U4 Listado de Ejercicios

Universidad Católica de la Santísima Concepción Facultad de Ingeniería Departamento de Matemática y Física Aplicadas Aplicadas

IN1062C 2018-2 JD/LR/HA/RS

Guía de ejercicios Uidad I! "1# Considere una población con los siguientes valores:  ! " # $% Determine e identi&i'ue todas las muestras posibles de tama(o ) sin repetición provenientes de esta  población y obtenga: obtenga: a* +os +os par parám ámet etro ross , y -.  b* +as medias de cada muestra. muestra. c* +a distrib distribució ución n de probabi probabilidad lidades es de las las medias medias mu/stra mu/strales. les. d* +a media media de las las medias medias mu/stra mu/strales. les. 01u/ 01u/ se puede puede concluir2 concluir2 e* +a vari varian3 an3aa de las las media mediass mu/st mu/stral rales. es. "2# 4l contenido en al'uitrán de los cigarrillos de una determinada marca es una variable aleatoria con distribución normal de media de $ mg y desviación estándar ! mg. a* Si se selec seleccio ciona na aleatori aleatoriame amente nte uno de estos estos cigarril cigarrillos los 0Cuál 0Cuál es la probab probabili ilidad dad de 'ue tenga un contenido de al'uitrán mayor a $567 mg2  b* Si se toma una muestra aleatoria de ) cigarrillos de esta marca 0Cuál es la probabilidad de 'ue el contenido medio de al'uitrán sea in&erior a  mg2 c* Si una ca8etilla ca8etilla contiene contiene % cigarril cigarrillos los 0'u/ porcent porcenta8e a8e de cigarrillo cigarrilloss tienen un contenid contenido o de al'uitrán entre %6) y $6" mg2 d* 9ara la ca8etill ca8etillaa con los % cigarrillo cigarrilloss 0Cuál es la probabili probabilidad dad de 'ue el contenido contenido total total de al'uitrán sea menor a !7 mg2 e* 0Cuál 0Cuál debe ser el nmero nmero de cigarril cigarrillos los a seleccion seleccionar ar si la media media de la muestra muestra di&iere di&iere del  promedio en a lo más %6%"6 %6%"6 con una probabilidad de de 55;2 &* 4ncontrar 4ncontrar la la probabil probabilidad idad de de 'ue la varian3 varian3aa de la muestra muestra sea sea a lo más $76" $76" mg . "$# Se sabe 'ue el tiempo de espera en la ca8a de un supermercado tiene distribución normal con media de "6" minutos y se registraron los tiempos de $ clientes: 76 #6$ "65 $%6! 56< # !67 #65 $6) $$6# $%67 #6) a* 0Cuál 0Cuál es la distr distribuci ibución ón muestral muestral de la media media de de esta muestra2 muestra2  b* Determinar la probabilidad probabilidad de 'ue el tiempo de de espera promedio sea entre " y $% minutos. c* Calcular Calcular la probabil probabilidad idad de 'ue 'ue el tiempo tiempo medio se espera espera no supere supere los "67 "67 minutos. minutos. d* Calcular Calcular la probabili probabilidad dad de 'ue el tiempo tiempo promedio promedio de espera sea sea superior superior a # minutos. minutos. e* 0Cuál 0Cuál debe ser el nmero nmero de clientes clientes a selecci seleccionar onar si se 'uiere 'uiere 'ue la media media de la muestra muestra di&iera de la media de la población en a lo más %6%!6 con una probabilidad de 5%;2 "%# +os =igabytes >=b* descargados semanalmente por el grupo de clientes de una compa(ía de tele&onía móvil con la tari&a AA se se puede apro?imar por una distribución normal con media )67 =b. Se tomó una muestra aleatoria de !7 clientes y se obtuvo una desviación estándar de $6! =b. a* 0Cuál 0Cuál es la distr distribuci ibución ón muestral muestral de la media media de de esta muestra2 muestra2  b* 0Cuál es la probabilidad probabilidad de 'ue la media muestral sea sea in&erior a )6# =b2 c* 0Cuál 0Cuál es la probabili probabilidad dad de 'ue la media media muestral muestral este este comprendid comprendidaa entre 67 67 y !6$ =b2 d* Si el tama(o tama(o de muestra muestra @ubiera @ubiera sido sido de $76 0se usaría usaría la misma misma distribuci distribución2 ón2 e* Determina Determinarr la probabilidad probabilidad de 'ue el cocient cocientee entre la varian3a varian3a muestral muestral y la poblaciona poblacionall no supere los %6" =b. "&# Se sabe 'ue una má'uina 'ue produce Cubos ubiB genera un 7; de cubos de&ectuosos. Si se elige al a3ar 7% cubos 0Cuál es la probabilidad de 'ue como muc@o # est/n de&ectuosos2 0 'u/ más $% est/n de&ectuosos2

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"6#  4l !; de los penos producidos por una má'uina resultan ser de&ectuosos. Si se e?trae una muestra aleatoria de #% pernos al a3ar. Determine: a* +a probabilidad de 'ue no más del ); sean de&ectuosos. a* +a probabilidad de 'ue los de&ectuosos este entre el ); y el 7; de de&ectuosos.  b* +a probabilidad de 'ue supere el "; de de&ectuosos. "'# 4l ascensor de cierto edi&icio puede transportar una carga má?ima de )%% Bg. a* Si el peso en Bilogramos de los usuarios de ese ascensor tiene distribución normal6 con media de ") Bg. y varian3a de $!! Bg. 6 0cuál es la probabilidad de 'ue un grupo aleatorio de cuatro de ellos sobrepase el peso límite2  b* Se sabe 'ue el "!6#; de las veces 'ue el ascensor es usado por un grupo de ! personas6 el  peso total de los usuarios no e?cede cierto peso  x 0  0Cuál es el valor de  x 0 2 "8# Se sabe 'ue al <7; de los 8óvenes de una ciudad les gusta el cine. Si se seleccionan 7 muestras de $%% 8óvenes cada una6 0en cuántas cabe esperar 'ue el porcenta8e de 8óvenes cin/&ilos est/ comprendido entre el <% ; y el #% ;2 0 si las muestras &ueses de $%%% 8óvenes2 "(# Se obtuvo una muestra aleatoria de la cantidad pagada >en dólares* para un ta?i desde el centro @asta el aeropuerto: $7 $5 $< ) $ $< $" $# $ $# %  $7 $# % Usa los datos para encontrar una estimación puntual para cada uno de los siguientes parámetros: a* Media.  b* arian3a. c* Desviación estándar. "10# Se @a e?traído una muestra de tama(o " de una población normal de media 2 σ  . Considere los estimadores: ¿

 μ1 =

 x 1 −3  x2 + 8  x3 6

¿

E

 μ2 =

2  x 1 + x 2 + 3  x 5 6

 μ

 y varian3a

¿

E

 μ3 = x

a* Determine si los estimadores son insesgados o no.  b* btenga el error cuadrático medio. c* 01u/ estimador elegiría usted y por 'u/2 "11# +a porosidad al @elio >en porcenta8e* de muestras de carbón tomadas de cual'uier costura  particular está normalmente distribuida con desviación estándar verdadera de %.<7. a* Calcular el intervalo de con&ian3a del 57; de con&ian3a para la porosidad promedio verdadera de una costura6 si la porosidad media en % especímenes &ue de !.#7.  b* Calcular el intervalo de con&ian3a de 5#; de con&ian3a para la porosidad promedio verdadera de otra costura basada en $" especímenes con porosidad promedio muestral de !.7". c* 01u/ tan grande debe ser un tama(o de muestra si el anc@o del intervalo de 57; tiene 'ue ser de %6!%2 d* 01u/ tan grande debe ser un tama(o de muestra para calcular la porosidad promedio verdadera dentro de %6 con con&ian3a de 55;2 "12# 4l gerente &inanciero de una gran cadena de tiendas departamentales seleccionó una muestra aleatoria de %% de sus clientes 'ue pagan con tar8eta de cr/dito y encontró 'ue $)" @abían incurrido en pago de intereses durante el a(o previo a causa de saldos vencidos. a* Calcule un intervalo de con&ian3a de 5%; para la proporción verdadera de clientes de tar8eta de cr/dito 'ue incurrieron en pago de intereses durante el a(o previo.

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 b* Si el anc@o deseado del intervalo de 5%; es de %.%76 0'u/ tama(o de muestra se re'uiere  para garanti3ar esto2 c* 4speci&i'ue el límite superior del intervalo del inciso a* un límite de con&ian3a superior de 5%; para la proporción6 0'u/ se está estimando2 4?pli'ue. "1$# 4l tiempo de renovación de un tel/&ono móvil6 e?presado en a(os6 se puede apro?imar  mediante una distribución normal. Se tomó una muestra aleatoria de )5 móviles6 de la cual se obtuvo una desviación estándar de %6! a(os. a* Calcular el intervalo de con&ian3a al 57; de con&ian3a para el tiempo medio de renovación de un tel/&ono móvil.  b* Construir un intervalo de con&ian3a al 55; para la desviación estándar del tiempo de renovación de un tel/&ono móvil. c* Determinar el tama(o muestral mínimo necesario para 'ue el valor absoluto de la di&erencia entre la media muestral y la media poblacional sea menor o igual a %6% a(os con un nivel de con&ian3a del 5%;. "1%# 1ueremos determinar el porcenta8e de estudiantes 'ue necesitan lentes. De un estudio reali3ado @ace tres a(os sabemos 'ue el "7; de ellos usaban lentes. a* 01u/ tama(o de muestra debemos coger para cometer un error má?imo del 7; con un nivel de riesgo del 7;2  b* Si no tenemos in&ormación previa6 0'u/ tama(o de muestra debemos tomar2 "1&# 4n $" recorridos6 el consumo de gasolina de un nuevo motor tuvo una desviación estándar de .. litros. Construir un intervalo de con&ian3a del 55; para la varian3a y para la desviación estándar esperadas de este motor. "16# Una má'uina produce pie3as metálicas de &orma cilíndrica para ser utili3adas en la &abricación de discos duros para computadoras. Se sabe 'ue los diámetros de las pie3as tienen distribución normal y se toma una muestra y los diámetros resultan de: $.%$6 %.5<6 $.%)6 $.%!6 %.556 $.%$6 y $.%) centímetros6 respectivamente: a* btenga un intervalo de con&ian3a de 55; para el diámetro medio de las pie3as producidas  por la má'uina6 suponiendo una distribución apro?imadamente normal.  b* 4studie el error de estimación para niveles de con&ian3a del 57;. 01u/ relación e?iste entre longitud del intervalo6 precisión de la estimación y nivel de con&ian3a2 c* Supóngase 'ue se desea 'ue el error en la estimación del diámetro medio de las pie3as sea menor 'ue %.%7 centímetros6 con una con&ian3a del 57;. 0Cuál debería ser en este caso el tama(o de la muestra2 d* Construir un intervalo de con&ian3a del 5%; para la varian3a de la muestra. Interprete. "1'# Se @i3o una encuesta entre $)% estudiantes universitarios6 de los cuales #7 eran mu8eres6 sobre el nmero de @oras 'ue estudian diariamente &uera del aula6 obteni/ndose una media de )6! @oras. a* Si la desviación estándar muestral es de $6$ @oras6 obtener un intervalo de con&ian3a al 5#;  para la media del nmero de @oras 'ue estudian diariamente &uera del aula los estudiantes universitarios.  b* btener un intervalo de con&ian3a del 5%;6 para el porcenta8e de mu8eres entre los estudiantes universitarios. c) Construir un intervalo de con&ian3a del 55; para la verdadera desviación estándar del nmero de @oras de estudio. 01u/ se puede concluir de este valor2

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