1.5 Pengertian Pohon Definisi 1.4
Misalkan G=(V,E) merupakan sebuah graf tak berarah yang tanpa loop. Graf G disebut pohon jika G merupakan graf terhubung dan tidak mengandung siklus. Pada gambar di baah ini graf ! merupakan sebuah pohon , sedangkan graf G tidak merupakan pohon,karena pada graf G terdapat sebuah siklus . Graf ", merupakan graf tak terhubung sehingga dengan sendirinya graf ini tidak termasuk pohon.
a
b
a
b e
e
e h
c
f
d
f
g
a
c
c d
b
f j
i l
k (F
(G)
g
n h
g
d
(H)
m n
#ika #ika sebuah sebuah graf graf terdir terdirii atas atas beberap beberapaa kompon komponen, en, dan tiap tiap kompone komponenny nnyaa masing masing$ma $masin sing g merupakan pohon, maka graf tersebut dinamakan sebuah hutan ( forest forest ). ). Graf " pada gambar %.&' adalah ontoh hutan yang terdiri atas & komponen yang masing$masing merupakan pohon pula. Teorema 1.3
Misalkan =(V,E) merupakan sebuah pohon dan misalkan pula baha u dan * merupakan dua simpul yang berlainan dalam . maka terdapat sebuah lintasan unik yang menghubungkan kedua simpul tersebut. +ukti (dengan kontradiksi) arena adalah sebuah pohon, maka termasuk graf terhubung. -ni menunjukan baha ada paling sedikit satu lintasan yang menghubungkan simpul u dan *. maka pasti akan terdapat beberapa sisi yang membentuk siklus. -ni merupakan sebuah kontradiksi, karena adalah pohon sehingga tak mungkin mengandung siklus. engan demikian lintasan yang di maksud adalah unik. Teorema 1.4
Misalkan adalah sebuah pohon. Maka berlaku /E()/ = /V()/ $ %.
Bukti
ita buktikan dengan menggunakan induksi matematika pada /E()/. #ika /E()/ = 0, maka pohon tersebut memuat sebuah simpul terpenil. alam hal ini, /E()/ = 0 = /V()/ $ % = 0. 1ekarang kita asumsikan baha teorema ini berlaku pula untuk pohon yang mengandung paling banyak k sisi, dengan k20. 3ntuk itu kita perhatikan gambar %.&4.
a
a
b
a
b
a
g
d
h c (E
(F
b
(G
(H
i
(I)
c
j
Misalkan sisi (a,b) kita hapus dari . maka kita peroleh dua pohon bagian, katakanalah %=(V%,E%) dan &=(V&,E&). engan /V()/ = /V%/5/V&/ dan /E()/ = /E %/5/E&/. karena 06/E%/6 k dan 06/E&/6 k, maka dengan hipotesis induksi berlaku /!%/5% =/V% /,untuk i=%,&. 7kibatnya /V()/ = /V%/5/V&/ = (/E%/5%)5(/E&/5%) = (/E%/5/E&/5%)5% = /E/5%. engan demikian,teorema di atas terbukti kebenarannya. Teorema 1.5
3ntuk setiap pohon =(V,E), jika /V()/2&, maka mempunyai paling sedikit & simpul yang berderajat satu (perdan *erties). Bukti :
Misalkan /V()/=n2&. ari teorema diatas kita mengetahui baha /E()/=n$%. 8leh karena itu
dengan berdasarkan pada teorema, maka &(n$%) = &/E()/ =
∑ deg (V )
v ∈ V
arena adalah graf terhubung, maka deg(*)2% simpul yang berderajat satu 9 & . Maka
∀
*
∈
V(). Misalkan mempunyai
deg ( w )=1 untuk hanya sebuah simpul pada V(). alam
kasus pertama kita memperoleh kontradiksi 2
( n−1 )= ∑ deg ( v ) ≥ 2|V |=2 n v ∈ V
ari kasus kedua kita memperoleh 2
( n−1 )= ∑ deg ( v ) ≥ 1 +2 ( n−1 ) v ∈ V
:ang juga merupakan kontradiksi
1.5.2 Pohon Rentang Definisi 1.5
Misalkan G adalah sebuah graf terhubung. 1ebuah pohon rentang dalam G adalah graf bagian dari G yang memuat semua simpul dari G dan sekaligus merupakan pohon. 1isi$sisi dari sebuah pohon dinamakan abang. Contoh 6
Misalkan kita mempunyai graph G seperti pada gambar ;.4 di baah ini. erdapat < pohon rentang dari graph G, yaitu graph 7, +, dan . ampak jelas baha graph 7, +, dan masing$masing memuat semua simpul dari graph G serta mengandung sisi$sisi dari G demikian sehingga tidak terbentuk sikel.
Teorema 1.6
Misalkan G = (V,E) merupakan sebuah graf sederahana. G terhubung jhj G mempunyai sebuah pohon rentang.
Bukti
#ika G mempunyai sebuah pohon rentang , maka untuk setiap pasang simpul u,* yang berlainan dalam V sebuah himpunan bagian dari h impunan sisi pada merupakan lintasan antara u dan *, jadi G adalah graf terhubung dan G bukan sebuah pohon, maka hapuslah semua loop dari G. jika graf bagian yang dihasilkan G% tidak merupakan sebuah pohon maka G% harus memuat sebuah siklus. "apuslah sebuah sisi maka pohon rentang bagi graf G, bebas dari loop, dan terhubung. Teorema 1.7
Misalkan adalah sebuah pohon rentang dari graf terhubung G dan misalkan e sebagai sisi dari G yang tidak pada . maka 5e mengandung sebuah siklus unik. Bukti
arena tidak mengandung siklus, tiap siklus dari 5e memuat e. selain itu merupakan sebuah siklus dari 5e jhj $e merupakan sebuah lintasan dalam yang menghubungkan simpul ujung dari e. erdapat sebuah rumus rekursif untuk mengetahui banyaknya pohon rentang dalam sebuah graf. >umus ini mengandung operasi kontraksi sis. 1ebuah sisi e pada graf G disebut diontraksi jika sisi tersebut dihapus dan simpul ujungnya diidentifikasi. Graf hasilnya dinyatakan dengan notasi G.e
p
p
r
q
s
{r,s
q
t
t p
q
r
s
t
q
{p,r
s
t
#elaslah baha jika e merupakan sebuah pengait dari G maka berlaku ? a. /V(G.e/ = /V(G)/ $ % b. /E(G.e/ = /E(G)/ $ % . @(G.e) = @(G) dari rumus ini dapat kita ketahui baha jika merupakan sebuah pohon, maka demikian pula hanya dengan .e. banyaknya pohon rentang dari graf G kita beri notasi τ (G). Teorema 1.8
#ika G merupakan sebuah pengait dari G maka
τ
(G) =
τ
(G$e)5
τ
(G.e).
Bukti
Pohon rentang dari sebuah graf G yang tidak mengandung sisi e adalah juga sebuah pohon rentang dari G yang tidak mengandung sisi e. 3ntuk setiap pohon rentang dari graf G yang memuat sisi e terdapat korespondensi dengan pohon rentang .e dan G.e. korespondensi ini jelas sebuah bijeksi. 8leh karena itu pohon rentang dari G yang memuat sisi e. ini berarti baha
τ
(G) =
τ
τ (G.e) = banyaknya
(G$e)5
τ
(G.e)
Misalnya mempunyai G$e berupa pohon dengan ; simpul dan hasil kontraks pada sebuah sisinya berbentuk segitiga. engan demikian banyaknya pohon rentang dari siklus berderajat ; adalah ;. +egitulah seterusnya,sehingga untuk siklus berderajat n , yaitu n mempunyai pohon rentang sebanyak n. 1elain siklus, ada graf lain yang juga dapat diketahui jumlah pohon rentangnya dengan menggunakan rumus ayley.Graf tersebut adalah graf lengkap. Teorema 1.
A( n) = n n$& Bukti
Misalnya simpul dari graf n adalah %,&,<,...,n. ita tahu baha n n$& adalah banyaknya barisan dengan panjang n$& yang dapat di bentuk dari simpul$simpul %,&,<,...,n. engan demikian untuk membuktikan teorema ini kita ukup meniptakan korespondensi satu$satu antara pohon rentan$pohon rentan dari n dan barisan tersebut. 1.5.3 !isi Pemotong
Pada pohon terdapat pula konsep sisi pemotong dari sebuah graf , :aitu sisi yang penghapusannya membuat graf tsb menjadi tak terhubung.
Definisi 1.6
1ebuah sisi pemotong pada graf G adalah sebuah sisi e,demikian sehingga @(G$e) = @(G) , dengan @(G) sebagai banyaknya. omponen dari G , pada gambar sisi yang tampak lebih hitam adalah sisi$sisi pemotong dari garf G.#ika salah satu dari keempat sisi tersebut di hapus, G akan menjadi graf tidak terhubung.
Teorema 1.1"
1ebuah sisi e pada graf G merupakan sisi pemotong dari G jika dan hanya jika e termuat dalam non siklus dari G. Bukti
Pembuktian menggunakan kontradiksi. Misalkan e sebuah sisi pemotong dari graf G,sehingga terdapat simpul u dan simpul * pada G yang terhubungkan dalam G tapi diluar graf G$e. +erarti ada lintasan dari u ke * yang harus melalui sisi,sehingga kita misalkan a dan b dalam lintasan tsb , dimana simpul u di hubungkan dengan simpul a serta simpul * di hubungkan dengan simpul b , #ika e merupakan sisi dalam sebuah siklus,Misalnya siklus , maka a dan b tentu terhubung dalam graf G$e oleh lintasan $e. Teorema 1.11
1ebuah graf adalah sebuah pohon jika dan hanya jika setiap sisinya merupakan sisi pemotong. Bukti
Misalkan G merupakan sebuah pohon dan misalkan pula baha e merupakan sebuah sisi pada graf G. arena G merupakan pohon,maka dengan sendirinya G tidak memuat siklus,sehingga sisi e termuat dalam graf bagian dari G yang bukan siklus. #ihat Teorema 1.1" $ki%at 1.12
1etiap graf terhubun memuat sebuah pohon rentang.
Bukti
Misalkan G merupakan sebuah graf terhubun dan " merupakan raf bagian rentang terhubun minimal dari G, +erdasarkan definisi @(")=% dan @("$%) B % untuk setiap sisi pada " , sehingga setiap sisi pada " merupakan sisi pemotong. #ihat Teorema 1.11
1.5.4 !im&u' Pemotong
1ebuah simpul * pada graf G disebut simpul pemotong #ika E(G) dapat di partisikan kedalam dua himpunan bagian E% dan E&.#ika G merupakan graf non tri*ial dan tak mengandung loop , maka * merupakan simpul pemotong dari G jika dan hanya jika @(G$*) B @(G). Pada gambar berikut mempunyai ; simpul pemotong.
Teorema 1.13
1ebuah simpul u pada pohon G merupakan sebuah simpul pemotong dari G jika dan hanya jika deg(*) B %. Bukti
#ika deg(*) B % , maka terdapat simpul u dan yang berlainan dan keduanya ajasen dengan simpul *.Cintasan u* adalah lintasan yang menghubunkan u dan dalam G.1esuai dengan teorema %.D , u* merupakan sebuah lintasan dari u ke yang unik dalam G. "al ini berarti baha tidak terdapat lintasan dari u ke dalam G$* , sehingga @(G$*) B % = @(G) . engan demikian * merupakan simpul pemotong dari G. $ki%at 1.14
1etiap graf terhubung non tri*ial yang tanpa loop mempunyai paling sedikit dua simpul yang tidak merupakan simpil pemotong. Bukti
Misalkan G merupakan graf terhubung non tri*ial dari G dan G tidak mengandung loop . 1esuai dengan teorema %.' baha G mengandung sebuah pohon rentang dan berdasarkan 7kibat %.%0 mempunyai paling sedikit & simpul yang tidak merupakan simpul pemotong . Misalkan * adalah simpul seperti itu , Maka @($*) = % 1.5.5 Pohon (&tima'
Pohon rentang dengan bobot minimum disebut pohon optimal . 3ntuk menentukan pohon optimal kita busa menggunakan algoritma kruskal.
#angkah ) #angkah :
%. Pilihlah sisi e demikian sehingga @(e%) sekeil mungkin. &. #ika sisi e%,e&,...,ek sudah terpilih , pilihlah sisi e k5% dari sisi$sisi yang belum terpilih , demikian sehingga sisi e k5% bersama$sama dengan e%,e&,...,ek tidak membentuk siklus. (e k5%) sekeil mungkin. <. 1top , jika semua sisi sudah terpilih . #ika masih ada yang belum terpilih , kembali ke langkah &. "asilnya adalah sebuah pohon optimal. Contoh
Gunakan algoritma kruskal untuk menentukan pohon rentang dengan bobot minimum dari graf G berikut ini ?
+
-
&
&
1 +
*
1. ita tent"kan sisi dengan b#b#t terkecil, kita pilih sisi 1 ($arnai sisin%a)
+
-
&
&
1 +
*
&. '#b#t terkecil berik"tn%a adalah &, terdapat & sisi %ang memp"n%ai b#b#t &, kita pilih sisi %ang ertical.
+
-
&
&
1 +
*
-. /isi dengan b#b#t & lainn%a kita mas"kkan sebagai p#h#n rentang %ang sedang dik#ntr"ksi.
+
-
&
. 'erik"tn%a /isi dengan b#b#t & -. 1 +
+*
-
&
&
1 +
*
+. 0erdapat & sisi dengan b#b#t , kita pilih salah sat"n%a.
+
-
&
&
1 +
*
. em"dian han%a tinggal seb"ah simp"l lagi %ang bel"m terambil, dari sisi %ang insiden dengan smp"l ini, %ang memp"n%ai b#b#t terkecil adalah sisi dengan b#b#t +.
+
-
&
&
1 +
1.5.6
*
Pusat dan Dwipusat pohon
alam penggambaran p#h#n kita m"ali dari tengah 2 tengah pendekatan 3rth"r 4a%le% pada tah"n 1*5 an. alam k#nsep pohon berimbang cara 2 cara
membent"k p#h#n dilak"kan dengan dengan cara menggambar p#h#n bagian dengan simp"l %ang berimabnag pada tiap 2 tiap p#h#n bagian. 6engertian berimbang ini adalah p#h#n bagian %ang memp"n%ai j"mlah simp"l %ang sama. 6enggambaran tengah 2 tengah p#h#n dapat dialak"kan dengan met#de berik"t 7 Metode 1
Hap"slah sem"a simp"l berderajat 1, bersama 2 sama dengan sem"a simp"l %ang ensiden dengan simp"l it", sehingga diper#leh seb"h simp"l t"nggal (p"sat) ata" d"a simp"l (d$ip"sat) %ang dih"b"ngkan dengan seb"ah sisi. Contoh 1.15
6erhatikan & b"ah graf berik"t %ang mer"pakan p#h#n
8nt"k mengetah"i apakah p#h#n terseb"t terg#l#ng berp"sat t"nggal ata" d$i p"sat kita lak"kan met#de 1 .
a
(G) b a
c
b
d
c
c
d
e
b
a
c
(H)
d
e i
g
f j
h
e
f
g
h
f
g
Keterangan :
Graf G
7 'erp"sat t"nggal
Graf H
7 $ip"sat
Metode 2
8nt"k setiap simp"l " %ang berderajat & ata" lebih, berilah label dengan angka 1,&,-,=, jika simp"l terseb"t berasal dari arah simp"l ", dan kita misalkan n" sebagai nilai maksim"m bilangan 2 bilangan terseb"t. >ika p#h#n memp"n%ai n simp"l, maka terdapat tepat seb"ah simp"l " sehingga nu ≤
n−1 2
sebagai p"sat (sentr#ida)
3ta" tedapat d"a simp"l, missal " dan maka7 n u= n v =
n 2
sebagai (bisentr#ida)
Contoh 1.16
Graf pada gambar ini dapat diketah"i bah$a memen"hi sifat sehingga
nu ≤
2
, %ang berarti p"satn%a t"nggal.
Gambar 1.& 1
. engan demikian p#h#n ini
n−1
1
nu = 3
&
1.5.7 Pohon Berakar Defnisi 1.7
999999999999999999999999999 Internet #$nl#ad :anager
nternet
#$n #a 999999999999999999999999999 anager as een reg stere $ t a a e er a "m er. 999999999999999999999999999 999999999999999999999999999 net #$nl#ad :anager has been registered $ith$ith a fake /erial ;"mber. Internet #$nl#ad :anager has been registered a fake /erial ;"mber. 999999999999999999999999999 < 999999999999999999999999999 999999999999999999999999999 Internet #$nl#ad :anager 999999999999999999999999999 < < 99999999999999999999999999999999999999999 999999999999999999999999999 999999999999999999999999999 >ika 999999999999999999999999999 G adalah graf berarah, maka G diseb"t p#h#n berarah jika graf tak 999999999999999999999999999 l#ad :anager #$nl#ad :anager has been registered $ith a fake /erial ;"mber. Internet #$nl#ad :anager Internet #$nl#ad Internet #$nl#ad :anager :anager berarah %ang berk#resp#ndensi dengan G mer"pakan seb"ah p#h#n. >ika G 99999999999999999999999999999999999999999 999999999999999999999999999 999999999999999999999999999 mer"pakan seb"ah p#h#n berarah, G diseb"t p#h#n berarah jika terdapat seb"ah registered $ith a fake /erial ;"mber. <has Internet been registered $ith a fake /erial ;"mber. :anager #$nl#ad#$nl#ad :anager has been has registered been registered $ith a fake /erial a fake ;"mber. /erial ;"mber. simp"l r :anager %ang "nik, dalam G$ith dengan derajat mas"k ata" r A indeg(r)A5 dan "nt"k 99999999999999999999999999999999999999999 999999999999999999999999999 999999999999999999999999999 999999999999999999999999999 sme"a simp"l lainn%a, berlak" indeg()A1 p < < < 9999999 999999999999999999999999999 999999999999999999999999999 999999999999999999999999999 q
(a)
(b)
a
s
d
G t
f
"
$
e i
h k
b
m
l
n
B
Gambar 1.-
alam p#h#n berakar seb"ah simp"l dengan derajat kel"ar #"tdeg() A 5 dinamakan da"n (ata" simp"l terminal). 6ada graf H simp"l j, k, l, m dan n termas"k da"n sedangkan simp"l lainn%a dinamakan cabang (cabang internal). alam Gambar 1.-(b) lintasan dari akar r ke simp"l c memp"n%ai panjang &, dengan cara %ang sama dapat diketah"i bah$a f dan j masing 2 masing memp"n%ai tingkat - dan . 6ada p#h#n ini kita katakana bah$a c mer"pakan anak dari a, sedangkan a diseb"t #rang t"a (ind"k) dari c. simp"l 2 simp"l j, k, dan l mer"pakan c"c" dari c. /ecara "m"m jika memp"n%ai n#m#r tingkat %ang6asal lebih1 tinggi dari simpl '3' I $ dalam seb"ah p#h#n berakar maka kita katakan bah$a mer"pakan nenek 6asal & m#%ang dari $, dan sebalikn%a $ diseb"t sebagai c"c" dari , asalkan saja - @@@istilah sa"dara terdapat lintasan dari ke $. alam p#h#n berakar 6asal dikenal kand"ng (sibling) %ait" d"a simp"l %ang memp"n%ai #rang t"a %ang sama. 6asal 1
'3' II 4#nt#h pada Gambar 1.- diatas c#nt#hn%a adalah j dan k sa"dara kand"ng dari 6asal & f, karena memp"n%ai #rang t"a %ang sama %ait" f. 6asal -
alam p#h#n berakar terdapat pengertian p#h#n bagian disimp"l tertent". '88
Contoh 1.17
6asal 1 '3' III
6asal &menggambarkan alam gambar 1. ini k#nsep p#h#n berakr dig"nakan "nt"k h"b"ngan antara pasal 2 pasal dan bab 2 bab dalam seb"ah b"k". 6asal -
'3' I?
6asal 1 6asal -
Akiat 1.12
:isalkan G mer"pakan seb"ah graf terh"b"ng. ≥
:aka CE(G)C
C?(G)C91
Bukti
:isalkan G mer"pakan seb"ah graf terh"b"ng. 'erdasarkan akibat 1.11, G mem"at seb"ah p#h#n rentang, misalkan kita namakan 0. :aka
( )
( ) |V ( T )|
ω G ≥ ω T
=
| ( )|
1 = V G
−
1
−
!eore"a 1.#
/eb"ah sisi e pada graf G mer"pakan sisi p#tng jika dan han%a jika term"at dalam n#n sikl"s G. Bukti
:isalkan e adalah seb"ah sisi p#t#ng pada graf G dan " serta mer"pakan d"a simp"l pada G %ang dih"b"ngkan dengan lintasan 6. jika B dan % mer"pakan simp"l "j"ng dari e dan B dalam lintasan terseb"t "r"tan sebel"m %, maka B dih"b"ngkan dengan " dalam sat" bagian dari G dan % dih"b"ngkan dengan dalam bagian lainn%a dari graf G.
G9e adalah graf terh"b"ng, sedangkan lintasan 6 dari " ke mengh"b"ngkan " dan melal"i sisi lain pada G. dengan demikian lintasan 6 mem"at seb"ah sisi e %ang term"at dalam sikl"s 49e. ini seb"ah k#ntradiksi. engan demikian te#rema diatas terb"kti kebenarann%a. 1. Pe*arnaan +raf 1..3 Pe*arnaan !im&u'
Pearnaan simpul pada graf G adalah penentuan arna bagi setiap simpul pada graf G sedemikian rupa sehingga tiap dua simpul yang saling ajasen mendapat arna yang berbeda. Definisi 1.17
Pearnaan k$simpul graf G adalah pemasangan k arna %,&,...,k pada simpul$simpul dari G. Pearnaan ini termasuk pearnaan sejati jika tak ada dua simpul yang sling ajasen mempunyai arna yang sama. Definisi 1.18
Graf G disebut yang terarnai dalam k$simpul ,jika G mempun yai pearnaan sejati dalam k simpul. Contoh 1.2
Graf E , graf ! ,dan graf G berturut$turut termasuk graf yang terarnai dalam % arna dan & arna .
Definisi 1.1
+ilangan kromatik (G) = k dari sebuah graf G adalah nilai minimum k demikian sehingga G merupakan graf yang terarnai dalam k arnna. #ika (G) = k ,maka dikatakan baha G adalah k$ kromatik. Teorema 1.27
#ika G termasuk graf k$kritis ,maka D(G)2k$%. Bukti.
ita gunakan kontradiksi misalkan G adalah graf k$kritis dengan D (G)9k$% dan kita misalkan pula * sebagai simpul berderajat D (G) dalam G. $% arna misalkan (F%, F&,...., Fk$% ) merupakan pearnaan dari G$* dengan D (G)9k$% simpul, dan dengan demikian * harus tak ajasen dalam G dengan setiap simpul dari beberapa F tapi ini berarti (F%, F &,Fi *H,...,Fk$% ) adalah pearnaan G dalam k$% arna yang merupakan sebuah kontradiksi.dengan demikian D (G)2k$%. $ki%at 1.33
1etiap graf kIkromatik mempunyai paling sedikit k simpul dengan derajat paling sedikit k$%. Bukti.
Misalkan G adalah sebuah graf k$kromatik dan " sebagai graf bagian k$kritis dari G sesuai dengan teorema %.<&, tiap simpul dari " mempunyai derajat paling sedikit k$% dalam " dengan demikian juga termasuk dalam G karena ",yang termasuk graf k$kromatik mempunyai paling sedikit k simpul ,maka akibat %.<< terbukti. $ki%at 1.34 3ntuk setiap graf G berlaku (G) 6 J(G) 5 % Teorema 1.35 #ika G adalah graf terhubung sederhana tidak memuat siklus dan tidak merupakan graf lengkap,maka berlaku (G) 6 J(G). Definisi 1.21 1ebuah pearnaan k$sisi dari sebuah graf G yang tanpa loop adalah sebuah pemasangan k arna %,&, ... ,k pada sisi$sisi graf G.pearnaan tersebut dinamakan pearnaan sejati jika arna tiap sisi yang saling ajasen berlainan. Definisi 1.22 Graf G disebut terarnai dalam k arna jika G mempunyai pearnaan sejati dalam k arna. Definisi 1.23 +ilangan kromatik sisi K(G) dari sebuah graf G yang tanpa loop adalah nilai k miimum demikian sehingga G sisi$sisinya dapat diarnai dengan k arna. Definisi 1.24 Graf G disebut kromatik dalam k$sisi jika K(G) = k Teorema 1.36 1etiap graf planar dapat diarnai dengan ; arna. Teorema 1.37 1etiap graf planar dapat di arnai dengan 4 arna. Teorema 1.38 1etiap graf planar dapat di arnai dengan ' arna. #emma 1.3 Misalkan G adalah graf terhubung yang tidak merupakan siklus genap maka G mempunyai pearnaan & sisi yang kedua arnanya direperesentasikan dengan derajat paling sedikit dua pada masing$masing simpulnya. #emma 1.4"
Misalkan graf G adalah graf terhubung yang tidak merupakan siklus ganjil maka sisi$sisi G terarnai dalam & arna .kedua arna tersebut dinyatakan pada simpul berderajat paling sedikit &. #emma 1.41
Misalkan F(G) = (F %, F&,...., Fk ) merupakan pearnaan k$sisiyang optimal dari graf G .jika terdapat sebuah simpul u pada G dan arna i serta j demikian sehingga arna i tidak di representasikan pada u dan j representasikan pada paling sedikit di u.Maka komponen dari GLE% E& yang memuat u merupakan siklus ganjil.
Teorema 1.42 ,teorema konig-
#ika G merupakan graf bipartit maka K(G) = J(G). Bukti.
Misalkan G adalah sebuah graf yang memenuhi K(G) B J(G) dan F(G) = (F%, F&,...., FJ(G)) merupakan pearnaan dalam J$sisi yang optimal dari graf G.misalkan pula u merupakan simpul demikian sehingga (3) 9 d(3) jelaslah u memenuhi hipotesis pada lemma %.;0 maka G mengandung sebuah siklus ganjil dan dengan demikian G tidak merupakan graf bipartit. Teorema 1.43 ,teorema i/ing -
#ika G merupakan graf sederhana maka berlaku K(G) = J(G) atau K(G) = J(G) 5 %. Bukti. Misalkan G merupakan graf sederhana dan K(G) = J(G) 5 %. misalkan pula F(G) = (F%, F&,...., FJ(G) 5%) merupakan pearnaan J(G) 5 % sisi yang optimal dari G sedangkan u merupakan simpul demikian sehingga (3) 9 d(3) maka terdapat arna i0 dan i% demikian sehingga i0 tidak di representasikan di u dan i% di representasikan paling sedikit dua kali pada u. Teorema 1.44 ,Teorema i/ing ) ersi &er'uasan -
#ika G merupakan graf sederhana dan h merupakan jumlah sisiyang menghubungkan dua simpul yang berlainan ,maka berlaku K(G) = J(G)5h. Teorema 1.45 ,Teorema shanon-
#ika G adalah graf sederhana maka berlaku J(G) 6 K(G) 6
3ntuk setiap graf lengkap k n berlaku. n $% ,jika n genap K(kn) = n,jika n ganjil
