a p
La relación entre las fuerzas de inercia se desarrolla en la siguiente forma: F r F r
! V
2
! 2
Lr V r
r
fuerza mod el o fuerza protot i po
!V
2
Ar V r
r
!
M m a m M p a p
3
!
V m Lm 3
V p L ¤
v
Lr 2
T r
! V L2 ( r
r
Lr
T r
)
2
.......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ..(6)
Esta ecuación expresa la ley general de la semejanza dinámica entre modelo y prototipo y se le conoce con el nombre de ecuación newtoniana. PARÁMETROS
ADIMENSIONALES.
El Número de Euler (Eu) es un número adimensional utilizado en mecánica de fluidos. Expresa la relación entre una pérdida de presión (por ejemplo un estrechamiento) respecto a laenergía cinética por volumen del flujo. Se usa para caracterizar pérdidas de carga en el flujo. Se define como:
En donde: es la densidad del fluido. p(0) es la presión aguas arriba. p(1) es la presión aguas abajo. V es la velocidad característica del flujo.
El número de Reynolds (Re) es un número adimensional utilizado en mecánica de fluidos, diseño de reactores y fenómenos de transporte para caracterizar el movimiento de un fluido. Como todo número adimensional es un cociente, una comparación. En este caso es la relación entre los términos convectivos y los términos viscosos de las ecuaciones de Navier-Stokes que gobiernan el movimiento de los fluidos. Por ejemplo un flujo con un número de Reynolds alrededor de 100.000 (típico en el movimiento de una aeronave pequeña, salvo en zonas próximas a la capa límite) expresa que las fuerzas viscosas son 100.000 veces menores que las fuerzas convectivas, y por lo tanto aquellas pueden ser ignoradas. Un ejemplo del caso contrario sería un cojinete axial lubricado con un fluido y sometido a una cierta carga. En este caso el número de Reynolds es mucho menor que 1 indicando que ahora las fuerzas dominantes son las viscosas y por lo tanto las convectivas pueden despreciarse. Otro ejemplo: En el análisis del movimiento de fluidos en el interior de conductos proporciona una indicación de la pérdida de carga causada por efectos viscosos. Además el número de Reynolds permite predecir el carácter turbulento o laminar en ciertos casos. Así por ejemplo en conductos si el número de Reynolds es menor de 2000 el flujo será laminar y si es mayor de 4000 el flujo será turbulento. El mecanismo y muchas de las razones por las cuales un flujo es laminar o turbulento es todavía hoy objeto de especulación. Según otros autores:
Para valores de
el flujo se mantiene estacionario y se comporta
como si estuviera formado por láminas delgadas, que interactúan sólo en función de los esfuerzos tangenciales existentes. Por eso a este flujo se le llama flujo
laminar. El colorante introducido en el flujo se mueve siguiendo una delgada línea paralela a las paredes del tubo.
Para valores de
la línea del colorante pierde estabilidad
formando pequeñas ondulaciones variables en el tiempo, manteniéndose sin embargo delgada. Este régimen se denomina de transición.
Para valores de
, después de un pequeño tramo inicial con
oscilaciones variables, el colorante tiende a difundirse en todo el flujo. Este régimen es llamado turbulento, es decir caracterizado por un movimiento desordenado, no estacionario y tridimensional. Este número recibe su nombre en honor de Osborne Reynolds (1842-1912), quien lo describió en 1883. Viene dado por siguiente fórmula:
o
Donde: : densidad del fluido v s: velocidad característica del fluido D: Diámetro de la tubería a través de la cual circula el fluido o longitud
característica del sistema : viscosidad dinámica del fluido : viscosidad cinemática del fluido
El número de Froude (Fr) es un número adimensional que relaciona el efecto de las fuerzas de inercia y las fuerzas de gravedad que actúan sobre un fluido. Debe su nombre al ingeniero hidrodinámico y arquitecto naval inglés William Froude (1810 1879). De esta forma el número de Froude se puede escribir como:
Las fuerzas de inercia ( F ), en base al segundo principio de la dinámica, se define como el producto entre la masa ( m) y la aceleración ( a), pero como nos referimos a un fluido escribiremos la masa en como densidad por volumen. En forma dimensional se escribe:
Para simplificar la definición de fuerzas de inercia en nuestro sistema escribiremos
Donde l y t serán, respectivamente, una distancia y un tiempo característicos de nuestro sistema. El peso (P) resulta ser el producto entre la masa y la aceleración de la gravedad.
Que igualmente, para simplificar reescribiremos así: P =
g l 3
Entonces la relación entre las fuerzas de inercia y de gravedad se puede escribir así:
Entonces se define el número de Froude: - masa volumétrica o densidad [kg/m³] l - parámetro de longitud [m] t - parámetro temporal [s]
v - parámetro de velocidad [m/s]
g - aceleración de la gravedad [m/s²]
El Número Mach (M) es una medida de velocidad relativa que se define como el cociente entre la velocidad de un objeto y la velocidad del sonido en el medio en que se mueve dicho objeto. Dicha relación puede expresarse según la ecuación
Es un número adimensional típicamente usado para describir la velocidad de los aviones. Mach 1 equivale a la velocidad del sonido, Mach 2 es dos veces la velocidad del sonido, etc. Este número fue propuesto por el físico y filósofo austríaco Ernst Mach (18381916), uno de los más grandes teóricos de la física de los siglos XIX-XX, como una manera sencilla de expresar la velocidad de un objeto con respecto a la velocidad del sonido. La utilidad del número de mach reside en que permite expresar la velocidad de un objeto no de forma absoluta en km/h o m/s, sino tomando como referencia la velocidad del sonido, algo interesante desde el momento en que la velocidad del sonido cambia dependiendo de las condiciones de la atmósfera. Por ejemplo, cuanto mayor sea la altura sobre el nivel del mar o menor la temperatura de la atmósfera, menor es la velocidad del sonido. De esta manera, no es necesario saber la velocidad del sonido para saber si un avión que vuela a una velocidad dada la ha superado: basta con saber su número de mach. Normalmente, las velocidades de vuelo se clasifican según su número de Mach en:
Subsónico M < 0,7
Transónico 0,7 < M < 1,2
Supersónico 1,2 < M < 5
Hipersónico M > 5 Desde el punto de vista de la mecánica de fluidos, la importancia del número de
Mach reside en que compara la velocidad del móvil con la velocidad del sonido, la cual coincide con la velocidad máxima de las perturbaciones mecánicas en el fluido. El número Mach se usa comúnmente con objetos moviéndose a alta velocidad en un fluido, y en el estudio de fluidos fluyendo rápidamente dentro
de toberas, difusores o túneles de viento. A una temperatura de 15º Celsius, Mach 1 es igual a 340,3 m·s
¥
1
(1.225 km/h 1) en la atmósfera. El número Mach no es una ¥
constante; depende de la temperatura. Por lo tanto, en la estratosfera no var a notablemente con la altura, incluso cuando la presión del aire cambia con la misma. Este número es muy utilizado en aeronáutica para comparar el comportamiento de los fluidos alrededor de una aeronave en distintas condiciones. Esto es posible gracias a que el comportamiento de un fluido en el entorno de un objeto es igual siempre que su número de Mach sea el mismo. Por lo tanto, una aeronave viajando a Mach 1 experimentará las mismas ondas de choque, independientemente de que se encuentre al nivel del mar (340,3 m·s 1, 1.225,08 km/h) o a 11.000 metros ¥
de altitud (295 m·s 1), incluso cuando en el segundo caso su velocidad es tan sólo un ¥
86% de la del primer caso. La clasificación de los reg menes incluyendo el régimen hipersónico no es caprichosa: para M muy elevados (la frontera técnica depende de la forma del móvil, en general M>5), las ondas de choque son de tal magnitud que el aire se disocia tras ellas, y deja de ser aire, con las propiedades que en éste se aceptan, para convertirse en una mezcla de gases disociada, con capas eléctricamente cargadas aunque neutra en su conjunto, que deja de comportarse como lo hac a el aire. Se demuestra que el número Mach es también el cociente de las fuerzas inerciales (también refiriéndose a las fuerzas aerodinámicas) y las fuerzas elásticas. El número de Weber (We) es un número adimensional utilizado en mecánica de fluidos y que es útil en el análisis de flujos en donde existe una superficie entre dos fluidos diferentes. Es una medida de la importancia relativa de la inercia del fluido comparada con su tensión superficial. Por ejemplo, este número es útil en analizar flujos multifásicos en superficies curvadas, flujos de capas finas y en la formación de gotas y burbujas. Se denomina as en honor a Moritz Weber (1871-1951) y se escribe como:
en donde:
es la densidad del fluido. v es la velocidad del fluido. l es una longitud característica.
es la tensión superficial. El número de Weber es un parámetro importante en atomización de un líquido. El número de Weber da la razón característica entre las fuerzas aerodinámicas que ejercen el gas sobre una película delgada y las fuerzas de tensión que actúan en la superficie del líquido. La tensión superficial del líquido en la superficie de una gota es lo que mantiene la forma de la misma. Si una gota pequeña es sometida a la acción de un chorro de aire, y existe una velocidad relativa entre el gas y la gota, fuerzas inerciales debido a dicha fuerza hacen que la gotita se deforme. Si el número Weber es demasiado grande, las fuerzas inerciales superan a las fuerzas de tensión superficial, hasta el punto en que la gota se desintegra en gotas aún más pequeñas. A números de Weber pequeños el líquido experimenta separación subcrítica, en la cual la tensión superficial jala la delgada capa líquida hacia una sola columna que después se separa para formar gotas relativamente grandes. A valores supercríticos de Weber, la película líquida se separa de forma aerodinámica en finos tamaños de gotas del orden del grosor de la película L. Por lo tanto, el criterio del número de Weber puede ser útil al pronosticar el tamaño esperado de la gota en la atomización de un líquido, y es un parámetro significativo en la combustión de una turbina de gas y en los cohetes. El número de Weber no interviene si no hay superficie libre excepto si hay cavitación de líquido a valores muy bajos de número de Euler. Por lo tanto, en fluidos viscosos a bajas velocidades sin superficie libre el único parámetro adimensional importante es el número de Reynolds.
PROBLEMAS.
Calcular el No. De Reynolds para una corriente de agua en una tubería de 200mm de diámetro a 20ÛC y una velocidad de 4m/s.
Calcular el No. de Reynolds para el aire que fluye en una tubería de 200mm de diámetro a una presión de 10bar, una temperatura de 50ÛC y una vel de 4m/s.
¿Cuál es la diferencia entre una dimensión y una unidad? Proporcione tres
ejemplos de cada una. U na
a de una c anti dad fí sic a ( si n v al or es numéric os), y d imensión e s una med id
un v al or numéric o a d ichas una uni dad es una maner a de asi gnar le t anci a, el g r ado d imensi ones. Hay v ari os ejem pl os c omo l os son el metr o de d is c el ci us de t em per at ur a y el k il o g r amo de masa.
Haga una lista de las siete dimensiones primarias. ¿Qué tienen de significativo las siete? Las si et e d imensi ones primari as son masa, d is t anci a, ti em po, t em per at ur a, c orri ent e el éctric a, c anti dad de l uz y c anti dad de agua. Y son si gni f ic ati va s porque t odas l as demás d imensi ones se pueden formar por c ombi naci ones de
est as si et e.
Para cada enunciado, elija si el enunciado es verdadero o falso y discuta su respuesta brevemente. a) La similitud cinemática es una condición necesaria y suficiente para la similitud dinámica. Falso, l a simi l it ud ci nemátic a es nec esari a per o no es c ond ición suf ici ent e
par a l a simi l it ud d in ámic a b ) La similitud geométrica es una condición necesaria para la similitud
dinámica. Verd ader o, N o
ámic a si el model o y el se puede t ener simi l it ud d in
pr ot oti po no son simi l ar es geométric ament e.
c) La similitud geométrica es una condición necesaria para la similitud cinemática. Verd ader o, N o
se puede t ener simi l it ud ci nemátic a si el model o y el
pr ot oti po no son geométric ament e simi l ar es.
d ) La similitud dinámica es una condición necesaria para la similitud
cinemática. ámic a. Falso, si es posibl e t ener simi l it ud ci nemátic a per o no simi l it ud d in
Haga una lista con los tres principales propósitos del análisis dimensional. 1.
eño de Gener ar parámetr os no d imensi onal es que ayuden en e l d is
periment os y par a r e port ar r esul t ados ex periment al es. ex
2. Obt ener l eyes de esc al as par a que l a r es puest a de l os pr ot oti pos pueda pr edecir l a r es puest a de l os model os.
3. P ar a pr edecir l as r el aci ones entr e l os parámetr os.
Un equipo de estudiantes de Ing. Mecánica diseña un submarino accionado por humanos para una competencia de diseño, la longitud global del submarino prototipo es de 2.24 mts. y sus estudiantes diseñadores esperan que pueda viajar totalmente sumergido atraves del agua a 0.56 m/s. El agua es dulce a una temperatura de 15ÛC el equipo de diseño construye un modelo a 1/8 de escala para probarlo en el túnel de viento de la universidad. Un escudo rodea el puntal de la balanza de arrastre de modo que la fuerza de arrastre del puntal mismo no influya a la fuerza de arrastre del modelo medida. El aire en el túnel de viento esta a 25ÛC y a una presión atmosférica estándar a que velocidad de aire necesitan correr el túnel de viento con la finalidad de lograr similitud.
