apuntes u4

U4: PRUEBAS DE BONDAD DE AJUSTE Y PRUEBAS NO-PARAMETRICAS

TEMARIO

Unidad 4: Pruebas de bondad de ajuste y pruebas no paramétricas

UNIDAD IV: PRUEBAS DE BONDAD DE AJUSTE Y PRUEBAS NO PARAMETRICAS C0NCEPTUALES 30 PUNTOS Investigación DOCUMENTAL: Portada

% 5 ab

Índice Introducción Desarrollo Conclusión Referencias bibliográficas Presentación PP ( 0 – 100 ) PROCEDIMENTALES

5 10 45 25 10 100

CALIF =

2

*0.3

60 PUNTOS

a) Resolución de Problemario ( 0 - 100 ) CALIF=

ab 2

*0.6

b) Examen ( 0 -100 )

ACTITUDINALES

20 PUNTOS

a) Asistencia ( 0 - 100 ) CALIF = Pts.*0.1

CALIFICACION DE DE LA UNIDAD = CC + CP + CA Fecha de examen: Viernes 30 de Diciembre del 2012

Ing. Fernando Loera Rivera

1

U4: PRUEBAS DE BONDAD DE AJUSTE Y PRUEBAS NO-PARAMETRICAS Unidad 4: Pruebas de bondad de ajuste y pruebas no paramétricas

4.1 Bondad de ajuste Las pruebas de bondad de ajuste tienen varias aplicaciones, por ejemplo, en situaciones en las que queremos determinar si un conjunto de datos se puede considerar como una muestra aleatoria de una población que tiene una distribución dada. Pero, ¿Cómo podemos determinar qué tipo de distribución tiene una variable aleatoria? Empecemos por definir, ¿Qué es una variable aleatoria? Podemos decir que las variables aleatorias son aquellas que tienen un comportamiento probabilístico en la realidad. Por ejemplo, el número de clientes que llegan cada hora a un banco depende del momento del día, del día de la semana y de otros factores: por lo general, la afluencia de clientes será mayor al mediodía que muy temprano por la mañana; la demanda será mayor el viernes que el miércoles; habrá más clientes un día de pago que un día normal, etc. Dadas estas características, las variables aleatorias deben cumplir reglas de distribución de probabilidad como estas:    

La suma de las probabilidades asociadas a todos los valores posibles de la variable aleatoria x es uno. La probabilidad de que un posible valor de la variable x se presente siempre es mayor que o igual a cero. El valor esperado de la distribución de la variable aleatoria es la media de la misma, la cual a su vez estima la verdadera media de la población. Si la distribución de probabilidad asociada a una variable aleatoria está definida por más de un parámetro, dichos parámetros pueden obtenerse mediante un estimador no sesgado. Por ejemplo, la varianza de la población  2 puede ser estimada usando la varianza de una muestra que es s 2 . De la misma manera, la desviación estándar de la población,  , puede estimarse mediante la desviación estándar de la muestra s .

Tipos de variables aleatorias: Podemos diferenciar las variables aleatorias de acuerdo con el tipo de valores aleatorios que representan. Por ejemplo, si habláramos del número de clientes que solicitan cierto servicio en un periodo de tiempo determinado, podríamos encontrar valores tales como 0,1,2,........,n 0,1,2,........, n , es decir, un comportamiento como el que presentan las distribuciones de probabilidad discretas. Por otro lado, si habláramos del tiempo que tarda en ser atendida una persona, nuestra investigación tal vez arrojaría resultados como 1.54 min, 0.028 horas o 1.37 días, es decir, un comportamiento similar al de las distribuciones de probabilidad continuas. Considerando lo anterior podemos diferenciar entre variables aleatorias discretas y variables aleatorias continuas. i.

Variables aleatorias discretas. Este tipo de variables deben cumplir con estos parámetros: P  x   0 

 pi  1 i 0 b

P  a  x  b    pi  Pa  ...... P b i a


2


Algunas distribuciones discretas de probabilidad son: la uniforme discreta, la de Bernoulli, la hipergeométrica, la de Poisson y la binomial. Distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta Gráfica Gráfic a de distri distri bución bución Binomial, n=5, p=0.5 0.35 0.30 0.25 d a d i l 0.20 i b a b o 0.15 r P

0.10 0.05 0.00 0

1

2

3

4

5

6

X

Podemos asociar a estas distribuciones de probabilidad el comportamiento de una variable aleatoria. Por ejemplo, si nuestro propósito al analizar un muestreo de calidad consiste en decidir si la pieza bajo inspección es buena o no, estamos realizando un experimento con dos posibles resultados: la pieza es buena o la pieza es mala. Este tipo de comportamiento está asociado a una distribución de Bernoulli. Por otro lado, si lo que queremos es modelar el número de usuarios que llamaran a un teléfono de atención a clientes, el tipo de comportamiento puede parecerse a una distribución de Poisson. ii.

Variables aleatorias continuas. Este tipo de variables se representan mediante una ecuación que se conoce como función de densidad de probabilidad. Dada esta condición, cambiamos el uso de la sumatoria por la de una integral para conocer la función acumulada de la variable aleatoria. Por lo tanto, las variables aleatorias continuas deben cumplir los siguientes parámetros:

P  x   0 P  x  a   0 

 f  x   1



b

P  a  x  b   P  a  x  b  

 f x  a


3


Entre las distribuciones de probabilidad continuas tenemos: la uniforme continua, la exponencial, la normal, le de Weibull, la Chi-cuadrada y la de Erlang. Gráfica de distribución Normal, Media=5, Desv.Est.=0.5 0.9 0.8 0.7 0.6 d a d 0.5 i s n e 0.4 D

0.3 0.2 0.1 0.0 3.5

4.0

4.5

5.0

5.5

6.0

6.5

X

Algunos procesos pueden ser asociados a estas distribuciones. Por ejemplo, es posible que el tiempo de llegada de cada cliente a un sistema tenga una distribución de probabilidad muy semejante a una exponencial, o que el tiempo que le toma a un operario realizar una serie de tareas se comporte de manera muy similar a la dispersión que presenta una distribución normal. Sin embargo, debemos hacer notar que este tipo de distribuciones tiene sus desventajas, dado que el rango de valores posibles implica que existe la posibilidad de tener tiempos infinitos de llegada de clientes o tiempos de ensamble infinitos, situaciones lejanas a la realidad.

Determinación del tipo de distribución de un conjunto de datos La distribución de probabilidad de los datos históricos puede determinarse mediante las pruebas Chicuadrada, de Kolmogorov-Smirnov y de Anderson-Darling.

4.1.1 Prueba Ji-Cuadrada Las distribuciones Chi-cuadrada, al igual que las distribuciones t de student, son una familia de distribuciones de probabilidad, cada una de ellas identificada por el número de parámetro de grados de libertad . Sus propiedades son: 

 2 es no negativa en su valor; es cero o de valor positivo.



 2 no es simétrica; es sesgada a la derecha.



 2 está distribuida para formar una familia de distribuciones, una distribución separada para cada

número diferente de grados de libertad.


4


Diversas distribuciones de Chi-cuadrada: Gráfica de distribución Chicuadrado 0.10

df 10 20

0.08

d 0.06 a d i s n e D

0.04

0.02

0.00 0

10

20

30

40

X

Los valores críticos para Chi-cuadrada se obtienen de tablas. Cada valor crítico es identificado por dos piezas de información: los grados de libertad (gl) y área bajo la curva a la derecha del valor crítico que se busca. Por tanto,  2 gl ,   se lee: ‖Chi cuadrada de gl, alfa es el símbolo que se emplea para identificar el valor crítico de Chi-cuadrada con gl grados de libertad y con  área a la derecha. ”

Ejemplo 1.  2 Asociada con la cola derecha: 2

Encuentre   20, 0.05 Solución: Use la tabla para hallar el valor de  220,0.05 en la intersección de la fila gl=20 y la columna

  0.05 , como se muestra enseguida:

gl . . . 20

……..

…….

……..

…….

………

……….


Área a la derecha 0.05 . . . 31.4

5


Gráfica de distri bución Chicuadrado, df=20 0.07 0.06 0.05 d a 0.04 d i s n e D 0.03

0.02 0.01 0.05 0.00

0

31.4 X

Ejemplo 2.  2 Asociada con la cola izquierda: 2

Encuentre  14, 0.90 Solución: Use la tabla para hallar el valor de

 214, 0.90

en la intersección de la fila gl=14 y la columna

  0.90 , como se muestra enseguida:

gl . . . 14

……..

…….

……..

…….

………

……….


Área a la derecha 0.90 . . . 7.79

6


Gráfica de distri bución Chicuadrado, df=14 0.09 0.08 0.07 0.06 d a 0.05 d i s n e 0.04 D

0.03

0.9

0.02 0.01 0.00

0

7.79 X

La prueba Chi-cuadrada es una prueba de hipótesis a partir de datos, basada en el cálculo de un valor llamado estadístico de prueba, al cual suele comparársele con un valor conocido como valor crítico, mismo que se obtiene, generalmente, de tablas estadísticas. El procedimiento general de la prueba es: 1. Obtener al menos 30 datos de la variable aleatoria a analizar. 2. Calcular la media y varianza de los datos. 3. Crear un histograma de m  n intervalos y obtener la frecuencia observada en cada intervalo Oi . 4. Establecer explícitamente la hipótesis nula, proponiendo una distribución de probabilidad que se ajuste a la forma del histograma. 5. Calcular la frecuencia esperada, E i , a partir de la función de probabilidad propuesta. m

 Ei  Oi 

i 1

E i

6. Calcular el estadístico de prueba: c  

2

7. Definir el nivel de significancia de la prueba,  , y determinar el valor crítico de la prueba,   2, mk 1 ( k es el número de parámetros estimados en la distribución propuesta). 8. Comparar el estadístico de prueba con el valor crítico. Si el estadístico de prueba es menor que el valor crítico, no se puede rechazar la hipótesis nula.


7


Ejemplo 3. Estos son los datos del número de automóviles que entran a una gasolinera cada hora. (Estudio realizado en la 76 gas station de Los Angeles, CA 1998).

1. Se obtienen 50 datos: 14

7

13

16

16

13

14

17

15

16

13

15

10

15

16

14

12

17

14

12

13

20

8

17

19

11

12

17

9

18

20

10

18

15

13

16

24

18

16

18

12

14

20

15

10

13

21

23

15

18

2. Calcular la media y varianza de los datos: n

x 

n

 2 

3.

  x  x  i

i 1

n 1

 x

i

i 1

n



14  13  13  20  .........  18 50

 15.04

2 2



2

14  15.04   13 15.04   ...........  18  15.04  50  1

2

 13.14

Crear un histograma de m  n intervalos y obtener la frecuencia observada en cada intervalo Oi Intervalo

Oi

6-8.5 9-11.5 12-14.5 15-17.5 18-20.5 21-23.5 24-26.5 20-21 22-23 24-25 25-8 Totales

2 3 15 16 9 2 1 4 1 1 0 50

p  x 


Ei  50* p  x 

c

8


Histograma de frecuencias de la llegada de automoviles a la gasolinera 12 10 a i c n e u c e r F

8 6 4 2 0 0-7

8-9

10-11 12-13 14-15 16-17 18-19 20-21 22-23 24-25 25-8

Automóviles/h

El histograma de los n  50 datos , considerando m  11intervalos , la media muestral de 15.04 y la varianza muestral de 13.14, permiten establecer la siguiente hipótesis: Determinar la distribución de probabilidad con un nivel de significancia  de 5 %

H 0 : Poisson   15

automoviles / h

H a : Otra distribucion

Comenzamos por calcular la probabilidad de cada intervalo a partir de la función de probabilidad de Poisson: p  x  

 x e 

x  0,1,2,3,.......

x !

p  x  

15 x e

15

x !

x  0,1, 2,3,.......

Por ejemplo, para el intervalo 8-9 p  x  8,9  

158 e

15

8!



159 e

15

9!

 0.0519

Enseguida calculamos la frecuencia esperada en cada intervalo, multiplicando la probabilidad p(x) por el total de datos de la muestra: Ei  n p  x  Ei  50 p  x 

Y luego estimamos el estadístico de prueba:

c

m

 Ei  Oi 

i 1

E i



2

2



 0.5185  1 0.5185

2



 2.5926  2 


2

 ......... 

0.3100  0  0.3100

 2.2215

9


A partir de los cálculos realizados anteriormente se obtiene la siguiente tabla:

Intervalo Oi p  x  Ei  50* p  x  0-7 1 0.0104 0.5185 8-9 2 0.0519 2.5926 10-11 4 0.1149 5.7449 12-13 10 0.1785 8.9233 14-15 11 0.2049 10.2436 16-17 10 0.1808 9.0385 18-19 6 0.1264 6.3180 20-21 4 0.0717 3.5837 22-23 1 0.0336 1.6821 24-25 1 0.0133 0.6640 25-8 0 0.0079 0.3100 1 Totales 50 50

c 0.4471 0.1354 0.5300 0.1299 0.0559 0.1023 0.0160 0.0483 0.2766 0.1700 0.3100 2.2215

2 El valor del estadístico de prueba, c  2.2215 , comparado con el valor crítico de tablas,  0.05,11  01  18.307 , indica que no podemos rechazar la hipótesis nula de que la variable aleatoria se comporta de acuerdo con una distribución de Poisson, con una media de 15 automóviles/hora. Valores críticos para la Distribución  2 2

 

 grados de

2  0.10

libertad

1 2 . . 10

2  0.05

2  0.025

2  0.005

2  0.01

2  0.001

2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 4.605 5.991 7.378 9.210 10.597 13.816 . . . . . . . . . . . . 15.987 18.307 20.483 23.209 25.188 29.588

Gráfica de distribución Chicuadrado, df=10 0.10

0.08

d 0.06 a d i s n e D

0.04

0.02 0.05 0.00

0

18.3 X


10


4.2 Prueba de independencia Las dos propiedades más importantes que deben satisfacer los números de un conjunto r i son uniformidad e independencia. Para probar la independencia de los números de un conjunto r i primero es preciso formular las siguientes hipótesis H 0 : los números del conjunto ri son independientes H A : los números del conjunto ri no son independientes

Prueba de corridas arriba y abajo

El procedimiento de esta prueba consiste en determinar una secuencia de números  S  que solo contiene unos y ceros, de acuerdo con una comparación entre r i y r i1 . Posteriormente se determina el número de corridas observadas C O (una corrida se identifica como la cantidad de unos y ceros consecutivos). Luego se calcula el valor esperado, la varianza del número de corridas y el estadístico Z 0 , mediante las ecuaciones:  C O   C 2O 

Z 0 

2n  1 3 16n  29 90

C O   C O


 C O

11


4.3 Pruebas no paramétricas 4.3.1 Prueba de Kolmogorov Smirnov –

Desarrollada en la década de los treinta del siglo XX, esta prueba permite – al igual que la prueba chicuadrada- determinar la distribución de probabilidad de una serie de datos. Una limitante de la prueba de Kolmogorov-Smirnov estriba en que solamente se puede aplicar al análisis de variables continuas. El procedimiento general de la prueba es: 1. Obtener al menos 30 datos de la variable aleatoria a analizar. 2. Calcular la media y la varianza de los datos. 3. Crear un histograma de m  n intervalo, y obtener la frecuencia observada en cada intervalo Oi 4. Calcular la probabilidad observada en cada intervalo POi  Oi n , esto es, dividir la frecuencia observada Oi entre el número total de datos n 5. Acumular las probabilidades POi para obtener la probabilidad observada hasta el i  ésimo intervalo POAi 6. Establecer explícitamente la hipótesis nula, proponiendo una distribución de probabilidad que se ajuste a la forma del histograma. 7. Calcular la probabilidad esperada acumulada para cada intervalo, PEAi , a partir de la función de probabilidad propuesta. 8. Calcular el estadístico de prueba: C  máx PEAi  POAi i  1, 2, 3, ....., k , ..., m 9. Definir el nivel de significancia de la prueba  , y determinar el valor crítico de la prueba, D , n (consultando la tabla de valores críticos de la prueba de Kolmogorov-Smirnov). 10. Comparar el estadístico de prueba con el valor crítico. Si el estadístico de prueba es menor que el valor critico no se puede rechazar la hipótesis nula.

Ejemplo 4: Un estudio del comportamiento del tiempo entre roturas de cierto filamento, medido en minutos/rotura, se muestra a continuación: 4.33

1.61

2.16

2.88

0.7

0.44

1.59

2.15

8.59

7.36

9.97

7.86

5.49

0.98

4.52

2.12

4.44

0.82

6.96

3.04

2.91

14.39

3.44

9.92

4.38

8.04

2.18

6.19

4.48

9.66

4.34

1.76

2.3

5.24

11.65

10.92

12.16

6.6

0.85

4.82

1.36

3.53

6.58

1.45

8.42

3.69

2.44

0.28

1.9

2.89

Determinar la distribución de probabilidad con un nivel de significancia  de 5 por ciento.

Iniciamos el procedimiento calculando la cantidad de intervalos m  n  50  7.071  8 Ing. Fernando Loera Rivera

12


y el tamaño de cada intervalo es

valor mayor  valor menor 14.39  0.44



8

8

 1.744  2

Histograma 14 12 10 a i c n e u c e r F

8 6 4 2 0 0-2

2-4

4-6

6-8

8-10

10-12

12-14

14-

Minutos/roturas

El histograma de los n  50 datos con m  8 intervalos, la media muestral de 4.7336 y la varianza muestral de 12.1991 permiten estimar un parámetro de forma de 1.38 y un parámetro de escala de 5.19 y establecer la hipótesis: H 0 : Weibull   1.38,   5.19  minutos / rotura H A : Otra distribución

y la probabilidad observada en cada intervalo POi 

Oi n



12 13 9 6 6 2 1 1   , , , , , , ,  50  50 50 50 50 50 50 50 50  Oi

para después calcular la probabilidad observada acumulada hasta el intervalo i

POAi 

O  O i

n

12 25 34 40 46 48 49 50    , , , , , , ,   0.24, 0.50,......,1 50  50 50 50 50 50 50 50 50  i

Posteriormente calculamos la probabilidad esperada acumulada de cada intervalo a partir de la función de probabilidad acumulada de Weibull


13


x





F  x    x

 1

e

 x      

dx

0

F  x   1  e F  x   1  e

 x        x   1.38  5.19 

Por ejemplo, para el intervalo con el límite superior de 8: PEA8  F  8  1  e

 8   1.38  5.19 

 0.83747

Por último, calculamos el estadístico de prueba c  máx POAi  PEAi  máx  0.24  0.2353 , 0.50  0.5025 ,...., 1 1   0.0375 A partir de los cálculos anteriores se obtiene la siguiente tabla:

Intervalo Oi

POi

POAi

PEAi

POAi  PEAi

0.24 0.26 0.18 0.12 0.12 0.04 0.02 0.02 1.00

0.24 0.50 0.68 0.80 0.92 0.96 0.98 1.00

0.23526

0.0047

0.50247

0.0025

0.70523

0.0252

0.83747

0.0375

0.91559

0.0044

0.95839

0.0016

0.98042

0.0004

1.00000

0.0000

c

0.0375

12 13 9 6 6 2 1 1 50

0-2 2-4 4-6 6-8 8-10 10-12 12-14 14-  Total

El valor del estadístico de prueba, c  0.0375 , comparado con el valor de tablas crítico, D0.05, 50  0.1923 , indica que no podemos rechazar la hipótesis nula de que la variable aleatoria se comporta de acuerdo con una distribución de Weibull con parámetro de escala 5.19 y parámetro de forma 1.38

Valores críticos de la prueba de Kolmogorov-Smirnov  grados de libertad

1 2 . 45 Para valores mayores a 35

D  0.1

D 0.05

D 0.01

0.950 0.776 . 0.182

0.975 0.842 . 0.203

0.995 0.929 . 0.243

1.22

n


1.36 50

 0.1923

1.63

n

14


Gráfica de distribución Weibull, Forma=1.38, Escala=5.19, Valor umbral=0 0.16 0.14 0.12 0.10

d a d i s 0.08 n e D

0.06 0.04 0.02 0.05 0.00

0

0.1923

Cálculo de los Parámetros de la Distribución de Weibull El presente artículo presenta, paso a paso, el método de los Mínimos Cuadrados para calcular los parámetros de forma y escala de la distribución de Weibull. Para el cálculo del parámetro de localización se emplea el complemento Solver de Excel. También se presentan dos ecuaciones para calcular el estimador Rango de mediana (ecuaciones 5 y 6), siendo esta última una forma aproximada y la que generalmente se usa en la literatura técnica. Ya que la ecuación (5) es más exacta, ésta es la que se emplea; para ello, y debido a su complejidad, se presenta el código fuente — en el lenguaje VBA (Visual Basic para Aplicaciones) — para crear una función definida por el usuario en Excel. Igualmente se usan las funciones PENDIENTE e INTERSECCIÓN.EJE, de Excel, para calcular la pendiente y el intercepto de la línea de regresión.

1. INTRODUCCIÓN La distribución de Weibull es una distribución continua y triparamétrica, es decir, está completamente definida por tres parámetros y es la más empleada en el campo de la confiabilidad. A pesar de la popularidad de esta distribución, en la revisión bibliográfica efectuada, la mayoría de los artículos y literatura técnica consultados se remiten a una distribución biparamétrica y, más aún, los ejemplos allí desarrollados presentan como datos conocidos los dos parámetros, generándose, así, las siguientes preguntas: ¿Cómo se calculan los parámetros? y ¿por qué se omite el cálculo del tercer parámetro? El tercer parámetro es el parámetro de localización, es decir, el parámetro que localiza la abscisa a partir del cual se inicia la distribución.


15


El objetivo del presente artículo es responder a las dos preguntas anteriores, presentando una de las cinco metodologías — analíticas — existentes para el cálculo de los parámetros y algunos criterios para determinar si es necesario tener en cuenta el tercer parámetro. 1. 2. 3. 4. 5.

Mínimos cuadrados. Gráfico de la función tasa de falla. Máxima similitud. Estimación de momentos. Estimadores lineales.

El método que se presenta es el método de los Mínimos Cuadrados, por tres razones: la primera, es un método simple y expedito de aplicar; la segunda, la gráfica de los datos sirven como una prueba de bondad de ajuste de la distribución y, la tercera, da un indicio sobre si se debe calcular o no el parámetro de localización. Para una metodología gráfica, la cual hace uso del papel especial llamado papel de probabilidad de Weibull, véanse las referencias [5], [6]

2. EXPRESIÓN MATEMÁTICA DE LA DISTRIBUCIÓN La función de densidad de la distribución de Weibull para la variable aleatoria t está dada por la siguiente expresión:  1

f  x  

  t     

  t     exp    ,     

t  

1

Donde t : Variable aleatoria que, para el caso de la confiabilidad, representa el tiempo entre fallas.  : Parámetro de forma  0     

 : Parámetro de escala  0    

 : Parámetro de localización     

El parámetro alfa, como su nombre indica, determina la forma — o perfil — de la distribución, la cual es función del valor de éste. El parámetro beta indica la escala de la distribución, es decir, muestra que tan aguda o plana es la función. El parámetro gamma indica, en el tiempo, el momento a partir del cual se genera la distribución. Una distribución biparamétrica está completamente definida por los parámetros de forma y de escala.


16


La función confiabilidad R (t ) de Weibull se determina por la siguiente expresión: 

R  t  

 f  s ds  e

  t           

2

s

La función distribución acumulativa F (t ) es el complemento de la función confiabilidad y se define de la siguiente manera:

F  t   1  R  t   1  e

  t            

 3

De la expresión anterior, se concluye que la función distribución acumulativa se puede interpretar como la probabilidad de falla. La relación entre la función confiabilidad y la función probabilidad de falla se muestra en la figura 1.


17


Determinación de los parámetros por el método de los mínimos cuadrados Para ilustrar el método de los mínimos cuadrados, se desarrollará paso a paso un ejemplo. El método de los mínimos cuadrados permite calcular los parámetros de forma y escala, mediante la transformación doble logarítmica de la función de distribución acumulativa (ecuación 3). El cálculo del parámetro de localización es más complejo, empleándose para ello rutinas de cálculo, como el programa Solver de Excel. La transformación doble logarítmica permite transformar la función de distribución acumulativa en una ecuación lineal de regresión.

3.1 Deducción de la ecuación lineal de regresión

F  t   1  R  t   1  e 1





e

 t       

  t           

 4

Función acumulativa de Weibull

 1  F  t  



1 1  F  t 

e

 t       



 t      1      ln   ln e  1  F  t  

Aplicando logaritmos naturales

 1   t    Propiedad exponencial de los logaritmos  ln     1  F  t        1   t     ln ln    ln  Aplicando logaritmos naturales.     1  F  t         

  1   ln ln      ln  t      ln  *  1 F t       

La expresión (*) representa una ecuación lineal de la forma y   x  b

**

La cual es una recta de regresión, con:   1    ;    1  F  t   

y  ln ln 

x  ln  t    ;

b   ln 


***

18


De la expresión (**) se concluye que el parámetro de forma,  , es la pendiente de la recta de regresión. De la expresión (***) se observa que el parámetro de escala,  , está en función del intercepto b de la recta de regresión y del parámetro de forma  ; por lo tanto: b   ln 

 

b 

 ln  



  e

b 

 4  Definición de algoritmo

3.2 Rango de mediana Para poder trazar la recta de regresión, se debe calcular un estimador para la función de distribución acumulativa F(x). Este estimador, llamado Rango de mediana, es un estimador no paramétrico basado en el orden de las fallas. Este aspecto implica que la muestra de datos se debe organizar de menor a mayor (en forma ascendente). La expresión matemática para este estimador es:

Donde: Wα (i): Rango de mediana para un nivel de confianza (1-α), donde α es el nivel de significancia y toma el

valor de 0.5 para este estimador. i: Orden de la falla.

n: Número total de datos de la muestra. Fα, v1, v2: Valor crítico de la distribución F, evaluada en el nivel de significancia α y con grados de libertad

v1 y v2. Dada la complejidad de la ecuación (5), generalmente el rango de mediana se aproxima mediante la siguiente expresión, exacta dentro de 0.005 [1]:

Donde: RM( xi): Rango de mediana. i: Orden de falla. n: Número total de datos de la muestra. Ing. Fernando Loera Rivera

19


Dado que la ecuación (5) es más exacta, en los cálculos se empelará ésta. Para facilitar su empleo, a continuación se presenta el código fuente para crear una función definida por el usuario en Excel. Para crear la función, síganse los siguientes pasos:    

Abra Excel. Hágase la combinación de teclas Alt +F11. Esta acción abrirá el editor de Visual Basic. En el menú insertar de VB, selecciónese la opción Módulo. En el panel derecho, cópiese el siguiente código fuente:

Public Function RangoMediana(alfa As Single, n As Long, i As Long) As Double ’***************************************************************************** ’*Esta función calcula el rango de mediana en función de la distribución F. * ’*alfa representa el nivel de significancia con el que se calcula la dist. F.*

*

’*n es el número de puntos de la muestra.

*

’*i es el orden de falla.

’*****************************************************************************

Dim a As Double, f As Double On Error GoTo ManejarError a = i / (n - i + 1) f = Application.WorksheetFunction.FInv(alfa, 2 * (n - i + 1), 2 * i) RangoMediana = a / (f + a) Salir: Exit Function ManejarError: Select Case Err.Number Case 1004 MsgBox ―Los argumentos (n) o (i) no pueden ser cero.‖, vbCritical + vbOKOnly

Case Else


20

U4: PRUEBAS DE BONDAD DE AJUSTE Y PRUEBAS NO-PARAMETRICAS MsgBox ―Se ha generado el error ‖ & Err.Number & _

Err.Description, vbCritical + vbOKOnly End Select Resume Salir End Function   



  

Hágase clic en guardar del menú Archivo del editor de VB para guardar la función. Hágase clic en Cerrar y volver a Excel del editor de VB. Esta acción cierra el editor de VB. Para usar la función creada, selecciónese Función del menú Insertar de Excel. Se abre la ventana Insertar función. En la ventana Insertar función, en la lista desplegable O seleccionar una categoría, selecciónese la categoría Definidas por el usuario. En el cuadro de lista Seleccionar una función, hágase clic en RangoMediana. Hágase clic en el botón Aceptar. En la ventana Argumentos de función, digítese los valores de los argumentos. Téngase en cuenta que el valor del argumento alfa siempre es 0.5.

3.3 Pasos 1.- A continuación se presenta la secuencia que se debe seguir en la aplicación del método de los Mínimos Cuadrados.1. Asuma  (parámetro de localización) igual cero y ordene los datos de menor a mayor. El criterio de ordenación debe ser el tiempo entre fallas. Véase la tabla 1.


21


2. Calcule el rango de mediana para cada observación usando la ecuación (5) ó (6). En nuestro caso se usará la ecuación (5), empleando la función definida por el usuario RangoMediana. Véase la figura 2.

Los argumentos de la función RangoMediana toman los siguientes valores: Alfa=0.5; n=140 (total de puntos de la muestra); i= toma el valor indicado en la columna A. Los valores calculados se muestran en la tabla 2.


22


3. Calcule el logaritmo natural del tiempo entre fallas para cada observación. Véase la figura 3.

Obsérvese que en la función LN(número) de la columna D, el parámetro de localización, el cual se obtiene de la celda L8, vale cero. Esto es importante, ya que la celda que contiene el parámetro de localización será la celda cambiante de Solver, en el caso que sea necesario calcular este parámetro. Los valores de la abscisa x se muestran en la tabla 3.


23


4. Calcule el valor de la ordenada y, es decir, el logaritmo del logaritmo del inverso de uno menos el rango de mediana para cada uno de las observaciones de la muestra. Véase la figura 4.

Obsérvese la anidación de la función logaritmo. El valor del rango de mediana se obtiene de los datos calculados en la columna C. Los valores de la ordenada y se muestran en la tabla 4.

5. Genere un gráfico con los datos de las columna D y E.


24


Al trazar estos puntos, se genera la recta de regresión. Para ello selecciónese Gráfico del menú Insertar de Excel; aparece la ventana Asistente para gráficos. En ésta, escójase la opción XY (Dispersión) en la lista Tipo de gráfico y síganse las instrucciones en pantalla. Véase la figura 5

Para hallar la ecuación de la recta de regresión, empléense las funciones: PENDIENTE (conocido_y; conocido_x) donde: conocido_y son los valores dependientes (valores de la columna E) y conocido_x son los valores independientes (valores de la columna D) para estimar la pendiente de la recta; INTERSECCIÓN.EJE (conocido_y; conocido_x) para estimar el intercepto de la recta. Para determinar el grado de correlación lineal de los puntos, empléense las funciones: PEARSON (matriz1; matriz2) donde matriz1 son los valores dependientes (columna E) y matriz2 son los valores independientes (columna D). Esta función devuelve el coeficiente de correlación r. COEFICIENTE.R2 (conocido_y; conocido_x) devuelve el cuadrado del coeficiente de correlación. Estos valores, en sí, representan una especie de prueba de bondad de ajuste de la recta de regresión. El coeficiente de correlación está indicando que tan fuerte o débil es la relación lineal entre los datos; si este valor es más cercano a uno, hay una fuerte dependencia lineal. Por otro lado, el coeficiente de determinación, r2, está indicando el porcentaje de los puntos que están relacionados linealmente. Aplicando las anteriores funciones de Excel, se obtiene la siguiente recta de regresión: y=0.6995 x-1.9514

(7)

De donde:


25


El coeficiente de correlación, r, indica que hay una excelente relación (dependencia) lineal de los datos, ya que su valor está muy próximo a uno. El coeficiente de determinación, r2, indica que el 94.64% de los datos están relacionados linealmente. En conclusión, estos valores indican que la muestra se comporta conforme a la función de densidad de Weibull. 6. Estime el valor del parámetro de forma y de escala. Dado que el parámetro de forma es la pendiente de la recta de regresión, de la ecuación (7) se obtiene:

De la ecuación (4), numeral 3.1, se obtiene el valor del parámetro de escala:

3.4 Consideraciones sobre el parámetro de localización Las siguientes consideraciones se deben tener en cuanta al momento de analizar un parámetro de localización diferente de cero. Véanse las referencias bibliográficas [1], [6] a) Si al graficar los puntos de la muestra aparece una cola de puntos hacia arriba o hacia abajo, es un indicativo de que el parámetro de localización debe ser calculado. b) Una cola hacia abajo o una reducción súbita de la pendiente son indicativos de que un parámetro de localización positivo está presente. Véase la figura 5. c) Una cola hacia arriba o un incremento súbito de la pendiente son indicativos de que un parámetro de localización negativo está presente. Este punto está de acuerdo con el intervalo de validez de . Véase el numeral 2. Un parámetro de localización negativo se presenta cuando hay unidades con fallas en servicio, o unidades en servicio con defectos que causarán fallas. Ejemplos:    

Defectos originados durante el ensamble. Defectos originados durante el transporte. Defectos originados durante la instalación o montaje. Defectos originados durante el almacenamiento.

d) Valores grandes del parámetro de forma (β>10) son otro indicativo de que el parámetro de localización

debe ser calculado. Teniendo en cuanta las consideraciones anteriores, y analizando la figura 5, se procederá a calcular el parámetro de localización. 3.5 Cálculo del parámetro de localización


26


Para el cálculo del parámetro ensayo y error.

se usará el complemento Solver de Excel, ya que debe ser determinado por

Para empezar, se debe definir la celda cambiante que, como se mencionó en el paso 3 del numeral 3.3, debe ser la celda donde se asignó el valor cero. Esta celda debe estar involucrada en una función. Véase la figura 3. El mejor estimador de es el valor de que proporcione el mejor ajuste de la línea de regresión de los datos muéstrales. El coeficiente de determinación, r2, proporciona esta medida [1], ya que éste mide la cantidad de puntos que están relacionados linealmente y, por lo tanto, la celda que contenga este valor será la celda objetivo a maximizar — pues el objetivo es mejorar el ajuste de la recta de regresión — . Para iniciar el cálculo se debe indicar al programa un punto de inicio, o punto semilla, en la celda cambiante. El mejor valor de inicio de es un valor ligeramente inferior al valor más bajo del tiempo entre fallas de la muestra. Para el ejemplo, el punto semilla sería 0.166 (es ligeramente inferior al valor más bajo del tiempo entre fallas de la muestra, el cual corresponde al dato de orden uno — 0.167 — . Véase la tabla 1). Este constituye la restricción en Solver. Véase la figura 6.

Es importante tener en cuenta que la celda objetivo debe contener una formula que relacione directa o indirectamente el valor de la celda cambiante. Para el ejemplo la formula sería COEFICIENTE.R2 (E3:E142, D3:D142). Obsérvese que el rango del segundo argumento involucra la celda cambiante L8. Véase la figura 3. Al hacer clic en el botón Resolver de la ventana Parámetros de Solver, el programa genera la solución 0.161, siendo este el valor del parámetro de localización, y el coeficiente de correlación se maximiza a 0.9886; es decir, al tener en cuenta el parámetro de localización se mejora el ajuste de la recta de regresión. De igual manera, los parámetros de forma y escala, y los valores de las abscisas (Xi) y ordenadas (Yi) se actualizan. Véase la figura 7.


27


Para que los valores se actualicen automáticamente, éstos deben estar relacionados por fórmulas, tal y como se muestra en la figura 8.

Nótese que el valor del parámetro de localización es positivo, corroborando lo dicho en la parte b) del numeral 3.4. La figura 9 muestra el trazo de la nueva recta de regresión, siendo notable la agrupación de los puntos en forma de línea. Comparece esta figura con la figura 5. En la figura 10 se muestra el gráfico de la función de densidad de Weibull para los parámetros calculados. Reemplazándolos en la ecuación (1) se obtiene la siguiente ecuación:


28


CONCLUSIONES


29


1. El método de los mínimos cuadrados facilita el cálculo de los parámetros de la distribución de Weibull cuando se emplean programas informáticos como Excel. 2. El análisis del gráfico de la recta de regresión sirve de criterio para determinar si es necesario calcular el parámetro de localización. 3. El parámetro de localización tiene un gran efecto en la recta de regresión; sin embargo, se debe analizar concienzudamente si un diferente de cero es necesario. 4. El coeficiente de correlación, r , y el coeficiente de determinación, r2, se constituyen en una prueba de bondad de ajuste para la recta de regresión.

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS 1. Dodson, Bryan. The Weibull Analysis Handbook. 2da ed. Milwaukee, Wisconsin: ASQ Quality Press, 2006. 2. Abernethy, Robert B. The New Weibull Handbook. 5ta ed. North Palm Beach, Florida. 2006 3. Walpole, Ronald E y Raymond Meyers. Probabilidad y estadística para ingenieros. 3ra ed. México: Interamericana, 1990 4. Céspedes Zapata, Lucas y Santiago Mejía Isaza. Implementación de un Sistema de Indicadores para la gestión de Mantenimiento de una empresa textilera. Medellín, 2005,194p. Trabajo de grado Ingeniería Mecánica. Universidad EAFIT. Departamento de Ingeniería Mecánica. Área de mantenimiento. 5. Tamborero del Pino, José María. NPT 331: Fiabilidad: La distribución de Weibull [En línea] Disponible en: http://www.insht.es/InshtWeb/Contenidos/Documentacion/FichasTecnicas/NTP/Ficheros/301a400/nt p_331.pdf [Consulta: 22 de julio de 2010] 6. Estimation of the Weibull parameters [En línea] Disponible en: http://www.weibull.com/LifeDataWeb/lifedataweb.htm [Consulta. 26 de julio de 2010] 7. Yáñez, Medardo; Perdomo, José L y Gómez de la Vega, Hernando. Ingeniería de Confiabilidad: Pilar fundamental del mantenimiento [En línea] Disponible en: http://confiabilidad.net/articulos/ingenieriade-confiabilidad-pilar-fundamental-del-mantenimiento/#comment-list [Consulta: 28 de julio de 2010] 8. Duarte Holguín, Juan Carlos. Mantenimiento centrado en confiabilidad usando métodos de simulación del ciclo de vida [En línea] Disponible en: http://www.noria.com/sp/rwla/conferencias/mem/Duarte-paper.pdf [Consulta: 28 de julio de 2010] 9. García Palencia, Oliverio. Optimización estadística del mantenimiento industrial [En línea] Disponible en: http://www.aciem.org/bancoconocimiento/O/Optimizacionestadisticadelmantenimientoindustr/Optimi zacionestadisticadelmantenimientoindustr.asp [Consulta: 28 de julio de 2010] 10. Luna, Ana Eugenia. Teoría de la confiabilidad [En línea] Disponible en: http://focuslab.lfp.uba.ar/public/CursoTErrores2k4/Monografias2005/Ana_E_Luna.pdf [Consulta: 22 de julio de 2010]


30


4.3.2 Aplicaciones del paquete computacional Ajuste de datos con Stat::Fit La herramienta Stat::Fit de ProModel se utiliza para analizar y determinar el tipo de distribución de probabilidad de un conjunto de datos. Esta utilería permite comparar los resultados entre varias distribuciones analizadas mediante una calificación. Entre sus procedimientos emplea la prueba Chi-cuadrada, de Kolmogorov-Smirnov y de Anderson-Darling. Además, calcula los parámetros apropiados para cada tipo de distribución, e incluye información estadística adicional como media, moda, valor mínimo, valor máximo y varianza, entre otros. Resolviendo el ejemplo 4 con ProModel, nos da las siguientes estadísticas:


31

U4: PRUEBAS DE BONDAD DE AJUSTE Y PRUEBAS NO-PARAMETRICAS A continuación le pedimos en base a sus cálculos, nos diga y nos muestre el tipo de distribución que siguen los datos:


32


EJERCICIOS PARA LA UNIDAD 4

Ejercicios:

1. Utilice la prueba Chi-cuadrada para determinar, con un nivel de confianza de 90%, qué tipo de distribución siguen los siguientes datos: 17.392

8.110

4.078

3.151

3.528

2.052

10.369

3.690

10.870

4.793

2.498

0.569

8.281

0.154

5.959

3.384

12.877

13.602

5.244

16.677

5.977

4.313

4.767

2.381

6.443

1.392

1.578

8.115

4.891

6.720

7.728

10.451

5.901

0.818

7.088

2.637

4.714

3.032

1.495

15.733

7.768

2.333

7.822

3.708

6.412

1.290

3.957

5.285

7.094

3.078

1.264

2.630

10.177 2.155

2.945

7.552

11.094

4.772

7.281

14.344

19.867

0.119

2.072

1.486

3.791

4.214

1.611

1.781

1.530

3.280

4.301

0.202

7.489

1.422

1.453

0.022

6.001

9.269

8.477

3.043

0.877

6.966

2.103

1.816

0.433

2.547

0.843

1.182

8.121

2.007

1.395

4.661

7.378

5.300 17.066

12.171

2.717


2.440

5.924

3.461

33


2. A partir de la prueba Chi-cuadrada determine, con un nivel de confianza de 90%, ¿Qué tipo de distribución siguen los datos? 18.799

14.889

20.977

25.106

24.793

26.933

11.266

19.063

24.380

15.653

17.239

13.238

12.612

16.089

16.906

11.528

17.728

18.384

20.539

18.538

18.692

18.519

25.371

19.659

19.255

17.947

27.889

23.463

29.503

17.380

26.646

13.550

22.156

23.609

27.676

19.662

17.905

22.701

18.475

23.030

14.223

16.611

13.914

18.548

19.870

20.112

18.709

28.778

13.030

17.054

9.690

25.791

14.881

17.386

23.031

21.867

23.498

22.383

14.513

15.537

22.776

21.291

16.241

19.036

20.526

22.231

20.555

16.356

27.539

21.949

20.289

23.319

23.448

17.454

16.307

24.445

15.195

13.764

22.845

22.554

28.823

25.775

25.216

20.452

20.008

21.815

19.898

15.781

12.901

23.313

21.777

22.472

20.854

15.892

24.953

18.755

16.640

16.715

18.284

18.187

3. Determine, con un nivel de confianza de 90%, qué tipo de distribución siguen los datos; utilice la prueba Chi-cuadrada 12.656

11.664

11.855

11.399

11.845


9.766

11.866

10.671

12.157

12.503 34


13.317

11.381

11.252

12.146

11.769

11.792

13.577

12.038

11.854

13.830

11.369

13.271

11.985

11.936

13.610

12.363

12.437

11.765

12.683

11.931

11.264

10.902

12.204

11.019

13.940

11.873

10.412

11.665

12.957

11.617

11.346

10.634

12.316

11.836

12.571

11.363

11.654

12.286

11.669

12.212

9.526

11.931

12.247

14.116

10.475

10.441

9.695

13.178

14.374

11.610

10.999

12.548

12.659

11.148

12.809

12.660

11.793

10.452

13.013

12.763

11.650

11.309

12.863

12.347

12.556

14.086

12.273

10.893

12.480

10.771

12.566

11.843

12.299

12.357

12.131

11.728

10.653

14.121

13.598

13.049

10.522

10.883

12.533

12.074

11.991

12.161

10.118

11.743

11.062

11.002

4. Emplee la prueba Chi-cuadrada para determinar, con un nivel de confianza de 95%, qué tipo de distribución siguen los datos. 1.679 0.561 2.771 2.327 0.684 0.904 1.228 2.294 1.337 2.775

1.187 0.494 3.141 0.761 3.192 0.598 0.235 2.087 3.399 0.355

0.234 4.923 1.019 1.876 1.427 0.081 2.060 1.424 1.639 0.046

1.780 0.635 2.516 1.506 0.518 2.756 1.182 1.525 3.591 1.243

1.458 0.504 1.182 2.451 2.198 0.151 0.280 0.754 2.393 0.776

2.628 2.606 2.258 0.831 0.922 1.662 7.860 7.145 0.412 0.585

0.504 0.382 0.161 5.715 1.597 0.223 0.664 0.754 3.258 0.667

0.951 1.380 8.055 0.699 2.660 0.531 2.898 1.962 0.256 0.123

1.383 2.700 0.464 1.450 2.933 1.229 2.815 1.613 1.419 1.202

0.486 0.468 2.312 3.582 4.518 0.347 0.121 0.003 0.156 6.985

5. Determine, con un nivel de confianza de 95%, qué tipo de distribución siguen los datos; emplee la prueba de Kolmogorov-Smirnov

12.561 8.322 4.057 11.963 15.154 15.330 3.186 21.500 3.643 3.775

2.695 12.082 7.422 11.143 15.584 9.049 5.599 19.204 9.579 8.423 7.958 7.103 9.051 11.118 7.160 13.528 27.334 3.178 16.675 1.368

10.335 20.599 6.265 1.784 6.934 16.134 4.449 3.372 1.313 17.583

13.260 2.549 7.508 4.367 10.663 10.257 25.998 12.299 2.005 13.234 0.189 10.165 17.901 15.497 15.334 7.603 10.962 6.936 1.669 11.157


4.594 1.544 11.475 10.317 5.542 14.624 6.645 31.066 3.140 16.432

2.500 24.930 3.706 8.185 4.688 16.256 3.779 18.993 5.271 12.831 15.696 10.212 5.078 11.555 1.992 21.127 16.877 19.171 2.831 7.844

7.805 14.405 4.688 7.419 8.231 0.891 3.724 10.784 6.620 10.745

35

apuntes u4

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