Universidad Autónoma de Yucatán Facultad de Ingeniería
Pr obabi l i dadyEst adí st i ca Unidad 3 ADA 1 Variables Variables aleatorias discretas. Alumno: Puc Ciau José Ángel
Fecha de entrega: 01 de marzo del 2016
Problema 1. Sea X una variable aleatoria que asocia el doble de los puntos obtenidos al lanzar un dado cuando sale número impar y la mitad cuando sale número par. Establece: La representación tabular de X La distribución de probabilidades para X La media, la varianza y la desviación estándar de X.
• • •
Número de dado 1 $ % & ' (
Puntos !" 2 ! # 2 !$ %
#aso mpar "ar mpar "ar mpar "ar
Son # casos, por lo que se tiene que: 1
2
1
1
1
6
3
6
6
6
f ( 1 )= f ( 2 )= f ( 3 )= f ( 6 )= f ( 10 )=
"ara obtener la varianza y la desviación estándar se a&re&an columnas e'tras: (edia
•
E [ X ] =
∑ x P { X = x } i
i
i
E [ X ] =( 1 )
() () () () () 1 6
+( 2 )
1 3
1
+ ( 3)
6
+( 6 )
1 6
+ ( 10 )
1 6
1
2
1
5
6
3
2
3
= + + + 1 + =4
)arianza
•
σ = E [ X ]−( E [ X ]) 2
2
2
Se tiene la media, solo *alta obtener la +media cuando los valores son cuadrados y para
( E [ X ] )
2
, solo se eleva al cuadrado el valor de la media, es decir-
E [ X ] =( 1 ) 2
() () () () 1 6
+(4 )
1 3
+( 9 )
plicando la *ormula
1 6
+ (36 )
1 6
+( 1 0 0 )
() 1 6
1
4
3
50
6
3
2
3
= + + +6 +
=
77 3
=25.667
2
σ = 25.667−16 =9.667
Puntos !"
E [ X ]=¿ !+)
Probabilidad )*"
2
( E [ X ] ) =¿ 2
!$
*" +)*" 1 !/# !/# !/# $ !/% 2/% 0/% % !/# 1 %/2 ( !/# ! # 1, !/# /% $/% ! 0 33/% -otal La distribución de probabilidades para X queda de la si&uiente manera: 1/ 3
7/20 3/10 1/ 4 1/ 5 PROBABILIDAD
1/ 6
1/ 6
1/ 6
1/ 6
3
6
10
3/20 1/10 1/20 0
1
2
Puno s !"#$%&'!(
•
4esviación estándar
σ =√ E [ X ] −( E [ X ] ) 2
2
σ =√ 9.667=3.1092
Interretación de los resultados/ La media obtenida *ue de 0, la desviación estándar de %.!$52, lo que re*le6a que los puntos obtenidos a partir de los lanzamientos están le6anos a la media.
Problema $. (uc7as empresas de ener&8a el9ctrica promueven el a7orro de ener&8a, mediante tari*as de descuento a consumidores que manten&an su uso por deba6o de ciertos estándares establecidos. n reciente in*orme de la a&encia de protección ambiental observa que 3$; de los residentes en "uerto
Se sabe que:
n =5 ( los quetienenderecho a tarifasfavorable, )
k =5 ( suscritoresresisdenciales ) p=0.7 ( de acuerdo con el 70 proporcionado ) Sustituyendo en:
P { X = k }=
()
n− k n k p ( 1− p ) k
()
P { X =5 }=
{
5 5
} ( )(
( 0.7 ) ( 1−0.7 ) − 5
5
5
)( )
P X =5 = 1 0.168 1 = 0.168
"ara inciso b= 0escrición/ Se trata de la misma distribución, que, en el primer caso, a di*erencia que, en este punto, al menos cuatro tendrán derec7o a las tari*as *avorables, es decir, que se realizará
la suma de la probabilidad de cinco suscritores que tendrán dic7o derec7o, as8 como el de cuatro, como la oración del problema e'presa +al menos cuatro, se re*iere a cinco y cuatro suscriptores al derec7o de las tari*as.
n =4 ( los quetienen derecho a tarifas favorable, )
k =5 ( suscritoresresisdenciales ) p=0.7 ( de acuerdo con el 70 proporcionado ) Sustituyendo en:
P { X = k }=
()
n− k n k p ( 1− p ) k
()
P { X = 4 }=
5 4
( 0.7 ) ( 1− 0.7 ) − 4
5
4
P { X = 4 }=( 5 ) ( 0.2401 ) ( 0.3 ) =0.360 $.%#$>$.!#?@,.'$
Interretación de los resultados/ "ara el inciso a= la probabilidad 7a sido de
0.168
, es
pequeAa, debido a que de los 3$; que tienen suscriptores que tiene derec7o a tari*as de descuentos, se esco&ió una muestra pequeAa de la población. "ara el inciso b= la probabilidad *ue de
0.360
, mayor que el inciso a=, debido a que se incluyó a cuatro y cinco suscriptores
que tiene derec7o a la tari*a de descuento.
Problema %/ Supón que %$; de los solicitantes para cierto traba6o industrial posee capacitación avanzada en pro&ramación computacional. Los candidatos son ele&idos aleatoriamente entre la población y entrevistados en *orma sucesiva. a= Encuentra la probabilidad de que el primer solicitante con capacitación avanzada en pro&ramación se encuentre en la quinta entrevista. b= BCuál es el número esperado de solicitantes que será necesario entrevistar para 7allar el primero con capacitación avanzadaD "ara inciso a= 0escrición/ El %$; de solicitantes poseen capacitación avanzada en el área en cuestión p@$.%$=. Se e'presa en esta cuestión encontrar la probabilidad de que el primer solicitante con capacitación avanzada en pro&ramación se encuentre en la quinta entrevista, es decir, 7asta el quinto ensayo donde se consi&ue e 9'ito F@=:
P [ X =k ] =( 1− p )k − p 1
Sustituyendo: P [ X =5 ] =( 1 −0.3 )
5− 1
(0.3 )
P [ X =5 ] =( 0.2401 )( 0.3 )
[
]
P X =5 = 0.07203
"ara inciso b= 0escrición/ "ara encontrar el resultado de este punto, se necesita la probabilidad de los *racasos, antes de que lle&ue el 9'ito, por lo tanto: !G$.%@$.3, siendo $.3 la probabilidad de los *racasos antes de obtener el 9'ito, es decir, de los no capacitados antes de encontrar al primer solicitante con capacitación avanzada.
E ( X )=
1
p
Sustituyendo:
E ( X )=
1 0.7
=1.4285
Interretación de resultados/ "ara el inciso a= la probabilidad 7a sido de
0.07203
,
*ue tal porque el espacio muestral *ue pequeAa entrevistas y se ped8a que se encuentre el pro&ramador con capacitación en la quinta entrevista=. El número esperado de solicitantes necesarios a ser entrevistados para 7allar el primero con capacitación avanzada *ue de !.02?, se re*iere que entrarán personas no capacitadas, 7asta lle&ar a la esperanza y encontrar al capacitado.
Problema &. En una producción de l8nea de ensamble de robots industriales se pueden instalar con6untos de ca6as de en&ranes en un minuto cada una si los a&u6eros 7an sido taladrados correctamente en las ca6as y en diez minutos si deben taladrarse a&u6eros. Hay veinte ca6as de en&ranes en e'istencia, 2 con a&u6eros taladrados de manera incorrecta. Cinco ca6as de en&ranes deben seleccionarse de entre las 2$ disponibles para instalarse en los si&uientes cinco robots. a= Encuentre la probabilidad de que las ca6as de en&ranes a6usten correctamente. b= Encuentre la media, la varianza y la desviación estándar del tiempo que toma instalar estas ca6as de en&ranes. "ara inciso a= 0escrición/ Se trata de una distribución 7iper&eom9trica, puesto que se seleccionan una muestra aleatoria n@= de un con6unto de cierto número de ob6etos I@2$=, de acuerdo al inciso a=, se buscan las ca6as que *uncionen correctamente, por lo cual, se interesa solamente de aquellos que ten&an ese ras&o r@!?, esto debido a que dos ca6as de las veinte no *ueron taladradas correctamente los en&ranes= y se quiere que cinco ca6as de en&ranes *uncionen correctamente '@=
− ( )( − ) = }= ()
P { X x
r N r x n x N n
Sustituyendo:
− ( )( − ) ( = }= = ( ( ) 18
P { X
5
5
20 5
20
18 5
) ( ) 21 = = 0.5526 38 15504 )
8568 1
5
"ara inciso b=: 7ora se empleará el tiempo. Jbtendrá lo si&uiente con respecto al tiempo, por lo que se tiene que: I de las 2$ ca6as, dos están de manera incorrectamente taladradas= @!?K!>2K!$@%? minutos r Ca6as taladradas correctamente= @ !?K! minuto@ !? minutos.
' ca6as que se quieren que *uncionen correctamente= @ K! minuto@ minutos. n muestra aleatoria, se deduce que son las que *uncionan correctamente= @ K! minuto@ minutos •
(edia:
E [ X ]= n
( ) r N
Se sabe que n@, r@!?, I@%?= : Sustituyendo:
E [ X ]= ( 5 )
•
( )= 38
19
20
2
=9 .5
)arianza:
Var [ X ]= n
( )( − )( −− ) r N r N N
N n N 1
Se sabe que n@, r@!?, I@2$= : Sustituyendo:
Var [ X ]=( 5 )
•
( )( 18 38
−18
38
38
)(
)
−5 =( 5 ) ( 0.4736 ) ( 0.5263 ) ( 0.8919 ) =1.112 38−1 38
4esviación estándar: Es la ra8z cuadrada de la varianza.
σ =√ Var [ X ]=√ 1.112=1.0545
Interretación de resultados/ En el inciso a= la probabilidad *ue
0.5526
, ya que son más
los casos en donde las ca6as que *ueron taladradas correctamente es mayor a las que no *uero. 4e acuerdo con los resultados obtenidos, para el inciso b= la desviación estándar muestra que
los valores se encuentran poco dispersos entre s8 de la media, es decir, del tiempo que se tardará en instalar los en&ranes que se a6usten correctamente.
Problema '. Lle&an autos a una caseta de pa&o de pea6e de acuerdo con un proceso de "oisson con media de ?$ autos por 7ora. Si el empleado 7ace una llamada tele*ónica de ! minuto, Bcuál es la probabilidad de que al menos ! auto lle&ue durante la llamadaD 0escrición de solución/ Se da el valor de la media que se obtiene realizando una re&la de tres a partir del promedio por 7ora de oc7enta autos: ?$ autos ! 7ora #$ minutos= X autos ! minuto
x =
∗
80 1 60
8
4
6
3
= = <− Éste será el valor delamedia
dice el problema que sea por lo menos un auto que lle&ue durante la llamada, entonces,
P { X ≥ 1 } , quedar8a como "X@$=. −
e P { X ≥ 1 }=1 − k!
k
Sustituyendo:
{
}
P X ≥ 1 =1 −
(
−4
e
3
¿
0!
4 3
)
0
=1 −0.2636 =0.7364
Interretación de resultados/ La probabilidad es alta, casi cercano a uno, debido a la cantidad de automóviles que lle&an en promedio cada 7ora es ?$, si este *uera menor, la probabilidad que lle&ue un auto ba6ar8a.
